Lớp 12 Toán 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 12.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = x^{3} + \left( 1 + m^{2} ight)x + 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack 0;1brack không vượt quá 7. Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử là số nguyên?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = x^{3} + \left( 1 + m^{2} ight)x + 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack 0;1brack không vượt quá 7. Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử là số nguyên?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x + 2y + z - 2 = 0 và mặt cầu (S) tâm I(2;1; - 1) bán kính R = 2. Bán kính đường tròn giao của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) là:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi bán kính đường tròn giao của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) là r

    Ta có:

    h = d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 2.2 + 2.( - 1) - 1 - 2 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 1

    Suy ra r = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} + mx^{2} + (2m - 1)x - 1 đồng biến trên tập số thực?

    Ta có: y' = x^{2} + 2mx + 2m - 1

    Hàm số đồng biến trên \mathbb{R} khi

    y' \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2mx + 2m - 1

    \Leftrightarrow \Delta' \leq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 2m + 1 \leq 0 \Leftrightarrow m = 1

    Vậy có duy nhất một giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Biết {\log _2}3 = a;{\log _2}5 = b,  khi đó {\log _{15}}8 có giá trị là:

    Ta có:

    {\log _{15}}8 = {\log _{15}}{2^3} = 3{\log _{15}}2 = \frac{3}{{{{\log }_2}15}} = \frac{3}{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}} = \frac{3}{{a + b}}

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ \pm 2 ight\} và có bảng biến thiên như sau:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

    a) Hàm số không có điểm cực trị. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = + \infty. Sai||Đúng

    c) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận ngang. Đúng||Sai

    d) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ \pm 2 ight\} và có bảng biến thiên như sau:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

    a) Hàm số không có điểm cực trị. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = + \infty. Sai||Đúng

    c) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận ngang. Đúng||Sai

    d) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng. Sai||Đúng

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

    a) Hàm số không có điểm cực trị.

    b) lim \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = - 10.

    c) \lim_{x ightarrow \pm \infty}f(x) = 0. Suy ra đồ thị có đúng 1 đường tiệm cận ngang là y = 0.

    d) \lim_{x ightarrow ( - 2)^{+}}f(x) = + \infty và \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = + \infty nên đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận đứng x = \pm 2.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in\lbrack - 10;10brack để hàm số y= \left| x^{4} + 2mx^{3} + (3 - 3m)x^{2} - 2mx + 3m - 4 ight| có 7 điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in\lbrack - 10;10brack để hàm số y= \left| x^{4} + 2mx^{3} + (3 - 3m)x^{2} - 2mx + 3m - 4 ight| có 7 điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn AC=10a, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

      Thể tích của khối trụ

    Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; A\in (O), C \in (O') .

    Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' (D \in (O'), B \in (O). Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

    Do AC=10a,AD=8a\Rightarrow DC=6a..

    Gọi H là trung điểm của DC.

    \left\{\begin{matrix}O^\prime H\bot D C\\O^\prime H\bot A D\\\end{matrix}\Rightarrow O^\prime H\bot(ABCD)ight..

    Ta có O^\prime//(ABCD)\Rightarrow d\left(OO^\prime,ACight)=d\left(OO^\prime,(ABCD)ight)=O^\prime H=4a..

    Suy ra O^\prime H=4a,CH=3a\Rightarrow R=O^\prime C=5a..

    Vậy thể tích của khối trụ là V=\pi R^2h=\pi(5a)^28a=200\pi a^3.

  • Câu 8: Vận dụng

    Nghiệm bé nhất của phương trình {\log _2}^3x - 2{\log ^2}_2x = {\log _2}x - 2 là: 

     TXĐ: x>0

    PT \Leftrightarrow {\log _2}^3x - 2{\log _2}^2x = {\log _2}x - 2 

    \Leftrightarrow {\log _2}^3x - 2{\log _2}^2x - {\log _2}x + 2 = 0

    \Leftrightarrow {\log _2}^3x - {\log _2}x - 2{\log _2}^2x + 2 = 0

    \Leftrightarrow {\log _2}x({\log ^2}_2x - 1) - 2({\log ^2}_2x - 1) = 0

    \Leftrightarrow ({\log ^2}_2x - 1)({\log _2}x - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log ^2}_2x - 1 = 0 \hfill \\ {\log _2}x - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log _2}x = 1 \hfill \\ {\log _2}x = - 1 \hfill \\ {\log _2}x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = \frac{1}{2} \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow x = \frac{1}{2} là nghiệm nhỏ nhất.

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = {x^3} - 3x + 1. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f\left( {f\left( x ight)} ight) = f\left( 2 ight) là:

    Ta có: f\left( {f\left( x ight)} ight) = f\left( 2 ight) = 3

    Đồ thị của hàm số f\left( x ight) = {x^3} - 3x + 1 được minh họa bằng hình vẽ sau:

    Số nghiệm thực phân biệt của phương trình

    Từ đồ thị ta suy ra

    f\left( {f\left( x ight)} ight) = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = 2} \\ {f\left( x ight) = - 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} - 3x + 1 = 2} \\ {{x^3} - 3x + 1 = - 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} - 3x + 1 = 0\left( * ight)} \\ {{x^3} - 3x + 2 = 0\left( {**} ight)} \end{array}} ight.

    Phương trình (*) có 3 nghiệm thực

    Phương trình (**) có 2 nghiệm thực

  • Câu 10: Nhận biết

    Phương trình \log _2^{}x + {\log _2}(x - 1) = 1 có tập nghiệm là:

    {2} || T={2}

    Đáp án là:

    Phương trình \log _2^{}x + {\log _2}(x - 1) = 1 có tập nghiệm là:

    {2} || T={2}

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x - 1 > 0 \hfill \\ {\log _2}\left[ {x(x - 1)} ight] = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ {x^2} - x - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x = 2.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hàm số y = {\left( {{x^2} - 2x + 1} ight)^{\frac{1}{3}}}. Tập xác định của hàm số đã cho là:

    Điều kiện xác đinh: {x^2} - 2x + 1 > 0 \Rightarrow x e 1

    => Tập xác định của hàm số là: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên

     Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên như sau:

    Điểm cực đại của đồ thị hàm số là:

    Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là ( - 1;2).

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

    Bất phương trình có nghiêm đúng với khi và chỉ khi

    Bất phương trình f\left( x ight) < m + {x^2} - 2x có nghiêm đúng với \forall x \in \left( { - 2;2} ight) khi và chỉ khi :

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

    Bất phương trình có nghiêm đúng với khi và chỉ khi

    Bất phương trình f\left( x ight) < m + {x^2} - 2x có nghiêm đúng với \forall x \in \left( { - 2;2} ight) khi và chỉ khi :

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 15: Nhận biết

    Cho mặt cầu S(O;R) , A là một điểm ở trên mặt cầu (S) và (P) là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng 60^0. Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:

    Diện tích của đường tròn giao tuyến

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của (O) trên (P) thì

    ● H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

    ●\widehat {OA,\left( P ight)} = \widehat {\left( {OA,AH} ight)} = {60^0}

    Bán kính của đường tròn giao tuyến: r = HA = OA.\cos {60^0} = \frac{R}{2}.

    Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: \pi {r^2} = \pi {\left( {\frac{R}{2}} ight)^2} = \frac{{\pi {R^2}}}{4}.

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 9} ight){\left( {x - 4} ight)^2}. Khi đó hàm số y = f\left( {{x^2}} ight) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \left[ {f\left( {{x^2}} ight)} ight]\prime \hfill \\ = \left( {{x^2}} ight)'{x^4}\left( {x - 9} ight)\left( {{x^2} - 4} ight) \hfill \\ = 2{x^5}\left( {x - 3} ight)\left( {x - 3} ight){\left( {x - 2} ight)^2}.{\left( {x + 2} ight)^2} \hfill \\ y' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = \pm 2} \\ {x = \pm 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

    Dựa vào bảng xét dấu, hàm số y = f\left( {{x^2}} ight) nghịch biến trên các khoảng (-∞; -3) và (-0; 3)

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \frac{{a\sqrt {21} }}{6}. Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số \frac{R}{h} bằng:

     Tính tỉ số

    Gọi O là tâm \triangle ABC, suy ra SO \bot \left( {ABC} ight) và AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    Trong SOA, ta có h = SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{a}{2}

    Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:

    • I \in d nên IS =IA.
    • I \in SO nên IA=IB=IC.

    Do đó IA=IB=IC=IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

    Gọi M là tung điểm SA, ta có \Delta SMI\,\, \backsim \,\,\Delta SOA nên R = SI = \frac{{SM.SA}}{{SO}} = \frac{{S{A^2}}}{{2SO}} = \frac{{7{m{a}}}}{{12}}

    Vậy \frac{R}{h} = \frac{7}{6}.

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có đạo hàm f'\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight)\left( {x - 4} ight),\forall x \in \mathbb{R}. Hàm số g\left( x ight) = f\left( {3 - x} ight) có bao nhiêu điểm cực đại?

    Từ giả thiết ta có bảng biến thiên của hàm số f(x)

    Tinh số điểm cực đại của hàm số

    Ta có:

    g(x) = f(3 – x)

    => g’(x) = -f’(3 – x)

    Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta có:

    g'\left( x ight) \geqslant 0 \Leftrightarrow f'\left( {3 - x} ight) \leqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - x \leqslant 1} \\ {1 \leqslant 3 - x \leqslant 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 4} \\ { - 1 \leqslant x \leqslant 2} \end{array}} ight.

    => Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) là:

    Tinh số điểm cực đại của hàm số

    Từ bảng biến thiên ta nhận thấy hàm số g(x) có một điểm cực đại.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên bằng 3a^2

     

    Xét khối lăng trụ ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác đều và AA' \bot \left( {ABC} ight).

    Diện tích xung quanh lăng trụ là {S_{xq}} = 3.{S_{ABB'A'}}

    \Leftrightarrow 3{a^2} = 3.\left( {AA'.AB} ight) \Leftrightarrow 3{a^2} = 3.\left( {AA'.a} ight) \Rightarrow AA' = a

    Diện tích tam giác ABC là {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.

    Vậy thể tích khối lăng trụ là {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.

  • Câu 20: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:

    Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = 2R.

    Diện tích toàn phần là: {S_{tp}} = 2\pi R\left( {R + h} ight) = 6\pi {R^2} (đvdt).

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tổng độ dài \ell của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh a.

     

    Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là  \ell = 6a

  • Câu 22: Thông hiểu

    Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại y_{CÐ} và giá trị cực tiểu y_{CT} của hàm số y = x^{3} - 3x là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Lại có y'' = 6x \Rightarrow y''(1) = 6 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

    y''( - 1) = - 6 < 0 nên x = - 1 là điểm cực đại của hàm số.

    Do đó \left\{ \begin{matrix} y_{CÐ} = y( - 1) = 2 \\ y_{CT} = y(1) = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow y_{CT} + y_{CÐ} = 0.

  • Câu 23: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số y = \log {\left( {x - 2} ight)^2} là:

    Hàm số y = \log {\left( {x - 2} ight)^2} xác định nếu {\left( {x - 2} ight)^2} > 0 \Leftrightarrow x e 2

    Vậy tập xác định D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}

  • Câu 24: Vận dụng

    Tìm tập xác định của hàm số y = \sqrt {4 - {x^2}} + \sqrt[3]{{\frac{{x + 1}}{{x - 1}}}} + x + 1

    Hàm số xác định khi và chỉ khi \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - {x^2} \geqslant 0} \\ {x e 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 \leqslant x \leqslant 2} \\ {x e 1} \end{array}} ight.

    Vậy tập xác định của hàm số là D = \left[ { - 2;2} ight]\backslash \left\{ 1 ight\}

  • Câu 25: Vận dụng

    Anh T đã làm hợp đồng xin vay vốn ngân hàng để kinh doanh với số tiền 200 triệu đồng với lãi suất a% trên một năm. Điều kiện hợp đồng là số tiền lại tháng trước sẽ được tính làm vốn để sinh lãi cho tháng sau. Sau hai năm kinh doanh, anh T dã thanh toán hợp đồng ngân hàng với số tiền làm tròn là 245512000 đồng. Chọn khẳng định đúng?

    Lãi suất mỗi tháng là \frac{a}{{12}}\%. Theo công thức lãi kép ta có:

    \begin{matrix} 200.{\left( {1 + \dfrac{a}{{12}}\% } ight)^{24}} = 245,512 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{a}{{12}}\% = \sqrt[{24}]{{\dfrac{{245,512}}{{200}}}} - 1 \hfill \\ \Rightarrow a \approx 10 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 26: Vận dụng

    Tìm tập hợp các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = \frac{{x - 1}}{{mx - 1}} có tiệm cận đứng là:

     Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m e 0} \\ { - 1 + m e 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m e 0} \\ {m e 1} \end{array}} ight.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Với a > 0 hãy rút gọn biểu thức P = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } :{x^{\frac{9}{{16}}}}

    Ta có: 

    \begin{matrix} \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{3}{2}}}} } } } = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{7}{4}}}} } } \hfill \\ = \sqrt {x\sqrt {x.{x^{\frac{7}{8}}}} } = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{15}}{8}}}} } = \sqrt {x.{x^{\frac{{15}}{{16}}}}} = \sqrt {{x^{\frac{{31}}{{16}}}}} = {x^{\frac{{31}}{{32}}}} \hfill \\ \Rightarrow P = {x^{\frac{{31}}{{32}}}}:{x^{\frac{9}{{16}}}} = {x^{\frac{{13}}{{32}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Gọi x_1, x_2là nghiệm của phương trình {\log _x}2 - {\log _{16}}x = 0. Khi đó tích x_1.x_2 bằng:

    1 || x1.x2=1

    Đáp án là:

    Gọi x_1, x_2là nghiệm của phương trình {\log _x}2 - {\log _{16}}x = 0. Khi đó tích x_1.x_2 bằng:

    1 || x1.x2=1

    Điều kiện: 0 < x e 1

    PT \Leftrightarrow {\log _x}2 - {\log _{16}}x = 0 \Leftrightarrow {\log _x}2 - {\log _{{2^4}}}x = 0 \Leftrightarrow {\log _x}2 - \frac{1}{4}{\log _2}x = 0

    \Leftrightarrow {\log _x}2 - \frac{1}{{4{{\log }_x}2}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{4{{({{\log }_x}2)}^2} - 1}}{{4{{\log }_x}2}} = 0 \Leftrightarrow 4{({\log _x}2)^2} - 1 = 0

    \Leftrightarrow {({\log _x}2)^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log _x}2 = \frac{1}{2} \hfill \\ {\log _x}2 = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2 = {x^{\frac{1}{2}}} \hfill \\ 2 = {x^{ - \frac{1}{2}}} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x_1} = 4 \hfill \\ {x_2} = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy {x_1}.{x_2} = 4.\frac{1}{4} = 1.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho x,y là các số thực thỏa mãn f(x,y) = \log_{4}(x + y) + \log_{4}(x - y)\geq 1\ \ (*) . Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) Điều kiện xác định của hàm số f(x,y) là \left\{ \begin{matrix} x + y > 0 \\ x - y > 0 \\ \end{matrix} ight. . Đúng||Sai

    b) Với cặp số x,y thỏa mãn điều kiện xác định của hàm số f(x,y) , ta có: f(x,y) = x^{2} - y^{2} . Sai||Đúng

    c) Cặp số \left\{ \begin{matrix} x = 8 \\ y = 16 \\ \end{matrix} ight. thỏa mãn f(x,y) = \log_{4}(x + y) + \log_{4}(x - y) \geq 1 . Sai||Đúng

    d) Với P = 2x - y thì P_{\min} = 2\sqrt{3} . Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho x,y là các số thực thỏa mãn f(x,y) = \log_{4}(x + y) + \log_{4}(x - y)\geq 1\ \ (*) . Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) Điều kiện xác định của hàm số f(x,y) là \left\{ \begin{matrix} x + y > 0 \\ x - y > 0 \\ \end{matrix} ight. . Đúng||Sai

    b) Với cặp số x,y thỏa mãn điều kiện xác định của hàm số f(x,y) , ta có: f(x,y) = x^{2} - y^{2} . Sai||Đúng

    c) Cặp số \left\{ \begin{matrix} x = 8 \\ y = 16 \\ \end{matrix} ight. thỏa mãn f(x,y) = \log_{4}(x + y) + \log_{4}(x - y) \geq 1 . Sai||Đúng

    d) Với P = 2x - y thì P_{\min} = 2\sqrt{3} . Đúng||Sai

    a) Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là \left\{ \begin{matrix} x + y > 0 \\ x - y > 0 \\ \end{matrix} ight., suy ra mệnh đề đúng.

    b) Ta có f(x,y) = \log_{4}(x + y) +\log_{4}(x - y) = \log_{4}\left( x^{2} - y^{2} ight), suy ra mệnh đề sai.

    c) Ta thấy x - y = 8 - 16 = - 8 < 0, suy ra mệnh đề sai.

    d) Ta có: \log_{4}(x + y) + \log_{4}(x - y)\geq 1

    \Leftrightarrow x^{2} - y^{2} \geq 4 \Rightarrow x \geq \sqrt{y^{2} + 4}

    Do đó P \geq 2\sqrt{y^{2} + 4} - y = f(y).

    Khi đó P' = \frac{2y}{\sqrt{y^{2} + 4}} - 1 = 0\overset{y > 0}{ightarrow}y = \frac{2}{\sqrt{3}}

    Suy ra P_{\min} = 2\sqrt{3}. suy ra mệnh đề đúng.

  • Câu 30: Nhận biết

    Tìm hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định?

    Xét hàm số y = \frac{- x - 8}{x + 3}

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 3 ight\}. Ta có: y' = \frac{5}{\left( x + 3^{2} ight)} > 0;\forall x eq 3

    Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( - \infty; - 3),( - 3; + \infty).

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như sau:

    Hỏi số nghiệm của phương trình 2f(x) - 1 = 0 bằng bao nhiêu?

    Ta có: 2f(x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{1}{2}

    Lại có đường thẳng y = \frac{1}{2} nằm phía trên gốc tọa độ; song song với trục Ox và cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 4 điểm nên phương trình 2f(x) - 1 = 0 có hai nghiệm.

  • Câu 32: Nhận biết

    Với a và b là hai số thực dương tùy ý thì \log \left( {a{b^2}} ight) bằng:

    Ta có: \log \left( {a{b^2}} ight) = \log a + \log {b^2} = \log a + 2\log b

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho x > 0;y > 0. Viết biểu thức {x^{\frac{4}{5}}}.\sqrt[6]{{{x^5}\sqrt x }} = {x^m} và {y^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y^5}\sqrt y }} = {y^n}. Tính T = m - n

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {{x^m}} ight)}^6} = {x^{\frac{{24}}{5}}}.{x^5}.{x^{\frac{1}{2}}} = {x^{\frac{{103}}{{10}}}} \Rightarrow m = \dfrac{{103}}{{60}}} \\ {{{\left( {{y^n}} ight)}^6} = {y^{\frac{{24}}{5}}}:\left( {{y^5}.{y^{\frac{1}{2}}}} ight) = {y^{ - \frac{7}{{10}}}} \Rightarrow n = - \dfrac{7}{{60}}} \end{array}} ight. \Rightarrow T = m - n = \frac{{11}}{6}

  • Câu 34: Vận dụng

    Số giá trị nguyên của tham số m \in \left[ { - 20;20} ight] để hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {m + 3} ight)x + 2 đồng biến trên \mathbb{R} là:

    Ta có: y' = {x^2} + 4x + m + 3

    Hàm số đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi

    \begin{matrix} y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1 > 0} \\ {\left( {{\Delta _{y'}}} ight)' = 4 - \left( {m + 3} ight) < 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m \geqslant 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Kết hợp với điều kiện \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \in \left[ { - 20;20} ight]} \\ {m \in \mathbb{Z}} \end{array}} ight.

    => Có 20 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Thu gọn biểu thức T = \frac{{{a^{\frac{7}{6}}}.{b^{ - \frac{2}{3}}}}}{{\sqrt[6]{{a{b^2}}}}} biết a và b là hai số thực dương.

    Ta có: T = \frac{{{a^{\frac{7}{6}}}.{b^{ - \frac{2}{3}}}}}{{\sqrt[6]{{a{b^2}}}}} = \left( {{a^{\frac{7}{6}}}:{a^{\frac{1}{6}}}} ight).\left( {{b^{\frac{{ - 2}}{3}}}:{b^{\frac{2}{6}}}} ight) = \frac{a}{b}

  • Câu 36: Vận dụng

    Tính theo a thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Biết rằng mặt phẳng \left( {A'BC} ight) hợp với đáy \left( {ABCD} ight) một góc 60^0, A'C hợp với đáy \left( {ABCD} ight) một góc 30^0và AA' = a\sqrt 3.

     

    Ta có

    {30^0} = \widehat {A'C,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {A'C,AC} = \widehat {A'CA};

    {60^0} = \widehat {\left( {A'BC} ight),\left( {ABCD} ight)} = \widehat {A'B,AB} = \widehat {A'BA}

    Tam giác vuông A'AB, có AB = \frac{{AA'}}{{\tan \widehat {A'BA}}} = a.

    Tam giác vuông A'AC, có AC = \frac{{AA'}}{{\tan \widehat {A'CA}}} = 3a.

    Tam giác vuông ABC, có BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 2a\sqrt 2.

    Diện tích hình chữ nhật {S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}\sqrt 2.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = 2{a^3}\sqrt 6

  • Câu 37: Thông hiểu

    Hàm số y = {\left( {4{x^2} - 1} ight)^{ - 4}} có tập xác định là:

    Hàm số y = {x^\alpha } có số mũ nguyên âm xác định khi

    Hàm số y = {\left( {4{x^2} - 1} ight)^{ - 4}} xác định khi 4{x^2} - 1 e 0 \Leftrightarrow x e \pm \frac{1}{2}

    Vậy tập xác định là: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} ight\}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích V của khối chóp .A.GBC

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích V của khối chóp .A.GBC

    4 || Bốn || bốn

     Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên S_{\triangle GBC}= \frac{1}{3}S_{\triangle DBC}.

    Suy ra {V_{A.GBC}} = \frac{1}{3}{V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.12 = 4.

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho 0 < a e 1. Rút gọn biểu thức P = \frac{{{{\left( {{a^3}} ight)}^4}}}{{{a^2}.{a^{\frac{3}{2}}}}}

    Ta có: P = \frac{{{{\left( {{a^3}} ight)}^4}}}{{{a^2}.{a^{\frac{3}{2}}}}} = \frac{{{a^{12}}}}{{{a^{\frac{7}{2}}}}} = {a^{12 - \frac{7}{2}}} = {a^{\frac{{17}}{2}}}

  • Câu 40: Thông hiểu

    Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

    Ta thấy: y = {2^{ - x}} = {\left( {\frac{1}{2}} ight)^x}

    Do vậy đồ thị của hàm số y = {2^{ - x}} không có tiệm cận đứng

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho khối đa diện đều loại \{ 3; 4 \}. Tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa điện đó bằng?

     Khối đa diện đều loại \{ 3; 4 \} là khối bát diện đều.

    Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt.

    Vậy tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa diện đó bằng 60^∘⋅4=240^∘.

  • Câu 42: Nhận biết

    Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

     

    Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.

  • Câu 43: Vận dụng cao

    Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo d = \sqrt {21}. Độ dài ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công bội q=2. Thể tích của khối hộp chữ nhật là?

    Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có độ dài kích thước ba cạnh lần lượt là AA' = a,\,\,AB = b,\,\,AD = c và có đường chéo AC'.

    Theo bài ra, ta có a, b, c lập thành cấp số nhân có công bội q=2. Suy ra:

    \left\{ \begin{gathered} b = 2a \hfill \\ c = 4a \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Mặt khác, độ dài đường chéo AC' = \sqrt {21}

    \Rightarrow A{A'^2} + A{B^2} + A{D^2} = 21\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 21

    Ta có hệ:

    \left\{ \begin{gathered} c = 2b = 4a \hfill \\ {a^2} + {b^2} + {c^2} = 21 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} c = 2b = 4a \hfill \\ {a^2} + {\left( {2a} ight)^2} + {\left( {4a} ight)^2} = 21 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} c = 2b = 4a \hfill \\ 21{a^2} = 21 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = 2 \hfill \\ c = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'là:

    {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.AB.AD = abc = 8

  • Câu 44: Thông hiểu

    Gọi P là tập tất cả các số nguyên dương của tham số m để hàm số y = x^{4} - 2mx^{2} + 1 đồng biến trên khoảng (3; + \infty). Tính tổng tất cả các phần tử của tập P?

    Theo yêu cầu bài toán \Leftrightarrow y' = 4x^{3} - 4mx \geq 0;\forall x \in (3; + \infty)

    \Leftrightarrow 4x\left( x^{2} - m ight) \geq 0;\forall x \in (3; + \infty)

    \Leftrightarrow m \leq x^{2};\forall x \in (3; + \infty)

    Do đó m \leq 9 \Rightarrow P = \left\{ 1;2;3;...;9 ight\}

    Vậy tổng tất cả các phần tử của tập P bằng 45.

  • Câu 45: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB=a, BC = a\sqrt 3. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

     

    Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH \bot AB.

    Do \left( {SAB} ight) \bot \left( {ABC} ight) theo giao tuyến AB nên SH \bot (ABC).

    Tam giác SAB là đều cạnh AB=a  nên SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.

    Tam giác vuông ABC, có AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2.

    Diện tích tam giác vuông {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.

    Vậy {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SH = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.

  • Câu 46: Vận dụng cao

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng (2;3) thuộc tập nghiệm của bất phương trình {\log _5}\left( {{x^2} + 1} ight) > {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} ight) - 1{\text{ (1)}}.

    Ta có: (1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} + 1 > \frac{{{x^2} + 4x + m}}{5} \hfill \\ {x^2} + 4x + m > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - {x^2} - 4x = f(x) \hfill \\ m < 4{x^2} - 4x + 5 = g(x) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Hệ trên thỏa mãn:

    \forall x \in \left( {2;3} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \geqslant \mathop {Max}\limits_{2 < x < 3} f(x) = - 12{\text{ khi }}x = 2 \hfill \\ m \leqslant \mathop {Min}\limits_{2 < x < 3} f(x) = 13{\text{ khi }}x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }} \Leftrightarrow - 12 \leqslant m \leqslant 13.

  • Câu 47: Thông hiểu

    Nếu đặt t = \lg x thì phương trình \frac{1}{{4 - \lg x}} + \frac{2}{{2 + \lg x}} = 1 trở thành phương trình nào?

     Đặt t = \lg x

    PT \Leftrightarrow \frac{1}{{4 - t}} + \frac{2}{{2 + t}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{2 + t + 2(4 - t)}}{{(4 - t)(2 + t)}} = 1

    \Leftrightarrow 2 + t + 2(4 - t) = (4 - t)(2 + t)

    \Leftrightarrow 10 - t = 8 + 2t - {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0.

  • Câu 48: Vận dụng

    Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:

    x=7 || X=7 || x bằng 7 || 7

    Đáp án là:

    Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:

    x=7 || X=7 || x bằng 7 || 7

     Điều kiện: x>0

    Ta có: \log _2^4x - \log _{\frac{1}{2}}^2\left( {\frac{{{x^3}}}{8}} ight) + 9{\log _2}\left( {\frac{{32}}{{{x^2}}}} ight) < 4\log _{{2^{ - 1}}}^2\left( x ight)

    \Leftrightarrow \log _2^4x - {\left( {3{{\log }_2}x - 3} ight)^2} + 9\left( {5 - 2{{\log }_2}x} ight) - 4\log _2^2x < 0

    \Leftrightarrow \log _2^4x - 13\log _2^2x + 36 < 0

    \Leftrightarrow 4 < \log _2^2x < 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2 < {\log _2}x < 3 \hfill \\ - 3 < {\log _2}x < - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 4 < x < 8 \hfill \\ \frac{1}{8} < x < \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} ight..

    Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là: x=7.

  • Câu 49: Nhận biết

    Bất phương trình {\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{x^2} - x + 1} ight) < 0 có tập nghiệm là:

     Ta có {\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{x^2} - x + 1} ight) < 0 

    \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x < 0 \hfill \\ x > \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy BPT có tập nghiệm là  S = \left( { - \infty ;0} ight) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } ight).

  • Câu 50: Nhận biết

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Mặt bên SBC là tam giác gì?

    Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 57 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập