Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho mặt phẳng $(\alpha)$ có các điểm $A \in (\alpha);B otin (\alpha)$ . Đường thẳng $t$ đi qua hai điểm $A;B$ . Khi đó giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $t$ có:
- A.
  Vô số điểm chung
- B.
  Đúng một điểm chung
- C.
  Ít nhất hai điểm chung
- D.
  Nhiều hơn một điểm chung
Giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $t$ có đúng một điểm chung.
Câu 2: Thông hiểu
Cho bảng số liệu thống kê sau: Số khách hàng đến mua cà phê mỗi buổi sáng tại quầy trong 2 tuần
Số khách hàng
[30; 40)
[40; 50)
[50; 60)
[60; 70)
Số ngày
5
3
2
4
Những ngày có không dưới 40 khách hàng đến mua cà phê chiếm bao nhiêu phần trăm?
- A.
  $52\%$
- B.
  $64\%$
- C.
  $58\%$
- D.
  $60\%$
Những ngày có không dưới 40 khách hàng đến mua cà phê là: 3 + 2 + 4 = 9 (khách hàng) chiếm $\frac{9.100\%}{14} \approx64\%$
Câu 3: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 4: Nhận biết
Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số nhân?
- A.
  $2;4;8;16;...$
- B.
  $1; - 1;1; - 1;...$
- C.
  $1^{2};2^{2};3^{2};4^{2};...$
- D.
  $a;a^{3};a^{5};a^{7};...,(a eq 0)$
Xét đáp án $1^{2};2^{2};3^{2};4^{2};...$ có $\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = 4 eq \frac{9}{4} = \frac{u_{3}}{u_{2}}$

=> Dãy số $1^{2};2^{2};3^{2};4^{2};...$ không phải là cấp số nhân.
Câu 5: Nhận biết
Giới hạn $L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  0
- C.
  1
- D.
  3
Sử dụng máy tính cầm tay ta được:

$L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2} = 3$
Câu 6: Thông hiểu
Cho tứ giác $ABCD$ có $O$ là giao điểm của $AC;BD$ . Lấy một điểm $S$ bất kì không thuộc $(ABCD)$ , một điểm $M$ bất kì thuộc cạnh $SC$ $(M eqS,M eq C)$ . Gọi $K$ là giao điểm của $SO$ và $AM$ . Khi đó giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $(ABM)$ là:
- A.
  Giao điểm của $SD;AB$
- B.
  Giao điểm của $SD;AM$
- C.
  Giao điểm của $SD;BK$
- D.
  Giao điểm của $SD;MK$
Hình vẽ minh họa
Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và ( ABM ).
Ta có B là điểm chung thứ nhất của (SBD) và ( ABM ).
Trong mặt phẳng ( ABCD) có $O = AC \capBD$
Trong mặt phẳng (SAC) có $K = AM \capSO$
Suy ra $BK = (SBD) \cap (ABM)$
Trong mặt phẳng (SBD) gọi $N = SD \capBK$ và do $BK \subset(ABM)$
$N = SD \cap (ABM)$
Câu 7: Nhận biết
Cho các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x.
- A.
  x = 7
- B.
  x = 10
- C.
  x = 11
- D.
  x = 12
Ta có: d = 6 - 1 = 5
Các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
=> x = 6 + 5 = 11
Vậy x = 11
Câu 8: Nhận biết
Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Có bao nhiêu đường thẳng chứa cạnh của hình lập phương chéo nhau với đường thẳng chứa đường chéo $AC_{1}$ của hình lập phương?
- A.
  $6$
- B.
  $4$
- C.
  $8$
- D.
  $5$
Hình vẽ minh họa

Có 6 đường thẳng là $BB_{1},DD_{1},A_{1}D_{1},A_{1}B_{1},CB,CD$ .
Câu 9: Nhận biết
Cho dãy xác định bởi công thức $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ . Số hạng tổng quát của dãy u_n là?
- A.
  $u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}}$
- B.
  $u_{n} = \frac{3}{2^{n}}$
- C.
  $u_{n} = \frac{3}{2^{n} + 1}$
- D.
  $u_{n} = \frac{3}{2^{n} - 1}$
Ta có $u_{1} = 3;u_{2} = \frac{1}{2}u_{1} = \frac{3}{2};u_{3} = \frac{1}{2}u_{2} = \frac{3}{2^{2}};\ldots$

Ta đi chứng minh cho dãy số có số hạng tổng quát là $u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}}$

Thật vậy, n = 1 thì u₁ = 3 (đúng).

Giả sử với n = k(k≥1) thì $u_{k} = \frac{3}{2^{k - 1}}$ . Ta đi chứng minh $u_{k + 1} = \frac{3}{2^{k}}$

Ta có $u_{k + 1} = \frac{1}{2}u_{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2^{k - 1}} = \frac{3}{2^{k}}$ (điều phải chứng minh).

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là $u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}}$
Câu 10: Thông hiểu
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 3;q = - 2$ . Số $192$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
- A.
  Số hạng thứ 5
- B.
  Số hạng thứ 6
- C.
  Số hạng thứ 7
- D.
  Số hạng thứ 8
Ta có:

$u_{n} = 192$

$\Rightarrow u_{1}.q^{n - 1} = 192$

$\Rightarrow 3.2^{n - 1} = 192$

$\Rightarrow ( - 1)^{n - 1}.2^{n - 1} = 64$

$\Rightarrow n = 7$
Câu 11: Vận dụng
Tính giới hạn $\lim\sqrt{2.3^{n} - n + 2}$ .
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $+ \infty$
Ta có:

$\begin{matrix} \lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} \hfill \\ = \lim \sqrt {{3^n}} \sqrt {2 - \dfrac{n}{{{3^n}}} + 2.{{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)}^n}} \hfill \\ \end{matrix}$

Vì $\left\{ \begin{matrix}\lim\sqrt{3^{n}} = + \infty \\0 \leq \dfrac{n}{3^{n}} \leq \dfrac{n}{C_{2}^{n}} = \dfrac{2}{n - 1}ightarrow 0 \Rightarrow \lim\dfrac{n}{3^{n}} = 0 \\\lim\left( \dfrac{1}{3} ight)^{n} = 0 \\\end{matrix} ight.$ nên $\left\{\begin{matrix}\lim\sqrt{3^{n}} = + \infty \\\lim\sqrt{2 - \dfrac{n}{3^{n}} + 2\left( \dfrac{1}{3} ight)^{n}} =\sqrt{2} > 0 \\\end{matrix} ight.$

Do đó $\lim\sqrt{2.3^{n} - n + 2} = + \infty$
Câu 12: Nhận biết
Cho các mệnh đề:

1) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ và $f(a).f(b) < 0$ thì tồn tại $x_{0} \in (a;b)$ sao cho $f\left( x_{0} ight) = 0$ .

2) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm.

3) Nếu hàm số $y = f(x)$ đơn điệu trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất trên $(a;b)$ .

Trong các mệnh đề trên:
- A.
  Có đúng hai mệnh đề sai
- B.
  Cả ba mệnh đề đúng
- C.
  Cả ba mệnh đề đều sai
- D.
  Có đúng một mệnh đề sai
Theo tính chất hàm số liên tục thì

1) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ và $f(a).f(b) < 0$ thì tồn tại $x_{0} \in (a;b)$ sao cho $f\left( x_{0} ight) = 0$ . Mệnh đề sai.

2) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm. Mệnh đề đúng.

3) Nếu hàm số $y = f(x)$ đơn điệu trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất trên $(a;b)$ . Mệnh đề đúng.
Câu 13: Thông hiểu
Phương trình $\sin \left( {\frac{\pi }{6} + x} ight) = \cos 2x$ có nghiệm là
- A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} ight.$
- B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x =- \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} ight.$
- C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = -\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = -\dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} ight.$
- D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x =- \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} ight.$
Giải phương trình:
$\begin{matrix} \sin \left( {\dfrac{\pi }{6} + x} ight) = \cos 2x \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \left( {\dfrac{\pi }{6} + x} ight) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - 2x} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{\pi }{6} + x = \dfrac{\pi }{2} - 2x + k2\pi } \\ {\dfrac{\pi }{6} + x = \pi - \left( {\dfrac{\pi }{2} - 2x} ight) + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ { - x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \\ {x = - \dfrac{\pi }{3} + k'2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Câu 14: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với cạnh bên $BC = 2$ , đáy $AB = 6;DC = 4$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $\left( {ABCD} ight)$ và cắt các cạnh $SA$ tại M sao cho $\frac{{SA}}{{SM}} = 3$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi $(P)$ và hình chóp $S.ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với cạnh bên $BC = 2$ , đáy $AB = 6;DC = 4$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $\left( {ABCD} ight)$ và cắt các cạnh $SA$ tại M sao cho $\frac{{SA}}{{SM}} = 3$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi $(P)$ và hình chóp $S.ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 15: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin(2018a) =2018\sin a.\cos a$
- B.
  $\sin(2018a) =2018\sin(1009a).\cos(1009a)$
- C.
  $\sin(2018a) =2\sin a.\cos a$
- D.
  $\sin(2018a) =2\sin(1009a).\cos(1009a)$
Ta có:

$\sin(2018a) =2\sin(1009a).\cos(1009a)$
Câu 16: Thông hiểu
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để ba số $a^{4};a^{2};3a^{2} - 9$ lập thành một cấp số cộng?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Để ba số $a^{4};a^{2};3a^{2} - 9$ lập thành một cấp số cộng thì $a^{4} + 3a^{2} - 9 = 2a^{2}$

Đặt $t = a^{2};(t \geq 0)$ phương trình trở thành

$t^{2} + t - 9 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = \dfrac{- 1 + \sqrt{37}}{2} \\t = \dfrac{- 1 - \sqrt{37}}{2}(l) \\\end{matrix} ight.$

Với $t = \frac{- 1 + \sqrt{37}}{2} \Rightarrow a = \pm \sqrt{\frac{- 1 + \sqrt{37}}{2}}$

Do $a\mathbb{\in Z}$ vậy không có giá trị nào của a thỏa mãn yêu cầu để bài.

Câu 17: Vận dụng

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Ta có: $N = 46$

Cân nặng (kg)	Giá trị đại diện	Số học sinh
[45; 50)	47,5	5
[50; 55)	52,5	12
[55; 60)	57,5	10
[60; 65)	62,5	6
[65; 70)	67,5	5
[70; 75)	72,5	8

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:

$\overline{x} = \frac{47,5.5 + 52,5.12 + 57,5.10 + 62,5.6 + 67,5.5 + 72,5.8}{46} \approx 59,46(kg)$

Nhóm chứa mốt là: [50; 55) suy ra $50 \leq M_{e} < 55$ .

Ta có:

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)

Cân nặng (kg)	Số học sinh	Tần số tích lũy
[45; 50)	5	5
[50; 55)	12	17
[55; 60)	10	27
[60; 65)	6	33
[65; 70)	5	38
[70; 75)	8	46

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$

$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 - 5}{12}.5 \approx 53$

Câu 18: Vận dụng cao
Tìm tất cả các giá trị nguyên của a thuộc (0; 2018) để $\lim\sqrt[4]{\dfrac{4^{n} + 2^{n + 1}}{3^{n} + 4^{n+ a}}} \leq \dfrac{1}{1024}$
- A.
  $2007$
- B.
  $2008$
- C.
  $2017$
- D.
  $2016$
Ta có:

$\lim\sqrt[4]{\dfrac{4^{n} + 2^{n +1}}{3^{n} + 4^{n + a}}} = \lim\sqrt[4]{\dfrac{1 + 2\left( \dfrac{1}{2}ight)^{n}}{\left( \dfrac{3}{4} ight)^{n} + 4^{n}}}$

$\begin{matrix} = \sqrt {\dfrac{1}{{{4^a}}}} = \sqrt {\dfrac{1}{{{{\left( {{2^a}} ight)}^2}}}} = \dfrac{1}{{{2^a}}} \leqslant \dfrac{1}{{1024}} \hfill \\ \Leftrightarrow {2^a} \geqslant 1024 = {2^{10}} \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant 10 \hfill \\ \end{matrix}$

Mà $\left\{ \begin{matrix} a \in (0;2018) \\ a\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a \in \left\{ 10;11;...;2017 ight\}$

Vậy có tất cả 2008 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 19: Nhận biết
Gọi S là tập nghiệm của phương trình $2\cos x - \sqrt 3 = 0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A. $\frac{{5\pi }}{6} \in S$
- B. $\frac{{11\pi }}{6} \in S$
- C. $\frac{{13\pi }}{6} \in S$
- D. $-\frac{{13\pi }}{6} \in S$
Ta có $2\cos x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Nhận thấy với nghiệm $x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \xrightarrow{{k = 1}}x = \frac{{11\pi }}{6} \in S$ .
Câu 20: Vận dụng
Cho hàm số $f(x) = x^{3} - 3x - 1$ . Số nghiệm của phương trình $f(x) = 0$ trên tập số thực là:
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Hàm số $f(x) = x^{3} - 3x - 1$ là hàm đa thức có tập xác định $\mathbb{R}$

=> Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

=> Hàm số liên tục trên các khoảng $( - 2; - 1),( - 1;0),(0;2)$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = - 3 < 0 \\ f( - 1) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f( - 2).f( - 1) < 0$ vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên $( - 2; - 1)$

$\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = 1 > 0 \\ f(0) = - 1 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f( - 1).f(0) < 0$ vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên $( - 1;0)$

$\left\{ \begin{matrix} f(0) = - 1 < 0 \\ f(2) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(2) < 0$ vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên $(0;2)$

Vậy phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng $( - 2;2)$ . Tuy nhiên phương trình $f(x) = 0$ là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có đúng ba nghiệm.
Câu 21: Vận dụng
Đồ thị hàm số $y = \sin x$ được suy ra từ đồ thị C của hàm số y = cosx + 1 bằng cách:
- A.
  Tịnh tiến C qua trái một đoạn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$ và lên trên một đơn vị
- B.
  Tịnh tiến C qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$ và lên trên một đơn vị
- C.
  Tịnh tiến C qua trái một đoạn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$ và xuống dưới một đơn vị
- D.
  Tịnh tiến C qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$ và xuống dưới một đơn vị
Ta có: $y = \sin x = \cos\left( \frac{\pi}{2} - x ight) = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} ight)$

Tịnh tiến đồ thị y = cosx + 1 sang phải $\frac{\pi}{2}$ ta được đồ thị hàm số $y = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} ight) + 1$

Tiếp theo tịnh tiến đồ thị $y = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} ight) + 1$ xuống dưới một đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} ight)$

VD

0
Câu 22: Thông hiểu
Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Một mặt phẳng $(\alpha)$ qua $O$ , song song với $SA,CD$ . Thiết diện tạo bởi $(\alpha)$ và hình chóp là hình gì?
- A.
  Hình thang.
- B.
  Hình thang cân.
- C.
  Hình tam giác.
- D.
  Ngũ giác.
Hình vẽ minh họa

Do (a) // CD nên giao tuyến d = (a) ∩ (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với CD. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của d với BC,AD.

Do (a) // SA nên giao tuyến a = (a) ∩ (SAB) là đường thẳng qua H và song song với SA.

Gọi I là giao điểm của a với SD.

Do (a) // CD nên giao tuyến b = (a) ∩ (SCD) là đường thẳng qua I và song song với CD.

Gọi J lần lượt là giao điểm của b với SC.

Vậy thiết diện tạo bởi (a) và hình chóp là hình thang GHIJ vì GH // IJ //CD.
Câu 23: Thông hiểu
Cho $m,n$ là hai đường thẳng phân biệt và mặt phẳng $(\alpha)$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} m ⊄ (\alpha) \\ m\bot n \\ n \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m\bot(\alpha)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} m\bot n \\ n\bot(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m\bot(\alpha)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} m \cap (\alpha) = H \\ n \cap (\alpha) = H \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \cap n = H$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} m\bot n \\ m \cap (\alpha) = P \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow n \cap (\alpha) = P$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} m ⊄ (\alpha) \\ m\bot n \\ n \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m\bot(\alpha)$ sai vì đường vuông góc với mặt điều kiện cần và đủ là vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.

$\left\{ \begin{matrix} m\bot n \\ n\bot(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m\bot(\alpha)$ sai trong trường hợp

$\left\{ \begin{matrix} m \cap (\alpha) = H \\ n \cap (\alpha) = H \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \cap n = H$ đúng vì là hai đường thẳng phân biệt.

$\left\{ \begin{matrix} m\bot n \\ m \cap (\alpha) = P \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow n \cap (\alpha) = P$ sai vì đường thẳng hoặc
Câu 24: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x - 2 & \ khi\ x < - 1 \\ \sqrt{x^{2} + 1} & \ khi\ x \geq - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó:

a) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 2}f(x) = \sqrt{5}$ . Sai||Đúng

b) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) = - 3$ . Đúng||Sai

c) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = \sqrt{2}$ . Đúng||Sai

d) Hàm số tồn tại giới hạn khi $x ightarrow - 1$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x - 2 & \ khi\ x < - 1 \\ \sqrt{x^{2} + 1} & \ khi\ x \geq - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó:

a) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 2}f(x) = \sqrt{5}$ . Sai||Đúng

b) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) = - 3$ . Đúng||Sai

c) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = \sqrt{2}$ . Đúng||Sai

d) Hàm số tồn tại giới hạn khi $x ightarrow - 1$ . Sai||Đúng

a) Ta có: Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 2}f(x) = - 4$

b) Xét dãy số $\left( x_{n} ight)$ bất kì sao cho $x_{n} < - 1$ và $x_{n} ightarrow - 1$ , ta có: $f\left( x_{n} ight) = x_{n} - 2$ .

Khi đó: $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) = \lim f\left( x_{n} ight) = - 1 - 2 = - 3$ .

c) Xét dãy số $\left( x_{n} ight)$ bất kì sao cho $x_{n} > - 1$ và $x_{n} ightarrow - 1$ , ta có: $f\left( x_{n} ight) = \sqrt{x_{n}^{2} + 1}$ .

Khi đó: $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = \lim f\left( x_{n} ight) = \sqrt{( - 1)^{2} + 1} = \sqrt{2}$ .

d) Vì $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x)$ (hay $- 3 eq \sqrt{2}$ ) nên không tồn tại $\lim_{x ightarrow - 1}f(x)$ .

Kết luận:

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai
Câu 25: Thông hiểu
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm được ghi trong bảng dưới đây:
Khoảng
Tần số
Nhỏ hơn 10
10
Nhỏ hơn 20
20
Nhỏ hơn 30
30
Nhỏ hơn 40
40
Nhỏ hơn 50
50
Nhỏ hơn 60
30
Tính giá trị tứ phân vị thứ nhất.
- A.
  $Q_{1} = 41$
- B.
  $Q_{1} = 32$
- C.
  $Q_{1} = 25$
- D.
  $Q_{1} = 30$
Ta có:
Nhóm dữ liệu
Tần số
Tần số tích lũy
(0; 10]
10
10
(10; 20]
20
30
(20; 30]
30
60
(30; 40]
50
110
(40; 50]
40
150
(50; 60]
30
180
Tổng
N = 180

Ta có: $\frac{N}{4} = \frac{180}{4} =45$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: $(20; 30]$
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 20;\dfrac{N}{4} = 45 \\m = 30,f = 30,d = 10 \\\end{matrix} ight.$
Tứ phân vị thứ nhất là:
$Q_{1} = l + \dfrac{\dfrac{N}{4} -m}{f}.d$
$\Rightarrow Q_{1} = 20 + \frac{45 -30}{30}.10 = 25$
Câu 26: Vận dụng
Số nghiệm của phương trình $\sin 5x + \sqrt 3 \cos 5x = 2\sin 7x$ trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} ight)$ là?
- A. 2
- B. 1
- C. 3
- D. 4
Phương trình $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 5x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 5x = \sin 7x$
$\Leftrightarrow \sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} ight) = \sin 7x$
$\Leftrightarrow \sin 7x = \sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} ight)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 7x = 5x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ 7x = \pi - \left( {5x + \frac{\pi }{3}} ight) + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k\pi }}{6} \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).$
Với $0 < \frac{\pi }{6} + k\pi < \frac{\pi }{2}$
$\Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{3}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = 0 \to x = \frac{\pi }{6}$
Với $0 < \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{6} < \frac{\pi }{2}$
$\Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{8}{3}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}\left[ \begin{gathered} k = 0 \to x = \frac{\pi }{{18}} \hfill \\ k = 1 \to x = \frac{{2\pi }}{9} \hfill \\ k = 2 \to x = \frac{{7\pi }}{{18}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn.
Câu 27: Vận dụng
Công bội nguyên dương của cấp số nhân $(u_{n})$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}u_{1}+u_{2}+u_{3}=14\\ u_{1}u_{2}u_{3}=64\end{matrix}ight.$ là:
- A.
  3
- B.
  2
- C.
  1
- D.
  0
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_2} + {u_3} = 14} \\ {{u_1}{u_2}{u_3} = 64} \end{array}} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 14} \\ {{u_2}.{{\left( {{u_2}} ight)}^2} = 64} \end{array}} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 14} \\ {{{\left( {{u_2}} ight)}^3} = 64} \end{array}} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 14} \\ {{u_2} = 4} \end{array}} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.{q^2} = 10} \\ {{u_1}.q = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.{q^2} = 10} \\ {{u_1}.q = 4} \end{array}} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 2} \\ {q = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.} \\ {{u_1}.q = 4} \end{array}} ight.$
Câu 28: Thông hiểu
Tính giới hạn $F =\lim_{x ightarrow \frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{x -\dfrac{\pi}{2}}$
- A.
  $F = - 1$
- B.
  $F = 1$
- C.
  $F = 0$
- D.
  $F = \frac{\pi}{2}$
Ta có:

$F = \lim_{x ightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{x - \dfrac{\pi}{2}} = \lim_{x ightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin\left( \dfrac{\pi}{2} - x ight)}{x -\dfrac{\pi}{2}}$

$= \lim_{x ightarrow \frac{\pi}{2}}\dfrac{- \sin\left( x- \dfrac{\pi}{2} ight)}{x - \dfrac{\pi}{2}} = - 1$
Câu 29: Thông hiểu
Tập giá trị của hàm số $y = {\sin ^2}x - \sin x - 1$ là:
- A. $\left[1,2ight]$
- B. $\left[-1,2ight]$
- C. $\left[\frac{3}{4},1ight]$
- D. $\left[-\frac{5}{4},1ight]$
Ta có: $y = {\sin ^2}x + \sin x + 1 = {\left( {\sin x - \frac{1}{2}} ight)^2} - \frac{5}{4}$
Mà $\sin x \in \left[ { - 1;1} ight]$
=> $- \frac{5}{4} \leqslant {\left( {\sin x - \frac{1}{2}} ight)^2} - \frac{5}{4} \leqslant 1$
Câu 30: Nhận biết
Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11D.
Khoảng chiều cao (cm)
[145; 150)
[150; 155)
[155; 160)
[160; 165)
[165; 170)
Số học sinh
6
12
13
9
10
Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm?
- A.
  $6$
- B.
  $5$
- C.
  $12$
- D.
  $10$
Quan sát bảng số liệu ta thấy mẫu số liệu có 5 nhóm.
Câu 31: Thông hiểu
Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  Phép chiếu song song biến đường trung bình tam giác thành đường trung bình tam giác ảnh.
- B.
  Phép chiếu song song biến đường trung bình hình thang thành đường trung bình hình thang ảnh.
- C.
  Phép chiếu song song biến đường trung tuyến tam giác thành đường trung tuyến tam giác ảnh.
- D.
  Phép chiếu song song có thể biến đường trung tuyến tam giác thành đường thẳng không phải là trung tuyến tam giác ảnh.
Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến đường trung tuyến tam giác thành đường thẳng không phải là trung tuyến tam giác ảnh."
Câu 32: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ . Các cạnh $AC,BD,AB,CD,AD,BC$ có trung điểm lần lượt là $M,N,P,Q,R,S$ . Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?
- A.
  $M,N,P,Q$
- B.
  $M,R,S,N$
- C.
  $P,Q,R,S$
- D.
  $M,P,R,S$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$MP // BC // NQ$ , $MP = \frac{1}{2}BC = NQ$

=> MPNQ là hình bình hành

=> $M, N, P, Q$ thuộc một mặt phẳng.

$MR // CD // SN$ , $MR = \frac{1}{2}CD = SN$

=> MRNS là hình bình hành

=> $M, R, S, N$ thuộc một mặt phẳng.

$PS // AC // RQ$ , $PS = \frac{1}{2}AC = RQ$

=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.

Vậy $M,P,R,S$ không thuộc cùng một mặt phẳng.
Câu 33: Vận dụng cao
Tổng $S ={4.5}^{100} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}+ \ldots + \frac{1}{5^{100}} ight) + 1$ có kết quả bằng?
- A.
  5¹⁰⁰ − 1
- B.
  5¹⁰⁰
- C.
  5¹⁰¹ − 1
- D.
  5¹⁰¹
Đặt $M = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} +\frac{1}{5^{3}} + \ldots + \frac{1}{5^{100}}$
$\Rightarrow 5M - M = \left( 1 +\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{99}} ight) -\left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}\ldots +\frac{1}{5^{100}} ight)$
$= 1 - \frac{1}{5^{100}}$
$\Rightarrow 4M = 1 - \frac{1}{5^{100}}\Rightarrow M = \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}}$
$\Rightarrow S = {4.5}^{100} \cdot\frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} + 1 = 5^{100}$
Câu 34: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD$ và $M$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $BM = 2MC$ . Đường thẳng $MG$ song song với
- A.
  $(ACD)$
- B.
  $(ABD)$
- C.
  $(ABC)$
- D.
  $(BCD)$
Hình vẽ minh họa

Gọi E là trung điểm của AD. Do G là trọng tâm của tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho $BM = 2MC$ nên trong mặt phẳng (BCE) ta có:

$\frac{BG}{BE} = \frac{BM}{BC} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow MG//CE \subset (ACD)$

$\Rightarrow MG//(ACD)$
Câu 35: Vận dụng cao
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y =4sin^{2}x + \sqrt{2}\sin\left( 2x + \frac{\pi}{4} ight).$
- A.
  $M = \sqrt{2}.$
- B.
  $M = \sqrt{2} - 1.$
- C.
  $M = \sqrt{2} + 1.$
- D.
  $M = \sqrt{2} +2.$
Ta có
$\begin{matrix}y = 4sin^{2}x + \sqrt{2}\sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{4} ight) \\= 4\left( \dfrac{1 - cos2x}{2} ight) + sin2x + cos2x \\\end{matrix}$
$= sin2x - cos2x + 2 = \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4} ight) + 2.$
Mà $- 1 \leq \sin\left( 2x - \frac{\pi}{4}ight) \leq 1$
$\Rightarrow - \sqrt{2} + 2 \leq\sqrt{2}\sin\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight) + 2 \leq \sqrt{2} +2$ .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $2 +\sqrt{2}.$
Câu 36: Thông hiểu
Trong một mẫu dữ liệu ghép nhóm có nhóm (0; 10]; (10; 20]; … độ dài một nhóm là 10. Khi đó giới hạn dưới của mẫu thuộc vào nhóm thứ tư là:
- A.
  $40$
- B.
  $50$
- C.
  $20$
- D.
  $30$
Theo cách chia nhóm như đề bài đã cho ta có được các nhóm như sau:
(0; 10]; (10; 20]; (20; 30]; (30; 40]; …
Mẫu nhóm thứ tư là (30; 40]
=> Giới hạn dưới của nhóm thứ tư là 30.
Câu 37: Nhận biết
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg)
Số học sinh
[45; 50)
5
[50; 55)
12
[55; 60)
10
[60; 65)
6
[65; 70)
5
[70; 75)
8
Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $70 \leq M_{e} <75$
- B.
  $50 \leq M_{e} < 55$
- C.
  $60 \leq M_{e} <65$
- D.
  $65 \leq M_{e} <70$
Ta có: $N = 46$
Cân nặng (kg)
Số học sinh

[45; 50)
5
$f_{0}$
[50; 55)
12
$f_{1}$
[55; 60)
10
$f_{2}$
[60; 65)
6

[65; 70)
5

[70; 75)
8

=> Nhóm chứa mốt là: [50; 55)
Câu 38: Nhận biết
Hàm số $y = \frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}$ xác định khi và chỉ khi:
- A. $x e \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- B. $x e - \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- C. $x e \frac{\pi }{2} + k\pi$
- D. $x e - \frac{\pi }{2} + k\pi$
Điều kiện các định:
$\begin{matrix} 1 + \sin x e 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin x e - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow x e - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 39: Thông hiểu
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
- A.
  Tam giác
- B.
  Tứ giác
- C.
  Lục giác
- D.
  Ngũ giác
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Câu 40: Nhận biết
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}}$ bằng:
- A.
  $-\infty$
- B.
  $\frac{3}{5}$
- C.
  $\frac{-2}{5}$
- D.
  0
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{3}{{{x^2}}} - \dfrac{2}{x}}}{{\dfrac{5}{{{x^2}}} + 3 + \dfrac{1}{{{x^6}}}}} = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 41: Nhận biết
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng $(AB'D')$ .
- A.
  $(BDA')$
- B.
  $(AC'C)$
- C.
  $(BDC')$
- D.
  $(BCA')$
Hình vẽ minh họa

Mặt phẳng $(AB’D’)$ song song với mặt phẳng $(BDC’)$ .

Vì $AB’//DC’$ và $AD’// BC’$ .
Câu 42: Thông hiểu
Cho dãy số $(u_{n})$ , biết ${u_n} = \frac{{n + 1}}{{2n + 1}}$ . Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?
- A.
  8
- B.
  6
- C.
  5
- D.
  7
Ta có:
$\begin{matrix} {u_k} = \dfrac{8}{{15}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{k + 1}}{{2k + 1}} = \dfrac{8}{{15}};\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 15\left( {k + 1} ight) = 8\left( {2k + 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 15k + 15 = 16k + 8 \hfill \\ \Leftrightarrow k = 7 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ 7 của dãy số.
Câu 43: Thông hiểu
Giá trị của $B = \lim\frac{4n^{2} + 3n + 1}{(3n - 1)^{2}\ }$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $- \frac{4}{9}$
- D.
  1
$B = \lim\frac{4n^{2} + 3n + 1}{(3n - 1)^{2}\ }$

$= \lim\frac{4n^{2} + 3n + 1}{{9n}^{2} -6n + 1 }$

$= \lim\frac{4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{9 -\frac{6}{n} + \frac{1}{n^{2}}} = - \frac{4}{9}$
Câu 44: Nhận biết
Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ mấy nếu $\sin\alpha;cos\alpha$ cùng dấu?
- A.
  Thứ II
- B.
  Thứ IV
- C.
  Thứ II hoặc IV
- D.
  Thứ I hoặc III
Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ I hoặc thứ III thì $\sin\alpha;cos\alpha$ cùng dấu
Câu 45: Vận dụng cao

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . Khi đó

a) $f( - 5) = 12$ ; $f(10) = 27$ . Đúng||Sai

b) $m > 0,\ \ n > 0$ . Sai||Đúng

c) $2m + n$ là số nguyên tố. Sai||Đúng

d) Giá trị lớn nhất của hàm số $y = m.\sin x+ n.\cos x$ là $\sqrt{12}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . Khi đó

a) $f( - 5) = 12$ ; $f(10) = 27$ . Đúng||Sai

b) $m > 0,\ \ n > 0$ . Sai||Đúng

c) $2m + n$ là số nguyên tố. Sai||Đúng

d) Giá trị lớn nhất của hàm số $y = m.\sin x+ n.\cos x$ là $\sqrt{12}$ . Sai||Đúng

a) Đúng.

Ta có : $f( - 5) = - 5 + 17 = 12$ , $f(10) = 10 + 17 = 27$ (mệnh đề a) đúng)

b) Sai.

Với $x < - 5$ ta có $f(x) = x^{2} + mx + n$ , là hàm đa thức nên liên tục trên $( - \infty; - 5)$ .

Với $- 5 < x < 10$ ta có $f(x) = x + 17$ , là hàm đa thức nên liên tục trên $(-5; 10)$ .

Với $x > 10$ ta có $f(x) = mx + n + 10$ , là hàm đa thức nên liên tục trên $(10 ;+\infty)$ .

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số phải liên tục tại $x = - 5$ và $x = 10$ .

Ta có:

$f( - 5) = 12$ ; $f(10) = 27$ .

$\lim_{x ightarrow - 5^{-}}f(x) =\lim_{x ightarrow - 5^{-}}\left( x^{2} + mx + n ight)$ $= - 5m + n + 25$ .

$\lim_{x ightarrow - 5^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow - 5^{+}}(x + 17) = 12$ .

$\lim_{x ightarrow 10^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{-}}(x + 17) = 27$ .

$\lim_{x ightarrow 10^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{+}}(mx + n + 10) = 10m + n + 10$ .

Hàm số liên tục tại $x = - 5$ và $x = 10$ khi

$\left\{ \begin{matrix}- 5m + n + 25 = 12 \\10m + n + 10 = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 5m + n = - 13 \\10m + n = 17 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 2 \ = - 3 \\\end{matrix} ight.$ (mệnh đề b) sai).

c) Sai.

Ta có $2m + n = 1$ không phải số nguyên tố (mệnh đề c) sai).

d) Sai.

Ta có: $y = m.sinx + n.cosx\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y = 2sinx - 3cosx$

Xét phương trình ẩn $x$ :

$2\sin x - 3\cos x = y$

$\Leftrightarrow \sin x.\frac{2}{\sqrt{13}} - \cos x.\frac{3}{\sqrt{13}} =\frac{y}{\sqrt{13}}$

$\Leftrightarrow \sin x.\cos\alpha - \cos x.\sin\alpha = \frac{y}{\sqrt{13}}$ , với $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$ .

$\Leftrightarrow \sin(x - \alpha) = \frac{y}{\sqrt{13}}$

Ta có

$\left| \sin(x - \alpha) ight| \leq 1$

$\begin{matrix} \Rightarrow \left| \frac{y}{\sqrt{13}} ight| \leq 1 \\ \Leftrightarrow - \sqrt{13} \leq y \leq \sqrt{13} \\ \end{matrix}$

Suy ra GTLN của $y$ bằng $\sqrt{13}$ khi $\sin(x - \alpha) = 1$ hay $x = \alpha + \frac{\pi}{2} + k2\pi$ , với $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$

Vậy khẳng định d) sai.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 3 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

37 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Số ngày	5	3	2	4

Khoảng	Tần số
Nhỏ hơn 10	10
Nhỏ hơn 20	20
Nhỏ hơn 30	30
Nhỏ hơn 40	40
Nhỏ hơn 50	50
Nhỏ hơn 60	30

Nhóm dữ liệu	Tần số	Tần số tích lũy
(0; 10]	10	10
(10; 20]	20	30
(20; 30]	30	60
(30; 40]	50	110
(40; 50]	40	150
(50; 60]	30	180
Tổng	N = 180

Khoảng chiều cao (cm)	[145; 150)	[150; 155)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)
Số học sinh	6	12	13	9	10