Lớp 12 Toán 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 12.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số y = {\left( {{x^2} - 2x + 1} ight)^{\frac{1}{3}}}. Tập xác định của hàm số đã cho là:

    Điều kiện xác đinh: {x^2} - 2x + 1 > 0 \Rightarrow x e 1

    => Tập xác định của hàm số là: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho các số thực dương a, b với a e 1;{\log _a}b > 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Trường hợp 1: 0 < a < 1 \Rightarrow {\log _a}b > 0 = {\log _a}1 \Rightarrow 0 < b < 1

    Trường hợp 2: a > 1 \Rightarrow {\log _a}b > 0 = {\log _a}1 \Rightarrow b > 1

    Vậy \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 < a,b < 1} \\ {1 < a;b} \end{array}} ight.

  • Câu 3: Vận dụng

    Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y= - x^{4} + 2\left( m^{2} + 3 ight)x^{2} + 2 có ba điểm cực trị sao cho giá trị cực đại của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y= - x^{4} + 2\left( m^{2} + 3 ight)x^{2} + 2 có ba điểm cực trị sao cho giá trị cực đại của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ:

    Hàm số g(x) = f\left( 2x^{2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} ight) nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?

    Ta có:

    g'(x) = \left( 4x - \frac{5}{2} ight).f'\left( 2x^{2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} ight)

    Xét g'(x) = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}4x - \dfrac{5}{2} = 0 \\f'\left( 2x^{2} - \dfrac{5}{2}x - \dfrac{3}{2} ight) = 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{5}{8} \\2x^{2} - \dfrac{5}{2}x - \dfrac{3}{2} = - 2 \\2x^{2} - \dfrac{5}{2}x - \dfrac{3}{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x \in \left\{ -1;\dfrac{1}{4};\dfrac{5}{8};1;\dfrac{9}{4} ight\}

    Ta có bảng xét dấu:

    g'(0) = - \frac{5}{2}.f'\left( - \frac{3}{2} ight) > 0 \Rightarrow g'(x) > 0;\forall x \in \left( - 1;\frac{1}{4} ight)

    Vậy đáp án cần tìm là \left( 1;\frac{5}{4} ight).

  • Câu 5: Thông hiểu

    Phương trình {\log _3}(5x - 3) + {\log _{\frac{1}{3}}}({x^2} + 1) = 0 có 2 nghiệm x_1, \, x_2 trong đó x_1 < x_2. Giá trị của P = 2{x_1} + 3{x_2} là?

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 5x - 3 > 0 \hfill \\ {\log _3}(5x - 3) + {\log _{\frac{1}{3}}}({x^2} + 1) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{3}{5} \hfill \\ {\log _3}(5x - 3) - {\log _3}({x^2} + 1) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{3}{5} \hfill \\ {\log ^{}}_3(5x - 3) = {\log ^{}}_3({x^2} + 1) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{3}{5} \hfill \\ 5x - 3 = {x^2} + 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{3}{5} \hfill \\ {x^2} - 5x + 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{3}{5} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy 2{x_1} + 3{x_2} = 2.1 + 3.4 = 14.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hình đa diện đều loại \left\{ {4;3} ight\} cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Đa diện đều loại \left\{ {4;3} ight\} là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh a.

    Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là S=6a^2

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hàm số y = {x^\pi }. Tính y''\left( 1 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \pi .{x^{\pi - 1}} \Rightarrow y'' = \pi \left( {\pi - 1} ight).{x^{\pi - 2}} \hfill \\ y''\left( 1 ight) = \pi \left( {\pi - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho mặt phẳng \left( P ight):2x - 4y + 4z + 5 = 0 và mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau

    Đáp án là:

    Cho mặt phẳng \left( P ight):2x - 4y + 4z + 5 = 0 và mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S): 

    a = 1;b = - 2;c = - 1;d = - 3 \Rightarrow R = 3.

    Suy ra tâm I có tọa độ là: I = \left( {1, - 2, - 1} ight)

    Áp dụng CT, ta có d\left( {I,P} ight) = \frac{{11}}{6} < R = 3 \Rightarrow (P) cắt (S)

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hình vẽ sau là đồ thị của ba hàm số y = {x^\alpha };y = {x^\beta };y = {x^\gamma } với x > 0 và \alpha ;\beta ;\gamma là các số thực cho trước, mệnh đề nào sau đây đúng?

    Chọn mệnh đề đúng

    Hàm số {x^\alpha } nghịch biến trên \alpha < 0

    Các hàm số y = {x^\beta };y = {x^\gamma } đồng biến nên \beta ;\gamma > 0

    Tại x = 3 thì {3^\beta } > {3^\gamma } \Rightarrow \beta > \gamma

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận ngang?

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm\infty}\dfrac{- 4x + 1}{x^{2} - 2} = \lim_{x ightarrow \pm\infty}\left( \dfrac{1}{x} ight).\lim_{x ightarrow \pm \infty}\left(\dfrac{- 4 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{2}{x^{2}}} ight) = 0 nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{- 4x + 1}{x^{2} - 2} là đường thẳng có phương trình y = 0.

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho phương trình {\left( {7 + 4\sqrt 3 } ight)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?

     Ta có: {\left( {7 + 4\sqrt 3 } ight)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 6

    \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}^2}} ight]^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} - 6 = 0

    \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}^x}} ight]^2} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} - 6 = 0{\text{ }}\left( {*} ight)

    Đặt t = {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} > 0.

    Khi đó \left( {*} ight) \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = 2{\text{ }}\left( TM ight) \hfill \\ t = - 3{\text{ }}\left( L ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với t = 2 \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 2 \Leftrightarrow \boxed{x = {{\log }_{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}}2}.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \sqrt{2x -x^2}. Biết hàm số nghịch biến trên đoạn (a;b). Tính a + 2b.

    Đáp án: 5

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \sqrt{2x -x^2}. Biết hàm số nghịch biến trên đoạn (a;b). Tính a + 2b.

    Đáp án: 5

    Tập xác định: D = \lbrack 0;2brack.

    Ta có: y^{'} = \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^{2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1.

    Bảng xét dấu:

    Từ bảng xét dấu, ta thấy hàm số nghịch biến trên (1;2).

    Khi đó: a = 1;b = 2 \Rightarrow a + 2b = 1 + 2.2 = 5.

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ:

    Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{{x - 2}}{{{f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4}} là:

    Ta có: {f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = 4} \\ {f\left( x ight) = 1} \end{array}} ight.

    Phương trình f\left( x ight) = 4 có 3 nghiệm phân biệt khác 2.

    Phương trình f\left( x ight) = 1 có một nghiệm kép là x = 2 (do vậy mẫu số có dạng {\left( {x - 2} ight)^2} nên x = 2 vẫn là TCĐ của đồ thị hàm số

    => Đồ thị hàm số y = \frac{{x - 2}}{{{f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4}} có 4 đường tiệm cận đứng.

  • Câu 14: Vận dụng

    Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x}. Giá trị của M – 2m2 bằng:

    Điều kiện xác định \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + x \geqslant 0} \\ {1 - x \geqslant 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow - 1 \leqslant x \leqslant 1

    Xét hàm số y = \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} trên [-1; 1] có:

    \begin{matrix} y' = \dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 + x} }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \leqslant x \leqslant 1} \\ {\sqrt {1 + x} = \sqrt {1 - x} } \end{array}} ight. \Leftrightarrow x = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 1} ight) = f\left( 1 ight) = \sqrt 2 } \\ {f\left( 0 ight) = 2} \end{array}} ight.

    Vậy \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} ight]} f\left( x ight) = \sqrt 2 } \\ {M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} ight]} f\left( x ight) = 2} \end{array}} ight. \Rightarrow M - 2{m^2} = 2 - 2.2 = - 2

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =a \sqrt 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM.

     

    Theo giả thiết, ta có SH = a\sqrt 3.

    Diện tích tứ giác:

    {S_{CDNM}} = {S_{ABCD}} - {S_{\Delta AMN}} - {S_{\Delta BMC}}

    = A{B^2} - \frac{1}{2}AM.AN - \frac{1}{2}BM.BC = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{8} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{8}

    Vậy  {V_{S.CDNM}} = \frac{1}{3}{S_{CDNM}}.SH = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Khẳng định nào sau đây đúng?

    Điểm cực tiểu của hàm số là x = - 1;x = 1

    Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là ( - 1;0),(1;0)

    Điểm cực đại của hàm số là x = 0.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Nếu đặt t = {\log _3}\frac{{x - 1}}{{x + 1}} thì bất phương trình {\log _4}{\log _3}\frac{{x - 1}}{{x + 1}} < {\log _{\frac{1}{4}}}{\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{x + 1}}{{x - 1}} trở thành bất phương trình nào?

    Điều kiện: x \in ( - \infty ; - 1) \cup (1; + \infty )

    Sau khi đưa về cùng cơ số 4, rồi tiếp tục biến đổi về cùng cơ số 3 ta được bất phương trình  {\log _3}\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{1}{{{{\log }_3}\frac{{x - 1}}{{x + 1}}}} < 0

    Vậy BPT trở thành: \frac{{{t^2} - 1}}{t} < 0. 

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có \widehat {ASB} = \widehat {CSB} = {60^0},{\text{ }}\widehat {ASC} = {90^0} và SA = SB = a,SC = 3a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

     Gọi M là trung điểm của AB \Rightarrow SM \bot AB

    Ta có \left\{ \begin{gathered} SA = SB \hfill \\ \widehat {ASB} = {60^0} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \Delta SAB đều \xrightarrow{{}}\left\{ \begin{gathered} AB = a \hfill \\ SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Tam giác SAC, có AC = \sqrt {S{A^2} + S{C^2}} = a\sqrt {10}

    Tam giác SBC, có BC = \sqrt {S{B^2} + S{C^2} - 2SB.SC.\cos \widehat {BSC}} = a\sqrt 7 .

    Tam giác ABC, có cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}

    \xrightarrow{{}}CM = \sqrt {A{M^2} + A{C^2} - 2AM.AC.\cos \widehat {BAC}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{2}

    Ta có S{M^2} + M{C^2} = S{C^2} = 9{a^2}\xrightarrow{{}}\Delta SMC vuông tại M.

    \xrightarrow{{}}SM \bot MC

    Từ (1) và (2) , ta có SM \bot \left( {ABC} ight)

    Diện tích tam giác {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{2}

    Vậy thể tích khối chop {V_{SABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SM = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}.

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho bất phương trình: {9^x} + \left( {m - 1} ight){.3^x} + m > 0\,\,\left( 1 ight). Tìm tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình (1) nghiệm đúng \forall x>1.

    Đặt t=3^x.

    Vì  x > 1 \Rightarrow t > 3. Bất phương trình đã cho thành: {t^2} + \left( {m - 1} ight).t + m > 0 nghiệm đúng \forall t \geqslant 3

    \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - t}}{{t + 1}} > - m nghiệm đúng \forall t \geqslant 3.

    Xét hàm số:  g\left( t ight) = t - 2 + \frac{2}{{t + 1}},\forall t > 3,g'\left( t ight) = 1 - \frac{2}{{{{\left( {t + 1} ight)}^2}}} > 0,\forall t > 3.

    Hàm số đồng biến trên \left[ {3; + \infty } ight) và g\left( 3 ight) = \frac{3}{2}. Yêu cầu bài toán tương đương - m \leqslant \frac{3}{2} \Leftrightarrow m \geqslant - \frac{3}{2}.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Điều kiện xác định của phương trình \log ({x^2} - 6x + 7) + x - 5 = \log (x - 3) là:

    Điều kiện phương trình xác định:  

    \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 6{\text{x + 7}} > 0 \hfill \\ x - 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x > 3 + \sqrt 2 \hfill \\ x < 3 - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ x > 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x > 3 + \sqrt 2

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f’(x) liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

    Bất phương trình chưa tham số m nghiệm đúng

    Bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} } ight) < \sqrt {x + 1} + m (với m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x \in \left( { - 1;3} ight) khi và chỉ khi:

    Đặt u = \sqrt {x + 1}

    Vì x \in \left( { - 1;3} ight) \Rightarrow u \in \left( {0;2} ight)

    => f\left( u ight) < u + m \Rightarrow f\left( u ight) - u < m

    Xét hàm số g\left( u ight) = f\left( u ight) - u;{\text{ }}u \in \left( {0;2} ight)

    Ta có: g'\left( u ight) = f'\left( u ight) - 1

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: u \in \left[ {0;2} ight] thì f'\left( u ight) < 1;\forall u \in \left[ {0;2} ight]

    => g(u) nghịch biến trên (0; 2)

    Vậy để f\left( {\sqrt {x + 1} } ight) < \sqrt {x + 1} + m nghiệm đúng với mọi x \in \left( { - 1;3} ight) thì

    \begin{matrix} f\left( u ight) - u < m;\forall u \in \left( {0;2} ight) \hfill \\ \Rightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} ight]} g\left( u ight) = g\left( 0 ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều. Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị chục nghìn.

    Đáp án: 4054 (chục nghìn)

    Đáp án là:

    Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều. Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị chục nghìn.

    Đáp án: 4054 (chục nghìn)

    Hình vẽ minh họa

    Mô hình hóa chân tháp của bài toán bằng khối chóp cụt tứ giác đều ABCD.A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}, với O,O^{'} lần lượt là tâm của hai đáy ABCD và A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}.

    Như vậy ta có:

    ABCD là hình vuông cạnh 5 có diện tích S_{ABCD} = 5^{2} = 25;

    A^{'}B^{'}C^{'}D^{'} là hình vuông cạnh 2 có diện tích S_{A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}} = 2^{2} = 4;

    Các cạnh bên A^{'}A,B^{'}B,C^{'}C,D^{'}D có độ dài bằng 3;

    {OO}^{'} vuông góc với ( ABCD ) và ( \left. \ A^{'}B^{'}C^{'}D^{'} ight).

    Do ABCD là hình vuông nên \widehat{ABC} =90^{\circ}, do đó tam giác ABC vuông tại B.

    Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

    AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 5^{2} + 5^{2}= 50

    Suy ra AC = 5\sqrt{2}.
    Do đó CO = \frac{AC}{2} =\frac{5\sqrt{2}}{2} (do 0 là tâm hình vuông ABCD ).

    Do A^{'}B^{'}C^{'}D^{'} là hình vuông nên \widehat{A^{'}B^{'}C^{'}} = 90^{\circ}, do đó tam giác A^{'}B^{'}C^{'} vuông tại B^{'}.

    Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác A^{'}B^{'}C^{'} vuông tại B^{'} có:

    A^{'}C^{'2} = A^{'}B^{'2} + B^{'}C^{'2} = 2^{2} + 2^{2} = 8.

    Suy ra A^{'}C^{'} = 2\sqrt{2}.

    Do đó C^{'}O^{'} = \frac{A^{'}C^{'}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} (do O^{'} là tâm hình vuông A^{'}B^{'}C^{'}D^{'} ).

    Dễ thấy: (ABCD) \cap \left( A^{'}C^{'}CA ight) = AC; \left( A^{'}B^{'}C^{'}D^{'} ight) \cap \left( A^{'}C^{'}CA ight) = A^{'}C^{'}.

    Mà ( ABCD ) // ( \left. \ A^{'}B^{'}C^{'}D^{'} ight).

    Suy ra AC//A^{'}C^{'} hay A^{'}C^{'}CA là hình thang.

    Xét hình thang A^{'}C^{'}CA, kẻ C^{'}H\bot AC(H \in AC).

    Vì 00^{'}\bot(ABCD) và AC \subset (ABCD) nên 00^{'}\bot AC.

    Do đó C^{'}H//{OO}^{'} (cùng vuông góc với AC).

    Mà O^{'}C^{'}//OH (do A^{'}C^{'}//AC )

    Suy ra O^{'}C^{'}HO là hình bình hành.

    Do đó: 0O^{'} = C^{'}H và OH = C^{'}O^{'} = \sqrt{2}.

    Suy ra HC = OC - OH = \frac{5\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

    Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác C^{'}HC vuông tại H( do \left. \ C^{'}H\bot AC ight) có:

    C^{'}C^{2} = C^{'}H^{2} + {HC}^{2}

    Suy ra C^{'}H = \sqrt{C^{'}C^{2} - HC^{2}} = \sqrt{3^{2} - \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} ight)^{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

    Do đó OO^{'} = C^{'}H = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

    Thể tích khối chóp cụt tứ giác đều ABCD.A^{'}B^{'}C^{'}D^{'} với chiều cao OO^{'} = \frac{3\sqrt{2}}{2} và diện tích hai đáy S_{ABCD} = 25, S_{A'B'C'D'} =4 là:

    V_{ABCD \cdot A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}} = \frac{1}{3} \cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}(25 + \sqrt{25.4} + 4) = \frac{39\sqrt{2}}{2}\left({m}^{3} ight)

    Như vậy ta có thể tích của chân tháp đã cho bằng \frac{39\sqrt{2}}{2}\left( {m}^{3}ight).

    Vi chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1470000 đồng /m^{3} nên số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:

    \frac{39\sqrt{2}}{2}.1470000 \approx40538432 (đồng)

    Vậy số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp khoảng 40538432 đồng.

  • Câu 23: Nhận biết

    Hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ dưới đây là:

    Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d với a < 0 nên hàm số tương ứng là y = - x^{3} + 3x.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Biết \sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}} = {\left( {\frac{a}{b}} ight)^m} với a và b là các số thực dương. Tìm m?

    Ta có:

    \begin{matrix} {\left( {\dfrac{a}{b}} ight)^m} = {\left( {\sqrt[3]{{\dfrac{{{b^3}}}{{{a^3}}}.\dfrac{a}{b}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {\dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} ight)^{\frac{1}{{15}}}} = {\left( {\dfrac{b}{a}} ight)^{\frac{2}{{15}}}} \hfill \\ \Rightarrow m = \dfrac{{ - 2}}{{15}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 25: Vận dụng

    Một công ty A có 120 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 3 000 000 đồng thì mỗi tháng mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100 nghìn đồng một tháng thì sẽ có 3 căn hộ bị bỏ trống. Gọi x (trăm nghìn) là số tiền tăng thêm.

    a) Số căn hộ còn lại sau khi tăng giá là 120 - 3x. Đúng||Sai

    b) Giá một căn hộ sau khi tăng là 30 - x (trăm nghìn). Sai||Đúng

    c) Tổng số tiền công ty thu được là S(x) = - 3x^{2} + 30x + 3600 (trăm nghìn). Đúng||Sai

    d) Công ty thu được nhiều tiền nhất khi giá thuê mỗi căn hộ là 4 (triệu đồng).Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một công ty A có 120 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 3 000 000 đồng thì mỗi tháng mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100 nghìn đồng một tháng thì sẽ có 3 căn hộ bị bỏ trống. Gọi x (trăm nghìn) là số tiền tăng thêm.

    a) Số căn hộ còn lại sau khi tăng giá là 120 - 3x. Đúng||Sai

    b) Giá một căn hộ sau khi tăng là 30 - x (trăm nghìn). Sai||Đúng

    c) Tổng số tiền công ty thu được là S(x) = - 3x^{2} + 30x + 3600 (trăm nghìn). Đúng||Sai

    d) Công ty thu được nhiều tiền nhất khi giá thuê mỗi căn hộ là 4 (triệu đồng).Sai||Đúng

    a) Đúng. Số căn hộ bị bỏ trống là 3x. Suy ra Số căn hộ còn lại sau khi tăng giá là 120 - 3x.

    b) Sai. Giá một căn hộ sau khi tăng là 30 + x (trăm ngìn).

    c) Đúng. Tổng số tiền công ty thu được là

    S(x) = (120 - 3x)(30 + x) = - 3x^{2} + 30x + 3600.

    d) Sai. Ta có S'(x) = - 6x + 30.

    Phương trình S'(x) = 0 \Leftrightarrow - 6x + 30 = 0 \Leftrightarrow x = 5.

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên suy ra, công ty sẽ thu được nhiều tiền nhất khi giá căn hộ là 3,5 (triệu đồng).

  • Câu 26: Nhận biết

    Quan sát hình và chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Quan sát hình vẽ, ta thấy:

    Khối chóp tứ giác S.ABCD được phân chia thành 2 khối tứ diện C.SAB và C.SAD.

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Tìm tập hợp T tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} ight){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} ight)x - 3 nghịch biến trên khoảng (-1; 1)

     Ta có: y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + \left( {{m^2} + 2m} ight)

    Để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) thì

    \begin{matrix} y' \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 1;1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + \left( {{m^2} + 2m} ight) \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 1;1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có y’ = 0 => x = m hoặc x = m + 2

    Bảng xét dấu

    Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến trên khoảng

    Từ bảng xét dấu ta thấy để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) thì

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant - 1} \\ {m + 2 \geqslant 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant - 1} \\ {m \geqslant - 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m = - 1

  • Câu 28: Nhận biết

    Điều kiện xác định của bất phương trình {\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {{{\log }_2}(2 - {x^2})} ight] > 0 là:

     BPT xác định khi : \left\{ \begin{gathered} 2 - {x^2} > 0 \hfill \\ {\log _2}(2 - {x^2}) > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \hfill \\ 2 - {x^2} > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \hfill \\ 1 - {x^2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \hfill \\ - 1 < x < 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow - 1 < x < 1.

    Vậy BPT xác định khi x \in \left( { - 1;1} ight).

  • Câu 29: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

     Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!

  • Câu 30: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

     Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

    Bán kính đáy R = \frac{a}{2}. Do đó thể tích khối trụ V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}(đvtt).

  • Câu 31: Vận dụng

    Bác Thu có 600 triệu đồng mang đi gửi tiết kiện ở hai loại kì hạn khác nhau đều theo thể thức lãi kép. Bác gửi 300 triệu đồng theo kì hạn quý với lãi suất 2,1% một quý, 300 triệu đồng còn lại bác gửi theo kì hạn tháng với lãi suất 0,73%/tháng. Sau khi gửi được đúng một năm, bác rút ra một nửa số tiền ở loại kì hạn quý và gửi vào loại kì hạn theo tháng. Hỏi sau đúng hai năm kể từ khi gửi tiền lần đầu, bác Thu thu về tất cả bao nhiêu tiền lãi (làm tròn đến chữ số hàng nghìn)?

     Số tiền bác Thu thu được ở năm thứ nhất là:

    + Gửi kì hạn theo quý: 300.{\left( {1 + {r_1}} ight)^4} = A (triệu đồng)

    + Gửi kì hạn theo tháng: 300.{\left( {1 + {r_2}} ight)^{12}} = B (triệu đồng)

    Số tiền bác Thu thu được ở sau năm thứ hai là:

    + Gửi kì hạn theo quý: \frac{A}{2}{\left( {1 + {r_1}} ight)^4} (triệu đồng)

    + Gửi kì hạn theo tháng: \left( {\frac{A}{2} + B} ight){\left( {1 + {r_2}} ight)^{12}} (triệu đồng)

    Số tiền lãi bác Thu thu được là

    \frac{A}{2}{\left( {1 + {r_1}} ight)^4} + \left( {\frac{A}{2} + B} ight){\left( {1 + {r_2}} ight)^{12}} - 600 \approx 112,219 (triệu đồng)

  • Câu 32: Nhận biết

    Điều kiện xác định của phương trình {\log _5}(x - 1) = {\log _5}\frac{x}{{x + 1}} là: 

     Biểu thức {\log _5}(x - 1) = {\log _5}\frac{x}{{x + 1}} và xác định 

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{x}{{x + 1}} > 0 \hfill \\ x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < - 1 \vee x > 0 \hfill \\ x > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x > 1

  • Câu 33: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = 9 có bán kính bằng:

    Bán kính của mặt cầu (S) là R = \sqrt{9} = 3.

  • Câu 34: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số y = \log {\left( {x - 2} ight)^2} là:

    Hàm số y = \log {\left( {x - 2} ight)^2} xác định nếu {\left( {x - 2} ight)^2} > 0 \Leftrightarrow x e 2

    Vậy tập xác định D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Gia đình bác T muốn xây một bình chứa hình trụ có thể tích 75m^{3}. Đáy làm bằng bê tông giá 100 nghìn đồng/m2, thành làm bằng tôn giá 90 nghìn đồng/m2, nắp bằng nhôm giá 140 nghìn đồng/m2. Vậy đáy của hình trụ có bán kính bằng bao nhiêu để chi phí xây dựng là thấp nhất?

    Gọi x(m);(x > 0) là bán kính đáy của bình chứa hình trụ

    Khi đó tổng số tiền phải trả là 14.10^{4}.\pi x^{2} + 10^{5}.\pi x^{2} +\frac{144.9.10^{4}}{x}

    Đặt f(x) = 14.10^{4}.\pi x^{2} +10^{5}.\pi x^{2} + \frac{144.9.10^{4}}{x}

    \Rightarrow f'(x) = 48.10^{4}\pi x -\frac{1296.10^{4}}{x}

    \Rightarrow f'(x) = 0\Leftrightarrow 48.10^{4}\pi x - \frac{1296.10^{4}}{x} = 0\Leftrightarrow x = \frac{3}{\sqrt[3]{\pi}}

    Vậy để chi phí xây dựng là thấp nhất thì bán kính đáy bằng \frac{3}{\sqrt[3]{\pi}}m.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho các hình khối sau:

    Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?

    2 || Hai || hai

    Đáp án là:

    Cho các hình khối sau:

    Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?

    2 || Hai || hai

     Có hai khối đa diện lồi là: Hình 1 & Hình 4

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho biểu thức P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}} với x > 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

     Ta có: 

    \begin{matrix} P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}} \hfill \\ P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^{\frac{7}{2}}}}}} \hfill \\ P = \sqrt {x.{x^{\frac{7}{6}}}} \hfill \\ P = \sqrt {{x^{\frac{{13}}{6}}}} = {x^{\frac{{13}}{{12}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Nhận biết

    Cơ số x bằng bao nhiêu để {\log _x}\sqrt[{10}]{3} = - 0,1?

    Điều kiện x > 0;x e 1

    Ta có:

    \begin{matrix} {\log _x}\sqrt[{10}]{3} = - 0,1 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^{ - 0,1}} = {3^{0,1}} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^{ - 1}} = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 40: Vận dụng

    Giá trị của biểu thức M = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2019}}.{\left( {3\sqrt 2 - 4} ight)^{2018}} là:

    Ta có:

    \begin{matrix} 3\sqrt 2 - 4 = \sqrt 2 .\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight) \hfill \\ \Rightarrow M = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2019}}.{\left( {\sqrt 2 } ight)^{2018}}.{\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}} \hfill \\ \left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight) = {3^2} - {\left( {2\sqrt 2 } ight)^2} = 9 - 8 = 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2018}}{\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}} = 1 \hfill \\ \Rightarrow M = {\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}}{.2^{2019}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 41: Thông hiểu

    Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?

    Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.

    Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.

    Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông

    Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.

     

  • Câu 42: Vận dụng

    Tập nghiệm của bất phương trình {2^x} + {4.5^x} - 4 < {10^x} là:

     Ta có: {2^x} + {4.5^x} - 4 < {10^x} \Leftrightarrow {2^x} - {10^x} + {4.5^x} - 4 < 0

    \Leftrightarrow {2^x}\left( {1 - {5^x}} ight) - 4\left( {1 - {5^x}} ight) < 0 \Leftrightarrow \left( {1 - {5^x}} ight)\left( {{2^x} - 4} ight) < 0

    {\text{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 1 - {5^x} < 0 \hfill \\ {2^x} - 4 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 1 - {5^x} > 0 \hfill \\ {2^x} - 4 < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {5^x} > 1 \hfill \\ {2^x} > 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} {5^x} < 1 \hfill \\ {2^x} < 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x > 2 \hfill \\ x < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;0} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)

  • Câu 43: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có AB = AA' = a, đường chéo AC'hợp với mặt đáy (ABCD) một góc \alpha thỏa mãn \cot \alpha = \sqrt 5. Tính theo a thể tích khối hộp đã cho.

     

    Ta có AA' \bot \left( {ABCD} ight) nên \widehat {A'C,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {A'C,AC} = \widehat {A'CA}.

    Tam giác vuông A'AC, ta có AC = AA'.\cot \alpha = a\sqrt 5.

    Tam giác vuông ABC, ta có BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 2a.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD là {S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = 2{a^3}.

  • Câu 44: Thông hiểu

    Viết biểu thức \sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } :{a^{\frac{{11}}{6}}} với a > 0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?

    Ta có: 

    \begin{matrix} A = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } :{a^{\frac{{11}}{6}}} = {\left( {a\sqrt {{a^{\frac{3}{2}}}} } ight)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} \hfill \\ = {\left( {a.{a^{\frac{3}{8}}}} ight)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {\left( {{a^{\frac{7}{4}}}} ight)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {a^{\frac{7}{8}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {a^{\frac{{23}}{{24}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 45: Nhận biết

    Chọn hàm số đồng biến trên \mathbb{R}?

    Xét hàm số y = 2x^{3} + 3x + 1 ta có:

    y' = 6x^{2} + 3 > 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Vậy hàm số y = 2x^{3} + 3x + 1 đồng biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 46: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị tham số m để hàm số y = x^{3} + \frac{1}{2}\left( m^{2} - 1 ight)x^{2} + 1 - m có điểm cực đại là x = - 1?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} y' = 3x^{2} + \left( m^{2} - 1 ight)x \\ y'' = 6x + m^{2} - 1 \\ \end{matrix} ight.. Để hàm số đạt cực đại tại x = - 1 thì

    y'( - 1) = 0 \Leftrightarrow 3 + \left( m^{2} - 1 ight).( - 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Lúc này y''( - 1) = - 6 + 4 - 1 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = - 1

    Vậy có hai giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 47: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho A(5; 0; 0), B(1; 2; −4), C(4; 3; 0) và mặt phẳng (α): x + 2y + 2z − 10 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và tiếp xúc mặt phẳng (α).

    Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu cần tìm.

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} AI = IB \\ AI = CI \\ AI = d\left( I;(\alpha) ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} +(z + 4)^{2}} \\\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} +z^{2}} \\\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \dfrac{|x + 2y + 2z -10|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - y + 2z = 1 \\ x - 3y = 0 \\ 3\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = |x + 2y + 2z - 10| \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3y \\z = \dfrac{- 5y + 1}{2} \\65y^{2} - 130y + 65 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y = 1 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.

    Vậy phương trình mặt cầu tâm I(3; 1; −2) bán kính R = AI = 3 là (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 9.

  • Câu 48: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x^{2}(x - 1)\left( x^{2} + 2mx +m + 1 ight) với \forallx\mathbb{\in R} và m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m\in (10; + \infty) để hàm số g(x) =f\left( |x| ight) có 5 điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x^{2}(x - 1)\left( x^{2} + 2mx +m + 1 ight) với \forallx\mathbb{\in R} và m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m\in (10; + \infty) để hàm số g(x) =f\left( |x| ight) có 5 điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 49: Thông hiểu

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    Xét hàm số y = {e^{10x + 2017}} ta có:

    y' = 10.{e^{10x + 2017}} > 0;\forall x \in \mathbb{R}

    Vậy hàm số y = {e^{10x + 2017}} đồng biến trên tập số thực.

  • Câu 50: Nhận biết

    Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là 10{\text{c}}{{\text{m}}^2},\,\,20{\text{c}}{{\text{m}}^2},\,\,32{\text{c}}{{\text{m}}^2}. Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật đã cho.

     

    Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật.

    Theo bài ra, ta có \left\{ \begin{gathered} {S_{ABCD}} = 10\,{\text{c}}{{\text{m}}^{\text{2}}} \hfill \\ {S_{ABB'A'}} = 20\,{\text{c}}{{\text{m}}^2} \hfill \\ {S_{ADD'A'}} = 30\,{\text{c}}{{\text{m}}^2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} AB.AD = 10 \hfill \\ AB.AA' = 20 \hfill \\ AA'.AD = 32 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Nhân vế theo vế, ta được {\left( {AA'.AB.AD} ight)^2} = 6400 \Rightarrow AA'.AB.AD = 80.

    Vậy  {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.AB.AD = 80\,{\text{c}}{{\text{m}}^{\text{3}}}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 10 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập