Nếu đặt
thì bất phương trình
trở thành bất phương trình nào?
Điều kiện:
Sau khi đưa về cùng cơ số 4, rồi tiếp tục biến đổi về cùng cơ số 3 ta được bất phương trình
Vậy BPT trở thành: .
Nếu đặt
thì bất phương trình
trở thành bất phương trình nào?
Điều kiện:
Sau khi đưa về cùng cơ số 4, rồi tiếp tục biến đổi về cùng cơ số 3 ta được bất phương trình
Vậy BPT trở thành: .
Cho a và b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào dưới đây sai?
Ta có:
Cho hàm số
có bảng biến như sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
có một nghiệm?
Đặt
Khi đó bất phương trình trở thành
Bất phương trình có nghiệm khi bất phương trình
có nghiệm
Tính đạo hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2
60 || sáu mươi || Sáu mươi
Tổng độ dài của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2
60 || sáu mươi || Sáu mươi
Khối mười hai mặt đều có tất cả 30 cạnh:

Suy ra ta có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng .
Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị (C1) và hàm số y = f’(x) có đồ thị (C2) như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số
trên khoảng
là:

Ta có:

Xét
Từ đồ thị ta được:
Phương trình có nghiệm đơn
Phương trình có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm bội chẵn (x = 0)
Phương trình có 1 nghiệm đơn.
Vậy g’(x) = 0 có 8 nghiệm đơn nên hàm số g(x) có 8 điểm cực trị.
Tìm tập xác định của hàm số ![]()
Điều kiện xác định
=> Tập xác định của hàm số là
Tính thể tích
của khối lăng trụ
biết thể tích khối chóp
bằng ![]()
Ta có thể tích khối chóp:
Suy ra:
Tổng các nghiệm của phương trình
là:
Điều kiện . Có
Dó đó, tổng các nghiệm sẽ bằng .
Tính theo
thể tích
của khối hộp chữ nhật
. Biết rằng mặt phẳng
hợp với đáy
một góc
,
hợp với đáy
một góc
và
.

Ta có
Tam giác vuông , có
.
Tam giác vuông , có
.
Tam giác vuông , có
.
Diện tích hình chữ nhật .
Vậy
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị của hàm số
như hình vẽ sau:

Xét hàm
. Mệnh đề nào dưới đây sai?
Ta có:
Dựa vào đồ thị ta thấy
Vậy hàm số nghịch biến trên
là sai.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ![]()
Dễ thấy nên hàm số xác định trên toàn trục số.
Gọi m là một giá trị tùy ý của hàm số, khi đó phương trình
Ta xét hai trường hợp sau:
TH1: Nếu m = 2 phương trình trở thành
Vậy phương trình có nghiệm khi m = 2
TH2: Nếu khi đó phương trình bậc 2 có nghiệm khi và chỉ khi:
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không nghịch biến trên
?
Với
y’ > 0 khi x > 0 và y’ < 0 khi x < 0 nên hàm số không nghịch biến trên
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:
Thu gọn biểu thức
biết a và b là hai số thực dương.
Ta có:
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao
và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

Diện tích xung quanh của hình trụ:
(đvdt).
Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra
.
Diện tích xung quanh của hình nón: (đvdt).
Vậy .
Tìm tập hợp T tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số
nghịch biến trên khoảng (-1; 1)
Ta có:
Để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) thì
Ta có y’ = 0 => x = m hoặc x = m + 2
Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta thấy để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) thì
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt cầu
và
cắt nhau theo một đường tròn
nằm trong mặt phẳng
. Cho các điểm
. Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng
?
Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) có được bằng cách khử trong phương trình hai mặt cầu ta được 6x + 3y + 2z = 0. Mặt phẳng (ABC) có phương trình là
Do đó (P) // (ABC). Mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA sẽ giao với mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA.
Trên mặt phẳng (ABC) có 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ba đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C.
Do đó có 4 mặt cầu có tâm nằm trên (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA.
Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA lên mặt phẳng (P).
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Tập xác định
Ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số đã cho có ba điểm cực trị
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình ![]()
Bất phương trình tương đương
: (2) không thỏa
: (3) không thỏa
(1) thỏa mãn
.
Vậy .
Một sinh viên giỏi
được một công ty trao quỹ học bổng
triệu đồng, số tiền đó được công ty gửi vào ngân hàng với lãi suất
mỗi tháng, cuối mỗi tháng sinh viên đó được rút đều đặn số tiền
triệu đồng.
a) Quỹ học bổng còn lại sau
tháng là:
triệu đồng. Đúng||Sai
b) Quỹ học bổng còn lại sau 2 tháng là:
triệu đồng. Sai||Đúng
c) Quỹ học bổng còn lại sau n tháng là:
(triệu đồng). Sai||Đúng
d) Tháng cuối cùng sinh viên đó rút được
triệu đồng thì hết quỹ học bổng trên. Sai||Đúng
Một sinh viên giỏi được một công ty trao quỹ học bổng
triệu đồng, số tiền đó được công ty gửi vào ngân hàng với lãi suất
mỗi tháng, cuối mỗi tháng sinh viên đó được rút đều đặn số tiền
triệu đồng.
a) Quỹ học bổng còn lại sau tháng là:
triệu đồng. Đúng||Sai
b) Quỹ học bổng còn lại sau 2 tháng là: triệu đồng. Sai||Đúng
c) Quỹ học bổng còn lại sau n tháng là: (triệu đồng). Sai||Đúng
d) Tháng cuối cùng sinh viên đó rút được triệu đồng thì hết quỹ học bổng trên. Sai||Đúng
a) Quỹ học bổng còn lại sau tháng là:
triệu đồng.
Suy ra mệnh đề đúng.
b) Quỹ học bổng còn lại sau 2 tháng là:
(triệu đồng)
Suy ra mệnh đề sai.
c) Quỹ học bổng còn lại sau n tháng là:
(triệu đồng).
Suy ra mệnh đề sai.
d) Quỹ học bổng còn lại sau 16 tháng là:
.
Quỹ học bổng còn lại sau 15 tháng là.
triệu đồng.
Suy ra tháng cuối cùng sinh viên đó rút được triệu đồng thì hết quỹ học bổng trên.
Suy ra mệnh đề sai.
Hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ dưới đây là:

Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng với
nên hàm số tương ứng là
.
Khái niệm chính xác nhất về khối đa diện là:
Áp dụng định nghĩa khối đa diện, ta có:
“Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.”
Cho đường tròn (C) đường kính AB và đường thẳng
. Để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh
là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:
Điều kiện để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh là một mặt cầu là trục quay
phải cố định và hai điểm A, B cũng cố định trên
.
Tìm điều kiện của tham số
để đồ thị hàm số
chỉ có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu?
Xét khi đó
là hàm số bậc hai có a = -1 < 0 nên đồ thị của hàm số là parabol có bề lõm hướng xuống nên có 1 cực đại mà không có cực tiểu. Suy ra
thỏa mãn.
Xét khi đó
là hàm số bậc 4 dạng trùng phươn
Để đồ thị hàm số có một cực đại mà không có cực tiểu thì
Vậy đáp án cần tìm là .
Số nghiệm của phương trình
là:
2 || hai nghiệm || Hai nghiệm || 2 nghiệm
Số nghiệm của phương trình là:
2 || hai nghiệm || Hai nghiệm || 2 nghiệm
PT
Vậy PT có hai nghiệm.
Cho hàm số
với
là tham số. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
bằng
. Tổng các phần tử của tập hợp
bằng:
Điều kiện
Ta có: . Vì
nên
Suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng
Kết hợp điều kiện
Vậy nên tổng các phần tử thuộc tập S bằng 1.
Điểm cực đại của đồ thị hàm số
là điểm
Tập xác định:
Ta có:
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có điểm cực đại của đồ thị hàm số là .
Cho hình chóp đều
có cạnh đáy bằng
, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Vì
là khối chóp đều nên suy ra
.
Gọi là trung điểm của
Tam giác vuông tại
, có:
Diện tích tam giác là:
Vậy thể tích khối chóp:
Với các số a, b > 0 thỏa mãn
, biểu thức
bằng:
Ta có:
Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau:
![]()
BPT xác định khi : .
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên
?
Ta có:
Ta có: y’ = 0 chỉ tại x = 1
Vậy đồng biến trên
Nếu đặt
thì phương trình
trở thành phương trình nào?
Đặt
PT
.
Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số
có tiệm cận ngang.
Ta có:
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử số bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu số
Đồng thời
Rút gọn biểu thức
với x > 0
Ta có:
Cho các hình khối sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?
2 || Hai || hai
Cho các hình khối sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?
2 || Hai || hai
Có hai khối đa diện lồi là: Hình 1 & Hình 4
Phương trình
có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ?
Ta có:
Xét hàm số , ta có:
.
. Do đó hàm số
đồng biến trên R.
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x=1.
Tập nghiệm của bất phương trình
là:
Điều kiện:
Ta có:
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Cho hàm số
liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

Đặt
với
là tham số. Tìm điều kiện của tham số
để hàm số
có đúng ba điểm cực trị?
Cho hàm số liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:
Đặt với
là tham số. Tìm điều kiện của tham số
để hàm số
có đúng ba điểm cực trị?
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là
.
Cho các mệnh đề sau:
(i) Cơ số của logarit phải là số dương.
(ii) Chỉ số thực dương mới có logarit.
(iii)
với mọi
.
(iv)
với mọi
.
Số mệnh đề đúng là:
(i) Sai vì cơ số của chỉ cần thỏa mãn
(ii) Đúng vì điều kiện có nghĩa của là
(iii) Sai vì với mọi
(iv) Sai vì nếu thì các biểu thức
không có nghĩa.
Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo
. Độ dài ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công bội
. Thể tích của khối hộp chữ nhật là?

Xét hình hộp chữ nhật có độ dài kích thước ba cạnh lần lượt là
và có đường chéo
.
Theo bài ra, ta có lập thành cấp số nhân có công bội
. Suy ra:
Mặt khác, độ dài đường chéo
Ta có hệ:
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là:
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai

Hình bát diện đều có 12 cạnh.
Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các cạnh của một hình đa diện bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Xét hình đa diện là một hình bất kì, ví dụ lấy đa diện là hình tứ diện thì ta có số đỉnh, mặt và cạnh lần lượt là:
Đ=4; M=4; C=6
Cho hình vẽ là đồ thị hàm số có dạng ![]()

Giá trị của biểu thức
có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
Đồ thị hàm số đi qua điểm =>
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
, mặt phẳng
. Gọi
là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
,
song song với giá của vectơ
và
tiếp xúc với
. Lập phương trình mặt phẳng
.
Mặt cầu có tâm I(1; −3; 2) và bán kính
.
Từ giả thiết suy ra là một vectơ pháp tuyến của
.
Ta có , suy ra
có vectơ pháp tuyến
Vậy có phương trình dạng
Do tiếp xúc với mặt cầu
nên:
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
. Tính thể tích của khối chóp?

Diện tích hình vuông là
.
Chiều cao khối chóp là
Vậy áp dụng công thức, ta có thể tích khối chóp là:
Cho biết
, khẳng định nào sau đây đúng?
Điều kiện:
Ta có:
Vậy
Với a là một số thực dương thì biểu thức
được rút gọn là:
Ta có: