Lớp 12 Toán 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 12.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = \left( {3 - x} ight)\left( {{x^2} - 1} ight) + 2x,\forall x \in \mathbb{R}. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

    Ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = \left( {3 - x} ight)\left( {{x^2} - 1} ight) + 2x \hfill \\ \Rightarrow y' = f''\left( x ight) - 2x = - 3{x^2} + 4x + 3 \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{2 \pm \sqrt {13} }}{3} \hfill \\ y'' = - 6x + 4 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y''\left( {\dfrac{{2 + \sqrt {13} }}{3}} ight) = - 2\sqrt {13} < 0} \\ {y''\left( {\dfrac{{2 - \sqrt {13} }}{3}} ight) = 2\sqrt {13} > 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Hàm số có 1 cực trị

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \left| 3x^{4} - 4x^{3} -12x^{2} + m^{2} ight| với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \left| 3x^{4} - 4x^{3} -12x^{2} + m^{2} ight| với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 3: Thông hiểu

    Viết biểu thức P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}};\left( {x > 0} ight) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

    Ta có: P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}} = {x^{\frac{1}{5}}}.{x^{\frac{2}{3}}}.{x^{\frac{3}{5}}} = {x^{\frac{{113}}{{30}}}}

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có bảng biến như sau:

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có một nghiệm

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m có một nghiệm?

    Đặt t = \sqrt {x + 1} + 1 \Rightarrow t \geqslant 1

    Khi đó bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m trở thành f\left( t ight) \leqslant m{\text{ }}\left( * ight)

    Bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m có nghiệm khi bất phương trình f\left( t ight) \leqslant m có nghiệm t \geqslant 1

    \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\min \left( t ight)}\limits_{t \geqslant 1} \Leftrightarrow m \geqslant - 4

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{3} - 2x^{2} -1 có đồ thị (C), đường thẳng (d):y = mx - 1 và điểm K(4;11). Biết rằng (C);(d) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A;B;C trong đó A(0; - 1) còn trọng tâm tam giác KBC nằm trên đường thẳng y = 2x + 1. Tìm giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = x^{3} - 2x^{2} -1 có đồ thị (C), đường thẳng (d):y = mx - 1 và điểm K(4;11). Biết rằng (C);(d) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A;B;C trong đó A(0; - 1) còn trọng tâm tam giác KBC nằm trên đường thẳng y = 2x + 1. Tìm giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để f(22x) > f\left( x^{2} ight)?

    Ta có: f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} suy ra hàm số f(x) đồng biến trên \mathbb{R}

    Suy ra f(22x) > f\left( x^{2} ight) \Leftrightarrow 22x > x^{2} \Leftrightarrow 0 < x < 22

    Vậy có tất cả 21 giá trị nguyên của x.

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, \widehat {BAD} = {120^0} . Góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng \left( {ADD'A'} ight) bằng 30^0. Tính thể tích V của khối lăng trụ.

    Hình thoi ABCD có \widehat {BAD} = {120^0}, suy ra \widehat {ADC} = {60^0}. Do đó tam giác ABC và ADC là các tam giác đều. Gọi N là trung điểm A'B' nên  \left\{ \begin{gathered} {C'N \bot A'B'} \hfill \\ C'N = \frac{{\sqrt {3} }}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Suy ra {30^0} = \widehat {AC',\left( {ADD'A'} ight)} = \widehat {AC',AN} = \widehat {C'AN}.

    Tam giác vuông C'NA, có AN = \frac{{C'N}}{{\tan \widehat {C'AN}}} = \frac{3}{2}

    Tam giác vuông AA'N, có AA' = \sqrt {A{N^2} - A'{N^2}} = \sqrt 2.

    Diện tích hình thoi {S_{ABCD}} = A{B^2}.\sin \widehat {BAD} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho các hình khối sau:

    Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?

    2 || Hai || hai

    Đáp án là:

    Cho các hình khối sau:

    Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?

    2 || Hai || hai

     Có hai khối đa diện lồi là: Hình 1 & Hình 4

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

    Xét hàm số g\left( x ight) = f\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 3. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có:

    g'\left( x ight) = \frac{1}{2}f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \left( {{x^2} - 3x + 2} ight)

    f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{ - 5}}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = - 1} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = \frac{1}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 4} \\ {x = - 1} \\ {x = 2} \\ {x = 7} \end{array}} ight.

    f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} < - \dfrac{5}{2}} \\ {\dfrac{1}{2} < \dfrac{{x - 1}}{2} < 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 4} \\ {2 < x < 7} \end{array}} ight.

    Ta có bảng xét dấu cho các biểu thức

    Tìm khẳng định sai

    Từ bảng xét dấu ta thấy

    x \in \left( {0;1} ight) \subset \left( {0;2} ight) \Rightarrow g'\left( x ight) < 0

    Khi đó hàm số nghịch biến

    => Đáp án B sai

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hàm số y = {x^{ - \frac{1}{2}}}. Cho các khẳng định sau:

    i) Hàm số xác định với mọi x

    ii) Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1; 1)

    iii) Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}

    iv) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận

    Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?

    Ta có khẳng định ii) và iv) là đúng

    i) Sai vì hàm số đã cho xác định khi x > 0

    iii) Sai vì hàm số nghịch biến trên \left( {0; + \infty } ight)

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho khối đa diện đều loại \{ 3; 4 \}. Tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa điện đó bằng?

     Khối đa diện đều loại \{ 3; 4 \} là khối bát diện đều.

    Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt.

    Vậy tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa diện đó bằng 60^∘⋅4=240^∘.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?

    Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.

    Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.

    Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông

    Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.

     

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho a và b là các số thực thỏa mãn điều kiện {\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a} và {b^{\dfrac{5}{4}}} > {b^{\dfrac{4}{3}}}. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Ta có:

    {\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a} \Rightarrow a < 0

    {b^{\frac{5}{4}}} > {b^{\frac{4}{3}}} \Rightarrow 0 < b < 1

  • Câu 14: Nhận biết

    Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?

     Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.

    Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.

    Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là 12 + 30 =42 cạnh.

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: f'(x) > 0, \forall x \in (0;1).

    Suy ra, hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (0;1).

  • Câu 16: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;2;1),N\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight). Viết phương trình mặt cầu có tâm là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OMN và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)?

    Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN

    Ta áp dụng tính chất sau: “Cho tam giác OMN với I là tâm đường tròn nội tiếp, khi đó ta có: a.\overrightarrow{IO} + b.\overrightarrow{IM} + c.\overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0} với a = MN,b = ON,c = OM”

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}OM = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 3 \\ON = \sqrt{\left( - \dfrac{8}{3} ight)^{2} + \left( \dfrac{4}{3}ight)^{2} + \left( \dfrac{8}{3} ight)^{2}} = 4 \\MN = \sqrt{\left( - \dfrac{8}{3} - 2 ight)^{2} + \left( \dfrac{4}{3} - 2ight)^{2} + \left( \dfrac{8}{3} - 1 ight)^{2}} = 5 \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    5.\overrightarrow{IO} + 4.\overrightarrow{IM} + 3.\overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{5.0 + 4.2 + 3.\left( - \dfrac{8}{3} ight)}{3 + 4 + 5} = 0\\y_{I} = \dfrac{5.0 + 4.2 + 3.\left( \dfrac{4}{3} ight)}{3 + 4 + 5} = 1\\z_{I} = \dfrac{5.0 + 4.2 + 3.\left( \dfrac{8}{3} ight)}{3 + 4 + 5} = 1\\\end{matrix} ight.

    Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0

    Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) nên mặt cầu có bán kính R = d\left( I;(Oxz) ight) = 1

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1.

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên y = f(x) và có đạo hàm f'(x) = (2 - x)(x + 3)g(x) + 2021 trong đó g(x) < 0;\forall x\mathbb{\in R}. Hàm số y = f(1 - x) + 2021x + 2022 đồng biến trên khoảng nào?

    Ta có:

    y' = - f'(1 - x) + 2021

    y' = - \left\lbrack (1 + x)(4 - x)g(1 - x) + 2021 ightbrack + 2021

    y' = (x + 1)(x - 4).g(1 - x) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Vì g(x) < 0;\forall x\mathbb{\in R} nên y' > 0;\forall x \in ( - 1;4)

    Suy ra hàm số đồng biến trên ( - 1;4).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Biết bất phương trình \log_{2}\left( 3^{x}- 3 ight)\log_{8}\left( 3^{x}2^{- 2} - \frac{3}{4} ight) \leq1 có tập nghiệm là đoạn [a; b]. Giá trị biểu thức a + b bằng:

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix} 3^{x} - 3 > 0 \\ 3^{x - 2} - \frac{3}{4} > 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow x > 1 ight..

    log_{2}\left( 3^{x} - 3ight)log_{8}\left( 3^{x}2^{- 2} - \frac{3}{4} ight) \leq1

    \Leftrightarrow log_{2}\left( 3^{x} - 3 ight).\frac{1}{3}\left\lbrack log_{2}\left( 3^{x} - 3 ight) - 2 ightbrack - 1 \leq 0

    Đặt t = log_{2}\left( 3^{x} - 3 ight)

    Ta có:

    \frac{1}{3}t(t - 2) - 1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}t^{2} - \frac{2}{3}t - 1 \leq 0

    \Leftrightarrow - 1 \leq t \leq 3 \Leftrightarrow - 1 \leq log_{2}\left( 3^{x} - 3 ight) \leq 3

    \Leftrightarrow \frac{7}{2} \leq 3^{x} \leq 11 \Leftrightarrow log_{3}\frac{7}{2} \leq x \leq log_{3}11

    Suy ra tập nghiệm là S = \left\lbrack log_{3}\frac{7}{2};log_{3}11 ightbrack \Rightarrow a + b = log_{3}\frac{77}{2}.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Hàm số y = \left| x^{3} + 3x^{2} ight| đạt cực đại tại

    Tập xác định: D\mathbb{= R}

    Ta có: y = \left| x^{3} + 3x^{2} ight| = \left\{ \begin{matrix} x^{3} + 3x^{2}\ \ khi\ x \geq - 3 \\ - x^{3} - 3x^{2}\ \ khi\ x < - 3 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow y' = \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 6x\ \ khi\ x \geq - 3 \\ - 3x^{2} - 6x\ khi\ x < - 3 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = - 3 và x = 0.

  • Câu 20: Nhận biết

    Phương trình \log _2^2(x + 1) - 6{\log _2}\sqrt {x + 1} + 2 = 0 có số nghiệm là:

    2 || hai || 2 nghiệm || Hai nghiệm

    Đáp án là:

    Phương trình \log _2^2(x + 1) - 6{\log _2}\sqrt {x + 1} + 2 = 0 có số nghiệm là:

    2 || hai || 2 nghiệm || Hai nghiệm

     PT\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 1 > 0 \hfill \\ {\log ^2}_2(x + 1) - 3{\log _2}(x + 1) + 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > - 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} {\log _2}(x + 1) = 1 \hfill \\ {\log _2}(x + 1) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > - 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy PT có 2 nghiệm.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z - 19 = 0 và mặt phẳng (P):2x - y - 2z + m + 3 = 0, với m là tham số. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi 6\pi. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc T bằng:

    Mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 25 có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.

    Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.

    Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:

    d\left( I;(P) ight) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 4

    \Leftrightarrow \frac{|4 - 1 + 2 + m + 3|}{3} = 4

    \Leftrightarrow |m + 8| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 20 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Phương trình \log _2^2x - 4{\log _2}x + 3 = 0 có tập nghiệm là?

    Điều kiện: x > 0

    \log _2^2x - 4{\log _2}x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log _2}x = 1 \hfill \\ {\log _2}x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = 8 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy PT có tập nghiệm là S={8;2}.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Viết biểu thức P = \frac{{{a^2}.{a^{\frac{5}{2}}}.\sqrt[3]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[6]{{{a^5}}}}};\left( {a > 0} ight) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

    Ta có: P = \dfrac{{{a^2}.{a^{\frac{5}{2}}}.\sqrt[3]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[6]{{{a^5}}}}} = \dfrac{{{a^2}.{a^{\frac{5}{2}}}.{a^{\frac{4}{3}}}}}{{{a^{\frac{5}{6}}}}} = {a^5}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hàm số y = {x^{\frac{{ - 3}}{4}}}. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hàm số y = {x^{\frac{{ - 3}}{4}}} có các tính chất như sau:

    Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng

    Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

    Là hàm số nghịch biến trên \left( {0; + \infty } ight)

  • Câu 25: Vận dụng

    Tìm tập nghiệm của bất phương trình {11^{\sqrt {x + 6} }} \geqslant {11^x} sau: 

    Ta có:  {11^{\sqrt {x + 6} }} \geqslant {11^x} \Leftrightarrow \sqrt {x + 6} \geqslant x

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x < 0 \hfill \\ x + 6 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ x + 6 \geqslant {x^2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - 6 \leqslant x < 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ - 2 \leqslant x \leqslant 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow - 6 \leqslant x \leqslant 3

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA=BC=1. Cạnh A'B tạo với mặt đáy (ABC) góc 60^0. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

     

    Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên AA' \bot \left( {ABC} ight), suy ra hình chiếu vuông góc của A'B trên mặt đáy (ABC) là AB.

    Do đó {60^0} = \widehat {A'B,\left( {ABC} ight)} = \widehat {A'B,AB} = \widehat {A'BA}.

    Tam giác vuông A'AB, ta có AA' = AB.\tan \widehat {A'BA} = \sqrt 3

    Diện tích tam giác là {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}

    Vậy V = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.

  • Câu 27: Vận dụng

    Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f(x) = -x3 – 3x2 + m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 1] bằng 0.

    Xét hàm số f(x) = -x3 – 3x2 + m trên đoạn [-1; 1] ta có:

    f’(x) = -3x2 – 6x

    f’(x) = 0 => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \leqslant x \leqslant 1} \\ { - 3{x^2} - 6x = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow x = 0

    Ta tính được

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 1} ight) = 2 + m} \\ \begin{gathered} f\left( 0 ight) = m \hfill \\ f\left( 1 ight) = - 4 + m \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} ight]} f\left( x ight) = f\left( 1 ight) = - 4 + m \hfill \\ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} ight]} f\left( x ight) = 0 \Rightarrow m = 4 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Nhận biết

    Giá trị của biểu thức A = {\log _{{2^{2018}}}}4 - \frac{1}{{1009}} + \ln {e^{2018}}

    Ta có:

    A = {\log _{{2^{2018}}}}4 - \frac{1}{{1009}} + \ln {e^{2018}} = {\log _{{2^{2018}}}}{2^2} - \frac{1}{{1009}} + 2018.\ln e

    = \frac{1}{{1009}} - \frac{1}{{1009}} + 2018 = 2018

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho các hình sau:Tìm hình không phải đa diện

    Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là:

    Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

    “Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

    TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

    TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

    TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt S_0,S_1,...\;,S_n sao cho S0 trùng với S, Sn trùng với S’ và bất kì hai mặt S_i,\;S_{i+1} nào (0\leq i\leq n-1) cũng đều có một cạnh chung.

    Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

  • Câu 30: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:

    Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = 2R.

    Diện tích toàn phần là: {S_{tp}} = 2\pi R\left( {R + h} ight) = 6\pi {R^2} (đvdt).

  • Câu 31: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính R = 2?

    Phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 có bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}

    Xét phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} a = 2;b = - 1 \\ c = - 1;d = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{4} = 2

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ ABC.A'B'C' biết thể tích khối chóp A.BCB'C' bằng 2a^3

    Ta có thể tích khối chóp: {V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}

    Suy ra:

    {V_{A.BCB'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\xrightarrow{{}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{3}{2}{V_{A.BCB'C'}} = \frac{3}{2}.2{a^3} = 3{a^3}.

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Cho tứ diện có thể tích bằng V. Gọi V' là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số \frac{{V'}}{V}.

     

    Xét khối  tứ diện và các điểm được kí hiệu như hình vẽ trên, ta có:

    \frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{S.A'B'C'}} = \frac{V}{8}

    Tương tự \,{V_{A.A'MP}} = {V_{B.B'MN}} = {V_{C.C'NP}} = \frac{V}{8}.

    Do đó \,\,V' = {V_{S.ABC}} - \left( {{V_{S.A'B'C'}} + {V_{A.A'MP}} + {V_{B.B'MN}} + {V_{C.C'NP}}} ight)

    = \,\,V - \left( {\frac{V}{8} + \frac{V}{8} + \frac{V}{8} + \frac{V}{8}} ight) = \frac{V}{2}\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{V'}}{V} = \frac{1}{2}.

  • Câu 34: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \left[ { - 2019;2019} ight] để hàm số y = \frac{{\ln x - 6}}{{\ln x - 3m}} đồng biến trên khoảng \left( {1;{e^6}} ight)?

    Đặt t = \ln x

    Khi đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \left( {1;{e^6}} ight) khi và chỉ khi hàm số y = \frac{{t - 6}}{{t - 3m}} đồng biến trên khoảng \left( {0;6} ight)

    Hàm số f(t) đồng biến trên khoảng \left( {0;6} ight) khi và chỉ khi:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3m + 6 > 0} \\ {3m otin \left( {0;6} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 2} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant 0} \\ {m \geqslant 2} \end{array}} ight.} \end{array}} ight. \Rightarrow m \leqslant 0

    Vì m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2019; - 2018;...;0} ight\}

    Vậy có tất cả 2020 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 35: Vận dụng

    Hai phương trình 2{\log _5}(3x - 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1) và {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 2) lần lượt có 2 nghiệm duy nhất x_1, x_2là . Tổng x_1 + x_2 là?

     Phương trình 1: 2{\log _5}(3x - 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1)

    Phương trình \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x - 1 > 0 \hfill \\ 2x + 1 > 0 \hfill \\ 2{\log _5}(3x - 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ {\log _5}{(3x - 1)^2} + {\log _5}5 = 3{\log _5}(2x + 1) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ {\log _5}5{(3x - 1)^2} = {\log _5}{(2x + 1)^3} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ 5{(3x - 1)^2} = {(2x + 1)^3} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ 5(9{x^2} - 6x + 1) = 8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ 8{x^3} - 33{x^2} + 36x - 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{8} \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow {x_1} = 2

    Phương trình 2: {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 2)

    Phương trình \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 2x - 8 > 0 \hfill \\ x + 2 > 0 \hfill \\ {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < - 2 \vee x > 4 \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 + {\log _2}(x + 2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = {\log _2}2(x + 2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ {x^2} - 2x - 8 = 2(x + 2) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ {x^2} - 4x - 12 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = - 2 \hfill \\ x = 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow {x_2} = 6

    Vậy {x_1} + {x_2} = 2 + 6 = 8.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Vận tốc của một chất điểm được xác định bởi công thức v(t) = t^{3} - 10t^{2} + 29t - 20 (với v được tính bằng giây). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất gần bằng:

    Gia tốc của chất điểm a(t) = v'(t) = 3t^{2} - 20t + 29 gia tốc là hàm số bậc hai ẩn t đạt giá trị nhỏ nhất tại t = \frac{10}{3}

    Tại đó, vận tốc của chất điểm bằng v\left( \frac{10}{3} ight) = \frac{70}{27} \approx 2,59.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

    Ta thấy: y = {2^{ - x}} = {\left( {\frac{1}{2}} ight)^x}

    Do vậy đồ thị của hàm số y = {2^{ - x}} không có tiệm cận đứng

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có f'\left( x ight) = {\left( {x - 1} ight)^2}{\left( {x - 3} ight)^3}\left( {2x + 3} ight),\forall x \in \mathbb{R}. Số cực trị của hàm số đã cho là:

     Ta có: f’(x) đổi dấu khi qua các giá trị x = 3 và x = -3/2 nên hàm số có hai cực trị.

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} ight) \geqslant {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} ight) có nghiệm đúng \forall x.

    Bất phương trình tương đương 7\left( {{x^2} + 1} ight) \geqslant m{x^2} + 4x + m > 0,{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {5 - m} ight){x^2} - 4x + 5 - m \geqslant 0{} \hfill \\ m{x^2} + 4x + m > 0{} \hfill \\ \end{gathered} ight.(*),{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}.

    m=0 hoặc m=5: (*) không thỏa \forall x \in \mathbb{R}

    m eq 0 và m eq 5: (*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 5 - m > 0 \hfill \\ {{\Delta '}_2} = 4 - {\left( {5 - m} ight)^2} \leqslant 0 \hfill \\ m > 0 \hfill \\ {{\Delta '}_3} = 4 - {m^2} < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }} \Leftrightarrow {\text{ }}2 < m \leqslant 3.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Với các số a, b > 0 thỏa mãn {a^2} + {b^2} = 6ab, biểu thức {\log _2}\left( {a + b} ight) bằng:

    Ta có: 

    \begin{matrix} {a^2} + {b^2} = 6ab \hfill \\ \Rightarrow {\left( {a + b} ight)^2} = 8ab \hfill \\ \Rightarrow {\log _2}{\left( {a + b} ight)^2} = {\log _2}\left( {8ab} ight) \hfill \\ \Rightarrow 2{\log _2}\left( {a + b} ight) = {\log _2}8 + {\log _2}a + {\log _2}b \hfill \\ \Rightarrow {\log _2}\left( {a + b} ight) = \dfrac{1}{2}\left( {{{\log }_2}8 + {{\log }_2}a + {{\log }_2}b} ight) \hfill \\ \Rightarrow {\log _2}\left( {a + b} ight) = \dfrac{1}{2}\left( {3 + {{\log }_2}a + {{\log }_2}b} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 41: Vận dụng

    Tìm đạo hàm của hàm số y = \sqrt[3]{{{{\left( {1 - 3x} ight)}^5}}} trên khoảng \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} ight)

    Với điều kiện x < \frac{1}{3} ta có: y = \sqrt[3]{{{{\left( {1 - 3x} ight)}^5}}} = {\left( {1 - 3x} ight)^{\frac{5}{3}}}. Khi đó:

    => y' = - 5{\left( {1 - 3x} ight)^{\frac{2}{3}}}

  • Câu 42: Nhận biết

    Bất phương trình \log _{0,2}^2x - 5{\log _{0,2}}x < - 6 có tập nghiệm là:

    Điều kiện: x>0

    Ta có:

    \log _{0,2}^2 - 5{\log _{0,2}}x < - 6 \Leftrightarrow 2 < {\log _{0,2}}x < 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{125}} < x < \frac{1}{{25}}

    Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là S = \left( {\frac{1}{{125}};\frac{1}{{25}}} ight).

  • Câu 43: Nhận biết

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' cóAB =a, AD=a \sqrt 2, AB'=a \sqrt 5. Tính theo a thể tích khối hộp đã cho.

     

    Trong tam giác vuông ABB', có BB' = \sqrt {AB{'^2} - A{B^2}} = 2a.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD là {S_{ABCD}} = AB.AD = {a^2}\sqrt 2.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.BB' = 2{a^3}\sqrt 2

  • Câu 44: Nhận biết

    Rút gọn biểu thức P = \frac{{{x^{\frac{1}{6}}}.\sqrt[3]{{{x^4}}}.\sqrt[4]{{{x^5}}}}}{{\sqrt {{x^3}} }} với x > 0

    Ta có: P = \frac{{{x^{\frac{1}{6}}}.\sqrt[3]{{{x^4}}}.\sqrt[4]{{{x^5}}}}}{{\sqrt {{x^3}} }} = \frac{{{x^{\frac{1}{6}}}.{x^{\frac{4}{3}}}.{x^{\frac{5}{4}}}}}{{{x^{\frac{3}{2}}}}} = \frac{{{x^{\frac{{11}}{4}}}}}{{{x^{\frac{3}{2}}}}} = {x^{\frac{5}{4}}} 

  • Câu 45: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2\pi R = 2a \Leftrightarrow R = \frac{a}{\pi }.

    Suy ra hình trụ này có đường cao h=a.

    Vậy thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{a}{\pi }} ight)^2}a = \frac{{{a^3}}}{\pi }(đvtt).

  • Câu 46: Nhận biết

    Hàm số y = {\log _{2019}}\left| x ight|;\forall x e 0 có đạo hàm là:

    Áp dụng công thức đạo hàm ta có: y' = \frac{1}{{x\ln 2019}}

  • Câu 47: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{10000 - x^{2}}}{x - 2} có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} 10000 - x^{2} \geq 0 \\ x - 2 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 100 \leq x \leq 100 \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.

    Tập xác định \lbrack - 100;100brack\backslash\left\{ 2 ight\}

    Vì hàm số không tồn tại khi x ightarrow - \infty và x ightarrow + \infty nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

  • Câu 48: Vận dụng

    Cho hàm số y = \frac{{ax + b}}{{x + 1}}. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A\left( {0; - 1} ight) và có đường tiệm cận ngang là y = 1. Giá trị a + b bằng:

    Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a - b e 0

    => Đồ thị hàm số đi qua điểm A\left( {0; - 1} ight) nên b = - 1

    Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = a \Rightarrow a = 1 (thỏa mãn)

    Vậy a + b = 0

  • Câu 49: Nhận biết

    Hàm số nào dưới đây có dạng đồ thị như đường cong trong hình vẽ?

    Dựa vào hình dáng đồ thị ta suy ra đồ thị của hàm số bậc 4 có hệ số a > 0.

    Vậy hàm số cần tìm là y = x^{4} - x^{2} - 1.

  • Câu 50: Thông hiểu

    Phương trình \ln \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = \ln x có nghiệm là: 

    Ta có:  \ln \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = \ln x \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = x \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x = 4

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 48 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập