Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
với
là tham số thực) và hai điểm
. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số
để trên
tồn tại điểm
sao cho
?
Gọi
Theo đề bài ra ta có:
Mặt cầu (Sm) có tâm I(1; 1; m) và bán kính
Gọi (α): x + y + z − 4 = 0. Khi đó:
Vậy giá trị nhỏ nhất của tham số m cần tìm là .
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.

Đặt
. Tìm số điểm cực trị của hàm số ![]()
Đáp án: 6
Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên
và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.
Đặt . Tìm số điểm cực trị của hàm số
Đáp án: 6
Đặt
Xét hàm số
Bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiến trên ta thấy phương trình .
Mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác , mà
có 4 nghiệm đơn phân biệt
khác
và phương trình
vô nghiệm.
Do đó phương trình có 6 nghiệm đơn phân biệt lần lượt theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là
.
Vậy hàm số có 6 cực trị.
Với a > 0 hãy rút gọn biểu thức 
Ta có:
Tìm tập xác định của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là:
Trong không gian
, tìm tất cả các giá trị của
để phương trình
là phương trình của một mặt cầu?
Phương trình là một mặt cầu
.
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba điểm
. Tính đường kính
của mặt cầu
đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng
?
Gọi tâm mặt cầu là
Ta có:
.
Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?
Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.
Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.
Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là cạnh.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
; (
là tham số) đồng biến trên tập số thực?
Ta có:
Hàm số đã cho đồng biến trên khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là .
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
bằng
?
Ta có:
Xét
Mà và
Khi đó
Theo đề bài ra ta có:
Vậy đáp án cần tìm là .
Nếu đặt
thì phương trình
trở thành phương trình nào?
Đặt
PT
.
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1
Cho hàm số
xác định và liên tục trên
có bảng xét dấu như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
Dựa vào bảng xét dấu của ta thấy
đổi dấu 4 lần và hàm số
xác định và liên tục trên
Suy ra hàm số có 4 điểm cực trị.
Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
x=7 || X=7 || x bằng 7 || 7
Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
x=7 || X=7 || x bằng 7 || 7
Điều kiện:
Ta có:
.
Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là: .
Cho
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
Khi đó ta được:
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Tìm số điểm cực trị của hàm số
trên khoảng
?
Đặt
Từ bảng xét dấu của hàm số có
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có hai cực trị trên khoảng
.
Cho hàm số
, hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như sau:

Bất phương trình
(với
là một số thực) nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi:
Ta có:
Xét hàm số ta có:
. Với
thì
Từ đó nên hàm số nghịch biến trên
Suy ra . Yêu cầu bài toán tương đương với
.
Tính đạo hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
;
là giao điểm của
và
. Biết
vuông góc với mặt phẳng
và
. Tính thể tích khối chóp
.

Theo giả thiết, ta có .
Diện tích tứ giác:
Vậy .
Một hình trụ có bán kính đáy
, chiều cao hình trụ
. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.
Dựng đường sinh AA', ta có .
Suy ra A’C là đường kính đáy nên
Xét tam giác vuông AA’C, ta có
Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f(x) = -x3 – 3x2 + m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 1] bằng 0.
Xét hàm số f(x) = -x3 – 3x2 + m trên đoạn [-1; 1] ta có:
f’(x) = -3x2 – 6x
f’(x) = 0 =>
Ta tính được
Biết đồ thị hàm số
đối xứng với đồ thị hàm số
qua điểm
. Giá trị của
là:
Gọi là điểm thuộc đồ thị hàm số
thì điểm đối xứng với
qua
là
thuộc đồ thị hàm số
=>
Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
?
Ta có:
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình
.
Cho các hình sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:
Các hình đa diện là:
;
; 
Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có một cực trị. Xác định số phần tử của tập
?
Để hàm số có một cực trị thì
Vậy có 7 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
là:
17 || x=17 || x bằng 17 || X=17
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là:
17 || x=17 || x bằng 17 || X=17
Điều kiện:
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất .
Tính thể tích
của một khối lăng trụ biết đáy có diện tích
, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc
và độ dài cạnh bên bằng 10 cm.

Xét khối lăng trụ có đáy là tam giác ABC.
Gọi H là hình chiếu của A' trên mặt phẳng
.
Suy ra là hình chiếu của
trên mặt phẳng
.
Do đó
Tam giác vuông tại H, có
.
Vậy .
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh
.

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là
Cho hàm số
. Tính ![]()
Ta có:
Tập nghiệm của bất phương trình
là:
Ta có:
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:
Cho các số thực a và b thỏa mãn
. Tìm khẳng định đúng?
Xét tính đúng sai của từng đáp án như sau
Ta có (vì
) =>
=>
đúng
Vì
=> B sai
Vì =>
Sai
Ta có: =>
sai
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) Hàm số đồng biến trên
. Sai|| Đúng
b) Hàm số nghịch biến trên
. Đúng||Sai
c) Hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng
d) Hàm số đạt cực đại tại
. Đúng||Sai
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) Hàm số đồng biến trên . Sai|| Đúng
b) Hàm số nghịch biến trên . Đúng||Sai
c) Hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng
d) Hàm số đạt cực đại tại . Đúng||Sai
Quan sát bảng biến thiên, ta có các kết quả sau:
a) Hàm số đồng biến trên nên khẳng định hàm số đồng biến trên
là sai.
b) Hàm số nghịch biến trên .
c) Hàm số có đúng 1 điểm cực trị là .
d) Hàm số có đạt cực đại tại .
Phương trình
có tập nghiệm là:
PT
.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để đồ thị hàm số
có đúng một tiệm cận đứng?
Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình
có đúng một nghiệm
Ta có:
Xét hàm số ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra
Mà nên
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hàm số nào sau đây đồng biến trên
?
Do nên hàm số
đồng biến trên
Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình
có nghiệm?
Chia hai vế của bất phương trình cho , ta được:
Xét hàm số là hàm số nghịch biến.
Ta có: nên
.
Vậy bất phương trình có nghiệm khi .
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?

Đường tiệm cận ngang:
Đường tiệm cận đứng:
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
. Biết đồ thị của hàm số
biểu diễn như hình vẽ:

Khi đó hàm số
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là .
Mỗi khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh Đ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn?
Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là 3Đ.
Mặt khác, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức .
Cho hình hộp chữ nhật
có
. Tính theo
thể tích khối hộp đã cho.
Trong tam giác vuông , có
.
Diện tích hình chữ nhật là
.
Vậy
Gọi
là 2 nghiệm của phương trình
. Khi đó
bằng:
-3
Gọi là 2 nghiệm của phương trình
. Khi đó
bằng:
-3
Điều kiện:
Vậy .
Thu gọn biểu thức
biết a và b là hai số thực dương.
Ta có:
Cho tứ diện
có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .![]()
4 || Bốn || bốn
Cho tứ diện có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .
4 || Bốn || bốn
Vì là trọng tâm của tam giác
nên
.
Suy ra
Với các số a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1 và
. Khi đó giá trị của
bằng:
Với a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1 ta có:
Khi đó ta có:
Cho hàm số
xác định trên
và có đạo hàm
trong đó
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào?
Ta có:
Vì nên
Suy ra hàm số đồng biến trên .
Mặt phẳng đi qua trọng tâm của tứ diện, song song với một mặt phẳng của tứ diện và chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của hai phần đó.

Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh
khi đó
là trọng tâm của tứ diện
. Ta sẽ dựng mặt phẳng qua
song song với
.
Trong mặt phẳng dựng đường thẳng qua
song song với
cắt
lần lượt tại
.
Qua lần lượt kẻ các đường thẳng lần lượt song song với
cắt
lần lượt tại
.
Do là trung điểm của
suy ra
Ta có
Gọi
là tập tất cả các giá trị thực của tham số
để đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt
với
nằm giữa
sao cho
. Tính tổng các phần tử thuộc tập S?
Ta có bảng biến thiên
Suy ra đường thẳng cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt
Khi đó
Để B nằm giữa A và C và thì
Từ (*) ta được . Thay (**) được
Suy ra . Vậy tổng các phần tử của S bằng
.
Dựa vào thông tin dưới đây và trả lời các câu hỏi
Số lượng của một loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được biểu diễn theo công thức
, trong đó A là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc 6 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con.
Thời điểm số lượng vi khuẩn X gấp 9 lần số lượng vi khuẩn ban đầu là:
Gọi là thời điểm số lượng vi khuẩn gấp 9 lần ban đầu.
Khi đó: con.
Ta có phương trình:
Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
Mọi hình chóp đều không có tâm đối xứng (tứ diện đều, hình chóp tứ giác đều,….)
Hình lăng trụ tam giác cũng không có tâm đối xứng.
Mọi hình hộp chữ nhật, hình lập phương đều có tâm đối xứng
Bát diện đều cũng có tâm đối xứng.