Cho hàm số
. Tính ![]()
Tập xác định
Ta có:
Cho hàm số
. Tính ![]()
Tập xác định
Ta có:
Cho hàm số
xác định trên
liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
Từ bảng biến thiên ta thấy:
suy ra
là tiệm cận đứng.
suy ra
là tiệm cận ngang
suy ra
là tiệm cận ngang
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả ba đường tiệm cận.
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh
.

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là
Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu cạnh?
Khối lăng trụ ngũ giác có số cạnh của một mặt đáy là 5 cạnh, số cạnh bên là 5 cạnh
Số cạnh của khối lăng trụ ngũ giác là: 2.5 + 5 =15 cạnh.
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có .
Diện tích toàn phần là: (đvdt).
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
tâm
bán kính
. Bán kính đường tròn giao của mặt phẳng
và mặt cầu
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi bán kính đường tròn giao của mặt phẳng và mặt cầu
là
Ta có:
Suy ra
Cho
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
Cho biểu thức
với x > 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có:
Cho hình vẽ sau là đồ thị của ba hàm số
với
và
là các số thực cho trước, mệnh đề nào sau đây đúng?

Hàm số nghịch biến trên
Các hàm số đồng biến nên
Tại thì
Phương trình
có nghiệm là:
x=2 || 2 || hai
Phương trình có nghiệm là:
x=2 || 2 || hai
PT .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Đường kính
bằng:
Đường kính của mặt cầu bằng:
.
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
là:
Đặt
Điều kiện xác định
Xét hàm ta có:
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng
và
Khi đó yêu cầu bài toán đồng biến trên
Điều kiện xác định
Ta có:
Để hàm số đồng biến trên thì
Vậy đáp án cần tìm là
Giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
là:
8 || tám || Tám
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là:
8 || tám || Tám
BPT
Vậy giá trị nghiệm nguyên nhỏ nhất của BPT là 8.
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác vuông tại
và
. Cạnh
tạo với mặt đáy
góc
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Vì là lăng trụ đứng nên
, suy ra hình chiếu vuông góc của
trên mặt đáy
là
.
Do đó .
Tam giác vuông , ta có
Diện tích tam giác là
Vậy .
Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau:
![]()
BPT xác định khi : .
Một người gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng vào tài khoản tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 0,6%/ tháng, cứ sau mỗi tháng người đó rút ra 500 nghìn đồng. Hỏi sau đúng 36 lần rút tiền thì số tiền còn lại trong tài khoản của người đó gần nhất với phương án nào sau đây? (Biết rằng lãi suất không thay đổi và tiền lại mỗi tháng tính theo số tiền thực tế trong tài khoản của tháng đó?
Số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 1 là: (triệu đồng)
Số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 2 là:
(triệu đồng)
Số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 3 là:
(triệu đồng)
Cứ tiếp tục quá trình thì số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 36 là:
(triệu đồng)
Tính tổng
tất cả các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên tập xác định?
Tập xác định
Ta có:
Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì
Vì nên
Vậy .
Hàm số nào sau đây đồng biến trên
?
Do nên hàm số
đồng biến trên
Đồ thị hàm số
cắt trục tung tại điểm:
Ta có:
Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm
.
Với a là một số thực dương thì biểu thức
được rút gọn là:
Ta có:
Gọi
là 2 nghiệm của phương trình
. Khi đó
bằng:
Điều kiện: .
Đặt ,điều kiện
. Khi đó phương trình trở thành:
Vậy .
Dựa vào thông tin dưới đây và trả lời các câu hỏi
Số lượng của một loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được biểu diễn theo công thức
, trong đó A là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc 6 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con.
Tỉ lệ tăng trưởng của vi khuẩn X gần nhất với kết quả nào sau đây?
Chọn 6 giờ là mốc thời gian. Khi đó .
Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn là 450 con nên .
Từ đó ta có phương trình:
Cho hàm số
và đồ thị của hàm số
như hình vẽ sau:

Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Cho hàm số và đồ thị của hàm số
như hình vẽ sau:
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Biết
với a và b là các số thực dương. Tìm m?
Ta có:
Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương
?
Ta có:
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Ta có bảng xét dấu:

Quan sát bảng xét dấu ta thấy:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)
+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2)
Gọi
là tập tất cả các giá trị thực của tham số
để đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt
với
nằm giữa
sao cho
. Tính tổng các phần tử thuộc tập S?
Ta có bảng biến thiên
Suy ra đường thẳng cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt
Khi đó
Để B nằm giữa A và C và thì
Từ (*) ta được . Thay (**) được
Suy ra . Vậy tổng các phần tử của S bằng
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; điểm I nằm trên SC sao cho
. Mặt phẳng
chứa cạnh
cắt cạnh
lần lượt tại
. Gọi
lần lượt là thể tích khối chóp
và
. Tính giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích
.

Đặt .
Ta có .
Ta có .
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất cử tỉ số thể tích cần tìm là .
Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại
là:
Khối đa diện đều loại là khối hai mươi mặt đều:

Gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng:
Cho hình chóp
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, . Cạnh bên , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
là:

Gọi M là trung điểm AC, suy ra
Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.
Ta có , suy ra tam giác SAC đều.
Gọi G là trọng tâm , suy ra
. (1)
Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lại có nên SM là trục của tam giác ABC.
Mà G thuộc SM nên suy ra .
Từ (1) và (2), suy ra hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
.
Bán kính mặt cầu .
Cho
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
Khi đó ta được:
Cho hình hộp chữ nhật
có
. Tính theo
thể tích khối hộp đã cho.
Trong tam giác vuông , có
.
Diện tích hình chữ nhật là
.
Vậy
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:
Dựa vào đồ thị của hàm số ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số bằng -2.
Đạo hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Gọi
là nghiệm của phương trình
. Khi đó tích
bằng:
1 || x1.x2=1
Gọi là nghiệm của phương trình
. Khi đó tích
bằng:
1 || x1.x2=1
Điều kiện:
PT
Vậy .
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Cho hàm số
với
là tham số. Khi giá trị của
biến thiên thì số điểm cực trị của hàm số có thể là
hoặc
hoặc
. Tính giá trị biểu thức
?
Đặt
Ta có bảng biến thiên của như sau:
TH1:
Hàm số có 3 điểm cực trị suy ra
TH2:
Hàm số có 3 điểm cực trị suy ra
TH3:
Hàm số có 3 điểm cực trị suy ra
Vậy
Tập nghiệm của bất phương trình
là?
BPT
Vậy bất PT có tập nghiệm là .
Cho hàm số
với
là tham số. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng
. Tính tổng các phần tử của tập hợp
?
Ta có:
Dễ thấy nếu suy ra hàm số đồng biến trên
nên trường hợp này không thỏa mãn
Theo yêu cầu bài toán
Vậy tổng tất cả các phần tử của tập S bằng -2.
Cho hàm số
xác định trên
liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
bằng:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy có 4 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số
có 4 đường tiệm cận đứng.
Ngoài ra nên đồ thị hàm số
có hai đường tiệm cận ngang.
Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số bằng 6.
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Chi phí nhiên liệu của một chiếc thuyền chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng
nghìn đồng trên một giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi
thì phần thứ hai bằng
nghìn đồng/giờ.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Khi vận tốc
thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên
đường sông là
đồng. Đúng||Sai
b) Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên
đường sông với vận tốc
là
. Sai||Đúng
c) Khi vận tốc
thì tổng chi phí nguyên liệu trên
đường sông là
đồng. Đúng||Sai
d) Vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên
đường sông nhỏ nhất là
. Đúng||Sai
Chi phí nhiên liệu của một chiếc thuyền chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng nghìn đồng trên một giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi
thì phần thứ hai bằng
nghìn đồng/giờ.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Khi vận tốc thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên
đường sông là
đồng. Đúng||Sai
b) Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên đường sông với vận tốc
là
. Sai||Đúng
c) Khi vận tốc thì tổng chi phí nguyên liệu trên
đường sông là
đồng. Đúng||Sai
d) Vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên đường sông nhỏ nhất là
. Đúng||Sai
a) Đúng: Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là: (giờ)
Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: (đồng).
b) Sai: Gọi x (km/h) là vận tốc của tàu, x > 0
Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là: (giờ)
Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: (nghìn đồng)
Hàm chi phí cho phần thứ hai là (nghìn đồng/ giờ)
Khi (nghìn đồng/ giờ)
Do đó chi phí phần 2 để chạy 1 km là: (nghìn đồng)
Vậy tổng chi phí ,
c) Đúng. Tổng chi phí
Thay ta được
(nghìn đồng).
d) Đúng
Dấu ’’=’’ xảy ra khi x = 20.
Người ta muốn xây một bể chứa có dạng hình hộp chữ nhật, thể tích
và chiều sâu
(như hình vẽ).

Biết rằng chi phí xây mỗi đơn vị diện tích của đáy bể gấp hai lần so với thành bể. Gọi x (m) và y (m) là hai kích thước của mặt đáy.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Thể tích bể chứa được tính theo công thức
. Sai|| Đúng
b) Mối liên hệ giữa x và y là
. Đúng||Sai
c) Tổng diện tích mặt bên của bể tính theo x, y là
. Đúng||Sai
d) Để tổng chi phí xây dựng (bao gồm mặt đáy và mặt bên) nhỏ nhất thì cần chọn chiều dài là
. Sai|| Đúng
Người ta muốn xây một bể chứa có dạng hình hộp chữ nhật, thể tích và chiều sâu
(như hình vẽ).
Biết rằng chi phí xây mỗi đơn vị diện tích của đáy bể gấp hai lần so với thành bể. Gọi x (m) và y (m) là hai kích thước của mặt đáy.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Thể tích bể chứa được tính theo công thức . Sai|| Đúng
b) Mối liên hệ giữa x và y là . Đúng||Sai
c) Tổng diện tích mặt bên của bể tính theo x, y là . Đúng||Sai
d) Để tổng chi phí xây dựng (bao gồm mặt đáy và mặt bên) nhỏ nhất thì cần chọn chiều dài là . Sai|| Đúng
a) Thể tích của bể là .
b) Với .
c) Tổng diện tích mặt bên gồm 4 hình chữ nhật (trước, sau, trái, phải) là:
d) Tổng diện tích của bể là:
Vì chi phí xây mỗi đơn vị diện tích của đáy bể gấp hai lần so với thành bể nên chi phí cần có là
Đặt ta có:
ta có bảng biến thiên như sau:
Với và thì chi phí xây dựng bể là thấp nhất.
Cho hình chóp đều
có cạnh đáy bằng
, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Vì
là khối chóp đều nên suy ra
.
Gọi là trung điểm của
Tam giác vuông tại
, có:
Diện tích tam giác là:
Vậy thể tích khối chóp:
Cho hàm số
có đạo hàm
. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Ta có:
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có một điểm cực tiểu.
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi phương trình
có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc khoảng
?
Đặt
Phương trình tương đương
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có 6 nghiệm phân biệt
=> Phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình ![]()
Bất phương trình tương đương
: (2) không thỏa
: (3) không thỏa
(1) thỏa mãn
.
Vậy .
Để chuẩn bị cho hoạt động cắm trại, bạn An tìm hiểu các mẫu lều cắm trại có kích thước như trong hình vẽ.
Bạn An muốn biết thể tích chênh lệch của hai lều nên thực hiện tính
, trong đó
lần lượt là thể tích của mẫu lều cắm trại ở hình a, hình b. Giá trị của
bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Đáp án: 961 dm3
Để chuẩn bị cho hoạt động cắm trại, bạn An tìm hiểu các mẫu lều cắm trại có kích thước như trong hình vẽ.
Bạn An muốn biết thể tích chênh lệch của hai lều nên thực hiện tính
, trong đó
lần lượt là thể tích của mẫu lều cắm trại ở hình a, hình b. Giá trị của
bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Đáp án: 961 dm3
Cả hai lều đều có dạng khối lăng trụ đứng ngũ giác.
Xét khối lăng trụ ở hình a. Chia mặt đáy thành hai phần bao gồm: hình chữ nhật có chiều rộng , chiều dài
; tam giác cân có cạnh đáy dài
, chiều cao
như hình dưới đây.
Diện tích mặt đáy của lăng trụ đó là:
Vậy thể tích của khối lăng trụ ngũ giác đó là:
.
Xét khối lăng trụ ở hình . Chia mặt đáy thành hai phần bao gồm: hình thang cân có đáy lớn đài
, đáy nhỏ dài
, chiều cao
tam giác cân có cạnh đáy dài
, chiều cao
như hình vẽ .
Diện tích mặt đáy của lăng trụ đó là:
Vậy thể tích của khối lăng trụ ngũ giác đó là:
Do đó .