Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Câu 1: Thông hiểu

Viết biểu thức $P = \frac{{{a^2}.{a^{\frac{5}{2}}}.\sqrt[3]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[6]{{{a^5}}}}};\left( {a > 0} ight)$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

A. $P = a$
B. $P = {a^5}$
C. $P = {a^4}$
D. $P = {a^2}$

Ta có: $P = \dfrac{{{a^2}.{a^{\frac{5}{2}}}.\sqrt[3]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[6]{{{a^5}}}}} = \dfrac{{{a^2}.{a^{\frac{5}{2}}}.{a^{\frac{4}{3}}}}}{{{a^{\frac{5}{6}}}}} = {a^5}$

Câu 2: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\left\{ - 1;2 ight\}$ liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ bằng:

A.
$6$
B.
$2$
C.
$3$
D.
$4$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f(x) - 1 = 0$ có 4 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ có 4 đường tiệm cận đứng.

Ngoài ra $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{f\left( x ight) - 1}} = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f\left( x ight) - 1}} = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ nên đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ có hai đường tiệm cận ngang.

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ bằng 6.

Câu 3: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu $f'(x)$ như sau:

Hỏi hàm số $y = f\left( x^{2} - 2x ight)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A.
$1$
B.
$4$
C.
$3$
D.
$2$

Đặt $g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow g'(x) = (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x ight)$

Từ bảng xét dấu của hàm số $f'(x)$ có

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 2 = 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x = - 2\ \\ x^{2} - 2x = 1\ \\ x^{2} - 2x = 3\ \ \\ 2x - 2 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \pm \sqrt{2} \\ x = 3 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

$g'(x) \geq 0 \Leftrightarrow (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x ight) \geq 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 2x - 2 \geq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} 2x - 2 \leq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ - 2 \leq x^{2} - 2x \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x \geq 3 \\ x^{2} - 2x \leq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x^{2} - 2x + 2 \geq 0 \\ x^{2} - 2x - 3 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x - 3 \geq 0 \\ x^{2} - 2x + 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ - 1 \leq x \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x \geq 3 \\ x \leq - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \leq x \leq 3 \\ x \leq - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số $y = f\left( x^{2} - 2x ight)$ có 1 điểm cực tiểu.

Câu 4: Nhận biết

Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

A. $\frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}$ và $\frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}}$
B. $\frac{{\sqrt 2 \pi {a^2}}}{2}$ và $\frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{4}$
C. $\frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}$ và $\frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{4}$
D. $\frac{{\sqrt 2 \pi {a^2}}}{2}$ và $\frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}}$

Diện tích toàn phần

Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên $AB = SB\sqrt 2 = a\sqrt 2$ , $SO = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$

Suy ra $h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ , $l = SA = a$ và $SB\sqrt 2 = 2R \Rightarrow R = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}.$

Diện tích toàn phần của hình nón: ${S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}$ (đvdt).

Thể tích khối nón là: $V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}}$ (đvtt).

Câu 5: Nhận biết

Tập xác định của hàm số $f\left( x ight) = {\left( {{x^2} - 1} ight)^{ - 2}}$ là:

A. $x e \pm 1$
B. $D = \left( { - 1;1} ight)$
C. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} ight\}$
D. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\}$

Hàm số $f\left( x ight) = {\left( {{x^2} - 1} ight)^{ - 2}}$ xác định khi ${x^2} - 1 e 0 \Rightarrow x e \pm 1$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} ight\}$

Câu 6: Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + 2y + z - m^{2} - 3m = 0$ và mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 9$ . Tìm tất cả các giá trị của m để $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ ?

A.
$\left\lbrack \begin{matrix} m = - 2 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight.$
B.
$\left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} ight.$
C.
$m = 2$
D.
$m = - 5$

Ta có mặt cầu $(S)$ có tâm I(1; −1; 1) và bán kính R = 3.

Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ khi và chỉ khi:

$d\left\lbrack I;(P) ightbrack = R \Leftrightarrow \frac{\left| 1 - m^{2} - 3m ight|}{3} = 3$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m^{2} + 3m - 10 = 0 \\ m^{2} + 3m + 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} ight.$ .

Câu 7: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 2$ có tọa độ tâm $I$ là:

A.
$I(3; - 1;1)$
B.
$I( - 3; - 1;1)$
C.
$I( - 3;1; - 1)$
D.
$I(3;1; - 1)$

Tâm của $(S)$ có tọa độ là $I( - 3; - 1;1)$ .

Câu 8: Thông hiểu

Tính đạo hàm của hàm số $y = \left( {{x^2} + 2x - 2} ight){.5^x}$

A. $y' = \left( {{x^2} + 2} ight){.5^x}$
B. $y' = \left( {2x + 2} ight){.5^x}$
C. $y' = \left( {2x + 2} ight){.5^x}.\ln 5$
D. $y' = \left( {2x + 2} ight){.5^x} + \left( {{x^2} + 2x - 2} ight){.5^x}.\ln 5$

Ta có:

$\begin{matrix} y' = \left( {{x^2} + 2x - 2} ight)'{.5^x} + \left( {{5^x}} ight)'.\left( {{x^2} + 2x - 2} ight) \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( {2x + 2} ight){.5^x} + \left( {{x^2} + 2x - 2} ight){.5^x}.\ln 5 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 9: Nhận biết

Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} ight)^x} > 32$ là:

A. $x \in \left( { - \infty ; - 5} ight)$
B. $x \in \left( { - \infty ;5} ight)$
C. $x \in \left( { - 5; + \infty } ight)$
D. $x \in \left( {5; + \infty } ight)$

Ta có: ${\left( {\frac{1}{2}} ight)^x} > 32$ $\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} ight)^x} > {\left( {\frac{1}{2}} ight)^{ - 5}}$ $\Leftrightarrow x < - 5$

Câu 10: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $y = f(x)$ và có đạo hàm $f'(x) = (2 - x)(x + 3)g(x) + 2021$ trong đó $g(x) < 0;\forall x\mathbb{\in R}$ . Hàm số $y = f(1 - x) + 2021x + 2022$ đồng biến trên khoảng nào?

A.
$( - \infty; - 1)$
B.
$( - 1;4)$
C.
$( - 3;2)$
D.
$(4; + \infty)$

Ta có:

$y' = - f'(1 - x) + 2021$

$y' = - \left\lbrack (1 + x)(4 - x)g(1 - x) + 2021 ightbrack + 2021$

$y' = (x + 1)(x - 4).g(1 - x) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $g(x) < 0;\forall x\mathbb{\in R}$ nên $y' > 0;\forall x \in ( - 1;4)$

Suy ra hàm số đồng biến trên $( - 1;4)$ .

Câu 11: Nhận biết

Cho biểu thức $P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}}$ với x > 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $P = {x^{\frac{{13}}{{12}}}}$
B. $P = {x^{\frac{{13}}{{24}}}}$
C. $P = {x^{\frac{{13}}{6}}}$
D. $P = {x^{\frac{{13}}{8}}}$

Ta có:

$\begin{matrix} P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}} \hfill \\ P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^{\frac{7}{2}}}}}} \hfill \\ P = \sqrt {x.{x^{\frac{7}{6}}}} \hfill \\ P = \sqrt {{x^{\frac{{13}}{6}}}} = {x^{\frac{{13}}{{12}}}} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 12: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f'\left( x ight) = x\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight),\forall x \in \mathbb{R}$ . Hàm số $g\left( x ight) = f\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} ight)$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (-∞; -2)
B. (-2; 1)
C. (0; 2)
D. (2; 4)

Ta có: $f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x - 1} ight)^2}\left( {x - 2} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = 2} \end{array}} ight.$

Ta có: $g'\left( x ight) = \frac{{ - 5{x^2} + 20}}{{{{\left( {{x^2} + 4} ight)}^2}}}.f'\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} ight)$

Cho g’(x) = 0 => $\frac{{ - 5{x^2} + 20}}{{{{\left( {{x^2} + 4} ight)}^2}}}.f'\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} ight) = 0$

Dựa vào f’(x) ta có:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5{x^2} + 20 = 0} \\ {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 0} \\ {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 1} \\ {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 2} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm 2} \\ {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = 4} \end{array}} ight.$

Lập bảng xét dấu như sau:

Xét khoảng đồng biến của hàm số

Quan sát bảng xét dấy ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (2; 4)

Câu 13: Nhận biết

Phương trình ${\log _3}({x^2} - 6) = {\log _3}(x - 2) + 1$ có tập nghiệm là:

A. $T = {\text{\{ }}0;3\}$
B. $T = \emptyset$
C. $T = {\text{\{ }}3\}$
D. $T = {\text{\{ }}1;3\}$

PT $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 6 > 0 \hfill \\ x - 3 > 0 \hfill \\ {x^2} - 6 = 3(x - 3) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < - \sqrt 6 \vee x > \sqrt 6 \hfill \\ x > 3 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x \in \emptyset$ .

Câu 14: Nhận biết

Cho hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d;\left( a;b;c;d\mathbb{\in R} ight)$ có đồ thị hàm số như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A.
Giá trị cực đại của hàm số là $- 1$ .
B.
Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ .
C.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ .
D.
Giá trị cực tiểu của hàm số là $0$ .

Giá trị cực đại của hàm số là $4$ suy ra mệnh đề sai là: “Giá trị cực đại của hàm số là $- 1$ .”

Câu 15: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp $S.ABCD.$

A. $V = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{6}$
B. $V = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}$
C. $V = 2{a^3}\sqrt {15}$
D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}$

Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra $SA \bot \left( {ABCD} ight)$ . Do đó chiều cao khối chóp là $SA = a\sqrt {15}$ .

Diện tích hình chữ nhật ABCD là ${S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}$

Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}$

Câu 16: Nhận biết

Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $SBC$ là tam giác vuông cân tại S, $SB=2a$ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $3a$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp $S.ABC$ .

A. $V=2a^3$
B. $V=4a^3$
C. $V=6a^3$
D. $V=12a^3$

Ta chọn (SBC) làm mặt đáy suy ra chiều cao khối chóp là $d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = 3a$

Tam giác SBC vuông cân tại S nên ${S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}S{B^2} = 2{a^2}$

Vậy thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3}{S_{\Delta SBC}}.d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = 2{a^3}$

Câu 17: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = f(x)$ ?

A.
$3$
B.
$4$
C.
$2$
D.
$1$

Từ đồ thị hàm số $y = f'(x)$ ta có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

Do đó phương trình $f'(x) = 0$ có bốn nghiệm phân biệt. Qua các nghiệm này $f'(x)$ đều đổi dấu nên số cực trị của hàm số $y = f(x)$ là bốn cực trị.

Câu 18: Thông hiểu

Tổng độ dài $\ell$ của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh $a$ .

A. $\ell = 4a$
B. $\ell = 6a$
C. $\ell = 6$
D. $\ell = 4$

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là $\ell = 6a$

Câu 19: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên các khoảng $( - \infty;0)$ và $(0; + \infty)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
B.
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
C.
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
D.
Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận.

Vì $\lim_{x ightarrow - \infty}y = 2$ nên $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì ${\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.}$ nên $x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 20: Vận dụng

Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{\log _2^2x}} - 10{x^{{{\log }_2}\frac{1}{x}}} + 3 > 0$ là:

A. $S = \left( {0;\frac{1}{2}} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)$
B. $S = \left( { - 2;0} ight) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } ight)$
C. $S = \left( { - \infty ;0} ight) \cup \left( {\frac{1}{2};2} ight)$
D. $S = \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)$

Điều kiện: $x>0$ .

Đặt $u = {\log _2}x \Rightarrow x = {2^u}$ .

Bất phương trình đã cho trở thành ${2^{{u^2}}} - 10{\left( {{2^u}} ight)^{ - u}} + 3 > 0 \Leftrightarrow {2^{{u^2}}} - \frac{{10}}{{{2^{{u^2}}}}} + 3 > 0{\text{ (1)}}$

Đặt $t = {2^{{u^2}}},{\text{ }}t \geqslant 1.{\text{ }}\left( 1 ight)$

Khi đó $\Rightarrow {t^2} + 3t - 10 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t < - 5{\text{ (l)}} \hfill \\ t > 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow {2^{{u^2}}} > 2 \Leftrightarrow {u^2} > 1 \Leftrightarrow u > 1$ hoặc $u < -1$

- Với $u > 1 \Rightarrow {\log _2}x > 1 \Rightarrow x > 2$

- Với $u < - 1 \Rightarrow {\log _2}x < - 1 \Rightarrow x < \frac{1}{2}$

Kết hợp điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là $x > 2$ hoặc $0 < x < \frac{1}{2}$ .

Câu 21: Thông hiểu

Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:

A. 10 cm
B. 6 cm
C. 5 cm
D. 8 cm

Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

Do đó độ đài đường chéo: $\sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10{m{cm}}{m{.}}$

Câu 22: Vận dụng

Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình $\frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 1}} \geqslant m$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left[ {0;1} ight]$

A. $m \geqslant 3$
B. $m \leqslant \frac{7}{2}$
C. $m \geqslant \frac{7}{2}$
D. $m \leqslant 3$

Xét hàm số $g\left( x ight) = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 1}},x \in \left[ {0;1} ight]$ ta có:

$\begin{matrix} g\left( x ight) = x + 2 + \dfrac{1}{{x + 1}} \hfill \\ \Rightarrow g'\left( x ight) = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\ g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0\left( {tm} ight)} \\ {x = - 2\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( 0 ight) = 3} \\ {g\left( 1 ight) = \dfrac{7}{2}} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} ight]} g\left( x ight) = \frac{7}{2};\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} ight]} g\left( x ight) = 3$

Ta có:

$\frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 1}} \geqslant m,\left( {\forall x \in \left[ {0;1} ight]} ight) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( 0 ight) = 3} \\ {g\left( 1 ight) = \dfrac{7}{2}} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} ight]} g\left( x ight) \geqslant m \Leftrightarrow m \leqslant 3$

Câu 23: Thông hiểu

Hàm số nào sau đây phù hợp với hình vẽ:

Tìm hàm số tương ứng với đồ thị hàm số

A. $y = {\log _{0,6}}x$
B. $y = {\log _{\sqrt 6 }}x$
C. $y = {\left( {\frac{1}{6}} ight)^x}$
D. $y = {6^x}$

Ta có: $y\left( 1 ight) = 0$ và hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } ight)$ nên chỉ có hàm số $y = {\log _{\sqrt 6 }}x$ thỏa mãn

Câu 24: Vận dụng

Nghiệm bé nhất của phương trình ${\log _2}^3x - 2{\log ^2}_2x = {\log _2}x - 2$ là:

A. $x=4$
B. $x = \frac 1 4$
C. $x=2$
D. $x = \frac 1 2$

TXĐ: $x>0$

PT $\Leftrightarrow {\log _2}^3x - 2{\log _2}^2x = {\log _2}x - 2$

$\Leftrightarrow {\log _2}^3x - 2{\log _2}^2x - {\log _2}x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow {\log _2}^3x - {\log _2}x - 2{\log _2}^2x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow {\log _2}x({\log ^2}_2x - 1) - 2({\log ^2}_2x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow ({\log ^2}_2x - 1)({\log _2}x - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log ^2}_2x - 1 = 0 \hfill \\ {\log _2}x - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log _2}x = 1 \hfill \\ {\log _2}x = - 1 \hfill \\ {\log _2}x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = \frac{1}{2} \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow x = \frac{1}{2}$ là nghiệm nhỏ nhất.

Câu 25: Thông hiểu

Dựa vào thông tin dưới đây và trả lời các câu hỏi

Số lượng của một loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được biểu diễn theo công thức $S(t) = A.e^{rt}$ , trong đó A là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc 6 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con.

Tỉ lệ tăng trưởng của vi khuẩn X gần nhất với kết quả nào sau đây?

A.
0,35.
B.
0,36.
C.
0,37.
D.
0,38.

Chọn 6 giờ là mốc thời gian. Khi đó $A = 150$ .

Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn là 450 con nên $t = 3;S(3) = 450$ .

Từ đó ta có phương trình:

$150.e^{3r} = 450 \Leftrightarrow e^{3r} = 3 \Leftrightarrow r = \frac{ln3}{3} \approx 0,37.$

Câu 26: Vận dụng

Một bể bơi chứa $5000$ lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng đồ $30$ gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ $25$ lít/phút.

a) Sau $t$ phút khối lượng muối trong bể là $750t$ (gam). Đúng||Sai

b) Nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là $f(t) = \frac{30t}{200 - t}$ . Sai||Đúng

c) Xem $y = f(t)$ là một hàm số xác định trên nửa khoảng $\lbrack 0; + \infty)$ , tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó có phương trình là $y = 30$ . Đúng||Sai

d) Khi $t$ ngày càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức $30$ (gam/lít). Đúng||Sai

Đáp án là:

Một bể bơi chứa $5000$ lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng đồ $30$ gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ $25$ lít/phút.

a) Sau $t$ phút khối lượng muối trong bể là $750t$ (gam). Đúng||Sai

b) Nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là $f(t) = \frac{30t}{200 - t}$ . Sai||Đúng

c) Xem $y = f(t)$ là một hàm số xác định trên nửa khoảng $\lbrack 0; + \infty)$ , tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó có phương trình là $y = 30$ . Đúng||Sai

d) Khi $t$ ngày càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức $30$ (gam/lít). Đúng||Sai

Sau t phút, khối lượng muối trong bể là $25.30.t = 750t$ (gam)

Thể tích của lượng nước trong bể là $5000 + 25t$ (lít).

Vậy nồng độ muối sau $t$ phút là: $f(t) = \frac{750t}{5000 + 25t} = \frac{30t}{200 + t}$ (gam/lít).

Ta có $\lim_{t ightarrow + \infty}f(t) = \lim_{t ightarrow + \infty}\frac{30t}{200 + t} = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( 30 - \frac{6000}{200 + t} ight) = 30$

Vậy đường thẳng $y = 30$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f(t)$ :

Ta có đồ thị hàm số $y = f(t)$ nhận đường thẳng $y = 30$ làm đường tiệm cận ngang, tức là khi t càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức 30 (gam/lít).

Lúc đó, nồng độ muối trong bể sẽ gần như bằng nồng độ nước muối bơm vào bể.

a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

Câu 27: Thông hiểu

Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.
B. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.
C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.
D. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.

Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt $S_0, S_1,... , S_n$ sao cho $S_0$ trùng với $S, S_n$ trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.

Câu 28: Thông hiểu

Biết bất phương trình $\log_{2}\left( 3^{x}- 3 ight)\log_{8}\left( 3^{x}2^{- 2} - \frac{3}{4} ight) \leq1$ có tập nghiệm là đoạn [a; b]. Giá trị biểu thức $a + b$ bằng:

A.
$1 + \log_{3}77$ .
B.
$\log_{3}\frac{77}{2}$ .
C.
$- 2 +\log_{2}\frac{77}{2}$ .
D.
$- 1 + \log_{2}77$ .

Điều kiện $\left\{ \begin{matrix} 3^{x} - 3 > 0 \\ 3^{x - 2} - \frac{3}{4} > 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow x > 1 ight.$ .

$log_{2}\left( 3^{x} - 3ight)log_{8}\left( 3^{x}2^{- 2} - \frac{3}{4} ight) \leq1$

$\Leftrightarrow log_{2}\left( 3^{x} - 3 ight).\frac{1}{3}\left\lbrack log_{2}\left( 3^{x} - 3 ight) - 2 ightbrack - 1 \leq 0$

Đặt $t = log_{2}\left( 3^{x} - 3 ight)$

Ta có:

$\frac{1}{3}t(t - 2) - 1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}t^{2} - \frac{2}{3}t - 1 \leq 0$

$\Leftrightarrow - 1 \leq t \leq 3 \Leftrightarrow - 1 \leq log_{2}\left( 3^{x} - 3 ight) \leq 3$

$\Leftrightarrow \frac{7}{2} \leq 3^{x} \leq 11 \Leftrightarrow log_{3}\frac{7}{2} \leq x \leq log_{3}11$

Suy ra tập nghiệm là $S = \left\lbrack log_{3}\frac{7}{2};log_{3}11 ightbrack \Rightarrow a + b = log_{3}\frac{77}{2}$ .

Câu 29: Thông hiểu

Hàm số $y = 2x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 6mx + 1$ nghịch biến trên khoảng $(1;3)$ khi và chỉ khi:

A.
$m \geq 1$
B.
$1 < m < 3$
C.
$m > 3$
D.
$m \geq 3$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y = 2x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 6mx + 1$

$\Rightarrow y' = 6x^{2} - 6(m + 1)x + 6m$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;3)$

$\Leftrightarrow y' \leq 0;\forall x \in (1;3)$

$\Leftrightarrow 6x^{2} - 6(m + 1)x + 6m \leq 0;\forall x \in (1;3)$

$\Leftrightarrow x^{2} - (m + 1)x + m \leq 0;\forall x \in (1;3)$

$\Leftrightarrow m \geq x;\forall x \in (1;3)$

Vậy $m \geq 3$ là giá trị cần tìm.

Câu 30: Nhận biết

Tính giá trị của ${a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}}$ với $a > 0;a e 1$

A. 8
B. 4
C. 16
D. 2

Ta có: ${a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}} = {a^{2{{\log }_a}4}} = {a^{{{\log }_a}16}} = 16$

Câu 31: Vận dụng

Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại $\left\{ {3;5} ight\}$ là:

A. $12 \pi$
B. $16 \pi$
C. $20\pi$
D. $24 \pi$

Khối đa diện đều loại $\left\{ {3;5} ight\}$ là khối hai mươi mặt đều:

Gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng: $20.\pi = 20\pi$

Câu 32: Thông hiểu

Dân số thế giới được tính theo công thức $S = A$ . e $\ ^{nr}$ trong đó $A$ là dân số của năm lấy làm mốc tính, $S$ là dân số sau $n$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Cho biết năm 2005 Việt Nam có khoảng 80902400 người và tỉ lệ tăng dân số là $1,47\%$ một năm. Như vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì tối thiểu đến năm bao nhiêu dân của Việt Nam có khoảng 93713000 người?

A.
$2015$ .
B.
$2014$ .
C.
$2016$ .
D.
$2017$ .

Ta có:

$S = A \cdot e^{nr} \Leftrightarrow e^{nr} = \frac{S}{A} \Leftrightarrow nr = \ln\frac{S}{A} \Leftrightarrow n = \frac{1}{r}\ln\frac{S}{A}$

Với $S = 93713700$ người; $A = 80902400$ người; $r = \frac{1,47}{100} = 0,0147/$ năm.

Suy ra $n = \frac{1}{0,0147}\ln\frac{93713000}{80902400} \approx 10$ .

Vậy tối thiểu đến năm 2015 thì dân số của Việt Nam có khoảng 93713000 người.

Câu 33: Nhận biết

Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \frac{1 - x}{x + 1}$ ?

A.
Không tồn tại.
B.
$( - \infty; - 1) \cup ( - 1; + \infty)$
C.
$( - \infty;1),(1; + \infty)$
D.
$( - \infty; + \infty)$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$

Ta có: $y = \frac{1 - x}{x + 1} \Rightarrow y' = \frac{- 2}{(x + 1)^{2}} < 0;\forall x \in D$

Do đó hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Câu 34: Nhận biết

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4.
B. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh.
C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng.
D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh.

Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

- Khối lập phương có 6 mặt.

$\Rightarrow$ "Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4" $\Rightarrow$ Sai.

- Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. $\Rightarrow$ Đúng

- Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.

$\Rightarrow$ "Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.

- Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.

$\Rightarrow$ "Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai

Câu 35: Thông hiểu

Viết biểu thức $P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}};\left( {x > 0} ight)$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

A. $P = {x^{\frac{{61}}{{30}}}}$
B. $P = {x^{\frac{{117}}{{30}}}}$
C. $P = {x^{\frac{{113}}{{30}}}}$
D. $P = {x^{\frac{{83}}{{30}}}}$

Ta có: $P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}} = {x^{\frac{1}{5}}}.{x^{\frac{2}{3}}}.{x^{\frac{3}{5}}} = {x^{\frac{{113}}{{30}}}}$

Câu 36: Vận dụng cao

Cho tứ diện đều $SABC$ có cạnh bằng 1. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm S và trọng tâm G của tam giác $ABC$ cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Tính thể tích nhỏ nhất ${V_{\min }}$ của khối tứ diện $SAMN$ .

A. ${V_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{18}}$
B. ${V_{\min }} = \frac{4}{9}$
C. ${V_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}$
D. ${V_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{36}}$

Gọi E là trung điểm của BC.

Qua B, C lần lượt kẻ đường thẳng song song với MN và cắt đường thẳng AE tại P, Q.

Theo định lí Talet, ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{AP}}{{AG}} \hfill \\ \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{{AQ}}{{AG}} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{{AP}}{{AG}} + \frac{{AQ}}{{AG}} = \frac{{AP + AQ}}{{AG}}$

Mặt khác $\Delta BPE = \Delta CQE\xrightarrow{{}}PE = QE\,$

$\Rightarrow \,\,AP + AQ = \left( {AE - PE} ight) + \left( {AE + QE} ight) = 2AE$

Do đó $\frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{{2AE}}{{AG}} = 2.\frac{3}{2} = 3 \Rightarrow \frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} = 3$ .

Đặt $\left\{ \begin{gathered} AM = x \hfill \\ AN = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$

Vì $SABC$ là tứ diện đều $\Rightarrow \,\,SG \bot \left( {ABC} ight)$ và $SG = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}$

Do đó ${V_{SAMN}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta AMN}}.SG$

$= \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{2}AM.AN\sin {{60}^0}} ight).SG$

$= \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}AM.AN = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}xy$

Ta có $3 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geqslant \frac{2}{{\sqrt {xy} }}$

$\Leftrightarrow \sqrt {xy} \geqslant \frac{2}{3} \Leftrightarrow xy \geqslant \frac{4}{9}$

$\Rightarrow {V_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}$

Câu 37: Vận dụng

Cho ${9^x} + {9^{ - x}} = 14;\frac{{6 + 3.\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} ight)}}{{2 - {3^{x + 1}} - {3^{1 - x}}}} = \frac{a}{b}$ ; ( $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính giá trị biểu thức $P = ab$ .

A. $P = 10$
B. $P = - 10$
C. $P = - 45$
D. $P = 45$

Ta có:

$\begin{matrix} {\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} ight)^2} = 14 + 2 = 16 \hfill \\ \Rightarrow {3^x} + {3^{ - x}} = 4 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{{6 + 3.4}}{{2 - 3.4}} = - \dfrac{9}{5} \hfill \\ \Rightarrow P = - 45 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 38: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA\ \bot\ (ABCD)$ , biết $SC = a\sqrt{3}$ . Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SB$ , $SD$ , $CD$ , $BC$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}$ . Đúng||Sai

b) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng thể tích của khối chóp $S.ACD$ . Đúng||Sai

c) Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng $a^{3}$ . Sai||Đúng

d) Thể tích của khối chóp $A.MNPQ$ bằng $\frac{a^{3}}{8}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA\ \bot\ (ABCD)$ , biết $SC = a\sqrt{3}$ . Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SB$ , $SD$ , $CD$ , $BC$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}$ . Đúng||Sai

b) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng thể tích của khối chóp $S.ACD$ . Đúng||Sai

c) Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng $a^{3}$ . Sai||Đúng

d) Thể tích của khối chóp $A.MNPQ$ bằng $\frac{a^{3}}{8}$ . Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $SA\ \bot\ (ABCD) \Rightarrow V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SA.S_{ABCD}$ . Suy ra mệnh đề đúng.

b) Từ giả thiết có $S_{ABC} = S_{ACD} = \frac{a^{2}}{2}$ ; $SA\bot(ABCD)$ .

$V_{S.ABC} = \frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC};\ \ \ V_{S.ACD} = \frac{1}{3}SA.S_{\Delta ACD}$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = V_{S.ACD}$ . Suy ra mệnh đề đúng.

c) Ta có $SA = \sqrt{SC^{2} - AC^{2}} = a$ .

Suy ra $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SA.S_{ABCD} = \frac{a^{3}}{3}$ . Vậy mệnh đề sai.

d) Ta có $\left\{ \begin{matrix} MN//PQ \\ MN = PQ \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra $MNPQ$ là hình bình hành; mặt khác, ta có: $\left\{ \begin{matrix} BD\bot SA \\ BD\bot AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot SC$

Mà $\left\{ \begin{matrix} PQ//BD \\ PN//SC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow PN\bot PQ$ nên tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.

$SA = \sqrt{SC^{2} - AC^{2}} = a$

Do $SM \cap (APQ) = B$ nên ta có:

$\frac{d\left( M;(AQP) ight)}{d\left( S;(AQP) ight)} = \frac{MB}{AB} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow d\left( M;(AQP) ight) = \frac{1}{2}d\left( S;(AQP) ight) = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}$ .

$S_{\Delta AQP} = \frac{1}{2}AH.QP = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}AC.\frac{1}{2}BD$ $= \frac{3}{16}AC.BD = \frac{3}{16}\left( a\sqrt{2} ight)^{2} = \frac{3}{8}a^{2}$ .

Với $H = AC \cap PQ$ .

Ta có $V_{A.MNPQ} = 2V_{A.MQP} = 2V_{M.AQP}$

Mà $V_{M.AQP} = \frac{1}{3}d\left( M;(AQP) ight).S_{\Delta AQP} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{3}{8}a^{2} = \frac{a^{3}}{16}$ .

Vậy $V_{A.MNPQ} = 2V_{M.AQP} = 2.\frac{a^{3}}{16} = \frac{a^{3}}{8}$ . Suy ra mệnh đề đúng.

Câu 39: Nhận biết

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A. $y = {\left( {\frac{3}{\pi }} ight)^x}$
B. $y = {\left( {\frac{\pi }{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} ight)^x}$
C. $y = {\left( {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3}} ight)^x}$
D. $y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} ight)^x}$

Do $\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3} > 1$ nên hàm số $y = {\left( {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3}} ight)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Câu 40: Thông hiểu

Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y = \frac{x + 3}{x - m}$ nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$ ?

A.
$3$
B.
$4$
C.
$2$
D.
$5$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ m ight\}$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$ $\Leftrightarrow y' < 0;\forall x \in (1; + \infty)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - m - 3 < 0 \\ m \leq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 3 < m \leq 1$

Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 41: Nhận biết

Đồ thị hàm số nào có dạng đường trong như trong hình vẽ dưới đây?

A.
$y = 2x^{4} - 4x^{2} + 1$
B.
$y = - 2x^{4} + 4x^{2} + 1$
C.
$y = 2x^{3} - 3x^{2} + 1$
D.
$y = - 2x^{3} + 3x^{2} + 1$

Dựa vào hình dáng đồ thị suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số $a < 0$ nên hàm số cần tìm là $y = - 2x^{4} + 4x^{2} + 1$ .

Câu 42: Vận dụng cao

Bất phương trình ${25^{ - {x^2} + 2x + 1}} + {9^{ - {x^2} + 2x + 1}} \geqslant {34.15^{ - {x^2} + 2x}}$ có tập nghiệm là:

A. $S = \left( { - \infty ;1 - \sqrt 3 } ight] \cup \left[ {0;2} ight] \cup \left[ {1 + \sqrt 3 ; + \infty } ight)$
B. $S = \left( {0; + \infty } ight)$
C. $S = \left( {2; + \infty } ight)$
D. $S = \left( {1 - \sqrt 3 ;0} ight)$

Ta có: ${25^{ - {x^2} + 2x + 1}} + {9^{ - {x^2} + 2x + 1}} \geqslant {34.15^{ - {x^2} + 2x}}$

$\Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{3}} ight)^{2\left( { - {x^2} + 2x + 1} ight)}} + 1 \geqslant \frac{{34}}{{15}}.{\left( {\frac{5}{3}} ight)^{\left( { - {x^2} + 2x + 1} ight)}}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 0 \leqslant x \leqslant 2 \hfill \\ x \leqslant 1 - \sqrt 3 \hfill \\ x \geqslant 1 + \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy $S = \left( { - \infty ;1 - \sqrt 3 } ight] \cup \left[ {0;2} ight] \cup \left[ {1 + \sqrt 3 ; + \infty } ight)$ .

Câu 43: Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $(S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$ và điểm $A(2;2;2)$ . Xét các điểm $M \in (S)$ sao cho đường thẳng $AM$ luôn tiếp xúc với $(S)$ . Điểm $M$ luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là

A.
$x + y + z - 6 = 0$
B.
$x + y + z - 4 = 0$
C.
$3x + 3y + 3z - 8 = 0$
D.
$3x + 3y + 3z - 4 = 0$

Tọa độ tâm mặt cầu là: $I(1;1;1)$

Gọi $M(x;y;z)$ khi đó: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x - 2;y - 2;z - 2) \\ \overrightarrow{IM} = (x - 1;y - 1;z - 1) \\ \end{matrix} ight.$ .

Theo đề bài ra ta có:

$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{IM} = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)(x - 1) + (y - 2)(y - 1) + (z - 2)(z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3x - 3y - 3z + 6 = 0(*)$

Mặt khác phương trình mặt cầu

$(S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$

$\Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 2z + 2 = 0(**)$

Lấy (*) trừ (**) ta được: $x + y + z - 4 = 0$ .

Câu 44: Vận dụng

Cho $a,b,c > 0$ và khác 1. Các hàm số $y = {\log _a}x;y = {\log _b}x;y = {\log _c}x$ có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Khẳng định nào dưới đây đúng

A. $b > c > a$
B. $a > b > c$
C. $a > c > b$
D. $c > b > a$

Kẻ đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị các hàm số $y = {\log _a}x;y = {\log _b}x;y = {\log _c}x$ lần lượt tại các điểm có hoành độ $a,b,c$

Khẳng định nào dưới đây đúng

Từ đồ thị ta có: $a > c > b$

Câu 45: Vận dụng

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^{\frac{\pi }{2}}}$ tại điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1 là:

A. $y = \frac{\pi }{2}x - 1$
B. $y = \frac{\pi }{2}x - \frac{\pi }{2} + 1$
C. $y = \frac{\pi }{2}x + \frac{\pi }{2} - 1$
D. $y = \frac{\pi }{2}x + 1$

Ta có: $y = {x^{\frac{\pi }{2}}} \Rightarrow y' = \frac{\pi }{2}.{x^{\frac{\pi }{2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( 1 ight) = 1} \\ {y'\left( 1 ight) = \dfrac{\pi }{2}} \end{array}} ight.$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^{\frac{\pi }{2}}}$ tại điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1 là:

$y = y'\left( 1 ight)\left( {x - 1} ight) + y\left( 1 ight) = \frac{\pi }{2}x - \frac{\pi }{2} + 1$

Câu 46: Vận dụng cao

Cho hàm số $f(x) = x^{3} - (2m - 1)x^{2} + (2 - m)x + 2$ với $m$ là tham số. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y = f\left( |x| ight)$ có $5$ cực trị?

A.
$\frac{5}{4} \leq m \leq 2$
B.
$- \frac{5}{4} < m < 2$
C.
$- 2 < m < \frac{5}{4}$
D.
$\frac{5}{4} < m < 2$

Nhận thấy rằng nếu $x_{0}$ là điểm cực trị dương của hàm số $y = f(x)$ thì $x_{0}; - x_{0}$ là điểm cực trị của hàm số $y = f\left( |x| ight)$

Lại thấy vì đồ thị hàm số $y = f\left( |x| ight)$ nhận trục tung làm trục đối xứng mà $f(x)$ là hàm đa thức bậc ba nên $x = 0$ luôn là một điểm cực trị của hàm số $y = f\left( |x| ight)$ .

Khi đó để hàm số $y = f\left( |x| ight)$ có 5 điểm cực trị thì hàm số $f(x) = x^{3} - (2m - 1)x^{2} + (2 - m)x + 2$ có hai cực trị dương phân biệt.

Suy ra phương trình $f'(x) = 3x^{2} - 2(2m - 1)x + 2 - m = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {2m - 1} ight)^2} - 3\left( {2 - m} ight) > 0 \hfill \\ \frac{{2m - 1}}{3} > 0 \hfill \\ 2 - m > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4{m^2} - m - 5 > 0 \hfill \\ m > \frac{1}{2} \hfill \\ m < 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \frac{5}{4} < m < 2$

Vậy đáp án cần tìm là $\frac{5}{4} < m < 2$ .

Câu 47: Vận dụng cao

Cho hàm số f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) được biểu diễn như hình vẽ:

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng

Giả sử bất phương trình $f\left( x ight) > \sin \frac{{\pi x}}{2} + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left[ { - 1;3} ight]$ thì tham số $m$ thỏa mãn điều kiện là:

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) được biểu diễn như hình vẽ:

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng

Giả sử bất phương trình $f\left( x ight) > \sin \frac{{\pi x}}{2} + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left[ { - 1;3} ight]$ thì tham số $m$ thỏa mãn điều kiện là:

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 48: Thông hiểu

Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60^{0}$ . Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ bằng

A.
$V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}$ .
B.
$V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$ .
C.
$V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$ .
D.
$V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$ .

Hình vẽ minh họa

Gọi $O$ là tâm của đáy, gọi $M$ là trung điểm của $BC$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} SO\bot BC \\ OM\bot BC \\ \end{matrix} ight.$ nên $(SOM)\bot BC$

Suy ra $\left\lbrack (SCD),(ABCD) ightbrack = (SM,OM) = \widehat{SMO} = 60^{0}$ .

Có $OM = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$ , $SO = OMtan60^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là

$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$ .

Câu 49: Thông hiểu

Cho $a,b,c > 0$ . Tính giá trị của biểu thức $A = {\log _a}\left( {{b^2}} ight).{\log _b}\left( {\sqrt {bc} } ight) - {\log _a}\left( c ight)$

A. ${\log _a}c$
B. $1$
C. ${\log _a}b$
D. ${\log _a}bc$

Ta có:

$\begin{matrix} A = {\log _a}\left( {{b^2}} ight).{\log _b}\left( {\sqrt {bc} } ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = 2{\log _a}\left( b ight).\dfrac{1}{2}.{\log _b}\left( {bc} ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight).{\log _b}\left( {bc} ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight).\left[ {{{\log }_b}\left( b ight) + {{\log }_b}\left( c ight)} ight] - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight).\left[ {1 + {{\log }_b}\left( c ight)} ight] - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight) + {\log _a}\left( b ight).{\log _b}\left( c ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight) + {\log _a}\left( c ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 50: Nhận biết

Cho các hình sau: Tìm hình đa diện

Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:

A. Hình 1
B. Hình 2
C. Hình 3
D. Hình 4

Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt ${S_0},{S_1},...\,\,,{S_n}$ sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt ${S_i},{S_{i + 1}}$ nào $(0 \le i \le n - 1)$ cũng đều có một cạnh chung.

Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!