Bất phương trình
có tập nghiệm là:
Điều kiện:
Ta có:
Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là .
Bất phương trình
có tập nghiệm là:
Điều kiện:
Ta có:
Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là .
Cho hàm số
với
là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng ba điểm cực trị?
Cho hàm số với
là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng ba điểm cực trị?
Đồ thị của hàm số nào có dạng như hình vẽ sau đây?

Ta thấy hình vẽ là đồ thị của hàm bậc ba có hệ số nên hàm số cần tìm là
.
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là hình thoi cạnh bằng 1,
. Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối lăng trụ.

Hình thoi có
, suy ra
. Do đó tam giác
và
là các tam giác đều. Gọi N là trung điểm A'B' nên
Suy ra .
Tam giác vuông , có
Tam giác vuông , có
.
Diện tích hình thoi .
Vậy .
Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Viết biểu thức
dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Ta có:
Cho hình hộp chữ nhật
có
, đường chéo
hợp với mặt đáy
một góc
thỏa mãn
. Tính theo
thể tích khối hộp đã cho.
Ta có nên
.
Tam giác vuông , ta có
.
Tam giác vuông , ta có
.
Diện tích hình chữ nhật là
.
Vậy .
Cho hàm số
xác định và liên tục trên
có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?
Từ bảng biến thiên ta có:
suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
Vậy khẳng định đúng: " Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
”.
Tìm số mặt của hình đa diện dưới đây là?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của
để hàm số
có
điểm cực trị?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số
có
điểm cực trị?
Chỉ số hay độ
của một dung dịch được tính theo công thức
với
là nồng độ ion hydrogen. Độ
của một loại sữa có
là bao nhiêu?
Độ pH là
Cho hàm số
có bảng biến như sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
có một nghiệm?
Đặt
Khi đó bất phương trình trở thành
Bất phương trình có nghiệm khi bất phương trình
có nghiệm
Có bao nhiêu số thực dương
để giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
?
Ta có:
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên thì để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
bằng
thì
.
Khi đó
Khi đó chỉ có duy nhất một giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Tìm tập xác định D của hàm số ![]()
Điều kiện xác định
Vậy tập xác định của hàm số là
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Tập xác định
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khoảng
khi và chỉ khi
Vì nên có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định?
Ta có: nghịch biến trên tập xác định.
Biết
với a và b là các số thực dương. Tìm m?
Ta có:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?
Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có:
- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
Cho
. Viết biểu thức
và
. Tính ![]()
Ta có:
Phương trình
có nghiệm là:
x=2 || 2 || hai
Phương trình có nghiệm là:
x=2 || 2 || hai
PT .
Có tất cả bao nhiêu cách phân tích số
thành tích của ba số nguyên dương, biết rằng các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính một lần?
Ta có:
Đặt suy ra ta có hệ
Xét ba trường hợp:
Trường hợp 1: Các số bằng nhau
=> chỉ có 1 cách chọn
Trường hợp 2: Trong ba số có hai số bằng nhau, giả sử
=>
=> Có 5 cách chọn và 5 cách chọn
Trường hợp 3: Số cách chọn ba số phân biệt:
Số cách chọn là
=> Số cách chọn ba số phân biệt là
Vậy số cách phân tích thành tích ba số nguyên dương là
Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số là
trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng bao nhiêu?
Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số là trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng bao nhiêu?
Giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng
, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
. Đường cao h của hình nón bằng:
Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra và
.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .
Ta có
Từ đó suy ra nên
Trong tam giác vuông SOE, ta có
Hình đa diện trong hình vẽ sau có bao nhiêu cạnh?

Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho hàm số
có đạo hàm
. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Ta có:
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có một điểm cực tiểu.
Trong không gian
, cho điểm
và mặt cầu
. Mặt phẳng đi qua
cắt
theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là:
Ta có:
(S) có bán kính và tâm
,
nên I nằm trong hình cầu (S).
Gọi r là bán kính của đường tròn, (P) là mặt phẳng qua M, ta có:
Suy ra bán kính khi
là vectơ pháp tuyến của (P).
Vậy phương trình của mặt phẳng .
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2
60 || sáu mươi || Sáu mươi
Tổng độ dài của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2
60 || sáu mươi || Sáu mươi
Khối mười hai mặt đều có tất cả 30 cạnh:

Suy ra ta có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng .
Bất phương trình
có tập nghiệm là:
Điều kiện
Ta có:
Vậy BPT có tập nghiệm là .
Cho hàm số
có đồ thị
. Tìm giá trị
để đồ thị hàm số có đường tiệm cận và đường tiệm cận đó cách đường tiếp tuyến của
một khoảng bằng
?
Cho hàm số có đồ thị
. Tìm giá trị
để đồ thị hàm số có đường tiệm cận và đường tiệm cận đó cách đường tiếp tuyến của
một khoảng bằng
?
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
là:
0 ||không || Không|| x= 0
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là:
0 ||không || Không|| x= 0
BPT
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của BPT là .
Gọi
là 2 nghiệm của phương trình
. Khi đó
bằng:
-3
Gọi là 2 nghiệm của phương trình
. Khi đó
bằng:
-3
Điều kiện:
Vậy .
Cho đồ thị hàm số
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Theo định nghĩa của hàm số lũy thừa, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 0
Ta có: suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 và tiệm cận đứng là x = 0
Một máy bay bắt đầu hạ cánh, biết quỹ đạo đường bay của nó được mô hình hóa toán học trong mặt phẳng với hệ tọa độ
(với mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 dặm) có dạng đồ thị của hàm bậc ba. Vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ là
là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay này tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 0,84 dặm
Một máy bay bắt đầu hạ cánh, biết quỹ đạo đường bay của nó được mô hình hóa toán học trong mặt phẳng với hệ tọa độ (với mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 dặm) có dạng đồ thị của hàm bậc ba. Vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ là
là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay này tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 0,84 dặm
Gọi hàm số mô phỏng đường bay của máy bay là .
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên ta có
.
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên ta có phương trình
.
Mặt khác, ta có và
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nên ta có
tức là
.
Từ và
ta có
.
Suy ra .
Thay ta được
.
Vậy khi máy bay ha cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất khoảng dặm.
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

Nếu đặt
thì phương trình
trở thành phương trình nào?
Đặt
PT
.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.
Tổng các nghiệm của phương trình
là:
Điều kiện . Có
Dó đó, tổng các nghiệm sẽ bằng .
Cho lăng trụ
có đáy
là hình thoi cạnh
, tâm O và
. Góc giữa cạnh bên
và mặt đáy bằng
. Đỉnh A' cách đều các điểm A, B, D. Tính theo
thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh .
Gọi H là tâm tam giác ABD. Vì A' cách đều các điểm A,B, D nên .
Do đó .
Ta có .
Tam giác vuông , có
.
Diện tích hình thoi .
Vậy .
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác với
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Diện tích tam giác là
.
Vậy thể tích khối lăng trụ
Tổng tất cả các giá trị thực của m để hàm số
đồng biến trên R bằng:
Ta có:
Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi
Và dấu bằng xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Điều kiện cần
Ta thấy phương trình y ‘ = 0 có một nghiệm x = -1 nên để thì y’ không đổi dấu qua khi x = -1 khi đó phương trình y’ = 0 có nghiệm kép là x = -1 (x = -1 không thể laf nghiệm bội 4 của phương trình y’ = 0 vì y’ không chứa số hạng x3)
Ta suy ra được y’’(-1) = 0
=>
Điều kiện đủ:
Với m = - 2 ta có:
=> Hàm số đồng biến trên R
=> m = -2 thỏa mãn điều kiện đề bài.
Với ta có:
=> Hàm số đồng biến trên R
=> thỏa mãn điều kiện đề bài
Vậy là các giá trị cần tìm.
=> Tổng các giá trị thực của m cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Cho biểu thức
với a và b là các số thực dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Thực hiện thu gọn biểu thức như sau:
Cho hàm số
. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng (0; +∞)
Ta có:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; +∞)
=>
=>
=>
Xét ta có:
Ta lại có:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
có nghiệm đúng
.
Bất phương trình tương đương
hoặc
: (*) không thỏa
và
: (*)
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu
qua bốn điểm ![]()
. Phương trình mặt cầu
là:
Gọi phương trình mặt cầu có
Vì mặt cầu đi qua bốn điểm đã cho nên ta có hệ phương trình
. Suy ra tâm mặt cầu
và bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
Tập xác định của hàm số
là tập hợp nào sau đây?
Điều kiện xác định
Vậy tập xác định của hàm số là
Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy
, góc ở đỉnh bằng
. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có và
.
Suy ra độ dài đường sinh:
Vậy diện tích xung quanh bằng: (đvdt).
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Tập xác định . Ta có:
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng và
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu có tâm
và có diện tích bằng
có phương trình là:
Ta có:
Vậy mặt cầu tâm có bán kính
có phương trình:
.
Cho tứ diện
có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .![]()
4 || Bốn || bốn
Cho tứ diện có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .
4 || Bốn || bốn
Vì là trọng tâm của tam giác
nên
.
Suy ra