Lớp 12 Toán 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 12.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho các hình sau:

    Đếm số hình đa diện

    Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:

     Các hình đa diện là:

    Đếm số hình đa diện; Đếm số hình đa diện; Đếm số hình đa diện

  • Câu 2: Thông hiểu

    Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu cạnh?

    Khối lăng trụ ngũ giác có số cạnh của một mặt đáy là 5 cạnh, số cạnh bên là 5 cạnh

    Số cạnh của khối lăng trụ ngũ giác là: 2.5 + 5 =15 cạnh.

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = x^{3} - (2m - 1)x^{2} + (2 - m)x + 2 với m là tham số. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f\left( |x| ight) có 5 cực trị?

    Nhận thấy rằng nếu x_{0} là điểm cực trị dương của hàm số y = f(x) thì x_{0}; - x_{0} là điểm cực trị của hàm số y = f\left( |x| ight)

    Lại thấy vì đồ thị hàm số y = f\left( |x| ight) nhận trục tung làm trục đối xứng mà f(x) là hàm đa thức bậc ba nên x = 0 luôn là một điểm cực trị của hàm số y = f\left( |x| ight).

    Khi đó để hàm số y = f\left( |x| ight) có 5 điểm cực trị thì hàm số f(x) = x^{3} - (2m - 1)x^{2} + (2 - m)x + 2 có hai cực trị dương phân biệt.

    Suy ra phương trình f'(x) = 3x^{2} - 2(2m - 1)x + 2 - m = 0 có hai nghiệm dương phân biệt:

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {2m - 1} ight)^2} - 3\left( {2 - m} ight) > 0 \hfill \\ \frac{{2m - 1}}{3} > 0 \hfill \\ 2 - m > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4{m^2} - m - 5 > 0 \hfill \\ m > \frac{1}{2} \hfill \\ m < 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \frac{5}{4} < m < 2

    Vậy đáp án cần tìm là \frac{5}{4} < m < 2.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh 2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho theo a, biết A'B=3a.

     

    Do ABCD.A'B'C'D'là lăng trụ đứng nên AA' \bot AB.

    Xét tam giác vuông A'AB, ta có A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 5.

    Diện tích hình vuông ABCD là {S_{ABCD}} = A{B^2} = 4{a^2}.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.A'A = 4\sqrt 5 {a^3}

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hàm số và có bảng biến thiên như hình vẽ.

    Tính giá trị biểu thức

    Tính T = ab + bc + 2ca

    Ta có: 

    \begin{matrix} y' = 4a{x^3} + 2bx \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( 0 ight) = 3} \\ {y\left( 1 ight) = 2} \\ {y'\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {c = 3} \\ {a + b + c = 2} \\ {4a + 2b = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {c = 3} \\ {a = 1} \\ {b = - 2} \end{array}} ight. \Rightarrow T = - 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Vận dụng

    Gọi x_1, x_2 là 2 nghiệm của phương trình \frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{2 - {{\log }_2}x}} = 1. Khi đó x_1.x_2 bằng:

     Điều kiện: \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x e 4 \hfill \\ x e \frac{1}{{16}} \hfill \\ \end{gathered} ight..

    Đặt t = {\log _2}x ,điều kiện \left\{ \begin{gathered} t e - 4 \hfill \\ t e 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.. Khi đó phương trình trở thành:

    \frac{1}{{4 + t}} + \frac{2}{{2 - t}} = 1 \Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = - 1 \hfill \\ t = - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{2} \hfill \\ x = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy {x_1}.{x_2} = \frac{1}{8}.

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{{2x + 1}}{{ - x + 1}}. Mệnh đề nào dưới dây là đúng?

    Tập xác định của hàm số D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

    Ta có: y' = \frac{3}{{{{\left( { - x + 1} ight)}^2}}} > 0,\forall x e 1

    Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞)

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(0;0; - 3) và đi qua điểm M(4;0;0). Phương trình mặt cầu (S) là:

    Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(0;0; - 3) và bán kính R là:

    x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = R^{2}

    Ta có: M \in (S) \Rightarrow 4^{2} + 0^{2} + (0 + 3)^{2} = R^{2}

    \Leftrightarrow R^{2} = 25

    Vậy phương trình cần tìm là: x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 25.

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên của hàm số y = f^{'}(x) như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in ( - 10;10) để hàm số y = f(3x - 1) + x^{3} - 3mx đồng biến trên khoảng ( - 2;1)?

    Đáp án: 6

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên của hàm số y = f^{'}(x) như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in ( - 10;10) để hàm số y = f(3x - 1) + x^{3} - 3mx đồng biến trên khoảng ( - 2;1)?

    Đáp án: 6

    Để hàm số y = f(3x - 1) + x^{3} - 3mx đồng biến trên khoảng ( - 2;1)

    \Leftrightarrow y' \geq 0,\forall x \in ( - 2;1)

    \Leftrightarrow 3f'(3x - 1) + 3x^{2} - 3m \geq 0,\forall x \in ( - 2;1)

    \Leftrightarrow m \leq f^{'}(3x - 1) + x^{2},\forall x \in ( - 2;1)(*)

    Đặt k(x) = f^{'}(3x - 1),h(x) = x^{2} và g(x) = f^{'}(3x - 1) + x^{2} = k(x) + h(x).

    Ta có: \min_{( - 2;1)}k(x) = k(0) = - 4.

    Do đó, ta có: \min_{( - 2;1)}f^{'}(3x - 1) = f^{'}( - 1) = - 4 khi 3x - 1 = - 1 \Leftrightarrow x = 0.

    \Rightarrow \min_{( - 2;1)}k(x) = k(0) = - 4.

    Do đó, \min_{( - 2;1)}g(x) = g(0) = k(0) + h(0) = 0 - 4 = - 4.

    Từ (*) ta có m \leq f^{'}(3x - 1) + x^{2},\forall x \in ( - 2;1)

    \Leftrightarrow m \leq \min_{( - 2;1)}g(x) \Leftrightarrow m \leq - 4.

    Mà m \in ( - 10;10) \Rightarrow m \in \{- 9;\ldots; - 4\}.

    Vậy có tất cả 6 số nguyên thỏa mãn.

  • Câu 10: Nhận biết

    Tìm đạo hàm của hàm số y = \ln \left( {1 + {e^{2x}}} ight)

    Ta có: y' = \left( {\ln \left( {1 + {e^{2x}}} ight)} ight)' = \frac{{\left( {1 + {e^{2x}}} ight)'}}{{1 + {e^{2x}}}} = \frac{{2{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} ight)}^2}}}

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

     Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!

  • Câu 12: Thông hiểu

    Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích 18m^{3}, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao h bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất (biết nguyên vật liệu xây dựng các mặt là như nhau)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích 18m^{3}, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao h bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất (biết nguyên vật liệu xây dựng các mặt là như nhau)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 13: Vận dụng

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _3}\left( {1 - {x^2}} ight) \leqslant {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {1 - x} ight) là:

    0 ||không || Không|| x= 0

    Đáp án là:

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _3}\left( {1 - {x^2}} ight) \leqslant {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {1 - x} ight) là:

    0 ||không || Không|| x= 0

     

    BPT\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 - {x^2} > 0 \hfill \\ 1 - x > 0 \hfill \\ {\log _3}\left( {1 - {x^2}} ight) \leqslant - {\log _3}\left( {1 - x} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 < x < 1 \hfill \\ x < 1 \hfill \\ {\log _3}\left( {1 - {x^2}} ight) + {\log _3}\left( {1 - x} ight) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

     

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 < x < 1 \hfill \\ {\log _3}\left( {1 - {x^2}} ight)\left( {1 - x} ight) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 < x < 1 \hfill \\ {\log _3}\left( {1 - {x^2}} ight)\left( {1 - x} ight) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 < x < 1 \hfill \\ \left( {1 - {x^2}} ight)\left( {1 - x} ight) \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 < x < 1 \hfill \\ x({x^2} - x - 1) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 < x < 1 \hfill \\ x \leqslant \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \vee 0 \leqslant x \leqslant \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow - 1 < x \leqslant \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \vee 0 \leqslant x < 1

    Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của BPT là x=0.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{m^{2}x + 5}{2mx + 1} với m là tham số. Gọi S là tập hợp các số nguyên m \in \lbrack - 2020;2020brack để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3; + \infty). Xác định số phần tử của tập hợp S?

    Xét m = 0 \Rightarrow y = 5 là hàm hằng nên hàm số không nghịch biến. Vậy m = 0 không thỏa mãn.

    Xét m eq 0

    Tập xác định D = \left( - \infty; - \frac{1}{2m} ight) \cup \left( - \frac{1}{2m}; + \infty ight)

    Để hàm số nghịch biến trên khoảng (3; + \infty) khi và chỉ khi

    \left\{ \begin{matrix} y' = \frac{m^{2} - 10m}{(2mx + 1)^{2}} < 0 \\ - \frac{1}{2m} \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 10m < 0 \\ \frac{6m + 1}{2m} \geq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 0 < m < 10 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - \frac{1}{6} \\ m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m < 10

    Mà \left\{ \begin{matrix} m\mathbb{\in Z} \\ m \in \lbrack - 2020;2020brack \\ \end{matrix} ight. nên m \in \left\{ 1;2;3;...;9 ight\}

    Vậy tập hợp S có tất cả 9 giá trị.

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hàm số đa thức bậc bốn f(x). Đồ thị hàm số y = f'(3 - 2x) được biểu thị trong hình vẽ sau:

    Hàm số y = f(x) nghịch biến trong khoảng nào?

    Đặt t = 3 - 2x. Ta có bảng xét dấu của f'(3 - 2x) được mô tả lại như sau:

    Từ đó suy ra bảng xét dấu của f'(t)

    Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng ( - \infty; - 1),(3;5).

  • Câu 16: Thông hiểu

    Dựa vào thông tin dưới đây và trả lời các câu hỏi

    Số lượng của một loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được biểu diễn theo công thức S(t) = A.e^{rt} , trong đó A là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc 6 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con.

    Tỉ lệ tăng trưởng của vi khuẩn X gần nhất với kết quả nào sau đây?

    Chọn 6 giờ là mốc thời gian. Khi đó A = 150.

    Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn là 450 con nên t = 3;S(3) = 450.

    Từ đó ta có phương trình:

    150.e^{3r} = 450 \Leftrightarrow e^{3r} = 3 \Leftrightarrow r = \frac{ln3}{3} \approx 0,37.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = {\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 }}

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \sqrt 3 .{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 - 1}}.\left( {{x^2} - 3x + 1} ight)\prime \hfill \\ \Rightarrow y' = \sqrt 3 .\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 - 1}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH = - \log\left\lbrack H^{+} ightbrack với \left\lbrack H^{+} ightbrack là nồng độ ion hydrogen. Độ pH của một loại sữa có \left\lbrack H^{+} ightbrack = 10^{- 7,8} là bao nhiêu?

    Độ pH là pH = - log10^{- 6,8} = 6,8.

  • Câu 19: Nhận biết

    Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{2}{- x + 3}?

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{2}{- x + 3} = 0

    Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{2}{- x + 3} là đường thẳng có phương trình y = 0.

  • Câu 20: Vận dụng

    Hàm số y = \sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} - 2x - 3} ight)}^2}}} + 2 có bao nhiêu điểm cực trị?

    Tập xác định D = \mathbb{R}

    Ta có: y' = \frac{2}{3}.\frac{{2x - 2}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 2x - 3}}}};\left( {x e - 1;x e 3} ight)

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Tìm số cực trị của hàm số lũy thừa

    Vậy hàm số đã cho có ba điểm cực trị

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho hình vẽ:

    Đồ thị hàm số tương ứng với hàm số nào

    Đồ thị hàm số tương ứng với hàm số nào sau đây?

    Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 3) chỉ có hàm số y = \frac{1}{2}{x^3} - 3{x^2} + \frac{9}{2}x + 1 thỏa mãn.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

     

    Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì S.ABC là khối chóp đều nên suy ra \,SI \bot \left( {ABC} ight).

    Gọi M là trung điểm của BC\,\, \Rightarrow \,\,AI = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    Tam giác SAI vuông tại I, có:

    SI = \sqrt {S{A^2} - S{I^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} ight)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} ight)}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}

    Diện tích tam giác ABC là:  {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}

    Vậy thể tích khối chóp:  {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{{12}}

  • Câu 23: Vận dụng

    Để thiết kế một chiếc bể nuôi cá Koi trong sân vườn hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao 150(cm) và thể tích chứa 900\ \left( m^{3} ight). Biết giá thành để làm mặt bên là 2,8 triệu đồng/m^{2} và làm mặt đáy là 4 triệu đồng/m^{2}. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá (Làm tròn theo đơn vị triệu đồng).

    Đáp án: 2812

    Đáp án là:

    Để thiết kế một chiếc bể nuôi cá Koi trong sân vườn hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao 150(cm) và thể tích chứa 900\ \left( m^{3} ight). Biết giá thành để làm mặt bên là 2,8 triệu đồng/m^{2} và làm mặt đáy là 4 triệu đồng/m^{2}. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá (Làm tròn theo đơn vị triệu đồng).

    Đáp án: 2812

    Gọi x\ ,\ y lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hình hộp.

    Điều kiện: x\ > \ 0\ ;\ y\ > \ 0(m).

    Ta có thể tích của khối hộp:

    V = 1,5xy = 900 \Rightarrow \ xy\ = \ 600\ \Rightarrow \ y\ = \frac{600}{x}\left( m^{3} ight).

    Diện tích mặt đáy:

    S_{d}\ = \ xy\ = \ x\ .\ \frac{600}{x}\ = \ 600\ \left( m^{2} ight).

    Giá tiền để làm mặt đáy là:

    600\ .\ 4000000\ = \ 24.10^{8}(đồng).

    Diện tích xung quanh của bể cá:

    S_{xq}\ = \ 2.x.1,5\ + \ 2.y.1,5\ = \ 3.(x\ + \ y)\ = \ 3.\left( x\ + \ \frac{600}{x} ight).

    Giá tiền để làm mặt bên là:

    3.\left( x\ + \ \frac{600}{x} ight)\ .\ 2800000\ = \ 84.10^{5}.\left( x\ + \ \frac{600}{x} ight).

    Tổng chi phí để xây dựng bể cá là:

    T(x)\ = \ 84.10^{5}.\left( x\ + \frac{600}{x} ight)\ + \ 24.10^{8}\geq 84.10^{5}.2\sqrt{x.\frac{600}{x}}\ + \ 24.10^{8}\ \approx2812 (triệu đồng).

  • Câu 24: Vận dụng

    Cho hàm số y = \frac{{ax + 2}}{{cx + b}} có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Tính tổng T = a + 2b + 3c

    		Tính giá trị biểu thức T

    Từ đồ thị hàm số ta có nhận xét như sau:

    Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị (C)

    => x = \frac{{ - b}}{c} = 2 \Rightarrow b = - 2c

    Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C)

    => y = \frac{a}{c} = 1 \Rightarrow a = c

    Điểm có tọa độ (0; -1) thuộc đồ thị hàm số (C)

    => y(0) = -1 => \frac{2}{b} = - 1 \Rightarrow b = - 2

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = - 2} \\ {b = - 2c} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \\ {c = 1} \end{array}} ight. \Rightarrow T = a + 2b + 3c = 0

  • Câu 25: Thông hiểu

    Trong các hình dưới đây, hình nào không phải đa diện lồi?

     Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi (H): Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

     

  • Câu 26: Thông hiểu

    Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:

     Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

    Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

    Do đó độ đài đường chéo: \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10{m{cm}}{m{.}}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy) và đi qua ba điểm A(1;2; - 4),B(1; - 3;1),C(2;2;3). Tọa độ tâm I của mặt cầu (S) là:

    Gọi tâm mặt cầu là I(a;b;c) và phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

    Do I \in (Oxy) \Rightarrow c = 0

    \Rightarrow (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by + d = 0

    Lại có \left\{ \begin{matrix} A \in (S) \\ B \in (S) \\ C \in (S) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a + 4b - d = 21 \\ 2a - 6b - d = 11 \\ 4a + 4b - d = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 1 \\ d = - 21 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy I( - 2;1;0) là đáp án cần tìm.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Viết biểu thức P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}};\left( {x > 0} ight) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

    Ta có: P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}} = {x^{\frac{1}{5}}}.{x^{\frac{2}{3}}}.{x^{\frac{3}{5}}} = {x^{\frac{{113}}{{30}}}}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương x?

    Ta có: \left( {\log x} ight)' = \frac{1}{{x\ln 10}};\forall x > 0

  • Câu 30: Vận dụng

    Tổng độ dài \ell của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2

    60 || sáu mươi || Sáu mươi

    Đáp án là:

    Tổng độ dài \ell của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2

    60 || sáu mươi || Sáu mươi

     Khối mười hai mặt đều có tất cả 30 cạnh:

     Suy ra ta có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng \ell = 30.2 = 60.

  • Câu 31: Thông hiểu

    PT {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight) + {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) = 2 có nghiệm là?

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ {\log _2}x > 0 \hfill \\ {\log _4}x > 0 \hfill \\ {\log _{{2^2}}}\left( {{{\log }_2}x} ight) + {\log _2}\left( {{{\log }_{{2^2}}}x} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) + {\log _2}\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) + {\log _2}\frac{1}{2} + {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ \frac{3}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) - 1 = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ {\log _2}x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ x = 16 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x = 16

    Vậy PT có nghiệm là x=16.

  • Câu 32: Nhận biết

    Tập nghiệm của bất phương trình {\left( {\frac{1}{2}} ight)^x} > 32 là:

    Ta có: {\left( {\frac{1}{2}} ight)^x} > 32\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} ight)^x} > {\left( {\frac{1}{2}} ight)^{ - 5}} \Leftrightarrow x < - 5

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng \left( \alpha ight) thay đổi luôn đi qua B, trung điểm I của SO và cắt các cạnh SA, SC và SD lần lượt tại M, N và P. Tính giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của tỷ số \frac{{{V_{S.BMPN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}.

     

    Đặt \frac{{SA}}{{SM}} = x,\frac{{SC}}{{SN}} = y \Rightarrow x,y \geqslant 1.

    Ta có \frac{{SA}}{{SM}} + \frac{{SC}}{{SN}} = \frac{{SB}}{{SB}} + \frac{{SD}}{{SP}} = 2.\frac{{SO}}{{SI}} = 4

    Nên ta suy ra được: \frac{{SD}}{{SP}} = 3;\,\,x + y = 4.

    Do đó \frac{{{V_{S.BMPN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{8}{{4.x.y.3.1}} = \frac{2}{{3xy}} = \frac{2}{{3x\left( {4 - x} ight)}}

    Từ x + y = 4 \Leftrightarrow x = 4 - y \leqslant 3\, vì y \geqslant 1

    Xét f\left( x ight) = \frac{2}{{3x\left( {4 - x} ight)}},\,\,1 \leqslant x \leqslant 3, tính đạo hàm của hàm số trên, ta được: f'\left( x ight) = \frac{{2\left( {4 - 2x} ight)}}{{{{\left[ {3x\left( {4 - x} ight)} ight]}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2

    Ta có f\left( 1 ight) = f\left( 3 ight) = \frac{2}{9};\,f\left( 2 ight) = \frac{1}{6}.

    Vậy đạt GTLN và GTNN của tỉ số lần lượt là M=\frac{2}{9} ; \, m= \frac{1}{6}.

  • Câu 34: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số y = {\left( {x + 3} ight)^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[4]{{5 - x}} là:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 3 > 0} \\ {5 - x \geqslant 0} \end{array}} ight. \Rightarrow - 3 < x \leqslant 5

    => Tập xác định của hàm số là D = \left( { - 3;5} ight]

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) và đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ sau:

    Hàm số g(x) = f\left( |x| ight) +2021 có bao nhiêu điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) và đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ sau:

    Hàm số g(x) = f\left( |x| ight) +2021 có bao nhiêu điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 36: Thông hiểu

    Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x^{4} + 2\left( m^{2} - m - 6 ight)x^{2} + m - 1 có ba điểm cực trị?

    Ta có: y' = 4x^{3} + 4\left( m^{2} - m - 6 ight)x

    y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} + 4\left( m^{2} - m - 6 ight)x = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 4x = 0 \\ x^{2} = - m^{2} + m + 6 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi - m^{2} + m + 6 > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 3

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 1;0;1;2 ight\}. Vậy có 4 giá trị của tham số m thỏa mãn.

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f\left( x ight). Hàm số y = f'\left( x ight) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

    Bất phương trình nghiệm đúng khi và chỉ khi

    Bất phương trình \frac{{f\left( x ight)}}{{36}} - \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} > m nghiệm đúng với mọi x \in \left( {0;1} ight) khi và chỉ khi

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f\left( x ight). Hàm số y = f'\left( x ight) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

    Bất phương trình nghiệm đúng khi và chỉ khi

    Bất phương trình \frac{{f\left( x ight)}}{{36}} - \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} > m nghiệm đúng với mọi x \in \left( {0;1} ight) khi và chỉ khi

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 38: Nhận biết

    Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt P = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} P = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6} \hfill \\ P = 3{\log _a}b + \dfrac{6}{2}{\log _a}b \hfill \\ P = 3{\log _a}b + 3{\log _a} \hfill \\ P = 6{\log _a}b \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight)là:

    17 || x=17 || x bằng 17 || X=17

    Đáp án là:

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight)là:

    17 || x=17 || x bằng 17 || X=17

     Điều kiện:

    {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) > 2

    \Leftrightarrow {\log _2}x > 4 \Leftrightarrow x > 16

    Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất x=17.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Viết biểu thức \sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } :{a^{\frac{{11}}{6}}} với a > 0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?

    Ta có: 

    \begin{matrix} A = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } :{a^{\frac{{11}}{6}}} = {\left( {a\sqrt {{a^{\frac{3}{2}}}} } ight)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} \hfill \\ = {\left( {a.{a^{\frac{3}{8}}}} ight)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {\left( {{a^{\frac{7}{4}}}} ight)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {a^{\frac{7}{8}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {a^{\frac{{23}}{{24}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích V của khối chóp .A.GBC

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích V của khối chóp .A.GBC

    4 || Bốn || bốn

     Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên S_{\triangle GBC}= \frac{1}{3}S_{\triangle DBC}.

    Suy ra {V_{A.GBC}} = \frac{1}{3}{V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.12 = 4.

  • Câu 42: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình 2^{2x - 1} = 8 là:

    Ta có:

    2^{2x - 1} = 8 \Leftrightarrow 2x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2.

  • Câu 43: Vận dụng

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60^0 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là:

    Thể tích của khối cầu ngoại tiếp

    Gọi O = AC \cap BD, suy ra SO \bot \left( {ABCD} ight).

    Ta có {60^0}{m{ = }}\widehat {SB,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SB,OB} = \widehat {SBO}.

    Trong \triangle SOB, ta có SO = OB.\tan \widehat {SBO} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.

    Ta có SO là trục của hình vuông ABCD.

    Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn B.

    Gọi I = SO \cap d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in SO\\I \in d\end{array} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = IB = IC = ID\\IS = IB\end{array} ight.

    \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS = R

    Xét \triangle SBD có \left\{ \begin{array}{l}SB = SD\\\widehat {SBD} = \widehat {SBO} = {60^o}\end{array} ight. \Rightarrow    \triangle SBD đều.

    Do đó d cũng là đường trung tuyến của \triangle SBD . Suy ra I là trọng tâm \triangle SBD .

    Bán kính mặt cầu R = SI = \frac{2}{3}SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.

    Suy ra V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{8\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}

  • Câu 44: Nhận biết

    Giá trị của biểu thức P = {\left( {1 + \sqrt 3 } ight)^{2016}}.{\left( {3 - \sqrt 3 } ight)^{2016}} bằng:

    Ta có:

    P = {\left( {1 + \sqrt 3 } ight)^{2016}}.{\left( {3 - \sqrt 3 } ight)^{2016}}

    = {\left[ {\left( {1 + \sqrt 3 } ight)\left( {3 - \sqrt 3 } ight)} ight]^{2016}} = {\left( {2\sqrt 3 } ight)^{2016}} = {12^{1008}}

  • Câu 45: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình 1. Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

    Điểm cực tiểu của hàm số là 2.

  • Câu 46: Vận dụng

    Giá trị của biểu thức M = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2019}}.{\left( {3\sqrt 2 - 4} ight)^{2018}} là:

    Ta có:

    \begin{matrix} 3\sqrt 2 - 4 = \sqrt 2 .\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight) \hfill \\ \Rightarrow M = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2019}}.{\left( {\sqrt 2 } ight)^{2018}}.{\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}} \hfill \\ \left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight) = {3^2} - {\left( {2\sqrt 2 } ight)^2} = 9 - 8 = 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2018}}{\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}} = 1 \hfill \\ \Rightarrow M = {\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}}{.2^{2019}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 47: Nhận biết

    Xét các mệnh đề:

    (I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng \triangle cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.

    (II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.

    Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

    Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra  (I) đúng.

    Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).

    Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.

    Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.

  • Câu 48: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = x\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight),\forall x \in \mathbb{R}. Hàm số g\left( x ight) = f\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} ight) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

    Ta có: f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x - 1} ight)^2}\left( {x - 2} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = 2} \end{array}} ight.

    Ta có: g'\left( x ight) = \frac{{ - 5{x^2} + 20}}{{{{\left( {{x^2} + 4} ight)}^2}}}.f'\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} ight)

    Cho g’(x) = 0 => \frac{{ - 5{x^2} + 20}}{{{{\left( {{x^2} + 4} ight)}^2}}}.f'\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} ight) = 0

    Dựa vào f’(x) ta có:

    \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5{x^2} + 20 = 0} \\ {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 0} \\ {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 1} \\ {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 2} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm 2} \\ {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = 4} \end{array}} ight.

    Lập bảng xét dấu như sau:

    Xét khoảng đồng biến của hàm số

    Quan sát bảng xét dấy ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (2; 4)

  • Câu 49: Vận dụng cao

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình {\log _2}\left( {7{x^2} + 7} ight) \geqslant {\log _2}\left( {m{x^2} + 4x + m} ight),{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R} \, \, (1)

     Bất phương trình tương đương 7{x^2} + 7 \geqslant m{x^2} + 4x + m > 0,{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {7 - m} ight){x^2} - 4x + 7 - m \geqslant 0{\text{ }}(2) \hfill \\ m{x^2} + 4x + m > 0{\text{ }}(3) \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}.

    m=7: (2) không thỏa \forall x \in \mathbb{R}

    m=0: (3) không thỏa \forall x \in \mathbb{R}

    (1) thỏa mãn \forall x \in \mathbb{R}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 7 - m > 0 \hfill \\ {{\Delta '}_2} = 4 - {\left( {7 - m} ight)^2} \leqslant 0 \hfill \\ m > 0 \hfill \\ {{\Delta '}_3} = 4 - {m^2} < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}

    \Leftrightarrow {\text{ }}\left\{ \begin{gathered} m < 7 \hfill \\ m \leqslant 5 \hfill \\ m > 0 \hfill \\ m > 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }} \Leftrightarrow {\text{ }}2 < m \leqslant 5.

    Vậy m \in \left( {2;5} ight].

  • Câu 50: Vận dụng

    Anh T đã làm hợp đồng xin vay vốn ngân hàng để kinh doanh với số tiền 200 triệu đồng với lãi suất a% trên một năm. Điều kiện hợp đồng là số tiền lại tháng trước sẽ được tính làm vốn để sinh lãi cho tháng sau. Sau hai năm kinh doanh, anh T dã thanh toán hợp đồng ngân hàng với số tiền làm tròn là 245512000 đồng. Chọn khẳng định đúng?

    Lãi suất mỗi tháng là \frac{a}{{12}}\%. Theo công thức lãi kép ta có:

    \begin{matrix} 200.{\left( {1 + \dfrac{a}{{12}}\% } ight)^{24}} = 245,512 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{a}{{12}}\% = \sqrt[{24}]{{\dfrac{{245,512}}{{200}}}} - 1 \hfill \\ \Rightarrow a \approx 10 \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 51 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập