Cho bất phương trình
. Nếu đặt
thì bất phương trình trở thành:
Ta có:
Hay .
Cho bất phương trình
. Nếu đặt
thì bất phương trình trở thành:
Ta có:
Hay .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a,
. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Tỉ số
nhận giá trị nào sau đây?

Ta có hay
Gọi E là trung điểm AD.
Ta có nên ABCE là hình thoi.
Suy ra .
Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:
hay
Tương tự, ta cũng có hay
Ta có nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính
.
Suy ra .
Để đồ thị hàm số
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng
. Tìm giá trị tham số
thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng
. Tìm giá trị tham số
thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Tổng các nghiệm của phương trình
là:
Điều kiện . Có
Dó đó, tổng các nghiệm sẽ bằng .
Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Số điểm cực trị của hàm số
là:
Ta có:
Phương trình
có nghiệm là:
Ta có:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên
?
Tập xác định
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi
Mà
Vậy có tất cả 5 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài đưa ra.
Cho hàm số
, đồ thị của hàm số
là đường cong như hình vẽ:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
bằng:
Ta có:
trong đó các nghiệm
là nghiệm đơn và
là nghiệm kép.
nên ta có bảng biến thiên của hàm
như sau:
Vậy .
Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng.
Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M. Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C.
Với a > 0 hãy rút gọn biểu thức 
Ta có:
Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
x=7 || X=7 || x bằng 7 || 7
Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
x=7 || X=7 || x bằng 7 || 7
Điều kiện:
Ta có:
.
Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là: .
Cho hàm số
có đạo hàm trên
. Biết rằng hàm số
có đồ thị như sau:

Đặt
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Hàm số có đạo hàm trên
nên
cũng có đạo hàm trên
Ta có:
Dựa vào đồ thị ta có:
suy ra
là ba nghiệm phân biệt và
Bảng biến thiên của hàm
Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
Tập xác định:
Ta có: => y = 1 và y = -1 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
=> Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 2 và x = =-2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng là x = 2 và x = -2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và
. Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD.

Đường chéo hình vuông
Xét tam giác SAC, ta có .
Chiều cao khối chóp là .
Diện tích hình vuông ABCD là
Vậy thể tích khối chóp .
Cơ số x bằng bao nhiêu để
?
Điều kiện
Ta có:
Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Dựa vào hình vẽ ta thấy đây là hàm số bậc ba có dạng
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên từng khoảng xác định?
Xét hàm số ta có:
Điều kiện xác định
Lại có: nên hàm số
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Phương trình mặt cầu có tâm
và đi qua
là:
Ta có:
Vậy phương trình mặt cầu tâm và đi qua điểm
có phương trình là:
.
Cho hàm số
có đạo hàm trên
là
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Cho hàm số có đạo hàm trên
là
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Viết biểu thức
dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Ta có:
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
là:
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khoảng khi
Đặt ta có:
. Ta có bảng biến thiên của
như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
Vậy là giá trị của tham số m cần tìm.
Tìm tập xác định của hàm số ![]()
Điều kiện xác định
=> Tập xác định của hàm số là
Cho
và biểu thức
viết dưới dạng
. Giá trị của n là:
Ta có:
Vậy
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác với
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Diện tích tam giác là
.
Vậy thể tích khối lăng trụ
Điều kiện xác định của bất phương trình
là:
x > 5 || X>5 || x>5 || x lớn hơn 5
Điều kiện xác định của bất phương trình là:
x > 5 || X>5 || x>5 || x lớn hơn 5
BPT xác định khi và chỉ khi:
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2
60 || sáu mươi || Sáu mươi
Tổng độ dài của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2
60 || sáu mươi || Sáu mươi
Khối mười hai mặt đều có tất cả 30 cạnh:

Suy ra ta có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng .
Phương trình
có nghiệm là:
2 || hai || x=2 || Hai
Phương trình có nghiệm là:
2 || hai || x=2 || Hai
PT
Cho hình lăng trụ tam giác
có đáy
là tam giác vuông cân tại
, cạnh
. Biết
tạo với mặt phẳng
một góc
và
. Tính thể tích
của khối đa diện
.

Gọi H là hình chiếu của C' trên mặt phẳng .
Suy ra AH là hình chiếu của AC' trên mặt phẳng .
Do đó
Tam giác vuông , có
Thể tích khối lăng trụ
Suy ra thể tích cần tính là:
.
Cho một số thực
tùy ý. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
Theo tính chất đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số có đạo hàm với mọi x > 0 và
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có
và
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao , bán kính đáy
Do đó diện tích toàn phần:
Cho hàm số
có đạo hàm
. Tìm số điểm cực đại của hàm số đã cho.
Ta có:
Ta có bảng xét dấu:
Suy ra hàm số có một điểm cực đại.
Cho phương trình
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có:
Đặt .
Khi đó
Với .
Cho các hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng
cắt trục hoành, đồ thị hàm số
và
lần lượt tại
. Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Ta có:
Theo bài ra ta có:
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để đồ thị hàm số
có đúng hai tiệm cận đứng?
Điều kiện xác định
Vì nên để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng thì phương trình
phải có hai nghiệm phân biệt lớn hơn
.
Xét hàm số trên
có:
Bảng biến thiên
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn khi
.
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
. Tập xác định của hàm số đã cho là:
Điều kiện xác đinh:
=> Tập xác định của hàm số là:
Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy
, góc ở đỉnh bằng
. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có và
.
Suy ra độ dài đường sinh:
Vậy diện tích xung quanh bằng: (đvdt).
Chỉ số hay độ
của một dung dịch được tính theo công thức
với
là nồng độ ion hydrogen. Độ
của một loại sữa có
là bao nhiêu?
Độ pH là
Cho hàm số
xác định trên
và có đạo hàm
trong đó
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào?
Ta có:
Vì nên
Suy ra hàm số đồng biến trên .
Cho bất phương trình:
. Tìm tập nghiệm của bất phương trình.
Ta có:
Đặt , BPT
.
Đặt .
Lập bảng xét dấu , ta được nghiệm:
.
Vậy tập nghiệm của BPT là .
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật với
. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng
. Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp
và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

Ta có .
Trong , ta có
Ta có .
Mặt khác, ta lại có .
Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính
.
Tìm tập xác định của hàm số
là:
Hàm số đã cho xác định khi
Cho khối lăng trụ
có thể tích bằng
, các điểm
lần lượt thuộc các cạnh
sao cho
. Thể tích của khối đa diện
là bao nhiêu? (Đơn vị:
)
31 || 31 cm^3 || ba mươi mốt xăng ti mét khối || Ba mươi mốt xăng ti mét khối
Cho khối lăng trụ có thể tích bằng
, các điểm
lần lượt thuộc các cạnh
sao cho
. Thể tích của khối đa diện
là bao nhiêu? (Đơn vị:
)
31 || 31 cm^3 || ba mươi mốt xăng ti mét khối || Ba mươi mốt xăng ti mét khối
Ta có
Nên
Mà
.
Vậy .
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Cho biểu thức
với a và b là các số thực dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Thực hiện thu gọn biểu thức như sau:
Cho biết
, khẳng định nào sau đây đúng?
Điều kiện:
Ta có:
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên
và
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy
. Tính theo a thể tích V của khối chóp ![]()

Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra . Do đó chiều cao khối chóp là
.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là
Vậy thể tích khối chóp
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi:
Ta có:
Xét hàm số
=>
Ta có:
Một công ty A có 120 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 3 000 000 đồng thì mỗi tháng mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100 nghìn đồng một tháng thì sẽ có 3 căn hộ bị bỏ trống. Gọi
(trăm nghìn) là số tiền tăng thêm.
a) Số căn hộ còn lại sau khi tăng giá là
. Đúng||Sai
b) Giá một căn hộ sau khi tăng là
(trăm nghìn). Sai||Đúng
c) Tổng số tiền công ty thu được là
(trăm nghìn). Đúng||Sai
d) Công ty thu được nhiều tiền nhất khi giá thuê mỗi căn hộ là 4 (triệu đồng).Sai||Đúng
Một công ty A có 120 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 3 000 000 đồng thì mỗi tháng mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100 nghìn đồng một tháng thì sẽ có 3 căn hộ bị bỏ trống. Gọi (trăm nghìn) là số tiền tăng thêm.
a) Số căn hộ còn lại sau khi tăng giá là . Đúng||Sai
b) Giá một căn hộ sau khi tăng là (trăm nghìn). Sai||Đúng
c) Tổng số tiền công ty thu được là (trăm nghìn). Đúng||Sai
d) Công ty thu được nhiều tiền nhất khi giá thuê mỗi căn hộ là 4 (triệu đồng).Sai||Đúng
a) Đúng. Số căn hộ bị bỏ trống là . Suy ra Số căn hộ còn lại sau khi tăng giá là
.
b) Sai. Giá một căn hộ sau khi tăng là (trăm ngìn).
c) Đúng. Tổng số tiền công ty thu được là
.
d) Sai. Ta có .
Phương trình .
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra, công ty sẽ thu được nhiều tiền nhất khi giá căn hộ là 3,5 (triệu đồng).
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.