Lớp 12 Toán 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 12.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \left| x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + m ight| với m là tham số. Khi giá trị của m biến thiên thì số điểm cực trị của hàm số có thể là a hoặc b hoặc c. Tính giá trị biểu thức P = a.b.c?

    Đặt g(x) = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + m

    \Rightarrow g'(x) = 4x^{3} - 12x^{2} + 8x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên của g(x) như sau:

    TH1: m \geq 0

    Hàm số y = \left| x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + m ight| có 3 điểm cực trị suy ra a = 3

    TH2: - 1 < m < 0

    Hàm số y = \left| x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + m ight| có 3 điểm cực trị suy ra b = 7

    TH3: m \leq - 1

    Hàm số y = \left| x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + m ight| có 3 điểm cực trị suy ra c = 5

    Vậy P = a.b.c = 105

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau:

    Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f( -2x) trên đoạn \left\lbrack -1;\frac{1}{2} ightbrack. Tính giá trị của biểu thức B = 2m + 3M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau:

    Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f( -2x) trên đoạn \left\lbrack -1;\frac{1}{2} ightbrack. Tính giá trị của biểu thức B = 2m + 3M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 3: Nhận biết

    Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

    Đồ thị hàm số là hàm số bậc 4 với \left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ ab < 0 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hàm số bậc ba y = f(x) =\frac{1}{3}x^{3} - (m - 2)x^{2} - 9x + 1 với m là tham số. Gọi x_{1};x_{2} là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức \left| 9x_{1} - 25x_{2} ight|?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số bậc ba y = f(x) =\frac{1}{3}x^{3} - (m - 2)x^{2} - 9x + 1 với m là tham số. Gọi x_{1};x_{2} là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức \left| 9x_{1} - 25x_{2} ight|?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 5: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2\pi R = 2a \Leftrightarrow R = \frac{a}{\pi }.

    Suy ra hình trụ này có đường cao h=a.

    Vậy thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{a}{\pi }} ight)^2}a = \frac{{{a^3}}}{\pi }(đvtt).

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a \sqrt 2. Tính thể tích của khối chóp?

     thể tích chóp

    Diện tích hình vuông ABCD là {S_{ABCD}} = {a^2}.

    Chiều cao khối chóp là SA = a \sqrt 2

    Vậy áp dụng công thức, ta có thể tích khối chóp là:

    {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}

  • Câu 7: Nhận biết

    Hàm số y = {\log _{2019}}\left| x ight|;\forall x e 0 có đạo hàm là:

    Áp dụng công thức đạo hàm ta có: y' = \frac{1}{{x\ln 2019}}

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hai số thực a và b với a > 0;a e 1;b e 0. Chọn khẳng định sai?

    \frac{1}{2}{\log _a}{b^2} = {\log _a}b sai vì chưa biết b > 0 hay b < 0

  • Câu 9: Thông hiểu

    Hình đa diện trong hình vẽ sau có bao nhiêu cạnh? 

    Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60^{0}. Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm của đáy, gọi M là trung điểm của BC.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} SO\bot BC \\ OM\bot BC \\ \end{matrix} ight. nên (SOM)\bot BC

    Suy ra \left\lbrack (SCD),(ABCD) ightbrack = (SM,OM) = \widehat{SMO} = 60^{0}.

    Có OM = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}, SO = OMtan60^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.

    Thể tích khối chóp S.ABCD là

    V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Có bao nhiêu số thực dương m để giá trị lớn nhất của hàm số y = x^{3} - 3x + 1 trên đoạn \lbrack m + 1;m + 2brack bằng 53?

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên:

    Dựa vào bảng biến thiên thì để giá trị lớn nhất của hàm số y = x^{3} - 3x + 1 trên đoạn \lbrack m + 1;m + 2brack bằng 53 thì m + 1 > 1 \Leftrightarrow m > 0.

    Khi đó \max_{\lbrack m + 1;m + 2brack}f(x) = f(m + 2) = (x + 2)^{3} - 3(m + 2) + 1 = 53

    \Leftrightarrow m^{3} + 6m^{2} + 9m - 50 = 0 \Leftrightarrow m = 2

    Khi đó chỉ có duy nhất một giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho 0 < a e 1 và biểu thức \sqrt {a.\sqrt[3]{a}} viết dưới dạng {a^n}. Giá trị của n là:

    Ta có:

    \sqrt {a.\sqrt[3]{a}} = {\left( {a.{a^{\frac{1}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3}}}

    Vậy n = \frac{2}{3}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho a,b > 0, viết {a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a về dạng {a^x} và \sqrt[3]{{b\sqrt {b\sqrt b } }} về dạng {b^y}. Tình giá trị biểu thức T = 6a + 12y

    Ta có:

    \begin{matrix} {a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}} \hfill \\ \Rightarrow {a^x} = {a^{\frac{7}{6}}} \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{7}{6} \hfill \\ \sqrt[3]{{b\sqrt {b\sqrt b } }} = {\left( {b\sqrt {{b^{\frac{3}{2}}}} } ight)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {b.{b^{\frac{3}{4}}}} ight)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {{b^{\frac{7}{4}}}} ight)^{\frac{1}{3}}} = {b^{\frac{7}{{12}}}} \hfill \\ \Rightarrow {b^y} = {b^{\frac{7}{{12}}}} \Rightarrow y = \dfrac{7}{{12}} \hfill \\ \Rightarrow T = 14 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f’(x) liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

    Bất phương trình chưa tham số m nghiệm đúng

    Bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} } ight) < \sqrt {x + 1} + m (với m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x \in \left( { - 1;3} ight) khi và chỉ khi:

    Đặt u = \sqrt {x + 1}

    Vì x \in \left( { - 1;3} ight) \Rightarrow u \in \left( {0;2} ight)

    => f\left( u ight) < u + m \Rightarrow f\left( u ight) - u < m

    Xét hàm số g\left( u ight) = f\left( u ight) - u;{\text{ }}u \in \left( {0;2} ight)

    Ta có: g'\left( u ight) = f'\left( u ight) - 1

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: u \in \left[ {0;2} ight] thì f'\left( u ight) < 1;\forall u \in \left[ {0;2} ight]

    => g(u) nghịch biến trên (0; 2)

    Vậy để f\left( {\sqrt {x + 1} } ight) < \sqrt {x + 1} + m nghiệm đúng với mọi x \in \left( { - 1;3} ight) thì

    \begin{matrix} f\left( u ight) - u < m;\forall u \in \left( {0;2} ight) \hfill \\ \Rightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} ight]} g\left( u ight) = g\left( 0 ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho a và b là các số thực thỏa mãn {3.2^a} + {2^b} = 7\sqrt 2 và {5.2^n} - {2^b} = 9\sqrt 2. Giá trị biểu thức S = a + b là:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^a} = 2\sqrt 2 } \\ {{2^b} = \sqrt 2 } \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{3}{2}} \\ {b = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight. \Rightarrow S = 2

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Cho bất phương trình: \frac{1}{{{5^{x + 1}} - 1}} \geqslant \frac{1}{{5 - {5^x}}}. Tìm tập nghiệm của bất phương trình.

     Ta có: \frac{1}{{{5^{x + 1}} - 1}} \geqslant \frac{1}{{5 - {5^x}}} \Leftrightarrow \frac{{6\left( {1 - {5^x}} ight)}}{{\left( {{{5.5}^x} - 1} ight)\left( {5 - {5^x}} ight)}} \geqslant 0\,\,(1)

    Đặt t =5^x, BPT (1) \Leftrightarrow \frac{{6\left( {1 - t} ight)}}{{\left( {5t - 1} ight)\left( {5 - t} ight)}} \geqslant 0.

    Đặt f(t) = \frac{{6\left( {1 - t} ight)}}{{\left( {5t - 1} ight)\left( {5 - t} ight)}}.

    Lập bảng xét dấu f(t) = \frac{{6\left( {1 - t} ight)}}{{\left( {5t - 1} ight)\left( {5 - t} ight)}}, ta được nghiệm:

    \left[ \begin{gathered} 5 < t \hfill \\ \frac{1}{5} < t \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 5 < {5^x} \hfill \\ \frac{1}{5} < {5^x} \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 1 < x \hfill \\ - 1 < x \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight..

    Vậy tập nghiệm của BPT là S = \left( { - 1;0} ight] \cup \left( {1; + \infty } ight).

  • Câu 17: Nhận biết

    Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

     Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 25. Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B. Biết tiếp diện của (S) tại A, B vuông góc. Tính độ dài AB.

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; −1), bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.

    Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.

    Suy ra AB = IA.\sqrt{2} = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}.

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ sau:

    Xét hàm g(x) = f\left( x^{2} - 2 ight). Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Ta có: g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} - 2 ight)

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x.f'\left( x^{2} - 2 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x = 0 \\ f'\left( x^{2} - 2 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 2 = - 1 \\ x^{2} - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.

    Dựa vào đồ thị ta thấy f'\left( x^{2} - 2 ight) > 0

    \Leftrightarrow x^{2} - 2 > 2 \Leftrightarrow x^{2} > 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 2 \\ x > 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số g(x) nghịch biến trên ( - 1;0) là sai.

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên các khoảng ( - \infty;0) và (0; + \infty) có bảng biến thiên như hình vẽ:

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Vì \lim_{x ightarrow - \infty}y = 2 nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    Vì {\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.} nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

  • Câu 21: Nhận biết

    Nghiệm của bất phương trình (0,2)^{x^{2}} > 1 là

    Ta có (0,2)^{x^{2}} > 1 \Leftrightarrow x^{2} < log_{0,2}1 \Leftrightarrow x^{2} < 0 (vô nghiệm).

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \varnothing.

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm S và trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Tính thể tích nhỏ nhất {V_{\min }} của khối tứ diện SAMN.

    Gọi E là trung điểm của BC.

    Qua B, C lần lượt kẻ đường thẳng song song với MN và cắt đường thẳng AE tại P, Q.

    Theo định lí Talet, ta có:

    \left\{ \begin{gathered} \frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{AP}}{{AG}} \hfill \\ \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{{AQ}}{{AG}} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{{AP}}{{AG}} + \frac{{AQ}}{{AG}} = \frac{{AP + AQ}}{{AG}}

    Mặt khác \Delta BPE = \Delta CQE\xrightarrow{{}}PE = QE\,

    \Rightarrow \,\,AP + AQ = \left( {AE - PE} ight) + \left( {AE + QE} ight) = 2AE

    Do đó \frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{{2AE}}{{AG}} = 2.\frac{3}{2} = 3 \Rightarrow \frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} = 3.

    Đặt \left\{ \begin{gathered} AM = x \hfill \\ AN = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3

    Vì SABC là tứ diện đều \Rightarrow \,\,SG \bot \left( {ABC} ight)  và SG = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}

    Do đó   {V_{SAMN}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta AMN}}.SG

    = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{2}AM.AN\sin {{60}^0}} ight).SG

    = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}AM.AN = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}xy

    Ta có 3 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geqslant \frac{2}{{\sqrt {xy} }}

    \Leftrightarrow \sqrt {xy} \geqslant \frac{2}{3} \Leftrightarrow xy \geqslant \frac{4}{9}

    \Rightarrow {V_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?

     Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

  • Câu 24: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?

    Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có: 

    - Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

    - Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

  • Câu 25: Nhận biết

    Phương trình \log _2^2(x + 1) - 6{\log _2}\sqrt {x + 1} + 2 = 0 có số nghiệm là:

    2 || hai || 2 nghiệm || Hai nghiệm

    Đáp án là:

    Phương trình \log _2^2(x + 1) - 6{\log _2}\sqrt {x + 1} + 2 = 0 có số nghiệm là:

    2 || hai || 2 nghiệm || Hai nghiệm

     PT\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 1 > 0 \hfill \\ {\log ^2}_2(x + 1) - 3{\log _2}(x + 1) + 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > - 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} {\log _2}(x + 1) = 1 \hfill \\ {\log _2}(x + 1) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > - 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy PT có 2 nghiệm.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hàm số y = {x^4} - 2{x^2} + 1 có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác ABC. Diện tích tam giác ABC bằng:

    Ta có: y' = 4{x^3} - 4x

    Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A\left( {0;1} ight),B\left( { - 1;0} ight),C\left( {1;0} ight)

    \begin{matrix} \overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1} ight),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0} \\ {AB = AC = \sqrt 2 } \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Tam giác ABC vuông cân tại A => S = \frac{1}{2}AB.AC = 1

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho biểu thức P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.{{\left( {{a^2}{b^2}} ight)}^{\frac{2}{3}}}} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} với a và b là các số thực dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

     Thực hiện thu gọn biểu thức như sau:

    \begin{matrix} P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.{{\left( {{a^2}{b^2}} ight)}^{\frac{2}{3}}}} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.\left( {{a^{\frac{4}{3}}}{b^{\frac{4}{3}}}} ight)} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{5}{6}}}.b} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{a^{\frac{{ - 5}}{{12}}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{{ - 1}}{{12}}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{ - 3}} = \dfrac{1}{{{b^3}\sqrt a }} = \dfrac{{\sqrt a }}{{a{b^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Vận dụng

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _x}3 - {\log _{\frac{x}{3}}}3 < 0  là:

    x=4 || X=4|| x bằng 4

    Đáp án là:

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _x}3 - {\log _{\frac{x}{3}}}3 < 0  là:

    x=4 || X=4|| x bằng 4

    Theo bài toán, ta xét điều kiện của BPT là: x > 0;x e 1;x e 3.

    Ta có: {\log _x}3 - {\log _{\frac{x}{3}}}3 < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{{{\log }_3}x.\left( {{{\log }_3}x - 1} ight)}} < 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log _3}x < 0 \hfill \\ {\log _3}x > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 0 < x < 1 \hfill \\ x > 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho hình chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Mặt phẳng (P) song song với mặt đáy (ABC) và cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại M, N, P. Tính diện tích tam giác MNP biết mặt phẳng (P) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau. 

     

    Mặt phẳng \left( P ight)\parallel \left( {ABC} ight) và cắt các cạnh SA,\,\,SB,\,\,SC lần lượt tại M,\,\,N,\,\,P.

    Theo Talet, ta có \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = x.

    Do đó \frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}} = {x^3}.

    Theo giả thiết \frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{1}{2} \to {x^3} = \frac{1}{2} \to x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}.

    Suy ra tam giác MNP là tam giác đều cạnh \frac{a}{{\sqrt[3]{2}}}. 

    Vậy diện tích {S_{\Delta MNP}} = {\left( {\frac{a}{{\sqrt[3]{2}}}} ight)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{4\sqrt[3]{4}}}.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho số thực a dương. Rút gọn biểu thức P = \sqrt[5]{{a.\sqrt[4]{{a.\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}}}

    Ta có:

    P = \sqrt[5]{{a.\sqrt[4]{{a.\sqrt[3]{{{a^{\frac{3}{2}}}}}}}}} = {\left( {a\sqrt[4]{{a.{a^{\frac{1}{2}}}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {a\sqrt[4]{{{a^{\frac{3}{2}}}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {a.{a^{\frac{3}{8}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{a^{\frac{{11}}{8}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {a^{\frac{{11}}{{40}}}}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định?

    Ta có: 0 < \frac{{\sqrt 2 }}{2} < 1 \Rightarrow y = {\log _{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}x nghịch biến trên tập xác định.

  • Câu 32: Nhận biết

    Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.  Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

     Diện tích toàn phần

    Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

    Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

    Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên AB = SB\sqrt 2 = a\sqrt 2, SO = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

    Suy ra h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},  l = SA = a  và SB\sqrt 2 = 2R \Rightarrow R = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}.

     

    Diện tích toàn phần của hình nón: {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}(đvdt).

    Thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}} (đvtt). 

  • Câu 33: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số f\left( x ight) = {\left( {x - 2} ight)^{ - 1}} là:

    Điều kiện xác định của hàm số là:

    x - 2 e 0 \Rightarrow x e 2

    => Tập xác định của hàm số là: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA=BC=1. Cạnh A'B tạo với mặt đáy (ABC) góc 60^0. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

     

    Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên AA' \bot \left( {ABC} ight), suy ra hình chiếu vuông góc của A'B trên mặt đáy (ABC) là AB.

    Do đó {60^0} = \widehat {A'B,\left( {ABC} ight)} = \widehat {A'B,AB} = \widehat {A'BA}.

    Tam giác vuông A'AB, ta có AA' = AB.\tan \widehat {A'BA} = \sqrt 3

    Diện tích tam giác là {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}

    Vậy V = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Xác định giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{x + 5}{x + m} đồng biến trên khoảng ( - \infty; - 8)?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - m ight\}

    Hàm số y = \frac{x + 5}{x + m} đồng biến trên khoảng ( - \infty; - 8)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y' > 0;\forall x \in ( - \infty; - 8) \\ x eq - m \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{m - 5}{(x + m)^{2}} > 0;\forall x \in ( - \infty; - 8) \\- m otin ( - \infty; - 8) \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 5 \\ - m \geq - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 5 \\ m \leq 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 5 < m \leq 8

    Vậy đáp án cần tìm là (5;8brack.

  • Câu 36: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 2;3) và B( - 1;0;1) và mặt phẳng (P):x + y + z + 4 = 0. Phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng \frac{AB}{6} có tâm thuộc đường thẳng AB và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2;2; - 2) suy ra AB:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = - 2 + 2t \\ z = 3 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Ta có: R = \frac{AB}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}

    Tâm I thuộc AB nên I(1 - 2t; - 2 + 2t;3 - 2t)

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu nên

    d\left( I;(P) ight) = R

    \Leftrightarrow \frac{\left| (1 - 2t) + ( - 2 + 2t) + (2 - 2t) + 4 ight|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

    \Leftrightarrow |6 - 2t| = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 6 - 2t = 1 \\ 6 - 2t = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}t = \dfrac{5}{2} \Rightarrow I( - 4;3; - 2) \\t = \dfrac{7}{2} \Rightarrow I( - 6;5; - 4) \\\end{matrix} ight.

    Ta có phương trình đường tròn (C) tâm I(−4; 3; −2), bán kính R = \frac{\sqrt{3}}{3}là:

    (x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = \frac{1}{3}

    Ta có phương trình đường tròn (C) tâm I(−6; 5; −4), bán kính R = \frac{\sqrt{3}}{3}là:

    (x + 6)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 4)^{2} = \frac{1}{3}

    Vậy đáp án cần tìm là: \left\lbrack\begin{matrix}(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = \dfrac{1}{3} \\(x + 6)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 4)^{2} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho phương trình log_{\frac{1}{2}}(2x - m) + log_{2}(3 - x) = 0, m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?

    Đáp án: 5

    Đáp án là:

    Cho phương trình log_{\frac{1}{2}}(2x - m) + log_{2}(3 - x) = 0, m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?

    Đáp án: 5

    ĐKXĐ: \left\{ \begin{matrix} 2x - m > 0 \\ 3 - x > 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - m > 0 \\ x < 3 \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ .

    Ta có:

    log_{\frac{1}{2}}(2x - m) + log_{2}(3 -x) = 0

    \Leftrightarrow - log_{2}(2x - m) + log_{2}(3 - x) = 0

    \Leftrightarrow log_{2}(2x - m) = log_{2}(3 - x)

    \Leftrightarrow 2x - m = 3 - x \Leftrightarrow 3x = m + 3

    Để phương trình có nghiệm thì m + 3 < 9 \Leftrightarrow m < 6.

    Kết hợp điều kiện m là số nguyên dương ta có m ∈ {1;2;3;4;5}.

    Vậy có 5 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 38: Vận dụng

    Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại \left\{ {4;3} ight\} là:

    Khối đa diện đều loại \left\{ {4;3} ight\} là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng:  6.2\pi = 12\pi

  • Câu 39: Thông hiểu

    Gọi x_1, x_2là nghiệm của phương trình {\log _x}2 - {\log _{16}}x = 0. Khi đó tích x_1.x_2 bằng:

    1 || x1.x2=1

    Đáp án là:

    Gọi x_1, x_2là nghiệm của phương trình {\log _x}2 - {\log _{16}}x = 0. Khi đó tích x_1.x_2 bằng:

    1 || x1.x2=1

    Điều kiện: 0 < x e 1

    PT \Leftrightarrow {\log _x}2 - {\log _{16}}x = 0 \Leftrightarrow {\log _x}2 - {\log _{{2^4}}}x = 0 \Leftrightarrow {\log _x}2 - \frac{1}{4}{\log _2}x = 0

    \Leftrightarrow {\log _x}2 - \frac{1}{{4{{\log }_x}2}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{4{{({{\log }_x}2)}^2} - 1}}{{4{{\log }_x}2}} = 0 \Leftrightarrow 4{({\log _x}2)^2} - 1 = 0

    \Leftrightarrow {({\log _x}2)^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log _x}2 = \frac{1}{2} \hfill \\ {\log _x}2 = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2 = {x^{\frac{1}{2}}} \hfill \\ 2 = {x^{ - \frac{1}{2}}} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x_1} = 4 \hfill \\ {x_2} = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy {x_1}.{x_2} = 4.\frac{1}{4} = 1.

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

    Xét hàm số g\left( x ight) = f\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 3. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có:

    g'\left( x ight) = \frac{1}{2}f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \left( {{x^2} - 3x + 2} ight)

    f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{ - 5}}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = - 1} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = \frac{1}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 4} \\ {x = - 1} \\ {x = 2} \\ {x = 7} \end{array}} ight.

    f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} < - \dfrac{5}{2}} \\ {\dfrac{1}{2} < \dfrac{{x - 1}}{2} < 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 4} \\ {2 < x < 7} \end{array}} ight.

    Ta có bảng xét dấu cho các biểu thức

    Tìm khẳng định sai

    Từ bảng xét dấu ta thấy

    x \in \left( {0;1} ight) \subset \left( {0;2} ight) \Rightarrow g'\left( x ight) < 0

    Khi đó hàm số nghịch biến

    => Đáp án B sai

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tìm số nghiệm của phương trình 2f\left(\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}} ight) + 3 = 0 trên đoạn \left\lbrack - \frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}ightbrack?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tìm số nghiệm của phương trình 2f\left(\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}} ight) + 3 = 0 trên đoạn \left\lbrack - \frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}ightbrack?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 42: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Đồ thị hàm số y = f(x) có mấy điểm cực trị?

    Từ đồ thị suy ra đồ thị có điểm một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.

  • Câu 43: Vận dụng

    Anh T đã làm hợp đồng xin vay vốn ngân hàng để kinh doanh với số tiền 200 triệu đồng với lãi suất a% trên một năm. Điều kiện hợp đồng là số tiền lại tháng trước sẽ được tính làm vốn để sinh lãi cho tháng sau. Sau hai năm kinh doanh, anh T dã thanh toán hợp đồng ngân hàng với số tiền làm tròn là 245512000 đồng. Chọn khẳng định đúng?

    Lãi suất mỗi tháng là \frac{a}{{12}}\%. Theo công thức lãi kép ta có:

    \begin{matrix} 200.{\left( {1 + \dfrac{a}{{12}}\% } ight)^{24}} = 245,512 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{a}{{12}}\% = \sqrt[{24}]{{\dfrac{{245,512}}{{200}}}} - 1 \hfill \\ \Rightarrow a \approx 10 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 44: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{2x - 1}{x + 3}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 3 ight\}

    Ta có: y' = \frac{7}{(x + 3)^{2}} > 0;\forall x \in D

    Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( - \infty;3) và (3; + \infty).

  • Câu 45: Thông hiểu

    Cho một số thực \alpha tùy ý. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

     Theo tính chất đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số y = {x^\alpha } có đạo hàm với mọi x > 0 và \left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}

  • Câu 46: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu

    Phương trình mặt cầu tâm I bán kính R có dạng: (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

    Vậy đáp án cần tìm là: (x - 13)^{2} + (y - 24)^{2} + (z - 36)^{2} = 7^{2} .

  • Câu 47: Thông hiểu

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _{0,2}}x - {\log _5}\left( {x - 2} ight) < {\log _{0,2}}3 là:

    x=4 || 4 || X=4 || bốn || Bốn

    Đáp án là:

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _{0,2}}x - {\log _5}\left( {x - 2} ight) < {\log _{0,2}}3 là:

    x=4 || 4 || X=4 || bốn || Bốn

     Điều kiện: x > 2

    {\log _{0,2}}x - {\log _5}\left( {x - 2} ight) < {\log _{0,2}}3 \Leftrightarrow {\log _{0,2}}\left[ {x\left( {x - 2} ight)} ight] < {\log _{0,2}}3

    \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x < - 1 \hfill \\ x > 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    So điều kiện suy ra x > 3

  • Câu 48: Thông hiểu

    Đặt {\log _5}2 = a. Khi đó {\log _{25}}800 biểu diễn là:

    Ta có:

    {\log _{25}}800 = \frac{{{{\log }_5}800}}{{{{\log }_5}25}} = \frac{{{{\log }_5}{2^5}{{.5}^2}}}{{{{\log }_5}{5^2}}} = \frac{{5{{\log }_5}2 + 2}}{2} = \frac{{5a + 2}}{2}

  • Câu 49: Vận dụng

    Cho hàm số y = \frac{{ax + b}}{{x + 1}}. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A\left( {0; - 1} ight) và có đường tiệm cận ngang là y = 1. Giá trị a + b bằng:

    Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a - b e 0

    => Đồ thị hàm số đi qua điểm A\left( {0; - 1} ight) nên b = - 1

    Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = a \Rightarrow a = 1 (thỏa mãn)

    Vậy a + b = 0

  • Câu 50: Vận dụng

    Cho phương trình {\left( {7 + 4\sqrt 3 } ight)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?

     Ta có: {\left( {7 + 4\sqrt 3 } ight)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 6

    \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}^2}} ight]^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} - 6 = 0

    \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}^x}} ight]^2} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} - 6 = 0{\text{ }}\left( {*} ight)

    Đặt t = {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} > 0.

    Khi đó \left( {*} ight) \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = 2{\text{ }}\left( TM ight) \hfill \\ t = - 3{\text{ }}\left( L ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với t = 2 \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 2 \Leftrightarrow \boxed{x = {{\log }_{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}}2}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 48 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập