Lớp 12 Toán 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 12.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực?

     Ta có:

    y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2{x^2} + 1} ight);y = {\log _{\frac{1}{2}}}x là các hàm số không xác định trên \mathbb{R}

    Vì \frac{2}{e} < 1 \Rightarrow y = {\left( {\frac{2}{e}} ight)^x} nghịch biến trên \mathbb{R}

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho 0 < a e 1. Rút gọn biểu thức P = \frac{{{{\left( {{a^3}} ight)}^4}}}{{{a^2}.{a^{\frac{3}{2}}}}}

    Ta có: P = \frac{{{{\left( {{a^3}} ight)}^4}}}{{{a^2}.{a^{\frac{3}{2}}}}} = \frac{{{a^{12}}}}{{{a^{\frac{7}{2}}}}} = {a^{12 - \frac{7}{2}}} = {a^{\frac{{17}}{2}}}

  • Câu 3: Vận dụng

    Một sợi dây kim loại dài 120cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn như hình vẽ:

    Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một sợi dây kim loại dài 120cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn như hình vẽ:

    Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Thông hiểu

    Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

    Ta thấy: y = {2^{ - x}} = {\left( {\frac{1}{2}} ight)^x}

    Do vậy đồ thị của hàm số y = {2^{ - x}} không có tiệm cận đứng

  • Câu 5: Thông hiểu

    Đặt a = {\log _7}11;b = {\log _2}7. Hãy biểu diễn {\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} theo a và b.

    Ta có: 

    {\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 3\left( {{{\log }_7}121 - {{\log }_7}8} ight) = 6{\log _7}11 - 9.\frac{1}{{{{\log }_2}7}} = 6a - \frac{9}{b}

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA=2a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

     

    Gọi I là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và có I là trung điểm AB nên SI \bot AB. Do (SAB) \bot (ABCD) theo giao tuyến AB nên SI \bot (ABCD).

    Tam giác vuông SIA, có:

    SI = \sqrt {S{A^2} - I{A^2}} = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} ight)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}

  • Câu 7: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình 2^{2x - 1} = 8 là:

    Ta có:

    2^{2x - 1} = 8 \Leftrightarrow 2x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2.

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ:

    Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{{x - 2}}{{{f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4}} là:

    Ta có: {f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = 4} \\ {f\left( x ight) = 1} \end{array}} ight.

    Phương trình f\left( x ight) = 4 có 3 nghiệm phân biệt khác 2.

    Phương trình f\left( x ight) = 1 có một nghiệm kép là x = 2 (do vậy mẫu số có dạng {\left( {x - 2} ight)^2} nên x = 2 vẫn là TCĐ của đồ thị hàm số

    => Đồ thị hàm số y = \frac{{x - 2}}{{{f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4}} có 4 đường tiệm cận đứng.

  • Câu 9: Nhận biết

    Bất phương trình {\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{x^2} - x + 1} ight) < 0 có tập nghiệm là:

     Ta có {\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{x^2} - x + 1} ight) < 0 

    \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x < 0 \hfill \\ x > \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy BPT có tập nghiệm là  S = \left( { - \infty ;0} ight) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } ight).

  • Câu 10: Vận dụng

    Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức P(x) = \frac{1}{40}x^{2}(30 - x) trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam, 0 < x < 30).

    a) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân là P(x) = \frac{3}{4}x^{2} - \frac{1}{40}x^{3}. Đúng||Sai

    b) Đạo hàm của P(x) là P'(x) = \frac{3}{2}x + \frac{3}{40}x^{2}. Sai||Đúng

    c) Phương trình P'(x) = 0 có nghiệm duy nhất. Sai||Đúng

    d) Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 20mg. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức P(x) = \frac{1}{40}x^{2}(30 - x) trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam, 0 < x < 30).

    a) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân là P(x) = \frac{3}{4}x^{2} - \frac{1}{40}x^{3}. Đúng||Sai

    b) Đạo hàm của P(x) là P'(x) = \frac{3}{2}x + \frac{3}{40}x^{2}. Sai||Đúng

    c) Phương trình P'(x) = 0 có nghiệm duy nhất. Sai||Đúng

    d) Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 20mg. Đúng||Sai

    a) Đúng. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được viết lại làP(x) = \frac{3}{4}x^{2} - \frac{1}{40}x^{3}.

    b) Sai. Đạo hàm của P(x) làP'(x) = \frac{3}{2}x - \frac{3}{40}x^{2}.

    c) Sai. Xét phương trình P'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2}x - \frac{3}{40}x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 20 \\ \end{matrix} ight.

    d) Đúng. Ta có bảng biến thiên:

    Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 20 mg.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \left[ { - 30;30} ight] để hàm số f\left( {{x^3} - 3{m^2}x} ight) có đúng 11 điểm cực trị?

    Tìm m để hàm số có 11 cực trị

    Hàm số đạt cực trị tại x = a < - 1;x = - 1;x = 4

    Xét hàm số f\left( {\left| {{x^3} - 3mx} ight|} ight) = f\left( u ight)

    Bảng biến thiên của hàm số u = \left| {{x^3} - 3mx} ight| \geqslant 0 suy ra chỉ có phương trình u = \left| {{x^3} - 3mx} ight| = 4 cho ta nghiệm bội lẻ.

    Nếu m \leqslant 0

    => Số điểm cực trị u là 1

    => Số nghiệm bội lẻ của phương trình u = 4 tối đa 2 nghiệm bội lẻ (Không thỏa yêu cầu)

    Khi m > 0 => Số điểm cực trị u là 5 ta có bảng biến thiên của hàm số u = \left| {{x^3} - 3mx} ight|

    Tìm m để hàm số có 11 cực trị

    Áp dụng công thức:

    Số điểm cực trị của hàm số f(u) = số nghiệm bội lẻ của phương trình (u = 4) + số điểm cực trị của u

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {2m\sqrt m > 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m > \sqrt[3]{4}. Kết hợp với điều kiện \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \in \mathbb{Z}} \\ {m \in \left[ { - 30;30} ight]} \end{array}} ight.

    => Có 29 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Nghiệm lớn nhất của phương trình - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x  là:

    100 || 1 trăm || một trăm || Một trăm || x=100

    Đáp án là:

    Nghiệm lớn nhất của phương trình - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x  là:

    100 || 1 trăm || một trăm || Một trăm || x=100

     Điều kiện: x>0

    - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \log x = - 1 \hfill \\ \log x = 2 \hfill \\ \log x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{{10}} \hfill \\ x = 100 \hfill \\ x = 10 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy nghiệm lớn nhất là x =100.

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng \left( \alpha ight) thay đổi luôn đi qua B, trung điểm I của SO và cắt các cạnh SA, SC và SD lần lượt tại M, N và P. Tính giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của tỷ số \frac{{{V_{S.BMPN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}.

     

    Đặt \frac{{SA}}{{SM}} = x,\frac{{SC}}{{SN}} = y \Rightarrow x,y \geqslant 1.

    Ta có \frac{{SA}}{{SM}} + \frac{{SC}}{{SN}} = \frac{{SB}}{{SB}} + \frac{{SD}}{{SP}} = 2.\frac{{SO}}{{SI}} = 4

    Nên ta suy ra được: \frac{{SD}}{{SP}} = 3;\,\,x + y = 4.

    Do đó \frac{{{V_{S.BMPN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{8}{{4.x.y.3.1}} = \frac{2}{{3xy}} = \frac{2}{{3x\left( {4 - x} ight)}}

    Từ x + y = 4 \Leftrightarrow x = 4 - y \leqslant 3\, vì y \geqslant 1

    Xét f\left( x ight) = \frac{2}{{3x\left( {4 - x} ight)}},\,\,1 \leqslant x \leqslant 3, tính đạo hàm của hàm số trên, ta được: f'\left( x ight) = \frac{{2\left( {4 - 2x} ight)}}{{{{\left[ {3x\left( {4 - x} ight)} ight]}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2

    Ta có f\left( 1 ight) = f\left( 3 ight) = \frac{2}{9};\,f\left( 2 ight) = \frac{1}{6}.

    Vậy đạt GTLN và GTNN của tỉ số lần lượt là M=\frac{2}{9} ; \, m= \frac{1}{6}.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho {4^x} + {4^{ - x}} = 34. Tính giá trị của biểu thức T = \frac{{{2^x} + {2^{ - x}} - 3}}{{1 + {2^{x + 1}} - {2^{1 - x}}}}

    Ta có:

    \begin{matrix} {4^x} + {4^{ - x}} = 34 \hfill \\ \Rightarrow {2^{2x}} + 2 + {2^{ - 2x}} = 36 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} ight)^2} = 36 \hfill \\ \Rightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 6;\left( {{2^x} + {2^{ - x}} > 0} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó ta được:

    T = \frac{{{2^x} + {2^{ - x}} - 3}}{{1 + {2^{x + 1}} - {2^{1 - x}}}} = \frac{{6 - 3}}{{1 - 2\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} ight)}} = \frac{3}{{1 - 2.6}} = \frac{{ - 3}}{{11}}

  • Câu 16: Nhận biết

    Với a và b là hai số thực dương tùy ý thì \log \left( {a{b^2}} ight) bằng:

    Ta có: \log \left( {a{b^2}} ight) = \log a + \log {b^2} = \log a + 2\log b

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có bảng biến như sau:

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có một nghiệm

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m có một nghiệm?

    Đặt t = \sqrt {x + 1} + 1 \Rightarrow t \geqslant 1

    Khi đó bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m trở thành f\left( t ight) \leqslant m{\text{ }}\left( * ight)

    Bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m có nghiệm khi bất phương trình f\left( t ight) \leqslant m có nghiệm t \geqslant 1

    \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\min \left( t ight)}\limits_{t \geqslant 1} \Leftrightarrow m \geqslant - 4

  • Câu 18: Vận dụng

    Nghiệm bé nhất của phương trình {\log _2}^3x - 2{\log ^2}_2x = {\log _2}x - 2 là: 

     TXĐ: x>0

    PT \Leftrightarrow {\log _2}^3x - 2{\log _2}^2x = {\log _2}x - 2 

    \Leftrightarrow {\log _2}^3x - 2{\log _2}^2x - {\log _2}x + 2 = 0

    \Leftrightarrow {\log _2}^3x - {\log _2}x - 2{\log _2}^2x + 2 = 0

    \Leftrightarrow {\log _2}x({\log ^2}_2x - 1) - 2({\log ^2}_2x - 1) = 0

    \Leftrightarrow ({\log ^2}_2x - 1)({\log _2}x - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log ^2}_2x - 1 = 0 \hfill \\ {\log _2}x - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log _2}x = 1 \hfill \\ {\log _2}x = - 1 \hfill \\ {\log _2}x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = \frac{1}{2} \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow x = \frac{1}{2} là nghiệm nhỏ nhất.

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Xác định giá trị cực tiểu của hàm số đã cho.

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

    Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu là y = 1.

  • Câu 20: Vận dụng

    Tìm tập nghiệm của bất phương trình {11^{\sqrt {x + 6} }} \geqslant {11^x} sau: 

    Ta có:  {11^{\sqrt {x + 6} }} \geqslant {11^x} \Leftrightarrow \sqrt {x + 6} \geqslant x

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x < 0 \hfill \\ x + 6 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ x + 6 \geqslant {x^2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - 6 \leqslant x < 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ - 2 \leqslant x \leqslant 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow - 6 \leqslant x \leqslant 3

  • Câu 21: Nhận biết

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

    Đáp án là:

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

     

    Hình bát diện đều có 12 cạnh.

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Bất phương trình {25^{ - {x^2} + 2x + 1}} + {9^{ - {x^2} + 2x + 1}} \geqslant {34.15^{ - {x^2} + 2x}} có tập nghiệm là:

    Ta có:  {25^{ - {x^2} + 2x + 1}} + {9^{ - {x^2} + 2x + 1}} \geqslant {34.15^{ - {x^2} + 2x}}

    \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{3}} ight)^{2\left( { - {x^2} + 2x + 1} ight)}} + 1 \geqslant \frac{{34}}{{15}}.{\left( {\frac{5}{3}} ight)^{\left( { - {x^2} + 2x + 1} ight)}}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 0 \leqslant x \leqslant 2 \hfill \\ x \leqslant 1 - \sqrt 3 \hfill \\ x \geqslant 1 + \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy S = \left( { - \infty ;1 - \sqrt 3 } ight] \cup \left[ {0;2} ight] \cup \left[ {1 + \sqrt 3 ; + \infty } ight).

  • Câu 23: Nhận biết

    Chọn hàm số đồng biến trên \mathbb{R}?

    Xét hàm số y = 2x^{3} + 3x + 1 ta có:

    y' = 6x^{2} + 3 > 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Vậy hàm số y = 2x^{3} + 3x + 1 đồng biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 24: Nhận biết

    Hình nón có đường sinh l=2a và hợp với đáy góc \alpha = {60^0}. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết, ta có

    SA = \ell = 2a và \widehat {SAO} = {60^0}.

    Suy ra:

    R = OA = SA.\cos {60^0} = a.

    Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho a là một số dương, biểu thức {a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:

    Ta có: {a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight)là:

    17 || x=17 || x bằng 17 || X=17

    Đáp án là:

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight)là:

    17 || x=17 || x bằng 17 || X=17

     Điều kiện:

    {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) > 2

    \Leftrightarrow {\log _2}x > 4 \Leftrightarrow x > 16

    Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất x=17.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z - 19 = 0 và mặt phẳng (P):2x - y - 2z + m + 3 = 0, với m là tham số. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi 6\pi. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc T bằng:

    Mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 25 có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.

    Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.

    Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:

    d\left( I;(P) ight) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 4

    \Leftrightarrow \frac{|4 - 1 + 2 + m + 3|}{3} = 4

    \Leftrightarrow |m + 8| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 20 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích V của khối chóp .A.GBC

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích V của khối chóp .A.GBC

    4 || Bốn || bốn

     Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên S_{\triangle GBC}= \frac{1}{3}S_{\triangle DBC}.

    Suy ra {V_{A.GBC}} = \frac{1}{3}{V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.12 = 4.

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hàm số y = {\left( {x - 1} ight)^{ - \frac{1}{4}}}. Khẳng định nào sau đây đúng?

     Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1 

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} là f'(x) = (x - 1)(x + 3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack -10;2021brack để hàm số y =f\left( x^{2} + 3x - m ight) đồng biến trên khoảng (0;2)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} là f'(x) = (x - 1)(x + 3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack -10;2021brack để hàm số y =f\left( x^{2} + 3x - m ight) đồng biến trên khoảng (0;2)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 31: Thông hiểu

    Gọi A;B;C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = \frac{1}{2}x^{4} - x^{2} - 1. Tính diện tích tam giác ABC?

    Ta có: y' = 2x^{3} - 2x;y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ba điểm cực trị của hàm số là A(0; - 1),B\left( 1; - \frac{3}{2} ight),C\left( - 1; - \frac{3}{2} ight)

    Tam giác ABC có điểm A \in Oy, hai điểm B;C đối xứng nhau qua trục tung nên tam giác ABC cân tại A. Trung điểm H\left( 0; - \frac{3}{2} ight) của BC thuộc trục Oy và là chân đường cao hạ từ A của tam giác, suy ra:

    S_{ABC} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}\left| y_{A} - y_{B} ight|.\left| x_{B} - x_{C} ight|

    = \frac{1}{2}.\left| - 1 + \frac{3}{2} ight|.2 = \frac{1}{2}

    Vậy diện tích tam giác ABC bằng \frac{1}{2}.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có AB = AA' = a, đường chéo AC'hợp với mặt đáy (ABCD) một góc \alpha thỏa mãn \cot \alpha = \sqrt 5. Tính theo a thể tích khối hộp đã cho.

     

    Ta có AA' \bot \left( {ABCD} ight) nên \widehat {A'C,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {A'C,AC} = \widehat {A'CA}.

    Tam giác vuông A'AC, ta có AC = AA'.\cot \alpha = a\sqrt 5.

    Tam giác vuông ABC, ta có BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 2a.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD là {S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = 2{a^3}.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Hình đa diện trong hình vẽ sau có bao nhiêu cạnh? 

    Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \ln \frac{{x + 1}}{{x + 4}}. Tính giá trị của biểu thức M = f'\left( 0 ight) + f'\left( 3 ight) + f'\left( 6 ight) + ... + f'\left( {2019} ight)

    Với x \in \left[ {0; + \infty } ight) ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1 > 0} \\ {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Rightarrow f\left( x ight) = \ln \frac{{x + 1}}{{x + 4}} = \ln \left( {x + 1} ight) - \ln \left( {x + 4} ight)

    Ta có: f'\left( x ight) = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 4}} do đó:

    \begin{matrix} M = f'\left( 0 ight) + f'\left( 3 ight) + f'\left( 6 ight) + ... + f'\left( {2019} ight) \hfill \\ M = \left( {1 - \dfrac{1}{4}} ight) + \left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7}} ight) + \left( {\dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{10}}} ight) + ... + \left( {\dfrac{1}{{2020}} - \dfrac{1}{{2023}}} ight) \hfill \\ M = 1 - \dfrac{1}{{2023}} = \dfrac{{2022}}{{2023}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hình đa diện đều loại \left\{ {4;3} ight\} cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Đa diện đều loại \left\{ {4;3} ight\} là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh a.

    Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là S=6a^2

  • Câu 36: Thông hiểu

    Điều kiện xác định của phương trình \log ({x^2} - 6x + 7) + x - 5 = \log (x - 3) là:

    Điều kiện phương trình xác định:  

    \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 6{\text{x + 7}} > 0 \hfill \\ x - 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x > 3 + \sqrt 2 \hfill \\ x < 3 - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ x > 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x > 3 + \sqrt 2

  • Câu 37: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1; - 4;0) có bán kính bằng 3. Phương trình của (S) là:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 4;0)và bán kính bằng 3có phương trình là:

    (x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z - 0)^{2} = 3^{2}

    \Rightarrow (x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 9

  • Câu 38: Nhận biết

    Đồ thị của hàm số nào tương ứng với đồ thị trong hình vẽ sau:

    Đồ thị hàm số ứng với hàm số nào

     Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

    Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \left( {0;d} ight)

    => d > 0 => Loại đáp án  y = {x^3} - 4x - 1

    Mặt khác \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = + \infty => Hệ số a > 0 => Loại đáp án y = - {x^3} + 4x + 2

    Hàm số đạt cực trị tại hai điểm {x_1};{x_2}, dựa vào hình vẽ ta thấy {x_1};{x_2} trái dấu

    => Loại đáp án y = {x^3} + 3{x^2} + 1

    Vậy đáp án là y = {x^3} - 4x + 1

  • Câu 39: Nhận biết

    Quan sát hình và chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Quan sát hình vẽ, ta thấy:

    Khối chóp tứ giác S.ABCD được phân chia thành 2 khối tứ diện C.SAB và C.SAD.

  • Câu 40: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x - 7}}{x^{2} + 3x - 4} có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

    Tập xác định D = \lbrack 7; + \infty)

    Phương trình x^{2} + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó không tồn tại các giới hạn \lim_{x ightarrow - 4^{-}}y;\lim_{x ightarrow - 4^{+}}y;\lim_{x ightarrow 1^{-}}y;\lim_{x ightarrow 1^{+}}y. Vì vậy đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

  • Câu 41: Thông hiểu

    Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 35t^{2} - \frac{5}{3}t^{3} (kết quả khào sát trong 12 tháng liên tục). Nếu xem f^{'}(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ mấy?

    Trả lời: Ngày thứ 7

    Đáp án là:

    Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 35t^{2} - \frac{5}{3}t^{3} (kết quả khào sát trong 12 tháng liên tục). Nếu xem f^{'}(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ mấy?

    Trả lời: Ngày thứ 7

    Ta có f(t) = 35t^{2} - \frac{5}{3}t^{3} \Rightarrow f'(t) = 70t - 5t^{2}(t > 0)

    Vì f^{'}(t) có đồ thị là một parabol có bề lõm quay xuống nên đạt giá trị cực đại tại t = - \frac{70}{2( - 5)} = 7.

    Vậy vào ngày thứ 7 tốc độ truyền bệnh là nhanh nhất.

  • Câu 42: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC  là:

     Tìm bán kính

    Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Gọi I là trung điểm SC, suy ra IM ||SA nên IM \bot \left( {ABC} ight) .

    Do đó IM là trục của \triangle ABC, suy ra IA=IB=IC     (1)

    Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS=IC=IA.  (2)

    Từ (1) và (2) , ta có IS=IA=IB=IC

    hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

    Vậy bán kính R = IS = \frac{{SC}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} .

  • Câu 43: Vận dụng

    Cho hình vẽ sau là đồ thị của ba hàm số y = {x^\alpha };y = {x^\beta };y = {x^\gamma } với x > 0 và \alpha ;\beta ;\gamma là các số thực cho trước, mệnh đề nào sau đây đúng?

    Chọn mệnh đề đúng

    Hàm số {x^\alpha } nghịch biến trên \alpha < 0

    Các hàm số y = {x^\beta };y = {x^\gamma } đồng biến nên \beta ;\gamma > 0

    Tại x = 3 thì {3^\beta } > {3^\gamma } \Rightarrow \beta > \gamma

  • Câu 44: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số y = f(x - m) đồng biến trên khoảng (2020; + \infty). Hỏi tập hợp S có tất cả bao nhiêu phần tử?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y =f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số y = f(x - m) đồng biến trên khoảng (2020; + \infty). Hỏi tập hợp S có tất cả bao nhiêu phần tử?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 45: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên \mathbb{R}?

    Xét hàm số y = x^{3} - x^{2} + 3x + 11 ta có:

    y' = - 3x^{2} + 2x + 3 = \left( \sqrt{3}x - \frac{1}{\sqrt{3}} ight)^{2} + \frac{8}{3} > 0;\forall x\mathbb{\in R} suy ra hàm số liên tục trên \mathbb{R}.

  • Câu 46: Thông hiểu

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 47: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} - (2m + 1)x^{2} + (3 - m)x + 2 với m là tham số. Định điều kiện của tham số m để hàm số y = f\left( |x| ight) có ba điểm cực trị?

    Ta có:

    y' = f'(x) = 3x^{2} - 2(2m + 1)x + 3 - m

    y' = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 2(2m + 1)x + 3 - m = 0(*)

    Để hàm số y = f\left( |x| ight) có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số y = f(x) có đúng một cực trị nằm bên phải trục tung => phương trình (*) có 1 nghiệm dương => phương trình (*) có hai nghiệm dươngx_{1};x_{2} thỏa mãn \left\lbrack \begin{matrix} 0 = x_{1} < x_{2} \\ x_{1} < 0 < x_{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 3 - m = 0 \\ 2m + 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ 3 - m < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq 3

  • Câu 48: Thông hiểu

    Cho hàm số y = {x^\pi }. Tính y''\left( 1 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \pi .{x^{\pi - 1}} \Rightarrow y'' = \pi \left( {\pi - 1} ight).{x^{\pi - 2}} \hfill \\ y''\left( 1 ight) = \pi \left( {\pi - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 49: Thông hiểu

    Cho số thực a dương. Rút gọn biểu thức P = \sqrt[5]{{a.\sqrt[4]{{a.\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}}}

    Ta có:

    P = \sqrt[5]{{a.\sqrt[4]{{a.\sqrt[3]{{{a^{\frac{3}{2}}}}}}}}} = {\left( {a\sqrt[4]{{a.{a^{\frac{1}{2}}}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {a\sqrt[4]{{{a^{\frac{3}{2}}}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {a.{a^{\frac{3}{8}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{a^{\frac{{11}}{8}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {a^{\frac{{11}}{{40}}}}

  • Câu 50: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B, AC = a\sqrt 2, SA=a và vuông góc với đáy (ABC). Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Mặt phẳng (\alpha) qua AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.AMN.

     

    Từ giả thiết suy ra AB=BC=a.

    Diện tích tam giác {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}}}{2}. Do đó {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{{{a^3}}}{6}.

    Gọi I là trung điểm BC.

    Do G là trọng tâm \Delta SBC nên \frac{{SG}}{{SI}} = \frac{2}{3}.

    Vì BC\parallel \left( \alpha ight)\xrightarrow{{}}BC song song với giao tuyến MN

    ightarrow{{}}\Delta AMN \backsim \Delta ABC theo tỉ số \frac{2}{3}\xrightarrow{{}}{S_{\Delta AMN}} = \frac{4}{9}{S_{\Delta SBC}}

    Vậy thể tích khối chóp {V_{S.AMN}} = \frac{4}{9}.{V_{S.ABC}} = \frac{{2{a^3}}}{{27}}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 6 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập