Lớp 12 Toán 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 12.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Đồ thị được cho dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

    Đồ thị được cho dưới đây là đồ thị của hàm số nào

     Đồ thị hàm số hình chữ N ngược => Đây là hàm số bậc 3 dạng

    y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d;\left( {a < 0} ight)

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}. Biết đồ thị của hàm số y = f'(x) biểu diễn như hình vẽ:

    Khi đó hàm số y = f\left( x^{2} - 1 ight) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

    Ta có: y' = 2x.f'\left( x^{2} - 1 ight) \leq 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ f'\left( x^{2} - 1 ight) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ f'\left( x^{2} - 1 ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ x^{2} - 1 \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} - 1 \geq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ - 2 \leq x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x \leq - 2 \\ x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 \leq x \leq 0 \\ x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là ( - 2;0).

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho a và b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Ta có:

    \begin{matrix} {\log _2}{\left( {3ab} ight)^3} = 3.\left( {{{\log }_3}3 + {{\log }_3}a + {{\log }_3}b} ight) \hfill \\ = 3.\left( {1 + {{\log }_3}a + {{\log }_3}b} ight) \hfill \\ = 3 + 3{\log _3}ab \hfill \\ = 3 + {\log _3}{\left( {ab} ight)^3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB=BC=AD=2. Cạnh bên SA=2 và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

    1

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB=BC=AD=2. Cạnh bên SA=2 và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

    1

    Diện tích hình thang ABCD là

    {S_{ABCD}} = \left( {\frac{{AD + BC}}{2}} ight).AB = \frac{3}{2}

    Chiều cao khối chóp là SA=2.

    Vậy thể tích khối chóp  {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = 1

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

    Từ đồ thị của hàm số y = f(x) ta xác định được hàm số đồng biến trên các khoảng ( - 2; - 1).

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA=2a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

     

    Gọi I là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và có I là trung điểm AB nên SI \bot AB. Do (SAB) \bot (ABCD) theo giao tuyến AB nên SI \bot (ABCD).

    Tam giác vuông SIA, có:

    SI = \sqrt {S{A^2} - I{A^2}} = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} ight)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}

  • Câu 7: Vận dụng

    Tập nghiệm của bất phương trình  {\log _x}\left( {125x} ight).{\log _{25}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x là:

     Điều kiện: 0 < x e 1{\text{ }}

    Ta có:

    {\log _x}(125x).{\log _{25}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x \Leftrightarrow \left( {{{\log }_x}{5^3} + {{\log }_x}x} ight).{\log _{{5^2}}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x

    \Leftrightarrow \left( {3{{\log }_x}5 + 1} ight).\left( {\frac{1}{2}{{\log }_5}x} ight) > \frac{3}{2} + \log _5^2x

    \Leftrightarrow \frac{3}{2} + \frac{1}{2}{\log _5}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x \Leftrightarrow 2\log _5^2x - {\log _5}x < 0

    \Leftrightarrow 0 < {\log _5}x < \frac{1}{2} \Leftrightarrow {5^0} < x < {5^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow 1 < x < \sqrt 5 (thỏa mãn điều kiện)

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = \left( {1;\sqrt 5 } ight) .

  • Câu 8: Nhận biết

    Tìm đạo hàm của hàm số y = \ln \left( {1 + {e^{2x}}} ight)

    Ta có: y' = \left( {\ln \left( {1 + {e^{2x}}} ight)} ight)' = \frac{{\left( {1 + {e^{2x}}} ight)'}}{{1 + {e^{2x}}}} = \frac{{2{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} ight)}^2}}}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Bất phương trình {\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \leqslant 2 có tập nghiệm là:

     Xét: x > 0 \Rightarrow {2^x} > {2^0} = 1 \Rightarrow {2^x} + 1 > 2

    \Rightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} ight) > {\log _2}2 = 1\left( 1 ight)

    Tương tự, ta cũng có: x > 0 \Rightarrow {4^x} > {4^0} = 1 \Rightarrow {4^x} + 2 > 2 + 1 = 3

    \Rightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 2} ight) > {\log _3}3 = 1\left( 2 ight)

    Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: {\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) > 2 

    Mà BPT: {\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \leqslant 2 nên x > 0 \, (L)

    Xét x \leqslant 0 \Rightarrow {2^x} \leqslant {2^0} = 1 \Rightarrow {2^x} + 1 \leqslant 2

    \Rightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} ight) \leqslant {\log _2}2 = 1\left( 3 ight)

    Tương tự, ta cũng có: x \leqslant 0 \Rightarrow {4^x} \leqslant {4^0} = 1 \Rightarrow {4^x} + 2 \leqslant 2 + 1 = 3

    \Rightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 2} ight) \leqslant {\log _3}3 = 1\left( 4 ight)

    Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được: {\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \leqslant 2\left( {TM} ight)

    Vậy x \leq 0 hay x \in \left( { - \infty ;0} ight].

  • Câu 10: Thông hiểu

    Hàm số y = {\left( {4{x^2} - 1} ight)^{ - 4}} có tập xác định là:

    Hàm số y = {x^\alpha } có số mũ nguyên âm xác định khi

    Hàm số y = {\left( {4{x^2} - 1} ight)^{ - 4}} xác định khi 4{x^2} - 1 e 0 \Leftrightarrow x e \pm \frac{1}{2}

    Vậy tập xác định là: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} ight\}

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=SB, SC=SD và \left( {SAB} ight) \bot \left( {SCD} ight). Tổng diện tích hai tam giác SAB và SCD bằng \frac{{7{a^2}}}{{10}}. Tính thể tích V của khối chóp  S.ABCD?

     

    Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

    Tam giác SAB cân tại S suy ra SM \bot AB \Rightarrow SM \bot d với d = \left( {SAB} ight) \cap \left( {SCD} ight).

    Vì \left( {SAB} ight) \bot \left( {SCD} ight) suy ra SM \bot \left( {SCD} ight) \Rightarrow SM \bot SN và \left( {SMN} ight) \bot \left( {ABCD} ight)

    Kẻ SH \bot MN\xrightarrow{{}}SH \bot \left( {ABCD} ight).

    Ta có {S_{\Delta SAB}} + {S_{\Delta SCD}} = \frac{{7{a^2}}}{{10}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.SM + \frac{1}{2}CD.SN = \frac{{7{a^2}}}{{10}}\xrightarrow{{}}SM + SN = \frac{{7a}}{5}.

    Tam giác SMN vuông tại S nên S{M^2} + S{N^2} = M{N^2} = {a^2}

    Giải hệ:

    \left\{ \begin{gathered} SM + SN = \frac{{7a}}{5} \hfill \\ S{M^2} + S{N^2} = {a^2} \hfill \\ \end{gathered} ight.  \Leftrightarrow SM = \frac{{3a}}{5}{\text{ }} hoặc  SN = \frac{{4a}}{5}

    \xrightarrow{{}}SH = \frac{{SM.SN}}{{MN}} = \frac{{12a}}{{25}}

    Vậy thể tích khối chóp V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SH = \frac{{4{a^3}}}{{25}}.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có AB = AA' = a, đường chéo AC'hợp với mặt đáy (ABCD) một góc \alpha thỏa mãn \cot \alpha = \sqrt 5. Tính theo a thể tích khối hộp đã cho.

     

    Ta có AA' \bot \left( {ABCD} ight) nên \widehat {A'C,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {A'C,AC} = \widehat {A'CA}.

    Tam giác vuông A'AC, ta có AC = AA'.\cot \alpha = a\sqrt 5.

    Tam giác vuông ABC, ta có BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 2a.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD là {S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = 2{a^3}.

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hình vẽ sau là đồ thị của ba hàm số y = {x^\alpha };y = {x^\beta };y = {x^\gamma } với x > 0 và \alpha ;\beta ;\gamma là các số thực cho trước, mệnh đề nào sau đây đúng?

    Chọn mệnh đề đúng

    Hàm số {x^\alpha } nghịch biến trên \alpha < 0

    Các hàm số y = {x^\beta };y = {x^\gamma } đồng biến nên \beta ;\gamma > 0

    Tại x = 3 thì {3^\beta } > {3^\gamma } \Rightarrow \beta > \gamma

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho a,b,c > 0 và khác 1. Các hàm số y = {\log _a}x;y = {\log _b}x;y = {\log _c}x có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Khẳng định nào dưới đây đúng

     Kẻ đường thẳng y=1 cắt đồ thị các hàm số y = {\log _a}x;y = {\log _b}x;y = {\log _c}x lần lượt tại các điểm có hoành độ a,b,c

    Khẳng định nào dưới đây đúng

    Từ đồ thị ta có: a > c > b

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Cho a,b,c là ba số thực dương, a > 1 thỏa mãn:

    \log_{a}^{2}(bc) + \log_{a}\left(b^{3}c^{3} + \dfrac{bc}{4} ight)^{2} + 4 + \sqrt{9 - c^{2}} =0

    Khi đó, giá trị của biểu thức T = a + 3b + 2c gần với giá trị nào nhất sau đây?

    Áp dụng bất đẳng thức (x + y)^{2} \geq 4xy, ta được:

    \left( b^{3}c^{3} + \dfrac{bc}{4}ight)^{2} \geq b^{4}c^{4} \Rightarrow \log_{a}\left( b^{3}c^{3} +\dfrac{bc}{4} ight)^{2} \geq 4\log_a(bc)

    Do đó với \forall a > 1,b,c > 0

    \log _a^2(bc) + {\log _a}{\left( {{b^3}{c^3} + \frac{{bc}}{4}} ight)^2} + 4 + \sqrt {9 - {c^2}}\geqslant \log _a^2(bc) + 4{\log _a}(bc) + 4 + \sqrt {9 - {c^2}}

    \Leftrightarrow \log _a^2(bc) + {\log _a}{\left( {{b^3}{c^3} + \frac{{bc}}{4}} ight)^2} + 4 + \sqrt {9 - {c^2}}\geqslant {\left[ {{{\log }_a}(bc) + 2} ight]^2} + \sqrt {9 - {c^2}} \geqslant 0

    Dấu “=” xảy ra khi \left\{ \begin{matrix}b^{3}c^{3} = \dfrac{bc}{4} \\\log_{a}(bc) = - 2 \\c^{2} = 9 \\a > 1 \\b > 0 \\c > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \sqrt{2} \\b = \dfrac{1}{6} \\c = 3 \\\end{matrix} ight.

    Khi đó T = a + 3b + 2c = \sqrt{2} + \frac{1}{2} + 6 \approx 7,91.

    Vậy giá trị của T gần 8 nhất.

  • Câu 17: Nhận biết

    Tìm tập xác định D của hàm số y = {\left( {{x^2} + x - 2} ight)^{ - 3}}

    Điều kiện xác định {x^2} + x - 2 e 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x e - 2} \\ {x e 1} \end{array}} ight.

    Vậy tập xác định của hàm số là  D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;1} ight\}

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f\left( x ight). Hàm số y = f'\left( x ight) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

    Bất phương trình nghiệm đúng khi và chỉ khi

    Bất phương trình \frac{{f\left( x ight)}}{{36}} - \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} > m nghiệm đúng với mọi x \in \left( {0;1} ight) khi và chỉ khi

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f\left( x ight). Hàm số y = f'\left( x ight) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

    Bất phương trình nghiệm đúng khi và chỉ khi

    Bất phương trình \frac{{f\left( x ight)}}{{36}} - \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} > m nghiệm đúng với mọi x \in \left( {0;1} ight) khi và chỉ khi

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x) có đồ thị của hàm số y =f'(x) như hình vẽ:

    Xác định khoảng đồng biến của hàm số y =f\left( |3 - x| ight)?

    Ta có: y = f\left( |3 - x| ight) =\left\{ \begin{matrix}f(3 - x)\ \ khi\ x \leq 3 \\f(x - 3)\ \ khi\ x > 3 \\\end{matrix} ight.

    y' = \left\{ \begin{matrix}- f'(3 - x)\ \ khi\ x \leq 3 \\f'(x - 3)\ \ khi\ x > 3 \\\end{matrix} ight.

    Với x < 3 \Rightarrow y' = -f'(3 - x) > 0

    \Leftrightarrow f'(3 - x) < 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3 - x < - 1 \\1 < 3 - x < 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x > 4 \\- 1 < x < 2 \\\end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện x < 3 ta có: - 1 < x < 2

    Với x > 3 \Rightarrow y' =f'(x - 3) > 0

    \Leftrightarrow f'(3 - x) > 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3 - x > 4 \\- 1 < 3 - x < 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x > 7 \\2 < x < 4 \\\end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện x > 3 ta có: \left\lbrack \begin{matrix}x > 7 \\3 < x < 4 \\\end{matrix} ight.

    Vậy hàm số y = f\left( |3 - x|ight) đồng biến trên mỗi khoảng (- 1;2),(3;4),(7; + \infty)

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Xác định khoảng đồng biến của hàm số g(x) = - 3f(x) + 2?

    Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta có:

    f'(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 5 \\ x > 0 \\ \end{matrix} ight. và f'(x) < 0 \Leftrightarrow - 5 < x < 0

    Ta có: g'(x) = - 3f'(x)

    Khi đó: g'(x) > 0 \Leftrightarrow - 3f'(x) > 0 \Leftrightarrow f'(x) < 0 \Leftrightarrow - 5 < x < 0

    g'(x) < 0 \Leftrightarrow - 3f'(x) < 0 \Leftrightarrow f'(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 5 \\ x > 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số g(x) = - 3f(x) + 2 đồng biến trên khoảng ( - 5;0).

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tổng độ dài \ell của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh a.

     

    Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là  \ell = 6a

  • Câu 22: Vận dụng

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; +∞)

    Ta có: y' = 2mx - \left( {m + 6} ight). Theo yêu cầu bài toán ta có:

    y' \leqslant 0;\forall x \in \left( { - 1; + \infty } ight)

    => 2mx - \left( {m + 6} ight) \leqslant 0 \Leftrightarrow m \leqslant \frac{6}{{2x - 1}}

    Xét hàm số g\left( x ight) = \frac{6}{{2x - 1}},x \in \left( { - 1; + \infty } ight)

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

    Vậy - 2 \leqslant m \leqslant 0

  • Câu 23: Nhận biết

    Phương trình {\log _2}(3x - 2) = 2 có nghiệm là: 

    x=2 || 2 || hai

    Đáp án là:

    Phương trình {\log _2}(3x - 2) = 2 có nghiệm là: 

    x=2 || 2 || hai

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x - 2 > 0 \hfill \\ 3x - 2 = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{3}{2} \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x = 2.

  • Câu 24: Thông hiểu

    PT {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight) + {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) = 2 có nghiệm là?

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ {\log _2}x > 0 \hfill \\ {\log _4}x > 0 \hfill \\ {\log _{{2^2}}}\left( {{{\log }_2}x} ight) + {\log _2}\left( {{{\log }_{{2^2}}}x} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) + {\log _2}\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) + {\log _2}\frac{1}{2} + {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ \frac{3}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) - 1 = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ {\log _2}x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ x = 16 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x = 16

    Vậy PT có nghiệm là x=16.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho phương trình log_{\frac{1}{2}}(2x - m) + log_{2}(3 - x) = 0, m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?

    Đáp án: 5

    Đáp án là:

    Cho phương trình log_{\frac{1}{2}}(2x - m) + log_{2}(3 - x) = 0, m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?

    Đáp án: 5

    ĐKXĐ: \left\{ \begin{matrix} 2x - m > 0 \\ 3 - x > 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - m > 0 \\ x < 3 \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ .

    Ta có:

    log_{\frac{1}{2}}(2x - m) + log_{2}(3 -x) = 0

    \Leftrightarrow - log_{2}(2x - m) + log_{2}(3 - x) = 0

    \Leftrightarrow log_{2}(2x - m) = log_{2}(3 - x)

    \Leftrightarrow 2x - m = 3 - x \Leftrightarrow 3x = m + 3

    Để phương trình có nghiệm thì m + 3 < 9 \Leftrightarrow m < 6.

    Kết hợp điều kiện m là số nguyên dương ta có m ∈ {1;2;3;4;5}.

    Vậy có 5 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 26: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau:

    Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f( -2x) trên đoạn \left\lbrack -1;\frac{1}{2} ightbrack. Tính giá trị của biểu thức B = 2m + 3M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau:

    Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f( -2x) trên đoạn \left\lbrack -1;\frac{1}{2} ightbrack. Tính giá trị của biểu thức B = 2m + 3M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 27: Thông hiểu

    Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

    Ta thấy: y = {2^{ - x}} = {\left( {\frac{1}{2}} ight)^x}

    Do vậy đồ thị của hàm số y = {2^{ - x}} không có tiệm cận đứng

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho a,b > 0, viết {a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a về dạng {a^x} và \sqrt[3]{{b\sqrt {b\sqrt b } }} về dạng {b^y}. Tình giá trị biểu thức T = 6a + 12y

    Ta có:

    \begin{matrix} {a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}} \hfill \\ \Rightarrow {a^x} = {a^{\frac{7}{6}}} \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{7}{6} \hfill \\ \sqrt[3]{{b\sqrt {b\sqrt b } }} = {\left( {b\sqrt {{b^{\frac{3}{2}}}} } ight)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {b.{b^{\frac{3}{4}}}} ight)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {{b^{\frac{7}{4}}}} ight)^{\frac{1}{3}}} = {b^{\frac{7}{{12}}}} \hfill \\ \Rightarrow {b^y} = {b^{\frac{7}{{12}}}} \Rightarrow y = \dfrac{7}{{12}} \hfill \\ \Rightarrow T = 14 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Cho hình chóp đều S.ABCD. Gọi N là trung điểm SB, M là điểm đối xứng với B qua A. Mặt phẳng (MNC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là V_1, V_2 với {V_1} < {V_2}. Tính tỉ số \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.

     

    Gọi h,\,\,S lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối chóp S.ABCD. Khi đó {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}S.h. Nối MN cắt SA tại E, MC cắt AD tại F. Tam giác SBM có A, N lần lượt là trung điểm của BM và SB.

    Suy ra E là trọng tâm tam giác SBM.

    Vì tứ giác ACDM là hình bình hành nên F là trung điểm MC.

    Ta có {V_{BNC.AEF}} = {V_{ABCEN}} + {V_{E.ACF}}. Xét tỉ số:

    \frac{{{V_{S.ENC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SE}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\xrightarrow{{}}{V_{S.ENC}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABC}}

    \xrightarrow[{}]{}{V_{ABCEN}} = \frac{2}{3}{V_{S.ABC}} = \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}} ight) = \frac{1}{3}{V_{S.ABCD}}

    Mặt khác, áp dụng công thức tính thể tích khối chóp E.ACF là:

    {V_{E.ACF}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ACF}}.d\left[ {E,\left( {ACF} ight)} ight] = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}S.\frac{1}{3}h = \frac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}

    Do đó {V_{BNC.AEF}} = {V_{ABCEN}} + {V_{E.ACF}}

    = \frac{1}{3}{V_{S.ABCD}} + \frac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}

    = \frac{5}{{12}}{V_{S.ABCD}} = {V_1}

    Suy ra {V_2} = \frac{7}{{12}}{V_{S.ABCD}}\xrightarrow{{}}\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{5}{7}.

  • Câu 30: Vận dụng

    Giá trị của biểu thức M = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2019}}.{\left( {3\sqrt 2 - 4} ight)^{2018}} là:

    Ta có:

    \begin{matrix} 3\sqrt 2 - 4 = \sqrt 2 .\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight) \hfill \\ \Rightarrow M = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2019}}.{\left( {\sqrt 2 } ight)^{2018}}.{\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}} \hfill \\ \left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight) = {3^2} - {\left( {2\sqrt 2 } ight)^2} = 9 - 8 = 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2018}}{\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}} = 1 \hfill \\ \Rightarrow M = {\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}}{.2^{2019}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 31: Vận dụng

    Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{{\left( {2m - 1} ight)x + 1}}{{x - m}} có đường tiệm cận ngang y = 3 là:

    Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là:

    - m\left( {2m - 1} ight) - 1 e 0 \Rightarrow 2{m^2} - m + 1 e 0 luôn đúng với \forall x \in \mathbb{R}

    Phương trình đường tiệm cận ngang là y = 2m - 1 nên ta có 2x - 1 = 3 \Rightarrow m = 2

  • Câu 32: Nhận biết

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

    Đáp án là:

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

     

    Hình bát diện đều có 12 cạnh.

  • Câu 33: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \frac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 2} ight\}

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = 1} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = - 1} \end{array}} ight. => y = 1 và y = -1 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    => Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 2 và x = =-2

    Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng là x = 2 và x = -2

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho a,b,c > 0. Tính giá trị của biểu thức A = {\log _a}\left( {{b^2}} ight).{\log _b}\left( {\sqrt {bc} } ight) - {\log _a}\left( c ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} A = {\log _a}\left( {{b^2}} ight).{\log _b}\left( {\sqrt {bc} } ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = 2{\log _a}\left( b ight).\dfrac{1}{2}.{\log _b}\left( {bc} ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight).{\log _b}\left( {bc} ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight).\left[ {{{\log }_b}\left( b ight) + {{\log }_b}\left( c ight)} ight] - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight).\left[ {1 + {{\log }_b}\left( c ight)} ight] - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight) + {\log _a}\left( b ight).{\log _b}\left( c ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight) + {\log _a}\left( c ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hàm số y = - x^{3} + 6(m + 2)x^{2} - m + 1 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên ( - 2; - 1)?

    Ta có: y' = - 3x^{2} + 12(m + 2)x

    Hàm số y = - x^{3} + 6(m + 2)x^{2} - m + 1 đồng biến trên khoảng ( - 2; - 1) khi và chỉ khi:

    y' = - 3x^{2} + 12(m + 2)x \geq 0;\forall x \in ( - 2; - 1)

    \Leftrightarrow - x^{2} + 4mx + 8x \geq 0;\forall x \in ( - 2; - 1)

    \Leftrightarrow 4mx \geq x^{2} - 8x;\forall x \in ( - 2; - 1)

    \Leftrightarrow m \leq \frac{x}{4} - 2 \Leftrightarrow m \leq \frac{- 2}{4} - 2 = - \frac{5}{2}

    Vậy đáp án cần tìm là m \in \left( - \infty; - \frac{5}{2} ightbrack.

  • Câu 36: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:

    Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = 2R.

    Diện tích toàn phần là: {S_{tp}} = 2\pi R\left( {R + h} ight) = 6\pi {R^2} (đvdt).

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z - 2 = 0 và mặt phẳng \left( P ight):3x + 2y + 6z + 1 = 0. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Tính tọa độ tâm H của (C).

     Theo đề bài, mặt cầu (S) có tâm I\left( { - 2,1, - 3} ight) và vecto pháp tuyến của (P):\,\,\overrightarrow n = \left( {3,2,6} ight)

    \begin{array}{l}IH \bot \left( P ight) \Rightarrow IH:x = - 2 + 3t;\,\,y = 1 + 2t;\,\,z = - 3 + 6t\\H \in \left( P ight) \Rightarrow 3\left( { - 2 + 3t} ight) + 2\left( {1 + 2t} ight) + 6\left( { - 3 + 6t} ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{7}\\ \Rightarrow H\left( { - \dfrac{5}{7},\dfrac{{13}}{7}, - \dfrac{3}{7}} ight)\end{array}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = x^{3} + \frac{1}{2}\left( x^{2} - 1 ight)x^{2} + 1 - m có điểm cực đại là x = - 1?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} f'(x) = 3x^{2} + \left( m^{2} - 1 ight)x \\ f''(x) = 6x + m^{2} - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số có điểm cực đại là x = - 1 khi \left\{ \begin{matrix} f'( - 1) = 0 \\ f''( - 1) < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 - m^{2} = 0 \\ m^{2} - 7 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = \pm 2

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Giá trị cực đại của hàm số đã cho là:

    Quan sát bảng biến thiên dễ thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 3.

  • Câu 40: Nhận biết

    Bất phương trình {\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{x^2} - x + 1} ight) < 0 có tập nghiệm là:

     Ta có {\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{x^2} - x + 1} ight) < 0 

    \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x < 0 \hfill \\ x > \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy BPT có tập nghiệm là  S = \left( { - \infty ;0} ight) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } ight).

  • Câu 41: Nhận biết

    Cho đường tròn (C) đường kính AB và đường thẳng \triangle. Để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh \triangle là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:

    Điều kiện để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh \triangle là một mặt cầu là trục quay \triangle phải cố định và hai điểm A, B cũng cố định trên \triangle.

  • Câu 42: Vận dụng

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = {x^3} - 3\left( {m + 1} ight){x^2} + 3\left( {7m - 3} ight)x không có cực trị. Số phần tử của S là:

    Xét hàm số y = {x^3} - 3\left( {m + 1} ight){x^2} + 3\left( {7m - 3} ight)x ta có:

    \begin{matrix} y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 1} ight)x + 3\left( {7m - 3} ight) \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + 7m - 3 = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Hàm số đã cho không có cực trị

    => Phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

    => \Delta ' \leqslant 0 \Rightarrow {\left( {m + 1} ight)^2} - 1\left( {7m - 3} ight) \leqslant 0 \Rightarrow 1 \leqslant m \leqslant 4

    Do m là số nguyên nên m \in \left\{ {1;2;3;4} ight\}

    Vậy tập S có 4 phần tử.

  • Câu 43: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA = a\sqrt 6 và vuông góc với đáy (ABCD). Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ta được:

     Tính diện tích mặt cầu

    Gọi O = AC \cap BD, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

    Gọi I là trung điểm SC, suy ra IO\parallel SA \Rightarrow IO \bot \left( {ABCD} ight)

    Do đó IO là trục của hình vuông ABCD, suy ra IA = IB = IC = ID.  (1)

    Xét tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên IS = IC = IA.   (2)

    Từ (1) và (2), ta có: R = IA = IB = IC = ID = IS = \frac{{SC}}{2} = a\sqrt 2

    Vậy diện tích mặt cầu S = 4\pi {R^2} = 8\pi {a^2} (đvdt).

  • Câu 44: Vận dụng

    Cho hình đa diện đều loại \left\{ {4;3} ight\} cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Đa diện đều loại \left\{ {4;3} ight\} là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh a.

    Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là S=6a^2

  • Câu 45: Thông hiểu

    Viết biểu thức P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}};\left( {x > 0} ight) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

    Ta có: P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}} = {x^{\frac{1}{5}}}.{x^{\frac{2}{3}}}.{x^{\frac{3}{5}}} = {x^{\frac{{113}}{{30}}}}

  • Câu 46: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.

    Đặt g(x) = f\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight). Tìm số điểm cực trị của hàm số y = g(x).

    Đáp án: 6

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.

    Đặt g(x) = f\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight). Tìm số điểm cực trị của hàm số y = g(x).

    Đáp án: 6

    Đặt g'(x) = \left( \frac{x^{2} - 1}{x^{2}} ight)f'\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight)

    g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}} ight) = 0 \hfill \\ f'\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \pm 1 \hfill \\ \frac{{{x^2} + 1}}{x} = a\,\,\left( {a < - 2} ight) \hfill \\ \frac{{{x^2} + 1}}{x} = b\,\,\left( { - 2 < b < 2} ight) \hfill \\ \frac{{{x^2} + 1}}{x} = c\,\,\left( {c > 2} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Xét hàm số h(x) = \frac{x^{2} + 1}{x},h'(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}},h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1

    Bảng biến thiên của hàm số h(x) = \frac{x^{2} + 1}{x}

    Dựa vào bảng biến thiến trên ta thấy phương trình h(x) = a,h(x) = c.

    Mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác \pm 1, mà a eq c \Rightarrow f'\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight) = 0 có 4 nghiệm đơn phân biệt x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} khác \pm 1 và phương trình h(x) = b vô nghiệm.

    Do đó phương trình g'(x) = 0 có 6 nghiệm đơn phân biệt lần lượt theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là x_{1},- 1,x_{2},x_{3},1,x_{4}.

    Vậy hàm số g(x) = f\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight)có 6 cực trị.

  • Câu 47: Vận dụng

    Phương trình {9^{{{\sin }^2}x}} + {9^{{{\cos }^2}x}} = 6 có họ nghiệm là ?

     Ta có: {9^{{{\sin }^2}x}} + {9^{{{\cos }^2}x}} = 6

    \Leftrightarrow {9^{1 - {{\cos }^2}x}} + {9^{{{\cos }^2}x}} = 6 \Leftrightarrow \frac{9}{{{9^{{{\cos }^2}x}}}} + {9^{{{\cos }^2}x}} - 6 = 0{\text{ }}\left( * ight)

    Đặt t = {9^{{{\cos }^2}x}},{\text{ }}\left( {1 \leqslant t \leqslant 9} ight).

    Khi đó: \left( * ight) \Leftrightarrow \frac{9}{t} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 6t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3.

    Với t = 3 \Rightarrow {9^{{{\cos }^2}x}} = 3 \Leftrightarrow {3^{2{{\cos }^2}x}} = {3^1} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 = 0

    \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}},{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).

  • Câu 48: Nhận biết

    Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?

    Vì đáp án đã vi phạm tính chất sau: 

    Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác

  • Câu 49: Nhận biết

    Cho 0 < a e 1 và biểu thức \sqrt {a.\sqrt[3]{a}} viết dưới dạng {a^n}. Giá trị của n là:

    Ta có:

    \sqrt {a.\sqrt[3]{a}} = {\left( {a.{a^{\frac{1}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3}}}

    Vậy n = \frac{2}{3}

  • Câu 50: Thông hiểu

    Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng.

     Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M.  Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 57 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập