Lớp 12 Toán 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 12.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

     Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!

  • Câu 2: Nhận biết

    Hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{2x - 5}{4 - x} cắt nhau tại điểm M. Xác định tọa độ điểm M?

    Đồ thị hàm số y = \frac{2x - 5}{4 - x} có đường tiệm cận đứng x = 4 và đường tiệm cận ngang y = - 2. Do đó giao điểm của hai đường tiệm cận là M(4; - 2).

  • Câu 3: Thông hiểu

    Bất phương trình {\log _2}\left( {{x^2} - x - 2} ight) \geqslant {\log _{0,5}}\left( {x - 1} ight) + 1 có tập nghiệm là:

     TXĐ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - x - 2 > 0 \hfill \\ x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < - 1 \vee x > 2 \hfill \\ x > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x > 2

    BPT \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - x - 2} ight) \geqslant {\log _{0,5}}\left( {x - 1} ight) + 1

    \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - x - 2} ight) \geqslant {\log _{{2^{ - 1}}}}\left( {x - 1} ight) + 1

    \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - x - 2} ight) + {\log _2}\left( {x - 1} ight) - 1 \geqslant 0

    \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{\left( {{x^2} - x - 2} ight)\left( {x - 1} ight)}}{2} \geqslant 0

    \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x^2} - x - 2} ight)\left( {x - 1} ight)}}{2} \geqslant 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - 2} ight)\left( {x - 1} ight) \geqslant 2

    \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 2x - 1} ight) \geqslant 0

    \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x \leqslant 1 - \sqrt 2 \left( {L} ight) \hfill \\ x \geqslant 1 + \sqrt 2 \left( {TM} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow x \geqslant 1 + \sqrt 2

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho tứ diện có thể tích bằng V. Gọi V' là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số \frac{{V'}}{V}.

     

    Xét khối  tứ diện và các điểm được kí hiệu như hình vẽ trên, ta có:

    \frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{S.A'B'C'}} = \frac{V}{8}

    Tương tự \,{V_{A.A'MP}} = {V_{B.B'MN}} = {V_{C.C'NP}} = \frac{V}{8}.

    Do đó \,\,V' = {V_{S.ABC}} - \left( {{V_{S.A'B'C'}} + {V_{A.A'MP}} + {V_{B.B'MN}} + {V_{C.C'NP}}} ight)

    = \,\,V - \left( {\frac{V}{8} + \frac{V}{8} + \frac{V}{8} + \frac{V}{8}} ight) = \frac{V}{2}\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{V'}}{V} = \frac{1}{2}.

  • Câu 5: Vận dụng

    Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại \left\{ {3;5} ight\} là:

    Khối đa diện đều loại \left\{ {3;5} ight\} là khối hai mươi mặt đều:

    Gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng: 20.\pi = 20\pi

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA=BC=1. Cạnh A'B tạo với mặt đáy (ABC) góc 60^0. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

     

    Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên AA' \bot \left( {ABC} ight), suy ra hình chiếu vuông góc của A'B trên mặt đáy (ABC) là AB.

    Do đó {60^0} = \widehat {A'B,\left( {ABC} ight)} = \widehat {A'B,AB} = \widehat {A'BA}.

    Tam giác vuông A'AB, ta có AA' = AB.\tan \widehat {A'BA} = \sqrt 3

    Diện tích tam giác là {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}

    Vậy V = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có AB = AA' = a, đường chéo AC'hợp với mặt đáy (ABCD) một góc \alpha thỏa mãn \cot \alpha = \sqrt 5. Tính theo a thể tích khối hộp đã cho.

     

    Ta có AA' \bot \left( {ABCD} ight) nên \widehat {A'C,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {A'C,AC} = \widehat {A'CA}.

    Tam giác vuông A'AC, ta có AC = AA'.\cot \alpha = a\sqrt 5.

    Tam giác vuông ABC, ta có BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 2a.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD là {S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = 2{a^3}.

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{2}(x + 2)(3 - x). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight. ta có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng ( - \infty; - 2);(3; + \infty), hàm số đồng biến trên khoảng ( - 2;3).

  • Câu 9: Nhận biết

    Biết \frac{{{x^{{a^2}}}}}{{{x^{{b^2}}}}} = {x^{16}} với x > 1 và a + b = 2. Tính giá trị của biểu thức M = a – b.

     Ta có: 

    \begin{matrix} \dfrac{{{x^{{a^2}}}}}{{{x^{{b^2}}}}} = {x^{16}} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^{{a^2} - {b^2}}} = {x^{16}} \hfill \\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 16 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {a + b} ight)\left( {a - b} ight) = 16 \hfill \\ \Rightarrow a - b = 8 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định?

    Ta có: 0 < \frac{{\sqrt 2 }}{2} < 1 \Rightarrow y = {\log _{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}x nghịch biến trên tập xác định.

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho a và b là các số thực thỏa mãn {3.2^a} + {2^b} = 7\sqrt 2 và {5.2^n} - {2^b} = 9\sqrt 2. Giá trị biểu thức S = a + b là:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^a} = 2\sqrt 2 } \\ {{2^b} = \sqrt 2 } \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{3}{2}} \\ {b = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight. \Rightarrow S = 2

  • Câu 12: Thông hiểu

    Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?

    Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.

    Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.

    Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông

    Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.

     

  • Câu 13: Nhận biết

    Tập nghiệm của bất phương trình {\left( {\frac{1}{2}} ight)^x} > 32 là:

    Ta có: {\left( {\frac{1}{2}} ight)^x} > 32\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} ight)^x} > {\left( {\frac{1}{2}} ight)^{ - 5}} \Leftrightarrow x < - 5

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?

     Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

  • Câu 16: Thông hiểu

    Xác định giá trị lớn nhất của hàm số y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - x} - 2\sqrt { - {x^2} + 4x - 3}

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 \geqslant 0} \\ {3 - x \geqslant 0} \end{array} \Rightarrow x \in \left[ {1;3} ight]} ight.

    Đặt \sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - x} = t ta có:

    \begin{matrix} t' = \dfrac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {3 - x} }} \hfill \\ t' = 0 \Rightarrow x = 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có: t\left( 1 ight) = t\left( 3 ight) = \sqrt 2 \to \sqrt 2 \leqslant t \leqslant 2

    Khi đó:

    \begin{matrix} {t^2} = 2 + 2\sqrt {\left( {x - 1} ight)\left( {3 - x} ight)} \hfill \\ = 2 + 2\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = {t^2} - 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó: y = f\left( t ight) = t - \left( {{t^2} - 2} ight) = - {t^2} + t + 2

    Xét hàm số f\left( t ight) = t - \left( {{t^2} - 2} ight);\forall t \in \left[ {\sqrt 2 ;2} ight]

    Ta xác được \mathop {\max f\left( t ight) = \sqrt 2 }\limits_{\left[ {\sqrt 2 ;2} ight]} \Rightarrow \mathop {\max y = \sqrt 2 }\limits_{\left[ {\sqrt 2 ;2} ight]}

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho mặt cầu tâm I bán kính R = 2,6{m{cm}} . Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm I một khoảng bằng 2,4 cm . Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:

     Theo đề bài, mặt phẳng cắt mặt cầu S(I;2,6 cm) theo một đường tròn (H;r) .

    Vậy r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2,6} ight)}^2} - {{\left( {2,4} ight)}^2}} = 1{m{cm}}.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Viết biểu thức P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}};\left( {x > 0} ight) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

    Ta có: P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}} = {x^{\frac{1}{5}}}.{x^{\frac{2}{3}}}.{x^{\frac{3}{5}}} = {x^{\frac{{113}}{{30}}}}

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ:

    Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f\left( \cos x ight) = - 2m + 1 có nghiệm thuộc khoảng \left( 0;\frac{\pi}{2}ight)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ:

    Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f\left( \cos x ight) = - 2m + 1 có nghiệm thuộc khoảng \left( 0;\frac{\pi}{2}ight)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} là f'(x) = (x - 1)(x + 3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack -10;2021brack để hàm số y =f\left( x^{2} + 3x - m ight) đồng biến trên khoảng (0;2)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} là f'(x) = (x - 1)(x + 3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack -10;2021brack để hàm số y =f\left( x^{2} + 3x - m ight) đồng biến trên khoảng (0;2)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có \widehat {ASB} = \widehat {CSB} = {60^0},{\text{ }}\widehat {ASC} = {90^0} và SA = SB = a,SC = 3a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

     Gọi M là trung điểm của AB \Rightarrow SM \bot AB

    Ta có \left\{ \begin{gathered} SA = SB \hfill \\ \widehat {ASB} = {60^0} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \Delta SAB đều \xrightarrow{{}}\left\{ \begin{gathered} AB = a \hfill \\ SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Tam giác SAC, có AC = \sqrt {S{A^2} + S{C^2}} = a\sqrt {10}

    Tam giác SBC, có BC = \sqrt {S{B^2} + S{C^2} - 2SB.SC.\cos \widehat {BSC}} = a\sqrt 7 .

    Tam giác ABC, có cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}

    \xrightarrow{{}}CM = \sqrt {A{M^2} + A{C^2} - 2AM.AC.\cos \widehat {BAC}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{2}

    Ta có S{M^2} + M{C^2} = S{C^2} = 9{a^2}\xrightarrow{{}}\Delta SMC vuông tại M.

    \xrightarrow{{}}SM \bot MC

    Từ (1) và (2) , ta có SM \bot \left( {ABC} ight)

    Diện tích tam giác {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{2}

    Vậy thể tích khối chop {V_{SABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SM = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Dựa vào thông tin dưới đây và trả lời các câu hỏi

    Số lượng của một loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được biểu diễn theo công thức S(t) = A.e^{rt} , trong đó A là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc 6 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con.

    Tỉ lệ tăng trưởng của vi khuẩn X gần nhất với kết quả nào sau đây?

    Chọn 6 giờ là mốc thời gian. Khi đó A = 150.

    Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn là 450 con nên t = 3;S(3) = 450.

    Từ đó ta có phương trình:

    150.e^{3r} = 450 \Leftrightarrow e^{3r} = 3 \Leftrightarrow r = \frac{ln3}{3} \approx 0,37.

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \ln \frac{{x + 1}}{{x + 4}}. Tính giá trị của biểu thức M = f'\left( 0 ight) + f'\left( 3 ight) + f'\left( 6 ight) + ... + f'\left( {2019} ight)

    Với x \in \left[ {0; + \infty } ight) ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1 > 0} \\ {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Rightarrow f\left( x ight) = \ln \frac{{x + 1}}{{x + 4}} = \ln \left( {x + 1} ight) - \ln \left( {x + 4} ight)

    Ta có: f'\left( x ight) = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 4}} do đó:

    \begin{matrix} M = f'\left( 0 ight) + f'\left( 3 ight) + f'\left( 6 ight) + ... + f'\left( {2019} ight) \hfill \\ M = \left( {1 - \dfrac{1}{4}} ight) + \left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7}} ight) + \left( {\dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{10}}} ight) + ... + \left( {\dfrac{1}{{2020}} - \dfrac{1}{{2023}}} ight) \hfill \\ M = 1 - \dfrac{1}{{2023}} = \dfrac{{2022}}{{2023}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Nhận biết

    Khái niệm chính xác nhất về khối đa diện là:

     Áp dụng định nghĩa khối đa diện, ta có:

    “Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.”

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = x^{4} + mx^{2} + c có ba điểm cực trị?

    Hàm số y = ax^{4} + bx^{2} + c có ba điểm cực trị khi và chỉ khi a.b < 0.

    Để hàm số đa cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi b < 0.

  • Câu 26: Vận dụng

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; +∞)

    Ta có: y' = 2mx - \left( {m + 6} ight). Theo yêu cầu bài toán ta có:

    y' \leqslant 0;\forall x \in \left( { - 1; + \infty } ight)

    => 2mx - \left( {m + 6} ight) \leqslant 0 \Leftrightarrow m \leqslant \frac{6}{{2x - 1}}

    Xét hàm số g\left( x ight) = \frac{6}{{2x - 1}},x \in \left( { - 1; + \infty } ight)

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

    Vậy - 2 \leqslant m \leqslant 0

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị của hàm số y = f'(x) như sau:

    Trên khoảng ( - 10;10) có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f(x) + mx + 2020 có đúng một cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị của hàm số y = f'(x) như sau:

    Trên khoảng ( - 10;10) có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f(x) + mx + 2020 có đúng một cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 28: Vận dụng

    Tập nghiệm của bất phương trình {2^{\log _2^2x}} - 10{x^{{{\log }_2}\frac{1}{x}}} + 3 > 0 là:

    Điều kiện: x>0.

    Đặt u = {\log _2}x \Rightarrow x = {2^u}.

    Bất phương trình đã cho trở thành {2^{{u^2}}} - 10{\left( {{2^u}} ight)^{ - u}} + 3 > 0 \Leftrightarrow {2^{{u^2}}} - \frac{{10}}{{{2^{{u^2}}}}} + 3 > 0{\text{ (1)}}

    Đặt t = {2^{{u^2}}},{\text{ }}t \geqslant 1.{\text{ }}\left( 1 ight)

     Khi đó \Rightarrow {t^2} + 3t - 10 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t < - 5{\text{ (l)}} \hfill \\ t > 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow {2^{{u^2}}} > 2 \Leftrightarrow {u^2} > 1 \Leftrightarrow u > 1hoặc u < -1

    - Với u > 1 \Rightarrow {\log _2}x > 1 \Rightarrow x > 2

    - Với u < - 1 \Rightarrow {\log _2}x < - 1 \Rightarrow x < \frac{1}{2}

    Kết hợp điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 2 hoặc 0 < x < \frac{1}{2}.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Dựa vào thông tin dưới đây và trả lời các câu hỏi

    Số lượng của một loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được biểu diễn theo công thức S(t) = A.e^{rt} , trong đó A là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc 6 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con.

    Thời điểm số lượng vi khuẩn X gấp 9 lần số lượng vi khuẩn ban đầu là:

    Gọi t_{1} là thời điểm số lượng vi khuẩn gấp 9 lần ban đầu.

    Khi đó: S\left( t_{1} ight) = 1350 con.

    Ta có phương trình:

    150.e^{\frac{ln3}{3}.t_{1}} = 1350 \Leftrightarrow e^{\frac{ln3}{3}.t_{1}} = 9 \Leftrightarrow \frac{ln3}{3}t_{1} = ln9 \Leftrightarrow t_{1} = 6.

  • Câu 30: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây đồng biến trên \mathbb{R}?

    Do \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3} > 1 nên hàm số y = {\left( {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3}} ight)^x} đồng biến trên \mathbb{R} 

  • Câu 31: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 25. Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B. Biết tiếp diện của (S) tại A, B vuông góc. Tính độ dài AB.

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; −1), bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.

    Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.

    Suy ra AB = IA.\sqrt{2} = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}.

  • Câu 32: Vận dụng

    Phương trình {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } ight)^x} + {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } ight)^x} = {\left( {\sqrt {10} } ight)^x} có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ?

     Ta có: {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } ight)^x} + {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } ight)^x} = {\left( {\sqrt {10} } ight)^x}\Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} ight)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} ight)^x} = 1

    Xét hàm số f\left( x ight) = {\left( {\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} ight)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} ight)^x}

    Ta có: f\left( 2 ight) = 1

    Hàm số f (x) nghịch biến trên R do các cơ số \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }} < 1;\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }} < 1.

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=2.

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho biểu thức P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.{{\left( {{a^2}{b^2}} ight)}^{\frac{2}{3}}}} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} với a và b là các số thực dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

     Thực hiện thu gọn biểu thức như sau:

    \begin{matrix} P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.{{\left( {{a^2}{b^2}} ight)}^{\frac{2}{3}}}} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.\left( {{a^{\frac{4}{3}}}{b^{\frac{4}{3}}}} ight)} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{5}{6}}}.b} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{a^{\frac{{ - 5}}{{12}}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{{ - 1}}{{12}}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{ - 3}} = \dfrac{1}{{{b^3}\sqrt a }} = \dfrac{{\sqrt a }}{{a{b^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số y = {x^{ - \sqrt 2 }}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

     Theo định nghĩa của hàm số lũy thừa, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 0

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0

    Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 và tiệm cận đứng là x = 0

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + 2m + 3 có ba điểm cực trị A;B;C sao cho trục Ox chia tam giác ABC thành một tam giác và một hình thang biết rằng tỉ lệ diện tích tam giác nhỏ được chia ra và diện tích hình thang bằng \frac{4}{5}?

    Ta có: y' = 4x^{2} - 4(m + 1)x

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có ba nghiệm phân biệt \Leftrightarrow m > - 1

    Khi m > - 1 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A(0;2m + 3), B\left( - \sqrt{m + 1}; - m^{2} + 2 ight), C\left( \sqrt{m + 1}; - m^{2} + 2 ight)

    Ta có: A \in Oy, B và C đối xứng với nhau qua Oy suy ra tam giác ABC cân tại A

    Hình vẽ minh họa

    Trục hoành chia tam giác ABC thành một tam giác và một hình thang \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m + 3 > 0 \\ - m^{2} + 2 < 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - \dfrac{3}{2} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m > \sqrt 2 \hfill \\ m < - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} m > \sqrt 2 \hfill \\ - \dfrac{3}{2} < m < - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Kết hợp với điều kiện m > - 1 ta được m > \sqrt{2}

    Khi đó gọi D; E lần lượt là giao điểm của Ox và các cạnh AB; AC. Gọi K là giao điểm của BC và Oy

    Ta có:

    \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \left( \frac{OA}{AK} ight)^{2} = \left( \frac{y_{A}}{y_{A} - y_{B}} ight)^{2} = \left( \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} ight)^{2}

    Mà \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{4}{9} \Leftrightarrow \left( \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} ight)^{2} = \frac{4}{9}

    Vì m > \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} = \frac{2}{3}

    \Leftrightarrow 2m^{2} - 2m - 7 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = \dfrac{1 + \sqrt{15}}{2} \\m = \dfrac{1 - \sqrt{15}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow m = \dfrac{1 +\sqrt{15}}{2}.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng (1; 3)?

    Xét hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 có y' = {x^2} - 4x + 3

    => y’ = 0 => \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 3} \end{array}} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Chọn đáp án đúng

    Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3)

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

    Diện tích xung quanh của hình trụ: {S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}(đvdt).

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{{m{day}}}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\left( {\pi {R^2}} ight) = 2\left( {\sqrt 3 + 1} ight)\pi {R^2}(đvdt).

  • Câu 38: Vận dụng

    Một khối gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng r = 2m, chiều cao h = 6m. Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ:

    Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Xác định giá trị của V

    Gọi r_{t};h_{t} lần lượt là bán kính và chiều cao của khối trụ.

    Ta có: \frac{r_{t}}{2} = \frac{6 - h_{t}}{6} \Rightarrow 2\left( 6 - h_{t} ight) = 6r_{t} \Leftrightarrow h_{t} = 6 - 3r_{t}

    Ta lại có: V = \pi{r_{t}}^{2}.h_{t} = \pi{r_{t}}^{2}.\left( 6 - 3r_{t} ight) = \pi.\left( 6{r_{t}}^{2} - 3{r_{t}}^{3} ight)

    Xét hàm số f\left( r_{t} ight) = 6{r_{t}}^{2} - 3{r_{t}}^{3} với r_{t} \in (0;2)có:

    f'\left( r_{t} ight) = 12r_{t} - 9{r_{t}}^{2}

    f'\left( r_{t} ight) = 0 \Leftrightarrow 12r_{t} - 9{r_{t}}^{2} = 0 \Leftrightarrow r_{t} = \frac{4}{3}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta có \max f\left( r_{t} ight) = \frac{32}{9} đạt tại r_{t} = \frac{4}{3}

    Vậy V = \frac{32\pi}{9}\left( m^{3} ight) là giá trị cần tìm.

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hàm số y = {\left( {{x^2} - 2x + 1} ight)^{\frac{1}{3}}}. Tập xác định của hàm số đã cho là:

    Điều kiện xác đinh: {x^2} - 2x + 1 > 0 \Rightarrow x e 1

    => Tập xác định của hàm số là: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho a và b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Ta có:

    \begin{matrix} {\log _2}{\left( {3ab} ight)^3} = 3.\left( {{{\log }_3}3 + {{\log }_3}a + {{\log }_3}b} ight) \hfill \\ = 3.\left( {1 + {{\log }_3}a + {{\log }_3}b} ight) \hfill \\ = 3 + 3{\log _3}ab \hfill \\ = 3 + {\log _3}{\left( {ab} ight)^3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 41: Nhận biết

    Điều kiện xác định của phương trình {\log _{2x - 3}}16 = 2 là:

     Biểu thức {\log _{2x - 3}}16 = 2 xác định   \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x - 3 > 0 \hfill \\ 2x - 3 e 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{3}{2} \hfill \\ x e 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \frac{3}{2} < x e 2.

  • Câu 42: Vận dụng cao

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình {\log _2}\left( {7{x^2} + 7} ight) \geqslant {\log _2}\left( {m{x^2} + 4x + m} ight),{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R} \, \, (1)

     Bất phương trình tương đương 7{x^2} + 7 \geqslant m{x^2} + 4x + m > 0,{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {7 - m} ight){x^2} - 4x + 7 - m \geqslant 0{\text{ }}(2) \hfill \\ m{x^2} + 4x + m > 0{\text{ }}(3) \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}.

    m=7: (2) không thỏa \forall x \in \mathbb{R}

    m=0: (3) không thỏa \forall x \in \mathbb{R}

    (1) thỏa mãn \forall x \in \mathbb{R}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 7 - m > 0 \hfill \\ {{\Delta '}_2} = 4 - {\left( {7 - m} ight)^2} \leqslant 0 \hfill \\ m > 0 \hfill \\ {{\Delta '}_3} = 4 - {m^2} < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}

    \Leftrightarrow {\text{ }}\left\{ \begin{gathered} m < 7 \hfill \\ m \leqslant 5 \hfill \\ m > 0 \hfill \\ m > 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }} \Leftrightarrow {\text{ }}2 < m \leqslant 5.

    Vậy m \in \left( {2;5} ight].

  • Câu 43: Thông hiểu

    Viết biểu thức \sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } :{a^{\frac{{11}}{6}}} với a > 0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?

    Ta có: 

    \begin{matrix} A = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } :{a^{\frac{{11}}{6}}} = {\left( {a\sqrt {{a^{\frac{3}{2}}}} } ight)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} \hfill \\ = {\left( {a.{a^{\frac{3}{8}}}} ight)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {\left( {{a^{\frac{7}{4}}}} ight)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {a^{\frac{7}{8}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {a^{\frac{{23}}{{24}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) được biểu diễn như hình vẽ:

    Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng

    Giả sử bất phương trình f\left( x ight) > \sin \frac{{\pi x}}{2} + m nghiệm đúng với mọi x \in \left[ { - 1;3} ight] thì tham số m thỏa mãn điều kiện là:

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) được biểu diễn như hình vẽ:

    Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng

    Giả sử bất phương trình f\left( x ight) > \sin \frac{{\pi x}}{2} + m nghiệm đúng với mọi x \in \left[ { - 1;3} ight] thì tham số m thỏa mãn điều kiện là:

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 45: Nhận biết

    Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

    Số nghiệm thực của phương trình

    Số nghiệm thực của phương trình 2f\left( x ight) - 5 = 0 là:

    Ta có: 2f\left( x ight) - 5 = 0 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{5}{2}

    Quan sát đồ thị ta thấy y = \frac{5}{2} cắt đồ thị hàm số y = f\left( x ight) tại ba điểm phân biệt

    => Phương trình 2f\left( x ight) - 5 = 0 có ba nghiệm thực phân biệt.

  • Câu 46: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây không có điểm cực trị?

    Các hàm số y = x^{2} + x - 1; y = x^{2} + 3x - 1; y = x^{4} + 2x^{2} - 1 đều có một điểm cực trị.

    Xét hàm số y = x^{3} + 6x + 3 ta có: y' = 3x^{2} + 6 > 0;\forall x\mathbb{\in R} nên hàm số không có cực trị.

  • Câu 47: Thông hiểu

    Cho các số thực dương a, b với a e 1;{\log _a}b > 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Trường hợp 1: 0 < a < 1 \Rightarrow {\log _a}b > 0 = {\log _a}1 \Rightarrow 0 < b < 1

    Trường hợp 2: a > 1 \Rightarrow {\log _a}b > 0 = {\log _a}1 \Rightarrow b > 1

    Vậy \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 < a,b < 1} \\ {1 < a;b} \end{array}} ight.

  • Câu 48: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \left( S_{m} ight):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - m)^{2} = \frac{m^{2}}{4} với m > 0 là tham số thực) và hai điểm A(2;3;5),B(1;2;4). Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để trên \left( S_{m} ight) tồn tại điểm M sao cho MA^{2} - MB^{2} = 9?

    Gọi M(x;y;z)

    Theo đề bài ra ta có:

    MA^{2} - MB^{2} = 9

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 5)^{2} - (x - 1)^{2} - (y - 2)^{2} - (z - 4)^{2} = 9

    \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0

    Mặt cầu (Sm) có tâm I(1; 1; m) và bán kính R = \frac{m}{2}

    Gọi (α): x + y + z − 4 = 0. Khi đó:

    M(1;1;m) \in \left( S_{m} ight) \Leftrightarrow d\left( I;(\alpha) ight) \leq R

    \Leftrightarrow \frac{|m - 2|}{\sqrt{3}} \leq \frac{m}{2} \Leftrightarrow m - 2 \geq - \frac{\sqrt{3}}{2}m

    \Leftrightarrow m \geq 8 - 4\sqrt{3}

    Vậy giá trị nhỏ nhất của tham số m cần tìm là m = 8 - 4\sqrt{3}.

  • Câu 49: Nhận biết

    Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA=2a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

     

    Gọi I là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và có I là trung điểm AB nên SI \bot AB. Do (SAB) \bot (ABCD) theo giao tuyến AB nên SI \bot (ABCD).

    Tam giác vuông SIA, có:

    SI = \sqrt {S{A^2} - I{A^2}} = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} ight)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}

  • Câu 50: Vận dụng

    Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{x - 1}{x^{2} - 3x + m} có đúng hai đường tiệm cận?

    Ta có: \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{x - 1}{x^{2} - 3x + m} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x - 1}{x^{2} - 3x + m} = 0

    Suy ra đồ thị hàm số đã cho luôn có đúng một tiệm cận ngang y = 0. Nên để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận thì phải có thêm đúng một tiệm cận đứng nữa.

    Tam thức h(x) = x^{2} - 3x + m có \Delta = 9 - 4m

    Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận thì phải có thêm đúng một tiệm cận đứng nữa:

    \left[ \begin{gathered} \Delta = 9 - 4m = 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \Delta = 9 - 4m > 0 \hfill \\ h\left( 1 ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \frac{9}{4} \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < \frac{9}{4} \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \frac{9}{4} \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy m \in \left\{ 2;\frac{9}{4} ight\}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 56 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập