Lớp 12 Toán 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 12.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho số thực a dương. Rút gọn biểu thức P = \sqrt[5]{{a.\sqrt[4]{{a.\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}}}

    Ta có:

    P = \sqrt[5]{{a.\sqrt[4]{{a.\sqrt[3]{{{a^{\frac{3}{2}}}}}}}}} = {\left( {a\sqrt[4]{{a.{a^{\frac{1}{2}}}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {a\sqrt[4]{{{a^{\frac{3}{2}}}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {a.{a^{\frac{3}{8}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{a^{\frac{{11}}{8}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {a^{\frac{{11}}{{40}}}}

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ tam giác ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh AC = 2\sqrt 2. Biết AC' tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60^0 và AC'=4. Tính thể tích V của khối đa diện ABCB'C'. 

     

    Gọi H là hình chiếu của C' trên mặt phẳng (ABC).

    Suy ra AH là hình chiếu của AC' trên mặt phẳng (ABC).

    Do đó {60^0} = \widehat {AC',\left( {ABC} ight)} = \widehat {\left( {AC',AH} ight)} = \widehat {HAC'}

    Tam giác vuông AHC', có  C'H = AC'.\sin \widehat {HAC'} = 2\sqrt 3

    Thể tích khối lăng trụ {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.C'H = 8\sqrt 3

    Suy ra thể tích cần tính là:

     {V_{ABCB'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{16\sqrt 3 }}{3}.

  • Câu 3: Nhận biết

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

    Đáp án là:

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

     

    Hình bát diện đều có 12 cạnh.

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O và \widehat {ABC} = {120^0}. Góc giữa cạnh bên AA' và mặt đáy bằng 60^0. Đỉnh A' cách đều các điểm A, B, D. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

     

    Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a.

    Gọi H là tâm tam giác ABD. Vì A' cách đều các điểm A,B, D nên A'H \bot \left( {ABD} ight).

    Do đó {60^0} = \widehat {AA',\left( {ABCD} ight)} = \widehat {AA',HA} = \widehat {A'AH}.

    Ta có AH = \frac{2}{3}AO = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.

    Tam giác vuông A'AH, có A'H = AH.\tan \widehat {A'AH} = a.

    Diện tích hình thoi {S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.A'H = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của f'(x) như sau:

    Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

    Dựa vào bảng xét dấu đã cho ta thấy f'(x) đổi dấu 4 lần nên hàm số f(x) có bốn điểm cực trị.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}. Biết đồ thị của hàm số y = f'(x) biểu diễn như hình vẽ:

    Khi đó hàm số y = f\left( x^{2} - 1 ight) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

    Ta có: y' = 2x.f'\left( x^{2} - 1 ight) \leq 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ f'\left( x^{2} - 1 ight) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ f'\left( x^{2} - 1 ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ x^{2} - 1 \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} - 1 \geq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ - 2 \leq x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x \leq - 2 \\ x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 \leq x \leq 0 \\ x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là ( - 2;0).

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho biết {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{3}}} > {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{6}}}, khẳng định nào sau đây đúng?

    Điều kiện: x - 2 > 0 \to x > 2

    Ta có:

    - \frac{1}{3} > - \frac{1}{6} \Rightarrow {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{3}}} > {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{6}}}

    \Rightarrow x - 2 < 1 \Rightarrow x < 3

    Vậy 2 < x < 3

  • Câu 8: Vận dụng

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = {x^{\frac{\pi }{2}}} tại điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1 là:

    Ta có: y = {x^{\frac{\pi }{2}}} \Rightarrow y' = \frac{\pi }{2}.{x^{\frac{\pi }{2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( 1 ight) = 1} \\ {y'\left( 1 ight) = \dfrac{\pi }{2}} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = {x^{\frac{\pi }{2}}} tại điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1 là:

    y = y'\left( 1 ight)\left( {x - 1} ight) + y\left( 1 ight) = \frac{\pi }{2}x - \frac{\pi }{2} + 1

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hàm số y = {x^\pi }. Tính y''\left( 1 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \pi .{x^{\pi - 1}} \Rightarrow y'' = \pi \left( {\pi - 1} ight).{x^{\pi - 2}} \hfill \\ y''\left( 1 ight) = \pi \left( {\pi - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình {\log _3}\left( {{{4.3}^{x - 1}}} ight) > 2x - 1 là: 

    x=1 || X=1 || x bằng 1

    Đáp án là:

    Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình {\log _3}\left( {{{4.3}^{x - 1}}} ight) > 2x - 1 là: 

    x=1 || X=1 || x bằng 1

    {\log _3}\left( {{{4.3}^{x - 1}}} ight) > 2x - 1  \Leftrightarrow {4.3^{x - 1}} > {3^{2x - 1}} \Leftrightarrow {3^{2x}} - {4.3^x} < 0

    \Leftrightarrow 0 < {3^x} < 4 \Leftrightarrow x < {\log _3}4

    Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của BPT là x=1.

  • Câu 11: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \sin x + {\log _3}{x^3};\left( {x > 0} ight) là:

     Áp dụng công thức tính đạo hàm: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\sin x} ight)' = \cos x} \\ {\left( {{{\log }_a}x} ight)' = \dfrac{1}{{x\ln a}};\left( {0 < a e 1} ight)} \end{array}} ight. ta có:

    y' = \left( {\sin x + {{\log }_3}{x^3}} ight) = \cos x + \frac{3}{{x\ln 3}}

  • Câu 12: Vận dụng

    Tìm tập nghiệm của bất phương trình {11^{\sqrt {x + 6} }} \geqslant {11^x} sau: 

    Ta có:  {11^{\sqrt {x + 6} }} \geqslant {11^x} \Leftrightarrow \sqrt {x + 6} \geqslant x

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x < 0 \hfill \\ x + 6 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ x + 6 \geqslant {x^2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - 6 \leqslant x < 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ - 2 \leqslant x \leqslant 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow - 6 \leqslant x \leqslant 3

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên (3; + \infty)

    Suy ra hàm số nghịch biến trên (4;10).

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho SH = \frac{{3a}}{2}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

    Độ dài đường sinh

    Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.

    Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên S{A^2} = SH.SS' \Rightarrow SA = a\sqrt 3 .

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tìm điều kiện của x để hàm số y = {\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^\pi } có nghĩa?

     Ta có điều kiện xác định {x^2} - 3x + 2 > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 1} \\ {x > 2} \end{array}} ight.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Nếu đặt t = \lg x thì phương trình \frac{1}{{4 - \lg x}} + \frac{2}{{2 + \lg x}} = 1 trở thành phương trình nào?

     Đặt t = \lg x

    PT \Leftrightarrow \frac{1}{{4 - t}} + \frac{2}{{2 + t}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{2 + t + 2(4 - t)}}{{(4 - t)(2 + t)}} = 1

    \Leftrightarrow 2 + t + 2(4 - t) = (4 - t)(2 + t)

    \Leftrightarrow 10 - t = 8 + 2t - {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) có phương trình dạng x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0. Tập hợp các giá trị thực của tham số a để (S) có chu vi 8\pi?

    Đường tròn lớn có chu vi là 8\pi nên bán kính của (S) là \frac{8\pi}{2\pi} = 4

    Từ phương trình của (S) suy ra bán kính của (S) là R = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10a}

    Do đó \sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10a} = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = - 1 \\ a = 11 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là: a \in \left\{ - 1;11 ight\}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ:

    Hàm số g(x) = 2f(x) + 2021 đồng biến trên khoảng:

    Ta có: g'(x) = 2f'(x) > 0 \Leftrightarrow f'(x) > 0

    \Leftrightarrow x \in ( - \infty; - 4) \cup (7; + \infty)

    Nên suy ra hàm số cũng đồng biến trên (8; + \infty).

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho bất phương trình: \frac{1}{{{5^{x + 1}} - 1}} \geqslant \frac{1}{{5 - {5^x}}}. Tìm tập nghiệm của bất phương trình.

     Ta có: \frac{1}{{{5^{x + 1}} - 1}} \geqslant \frac{1}{{5 - {5^x}}} \Leftrightarrow \frac{{6\left( {1 - {5^x}} ight)}}{{\left( {{{5.5}^x} - 1} ight)\left( {5 - {5^x}} ight)}} \geqslant 0\,\,(1)

    Đặt t =5^x, BPT (1) \Leftrightarrow \frac{{6\left( {1 - t} ight)}}{{\left( {5t - 1} ight)\left( {5 - t} ight)}} \geqslant 0.

    Đặt f(t) = \frac{{6\left( {1 - t} ight)}}{{\left( {5t - 1} ight)\left( {5 - t} ight)}}.

    Lập bảng xét dấu f(t) = \frac{{6\left( {1 - t} ight)}}{{\left( {5t - 1} ight)\left( {5 - t} ight)}}, ta được nghiệm:

    \left[ \begin{gathered} 5 < t \hfill \\ \frac{1}{5} < t \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 5 < {5^x} \hfill \\ \frac{1}{5} < {5^x} \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 1 < x \hfill \\ - 1 < x \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight..

    Vậy tập nghiệm của BPT là S = \left( { - 1;0} ight] \cup \left( {1; + \infty } ight).

  • Câu 20: Nhận biết

    Tìm các giá trị của x để hàm số y = {\left( {3x - {x^2}} ight)^{\frac{2}{3}}} có nghĩa:

    Điều kiện xác định 

    \begin{matrix} 3x - {x^2} > 0 \hfill \\ \Rightarrow 0 < x < 3 \hfill \\ \Rightarrow x \in \left( {0;3} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) trên khoảng (0; + \infty)?

    Đặt g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow g'(x) = (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x ight)

    Từ bảng xét dấu của hàm số f'(x) có

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 2 = 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x = - 1\ \\ x^{2} - 2x = 2\ \ \\ 2x - 2 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 1 \pm \sqrt{3} \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên suy ra hàm số g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) có hai cực trị trên khoảng (0; + \infty).

  • Câu 22: Nhận biết

    Số nghiệm của phương trình {\log _2}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _2}x = 0 là:

    0 || PT không có nghiệm || không có nghiệm || vô nghiệm || PT vô nghiệm

    Đáp án là:

    Số nghiệm của phương trình {\log _2}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _2}x = 0 là:

    0 || PT không có nghiệm || không có nghiệm || vô nghiệm || PT vô nghiệm

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ {x^3} + 1 > 0 \hfill \\ {x^2} - x + 1 > 0 \hfill \\ {\log _{{2^{}}}}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _{{2^{}}}}x = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}({x^2} - x + 1)}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \frac{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}}{{{x^2}({x^2} - x + 1)}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x \in \emptyset

    Vậy số nghiệm của PT là 0.

  • Câu 23: Nhận biết

    Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}?

    Xét phương trình x + 1 = 0 => x = -1

    Và \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x ight) = + \infty => x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho 0 < a e 1 và biểu thức \sqrt {a.\sqrt[3]{a}} viết dưới dạng {a^n}. Giá trị của n là:

    Ta có:

    \sqrt {a.\sqrt[3]{a}} = {\left( {a.{a^{\frac{1}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3}}}

    Vậy n = \frac{2}{3}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60^{0}. Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm của đáy, gọi M là trung điểm của BC.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} SO\bot BC \\ OM\bot BC \\ \end{matrix} ight. nên (SOM)\bot BC

    Suy ra \left\lbrack (SCD),(ABCD) ightbrack = (SM,OM) = \widehat{SMO} = 60^{0}.

    Có OM = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}, SO = OMtan60^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.

    Thể tích khối chóp S.ABCD là

    V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}.

  • Câu 26: Vận dụng

    Phương trình {3^{2x}} + 2x\left( {{3^x} + 1} ight) - {4.3^x} - 5 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ?

     Ta có: {3^{2x}} + 2x\left( {{3^x} + 1} ight) - {4.3^x} - 5 = 0 \Leftrightarrow \left( {{3^{2x}} - 1} ight) + 2x\left( {{3^x} + 1} ight) - \left( {{{4.3}^x} + 4} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left( {{3^x} - 1} ight)\left( {{3^x} + 1} ight) + \left( {2x - 4} ight)\left( {{3^x} + 1} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left( {{3^x} + 2x - 5} ight)\left( {{3^x} + 1} ight) = 0 \Leftrightarrow {3^x} + 2x - 5 = 0

    Xét hàm số f\left( x ight) = {3^x} + 2x - 5, ta có:f(1)=0.

    f'\left( x ight) = {3^x}\ln 3 + 2 > 0;\forall x \in \mathbb{R}. Do đó hàm số f(x) đồng biến trên R.

    Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x=1.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 28: Nhận biết

    Nghiệm của bất phương trình (0,2)^{x^{2}} > 1 là

    Ta có (0,2)^{x^{2}} > 1 \Leftrightarrow x^{2} < log_{0,2}1 \Leftrightarrow x^{2} < 0 (vô nghiệm).

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \varnothing.

  • Câu 29: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 4)^{2} = 20

    Tâm của (S) có tọa độ là I(1; - 2;4)

    Bán kính mặt cầu (S) là: R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn {\log _9}{a^4} + {\log _3}b = 8 và {\log _3}a + {\log _{\sqrt[3]{3}}}b = 9. Giá trị của biểu thức P = ab + 1 là:

    Theo điều kiện ta có:

     \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_9}{a^4} + {{\log }_3}b = 8} \\ {{{\log }_3}a + {{\log }_{\sqrt[3]{3}}}b = 9} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{{\log }_9}a + {{\log }_3}b = 8} \\ {{{\log }_3}a + 3{{\log }_3}b = 9} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_9}a = 3} \\ {{{\log }_3}b = 2} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 27} \\ {b = 9} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow P = ab + 1 = 244 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Tình tổng các giá trị nguyên của tham số m

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f\left( {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m} ight) có 3 điểm cực trị. Tổng các phần tử của S là:

    Xét hàm số y = f\left( {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m} ight) có đạo hàm

    \begin{matrix} y' = 2\left( {x - 1} ight)f'\left( {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m} ight) \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m = - 1} \\ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} = - 1 - m} \\ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} = 3 - m} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Để hàm số có 3 điểm cực trị thì

    \begin{matrix} - 1 - m \leqslant 0 < 3 - m \hfill \\ \Leftrightarrow - 1 \leqslant m < 3 \hfill \\ \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2} ight\} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy tổng các phần tử của S là 2

  • Câu 32: Nhận biết

    Tìm số mặt của hình đa diện dưới đây là?

    Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

  • Câu 33: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(1;2; - 2). Mặt phẳng (\alpha) đi qua H và cắt các trục Ox;Oy;Oz tại A;B;C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (\alpha)?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có H là trực tâm của tam giác ABC suy ra OH\bot(ABC)

    Thật vậy \left\{ \begin{matrix} OH\bot OA \\ OH\bot OB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OC\bot AB(1)

    Mà CH\bot AB (vì H là trực tâm tam giác ABC) (2)

    Từ (1) và (2) suy ra AB\bot(OHC) suy ra AB\bot OH(*)

    Tương tự BC\bot(OAH) \Rightarrow BC\bot OH(**)

    Từ (*) và (**) suy ra OH\bot(ABC)

    Khi đó mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) có bán kính R = OH = 3

    Vây mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (\alpha) là: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có AB = AA' = a, đường chéo AC'hợp với mặt đáy (ABCD) một góc \alpha thỏa mãn \cot \alpha = \sqrt 5. Tính theo a thể tích khối hộp đã cho.

     

    Ta có AA' \bot \left( {ABCD} ight) nên \widehat {A'C,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {A'C,AC} = \widehat {A'CA}.

    Tam giác vuông A'AC, ta có AC = AA'.\cot \alpha = a\sqrt 5.

    Tam giác vuông ABC, ta có BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 2a.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD là {S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = 2{a^3}.

  • Câu 35: Vận dụng

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1 ight)}{x^{2} - 2x - 3} là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1;3 ight\}

    \lim_{x ightarrow +\infty}\left\lbrack \dfrac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1ight)}{x^{2} - 2x - 3} ightbrack= \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x^{2}\left( \sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}ight)}{x^{2}\left( 1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}ight)}

    = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}}{1 -\dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}} = 2 suy ra y = 2 là tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow -\infty}\left\lbrack \dfrac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1ight)}{x^{2} - 2x - 3} ightbrack= \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x^{2}\left( - \sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}ight)}{x^{2}\left( 1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}ight)}

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{2}{x} -\dfrac{3}{x^{2}}} = 0 suy ra y = 0 là tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow - 1}\left\lbrack\frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1 ight)}{x^{2} - 2x - 3}ightbrack= \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} +x - 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}{\left( x^{2} - 2x- 3 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{2x(x + 1)}{(x - 3)(x + 1)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{2x}{(x - 3)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)} = \frac{- 2}{16} = \frac{1}{8}

    Vậy x = - 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + x - 1} ight)}}{{{x^2} - 2x - 3}}} ight] = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left[ {\frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + x - 1} ight)}}{{{x^2} - 2x - 3}}} ight] = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. suy ra x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

    Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho a,b,c > 0 và khác 1. Các hàm số y = {\log _a}x;y = {\log _b}x;y = {\log _c}x có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Khẳng định nào dưới đây đúng

     Kẻ đường thẳng y=1 cắt đồ thị các hàm số y = {\log _a}x;y = {\log _b}x;y = {\log _c}x lần lượt tại các điểm có hoành độ a,b,c

    Khẳng định nào dưới đây đúng

    Từ đồ thị ta có: a > c > b

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có bảng biến như sau:

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có một nghiệm

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m có một nghiệm?

    Đặt t = \sqrt {x + 1} + 1 \Rightarrow t \geqslant 1

    Khi đó bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m trở thành f\left( t ight) \leqslant m{\text{ }}\left( * ight)

    Bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m có nghiệm khi bất phương trình f\left( t ight) \leqslant m có nghiệm t \geqslant 1

    \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\min \left( t ight)}\limits_{t \geqslant 1} \Leftrightarrow m \geqslant - 4

  • Câu 38: Vận dụng

    Một công ty du lịch tổ chức tour du lịch với giá mỗi tour là 5000000 đồng một khách cho 30 khách. Từ khách thứ 31, cứ thêm một khách, giá của tour lại được giảm a nghìn (a là số nguyên dương). Số khách thêm của tour không quá 15 người. Biết rằng nếu nhận thêm từ 1 đến 8 khách thì doanh thu tăng dần theo số khách nhận thêm. Tìm giá trị lớn nhất của a.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một công ty du lịch tổ chức tour du lịch với giá mỗi tour là 5000000 đồng một khách cho 30 khách. Từ khách thứ 31, cứ thêm một khách, giá của tour lại được giảm a nghìn (a là số nguyên dương). Số khách thêm của tour không quá 15 người. Biết rằng nếu nhận thêm từ 1 đến 8 khách thì doanh thu tăng dần theo số khách nhận thêm. Tìm giá trị lớn nhất của a.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 39: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

  • Câu 40: Thông hiểu

    Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = - 2x^{3} + 3x^{2} + m trên đoạn \lbrack 0;2brack bằng 5. Tìm giá trị của tham số m?

    Ta có: y' = - 6x^{2} + 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên ta có:

    \max_{\lbrack 0;2brack}f(x) = 5 \Leftrightarrow f(1) = 5 \Leftrightarrow m + 1 = 5 \Leftrightarrow m = 4

  • Câu 41: Thông hiểu

    Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu cạnh?

    Khối lăng trụ ngũ giác có số cạnh của một mặt đáy là 5 cạnh, số cạnh bên là 5 cạnh

    Số cạnh của khối lăng trụ ngũ giác là: 2.5 + 5 =15 cạnh.

  • Câu 42: Vận dụng

    Mỗi khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh Đ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn?

    Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là 3Đ.

    Mặt khác, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3Đ =2C.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Phương trình \log _2^2x - 4{\log _2}x + 3 = 0 có tập nghiệm là?

    Điều kiện: x > 0

    \log _2^2x - 4{\log _2}x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log _2}x = 1 \hfill \\ {\log _2}x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = 8 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy PT có tập nghiệm là S={8;2}.

  • Câu 44: Vận dụng

    Anh H dự định sử dụng hết 5,5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép nối không đáng kể).

    Gọi a và h lần lượt là kích thước chiều rộng và chiều cao (theo đơn vị mét).

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tổng diện tích 5 mặt của bể là S = 2a^{2} + 6ah . Đúng||Sai

    b) Ta có h = \frac{5,5 + 2a^{2}}{6a} . Sai|| Đúng

    c) Thể tích của bể là V = \frac{5,5a}{3} + \frac{2a^{3}}{3} . Sai|| Đúng

    d) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng \frac{11\sqrt{33}}{54} . Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Anh H dự định sử dụng hết 5,5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép nối không đáng kể).

    Gọi a và h lần lượt là kích thước chiều rộng và chiều cao (theo đơn vị mét).

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tổng diện tích 5 mặt của bể là S = 2a^{2} + 6ah . Đúng||Sai

    b) Ta có h = \frac{5,5 + 2a^{2}}{6a} . Sai|| Đúng

    c) Thể tích của bể là V = \frac{5,5a}{3} + \frac{2a^{3}}{3} . Sai|| Đúng

    d) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng \frac{11\sqrt{33}}{54} . Đúng||Sai

    a) Đúng. Kích thước đáy của bể lần lượt là 2a, a; chiều cao bể là h (a, h > 0). Tổng diện tích 5 mặt của bể là:

    S = 2a^{2} + 2ah + 4ah = 2a^{2} + 6ah

    b) Sai. Theo đề bài ta có: 2a^{2} + 6ah = 5,5 \Rightarrow h = \frac{5,5 - 2a^{2}}{6a};\left( 0 < a < \frac{5\sqrt{5}}{2} ight).

    c) Sai. Gọi V là thể tích của bể cá, ta có:

    V = 2a^{2}h = \frac{2a^{2}\left( 5,5 - 2a^{2} ight)}{6a} = \frac{5,5a}{3} - \frac{2a^{3}}{3}

    d) Đúng. Ta có: V' = \frac{5,5}{3} - \frac{6a^{2}}{3}

    V' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{5,5}{3}- \dfrac{6a^{2}}{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{\sqrt{33}}{6}(tm) \\a = - \dfrac{\sqrt{33}}{6}(ktm) \\\end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên:

    Vậy dung tích lớn nhất của bể cá bằng \frac{11\sqrt{33}}{54}.

  • Câu 45: Nhận biết

    Cho a và b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Ta có:

    \begin{matrix} {\log _2}{\left( {3ab} ight)^3} = 3.\left( {{{\log }_3}3 + {{\log }_3}a + {{\log }_3}b} ight) \hfill \\ = 3.\left( {1 + {{\log }_3}a + {{\log }_3}b} ight) \hfill \\ = 3 + 3{\log _3}ab \hfill \\ = 3 + {\log _3}{\left( {ab} ight)^3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 46: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = {x^2} - 2x,\forall x \in \mathbb{R}. Hàm số g\left( x ight) = f\left( {2 - \sqrt {{x^2} + 1} } ight) - \sqrt {{x^2} + 1} - 3 đồng biến trên các khoảng nào?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = {x^2} - 2x,\forall x \in \mathbb{R}. Hàm số g\left( x ight) = f\left( {2 - \sqrt {{x^2} + 1} } ight) - \sqrt {{x^2} + 1} - 3 đồng biến trên các khoảng nào?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 47: Thông hiểu

    Cho hàm số y = - x^{3} + 3x^{2} + 5 có hai điểm cực trị M;N. Tính độ dài đoạn thẳng AB?

    Ta có: y' = - 3x^{2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 5 \\ x = 2 \Rightarrow y = 9 \\ \end{matrix} ight.

    Nhận thấy phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là M(0;5),N(2;9)

    \Rightarrow MN = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}

  • Câu 48: Thông hiểu

    Biết \sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}} = {\left( {\frac{a}{b}} ight)^m} với a và b là các số thực dương. Tìm m?

    Ta có:

    \begin{matrix} {\left( {\dfrac{a}{b}} ight)^m} = {\left( {\sqrt[3]{{\dfrac{{{b^3}}}{{{a^3}}}.\dfrac{a}{b}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {\dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} ight)^{\frac{1}{{15}}}} = {\left( {\dfrac{b}{a}} ight)^{\frac{2}{{15}}}} \hfill \\ \Rightarrow m = \dfrac{{ - 2}}{{15}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 49: Nhận biết

    Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = \frac{3x - 1}{x + 2} là điểm nào trong các điểm cho sau đây?

    Đồ thị hàm số y = \frac{3x - 1}{x + 2} nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

    Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 3 và tiệm cận đứng là x = - 2

    Do đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm ( - 2;3).

  • Câu 50: Nhận biết

    Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BB'=a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = a\sqrt 2. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

     

    Tam giác ABC vuông cân tại B,

    suy ra BA = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}}}{2}

    Vậy thể tích khối lăng trụ V = {S_{\Delta ABC}}.BB' = \frac{{{a^3}}}{2}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 12 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập