Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và
. Phương trình mặt cầu tâm
và đi qua
có phương trình là:
Bán kính mặt cầu là
Phương trình mặt cầu tâm và
là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và
. Phương trình mặt cầu tâm
và đi qua
có phương trình là:
Bán kính mặt cầu là
Phương trình mặt cầu tâm và
là:
Bất phương trình
có tập nghiệm là:
Ta có
Vậy BPT có tập nghiệm là .
Cho hình lăng trụ đứng
có đáy là tam giác cân,
và
, góc giữa mặt phẳng
và mặt đáy
bằng
. Tính theo
thể tích khối lăng trụ.

Gọi là trung điểm của đoạn thẳng
. Tam giác
cân tại
nên ta suy ra tam giác
cân tại
Lại có . Từ đó suy ra
Do đó
Tam giác vuông , có
Tam giác vuông , có
Diện tích tam giác
Vậy .
Cho khối chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
. Thể tích
của khối chóp
bằng
Hình vẽ minh họa
Gọi là tâm của đáy, gọi
là trung điểm của
.
Ta có nên
Suy ra .
Có ,
.
Thể tích khối chóp là
.
Chọn hàm số có nhiều điểm cực trị nhất trong các hàm số sau?
Ta có:
Hàm số và
không có điểm cực trị (đạo hàm không đổi dấu).
Hàm số có
. Đạo hàm đổi dấu qua 1 điểm
nên hàm số
chỉ có một điểm cực trị.
Hàm số có
. Đạo hàm đổi dấu qua hai điểm
và
nên hàm số
có hai điểm cực trị.
Vậy hàm số có nhiều điểm cực trị nhất là: .
Cho hàm số
với
là tham số. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng
. Tính tổng các phần tử của tập hợp
?
Ta có:
Dễ thấy nếu suy ra hàm số đồng biến trên
nên trường hợp này không thỏa mãn
Theo yêu cầu bài toán
Vậy tổng tất cả các phần tử của tập S bằng -2.
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
Ta có: nên hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
Mà nên hàm số cũng nghịch biến trên khoảng
.
Tập nghiệm của phương trình
là:
Điều kiện: x > 0 và
Với điều kiện đó thì .
Khi đó, phương trình đã cho tương đương phương trình:
Xác định số điểm cực trị của hàm số
?
Xác định số điểm cực trị của hàm số ?
Cho hàm số
trên đoạn
. Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tính giá trị biểu thức
.
Xét hàm số trên đoạn
ta có:
=> là hàm số nghịch biến trên
=>
Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình
có nghiệm?
Chia hai vế của bất phương trình cho , ta được:
Xét hàm số là hàm số nghịch biến.
Ta có: nên
.
Vậy bất phương trình có nghiệm khi .
Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại
là:
Khối đa diện đều loại là khối hai mươi mặt đều:

Gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm. Biết f(x) có đạo hàm f’(x) và hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số g(x) = f(x - 1) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
Cách 1: Ta có:
Vậy chọn đáp án B
Cách 2: Đồ thị hàm số g’(x) = f’(x – 1) là phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f’(x) theo phương trục hoành sang bên phải 1 đơn vị. Ta có hình vẽ minh họa:

Đồ thị hàm số g’(x) = f’(x – 1) cắt trục hoành tạo các điểm có hoành độ x = 2, x = 4, x = 6 và giá trị hàm số g’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x = 4
Chọn B
Thu gọn biểu thức
biết a và b là hai số thực dương.
Ta có:
Biết hàm số
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là
. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để
?
Biết hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là
. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để
?
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Đồ thị trong hình vẽ là hàm số có dạng
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là và tiệm cận đứng
nên hàm số cần tìm là
.
Tìm tập xác định của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là:
Cho hình chóp
có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
. Cạnh bên
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
là:

Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi I là trung điểm SC, suy ra nên
.
Do đó IM là trục của , suy ra
(1)
Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên . (2)
Từ (1) và (2) , ta có
hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
Vậy bán kính .
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
Ta có:
Ta có:
Cho g’(x) = 0 =>
Dựa vào f’(x) ta có:
Lập bảng xét dấu như sau:

Quan sát bảng xét dấy ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (2; 4)
Cơ số x bằng bao nhiêu để
?
Điều kiện
Ta có:
Hai phương trình
và
lần lượt có 2 nghiệm duy nhất
là . Tổng
là?
Phương trình 1:
Phương trình
Phương trình 2:
Phương trình
Vậy .
Cho các hình sau: 
Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt
nào
cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

PT
có nghiệm là?
PT
Vậy PT có nghiệm là .
Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?
Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để đồ thị hàm số
có đúng một tiệm cận đứng?
Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình
có đúng một nghiệm
Ta có:
Xét hàm số ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra
Mà nên
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số
. Tập xác định của hàm số đã cho là:
Điều kiện xác đinh:
=> Tập xác định của hàm số là:
Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
Mọi hình chóp đều không có tâm đối xứng (tứ diện đều, hình chóp tứ giác đều,….)
Hình lăng trụ tam giác cũng không có tâm đối xứng.
Mọi hình hộp chữ nhật, hình lập phương đều có tâm đối xứng
Bát diện đều cũng có tâm đối xứng.
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao
và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

Diện tích xung quanh của hình trụ:
(đvdt).
Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra
.
Diện tích xung quanh của hình nón: (đvdt).
Vậy .
Cho
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
Khi đó ta được:
Với a là một số thực dương thì biểu thức
được rút gọn là:
Ta có:
Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình
là:
x=1 || X=1 || x bằng 1
Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
x=1 || X=1 || x bằng 1
Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của BPT là .
Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong (S) sau là mặt cầu:
.
Theo đề bài, ta có:
là mặt cầu
Phương trình
có nghiệm là:
2 || hai || x=2 || Hai
Phương trình có nghiệm là:
2 || hai || x=2 || Hai
PT
Cho hàm số
liên tục và có đạo hàm trên
. Biết
. Đồ thị hàm số
như hình vẽ:

Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Xét .
Từ đồ thị ta thấy:
Vì hệ số cao nhất của nhỏ hơn 0 nên hệ số cao nhất của
cùng nhỏ hơn 0. Ta có bảng biến thiên:
luôn có đúng 2 nghiệm bội lé.
Số điểm cực trị của hàm số là 5.
Cho hàm số f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) được biểu diễn như hình vẽ:

Giả sử bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
thì tham số
thỏa mãn điều kiện là:
Cho hàm số f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) được biểu diễn như hình vẽ:

Giả sử bất phương trình nghiệm đúng với mọi
thì tham số
thỏa mãn điều kiện là:
Hàm số
nghịch biến trên khoảng:
Tập xác định
Ta có:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
Tính thể tích
của khối lập phương
, biết
.

Đặt cạnh của khối lập phương là
Suy ra .
Tam giác vuông , có
Vậy thể tích khối lập phương .
Với các số a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1 và
. Khi đó giá trị của
bằng:
Với a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1 ta có:
Khi đó ta có:
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là đường thẳng có phương trình
Ta có:
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Anh T đã làm hợp đồng xin vay vốn ngân hàng để kinh doanh với số tiền 200 triệu đồng với lãi suất a% trên một năm. Điều kiện hợp đồng là số tiền lại tháng trước sẽ được tính làm vốn để sinh lãi cho tháng sau. Sau hai năm kinh doanh, anh T dã thanh toán hợp đồng ngân hàng với số tiền làm tròn là 245512000 đồng. Chọn khẳng định đúng?
Lãi suất mỗi tháng là . Theo công thức lãi kép ta có:
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
Diện tích xung quanh của hình trụ: (đvdt).
Diện tích toàn phần của hình trụ:
(đvdt).
Cho biểu thức
với x > 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có:
Cho hình hộp chữ nhật
có
. Tính theo
thể tích khối hộp đã cho.
Trong tam giác vuông , có
.
Diện tích hình chữ nhật là
.
Vậy
Gọi
là hai nghiệm của phương trình
. Khi đó, tổng hai nghiệm bằng?
0 || không || Không || Tổng 2 nghiệm bằng 0
Gọi là hai nghiệm của phương trình
. Khi đó, tổng hai nghiệm bằng?
0 || không || Không || Tổng 2 nghiệm bằng 0
Ta có:
Đặt , phương trình trên tương đương với
(vì
).
Từ đó suy ra
Vậy tổng hai nghiệm bằng 0.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Ta thấy:
Do vậy đồ thị của hàm số không có tiệm cận đứng
Tập xác định của hàm số
là tập hợp nào sau đây?
Điều kiện xác định
Vậy tập xác định của hàm số là
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

- Khối lập phương có 6 mặt.
"Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4"
Sai.
- Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. Đúng
- Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.
"Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.
- Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.
"Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai
Cho tứ diện có thể tích bằng
. Gọi
là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số
.

Xét khối tứ diện và các điểm được kí hiệu như hình vẽ trên, ta có:
Tương tự .
Do đó
.