Lớp 12 Toán 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 12.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

    “Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

    TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

    TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

    TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt S_0, S_1,... , S_n sao cho S_0 trùng với S, S_n trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

    Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

    Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại  đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

     

    Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra SA \bot \left( {ABCD} ight). Do đó chiều cao khối chóp là SA = a\sqrt {15}.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD là {S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}

    Vậy thể tích khối chóp {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Phương trình \ln \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = \ln x có nghiệm là: 

    Ta có:  \ln \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = \ln x \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = x \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x = 4

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x), đồ thị của hàm số y = f'(x) là đường cong như hình vẽ:

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f(2x) - 2x + 2021 trên đoạn \left\lbrack - \frac{1}{2};1 ightbrack bằng:

    Ta có: g'(x) = 2.f'(2x) - 2

    \Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(2x) = 1

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}2x = - 1 \\2x = 1 \\2x = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - \dfrac{1}{2} \\x = \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\\end{matrix} ight. trong đó các nghiệm x = - \frac{1}{2};x = 1 là nghiệm đơn và x = \frac{1}{2} là nghiệm kép.

    g'(0) = 2.f'(0) - 2 = - 4 < 0 nên ta có bảng biến thiên của hàm g(x) như sau:

    Vậy \min_{\left\lbrack - \frac{1}{2};1 ightbrack}g(x) = g(1) = f(2) + 2019.

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho biểu thức P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.{{\left( {{a^2}{b^2}} ight)}^{\frac{2}{3}}}} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} với a và b là các số thực dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

     Thực hiện thu gọn biểu thức như sau:

    \begin{matrix} P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.{{\left( {{a^2}{b^2}} ight)}^{\frac{2}{3}}}} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.\left( {{a^{\frac{4}{3}}}{b^{\frac{4}{3}}}} ight)} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{5}{6}}}.b} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{a^{\frac{{ - 5}}{{12}}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{{ - 1}}{{12}}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{ - 3}} = \dfrac{1}{{{b^3}\sqrt a }} = \dfrac{{\sqrt a }}{{a{b^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Với a là một số thực dương thì biểu thức P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} ight)}^{\sqrt 2 + 2}}}} được rút gọn là:

    Ta có: P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} ight)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có đạo hàm f'\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight)\left( {x - 4} ight),\forall x \in \mathbb{R}. Hàm số g\left( x ight) = f\left( {3 - x} ight) có bao nhiêu điểm cực đại?

    Từ giả thiết ta có bảng biến thiên của hàm số f(x)

    Tinh số điểm cực đại của hàm số

    Ta có:

    g(x) = f(3 – x)

    => g’(x) = -f’(3 – x)

    Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta có:

    g'\left( x ight) \geqslant 0 \Leftrightarrow f'\left( {3 - x} ight) \leqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - x \leqslant 1} \\ {1 \leqslant 3 - x \leqslant 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 4} \\ { - 1 \leqslant x \leqslant 2} \end{array}} ight.

    => Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) là:

    Tinh số điểm cực đại của hàm số

    Từ bảng biến thiên ta nhận thấy hàm số g(x) có một điểm cực đại.

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra mệnh đề đúng là: “Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là B(0;1)”.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2\pi R = 2a \Leftrightarrow R = \frac{a}{\pi }.

    Suy ra hình trụ này có đường cao h=a.

    Vậy thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{a}{\pi }} ight)^2}a = \frac{{{a^3}}}{\pi }(đvtt).

  • Câu 10: Thông hiểu

    Nếu đặt t = {\log _2}x thì phương trình \frac{1}{{5 - {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{1 + {{\log }_2}x}} = 1 trở thành phương trình nào?

    Đặt t = {\log _2}x

    PT \Leftrightarrow \frac{1}{{5 - t}} + \frac{2}{{1 + t}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{1 + t + 2(5 - t)}}{{(5 - t)(1 + t)}} = 1

    \Leftrightarrow 1 + t + 2(5 - t) = (5 - t)(1 + t)

    \Leftrightarrow 11 - t = 5 + 4t - {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0.

  • Câu 11: Nhận biết

    Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?

    Vì đáp án đã vi phạm tính chất sau: 

    Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tổng độ dài \ell của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh a.

     

    Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là  \ell = 6a

  • Câu 13: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số y = \log {\left( {x - 2} ight)^2} là:

    Hàm số y = \log {\left( {x - 2} ight)^2} xác định nếu {\left( {x - 2} ight)^2} > 0 \Leftrightarrow x e 2

    Vậy tập xác định D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây phù hợp với hình vẽ:

    Tìm hàm số tương ứng với đồ thị hàm số

     Ta có: y\left( 1 ight) = 0 và hàm số đồng biến trên \left( {0; + \infty } ight) nên chỉ có hàm số y = {\log _{\sqrt 6 }}x thỏa mãn

  • Câu 15: Nhận biết

    Xác định hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}?

    Xét hàm số y = - x^{3} + x^{2} - x ta có:

    y' = - 3x^{2} + 2x - 1 = - 3\left( x - \frac{1}{3} ight)^{2} - \frac{2}{3} < 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Nên hàm số y = - x^{3} + x^{2} - x nghịch biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho SH = \frac{{3a}}{2}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

    Độ dài đường sinh

    Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.

    Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên S{A^2} = SH.SS' \Rightarrow SA = a\sqrt 3 .

  • Câu 17: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{x + 6}{x + 5m} nghịch biến trên khoảng (15; + \infty)?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 5m ight\}

    Ta có: y' = \frac{5m - 6}{(x + 5m)^{2}}

    Hàm số y = \frac{x + 6}{x + 5m} nghịch biến trên khoảng (15; + \infty) khi và chỉ khi

    \left\{ \begin{matrix} 5m - 6 < 0 \\ - 5m \leq 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < \frac{6}{5} \\ m \geq - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 3 \leq m < \frac{6}{5}

    Vì m\mathbb{\in Z} nên có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 18: Nhận biết

    Biết \frac{{{x^{{a^2}}}}}{{{x^{{b^2}}}}} = {x^{16}} với x > 1 và a + b = 2. Tính giá trị của biểu thức M = a – b.

     Ta có: 

    \begin{matrix} \dfrac{{{x^{{a^2}}}}}{{{x^{{b^2}}}}} = {x^{16}} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^{{a^2} - {b^2}}} = {x^{16}} \hfill \\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 16 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {a + b} ight)\left( {a - b} ight) = 16 \hfill \\ \Rightarrow a - b = 8 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho a,b,c > 0. Tính giá trị của biểu thức A = {\log _a}\left( {{b^2}} ight).{\log _b}\left( {\sqrt {bc} } ight) - {\log _a}\left( c ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} A = {\log _a}\left( {{b^2}} ight).{\log _b}\left( {\sqrt {bc} } ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = 2{\log _a}\left( b ight).\dfrac{1}{2}.{\log _b}\left( {bc} ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight).{\log _b}\left( {bc} ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight).\left[ {{{\log }_b}\left( b ight) + {{\log }_b}\left( c ight)} ight] - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight).\left[ {1 + {{\log }_b}\left( c ight)} ight] - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight) + {\log _a}\left( b ight).{\log _b}\left( c ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight) + {\log _a}\left( c ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f\left( {{x^3} - m{x^2} - 2x + m} ight) có đúng 6 điểm cực trị?

    Điều kiện của m để hàm số có 6 cực trị

    Xét hàm số g\left( x ight) = f\left( {{x^3} - m{x^2} - 2x + m} ight)

    g'\left( x ight) = \left( {3{x^2} - 2mx - 2} ight).f'\left( {{x^3} - m{x^2} - 2x + m} ight)

    Yêu cầu bài toán xảy ra khi phương trình đạo hàm phải có 6 nghiệm bội lẻ:

    Ta có:

    g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3{x^2} - 2mx - 2 = 0} \\ {f'\left( {{x^3} - m{x^2} - 2x + m} ight) = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3{x^2} - 2mx - 2 = 0\left( * ight)} \\ \begin{gathered} {x^3} - m{x^2} - 2x + m = - 1{\text{ }} \hfill \\ {x^3} - m{x^2} - 2x + m = 1{\text{ }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight.

    Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt => Hai phương trình còn lại phải cho đúng 4 nghiệm nghiệm bội lẻ.

    \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} - m{x^2} - 2x + m = - 1{\text{ }}} \\ {{x^3} - m{x^2} - 2x + m = 1{\text{ }}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x - 1} ight)\left[ {{x^2} - \left( {m - 1} ight)x - m - 1} ight] = 0{\text{ }}\left( 1 ight)} \\ {\left( {x - 1} ight)\left[ {{x^2} - \left( {m + 1} ight)x + m - 1} ight] = 0{\text{ }}\left( 2 ight)} \end{array}} ight.

    Nhận thấy hai phương trình (1), (2) luôn cho hai nghiệm phân biệt vafcacs nghiệm của hai phương trình này không trùng nhau.

    Để hai phương trình có đúng 4 nghiệm bội lẻ thì:

    TH1: x = 1 là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m – 1)x – m – 1] = 0 và x = -1 không phải là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m + 1)x + m – 1] = 0

    TH2: x = -1 là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m + 1)x + m – 1] = 0 và x = 1 không phải là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m – 1)x - m – 1] = 0

    => \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \left( {m - 1} ight) - m - 1 = 0} \\ {1 + \left( {m + 1} ight) + m - 1 e 0} \end{array}} ight.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \left( {m - 1} ight) - m - 1 e 0} \\ {1 + \left( {m + 1} ight) + m - 1 = 0} \end{array}} ight.} \end{array}} ight.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = \dfrac{1}{2}} \\ {m e - \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m e \dfrac{1}{2}} \\ {m = - \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.} \end{array}} ight. \Rightarrow m \pm \frac{1}{2}

    Vậy có hai giá thực của m thỏa mãn

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Cho bất phương trình: {9^x} + \left( {m - 1} ight){.3^x} + m > 0\,\,\left( 1 ight). Tìm tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình (1) nghiệm đúng \forall x>1.

    Đặt t=3^x.

    Vì  x > 1 \Rightarrow t > 3. Bất phương trình đã cho thành: {t^2} + \left( {m - 1} ight).t + m > 0 nghiệm đúng \forall t \geqslant 3

    \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - t}}{{t + 1}} > - m nghiệm đúng \forall t \geqslant 3.

    Xét hàm số:  g\left( t ight) = t - 2 + \frac{2}{{t + 1}},\forall t > 3,g'\left( t ight) = 1 - \frac{2}{{{{\left( {t + 1} ight)}^2}}} > 0,\forall t > 3.

    Hàm số đồng biến trên \left[ {3; + \infty } ight) và g\left( 3 ight) = \frac{3}{2}. Yêu cầu bài toán tương đương - m \leqslant \frac{3}{2} \Leftrightarrow m \geqslant - \frac{3}{2}.

  • Câu 22: Nhận biết

    Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = \frac{3x - 1}{x + 2} là điểm nào sau đây?

    Đồ thị hàm số y = \frac{3x - 1}{x + 2} có tiệm cận đứng x = - 2, tiệm cận ngang y = 3

    Suy ra tâm đối xứng là ( - 2;3).

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho bất phương trình \frac{{1 - {{\log }_9}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \leqslant \frac{1}{2}. Nếu đặt t = {\log _3}x thì bất phương trình trở thành: 

     Ta có: \frac{{1 - {{\log }_9}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \leqslant \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{1 - \frac{1}{2}{{\log }_3}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \leqslant \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{{2 - {{\log }_3}x}}{{2\left( {1 + {{\log }_3}x} ight)}} \leqslant \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 - \frac{{2 - {{\log }_3}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \geqslant 0

    \Leftrightarrow \frac{{2{{\log }_3}x - 1}}{{1 + {{\log }_3}x}} \geqslant 0

    Hay  \frac{{2t - 1}}{{1 + t}} \geqslant 0.

  • Câu 24: Vận dụng

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) \geqslant {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight) là:

    8 || tám || Tám

    Đáp án là:

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) \geqslant {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight) là:

    8 || tám || Tám

     BPT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ {\log _2}x > 0 \hfill \\ {\log _4}x > 0 \hfill \\ + {\log _2}\left( {{{\log }_{{2^2}}}x} ight) \geqslant {\log _{{2^2}}}\left( {{{\log }_2}x} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ + {\log _2}\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} ight) \geqslant \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ + {\log _2}\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} ight) \geqslant \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) - 1 \geqslant \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) \geqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ {\log _2}x \geqslant 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ x \geqslant 8 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x \geqslant 8

    Vậy giá trị nghiệm nguyên nhỏ nhất của BPT là 8.

     

  • Câu 25: Thông hiểu

    Thu gọn biểu thức T = \frac{{{a^{\frac{7}{6}}}.{b^{ - \frac{2}{3}}}}}{{\sqrt[6]{{a{b^2}}}}} biết a và b là hai số thực dương.

    Ta có: T = \frac{{{a^{\frac{7}{6}}}.{b^{ - \frac{2}{3}}}}}{{\sqrt[6]{{a{b^2}}}}} = \left( {{a^{\frac{7}{6}}}:{a^{\frac{1}{6}}}} ight).\left( {{b^{\frac{{ - 2}}{3}}}:{b^{\frac{2}{6}}}} ight) = \frac{a}{b}

  • Câu 26: Vận dụng

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1 ight)}{x^{2} - 2x - 3} là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1;3 ight\}

    \lim_{x ightarrow +\infty}\left\lbrack \dfrac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1ight)}{x^{2} - 2x - 3} ightbrack= \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x^{2}\left( \sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}ight)}{x^{2}\left( 1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}ight)}

    = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}}{1 -\dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}} = 2 suy ra y = 2 là tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow -\infty}\left\lbrack \dfrac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1ight)}{x^{2} - 2x - 3} ightbrack= \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x^{2}\left( - \sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}ight)}{x^{2}\left( 1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}ight)}

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{2}{x} -\dfrac{3}{x^{2}}} = 0 suy ra y = 0 là tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow - 1}\left\lbrack\frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1 ight)}{x^{2} - 2x - 3}ightbrack= \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} +x - 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}{\left( x^{2} - 2x- 3 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{2x(x + 1)}{(x - 3)(x + 1)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{2x}{(x - 3)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)} = \frac{- 2}{16} = \frac{1}{8}

    Vậy x = - 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + x - 1} ight)}}{{{x^2} - 2x - 3}}} ight] = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left[ {\frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + x - 1} ight)}}{{{x^2} - 2x - 3}}} ight] = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. suy ra x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

    Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho phương trình {\left( {7 + 4\sqrt 3 } ight)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?

     Ta có: {\left( {7 + 4\sqrt 3 } ight)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 6

    \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}^2}} ight]^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} - 6 = 0

    \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}^x}} ight]^2} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} - 6 = 0{\text{ }}\left( {*} ight)

    Đặt t = {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} > 0.

    Khi đó \left( {*} ight) \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = 2{\text{ }}\left( TM ight) \hfill \\ t = - 3{\text{ }}\left( L ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với t = 2 \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 2 \Leftrightarrow \boxed{x = {{\log }_{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}}2}.

  • Câu 28: Nhận biết

    Phương trình {\log _2}(x + 3) + {\log _2}(x - 1) = {\log _2}5 có nghiệm là:

    2 || hai || x=2 || Hai

    Đáp án là:

    Phương trình {\log _2}(x + 3) + {\log _2}(x - 1) = {\log _2}5 có nghiệm là:

    2 || hai || x=2 || Hai

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 1 > 0 \hfill \\ (x + 3)(x - 1) = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ {x^2} + 2x - 8 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = - 8 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x = 2

  • Câu 29: Vận dụng

    Để thiết kế một chiếc bể nuôi cá Koi trong sân vườn hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao 150(cm) và thể tích chứa 900\ \left( m^{3} ight). Biết giá thành để làm mặt bên là 2,8 triệu đồng/m^{2} và làm mặt đáy là 4 triệu đồng/m^{2}. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá (Làm tròn theo đơn vị triệu đồng).

    Đáp án: 2812

    Đáp án là:

    Để thiết kế một chiếc bể nuôi cá Koi trong sân vườn hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao 150(cm) và thể tích chứa 900\ \left( m^{3} ight). Biết giá thành để làm mặt bên là 2,8 triệu đồng/m^{2} và làm mặt đáy là 4 triệu đồng/m^{2}. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá (Làm tròn theo đơn vị triệu đồng).

    Đáp án: 2812

    Gọi x\ ,\ y lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hình hộp.

    Điều kiện: x\ > \ 0\ ;\ y\ > \ 0(m).

    Ta có thể tích của khối hộp:

    V = 1,5xy = 900 \Rightarrow \ xy\ = \ 600\ \Rightarrow \ y\ = \frac{600}{x}\left( m^{3} ight).

    Diện tích mặt đáy:

    S_{d}\ = \ xy\ = \ x\ .\ \frac{600}{x}\ = \ 600\ \left( m^{2} ight).

    Giá tiền để làm mặt đáy là:

    600\ .\ 4000000\ = \ 24.10^{8}(đồng).

    Diện tích xung quanh của bể cá:

    S_{xq}\ = \ 2.x.1,5\ + \ 2.y.1,5\ = \ 3.(x\ + \ y)\ = \ 3.\left( x\ + \ \frac{600}{x} ight).

    Giá tiền để làm mặt bên là:

    3.\left( x\ + \ \frac{600}{x} ight)\ .\ 2800000\ = \ 84.10^{5}.\left( x\ + \ \frac{600}{x} ight).

    Tổng chi phí để xây dựng bể cá là:

    T(x)\ = \ 84.10^{5}.\left( x\ + \frac{600}{x} ight)\ + \ 24.10^{8}\geq 84.10^{5}.2\sqrt{x.\frac{600}{x}}\ + \ 24.10^{8}\ \approx2812 (triệu đồng).

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Đồ thị của hàm số y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + 2m + 1 (với m là tham số) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Kết luận nào sau đây đúng?

    Phương trình hoành độ giao điểm y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + 2m + 1 = 0\ \ (1)

    Đặt t = x^{2};t \geq 0. Phương trình trở thành t^{2} - 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0\ \ \ (2)

    Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt, nghĩa là \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (m + 1)^{2} - (2m + 1) > 0 \\ m + 1 > 0 \\ 2m + 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m eq 0 \\m > - 1 \\m > - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m eq 0 \\m > - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Gọi x_{1};x_{2};x_{3};x_{4};\left( x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} ight) là nghiệm cỉa phương trình (1) và t_{1};t_{2};\left( t_{1} < t_{2} ight) là nghiệm của phương trình (2)

    Theo giả thiết ta có:

    x_{4} - x_{3} = x_{3} - x_{2} = x_{2} - x_{1}

    \Leftrightarrow x_{4} - x_{3} = x_{3} - x_{2}

    \Leftrightarrow \sqrt{t_{2}} - \sqrt{t_{1}} = \sqrt{t_{1}} + \sqrt{t_{1}} \Leftrightarrow t_{2} = 9t_{1} > 0

    Ta có hệ:

    \left\{ \begin{matrix}t_{1} + t_{2} = 2(m + 1) \\t_{1}.t_{2} = 2m + 1 \\t_{1} = 9t_{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t_{1} = \dfrac{m}{5} + \dfrac{1}{5} \\t_{2} = \dfrac{9m}{5} + \dfrac{9}{5} \\t_{1}.t_{2} = 2m + 1 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left( \dfrac{m}{5} +\dfrac{1}{5} ight)\left( \dfrac{9m}{5} + \dfrac{9}{5} ight) = 2m + 1\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 4 \\m = - \dfrac{4}{9} \\\end{matrix} ight.

    Vậy m \in (2;6)

  • Câu 31: Nhận biết

    Tập nghiệm của bất phương trình {\log _3}\frac{{4x + 6}}{x} \leqslant 0 là: 

     Ta có: {\log _3}\frac{{4{\text{x}} + 6}}{x} \leqslant 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{4{\text{x}} + 6}}{x} > 0 \hfill \\ \frac{{4{\text{x}} + 6}}{x} \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < - \frac{3}{2} \vee x > 0 \hfill \\ - 2 \leqslant x < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow - 2 \leqslant x < - \frac{3}{2}

    Vậy BPT có tập nghiệm là  S = \left[ { - 2; - \frac{3}{2}} ight).

  • Câu 32: Vận dụng

    Có tất cả bao nhiêu cách phân tích số {15^9} thành tích của ba số nguyên dương, biết rằng các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính một lần?

    Ta có:

    \begin{matrix} {15^9} = {3^9}{.5^9} \hfill \\ \Rightarrow {15^9} = \underbrace {3...3}_9.\underbrace {5...5}_9 \hfill \\ \Rightarrow {15^9} = \underbrace {\underbrace {3...3}_{{a_1}}.\underbrace {5...5}_{{b_1}}}_x.\underbrace {\underbrace {3...3}_{{a_2}}.\underbrace {5...5}_{{b_2}}}_y.\underbrace {\underbrace {3...3}_{{a_3}}.\underbrace {5...5}_{{b_3}}}_z \hfill \\ \end{matrix}

    Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {3^{{a_1}}}{5^{{b_1}}}} \\ {y = {3^{{a_2}}}{5^{{b_2}}}} \\ {z = {3^{{z_1}}}{5^{{z_2}}}} \end{array}} ight. suy ra ta có hệ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} + {a_2} + {a_3} = 9} \\ {{b_1} + {b_2} + {b_3} = 9} \end{array}} ight.

    Xét ba trường hợp:

    Trường hợp 1: Các số x,y,z bằng nhau

    => chỉ có 1 cách chọn

    Trường hợp 2: Trong ba số x,y,z có hai số bằng nhau, giả sử x = y

    =>\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} = {a_2}} \\ {{b_1} = {b_2}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{a_1} + {a_3} = 9} \\ {2{b_a} + {b_3} = 9} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3} = 9 - 2{a_1}} \\ {{b_3} = 9 - 2{a_1}} \end{array}} ight.

    => Có 5 cách chọn {a_1} và 5 cách chọn {b_1}

    Trường hợp 3: Số cách chọn ba số phân biệt:

    Số cách chọn \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} + {a_2} + {a_3} = 9} \\ {{b_1} + {b_2} + {b_3} = 9} \end{array}} ight. là C_{11}^2.C_{11}^2

    => Số cách chọn ba số phân biệt là C_{11}^2.C_{11}^2 - 24.3 - 1

    Vậy số cách phân tích {15^9} thành tích ba số nguyên dương là \frac{{C_{11}^2.C_{11}^2 - 24.3 - 1}}{{3!}} + 25 = 517

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA=2a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

     

    Gọi I là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và có I là trung điểm AB nên SI \bot AB. Do (SAB) \bot (ABCD) theo giao tuyến AB nên SI \bot (ABCD).

    Tam giác vuông SIA, có:

    SI = \sqrt {S{A^2} - I{A^2}} = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} ight)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}

  • Câu 34: Nhận biết

    Hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ dưới đây là:

    Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d với a < 0 nên hàm số tương ứng là y = - x^{3} + 3x.

  • Câu 35: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, hỏi trong các phương trình sau đây phương trình nào là phương trình của mặt cầu?

    Phương trình x^{2} + z^{2} + 3x - 2y + 4z - 1 = 0 không có y^{2}=> Loại

    Phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy - 4y + 4z - 1 = 0 có số hạng 2xy => Loại

    Phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 4z + 8 = 0 loại vì

    a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 1 + 1 + 4 - 8 < 0

    Phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4z - 1 = 0 thỏa mãn vì

    a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 1 + 0 + 4 + 1 = 6 > 0.

  • Câu 36: Vận dụng

    Tổng độ dài \ell của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2

    60 || sáu mươi || Sáu mươi

    Đáp án là:

    Tổng độ dài \ell của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2

    60 || sáu mươi || Sáu mươi

     Khối mười hai mặt đều có tất cả 30 cạnh:

     Suy ra ta có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng \ell = 30.2 = 60.

  • Câu 37: Vận dụng

    Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức P(x) = \frac{1}{40}x^{2}(30 - x) trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam, 0 < x < 30).

    a) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân là P(x) = \frac{3}{4}x^{2} - \frac{1}{40}x^{3}. Đúng||Sai

    b) Đạo hàm của P(x) là P'(x) = \frac{3}{2}x + \frac{3}{40}x^{2}. Sai||Đúng

    c) Phương trình P'(x) = 0 có nghiệm duy nhất. Sai||Đúng

    d) Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 20mg. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức P(x) = \frac{1}{40}x^{2}(30 - x) trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam, 0 < x < 30).

    a) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân là P(x) = \frac{3}{4}x^{2} - \frac{1}{40}x^{3}. Đúng||Sai

    b) Đạo hàm của P(x) là P'(x) = \frac{3}{2}x + \frac{3}{40}x^{2}. Sai||Đúng

    c) Phương trình P'(x) = 0 có nghiệm duy nhất. Sai||Đúng

    d) Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 20mg. Đúng||Sai

    a) Đúng. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được viết lại làP(x) = \frac{3}{4}x^{2} - \frac{1}{40}x^{3}.

    b) Sai. Đạo hàm của P(x) làP'(x) = \frac{3}{2}x - \frac{3}{40}x^{2}.

    c) Sai. Xét phương trình P'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2}x - \frac{3}{40}x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 20 \\ \end{matrix} ight.

    d) Đúng. Ta có bảng biến thiên:

    Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 20 mg.

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình bên dưới). Cạnh đáy dưới dài 5m, cạnh đáy trên dài 2m, cạnh bên dài 3m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1470000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

    Đáp án: 40538432

    Đáp án là:

    Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình bên dưới). Cạnh đáy dưới dài 5m, cạnh đáy trên dài 2m, cạnh bên dài 3m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1470000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

    Đáp án: 40538432

    Hình vẽ minh họa:

    Mô hình hoá chân tháp bằng cụt chóp tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ với O, O′ là tâm của hai đáy.

    Vậy AB = 5,A'B' = 2,CC' = 3.

    ABCD là hình vuông

    \Rightarrow AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = 5\sqrt{2} \Rightarrow CO = \frac{1}{2}AC = \frac{5\sqrt{2}}{2}

    A^{'}B^{'}C^{'}D^{'} là hình vuông

    \Rightarrow A^{'}C^{'} = \sqrt{A^{'}{B^{'}}^{2} + B^{'}{C^{'}}^{2}} = 2\sqrt{2} \Rightarrow C^{'}O^{'} = \frac{1}{2}A^{'}C^{'} = \sqrt{2}

    Kẻ C^{'}H\bot OC\ \ (H \in OC)

    OHC^{'}O^{'} là hình chữ nhật

    \Rightarrow OH = O^{'}C^{'} = \sqrt{2},OO^{'} = C^{'}H \Rightarrow CH = OC - OH = \frac{3\sqrt{2}}{2}

    \Delta CC^{'}H vuông tại H

    \Rightarrow C^{'}H = \sqrt{CC^{'2}- CH^{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \Rightarrow OO^{'} = C^{'}H =\frac{3\sqrt{2}}{2}

    Diện tích đáy lớn là:

    S = AB^{2} = 5^{2} = 25\left( m^{2} ight)

    Diện tích đáy bé là:

    S^{'} = A^{'}B^{'2} = 2^{2} = 4\left( m^{2} ight)

    Thể tích hình chóp cụt là:

    V = \frac{1}{3}h\left( S + \sqrt{SS^{'}} + S^{'} ight) = \frac{1}{3}.\frac{3\sqrt{2}}{2}(25 + \sqrt{25.4} + 4) = \frac{39\sqrt{2}}{2}\left( m^{3} ight)

    Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là: \frac{39\sqrt{2}}{2}.1470000 \approx 40538432 (đồng).

  • Câu 39: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

     Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

    - Khối lập phương có 6 mặt.

    \Rightarrow "Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4" \Rightarrow Sai.

    - Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. \Rightarrow Đúng

    - Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.

    \Rightarrow "Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.

    - Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.

    \Rightarrow "Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai

     

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

     

    Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì S.ABC là khối chóp đều nên suy ra \,SI \bot \left( {ABC} ight).

    Gọi M là trung điểm của BC\,\, \Rightarrow \,\,AI = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    Tam giác SAI vuông tại I, có:

    SI = \sqrt {S{A^2} - S{I^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} ight)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} ight)}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}

    Diện tích tam giác ABC là:  {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}

    Vậy thể tích khối chóp:  {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{{12}}

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho biết {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{3}}} > {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{6}}}, khẳng định nào sau đây đúng?

    Điều kiện: x - 2 > 0 \to x > 2

    Ta có:

    - \frac{1}{3} > - \frac{1}{6} \Rightarrow {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{3}}} > {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{6}}}

    \Rightarrow x - 2 < 1 \Rightarrow x < 3

    Vậy 2 < x < 3

  • Câu 42: Thông hiểu

    Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức P(x) = - x^{3} + 24x^{2} + 780x - 1000 trong đó x là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất tối đa 40 tạ sản phẩm trong một tuần. Hỏi để có lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất bao nhiêu tạ sản phẩm trong một tuần?

    Đáp án: 26

    Đáp án là:

    Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức P(x) = - x^{3} + 24x^{2} + 780x - 1000 trong đó x là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất tối đa 40 tạ sản phẩm trong một tuần. Hỏi để có lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất bao nhiêu tạ sản phẩm trong một tuần?

    Đáp án: 26

    Ta có P'(x) = - 3x^{2} + 48x + 780;\ \ P'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 10 \\ x = 26\ \ \ \\ \end{matrix} ight..

    Bảng biến thiên

    Vậy để lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất 26 tạ sản phẩm trong một tuần.

  • Câu 43: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho A(5; 0; 0), B(1; 2; −4), C(4; 3; 0) và mặt phẳng (α): x + 2y + 2z − 10 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và tiếp xúc mặt phẳng (α).

    Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu cần tìm.

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} AI = IB \\ AI = CI \\ AI = d\left( I;(\alpha) ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} +(z + 4)^{2}} \\\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} +z^{2}} \\\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \dfrac{|x + 2y + 2z -10|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - y + 2z = 1 \\ x - 3y = 0 \\ 3\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = |x + 2y + 2z - 10| \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3y \\z = \dfrac{- 5y + 1}{2} \\65y^{2} - 130y + 65 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y = 1 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.

    Vậy phương trình mặt cầu tâm I(3; 1; −2) bán kính R = AI = 3 là (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 9.

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Tổng tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = \frac{1}{5}{m^2}{x^5} - \frac{1}{3}m{x^3} + 10{x^2} - \left( {{m^2} - m - 20} ight)x + 1 đồng biến trên R bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{1}{5}{m^2}{x^5} - \dfrac{1}{3}m{x^3} + 10{x^2} - \left( {{m^2} - m - 20} ight)x + 1 \hfill \\ \Rightarrow y' = {m^2}{x^4} - m{x^2} + 20x - {m^2} + m + 20 \hfill \\ \end{matrix}

    Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi

    \begin{matrix} \Rightarrow y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Rightarrow {m^2}{x^4} - m{x^2} + 20x - {m^2} + m + 20 \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \end{matrix}

    Và dấu bằng xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm.

    Điều kiện cần

    Ta thấy phương trình y ‘ = 0 có một nghiệm x = -1 nên để y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} thì y’ không đổi dấu qua khi x = -1 khi đó phương trình y’ = 0 có nghiệm kép là x = -1 (x = -1 không thể laf nghiệm bội 4 của phương trình y’ = 0 vì y’ không chứa số hạng x3)

    Ta suy ra được y’’(-1) = 0

    => - 4{m^2} + 2m + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 2} \\ {m = \dfrac{5}{2}} \end{array}} ight.

    Điều kiện đủ:

    Với m = - 2 ta có:

    y' = 4{x^4} + 2{x^2} + 20x + 14 = 4{\left( {x + 1} ight)^2}\left[ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + \frac{5}{2}} ight] \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Hàm số đồng biến trên R

    => m = -2 thỏa mãn điều kiện đề bài.

    Với m = \frac{5}{2} ta có:

    y' = \frac{{25}}{4}{x^4} - \frac{5}{2}{x^2} + 20x + \frac{{65}}{4} = \frac{{25}}{4}{\left( {x + 1} ight)^2}\left[ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + \frac{8}{5}} ight] \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Hàm số đồng biến trên R

    => m = \frac{5}{2} thỏa mãn điều kiện đề bài

    Vậy m = - 2;m = \frac{5}{2} là các giá trị cần tìm.

    => Tổng các giá trị thực của m cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là - 2 + \frac{5}{2} = \frac{1}{2}

  • Câu 45: Vận dụng

    Gọi P là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = {x^3} - 3\left( {m - 2} ight){x^2} + 12x + 1 đồng biến trên tập xác định của nó. Tổng các phần tử của tập hợp P là:

    Ta có: y' = 3{x^2} - 6\left( {m - 2} ight)x + 12

    Hàm số đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi

    \begin{matrix} y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3 > 0} \\ {\left( {{\Delta _{y'}}} ight)' = 9{{\left( {m - 2} ight)}^2} - 36 \leqslant 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow 0 \leqslant m \leqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}

    Kết hợp với điều kiện m \in \mathbb{Z}

    => m \in \left\{ {0;1;2;3;4} ight\}

    => Tổng P bằng 10

  • Câu 46: Thông hiểu

    Hàm số y = - x^{4} + 2mx^{2} + 1 đạt cực tiểu tại x = 0 khi:

    Hàm số xác định với mọi x\mathbb{\in R}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} y' = - 4x^{3} + 4mx \\ y'' = - 12x^{2} + 4m \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 khi

    \left\{ \begin{matrix} y'(0) = 0 \\ y''(0) > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4.0^{3} + 4m.0 = 0(TM) \\ - 12.^{2} + 4m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m > 0

    Vậy m > 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 47: Thông hiểu

    Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong (S) sau là mặt cầu: 

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {2 - \ln t} ight)x + 4\ln t.y + 2\left( {\ln t + 1} ight)z + 5{\ln ^2}t + 8 = 0.

    Theo đề bài, ta có:

    a = \ln t - 2;\,\,b = - 2\ln t;\,\,c = - \ln t - 1;\,\,d = 5{\ln ^2}t + 8

    (S) là mặt cầu \Leftrightarrow {\left( {\ln t - 2} ight)^2} + 4{\ln ^2}t + {\left( {\ln t + 1} ight)^2} - 5{\ln ^2}t - 8 > 0

    \Leftrightarrow {\ln ^2}t - 2\ln t - 3 > 0

    \Leftrightarrow \ln t < - 1 \vee \ln t > 3

    \Leftrightarrow 0 < t < \frac{1}{e} \vee t > {e^3}

  • Câu 48: Nhận biết

    Cho hàm số y = {\left( {{x^2} - 2x + 1} ight)^{\frac{1}{3}}}. Tập xác định của hàm số đã cho là:

    Điều kiện xác đinh: {x^2} - 2x + 1 > 0 \Rightarrow x e 1

    => Tập xác định của hàm số là: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

  • Câu 49: Nhận biết

    Cho a và b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Ta có:

    \begin{matrix} {\log _2}{\left( {3ab} ight)^3} = 3.\left( {{{\log }_3}3 + {{\log }_3}a + {{\log }_3}b} ight) \hfill \\ = 3.\left( {1 + {{\log }_3}a + {{\log }_3}b} ight) \hfill \\ = 3 + 3{\log _3}ab \hfill \\ = 3 + {\log _3}{\left( {ab} ight)^3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 50: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?

    Ta có: y = {x^{ - \frac{5}{2}}} \Rightarrow y' = - \frac{5}{2}.{x^{ - \frac{7}{2}}};\forall x > 0 nên hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 55 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập