Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Câu 1: Vận dụng

Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại $\left\{ {4;3} ight\}$ là:

A. $4 \pi$
B. $8 \pi$
C. $12 \pi$
D. $10 \pi$

Khối đa diện đều loại $\left\{ {4;3} ight\}$ là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng: $6.2\pi = 12\pi$

Câu 2: Thông hiểu

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

A. Đồ thị của hàm số $y = \ln x$ có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị của hàm số $y = {2^{ - x}}$ có tiệm cận đứng.
C. Đồ thị của hàm số $y = \ln \left( { - x} ight)$ không có tiệm cận ngang.
D. Đồ thị của hàm số $y = {2^x}$ có tiệm cận ngang.

Ta thấy: $y = {2^{ - x}} = {\left( {\frac{1}{2}} ight)^x}$

Do vậy đồ thị của hàm số $y = {2^{ - x}}$ không có tiệm cận đứng

Câu 3: Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình mặt cầu đi qua điểm $A(1; - 1;4)$ và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ?

A.
$(x - 3)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 3)^{2} = 16$
B.
$(x - 3)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 9$
C.
$(x + 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 3)^{2} = 36$
D.
$(x + 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 49$

Gọi $I(a;b;c)$ là tâm mặt cầu $(S)$ . Mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên:

$d\left( I;(Oxy) ight) = d\left( I;(Oyz) ight) = d\left( I;(Ozx) ight)$

$\Leftrightarrow |a| = |b| = |c| = R(*)$

Mặt cầu đi qua điểm $A(1; - 1;4)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} IA = R \\ a > 0;c > 0;b < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} IA^{2} = R^{2} \\ a > 0;c > 0;b < 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 4)^{2} = R^{2} \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 1)^{2} + ( - a + 1)^{2} + (a - 4)^{2} = R^{2} \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a^{2} - 12a + 18 = 0 \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} - 6a + 9 = 0 \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = c = 3 \\ b = - 3 \\ R = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (S):(x - 3)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 9$

Câu 4: Thông hiểu

Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh $A$ kéo dài trong 60 ngày. Người ta thấy lượng gạo xuất khẩu theo ngày thứ $t$ được xác định bởi công thức: $s(t) = - t^{3} + 27t^{2} + 262144$ (tấn) với $1 \leq t \leq 60;t \in\mathbb{N}^{*}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh $A$ ngày thứ 12 là 264304 (tấn).Đúng||Sai

b) Ngày thứ 30 của tỉnh $A$ có lượng gạo xuất khẩu cao nhất. Sai||Đúng

c) Ngày thứ 1 của tỉnh $A$ có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất. Sai||Đúng

d) Ngày thứ 60 của tỉnh $A$ có sản lượng xuất khẩu gạo thấp nhất là 143344 . Đúng|||Sai.

Đáp án là:

Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh $A$ kéo dài trong 60 ngày. Người ta thấy lượng gạo xuất khẩu theo ngày thứ $t$ được xác định bởi công thức: $s(t) = - t^{3} + 27t^{2} + 262144$ (tấn) với $1 \leq t \leq 60;t \in\mathbb{N}^{*}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh $A$ ngày thứ 12 là 264304 (tấn).Đúng||Sai

b) Ngày thứ 30 của tỉnh $A$ có lượng gạo xuất khẩu cao nhất. Sai||Đúng

c) Ngày thứ 1 của tỉnh $A$ có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất. Sai||Đúng

d) Ngày thứ 60 của tỉnh $A$ có sản lượng xuất khẩu gạo thấp nhất là 143344 . Đúng|||Sai.

a) Đúng. $s(20)=264304$

b) Sai.

Ta có $s^{'}(t) = - 3t^{2} +54t;s^{'}(t) = 0 \Leftrightarrow - 3t^{2} + 54t = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}t = 0 \\t = 18 \\\end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên:

Vậy ngày thứ 18 của tỉnh $A$ có lượng gạo xuất khẩu cao nhất là 265060.

c) Sai. Ta có ngày thứ 60 tinh $A$ có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất là 143344.

d) Đúng. Ta có ngày thứ 60 tỉnh $A$ có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất là 143344.

Câu 5: Nhận biết

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4.
B. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh.
C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng.
D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh.

Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

- Khối lập phương có 6 mặt.

$\Rightarrow$ "Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4" $\Rightarrow$ Sai.

- Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. $\Rightarrow$ Đúng

- Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.

$\Rightarrow$ "Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.

- Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.

$\Rightarrow$ "Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai

Câu 6: Vận dụng

Cho biết năm 2018, tỉnh A có 2 triệu người và tỉ lệ dân số là 1,4%/năm. Hỏi đến năm 2025 tỉnh A có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi?

A. 2,2059 triệu người
B. 2,5032 triệu người
C. 2,4155 triệu người
D. 2,2509 triệu người

Ta có: A = 2, n = 7; I = 0,014

Số dân tỉnh A đến năm 2025 là $S = 2.{e^{7.0,014}} \approx 2,2059$ triệu người.

Câu 7: Thông hiểu

Cho một số thực $\alpha$ tùy ý. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \mathbb{R}$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$
B. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \left( {0; + \infty } ight)$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$
C. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \left( {0; + \infty } ight)$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \frac{1}{\alpha }.{x^{\alpha - 1}}$
D. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \mathbb{R}$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha + 1}}$

Theo tính chất đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với mọi x > 0 và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$

Câu 8: Vận dụng cao

Tìm giá trị tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + 2m + 3$ có ba điểm cực trị $A;B;C$ sao cho trục $Ox$ chia tam giác $ABC$ thành một tam giác và một hình thang biết rằng tỉ lệ diện tích tam giác nhỏ được chia ra và diện tích hình thang bằng $\frac{4}{5}$ ?

A.
$m = \frac{5 + \sqrt{3}}{2}$
B.
$m = \frac{- 1 + \sqrt{15}}{2}$
C.
$m = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}$
D.
$m = \frac{1 + \sqrt{15}}{2}$

Ta có: $y' = 4x^{2} - 4(m + 1)x$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m > - 1$

Khi $m > - 1$ đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là $A(0;2m + 3)$ , $B\left( - \sqrt{m + 1}; - m^{2} + 2 ight)$ , $C\left( \sqrt{m + 1}; - m^{2} + 2 ight)$

Ta có: $A \in Oy$ , B và C đối xứng với nhau qua $Oy$ suy ra tam giác $ABC$ cân tại $A$

Hình vẽ minh họa

Trục hoành chia tam giác $ABC$ thành một tam giác và một hình thang $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m + 3 > 0 \\ - m^{2} + 2 < 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - \dfrac{3}{2} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m > \sqrt 2 \hfill \\ m < - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} m > \sqrt 2 \hfill \\ - \dfrac{3}{2} < m < - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Kết hợp với điều kiện $m > - 1$ ta được $m > \sqrt{2}$

Khi đó gọi D; E lần lượt là giao điểm của Ox và các cạnh AB; AC. Gọi K là giao điểm của BC và Oy

Ta có:

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \left( \frac{OA}{AK} ight)^{2} = \left( \frac{y_{A}}{y_{A} - y_{B}} ight)^{2} = \left( \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} ight)^{2}$

Mà $\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{4}{9} \Leftrightarrow \left( \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} ight)^{2} = \frac{4}{9}$

Vì $m > \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} = \frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow 2m^{2} - 2m - 7 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = \dfrac{1 + \sqrt{15}}{2} \\m = \dfrac{1 - \sqrt{15}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow m = \dfrac{1 +\sqrt{15}}{2}$ .

Câu 9: Vận dụng cao

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Xét hàm số $g\left( x ight) = f\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 3$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số g(x) nghịch biến trong khoảng (-1; 0)
B. Hàm số g(x) nghịch biến trong khoảng (0; 2)
C. Hàm số g(x) nghịch biến trong khoảng (-4; -1)
D. Hàm số g(x) nghịch biến trong khoảng (2; 3)

Ta có:

$g'\left( x ight) = \frac{1}{2}f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \left( {{x^2} - 3x + 2} ight)$

$f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{ - 5}}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = - 1} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = \frac{1}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 4} \\ {x = - 1} \\ {x = 2} \\ {x = 7} \end{array}} ight.$

$f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} < - \dfrac{5}{2}} \\ {\dfrac{1}{2} < \dfrac{{x - 1}}{2} < 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 4} \\ {2 < x < 7} \end{array}} ight.$

Ta có bảng xét dấu cho các biểu thức

Tìm khẳng định sai

Từ bảng xét dấu ta thấy

$x \in \left( {0;1} ight) \subset \left( {0;2} ight) \Rightarrow g'\left( x ight) < 0$

Khi đó hàm số nghịch biến

=> Đáp án B sai

Câu 10: Nhận biết

Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho $SH = \frac{{3a}}{2}$ . Độ dài đường sinh $\ell$ của hình nón bằng:

A. $\ell = a$
B. $\ell = a\sqrt 2$
C. $\ell = a\sqrt 3$
D. $\ell = 2a$

Độ dài đường sinh

Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.

Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên $S{A^2} = SH.SS' \Rightarrow SA = a\sqrt 3 .$

Câu 11: Thông hiểu

Xác định giá trị của a để hàm số $f\left( x ight) = \sin x - ax + b$ nghịch biến trên trục số.

A. $a \leqslant 1$
B. $a < 1$
C. $a > 1$
D. $a \geqslant 1$

Ta có: $y' = \cos x - a$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \cos x - a \leqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant \cos x,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 12: Vận dụng cao

Cho bất phương trình: $\frac{1}{{{5^{x + 1}} - 1}} \geqslant \frac{1}{{5 - {5^x}}}$ . Tìm tập nghiệm của bất phương trình.

A. $S = \left( { - 1;0} ight] \cup \left( {1; + \infty } ight)$
B. $S = \left( { - 1;0} ight] \cap \left( {1; + \infty } ight)$
C. $S = \left( { - \infty ;0} ight]$
D. $S = \left( { - \infty ;0} ight)$

Ta có: $\frac{1}{{{5^{x + 1}} - 1}} \geqslant \frac{1}{{5 - {5^x}}} \Leftrightarrow \frac{{6\left( {1 - {5^x}} ight)}}{{\left( {{{5.5}^x} - 1} ight)\left( {5 - {5^x}} ight)}} \geqslant 0\,\,(1)$

Đặt $t =5^x$ , BPT $(1) \Leftrightarrow \frac{{6\left( {1 - t} ight)}}{{\left( {5t - 1} ight)\left( {5 - t} ight)}} \geqslant 0$ .

Đặt $f(t) = \frac{{6\left( {1 - t} ight)}}{{\left( {5t - 1} ight)\left( {5 - t} ight)}}$ .

Lập bảng xét dấu $f(t) = \frac{{6\left( {1 - t} ight)}}{{\left( {5t - 1} ight)\left( {5 - t} ight)}}$ , ta được nghiệm:

$\left[ \begin{gathered} 5 < t \hfill \\ \frac{1}{5} < t \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 5 < {5^x} \hfill \\ \frac{1}{5} < {5^x} \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 1 < x \hfill \\ - 1 < x \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ .

Vậy tập nghiệm của BPT là $S = \left( { - 1;0} ight] \cup \left( {1; + \infty } ight)$ .

Câu 13: Thông hiểu

Dựa vào thông tin dưới đây và trả lời các câu hỏi

Số lượng của một loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được biểu diễn theo công thức $S(t) = A.e^{rt}$ , trong đó A là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc 6 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con.

Thời điểm số lượng vi khuẩn X gấp 9 lần số lượng vi khuẩn ban đầu là:

A.
3 giờ.
B.
9 giờ.
C.
12 giờ.
D.
15 giờ.

Gọi $t_{1}$ là thời điểm số lượng vi khuẩn gấp 9 lần ban đầu.

Khi đó: $S\left( t_{1} ight) = 1350$ con.

Ta có phương trình:

$150.e^{\frac{ln3}{3}.t_{1}} = 1350 \Leftrightarrow e^{\frac{ln3}{3}.t_{1}} = 9 \Leftrightarrow \frac{ln3}{3}t_{1} = ln9 \Leftrightarrow t_{1} = 6.$

Câu 14: Thông hiểu

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Mỗi hình đa diện có ít nhất bốn đỉnh.
B. Mỗi hình đa diện có ít nhất ba cạnh.
C. Số đỉnh của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó.
D. Số mặt cảu một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó

Xét các đáp án, ta có:

- A Đúng: Ta chứng minh như sau:

Gọi M₁ là môt mặt khối đa diện, M₁ là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c₁; c₂; c₃.

M₂chung cạnh c₁với M₁(M₂≠M₁) , M3 chung cạnh c₂ với M₁(M₃≠M₁)

Vì c₁∈M₃⇒M₂≠M₃. Gọi M₄ là mặt có chung cạnh c₃ với M₁(M₄≠M₁)

Vì M₄không chứa c₁, c₂ nên M₄ khác M₂ và M_3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.

- B Sai.

- C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.

- D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh

Câu 15: Nhận biết

Điều kiện để $\left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + Ax + By + Cz + D = 0$ là một mặt cầu là:

A. ${A^2} + {B^2} + {C^2} - D > 0$
B. ${A^2} + {B^2} + {C^2} - 2D = 0$
C. ${A^2} + {B^2} + {C^2} - 4D > 0$
D. ${A^2} + {B^2} + {C^2} + D = 0$

Theo đề bài, ta có:

$\left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + Ax + By + Cz + D = 0$ có dạng:

$\left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

$\Rightarrow a = - \frac{A}{2};\,\,b = - \frac{B}{2};\,\,c = - \frac{C}{2};\,\,d = D$

Như vậy, (S) là mặt cầu $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow {A^2} + {B^2} + {C^2} - 4D > 0$

$\Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$

Câu 16: Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; +∞)

A. $- 2 \leqslant m \leqslant 0$
B. $m \leqslant 0$
C. $m \leqslant - 2$
D. $m \geqslant - 2$

Ta có: $y' = 2mx - \left( {m + 6} ight)$ . Theo yêu cầu bài toán ta có:

$y' \leqslant 0;\forall x \in \left( { - 1; + \infty } ight)$

=> $2mx - \left( {m + 6} ight) \leqslant 0 \Leftrightarrow m \leqslant \frac{6}{{2x - 1}}$

Xét hàm số $g\left( x ight) = \frac{6}{{2x - 1}},x \in \left( { - 1; + \infty } ight)$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

Vậy $- 2 \leqslant m \leqslant 0$

Câu 17: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = f\left( x ight)$ có bảng biến như sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có một nghiệm

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình $f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m$ có một nghiệm?

A. $m \geqslant - 4$
B. $m \geqslant 1$
C. $m \geqslant 2$
D. $m > - 5$

Đặt $t = \sqrt {x + 1} + 1 \Rightarrow t \geqslant 1$

Khi đó bất phương trình $f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m$ trở thành $f\left( t ight) \leqslant m{\text{ }}\left( * ight)$

Bất phương trình $f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m$ có nghiệm khi bất phương trình $f\left( t ight) \leqslant m$ có nghiệm $t \geqslant 1$

$\Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\min \left( t ight)}\limits_{t \geqslant 1} \Leftrightarrow m \geqslant - 4$

Câu 18: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp $S.ABCD.$

A. $V = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{6}$
B. $V = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}$
C. $V = 2{a^3}\sqrt {15}$
D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}$

Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra $SA \bot \left( {ABCD} ight)$ . Do đó chiều cao khối chóp là $SA = a\sqrt {15}$ .

Diện tích hình chữ nhật ABCD là ${S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}$

Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}$

Câu 19: Nhận biết

Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

A. 11
B. 12
C. 13
D. 14

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.

Câu 20: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và $SC = a\sqrt 5$ . Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$
C. $V = {a^3}\sqrt 3$
D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}$

Thể tích khối chóp

Đường chéo hình vuông $AC = a\sqrt 2$

Xét tam giác SAC, ta có $SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = a\sqrt 3$ .

Chiều cao khối chóp là $SA = a\sqrt 3$ .

Diện tích hình vuông ABCD là ${S_{ABCD}} = {a^2}$

Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$ .

Câu 21: Nhận biết

Cho hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + 3}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty;3)$ và $(3; + \infty)$ .
B.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( - \infty;\frac{1}{2} ight)$ và $\left( \frac{1}{2}; + \infty ight)$ .
C.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty; - 3)$ và $( - 3; + \infty)$ .
D.
Hàm số đồng biến $\mathbb{R}$ .

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 3 ight\}$

Ta có: $y' = \frac{7}{(x + 3)^{2}} > 0;\forall x \in D$

Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $( - \infty;3)$ và $(3; + \infty)$ .

Câu 22: Nhận biết

Cho hàm số $f(x)$ có $f'(x) = x^{2}(x - 1)(x + 2)$ . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

A.
$4$
B.
$3$
C.
$1$
D.
$2$

Ta có: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số có 1 điểm cực tiểu.

Câu 23: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\left\{ - 1;2 ight\}$ liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ bằng:

A.
$6$
B.
$2$
C.
$3$
D.
$4$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f(x) - 1 = 0$ có 4 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ có 4 đường tiệm cận đứng.

Ngoài ra $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{f\left( x ight) - 1}} = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f\left( x ight) - 1}} = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ nên đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ có hai đường tiệm cận ngang.

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ bằng 6.

Câu 24: Vận dụng

Người ta khảo sát gia tốc a(t) của một vật thể chuyển động (t là khoảng thời gian tính bằng giâu từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ ba ghi nhận được a(t) là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên:

Xác định vận tốc lớn nhất

Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ ba được khảo sát đó, thời điểm nào vận tốc lớn nhất?

A. Giây thứ nhất
B. Giây thứ hai
C. Giây thứ 1,5
D. Giây thứ 3

Từ đồ thị ta có: a(t) = 0 => v’(t) = 0 = > t = 2

Ta có bảng biến thiên:

Xác định vận tốc lớn nhất

=> Vận tốc lớn nhất đạt được khi t = 2

Câu 25: Vận dụng

Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A. ${\left( {\sqrt 2 - 1} ight)^{2017}} > {\left( {\sqrt 2 - 1} ight)^{2018}}$
B. ${\left( {\sqrt 3 - 1} ight)^{2018}} > {\left( {\sqrt 3 - 1} ight)^{2017}}$
C. ${2^{\sqrt 2 + 1}} > {2^{\sqrt 3 }}$
D. ${\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} ight)^{2018}} < {\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} ight)^{2017}}$

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 < \sqrt 2 - 1 < 1} \\ {2017 < 2018} \end{array}} ight. \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 - 1} ight)^{2017}} > {\left( {\sqrt 2 - 1} ight)^{2018}}$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 < \sqrt 3 - 1 < 1} \\ {2018 > 2017} \end{array}} ight. \Rightarrow {\left( {\sqrt 3 - 1} ight)^{2018}} < {\left( {\sqrt 3 - 1} ight)^{2017}}$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 > 1} \\ {\sqrt 2 + 1 > \sqrt 3 } \end{array}} ight. \Rightarrow {2^{\sqrt 2 + 1}} > {2^{\sqrt 3 }}$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 < 1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} < 1} \\ {2018 > 2017} \end{array}} ight. \Rightarrow {\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} ight)^{2018}} < {\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} ight)^{2017}}$

Vậy đáp án sai là: ${\left( {\sqrt 3 - 1} ight)^{2018}} > {\left( {\sqrt 3 - 1} ight)^{2017}}$

Câu 26: Vận dụng

Bác Thu có 600 triệu đồng mang đi gửi tiết kiện ở hai loại kì hạn khác nhau đều theo thể thức lãi kép. Bác gửi 300 triệu đồng theo kì hạn quý với lãi suất 2,1% một quý, 300 triệu đồng còn lại bác gửi theo kì hạn tháng với lãi suất 0,73%/tháng. Sau khi gửi được đúng một năm, bác rút ra một nửa số tiền ở loại kì hạn quý và gửi vào loại kì hạn theo tháng. Hỏi sau đúng hai năm kể từ khi gửi tiền lần đầu, bác Thu thu về tất cả bao nhiêu tiền lãi (làm tròn đến chữ số hàng nghìn)?

A. 112.271.000 đồng
B. 121.216.000 đồng
C. 122.118.000 đồng
D. 112.219.000 đồng

Số tiền bác Thu thu được ở năm thứ nhất là:

+ Gửi kì hạn theo quý: $300.{\left( {1 + {r_1}} ight)^4} = A$ (triệu đồng)

+ Gửi kì hạn theo tháng: $300.{\left( {1 + {r_2}} ight)^{12}} = B$ (triệu đồng)

Số tiền bác Thu thu được ở sau năm thứ hai là:

+ Gửi kì hạn theo quý: $\frac{A}{2}{\left( {1 + {r_1}} ight)^4}$ (triệu đồng)

+ Gửi kì hạn theo tháng: $\left( {\frac{A}{2} + B} ight){\left( {1 + {r_2}} ight)^{12}}$ (triệu đồng)

Số tiền lãi bác Thu thu được là

$\frac{A}{2}{\left( {1 + {r_1}} ight)^4} + \left( {\frac{A}{2} + B} ight){\left( {1 + {r_2}} ight)^{12}} - 600 \approx 112,219$ (triệu đồng)

Câu 27: Thông hiểu

Thu gọn biểu thức $T = \frac{{{a^{\frac{7}{6}}}.{b^{ - \frac{2}{3}}}}}{{\sqrt[6]{{a{b^2}}}}}$ biết a và b là hai số thực dương.

A. $T = \frac{a}{{{b^2}}}$
B. $T = ab$
C. $T = \frac{b}{a}$
D. $T = \frac{a}{b}$

Ta có: $T = \frac{{{a^{\frac{7}{6}}}.{b^{ - \frac{2}{3}}}}}{{\sqrt[6]{{a{b^2}}}}} = \left( {{a^{\frac{7}{6}}}:{a^{\frac{1}{6}}}} ight).\left( {{b^{\frac{{ - 2}}{3}}}:{b^{\frac{2}{6}}}} ight) = \frac{a}{b}$

Câu 28: Vận dụng cao

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ . Gọi $N$ là trung điểm $SB$ , $M$ là điểm đối xứng với $B$ qua $A$ . Mặt phẳng $(MNC)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_1, V_2$ với ${V_1} < {V_2}$ . Tính tỉ số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$ .

A. $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{5}{7}$
B. $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{5}{{11}}$
C. $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{5}{9}$
D. $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{5}{{13}}$

Gọi $h,\,\,S$ lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối chóp $S.ABCD$ . Khi đó ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}S.h$ . Nối MN cắt SA tại E, MC cắt AD tại F. Tam giác $SBM$ có A, N lần lượt là trung điểm của BM và SB.

Suy ra E là trọng tâm tam giác SBM.

Vì tứ giác $ACDM$ là hình bình hành nên F là trung điểm MC.

Ta có ${V_{BNC.AEF}} = {V_{ABCEN}} + {V_{E.ACF}}$ . Xét tỉ số:

$\frac{{{V_{S.ENC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SE}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\xrightarrow{{}}{V_{S.ENC}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABC}}$

$\xrightarrow[{}]{}{V_{ABCEN}} = \frac{2}{3}{V_{S.ABC}} = \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}} ight) = \frac{1}{3}{V_{S.ABCD}}$

Mặt khác, áp dụng công thức tính thể tích khối chóp $E.ACF$ là:

${V_{E.ACF}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ACF}}.d\left[ {E,\left( {ACF} ight)} ight] = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}S.\frac{1}{3}h = \frac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}$

Do đó ${V_{BNC.AEF}} = {V_{ABCEN}} + {V_{E.ACF}}$

$= \frac{1}{3}{V_{S.ABCD}} + \frac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}$

$= \frac{5}{{12}}{V_{S.ABCD}} = {V_1}$

Suy ra ${V_2} = \frac{7}{{12}}{V_{S.ABCD}}\xrightarrow{{}}\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{5}{7}$ .

Câu 29: Nhận biết

Với a và b là hai số thực dương tùy ý thì $\log \left( {a{b^2}} ight)$ bằng:

A. $2\log a + \log b$
B. $\log a + 2\log b$
C. $2\left( {\log a + \log b} ight)$
D. $\log a + \frac{1}{2}\log b$

Ta có: $\log \left( {a{b^2}} ight) = \log a + \log {b^2} = \log a + 2\log b$

Câu 30: Nhận biết

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là

A. 2
B. 3
C. 4
D. 1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} y = + \infty$ => x = -2 là tiệm cận đúng của đồ thị hàm số

Ta cũng có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = 5$ = > y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận

Câu 31: Thông hiểu

Dựa vào thông tin dưới đây và trả lời các câu hỏi

Số lượng của một loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được biểu diễn theo công thức $S(t) = A.e^{rt}$ , trong đó A là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc 6 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con.

Tỉ lệ tăng trưởng của vi khuẩn X gần nhất với kết quả nào sau đây?

A.
0,35.
B.
0,36.
C.
0,37.
D.
0,38.

Chọn 6 giờ là mốc thời gian. Khi đó $A = 150$ .

Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn là 450 con nên $t = 3;S(3) = 450$ .

Từ đó ta có phương trình:

$150.e^{3r} = 450 \Leftrightarrow e^{3r} = 3 \Leftrightarrow r = \frac{ln3}{3} \approx 0,37.$

Câu 32: Thông hiểu

Trong các hình dưới đây, hình nào không phải đa diện lồi?

A.
B.
C.
D.

Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi $(H)$ : Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của $(H)$ luôn thuộc $(H)$ . Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

Câu 33: Thông hiểu

Với a > 0 hãy rút gọn biểu thức $P = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } :{x^{\frac{9}{{16}}}}$

A. $P = {x^{\frac{5}{{32}}}}$
B. $P = {x^{\frac{9}{{48}}}}$
C. $P = {x^{\frac{{13}}{{32}}}}$
D. $P = {x^{\frac{1}{{32}}}}$

Ta có:

$\begin{matrix} \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{3}{2}}}} } } } = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{7}{4}}}} } } \hfill \\ = \sqrt {x\sqrt {x.{x^{\frac{7}{8}}}} } = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{15}}{8}}}} } = \sqrt {x.{x^{\frac{{15}}{{16}}}}} = \sqrt {{x^{\frac{{31}}{{16}}}}} = {x^{\frac{{31}}{{32}}}} \hfill \\ \Rightarrow P = {x^{\frac{{31}}{{32}}}}:{x^{\frac{9}{{16}}}} = {x^{\frac{{13}}{{32}}}} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 34: Thông hiểu

Gọi $(S)$ là mặt cầu đi qua bốn điểm $A(2;0;0),B(1;3;0),C( - 1;0;3),D(1;2;3)$ . Tính bán kính $R$ của $(S)$ ?

A.
$R = 2\sqrt{2}$
B.
$R = 3$
C.
$R = 6$
D.
$R = \sqrt{6}$

Gọi $I(a;b;c)$ là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm $A;B;C;D$

Khi đó ta có phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} AI^{2} = BI^{2} \\ AI^{2} = CI^{2} \\ AI^{2} = DI^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 3)^{2} + c^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + 1)^{2} + b^{2} + (c - 3)^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 3b = - 3 \\ a - c = - 1 \\ a - 2b - 3c = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0;1;1)$

Vậy bán kính cần tìm là: $R = IA = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$

Câu 35: Nhận biết

Số nghiệm của phương trình ${\log _2}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _2}x = 0$ là:

0 || PT không có nghiệm || không có nghiệm || vô nghiệm || PT vô nghiệm

Đáp án là:

Số nghiệm của phương trình ${\log _2}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _2}x = 0$ là:

0 || PT không có nghiệm || không có nghiệm || vô nghiệm || PT vô nghiệm

PT $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ {x^3} + 1 > 0 \hfill \\ {x^2} - x + 1 > 0 \hfill \\ {\log _{{2^{}}}}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _{{2^{}}}}x = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}({x^2} - x + 1)}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \frac{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}}{{{x^2}({x^2} - x + 1)}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x \in \emptyset$

Vậy số nghiệm của PT là 0.

Câu 36: Nhận biết

Cho hàm số $y = {x^{ - \frac{1}{2}}}$ . Cho các khẳng định sau:

i) Hàm số xác định với mọi x

ii) Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1; 1)

iii) Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

iv) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận

Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Ta có khẳng định ii) và iv) là đúng

i) Sai vì hàm số đã cho xác định khi x > 0

iii) Sai vì hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } ight)$

Câu 37: Nhận biết

Cho biết $Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}}$ với $a > 0,a e 1$ . Chọn khẳng định đúng?

A. $Q = {a^{\frac{5}{3}}}$
B. $Q = {a^{\frac{7}{3}}}$
C. $Q = {a^{\frac{7}{4}}}$
D. $Q = {a^{\frac{{11}}{6}}}$

Ta có: $Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}} = {\left( {{a^2}.{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{{10}}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{5}{3}}}$

Vậy $Q = {a^{\frac{5}{3}}}$

Câu 38: Nhận biết

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 1}{x + 2}$ là điểm nào trong các điểm cho sau đây?

A.
$( - 2;3)$
B.
$(3; - 2)$
C.
$(2; - 1)$
D.
$( - 1;2)$

Đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 1}{x + 2}$ nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 3$ và tiệm cận đứng là $x = - 2$

Do đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $( - 2;3)$ .

Câu 39: Vận dụng

Để chuẩn bị cho hoạt động cắm trại, bạn An tìm hiểu các mẫu lều cắm trại có kích thước như trong hình vẽ.

Bạn An muốn biết thể tích chênh lệch của hai lều nên thực hiện tính $V_{1} - V_{2}$ , trong đó $V_{1},V_{2}$ lần lượt là thể tích của mẫu lều cắm trại ở hình a, hình b. Giá trị của $V_{1} - V_{2}$ bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 961 dm³

Đáp án là:

Để chuẩn bị cho hoạt động cắm trại, bạn An tìm hiểu các mẫu lều cắm trại có kích thước như trong hình vẽ.

Bạn An muốn biết thể tích chênh lệch của hai lều nên thực hiện tính $V_{1} - V_{2}$ , trong đó $V_{1},V_{2}$ lần lượt là thể tích của mẫu lều cắm trại ở hình a, hình b. Giá trị của $V_{1} - V_{2}$ bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 961 dm³

Cả hai lều đều có dạng khối lăng trụ đứng ngũ giác.

Xét khối lăng trụ ở hình a. Chia mặt đáy thành hai phần bao gồm: hình chữ nhật có chiều rộng $180\ cm$ , chiều dài $350\ cm$ ; tam giác cân có cạnh đáy dài $350\ cm$ , chiều cao $40\ cm$ như hình dưới đây.

Diện tích mặt đáy của lăng trụ đó là:

$S_{1} = 180 \cdot 350 + \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 350 = 70000\left( \ cm^{2} ight)$

Vậy thể tích của khối lăng trụ ngũ giác đó là:

$V_{1} = S_{1} \cdot h_{1} = 70000.460 = 32200000\left( \ cm^{3} ight)$ .

Xét khối lăng trụ ở hình $b$ . Chia mặt đáy thành hai phần bao gồm: hình thang cân có đáy lớn đài $370\ cm$ , đáy nhỏ dài $260\ cm$ , chiều cao $210\ cm;$ tam giác cân có cạnh đáy dài $260\ cm$ , chiều cao $50\ cm$ như hình vẽ .

Diện tích mặt đáy của lăng trụ đó là:

$S_{2} = \frac{1}{2}(370 + 260) \cdot 210 + \frac{1}{2} \cdot 260 \cdot 50 = 72650\left( \ cm^{2} ight)$

Vậy thể tích của khối lăng trụ ngũ giác đó là:

$V_{2} = S_{2} \cdot h_{2} = 72650.430 = 31239500\left( \ cm^{3} ight)$

Do đó $V_{1} - V_{2} = 960500\left( \ cm^{3} ight) \approx 961\left( dm^{3} ight)$ .

Câu 40: Thông hiểu

Đặt $a = {\log _7}11;b = {\log _2}7$ . Hãy biểu diễn ${\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8}$ theo a và b.

A. $6a + \frac{9}{b}$
B. $6a - \frac{9}{b}$
C. $6a - 9b$
D. $\frac{2}{3}a - \frac{9}{b}$

Ta có:

${\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 3\left( {{{\log }_7}121 - {{\log }_7}8} ight) = 6{\log _7}11 - 9.\frac{1}{{{{\log }_2}7}} = 6a - \frac{9}{b}$

Câu 41: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{2} + x^{2} + (m - 2)x + 2$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm bên trái trục $Oy$ ?

A.
$m \in ( - \infty;1)$
B.
$m \in (1;2)$
C.
$m \in ( - \infty;2)$
D.
$m \in (1; + \infty)$

Ta có: $y' = x^{2} + 2x + m - 1$

Đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm âm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ S < 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - m + 1 > 0 \\ - 2 < 0 \\ m - 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 1 < m < 2$

Vậy đáp án cần tìm là $m \in (1;2)$ .

Câu 42: Nhận biết

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại A và có $AB=a$ , $BC = a\sqrt 3$ . Mặt bên $(SAB)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ . Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$ .

A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$
B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{4}}$
C. $V = \frac{{{2a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$
D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{6}}$

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ , suy ra $SH \bot AB$ .

Do $\left( {SAB} ight) \bot \left( {ABC} ight)$ theo giao tuyến $AB$ nên $SH \bot (ABC)$ .

Tam giác $SAB$ là đều cạnh $AB=a$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ .

Tam giác vuông $ABC$ , có $AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2$ .

Diện tích tam giác vuông ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}$ .

Vậy ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SH = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$ .

Câu 43: Nhận biết

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln \left( {1 + {e^{2x}}} ight)$

A. $y' = \frac{{ - 2{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} ight)}^2}}}$
B. $y' = \frac{{{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} ight)}^2}}}$
C. $y' = \frac{1}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} ight)}^2}}}$
D. $y' = \frac{{2{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} ight)}^2}}}$

Ta có: $y' = \left( {\ln \left( {1 + {e^{2x}}} ight)} ight)' = \frac{{\left( {1 + {e^{2x}}} ight)'}}{{1 + {e^{2x}}}} = \frac{{2{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} ight)}^2}}}$

Câu 44: Vận dụng

Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số $y =\frac{- 5}{x + 2}$ theo trục $Oy$ lên hai đơn vị và theo trục $Ox$ sang trái $3$ đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = g(x)$ . Hỏi có bao nhiêu điểm trên đồ thị hàm số $y = g(x)$ có các tọa độ đều là số nguyên?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số $y =\frac{- 5}{x + 2}$ theo trục $Oy$ lên hai đơn vị và theo trục $Ox$ sang trái $3$ đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = g(x)$ . Hỏi có bao nhiêu điểm trên đồ thị hàm số $y = g(x)$ có các tọa độ đều là số nguyên?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 45: Nhận biết

Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau:

${\log _2}(x + 1) - 2{\log _4}(5 - x) < 1 - {\log _2}(x - 2)$

A. $2 < x < 5$
B. $1 < x < 2$
C. $2 < x <3$
D. $-4 < x< 3$

BPT xác định khi : $\left\{ \begin{gathered} x + 1 > 0 \hfill \\ 5 - x > 0 \hfill \\ x - 2 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > - 1 \hfill \\ x < 5 \hfill \\ x > 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow 2 < x < 5$ .

Câu 46: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - (2m + 1)x^{2} + (3 - m)x + 2$ với $m$ là tham số. Định điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y = f\left( |x| ight)$ có ba điểm cực trị?

A.
$m > 3$
B.
$m > - \frac{1}{2}$
C.
$m \geq 3$
D.
$- \frac{1}{2} < m \leq 3$

Ta có:

$y' = f'(x) = 3x^{2} - 2(2m + 1)x + 3 - m$

$y' = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 2(2m + 1)x + 3 - m = 0(*)$

Để hàm số $y = f\left( |x| ight)$ có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y = f(x)$ có đúng một cực trị nằm bên phải trục tung => phương trình (*) có 1 nghiệm dương => phương trình (*) có hai nghiệm dương $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $\left\lbrack \begin{matrix} 0 = x_{1} < x_{2} \\ x_{1} < 0 < x_{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 3 - m = 0 \\ 2m + 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ 3 - m < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq 3$

Câu 47: Vận dụng

Cho phương trình ${\left( {7 + 4\sqrt 3 } ight)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 6$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình có một nghiệm vô tỉ
B. Phương trình có một nghiệm hữu tỉ
C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu
D. Tích của hai nghiệm bằng -6

Ta có: ${\left( {7 + 4\sqrt 3 } ight)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 6$

$\Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}^2}} ight]^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} - 6 = 0$

$\Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}^x}} ight]^2} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} - 6 = 0{\text{ }}\left( {*} ight)$

Đặt $t = {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} > 0$ .

Khi đó $\left( {*} ight) \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = 2{\text{ }}\left( TM ight) \hfill \\ t = - 3{\text{ }}\left( L ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Với $t = 2 \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 2 \Leftrightarrow \boxed{x = {{\log }_{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}}2}$ .

Câu 48: Thông hiểu

Bất phương trình ${\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \leqslant 2$ có tập nghiệm là:

A. ${\text{[}}0; + \infty )$
B. $( - \infty ;0)$
C. $( - \infty ;0]$
D. ${\text{(}}0; + \infty )$

Xét: $x > 0 \Rightarrow {2^x} > {2^0} = 1 \Rightarrow {2^x} + 1 > 2$

$\Rightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} ight) > {\log _2}2 = 1\left( 1 ight)$

Tương tự, ta cũng có: $x > 0 \Rightarrow {4^x} > {4^0} = 1 \Rightarrow {4^x} + 2 > 2 + 1 = 3$

$\Rightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 2} ight) > {\log _3}3 = 1\left( 2 ight)$

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: ${\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) > 2$

Mà BPT: ${\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \leqslant 2$ nên $x > 0 \, (L)$

Xét $x \leqslant 0 \Rightarrow {2^x} \leqslant {2^0} = 1 \Rightarrow {2^x} + 1 \leqslant 2$

$\Rightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} ight) \leqslant {\log _2}2 = 1\left( 3 ight)$

Tương tự, ta cũng có: $x \leqslant 0 \Rightarrow {4^x} \leqslant {4^0} = 1 \Rightarrow {4^x} + 2 \leqslant 2 + 1 = 3$

$\Rightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 2} ight) \leqslant {\log _3}3 = 1\left( 4 ight)$

Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được: ${\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \leqslant 2\left( {TM} ight)$

Vậy $x \leq 0$ hay $x \in \left( { - \infty ;0} ight]$ .

Câu 49: Vận dụng

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _x}\left( {125x} ight).{\log _{25}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x$ là:

A. $S = \left( {1;\sqrt 5 } ight)$
B. $S = \left( { - 1;\sqrt 5 } ight)$
C. $S = \left( { - \sqrt 5 ;1} ight)$
D. $S = \left( { - \sqrt 5 ; - 1} ight)$

Điều kiện: $0 < x e 1{\text{ }}$

Ta có:

${\log _x}(125x).{\log _{25}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x \Leftrightarrow \left( {{{\log }_x}{5^3} + {{\log }_x}x} ight).{\log _{{5^2}}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x$

$\Leftrightarrow \left( {3{{\log }_x}5 + 1} ight).\left( {\frac{1}{2}{{\log }_5}x} ight) > \frac{3}{2} + \log _5^2x$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2} + \frac{1}{2}{\log _5}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x \Leftrightarrow 2\log _5^2x - {\log _5}x < 0$

$\Leftrightarrow 0 < {\log _5}x < \frac{1}{2} \Leftrightarrow {5^0} < x < {5^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow 1 < x < \sqrt 5$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left( {1;\sqrt 5 } ight)$ .

Câu 50: Thông hiểu

Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:

A. 10 cm
B. 6 cm
C. 5 cm
D. 8 cm

Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

Do đó độ đài đường chéo: $\sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10{m{cm}}{m{.}}$

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!