Tập xác định của hàm số
là:
Hàm số xác định khi
Vậy tập xác định của hàm số là
Tập xác định của hàm số
là:
Hàm số xác định khi
Vậy tập xác định của hàm số là
Cho hàm số
có đạo hàm
liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình
(m là tham số thực) nghiệm đúng với
khi và chỉ khi
Ta có:
Xét hàm số với
Ta có:
=> Hàm số g(x) luôn đồng biến trên
Ta có bảng biến thiên như sau:

=> (*) nghiệm đúng khi
Tính đạo hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Cho khối lăng trụ đứng
có
, đáy
là tam giác vuông cân tại
và
. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Tam giác vuông cân tại
,
suy ra
Vậy thể tích khối lăng trụ
Cho hàm số
với
là tham số. Khi giá trị của
biến thiên thì số điểm cực trị của hàm số có thể là
hoặc
hoặc
. Tính giá trị biểu thức
?
Đặt
Ta có bảng biến thiên của như sau:
TH1:
Hàm số có 3 điểm cực trị suy ra
TH2:
Hàm số có 3 điểm cực trị suy ra
TH3:
Hàm số có 3 điểm cực trị suy ra
Vậy
Nếu đặt
thì phương trình
trở thành phương trình nào?
Đặt
PT
.
Gọi
là tập hợp các giá trị thực của tham số
để hàm số
nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng
. Khi đó tổng tất cả các giá trị của các phần tử trong tập hợp
bằng:
Ta có:
Gọi là nghiệm của phương trình (*) ta có bảng biến thiên:
Hàm số y nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
(*) có hai nghiệm phân biệt
Suy ra
Vậy tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 8.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?
Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có:
- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Hàm số là hàm trùng phương có
nên hàm số có ba điểm cực trị.
Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy
, góc ở đỉnh bằng
. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có và
.
Suy ra độ dài đường sinh:
Vậy diện tích xung quanh bằng: (đvdt).
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng
, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
. Đường cao h của hình nón bằng:
Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra và
.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .
Ta có
Từ đó suy ra nên
Trong tam giác vuông SOE, ta có
Phương trình
có tập nghiệm là:
PT
.
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn
và
. Giá trị của biểu thức
là:
Theo điều kiện ta có:
Cho biết năm 2018, tỉnh A có 2 triệu người và tỉ lệ dân số là 1,4%/năm. Hỏi đến năm 2025 tỉnh A có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi?
Ta có: A = 2, n = 7; I = 0,014
Số dân tỉnh A đến năm 2025 là triệu người.
Với giá trị nào của m thì mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu
![]()
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là .
tiếp xúc (S) khi:
(loại)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và
. Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD.

Đường chéo hình vuông
Xét tam giác SAC, ta có .
Chiều cao khối chóp là .
Diện tích hình vuông ABCD là
Vậy thể tích khối chóp .
Cho hàm số
. Tìm
để khoảng cách từ gốc
đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất.
Cho hàm số . Tìm
để khoảng cách từ gốc
đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất.
Cho hàm số
có đạo hàm trên
là
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Ta có: . Lập bảng xét dấu như sau:
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
Trong không gian với hệ tọa độ
, tìm tọa độ tâm
và bán kính
của mặt cầu ![]()
Tâm của có tọa độ là
Bán kính mặt cầu là:
.
Viết biểu thức
dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Ta có:
Người ta khảo sát gia tốc a(t) của một vật thể chuyển động (t là khoảng thời gian tính bằng giâu từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ ba ghi nhận được a(t) là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên:

Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ ba được khảo sát đó, thời điểm nào vận tốc lớn nhất?
Từ đồ thị ta có: a(t) = 0 => v’(t) = 0 = > t = 2
Ta có bảng biến thiên:

=> Vận tốc lớn nhất đạt được khi t = 2
Cho
. Rút gọn biểu thức 
Ta có:
Cho hàm số
với
là tham số. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
bằng
. Tổng các phần tử của tập hợp
bằng:
Điều kiện
Ta có: . Vì
nên
Suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng
Kết hợp điều kiện
Vậy nên tổng các phần tử thuộc tập S bằng 1.
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Cho hai số thực a và b với
. Chọn khẳng định sai?
sai vì chưa biết b > 0 hay b < 0
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?

Đường tiệm cận ngang:
Đường tiệm cận đứng:
Phương trình
có hai nghiệm
trong đó
, hãy chọn phát biểu đúng?
Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được:
Tìm số mặt của hình đa diện dưới đây là?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Bất phương trình
có tập nghiệm là:
Điều kiện:
Ta có:
Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là .
Cho hình hộp chữ nhật
có
, đường chéo
hợp với mặt đáy
một góc
thỏa mãn
. Tính theo
thể tích khối hộp đã cho.
Ta có nên
.
Tam giác vuông , ta có
.
Tam giác vuông , ta có
.
Diện tích hình chữ nhật là
.
Vậy .
Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số
theo trục
lên hai đơn vị và theo trục
sang trái
đơn vị ta được đồ thị hàm số
. Hỏi có bao nhiêu điểm trên đồ thị hàm số
có các tọa độ đều là số nguyên?
Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số theo trục
lên hai đơn vị và theo trục
sang trái
đơn vị ta được đồ thị hàm số
. Hỏi có bao nhiêu điểm trên đồ thị hàm số
có các tọa độ đều là số nguyên?
Tập nghiệm của bất phương trình
là:
Vậy tập nghiệm của BPT là .
Cho hàm số
có đạo hàm
. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Ta có:
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có một điểm cực tiểu.
Cho hình chóp
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, . Cạnh bên , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
là:

Gọi M là trung điểm AC, suy ra
Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.
Ta có , suy ra tam giác SAC đều.
Gọi G là trọng tâm , suy ra
. (1)
Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lại có nên SM là trục của tam giác ABC.
Mà G thuộc SM nên suy ra .
Từ (1) và (2), suy ra hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
.
Bán kính mặt cầu .
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực
?
Hàm số là hàm số mũ có cơ số bằng
nghịch biến trên
Hàm số là hàm số mũ có cơ số
nên đồng biến trên
Hàm số chỉ xác định trên
Hàm số có
nên nghịch biến trên
Tổng tất cả các giá trị thực của m để hàm số
đồng biến trên R bằng:
Ta có:
Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi
Và dấu bằng xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Điều kiện cần
Ta thấy phương trình y ‘ = 0 có một nghiệm x = -1 nên để thì y’ không đổi dấu qua khi x = -1 khi đó phương trình y’ = 0 có nghiệm kép là x = -1 (x = -1 không thể laf nghiệm bội 4 của phương trình y’ = 0 vì y’ không chứa số hạng x3)
Ta suy ra được y’’(-1) = 0
=>
Điều kiện đủ:
Với m = - 2 ta có:
=> Hàm số đồng biến trên R
=> m = -2 thỏa mãn điều kiện đề bài.
Với ta có:
=> Hàm số đồng biến trên R
=> thỏa mãn điều kiện đề bài
Vậy là các giá trị cần tìm.
=> Tổng các giá trị thực của m cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Cho
. Tính ![]()
Ta có:
Giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
Ta có:
nên hàm số có tiệm cận ngang là
và tiệm cận đứng là
.
Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
Mọi hình chóp đều không có tâm đối xứng (tứ diện đều, hình chóp tứ giác đều,….)
Hình lăng trụ tam giác cũng không có tâm đối xứng.
Mọi hình hộp chữ nhật, hình lập phương đều có tâm đối xứng
Bát diện đều cũng có tâm đối xứng.
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
là:
0 ||không || Không|| x= 0
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là:
0 ||không || Không|| x= 0
BPT
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của BPT là .
Cho hàm số
có đạo hàm
. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực đại?
Từ giả thiết ta có bảng biến thiên của hàm số f(x)

Ta có:
g(x) = f(3 – x)
=> g’(x) = -f’(3 – x)
Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta có:
=> Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) là:

Từ bảng biến thiên ta nhận thấy hàm số g(x) có một điểm cực đại.
Một sinh viên giỏi
được một công ty trao quỹ học bổng
triệu đồng, số tiền đó được công ty gửi vào ngân hàng với lãi suất
mỗi tháng, cuối mỗi tháng sinh viên đó được rút đều đặn số tiền
triệu đồng.
a) Quỹ học bổng còn lại sau
tháng là:
triệu đồng. Đúng||Sai
b) Quỹ học bổng còn lại sau 2 tháng là:
triệu đồng. Sai||Đúng
c) Quỹ học bổng còn lại sau n tháng là:
(triệu đồng). Sai||Đúng
d) Tháng cuối cùng sinh viên đó rút được
triệu đồng thì hết quỹ học bổng trên. Sai||Đúng
Một sinh viên giỏi được một công ty trao quỹ học bổng
triệu đồng, số tiền đó được công ty gửi vào ngân hàng với lãi suất
mỗi tháng, cuối mỗi tháng sinh viên đó được rút đều đặn số tiền
triệu đồng.
a) Quỹ học bổng còn lại sau tháng là:
triệu đồng. Đúng||Sai
b) Quỹ học bổng còn lại sau 2 tháng là: triệu đồng. Sai||Đúng
c) Quỹ học bổng còn lại sau n tháng là: (triệu đồng). Sai||Đúng
d) Tháng cuối cùng sinh viên đó rút được triệu đồng thì hết quỹ học bổng trên. Sai||Đúng
a) Quỹ học bổng còn lại sau tháng là:
triệu đồng.
Suy ra mệnh đề đúng.
b) Quỹ học bổng còn lại sau 2 tháng là:
(triệu đồng)
Suy ra mệnh đề sai.
c) Quỹ học bổng còn lại sau n tháng là:
(triệu đồng).
Suy ra mệnh đề sai.
d) Quỹ học bổng còn lại sau 16 tháng là:
.
Quỹ học bổng còn lại sau 15 tháng là.
triệu đồng.
Suy ra tháng cuối cùng sinh viên đó rút được triệu đồng thì hết quỹ học bổng trên.
Suy ra mệnh đề sai.
Tính thể tích
của khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông tại A,
. Biết rằng
.

Gọi I là trung điểm BC. Từ , suy ra hình chiếu vuông góc của A' trên mặt đáy
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Suy ra .
Tam giác , có
Tam giác vuông , có
.
Diện tích tam giác là
.
Vậy .
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng
?
Ta có:
sai vì
nhưng
sai vì
nhưng
sai vì
nhưng
đúng vì
nên hàm số
đồng biến trên khoảng
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; điểm I nằm trên SC sao cho
. Mặt phẳng
chứa cạnh
cắt cạnh
lần lượt tại
. Gọi
lần lượt là thể tích khối chóp
và
. Tính giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích
.

Đặt .
Ta có .
Ta có .
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất cử tỉ số thể tích cần tìm là .
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2
60 || sáu mươi || Sáu mươi
Tổng độ dài của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2
60 || sáu mươi || Sáu mươi
Khối mười hai mặt đều có tất cả 30 cạnh:

Suy ra ta có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng .
Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình
có nghiệm?
Chia hai vế của bất phương trình cho , ta được:
Xét hàm số là hàm số nghịch biến.
Ta có: nên
.
Vậy bất phương trình có nghiệm khi .
Tổng các nghiệm của phương trình
là:
Điều kiện . Có
Dó đó, tổng các nghiệm sẽ bằng .
Tính đạo hàm của hàm số
là:
Áp dụng công thức tính đạo hàm: ta có: