Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số
như hình bên. Đặt
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xét hàm số
Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy
Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số
như hình bên. Đặt
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xét hàm số
Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy
Trong hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có tâm
và có thể tích bằng
. Khi đó phương trình mặt cầu
là:
Thể tích mặt cầu là:
Vậy phương trình mặt cầu tâm có bán kính
là:
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có nghĩa?
Tập xác định của hàm số tùy thuộc vào
Với nguyên dương, tập xác định
Với nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định
Với không nguyên, tập xác định là
Ta có: có
là số nguyên âm nên cơ số
=> có nghĩa
Cho hàm số
(với
là tham số) có đồ thị
. Giả sử các điểm
là các điểm cực trị của
. Để tam giác
đều thì giá trị của tham số
nằm trong khoảng nào sau đây?
Tập xác định
Ta có:
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình có ba nghiệm phân biệt hay
có hai nghiệm khác 0
Khi đó
Đồ thị có ba điểm cực trị là
;
;
.
Ta có:
Do đó tam giác đều
Kết hợp với điều kiện .
Vậy đáp án cần tìm là .
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
là:
x=4 || 4 || X=4 || bốn || Bốn
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là:
x=4 || 4 || X=4 || bốn || Bốn
Điều kiện:
So điều kiện suy ra
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là:
Mặt cầu có tâm
và bán kính
Khoảng cách từ đến (P):
Bán kính đường tròn giao tuyến
Diện tích đường tròn giao tuyến .
Nghiệm lớn nhất của phương trình
là:
100 || 1 trăm || một trăm || Một trăm || x=100
Nghiệm lớn nhất của phương trình là:
100 || 1 trăm || một trăm || Một trăm || x=100
Điều kiện:
Vậy nghiệm lớn nhất là x =100.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Ta có:
Vậy đáp án đúng là:
Hàm số nào sau đây phù hợp với hình vẽ:

Ta có: và hàm số đồng biến trên
nên chỉ có hàm số
thỏa mãn
Tìm tập xác định của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là:
Hình đa diện trong hình vẽ sau có bao nhiêu cạnh?

Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại
là:

Khối đa diện đều loại là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng:
Cho các hình sau:
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là:
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho S0 trùng với S, Sn trùng với S’ và bất kì hai mặt
nào
cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào sau đây?

Từ hình vẽ suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên hàm số cần tìm là
.
Gọi
là 2 nghiệm của phương trình
. Khi đó
bằng:
-3
Gọi là 2 nghiệm của phương trình
. Khi đó
bằng:
-3
Điều kiện:
Vậy .
Để thiết kế một chiếc bể nuôi cá Koi trong sân vườn hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao
và thể tích chứa
. Biết giá thành để làm mặt bên là 2,8 triệu đồng/
và làm mặt đáy là 4 triệu đồng/
. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá (Làm tròn theo đơn vị triệu đồng).

Đáp án: 2812
Để thiết kế một chiếc bể nuôi cá Koi trong sân vườn hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao và thể tích chứa
. Biết giá thành để làm mặt bên là 2,8 triệu đồng/
và làm mặt đáy là 4 triệu đồng/
. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá (Làm tròn theo đơn vị triệu đồng).
Đáp án: 2812
Gọi lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hình hộp.
Điều kiện: .
Ta có thể tích của khối hộp:
.
Diện tích mặt đáy:
.
Giá tiền để làm mặt đáy là:
(đồng).
Diện tích xung quanh của bể cá:
.
Giá tiền để làm mặt bên là:
.
Tổng chi phí để xây dựng bể cá là:
(triệu đồng).
Bất phương trình
có tập nghiệm là:
Điều kiện:
Ta có:
Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là .
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn
và
. Giá trị của biểu thức
là:
Theo điều kiện ta có:
Cho đồ thị hàm số
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Theo định nghĩa của hàm số lũy thừa, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 0
Ta có: suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 và tiệm cận đứng là x = 0
Phương trình
có nghiệm là:
2 || hai || x=2 || Hai
Phương trình có nghiệm là:
2 || hai || x=2 || Hai
PT
Cho các số thực a và b thỏa mãn
. Tìm khẳng định đúng?
Xét tính đúng sai của từng đáp án như sau
Ta có (vì
) =>
=>
đúng
Vì
=> B sai
Vì =>
Sai
Ta có: =>
sai
Cho hàm số
có bảng biến như sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
có một nghiệm?
Đặt
Khi đó bất phương trình trở thành
Bất phương trình có nghiệm khi bất phương trình
có nghiệm
Biết đồ thị hàm số
đối xứng với đồ thị hàm số
qua điểm
. Giá trị của
là:
Gọi là điểm thuộc đồ thị hàm số
thì điểm đối xứng với
qua
là
thuộc đồ thị hàm số
=>
Với a > 0 hãy rút gọn biểu thức 
Ta có:
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Tập nghiệm của bất phương trình
là:
Điều kiện:
Ta có:
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn
, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; .
Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' . Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.
Do .
Gọi H là trung điểm của DC.
.
Ta có .
Suy ra .
Vậy thể tích của khối trụ là .
Cho
. Tính ![]()
Ta có:
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
Dựa vào bảng biến thiên ta có: nên đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là
và
.
nên đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang là
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.
Cho bất phương trình:
. Tìm tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình (1) nghiệm đúng
.
Đặt .
Vì . Bất phương trình đã cho thành:
nghiệm đúng
nghiệm đúng
.
Xét hàm số: .
Hàm số đồng biến trên và
. Yêu cầu bài toán tương đương
.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại điểm .
Một bể bơi chứa
lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng đồ
gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ
lít/phút.
a) Sau
phút khối lượng muối trong bể là
(gam). Đúng||Sai
b) Nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là
. Sai||Đúng
c) Xem
là một hàm số xác định trên nửa khoảng
, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó có phương trình là
. Đúng||Sai
d) Khi
ngày càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức
(gam/lít). Đúng||Sai
Một bể bơi chứa lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng đồ
gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ
lít/phút.
a) Sau phút khối lượng muối trong bể là
(gam). Đúng||Sai
b) Nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là . Sai||Đúng
c) Xem là một hàm số xác định trên nửa khoảng
, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó có phương trình là
. Đúng||Sai
d) Khi ngày càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức
(gam/lít). Đúng||Sai
Sau t phút, khối lượng muối trong bể là (gam)
Thể tích của lượng nước trong bể là (lít).
Vậy nồng độ muối sau phút là:
(gam/lít).
Ta có
Vậy đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
:
Ta có đồ thị hàm số nhận đường thẳng
làm đường tiệm cận ngang, tức là khi t càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức 30 (gam/lít).
Lúc đó, nồng độ muối trong bể sẽ gần như bằng nồng độ nước muối bơm vào bể.
a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy,
và
. Tính thể tích V của khối chóp
.
32
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, và
. Tính thể tích V của khối chóp
.
32

Xét tam giác , có:
Suy ra tam giác vuông tại A
Vậy thể tích khối chóp
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm
. Hàm số
đồng biến trên các khoảng nào?
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm . Hàm số
đồng biến trên các khoảng nào?
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Giá trị của tham số m để bất phương trình
có nghiệm là:
Đặt
Khi đó bất phương trình ban đầu trở thành:
Xét hàm số trên
Ta có:
Bảng biến thiên của
Từ bảng biến thiên suy ra để bất phương trình có nghiệm thì .
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
. Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số
bằng:

Gọi O là tâm , suy ra
và
Trong SOA, ta có
Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:
Do đó nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
Gọi M là tung điểm SA, ta có nên
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và
. Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD.

Đường chéo hình vuông
Xét tam giác SAC, ta có .
Chiều cao khối chóp là .
Diện tích hình vuông ABCD là
Vậy thể tích khối chóp .
Cho hàm số
có đạo hàm
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xét ta có bảng xét dấu
như sau:
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng , hàm số đồng biến trên khoảng
.
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác vuông tại
và
. Cạnh
tạo với mặt đáy
góc
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Vì là lăng trụ đứng nên
, suy ra hình chiếu vuông góc của
trên mặt đáy
là
.
Do đó .
Tam giác vuông , ta có
Diện tích tam giác là
Vậy .
Cho hàm số
trên đoạn
. Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tính giá trị biểu thức
.
Xét hàm số trên đoạn
ta có:
=> là hàm số nghịch biến trên
=>
Cho hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng 11 điểm cực trị?

Hàm số đạt cực trị tại
Xét hàm số
Bảng biến thiên của hàm số suy ra chỉ có phương trình
cho ta nghiệm bội lẻ.
Nếu
=> Số điểm cực trị u là 1
=> Số nghiệm bội lẻ của phương trình u = 4 tối đa 2 nghiệm bội lẻ (Không thỏa yêu cầu)
Khi m > 0 => Số điểm cực trị u là 5 ta có bảng biến thiên của hàm số

Áp dụng công thức:
Số điểm cực trị của hàm số f(u) = số nghiệm bội lẻ của phương trình (u = 4) + số điểm cực trị của u
=> . Kết hợp với điều kiện
=> Có 29 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu.
Tìm giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên khoảng ![]()
Tìm giá trị của tham số để hàm số
nghịch biến trên khoảng
Cho hình vẽ:

Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
Đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số đã cho nghịch biến nên loại hhai hàm số
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên hàm số
thảo mãn
Cho phương trình
, m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?
Đáp án: 5
Cho phương trình , m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?
Đáp án: 5
ĐKXĐ:
Ta có:
Để phương trình có nghiệm thì .
Kết hợp điều kiện m là số nguyên dương ta có m ∈ {1;2;3;4;5}.
Vậy có 5 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Rút gọn biểu thức
với x > 0
Ta có:
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là:
Điều kiện xác định của hàm số là
Từ bảng biến thiên ta có:
Tập xác định
Ta có:
suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
.
suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
.
suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
.
suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
.
Cho lăng trụ
có đáy
là hình thoi cạnh
, tâm O và
. Góc giữa cạnh bên
và mặt đáy bằng
. Đỉnh A' cách đều các điểm A, B, D. Tính theo
thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh .
Gọi H là tâm tam giác ABD. Vì A' cách đều các điểm A,B, D nên .
Do đó .
Ta có .
Tam giác vuông , có
.
Diện tích hình thoi .
Vậy .
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
?
Ta có:
Điều kiện cần
Điều kiện đủ:
Khi suy ra
là điểm cực đại của hàm số.
Khi suy ra
là điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là .