Tập nghiệm của bất phương trình
là:
Ta có:
Tập nghiệm của bất phương trình
là:
Ta có:
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng
. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .
Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và
.
Vì nên
Gọi H là trung điểm A’B, suy ra
nên .
Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên
Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên
Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu cạnh?
Khối lăng trụ ngũ giác có số cạnh của một mặt đáy là 5 cạnh, số cạnh bên là 5 cạnh
Số cạnh của khối lăng trụ ngũ giác là: 2.5 + 5 =15 cạnh.
Cho hình chóp
có tam giác
là tam giác vuông cân tại S,
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng
bằng
. Tính theo a thể tích V của khối chóp
.
Ta chọn (SBC) làm mặt đáy suy ra chiều cao khối chóp là
Tam giác SBC vuông cân tại S nên
Vậy thể tích khối chóp
Tập nghiệm của bất phương trình
là:
Ta có:
Vậy BPT có tập nghiệm là .
Cho hàm số
. Tìm tất cả các giá trị của
để hàm số
có hai điểm cực trị?
Ta có:
Để hàm số có hai cực trị thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
.
Vậy đáp án cần tìm là .
Một sinh viên giỏi
được một công ty trao quỹ học bổng
triệu đồng, số tiền đó được công ty gửi vào ngân hàng với lãi suất
mỗi tháng, cuối mỗi tháng sinh viên đó được rút đều đặn số tiền
triệu đồng.
a) Quỹ học bổng còn lại sau
tháng là:
triệu đồng. Đúng||Sai
b) Quỹ học bổng còn lại sau 2 tháng là:
triệu đồng. Sai||Đúng
c) Quỹ học bổng còn lại sau n tháng là:
(triệu đồng). Sai||Đúng
d) Tháng cuối cùng sinh viên đó rút được
triệu đồng thì hết quỹ học bổng trên. Sai||Đúng
Một sinh viên giỏi được một công ty trao quỹ học bổng
triệu đồng, số tiền đó được công ty gửi vào ngân hàng với lãi suất
mỗi tháng, cuối mỗi tháng sinh viên đó được rút đều đặn số tiền
triệu đồng.
a) Quỹ học bổng còn lại sau tháng là:
triệu đồng. Đúng||Sai
b) Quỹ học bổng còn lại sau 2 tháng là: triệu đồng. Sai||Đúng
c) Quỹ học bổng còn lại sau n tháng là: (triệu đồng). Sai||Đúng
d) Tháng cuối cùng sinh viên đó rút được triệu đồng thì hết quỹ học bổng trên. Sai||Đúng
a) Quỹ học bổng còn lại sau tháng là:
triệu đồng.
Suy ra mệnh đề đúng.
b) Quỹ học bổng còn lại sau 2 tháng là:
(triệu đồng)
Suy ra mệnh đề sai.
c) Quỹ học bổng còn lại sau n tháng là:
(triệu đồng).
Suy ra mệnh đề sai.
d) Quỹ học bổng còn lại sau 16 tháng là:
.
Quỹ học bổng còn lại sau 15 tháng là.
triệu đồng.
Suy ra tháng cuối cùng sinh viên đó rút được triệu đồng thì hết quỹ học bổng trên.
Suy ra mệnh đề sai.
Tập xác định của hàm số
là:
Điều kiện xác định:
=> Tập xác định của hàm số là
Viết biểu thức
dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại A và B,
. Cạnh bên
và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.
1
Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại A và B,
. Cạnh bên
và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.
1

Diện tích hình thang ABCD là
Chiều cao khối chóp là .
Vậy thể tích khối chóp
Tìm tập xác định của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là
Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
Ta có:
Vậy đáp án sai là:
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
Tập xác định:
Ta có: => y = 1 và y = -1 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
=> Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 2 và x = =-2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng là x = 2 và x = -2
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Tập xác định của hàm số
là tập hợp nào sau đây?
Điều kiện xác định
Vậy tập xác định của hàm số là
Tập nghiệm của bất phương trình
là:
Ta có:
.
Cho hình chóp đều
có tất cả các cạnh bằng
. Mặt phẳng
song song với mặt đáy
và cắt các cạnh bên
lần lượt tại
. Tính diện tích tam giác
biết mặt phẳng
chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Mặt phẳng và cắt các cạnh
lần lượt tại
.
Theo Talet, ta có .
Do đó .
Theo giả thiết .
Suy ra tam giác MNP là tam giác đều cạnh .
Vậy diện tích .
Tìm giá trị của tham số
để đồ thị hàm số
đi qua điểm
?
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên ta có:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên
. Đồ thị của hàm số
trên đoạn
là đường cong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Dựa vào thị của hàm số trên đoạn
ta thấy
.
Ta có bảng BBT:
Do đó .
Cho tập hợp
và
là tập hợp các hàm số
có
. Chọn ngẫu nhiên một hàm số
. Tính xác suất để đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục
?
Không gian mẫu
Ta có:
Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục
suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác
.
Mà
Vậy xác suất cần tìm là .
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
Ta có: nên hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn
và
. Giá trị của biểu thức
là:
Theo điều kiện ta có:
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
là:
Đặt
Điều kiện xác định
Xét hàm ta có:
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng
và
Khi đó yêu cầu bài toán đồng biến trên
Điều kiện xác định
Ta có:
Để hàm số đồng biến trên thì
Vậy đáp án cần tìm là
Cho hàm số
có
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
để
?
Ta có: suy ra hàm số
đồng biến trên
Suy ra
Vậy có tất cả 21 giá trị nguyên của .
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
có nghiệm đúng
.
Bất phương trình tương đương
hoặc
: (*) không thỏa
và
: (*)
Phương trình
có nghiệm là:
Ta có:
Cho hàm số đa thức bậc bốn
. Đồ thị hàm số
được biểu thị trong hình vẽ sau:

Hàm số
nghịch biến trong khoảng nào?
Đặt . Ta có bảng xét dấu của
được mô tả lại như sau:
Từ đó suy ra bảng xét dấu của
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng
.
Biết đồ thị hàm số
nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá trị m + n là:
Điều kiện
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
=>
Đặt
Nhận thấy với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x = 0 làm tiệm cận đứng thì g(0) = 0
=> n – 6 = 0 => n = 6
Kết hợp với (*) => m = 3
Vậy m + n = 9
Cho
. Rút gọn biểu thức 
Ta có:
Cho hình chóp tam giác đều
. Mặt bên
là tam giác gì?
Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.
Cho hàm số
có đạo hàm
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xét ta có bảng xét dấu
như sau:
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng , hàm số đồng biến trên khoảng
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu có tâm
và có diện tích bằng
có phương trình là:
Ta có:
Vậy mặt cầu tâm có bán kính
có phương trình:
.
Nghiệm bé nhất của phương trình
là:
TXĐ:
PT
là nghiệm nhỏ nhất.
Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại
là:

Khối đa diện đều loại là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng:
Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng
. Diện tích toàn phần của hình nón là:

Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.
Theo giả thiết, ta có và
.
Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có
Vậy diện tích toàn phần:
(đvdt).
Cho hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị -2; -1; 0 và có đạo hàm liên tục trên
. Khi đó hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị -2; -1; 0 và có đạo hàm liên tục trên nên f’(x) = 0 có ba nghiệm x = -2; x = -1, x = 0
Đặt
Vì f’(x) liên tục trên nên g’(x) cũng liên tục trên
. Do đó những điểm g’(x) có thể đổi dấu thuộc tập các điểm thỏa mãn.
Ba nghiệm trên đều là nghiệm đơn hoặc bội lẻ nên hàm số g(x) có ba điểm cực trị.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, mặt cầu
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
khác
thỏa mãn tam giác
có trọng tâm là điểm
. Tọa độ tâm của mặt cầu
là:
Gọi tọa độ các điểm trên ba tia lần lượt là
với
Vì G là trọng tâm tam giác nên
Gọi phương trình mặt cầu cần tìm là:
Vì qua các điểm
nên ta có hệ phương trình:
Vậy tọa độ tâm của mặt cầu là:
.
Phương trình
có nghiệm là:
x=2 || 2 || hai
Phương trình có nghiệm là:
x=2 || 2 || hai
PT .
Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình bên dưới). Cạnh đáy dưới dài 5m, cạnh đáy trên dài 2m, cạnh bên dài 3m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1470000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Đáp án: 40538432
Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình bên dưới). Cạnh đáy dưới dài 5m, cạnh đáy trên dài 2m, cạnh bên dài 3m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1470000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.
Đáp án: 40538432
Hình vẽ minh họa:
Mô hình hoá chân tháp bằng cụt chóp tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ với O, O′ là tâm của hai đáy.
Vậy .
ABCD là hình vuông
là hình vuông
Kẻ
là hình chữ nhật
vuông tại
Diện tích đáy lớn là:
Diện tích đáy bé là:
Thể tích hình chóp cụt là:
Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là: (đồng).
Cho a và b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào dưới đây sai?
Ta có:
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
vuông góc với đáy và khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là hình chiếu của
trên
Ta có
Suy ra
Tam giác vuông tại
, có
Vậy .
Hàm số
có cực đại là:
Ta có:
=> x = 0 là điểm cực đại của hàm số
Cho đồ thị hàm số
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt cách hoành độ
thỏa mãn
?
Để hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có ba nghiệm phân biệt:
Ta đặt . Khi đó để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình sau phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Do có nghiệm khác 1 nên hay
Ta có:
Để có hai nghiệm phân biệt thì hay
Theo bài ra ta có:
với
là nghiệm của phương trình bậc hai trên.
Áp dụng hệ thức Vi – et ra có:
Kết hợp các điều kiện ta có: .
Vậy đáp án đúng là .
Cho phương trình
, m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?
Đáp án: 5
Cho phương trình , m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?
Đáp án: 5
ĐKXĐ:
Ta có:
Để phương trình có nghiệm thì .
Kết hợp điều kiện m là số nguyên dương ta có m ∈ {1;2;3;4;5}.
Vậy có 5 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số
có đạo hàm
liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình
(m là tham số thực) nghiệm đúng với
khi và chỉ khi
Ta có:
Xét hàm số với
Ta có:
=> Hàm số g(x) luôn đồng biến trên
Ta có bảng biến thiên như sau:

=> (*) nghiệm đúng khi
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Ta thấy:
Do vậy đồ thị của hàm số không có tiệm cận đứng
Trong không gian
, cho điểm
và mặt cầu
. Mặt phẳng đi qua
cắt
theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là:
Ta có:
(S) có bán kính và tâm
,
nên I nằm trong hình cầu (S).
Gọi r là bán kính của đường tròn, (P) là mặt phẳng qua M, ta có:
Suy ra bán kính khi
là vectơ pháp tuyến của (P).
Vậy phương trình của mặt phẳng .
Cho các hình khối sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?
2 || Hai || hai
Cho các hình khối sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?
2 || Hai || hai
Có hai khối đa diện lồi là: Hình 1 & Hình 4
Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số là
trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng bao nhiêu?
Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số là trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng bao nhiêu?
Với a > 0 hãy rút gọn biểu thức 
Ta có: