Thu gọn biểu thức
biết a và b là hai số thực dương.
Ta có:
Thu gọn biểu thức
biết a và b là hai số thực dương.
Ta có:
Bác Thu có 600 triệu đồng mang đi gửi tiết kiện ở hai loại kì hạn khác nhau đều theo thể thức lãi kép. Bác gửi 300 triệu đồng theo kì hạn quý với lãi suất 2,1% một quý, 300 triệu đồng còn lại bác gửi theo kì hạn tháng với lãi suất 0,73%/tháng. Sau khi gửi được đúng một năm, bác rút ra một nửa số tiền ở loại kì hạn quý và gửi vào loại kì hạn theo tháng. Hỏi sau đúng hai năm kể từ khi gửi tiền lần đầu, bác Thu thu về tất cả bao nhiêu tiền lãi (làm tròn đến chữ số hàng nghìn)?
Số tiền bác Thu thu được ở năm thứ nhất là:
+ Gửi kì hạn theo quý: (triệu đồng)
+ Gửi kì hạn theo tháng: (triệu đồng)
Số tiền bác Thu thu được ở sau năm thứ hai là:
+ Gửi kì hạn theo quý: (triệu đồng)
+ Gửi kì hạn theo tháng: (triệu đồng)
Số tiền lãi bác Thu thu được là
(triệu đồng)
Tính thể tích
của khối lăng trụ
biết thể tích khối chóp
bằng ![]()
Ta có thể tích khối chóp:
Suy ra:
Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f’(x) liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

Bất phương trình
(với m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi:
Đặt
Vì
=>
Xét hàm số
Ta có:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: thì
=> g(u) nghịch biến trên (0; 2)
Vậy để nghiệm đúng với mọi
thì
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
tại
sao cho
là trực tâm tam giác
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt phẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có H là trực tâm của tam giác ABC suy ra
Thật vậy
Mà (vì H là trực tâm tam giác ABC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra suy ra
Tương tự
Từ (*) và (**) suy ra
Khi đó mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) có bán kính R = OH = 3
Vây mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng là:
.
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có bốn nghiệm thuộc đoạn
là:

Đặt
Ta có:
Ta có đồ thị hình vẽ như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình đã cho có 4 nghiệm thuộc đoạn khi phương trình (*) có hai nghiệm
Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình
có nghiệm?
Chia hai vế của bất phương trình cho , ta được:
Xét hàm số là hàm số nghịch biến.
Ta có: nên
.
Vậy bất phương trình có nghiệm khi .
Số giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên
là:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Kết hợp với điều kiện
=> Có 20 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
có đường tiệm cận ngang
là:
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là:
luôn đúng với
Phương trình đường tiệm cận ngang là nên ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu ![]()
Ta có:
Vậy tọa độ bán kính và bán kính mặt cầu lần lượt là:
Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi vịt. Biết rằng đã có sẵn 240 m hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh chuồng là bao nhiêu?

Đáp án: 2400 m2
Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi vịt. Biết rằng đã có sẵn 240 m hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh chuồng là bao nhiêu?
Đáp án: 2400 m2
Xét hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, và đặtv AB = x (x > 0)
Khi đó BC = 240 – 3x > 0 ⇒ x < 80.
Diện tích của hình chữ nhật ABCD là S = x.(240 – 3x ) = 240x – 3x2
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) với 0 < x < 80.
Xét f(x) = 240x – 3x2 ⇒ f’(x) = 240 – 6x , f’(x) = 0 ⟺ x = 40.
Do f’’(x) = - 6 < 0, ∀ x∈ (0; 80)
Do đó
Vậy diện tích lớn nhất có thể bao quanh là 4800m2 .
Tính đạo hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy
, góc ở đỉnh bằng
. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có và
.
Suy ra độ dài đường sinh:
Vậy diện tích xung quanh bằng: (đvdt).
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Gọi
là hai nghiệm của phương trình
. Khi đó, tổng hai nghiệm bằng?
0 || không || Không || Tổng 2 nghiệm bằng 0
Gọi là hai nghiệm của phương trình
. Khi đó, tổng hai nghiệm bằng?
0 || không || Không || Tổng 2 nghiệm bằng 0
Ta có:
Đặt , phương trình trên tương đương với
(vì
).
Từ đó suy ra
Vậy tổng hai nghiệm bằng 0.
Cho hình đa diện đều loại
cạnh
. Gọi
là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đa diện đều loại là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh
.
Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là

Cho
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
Khi đó ta được:
Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?
Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.
Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.
Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông
Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.
Cho hàm số
có đồ thị như hình 2. Đường thẳng nào sau đây là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho?

Từ đồ thị suy ra đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là .
Cho hàm số
có bảng xét dấu
như sau:

Hàm số
đồng biến trong khoảng nào dưới đây?
Cho hàm số có bảng xét dấu
như sau:
Hàm số đồng biến trong khoảng nào dưới đây?
Với giá trị nào của tham số
để đồ thị hàm số
đi qua điểm
?
Thay tọa độ điểm vào
ta được:
Vậy giá trị m cần tìm là .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

- Khối lập phương có 6 mặt.
"Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4"
Sai.
- Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. Đúng
- Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.
"Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.
- Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.
"Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai
Cho tứ diện
có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .![]()
4 || Bốn || bốn
Cho tứ diện có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .
4 || Bốn || bốn
Vì là trọng tâm của tam giác
nên
.
Suy ra
Cho hàm số
có đạo hàm
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
Ta có:
Vì là nghiệm bội lẻ và
là nghiệm bội chẵn nên hàm số có hai điểm cực trị.
Khái niệm chính xác nhất về khối đa diện là:
Áp dụng định nghĩa khối đa diện, ta có:
“Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.”
Tập nghiệm của bất phương trình
là:
Vậy tập nghiệm của BPT là .
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng
. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .
Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và
.
Vì nên
Gọi H là trung điểm A’B, suy ra
nên .
Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên
Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
. Tính thể tích của khối chóp?

Diện tích hình vuông là
.
Chiều cao khối chóp là
Vậy áp dụng công thức, ta có thể tích khối chóp là:
Cho
. Khi đó
có giá trị là:
Ta có:
Cho a là một số dương, biểu thức
viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
Ta có:
Bất phương trình
có tập nghiệm là:
Ta có
Vậy BPT có tập nghiệm là .
Tập nghiệm của phương trình
là:
Điều kiện: x > 0 và
Với điều kiện đó thì .
Khi đó, phương trình đã cho tương đương phương trình:
Tính giá trị của tham số m biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số
là
?
Ta có: có tập xác định
Ta có: . Theo bài ra ta có:
Vậy đáp án cần tìm là
Dân số thế giới được tính theo công thức
. e
trong đó
là dân số của năm lấy làm mốc tính,
là dân số sau
năm,
là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Cho biết năm 2005 Việt Nam có khoảng 80902400 người và tỉ lệ tăng dân số là
một năm. Như vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì tối thiểu đến năm bao nhiêu dân của Việt Nam có khoảng 93713000 người?
Ta có:
Với người;
người;
năm.
Suy ra .
Vậy tối thiểu đến năm 2015 thì dân số của Việt Nam có khoảng 93713000 người.
Chỉ số hay độ
của một dung dịch được tính theo công thức
với
là nồng độ ion hydrogen. Độ
của một loại sữa có
là bao nhiêu?
Độ pH là
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
để hàm số
có
điểm cực trị?
Tập xác định
Ta có:
Xét phương trình
Xét hàm số trên
ta có:
và
Ta có bảng biến thiên của như sau:
Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm bội lẻ của và số điểm tới hạn của
là 5 điểm. Do đó ta cần có các trường hợp sau:
TH1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác
trong trường hợp này có 26 số nguyên dương.
TH2: Phương trình (*) có 3 nghiệm trong đó có một nghiệm kép trùng với một trong các nghiệm
trường hợp này có một số nguyên dương.
Vậy có tất cả 27 số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số
với
là tham số. Gọi
là tập hợp các số nguyên
để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
. Xác định số phần tử của tập hợp
?
Xét là hàm hằng nên hàm số không nghịch biến. Vậy
không thỏa mãn.
Xét
Tập xác định
Để hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi
Mà nên
Vậy tập hợp S có tất cả 9 giá trị.
Cho hình lăng trụ
có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với trung điểm
của
. Góc tạo bởi cạnh bên
với mặt đáy là
. Tính thể tích khối trụ
.
3 || Ba || ba || V=3
Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với trung điểm
của
. Góc tạo bởi cạnh bên
với mặt đáy là
. Tính thể tích khối trụ
.
3 || Ba || ba || V=3

Tam giác đều ABC cạnh bằng 2 nên .
Vì nên hình chiếu vuông góc của
trên mặt đáy
là AH.
Do đó .
Suy ra tam giác vuông cân tại H nên
.
Diện tích tam giác đều ABC là .
Vậy .
Tìm tập xác định của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là:
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số
để hàm số
có điểm cực đại
và điểm cực tiểu
thỏa mãn biểu thức
?
Ta có: có
nên
.
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi .
Trường hợp 1:
Do
Lại có
Với điều kiện thỏa mãn.
Trường hợp 2:
Do
Lại có
Với điều kiện thỏa mãn.
Vậy có 2 giá trị thực của tham số m thỏa mãn.
Cho hình vẽ:

Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
Đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số đã cho nghịch biến nên loại hhai hàm số
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên hàm số
thảo mãn
Cho hàm số
. Gọi
lần lượt là hoành độ tại hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. Kết luận nào sau đây đúng?
Tập xác định
Ta có:
nên
là điểm cực tiểu của hàm số.
nên
là điểm cực đại của hàm số.
Vậy kết luận đúng là: .
Cho hình chóp
có thể tích bằng
, đáy
là hình vuông;
và
hợp với đáy một góc bằng
. Mặt phẳng
đi qua A và vuông góc với
, cắt các cạnh
lần lượt tại
. Tính thể tích khối chóp
.
V/10 || V phần 10
Cho hình chóp có thể tích bằng
, đáy
là hình vuông;
và
hợp với đáy một góc bằng
. Mặt phẳng
đi qua A và vuông góc với
, cắt các cạnh
lần lượt tại
. Tính thể tích khối chóp
.
V/10 || V phần 10

Ta có . Tương tự
nên
.
Mà (do
vuông tại A,
) nên ta có:
Xét tỉ số thể tích, ta được:
Trong hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có đường kính
, với
. Viết phương trình
tiếp xúc với mặt cầu
tại
?
Hình vẽ minh họa
Vì mặt cầu có đường kính là AB nên tâm I của mặt cầu
là trung điểm của
.
Mặt cầu có tâm I(1; 1; 1).
Vì tiếp xúc với
tại
nên
đi qua
và nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Suy ra
Cho hàm số
. Tập xác định của hàm số đã cho là:
Điều kiện xác đinh:
=> Tập xác định của hàm số là:
Gọi
là 2 nghiệm của phương trình
. Khi đó
bằng:
Điều kiện: .
Đặt ,điều kiện
. Khi đó phương trình trở thành:
Vậy .
Số nghiệm của phương trình
là:
0 || PT không có nghiệm || không có nghiệm || vô nghiệm || PT vô nghiệm
Số nghiệm của phương trình là:
0 || PT không có nghiệm || không có nghiệm || vô nghiệm || PT vô nghiệm
PT
Vậy số nghiệm của PT là 0.
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Tập xác định
Ta có:
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và
.
Tính đạo hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Biết
với x > 1 và a + b = 2. Tính giá trị của biểu thức
.
Ta có: