Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Câu 1: Nhận biết

Bất phương trình $\log _{0,2}^2x - 5{\log _{0,2}}x < - 6$ có tập nghiệm là:

A. $S = \left( {\frac{1}{{125}};\frac{1}{{25}}} ight)$
B. $S = \left( {2;3} ight)$
C. $S = \left( {0;\frac{1}{{25}}} ight)$
D. $S = \left( {0;3} ight)$

Điều kiện: $x>0$

Ta có:

$\log _{0,2}^2 - 5{\log _{0,2}}x < - 6 \Leftrightarrow 2 < {\log _{0,2}}x < 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{125}} < x < \frac{1}{{25}}$

Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là $S = \left( {\frac{1}{{125}};\frac{1}{{25}}} ight)$ .

Câu 2: Vận dụng

Một khối gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng $r = 2m$ , chiều cao $h = 6m$ . Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ:

Gọi $V$ là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Xác định giá trị của $V$

A.
$V = \frac{32\pi}{9}\left( m^{3} ight)$
B.
$V = \frac{32\pi}{3}\left( m^{3} ight)$
C.
$V = \frac{32\pi}{27}\left( m^{3} ight)$
D.
$V = \frac{32\pi}{5}\left( m^{3} ight)$

Gọi $r_{t};h_{t}$ lần lượt là bán kính và chiều cao của khối trụ.

Ta có: $\frac{r_{t}}{2} = \frac{6 - h_{t}}{6} \Rightarrow 2\left( 6 - h_{t} ight) = 6r_{t} \Leftrightarrow h_{t} = 6 - 3r_{t}$

Ta lại có: $V = \pi{r_{t}}^{2}.h_{t} = \pi{r_{t}}^{2}.\left( 6 - 3r_{t} ight) = \pi.\left( 6{r_{t}}^{2} - 3{r_{t}}^{3} ight)$

Xét hàm số $f\left( r_{t} ight) = 6{r_{t}}^{2} - 3{r_{t}}^{3}$ với $r_{t} \in (0;2)$ có:

$f'\left( r_{t} ight) = 12r_{t} - 9{r_{t}}^{2}$

$f'\left( r_{t} ight) = 0 \Leftrightarrow 12r_{t} - 9{r_{t}}^{2} = 0 \Leftrightarrow r_{t} = \frac{4}{3}$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\max f\left( r_{t} ight) = \frac{32}{9}$ đạt tại $r_{t} = \frac{4}{3}$

Vậy $V = \frac{32\pi}{9}\left( m^{3} ight)$ là giá trị cần tìm.

Câu 3: Thông hiểu

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Mỗi hình đa diện có ít nhất bốn đỉnh.
B. Mỗi hình đa diện có ít nhất ba cạnh.
C. Số đỉnh của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó.
D. Số mặt cảu một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó

Xét các đáp án, ta có:

- A Đúng: Ta chứng minh như sau:

Gọi M₁ là môt mặt khối đa diện, M₁ là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c₁; c₂; c₃.

M₂chung cạnh c₁với M₁(M₂≠M₁) , M3 chung cạnh c₂ với M₁(M₃≠M₁)

Vì c₁∈M₃⇒M₂≠M₃. Gọi M₄ là mặt có chung cạnh c₃ với M₁(M₄≠M₁)

Vì M₄không chứa c₁, c₂ nên M₄ khác M₂ và M_3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.

- B Sai.

- C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.

- D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh

Câu 4: Thông hiểu

Viết biểu thức $\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } :{a^{\frac{{11}}{6}}}$ với a > 0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?

A. $A = {a^{\frac{{21}}{{44}}}}$
B. $A = {a^{\frac{1}{{12}}}}$
C. $A = {a^{\frac{{23}}{{24}}}}$
D. $A = {a^{\frac{{ - 23}}{{24}}}}$

Ta có:

$\begin{matrix} A = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } :{a^{\frac{{11}}{6}}} = {\left( {a\sqrt {{a^{\frac{3}{2}}}} } ight)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} \hfill \\ = {\left( {a.{a^{\frac{3}{8}}}} ight)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {\left( {{a^{\frac{7}{4}}}} ight)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {a^{\frac{7}{8}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {a^{\frac{{23}}{{24}}}} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 5: Vận dụng cao

Tổng tất cả các giá trị thực của m để hàm số $y = \frac{1}{5}{m^2}{x^5} - \frac{1}{3}m{x^3} + 10{x^2} - \left( {{m^2} - m - 20} ight)x + 1$ đồng biến trên R bằng:

A. $\frac{5}{2}$
B. -2
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{3}{2}$

Ta có:

$\begin{matrix} y = \dfrac{1}{5}{m^2}{x^5} - \dfrac{1}{3}m{x^3} + 10{x^2} - \left( {{m^2} - m - 20} ight)x + 1 \hfill \\ \Rightarrow y' = {m^2}{x^4} - m{x^2} + 20x - {m^2} + m + 20 \hfill \\ \end{matrix}$

Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi

$\begin{matrix} \Rightarrow y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Rightarrow {m^2}{x^4} - m{x^2} + 20x - {m^2} + m + 20 \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \end{matrix}$

Và dấu bằng xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm.

Điều kiện cần

Ta thấy phương trình y ‘ = 0 có một nghiệm x = -1 nên để $y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}$ thì y’ không đổi dấu qua khi x = -1 khi đó phương trình y’ = 0 có nghiệm kép là x = -1 (x = -1 không thể laf nghiệm bội 4 của phương trình y’ = 0 vì y’ không chứa số hạng x3)

Ta suy ra được y’’(-1) = 0

=> $- 4{m^2} + 2m + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 2} \\ {m = \dfrac{5}{2}} \end{array}} ight.$

Điều kiện đủ:

Với m = - 2 ta có:

$y' = 4{x^4} + 2{x^2} + 20x + 14 = 4{\left( {x + 1} ight)^2}\left[ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + \frac{5}{2}} ight] \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}$

=> Hàm số đồng biến trên R

=> m = -2 thỏa mãn điều kiện đề bài.

Với $m = \frac{5}{2}$ ta có:

$y' = \frac{{25}}{4}{x^4} - \frac{5}{2}{x^2} + 20x + \frac{{65}}{4} = \frac{{25}}{4}{\left( {x + 1} ight)^2}\left[ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + \frac{8}{5}} ight] \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}$

=> Hàm số đồng biến trên R

=> $m = \frac{5}{2}$ thỏa mãn điều kiện đề bài

Vậy $m = - 2;m = \frac{5}{2}$ là các giá trị cần tìm.

=> Tổng các giá trị thực của m cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là $- 2 + \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$

Câu 6: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$ . Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $3\ km$ .

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} = 9$ . Sai||Đúng

b) Điểm $A(2;2;7)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Sai||Đúng

c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(2;2;7)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$ . Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $3\ km$ .

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} = 9$ . Sai||Đúng

b) Điểm $A(2;2;7)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Sai||Đúng

c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(2;2;7)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

Phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;3;7)$ bán kính $3\ km$ mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 7)^{2} = 9$ .

Ta có: $IA = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (2 - 3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = \sqrt{2} < 3$ nên điểm $A$ nằm trong mặt cầu.

Vì điểm $A$ nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ $(2;2;7)$ có thể sử dưng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

Ta có: $IB = \sqrt{(5 - 1)^{2} + (6 - 3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = 5' > 3$ nên điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu.

Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ không thể sử dựng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó

Câu 7: Thông hiểu

Hàm số $y = {\left( {4{x^2} - 1} ight)^{ - 4}}$ có tập xác định là:

A. $\left( {0; + \infty } ight]$
B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} ight\}$
C. $\mathbb{R}$
D. $\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} ight)$

Hàm số $y = {x^\alpha }$ có số mũ nguyên âm xác định khi

Hàm số $y = {\left( {4{x^2} - 1} ight)^{ - 4}}$ xác định khi $4{x^2} - 1 e 0 \Leftrightarrow x e \pm \frac{1}{2}$

Vậy tập xác định là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} ight\}$

Câu 8: Nhận biết

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 1}{x + 2}$ là điểm nào trong các điểm cho sau đây?

A.
$( - 2;3)$
B.
$(3; - 2)$
C.
$(2; - 1)$
D.
$( - 1;2)$

Đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 1}{x + 2}$ nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 3$ và tiệm cận đứng là $x = - 2$

Do đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $( - 2;3)$ .

Câu 9: Thông hiểu

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình lập phương.
B. Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.
C. Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình lập phương.
D. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Câu 10: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như sau:

Trên khoảng $( - 10;10)$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g(x) = f(x) + mx + 2020$ có đúng một cực trị?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như sau:

Trên khoảng $( - 10;10)$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g(x) = f(x) + mx + 2020$ có đúng một cực trị?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 11: Vận dụng cao

Độ dốc của mái nhà (mặt sân, con đường thẳng…) là tang của góc tạo bởi mái nhà (mặt sân, con đường thẳng…) đó với mặt phẳng nằm ngang. Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều, biết rằng diện tích để lát tất cả các mặt của kim tự tháp bằng 80300 m² và độ dốc của mặt bên kim tự tháp bằng $\frac{49}{45}$ . Tính chiều cao của kim tự tháp. (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 196

Đáp án là:

Độ dốc của mái nhà (mặt sân, con đường thẳng…) là tang của góc tạo bởi mái nhà (mặt sân, con đường thẳng…) đó với mặt phẳng nằm ngang. Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều, biết rằng diện tích để lát tất cả các mặt của kim tự tháp bằng 80300 m² và độ dốc của mặt bên kim tự tháp bằng $\frac{49}{45}$ . Tính chiều cao của kim tự tháp. (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 196

Hình vẽ minh họa

Mô hình hoá kim tự tháp bằng chóp tứ giác đều S.ABCD với O là tâm của đáy.

Kẻ $OM\bot BC$ .

Ta có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp là góc $\widehat{SMO}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SMO} = \frac{49}{45} = \frac{SO}{OM}$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} SO = 49x \\ OM = 45x \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} SM = \sqrt{SO^{2} + OM^{2}} = \sqrt{4426}x \\ AB = 2OM = 90x \\ \end{matrix} ight.$

Diện tích tất cả các mặt của kim tự tháp là

$S = 4S_{\Delta SBC} + S_{ABCD}$

$\Leftrightarrow 4.\frac{1}{2}SM.BC + AB^{2} = 80300$

$\Leftrightarrow 2x\sqrt{4426}.90x + (90x)^{2} = 80300$

$\Rightarrow SO = 49x \approx 196m$

Câu 12: Nhận biết

Chọn hàm số có nhiều điểm cực trị nhất trong các hàm số sau?

A.
$y = - 3x + 1$
B.
$y = x^{4} + 3x^{2} + 1$
C.
$y = x^{3} - 3x^{2} + 1$
D.
$y = \frac{2x + 1}{x - 3}$

Ta có:

Hàm số $y = - 3x + 1$ và $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$ không có điểm cực trị (đạo hàm không đổi dấu).

Hàm số $y = x^{4} + 3x^{2} + 1$ có $y' = 4x^{3} + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ . Đạo hàm đổi dấu qua 1 điểm $x = 0$ nên hàm số $y = x^{4} + 3x^{2} + 1$ chỉ có một điểm cực trị.

Hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$ có $y' = 3x^{2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Đạo hàm đổi dấu qua hai điểm $x = 0$ và $x = 2$ nên hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$ có hai điểm cực trị.

Vậy hàm số có nhiều điểm cực trị nhất là: $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$ .

Câu 13: Thông hiểu

Viết biểu thức $Q = \sqrt x .\sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{{{x^5}}}$ với x > 0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?

A. $Q = {x^{\frac{2}{3}}}$
B. $Q = {x^{\frac{5}{3}}}$
C. $Q = {x^{\frac{5}{2}}}$
D. $Q = {x^{\frac{7}{3}}}$

Ta có:

$Q = \sqrt x .\sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{{{x^5}}} = {x^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{5}{6}}} = {x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{5}{6}}} = {x^{\frac{5}{3}}}$

Câu 14: Vận dụng

Để chuẩn bị cho hoạt động cắm trại, bạn An tìm hiểu các mẫu lều cắm trại có kích thước như trong hình vẽ.

Bạn An muốn biết thể tích chênh lệch của hai lều nên thực hiện tính $V_{1} - V_{2}$ , trong đó $V_{1},V_{2}$ lần lượt là thể tích của mẫu lều cắm trại ở hình a, hình b. Giá trị của $V_{1} - V_{2}$ bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 961 dm³

Đáp án là:

Để chuẩn bị cho hoạt động cắm trại, bạn An tìm hiểu các mẫu lều cắm trại có kích thước như trong hình vẽ.

Bạn An muốn biết thể tích chênh lệch của hai lều nên thực hiện tính $V_{1} - V_{2}$ , trong đó $V_{1},V_{2}$ lần lượt là thể tích của mẫu lều cắm trại ở hình a, hình b. Giá trị của $V_{1} - V_{2}$ bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 961 dm³

Cả hai lều đều có dạng khối lăng trụ đứng ngũ giác.

Xét khối lăng trụ ở hình a. Chia mặt đáy thành hai phần bao gồm: hình chữ nhật có chiều rộng $180\ cm$ , chiều dài $350\ cm$ ; tam giác cân có cạnh đáy dài $350\ cm$ , chiều cao $40\ cm$ như hình dưới đây.

Diện tích mặt đáy của lăng trụ đó là:

$S_{1} = 180 \cdot 350 + \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 350 = 70000\left( \ cm^{2} ight)$

Vậy thể tích của khối lăng trụ ngũ giác đó là:

$V_{1} = S_{1} \cdot h_{1} = 70000.460 = 32200000\left( \ cm^{3} ight)$ .

Xét khối lăng trụ ở hình $b$ . Chia mặt đáy thành hai phần bao gồm: hình thang cân có đáy lớn đài $370\ cm$ , đáy nhỏ dài $260\ cm$ , chiều cao $210\ cm;$ tam giác cân có cạnh đáy dài $260\ cm$ , chiều cao $50\ cm$ như hình vẽ .

Diện tích mặt đáy của lăng trụ đó là:

$S_{2} = \frac{1}{2}(370 + 260) \cdot 210 + \frac{1}{2} \cdot 260 \cdot 50 = 72650\left( \ cm^{2} ight)$

Vậy thể tích của khối lăng trụ ngũ giác đó là:

$V_{2} = S_{2} \cdot h_{2} = 72650.430 = 31239500\left( \ cm^{3} ight)$

Do đó $V_{1} - V_{2} = 960500\left( \ cm^{3} ight) \approx 961\left( dm^{3} ight)$ .

Câu 15: Nhận biết

Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là $10{\text{c}}{{\text{m}}^2},\,\,20{\text{c}}{{\text{m}}^2},\,\,32{\text{c}}{{\text{m}}^2}$ . Tính thể tích $V$ của hình hộp chữ nhật đã cho.

A. $V = 80{\text{c}}{{\text{m}}^3}$
B. $V = 160{\text{c}}{{\text{m}}^3}$
C. $V = 40{\text{c}}{{\text{m}}^3}$
D. $V = 64{\text{c}}{{\text{m}}^3}$

Xét hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật.

Theo bài ra, ta có $\left\{ \begin{gathered} {S_{ABCD}} = 10\,{\text{c}}{{\text{m}}^{\text{2}}} \hfill \\ {S_{ABB'A'}} = 20\,{\text{c}}{{\text{m}}^2} \hfill \\ {S_{ADD'A'}} = 30\,{\text{c}}{{\text{m}}^2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} AB.AD = 10 \hfill \\ AB.AA' = 20 \hfill \\ AA'.AD = 32 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Nhân vế theo vế, ta được ${\left( {AA'.AB.AD} ight)^2} = 6400 \Rightarrow AA'.AB.AD = 80.$

Vậy ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.AB.AD = 80\,{\text{c}}{{\text{m}}^{\text{3}}}$ .

Câu 16: Vận dụng

Có tất cả bao nhiêu cách phân tích số ${15^9}$ thành tích của ba số nguyên dương, biết rằng các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính một lần?

A. 517
B. 516
C. 493
D. 492

Ta có:

$\begin{matrix} {15^9} = {3^9}{.5^9} \hfill \\ \Rightarrow {15^9} = \underbrace {3...3}_9.\underbrace {5...5}_9 \hfill \\ \Rightarrow {15^9} = \underbrace {\underbrace {3...3}_{{a_1}}.\underbrace {5...5}_{{b_1}}}_x.\underbrace {\underbrace {3...3}_{{a_2}}.\underbrace {5...5}_{{b_2}}}_y.\underbrace {\underbrace {3...3}_{{a_3}}.\underbrace {5...5}_{{b_3}}}_z \hfill \\ \end{matrix}$

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {3^{{a_1}}}{5^{{b_1}}}} \\ {y = {3^{{a_2}}}{5^{{b_2}}}} \\ {z = {3^{{z_1}}}{5^{{z_2}}}} \end{array}} ight.$ suy ra ta có hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} + {a_2} + {a_3} = 9} \\ {{b_1} + {b_2} + {b_3} = 9} \end{array}} ight.$

Xét ba trường hợp:

Trường hợp 1: Các số $x,y,z$ bằng nhau

=> chỉ có 1 cách chọn

Trường hợp 2: Trong ba số $x,y,z$ có hai số bằng nhau, giả sử $x = y$

=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} = {a_2}} \\ {{b_1} = {b_2}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{a_1} + {a_3} = 9} \\ {2{b_a} + {b_3} = 9} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3} = 9 - 2{a_1}} \\ {{b_3} = 9 - 2{a_1}} \end{array}} ight.$

=> Có 5 cách chọn ${a_1}$ và 5 cách chọn ${b_1}$

Trường hợp 3: Số cách chọn ba số phân biệt:

Số cách chọn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} + {a_2} + {a_3} = 9} \\ {{b_1} + {b_2} + {b_3} = 9} \end{array}} ight.$ là $C_{11}^2.C_{11}^2$

=> Số cách chọn ba số phân biệt là $C_{11}^2.C_{11}^2 - 24.3 - 1$

Vậy số cách phân tích ${15^9}$ thành tích ba số nguyên dương là $\frac{{C_{11}^2.C_{11}^2 - 24.3 - 1}}{{3!}} + 25 = 517$

Câu 17: Nhận biết

Cho biết $Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}}$ với $a > 0,a e 1$ . Chọn khẳng định đúng?

A. $Q = {a^{\frac{5}{3}}}$
B. $Q = {a^{\frac{7}{3}}}$
C. $Q = {a^{\frac{7}{4}}}$
D. $Q = {a^{\frac{{11}}{6}}}$

Ta có: $Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}} = {\left( {{a^2}.{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{{10}}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{5}{3}}}$

Vậy $Q = {a^{\frac{5}{3}}}$

Câu 18: Vận dụng

Cho khối đa diện đều loại $\{ 3; 4 \}$ . Tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa điện đó bằng?

A. $180^0$
B. $240^0$
C. $324^0$
D. $360^0$

Khối đa diện đều loại $\{ 3; 4 \}$ là khối bát diện đều.

Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt.

Vậy tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa diện đó bằng $60^∘⋅4=240^∘$ .

Câu 19: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình có nghiêm đúng với khi và chỉ khi

Bất phương trình $f\left( x ight) < m + {x^2} - 2x$ có nghiêm đúng với $\forall x \in \left( { - 2;2} ight)$ khi và chỉ khi :

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình có nghiêm đúng với khi và chỉ khi

Bất phương trình $f\left( x ight) < m + {x^2} - 2x$ có nghiêm đúng với $\forall x \in \left( { - 2;2} ight)$ khi và chỉ khi :

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 20: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng $12$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp . $A.GBC$

4 || Bốn || bốn

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng $12$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp . $A.GBC$

4 || Bốn || bốn

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ nên $S_{\triangle GBC}= \frac{1}{3}S_{\triangle DBC}$ .

Suy ra ${V_{A.GBC}} = \frac{1}{3}{V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.12 = 4.$

Câu 21: Thông hiểu

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và $BA=BC=1$ . Cạnh $A'B$ tạo với mặt đáy $(ABC)$ góc $60^0$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \sqrt 3$
B. $V = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$
C. $V = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
D. $V = \frac{1}{2}$

Vì $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên $AA' \bot \left( {ABC} ight)$ , suy ra hình chiếu vuông góc của $A'B$ trên mặt đáy $(ABC)$ là $AB$ .

Do đó ${60^0} = \widehat {A'B,\left( {ABC} ight)} = \widehat {A'B,AB} = \widehat {A'BA}$ .

Tam giác vuông $A'AB$ , ta có $AA' = AB.\tan \widehat {A'BA} = \sqrt 3$

Diện tích tam giác là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}$

Vậy $V = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ .

Câu 22: Nhận biết

Cho hàm số $y = {x^{ - \frac{1}{2}}}$ . Cho các khẳng định sau:

i) Hàm số xác định với mọi x

ii) Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1; 1)

iii) Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

iv) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận

Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Ta có khẳng định ii) và iv) là đúng

i) Sai vì hàm số đã cho xác định khi x > 0

iii) Sai vì hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } ight)$

Câu 23: Thông hiểu

Cho phương trình $log_{\frac{1}{2}}(2x - m) + log_{2}(3 - x) = 0$ , m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?

Đáp án: 5

Đáp án là:

Cho phương trình $log_{\frac{1}{2}}(2x - m) + log_{2}(3 - x) = 0$ , m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?

Đáp án: 5

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{matrix} 2x - m > 0 \\ 3 - x > 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - m > 0 \\ x < 3 \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ .$

Ta có:

$log_{\frac{1}{2}}(2x - m) + log_{2}(3 -x) = 0$

$\Leftrightarrow - log_{2}(2x - m) + log_{2}(3 - x) = 0$

$\Leftrightarrow log_{2}(2x - m) = log_{2}(3 - x)$

$\Leftrightarrow 2x - m = 3 - x \Leftrightarrow 3x = m + 3$

Để phương trình có nghiệm thì $m + 3 < 9 \Leftrightarrow m < 6$ .

Kết hợp điều kiện m là số nguyên dương ta có m ∈ {1;2;3;4;5}.

Vậy có 5 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 24: Thông hiểu

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = - x^{3} - 3x^{2} + m$ trên $\lbrack - 1;1brack$ bằng $0$ ?

A.
$m = 4$
B.
$m = 0$
C.
$m = 6$
D.
$m = 2$

Ta có: $f'(x) = - 3x^{2} - 6x$

Xét $f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 3x^{2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Mà $\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = m - 2 \\ f(0) = m \\ f(1) = m - 4 \\ \end{matrix} ight.$ và $m - 4 < m - 2 < m$

Khi đó $\min_{\lbrack - 1;1brack}f(x) = f(1) = m - 4$

Theo đề bài ra ta có:

$\min_{\lbrack - 1;1brack}f(x) = 0 \Leftrightarrow m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4$

Vậy đáp án cần tìm là $m = 4$ .

Câu 25: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.
$(0;2)$
B.
$(4;10)$
C.
$(2;5)$
D.
$( - \infty;5)$

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên $(3; + \infty)$

Suy ra hàm số nghịch biến trên $(4;10)$ .

Câu 26: Nhận biết

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A. $y = {\left( {\frac{3}{\pi }} ight)^x}$
B. $y = {\left( {\frac{\pi }{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} ight)^x}$
C. $y = {\left( {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3}} ight)^x}$
D. $y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} ight)^x}$

Do $\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3} > 1$ nên hàm số $y = {\left( {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3}} ight)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Câu 27: Thông hiểu

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = x^{4} - \left( m^{2} - 9 ight)x^{2} + 2021$ có một cực trị. Xác định số phần tử của tập $S$ ?

A.
$12$
B.
$7$
C.
$5$
D.
$3$

Để hàm số có một cực trị thì $- \left( m^{2} - 9 ight) \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 9 \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq m \leq 3$

Vậy có 7 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 28: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = \left| 3x^{4} - 4x^{3} -12x^{2} + m^{2} ight|$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số đã cho có đúng $5$ điểm cực trị?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \left| 3x^{4} - 4x^{3} -12x^{2} + m^{2} ight|$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số đã cho có đúng $5$ điểm cực trị?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 29: Nhận biết

Với a và b là hai số thực dương tùy ý thì $\log \left( {a{b^2}} ight)$ bằng:

A. $2\log a + \log b$
B. $\log a + 2\log b$
C. $2\left( {\log a + \log b} ight)$
D. $\log a + \frac{1}{2}\log b$

Ta có: $\log \left( {a{b^2}} ight) = \log a + \log {b^2} = \log a + 2\log b$

Câu 30: Vận dụng

Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = 2{x^3} - 3m{x^2} + 6mx + 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Ta có: $y' = 6{x^2} - 6mx + 6m$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi

$\begin{matrix} y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 6 > 0} \\ {\Delta ' = 9{m^2} - 36m \leqslant 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow 0 \leqslant m \leqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Kết hợp với điều kiện $m \in \mathbb{Z}$

Vậy có tất cả 5 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 31: Thông hiểu

Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương $x$ ?

A. $\left( {\log x} ight)' = \frac{1}{{x\ln 10}}$
B. $\left( {\log x} ight)' = \frac{{\ln 10}}{x}$
C. $\left( {\log x} ight)' = x\ln 10$
D. $\left( {\log x} ight)' = \frac{x}{{\ln 10}}$

Ta có: $\left( {\log x} ight)' = \frac{1}{{x\ln 10}};\forall x > 0$

Câu 32: Thông hiểu

Dựa vào thông tin dưới đây và trả lời các câu hỏi

Số lượng của một loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được biểu diễn theo công thức $S(t) = A.e^{rt}$ , trong đó A là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc 6 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con.

Thời điểm số lượng vi khuẩn X gấp 9 lần số lượng vi khuẩn ban đầu là:

A.
3 giờ.
B.
9 giờ.
C.
12 giờ.
D.
15 giờ.

Gọi $t_{1}$ là thời điểm số lượng vi khuẩn gấp 9 lần ban đầu.

Khi đó: $S\left( t_{1} ight) = 1350$ con.

Ta có phương trình:

$150.e^{\frac{ln3}{3}.t_{1}} = 1350 \Leftrightarrow e^{\frac{ln3}{3}.t_{1}} = 9 \Leftrightarrow \frac{ln3}{3}t_{1} = ln9 \Leftrightarrow t_{1} = 6.$

Câu 33: Vận dụng

Cho hàm số bậc ba $f\left( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d;\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} ight)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Xác định số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số $g\left( x ight) = \frac{1}{{f\left( {4 - {x^2}} ight) - 3}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Đặt $t = 4 - {x^2}$ khi đó $x \to \pm \infty$ thì $t \to \infty$

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{f\left( t ight) - 3}} = 0$

=> y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g(x)

Mặt khác

$\begin{matrix} f\left( {4 - {x^2}} ight) - 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( {4 - {x^2}} ight) = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - {x^2} = - 2} \\ {4 - {x^2} = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm \sqrt 6 } \\ {x = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

=> Đồ thị hàm số g(x) có ba đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số g(x) có bốn đường tiệm cận.

Câu 34: Vận dụng

Cho ${9^x} + {9^{ - x}} = 14;\frac{{6 + 3.\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} ight)}}{{2 - {3^{x + 1}} - {3^{1 - x}}}} = \frac{a}{b}$ ; ( $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính giá trị biểu thức $P = ab$ .

A. $P = 10$
B. $P = - 10$
C. $P = - 45$
D. $P = 45$

Ta có:

$\begin{matrix} {\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} ight)^2} = 14 + 2 = 16 \hfill \\ \Rightarrow {3^x} + {3^{ - x}} = 4 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{{6 + 3.4}}{{2 - 3.4}} = - \dfrac{9}{5} \hfill \\ \Rightarrow P = - 45 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 35: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f\left( \cos x ight) = - 2m + 1$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2}ight)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f\left( \cos x ight) = - 2m + 1$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2}ight)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 36: Nhận biết

Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?

A. 18
B. 24
C. 42
D. 36

Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.

Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.

Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là $12 + 30 =42$ cạnh.

Câu 37: Thông hiểu

Có bao nhiêu số nguyên $m$ thỏa mãn điều kiện hàm số $y = 2x^{3} + 9mx^{2} + 12m^{2}x + m - 2$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ ?

A.
$1$
B.
$0$
C.
$2$
D.
$3$

Ta có:

$y' = 6x^{2} + 18mx + 12m^{2}$ . Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ $\Leftrightarrow y' \leq 0;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow x^{2} + 3mx + 2m^{2} \leq 0$

$\Leftrightarrow \Delta \leq 0 \Leftrightarrow m^{2} \leq 0 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy có duy nhất một số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số $y = 2x^{3} + 9mx^{2} + 12m^{2}x + m - 2$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ .

Câu 38: Thông hiểu

Biết ${\log _2}3 = a;{\log _2}5 = b$ , khi đó ${\log _{15}}8$ có giá trị là:

A. $\frac{{a + b}}{3}$
B. $\frac{1}{{3\left( {a + b} ight)}}$
C. $3\left( {a + b} ight)$
D. $\frac{3}{{a + b}}$

Ta có:

${\log _{15}}8 = {\log _{15}}{2^3} = 3{\log _{15}}2 = \frac{3}{{{{\log }_2}15}} = \frac{3}{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}} = \frac{3}{{a + b}}$

Câu 39: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\left\{ \pm 2 ight\}$ và có bảng biến thiên như sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) Hàm số không có điểm cực trị. Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = + \infty$ . Sai||Đúng

c) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận ngang. Đúng||Sai

d) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\left\{ \pm 2 ight\}$ và có bảng biến thiên như sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) Hàm số không có điểm cực trị. Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = + \infty$ . Sai||Đúng

c) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận ngang. Đúng||Sai

d) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng. Sai||Đúng

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

a) Hàm số không có điểm cực trị.

b) lim $\lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = - 10$ .

c) $\lim_{x ightarrow \pm \infty}f(x) = 0$ . Suy ra đồ thị có đúng 1 đường tiệm cận ngang là $y = 0$ .

d) $\lim_{x ightarrow ( - 2)^{+}}f(x) = + \infty$ và $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = + \infty$ nên đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận đứng $x = \pm 2$ .

Câu 40: Thông hiểu

Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:

A. 10 cm
B. 6 cm
C. 5 cm
D. 8 cm

Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

Do đó độ đài đường chéo: $\sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10{m{cm}}{m{.}}$

Câu 41: Nhận biết

Cho mặt cầu $(S)$ tâm O, bán kính R và mặt phẳng $(P)$ có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc $(S)$ . Đường thẳng OM cắt $(P)$ tại N. Hình chiếu của O trên $(P)$ là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. NI tiếp xúc với $(S)$
B. $ON = R\sqrt 2 \Leftrightarrow IN = R$
C. Cả hai câu trên đều sai
D. Cả hai câu trên đều đúng

Mệnh đề đúng

Vì I là hình chiếu của O trên $(P)$ nên $d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = OI$ mà $d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = R$ nên I là tiếp điểm của $(P)$ và $(S)$ .

Đường thẳng OM cắt $(P)$ tại N nên IN vuông góc với OI tại I.

Suy ra IN tiếp xúc với $(S)$ .

Tam giác OIN vuông tại I nên $ON = R\sqrt 2 \Leftrightarrow IN = R$ .

Câu 42: Vận dụng

Bất phương trình ${\log _2}\left( {{x^2} - x - 2} ight) \geqslant {\log _{0,5}}\left( {x - 1} ight) + 1$ có tập nghiệm là:

A. $S = \left[ {1 - \sqrt 2 ; + \infty } ight)$
B. $S = \left[ {1 + \sqrt 2 ; + \infty } ight)$
C. $S = \left( { - \infty ;1 + \sqrt 2 } ight]$
D. $S = \left( { - \infty ;1 - \sqrt 2 } ight]$

Điều kiện: ${\log _2}\left( {{x^2} - x - 2} ight) \geqslant {\log _{0,5}}\left( {x - 1} ight) + 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {{x^2} - x - 2} ight)\left( {x - 1} ight)} ight] \geqslant 1$

$\Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - 2} ight)\left( {x - 1} ight) - 2 \geqslant 0$ $\Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - x \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 1 - \sqrt 2 \leqslant x \leqslant 0 \hfill \\ x \geqslant 1 + \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy BPT có tập nghiệm là $S = \left[ {1 + \sqrt 2 ; + \infty } ight)$ .

Câu 43: Nhận biết

Cho các hình sau:

Đếm số hình đa diện

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Các hình đa diện là:

Đếm số hình đa diện ; ;

Câu 44: Vận dụng

Cho hình vẽ sau là đồ thị của ba hàm số $y = {x^\alpha };y = {x^\beta };y = {x^\gamma }$ với $x > 0$ và $\alpha ;\beta ;\gamma$ là các số thực cho trước, mệnh đề nào sau đây đúng?

Chọn mệnh đề đúng

A. $\gamma > \beta > \alpha$
B. $\beta > \gamma > \alpha$
C. $\alpha > \beta > \gamma$
D. $\beta > \alpha > \gamma$

Hàm số ${x^\alpha }$ nghịch biến trên $\alpha < 0$

Các hàm số $y = {x^\beta };y = {x^\gamma }$ đồng biến nên $\beta ;\gamma > 0$

Tại $x = 3$ thì ${3^\beta } > {3^\gamma } \Rightarrow \beta > \gamma$

Câu 45: Vận dụng

Phương trình ${2^{x - 3}} = {3^{{x^2} - 5x + 6}}$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ trong đó $x_1 < x_2$ , hãy chọn phát biểu đúng?

A. $3{x_1} - 2{x_2} = {\log _3}8$
B. $2{x_1} - 3{x_2} = {\log _3}8$
C. $2{x_1} + 3{x_2} = {\log _3}54$
D. $3{x_1} + 2{x_2} = {\log _3}54$

Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được:

${2^{x - 3}} = {3^{{x^2} - 5x + 6}}$ $\Leftrightarrow {\log _2}{2^{x - 3}} = {\log _2}{3^{{x^2} - 5x + 6}}$

$\Leftrightarrow \left( {x - 3} ight){\log _2}2 = \left( {{x^2} - 5x + 6} ight){\log _2}3$

$\Leftrightarrow \left( {x - 3} ight) - \left( {x - 2} ight)\left( {x - 3} ight){\log _2}3 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 3} ight).\left[ {1 - \left( {x - 2} ight){{\log }_2}3} ight] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 3 = 0 \hfill \\ 1 - \left( {x - 2} ight){\log _2}3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ \left( {x - 2} ight){\log _2}3 = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x - 2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = {\log _3}2 + 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = {\log _3}2 + {\log _3}9 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = {\log _3}18 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Câu 46: Thông hiểu

Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình ${\log _3}\left( {{{4.3}^{x - 1}}} ight) > 2x - 1$ là:

x=1 || X=1 || x bằng 1

Đáp án là:

Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình ${\log _3}\left( {{{4.3}^{x - 1}}} ight) > 2x - 1$ là:

x=1 || X=1 || x bằng 1

${\log _3}\left( {{{4.3}^{x - 1}}} ight) > 2x - 1$ $\Leftrightarrow {4.3^{x - 1}} > {3^{2x - 1}} \Leftrightarrow {3^{2x}} - {4.3^x} < 0$

$\Leftrightarrow 0 < {3^x} < 4 \Leftrightarrow x < {\log _3}4$

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của BPT là $x=1$ .

Câu 47: Vận dụng

Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm, 21 cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm, biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm? (Kết quả là tròn đến một chữ số thập phân)

A basketball on the groundDescription automatically generated

Trả lời: 23,9 cm

Đáp án là:

Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm, 21 cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm, biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm? (Kết quả là tròn đến một chữ số thập phân)

A basketball on the groundDescription automatically generated

Trả lời: 23,9 cm

Ta đặt hệ trục vào căn phòng sao cho có hai bức tường là mặt $(Oxz),(Oyz)$ , và nền là $(Oxy)$

Vậy bài toán dẫn đến việc tìm đường kính của mặt cầu tiếp xúc với $3$ mặt phẳng toạ độ và chứa điểm $M(17\ ;\ 18\ ;\ 21)$ .

Ta có thể gọi phương trình mặt cầu là $(S):(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ , với $a,b,c,R > 0$

Do mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng toạ độ nên $a = b = c = R$

$\Rightarrow (S):(x - a)^{2} + (y - a)^{2} + (z - a)^{2} = a^{2}$

Do $M(17\ ;\ 18\ ;\ 21) \in (S)$ nên $(17 - a)^{2} + (18 - a)^{2} + (21 - a)^{2} = a^{2}$ .

$\Rightarrow 2a^{2} - 112a + 1054 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 28 - \sqrt{257} \\ a = 28 + \sqrt{257} \\ \end{matrix} ight.$

Vì quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm nên $a = 28 - \sqrt{257}$ thỏa.

Vậy đường kính quả bóng bằng $2a = 56 - 2\sqrt{257} \approx 23,9\ (cm)$ .

Câu 48: Nhận biết

Điều kiện xác định của phương trình ${\log _5}(x - 1) = {\log _5}\frac{x}{{x + 1}}$ là:

A. $x \in \left( {1; + \infty } ight)$
B. $x \in \left( { - 1;0} ight)$
C. $x \in \mathbb{R}\backslash {\text{[}} - 1;0]$
D. $x \in \left( { - \infty ;1} ight)$

Biểu thức ${\log _5}(x - 1) = {\log _5}\frac{x}{{x + 1}}$ và xác định

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{x}{{x + 1}} > 0 \hfill \\ x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < - 1 \vee x > 0 \hfill \\ x > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x > 1$

Câu 49: Nhận biết

Hình nón có đường sinh $l=2a$ và hợp với đáy góc $\alpha = {60^0}$ . Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

A. $4\pi a^2$
B. $3\pi a^2$
C. $2\pi a^2$
D. $\pi a^2$

Diện tích toàn phần

Theo giả thiết, ta có

$SA = \ell = 2a$ và $\widehat {SAO} = {60^0}$ .

Suy ra:

$R = OA = SA.\cos {60^0} = a$ .

Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: $S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2}$ (đvdt).

Câu 50: Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình ${\log _2}\left( {7{x^2} + 7} ight) \geqslant {\log _2}\left( {m{x^2} + 4x + m} ight),{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R} \, \, (1)$

A. $m \in \left( {2;5} ight]$
B. $m \in \left( { - 2;5} ight]$
C. $m \in \left[ {2;5} ight)$
D. $m \in \left[ {-2;5} ight)$

Bất phương trình tương đương $7{x^2} + 7 \geqslant m{x^2} + 4x + m > 0,{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {7 - m} ight){x^2} - 4x + 7 - m \geqslant 0{\text{ }}(2) \hfill \\ m{x^2} + 4x + m > 0{\text{ }}(3) \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}.$

$m=7$ : (2) không thỏa $\forall x \in \mathbb{R}$

$m=0$ : (3) không thỏa $\forall x \in \mathbb{R}$

(1) thỏa mãn $\forall x \in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 7 - m > 0 \hfill \\ {{\Delta '}_2} = 4 - {\left( {7 - m} ight)^2} \leqslant 0 \hfill \\ m > 0 \hfill \\ {{\Delta '}_3} = 4 - {m^2} < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}$

$\Leftrightarrow {\text{ }}\left\{ \begin{gathered} m < 7 \hfill \\ m \leqslant 5 \hfill \\ m > 0 \hfill \\ m > 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }} \Leftrightarrow {\text{ }}2 < m \leqslant 5$ .

Vậy $m \in \left( {2;5} ight]$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!