Lớp 12 Toán 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 12.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{3x - 1}{x + 2} có đồ thị kí hiệu là (H). Tìm điểm thuộc (H)?

    Ta thấy x = - 1 \Rightarrow y = \frac{3.( - 1) - 1}{( - 1) + 2} = - 4 \Rightarrow ( - 1; - 4) \in (H)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?

    Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.

    Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.

    Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông

    Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.

     

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

    Bất phương trình có nghiêm đúng với khi và chỉ khi

    Bất phương trình f\left( x ight) < m + {x^2} - 2x có nghiêm đúng với \forall x \in \left( { - 2;2} ight) khi và chỉ khi :

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

    Bất phương trình có nghiêm đúng với khi và chỉ khi

    Bất phương trình f\left( x ight) < m + {x^2} - 2x có nghiêm đúng với \forall x \in \left( { - 2;2} ight) khi và chỉ khi :

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo d = \sqrt {21}. Độ dài ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công bội q=2. Thể tích của khối hộp chữ nhật là?

    Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có độ dài kích thước ba cạnh lần lượt là AA' = a,\,\,AB = b,\,\,AD = c và có đường chéo AC'.

    Theo bài ra, ta có a, b, c lập thành cấp số nhân có công bội q=2. Suy ra:

    \left\{ \begin{gathered} b = 2a \hfill \\ c = 4a \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Mặt khác, độ dài đường chéo AC' = \sqrt {21}

    \Rightarrow A{A'^2} + A{B^2} + A{D^2} = 21\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 21

    Ta có hệ:

    \left\{ \begin{gathered} c = 2b = 4a \hfill \\ {a^2} + {b^2} + {c^2} = 21 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} c = 2b = 4a \hfill \\ {a^2} + {\left( {2a} ight)^2} + {\left( {4a} ight)^2} = 21 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} c = 2b = 4a \hfill \\ 21{a^2} = 21 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = 2 \hfill \\ c = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'là:

    {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.AB.AD = abc = 8

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Tìm tập hợp T tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} ight){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} ight)x - 3 nghịch biến trên khoảng (-1; 1)

     Ta có: y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + \left( {{m^2} + 2m} ight)

    Để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) thì

    \begin{matrix} y' \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 1;1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + \left( {{m^2} + 2m} ight) \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 1;1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có y’ = 0 => x = m hoặc x = m + 2

    Bảng xét dấu

    Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến trên khoảng

    Từ bảng xét dấu ta thấy để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) thì

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant - 1} \\ {m + 2 \geqslant 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant - 1} \\ {m \geqslant - 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m = - 1

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho số thực a dương. Rút gọn biểu thức P = \sqrt[5]{{a.\sqrt[4]{{a.\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}}}

    Ta có:

    P = \sqrt[5]{{a.\sqrt[4]{{a.\sqrt[3]{{{a^{\frac{3}{2}}}}}}}}} = {\left( {a\sqrt[4]{{a.{a^{\frac{1}{2}}}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {a\sqrt[4]{{{a^{\frac{3}{2}}}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {a.{a^{\frac{3}{8}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{a^{\frac{{11}}{8}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {a^{\frac{{11}}{{40}}}}

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = \left| 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} + m ight| có 5 điểm cực trị?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: \left( \left| f(x) ight| ight)' = \left( \sqrt{f^{2}(x)} ight)' = \frac{2f(x).f'(x)}{2\sqrt{f^{2}(x)}} = \frac{f(x).f'(x)}{\sqrt{f^{2}(x)}}

    \Rightarrow y' = \frac{\left( 12x^{3} - 12x^{2} - 24x ight)\left( 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} + m ight)}{\left| 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} + m ight|}

    Xét phương trình

    \left( 12x^{3} - 12x^{2} - 24x ight)\left( 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} + m ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 12x^{3} - 12x^{2} - 24x = 0 \\ 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} + m = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 2 \\ 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} = - m\ \ (*) \\ \end{matrix} ight.

