Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Câu 1: Vận dụng cao

Cho bất phương trình: ${9^x} + \left( {m - 1} ight){.3^x} + m > 0\,\,\left( 1 ight)$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình (1) nghiệm đúng $\forall x>1$ .

A. $m \geqslant - \frac{3}{2}$
B. $m > - \frac{3}{2}$
C. $m > 3 + 2\sqrt 2$
D. $m \geqslant 3 + 2\sqrt 2$

Đặt $t=3^x$ .

Vì $x > 1 \Rightarrow t > 3$ . Bất phương trình đã cho thành: ${t^2} + \left( {m - 1} ight).t + m > 0$ nghiệm đúng $\forall t \geqslant 3$

$\Leftrightarrow \frac{{{t^2} - t}}{{t + 1}} > - m$ nghiệm đúng $\forall t \geqslant 3$ .

Xét hàm số: $g\left( t ight) = t - 2 + \frac{2}{{t + 1}},\forall t > 3,g'\left( t ight) = 1 - \frac{2}{{{{\left( {t + 1} ight)}^2}}} > 0,\forall t > 3$ .

Hàm số đồng biến trên $\left[ {3; + \infty } ight)$ và $g\left( 3 ight) = \frac{3}{2}$ . Yêu cầu bài toán tương đương $- m \leqslant \frac{3}{2} \Leftrightarrow m \geqslant - \frac{3}{2}$ .

Câu 2: Thông hiểu

Biết $\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}} = {\left( {\frac{a}{b}} ight)^m}$ với a và b là các số thực dương. Tìm m?

A. $m = \frac{2}{{15}}$
B. $m = \frac{4}{{15}}$
C. $m = \frac{2}{5}$
D. $m = - \frac{2}{{15}}$

Ta có:

$\begin{matrix} {\left( {\dfrac{a}{b}} ight)^m} = {\left( {\sqrt[3]{{\dfrac{{{b^3}}}{{{a^3}}}.\dfrac{a}{b}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {\dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} ight)^{\frac{1}{{15}}}} = {\left( {\dfrac{b}{a}} ight)^{\frac{2}{{15}}}} \hfill \\ \Rightarrow m = \dfrac{{ - 2}}{{15}} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 3: Nhận biết

Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

A. 8
B. 10
C. 11
D. 12

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.

Câu 4: Thông hiểu

Cho đồ thị hàm số $y = {x^{ - \sqrt 2 }}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có một tiệm cận đứng.

Theo định nghĩa của hàm số lũy thừa, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 0

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0$ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 và tiệm cận đứng là x = 0

Câu 5: Nhận biết

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln \left( {1 + {e^{2x}}} ight)$

A. $y' = \frac{{ - 2{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} ight)}^2}}}$
B. $y' = \frac{{{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} ight)}^2}}}$
C. $y' = \frac{1}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} ight)}^2}}}$
D. $y' = \frac{{2{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} ight)}^2}}}$

Ta có: $y' = \left( {\ln \left( {1 + {e^{2x}}} ight)} ight)' = \frac{{\left( {1 + {e^{2x}}} ight)'}}{{1 + {e^{2x}}}} = \frac{{2{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} ight)}^2}}}$

Câu 6: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như sau:

Xét hàm số $g(x) = f\left( x^{2} - 3 ight)$ và các mệnh đề sau:

(i) Hàm số $g(x)$ có ba điểm cực trị.

(ii) Hàm số $g(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ .

(iii) Hàm số $g(x)$ đạt cực đại tại $x = 2$ .

(iv) Hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $( - 2;0)$ .

(v) Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên khoảng $( - 1;1)$ .

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho?

A.
$3$
B.
$0$
C.
$2$
D.
$1$

Ta có: $g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} - 3 ight)$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ f'\left( x^{2} - 3 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 3 = - 2 \\ x^{2} - 3 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = 1 \\ x^{2} = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.$

Từ đồ thị ta nhận thấy $x = \pm 1$ là nghiệm kép nên ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số $g(x)$ ta thấy hàm số có 3 cực trị và đồng biến trên khoảng $( - 2;0)$ .

Vậy có tất cả 2 mệnh đề đúng.

Câu 7: Nhận biết

Điều kiện xác định của Bất phương trình ${\log _2}\left[ {3{{\log }_2}\left( {3x - 1} ight) - 1} ight] \leq x$ là?

A. $x > \frac{{\sqrt[3]{2} + 1}}{3}$
B. $x \geqslant \frac{1}{3}$
C. $x > 0$
D. $x \in (0; + \infty )\backslash {\text{\{ }}1\}$

Biểu thức ${\log _2}\left[ {3{{\log }_2}\left( {3x - 1} ight) - 1} ight] \leq x$ xác định khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{gathered} 3{\log _2}\left( {3x - 1} ight) - 1 > 0 \hfill \\ 3x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\log _2}\left( {3x - 1} ight) > \frac{1}{3} \hfill \\ x > \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x - 1 > {2^{\frac{1}{3}}} \hfill \\ x > \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{{{2^{\frac{1}{3}}} + 1}}{3} \hfill \\ x > \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x > \frac{{{2^{\frac{1}{3}}} + 1}}{3}$

Câu 8: Nhận biết

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?

A. Hình hộp là đa diện lồi
B. Tứ diện là đa diện lồi
C. Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép vào nhau là một hình đa diện lồi
D. Hình lập phương là đa diện lồi

Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có:

- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

Câu 9: Thông hiểu

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} ight) + {\log _3}\left( {x - 1} ight) \geqslant 0$ là:

A. $S = \left[ {1;6} ight]$
B. $S = \left( {5;6} ight]$
C. $S = \left( {5; + \infty } ight)$
D. $S = \left( {1; + \infty } ight)$

${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} ight) + {\log _3}\left( {x - 1} ight) \geqslant 0$ $\Leftrightarrow {\log _3}\left( {x - 1} ight) \geqslant {\log _3}\left( {{x^2} - 6x + 5} ight)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 6x + 5 > 0 \hfill \\ x - 1 \geqslant {x^2} - 6x + 5 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < 1 \vee x > 5 \hfill \\ 1 \leqslant x \leqslant 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow 5 < x \leqslant 6$

Vậy tập nghiệm của BPT là $S = \left( {5;6} ight]$ .

Câu 10: Nhận biết

Cho biết $Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}}$ với $a > 0,a e 1$ . Chọn khẳng định đúng?

A. $Q = {a^{\frac{5}{3}}}$
B. $Q = {a^{\frac{7}{3}}}$
C. $Q = {a^{\frac{7}{4}}}$
D. $Q = {a^{\frac{{11}}{6}}}$

Ta có: $Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}} = {\left( {{a^2}.{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{{10}}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{5}{3}}}$

Vậy $Q = {a^{\frac{5}{3}}}$

Câu 11: Thông hiểu

Viết biểu thức $P = \frac{{{a^2}.{a^{\frac{5}{2}}}.\sqrt[3]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[6]{{{a^5}}}}};\left( {a > 0} ight)$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

A. $P = a$
B. $P = {a^5}$
C. $P = {a^4}$
D. $P = {a^2}$

Ta có: $P = \dfrac{{{a^2}.{a^{\frac{5}{2}}}.\sqrt[3]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[6]{{{a^5}}}}} = \dfrac{{{a^2}.{a^{\frac{5}{2}}}.{a^{\frac{4}{3}}}}}{{{a^{\frac{5}{6}}}}} = {a^5}$

Câu 12: Vận dụng

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 13: Nhận biết

Xác định hàm số đồng biến trên $( - \infty; + \infty)$ ?

A.
$y = x^{3} - 3x$
B.
$y = \frac{x - 1}{x - 2}$
C.
$y = \frac{x + 1}{x + 3}$
D.
$y = x^{3} + 3x$

Xét hàm số $y = x^{3} + 3x$ ta có:

$y' = 3x^{2} + 3 > 0;\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Suy ra hàm số $y = x^{3} + 3x$ đồng biến trên $( - \infty; + \infty)$ .

Câu 14: Thông hiểu

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA$ vuông góc với đáy và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp đã cho.

A. $% MathType!MTEF!2!1!+-% feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqi-u0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOvaiabg2% da9maalaaabaGaamyyamaaCaaaleqabaGaaG4maaaaaOqaaiaaikda% aaaaaa!3A8B!V = \frac{{{a^3}}}{2}$
B. $V=a^3$
C. $V = \frac{{\sqrt 3 \,{a^3}}}{9}$
D. $V = \frac{{{a^3}}}{3}$

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$ $\Rightarrow AH \bot SB$

Ta có $\left\{ \begin{gathered} SA \bot \left( {ABCD} ight) \Rightarrow SA \bot BC \hfill \\ AB \bot BC \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow AH \bot BC$

Suy ra $AH \bot \left( {SBC} ight) \Rightarrow d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ , có $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow SA = a$

Vậy $V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}$ .

Câu 15: Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $H(1;2; - 2)$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $H$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$ . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ ?

A.
$\frac{81\pi}{2}$
B.
$\frac{243\pi}{2}$
C.
$81\pi$
D.
$243\pi$

Gọi $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ lần lượt thuộc các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

Khi đó ta có phương trình mặt phẳng (α) đi qua các điểm A, B, C là

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Vì $H \in (\alpha) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{2}{c} = 1\ \ (1)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (1 - a;2; - 2);\overrightarrow{BC} = (0; - b;c) \\ \overrightarrow{BH} = (1;2 - b; - 2);\overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight.$

Theo đề bài ta có H là trực tâm $\Delta ABC$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM}\bot\overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{BH}\bot\overrightarrow{AC} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2b - 2c = 0 \\ - a - 2c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2c \\ b = - c \\ \end{matrix} ight.$ thay vào (1) ta được:

$\frac{1}{- 2c} + \frac{2}{- c} - \frac{2}{c} = 1 \Rightarrow c = - \frac{9}{2} \Rightarrow a = 9;b = \frac{9}{2}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A(9;0;0) \\B\left( 0;\dfrac{9}{2};0 ight) \\C\left( 0;0; - \dfrac{9}{2} ight) \\\end{matrix} ight.$ . Gọi $I\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp tứ giác OABC, ta có:

$\left\{ \begin{matrix}OI = IA \\OI = IB \\OI = IC \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} = \left( x_{0} - 9 ight)^{2} +{y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} \\{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} = {x_{0}}^{2} + \left( y_{0} -\dfrac{9}{2} ight)^{2} + {z_{0}}^{2} \\{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} = {x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} +\left( z_{0} - \dfrac{9}{2} ight)^{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{x_{0}}^{2} = \left( x_{0} - 9 ight)^{2} \\{y_{0}}^{2} = \left( y_{0} - \dfrac{9}{2} ight)^{2} \\{z_{0}}^{2} = \left( z_{0} - \dfrac{9}{2} ight)^{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - x_{0} - 9 \\y_{0} = - y_{0} - \dfrac{9}{2} \\z_{0} = - z_{0} - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0} = \dfrac{9}{2} \\y_{0} = \dfrac{9}{4} \\z_{0} = - \frac{9}{4} \\\end{matrix} ight.$

Vậy $I\left( \frac{9}{2};\frac{9}{4}; - \frac{9}{4} ight);R = OI = \frac{9\sqrt{6}}{4}$

$\Rightarrow S_{(I)} = 4\pi R^{2} = 4\pi.\left( \frac{9\sqrt{6}}{4} ight)^{2} = \frac{243\pi}{2}$

Câu 16: Thông hiểu

Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu cạnh?

A. 20
B. 10
C. 15
D. 25

Khối lăng trụ ngũ giác có số cạnh của một mặt đáy là 5 cạnh, số cạnh bên là 5 cạnh

Số cạnh của khối lăng trụ ngũ giác là: 2.5 + 5 =15 cạnh.

Câu 17: Thông hiểu

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình lập phương.
B. Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.
C. Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình lập phương.
D. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Câu 18: Thông hiểu

Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn $AC=10a$ , khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

A. $128 \pi a^3$
B. $320 \pi a^3$
C. $80 \pi a^3$
D. $200 \pi a^3$

Thể tích của khối trụ

Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; $A\in (O), C \in (O')$ .

Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' $(D \in (O'), B \in (O)$ . Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

Do $AC=10a,AD=8a\Rightarrow DC=6a.$ .

Gọi H là trung điểm của DC.

$\left\{\begin{matrix}O^\prime H\bot D C\\O^\prime H\bot A D\\\end{matrix}\Rightarrow O^\prime H\bot(ABCD)ight.$ .

Ta có $O^\prime//(ABCD)\Rightarrow d\left(OO^\prime,ACight)=d\left(OO^\prime,(ABCD)ight)=O^\prime H=4a.$ .

Suy ra $O^\prime H=4a,CH=3a\Rightarrow R=O^\prime C=5a.$ .

Vậy thể tích của khối trụ là $V=\pi R^2h=\pi(5a)^28a=200\pi a^3$ .

Câu 19: Nhận biết

Cho mặt cầu $S(O; R)$ và một điểm A, biết $OA = 2R$ . Qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho $BC = R\sqrt 3$ . Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng:

A. $R$
B. $\frac{R}{2}$
C. $R\sqrt 2$
D. $R\sqrt 3$

Gọi H là hình chiếu của O lên BC.

Ta có $OB=OC=R$ , suy ra H là trung điểm của BC nên $HC = \frac{{CD}}{2} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}$

Suy ra $OH = \sqrt {O{C^2} - H{C^2}} = \frac{R}{2}.$

Câu 20: Vận dụng

Anh T đã làm hợp đồng xin vay vốn ngân hàng để kinh doanh với số tiền 200 triệu đồng với lãi suất a% trên một năm. Điều kiện hợp đồng là số tiền lại tháng trước sẽ được tính làm vốn để sinh lãi cho tháng sau. Sau hai năm kinh doanh, anh T dã thanh toán hợp đồng ngân hàng với số tiền làm tròn là 245512000 đồng. Chọn khẳng định đúng?

A. $a=10$
B. $a=11$
C. $a=12$
D. $a=13$

Lãi suất mỗi tháng là $\frac{a}{{12}}\%$ . Theo công thức lãi kép ta có:

$\begin{matrix} 200.{\left( {1 + \dfrac{a}{{12}}\% } ight)^{24}} = 245,512 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{a}{{12}}\% = \sqrt[{24}]{{\dfrac{{245,512}}{{200}}}} - 1 \hfill \\ \Rightarrow a \approx 10 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 21: Nhận biết

Đồ thị hàm số nào có dạng đường trong như trong hình vẽ dưới đây?

A.
$y = 2x^{4} - 4x^{2} + 1$
B.
$y = - 2x^{4} + 4x^{2} + 1$
C.
$y = 2x^{3} - 3x^{2} + 1$
D.
$y = - 2x^{3} + 3x^{2} + 1$

Dựa vào hình dáng đồ thị suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số $a < 0$ nên hàm số cần tìm là $y = - 2x^{4} + 4x^{2} + 1$ .

Câu 22: Vận dụng

Tổng độ dài $\ell$ của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2

60 || sáu mươi || Sáu mươi

Đáp án là:

Tổng độ dài $\ell$ của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2

60 || sáu mươi || Sáu mươi

Khối mười hai mặt đều có tất cả 30 cạnh:

Suy ra ta có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng $\ell = 30.2 = 60$ .

Câu 23: Thông hiểu

Với các số a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1 và ${\log _a}c = x;{\log _b}c = y$ . Khi đó giá trị của ${\log _a}\left( {ab} ight)$ bằng:

A. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$
B. $\frac{{xy}}{{x + y}}$
C. $\frac{1}{{xy}}$
D. $x + y$

Với a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1 ta có: ${\log _c}a = \frac{1}{x};{\log _c}b = \frac{1}{y}$

Khi đó ta có: ${\log _c}\left( {ab} ight) = {\log _c}a + {\log _c}b = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

Câu 24: Nhận biết

Hình nón có đường sinh $l=2a$ và hợp với đáy góc $\alpha = {60^0}$ . Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

A. $4\pi a^2$
B. $3\pi a^2$
C. $2\pi a^2$
D. $\pi a^2$

Diện tích toàn phần

Theo giả thiết, ta có

$SA = \ell = 2a$ và $\widehat {SAO} = {60^0}$ .

Suy ra:

$R = OA = SA.\cos {60^0} = a$ .

Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: $S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2}$ (đvdt).

Câu 25: Nhận biết

Điều kiện xác định của phương trình ${\log _x}(2{x^2} - 7x - 12) = 2$ là:

A. $x \in \left( {0;1} ight) \cup \left( {1; + \infty } ight)$
B. $x \in \left( { - \infty ;0} ight)$
C. $x \in \left( {0;1} ight)$
D. $x \in \left( {0; + \infty } ight)$

Biểu thức ${\log _x}(2{x^2} - 7x - 12) = 2$ xác định

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x e 1 \hfill \\ 2{x^2} - 7x + 12 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x e 1 \hfill \\ 2\left[ {{{(x - \frac{7}{4})}^2} + \frac{{47}}{{16}}} ight] > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow x \in (0;1) \cup (1; + \infty )$

Câu 26: Thông hiểu

Phương trình $\ln \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = \ln x$ có nghiệm là:

A. $x = -2$
B. $\left[ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
C. $x=4$
D. $x=1$

Ta có: $\ln \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = \ln x \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = x \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x = 4$

Câu 27: Thông hiểu

Tính đạo hàm của hàm số $y = {\log _9}\left( {{x^2} + 1} ight)$

A. $y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} ight)\ln 9}}$
B. $y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} ight)\ln 3}}$
C. $y' = \frac{{2x\ln 9}}{{{x^2} + 1}}$
D. $y' = \frac{{2\ln 3}}{{{x^2} + 1}}$

Ta có:

$y' = \left[ {{{\log }_9}\left( {{x^2} + 1} ight)} ight]' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} ight)\ln {3^2}}} = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} ight).2.\ln 3}} = \frac{x}{{\left( {{x^2} + 1} ight)\ln 3}}$

Câu 28: Vận dụng

Cho biểu thức $P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.{{\left( {{a^2}{b^2}} ight)}^{\frac{2}{3}}}} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6}$ với a và b là các số thực dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $P = \frac{{{b^3}\sqrt a }}{a}$
B. $P = \frac{{\sqrt a }}{{{b^3}}}$
C. $P = {b^3}\sqrt 3$
D. $P = \frac{{\sqrt a }}{{a{b^3}}}$

Thực hiện thu gọn biểu thức như sau:

$\begin{matrix} P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.{{\left( {{a^2}{b^2}} ight)}^{\frac{2}{3}}}} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.\left( {{a^{\frac{4}{3}}}{b^{\frac{4}{3}}}} ight)} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{5}{6}}}.b} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{a^{\frac{{ - 5}}{{12}}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{{ - 1}}{{12}}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{ - 3}} = \dfrac{1}{{{b^3}\sqrt a }} = \dfrac{{\sqrt a }}{{a{b^3}}} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 29: Vận dụng cao

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in ( - 2021;2021)$ để hàm số $y = \left| x^{4} - 4x^{2} + m + 2020ight|$ có 7 điểm cực trị?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in ( - 2021;2021)$ để hàm số $y = \left| x^{4} - 4x^{2} + m + 2020ight|$ có 7 điểm cực trị?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 30: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của $f'(x)$ như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A.
$3$
B.
$2$
C.
$4$
D.
$1$

Đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương hai lần qua các điểm $x = - 2$ và $x = 2$ nên hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu.

Câu 31: Nhận biết

Tập xác định của hàm số $f\left( x ight) = {\left( {{x^2} - 1} ight)^{ - 2}}$ là:

A. $x e \pm 1$
B. $D = \left( { - 1;1} ight)$
C. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} ight\}$
D. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\}$

Hàm số $f\left( x ight) = {\left( {{x^2} - 1} ight)^{ - 2}}$ xác định khi ${x^2} - 1 e 0 \Rightarrow x e \pm 1$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} ight\}$

Câu 32: Thông hiểu

Dựa vào thông tin dưới đây và trả lời các câu hỏi

Số lượng của một loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được biểu diễn theo công thức $S(t) = A.e^{rt}$ , trong đó A là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc 6 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con.

Thời điểm số lượng vi khuẩn X gấp 9 lần số lượng vi khuẩn ban đầu là:

A.
3 giờ.
B.
9 giờ.
C.
12 giờ.
D.
15 giờ.

Gọi $t_{1}$ là thời điểm số lượng vi khuẩn gấp 9 lần ban đầu.

Khi đó: $S\left( t_{1} ight) = 1350$ con.

Ta có phương trình:

$150.e^{\frac{ln3}{3}.t_{1}} = 1350 \Leftrightarrow e^{\frac{ln3}{3}.t_{1}} = 9 \Leftrightarrow \frac{ln3}{3}t_{1} = ln9 \Leftrightarrow t_{1} = 6.$

Câu 33: Thông hiểu

Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ biết thể tích khối chóp $A.BCB'C'$ bằng $2a^3$

A. $V = 6{a^3}$
B. $V = \frac{{5{a^3}}}{2}$
C. $V = 4{a^3}$
D. $V = 3{a^3}$

Ta có thể tích khối chóp: ${V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}$

Suy ra:

${V_{A.BCB'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\xrightarrow{{}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{3}{2}{V_{A.BCB'C'}} = \frac{3}{2}.2{a^3} = 3{a^3}.$

Câu 34: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và có đạo hàm $f'\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 2} ight)\left( {{x^2} - 6x + m} ight)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2019; 2019] để hàm số $g\left( x ight) = f\left( {1 - x} ight)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} ight)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và có đạo hàm $f'\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 2} ight)\left( {{x^2} - 6x + m} ight)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2019; 2019] để hàm số $g\left( x ight) = f\left( {1 - x} ight)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} ight)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 35: Vận dụng

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị như sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) là đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$ . Đúng||Sai

b) là đồ thị của hàm số $y = \frac{|x + 1|}{x - 1}$ . Đúng||Sai

c) là đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ . Sai|| Đúng

d) Đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$ và $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ là khác nhau. Sai|| Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị như sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) là đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$ . Đúng||Sai

b) là đồ thị của hàm số $y = \frac{|x + 1|}{x - 1}$ . Đúng||Sai

c) là đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ . Sai|| Đúng

d) Đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$ và $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ là khác nhau. Sai|| Đúng

a) Đồ thị hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$

- Giữ nguyên phần trên trục Ox.

- Đối xứng với phần bị bỏ của đồ thị $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ qua trục Ox.

b) Ta có: $y = \frac{|x + 1|}{x - 1} = \left\{ \begin{matrix} \frac{x + 1}{x - 1};\ \ \ khi\ x \geq - 1;x eq 1 \\ - \frac{x + 1}{x - 1};\ \ \ khi\ x < - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó đồ thị hàm số $y = \frac{|x + 1|}{x - 1}$ gồm hai phần:

Phần 1: Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ với $x \geq - 1;x eq 1$ .

Phần 2: Đối xứng với phần còn lại của đồ thị $y = f(x)$ với x < −1 qua trục Ox.

c) Đồ thị $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ gồm hai phần:

Phần 1: Giữ nguyên phần trên Ox

Phần 2: Đối xứng với phần bị bỏ của đồ thị $y = \frac{|x + 1|}{x - 1}$ qua trục Ox.

d) Đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$ và $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ là giống nhau.

Câu 36: Vận dụng

Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{{\left( {2m - 1} ight)x + 1}}{{x - m}}$ có đường tiệm cận ngang $y = 3$ là:

A. m = 1
B. m = 0
C. m = 2
D. m = 3

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là:

$- m\left( {2m - 1} ight) - 1 e 0 \Rightarrow 2{m^2} - m + 1 e 0$ luôn đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$

Phương trình đường tiệm cận ngang là $y = 2m - 1$ nên ta có $2x - 1 = 3 \Rightarrow m = 2$

Câu 37: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA\ \bot\ (ABCD)$ , biết $SC = a\sqrt{3}$ . Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SB$ , $SD$ , $CD$ , $BC$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}$ . Đúng||Sai

b) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng thể tích của khối chóp $S.ACD$ . Đúng||Sai

c) Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng $a^{3}$ . Sai||Đúng

d) Thể tích của khối chóp $A.MNPQ$ bằng $\frac{a^{3}}{8}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA\ \bot\ (ABCD)$ , biết $SC = a\sqrt{3}$ . Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SB$ , $SD$ , $CD$ , $BC$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}$ . Đúng||Sai

b) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng thể tích của khối chóp $S.ACD$ . Đúng||Sai

c) Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng $a^{3}$ . Sai||Đúng

d) Thể tích của khối chóp $A.MNPQ$ bằng $\frac{a^{3}}{8}$ . Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $SA\ \bot\ (ABCD) \Rightarrow V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SA.S_{ABCD}$ . Suy ra mệnh đề đúng.

b) Từ giả thiết có $S_{ABC} = S_{ACD} = \frac{a^{2}}{2}$ ; $SA\bot(ABCD)$ .

$V_{S.ABC} = \frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC};\ \ \ V_{S.ACD} = \frac{1}{3}SA.S_{\Delta ACD}$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = V_{S.ACD}$ . Suy ra mệnh đề đúng.

c) Ta có $SA = \sqrt{SC^{2} - AC^{2}} = a$ .

Suy ra $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SA.S_{ABCD} = \frac{a^{3}}{3}$ . Vậy mệnh đề sai.

d) Ta có $\left\{ \begin{matrix} MN//PQ \\ MN = PQ \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra $MNPQ$ là hình bình hành; mặt khác, ta có: $\left\{ \begin{matrix} BD\bot SA \\ BD\bot AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot SC$

Mà $\left\{ \begin{matrix} PQ//BD \\ PN//SC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow PN\bot PQ$ nên tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.

$SA = \sqrt{SC^{2} - AC^{2}} = a$

Do $SM \cap (APQ) = B$ nên ta có:

$\frac{d\left( M;(AQP) ight)}{d\left( S;(AQP) ight)} = \frac{MB}{AB} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow d\left( M;(AQP) ight) = \frac{1}{2}d\left( S;(AQP) ight) = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}$ .

$S_{\Delta AQP} = \frac{1}{2}AH.QP = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}AC.\frac{1}{2}BD$ $= \frac{3}{16}AC.BD = \frac{3}{16}\left( a\sqrt{2} ight)^{2} = \frac{3}{8}a^{2}$ .

Với $H = AC \cap PQ$ .

Ta có $V_{A.MNPQ} = 2V_{A.MQP} = 2V_{M.AQP}$

Mà $V_{M.AQP} = \frac{1}{3}d\left( M;(AQP) ight).S_{\Delta AQP} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{3}{8}a^{2} = \frac{a^{3}}{16}$ .

Vậy $V_{A.MNPQ} = 2V_{M.AQP} = 2.\frac{a^{3}}{16} = \frac{a^{3}}{8}$ . Suy ra mệnh đề đúng.

Câu 38: Vận dụng cao

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ . Gọi $N$ là trung điểm $SB$ , $M$ là điểm đối xứng với $B$ qua $A$ . Mặt phẳng $(MNC)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_1, V_2$ với ${V_1} < {V_2}$ . Tính tỉ số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$ .

A. $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{5}{7}$
B. $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{5}{{11}}$
C. $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{5}{9}$
D. $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{5}{{13}}$

Gọi $h,\,\,S$ lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối chóp $S.ABCD$ . Khi đó ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}S.h$ . Nối MN cắt SA tại E, MC cắt AD tại F. Tam giác $SBM$ có A, N lần lượt là trung điểm của BM và SB.

Suy ra E là trọng tâm tam giác SBM.

Vì tứ giác $ACDM$ là hình bình hành nên F là trung điểm MC.

Ta có ${V_{BNC.AEF}} = {V_{ABCEN}} + {V_{E.ACF}}$ . Xét tỉ số:

$\frac{{{V_{S.ENC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SE}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\xrightarrow{{}}{V_{S.ENC}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABC}}$

$\xrightarrow[{}]{}{V_{ABCEN}} = \frac{2}{3}{V_{S.ABC}} = \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}} ight) = \frac{1}{3}{V_{S.ABCD}}$

Mặt khác, áp dụng công thức tính thể tích khối chóp $E.ACF$ là:

${V_{E.ACF}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ACF}}.d\left[ {E,\left( {ACF} ight)} ight] = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}S.\frac{1}{3}h = \frac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}$

Do đó ${V_{BNC.AEF}} = {V_{ABCEN}} + {V_{E.ACF}}$

$= \frac{1}{3}{V_{S.ABCD}} + \frac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}$

$= \frac{5}{{12}}{V_{S.ABCD}} = {V_1}$

Suy ra ${V_2} = \frac{7}{{12}}{V_{S.ABCD}}\xrightarrow{{}}\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{5}{7}$ .

Câu 39: Vận dụng

Gọi P là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = {x^3} - 3\left( {m - 2} ight){x^2} + 12x + 1$ đồng biến trên tập xác định của nó. Tổng các phần tử của tập hợp P là:

A. 15
B. 10
C. 35
D. 25

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6\left( {m - 2} ight)x + 12$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi

$\begin{matrix} y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3 > 0} \\ {\left( {{\Delta _{y'}}} ight)' = 9{{\left( {m - 2} ight)}^2} - 36 \leqslant 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow 0 \leqslant m \leqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Kết hợp với điều kiện $m \in \mathbb{Z}$

=> $m \in \left\{ {0;1;2;3;4} ight\}$

=> Tổng P bằng 10

Câu 40: Nhận biết

Cho ${\log _2}a = x;{\log _2}b = y$ biết , biểu thức ${\log _2}\left( {4{a^2}{b^3}} ight)$ có giá trị là:

A. ${x^3}{y^2}$
B. $2x + 3y + 2$
C. ${x^2} + {y^3} + 4$
D. $6xy$

Ta có:

${\log _2}\left( {4{a^2}{b^3}} ight) = {\log _2}4 + {\log _2}{a^2} + {\log _2}{b^3} = 2 + 2{\log _2}a + 3{\log _2}b = 2x + 3y + 2$

Câu 41: Vận dụng

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _x}\left( {125x} ight).{\log _{25}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x$ là:

A. $S = \left( {1;\sqrt 5 } ight)$
B. $S = \left( { - 1;\sqrt 5 } ight)$
C. $S = \left( { - \sqrt 5 ;1} ight)$
D. $S = \left( { - \sqrt 5 ; - 1} ight)$

Điều kiện: $0 < x e 1{\text{ }}$

Ta có:

${\log _x}(125x).{\log _{25}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x \Leftrightarrow \left( {{{\log }_x}{5^3} + {{\log }_x}x} ight).{\log _{{5^2}}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x$

$\Leftrightarrow \left( {3{{\log }_x}5 + 1} ight).\left( {\frac{1}{2}{{\log }_5}x} ight) > \frac{3}{2} + \log _5^2x$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2} + \frac{1}{2}{\log _5}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x \Leftrightarrow 2\log _5^2x - {\log _5}x < 0$

$\Leftrightarrow 0 < {\log _5}x < \frac{1}{2} \Leftrightarrow {5^0} < x < {5^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow 1 < x < \sqrt 5$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left( {1;\sqrt 5 } ight)$ .

Câu 42: Vận dụng

Phương trình ${2^{x - 3}} = {3^{{x^2} - 5x + 6}}$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ trong đó $x_1 < x_2$ , hãy chọn phát biểu đúng?

A. $3{x_1} - 2{x_2} = {\log _3}8$
B. $2{x_1} - 3{x_2} = {\log _3}8$
C. $2{x_1} + 3{x_2} = {\log _3}54$
D. $3{x_1} + 2{x_2} = {\log _3}54$

Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được:

${2^{x - 3}} = {3^{{x^2} - 5x + 6}}$ $\Leftrightarrow {\log _2}{2^{x - 3}} = {\log _2}{3^{{x^2} - 5x + 6}}$

$\Leftrightarrow \left( {x - 3} ight){\log _2}2 = \left( {{x^2} - 5x + 6} ight){\log _2}3$

$\Leftrightarrow \left( {x - 3} ight) - \left( {x - 2} ight)\left( {x - 3} ight){\log _2}3 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 3} ight).\left[ {1 - \left( {x - 2} ight){{\log }_2}3} ight] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 3 = 0 \hfill \\ 1 - \left( {x - 2} ight){\log _2}3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ \left( {x - 2} ight){\log _2}3 = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x - 2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = {\log _3}2 + 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = {\log _3}2 + {\log _3}9 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = {\log _3}18 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Câu 43: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - 4x}{2x + 1}$ . Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\lbrack 0;3brack$ ?

A.
$\min_{\lbrack 0;3brack}y = 0$
B.
$\min_{\lbrack 0;3brack}y = - \frac{7}{3}$
C.
$\min_{\lbrack 0;3brack}y = - 4$
D.
$\min_{\lbrack 0;3brack}y = - 1$

Hàm số $y = \frac{x^{2} - 4x}{2x + 1}$ liên tục trên đoạn $\lbrack 0;3brack$

Ta có: $y' = \frac{2x^{2} + 2x - 4}{(2x + 1)^{2}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} f(0) = 0 \\ f(1) = - 1 \\ f(3) = - \frac{3}{7} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1) < f(3) < f(0)$ nên $\min_{\lbrack 0;3brack}y = y(1) = - 1$ .

Câu 44: Nhận biết

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho theo $a$ , biết $A'B=3a$ .

A. $V = \frac{{4\sqrt 5 {a^3}}}{3}$
B. $V = 4\sqrt 5 {a^3}$
C. $V = 2\sqrt 5 {a^3}$
D. $V=12a^3$

Do $ABCD.A'B'C'D'$ là lăng trụ đứng nên $AA' \bot AB$ .

Xét tam giác vuông $A'AB$ , ta có $A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 5$ .

Diện tích hình vuông $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = A{B^2} = 4{a^2}$ .

Vậy ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.A'A = 4\sqrt 5 {a^3}$

Câu 45: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $I(1; - 2;3)$ . Viết phương trình mặt cầu tâm $I$ cắt trục $Ox$ tại hai điểm $A;B$ sao cho $AB = 2\sqrt{3}$ ?

A.
$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$
B.
$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 20$
C.
$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25$
D.
$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 9$

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm AB suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox nên $H(1;0;0)$

$IH = \sqrt{13} \Rightarrow R = IA = \sqrt{IH^{2} + AH^{2}} = 4$

Phương trình mặt cầu là: $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$ .

Câu 46: Vận dụng

Cho ${9^x} + {9^{ - x}} = 14;\frac{{6 + 3.\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} ight)}}{{2 - {3^{x + 1}} - {3^{1 - x}}}} = \frac{a}{b}$ ; ( $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính giá trị biểu thức $P = ab$ .

A. $P = 10$
B. $P = - 10$
C. $P = - 45$
D. $P = 45$

Ta có:

$\begin{matrix} {\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} ight)^2} = 14 + 2 = 16 \hfill \\ \Rightarrow {3^x} + {3^{ - x}} = 4 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{{6 + 3.4}}{{2 - 3.4}} = - \dfrac{9}{5} \hfill \\ \Rightarrow P = - 45 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 47: Thông hiểu

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - 2mx^{2} + 4x - 5$ đồng biến trên tập số thực?

A.
$3$
B.
$0$
C.
$2$
D.
$1$

Ta có: $y' = x^{2} - 4m + 4$

Hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - 2mx^{2} + 4x - 5$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

$y' \geq 0;\forall x \Leftrightarrow x^{2} - 4m + 4 \geq 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 > 0 \\ \Delta' = 4m^{2} - 4 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 1$

Vì $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 1;0;1 ight\}$

Vậy số giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $3$ .

Câu 48: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên các khoảng $( - \infty;0)$ và $(0; + \infty)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
B.
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
C.
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
D.
Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận.

Vì $\lim_{x ightarrow - \infty}y = 2$ nên $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì ${\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.}$ nên $x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 49: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình có nghiêm đúng với khi và chỉ khi

Bất phương trình $f\left( x ight) < m + {x^2} - 2x$ có nghiêm đúng với $\forall x \in \left( { - 2;2} ight)$ khi và chỉ khi :

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình có nghiêm đúng với khi và chỉ khi

Bất phương trình $f\left( x ight) < m + {x^2} - 2x$ có nghiêm đúng với $\forall x \in \left( { - 2;2} ight)$ khi và chỉ khi :

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 50: Vận dụng

Cho hàm số $f\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 1} ight).{e^{3x}}$ có một nguyên hàm là hàm số F(x). Số điểm cực trị của hàm số F(x) là

A. 1
B. 2
C. 3
D. 0

TXĐ: $D = \mathbb{R}$ có một nguyên hàm là hàm số F(x)

=> F’(x) = f(x), $\forall x \in \mathbb{R}$

=> $F'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow f\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} ight){e^{3x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \end{array}} ight.$

Ta có bảng xét dấu F’(x) như sau:

Tìm số cực trị của hàm số

Dựa vào bảng trên ta thấy hàm số F(x) có một điểm cực trị.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!