Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Ta có bảng xét dấu:

Quan sát bảng xét dấu ta thấy:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)
+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2)
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Ta có bảng xét dấu:

Quan sát bảng xét dấu ta thấy:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)
+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2)
Hàm số nào sau đây đồng biến trên
?
Do nên hàm số
đồng biến trên
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
Ta có:
Ta có:
Cho g’(x) = 0 =>
Dựa vào f’(x) ta có:
Lập bảng xét dấu như sau:

Quan sát bảng xét dấy ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (2; 4)
Để đồ thị hàm số
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng
. Tìm giá trị tham số
thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng
. Tìm giá trị tham số
thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Cho hàm số
. Tính ![]()
Ta có:
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh
.

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là
Cho
biết , biểu thức
có giá trị là:
Ta có:
Cho biết
, khẳng định nào sau đây đúng?
Điều kiện:
Ta có:
Vậy
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai

Hình bát diện đều có 12 cạnh.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu ![]()
Ta có:
Vậy tọa độ bán kính và bán kính mặt cầu lần lượt là:
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
là:
8 || tám || Tám
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là:
8 || tám || Tám
BPT
Vậy giá trị nghiệm nguyên nhỏ nhất của BPT là 8.
Cho hàm số
có đạo hàm
liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình
(m là tham số thực) nghiệm đúng với
khi và chỉ khi
Ta có:
Xét hàm số với
Ta có:
=> Hàm số g(x) luôn đồng biến trên
Ta có bảng biến thiên như sau:

=> (*) nghiệm đúng khi
Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Mặt phẳng đi qua trọng tâm của tứ diện, song song với một mặt phẳng của tứ diện và chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của hai phần đó.

Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh
khi đó
là trọng tâm của tứ diện
. Ta sẽ dựng mặt phẳng qua
song song với
.
Trong mặt phẳng dựng đường thẳng qua
song song với
cắt
lần lượt tại
.
Qua lần lượt kẻ các đường thẳng lần lượt song song với
cắt
lần lượt tại
.
Do là trung điểm của
suy ra
Ta có
Hình nón có đường sinh
và hợp với đáy góc
. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có
và
.
Suy ra:
.
Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: (đvdt).
Cho khối chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
. Thể tích
của khối chóp
bằng
Hình vẽ minh họa
Gọi là tâm của đáy, gọi
là trung điểm của
.
Ta có nên
Suy ra .
Có ,
.
Thể tích khối chóp là
.
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là
. Tính thể tích
của hình hộp chữ nhật đã cho.

Xét hình hộp chữ nhật có đáy
là hình chữ nhật.
Theo bài ra, ta có
Nhân vế theo vế, ta được
Vậy .
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại
là:
Ta có:
Trường hợp 1: . Khi đó ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy là điểm cực đại nên trường hợp này không thỏa mãn.
Trường hợp 2: ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy là điểm cực tiểu. Vậy
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho mặt cầu (S):
và điểm
. Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động qua (d). Tìm tập hợp các điểm M.
(Có thể chọn nhiều đáp án)
Theo đề bài, (S) có tâm
Ta có:
đường tròn
Hay
Cho bất phương trình
. Nếu đặt
thì bất phương trình trở thành:
Ta có:
Hay .
Tìm tập xác định D của hàm số ![]()
Điều kiện xác định
Vậy tập xác định của hàm số là
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
có nghiệm đúng
.
Bất phương trình tương đương
hoặc
: (*) không thỏa
và
: (*)
Cho hàm số
với m là tham số thực thỏa mãn
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Xét hàm số trên [1; 2] ta có:
Khi đó:
Với a > 0 hãy rút gọn biểu thức 
Ta có:
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của phương trình
là?
3 || ba || Ba
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của phương trình là?
3 || ba || Ba
Điều kiện:
Ta có:
So điều kiện suy ra phương trình có nghiệm .
Dựa vào thông tin dưới đây và trả lời các câu hỏi
Số lượng của một loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được biểu diễn theo công thức
, trong đó A là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc 6 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con.
Tỉ lệ tăng trưởng của vi khuẩn X gần nhất với kết quả nào sau đây?
Chọn 6 giờ là mốc thời gian. Khi đó .
Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn là 450 con nên .
Từ đó ta có phương trình:
Cho
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
Cho hàm số
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Với ta có:
Ta có: do đó:
Số nghiệm của phương trình
là:
0 || PT không có nghiệm || không có nghiệm || vô nghiệm || PT vô nghiệm
Số nghiệm của phương trình là:
0 || PT không có nghiệm || không có nghiệm || vô nghiệm || PT vô nghiệm
PT
Vậy số nghiệm của PT là 0.
Điều kiện xác định của bất phương trình
là:
x > 5 || X>5 || x>5 || x lớn hơn 5
Điều kiện xác định của bất phương trình là:
x > 5 || X>5 || x>5 || x lớn hơn 5
BPT xác định khi và chỉ khi:
Viết biểu thức
dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Ta có:
Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các cạnh của một hình đa diện bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Xét hình đa diện là một hình bất kì, ví dụ lấy đa diện là hình tứ diện thì ta có số đỉnh, mặt và cạnh lần lượt là:
Đ=4; M=4; C=6
Năng lượng giải tỏa
của một trận động đất tại tâm địa chấn
độ Richter được xác định bởi công thức
. Vào năm 1995, thành phố
xảy ra một trận động đất 8 độ Richter và năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn của nó gấp 14 lần trận động đất ra tại thành phố
vào năm 1997. Hỏi khi đó độ lớn của trận động đất tại thành phố
là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
Theo đề bài ta có: .
Vậy độ lớn của trận động đất tại thành phố là 7,2 độ Richter.
Tìm tập xác định của hàm số ![]()
Điều kiện xác định
=> Tập xác định của hàm số là
Cho hình chóp tam giác đều
. Mặt bên
là tam giác gì?
Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
để hàm số
có
điểm cực trị?
Tập xác định
Ta có:
Xét phương trình
Xét hàm số trên
ta có:
và
Ta có bảng biến thiên của như sau:
Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm bội lẻ của và số điểm tới hạn của
là 5 điểm. Do đó ta cần có các trường hợp sau:
TH1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác
trong trường hợp này có 26 số nguyên dương.
TH2: Phương trình (*) có 3 nghiệm trong đó có một nghiệm kép trùng với một trong các nghiệm
trường hợp này có một số nguyên dương.
Vậy có tất cả 27 số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số
có
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
để
?
Ta có: suy ra hàm số
đồng biến trên
Suy ra
Vậy có tất cả 21 giá trị nguyên của .
Cho hình lăng trụ
có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với trung điểm
của
. Góc tạo bởi cạnh bên
với mặt đáy là
. Tính thể tích khối trụ
.
3 || Ba || ba || V=3
Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với trung điểm
của
. Góc tạo bởi cạnh bên
với mặt đáy là
. Tính thể tích khối trụ
.
3 || Ba || ba || V=3

Tam giác đều ABC cạnh bằng 2 nên .
Vì nên hình chiếu vuông góc của
trên mặt đáy
là AH.
Do đó .
Suy ra tam giác vuông cân tại H nên
.
Diện tích tam giác đều ABC là .
Vậy .
Tìm giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
?
Đặt
hay
Bài toán trở thành tìm m để hàm số đồng biến trên
Tập xác định
Ta có: . Hàm số
đồng biến trên
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có bốn nghiệm thuộc đoạn
là:

Đặt
Ta có:
Ta có đồ thị hình vẽ như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình đã cho có 4 nghiệm thuộc đoạn khi phương trình (*) có hai nghiệm
Trong không gian
, cho tứ diện
có tọa độ đỉnh ![]()
. Gọi
là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
. Viết phương trình mặt cầu
có tâm trùng với tâm của mặt cầu
và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu
?
Gọi phương trình mặt cầu có
Vì là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
nên ta có hệ phương trình
. Suy ra tâm mặt cầu
và bán kính
Vậy phương trình mặt cầu có tâm trùng với tâm của mặt cầu
và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu
là:
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
cắt đường thẳng
tại điểm có tung độ bằng:
Do và
nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là
.
Xét phương trình có hoành độ giao điểm
Vậy tung độ giao điểm là .
Cho hàm số
. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng
. Tìm M.
Ta có:
Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có M = 1
Đồ thị được cho dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Đồ thị hàm số hình chữ N ngược => Đây là hàm số bậc 3 dạng
Cho hàm số
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng.
Ta có:
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1 là:
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1 là:
Cho tứ diện
có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .![]()
4 || Bốn || bốn
Cho tứ diện có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .
4 || Bốn || bốn
Vì là trọng tâm của tam giác
nên
.
Suy ra
Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại
là:

Khối đa diện đều loại là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng:
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho.
Từ bảng biến thiên ta có: .