Lớp 12 Toán 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 12.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số y = {x^{ - \sqrt 2 }}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

     Theo định nghĩa của hàm số lũy thừa, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 0

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0

    Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 và tiệm cận đứng là x = 0

  • Câu 2: Vận dụng

    Đạo hàm của hàm số y = {\left( {{x^2} + x + x} ight)^{\frac{1}{3}}}

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \dfrac{1}{3}.{\left( {{x^2} + x + 1} ight)^{\frac{1}{3} - 1}}.\left( {{x^2} + x + 1} ight)\prime \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{1}{3}.{\left( {{x^2} + x + 1} ight)^{ - \frac{2}{3}}}.\left( {2x + 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{2x + 1}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + x + 1} ight)}^2}}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 6y - 4z - 2 = 0 và mặt phẳng (α) : x + 4y + z − 11 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P), biết (P) song song với giá của vectơ \overrightarrow{v} = (1;6;2), vuông góc với (α) và tiếp xúc với (S).

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R = 4.

    Vectơ pháp tuyến của (α) là \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;4;1)

    Theo giả thiết, suy ra (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{(P)}} = \left\lbrack \overrightarrow{v};\overrightarrow{n_{(\alpha)}} ightbrack = (2; - 1;2)

    Phương trình của mặt phẳng (P) có dạng 2x − y + 2z + D = 0

    Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:

    d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2 + 3 + 4 + D|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 4

    \Leftrightarrow |9 + D| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} D = 3 \\ D = - 21 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là: \left\lbrack \begin{matrix} (P):2x - y + 2z + 3 = 0 \\ (P):2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 4: Nhận biết

    Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 2 và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x = - 1.

    Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A(0;1)

    Vậy hàm số cần tìm là y = \frac{2x + 1}{x + 1}.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    Xét hàm số y = {e^{10x + 2017}} ta có:

    y' = 10.{e^{10x + 2017}} > 0;\forall x \in \mathbb{R}

    Vậy hàm số y = {e^{10x + 2017}} đồng biến trên tập số thực.

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hàm số y = {\left( {{x^2} - 2x + 1} ight)^{\frac{1}{3}}}. Tập xác định của hàm số đã cho là:

    Điều kiện xác đinh: {x^2} - 2x + 1 > 0 \Rightarrow x e 1

    => Tập xác định của hàm số là: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - (m + 2)x^{2} + \left( m^{2} + 4m + 3 ight)x + 6m + 9 với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (C) có cực đại tại x_{1} và cực tiểu tại x_{2} sao cho {x_{1}}^{2} - 2x_{2} = 0?

    Ta có: y' = x^{2} - 2(m + 2)x + m^{2} + 4m + 3

    Hàm số có cực đại tại x_{1} và cực tiểu tại x_{2} khi và chỉ khi

    \Delta' > 0 \Leftrightarrow (m + 2)^{2} - \left( m^{2} + 4m + 3 ight) > 0 \Leftrightarrow 1 > 0\forall m\mathbb{\in R}

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = m + 3 \\ x = m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Theo bài ra ta có:

    {x_{1}}^{2} - 2x_{2} = 0 \Leftrightarrow (m + 1)^{2} - 2(m + 3) = 0

    \Leftrightarrow m^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - \sqrt{5} \\ m = \sqrt{5} \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là \left\lbrack \begin{matrix} m = \sqrt{5} \\ m = - \sqrt{5} \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 8: Nhận biết

    Điều kiện để bất phương trình sau có nghĩa là \ln \frac{{{x^2} - 1}}{x} < 0

     Điều kiện: \frac{{{x^2} - 1}}{x} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - 1 < x < 0 \hfill \\ x > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Với a > 0 hãy rút gọn biểu thức P = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } :{x^{\frac{9}{{16}}}}

    Ta có: 

    \begin{matrix} \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{3}{2}}}} } } } = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{7}{4}}}} } } \hfill \\ = \sqrt {x\sqrt {x.{x^{\frac{7}{8}}}} } = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{15}}{8}}}} } = \sqrt {x.{x^{\frac{{15}}{{16}}}}} = \sqrt {{x^{\frac{{31}}{{16}}}}} = {x^{\frac{{31}}{{32}}}} \hfill \\ \Rightarrow P = {x^{\frac{{31}}{{32}}}}:{x^{\frac{9}{{16}}}} = {x^{\frac{{13}}{{32}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x - 7}}{x^{2} + 3x - 4} có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

    Tập xác định D = \lbrack 7; + \infty)

    Phương trình x^{2} + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó không tồn tại các giới hạn \lim_{x ightarrow - 4^{-}}y;\lim_{x ightarrow - 4^{+}}y;\lim_{x ightarrow 1^{-}}y;\lim_{x ightarrow 1^{+}}y. Vì vậy đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho bất phương trình: {9^x} + \left( {m - 1} ight){.3^x} + m > 0\,\,\left( 1 ight). Tìm tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình (1) nghiệm đúng \forall x>1.

    Đặt t=3^x.

    Vì  x > 1 \Rightarrow t > 3. Bất phương trình đã cho thành: {t^2} + \left( {m - 1} ight).t + m > 0 nghiệm đúng \forall t \geqslant 3

    \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - t}}{{t + 1}} > - m nghiệm đúng \forall t \geqslant 3.

    Xét hàm số:  g\left( t ight) = t - 2 + \frac{2}{{t + 1}},\forall t > 3,g'\left( t ight) = 1 - \frac{2}{{{{\left( {t + 1} ight)}^2}}} > 0,\forall t > 3.

    Hàm số đồng biến trên \left[ {3; + \infty } ight) và g\left( 3 ight) = \frac{3}{2}. Yêu cầu bài toán tương đương - m \leqslant \frac{3}{2} \Leftrightarrow m \geqslant - \frac{3}{2}.

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 2a. Mặt bên tạo với đáy góc 60^0. Gọi K là hình chiếu vuông góc của O trên SD. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện DKAC.

     

    Gọi M là trung điểm CD, suy ra OM \bot CD nên

    {60^0} = \widehat {\left( {SCD} ight),\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SM,OM} = \widehat {SMO}.

    Tam giác vuông SOM, có SO = OM.\tan \widehat {SMO} = a\sqrt 3.

    Kẻ KH \bot OD \Rightarrow KH\parallel SO nên KH \bot \left( {ABCD} ight). 

    Tam giác vuông SOD, ta có \frac{{KH}}{{SO}} = \frac{{DK}}{{DS}} = \frac{{D{O^2}}}{{D{S^2}}}

    = \frac{{O{D^2}}}{{S{O^2} + O{D^2}}} = \frac{2}{5}\xrightarrow{{}}KH = \frac{2}{5}SO = \frac{{2a\sqrt 3 }}{5}

    Diện tích tam giác {S_{\Delta ADC}} = \frac{1}{2}AD.DC = 2{a^2}.

    Vậy {V_{DKAC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ADC}}.KH = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{{15}}.

  • Câu 13: Nhận biết

    Hàm số y = {\log _{2019}}\left| x ight|;\forall x e 0 có đạo hàm là:

    Áp dụng công thức đạo hàm ta có: y' = \frac{1}{{x\ln 2019}}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Nếu đặt t = \lg x thì phương trình \frac{1}{{4 - \lg x}} + \frac{2}{{2 + \lg x}} = 1 trở thành phương trình nào?

     Đặt t = \lg x

    PT \Leftrightarrow \frac{1}{{4 - t}} + \frac{2}{{2 + t}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{2 + t + 2(4 - t)}}{{(4 - t)(2 + t)}} = 1

    \Leftrightarrow 2 + t + 2(4 - t) = (4 - t)(2 + t)

    \Leftrightarrow 10 - t = 8 + 2t - {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0.

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hình vẽ là đồ thị hàm số y = f'(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Từ đồ thị y = f'(x) ta có bảng xét dấu y = f'(x) như sau:

    Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)

  • Câu 16: Vận dụng

    Gọi x_1, x_2 là 2 nghiệm của phương trình {\log _3}\left( {{x^2} - x - 5} ight) = {\log _3}\left( {2x + 5} ight).

    Khi đó \left| {{x_1} - {x_2}} ight| bằng:

     Ta có: {\log _3}\left( {{x^2} - x - 5} ight) = {\log _3}\left( {2x + 5} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2{\text{x}} + 5 > 0 \hfill \\ {x^2} - x - 5 = 2x + 5 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > - \frac{5}{2} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 5 \hfill \\ x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 5 \hfill \\ x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Suy ra \left| {{x_1} - {x_2}} ight| =|5-(-2)|=|5+2|=7. 

  • Câu 17: Vận dụng

    Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại \left\{ {3;5} ight\} là:

    Khối đa diện đều loại \left\{ {3;5} ight\} là khối hai mươi mặt đều:

    Gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng: 20.\pi = 20\pi

  • Câu 18: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

     Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

    Bán kính đáy R = \frac{a}{2}. Do đó thể tích khối trụ V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}(đvtt).

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng V, đáy ABCD là hình vuông; SA \bot \left( {ABCD} ight) và SC hợp với đáy một góc bằng 30^0. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC, cắt các cạnh SB,SC,SD lần lượt tại E,F,K. Tính thể tích khối chóp S.AEFK. 

    V/10 || V phần 10

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng V, đáy ABCD là hình vuông; SA \bot \left( {ABCD} ight) và SC hợp với đáy một góc bằng 30^0. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC, cắt các cạnh SB,SC,SD lần lượt tại E,F,K. Tính thể tích khối chóp S.AEFK. 

    V/10 || V phần 10

     

    Ta có \frac{{SB}}{{SE}} = \frac{{S{B^2}}}{{S{A^2}}}. Tương tự \frac{{SD}}{{SK}} = \frac{{S{D^2}}}{{S{A^2}}} nên \frac{{SB}}{{SE}} = \frac{{SD}}{{SK}}.

    Mà \frac{{SC}}{{SF}} = \frac{{S{C^2}}}{{S{A^2}}} = 4 (do \Delta SCA vuông tại A, \,\widehat {\,SCA} = {30^0}) nên ta có:

    \frac{{SC}}{{SF}} + 1 = \frac{{SB}}{{SE}} + \frac{{SD}}{{SK}} = 5 \Rightarrow \frac{{SB}}{{SE}} = \frac{{SD}}{{SK}} = \frac{5}{2}

    Xét tỉ số thể tích, ta được:

    \frac{{{V_{S.AEFK}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{10}}{{4.1.4.\dfrac{5}{2}.\dfrac{5}{2}}} = \frac{1}{{10}}

    \Rightarrow {V_{S.AEFK}} = \frac{{{V_{S.ABCD}}}}{{10}} = \frac{V}{{10}}

     

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{3}(2 - x)(x - 3)^{3}. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Ta có:

    f'(x) = (x - 1)^{3}(2 - x)(x - 3)^{3}

    \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{3}(2 - x)(x - 3)^{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu:

    Từ bảng xét dấu của f'(x) suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (1;2).

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho 0 < a e 1 và biểu thức \sqrt {a.\sqrt[3]{a}} viết dưới dạng {a^n}. Giá trị của n là:

    Ta có:

    \sqrt {a.\sqrt[3]{a}} = {\left( {a.{a^{\frac{1}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3}}}

    Vậy n = \frac{2}{3}

  • Câu 22: Nhận biết

    Số nghiệm của phương trình {\log _2}x.{\log _3}(2x - 1) = 2{\log _2}x là:

    2 || hai nghiệm || Hai nghiệm || 2 nghiệm

    Đáp án là:

    Số nghiệm của phương trình {\log _2}x.{\log _3}(2x - 1) = 2{\log _2}x là:

    2 || hai nghiệm || Hai nghiệm || 2 nghiệm

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ 2x - 1 > 0 \hfill \\ {\log _2}x.{\log _3}(2x - 1) = 2{\log _2}x \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{2} \hfill \\ {\log _2}x\left[ {{{\log }_3}(2x - 1) - 2} ight] = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. 

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{2} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} {\log _2}x = 0 \hfill \\ {\log _3}(2x - 1) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{2} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy PT có hai nghiệm.

  • Câu 23: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \left[ { - 2019;2019} ight] để hàm số y = \frac{{\ln x - 6}}{{\ln x - 3m}} đồng biến trên khoảng \left( {1;{e^6}} ight)?

    Đặt t = \ln x

    Khi đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \left( {1;{e^6}} ight) khi và chỉ khi hàm số y = \frac{{t - 6}}{{t - 3m}} đồng biến trên khoảng \left( {0;6} ight)

    Hàm số f(t) đồng biến trên khoảng \left( {0;6} ight) khi và chỉ khi:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3m + 6 > 0} \\ {3m otin \left( {0;6} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 2} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant 0} \\ {m \geqslant 2} \end{array}} ight.} \end{array}} ight. \Rightarrow m \leqslant 0

    Vì m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2019; - 2018;...;0} ight\}

    Vậy có tất cả 2020 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 24: Vận dụng

    Tập nghiệm của bất phương trình {2^{\log _2^2x}} - 10{x^{{{\log }_2}\frac{1}{x}}} + 3 > 0 là:

    Điều kiện: x>0.

    Đặt u = {\log _2}x \Rightarrow x = {2^u}.

    Bất phương trình đã cho trở thành {2^{{u^2}}} - 10{\left( {{2^u}} ight)^{ - u}} + 3 > 0 \Leftrightarrow {2^{{u^2}}} - \frac{{10}}{{{2^{{u^2}}}}} + 3 > 0{\text{ (1)}}

    Đặt t = {2^{{u^2}}},{\text{ }}t \geqslant 1.{\text{ }}\left( 1 ight)

     Khi đó \Rightarrow {t^2} + 3t - 10 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t < - 5{\text{ (l)}} \hfill \\ t > 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow {2^{{u^2}}} > 2 \Leftrightarrow {u^2} > 1 \Leftrightarrow u > 1hoặc u < -1

    - Với u > 1 \Rightarrow {\log _2}x > 1 \Rightarrow x > 2

    - Với u < - 1 \Rightarrow {\log _2}x < - 1 \Rightarrow x < \frac{1}{2}

    Kết hợp điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 2 hoặc 0 < x < \frac{1}{2}.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Một loại thuốc được dùng cho bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho bởi công thức c(t) = \frac{t}{t^{2} + 1}(mg/L). Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

    Ta có: c'(t) = \frac{- t^{2} + 1}{\left( t^{2} + 1 ight)^{2}};\forall t \in (0; + \infty). Cho c'(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{- t^{2} + 1}{\left( t^{2} + 1 ight)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên:

    Vậy sau khi tiêm 1 giờ, nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân cao nhất.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tập nghiệm của bất phương trình {\log _2}({x^2} - 3x + 1) \leqslant 0 là?

     BPT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 3x + 1 > 0 \hfill \\ {\log _2}({x^2} - 3x + 1) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 3x + 1 > 0 \hfill \\ {x^2} - 3x + 1 \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 3x + 1 > 0 \hfill \\ {x^2} - 3x + 1 \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \vee x > \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \hfill \\ 0 \leqslant x \leqslant 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow x \in \left[ {0;\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} ight) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} ight]

    Vậy bất PT có tập nghiệm là S = \left[ {0;\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} ight) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} ight].

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho BC = R\sqrt 3. Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng:

     Gọi H là hình chiếu của O lên BC.

    Ta có OB=OC=R , suy ra H là trung điểm của BC nên HC = \frac{{CD}}{2} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}

    Suy ra OH = \sqrt {O{C^2} - H{C^2}} = \frac{R}{2}.

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x) có đồ thị của hàm số y =f'(x) như hình vẽ:

    Xác định khoảng đồng biến của hàm số y =f\left( |3 - x| ight)?

    Ta có: y = f\left( |3 - x| ight) =\left\{ \begin{matrix}f(3 - x)\ \ khi\ x \leq 3 \\f(x - 3)\ \ khi\ x > 3 \\\end{matrix} ight.

    y' = \left\{ \begin{matrix}- f'(3 - x)\ \ khi\ x \leq 3 \\f'(x - 3)\ \ khi\ x > 3 \\\end{matrix} ight.

    Với x < 3 \Rightarrow y' = -f'(3 - x) > 0

    \Leftrightarrow f'(3 - x) < 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3 - x < - 1 \\1 < 3 - x < 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x > 4 \\- 1 < x < 2 \\\end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện x < 3 ta có: - 1 < x < 2

    Với x > 3 \Rightarrow y' =f'(x - 3) > 0

    \Leftrightarrow f'(3 - x) > 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3 - x > 4 \\- 1 < 3 - x < 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x > 7 \\2 < x < 4 \\\end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện x > 3 ta có: \left\lbrack \begin{matrix}x > 7 \\3 < x < 4 \\\end{matrix} ight.

    Vậy hàm số y = f\left( |3 - x|ight) đồng biến trên mỗi khoảng (- 1;2),(3;4),(7; + \infty)

  • Câu 29: Thông hiểu

    Viết biểu thức P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}};\left( {x > 0} ight) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

    Ta có: P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}} = {x^{\frac{1}{5}}}.{x^{\frac{2}{3}}}.{x^{\frac{3}{5}}} = {x^{\frac{{113}}{{30}}}}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ ABC.A'B'C' biết thể tích khối chóp A.BCB'C' bằng 2a^3

    Ta có thể tích khối chóp: {V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}

    Suy ra:

    {V_{A.BCB'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\xrightarrow{{}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{3}{2}{V_{A.BCB'C'}} = \frac{3}{2}.2{a^3} = 3{a^3}.

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = x^{4} - 2mx^{2} +2. Giả sử S là tổng bình phương các giá trị của tham số m để hàm số có ba cực trị và đường tròn đi qua ba cực trị đó có bán kính bằng 4. Tính giá trị S? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = x^{4} - 2mx^{2} +2. Giả sử S là tổng bình phương các giá trị của tham số m để hàm số có ba cực trị và đường tròn đi qua ba cực trị đó có bán kính bằng 4. Tính giá trị S? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 32: Thông hiểu

    Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng.

     Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M.  Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C.

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

    Đặt g(x) = \left| f(x + 1) + might| với m là tham số. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = g(x) có đúng ba điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

    Đặt g(x) = \left| f(x + 1) + might| với m là tham số. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = g(x) có đúng ba điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 34: Nhận biết

    Giá trị của biểu thức {\log _2}5.{\log _5}64 là:

    Ta có: {\log _2}5.{\log _5}64 = {\log _2}64 = {\log _2}{2^6} = 6

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = x\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight),\forall x \in \mathbb{R}. Hàm số g\left( x ight) = f\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} ight) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

    Ta có: f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x - 1} ight)^2}\left( {x - 2} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = 2} \end{array}} ight.

    Ta có: g'\left( x ight) = \frac{{ - 5{x^2} + 20}}{{{{\left( {{x^2} + 4} ight)}^2}}}.f'\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} ight)

    Cho g’(x) = 0 => \frac{{ - 5{x^2} + 20}}{{{{\left( {{x^2} + 4} ight)}^2}}}.f'\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} ight) = 0

    Dựa vào f’(x) ta có:

    \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5{x^2} + 20 = 0} \\ {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 0} \\ {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 1} \\ {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 2} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm 2} \\ {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = 4} \end{array}} ight.

    Lập bảng xét dấu như sau:

    Xét khoảng đồng biến của hàm số

    Quan sát bảng xét dấy ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (2; 4)

  • Câu 36: Thông hiểu

    Dân số thế giới được tính theo công thức S = A. e \ ^{nr} trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Cho biết năm 2005 Việt Nam có khoảng 80902400 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47\% một năm. Như vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì tối thiểu đến năm bao nhiêu dân của Việt Nam có khoảng 93713000 người?

    Ta có:

    S = A \cdot e^{nr} \Leftrightarrow e^{nr} = \frac{S}{A} \Leftrightarrow nr = \ln\frac{S}{A} \Leftrightarrow n = \frac{1}{r}\ln\frac{S}{A}

    Với S = 93713700 người; A = 80902400 người; r = \frac{1,47}{100} = 0,0147/năm.

    Suy ra n = \frac{1}{0,0147}\ln\frac{93713000}{80902400} \approx 10.

    Vậy tối thiểu đến năm 2015 thì dân số của Việt Nam có khoảng 93713000 người.

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Toạ độ điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là:

    Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ (1;3).

  • Câu 38: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2\pi R = 2a \Leftrightarrow R = \frac{a}{\pi }.

    Suy ra hình trụ này có đường cao h=a.

    Vậy thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{a}{\pi }} ight)^2}a = \frac{{{a^3}}}{\pi }(đvtt).

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Mặt bên SBC là tam giác gì?

    Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Giá trị (\alpha) phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {3 - {{\cos }^2}\alpha } ight)x + 4\left( {{{\sin }^2}\alpha - 1} ight) + 2z + \cos 4\alpha + 8 = 0? (k\in \mathbb{Z})

     Ta có: a = 2{\cos ^2}\alpha - 3 = \cos 2\alpha - 2;\,b = 2\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } ight) = \cos 2\alpha + 1;c = - 1;

    d = \cos 4\alpha + 8 = 2{\cos ^2}2\alpha + 7.\,\,\left( S ight) là mặt cầu \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0

    \Leftrightarrow - 1 + \cos 2\alpha < - \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi < 2\alpha < \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi

    \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} + k\pi < \alpha < \frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.

  • Câu 41: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a \sqrt 2. Tính thể tích của khối chóp?

     thể tích chóp

    Diện tích hình vuông ABCD là {S_{ABCD}} = {a^2}.

    Chiều cao khối chóp là SA = a \sqrt 2

    Vậy áp dụng công thức, ta có thể tích khối chóp là:

    {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho {\log _a}b = 2;{\log _a}c = 3. Tính giá trị của biểu thức P = {\log _a}\left( {a{b^3}{c^3}} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} P = {\log _a}\left( {a{b^3}{c^3}} ight) \hfill \\ = {\log _a}a + {\log _a}{b^3} + {\log _a}{c^3} \hfill \\ = 1 + 3{\log _a}b + 5{\log _a}c \hfill \\ = 1 + 3.2 + 5.3 = 22 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 43: Thông hiểu

    Tổng độ dài \ell của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh a.

     

    Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là  \ell = 6a

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có bảng biến như sau:

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có một nghiệm

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m có một nghiệm?

    Đặt t = \sqrt {x + 1} + 1 \Rightarrow t \geqslant 1

    Khi đó bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m trở thành f\left( t ight) \leqslant m{\text{ }}\left( * ight)

    Bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m có nghiệm khi bất phương trình f\left( t ight) \leqslant m có nghiệm t \geqslant 1

    \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\min \left( t ight)}\limits_{t \geqslant 1} \Leftrightarrow m \geqslant - 4

  • Câu 45: Vận dụng

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1 ight)}{x^{2} - 2x - 3} là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1;3 ight\}

    \lim_{x ightarrow +\infty}\left\lbrack \dfrac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1ight)}{x^{2} - 2x - 3} ightbrack= \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x^{2}\left( \sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}ight)}{x^{2}\left( 1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}ight)}

    = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}}{1 -\dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}} = 2 suy ra y = 2 là tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow -\infty}\left\lbrack \dfrac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1ight)}{x^{2} - 2x - 3} ightbrack= \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x^{2}\left( - \sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}ight)}{x^{2}\left( 1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}ight)}

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{2}{x} -\dfrac{3}{x^{2}}} = 0 suy ra y = 0 là tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow - 1}\left\lbrack\frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1 ight)}{x^{2} - 2x - 3}ightbrack= \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} +x - 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}{\left( x^{2} - 2x- 3 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{2x(x + 1)}{(x - 3)(x + 1)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{2x}{(x - 3)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)} = \frac{- 2}{16} = \frac{1}{8}

    Vậy x = - 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + x - 1} ight)}}{{{x^2} - 2x - 3}}} ight] = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left[ {\frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + x - 1} ight)}}{{{x^2} - 2x - 3}}} ight] = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. suy ra x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

    Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.

  • Câu 46: Thông hiểu

    Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

     

    Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì S.ABC là khối chóp đều nên suy ra \,SI \bot \left( {ABC} ight).

    Gọi M là trung điểm của BC\,\, \Rightarrow \,\,AI = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    Tam giác SAI vuông tại I, có:

    SI = \sqrt {S{A^2} - S{I^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} ight)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} ight)}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}

    Diện tích tam giác ABC là:  {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}

    Vậy thể tích khối chóp:  {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{{12}}

  • Câu 47: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

     Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

    - Khối lập phương có 6 mặt.

    \Rightarrow "Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4" \Rightarrow Sai.

    - Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. \Rightarrow Đúng

    - Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.

    \Rightarrow "Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.

    - Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.

    \Rightarrow "Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai

     

  • Câu 48: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x). Đồ thị của hàm số y = f’(x) được biểu diễn trong hình vẽ dưới đây.

    Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

    Biết rằng f\left( 0 ight) + f\left( 1 ight) + f\left( 3 ight) = f\left( 4 ight) + 2f\left( 2 ight). Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn [0; 4]?

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

    Dựa vào bảng xét dấy ta có M = f(2), GTNN chỉ có thể là f(0) hoặc f(4)

    Ta lại có

    f(1) và f(3) nhỏ hơn f(2) => f(1) + f(3) < 2f(2)

    => 2f(2) – f(1) – f(3) > 0

    Theo bài ra ta có:

    f(0) + f(1) + f(3) = f(4) + 2f(2)

    => f(0) – f(4) = 2f(2) – f(1) – f(3) > 0

    => f(0) – f(4) > 0 => f(0) > f(4)

    => GTNN đạt được tại x = 4

  • Câu 49: Vận dụng

    Cho a và b là các số thực thỏa mãn {3.2^a} + {2^b} = 7\sqrt 2 và {5.2^n} - {2^b} = 9\sqrt 2. Giá trị biểu thức S = a + b là:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^a} = 2\sqrt 2 } \\ {{2^b} = \sqrt 2 } \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{3}{2}} \\ {b = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight. \Rightarrow S = 2

  • Câu 50: Vận dụng

    Cho hàm số y = - {x^3} + 3{x^2} + 3mx - 1. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng (0; +∞)

    Ta có: y' = - 3{x^2} + 6x + 3m

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; +∞)

    =>  y' \leqslant 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } ight)

    => m \leqslant {x^2} - 2x = g\left( x ight),\forall x \in \left( {0; + \infty } ight)

    => m \leqslant \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } ight)} g\left( x ight)

    Xét  g\left( x ight) = {x^2} - 2x;\forall x \in \left( {0; + \infty } ight) ta có:

    \begin{matrix} g'\left( x ight) = 2x - 2 \hfill \\ g'\left( x ight) = 0 \Rightarrow x = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x ight) = 0} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g\left( x ight) = + \infty } \\ {g\left( 1 ight) = - 1} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } ight)} g\left( x ight) = - 1 \Rightarrow m \leqslant - 1

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 38 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập