Lớp 12 Toán 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 12.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    Xét hàm số y = {e^{10x + 2017}} ta có:

    y' = 10.{e^{10x + 2017}} > 0;\forall x \in \mathbb{R}

    Vậy hàm số y = {e^{10x + 2017}} đồng biến trên tập số thực.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x^{4} - 5(m - 3)x^{2} + 3m^{2} - 4 đạt cực tiểu tại x = 0 là:

    Ta có: y' = 4x^{3} - 10(m - 3)x

    \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x^{2} = \dfrac{10(m - 3)}{4} \\\end{matrix} ight.

    Trường hợp 1: m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > 3. Khi đó ta có bảng xét dấu như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x = 0 là điểm cực đại nên trường hợp này không thỏa mãn.

    Trường hợp 2: m - 3 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 3 ta có bảng xét dấu như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu. Vậy m \leq 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau:

    Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = f\left( 2 - x^{2} ight) trên \left\lbrack 0;\sqrt{2} ightbrack là:

    Đặt t = 2 - x^{2};t' = - 2x \leq 0;\forall x \in \left\lbrack 0;\sqrt{2} ightbrack \Rightarrow t \in \lbrack 0;2brack

    \Rightarrow \max_{\left\lbrack 0;\sqrt{2} ightbrack}g(x) = \max_{\lbrack 0;2brack}f(t) = f(0)

  • Câu 4: Thông hiểu

    Nghiệm lớn nhất của phương trình - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x  là:

    100 || 1 trăm || một trăm || Một trăm || x=100

    Đáp án là:

    Nghiệm lớn nhất của phương trình - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x  là:

    100 || 1 trăm || một trăm || Một trăm || x=100

     Điều kiện: x>0

    - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \log x = - 1 \hfill \\ \log x = 2 \hfill \\ \log x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{{10}} \hfill \\ x = 100 \hfill \\ x = 10 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy nghiệm lớn nhất là x =100.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

    Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Hàm số y = f(x) có f'(x) đổi dấu từ + sang – khi f'(x) đi qua điểm x = 1

    Vậy hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = 1.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn AC=10a, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

      Thể tích của khối trụ

    Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; A\in (O), C \in (O') .

    Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' (D \in (O'), B \in (O). Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

    Do AC=10a,AD=8a\Rightarrow DC=6a..

    Gọi H là trung điểm của DC.

    \left\{\begin{matrix}O^\prime H\bot D C\\O^\prime H\bot A D\\\end{matrix}\Rightarrow O^\prime H\bot(ABCD)ight..

    Ta có O^\prime//(ABCD)\Rightarrow d\left(OO^\prime,ACight)=d\left(OO^\prime,(ABCD)ight)=O^\prime H=4a..

    Suy ra O^\prime H=4a,CH=3a\Rightarrow R=O^\prime C=5a..

    Vậy thể tích của khối trụ là V=\pi R^2h=\pi(5a)^28a=200\pi a^3.

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy là tam giác cân, AB =AC= a và \widehat {BAC} = {120^0}, góc giữa mặt phẳng \left( {AB'C'} ight) và mặt đáy \left( {ABC} ight) bằng 60^0. Tính theo a thể tích khối lăng trụ.

     

    Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng B'C'. Tam giác ABC cân tại A  nên ta suy ra tam giác A'B'C' cân tại A'\xrightarrow{{}}A'M \bot B'C'.

    Lại có B'C' \bot AA'. Từ đó suy ra B'C' \bot \left( {AA'M} ight)\xrightarrow{{}}B'C' \bot AM.

    Do đó {60^0} = \widehat {\left( {AB'C'} ight),\left( {A'B'C'} ight)} = \widehat {\left( {AM;A'M} ight)} = \widehat {AMA'}

    Tam giác vuông A'B'M, có

    A'M = A'B'.\cos \widehat {MA'B'} = a.\cos {60^0} = \frac{a}{2}

    Tam giác vuông AA'M, có

    AA' = A'M.\tan \widehat {AMA'} = \frac{a}{2}.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}

    Diện tích tam giác {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}

    Vậy {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{3{a^3}}}{8}.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ.

    Hàm số y = f\left( {x - 1} ight) + {x^2} - 2x đồng biến trên khoảng nào trong các đáp án dưới đây?

    Ta có: y = f\left( {x - 1} ight) + {x^2} - 2x

    => y' = f'\left( {x - 1} ight) + 2x - 2

    Hàm số đồng biến khi y' \geqslant 0 \Leftrightarrow f'\left( {x - 1} ight) + 2\left( {x - 1} ight) \geqslant 0\left( * ight)

    Đặt t = x – 1 thì (*) trở thành

    f'\left( t ight) + 2t \geqslant 0 \Leftrightarrow f'\left( t ight) \geqslant - 2t

    Quan sát đồ thị hàm số y = f’(t) và y = -2t trên cùng một hệ tọa độ như hình vẽ

    Xác định khoảng đồng biến của hàm số

    Khi đó ta thấy với t \in \left( {0;1} ight) thì độ thì hàm số y = f’(t) luôn nằm trên đường thẳng y = -2t

    => f'\left( t ight) + 2t > 0,\forall t \in \left( {1;2} ight)

    Do đó với \forall x \in \left( {1;2} ight) thì hàm số y = f\left( {x - 1} ight) + {x^2} - 2x đồng biến.

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

     

    Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tìm số nghiệm của phương trình 2f\left(\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}} ight) + 3 = 0 trên đoạn \left\lbrack - \frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}ightbrack?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tìm số nghiệm của phương trình 2f\left(\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}} ight) + 3 = 0 trên đoạn \left\lbrack - \frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}ightbrack?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 11: Nhận biết

    Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = x^{3} - 3x + 2 là:

    Ta có: y = x^{3} - 3x + 2 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y' = 3x^{2} - 3 \\ y'' = 6x \\ \end{matrix} ight.

    y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 2

    Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là (0;2)

  • Câu 12: Nhận biết

    Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.  Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

     Diện tích toàn phần

    Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

    Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

    Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên AB = SB\sqrt 2 = a\sqrt 2, SO = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

    Suy ra h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},  l = SA = a  và SB\sqrt 2 = 2R \Rightarrow R = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}.

     

    Diện tích toàn phần của hình nón: {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}(đvdt).

    Thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}} (đvtt). 

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho tứ diện có thể tích bằng V. Gọi V' là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số \frac{{V'}}{V}.

     

    Xét khối  tứ diện và các điểm được kí hiệu như hình vẽ trên, ta có:

    \frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{S.A'B'C'}} = \frac{V}{8}

    Tương tự \,{V_{A.A'MP}} = {V_{B.B'MN}} = {V_{C.C'NP}} = \frac{V}{8}.

    Do đó \,\,V' = {V_{S.ABC}} - \left( {{V_{S.A'B'C'}} + {V_{A.A'MP}} + {V_{B.B'MN}} + {V_{C.C'NP}}} ight)

    = \,\,V - \left( {\frac{V}{8} + \frac{V}{8} + \frac{V}{8} + \frac{V}{8}} ight) = \frac{V}{2}\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{V'}}{V} = \frac{1}{2}.

  • Câu 14: Vận dụng

    Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f\left( x ight) = \left| { - {x^2} - 4x + 5} ight| trên đoạn [-6; 6] 

    Xét hàm số g(x) = -x2 – 4x + 5 liên tục trên đoạn [-6; 6]

    Ta có: g’(x) = -2x – 4

    => g’(x) = 0 => x = -2 thuộc [-6; 6]

    Ta lại có g(x) = 0 => x2 – 4x + 5 = 0 => x = 1 (tm) hoặc x = -5 (tm)

    Ta tính được: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( { - 6} ight) = - 7} \\ {g\left( { - 2} ight) = 9} \\ {g\left( 6 ight) = - 55} \\ {g\left( 1 ight) = g\left( { - 5} ight) = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 6;6} ight]} f\left( x ight) = 55

  • Câu 15: Vận dụng

    Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y= - x^{4} + 2\left( m^{2} + 3 ight)x^{2} + 2 có ba điểm cực trị sao cho giá trị cực đại của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y= - x^{4} + 2\left( m^{2} + 3 ight)x^{2} + 2 có ba điểm cực trị sao cho giá trị cực đại của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 16: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây đồng biến trên \mathbb{R}?

    Do \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3} > 1 nên hàm số y = {\left( {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3}} ight)^x} đồng biến trên \mathbb{R} 

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho khối đa diện đều loại \{ 3; 4 \}. Tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa điện đó bằng?

     Khối đa diện đều loại \{ 3; 4 \} là khối bát diện đều.

    Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt.

    Vậy tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa diện đó bằng 60^∘⋅4=240^∘.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng (1; 3)?

    Xét hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 có y' = {x^2} - 4x + 3

    => y’ = 0 => \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 3} \end{array}} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Chọn đáp án đúng

    Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3)

  • Câu 19: Nhận biết

    Điều kiện xác định của phương trình {\log _x}(2{x^2} - 7x - 12) = 2 là:

     Biểu thức {\log _x}(2{x^2} - 7x - 12) = 2 xác định 

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x e 1 \hfill \\ 2{x^2} - 7x + 12 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x e 1 \hfill \\ 2\left[ {{{(x - \frac{7}{4})}^2} + \frac{{47}}{{16}}} ight] > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow x \in (0;1) \cup (1; + \infty )

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = {\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 }}

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \sqrt 3 .{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 - 1}}.\left( {{x^2} - 3x + 1} ight)\prime \hfill \\ \Rightarrow y' = \sqrt 3 .\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 - 1}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(m + 2)x - 2(m - 1)z + 3m^{2} - 5 = 0 là một phương trình mặt cầu

    Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

    (m + 2)^{2} + (m - 1)^{3} - 3m^{2} + 5 > 0

    \Leftrightarrow m^{2} - 2m - 10 < 0

    \Leftrightarrow m \in \left( - 1 - \sqrt{11};1 + \sqrt{11} ight)

    Theo bài ra m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2;3;4 ight\}

    Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tập nghiệm của bất phương trình {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} ight) + {\log _3}\left( {x - 1} ight) \geqslant 0 là:

    {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} ight) + {\log _3}\left( {x - 1} ight) \geqslant 0 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x - 1} ight) \geqslant {\log _3}\left( {{x^2} - 6x + 5} ight)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 6x + 5 > 0 \hfill \\ x - 1 \geqslant {x^2} - 6x + 5 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < 1 \vee x > 5 \hfill \\ 1 \leqslant x \leqslant 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow 5 < x \leqslant 6

     Vậy tập nghiệm của BPT là  S = \left( {5;6} ight].

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho biểu thức P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}} với x > 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

     Ta có: 

    \begin{matrix} P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}} \hfill \\ P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^{\frac{7}{2}}}}}} \hfill \\ P = \sqrt {x.{x^{\frac{7}{6}}}} \hfill \\ P = \sqrt {{x^{\frac{{13}}{6}}}} = {x^{\frac{{13}}{{12}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho phương trình {\left( {7 + 4\sqrt 3 } ight)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?

     Ta có: {\left( {7 + 4\sqrt 3 } ight)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 6

    \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}^2}} ight]^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} - 6 = 0

    \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}^x}} ight]^2} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} - 6 = 0{\text{ }}\left( {*} ight)

    Đặt t = {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} > 0.

    Khi đó \left( {*} ight) \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = 2{\text{ }}\left( TM ight) \hfill \\ t = - 3{\text{ }}\left( L ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với t = 2 \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 2 \Leftrightarrow \boxed{x = {{\log }_{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}}2}.

  • Câu 26: Nhận biết

    Điều kiện để bất phương trình sau có nghĩa là \ln \frac{{{x^2} - 1}}{x} < 0

     Điều kiện: \frac{{{x^2} - 1}}{x} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - 1 < x < 0 \hfill \\ x > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Với a là một số thực dương thì biểu thức P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} ight)}^{\sqrt 2 + 2}}}} được rút gọn là:

    Ta có: P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} ight)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}

  • Câu 28: Vận dụng

    Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}mx^{2} + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Khi đó tổng tất cả các giá trị của các phần tử trong tập hợp S bằng:

    Ta có: y' = x^{2} - mx + 2m

    \Leftrightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} - mx + 2m = 0(*)

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình (*) ta có bảng biến thiên:

    Hàm số y nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x_{1};x_{2} thỏa mãn \left| x_{1} - x_{2} ight| = 3

    (*) có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta = m^{2} - 8m > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ m > 8 \\ \end{matrix} ight.\ (**)

    \left| x_{1} - x_{2} ight| = 3 \Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} ight)^{2} = 9 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 4x_{1}.x_{2} = 9

    \Leftrightarrow m^{2} - 8m - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \left( tm(**) ight)

    Suy ra S = \left\{ 9; - 1 ight\}

    Vậy tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 8.

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Từ đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( - 1;0) và (1; + \infty).

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC  là:

     Tìm bán kính

    Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Gọi I là trung điểm SC, suy ra IM ||SA nên IM \bot \left( {ABC} ight) .

    Do đó IM là trục của \triangle ABC, suy ra IA=IB=IC     (1)

    Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS=IC=IA.  (2)

    Từ (1) và (2) , ta có IS=IA=IB=IC

    hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

    Vậy bán kính R = IS = \frac{{SC}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} .

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f\left( {{x^3} - m{x^2} - 2x + m} ight) có đúng 6 điểm cực trị?

    Điều kiện của m để hàm số có 6 cực trị

    Xét hàm số g\left( x ight) = f\left( {{x^3} - m{x^2} - 2x + m} ight)

    g'\left( x ight) = \left( {3{x^2} - 2mx - 2} ight).f'\left( {{x^3} - m{x^2} - 2x + m} ight)

    Yêu cầu bài toán xảy ra khi phương trình đạo hàm phải có 6 nghiệm bội lẻ:

    Ta có:

    g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3{x^2} - 2mx - 2 = 0} \\ {f'\left( {{x^3} - m{x^2} - 2x + m} ight) = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3{x^2} - 2mx - 2 = 0\left( * ight)} \\ \begin{gathered} {x^3} - m{x^2} - 2x + m = - 1{\text{ }} \hfill \\ {x^3} - m{x^2} - 2x + m = 1{\text{ }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight.

    Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt => Hai phương trình còn lại phải cho đúng 4 nghiệm nghiệm bội lẻ.

    \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} - m{x^2} - 2x + m = - 1{\text{ }}} \\ {{x^3} - m{x^2} - 2x + m = 1{\text{ }}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x - 1} ight)\left[ {{x^2} - \left( {m - 1} ight)x - m - 1} ight] = 0{\text{ }}\left( 1 ight)} \\ {\left( {x - 1} ight)\left[ {{x^2} - \left( {m + 1} ight)x + m - 1} ight] = 0{\text{ }}\left( 2 ight)} \end{array}} ight.

    Nhận thấy hai phương trình (1), (2) luôn cho hai nghiệm phân biệt vafcacs nghiệm của hai phương trình này không trùng nhau.

    Để hai phương trình có đúng 4 nghiệm bội lẻ thì:

    TH1: x = 1 là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m – 1)x – m – 1] = 0 và x = -1 không phải là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m + 1)x + m – 1] = 0

    TH2: x = -1 là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m + 1)x + m – 1] = 0 và x = 1 không phải là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m – 1)x - m – 1] = 0

    => \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \left( {m - 1} ight) - m - 1 = 0} \\ {1 + \left( {m + 1} ight) + m - 1 e 0} \end{array}} ight.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \left( {m - 1} ight) - m - 1 e 0} \\ {1 + \left( {m + 1} ight) + m - 1 = 0} \end{array}} ight.} \end{array}} ight.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = \dfrac{1}{2}} \\ {m e - \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m e \dfrac{1}{2}} \\ {m = - \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.} \end{array}} ight. \Rightarrow m \pm \frac{1}{2}

    Vậy có hai giá thực của m thỏa mãn

  • Câu 32: Vận dụng

    Đạo hàm của hàm số y = {\left( {{x^2} + x + x} ight)^{\frac{1}{3}}}

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \dfrac{1}{3}.{\left( {{x^2} + x + 1} ight)^{\frac{1}{3} - 1}}.\left( {{x^2} + x + 1} ight)\prime \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{1}{3}.{\left( {{x^2} + x + 1} ight)^{ - \frac{2}{3}}}.\left( {2x + 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{2x + 1}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + x + 1} ight)}^2}}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 33: Nhận biết

    Một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{x^{2} + 4x + 3}{(x - 2)\left( x^{2} - 1 ight)} là:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}y = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} + 4x + 3}{(x - 2)\left( x^{2} - 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 3}{(x - 2)(x - 1)} = - \infty

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}y = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x^{2} + 4x + 3}{(x - 2)\left( x^{2} - 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x + 3}{(x - 2)(x - 1)} = + \infty

    Vậy một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = 1.

  • Câu 34: Nhận biết

    Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

    Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho mặt cầu tâm I bán kính R = 2,6{m{cm}} . Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm I một khoảng bằng 2,4 cm . Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:

     Theo đề bài, mặt phẳng cắt mặt cầu S(I;2,6 cm) theo một đường tròn (H;r) .

    Vậy r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2,6} ight)}^2} - {{\left( {2,4} ight)}^2}} = 1{m{cm}}.

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB=a, BC = a\sqrt 3. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

     

    Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH \bot AB.

    Do \left( {SAB} ight) \bot \left( {ABC} ight) theo giao tuyến AB nên SH \bot (ABC).

    Tam giác SAB là đều cạnh AB=a  nên SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.

    Tam giác vuông ABC, có AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2.

    Diện tích tam giác vuông {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.

    Vậy {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SH = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) được biểu diễn như hình vẽ:

    Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng

    Giả sử bất phương trình f\left( x ight) > \sin \frac{{\pi x}}{2} + m nghiệm đúng với mọi x \in \left[ { - 1;3} ight] thì tham số m thỏa mãn điều kiện là:

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) được biểu diễn như hình vẽ:

    Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng

    Giả sử bất phương trình f\left( x ight) > \sin \frac{{\pi x}}{2} + m nghiệm đúng với mọi x \in \left[ { - 1;3} ight] thì tham số m thỏa mãn điều kiện là:

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 38: Thông hiểu

    Biết {\log _2}3 = a;{\log _2}5 = b,  khi đó {\log _{15}}8 có giá trị là:

    Ta có:

    {\log _{15}}8 = {\log _{15}}{2^3} = 3{\log _{15}}2 = \frac{3}{{{{\log }_2}15}} = \frac{3}{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}} = \frac{3}{{a + b}}

  • Câu 39: Vận dụng

    Biết đồ thị hàm số y = f\left( x ight) đối xứng với đồ thị hàm số y = {\log _a}x;{\text{ }}\left( {0 < a e 1} ight) qua điểm I\left( {2;2} ight). Giá trị của f\left( {4 - {a^{2018}}} ight) là:

    Gọi M\left( {x;{{\log }_a}x} ight) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = {\log _a}x thì điểm đối xứng với M qua I là M'\left( {4 - x;4 - {{\log }_a}x} ight) thuộc đồ thị hàm số y = f\left( x ight)

    => f\left( {4 - x} ight) = 4 - {\log _a}x \Rightarrow f\left( {4 - {a^{2018}}} ight) = 4 - {\log _a}^{2018} = - 2014

  • Câu 40: Nhận biết

    Tìm tập xác định D của hàm số y = {\left( {{x^2} + x - 2} ight)^{ - 3}}

    Điều kiện xác định {x^2} + x - 2 e 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x e - 2} \\ {x e 1} \end{array}} ight.

    Vậy tập xác định của hàm số là  D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;1} ight\}

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho a là một số dương, biểu thức {a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:

    Ta có: {a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}}

  • Câu 42: Vận dụng

    Cho a và b là các số thực thỏa mãn {3.2^a} + {2^b} = 7\sqrt 2 và {5.2^n} - {2^b} = 9\sqrt 2. Giá trị biểu thức S = a + b là:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^a} = 2\sqrt 2 } \\ {{2^b} = \sqrt 2 } \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{3}{2}} \\ {b = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight. \Rightarrow S = 2

  • Câu 43: Thông hiểu

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA=BC=1. Cạnh A'B tạo với mặt đáy (ABC) góc 60^0. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

     

    Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên AA' \bot \left( {ABC} ight), suy ra hình chiếu vuông góc của A'B trên mặt đáy (ABC) là AB.

    Do đó {60^0} = \widehat {A'B,\left( {ABC} ight)} = \widehat {A'B,AB} = \widehat {A'BA}.

    Tam giác vuông A'AB, ta có AA' = AB.\tan \widehat {A'BA} = \sqrt 3

    Diện tích tam giác là {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}

    Vậy V = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.

  • Câu 44: Vận dụng

    Tập nghiệm của bất phương trình {2^x} + {4.5^x} - 4 < {10^x} là:

     Ta có: {2^x} + {4.5^x} - 4 < {10^x} \Leftrightarrow {2^x} - {10^x} + {4.5^x} - 4 < 0

    \Leftrightarrow {2^x}\left( {1 - {5^x}} ight) - 4\left( {1 - {5^x}} ight) < 0 \Leftrightarrow \left( {1 - {5^x}} ight)\left( {{2^x} - 4} ight) < 0

    {\text{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 1 - {5^x} < 0 \hfill \\ {2^x} - 4 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 1 - {5^x} > 0 \hfill \\ {2^x} - 4 < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {5^x} > 1 \hfill \\ {2^x} > 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} {5^x} < 1 \hfill \\ {2^x} < 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x > 2 \hfill \\ x < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;0} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)

  • Câu 45: Vận dụng

    Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = 2x + \sqrt {m{x^2} - x + 1} + 1 có tiệm cận ngang.

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \left( {2x + 1} ight) + \sqrt {m{x^2} - x + 1} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{4{x^2} + 4x + 1 - \left( {m{x^2} - x + 1} ight)}}{{2x + 1 - \sqrt {m{x^2} - x + 1} }} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{\left( {4 - m} ight){x^2} + 5x}}{{2x + 1 - \sqrt {m{x^2} - x + 1} }} \hfill \\ \end{matrix}

    Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử số bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu số

    Đồng thời \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = {y_0} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {4 - m = 0} \end{array} \Rightarrow m = 4} ight.

  • Câu 46: Thông hiểu

    Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \frac{{a\sqrt 2 }}{2}. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 

     

    Gọi H là hình chiếu của A trên SB \Rightarrow AH \bot SB

    Ta có \left\{ \begin{gathered} SA \bot \left( {ABCD} ight) \Rightarrow SA \bot BC \hfill \\ AB \bot BC \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow AH \bot BC

    Suy ra AH \bot \left( {SBC} ight) \Rightarrow d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Tam giác SAB vuông tại A, có \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow SA = a

    Vậy V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}.

  • Câu 47: Thông hiểu

    Nếu đặt t = \lg x thì phương trình \frac{1}{{4 - \lg x}} + \frac{2}{{2 + \lg x}} = 1 trở thành phương trình nào?

     Đặt t = \lg x

    PT \Leftrightarrow \frac{1}{{4 - t}} + \frac{2}{{2 + t}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{2 + t + 2(4 - t)}}{{(4 - t)(2 + t)}} = 1

    \Leftrightarrow 2 + t + 2(4 - t) = (4 - t)(2 + t)

    \Leftrightarrow 10 - t = 8 + 2t - {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0.

  • Câu 48: Thông hiểu

    Hình đa diện trong hình vẽ sau có bao nhiêu cạnh? 

    Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

  • Câu 49: Nhận biết

    Cơ số x bằng bao nhiêu để {\log _x}\sqrt[{10}]{3} = - 0,1?

    Điều kiện x > 0;x e 1

    Ta có:

    \begin{matrix} {\log _x}\sqrt[{10}]{3} = - 0,1 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^{ - 0,1}} = {3^{0,1}} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^{ - 1}} = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 50: Vận dụng cao

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} ight) \geqslant {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} ight) có nghiệm đúng \forall x.

    Bất phương trình tương đương 7\left( {{x^2} + 1} ight) \geqslant m{x^2} + 4x + m > 0,{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {5 - m} ight){x^2} - 4x + 5 - m \geqslant 0{} \hfill \\ m{x^2} + 4x + m > 0{} \hfill \\ \end{gathered} ight.(*),{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}.

    m=0 hoặc m=5: (*) không thỏa \forall x \in \mathbb{R}

    m eq 0 và m eq 5: (*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 5 - m > 0 \hfill \\ {{\Delta '}_2} = 4 - {\left( {5 - m} ight)^2} \leqslant 0 \hfill \\ m > 0 \hfill \\ {{\Delta '}_3} = 4 - {m^2} < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }} \Leftrightarrow {\text{ }}2 < m \leqslant 3.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 30 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập