Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Câu 1: Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng $(2;3)$ thuộc tập nghiệm của bất phương trình ${\log _5}\left( {{x^2} + 1} ight) > {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} ight) - 1{\text{ (1)}}$ .

A. $m \in \left[ { - 12;13} ight]$
B. $m \in \left[ {12;13} ight]$
C. $m \in \left[ { - 13;12} ight]$
D. $m \in \left[ { - 13; - 12} ight]$

Ta có: $(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} + 1 > \frac{{{x^2} + 4x + m}}{5} \hfill \\ {x^2} + 4x + m > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - {x^2} - 4x = f(x) \hfill \\ m < 4{x^2} - 4x + 5 = g(x) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Hệ trên thỏa mãn:

$\forall x \in \left( {2;3} ight)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \geqslant \mathop {Max}\limits_{2 < x < 3} f(x) = - 12{\text{ khi }}x = 2 \hfill \\ m \leqslant \mathop {Min}\limits_{2 < x < 3} f(x) = 13{\text{ khi }}x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }} \Leftrightarrow - 12 \leqslant m \leqslant 13.$

Câu 2: Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in\lbrack - 10;10brack$ để hàm số $y= \left| x^{4} + 2mx^{3} + (3 - 3m)x^{2} - 2mx + 3m - 4 ight|$ có $7$ điểm cực trị?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in\lbrack - 10;10brack$ để hàm số $y= \left| x^{4} + 2mx^{3} + (3 - 3m)x^{2} - 2mx + 3m - 4 ight|$ có $7$ điểm cực trị?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 3: Thông hiểu

Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?

A. Các đỉnh của một hình tứ diện đều.
B. Các đỉnh của một hình bát diện đều.
C. Các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.
D. Các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.

Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Câu 4: Thông hiểu

Tính đạo hàm của hàm số $y = {\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 }}$

A. $y' = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 - 1}}$
B. $y' = \sqrt 3 .\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 + 1}}$
C. $y' = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}$
D. $y' = \sqrt 3 .\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 - 1}}$

Ta có:

$\begin{matrix} y' = \sqrt 3 .{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 - 1}}.\left( {{x^2} - 3x + 1} ight)\prime \hfill \\ \Rightarrow y' = \sqrt 3 .\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 - 1}} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 5: Nhận biết

Bất phương trình ${\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{x^2} - x + 1} ight) < 0$ có tập nghiệm là:

A. $S = \left( {0;\frac{3}{2}} ight)$
B. $S = \left( { - 1;\frac{3}{2}} ight)$
C. $S = \left( { - \infty ;0} ight) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } ight)$
D. $S = \left( { - \infty ;1} ight) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } ight)$

Ta có ${\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{x^2} - x + 1} ight) < 0$

$\Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 > 1$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x < 0 \hfill \\ x > \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy BPT có tập nghiệm là $S = \left( { - \infty ;0} ight) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } ight)$ .

Câu 6: Vận dụng

Cho hàm số $y =f(x)$ liên tục, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ . Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như sau:

Hàm số $y = f(3 - x)$ nghịch biến trên khoảng $(2;b)$ . Giá trị lớn nhất của $b$ bằng bao nhiêu?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y =f(x)$ liên tục, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ . Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như sau:

Hàm số $y = f(3 - x)$ nghịch biến trên khoảng $(2;b)$ . Giá trị lớn nhất của $b$ bằng bao nhiêu?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 7: Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6$ . Đường kính $(S)$ bằng:

A.
$3$
B.
$\sqrt{6}$
C.
$2\sqrt{6}$
D.
$12$

Đường kính của mặt cầu $(S)$ bằng: $2R = 2\sqrt{6}$ .

Câu 8: Thông hiểu

Dựa vào thông tin dưới đây và trả lời các câu hỏi

Số lượng của một loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được biểu diễn theo công thức $S(t) = A.e^{rt}$ , trong đó A là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc 6 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con.

Tỉ lệ tăng trưởng của vi khuẩn X gần nhất với kết quả nào sau đây?

A.
0,35.
B.
0,36.
C.
0,37.
D.
0,38.

Chọn 6 giờ là mốc thời gian. Khi đó $A = 150$ .

Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn là 450 con nên $t = 3;S(3) = 450$ .

Từ đó ta có phương trình:

$150.e^{3r} = 450 \Leftrightarrow e^{3r} = 3 \Leftrightarrow r = \frac{ln3}{3} \approx 0,37.$

Câu 9: Thông hiểu

Cho $a,b > 0$ , viết ${a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a$ về dạng ${a^x}$ và $\sqrt[3]{{b\sqrt {b\sqrt b } }}$ về dạng ${b^y}$ . Tình giá trị biểu thức $T = 6a + 12y$

A. $T = \frac{7}{{12}}$
B. $T = 17$
C. $T = 14$
D. $T = \frac{7}{6}$

Ta có:

$\begin{matrix} {a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}} \hfill \\ \Rightarrow {a^x} = {a^{\frac{7}{6}}} \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{7}{6} \hfill \\ \sqrt[3]{{b\sqrt {b\sqrt b } }} = {\left( {b\sqrt {{b^{\frac{3}{2}}}} } ight)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {b.{b^{\frac{3}{4}}}} ight)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {{b^{\frac{7}{4}}}} ight)^{\frac{1}{3}}} = {b^{\frac{7}{{12}}}} \hfill \\ \Rightarrow {b^y} = {b^{\frac{7}{{12}}}} \Rightarrow y = \dfrac{7}{{12}} \hfill \\ \Rightarrow T = 14 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 10: Thông hiểu

Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên

A. Lớn hơn 6
B. Lớn hơn hoặc bằng 6
C. Lớn hơn 7
D. Lớn hơn 8

Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.

Câu 11: Vận dụng

Cho phương trình ${\left( {7 + 4\sqrt 3 } ight)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 6$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình có một nghiệm vô tỉ
B. Phương trình có một nghiệm hữu tỉ
C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu
D. Tích của hai nghiệm bằng -6

Ta có: ${\left( {7 + 4\sqrt 3 } ight)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 6$

$\Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}^2}} ight]^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} - 6 = 0$

$\Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}^x}} ight]^2} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} - 6 = 0{\text{ }}\left( {*} ight)$

Đặt $t = {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} > 0$ .

Khi đó $\left( {*} ight) \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = 2{\text{ }}\left( TM ight) \hfill \\ t = - 3{\text{ }}\left( L ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Với $t = 2 \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 2 \Leftrightarrow \boxed{x = {{\log }_{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}}2}$ .

Câu 12: Vận dụng

Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình ${\log _3}\left( {1 - {x^2}} ight) \leqslant {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {1 - x} ight)$ là:

0 ||không || Không|| x= 0

Đáp án là:

Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình ${\log _3}\left( {1 - {x^2}} ight) \leqslant {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {1 - x} ight)$ là:

0 ||không || Không|| x= 0

BPT $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 - {x^2} > 0 \hfill \\ 1 - x > 0 \hfill \\ {\log _3}\left( {1 - {x^2}} ight) \leqslant - {\log _3}\left( {1 - x} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 < x < 1 \hfill \\ x < 1 \hfill \\ {\log _3}\left( {1 - {x^2}} ight) + {\log _3}\left( {1 - x} ight) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 < x < 1 \hfill \\ {\log _3}\left( {1 - {x^2}} ight)\left( {1 - x} ight) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 < x < 1 \hfill \\ {\log _3}\left( {1 - {x^2}} ight)\left( {1 - x} ight) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 < x < 1 \hfill \\ \left( {1 - {x^2}} ight)\left( {1 - x} ight) \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 < x < 1 \hfill \\ x({x^2} - x - 1) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 < x < 1 \hfill \\ x \leqslant \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \vee 0 \leqslant x \leqslant \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow - 1 < x \leqslant \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \vee 0 \leqslant x < 1$

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của BPT là $x=0$ .

Câu 13: Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 6y - 4z - 2 = 0$ và mặt phẳng $(α) : x + 4y + z − 11 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ , biết $(P)$ song song với giá của vectơ $\overrightarrow{v} = (1;6;2)$ , vuông góc với $(α)$ và tiếp xúc với $(S)$ .

A.
$\left\lbrack \begin{matrix} (P):x - 2y + z + 3 = 0 \\ (P):x - 2y + z - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
B.
$\left\lbrack \begin{matrix} (P):3x + y + 4z + 1 = 0 \\ (P):3x + y + 4z - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
C.
$\left\lbrack \begin{matrix} (P):4x - 3y - z + 5 = 0 \\ (P):4x - 3y - z - 27 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
D.
$\left\lbrack \begin{matrix} (P):2x - y + 2z + 3 = 0 \\ (P):2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R = 4.

Vectơ pháp tuyến của (α) là $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;4;1)$

Theo giả thiết, suy ra (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{(P)}} = \left\lbrack \overrightarrow{v};\overrightarrow{n_{(\alpha)}} ightbrack = (2; - 1;2)$

Phương trình của mặt phẳng (P) có dạng $2x − y + 2z + D = 0$

Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:

$d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2 + 3 + 4 + D|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 4$

$\Leftrightarrow |9 + D| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} D = 3 \\ D = - 21 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là: $\left\lbrack \begin{matrix} (P):2x - y + 2z + 3 = 0 \\ (P):2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Câu 14: Nhận biết

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4.
B. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh.
C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng.
D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh.

Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

- Khối lập phương có 6 mặt.

$\Rightarrow$ "Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4" $\Rightarrow$ Sai.

- Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. $\Rightarrow$ Đúng

- Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.

$\Rightarrow$ "Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.

- Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.

$\Rightarrow$ "Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai

Câu 15: Thông hiểu

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định?

A. $y = {\left( {\frac{1}{2}} ight)^{ - x}}$
B. $y = {\log _{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}x$
C. $y = \ln x$
D. $y = {\pi ^x}$

Ta có: $0 < \frac{{\sqrt 2 }}{2} < 1 \Rightarrow y = {\log _{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}x$ nghịch biến trên tập xác định.

Câu 16: Nhận biết

Cho biết $Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}}$ với $a > 0,a e 1$ . Chọn khẳng định đúng?

A. $Q = {a^{\frac{5}{3}}}$
B. $Q = {a^{\frac{7}{3}}}$
C. $Q = {a^{\frac{7}{4}}}$
D. $Q = {a^{\frac{{11}}{6}}}$

Ta có: $Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}} = {\left( {{a^2}.{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{{10}}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{5}{3}}}$

Vậy $Q = {a^{\frac{5}{3}}}$

Câu 17: Vận dụng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm. Biết f(x) có đạo hàm f’(x) và hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ:

Điểm cực đại của hàm số

Hàm số g(x) = f(x - 1) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

A. x = 2
B. x = 4
C. x = 3
D. x = 1

Cách 1: Ta có:

$\begin{matrix} g'\left( x ight) = f'\left( {x - 1} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 = 1} \\ {x - 1 = 3} \\ {x - 1 = 5} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2} \\ {x = 4} \\ {x = 6} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} g'\left( x ight) = f'\left( {x - 1} ight) > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 < x - 1 < 3} \\ {x - 1 > 5} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 < x < 4} \\ {x > 6} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy chọn đáp án B

Cách 2: Đồ thị hàm số g’(x) = f’(x – 1) là phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f’(x) theo phương trục hoành sang bên phải 1 đơn vị. Ta có hình vẽ minh họa:

Điểm cực đại của hàm số

Đồ thị hàm số g’(x) = f’(x – 1) cắt trục hoành tạo các điểm có hoành độ x = 2, x = 4, x = 6 và giá trị hàm số g’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x = 4

Chọn B

Câu 18: Vận dụng

Cho hàm số $y = f\left( x ight)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Tìm số đường tiệm cận của hàm số

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}}$ là:

A. 4
B. 2
C. 5
D. 3

Phương trình $f\left( x ight) = 2018$ có 2 nghiệm phân biệt

=> Đồ thị hàm số $y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}}$ có 2 đường tiệm cận đứng.

Khi $x \to - \infty$ thì $y \to 5 \Rightarrow y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} \to \frac{2}{{ - 2013}}$

Khi $x \to + \infty$ thì $y \to 5 \Rightarrow y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} \to \frac{2}{{ - 2013}}$

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}}$ có 1 tiệm cận ngang.

Câu 19: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình 2. Đường thẳng nào sau đây là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho?

A.
$x = 1$ .
B.
$x = - 2$ .
C.
$y = 1$ .
D.
$y = - 2$ .

Từ đồ thị suy ra đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là $y = 1$ .

Câu 20: Nhận biết

Các dân tộc ít người phân bố chủ yếu ở khu vực nào của Trung Quốc?

A. Các thành phố lớn.
B. Các đồng bằng châu thổ.
C. Vùng núi và biên giới.
D. Dọc biên giới phía nam.

Câu 21: Thông hiểu

Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

A. $\frac{{{a^3}}}{\pi }$
B. $\pi {a^3}$
C. $\frac{{{a^3}}}{2 \pi }$
D. $2 \pi {a^3}$

Gọi bán kính đáy là R.

Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có $2\pi R = 2a \Leftrightarrow R = \frac{a}{\pi }$ .

Suy ra hình trụ này có đường cao $h=a$ .

Vậy thể tích khối trụ $V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{a}{\pi }} ight)^2}a = \frac{{{a^3}}}{\pi }$ (đvtt).

Câu 22: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tìm số nghiệm của phương trình $2f\left(\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}} ight) + 3 = 0$ trên đoạn $\left\lbrack - \frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}ightbrack$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tìm số nghiệm của phương trình $2f\left(\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}} ight) + 3 = 0$ trên đoạn $\left\lbrack - \frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}ightbrack$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 23: Vận dụng

Hàm số $y = \sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} - 2x - 3} ight)}^2}}} + 2$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1
B. 3
C. 2
D. 0

Tập xác định $D = \mathbb{R}$

Ta có: $y' = \frac{2}{3}.\frac{{2x - 2}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 2x - 3}}}};\left( {x e - 1;x e 3} ight)$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Tìm số cực trị của hàm số lũy thừa

Vậy hàm số đã cho có ba điểm cực trị

Câu 24: Thông hiểu

Với a > 0 hãy rút gọn biểu thức $P = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } :{x^{\frac{9}{{16}}}}$

A. $P = {x^{\frac{5}{{32}}}}$
B. $P = {x^{\frac{9}{{48}}}}$
C. $P = {x^{\frac{{13}}{{32}}}}$
D. $P = {x^{\frac{1}{{32}}}}$

Ta có:

$\begin{matrix} \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{3}{2}}}} } } } = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{7}{4}}}} } } \hfill \\ = \sqrt {x\sqrt {x.{x^{\frac{7}{8}}}} } = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{15}}{8}}}} } = \sqrt {x.{x^{\frac{{15}}{{16}}}}} = \sqrt {{x^{\frac{{31}}{{16}}}}} = {x^{\frac{{31}}{{32}}}} \hfill \\ \Rightarrow P = {x^{\frac{{31}}{{32}}}}:{x^{\frac{9}{{16}}}} = {x^{\frac{{13}}{{32}}}} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 25: Nhận biết

Cho các hình sau:

Đếm số hình đa diện

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Các hình đa diện là:

Đếm số hình đa diện ; ;

Câu 26: Nhận biết

Cho hai số thực a và b với $a > 0;a e 1;b e 0$ . Chọn khẳng định sai?

A. ${\log _{{a^3}}}\left| b ight| = \frac{1}{2}{\log _a}\left| b ight|$
B. $\frac{1}{2}{\log _a}{b^2} = {\log _a}\left| b ight|$
C. $\frac{1}{2}{\log _a}{a^2} = 1$
D. $\frac{1}{2}{\log _a}{b^2} = {\log _a}b$

$\frac{1}{2}{\log _a}{b^2} = {\log _a}b$ sai vì chưa biết b > 0 hay b < 0

Câu 27: Nhận biết

Tập xác định của hàm số $f\left( x ight) = {\left( {x - 2} ight)^{ - 1}}$ là:

A. $x e 2$
B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}$
C. $\mathbb{R}$
D. $x e \pm 2$

Điều kiện xác định của hàm số là:

$x - 2 e 0 \Rightarrow x e 2$

=> Tập xác định của hàm số là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}$

Câu 28: Vận dụng cao

Mặt phẳng đi qua trọng tâm của tứ diện, song song với một mặt phẳng của tứ diện và chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của hai phần đó.

A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{5}{7}$
C. $\frac{{27}}{{37}}$
D. $\frac{3}{4}$

Gọi $E,{\text{ }}F,{\text{ }}I$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC,{\text{ }}BD,{\text{ }}EF$ khi đó $I$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$ . Ta sẽ dựng mặt phẳng qua $I$ song song với $(BCD)$ .

Trong mặt phẳng $(EBD)$ dựng đường thẳng qua $I$ song song với $BD$ cắt $FB,{\text{ }}FD$ lần lượt tại $M, N$ .

Qua $M, N$ lần lượt kẻ các đường thẳng lần lượt song song với $BC,{\text{ }}CD$ cắt $AB,{\text{ }}AC,{\text{ }}AD$ lần lượt tại $P,{\text{ }}Q,{\text{ }}J$ .

Do $Q$ là trung điểm của $EC \Rightarrow \frac{{AQ}}{{AC}} = \frac{3}{4},$ suy ra $\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{AJ}}{{AD}} = \frac{{AQ}}{{AC}} = \frac{3}{4}.$

Ta có $\frac{{{V_{A.PQJ}}}}{{{V_{A.BCD}}}} = \frac{{AP}}{{AB}}.\frac{{AQ}}{{AC}}.\frac{{AJ}}{{AD}} = \frac{3}{4}.\frac{3}{4}.\frac{3}{4} = \frac{{27}}{{64}}$

$\Rightarrow \frac{{{V_{A.PQJ}}}}{{{V_{PQJBCD}}}} = \frac{{27}}{{37}}$

Câu 29: Vận dụng

Cho hình đa diện đều loại $\left\{ {4;3} ight\}$ cạnh $a$ . Gọi $S$ là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $S=4a^2$
B. $S=6a^2$
C. $S=8a^2$
D. $S=10a^2$

Đa diện đều loại $\left\{ {4;3} ight\}$ là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh $a$ .

Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là $S=6a^2$

Câu 30: Thông hiểu

Với các số a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1 và ${\log _a}c = x;{\log _b}c = y$ . Khi đó giá trị của ${\log _a}\left( {ab} ight)$ bằng:

A. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$
B. $\frac{{xy}}{{x + y}}$
C. $\frac{1}{{xy}}$
D. $x + y$

Với a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1 ta có: ${\log _c}a = \frac{1}{x};{\log _c}b = \frac{1}{y}$

Khi đó ta có: ${\log _c}\left( {ab} ight) = {\log _c}a + {\log _c}b = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

Câu 31: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hỏi hàm số $y = 2021 - f(x)$ đồng biến trên khoảng nào?

A.
$( - 1; + \infty)$
B.
$( - 1;0)$
C.
$( - \infty; - 2)$
D.
$(0;2)$

Hàm số $y = 2021 - f(x)$ có $y' = - f'(x)$

$y' = 0 \Leftrightarrow - f'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Từ bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ ta có bảng biến thiên của hàm số $y = 2021 - f(x)$

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số $y = 2021 - f(x)$ đồng biến trong khoảng $( - 1;0)$ .

Câu 32: Vận dụng

Để chuẩn bị cho hoạt động cắm trại, bạn An tìm hiểu các mẫu lều cắm trại có kích thước như trong hình vẽ.

Bạn An muốn biết thể tích chênh lệch của hai lều nên thực hiện tính $V_{1} - V_{2}$ , trong đó $V_{1},V_{2}$ lần lượt là thể tích của mẫu lều cắm trại ở hình a, hình b. Giá trị của $V_{1} - V_{2}$ bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 961 dm³

Đáp án là:

Để chuẩn bị cho hoạt động cắm trại, bạn An tìm hiểu các mẫu lều cắm trại có kích thước như trong hình vẽ.

Bạn An muốn biết thể tích chênh lệch của hai lều nên thực hiện tính $V_{1} - V_{2}$ , trong đó $V_{1},V_{2}$ lần lượt là thể tích của mẫu lều cắm trại ở hình a, hình b. Giá trị của $V_{1} - V_{2}$ bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 961 dm³

Cả hai lều đều có dạng khối lăng trụ đứng ngũ giác.

Xét khối lăng trụ ở hình a. Chia mặt đáy thành hai phần bao gồm: hình chữ nhật có chiều rộng $180\ cm$ , chiều dài $350\ cm$ ; tam giác cân có cạnh đáy dài $350\ cm$ , chiều cao $40\ cm$ như hình dưới đây.

Diện tích mặt đáy của lăng trụ đó là:

$S_{1} = 180 \cdot 350 + \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 350 = 70000\left( \ cm^{2} ight)$

Vậy thể tích của khối lăng trụ ngũ giác đó là:

$V_{1} = S_{1} \cdot h_{1} = 70000.460 = 32200000\left( \ cm^{3} ight)$ .

Xét khối lăng trụ ở hình $b$ . Chia mặt đáy thành hai phần bao gồm: hình thang cân có đáy lớn đài $370\ cm$ , đáy nhỏ dài $260\ cm$ , chiều cao $210\ cm;$ tam giác cân có cạnh đáy dài $260\ cm$ , chiều cao $50\ cm$ như hình vẽ .

Diện tích mặt đáy của lăng trụ đó là:

$S_{2} = \frac{1}{2}(370 + 260) \cdot 210 + \frac{1}{2} \cdot 260 \cdot 50 = 72650\left( \ cm^{2} ight)$

Vậy thể tích của khối lăng trụ ngũ giác đó là:

$V_{2} = S_{2} \cdot h_{2} = 72650.430 = 31239500\left( \ cm^{3} ight)$

Do đó $V_{1} - V_{2} = 960500\left( \ cm^{3} ight) \approx 961\left( dm^{3} ight)$ .

Câu 33: Thông hiểu

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA$ vuông góc với đáy và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp đã cho.

A. $% MathType!MTEF!2!1!+-% feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqi-u0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOvaiabg2% da9maalaaabaGaamyyamaaCaaaleqabaGaaG4maaaaaOqaaiaaikda% aaaaaa!3A8B!V = \frac{{{a^3}}}{2}$
B. $V=a^3$
C. $V = \frac{{\sqrt 3 \,{a^3}}}{9}$
D. $V = \frac{{{a^3}}}{3}$

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$ $\Rightarrow AH \bot SB$

Ta có $\left\{ \begin{gathered} SA \bot \left( {ABCD} ight) \Rightarrow SA \bot BC \hfill \\ AB \bot BC \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow AH \bot BC$

Suy ra $AH \bot \left( {SBC} ight) \Rightarrow d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ , có $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow SA = a$

Vậy $V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}$ .

Câu 34: Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ { - 2019;2019} ight]$ để hàm số $y = \frac{{\ln x - 6}}{{\ln x - 3m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {1;{e^6}} ight)$ ?

A. $2020$
B. $2021$
C. $2018$
D. $2019$

Đặt $t = \ln x$

Khi đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {1;{e^6}} ight)$ khi và chỉ khi hàm số $y = \frac{{t - 6}}{{t - 3m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;6} ight)$

Hàm số $f(t)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;6} ight)$ khi và chỉ khi:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3m + 6 > 0} \\ {3m otin \left( {0;6} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 2} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant 0} \\ {m \geqslant 2} \end{array}} ight.} \end{array}} ight. \Rightarrow m \leqslant 0$

Vì $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2019; - 2018;...;0} ight\}$

Vậy có tất cả 2020 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 35: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và có đạo hàm $f'\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 2} ight)\left( {{x^2} - 6x + m} ight)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2019; 2019] để hàm số $g\left( x ight) = f\left( {1 - x} ight)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} ight)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và có đạo hàm $f'\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 2} ight)\left( {{x^2} - 6x + m} ight)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2019; 2019] để hàm số $g\left( x ight) = f\left( {1 - x} ight)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} ight)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 36: Thông hiểu

Nghiệm lớn nhất của phương trình $- {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x$ là:

100 || 1 trăm || một trăm || Một trăm || x=100

Đáp án là:

Nghiệm lớn nhất của phương trình $- {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x$ là:

100 || 1 trăm || một trăm || Một trăm || x=100

Điều kiện: $x>0$

$- {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \log x = - 1 \hfill \\ \log x = 2 \hfill \\ \log x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{{10}} \hfill \\ x = 100 \hfill \\ x = 10 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy nghiệm lớn nhất là x =100.

Câu 37: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = f\left( x ight)$ . Hàm số $y = f'\left( x ight)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Bất phương trình nghiệm đúng khi và chỉ khi

Bất phương trình $\frac{{f\left( x ight)}}{{36}} - \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} > m$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left( {0;1} ight)$ khi và chỉ khi

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f\left( x ight)$ . Hàm số $y = f'\left( x ight)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Bất phương trình nghiệm đúng khi và chỉ khi

Bất phương trình $\frac{{f\left( x ight)}}{{36}} - \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} > m$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left( {0;1} ight)$ khi và chỉ khi

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 38: Nhận biết

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB =a, AD=a \sqrt 2, AB'=a \sqrt 5$ . Tính theo $a$ thể tích khối hộp đã cho.

A. $V = {a^3}\sqrt {10}$
B. $V = \frac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}$
C. $V = {a^3}\sqrt 2$
D. $V = 2{a^3}\sqrt 2$

Trong tam giác vuông $ABB'$ , có $BB' = \sqrt {AB{'^2} - A{B^2}} = 2a$ .

Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = AB.AD = {a^2}\sqrt 2$ .

Vậy ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.BB' = 2{a^3}\sqrt 2$

Câu 39: Nhận biết

Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x$ ?

A.
$(3;0)$
B.
$(1; - 2)$
C.
$(2;14)$
D.
$( - 1; - 4)$

Thay $(1; - 2)$ vào $y = x^{3} - 3x$ ta được:

$- 2 = 1^{3} - 3.1$

Vậy $(1; - 2)$ thuộc đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x$ .

Câu 40: Thông hiểu

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân $G(x) = 0,025x^{2}(30 - x)$ trong đó $x$ là số miligam thuộc được tiêm cho bệnh nhân $(0 < x < 30)$ . Để bệnh nhân đó có huyết áp giảm nhiều nhất thì liều lượng thuốc cần tiêm vào là:

A.
$x = 15(mg)$
B.
$x = 20(mg)$
C.
$x = 10(mg)$
D.
$x = 25(mg)$

Ta có: $G(x) = 0,025x^{2}(30 - x) \Rightarrow G'(x) = 1,5x - 0,075x^{2}$

$\Rightarrow G'(x) = 0 \Leftrightarrow 1,5x - 0,075x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 20 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy để bệnh nhân đó có huyết áp giảm nhiều nhất thì lượng thuốc cần tiêm vào là $x = 20(mg)$ .

Câu 41: Thông hiểu

Cho hai điểm $A;B$ cố định trong không gian có độ dài $AB = 4$ . Biết rằng tập hợp các điểm $M$ trong không gian sao cho $MA = 3MB$ là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng bao nhiêu?

A.
$R = 3$
B.
$R = \frac{9}{2}$
C.
$R = 1$
D.
$R = \frac{3}{2}$

Ta có: $MA = 3MB \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}$

$\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} = 9\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2}$

$\Leftrightarrow IA^{2} - 9IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} ight) = 8MI^{2}$ (*)

Gọi $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BI} = \frac{1}{8}\overrightarrow{AB}$ nên $IB = \frac{1}{2};IA = \frac{9}{2}$

Từ (*) suy ra $8MI^{2} = 18 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2} \Rightarrow M \in S\left( I;\frac{3}{2} ight)$ .

Câu 42: Nhận biết

Điều kiện xác định của phương trình ${\log _x}(2{x^2} - 7x - 12) = 2$ là:

A. $x \in \left( {0;1} ight) \cup \left( {1; + \infty } ight)$
B. $x \in \left( { - \infty ;0} ight)$
C. $x \in \left( {0;1} ight)$
D. $x \in \left( {0; + \infty } ight)$

Biểu thức ${\log _x}(2{x^2} - 7x - 12) = 2$ xác định

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x e 1 \hfill \\ 2{x^2} - 7x + 12 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x e 1 \hfill \\ 2\left[ {{{(x - \frac{7}{4})}^2} + \frac{{47}}{{16}}} ight] > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow x \in (0;1) \cup (1; + \infty )$

Câu 43: Thông hiểu

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _2}({x^2} - 3x + 1) \leqslant 0$ là?

A. $S = \left[ {0;\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} ight) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} ight]$
B. $S = \left( {0;\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} ight) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} ight)$
C. $S = \left[ {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} ight]$
D. $S = \emptyset$

BPT $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 3x + 1 > 0 \hfill \\ {\log _2}({x^2} - 3x + 1) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 3x + 1 > 0 \hfill \\ {x^2} - 3x + 1 \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 3x + 1 > 0 \hfill \\ {x^2} - 3x + 1 \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \vee x > \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \hfill \\ 0 \leqslant x \leqslant 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow x \in \left[ {0;\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} ight) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} ight]$

Vậy bất PT có tập nghiệm là $S = \left[ {0;\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} ight) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} ight]$ .

Câu 44: Vận dụng

Giá trị của biểu thức $M = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2019}}.{\left( {3\sqrt 2 - 4} ight)^{2018}}$ là:

A. ${2^{1019}}$
B. $\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight){.2^{1009}}$
C. $\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight){.2^{1009}}$
D. $3 + 2\sqrt 2$

Ta có:

$\begin{matrix} 3\sqrt 2 - 4 = \sqrt 2 .\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight) \hfill \\ \Rightarrow M = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2019}}.{\left( {\sqrt 2 } ight)^{2018}}.{\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}} \hfill \\ \left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight) = {3^2} - {\left( {2\sqrt 2 } ight)^2} = 9 - 8 = 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2018}}{\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}} = 1 \hfill \\ \Rightarrow M = {\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}}{.2^{2019}} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 45: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ , đạo hàm $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Tìm số điểm cực tiểu của hàm số $y = f(x)$ ?

A.
$0$
B.
$1$
C.
$2$
D.
$3$

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương. Dựa vào đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu.

Câu 46: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ:

Xét hàm số $g(x) = f\left( 2x^{3} + x - 1ight) + m$ . Tìm $m$ để $\max_{\lbrack 0;1brack}g(x) = -10$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ:

Xét hàm số $g(x) = f\left( 2x^{3} + x - 1ight) + m$ . Tìm $m$ để $\max_{\lbrack 0;1brack}g(x) = -10$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 47: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + \left( m^{2} - m + 1 ight)x + 1$ . Tìm $m$ để hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 1$ ?

A.
$\left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.$
B.
$\left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.$
C.
$m = 1$
D.
$m = 2$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = x^{2} - 2mx + m^{2} - m + 1$

Để $x = 1$ là điểm cực đại của hàm số thì $y'(1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $m = 1$ thì $y' = x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2} \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}$ . Vậy $m = 1$ không thỏa mãn.

Với $m = 2$ thì $y' = x^{2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Xét dấu $y'$ ta được $y'$ có điểm cực đại.

Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm.

Câu 48: Nhận biết

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực?

A. $y = {\left( {\frac{2}{e}} ight)^x}$
B. $y = {\left( {\frac{\pi }{3}} ight)^x}$
C. $y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2{x^2} + 1} ight)$
D. $y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$

Ta có:

$y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2{x^2} + 1} ight);y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$ là các hàm số không xác định trên $\mathbb{R}$

Vì $\frac{2}{e} < 1 \Rightarrow y = {\left( {\frac{2}{e}} ight)^x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Câu 49: Thông hiểu

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và $BA=BC=1$ . Cạnh $A'B$ tạo với mặt đáy $(ABC)$ góc $60^0$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \sqrt 3$
B. $V = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$
C. $V = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
D. $V = \frac{1}{2}$

Vì $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên $AA' \bot \left( {ABC} ight)$ , suy ra hình chiếu vuông góc của $A'B$ trên mặt đáy $(ABC)$ là $AB$ .

Do đó ${60^0} = \widehat {A'B,\left( {ABC} ight)} = \widehat {A'B,AB} = \widehat {A'BA}$ .

Tam giác vuông $A'AB$ , ta có $AA' = AB.\tan \widehat {A'BA} = \sqrt 3$

Diện tích tam giác là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}$

Vậy $V = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ .

Câu 50: Nhận biết

Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

A. $\frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}$ và $\frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}}$
B. $\frac{{\sqrt 2 \pi {a^2}}}{2}$ và $\frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{4}$
C. $\frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}$ và $\frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{4}$
D. $\frac{{\sqrt 2 \pi {a^2}}}{2}$ và $\frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}}$