Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!
Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh là
. Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là
, sau đó gập tấm nhôm lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Tìm
để thể tích chiếc hộp là lớn nhất.
Đáp án: 5
Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh là . Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là
, sau đó gập tấm nhôm lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Tìm
để thể tích chiếc hộp là lớn nhất.
Đáp án: 5
Chiều cao của chiếc hộp khi gập tấm nhôm là .
Kích thước đáy hai đáy của chiếc hộp là .
Ta có .
Thể tích chiếc hộp là .
.
Bài toán trở thành, tìm
sao cho
là lớn nhất.
Vậy cần cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là để chiếc hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.
Điều kiện xác định của Bất phương trình
là?
Biểu thức xác định khi và chỉ khi:
Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
, biết
song song với giá của vectơ
, vuông góc với
và tiếp xúc với
.
Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R = 4.
Vectơ pháp tuyến của (α) là
Theo giả thiết, suy ra (P) có vectơ pháp tuyến là
Phương trình của mặt phẳng (P) có dạng
Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là:
Cho các hình sau:
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là:
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho S0 trùng với S, Sn trùng với S’ và bất kì hai mặt
nào
cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Cho hàm số bậc ba
có đồ thị là đường cong như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng ba điểm cực trị?
Cho hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong như hình vẽ:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số
có đúng ba điểm cực trị?
Phương trình
có hai nghiệm
trong đó
, hãy chọn phát biểu đúng?
Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được:
Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Số nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Khi đó suy ra phương trình (1) có 1 nghiệm; phương trình (2) có 3 nghiệm và phương trình (3) có 1 nghiệm.
=> Phương trình có 5 nghiệm
Cho hàm số
. Tập xác định của hàm số đã cho là:
Điều kiện xác đinh:
=> Tập xác định của hàm số là:
Để đồ thị hàm số
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng
. Tìm giá trị tham số
thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng
. Tìm giá trị tham số
thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Nếu đặt
thì phương trình
trở thành phương trình nào?
Đặt
PT
.
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
vuông góc với đáy và khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là hình chiếu của
trên
Ta có
Suy ra
Tam giác vuông tại
, có
Vậy .
Chọn hàm số tương ứng với đồ thị hàm số trong hình vẽ dưới đây:

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:
Hàm số có dạng hàm số bậc bốn trùng phương:
=> Loại đáp án B
Đồ thị có nhánh cuối của đồ thị đi lên
=> Hệ số a > 0
=> Loại đáp án A
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm O
=> c = 0
=> Loại đáp án C
Cho hàm số
liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là:
Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là .
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác với
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Diện tích tam giác là
.
Vậy thể tích khối lăng trụ
Cho
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
Khi đó ta được:
Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình bên dưới). Cạnh đáy dưới dài 5m, cạnh đáy trên dài 2m, cạnh bên dài 3m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1470000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Đáp án: 40538432
Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình bên dưới). Cạnh đáy dưới dài 5m, cạnh đáy trên dài 2m, cạnh bên dài 3m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1470000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.
Đáp án: 40538432
Hình vẽ minh họa:
Mô hình hoá chân tháp bằng cụt chóp tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ với O, O′ là tâm của hai đáy.
Vậy .
ABCD là hình vuông
là hình vuông
Kẻ
là hình chữ nhật
vuông tại
Diện tích đáy lớn là:
Diện tích đáy bé là:
Thể tích hình chóp cụt là:
Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là: (đồng).
Đồ thị của hàm số
(với
là tham số) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Kết luận nào sau đây đúng?
Phương trình hoành độ giao điểm
Đặt . Phương trình trở thành
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt, nghĩa là
Gọi ;
là nghiệm cỉa phương trình (1) và
là nghiệm của phương trình (2)
Theo giả thiết ta có:
Ta có hệ:
Vậy
Cho
hàm số có
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Xét dấu f’(x) như sau:

Ta có:
Chọn ta có:
=> là khoảng âm
Khi đó bảng xét dấu của y’ = (f(x2))’ như sau:

Từ trục xét dấu ta thấy. Hàm số y = f(x2) đồng biến trên (-1; 0)
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Cho biểu thức
với a và b là các số thực dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Thực hiện thu gọn biểu thức như sau:
Cho hàm số
với
là tham số. Giả sử
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
để ham số đã cho đạt cực trị tại hai điểm
thỏa mãn
. Tìm số phần tử của tập hợp
?
Cho hàm số với
là tham số. Giả sử
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
để ham số đã cho đạt cực trị tại hai điểm
thỏa mãn
. Tìm số phần tử của tập hợp
?
Gọi P là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
đồng biến trên tập xác định của nó. Tổng các phần tử của tập hợp P là:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Kết hợp với điều kiện
=>
=> Tổng P bằng 10
Tìm đạo hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
;
là giao điểm của
và
. Biết
vuông góc với mặt phẳng
và
. Tính thể tích khối chóp
.

Theo giả thiết, ta có .
Diện tích tứ giác:
Vậy .
Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
, với
là tham số. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo một đường tròn có chu vi
. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc
bằng:
Mặt cầu có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.
Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:
Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.
Cho phương trình
, m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?
Đáp án: 5
Cho phương trình , m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?
Đáp án: 5
ĐKXĐ:
Ta có:
Để phương trình có nghiệm thì .
Kết hợp điều kiện m là số nguyên dương ta có m ∈ {1;2;3;4;5}.
Vậy có 5 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hình đa diện đều loại
cạnh
. Gọi
là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đa diện đều loại là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh
.
Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là

Trong các hình dưới đây, hình nào không phải đa diện lồi?
Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi : Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của
luôn thuộc
. Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

Một hình trụ có bán kính đáy
, chiều cao hình trụ
. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.
Dựng đường sinh AA', ta có .
Suy ra A’C là đường kính đáy nên
Xét tam giác vuông AA’C, ta có
Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.
Biết rằng
với x > 0. Tìm n?
Ta có:
Vậy
Bác Thu có 600 triệu đồng mang đi gửi tiết kiện ở hai loại kì hạn khác nhau đều theo thể thức lãi kép. Bác gửi 300 triệu đồng theo kì hạn quý với lãi suất 2,1% một quý, 300 triệu đồng còn lại bác gửi theo kì hạn tháng với lãi suất 0,73%/tháng. Sau khi gửi được đúng một năm, bác rút ra một nửa số tiền ở loại kì hạn quý và gửi vào loại kì hạn theo tháng. Hỏi sau đúng hai năm kể từ khi gửi tiền lần đầu, bác Thu thu về tất cả bao nhiêu tiền lãi (làm tròn đến chữ số hàng nghìn)?
Số tiền bác Thu thu được ở năm thứ nhất là:
+ Gửi kì hạn theo quý: (triệu đồng)
+ Gửi kì hạn theo tháng: (triệu đồng)
Số tiền bác Thu thu được ở sau năm thứ hai là:
+ Gửi kì hạn theo quý: (triệu đồng)
+ Gửi kì hạn theo tháng: (triệu đồng)
Số tiền lãi bác Thu thu được là
(triệu đồng)
Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
là:
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
=> Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng.
Khi thì
Khi thì
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ sau 

Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng .
Nếu đặt
thì bất phương trình
trở thành bất phương trình nào?
Điều kiện:
Ta có:
Vậy thay , ta được
.
Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
x=7 || X=7 || x bằng 7 || 7
Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
x=7 || X=7 || x bằng 7 || 7
Điều kiện:
Ta có:
.
Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là: .
Xác định giá trị thực của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Tập xác định
Hàm số đồng biến trên khoảng
Vậy đáp án cần tìm là .
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
có nghiệm đúng
.
Bất phương trình tương đương
hoặc
: (*) không thỏa
và
: (*)
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
Dựa vào bảng biến thiên ta có: nên đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là
và
.
nên đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang là
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.
Một chất điểm chuyển động thẳng với quãng đường biến thiên theo thời gian bởi quy luật
, trong đó
là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Vận tốc của chất điểm đó đạt giá trị bé nhất khi
bằng bao nhiêu?
Một chất điểm chuyển động thẳng với quãng đường biến thiên theo thời gian bởi quy luật , trong đó
là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Vận tốc của chất điểm đó đạt giá trị bé nhất khi
bằng bao nhiêu?
Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương
?
Ta có:
Cho hàm số
. Tính ![]()
Ta có:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Xét các đáp án, ta có:
- A Đúng: Ta chứng minh như sau:
Gọi M1 là môt mặt khối đa diện, M1 là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c1; c2; c3.
M2 chung cạnh c1 với M1(M2≠M1) , M3 chung cạnh c2 với M1(M3≠M1)
Vì c1∈M3⇒M2≠M3. Gọi M4 là mặt có chung cạnh c3 với M1(M4≠M1)
Vì M4 không chứa c1, c2 nên M4 khác M2 và M3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.
- B Sai.
- C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.
- D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh
Viết biểu thức
dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Ta có:
Tính thể tích
của khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông tại B,
; cạnh bên
. Biết hình chiếu vuông góc của
trên mặt đáy
trùng với chân đường cao hạ từ B của tam giác
.

Gọi H là chân đường cao hạ từ B trong .
Theo giả thiết, ta có
Tam giác vuông , có
;
.
Tam giác vuông , có
.
Diện tích tam giác là
Vậy .
Số nghiệm của phương trình
là:
2 || hai nghiệm || Hai nghiệm || 2 nghiệm
Số nghiệm của phương trình là:
2 || hai nghiệm || Hai nghiệm || 2 nghiệm
PT
Vậy PT có hai nghiệm.
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn
và
. Giá trị của biểu thức
là:
Theo điều kiện ta có:
Với a > 0 hãy rút gọn biểu thức 
Ta có:
Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là p. Một mặt phẳng
cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là
. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng
bằng:
Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu.
Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R.
Theo giả thiết, ta có và
Suy ra .
Cho
. Khi đó
có giá trị là:
Ta có: