Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Đồ thị hàm số $y = \sin x$ được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách:
- A. Tịnh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
- B. Tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
- C. Tịnh tiến (C) lên trên một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
- D. Tịnh tiến (C) xuống dưới một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
Ta có
$y = \sin x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} ight) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight)$
=>Đồ thị hàm số $y = \sin x$ được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$

Câu 2: Thông hiểu

Cho bảng số liệu thống kê sau:

Số khách hàng đến mua cà phê mỗi buổi sáng tại quầy trong 2 tuần

69	37	39	65	31	33	63
51	44	62	33	47	55	42

Bảng số liệu ghép nhóm nào sau đây đúng?

Bảng M	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng M	Số ngày	5	3	2	4
Bảng N	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng N	Số ngày	5	3	4	2
Bảng P	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng P	Số ngày	5	2	3	4
Bảng Q	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng Q	Số ngày	3	5	2	4

A.
Bảng M
B.
Bảng N
C.
Bảng P
D.
Bảng Q

Khoảng biến thiên là 69 – 31 = 38

Ta chia thành các nhóm sau: [30; 40), [40; 50), [50; 60), [60; 70)

Đếm số giá trị mỗi nhóm ta có bảng ghép nhóm

Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Số ngày	5	3	2	4

Câu 3: Vận dụng cao
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 5,231231… được biểu diễn bởi phân số tối giản $\frac{a}{b}$ . Tính tổng $Q = a - b$ .
- A.
  $Q = 1409$
- B.
  $Q = 1490$
- C.
  $Q = 1049$
- D.
  $Q = 1904$
Ta có:

$\begin{matrix} 5,231231... = 5 + 0,231 + 0,000231 + ... \hfill \\ = 5 + \dfrac{{231}}{{{{10}^3}}} + \dfrac{{231}}{{{{10}^6}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}$

Dãy số $\frac{231}{10^{3}};\frac{231}{10^{6}};...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $u_{1} = \frac{231}{10^{3}}$ , công sai là $q = 10^{- 3}$

$\begin{matrix} \Rightarrow Q = 5 + \dfrac{{\dfrac{{231}}{{{{10}^3}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{{10}^{ - 3}}}}}} = 5 + \dfrac{{231}}{{999}} = \dfrac{{1742}}{{333}} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1742} \\ {b = 333} \end{array}} ight. \Rightarrow Q = 1409 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 4: Thông hiểu
Cho dãy số (u_n) thỏa mãn $u_{1} = \sqrt{2}$ và $u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}}$ với mọi n ≥ 1. Số hạng u₂₀₁₈ là
- A.
  $u_{2018} = \sqrt{2}cos\frac{\pi}{2^{2017}}$
- B.
  $u_{2018} = 2cos\frac{\pi}{2^{2019}}$
- C.
  $u_{2018} = \sqrt{2}cos\frac{\pi}{2^{2018}}$
- D.
  u₂₀₁₈ = 2.
Ta có $u_{1} = \sqrt{2} = 2\cos\frac{\pi}{4} = 2\cos\frac{\pi}{2^{2}};$

$u_{2} = \sqrt{2 + \sqrt{2}} = 2cos\frac{\pi}{8} = 2cos\frac{\pi}{2^{3}}$

Dự đoán $u_{n} = 2cos\frac{\pi}{2^{n + 1}}$

Áp dụng theo quy nạp ta có: $u_{1} = 2cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$ , công thức (1) đúng với n = 1.

Giả sử công thức (1) đúng với n = k, k ≥ 1 ta có $u_{k} = 2cos\frac{\pi}{2^{k + 1}}$

Ta có $u_{k + 1} = \sqrt{2 + u_{k}} = \sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{2^{k + 1}}}$

$= \sqrt{2\left( 1 + \cos\frac{\pi}{2^{k + 2}} ight)}$

$= \sqrt{4\cos^{2}\left( \frac{\pi}{2^{k + 2}} ight)}$

$= 2cos\frac{\pi}{2^{k + 2}}$

(vì $0 < \frac{\pi}{2^{k + 2}} < \frac{\pi}{2}$ với mọi k ≥ 1 ).

Suy ra công thức (1) đúng với n = k + 1

Vậy $u_{n} = 2cos\frac{\pi}{2^{n + 1}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ . Suy ra $u_{2018} = 2cos\frac{\pi}{2^{2019}}$
Câu 5: Nhận biết
Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $d ⊄ (\alpha)$ . Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  Nếu $d\ //\ (\alpha)$ thì trong $(\alpha)$ tồn tại đường thẳng $\Delta$ sao cho $\Delta\ //\ d$ .
- B.
  Nếu $d\ //\ (\alpha)$ và $b \subset (\alpha)$ thì $b\ //\ d$ .
- C.
  Nếu $d \cap (\alpha) = A$ và $d' \subset (\alpha)$ thì $d$ và $d'$ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
- D.
  Nếu $d\ //\ c\ ;\ \ c \subset (\alpha)$ thì $d\ //\ (\alpha)$ .
Mệnh đề “Nếu $d\ //\ (\alpha)$ và $b \subset (\alpha)$ thì $b\ //\ d$ “ sai vì $b$ và $d$ có thể chéo nhau.
Câu 6: Thông hiểu
Giá trị của $C = \lim\frac{\left( 2n^{2} + 1 ight)^{4}(n + 2)^{9}}{n^{17} + 1}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  16
- D.
  1
Ta có:

$C = \lim\frac{n^{8}\left( 2 + \frac{1}{n^{2}} ight)^{4}.n^{9}.\left( 1 + \frac{2}{n} ight)^{9}}{n^{17}.\left( 1 + \frac{1}{n^{17}} ight)} = \lim\frac{\left( 2 + \frac{1}{n^{2}} ight)^{4}.\left( 1 + \frac{2}{n} ight)^{9}}{1 + \frac{1}{n^{17}}} = 16$
Câu 7: Thông hiểu
Cho hình chóp $ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $(AB//CD)$ . Gọi $M;N;Q$ lần lượt là trung điểm của $BC;AD;SB$ . Giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ và $(MNQ)$ là:
- A.
  Đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$ .
- B.
  Đường thẳng đi qua $M$ và song song với $SB$ .
- C.
  Đường thẳng đi qua $M$ và song song với $SC$ .
- D.
  Đường thẳng đi qua $Q$ và song song với $AB$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có: $Q \in SB;SB \subset (SAB)$

$Q \in (MNQ)$ nên Q là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng $(SAB)$ và $(MNQ)$

Mặt khác $MN//AB$

Vậy giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ và $(MNQ)$ là đường thẳng qua Q và song song với AB.
Câu 8: Thông hiểu
Tính chiều cao trung bình của một số học sinh nam được ghi trong bảng dữ liệu sau:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
[95; 105)
9
[105; 115)
13
[115; 125)
26
[125; 135)
30
[135; 145)
12
[145; 155)
10
- A.
  $124,8$
- B.
  $124$
- C.
  $125,3$
- D.
  $125$
Ta có:
Chiều cao đại diện
Số học sinh
Tích các giá trị
100
9
900
110
13
1430
120
26
3120
130
30
3900
140
12
1680
150
10
1500
Tổng
100
12530
Chiều cao trung bình của các học sinh là:
$\overline{x} = \frac{12530}{100} =125,3(cm)$
Câu 9: Vận dụng
Tính tổng $S = 1 + 11 + 111 + ... + \underbrace {1111...11}_n$ ?
- A.
  $S = n + \frac{10}{9}\left( 10^{n} - 1 ight)$
- B.
  $S = \frac{1}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 10}{9} - n ight)$
- C.
  $S = \frac{1}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 10}{9} + n ight)$
- D.
  $S = \frac{10}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 10}{9} + n ight)$
Xét dãy số $\left( U_{n} ight)$ là cấp số nhân với $u_{1} = 1;q = 10$

$\Rightarrow S_{n} = \frac{1}{9}.\left( 10^{n} - 1 ight)$

$\Rightarrow S = S_{1} + S_{2} + ... + S_{n}$

$= \sum_{k = 1}^{n}{\frac{1}{9}\left( 10^{n} - 1 ight)} = \frac{1}{9}\left( \sum_{k = 1}^{n}{10^{n} - n} ight)$

$= \frac{1}{9}\left( 10.\frac{10^{n} - 1}{9} - n ight) = \frac{1}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 1}{9} - n ight)$
Câu 10: Thông hiểu

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ . Gọi $Bx;Cy,Dz$ lần lượt là các đường thẳng đi qua $B,C,D$ và song song với nhau. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ cắt các đường $Bx;Cy,Dz$ lần lượt tại $B_{1};C_{1},D_{1}$ sao cho $BB_{1} = 4;CC_{1} = 6$ . Độ dài cạnh $DD_{1}$ là: 2

Đáp án là:

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ . Gọi $Bx;Cy,Dz$ lần lượt là các đường thẳng đi qua $B,C,D$ và song song với nhau. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ cắt các đường $Bx;Cy,Dz$ lần lượt tại $B_{1};C_{1},D_{1}$ sao cho $BB_{1} = 4;CC_{1} = 6$ . Độ dài cạnh $DD_{1}$ là: 2

Hình vẽ minh họa

Gọi $I$ là trung điểm của $AC_{1}$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}OI//CC_{1}//BB_{1}//DD_{1} \\OI = \dfrac{1}{2}CC_{1} = 3 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I \in \left( BB_{1}D_{1}D ight)$ . Mà $I \in AC_{1} \subset (P)$ nên $I \in B_{1}D_{1}$

Hình thang $BB_{1}D_{1}D$ có $OI$ là đường trung bình nên $OI = \frac{1}{2}\left( BB_{1} + DD_{1} ight) \Rightarrow DD_{1} = 2$
Câu 11: Thông hiểu
Giá trị của $B = \frac{\sqrt{n^{2} + 2n}}{n - \sqrt{3n^{2} + 1}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$
Ta có:

$B = \lim\dfrac{\dfrac{\sqrt{n^{2} +n}}{n}}{\dfrac{n - \sqrt{3n^{2} + 1}}{n}}$

$= \lim\frac{\sqrt{1 +\frac{1}{n}}}{1 - \sqrt{3 + \frac{1}{n^{2}}}} = \frac{1}{1 -\sqrt{3}}$
Câu 12: Nhận biết
Tìm chu kì T của hàm số $y = \sin\left( 5x- \frac{\pi}{4} ight)$
- A.
  $T =\frac{2\pi}{5}$
- B.
  $T = \frac{5\pi}{2}$
- C.
  $T = \frac{\pi}{2}$
- D.
  $T = \frac{\pi}{8}$
Hàm số y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì $T = \frac{2\pi}{|a|}$
=> $y = \sin\left( 5x- \frac{\pi}{4} ight)$ tuần hoàn với chu kì $T =\frac{2\pi}{5}$
Câu 13: Nhận biết
Điều kiện để đường thẳng $m$ song song với mặt phẳng $(\beta)$ :
- A.
  $m ⊄ (\beta)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} m//n \\ n \subset (\beta) \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} m//n \\ n ⊄ (\beta) \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} m//n \\ n \subset (\beta) \\ m ⊄ (\beta) \\ \end{matrix} ight.$
Đường thẳng $m$ song song với mặt phẳng $(\beta)$ khi và chỉ khi $m$ không nằm trong $(\beta)$ , đồng thời $m$ song song với một đường thẳng $n$ nằm trong $(\beta)$ .
Câu 14: Nhận biết
Giá trị của $A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $\frac 1 2$
- D.
  1
Ta có:

$A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n} = \lim\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{n}}}{2} = \frac{1}{2}$
Câu 15: Thông hiểu
Xác định $\lim_{x ightarrow - 2}\frac{x + 1}{(x + 2)^{2}}$ .
- A.
  $0$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $1$
Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x + 1} ight) = - 1 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {\left( {x + 2} ight)^2} = 0 \hfill \\ {\left( {x + 2} ight)^2} > 0,\forall x e - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^2}}} = - \infty$
Câu 16: Nhận biết
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua
- A.
  Hai đường thẳng
- B.
  Một điểm và một đường thẳng
- C.
  Ba điểm
- D.
  Hai đường thẳng cắt nhau
Phương án "Hai đường thẳng " sai vì nếu 2 đường thẳng đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng đó.
Phương án "Một điểm và một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì có vô số mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng đã cho.
Phương án "Ba điểm" sai vì nếu có 2 trong ba điểm đó trùng nhau hoặc cả 3 điểm đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng thỏa mãn.
Vậy hoàn thành mệnh đề như sau: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau."
Câu 17: Vận dụng
Cho hình chóp $S. ABCD$ . Gọi $M, N, P, R, Q, L$ lần lượt là trung điểm $SD, SB, DC, BC, AD, AB$ . Khi đó khẳng định nào sai?
- A.
  $MP//(NLR)$
- B.
  $(NLR)//(MQP)$
- C.
  $AD//(NLR)$
- D.
  $SC//(MQP)$
Hình vẽ minh họa

Qua phép chiếu song song theo phương $SC$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ biến: M thành P, N thành $R$ .

Do đó $MP// NR$

$=> MP // (NLR)$

Qua phép chiếu song song theo phương $SA$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ biến: $N$ thành $L$ , R thành R, M thành Q, P thành P, L thành L, Q thành Q.

Vậy $(NLR)//(MQP)$

Vậy khẳng định sai là: $AD//(NLR)$
Câu 18: Vận dụng cao
Tổng $S_{n} =\frac{1}{1.4} + \frac{1}{4.7} + \frac{1}{7.10} + \ldots + \frac{1}{(3n -2)(3n + 1)},n \in \mathbb{N}^{*}$ có công thức thu gọn là?
- A.
  $S_{n} = \frac{3n}{3n +1}$
- B.
  $S_{n} = \frac{n}{3n -1}$
- C.
  $S_{n} = \frac{n}{3n +1}$
- D.
  $S_{n} = \frac{n}{3n -2}$ .
$S_{n} = \frac{1}{3}\left\lbrack \left( 1- \frac{1}{4} ight) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} ight) +\left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} ight) + \left( \frac{1}{10} -\frac{1}{13} ight) + \ldots + \left( \frac{1}{3n - 2} - \frac{1}{3n +1} ight) ightbrack$
$= \frac{1}{3}\left( 1 - \frac{1}{3n + 1}ight) = \frac{n}{3n + 1}$
Câu 19: Vận dụng
Cho hình chóp $S.ABC$ có $G,K$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $SBC$ . Gọi $E$ là trung điểm cạnh $AC$ . Mặt phẳng $(GEK)$ cắt $SC$ tại $M$ . Tỉ số $\frac{MS}{MC}$ bằng:
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $E$ là trung điểm của $AC$ .

=> $B,G,E$ thẳng hàng hay $(GKE) \equiv (EBK)$

Ta lại có $K$ là trọng tâm tam giác $SBC$ nên $BK$ kéo dài cắt $SC$ tại trung điểm của $SC$ .

Vậy $M$ là trung điểm của $SC$ suy ra $\frac{MS}{MC} = 1$
Câu 20: Nhận biết
Cho dãy số $\frac{1}{2};0; - \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2};...$ là cấp số cộng với:
- A. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$ , công sai là $\frac{1}{2}$
- B. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$ , công sai là $- \frac{1}{2}$
- C. Số hạng đầu tiên là 0, công sai là $\frac{1}{2}$
- D. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$ , công sai là $-\frac{1}{2}$
Ta có: $\frac{1}{2};0; - \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2};...$ là một cấp số cộng
=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = \dfrac{1}{2}} \\ {{u_2} - {u_1} = - \dfrac{1}{2} = d} \end{array}} ight.$
Câu 21: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ . Tìm tỉ số $\frac{G_{1}G_{2}}{AB}$ (làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,33

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ . Tìm tỉ số $\frac{G_{1}G_{2}}{AB}$ (làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,33

Hình vẽ minh họa

Ta có:

$G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ nên $BG _ { 1 }$ , $AG_{2}$ và $CD$ đồng qui tại $M$ (là trung điểm của $CD$ ) .

Vì $G_{1}G_{2}//AB$ nên $G_{1}G_{2}//(ABD)$ và $G_{1}G_{2}//(ABC)$ .

Lại có $\frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{MG_{1}}{MB} = \frac{1}{3} = 0,33$
Câu 22: Nhận biết
Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11D.
Khoảng chiều cao (cm)
[150; 155)
[155; 160)
[160; 165)
[165; 170)
Số học sinh
12
13
9
10
Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm?
- A.
  $6$
- B.
  $5$
- C.
  $4$
- D.
  $8$
Quan sát bảng số liệu ta thấy mẫu số liệu có 4 nhóm.
Câu 23: Vận dụng

Cho $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5$ . Giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ight)}$ bằng

Đáp án: 1

Đáp án là:

Cho $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5$ . Giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ight)}$ bằng

Đáp án: 1

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5$ nên $f(x) - 10\overset{x ightarrow 1}{ightarrow}5(x - 1)$ hay $f(x)\overset{x ightarrow 1}{ightarrow}5x + 5$

Do đó

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{5x + 5 - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{4(5x + 5) + 9} + 3 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{5(x - 1)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{(x - 1)\left( \sqrt{20x + 29} + 3 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{5\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{\left( \sqrt{20x + 29} + 3 ight)} = 1$ .
Câu 24: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.$ . Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

a) $\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2$ . Sai||Đúng

b) $\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.$ . Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

a) $\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2$ . Sai||Đúng

b) $\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ . Đúng||Sai

a) Sai

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( - \frac{x}{2} ight) = 0$ .

b) Sai

$\lim_{x ightarrow 3}f(x) = \lim_{xightarrow 3}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) =\frac{1}{4}$ .

c) Đúng

$\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( 1 - \frac{3}{x + 1} ight) = 1$ .

d) Đúng

Ta có:

$f(1) = - \frac{1}{2}$ và $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( - \frac{x}{2} ight) = - \frac{1}{2}$ .

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = - \frac{1}{2}$ .

Vậy $f(1) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x)$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ .
Câu 25: Thông hiểu
Với giá trị nào của x và y thì các số -7; x; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng?
- A.
  x = 1; y = 21
- B.
  x = 2; y = 20
- C.
  x = 3; y = -19
- D.
  x = 4; y = 18
Ta có:
Các số -7; x; 11 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng
=> $- 7 + 11 = 2.x \Rightarrow x = 2$
Tương tự các số 2; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng
=> $2 + y = 2.11 \Rightarrow y = 20$
Vậy x = 2; y = 20
Câu 26: Nhận biết
Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số $y = \sin 3x$ và $y = \sin x$ bằng nhau?
- A. $\left[ \begin{gathered} x = k2\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- B. $\left[ \begin{gathered} x = k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- C. $x = k\frac{\pi }{4} \, \, \, \left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- D. $x = k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Xét phương trình hoành độ giao điểm: sin 3x = sin x
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 3x = x + k2\pi \hfill \\ 3x = \pi - x + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Câu 27: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 28: Vận dụng
Tìm tập xác định D của hàm số $y = \tan\left( \frac{\pi}{2}.cosx ight)$
- A.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ -\frac{\pi}{2} + k\pi,k\in\mathbb{ Z} ight\}$
- B.
  $D=\mathbb{ R}$
- C.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi,k\in\mathbb{ Z} ight\}$
- D.
  $D=\mathbb{R}\backslash\left\{k\pi,k\in\mathbb{ Z} ight\}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi

$\begin{matrix}\dfrac{\pi}{2}.cosx eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\\cos x eq 1 + 2k(*) \\\end{matrix}$

Do k là số nguyên => $\cos x eq \pm 1\Rightarrow \sin x eq 0 \Rightarrow x eq k\pi,k \in\mathbb{Z}$

Vậy tập xác định $D\mathbb{=R}\backslash\left\{ k\pi,k\in\mathbb{ Z} ight\}$
Câu 29: Nhận biết
Hàm số nào không liên tục tại $x = 2$ ?
- A.
  $y = \sqrt{x + 2}$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$
- D.
  $y = x^{2} - 3x + 2$
Ta có hàm số $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$ không xác định tại $x = 2$ nên hàm số không liên tục tại $x = 2$

NB
Câu 30: Thông hiểu
Giá trị của giới hạn $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)$ là:
- A.
  $-\frac{1}{2}$
- B.
  0
- C.
  1
- D.
  $-\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight) \hfill \\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} = \lim \dfrac{{{n^2} - n + 1 - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{ - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + n}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\left( { - 1 + \dfrac{1}{n}} ight)}}{{n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + 1} ight)}} = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 31: Nhận biết
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = 2;d = - 3$ . Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:
- A.
  $S_{10} = 115$
- B.
  $S_{10} = - 155$
- C.
  $S_{10} = - 115$
- D.
  $S_{10} = 155$
Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

$S_{10} = \frac{10}{2}\left( 2u_{1} + 9d ight) = 5(4 - 27) = - 115$
Câu 32: Vận dụng
Phương trình $\sin 2x = \frac{1}{2}$ có bao nhiêu nghiệm trên khoảng $\left( {0;\frac{{15\pi }}{2}} ight)$ ?
- A. 18
- B. 16
- C. 14
- D. 12
Ta có: $\sin 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \frac{\pi }{6}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ 2x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
* Trường hợp 1: $x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi$ , $\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Vì $0 < x < \frac{{15\pi }}{2} \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi }{{12}} + k\pi < \frac{{15\pi }}{2}$
$\Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{89}}{{12}}\mathop \Rightarrow \limits^{k \in \mathbb{Z}} k = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7} ight\}$ .
Vậy có tất cả 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 1 có 8 nghiệm là:
$x = \frac{\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{13\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{25\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{37\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{49\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{61\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{73\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{85\pi }{{12}}$ .
* Trường hợp 2: $x = \frac{5\pi }{{12}} + k\pi$ , $\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Vì $0 < x < \frac{{15\pi }}{2} \Leftrightarrow 0 < \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi < \frac{{15\pi }}{2}$
$\Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} < k < \frac{{85}}{{12}}\mathop \Rightarrow \limits^{k \in \mathbb{Z}} k = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7} ight\}$ .
Vậy có tất cả 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 2 có 8 nghiệm là:
$x = \frac{5\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{17\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{29\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{41\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{53\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{65\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{77\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{89\pi }{{12}}$ .
Vậy trên khoảng $\left( {0;\frac{{15\pi }}{2}} ight)$ phương trình đã cho có tất cả là 16 nghiệm.
Câu 33: Vận dụng cao
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y = 1 - 2|cos3x|.$
- A.
  $M = 3,\ m = - 1.$
- B.
  $M = 1,\ m = -1.$
- C.
  $M = 2,\ m = - 2.$
- D.
  $M = 0,\ m = - 2.$
Ta có
$\begin{matrix}- 1 \leq cos3x \leq 1 \hfill \\ \Rightarrow 0 \leq |cos3x| \leq 1 \hfill \\ \Rightarrow 0 \geq - 2|cos3x| \geq - 2 \hfill\\\end{matrix}$
$\begin{matrix}\Rightarrow 1 \geq 1 - 2|cos3x| \geq - 1 \\\Rightarrow 1 \geq y \geq - 1 \hfill\\\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}M = 1 \\m = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \hfill \\\end{matrix}$
Câu 34: Nhận biết
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = - 2;q = - 5$ . Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
- A.
  $- 2;10;50; - 250$
- B.
  $- 2;10; - 50;250$
- C.
  $- 2; - 10; - 50; - 250$
- D.
  $- 2;10;50;250$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ q = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{2} = u_{1}q = 10 \\ u_{3} = u_{1}q^{2} = - 50 \\ u_{4} = u_{1}q^{3} = 250 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 35: Thông hiểu
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng có tâm lần lượt là I và J. Chọn

khẳng định sai.
- A.
  IJ / / (ADF)
- B.
  IJ / / DF
- C.
  IJ / / (CEB)
- D.
  IJ / / AD
Hình vẽ minh họa

Do $I$ và $J$ là trung điểm của $BD$ và $BF$ , nên $IJ//DF$ mà $DF \subset (ADF) \Rightarrow IJ//(ADF)$ , suy ra IJ / /(ADF) và IJ / / DF đúng.

Do $I$ và $J$ là trung điểm của $AC$ và $AE$ , nên $IJ//EC$ mà $EC \subset (CBE) \Rightarrow IJ//(CEB)$ , suy ra IJ / /(CEB) đúng.

Vậy IJ / / ADsai
Câu 36: Vận dụng
Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \pi x{\text{ khi }}\left| x ight| \leqslant 1} \\ {x + 1{\text{ khi }}\left| x ight| > 1} \end{array}} ight.$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
- B. Hàm số liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} ight)$ và $\left( { - 1; + \infty } ight)$
- C. Hàm số liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ; 1} ight)$ và $\left( { 1; + \infty } ight)$
- D. Hàm số gián đoạn tại $x = \pm 1$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sin \pi x} ight) = \sin \pi = 0} \end{array}} ight.$
=> Hàm số gián đoạn tại $x=1$
Ta lại có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x + 1} ight) = 0 \hfill \\ f\left( { - 1} ight) = \sin \left( { - \pi } ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\sin \pi x} ight) = \sin \left( { - \pi } ight) = 0} \end{array}} ight.$
=> Hàm số liên tục tại $x=-1$
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ; 1} ight)$ và $\left( { 1; + \infty } ight)$ .
Câu 37: Thông hiểu
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Gọi $I, J, K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC, ACC’, A’B’C’$ . Mặt phẳng nào sau đây song song với $(IJK)$ ?
- A.
  $(ABC)$
- B.
  $(A’BC’)$
- C.
  $(BB’C’)$
- D.
  $(AA’C)$
Hình vẽ minh họa
Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.
=> $\frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{AJ}}{{JN}} = 2$ (tính chất trọng tâm tam giác)
=> $IJ//MN(1)$
Xét mặt phẳng $(AA'EM)$ ta có: $\frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{A'K}}{{KE}} = 2$
=> $IK//ME$
Mà $ME //BB'$
=> $IK//BB'(2)$
Từ (1) và (2) => $(IJK)$ và $(BB'C)$ là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {IJK} ight) e \left( {BB'C'} ight)} \\ {IJ,IK \subset \left( {IJK} ight)} \\ {MN,BB' \subset \left( {BB'C'} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left( {IJK} ight)//\left( {BB'C'} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 38: Nhận biết
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg)
Số học sinh
[45; 50)
5
[50; 55)
12
[55; 60)
10
[60; 65)
6
[65; 70)
5
[70; 75)
8
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là:
- A.
  $75$
- B.
  $62$
- C.
  $46$
- D.
  $58$
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là:
$N = 5 + 12 + 10 + 6 + 5 + 8 = 46$

Câu 39: Vận dụng

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 155;\dfrac{N}{4} = 25;m = 15;f = 11 \\c = 160 - 155 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_{1} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{4} - might)}{f}.c = 155 + \frac{25 - 15}{11}.5 \approx 159,55$

$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ ba là:

$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c = 165 + \dfrac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$

$\Rightarrow \Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$

Câu 40: Nhận biết
Điều kiện xác định của hàm số $y = f\left( x ight) = \frac{{2\cos x - 1}}{{\sin x}}$
- A. $x e k\pi$
- B. $x e \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- C. $x e - \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- D. $x e k2\pi$
Điều kiện xác định của hàm số:
$\begin{matrix} \sin x e 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x e k\pi ,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 41: Thông hiểu
Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là 2x + 1 và 4x² - 1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là:
- A.
  $2x-1$
- B.
  $2x+1$
- C.
  $8x^3-4x^2-2x+1$
- D.
  $8x^3+4x^2-2x-1$
Ta có: $\frac{{4{x^2} - 1}}{{2x + 1}} = 2x - 1$
Vậy công sai của cấp số nhân là $2x - 1$
Vậy số hạng tiếp theo sẽ là: $\left( {4{x^2} - 1} ight)\left( {2x - 1} ight) = 8{x^3} - 4{x^2} - 2x + 1$
Câu 42: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về ''đường tròn lượng giác'' ?
- A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.
- B. Mỗi đường tròn có bán kính là một đường tròn lượng giác.
- C. Mỗi đường tròn có bán kính , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
- D. Mỗi đường tròn định hướng có bán kính , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
Mỗi đường tròn định hướng có bán kính $R =1$ , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
Câu 43: Thông hiểu
Phương trình nào cùng tập nghiệm với phương trình $\tan x = 1$
- A. $\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
- B. $\cot x = 1$
- C. ${\cot ^2}x = 1$
- D. $\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cot x.\tan x = 1} \\ {\tan x = 1} \end{array}} ight. \Rightarrow \cot x = \dfrac{1}{{\tan x}} = 1$
Vậy phương trình $\tan x = 1$ có cùng tập nghiệm với phương trình $\cot x = 1$
Câu 44: Nhận biết
Tính $\lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{- x^{2} + 5}{x - 3}$ .
- A.
  $- \infty$
- B.
  $+ \infty$
- C.
  $0$
- D.
  $- 1$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( { - {x^2} + 5} ight) = - 4 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 3} ight) = 0 \hfill \\ x - 3 > 0,\forall x > 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Do đó $\lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{- x^{2} + 5}{x - 3} = - \infty$
Câu 45: Nhận biết
Trên đường tròn bán kính 15dm, cho cung tròn có độ dài $l = 25\pi(dm)$ . Số đo của cung tròn đó là:
- A.
  $\frac{5\pi}{6}$
- B.
  $\frac{3}{5}$
- C.
  $\frac{10\pi}{3}$
- D.
  $\frac{5\pi}{3}$
Độ dài cung tròn là: $l = R.\alpha$

=> $\alpha = \frac{l}{R} = \frac{25\pi}{15} = \frac{5\pi}{3}$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 2 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

20 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Chiều cao (cm)	Số học sinh
[95; 105)	9
[105; 115)	13
[115; 125)	26
[125; 135)	30
[135; 145)	12
[145; 155)	10

Chiều cao đại diện	Số học sinh	Tích các giá trị
100	9	900
110	13	1430
120	26	3120
130	30	3900
140	12	1680
150	10	1500
Tổng	100	12530

Khoảng chiều cao (cm)	[150; 155)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)
Số học sinh	12	13	9	10

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8