Lớp 12 Toán 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 12.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số y = {x^\pi }. Tính y''\left( 1 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \pi .{x^{\pi - 1}} \Rightarrow y'' = \pi \left( {\pi - 1} ight).{x^{\pi - 2}} \hfill \\ y''\left( 1 ight) = \pi \left( {\pi - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hàm số f\left( x ight) có đạo hàm y = f'\left( x ight) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên như sau:

    Bất phương trình chưa tham số m nghiệm đúng khi

    Bất phương trình f\left( x ight) > - {x^3} + {x^2} - x + m (m là tham số thực) nghiệm đúng với \forall x \in \left( { - 1;1} ight) khi và chỉ khi

    Ta có: f\left( x ight) > - {x^3} + {x^2} - x + m \Rightarrow m < f\left( x ight) + {x^3} - {x^2} + x\left( * ight)

    Xét hàm số g\left( x ight) = f\left( x ight) + {x^3} - {x^2} + x với \forall x \in \left( { - 1;1} ight)

    Ta có: g'\left( x ight) = f'\left( x ight) + 3{x^2} - 2x + 1 > 0;\forall x \in \left( { - 1;1} ight)

    => Hàm số g(x) luôn đồng biến trên \left( { - 1;1} ight)

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Bất phương trình chưa tham số m nghiệm đúng khi

    => (*) nghiệm đúng \forall x \in \left( { - 1;1} ight) khi m \leqslant g\left( { - 1} ight) = f\left( { - 1} ight) - 3

  • Câu 3: Thông hiểu

    Với a là một số thực dương thì biểu thức P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} ight)}^{\sqrt 2 + 2}}}} được rút gọn là:

    Ta có: P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} ight)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}

  • Câu 4: Nhận biết

    Phương trình \log _2^2(x + 1) - 6{\log _2}\sqrt {x + 1} + 2 = 0 có số nghiệm là:

    2 || hai || 2 nghiệm || Hai nghiệm

    Đáp án là:

    Phương trình \log _2^2(x + 1) - 6{\log _2}\sqrt {x + 1} + 2 = 0 có số nghiệm là:

    2 || hai || 2 nghiệm || Hai nghiệm

     PT\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 1 > 0 \hfill \\ {\log ^2}_2(x + 1) - 3{\log _2}(x + 1) + 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > - 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} {\log _2}(x + 1) = 1 \hfill \\ {\log _2}(x + 1) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > - 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy PT có 2 nghiệm.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho biểu thức P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}} với x > 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

     Ta có: 

    \begin{matrix} P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}} \hfill \\ P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^{\frac{7}{2}}}}}} \hfill \\ P = \sqrt {x.{x^{\frac{7}{6}}}} \hfill \\ P = \sqrt {{x^{\frac{{13}}{6}}}} = {x^{\frac{{13}}{{12}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; điểm I nằm trên SC sao cho IS = 2IC.  Mặt phẳng (P) chứa cạnh AI cắt cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi V',V lần lượt là thể tích khối chóp S.AMIN và S.ABCD. Tính giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích \frac{{V'}}{V}.

     

    Đặt \frac{{SB}}{{SM}} = x,\frac{{SD}}{{SN}} = y \Rightarrow x,y \geqslant 1.

    Ta có \Rightarrow x + y = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow x + y = \frac{5}{2}.

    Ta có \frac{{V'}}{V} = \frac{{x + y + 1 + \dfrac{3}{2}}}{{4x.y.1.\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{5}{{6xy}} \geqslant \dfrac{5}{{6{{\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} ight)}^2}}} = \dfrac{8}{{15}}.

    Dấu bằng xảy ra khi x = y = \frac{5}{4}.

    Vậy giá trị nhỏ nhất cử tỉ số thể tích cần tìm là \frac {8}{15}.

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{2020}(x - 2)^{2021}(x - 3)^{2022};\forall x\mathbb{\in R}. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu:

    Vậy hàm số đã cho có một điểm cực trị.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong các hình dưới đây, hình nào không phải đa diện lồi?

     Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi (H): Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

     

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

    “Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

    TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

    TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

    TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt S_0, S_1,... , S_n sao cho S_0 trùng với S, S_n trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

    Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

    Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại  đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho a và b là các số thực thỏa mãn {3.2^a} + {2^b} = 7\sqrt 2 và {5.2^n} - {2^b} = 9\sqrt 2. Giá trị biểu thức S = a + b là:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^a} = 2\sqrt 2 } \\ {{2^b} = \sqrt 2 } \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{3}{2}} \\ {b = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight. \Rightarrow S = 2

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tìm tập xác định của hàm số {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)

    Điều kiện xác định {x^2} - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 1} \\ {x > 2} \end{array}} ight.

    => Tập xác định của hàm số là D = \left( { - \infty ;1} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)

  • Câu 12: Thông hiểu

    Giá trị lớn nhất của hàm số y = \sqrt {3 - 2x - {x^2}}

    Điều kiện xác định 3 - 2x - {x^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow - 3 \leqslant x \leqslant 1

    Xét hàm số f\left( x ight) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}} trên \left[ { - 3;1} ight] ta có:

    f'\left( x ight) = \frac{{ - 2 - 2x}}{{2\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }} = - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }}

    Phương trình f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3 < x < 1} \\ {x + 1 = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow x = - 1

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 3} ight) = 0} \\ {f\left( { - 1} ight) = 2} \\ {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.

    \Rightarrow \mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ { - 3;1} ight]} = f\left( { - 1} ight) = 2

  • Câu 13: Vận dụng

    Tập nghiệm của bất phương trình {2^x} + {4.5^x} - 4 < {10^x} là:

     Ta có: {2^x} + {4.5^x} - 4 < {10^x} \Leftrightarrow {2^x} - {10^x} + {4.5^x} - 4 < 0

    \Leftrightarrow {2^x}\left( {1 - {5^x}} ight) - 4\left( {1 - {5^x}} ight) < 0 \Leftrightarrow \left( {1 - {5^x}} ight)\left( {{2^x} - 4} ight) < 0

    {\text{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 1 - {5^x} < 0 \hfill \\ {2^x} - 4 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 1 - {5^x} > 0 \hfill \\ {2^x} - 4 < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {5^x} > 1 \hfill \\ {2^x} > 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} {5^x} < 1 \hfill \\ {2^x} < 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x > 2 \hfill \\ x < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;0} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)

  • Câu 14: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = mx^{4} + (m - 3)x^{2} + 2021 có hai cực tiểu và một cực đại?

    Hàm số y = ax^{4} + bx^{2} + c;(a eq 0) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi a.b < 0.

    Để hàm số y = f(x) có hai cực tiểu và một cực đại thì đồ thị hàm số y = f(x) có dạng

    Ta có: \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty. Đồ thị nhánh ngoài của hàm số hướng lên nên hàm số có hệ số a > 0

    Khi đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có:

    \left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ ab < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m(m - 3) < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m < 3

    Vì m là số nguyên nên có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hàm số f(x), hàm số f'(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như sau:

    Bất phương trình f(x) < x + m (với m là một số thực) nghiệm đúng với mọi x \in ( - 1;0) khi và chỉ khi:

    Ta có:

    f(x) < x + m \Leftrightarrow f(x) - x< m

    Xét hàm số g(x) = f(x) - x ta có:

    g'(x) = f'(x) - 1. Với \forall x \in ( - 1;0) thì - 1 < f'(x) < 1

    Từ đó g'(x) = f'(x) - 1 <0 nên hàm số nghịch biến trên ( -1;0)

    Suy ra g(x) = f(x) - x < f( - 1) +1. Yêu cầu bài toán tương đương với m \geq f( - 1) + 1.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Dựa vào thông tin dưới đây và trả lời các câu hỏi

    Số lượng của một loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được biểu diễn theo công thức S(t) = A.e^{rt} , trong đó A là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc 6 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con.

    Thời điểm số lượng vi khuẩn X gấp 9 lần số lượng vi khuẩn ban đầu là:

    Gọi t_{1} là thời điểm số lượng vi khuẩn gấp 9 lần ban đầu.

    Khi đó: S\left( t_{1} ight) = 1350 con.

    Ta có phương trình:

    150.e^{\frac{ln3}{3}.t_{1}} = 1350 \Leftrightarrow e^{\frac{ln3}{3}.t_{1}} = 9 \Leftrightarrow \frac{ln3}{3}t_{1} = ln9 \Leftrightarrow t_{1} = 6.

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên của đạo hàm như sau:

    Số cực trị của hàm số

    Hàm số g\left( x ight) = f\left( {\left| {\frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} ight) - 2}}{2}} ight|} ight) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Xét hàm số t\left( x ight) = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} ight) - 2}}{2}, ta có bảng giá trị |t(x)|

    Số cực trị của hàm số

    Ta có: g\left( x ight) = f\left( {\left| {\frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} ight) - 2}}{2}} ight|} ight) = f\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight)

    Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = \pm \sqrt {{e^2} - 1}

    Tại mọi điểm x = \pm \sqrt {{e^2} - 1} ta có:

    g'\left( x ight) = f'\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight).\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight)'

    = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{f'\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight).x}}{{{x^2} + 1}}{\text{ khi x}} \in \left( { - \infty ; - \sqrt {{e^2} - 1} } ight) \cup \left( {\sqrt {{e^2} - 1} ; + \infty } ight)} \\ { - \dfrac{{f'\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight).x}}{{{x^2} + 1}}{\text{ khi x}} \in \left( { - \sqrt {{e^2} - 1} ;\sqrt {{e^2} - 1} } ight)} \end{array}} ight.\left( * ight)

    => g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {\left| {t\left( x ight)} ight| = {t_1};\left( {{t_1} < 1} ight){\text{ }}\left( 1 ight)} \\ {\left| {t\left( x ight)} ight| = {t_2};\left( { - 1 < {t_2} < 0} ight){\text{ }}\left( 2 ight)} \\ {\left| {t\left( x ight)} ight| = {t_3};\left( {0 < {t_3} < 1} ight){\text{ }}\left( 3 ight)} \\ {\left| {t\left( x ight)} ight| = {t_4};\left( {{t_4} > 1} ight){\text{ }}\left( 4 ight)} \end{array}} ight.

    Dựa vào bảng giá trị hàm |t| suy ra:

    + Phương trình (1), (2) vô nghiệm

    + Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt khác 0

    + Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình (3)

    => g’(x) = 0 có 7 nghiệm và qua các nghiệm này g’(x) đều đổi dấu

    Từ (*) ta thấy g’(x) cũng đổi dấu khi x đi qua 2 điểm x = \pm \sqrt {{e^2} - 1}

    Vậy hàm số g(x) có 9 điểm cực trị.

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình {2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{{\text{co}}{{\text{s}}^2}x}} \geqslant m{.3^{{{\sin }^2}x}} có nghiệm?

     Chia hai vế của bất phương trình cho {3^{{{\sin }^2}x}} > 0, ta được:

    {\left( {\frac{2}{3}} ight)^{{{\sin }^2}x}} + 3.{\left( {\frac{1}{9}} ight)^{{{\sin }^2}x}} \geqslant m

    Xét hàm số y = {\left( {\frac{2}{3}} ight)^{{{\sin }^2}x}} + 3.{\left( {\frac{1}{9}} ight)^{{{\sin }^2}x}} là hàm số nghịch biến.

    Ta có: 0 \leqslant {\sin ^2}x \leqslant 1 nên 1 \leqslant y \leqslant 4.

    Vậy bất phương trình có nghiệm khi m \leqslant 4.

  • Câu 19: Vận dụng

    Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại \left\{ {4;3} ight\} là:

    Khối đa diện đều loại \left\{ {4;3} ight\} là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng:  6.2\pi = 12\pi

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình x^{6} + 2020x^{2} = (5x - 6)^{3} - 2020(6 - 5x) là:

    Xét hàm số f(t) = t^{3} + 2020t \Rightarrow f'(t) = 3t^{2} + 2020 > 0;\forall t\mathbb{\in R}

    Nên hàm số y = f(t) đồng biến trên \mathbb{R}

    Phương trình x^{6} + 2020x^{2} = (5x - 6)^{3} - 2020(6 - 5x) có dạng

    f\left( x^{2} ight) = f(5x - 6) \Leftrightarrow x^{2} = 5x - 6 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng tất cả các nghiệm bằng 5.

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} là f'(x) = (x - 1)(x + 3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack -10;2021brack để hàm số y =f\left( x^{2} + 3x - m ight) đồng biến trên khoảng (0;2)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} là f'(x) = (x - 1)(x + 3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack -10;2021brack để hàm số y =f\left( x^{2} + 3x - m ight) đồng biến trên khoảng (0;2)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 22: Vận dụng

    Cho a,b,c > 0 và khác 1. Các hàm số y = {\log _a}x;y = {\log _b}x;y = {\log _c}x có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Khẳng định nào dưới đây đúng

     Kẻ đường thẳng y=1 cắt đồ thị các hàm số y = {\log _a}x;y = {\log _b}x;y = {\log _c}x lần lượt tại các điểm có hoành độ a,b,c

    Khẳng định nào dưới đây đúng

    Từ đồ thị ta có: a > c > b

  • Câu 23: Nhận biết

    Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ cho sau đây?

    Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số a < 0 và có ba điểm cực trị nên ab < 0 nên chọn y = - x^{4} + 2x^{2} + 1.

  • Câu 24: Vận dụng

    Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4\left( {{m^2} + {n^2}} ight) - m - n, biết y = {\left( {x + m} ight)^3} + {\left( {x + n} ight)^3} - {x^3} với m,n là tham số và hàm số đồng biến trên \left( { - \infty ; + \infty } ight).

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = 3{\left( {x + m} ight)^2} + 3{\left( {x + n} ight)^2} - 3{x^2} \hfill \\ = 3\left[ {{x^2} + 2\left( {m + n} ight)x + {m^2} + {n^2}} ight] \hfill \\ \end{matrix}

    Hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R}

    \begin{matrix} y' \geqslant 0;\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + n} ight)^2} - {m^2} - {n^2} \leqslant 0 \hfill \\ \Rightarrow mn \leqslant 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có:

    \begin{matrix} P = 4\left( {{m^2} + {n^2}} ight) - \left( {m + n} ight) \hfill \\ = 4{\left( {m + n} ight)^2} - 8mn - \left( {m + n} ight) \hfill \\ \geqslant 4{\left( {m + n} ight)^2} - \left( {m + n} ight) \hfill \\ = 4{\left( {m + n} ight)^2} - 2.2\left( {m + n} ight).\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ = {\left[ {2\left( {m + n} ight) - \dfrac{1}{4}} ight]^2} - \dfrac{1}{{16}} \geqslant - \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \Rightarrow {P_{\min }} = - \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 25: Nhận biết

    Tìm tập xác định D của hàm số y = {\left( {{x^2} + x - 2} ight)^{ - 3}}

    Điều kiện xác định {x^2} + x - 2 e 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x e - 2} \\ {x e 1} \end{array}} ight.

    Vậy tập xác định của hàm số là  D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;1} ight\}

  • Câu 26: Nhận biết

    Hàm số y = {\log _{2019}}\left| x ight|;\forall x e 0 có đạo hàm là:

    Áp dụng công thức đạo hàm ta có: y' = \frac{1}{{x\ln 2019}}

  • Câu 27: Vận dụng

    Tìm tập hợp các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = \frac{{x - 1}}{{mx - 1}} có tiệm cận đứng là:

     Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m e 0} \\ { - 1 + m e 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m e 0} \\ {m e 1} \end{array}} ight.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hàm số y = - x^{3} + 3x^{2} + 5 có hai điểm cực trị M;N. Tính độ dài đoạn thẳng AB?

    Ta có: y' = - 3x^{2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 5 \\ x = 2 \Rightarrow y = 9 \\ \end{matrix} ight.

    Nhận thấy phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là M(0;5),N(2;9)

    \Rightarrow MN = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}

  • Câu 29: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; −2; 6), B(0; 1; 0) và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25. Mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 (với a, b, c là các số nguyên dương và a, b, c, d nguyên tố cùng nhau) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính tổng T = a + b + c.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 3;3; - 6) cùng phương với \overrightarrow{u} = (1; - 1;2) suy ra phương trình đường thẳng AB:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Xét mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25⇒ I(1; 2; 3), R = 5.

    Gọi H(t; 1 − t; 2t) là điểm trên AB sao cho AB ⊥ IH

    \Rightarrow \overrightarrow{IH} = (t - 1; - t - 1;2t)

    Vì AB ⊥ IH ⇒ t − 1 + t + 1 + 4t − 6 = 0 ⇒ t = 1⇒ H(1; 0; 2), \overrightarrow{IH} = (0; - 2; - 1)

    Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến giữa (P) và (S), K là hình chiếu vuông góc của I lên (P) ⇒ IK ≤ IH.

    Ta có r = \sqrt{R^{2} - IK^{2}} \geq \sqrt{R^{2} - IH^{2}}

    Dấu bằng chỉ xảy ra khi K ≡ H.

    Khi đó phương trình mặt phẳng (P) nhận \overrightarrow{IH} = (0; - 2; - 1) là vectơ pháp tuyến và đi qua điểm H(1; 0; 2) là 2y + z − 2 = 0 ⇒ T = 3

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 4. Một mặt cầu (S') có tâm I'(9;1;6) và tiếp xúc ngoài với mặt cầu (S). Kết luận nào sau đây đúng về phương trình mặt cầu (S')?

    Ta có tâm và bán kính mặt cầu (S) lần lượt là I(1;1;0);R = 2.

    Suy ra II' = 10

    Gọi R' là bán kính mặt cầu (S'). Theo giả thiết ta có:

    R + R' = II' \Leftrightarrow R' = II' - R = 8

    Khi đó phương trình mặt cầu cần tìm là: (S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 64.

  • Câu 32: Nhận biết

    Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt P = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} P = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6} \hfill \\ P = 3{\log _a}b + \dfrac{6}{2}{\log _a}b \hfill \\ P = 3{\log _a}b + 3{\log _a} \hfill \\ P = 6{\log _a}b \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 33: Vận dụng

    Gọi x_1, x_2 là 2 nghiệm của phương trình {\log _3}\left( {{x^2} - x - 5} ight) = {\log _3}\left( {2x + 5} ight).

    Khi đó \left| {{x_1} - {x_2}} ight| bằng:

     Ta có: {\log _3}\left( {{x^2} - x - 5} ight) = {\log _3}\left( {2x + 5} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2{\text{x}} + 5 > 0 \hfill \\ {x^2} - x - 5 = 2x + 5 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > - \frac{5}{2} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 5 \hfill \\ x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 5 \hfill \\ x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Suy ra \left| {{x_1} - {x_2}} ight| =|5-(-2)|=|5+2|=7. 

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{2}(x - 1)^{3}(2 - x). Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

    Ta có bảng xét dấu:

    Từ bảng xét dấu trên ta có hàm số y = f(x) đồng biến trên (1;2).

  • Câu 35: Nhận biết

    Hình nón có đường sinh l=2a và hợp với đáy góc \alpha = {60^0}. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết, ta có

    SA = \ell = 2a và \widehat {SAO} = {60^0}.

    Suy ra:

    R = OA = SA.\cos {60^0} = a.

    Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 36: Vận dụng

    Tìm tập xác định của hàm số y = \sqrt {4 - {x^2}} + \sqrt[3]{{\frac{{x + 1}}{{x - 1}}}} + x + 1

    Hàm số xác định khi và chỉ khi \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - {x^2} \geqslant 0} \\ {x e 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 \leqslant x \leqslant 2} \\ {x e 1} \end{array}} ight.

    Vậy tập xác định của hàm số là D = \left[ { - 2;2} ight]\backslash \left\{ 1 ight\}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Tập nghiệm của bất phương trình {\log _2}({x^2} - 3x + 1) \leqslant 0 là?

     BPT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 3x + 1 > 0 \hfill \\ {\log _2}({x^2} - 3x + 1) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 3x + 1 > 0 \hfill \\ {x^2} - 3x + 1 \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 3x + 1 > 0 \hfill \\ {x^2} - 3x + 1 \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \vee x > \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \hfill \\ 0 \leqslant x \leqslant 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow x \in \left[ {0;\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} ight) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} ight]

    Vậy bất PT có tập nghiệm là S = \left[ {0;\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} ight) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} ight].

  • Câu 38: Vận dụng

    Số giá trị nguyên của tham số m \in \left[ { - 20;20} ight] để hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {m + 3} ight)x + 2 đồng biến trên \mathbb{R} là:

    Ta có: y' = {x^2} + 4x + m + 3

    Hàm số đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi

    \begin{matrix} y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1 > 0} \\ {\left( {{\Delta _{y'}}} ight)' = 4 - \left( {m + 3} ight) < 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m \geqslant 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Kết hợp với điều kiện \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \in \left[ { - 20;20} ight]} \\ {m \in \mathbb{Z}} \end{array}} ight.

    => Có 20 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Viết biểu thức Q = \sqrt x .\sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{{{x^5}}} với x > 0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?

    Ta có:

    Q = \sqrt x .\sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{{{x^5}}} = {x^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{5}{6}}} = {x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{5}{6}}} = {x^{\frac{5}{3}}}

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA=BC=1. Cạnh A'B tạo với mặt đáy (ABC) góc 60^0. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

     

    Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên AA' \bot \left( {ABC} ight), suy ra hình chiếu vuông góc của A'B trên mặt đáy (ABC) là AB.

    Do đó {60^0} = \widehat {A'B,\left( {ABC} ight)} = \widehat {A'B,AB} = \widehat {A'BA}.

    Tam giác vuông A'AB, ta có AA' = AB.\tan \widehat {A'BA} = \sqrt 3

    Diện tích tam giác là {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}

    Vậy V = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.

  • Câu 41: Thông hiểu

    Dân số thế giới được tính theo công thức S = A. e \ ^{nr} trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Cho biết năm 2005 Việt Nam có khoảng 80902400 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47\% một năm. Như vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì tối thiểu đến năm bao nhiêu dân của Việt Nam có khoảng 93713000 người?

    Ta có:

    S = A \cdot e^{nr} \Leftrightarrow e^{nr} = \frac{S}{A} \Leftrightarrow nr = \ln\frac{S}{A} \Leftrightarrow n = \frac{1}{r}\ln\frac{S}{A}

    Với S = 93713700 người; A = 80902400 người; r = \frac{1,47}{100} = 0,0147/năm.

    Suy ra n = \frac{1}{0,0147}\ln\frac{93713000}{80902400} \approx 10.

    Vậy tối thiểu đến năm 2015 thì dân số của Việt Nam có khoảng 93713000 người.

  • Câu 42: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

     Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!

  • Câu 43: Thông hiểu

    Đặt a = {\log _7}11;b = {\log _2}7. Hãy biểu diễn {\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} theo a và b.

    Ta có: 

    {\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 3\left( {{{\log }_7}121 - {{\log }_7}8} ight) = 6{\log _7}11 - 9.\frac{1}{{{{\log }_2}7}} = 6a - \frac{9}{b}

  • Câu 44: Nhận biết

    Điều kiện xác định của bất phương trình {\log _2}(x - 5) -2 {\log _3}(x + 2) \leq3 là:

    x > 5 || X>5 || x>5 || x lớn hơn 5

    Đáp án là:

    Điều kiện xác định của bất phương trình {\log _2}(x - 5) -2 {\log _3}(x + 2) \leq3 là:

    x > 5 || X>5 || x>5 || x lớn hơn 5

     BPT xác định khi và chỉ khi: \left\{ \begin{gathered} x - 5 > 0 \hfill \\ x + 2 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 5 \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x > 5

  • Câu 45: Vận dụng

    Cho hình chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Mặt phẳng (P) song song với mặt đáy (ABC) và cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại M, N, P. Tính diện tích tam giác MNP biết mặt phẳng (P) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau. 

     

    Mặt phẳng \left( P ight)\parallel \left( {ABC} ight) và cắt các cạnh SA,\,\,SB,\,\,SC lần lượt tại M,\,\,N,\,\,P.

    Theo Talet, ta có \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = x.

    Do đó \frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}} = {x^3}.

    Theo giả thiết \frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{1}{2} \to {x^3} = \frac{1}{2} \to x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}.

    Suy ra tam giác MNP là tam giác đều cạnh \frac{a}{{\sqrt[3]{2}}}. 

    Vậy diện tích {S_{\Delta MNP}} = {\left( {\frac{a}{{\sqrt[3]{2}}}} ight)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{4\sqrt[3]{4}}}.

  • Câu 46: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1; - 4;0) có bán kính bằng 3. Phương trình của (S) là:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 4;0)và bán kính bằng 3có phương trình là:

    (x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z - 0)^{2} = 3^{2}

    \Rightarrow (x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 9

  • Câu 47: Nhận biết

    Cho các hình sau:Tìm hình không phải đa diện

    Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là:

    Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

    “Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

    TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

    TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

    TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt S_0,S_1,...\;,S_n sao cho S0 trùng với S, Sn trùng với S’ và bất kì hai mặt S_i,\;S_{i+1} nào (0\leq i\leq n-1) cũng đều có một cạnh chung.

    Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

  • Câu 48: Thông hiểu

    Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên bằng 3a^2

     

    Xét khối lăng trụ ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác đều và AA' \bot \left( {ABC} ight).

    Diện tích xung quanh lăng trụ là {S_{xq}} = 3.{S_{ABB'A'}}

    \Leftrightarrow 3{a^2} = 3.\left( {AA'.AB} ight) \Leftrightarrow 3{a^2} = 3.\left( {AA'.a} ight) \Rightarrow AA' = a

    Diện tích tam giác ABC là {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.

    Vậy thể tích khối lăng trụ là {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.

  • Câu 49: Nhận biết

    Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{2}{- x + 3}?

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{2}{- x + 3} = 0

    Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{2}{- x + 3} là đường thẳng có phương trình y = 0.

  • Câu 50: Nhận biết

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' cóAB =a, AD=a \sqrt 2, AB'=a \sqrt 5. Tính theo a thể tích khối hộp đã cho.

     

    Trong tam giác vuông ABB', có BB' = \sqrt {AB{'^2} - A{B^2}} = 2a.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD là {S_{ABCD}} = AB.AD = {a^2}\sqrt 2.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.BB' = 2{a^3}\sqrt 2

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 56 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập