Lớp 12 Toán 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 12.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \left[ { - 2019;2019} ight] để hàm số y = \frac{{\ln x - 6}}{{\ln x - 3m}} đồng biến trên khoảng \left( {1;{e^6}} ight)?

    Đặt t = \ln x

    Khi đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \left( {1;{e^6}} ight) khi và chỉ khi hàm số y = \frac{{t - 6}}{{t - 3m}} đồng biến trên khoảng \left( {0;6} ight)

    Hàm số f(t) đồng biến trên khoảng \left( {0;6} ight) khi và chỉ khi:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3m + 6 > 0} \\ {3m otin \left( {0;6} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 2} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant 0} \\ {m \geqslant 2} \end{array}} ight.} \end{array}} ight. \Rightarrow m \leqslant 0

    Vì m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2019; - 2018;...;0} ight\}

    Vậy có tất cả 2020 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho mặt cầu S\left( {O;R} ight) và mặt phẳng (\alpha). Biết khoảng cách từ O đến (\alpha) bằng \frac{R}{2}. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng (\alpha) với S\left( {O;R} ight) là một đường tròn có đường kính bằng:

     Tìm đường kính

    Gọi H là hình chiếu của O xuống (\alpha) .

    Ta có d\left[ {O,\left( \alpha ight)} ight] = OH = \frac{R}{2} < R nên (\alpha) cắt S\left( {O;R} ight) theo đường tròn C\left( {H;r} ight).

    Bán kính đường tròn C\left( {H;r} ight) là r = \sqrt {{R^2} - O{H^2}} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Suy ra đường kính bằng R\sqrt 3.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Mặt bên SBC là tam giác gì?

    Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.

  • Câu 4: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}(3m + 2)x^{2} + \left( 2m^{2} + 3m + 1 ight)x - 2 có điểm cực đại x_{CÐ} và điểm cực tiểu x_{CT} thỏa mãn biểu thức 3{x_{CÐ}}^{2} - 4x_{CT} = 0?

    Ta có: y' = x^{2} - (3m + 2)x + \left( 2m^{2} + 3m + 1 ight) có \Delta = m^{2} \geq 0;\forall m\mathbb{\in R} nên y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2m + 1 \\ x = m + 1 \\ \end{matrix} ight..

    Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi m eq 0.

    Trường hợp 1: \left\{ \begin{matrix} x_{CÐ} = 2m + 1 \\ x_{CT} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Do a = \frac{1}{3} > 0 \Rightarrow x_{CÐ} < x_{CT} \Leftrightarrow 2m + 1 < m + 1 \Leftrightarrow m < 0

    Lại có 3{x_{CÐ}}^{2} - 4x_{CT} = 0 \Leftrightarrow 3(2m + 1)^{2} - 4(m + 1) = 0

    \Leftrightarrow 12m^{2} + 8m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{6}

    Với điều kiện m < 0 \Rightarrow m = \frac{- 2 - \sqrt{7}}{6} thỏa mãn.

    Trường hợp 2: \left\{ \begin{matrix} x_{CT} = 2m + 1 \\ x_{CÐ} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Do a = \frac{1}{3} > 0 \Rightarrow x_{CÐ} < x_{CT} \Leftrightarrow m + 1 < 2m + 1 \Leftrightarrow m > 0

    Lại có 3{x_{CÐ}}^{2} - 4x_{CT} = 0 \Leftrightarrow 3(m + 1)^{2} - 4(2m + 1) = 0

    \Leftrightarrow 3m^{2} - 2m - 1 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 1 \\m = - \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.

    Với điều kiện m > 0 \Rightarrow m = 1 thỏa mãn.

    Vậy có 2 giá trị thực của tham số m thỏa mãn.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA=2a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

     

    Gọi I là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và có I là trung điểm AB nên SI \bot AB. Do (SAB) \bot (ABCD) theo giao tuyến AB nên SI \bot (ABCD).

    Tam giác vuông SIA, có:

    SI = \sqrt {S{A^2} - I{A^2}} = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} ight)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}

  • Câu 6: Nhận biết

    Phương trình \log _2^2(x + 1) - 6{\log _2}\sqrt {x + 1} + 2 = 0 có số nghiệm là:

    2 || hai || 2 nghiệm || Hai nghiệm

    Đáp án là:

    Phương trình \log _2^2(x + 1) - 6{\log _2}\sqrt {x + 1} + 2 = 0 có số nghiệm là:

    2 || hai || 2 nghiệm || Hai nghiệm

     PT\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 1 > 0 \hfill \\ {\log ^2}_2(x + 1) - 3{\log _2}(x + 1) + 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > - 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} {\log _2}(x + 1) = 1 \hfill \\ {\log _2}(x + 1) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > - 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy PT có 2 nghiệm.

  • Câu 7: Nhận biết

    Điều kiện xác định của Bất phương trình {\log _2}\left[ {3{{\log }_2}\left( {3x - 1} ight) - 1} ight] \leq x là?

     Biểu thức {\log _2}\left[ {3{{\log }_2}\left( {3x - 1} ight) - 1} ight] \leq x xác định khi và chỉ khi:

     

    \left\{ \begin{gathered} 3{\log _2}\left( {3x - 1} ight) - 1 > 0 \hfill \\ 3x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\log _2}\left( {3x - 1} ight) > \frac{1}{3} \hfill \\ x > \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x - 1 > {2^{\frac{1}{3}}} \hfill \\ x > \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{{{2^{\frac{1}{3}}} + 1}}{3} \hfill \\ x > \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x > \frac{{{2^{\frac{1}{3}}} + 1}}{3}

     

  • Câu 8: Thông hiểu

    Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = - 2x^{3} + 3x^{2} + m trên đoạn \lbrack 0;2brack bằng 5. Tìm giá trị của tham số m?

    Ta có: y' = - 6x^{2} + 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên ta có:

    \max_{\lbrack 0;2brack}f(x) = 5 \Leftrightarrow f(1) = 5 \Leftrightarrow m + 1 = 5 \Leftrightarrow m = 4

  • Câu 9: Vận dụng

    Phương trình {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } ight)^x} + {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } ight)^x} = {\left( {\sqrt {10} } ight)^x} có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ?

     Ta có: {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } ight)^x} + {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } ight)^x} = {\left( {\sqrt {10} } ight)^x}\Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} ight)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} ight)^x} = 1

    Xét hàm số f\left( x ight) = {\left( {\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} ight)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} ight)^x}

    Ta có: f\left( 2 ight) = 1

    Hàm số f (x) nghịch biến trên R do các cơ số \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }} < 1;\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }} < 1.

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=2.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau

    Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây

    Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;2).

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho bất phương trình: \frac{1}{{{5^{x + 1}} - 1}} \geqslant \frac{1}{{5 - {5^x}}}. Tìm tập nghiệm của bất phương trình.

     Ta có: \frac{1}{{{5^{x + 1}} - 1}} \geqslant \frac{1}{{5 - {5^x}}} \Leftrightarrow \frac{{6\left( {1 - {5^x}} ight)}}{{\left( {{{5.5}^x} - 1} ight)\left( {5 - {5^x}} ight)}} \geqslant 0\,\,(1)

    Đặt t =5^x, BPT (1) \Leftrightarrow \frac{{6\left( {1 - t} ight)}}{{\left( {5t - 1} ight)\left( {5 - t} ight)}} \geqslant 0.

    Đặt f(t) = \frac{{6\left( {1 - t} ight)}}{{\left( {5t - 1} ight)\left( {5 - t} ight)}}.

    Lập bảng xét dấu f(t) = \frac{{6\left( {1 - t} ight)}}{{\left( {5t - 1} ight)\left( {5 - t} ight)}}, ta được nghiệm:

    \left[ \begin{gathered} 5 < t \hfill \\ \frac{1}{5} < t \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 5 < {5^x} \hfill \\ \frac{1}{5} < {5^x} \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 1 < x \hfill \\ - 1 < x \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight..

    Vậy tập nghiệm của BPT là S = \left( { - 1;0} ight] \cup \left( {1; + \infty } ight).

  • Câu 12: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M thuộc mặt cầu (S): (x − 3)^2 + (y + 1)^2 + z^ 2 = 9 và ba điểm A(1; 0; 0), B(2; 1; 3), C(0; 2; −3). Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn MA^{2} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}= 8 là đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này?

    Ta có:\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MA} = (1 - x; - y; - z) \\\overrightarrow{MB} = (2 - x;1 - y;3 - z) \\\overrightarrow{MC} = ( - x;2 - y; - 3 - z) \\\end{matrix} ight. khi đó:

    MA^{2} +2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = 8

    \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} +z^{2} + 2\left\lbrack x(x - 2) + (y - 1)(y - 2) + (z - 3)(z + 3)ightbrack = 8

    \Leftrightarrow 3.\left( x^{2} + y^{2} +z^{2} ight) - 6x - 6y - 21 = 0

    \Leftrightarrow M \in (S'):x^{2} +y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 7 = 0

    Mà M \in (S):(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} +z^{2} = 9

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} -6x + 2y + 1 = 0

    Suy ra M ∈ (P): 4x − 4y − 8 = 0.

    Như vậy quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của (S) tâm I(3; −1; 0), bán kính R = 3 và (P)

    Ta có: d\left( I;(P) ight) = \sqrt{2}\Leftrightarrow r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = \sqrt{7}

  • Câu 13: Nhận biết

    Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt P = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} P = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6} \hfill \\ P = 3{\log _a}b + \dfrac{6}{2}{\log _a}b \hfill \\ P = 3{\log _a}b + 3{\log _a} \hfill \\ P = 6{\log _a}b \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho a và b là các số thực thỏa mãn điều kiện {\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a} và {b^{\dfrac{5}{4}}} > {b^{\dfrac{4}{3}}}. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Ta có:

    {\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a} \Rightarrow a < 0

    {b^{\frac{5}{4}}} > {b^{\frac{4}{3}}} \Rightarrow 0 < b < 1

  • Câu 15: Thông hiểu

    Bất phương trình {\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \leqslant 2 có tập nghiệm là:

     Xét: x > 0 \Rightarrow {2^x} > {2^0} = 1 \Rightarrow {2^x} + 1 > 2

    \Rightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} ight) > {\log _2}2 = 1\left( 1 ight)

    Tương tự, ta cũng có: x > 0 \Rightarrow {4^x} > {4^0} = 1 \Rightarrow {4^x} + 2 > 2 + 1 = 3

    \Rightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 2} ight) > {\log _3}3 = 1\left( 2 ight)

    Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: {\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) > 2 

    Mà BPT: {\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \leqslant 2 nên x > 0 \, (L)

    Xét x \leqslant 0 \Rightarrow {2^x} \leqslant {2^0} = 1 \Rightarrow {2^x} + 1 \leqslant 2

    \Rightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} ight) \leqslant {\log _2}2 = 1\left( 3 ight)

    Tương tự, ta cũng có: x \leqslant 0 \Rightarrow {4^x} \leqslant {4^0} = 1 \Rightarrow {4^x} + 2 \leqslant 2 + 1 = 3

    \Rightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 2} ight) \leqslant {\log _3}3 = 1\left( 4 ight)

    Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được: {\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \leqslant 2\left( {TM} ight)

    Vậy x \leq 0 hay x \in \left( { - \infty ;0} ight].

  • Câu 16: Vận dụng

    Tập nghiệm của bất phương trình {2^{\log _2^2x}} - 10{x^{{{\log }_2}\frac{1}{x}}} + 3 > 0 là:

    Điều kiện: x>0.

    Đặt u = {\log _2}x \Rightarrow x = {2^u}.

    Bất phương trình đã cho trở thành {2^{{u^2}}} - 10{\left( {{2^u}} ight)^{ - u}} + 3 > 0 \Leftrightarrow {2^{{u^2}}} - \frac{{10}}{{{2^{{u^2}}}}} + 3 > 0{\text{ (1)}}

    Đặt t = {2^{{u^2}}},{\text{ }}t \geqslant 1.{\text{ }}\left( 1 ight)

     Khi đó \Rightarrow {t^2} + 3t - 10 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t < - 5{\text{ (l)}} \hfill \\ t > 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow {2^{{u^2}}} > 2 \Leftrightarrow {u^2} > 1 \Leftrightarrow u > 1hoặc u < -1

    - Với u > 1 \Rightarrow {\log _2}x > 1 \Rightarrow x > 2

    - Với u < - 1 \Rightarrow {\log _2}x < - 1 \Rightarrow x < \frac{1}{2}

    Kết hợp điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 2 hoặc 0 < x < \frac{1}{2}.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích V của khối chóp .A.GBC

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích V của khối chóp .A.GBC

    4 || Bốn || bốn

     Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên S_{\triangle GBC}= \frac{1}{3}S_{\triangle DBC}.

    Suy ra {V_{A.GBC}} = \frac{1}{3}{V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.12 = 4.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Với giá trị nào của m thì mặt phẳng \left( P ight):2x - y + z - 5 = 0 tiếp xúc với mặt cầu 

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 2\left( {2 - m} ight)y - 4mz + 5{m^2} + 1 = 0?

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S): a = m;b = m - 2;c = 2m;d = 5{m^2} + 1

    Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là I\left( {m,m - 2,2m} ight).

    \Rightarrow {R^2} = {m^2} + {\left( {m - 2} ight)^2} + 4{m^2} - 5{m^2} - 1 = {m^2} - 4m + 3 > 0

    \Rightarrow m < 1 \vee m > 3.\left( P ight) tiếp xúc (S) khi: 

    d\left( {I,P} ight) = \frac{{\left| {3m - 3} ight|}}{{\sqrt 6 }} = R = \sqrt {{m^2} - 4m+3}

    \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3 \vee m = 1   (loại)

    \Rightarrow m = - 3

  • Câu 19: Thông hiểu

    Biết \sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}} = {\left( {\frac{a}{b}} ight)^m} với a và b là các số thực dương. Tìm m?

    Ta có:

    \begin{matrix} {\left( {\dfrac{a}{b}} ight)^m} = {\left( {\sqrt[3]{{\dfrac{{{b^3}}}{{{a^3}}}.\dfrac{a}{b}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {\dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} ight)^{\frac{1}{{15}}}} = {\left( {\dfrac{b}{a}} ight)^{\frac{2}{{15}}}} \hfill \\ \Rightarrow m = \dfrac{{ - 2}}{{15}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Vận dụng

    Đồ thị (C) của hàm số y = \frac{{ax + 2}}{{cx + b}} có bảng biến thiên như hình vẽ.

    Giá trị của biểu thức K

    Biết tiếp tuyến (C) tại giao điểm của (C) với trục tung song song với đường thẳng y = 2x + 2018. Giá trị của biểu thức K = a + 2b + 3c là:

    Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -1 và tiệm cận ngang y = -3

    => Hàm số có dạng y = \frac{{ - 3x + b}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{3 - b}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 ight) = 3 - b

    Do tiếp tuyến song song với đường thẳng

    => 3 – b = 2 => b = 1

    Vậy a = -3; b = 1; c = 1 => K = 2

  • Câu 21: Thông hiểu

    Nếu đặt t = {\log _2}x thì phương trình \frac{1}{{5 - {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{1 + {{\log }_2}x}} = 1 trở thành phương trình nào?

    Đặt t = {\log _2}x

    PT \Leftrightarrow \frac{1}{{5 - t}} + \frac{2}{{1 + t}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{1 + t + 2(5 - t)}}{{(5 - t)(1 + t)}} = 1

    \Leftrightarrow 1 + t + 2(5 - t) = (5 - t)(1 + t)

    \Leftrightarrow 11 - t = 5 + 4t - {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0.

  • Câu 22: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số y = {\log _2}\left( {4 - {x^2}} ight) là tập hợp nào sau đây?

    Điều kiện xác định 4 - {x^2} > 0 \Rightarrow x \in \left( { - 2;2} ight)

    Vậy tập xác định của hàm số là D = \left( { - 2;2} ight)

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x) liên tục, có đạo hàm trên \mathbb{R}. Đồ thị hàm số y = f'(x) như sau:

    Hàm số y = f(3 - x) nghịch biến trên khoảng (2;b). Giá trị lớn nhất của b bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y =f(x) liên tục, có đạo hàm trên \mathbb{R}. Đồ thị hàm số y = f'(x) như sau:

    Hàm số y = f(3 - x) nghịch biến trên khoảng (2;b). Giá trị lớn nhất của b bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 24: Vận dụng

    Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa, và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8h sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức h(t) = 24t +5t^{2} - \frac{t^{3}}{3}. Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 tiếng. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước lúc mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.

    Đáp án: 15

    Đáp án là:

    Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa, và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8h sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức h(t) = 24t +5t^{2} - \frac{t^{3}}{3}. Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 tiếng. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước lúc mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.

    Đáp án: 15

    Ta có:

    h'(t) = 24 + 10t -t^{2}

    h'(t) = 0

    \Leftrightarrow 24 + 10t - t^{2} = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = - 2(ktm) \\t = 12(tm) \\\end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên:

    Mực nước lên cao nhất thì phải mất 12 giờ.

    Hay mực nước lên cao nhất là lúc 20 giờ.

    Vậy phải thông báo cho dân di dời vào 15giờ chiều cùng ngày.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tổng độ dài \ell của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh a.

     

    Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là  \ell = 6a

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f’(x) liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

    Bất phương trình chưa tham số m nghiệm đúng

    Bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} } ight) < \sqrt {x + 1} + m (với m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x \in \left( { - 1;3} ight) khi và chỉ khi:

    Đặt u = \sqrt {x + 1}

    Vì x \in \left( { - 1;3} ight) \Rightarrow u \in \left( {0;2} ight)

    => f\left( u ight) < u + m \Rightarrow f\left( u ight) - u < m

    Xét hàm số g\left( u ight) = f\left( u ight) - u;{\text{ }}u \in \left( {0;2} ight)

    Ta có: g'\left( u ight) = f'\left( u ight) - 1

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: u \in \left[ {0;2} ight] thì f'\left( u ight) < 1;\forall u \in \left[ {0;2} ight]

    => g(u) nghịch biến trên (0; 2)

    Vậy để f\left( {\sqrt {x + 1} } ight) < \sqrt {x + 1} + m nghiệm đúng với mọi x \in \left( { - 1;3} ight) thì

    \begin{matrix} f\left( u ight) - u < m;\forall u \in \left( {0;2} ight) \hfill \\ \Rightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} ight]} g\left( u ight) = g\left( 0 ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho các số thực dương a, b với a e 1;{\log _a}b > 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Trường hợp 1: 0 < a < 1 \Rightarrow {\log _a}b > 0 = {\log _a}1 \Rightarrow 0 < b < 1

    Trường hợp 2: a > 1 \Rightarrow {\log _a}b > 0 = {\log _a}1 \Rightarrow b > 1

    Vậy \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 < a,b < 1} \\ {1 < a;b} \end{array}} ight.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây phù hợp với hình vẽ:

    Tìm hàm số tương ứng với đồ thị hàm số

     Ta có: y\left( 1 ight) = 0 và hàm số đồng biến trên \left( {0; + \infty } ight) nên chỉ có hàm số y = {\log _{\sqrt 6 }}x thỏa mãn

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{1}{2f(x) - 1} là:

    Điều kiện xác định của hàm số y = \frac{1}{2f(x) - 1}là 2f(x) - 1 eq 0 \Leftrightarrow f(x) eq \frac{1}{2}

    Từ bảng biến thiên ta có: f(x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = x_{1} \in ( - \infty; - 0,5) \\ x = x_{2} \in ( - 0,5; - \infty) \\ \end{matrix} ight.

    Tập xác định \mathbb{R}\backslash\left\{ x_{1};x_{2} ight\}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{2f(x) - 1} = \frac{1}{2.1 - 1} = 1 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1.

    \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1}{2f(x) - 1} = \frac{1}{2.1 - 1} = 1 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1.

    \lim_{x ightarrow {x_{1}}^{\pm}}\frac{1}{2f(x) - 1} = \mp \infty suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x_{1}.

    \lim_{x ightarrow {x_{2}}^{\pm}}\frac{1}{2f(x) - 1} = \pm \infty suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x_{2}.

    Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{1}{2f(x) - 1} là 3.

  • Câu 30: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = \frac{{{e^{4x}}}}{5}

    Ta có: y' = \frac{1}{5}\left( {{e^{4x}}} ight)' = \frac{1}{5}\left( {4x} ight)'.{e^{4x}} = \frac{4}{5}.{e^{4x}}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?

     Mọi hình chóp đều không có tâm đối xứng (tứ diện đều, hình chóp tứ giác đều,….)

    Hình lăng trụ tam giác cũng không có tâm đối xứng.

    Mọi hình hộp chữ nhật, hình lập phương đều có tâm đối xứng

    Bát diện đều cũng có tâm đối xứng.

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

    Số nghiệm thực của phương trình

    Số nghiệm thực của phương trình 2f\left( x ight) - 5 = 0 là:

    Ta có: 2f\left( x ight) - 5 = 0 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{5}{2}

    Quan sát đồ thị ta thấy y = \frac{5}{2} cắt đồ thị hàm số y = f\left( x ight) tại ba điểm phân biệt

    => Phương trình 2f\left( x ight) - 5 = 0 có ba nghiệm thực phân biệt.

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng V, đáy ABCD là hình vuông; SA \bot \left( {ABCD} ight) và SC hợp với đáy một góc bằng 30^0. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC, cắt các cạnh SB,SC,SD lần lượt tại E,F,K. Tính thể tích khối chóp S.AEFK. 

    V/10 || V phần 10

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng V, đáy ABCD là hình vuông; SA \bot \left( {ABCD} ight) và SC hợp với đáy một góc bằng 30^0. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC, cắt các cạnh SB,SC,SD lần lượt tại E,F,K. Tính thể tích khối chóp S.AEFK. 

    V/10 || V phần 10

     

    Ta có \frac{{SB}}{{SE}} = \frac{{S{B^2}}}{{S{A^2}}}. Tương tự \frac{{SD}}{{SK}} = \frac{{S{D^2}}}{{S{A^2}}} nên \frac{{SB}}{{SE}} = \frac{{SD}}{{SK}}.

    Mà \frac{{SC}}{{SF}} = \frac{{S{C^2}}}{{S{A^2}}} = 4 (do \Delta SCA vuông tại A, \,\widehat {\,SCA} = {30^0}) nên ta có:

    \frac{{SC}}{{SF}} + 1 = \frac{{SB}}{{SE}} + \frac{{SD}}{{SK}} = 5 \Rightarrow \frac{{SB}}{{SE}} = \frac{{SD}}{{SK}} = \frac{5}{2}

    Xét tỉ số thể tích, ta được:

    \frac{{{V_{S.AEFK}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{10}}{{4.1.4.\dfrac{5}{2}.\dfrac{5}{2}}} = \frac{1}{{10}}

    \Rightarrow {V_{S.AEFK}} = \frac{{{V_{S.ABCD}}}}{{10}} = \frac{V}{{10}}

     

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}. Biết đồ thị của hàm số y = f'(x) biểu diễn như hình vẽ:

    Khi đó hàm số y = f\left( x^{2} - 1 ight) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

    Ta có: y' = 2x.f'\left( x^{2} - 1 ight) \leq 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ f'\left( x^{2} - 1 ight) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ f'\left( x^{2} - 1 ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ x^{2} - 1 \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} - 1 \geq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ - 2 \leq x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x \leq - 2 \\ x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 \leq x \leq 0 \\ x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là ( - 2;0).

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=SB, SC=SD và \left( {SAB} ight) \bot \left( {SCD} ight). Tổng diện tích hai tam giác SAB và SCD bằng \frac{{7{a^2}}}{{10}}. Tính thể tích V của khối chóp  S.ABCD?

     

    Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

    Tam giác SAB cân tại S suy ra SM \bot AB \Rightarrow SM \bot d với d = \left( {SAB} ight) \cap \left( {SCD} ight).

    Vì \left( {SAB} ight) \bot \left( {SCD} ight) suy ra SM \bot \left( {SCD} ight) \Rightarrow SM \bot SN và \left( {SMN} ight) \bot \left( {ABCD} ight)

    Kẻ SH \bot MN\xrightarrow{{}}SH \bot \left( {ABCD} ight).

    Ta có {S_{\Delta SAB}} + {S_{\Delta SCD}} = \frac{{7{a^2}}}{{10}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.SM + \frac{1}{2}CD.SN = \frac{{7{a^2}}}{{10}}\xrightarrow{{}}SM + SN = \frac{{7a}}{5}.

    Tam giác SMN vuông tại S nên S{M^2} + S{N^2} = M{N^2} = {a^2}

    Giải hệ:

    \left\{ \begin{gathered} SM + SN = \frac{{7a}}{5} \hfill \\ S{M^2} + S{N^2} = {a^2} \hfill \\ \end{gathered} ight.  \Leftrightarrow SM = \frac{{3a}}{5}{\text{ }} hoặc  SN = \frac{{4a}}{5}

    \xrightarrow{{}}SH = \frac{{SM.SN}}{{MN}} = \frac{{12a}}{{25}}

    Vậy thể tích khối chóp V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SH = \frac{{4{a^3}}}{{25}}.

  • Câu 36: Nhận biết

    Hình nón có đường sinh l=2a và hợp với đáy góc \alpha = {60^0}. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết, ta có

    SA = \ell = 2a và \widehat {SAO} = {60^0}.

    Suy ra:

    R = OA = SA.\cos {60^0} = a.

    Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có AB = AA' = a, đường chéo AC'hợp với mặt đáy (ABCD) một góc \alpha thỏa mãn \cot \alpha = \sqrt 5. Tính theo a thể tích khối hộp đã cho.

     

    Ta có AA' \bot \left( {ABCD} ight) nên \widehat {A'C,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {A'C,AC} = \widehat {A'CA}.

    Tam giác vuông A'AC, ta có AC = AA'.\cot \alpha = a\sqrt 5.

    Tam giác vuông ABC, ta có BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 2a.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD là {S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = 2{a^3}.

  • Câu 38: Vận dụng

    Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại \left\{ {4;3} ight\} là:

    Khối đa diện đều loại \left\{ {4;3} ight\} là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng:  6.2\pi = 12\pi

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và f'(x) < 0,\forall x \in (0; + \infty) biết f(0) = 3. Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra.

    Do f^{'}(x) < 0,\forall x \in (0; + \infty) nên hàm số y = f(x) nghịch biến trên (0; + \infty).

    Khi đó ta có:

    f(2024) < f(0) = 3 \Rightarrow f(2024) = 3,5 sai

    f(2023) < f(0) = 3 \Rightarrow f(2023) + f(2024) < 3 + 3 = 6 \Rightarrow f(2023) + f(2024) = 6 sai

    f(2023) > f(2024) \Rightarrow f(2023) < f(2024) sai

    Do đó, f( - 2024) = 3 đúng.

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình 2. Đường thẳng nào sau đây là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho?

    Từ đồ thị suy ra đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là y = 1.

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho f\left( x ight) = \sqrt {1 + 3x} - \sqrt[3]{{1 + 2x}};g\left( x ight) = \sin x. Tính giá trị của biểu thức \frac{{f'\left( 0 ight)}}{{g'\left( 0 ight)}}

    Ta có: 

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( x ight) = \dfrac{3}{{2\sqrt {1 + 3x} }} - \dfrac{2}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {1 + 2x} ight)}^2}}}}} \Rightarrow f'\left( 0 ight) = \dfrac{5}{6}} \\ {g'\left( x ight) = \cos x \Rightarrow g'\left( 0 ight) = 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \frac{{f'\left( 0 ight)}}{{g'\left( 0 ight)}} = \dfrac{5}{6} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho a,b > 0, viết {a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a về dạng {a^x} và \sqrt[3]{{b\sqrt {b\sqrt b } }} về dạng {b^y}. Tình giá trị biểu thức T = 6a + 12y

    Ta có:

    \begin{matrix} {a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}} \hfill \\ \Rightarrow {a^x} = {a^{\frac{7}{6}}} \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{7}{6} \hfill \\ \sqrt[3]{{b\sqrt {b\sqrt b } }} = {\left( {b\sqrt {{b^{\frac{3}{2}}}} } ight)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {b.{b^{\frac{3}{4}}}} ight)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {{b^{\frac{7}{4}}}} ight)^{\frac{1}{3}}} = {b^{\frac{7}{{12}}}} \hfill \\ \Rightarrow {b^y} = {b^{\frac{7}{{12}}}} \Rightarrow y = \dfrac{7}{{12}} \hfill \\ \Rightarrow T = 14 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 43: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) = (m - 1)x^{3} -5x^{2} + (3 + m)x + 3 với m là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f\left( |x| ight) có đúng ba cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = (m - 1)x^{3} -5x^{2} + (3 + m)x + 3 với m là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f\left( |x| ight) có đúng ba cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 44: Thông hiểu

    Để hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + m (với m là tham số) đạt cực tiểu tại x = 2 thì tham số m thuộc khoảng nào sau đây?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 3x^{2} - 6x + m

    Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 \Rightarrow y'(2) = 0 \Leftrightarrow m = 0

    Khi m = 0 \Rightarrow y' = 3x^{2} - 6x \Rightarrow y'' = 6x - 6

    Ta có: y''(2) = 6.2 - 6 = 6 > 0 suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

    Vậy m \in ( - 1;1) thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

  • Câu 45: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

     Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!

  • Câu 46: Thông hiểu

    Phương trình \ln \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = \ln x có nghiệm là: 

    Ta có:  \ln \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = \ln x \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = x \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x = 4

  • Câu 47: Nhận biết

    Cho 0 < a e 1 và biểu thức \sqrt {a.\sqrt[3]{a}} viết dưới dạng {a^n}. Giá trị của n là:

    Ta có:

    \sqrt {a.\sqrt[3]{a}} = {\left( {a.{a^{\frac{1}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3}}}

    Vậy n = \frac{2}{3}

  • Câu 48: Thông hiểu

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 49: Thông hiểu

    Cho hàm số y = {x^{\frac{{ - 3}}{4}}}. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hàm số y = {x^{\frac{{ - 3}}{4}}} có các tính chất như sau:

    Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng

    Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

    Là hàm số nghịch biến trên \left( {0; + \infty } ight)

  • Câu 50: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình 1. Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

    Điểm cực tiểu của hàm số là 2.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 48 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập