Cho một số thực
tùy ý. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
Theo tính chất đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số có đạo hàm với mọi x > 0 và
Cho một số thực
tùy ý. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
Theo tính chất đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số có đạo hàm với mọi x > 0 và
Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số
theo trục
lên hai đơn vị và theo trục
sang trái
đơn vị ta được đồ thị hàm số
. Hỏi có bao nhiêu điểm trên đồ thị hàm số
có các tọa độ đều là số nguyên?
Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số theo trục
lên hai đơn vị và theo trục
sang trái
đơn vị ta được đồ thị hàm số
. Hỏi có bao nhiêu điểm trên đồ thị hàm số
có các tọa độ đều là số nguyên?
Cho f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ.
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào trong các đáp án dưới đây?
Ta có:
=>
Hàm số đồng biến khi
Đặt t = x – 1 thì (*) trở thành
Quan sát đồ thị hàm số y = f’(t) và y = -2t trên cùng một hệ tọa độ như hình vẽ

Khi đó ta thấy với thì độ thì hàm số y = f’(t) luôn nằm trên đường thẳng y = -2t
=>
Do đó với thì hàm số
đồng biến.
Cho hình vẽ:

Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
Đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số đã cho nghịch biến nên loại hhai hàm số
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên hàm số
thảo mãn
Cho hàm số
có đồ thị của hàm số
như sau:

Trên khoảng
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng một cực trị?
Cho hàm số có đồ thị của hàm số
như sau:
Trên khoảng có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng một cực trị?
Cho số thực a dương. Rút gọn biểu thức ![P = \sqrt[5]{{a.\sqrt[4]{{a.\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}}}](https://i.khoahoc.vn/data/image/holder.png)
Ta có:
Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:
Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.
Do đó độ đài đường chéo:
Tìm giá trị của tham số m để hàm số
đồng biến trên ![]()
Ta có:
Hàm số đồng biến trên
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.
Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên
Cho hàm số y = f(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số
có đúng 6 điểm cực trị?

Xét hàm số
Yêu cầu bài toán xảy ra khi phương trình đạo hàm phải có 6 nghiệm bội lẻ:
Ta có:
Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt => Hai phương trình còn lại phải cho đúng 4 nghiệm nghiệm bội lẻ.
Nhận thấy hai phương trình (1), (2) luôn cho hai nghiệm phân biệt vafcacs nghiệm của hai phương trình này không trùng nhau.
Để hai phương trình có đúng 4 nghiệm bội lẻ thì:
TH1: x = 1 là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m – 1)x – m – 1] = 0 và x = -1 không phải là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m + 1)x + m – 1] = 0
TH2: x = -1 là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m + 1)x + m – 1] = 0 và x = 1 không phải là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m – 1)x - m – 1] = 0
=>
Vậy có hai giá thực của m thỏa mãn
Tập nghiệm của phương trình
là:
Điều kiện: x > 0 và
Với điều kiện đó thì .
Khi đó, phương trình đã cho tương đương phương trình:
Cho hàm số
với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số đã cho đồng biến trên
?
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng
khi và chỉ khi:
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) được biểu diễn như hình vẽ:

Giả sử bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
thì tham số
thỏa mãn điều kiện là:
Cho hàm số f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) được biểu diễn như hình vẽ:

Giả sử bất phương trình nghiệm đúng với mọi
thì tham số
thỏa mãn điều kiện là:
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Tập xác định
Ta có:
Do y’ không đổi dấu nên hàm số không có cực trị.
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1
Đồ thị hàm số nào có dạng đường trong như trong hình vẽ dưới đây?

Dựa vào hình dáng đồ thị suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số nên hàm số cần tìm là
.
Tập nghiệm của bất phương trình
là:
Ta có:
.
Cho hàm số
. Hãy chọn khẳng định đúng?
Tập xác định
Ta có: nên hàm số đồng biến trên các khoảng
và
.
Cho lăng trụ
có đáy
là hình thoi cạnh
, tâm O và
. Góc giữa cạnh bên
và mặt đáy bằng
. Đỉnh A' cách đều các điểm A, B, D. Tính theo
thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh .
Gọi H là tâm tam giác ABD. Vì A' cách đều các điểm A,B, D nên .
Do đó .
Ta có .
Tam giác vuông , có
.
Diện tích hình thoi .
Vậy .
Đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị là A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?
Cách 1: Xét hàm số
Ta có:
Đồ thị hàm số f(x) có hai điểm cực trị A và B nên f’(A) = f’(B) = 0
Suy ra
Do đó phương trình đường thẳng AB là y = -8x – 2
Khi đó ta có điểm có tọa độ (1; -10) thuộc đường thẳng AB.
Cách 2: Xét hàm số
=> Tọa độ hai điểm cực trị của hàm số là A(3; -26) và B(-1; 6)
Ta có:
Phương trình đường thẳng AB đ qua B(-1; 6) nhận vecto làm vecto chỉ phương là
Khi đó ta có điểm có tọa độ (1; -10) thuộc đường thẳng AB.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình ![]()
Bất phương trình tương đương
: (2) không thỏa
: (3) không thỏa
(1) thỏa mãn
.
Vậy .
Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu cạnh?
Khối lăng trụ ngũ giác có số cạnh của một mặt đáy là 5 cạnh, số cạnh bên là 5 cạnh
Số cạnh của khối lăng trụ ngũ giác là: 2.5 + 5 =15 cạnh.
Trong các hình dưới đây, hình nào không phải đa diện lồi?
Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi : Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của
luôn thuộc
. Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

Cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Viết phương trình mặt cầu (S') chứa (C) và điểm M(1,-2,1)
Phương trình của
(S') qua
Tìm tập xác định của hàm số ![]()
Điều kiện xác định
=> Tập xác định của hàm số là
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Tập xác định
Ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số đã cho có ba điểm cực trị
Bất phương trình
có tập nghiệm là:
Điều kiện:
Vậy BPT có tập nghiệm là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Bán kính của mặt cầu
là:
Ta có:
suy ra tâm mặt cầu là:
Bán kính mặt cầu là:
Cho hàm số y = f(x) có
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có: => Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x = 0
=> Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x = 2
Tính theo
thể tích
của khối hộp chữ nhật
. Biết rằng mặt phẳng
hợp với đáy
một góc
,
hợp với đáy
một góc
và
.

Ta có
Tam giác vuông , có
.
Tam giác vuông , có
.
Tam giác vuông , có
.
Diện tích hình chữ nhật .
Vậy
Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
là:
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
=> Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng.
Khi thì
Khi thì
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang.
Biết rằng
với x > 0. Tìm n?
Ta có:
Vậy
Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại
là:
Khối đa diện đều loại là khối hai mươi mặt đều:

Gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng:
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Tập nghiệm của bất phương trình
là:
Ta có:
Viết biểu thức
dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Ta có:
Cho hai điểm
cố định trong không gian có độ dài
. Biết rằng tập hợp các điểm
trong không gian sao cho
là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng bao nhiêu?
Ta có:
(*)
Gọi thỏa mãn
nên
Từ (*) suy ra .
Cho a và b là các số thực thỏa mãn điều kiện
và
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Ta có:
Đặt
. Hãy biểu diễn
theo a và b.
Ta có:
Năng lượng giải tỏa
của một trận động đất tại tâm địa chấn
độ Richter được xác định bởi công thức
. Vào năm 1995, thành phố
xảy ra một trận động đất 8 độ Richter và năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn của nó gấp 14 lần trận động đất ra tại thành phố
vào năm 1997. Hỏi khi đó độ lớn của trận động đất tại thành phố
là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
Theo đề bài ta có: .
Vậy độ lớn của trận động đất tại thành phố là 7,2 độ Richter.
Cho các hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng
cắt trục hoành, đồ thị hàm số
và
lần lượt tại
. Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Ta có:
Theo bài ra ta có:
Số nghiệm của phương trình
là:
0 || PT không có nghiệm || không có nghiệm || vô nghiệm || PT vô nghiệm
Số nghiệm của phương trình là:
0 || PT không có nghiệm || không có nghiệm || vô nghiệm || PT vô nghiệm
PT
Vậy số nghiệm của PT là 0.
Tổng các nghiệm của phương trình
là:
Điều kiện . Có
Dó đó, tổng các nghiệm sẽ bằng .
Cho hàm số
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào?
Ta có:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có:
Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?
Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.
Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.
Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là cạnh.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
. Tính thể tích của khối chóp?

Diện tích hình vuông là
.
Chiều cao khối chóp là
Vậy áp dụng công thức, ta có thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại A và B,
. Cạnh bên
và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.
1
Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại A và B,
. Cạnh bên
và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.
1

Diện tích hình thang ABCD là
Chiều cao khối chóp là .
Vậy thể tích khối chóp
Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh là
. Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là
, sau đó gập tấm nhôm lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Tìm
để thể tích chiếc hộp là lớn nhất.
Đáp án: 5
Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh là . Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là
, sau đó gập tấm nhôm lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Tìm
để thể tích chiếc hộp là lớn nhất.
Đáp án: 5
Chiều cao của chiếc hộp khi gập tấm nhôm là .
Kích thước đáy hai đáy của chiếc hộp là .
Ta có .
Thể tích chiếc hộp là .
.
Bài toán trở thành, tìm
sao cho
là lớn nhất.
Vậy cần cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là để chiếc hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
vuông góc với đáy và khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là hình chiếu của
trên
Ta có
Suy ra
Tam giác vuông tại
, có
Vậy .