Tính thể tích
của khối lập phương
, biết
.

Đặt cạnh của khối lập phương là
Suy ra .
Tam giác vuông , có
Vậy thể tích khối lập phương .
Tính thể tích
của khối lập phương
, biết
.

Đặt cạnh của khối lập phương là
Suy ra .
Tam giác vuông , có
Vậy thể tích khối lập phương .
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực?
Ta có:
là các hàm số không xác định trên
Vì nghịch biến trên
Cho bảng biến thiên như hình vẽ:

Bảng biến thiên trên là của hàm số nào?
Đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm x = 0 và x = 2
=> Loại đáp án C và D
Quan sát bảng biến thiên
=> Loại đáp án B
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông cân ở
,
,
và vuông góc với đáy
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Mặt phẳng
qua
và song song với
cắt
lần lượt tại
. Tính theo
thể tích
của khối chóp
.

Từ giả thiết suy ra .
Diện tích tam giác . Do đó
.
Gọi là trung điểm
.
Do là trọng tâm
nên
.
Vì song song với giao tuyến
theo tỉ số
Vậy thể tích khối chóp .
Cho tứ diện
có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .![]()
4 || Bốn || bốn
Cho tứ diện có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .
4 || Bốn || bốn
Vì là trọng tâm của tam giác
nên
.
Suy ra
Cho hàm số
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi
Cho hàm số . Hàm số
có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; +∞)
Ta có: . Theo yêu cầu bài toán ta có:
=>
Xét hàm số
Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy
Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp
là:

Gọi , suy ra
.
Ta có .
Trong , ta có
.
Ta có SO là trục của hình vuông ABCD.
Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn B.
Gọi
Xét có
đều.
Do đó d cũng là đường trung tuyến của . Suy ra I là trọng tâm
.
Bán kính mặt cầu .
Suy ra
Cho hình đa diện đều loại
cạnh
. Gọi
là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đa diện đều loại là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh
.
Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là

Cho hình hộp chữ nhật
có
. Tính theo
thể tích khối hộp đã cho.
Trong tam giác vuông , có
.
Diện tích hình chữ nhật là
.
Vậy
Đặt
. Hãy biểu diễn
theo a và b.
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
. Mặt cầu
có tâm
và đi qua hai điểm
có phương trình là:
Ta có:
Vì đi qua hai điểm
nên
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Cho hai hàm số bậc bốn y = f(x) và y = g(x) có các đồ thị như hình dưới đây.

Số điểm cực trị của hàm số
là:
Ta có:
Từ đồ thị ta thấy phương trình (*) có đùng 2 nghiệm phân biệt là x = -1; x = 3, x = x1, và f(x) – g(x) đổi dấu khi đi qua các nghiệm này
=> Các nghiệm trên là nghiệm bội lẻ của (*)
Mà f(x) và g(x) đều là đa thức bậc 4 nên bậc của phương trình (*) nhỏ hơn hoặc bằng 4
=> Phương trình (*) là phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt nên phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm của phương trình (*)
=> h’(x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt và h’(x) đổi dấu khi đi qua các nghiệm đấy nên hàm số h(x) có 5 điểm cực trị.
Tập nghiệm của bất phương trình
là:
Ta có:
Vậy BPT có tập nghiệm là .
Tính đạo hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Nếu đặt
thì bất phương trình
trở thành bất phương trình nào?
Điều kiện:
Ta có:
Vậy thay , ta được
.
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Tập xác định
Ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số đã cho có ba điểm cực trị
Cho
. Tính ![]()
Ta có:
Cho các hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng
cắt trục hoành, đồ thị hàm số
và
lần lượt tại
. Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?
Vì đáp án đã vi phạm tính chất sau:
Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f(x) = -x3 – 3x2 + m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 1] bằng 0.
Xét hàm số f(x) = -x3 – 3x2 + m trên đoạn [-1; 1] ta có:
f’(x) = -3x2 – 6x
f’(x) = 0 =>
Ta tính được
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Cho hàm số
. Tìm
để khoảng cách từ gốc
đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất.
Cho hàm số . Tìm
để khoảng cách từ gốc
đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất.
Phương trình
có nghiệm là:
x=2 || 2 || hai
Phương trình có nghiệm là:
x=2 || 2 || hai
PT .
Đường thẳng
là đường tiệm cận của đồ thị hàm số nào sau đây?
có
suy ra
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. (Loại)
có
nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang (loại)
có
suy ra
là tiệm cận ngang (Thỏa mãn).
Vậy đường thẳng là đường tiệm cận của đồ thị hàm số
.
Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên
Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.
Gọi
là nghiệm của phương trình
. Khi đó tích
bằng:
1 || x1.x2=1
Gọi là nghiệm của phương trình
. Khi đó tích
bằng:
1 || x1.x2=1
Điều kiện:
PT
Vậy .
Cho hàm số
. Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là:
Ta có:
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (1; 0)
Cho biết
với
. Chọn khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy
Cho a là một số dương, biểu thức
viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
Ta có:
Cho hàm số
với
là tham số. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
để hàm số đã cho có duy nhất một cực tiểu. Hỏi tập
có bao nhiêu phần tử?
Điều kiện để hàm số có duy nhất một cực tiểu là
và phương trình
có duy nhất một nghiệm.
Để phương trình có duy nhất một nghiệm thì phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất x = 0.
Mặt khác
Vậy có tất cả 19 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tập xác định của hàm số
là:
Hàm số xác định khi
Vậy tập xác định của hàm số là
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Từ giả thiết suy ra và chu vi đáy bằng a .
Do đó .
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Tìm số điểm cực trị của hàm số
trên khoảng
?
Đặt
Từ bảng xét dấu của hàm số có
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có hai cực trị trên khoảng
.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và có đạo hàm
với mọi
. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2019; 2019] để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và có đạo hàm với mọi
. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2019; 2019] để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai

Hình bát diện đều có 12 cạnh.
Nếu đặt
thì phương trình
trở thành phương trình nào?
Đặt
PT
.
Bất phương trình
có tập nghiệm là:
Ta có:
Vậy .
Cho
biết , biểu thức
có giá trị là:
Ta có:
Tìm tập xác định của hàm số ![]()
Vì nên hàm số xác định khi
Cho
; (
là phân số tối giản). Tính giá trị biểu thức
.
Ta có:
Nghiệm bé nhất của phương trình
là:
TXĐ:
PT
là nghiệm nhỏ nhất.
Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ
là
(kết quả khào sát trong 12 tháng liên tục). Nếu xem
là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm
thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ mấy?
Trả lời: Ngày thứ 7
Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ là
(kết quả khào sát trong 12 tháng liên tục). Nếu xem
là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm
thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ mấy?
Trả lời: Ngày thứ 7
Ta có
Vì có đồ thị là một parabol có bề lõm quay xuống nên đạt giá trị cực đại tại
.
Vậy vào ngày thứ 7 tốc độ truyền bệnh là nhanh nhất.
Tập nghiệm của bất phương trình
là:
Điều kiện:
Ta có:
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Đường kính
bằng:
Đường kính của mặt cầu bằng:
.
Cho hàm số
có đạo hàm trên
là
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Ta có: . Lập bảng xét dấu như sau:
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
Cho khối lăng trụ
có thể tích bằng
, các điểm
lần lượt thuộc các cạnh
sao cho
. Thể tích của khối đa diện
là bao nhiêu? (Đơn vị:
)
31 || 31 cm^3 || ba mươi mốt xăng ti mét khối || Ba mươi mốt xăng ti mét khối
Cho khối lăng trụ có thể tích bằng
, các điểm
lần lượt thuộc các cạnh
sao cho
. Thể tích của khối đa diện
là bao nhiêu? (Đơn vị:
)
31 || 31 cm^3 || ba mươi mốt xăng ti mét khối || Ba mươi mốt xăng ti mét khối
Ta có
Nên
Mà
.
Vậy .
Hàm số
có đạo hàm và liên tục trên
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Hàm số nghịch biến
với
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Cho hàm số
, hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như sau:

Bất phương trình
(với
là một số thực) nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi:
Ta có:
Xét hàm số ta có:
. Với
thì
Từ đó nên hàm số nghịch biến trên
Suy ra . Yêu cầu bài toán tương đương với
.