Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ:

Hỏi hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Theo đồ thị hàm số ta có hàm số đồng biến trên khoảng
và
khi đó:
Mặt khác
Do hàm số nghịch biến nên
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ:

Hỏi hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Theo đồ thị hàm số ta có hàm số đồng biến trên khoảng
và
khi đó:
Mặt khác
Do hàm số nghịch biến nên
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là:
Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là .
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên
. Đồ thị hàm số y f’(x) như hình vẽ bên:

Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) + 2x là:
Xét hàm số g(x) = f(x) + 2x. Từ đồ thị hàm số f’(x) ta thấy:
Từ đó suy ra hàm số y = f(x) + 2x liên tục và có đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua giá trị
Từ đó ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy hàm số đã cho có đúng một cực trị
Số giao điểm của hai đồ thị hàm số
và
bằng số nghiệm phân biệt của phương trình nào sau đây?
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình hay
.
Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu cạnh?
Khối lăng trụ ngũ giác có số cạnh của một mặt đáy là 5 cạnh, số cạnh bên là 5 cạnh
Số cạnh của khối lăng trụ ngũ giác là: 2.5 + 5 =15 cạnh.
Tập xác định của hàm số
là:
Điều kiện xác định của hàm số là:
=> Tập xác định của hàm số là:
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng
, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
. Đường cao h của hình nón bằng:
Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra và
.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .
Ta có
Từ đó suy ra nên
Trong tam giác vuông SOE, ta có
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ:

Giá trị lớn nhất của hàm số
bằng bao nhiêu?
Cho hàm số liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ:
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng bao nhiêu?
Trong không gian
, tìm tất cả các giá trị của
để phương trình
là phương trình của một mặt cầu?
Phương trình là một mặt cầu
.
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên
?
Xét hàm số ta có:
Do đó hàm số nghịch biến trên
.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình ![]()
Bất phương trình tương đương
: (2) không thỏa
: (3) không thỏa
(1) thỏa mãn
.
Vậy .
Hàm số nào sau đây đồng biến trên
?
Do nên hàm số
đồng biến trên
PT
có nghiệm là?
PT
Vậy PT có nghiệm là .
Cho a và b là các số thực thỏa mãn điều kiện
và
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Ta có:
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy,
và
. Tính thể tích V của khối chóp
.
32
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, và
. Tính thể tích V của khối chóp
.
32

Xét tam giác , có:
Suy ra tam giác vuông tại A
Vậy thể tích khối chóp
Bất phương trình
có tập nghiệm là:
Điều kiện:
Vậy BPT có tập nghiệm là .
Trong hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có đường kính
, với
. Viết phương trình
tiếp xúc với mặt cầu
tại
?
Hình vẽ minh họa
Vì mặt cầu có đường kính là AB nên tâm I của mặt cầu
là trung điểm của
.
Mặt cầu có tâm I(1; 1; 1).
Vì tiếp xúc với
tại
nên
đi qua
và nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Suy ra
Cho hàm số đa thức bậc bốn
. Đồ thị hàm số
được biểu thị trong hình vẽ sau:

Hàm số
nghịch biến trong khoảng nào?
Đặt . Ta có bảng xét dấu của
được mô tả lại như sau:
Từ đó suy ra bảng xét dấu của
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng
.
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và
. Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD.

Đường chéo hình vuông
Xét tam giác SAC, ta có .
Chiều cao khối chóp là .
Diện tích hình vuông ABCD là
Vậy thể tích khối chóp .
Cho
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,
Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.
Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên ,
Suy ra ,
và
Diện tích toàn phần của hình nón: (đvdt).
Thể tích khối nón là: (đvtt).
Cho a là một số dương, biểu thức
viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
Ta có:
Cho hình chóp đều
có cạnh đáy bằng
, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Vì
là khối chóp đều nên suy ra
.
Gọi là trung điểm của
Tam giác vuông tại
, có:
Diện tích tam giác là:
Vậy thể tích khối chóp:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn
để hàm số
có tập xác định
?
Hàm số xác định trên khi và chỉ khi
Do
Vậy có 2018 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
lần lượt là
và
. Tính giá trị của biểu thức
?
Ta có:
Cho phương trình
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có:
Đặt .
Khi đó
Với .
Nếu đặt
thì phương trình
trở thành phương trình nào?
Đặt
PT
.
Gọi
là tập tất cả các giá trị thực của tham số
để đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt
với
nằm giữa
sao cho
. Tính tổng các phần tử thuộc tập S?
Ta có bảng biến thiên
Suy ra đường thẳng cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt
Khi đó
Để B nằm giữa A và C và thì
Từ (*) ta được . Thay (**) được
Suy ra . Vậy tổng các phần tử của S bằng
.
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số
là:
Tịnh tiến hàm số sang trái hai đơn vị ta được hàm số
Đồ thị hàm số có được gồm hai phần.
Phần 1 là phần đồ thị nằm phía bên phải
.
Phần 2 là phần đồ thị đối xứng qua .
Khi đó đồ thị hàm số sẽ có một điểm cực trị.
Mặt phẳng đi qua trọng tâm của tứ diện, song song với một mặt phẳng của tứ diện và chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của hai phần đó.

Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh
khi đó
là trọng tâm của tứ diện
. Ta sẽ dựng mặt phẳng qua
song song với
.
Trong mặt phẳng dựng đường thẳng qua
song song với
cắt
lần lượt tại
.
Qua lần lượt kẻ các đường thẳng lần lượt song song với
cắt
lần lượt tại
.
Do là trung điểm của
suy ra
Ta có
Phương trình
có số nghiệm là:
2 || hai || 2 nghiệm || Hai nghiệm
Phương trình có số nghiệm là:
2 || hai || 2 nghiệm || Hai nghiệm
PT
Vậy PT có 2 nghiệm.
Viết biểu thức
dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
và
. Tổng diện tích hai tam giác
và
bằng
. Tính thể tích
của khối chóp
?

Gọi lần lượt là trung điểm của
và
.
Tam giác cân tại
suy ra
với
.
Vì suy ra
và
Kẻ
Ta có
Tam giác vuông tại
nên
Giải hệ:
hoặc
Vậy thể tích khối chóp
Nếu đặt
thì bất phương trình
trở thành bất phương trình nào?
Điều kiện:
Ta có:
Vậy thay , ta được
.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Ta thấy:
Do vậy đồ thị của hàm số không có tiệm cận đứng
Cho biểu thức
với a và b là các số thực dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Thực hiện thu gọn biểu thức như sau:
Biết rằng
với x > 0. Tìm n?
Ta có:
Vậy
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?
Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có:
- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
Cho hàm số
có đồ thị của hàm số
như hình vẽ:

Xác định khoảng đồng biến của hàm số
?
Ta có:
Với
Kết hợp với điều kiện ta có:
Với
Kết hợp với điều kiện ta có:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có:
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2
60 || sáu mươi || Sáu mươi
Tổng độ dài của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2
60 || sáu mươi || Sáu mươi
Khối mười hai mặt đều có tất cả 30 cạnh:

Suy ra ta có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng .
Cho hàm số
có
. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
Ta có:
Ta có bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
là:
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
=> Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng.
Khi thì
Khi thì
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang.
Cho hàm số
có đạo hàm trên
là
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Cho hàm số có đạo hàm trên
là
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Điều kiện xác định của Bất phương trình
là?
Biểu thức xác định khi và chỉ khi:
Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm, 21 cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm, biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm? (Kết quả là tròn đến một chữ số thập phân)

Trả lời: 23,9 cm
Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm, 21 cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm, biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm? (Kết quả là tròn đến một chữ số thập phân)
Trả lời: 23,9 cm
Ta đặt hệ trục vào căn phòng sao cho có hai bức tường là mặt , và nền là
Vậy bài toán dẫn đến việc tìm đường kính của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng toạ độ và chứa điểm
.
Ta có thể gọi phương trình mặt cầu là , với
Do mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng toạ độ nên
Do nên
.
Vì quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm nên thỏa.
Vậy đường kính quả bóng bằng .
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có 7 điểm cực trị?
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số
có 7 điểm cực trị?
Tính đạo hàm của hàm số ![]()
Ta có: