Biết
với x > 1 và a + b = 2. Tính giá trị của biểu thức
.
Ta có:
Biết
với x > 1 và a + b = 2. Tính giá trị của biểu thức
.
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, . Cạnh bên , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
là:

Gọi M là trung điểm AC, suy ra
Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.
Ta có , suy ra tam giác SAC đều.
Gọi G là trọng tâm , suy ra
. (1)
Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lại có nên SM là trục của tam giác ABC.
Mà G thuộc SM nên suy ra .
Từ (1) và (2), suy ra hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
.
Bán kính mặt cầu .
Khi đặt hệ tọa độ
vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu
(tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu
có phương trình
. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.
Đáp án : 18km
Khi đặt hệ tọa độ vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu
(tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu
có phương trình
. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.
Đáp án : 18km
Ta có
.
Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là 18km.
Đáp số: 18km.
Biết
là giá trị của tham số
để hàm số
có hai điểm cực trị
sao cho
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Hàm số có hai cực trị
là hai nghiệm của phương trình
Áp dụng hệ thức Vi – et ta có:
Ta có:
.
Tập nghiệm của bất phương trình
là?
BPT
Vậy bất PT có tập nghiệm là .
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình
có nghiêm đúng với
khi và chỉ khi :
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình có nghiêm đúng với
khi và chỉ khi :
Cho đồ thị hàm số
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Theo định nghĩa của hàm số lũy thừa, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 0
Ta có: suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 và tiệm cận đứng là x = 0
Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại A và B,
. Cạnh bên
và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.
1
Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại A và B,
. Cạnh bên
và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.
1

Diện tích hình thang ABCD là
Chiều cao khối chóp là .
Vậy thể tích khối chóp
Cho hàm số
có bảng biến thiên của hàm số
như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?

Đáp án: 6
Cho hàm số có bảng biến thiên của hàm số
như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Đáp án: 6
Để hàm số đồng biến trên khoảng
Đặt và
.
Ta có: .
Do đó, ta có: khi
.
Do đó, .
Từ ta có
.
Mà .
Vậy có tất cả 6 số nguyên thỏa mãn.
Phương trình
có nghiệm là:
Ta có:
Cho f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ.
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào trong các đáp án dưới đây?
Ta có:
=>
Hàm số đồng biến khi
Đặt t = x – 1 thì (*) trở thành
Quan sát đồ thị hàm số y = f’(t) và y = -2t trên cùng một hệ tọa độ như hình vẽ

Khi đó ta thấy với thì độ thì hàm số y = f’(t) luôn nằm trên đường thẳng y = -2t
=>
Do đó với thì hàm số
đồng biến.
Cho hàm số
xác định và liên tục trên các khoảng
và
có bảng biến thiên như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì nên
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì nên
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Thu gọn biểu thức
biết a và b là hai số thực dương.
Ta có:
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức
trong đó
là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (
được tính bằng miligam,
).
a) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân là
. Đúng||Sai
b) Đạo hàm của
là
. Sai||Đúng
c) Phương trình
có nghiệm duy nhất. Sai||Đúng
d) Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là
. Đúng||Sai
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức trong đó
là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (
được tính bằng miligam,
).
a) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân là . Đúng||Sai
b) Đạo hàm của là
. Sai||Đúng
c) Phương trình có nghiệm duy nhất. Sai||Đúng
d) Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là . Đúng||Sai
a) Đúng. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được viết lại là.
b) Sai. Đạo hàm của là
.
c) Sai. Xét phương trình
d) Đúng. Ta có bảng biến thiên:
Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 20 mg.
Tính giá trị của tham số m biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số
là
?
Ta có: có tập xác định
Ta có: . Theo bài ra ta có:
Vậy đáp án cần tìm là
Cho hàm số
. Tính tổng
là:
Với ta có:
Nhận thấy
Tìm tập nghiệm của bất phương trình
sau:
Ta có:
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
Diện tích xung quanh của hình trụ: (đvdt).
Diện tích toàn phần của hình trụ:
(đvdt).
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Trong hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có tâm
và có thể tích bằng
. Khi đó phương trình mặt cầu
là:
Thể tích mặt cầu là:
Vậy phương trình mặt cầu tâm có bán kính
là:
Tập xác định của hàm số
là:
Điều kiện xác định:
=> Tập xác định của hàm số là
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có: suy ra hàm số luôn nghịch biến trên
.
Vậy hàm số đã cho không có điểm cực trị.
Tập xác định của hàm số
là:
Hàm số xác định nếu
Vậy tập xác định
Cho số thực a dương. Rút gọn biểu thức ![P = \sqrt[5]{{a.\sqrt[4]{{a.\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}}}](https://i.khoahoc.vn/data/image/holder.png)
Ta có:
Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau:
![]()
BPT xác định khi : .
Bác Thu có 600 triệu đồng mang đi gửi tiết kiện ở hai loại kì hạn khác nhau đều theo thể thức lãi kép. Bác gửi 300 triệu đồng theo kì hạn quý với lãi suất 2,1% một quý, 300 triệu đồng còn lại bác gửi theo kì hạn tháng với lãi suất 0,73%/tháng. Sau khi gửi được đúng một năm, bác rút ra một nửa số tiền ở loại kì hạn quý và gửi vào loại kì hạn theo tháng. Hỏi sau đúng hai năm kể từ khi gửi tiền lần đầu, bác Thu thu về tất cả bao nhiêu tiền lãi (làm tròn đến chữ số hàng nghìn)?
Số tiền bác Thu thu được ở năm thứ nhất là:
+ Gửi kì hạn theo quý: (triệu đồng)
+ Gửi kì hạn theo tháng: (triệu đồng)
Số tiền bác Thu thu được ở sau năm thứ hai là:
+ Gửi kì hạn theo quý: (triệu đồng)
+ Gửi kì hạn theo tháng: (triệu đồng)
Số tiền lãi bác Thu thu được là
(triệu đồng)
Để chuẩn bị cho hoạt động cắm trại, bạn An tìm hiểu các mẫu lều cắm trại có kích thước như trong hình vẽ.
Bạn An muốn biết thể tích chênh lệch của hai lều nên thực hiện tính
, trong đó
lần lượt là thể tích của mẫu lều cắm trại ở hình a, hình b. Giá trị của
bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Đáp án: 961 dm3
Để chuẩn bị cho hoạt động cắm trại, bạn An tìm hiểu các mẫu lều cắm trại có kích thước như trong hình vẽ.
Bạn An muốn biết thể tích chênh lệch của hai lều nên thực hiện tính
, trong đó
lần lượt là thể tích của mẫu lều cắm trại ở hình a, hình b. Giá trị của
bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Đáp án: 961 dm3
Cả hai lều đều có dạng khối lăng trụ đứng ngũ giác.
Xét khối lăng trụ ở hình a. Chia mặt đáy thành hai phần bao gồm: hình chữ nhật có chiều rộng , chiều dài
; tam giác cân có cạnh đáy dài
, chiều cao
như hình dưới đây.
Diện tích mặt đáy của lăng trụ đó là:
Vậy thể tích của khối lăng trụ ngũ giác đó là:
.
Xét khối lăng trụ ở hình . Chia mặt đáy thành hai phần bao gồm: hình thang cân có đáy lớn đài
, đáy nhỏ dài
, chiều cao
tam giác cân có cạnh đáy dài
, chiều cao
như hình vẽ .
Diện tích mặt đáy của lăng trụ đó là:
Vậy thể tích của khối lăng trụ ngũ giác đó là:
Do đó .
Bất phương trình
có tập nghiệm là:
Ta có:
Vậy .
Cho phương trình
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có:
Đặt .
Khi đó
Với .
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là
. Tính thể tích
của hình hộp chữ nhật đã cho.

Xét hình hộp chữ nhật có đáy
là hình chữ nhật.
Theo bài ra, ta có
Nhân vế theo vế, ta được
Vậy .
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Với a và b là hai số thực dương tùy ý thì
bằng:
Ta có:
Cho hình đa diện đều loại
cạnh
. Gọi
là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đa diện đều loại là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh
.
Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là

Cho hàm số y = f(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số
có đúng 6 điểm cực trị?

Xét hàm số
Yêu cầu bài toán xảy ra khi phương trình đạo hàm phải có 6 nghiệm bội lẻ:
Ta có:
Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt => Hai phương trình còn lại phải cho đúng 4 nghiệm nghiệm bội lẻ.
Nhận thấy hai phương trình (1), (2) luôn cho hai nghiệm phân biệt vafcacs nghiệm của hai phương trình này không trùng nhau.
Để hai phương trình có đúng 4 nghiệm bội lẻ thì:
TH1: x = 1 là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m – 1)x – m – 1] = 0 và x = -1 không phải là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m + 1)x + m – 1] = 0
TH2: x = -1 là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m + 1)x + m – 1] = 0 và x = 1 không phải là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m – 1)x - m – 1] = 0
=>
Vậy có hai giá thực của m thỏa mãn
Tìm giá trị của tham số
để đồ thị hàm số
đi qua điểm
?
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên ta có:
Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho
trùng với
trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.
Đặt
. Khi đó
biểu diễn là:
Ta có:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để đồ thị hàm số
có đúng một tiệm cận đứng?
Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình
có đúng một nghiệm
Ta có:
Xét hàm số ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra
Mà nên
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đạo hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Xét hàm số ta có:
Vậy hàm số đồng biến trên tập số thực.
Hàm số nào dưới dây nghịch biến trên khoảng
?
Xét hàm số có
nên hàm số
nghịch biến trên khoảng
.
Cho hình chóp đều
có cạnh đáy bằng
, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Vì
là khối chóp đều nên suy ra
.
Gọi là trung điểm của
Tam giác vuông tại
, có:
Diện tích tam giác là:
Vậy thể tích khối chóp:
Cho khối lăng trụ
có thể tích bằng
, các điểm
lần lượt thuộc các cạnh
sao cho
. Thể tích của khối đa diện
là bao nhiêu? (Đơn vị:
)
31 || 31 cm^3 || ba mươi mốt xăng ti mét khối || Ba mươi mốt xăng ti mét khối
Cho khối lăng trụ có thể tích bằng
, các điểm
lần lượt thuộc các cạnh
sao cho
. Thể tích của khối đa diện
là bao nhiêu? (Đơn vị:
)
31 || 31 cm^3 || ba mươi mốt xăng ti mét khối || Ba mươi mốt xăng ti mét khối
Ta có
Nên
Mà
.
Vậy .
Khái niệm chính xác nhất về khối đa diện là:
Áp dụng định nghĩa khối đa diện, ta có:
“Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.”
Có bao nhiêu số nguyên
thỏa mãn điều kiện hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Ta có:
. Hàm số đồng biến trên khoảng
Vậy có duy nhất một số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số đồng biến trên khoảng
.
Gọi P là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
đồng biến trên tập xác định của nó. Tổng các phần tử của tập hợp P là:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Kết hợp với điều kiện
=>
=> Tổng P bằng 10
Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn
, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; .
Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' . Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.
Do .
Gọi H là trung điểm của DC.
.
Ta có .
Suy ra .
Vậy thể tích của khối trụ là .
Cho hàm số
có đạo hàm trên
và có bảng xét dấu
như sau:

Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Đặt
Từ bảng xét dấu của hàm số có
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Phương trình
có nghiệm là:
x=2 || 2 || hai
Phương trình có nghiệm là:
x=2 || 2 || hai
PT .
Phương trình
có 2 nghiệm
trong đó
. Giá trị của
là?
PT
Vậy .