    Xét hàm số 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} = g(x) trên \mathbb{R} ta có: g'(x) = 12x^{3} - 12x^{2} - 24x và g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên của g(x) như sau:

    Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm bội lẻ của y' = 0 và số điểm tới hạn của y' là 5 điểm. Do đó ta cần có các trường hợp sau:

    TH1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác \left\{ - 1;0;2 ight\}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - m > 0 \\ - 32 < - m < - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ 5 < m < 32 \\ \end{matrix} ight. trong trường hợp này có 26 số nguyên dương.

    TH2: Phương trình (*) có 3 nghiệm trong đó có một nghiệm kép trùng với một trong các nghiệm \left\{ - 1;0;2 ight\}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - m = 0 \\ - m = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight. trường hợp này có một số nguyên dương.

    Vậy có tất cả 27 số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 8: Vận dụng

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _x}3 - {\log _{\frac{x}{3}}}3 < 0  là:

    x=4 || X=4|| x bằng 4

    Đáp án là:

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _x}3 - {\log _{\frac{x}{3}}}3 < 0  là:

    x=4 || X=4|| x bằng 4

    Theo bài toán, ta xét điều kiện của BPT là: x > 0;x e 1;x e 3.

    Ta có: {\log _x}3 - {\log _{\frac{x}{3}}}3 < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{{{\log }_3}x.\left( {{{\log }_3}x - 1} ight)}} < 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log _3}x < 0 \hfill \\ {\log _3}x > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 0 < x < 1 \hfill \\ x > 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho SH = \frac{{3a}}{2}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

    Độ dài đường sinh

    Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.

    Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên S{A^2} = SH.SS' \Rightarrow SA = a\sqrt 3 .

  • Câu 10: Vận dụng

    Đạo hàm của hàm số y = {\left( {{x^2} + x + x} ight)^{\frac{1}{3}}}

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \dfrac{1}{3}.{\left( {{x^2} + x + 1} ight)^{\frac{1}{3} - 1}}.\left( {{x^2} + x + 1} ight)\prime \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{1}{3}.{\left( {{x^2} + x + 1} ight)^{ - \frac{2}{3}}}.\left( {2x + 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{2x + 1}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + x + 1} ight)}^2}}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA=BC=1. Cạnh A'B tạo với mặt đáy (ABC) góc 60^0. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

     

    Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên AA' \bot \left( {ABC} ight), suy ra hình chiếu vuông góc của A'B trên mặt đáy (ABC) là AB.

    Do đó {60^0} = \widehat {A'B,\left( {ABC} ight)} = \widehat {A'B,AB} = \widehat {A'BA}.

    Tam giác vuông A'AB, ta có AA' = AB.\tan \widehat {A'BA} = \sqrt 3

    Diện tích tam giác là {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}

    Vậy V = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.

  • Câu 12: Nhận biết

    Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{2} - 4} có phương trình là:

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{x + 1}{x^{2} - 4} = 0

    Vậy đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Phương trình {\log _3}(5x - 3) + {\log _{\frac{1}{3}}}({x^2} + 1) = 0 có 2 nghiệm x_1, \, x_2 trong đó x_1 < x_2. Giá trị của P = 2{x_1} + 3{x_2} là?

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 5x - 3 > 0 \hfill \\ {\log _3}(5x - 3) + {\log _{\frac{1}{3}}}({x^2} + 1) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{3}{5} \hfill \\ {\log _3}(5x - 3) - {\log _3}({x^2} + 1) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{3}{5} \hfill \\ {\log ^{}}_3(5x - 3) = {\log ^{}}_3({x^2} + 1) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{3}{5} \hfill \\ 5x - 3 = {x^2} + 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{3}{5} \hfill \\ {x^2} - 5x + 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{3}{5} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy 2{x_1} + 3{x_2} = 2.1 + 3.4 = 14.

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho a = {\log _3}2;b = {\log _3}5. Khi đó \log 60 có giá trị là:

    Ta có:

    \begin{matrix} \log 60 = \dfrac{{{{\log }_3}60}}{{{{\log }_3}10}} \hfill \\ = \dfrac{{{{\log }_3}{2^2} + {{\log }_3}3 + {{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5}} \hfill \\ = \dfrac{{{{\log }_3}{2^2} + 1 + {{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5}} = \dfrac{{2a + b + 1}}{{a + b}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hình chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Mặt phẳng (P) song song với mặt đáy (ABC) và cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại M, N, P. Tính diện tích tam giác MNP biết mặt phẳng (P) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau. 

     

    Mặt phẳng \left( P ight)\parallel \left( {ABC} ight) và cắt các cạnh SA,\,\,SB,\,\,SC lần lượt tại M,\,\,N,\,\,P.

    Theo Talet, ta có \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = x.

    Do đó \frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}} = {x^3}.

    Theo giả thiết \frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{1}{2} \to {x^3} = \frac{1}{2} \to x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}.

    Suy ra tam giác MNP là tam giác đều cạnh \frac{a}{{\sqrt[3]{2}}}. 

    Vậy diện tích {S_{\Delta MNP}} = {\left( {\frac{a}{{\sqrt[3]{2}}}} ight)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{4\sqrt[3]{4}}}.

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 4)^{2} = 20

    Tâm của (S) có tọa độ là I(1; - 2;4)

    Bán kính mặt cầu (S) là: R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?

     Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

  • Câu 18: Vận dụng

    Giá trị của biểu thức M = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2019}}.{\left( {3\sqrt 2 - 4} ight)^{2018}} là:

    Ta có:

    \begin{matrix} 3\sqrt 2 - 4 = \sqrt 2 .\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight) \hfill \\ \Rightarrow M = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2019}}.{\left( {\sqrt 2 } ight)^{2018}}.{\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}} \hfill \\ \left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight) = {3^2} - {\left( {2\sqrt 2 } ight)^2} = 9 - 8 = 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2018}}{\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}} = 1 \hfill \\ \Rightarrow M = {\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}}{.2^{2019}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho a,b > 0, viết {a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a về dạng {a^x} và \sqrt[3]{{b\sqrt {b\sqrt b } }} về dạng {b^y}. Tình giá trị biểu thức T = 6a + 12y

    Ta có:

    \begin{matrix} {a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}} \hfill \\ \Rightarrow {a^x} = {a^{\frac{7}{6}}} \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{7}{6} \hfill \\ \sqrt[3]{{b\sqrt {b\sqrt b } }} = {\left( {b\sqrt {{b^{\frac{3}{2}}}} } ight)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {b.{b^{\frac{3}{4}}}} ight)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {{b^{\frac{7}{4}}}} ight)^{\frac{1}{3}}} = {b^{\frac{7}{{12}}}} \hfill \\ \Rightarrow {b^y} = {b^{\frac{7}{{12}}}} \Rightarrow y = \dfrac{7}{{12}} \hfill \\ \Rightarrow T = 14 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Với các số a, b > 0 thỏa mãn {a^2} + {b^2} = 6ab, biểu thức {\log _2}\left( {a + b} ight) bằng:

    Ta có: 

    \begin{matrix} {a^2} + {b^2} = 6ab \hfill \\ \Rightarrow {\left( {a + b} ight)^2} = 8ab \hfill \\ \Rightarrow {\log _2}{\left( {a + b} ight)^2} = {\log _2}\left( {8ab} ight) \hfill \\ \Rightarrow 2{\log _2}\left( {a + b} ight) = {\log _2}8 + {\log _2}a + {\log _2}b \hfill \\ \Rightarrow {\log _2}\left( {a + b} ight) = \dfrac{1}{2}\left( {{{\log }_2}8 + {{\log }_2}a + {{\log }_2}b} ight) \hfill \\ \Rightarrow {\log _2}\left( {a + b} ight) = \dfrac{1}{2}\left( {3 + {{\log }_2}a + {{\log }_2}b} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho hàm số có đạo hàm f'(x) = (x + 2)^{3}(x - 2)^{3}(3 - x). Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight. ta có bảng xét dấu như sau:

    Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (2;3).

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{3}(2 - x)(x - 3)^{3}. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Ta có:

    f'(x) = (x - 1)^{3}(2 - x)(x - 3)^{3}

    \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{3}(2 - x)(x - 3)^{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu:

    Từ bảng xét dấu của f'(x) suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (1;2).

  • Câu 23: Nhận biết

    Điều kiện xác định của bất phương trình {\log _2}(x - 5) -2 {\log _3}(x + 2) \leq3 là:

    x > 5 || X>5 || x>5 || x lớn hơn 5

    Đáp án là:

    Điều kiện xác định của bất phương trình {\log _2}(x - 5) -2 {\log _3}(x + 2) \leq3 là:

    x > 5 || X>5 || x>5 || x lớn hơn 5

     BPT xác định khi và chỉ khi: \left\{ \begin{gathered} x - 5 > 0 \hfill \\ x + 2 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 5 \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x > 5

  • Câu 24: Thông hiểu

    Nếu đặt t = {\log _3}\frac{{x - 1}}{{x + 1}} thì bất phương trình {\log _4}{\log _3}\frac{{x - 1}}{{x + 1}} < {\log _{\frac{1}{4}}}{\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{x + 1}}{{x - 1}} trở thành bất phương trình nào?

    Điều kiện: x \in ( - \infty ; - 1) \cup (1; + \infty )

    Sau khi đưa về cùng cơ số 4, rồi tiếp tục biến đổi về cùng cơ số 3 ta được bất phương trình  {\log _3}\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{1}{{{{\log }_3}\frac{{x - 1}}{{x + 1}}}} < 0

    Vậy BPT trở thành: \frac{{{t^2} - 1}}{t} < 0. 

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho mặt phẳng \left( P ight):2x - 4y + 4z + 5 = 0 và mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau

    Đáp án là:

    Cho mặt phẳng \left( P ight):2x - 4y + 4z + 5 = 0 và mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S): 

    a = 1;b = - 2;c = - 1;d = - 3 \Rightarrow R = 3.

    Suy ra tâm I có tọa độ là: I = \left( {1, - 2, - 1} ight)

    Áp dụng CT, ta có d\left( {I,P} ight) = \frac{{11}}{6} < R = 3 \Rightarrow (P) cắt (S)

  • Câu 26: Nhận biết

    Rút gọn biểu thức P = \frac{{{x^{\frac{1}{6}}}.\sqrt[3]{{{x^4}}}.\sqrt[4]{{{x^5}}}}}{{\sqrt {{x^3}} }} với x > 0

    Ta có: P = \frac{{{x^{\frac{1}{6}}}.\sqrt[3]{{{x^4}}}.\sqrt[4]{{{x^5}}}}}{{\sqrt {{x^3}} }} = \frac{{{x^{\frac{1}{6}}}.{x^{\frac{4}{3}}}.{x^{\frac{5}{4}}}}}{{{x^{\frac{3}{2}}}}} = \frac{{{x^{\frac{{11}}{4}}}}}{{{x^{\frac{3}{2}}}}} = {x^{\frac{5}{4}}} 

  • Câu 27: Thông hiểu

    PT {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight) + {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) = 2 có nghiệm là?

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ {\log _2}x > 0 \hfill \\ {\log _4}x > 0 \hfill \\ {\log _{{2^2}}}\left( {{{\log }_2}x} ight) + {\log _2}\left( {{{\log }_{{2^2}}}x} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) + {\log _2}\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) + {\log _2}\frac{1}{2} + {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ \frac{3}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) - 1 = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ {\log _2}x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ x = 16 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x = 16

    Vậy PT có nghiệm là x=16.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho các hình sau: Tìm hình đa diện

    Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:

    Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

    “Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

    TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

    TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

    TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt {S_0},{S_1},...\,\,,{S_n} sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt {S_i},{S_{i + 1}} nào (0 \le i \le n - 1) cũng đều có một cạnh chung.

    Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho hàm số y = - {x^3} + 3{x^2} + 3mx - 1. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng (0; +∞)

    Ta có: y' = - 3{x^2} + 6x + 3m

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; +∞)

    =>  y' \leqslant 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } ight)

    => m \leqslant {x^2} - 2x = g\left( x ight),\forall x \in \left( {0; + \infty } ight)

    => m \leqslant \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } ight)} g\left( x ight)

    Xét  g\left( x ight) = {x^2} - 2x;\forall x \in \left( {0; + \infty } ight) ta có:

    \begin{matrix} g'\left( x ight) = 2x - 2 \hfill \\ g'\left( x ight) = 0 \Rightarrow x = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x ight) = 0} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g\left( x ight) = + \infty } \\ {g\left( 1 ight) = - 1} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } ight)} g\left( x ight) = - 1 \Rightarrow m \leqslant - 1

  • Câu 30: Thông hiểu

    Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức P(x) = - x^{3} + 24x^{2} + 780x - 1000 trong đó x là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất tối đa 40 tạ sản phẩm trong một tuần. Hỏi để có lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất bao nhiêu tạ sản phẩm trong một tuần?

    Đáp án: 26

    Đáp án là:

    Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức P(x) = - x^{3} + 24x^{2} + 780x - 1000 trong đó x là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất tối đa 40 tạ sản phẩm trong một tuần. Hỏi để có lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất bao nhiêu tạ sản phẩm trong một tuần?

    Đáp án: 26

    Ta có P'(x) = - 3x^{2} + 48x + 780;\ \ P'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 10 \\ x = 26\ \ \ \\ \end{matrix} ight..

    Bảng biến thiên

    Vậy để lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất 26 tạ sản phẩm trong một tuần.

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng (2;3) thuộc tập nghiệm của bất phương trình {\log _5}\left( {{x^2} + 1} ight) > {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} ight) - 1{\text{ (1)}}.

    Ta có: (1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} + 1 > \frac{{{x^2} + 4x + m}}{5} \hfill \\ {x^2} + 4x + m > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - {x^2} - 4x = f(x) \hfill \\ m < 4{x^2} - 4x + 5 = g(x) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Hệ trên thỏa mãn:

    \forall x \in \left( {2;3} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \geqslant \mathop {Max}\limits_{2 < x < 3} f(x) = - 12{\text{ khi }}x = 2 \hfill \\ m \leqslant \mathop {Min}\limits_{2 < x < 3} f(x) = 13{\text{ khi }}x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }} \Leftrightarrow - 12 \leqslant m \leqslant 13.

  • Câu 32: Nhận biết

    Hàm số y = - x^{4} + 8x^{2} + 5 có bao nhiêu điểm cực trị?

    Hàm số y = - x^{4} + 8x^{2} + 5 là hàm trùng phương có a.b = - 8 < 0 nên hàm số có ba điểm cực trị.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tìm điều kiện của x để hàm số y = {\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^\pi } có nghĩa?

     Ta có điều kiện xác định {x^2} - 3x + 2 > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 1} \\ {x > 2} \end{array}} ight.

  • Câu 34: Vận dụng

    Tổng độ dài \ell của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2

    60 || sáu mươi || Sáu mươi

    Đáp án là:

    Tổng độ dài \ell của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2

    60 || sáu mươi || Sáu mươi

     Khối mười hai mặt đều có tất cả 30 cạnh:

     Suy ra ta có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng \ell = 30.2 = 60.

  • Câu 35: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}(3m + 2)x^{2} + \left( 2m^{2} + 3m + 1 ight)x - 2 có điểm cực đại x_{CÐ} và điểm cực tiểu x_{CT} thỏa mãn biểu thức 3{x_{CÐ}}^{2} - 4x_{CT} = 0?

    Ta có: y' = x^{2} - (3m + 2)x + \left( 2m^{2} + 3m + 1 ight) có \Delta = m^{2} \geq 0;\forall m\mathbb{\in R} nên y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2m + 1 \\ x = m + 1 \\ \end{matrix} ight..

    Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi m eq 0.

    Trường hợp 1: \left\{ \begin{matrix} x_{CÐ} = 2m + 1 \\ x_{CT} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Do a = \frac{1}{3} > 0 \Rightarrow x_{CÐ} < x_{CT} \Leftrightarrow 2m + 1 < m + 1 \Leftrightarrow m < 0

    Lại có 3{x_{CÐ}}^{2} - 4x_{CT} = 0 \Leftrightarrow 3(2m + 1)^{2} - 4(m + 1) = 0

    \Leftrightarrow 12m^{2} + 8m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{6}

    Với điều kiện m < 0 \Rightarrow m = \frac{- 2 - \sqrt{7}}{6} thỏa mãn.

    Trường hợp 2: \left\{ \begin{matrix} x_{CT} = 2m + 1 \\ x_{CÐ} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Do a = \frac{1}{3} > 0 \Rightarrow x_{CÐ} < x_{CT} \Leftrightarrow m + 1 < 2m + 1 \Leftrightarrow m > 0

    Lại có 3{x_{CÐ}}^{2} - 4x_{CT} = 0 \Leftrightarrow 3(m + 1)^{2} - 4(2m + 1) = 0

    \Leftrightarrow 3m^{2} - 2m - 1 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 1 \\m = - \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.

    Với điều kiện m > 0 \Rightarrow m = 1 thỏa mãn.

    Vậy có 2 giá trị thực của tham số m thỏa mãn.

  • Câu 36: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số f\left( x ight) = {\left( {{x^2} - 1} ight)^{ - 2}} là:

    Hàm số f\left( x ight) = {\left( {{x^2} - 1} ight)^{ - 2}} xác định khi {x^2} - 1 e 0 \Rightarrow x e \pm 1

    Vậy tập xác định của hàm số là D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} ight\}

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác với AB = a,AC = 2a,\widehat {BAC} = {120^0},AA' = 2a\sqrt 5. Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ đã cho.

     

    Diện tích tam giác ABC là {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.

    Vậy thể tích khối lăng trụ {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = {a^3}\sqrt {15}

  • Câu 38: Vận dụng

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \frac{{a\sqrt {21} }}{6}. Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số \frac{R}{h} bằng:

     Tính tỉ số

    Gọi O là tâm \triangle ABC, suy ra SO \bot \left( {ABC} ight) và AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    Trong SOA, ta có h = SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{a}{2}

    Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:

    • I \in d nên IS =IA.
    • I \in SO nên IA=IB=IC.

    Do đó IA=IB=IC=IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

    Gọi M là tung điểm SA, ta có \Delta SMI\,\, \backsim \,\,\Delta SOA nên R = SI = \frac{{SM.SA}}{{SO}} = \frac{{S{A^2}}}{{2SO}} = \frac{{7{m{a}}}}{{12}}

    Vậy \frac{R}{h} = \frac{7}{6}.

  • Câu 39: Vận dụng

    Hai phương trình 2{\log _5}(3x - 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1) và {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 2) lần lượt có 2 nghiệm duy nhất x_1, x_2là . Tổng x_1 + x_2 là?

     Phương trình 1: 2{\log _5}(3x - 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1)

    Phương trình \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x - 1 > 0 \hfill \\ 2x + 1 > 0 \hfill \\ 2{\log _5}(3x - 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ {\log _5}{(3x - 1)^2} + {\log _5}5 = 3{\log _5}(2x + 1) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ {\log _5}5{(3x - 1)^2} = {\log _5}{(2x + 1)^3} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ 5{(3x - 1)^2} = {(2x + 1)^3} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ 5(9{x^2} - 6x + 1) = 8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ 8{x^3} - 33{x^2} + 36x - 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{8} \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow {x_1} = 2

    Phương trình 2: {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 2)

    Phương trình \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 2x - 8 > 0 \hfill \\ x + 2 > 0 \hfill \\ {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < - 2 \vee x > 4 \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 + {\log _2}(x + 2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = {\log _2}2(x + 2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ {x^2} - 2x - 8 = 2(x + 2) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ {x^2} - 4x - 12 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = - 2 \hfill \\ x = 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow {x_2} = 6

    Vậy {x_1} + {x_2} = 2 + 6 = 8.

  • Câu 40: Vận dụng

    Có tất cả bao nhiêu cách phân tích số {15^9} thành tích của ba số nguyên dương, biết rằng các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính một lần?

    Ta có:

    \begin{matrix} {15^9} = {3^9}{.5^9} \hfill \\ \Rightarrow {15^9} = \underbrace {3...3}_9.\underbrace {5...5}_9 \hfill \\ \Rightarrow {15^9} = \underbrace {\underbrace {3...3}_{{a_1}}.\underbrace {5...5}_{{b_1}}}_x.\underbrace {\underbrace {3...3}_{{a_2}}.\underbrace {5...5}_{{b_2}}}_y.\underbrace {\underbrace {3...3}_{{a_3}}.\underbrace {5...5}_{{b_3}}}_z \hfill \\ \end{matrix}

    Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {3^{{a_1}}}{5^{{b_1}}}} \\ {y = {3^{{a_2}}}{5^{{b_2}}}} \\ {z = {3^{{z_1}}}{5^{{z_2}}}} \end{array}} ight. suy ra ta có hệ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} + {a_2} + {a_3} = 9} \\ {{b_1} + {b_2} + {b_3} = 9} \end{array}} ight.

    Xét ba trường hợp:

    Trường hợp 1: Các số x,y,z bằng nhau

    => chỉ có 1 cách chọn

    Trường hợp 2: Trong ba số x,y,z có hai số bằng nhau, giả sử x = y

    =>\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} = {a_2}} \\ {{b_1} = {b_2}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{a_1} + {a_3} = 9} \\ {2{b_a} + {b_3} = 9} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3} = 9 - 2{a_1}} \\ {{b_3} = 9 - 2{a_1}} \end{array}} ight.

    => Có 5 cách chọn {a_1} và 5 cách chọn {b_1}

    Trường hợp 3: Số cách chọn ba số phân biệt:

    Số cách chọn \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} + {a_2} + {a_3} = 9} \\ {{b_1} + {b_2} + {b_3} = 9} \end{array}} ight. là C_{11}^2.C_{11}^2

    => Số cách chọn ba số phân biệt là C_{11}^2.C_{11}^2 - 24.3 - 1

    Vậy số cách phân tích {15^9} thành tích ba số nguyên dương là \frac{{C_{11}^2.C_{11}^2 - 24.3 - 1}}{{3!}} + 25 = 517

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

     

    Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì S.ABC là khối chóp đều nên suy ra \,SI \bot \left( {ABC} ight).

    Gọi M là trung điểm của BC\,\, \Rightarrow \,\,AI = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    Tam giác SAI vuông tại I, có:

    SI = \sqrt {S{A^2} - S{I^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} ight)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} ight)}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}

    Diện tích tam giác ABC là:  {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}

    Vậy thể tích khối chóp:  {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{{12}}

  • Câu 42: Nhận biết

    Phương trình \log _2^{}x + {\log _2}(x - 1) = 1 có tập nghiệm là:

    {2} || T={2}

    Đáp án là:

    Phương trình \log _2^{}x + {\log _2}(x - 1) = 1 có tập nghiệm là:

    {2} || T={2}

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x - 1 > 0 \hfill \\ {\log _2}\left[ {x(x - 1)} ight] = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ {x^2} - x - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x = 2.

  • Câu 43: Nhận biết

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

    Đáp án là:

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

     

    Hình bát diện đều có 12 cạnh.

  • Câu 44: Nhận biết

    Hàm số y = {\log _{2019}}\left| x ight|;\forall x e 0 có đạo hàm là:

    Áp dụng công thức đạo hàm ta có: y' = \frac{1}{{x\ln 2019}}

  • Câu 45: Vận dụng

    Cho hàm số y = \frac{{x + m}}{{x + 1}} với m là tham số thực thỏa mãn 3.\left( {\mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;2} ight]} + \mathop {\max y}\limits_{\left[ {1;2} ight]} } ight) = 16. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

    Xét hàm số y = \frac{{x + m}}{{x + 1}} trên [1; 2] ta có:

    f'\left( x ight) = \frac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}};\forall x \in \left[ {1;2} ight]

    Khi đó:

    \begin{matrix} \mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;2} ight]} + \mathop {\max y}\limits_{\left[ {1;2} ight]} = \dfrac{{16}}{3} \hfill \\ \Rightarrow f\left( 1 ight) + f\left( 3 ight) = \dfrac{{16}}{3} \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{1 + m}}{2} + \dfrac{{2 + m}}{3} = \dfrac{{16}}{3} \hfill \\ \Rightarrow m = 5 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 46: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?

    Ta có: y = {x^{ - \frac{5}{2}}} \Rightarrow y' = - \frac{5}{2}.{x^{ - \frac{7}{2}}};\forall x > 0 nên hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

  • Câu 47: Vận dụng

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

    Tìm số đường tiệm cận của hàm số

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} là:

    Phương trình f\left( x ight) = 2018 có 2 nghiệm phân biệt

    => Đồ thị hàm số y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} có 2 đường tiệm cận đứng.

    Khi x \to - \infty thì y \to 5 \Rightarrow y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} \to \frac{2}{{ - 2013}}

    Khi x \to + \infty thì y \to 5 \Rightarrow y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} \to \frac{2}{{ - 2013}}

    Vậy đồ thị hàm số y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} có 1 tiệm cận ngang.

     

  • Câu 48: Thông hiểu

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 49: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R}. Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như sau:

    Đặt g(x) = f(x) - x. Hỏi hàm số g(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} nên g(x) = f(x) - x cũng có đạo hàm trên \mathbb{R}

    Ta có: g'(x) = f'(x) - 1

    \Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 1

    Dựa vào đồ thị f'(x) ta có: f'(x) = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = x_{1} \in ( - 1;0) \\ x = x_{2} \in (1;3) \\ x = x_{3} \in (2;3) \\ \end{matrix} ight. suy ra x_{1};x_{2};x_{3} là ba nghiệm phân biệt và x_{1} < x_{2} < x_{3}

    Bảng biến thiên của hàm g(x)

    Vậy hàm số g(x) = f(x) - x có 3 điểm cực trị.

  • Câu 50: Vận dụng

    Trong hệ trục toạ độ (Oxy), cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} với x > - 1 mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm I( - 1; - 1), biết hoành độ điểm M thuộc đồ thị (C) mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là x_{0} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}} - b (loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức P = a.n + b ?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong hệ trục toạ độ (Oxy), cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} với x > - 1 mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm I( - 1; - 1), biết hoành độ điểm M thuộc đồ thị (C) mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là x_{0} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}} - b (loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức P = a.n + b ?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 48 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập