Cho hàm số
có đạo hàm
. Khi đó hàm số
nghịch biến trên khoảng nào?
Ta có:
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên và
.
Cho hàm số
có đạo hàm
. Khi đó hàm số
nghịch biến trên khoảng nào?
Ta có:
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên và
.
Hàm số
có cực đại là:
Ta có:
=> x = 0 là điểm cực đại của hàm số
Cho
và biểu thức
viết dưới dạng
. Giá trị của n là:
Ta có:
Vậy
Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
Ta có:
Vậy đáp án sai là:
Cho
, viết
về dạng
và
về dạng
. Tình giá trị biểu thức ![]()
Ta có:
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2
60 || sáu mươi || Sáu mươi
Tổng độ dài của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2
60 || sáu mươi || Sáu mươi
Khối mười hai mặt đều có tất cả 30 cạnh:

Suy ra ta có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng .
Cho hàm số
. Tìm
để khoảng cách từ gốc
đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất.
Cho hàm số . Tìm
để khoảng cách từ gốc
đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất.
Bác H cần xây dựng một bể nước mưa có thể tích
dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp
lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi phí trung bình là
đồng trên một mét vuông và ở nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng
diện tích nắp bể. Tính chi phí thấp nhất mà bác H phải chi trả (làm tròn đến hàng triệu đồng).
Bác H cần xây dựng một bể nước mưa có thể tích dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp
lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi phí trung bình là
đồng trên một mét vuông và ở nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng
diện tích nắp bể. Tính chi phí thấp nhất mà bác H phải chi trả (làm tròn đến hàng triệu đồng).
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!
Phương trình
có nghiệm là:
x=2 || 2 || hai
Phương trình có nghiệm là:
x=2 || 2 || hai
PT .
Đặt
. Khi đó
biểu diễn là:
Ta có:
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy,
và
. Tính thể tích V của khối chóp
.
32
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, và
. Tính thể tích V của khối chóp
.
32

Xét tam giác , có:
Suy ra tam giác vuông tại A
Vậy thể tích khối chóp
Trong không gian
(đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí
. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là
.
a) Phương trình mặt cầu
để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là
. Sai||Đúng
b) Điểm
nằm ngoài mặt cầu
. Sai||Đúng
c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ
thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai
d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ
thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai
Trong không gian (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí
. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là
.
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là
. Sai||Đúng
b) Điểm nằm ngoài mặt cầu
. Sai||Đúng
c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai
d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai
Phương trình mặt cầu tâm
bán kính
mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là
.
Ta có: nên điểm
nằm trong mặt cầu.
Vì điểm nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ
có thể sử dưng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
Ta có: nên điểm
nằm ngoài mặt cầu.
Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ không thể sử dựng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó
Cho hàm số
có đạo hàm
với
và
là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
để hàm số
có 5 điểm cực trị?
Cho hàm số có đạo hàm
với
và
là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
để hàm số
có 5 điểm cực trị?
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng
, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
. Đường cao h của hình nón bằng:
Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra và
.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .
Ta có
Từ đó suy ra nên
Trong tam giác vuông SOE, ta có
Biết
với a và b là các số thực dương. Tìm m?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
với
là tham số thực) và hai điểm
. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số
để trên
tồn tại điểm
sao cho
?
Gọi
Theo đề bài ra ta có:
Mặt cầu (Sm) có tâm I(1; 1; m) và bán kính
Gọi (α): x + y + z − 4 = 0. Khi đó:
Vậy giá trị nhỏ nhất của tham số m cần tìm là .
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định?
Ta có: nghịch biến trên tập xác định.
Cho bất phương trình:
. Tìm tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình (1) nghiệm đúng
.
Đặt .
Vì . Bất phương trình đã cho thành:
nghiệm đúng
nghiệm đúng
.
Xét hàm số: .
Hàm số đồng biến trên và
. Yêu cầu bài toán tương đương
.
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng (1; 3)?
Xét hàm số có
=> y’ = 0 =>
Ta có bảng biến thiên như sau:

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3)
Cho đồ thị hàm số
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt cách hoành độ
thỏa mãn
?
Để hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có ba nghiệm phân biệt:
Ta đặt . Khi đó để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình sau phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Do có nghiệm khác 1 nên hay
Ta có:
Để có hai nghiệm phân biệt thì hay
Theo bài ra ta có:
với
là nghiệm của phương trình bậc hai trên.
Áp dụng hệ thức Vi – et ra có:
Kết hợp các điều kiện ta có: .
Vậy đáp án đúng là .
Cho hình chóp tam giác đều
. Mặt bên
là tam giác gì?
Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.
Giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,
Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.
Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên ,
Suy ra ,
và
Diện tích toàn phần của hình nón: (đvdt).
Thể tích khối nón là: (đvtt).
Hai phương trình
và
lần lượt có 2 nghiệm duy nhất
là . Tổng
là?
Phương trình 1:
Phương trình
Phương trình 2:
Phương trình
Vậy .
Phương trình
có nghiệm là:
Ta có:
Đạo hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Biết bất phương trình
có tập nghiệm là đoạn [a; b]. Giá trị biểu thức
bằng:
Điều kiện .
Đặt
Ta có:
Suy ra tập nghiệm là .
Tìm tập xác định của hàm số
là:
Hàm số đã cho xác định khi
Có bao nhiêu số thực dương
để giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
?
Ta có:
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên thì để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
bằng
thì
.
Khi đó
Khi đó chỉ có duy nhất một giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là:

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua 2 điểm và
nên đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình
.
Tổng các nghiệm của phương trình
là:
Điều kiện . Có
Dó đó, tổng các nghiệm sẽ bằng .
Tập xác định của hàm số
là:
Điều kiện xác định:
=> Tập xác định của hàm số là
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hàm số có các tính chất như sau:
Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng
Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang
Là hàm số nghịch biến trên
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số
là điểm nào trong các điểm cho sau đây?
Đồ thị hàm số nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là và tiệm cận đứng là
Do đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm .
Cho f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ.
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào trong các đáp án dưới đây?
Ta có:
=>
Hàm số đồng biến khi
Đặt t = x – 1 thì (*) trở thành
Quan sát đồ thị hàm số y = f’(t) và y = -2t trên cùng một hệ tọa độ như hình vẽ

Khi đó ta thấy với thì độ thì hàm số y = f’(t) luôn nằm trên đường thẳng y = -2t
=>
Do đó với thì hàm số
đồng biến.
Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các cạnh của một hình đa diện bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Xét hình đa diện là một hình bất kì, ví dụ lấy đa diện là hình tứ diện thì ta có số đỉnh, mặt và cạnh lần lượt là:
Đ=4; M=4; C=6
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
là:
x=4 || X=4|| x bằng 4
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là:
x=4 || X=4|| x bằng 4
Theo bài toán, ta xét điều kiện của BPT là: .
Ta có:
Cho lăng trụ
có đáy
là hình chữ nhật tâm
và
;
vuông góc với đáy
. Cạnh bên
hợp với mặt đáy
một góc
. Tính theo
thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Vì nên
.
Đường chéo hình chữ nhật:
Suy ra tam giác vuông cân tại
nên
Diện tích hình chữ nhật .
Vậy .
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Phương trình mặt cầu có tâm
và đi qua
là:
Ta có:
Vậy phương trình mặt cầu tâm và đi qua điểm
có phương trình là:
.
Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại
và giá trị cực tiểu
của hàm số
là:
Tập xác định
Ta có:
Lại có nên
là điểm cực tiểu của hàm số.
nên
là điểm cực đại của hàm số.
Do đó .
Tính thể tích
của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng
và tổng diện tích các mặt bên bằng ![]()

Xét khối lăng trụ có đáy
là tam giác đều và
.
Diện tích xung quanh lăng trụ là
Diện tích tam giác là
.
Vậy thể tích khối lăng trụ là .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và
. Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD.

Đường chéo hình vuông
Xét tam giác SAC, ta có .
Chiều cao khối chóp là .
Diện tích hình vuông ABCD là
Vậy thể tích khối chóp .
Cho hàm số
liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

Đặt
với
là tham số. Tìm điều kiện của tham số
để hàm số
có đúng ba điểm cực trị?
Cho hàm số liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:
Đặt với
là tham số. Tìm điều kiện của tham số
để hàm số
có đúng ba điểm cực trị?
Biết đồ thị hàm số
đối xứng với đồ thị hàm số
qua điểm
. Giá trị của
là:
Gọi là điểm thuộc đồ thị hàm số
thì điểm đối xứng với
qua
là
thuộc đồ thị hàm số
=>
Điều kiện xác định của bất phương trình
là:
x > 5 || X>5 || x>5 || x lớn hơn 5
Điều kiện xác định của bất phương trình là:
x > 5 || X>5 || x>5 || x lớn hơn 5
BPT xác định khi và chỉ khi:
Cho hàm số
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi
Cho hàm số . Hàm số
có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi
Hàm số
đồng biến trên khoảng
Ta có y’ = 8x => y’ = 0 => x = 0
=> y’ > 0 => x > 0
=> y’ < 0 => x < 0
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều. Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị chục nghìn.

Đáp án: 4054 (chục nghìn)
Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều. Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị chục nghìn.
Đáp án: 4054 (chục nghìn)
Hình vẽ minh họa
Mô hình hóa chân tháp của bài toán bằng khối chóp cụt tứ giác đều , với
lần lượt là tâm của hai đáy
và
.
Như vậy ta có:
là hình vuông cạnh 5 có diện tích
;
là hình vuông cạnh 2 có diện tích
;
Các cạnh bên có độ dài bằng 3;
vuông góc với (
) và (
.
Do ABCD là hình vuông nên , do đó tam giác ABC vuông tại B.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông tại
có:
Suy ra .
Do đó (do 0 là tâm hình vuông
).
Do là hình vuông nên
, do đó tam giác
vuông tại
.
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông tại
có:
.
Suy ra .
Do đó (do
là tâm hình vuông
).
Dễ thấy: ;
.
Mà ( ) // (
.
Suy ra hay
là hình thang.
Xét hình thang , kẻ
.
Vì và
nên
.
Do đó (cùng vuông góc với AC).
Mà (do
)
Suy ra là hình bình hành.
Do đó: và
.
Suy ra .
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông tại
do
có:
Suy ra .
Do đó .
Thể tích khối chóp cụt tứ giác đều với chiều cao
và diện tích hai đáy
,
là:
Như vậy ta có thể tích của chân tháp đã cho bằng .
Vi chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1470000 đồng nên số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:
(đồng)
Vậy số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp khoảng 40538432 đồng.