Đề thi học kì 2 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi trong hai tấm thẻ có ít nhất 1 tấm thẻ mang số chẵn.

Nếu cả hai tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố A xảy ra.

Nếu chỉ có một tấm thử ghi số chẵn thì biến cố B xảy ra.

Vậy biến cố C là biến cố hợp của A và B.

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm của đáy

Lấy M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.

Kẻ

Có

Ta có:

Khi đó

Trong tam giác SON vuông tại O, có:

Ta có:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

Hình vẽ minh họa

Hạ ta có:

Trong tam giác có:

Ta có:

Ta có:

Mặt khác

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> d(SA, BC) = AB

Áp dụng công thức

Ta có:

Hàm số có đạo hàm tại điểm

Nên khẳng định đúng là

Ta có:

Suy ra hàm số không liên tục tại x = 1 nên không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 1

Sử dụng định nghĩa biến cố đối ta được:

là biến cố “Hai học sinh được chọn đều là nữ”.

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Vì AH vuông góc với (BCD) suy ra (1)

Mà H là trực tâm của tam giác BCD (2)

Từ (1), (2) suy ra:

Công thức tính thể tích là:

Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba).

Mệnh đề “Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước” là sai. Qua một đường thẳng vô số mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Mệnh đề “Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước” là sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Vậy mệnh đề đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.”

Ta có:

Cố định giáo viên tại một vị trí

Chọn 2 học sinh nam để xếp cạnh giáo viên => Có cách.

Xếp hai học sinh nam vừa chọn cạnh giáo viên => Có cách.

Cuối cùng xếp 9 học sinh còn lại vào các vị trí còn trống => Có cách.

Vậy số cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán là: .

Số cách chọn 3 người đảm nhiệm 3 chức vụ khác nhau từ 15 người là:

(cách)

Vậy có tất cả 2730 cách chọn.

Khẳng định sai là: “ khi và chỉ khi chắc chắn”.

Vì B là biến cố chắc chắn thì P(B) = 1.

Hình vẽ minh họa

Vì H là trung điểm của AB, tam giác ABC cân =>

Ta có: => mà =>

Mặt khác => CH vuông góc với các đường thẳng

Và chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.

Xét các trường hợp:

TH1: Học sinh lớp 12 ngồi đầu dãy:

Chọn vị trí cho học sinh lớp 12 có 2 cách

Chọn 1 vị trí cho học sinh lớp 11 ngồi cạnh học sinh lớp 12 có 2 cách

Hoán vị các học sinh còn lại cho nhau có 4! Cách.

Trường hợp này được: 2.2.4! = 96 cách.

TH2: Học sinh lớp 12 ngồi giữa hai học sinh lớp 11, ta gộp thành một nhóm, khi đó:

Hoán vị 4 phần tử gồm 3 học sinh lớp 10 và nhóm gồm học sinh lớp 11 và lớp 12 có 4! Cách.

Hoán vị hai học sinh lớp 11 cho nhau có 2! Cách

Trường hợp này được 4!.2! = 48 cách

Như vậy số cách sắp xếp là 48 + 96 = 144

Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra

Vì nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó

Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.

Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD

Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD

Ta có:

Ta lại có:

Tam giác MHC vuông tại M

Vậy

Ta có:

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình

Phương trình có 1 nghiệm nên có 1 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BB’ => MN // B’C

=> B’C // (AMN)

=> d(AM, B’C) = d(B’C, (AMN)) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN))

Kẻ BH ⊥ AM, BK ⊥ HN

=> BK ⊥ (AMN)

=> d(AM, B’C) = d(B, (AMN)) = BK

Ta có:

Ta có:

Do tam giác ABM vuông tại B

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần

=> Số phần tử không gian mẫu là:

Ta có: 

Biến cố A “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”

=> Biến cố "không xuất hiện mặt sấp”

=>

=>

Hình vẽ minh họa:

Gọi lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’

Theo đề bài ta có:

Dễ thấy nên tam giác vuông tại A

Gọi H là trung điểm của

Ta lại có

Suy ra

Vậy

Điều kiện

Ta có:

(vì nghiệm cần xét là nghiệm nguyên)

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

 Mệnh đề đúng: "Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương"

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có: Tam giác là tam giác đều suy ra

Lại có

.

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Dễ thấy

Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra

Theo giả thiết . Khi đó

Ta được

Gọi M là biến cố lần thứ tư mới bắn trúng mục tiêu

Khi đó là biến cố lần thứ bắn không trúng mục tiêu.

Khi đó ta có:

Gọi là điểm thuộc đồ thị hàm số  thì điểm đối xứng với qua là  thuộc đồ thị hàm số

=>

Xét hàm số có nên hàm số đồng biến trên ?

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).