Lớp 12 Toán 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 12.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \left| x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + m ight| với m là tham số. Khi giá trị của m biến thiên thì số điểm cực trị của hàm số có thể là a hoặc b hoặc c. Tính giá trị biểu thức P = a.b.c?

    Đặt g(x) = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + m

    \Rightarrow g'(x) = 4x^{3} - 12x^{2} + 8x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên của g(x) như sau:

    TH1: m \geq 0

    Hàm số y = \left| x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + m ight| có 3 điểm cực trị suy ra a = 3

    TH2: - 1 < m < 0

    Hàm số y = \left| x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + m ight| có 3 điểm cực trị suy ra b = 7

    TH3: m \leq - 1

    Hàm số y = \left| x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + m ight| có 3 điểm cực trị suy ra c = 5

    Vậy P = a.b.c = 105

  • Câu 2: Nhận biết

    Cơ số x bằng bao nhiêu để {\log _x}\sqrt[{10}]{3} = - 0,1?

    Điều kiện x > 0;x e 1

    Ta có:

    \begin{matrix} {\log _x}\sqrt[{10}]{3} = - 0,1 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^{ - 0,1}} = {3^{0,1}} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^{ - 1}} = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 6y - 4z - 2 = 0 và mặt phẳng (α) : x + 4y + z − 11 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P), biết (P) song song với giá của vectơ \overrightarrow{v} = (1;6;2), vuông góc với (α) và tiếp xúc với (S).

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R = 4.

    Vectơ pháp tuyến của (α) là \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;4;1)

    Theo giả thiết, suy ra (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{(P)}} = \left\lbrack \overrightarrow{v};\overrightarrow{n_{(\alpha)}} ightbrack = (2; - 1;2)

    Phương trình của mặt phẳng (P) có dạng 2x − y + 2z + D = 0

    Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:

    d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2 + 3 + 4 + D|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 4

    \Leftrightarrow |9 + D| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} D = 3 \\ D = - 21 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là: \left\lbrack \begin{matrix} (P):2x - y + 2z + 3 = 0 \\ (P):2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho đường tròn (C) đường kính AB và đường thẳng \triangle. Để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh \triangle là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:

    Điều kiện để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh \triangle là một mặt cầu là trục quay \triangle phải cố định và hai điểm A, B cũng cố định trên \triangle.

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực?

     Ta có:

    y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2{x^2} + 1} ight);y = {\log _{\frac{1}{2}}}x là các hàm số không xác định trên \mathbb{R}

    Vì \frac{2}{e} < 1 \Rightarrow y = {\left( {\frac{2}{e}} ight)^x} nghịch biến trên \mathbb{R}

  • Câu 6: Vận dụng

    Anh T đã làm hợp đồng xin vay vốn ngân hàng để kinh doanh với số tiền 200 triệu đồng với lãi suất a% trên một năm. Điều kiện hợp đồng là số tiền lại tháng trước sẽ được tính làm vốn để sinh lãi cho tháng sau. Sau hai năm kinh doanh, anh T dã thanh toán hợp đồng ngân hàng với số tiền làm tròn là 245512000 đồng. Chọn khẳng định đúng?

    Lãi suất mỗi tháng là \frac{a}{{12}}\%. Theo công thức lãi kép ta có:

    \begin{matrix} 200.{\left( {1 + \dfrac{a}{{12}}\% } ight)^{24}} = 245,512 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{a}{{12}}\% = \sqrt[{24}]{{\dfrac{{245,512}}{{200}}}} - 1 \hfill \\ \Rightarrow a \approx 10 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f’(x) liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

    Bất phương trình chưa tham số m nghiệm đúng

    Bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} } ight) < \sqrt {x + 1} + m (với m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x \in \left( { - 1;3} ight) khi và chỉ khi:

    Đặt u = \sqrt {x + 1}

    Vì x \in \left( { - 1;3} ight) \Rightarrow u \in \left( {0;2} ight)

    => f\left( u ight) < u + m \Rightarrow f\left( u ight) - u < m

    Xét hàm số g\left( u ight) = f\left( u ight) - u;{\text{ }}u \in \left( {0;2} ight)

    Ta có: g'\left( u ight) = f'\left( u ight) - 1

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: u \in \left[ {0;2} ight] thì f'\left( u ight) < 1;\forall u \in \left[ {0;2} ight]

    => g(u) nghịch biến trên (0; 2)

    Vậy để f\left( {\sqrt {x + 1} } ight) < \sqrt {x + 1} + m nghiệm đúng với mọi x \in \left( { - 1;3} ight) thì

    \begin{matrix} f\left( u ight) - u < m;\forall u \in \left( {0;2} ight) \hfill \\ \Rightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} ight]} g\left( u ight) = g\left( 0 ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Mặt bên SBC là tam giác gì?

    Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong (S) sau là mặt cầu: 

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {2 - \ln t} ight)x + 4\ln t.y + 2\left( {\ln t + 1} ight)z + 5{\ln ^2}t + 8 = 0.

    Theo đề bài, ta có:

    a = \ln t - 2;\,\,b = - 2\ln t;\,\,c = - \ln t - 1;\,\,d = 5{\ln ^2}t + 8

    (S) là mặt cầu \Leftrightarrow {\left( {\ln t - 2} ight)^2} + 4{\ln ^2}t + {\left( {\ln t + 1} ight)^2} - 5{\ln ^2}t - 8 > 0

    \Leftrightarrow {\ln ^2}t - 2\ln t - 3 > 0

    \Leftrightarrow \ln t < - 1 \vee \ln t > 3

    \Leftrightarrow 0 < t < \frac{1}{e} \vee t > {e^3}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2{\cos ^3}x - \frac{9}{2}{\cos ^2}x + 3\cos x + \frac{1}{2} là:

    Đặt t = \cos x;t \in \left[ { - 1;1} ight]

    Khi đó hàm số trở thành:

    f\left( t ight) = 2{t^3} - \frac{9}{2}{t^2} + 3t + \frac{1}{2}

    Xét hàm số f\left( t ight) = 2{t^3} - \frac{9}{2}{t^2} + 3t + \frac{1}{2} trên đoạn \left[ { - 1;1} ight] ta có:

    f'\left( t ight) = 8{t^2} - 9t + 3 > 0;\forall t \in \left[ { - 1;1} ight]

    => Hàm số f(t) đồng biến trên \left( { - 1;1} ight)

    => \mathop {\min f\left( t ight)}\limits_{\left[ { - 1;1} ight]} = f\left( { - 1} ight) = 1

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho bất phương trình: {9^x} + \left( {m - 1} ight){.3^x} + m > 0\,\,\left( 1 ight). Tìm tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình (1) nghiệm đúng \forall x>1.

    Đặt t=3^x.

    Vì  x > 1 \Rightarrow t > 3. Bất phương trình đã cho thành: {t^2} + \left( {m - 1} ight).t + m > 0 nghiệm đúng \forall t \geqslant 3

    \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - t}}{{t + 1}} > - m nghiệm đúng \forall t \geqslant 3.

    Xét hàm số:  g\left( t ight) = t - 2 + \frac{2}{{t + 1}},\forall t > 3,g'\left( t ight) = 1 - \frac{2}{{{{\left( {t + 1} ight)}^2}}} > 0,\forall t > 3.

    Hàm số đồng biến trên \left[ {3; + \infty } ight) và g\left( 3 ight) = \frac{3}{2}. Yêu cầu bài toán tương đương - m \leqslant \frac{3}{2} \Leftrightarrow m \geqslant - \frac{3}{2}.

  • Câu 13: Vận dụng

    Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi vịt. Biết rằng đã có sẵn 240 m hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh chuồng là bao nhiêu?

    Đáp án: 2400 m2

    Đáp án là:

    Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi vịt. Biết rằng đã có sẵn 240 m hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh chuồng là bao nhiêu?

    Đáp án: 2400 m2

    Xét hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, và đặtv AB = x (x > 0)

    Khi đó BC = 240 – 3x > 0 ⇒ x < 80.

    Diện tích của hình chữ nhật ABCD là S = x.(240 – 3x ) = 240x – 3x2

    Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) với 0 < x < 80.

    Xét f(x) = 240x – 3x2 ⇒ f’(x) = 240 – 6x , f’(x) = 0 ⟺ x = 40.

    Do f’’(x) = - 6 < 0, ∀ x∈ (0; 80)

    Do đó maxS = \max_{x \in (0;80)}f(x) = f(40) = 4800 \Leftrightarrow x = 40

    Vậy diện tích lớn nhất có thể bao quanh là 4800m2 .

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tính tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - (m - 1)x^{2} + x - m đồng biến trên tập xác định?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = x^{2} - 2(m - 1)x + 1

    Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì y' \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \Delta' \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 2m \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 2

    Vì m\mathbb{\in Z} nên m \in \left\{ 0;1;2 ight\}

    Vậy S = 0 + 1 + 2 = 3.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Hàm số y = {\left( {4{x^2} - 1} ight)^{ - 4}} có tập xác định là:

    Hàm số y = {x^\alpha } có số mũ nguyên âm xác định khi

    Hàm số y = {\left( {4{x^2} - 1} ight)^{ - 4}} xác định khi 4{x^2} - 1 e 0 \Leftrightarrow x e \pm \frac{1}{2}

    Vậy tập xác định là: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} ight\}

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho biểu thức P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}} với x > 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

     Ta có: 

    \begin{matrix} P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}} \hfill \\ P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^{\frac{7}{2}}}}}} \hfill \\ P = \sqrt {x.{x^{\frac{7}{6}}}} \hfill \\ P = \sqrt {{x^{\frac{{13}}{6}}}} = {x^{\frac{{13}}{{12}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho đồ thị hàm số như sau:

    Đồ thị hàm số đã cho có phương trình tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt là x = - 1;y = 1.

  • Câu 18: Vận dụng

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = {x^3} - 3\left( {m + 1} ight){x^2} + 3\left( {7m - 3} ight)x không có cực trị. Số phần tử của S là:

    Xét hàm số y = {x^3} - 3\left( {m + 1} ight){x^2} + 3\left( {7m - 3} ight)x ta có:

    \begin{matrix} y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 1} ight)x + 3\left( {7m - 3} ight) \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + 7m - 3 = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Hàm số đã cho không có cực trị

    => Phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

    => \Delta ' \leqslant 0 \Rightarrow {\left( {m + 1} ight)^2} - 1\left( {7m - 3} ight) \leqslant 0 \Rightarrow 1 \leqslant m \leqslant 4

    Do m là số nguyên nên m \in \left\{ {1;2;3;4} ight\}

    Vậy tập S có 4 phần tử.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tập nghiệm của phương trình {\log _2}\frac{1}{x} = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - 1} ight) là:

     Điều kiện: x > 0 và {x^2} - x - 1 > 0

    Với điều kiện đó thì {\log _2}\frac{1}{x} = {\log _{\frac{1}{2}}}x.

    Khi đó, phương trình đã cho tương đương phương trình:

    {\log _{\frac{1}{2}}}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - 1} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x = {x^2} - x - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 1 + \sqrt 2 \hfill \\ x = 1 - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' cóAB =a, AD=a \sqrt 2, AB'=a \sqrt 5. Tính theo a thể tích khối hộp đã cho.

     

    Trong tam giác vuông ABB', có BB' = \sqrt {AB{'^2} - A{B^2}} = 2a.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD là {S_{ABCD}} = AB.AD = {a^2}\sqrt 2.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.BB' = 2{a^3}\sqrt 2

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =a \sqrt 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM.

     

    Theo giả thiết, ta có SH = a\sqrt 3.

    Diện tích tứ giác:

    {S_{CDNM}} = {S_{ABCD}} - {S_{\Delta AMN}} - {S_{\Delta BMC}}

    = A{B^2} - \frac{1}{2}AM.AN - \frac{1}{2}BM.BC = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{8} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{8}

    Vậy  {V_{S.CDNM}} = \frac{1}{3}{S_{CDNM}}.SH = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^{3};\forall x\mathbb{\in R}. Số điểm cực đại của hàm số là:

    Ta có: f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Lập bảng biến thiên của hàm số

    Suy ra số điểm cực đại của hàm số là 1 điểm.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

     Xét các đáp án, ta có: 

    - A Đúng: Ta chứng minh như sau:

    Gọi M1 là môt mặt khối đa diện, M1 là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c1; c2; c3.

    M2 chung cạnh c1 với M1(M2≠M1) , M3 chung cạnh c2 với M1(M3≠M1)

    Vì c1∈M3⇒M2≠M3. Gọi M4 là mặt có chung cạnh c3 với M1(M4≠M1)

    Vì M4 không chứa c1, c2 nên M4 khác M2 và M3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.

    - B Sai.

    - C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.

    - D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh

  • Câu 24: Vận dụng

    Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, \widehat {BAD} = {120^0} . Góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng \left( {ADD'A'} ight) bằng 30^0. Tính thể tích V của khối lăng trụ.

    Hình thoi ABCD có \widehat {BAD} = {120^0}, suy ra \widehat {ADC} = {60^0}. Do đó tam giác ABC và ADC là các tam giác đều. Gọi N là trung điểm A'B' nên  \left\{ \begin{gathered} {C'N \bot A'B'} \hfill \\ C'N = \frac{{\sqrt {3} }}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Suy ra {30^0} = \widehat {AC',\left( {ADD'A'} ight)} = \widehat {AC',AN} = \widehat {C'AN}.

    Tam giác vuông C'NA, có AN = \frac{{C'N}}{{\tan \widehat {C'AN}}} = \frac{3}{2}

    Tam giác vuông AA'N, có AA' = \sqrt {A{N^2} - A'{N^2}} = \sqrt 2.

    Diện tích hình thoi {S_{ABCD}} = A{B^2}.\sin \widehat {BAD} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.

  • Câu 25: Vận dụng

    Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại \left\{ {3;5} ight\} là:

    Khối đa diện đều loại \left\{ {3;5} ight\} là khối hai mươi mặt đều:

    Gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng: 20.\pi = 20\pi

  • Câu 26: Nhận biết

    Điều kiện xác định của bất phương trình {\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {{{\log }_2}(2 - {x^2})} ight] > 0 là:

     BPT xác định khi : \left\{ \begin{gathered} 2 - {x^2} > 0 \hfill \\ {\log _2}(2 - {x^2}) > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \hfill \\ 2 - {x^2} > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \hfill \\ 1 - {x^2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \hfill \\ - 1 < x < 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow - 1 < x < 1.

    Vậy BPT xác định khi x \in \left( { - 1;1} ight).

  • Câu 27: Vận dụng

    Biết hàm số y = (x - 1)(x + 1)\left(x^{2} - 7 ight) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để \frac{1}{1 - x_{1}} + \frac{1}{1 - x_{2}} +\frac{1}{1 - x_{3}} + \frac{1}{1 - x_{4}} > 1?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Biết hàm số y = (x - 1)(x + 1)\left(x^{2} - 7 ight) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để \frac{1}{1 - x_{1}} + \frac{1}{1 - x_{2}} +\frac{1}{1 - x_{3}} + \frac{1}{1 - x_{4}} > 1?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 28: Vận dụng

    Cho biết năm 2018, tỉnh A có 2 triệu người và tỉ lệ dân số là 1,4%/năm. Hỏi đến năm 2025 tỉnh A có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi?

    Ta có: A = 2, n = 7; I = 0,014

    Số dân tỉnh A đến năm 2025 là S = 2.{e^{7.0,014}} \approx 2,2059 triệu người.

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Mặt phẳng đi qua trọng tâm của tứ diện, song song với một mặt phẳng của tứ diện và chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của hai phần đó. 

     

    Gọi E,{\text{ }}F,{\text{ }}I lần lượt là trung điểm của các cạnh AC,{\text{ }}BD,{\text{ }}EF khi đó I là trọng tâm của tứ diện ABCD. Ta sẽ dựng mặt phẳng qua I song song với (BCD).

    Trong mặt phẳng (EBD) dựng đường thẳng qua I song song với BD cắt FB,{\text{ }}FD lần lượt tại M, N.

    Qua M, N lần lượt kẻ các đường thẳng lần lượt song song với BC,{\text{ }}CD cắt AB,{\text{ }}AC,{\text{ }}AD lần lượt tại P,{\text{ }}Q,{\text{ }}J.

    Do Q là trung điểm của EC \Rightarrow \frac{{AQ}}{{AC}} = \frac{3}{4}, suy ra \frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{AJ}}{{AD}} = \frac{{AQ}}{{AC}} = \frac{3}{4}.

    Ta có \frac{{{V_{A.PQJ}}}}{{{V_{A.BCD}}}} = \frac{{AP}}{{AB}}.\frac{{AQ}}{{AC}}.\frac{{AJ}}{{AD}} = \frac{3}{4}.\frac{3}{4}.\frac{3}{4} = \frac{{27}}{{64}}

    \Rightarrow \frac{{{V_{A.PQJ}}}}{{{V_{PQJBCD}}}} = \frac{{27}}{{37}}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Thu gọn biểu thức T = \frac{{{a^{\frac{7}{6}}}.{b^{ - \frac{2}{3}}}}}{{\sqrt[6]{{a{b^2}}}}} biết a và b là hai số thực dương.

    Ta có: T = \frac{{{a^{\frac{7}{6}}}.{b^{ - \frac{2}{3}}}}}{{\sqrt[6]{{a{b^2}}}}} = \left( {{a^{\frac{7}{6}}}:{a^{\frac{1}{6}}}} ight).\left( {{b^{\frac{{ - 2}}{3}}}:{b^{\frac{2}{6}}}} ight) = \frac{a}{b}

  • Câu 31: Nhận biết

    Điều kiện xác định của phương trình {\log _x}(2{x^2} - 7x - 12) = 2 là:

     Biểu thức {\log _x}(2{x^2} - 7x - 12) = 2 xác định 

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x e 1 \hfill \\ 2{x^2} - 7x + 12 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x e 1 \hfill \\ 2\left[ {{{(x - \frac{7}{4})}^2} + \frac{{47}}{{16}}} ight] > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow x \in (0;1) \cup (1; + \infty )

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y = f'\left( x ight) như hình bên. Đặt g\left( x ight) = f\left( x ight) - x. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét hàm số g\left( x ight) = f\left( x ight) - x

    \begin{matrix}g'\left( x ight) = f'\left( x ight) - 1 \hfill \\ g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = 1} \\ {x = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Chọn mệnh đề đúng

     

    Vậy g\left( 2 ight) < g\left( 1 ight) < g\left( { - 1} ight)

  • Câu 33: Thông hiểu

    Nghiệm lớn nhất của phương trình - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x  là:

    100 || 1 trăm || một trăm || Một trăm || x=100

    Đáp án là:

    Nghiệm lớn nhất của phương trình - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x  là:

    100 || 1 trăm || một trăm || Một trăm || x=100

     Điều kiện: x>0

    - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \log x = - 1 \hfill \\ \log x = 2 \hfill \\ \log x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{{10}} \hfill \\ x = 100 \hfill \\ x = 10 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy nghiệm lớn nhất là x =100.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH = - \log\left\lbrack H^{+} ightbrack với \left\lbrack H^{+} ightbrack là nồng độ ion hydrogen. Độ pH của một loại sữa có \left\lbrack H^{+} ightbrack = 10^{- 7,8} là bao nhiêu?

    Độ pH là pH = - log10^{- 6,8} = 6,8.

  • Câu 35: Vận dụng

    Gọi x_1 , x_2 là hai nghiệm của phương trình {2^{{x^2} + 4}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} ight)}} + \sqrt {{2^{2\left( {{x^2} + 2} ight)}} - {2^{{x^2} + 3}} + 1}. Khi đó, tổng hai nghiệm bằng?

    0 || không || Không || Tổng 2 nghiệm bằng 0

    Đáp án là:

    Gọi x_1 , x_2 là hai nghiệm của phương trình {2^{{x^2} + 4}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} ight)}} + \sqrt {{2^{2\left( {{x^2} + 2} ight)}} - {2^{{x^2} + 3}} + 1}. Khi đó, tổng hai nghiệm bằng?

    0 || không || Không || Tổng 2 nghiệm bằng 0

     Ta có: {2^{{x^2} + 4}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} ight)}} + \sqrt {{2^{2\left( {{x^2} + 2} ight)}} - {2^{{x^2} + 3}} + 1}

    \Leftrightarrow {8.2^{{x^2} + 1}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} ight)}} + \sqrt {{{4.2}^{2\left( {{x^2} + 1} ight)}} - {{4.2}^{{x^2} + 1}} + 1}

    Đặt t = {2^{{x^2} + 1}}\left( {t \geqslant 2} ight), phương trình trên tương đương với

    8t = {t^2} + \sqrt {4{t^2} - 4t + 1} \Leftrightarrow {t^2} - 6t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 3 + \sqrt {10} (vì t \geqslant 2).

    Từ đó suy ra {2^{{x^2} + 1}} = 3 + \sqrt {10} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x_1} = \sqrt {{{\log }_2}\frac{{3 + \sqrt {10} }}{2}} \hfill \\ {x_2} = - \sqrt {{{\log }_2}\frac{{3 + \sqrt {10} }}{2}} \hfill \\ \end{gathered} ight.

     

    Vậy tổng hai nghiệm bằng 0.

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ:

    Hàm số g(x) = f\left( 2x^{2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} ight) nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?

    Ta có:

    g'(x) = \left( 4x - \frac{5}{2} ight).f'\left( 2x^{2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} ight)

    Xét g'(x) = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}4x - \dfrac{5}{2} = 0 \\f'\left( 2x^{2} - \dfrac{5}{2}x - \dfrac{3}{2} ight) = 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{5}{8} \\2x^{2} - \dfrac{5}{2}x - \dfrac{3}{2} = - 2 \\2x^{2} - \dfrac{5}{2}x - \dfrac{3}{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x \in \left\{ -1;\dfrac{1}{4};\dfrac{5}{8};1;\dfrac{9}{4} ight\}

    Ta có bảng xét dấu:

    g'(0) = - \frac{5}{2}.f'\left( - \frac{3}{2} ight) > 0 \Rightarrow g'(x) > 0;\forall x \in \left( - 1;\frac{1}{4} ight)

    Vậy đáp án cần tìm là \left( 1;\frac{5}{4} ight).

  • Câu 37: Nhận biết

    Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

     

    Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)(x - 2)....(x - 2019), với \forall x\mathbb{\in R}. Hỏi hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2)....(x - 2019) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ .... \\ x = 2019 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra f'(x) = 0 có 2019 nghiệm bội lẻ và hệ số a > 0 nên có 1010 cực tiểu.

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hàm số y = {\left( {x - 1} ight)^{ - \frac{1}{4}}}. Khẳng định nào sau đây đúng?

     Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1 

  • Câu 40: Thông hiểu

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight)là:

    17 || x=17 || x bằng 17 || X=17

    Đáp án là:

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight)là:

    17 || x=17 || x bằng 17 || X=17

     Điều kiện:

    {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) > 2

    \Leftrightarrow {\log _2}x > 4 \Leftrightarrow x > 16

    Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất x=17.

  • Câu 41: Nhận biết

    Đồ thị của hàm số nào có dạng như hình vẽ sau đây?

    Ta thấy hình vẽ là đồ thị của hàm bậc ba có hệ số a > 0 nên hàm số cần tìm là y = x^{3} - 3x - 1.

  • Câu 42: Vận dụng

    Gọi x_1, x_2 là 2 nghiệm của phương trình {\log _2}\left[ {x\left( {x + 3} ight)} ight] = 1. Khi đó x_1 + x_2 bằng: 

    -3

    Đáp án là:

    Gọi x_1, x_2 là 2 nghiệm của phương trình {\log _2}\left[ {x\left( {x + 3} ight)} ight] = 1. Khi đó x_1 + x_2 bằng: 

    -3

    Điều kiện: \left[ \begin{gathered} x < - 3 \hfill \\ x > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    {\log _2}\left[ {x\left( {x + 3} ight)} ight] = 1 \Leftrightarrow x\left( {x + 3} ight) = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = 0

    Vậy {x_1} + {x_2} = - 3.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Viết biểu thức P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}};\left( {x > 0} ight) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

    Ta có: P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}} = {x^{\frac{1}{5}}}.{x^{\frac{2}{3}}}.{x^{\frac{3}{5}}} = {x^{\frac{{113}}{{30}}}}

  • Câu 44: Nhận biết

    Hàm số nào dưới dây nghịch biến trên khoảng ( - \infty; + \infty)?

    Xét hàm số y = - 2x + 1 có y' = - 2 < 0;\forall x\mathbb{\in R} nên hàm số y = - 2x + 1 nghịch biến trên khoảng ( - \infty; + \infty).

  • Câu 45: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và SC = a\sqrt 5. Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD.

     Thể tích khối chóp

    Đường chéo hình vuông AC = a\sqrt 2

    Xét tam giác SAC, ta có SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = a\sqrt 3.

    Chiều cao khối chóp là SA = a\sqrt 3.

    Diện tích hình vuông ABCD là {S_{ABCD}} = {a^2}

    Vậy thể tích khối chóp {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.

  • Câu 46: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực \mathbb{R}?

     Hàm số y = {\left( {\frac{2}{e}} ight)^x} là hàm số mũ có cơ số bằng \frac{2}{e} \in \left( {0;1} ight) nghịch biến trên \mathbb{R}

    Hàm số y = {\left( {\frac{\pi }{3}} ight)^x} là hàm số mũ có cơ số \frac{\pi }{3} > 1 nên đồng biến trên \mathbb{R}

    Hàm số y = {\log _{\frac{1}{2}}}x chỉ xác định trên \left( {0; + \infty } ight)

    Hàm số y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2{x^2} + 1} ight) có y' = \frac{{4x}}{{\left( {2{x^2} + 1} ight)\ln \frac{\pi }{4}}} nên nghịch biến trên \left( {0; + \infty } ight)

  • Câu 47: Thông hiểu

    Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?

     Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

  • Câu 48: Vận dụng

    Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ:

    Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{{x - 2}}{{{f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4}} là:

    Ta có: {f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = 4} \\ {f\left( x ight) = 1} \end{array}} ight.

    Phương trình f\left( x ight) = 4 có 3 nghiệm phân biệt khác 2.

    Phương trình f\left( x ight) = 1 có một nghiệm kép là x = 2 (do vậy mẫu số có dạng {\left( {x - 2} ight)^2} nên x = 2 vẫn là TCĐ của đồ thị hàm số

    => Đồ thị hàm số y = \frac{{x - 2}}{{{f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4}} có 4 đường tiệm cận đứng.

  • Câu 49: Nhận biết

    Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho SH = \frac{{3a}}{2}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

    Độ dài đường sinh

    Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.

    Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên S{A^2} = SH.SS' \Rightarrow SA = a\sqrt 3 .

  • Câu 50: Vận dụng

    Cho a và b là các số thực thỏa mãn điều kiện {\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a} và {b^{\dfrac{5}{4}}} > {b^{\dfrac{4}{3}}}. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Ta có:

    {\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a} \Rightarrow a < 0

    {b^{\frac{5}{4}}} > {b^{\frac{4}{3}}} \Rightarrow 0 < b < 1

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 52 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập