Đề thi học kì 2 Toán 11 Cánh Diều Đề 4

Câu 1: Thông hiểu

Lẫy ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp có 13 viên bi gồm 6 bi xanh, 7 bi đỏ. Tính xác suất để 5 viên bi lấy được có số bi xanh nhiều hơn số bi đỏ?

A.
$\frac{254}{429}$
B.
$\frac{59}{143}$
C.
$\frac{84}{143}$
D.
$\frac{175}{429}$

Gọi A là biến cố lấy số bi xanh nhiều hơn bi đỏ

Khi đó ta có: $n(\Omega) = C_{13}^{5}$

TH1: lấy được 5 viên bi xanh $C_{6}^{5}$ cách

TH2: lấy được 4 viên bi xanh; 1 viên bi đỏ $C_{6}^{4}.C_{7}^{1}$ cách

TH3: lấy được 3 viên bi xanh; 2 viên bi đỏ $C_{6}^{3}.C_{7}^{2}$ cách

Do đó xác suất của biến cố A là:

$\Rightarrow P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{59}{143}$

Câu 2: Nhận biết

Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$SA\bot(ABC)$
B.
$SG\bot(ABC)$
C.
$AB\bot(ASC)$
D.
$SG\bot(ABS)$

Ta có khối chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, trọng tâm G cũng là tâm của đáy nên $SG\bot(ABC)$ .

Câu 3: Nhận biết

Đạo hàm của hàm số $f(x) = e^{2 - x}$ là:

A.
$f'(x) = e^{2 - x}$
B.
$f'(x) = - e^{2 - x}$
C.
$f'(x) = 2.e^{2 - x}$
D.
$f'(x) = (2 - x).e^{2 - x}$

Ta có: $f(x) = e^{2 - x}$

$\Rightarrow f'(x) = (2 - x)'.e^{2 - x} = - e^{2 - x}$

Câu 4: Vận dụng

Bà A gửi ngân hàng 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 10%/ 1 năm theo hình thức lại kép một thời gian dài (nghĩa là nếu bà không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo). Năm nay gia đình có việc cần nên bà rút hết tiền trong ngân hàng để xử lí công việc. Sau khi rút cả vốn và lãi, bà trích ra 10 triệu để mua đồ tân gia cho con trai thì bà còn 240 triệu. Hỏi bà A đã gửi tiết kiệm được bao nhiêu năm? 10 năm||12 năm||20 năm||15 năm

Đáp án là:

Bà A gửi ngân hàng 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 10%/ 1 năm theo hình thức lại kép một thời gian dài (nghĩa là nếu bà không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo). Năm nay gia đình có việc cần nên bà rút hết tiền trong ngân hàng để xử lí công việc. Sau khi rút cả vốn và lãi, bà trích ra 10 triệu để mua đồ tân gia cho con trai thì bà còn 240 triệu. Hỏi bà A đã gửi tiết kiệm được bao nhiêu năm? 10 năm||12 năm||20 năm||15 năm

Giả sử bà A đã gửi ngân hàng trong x năm

Số tiền bà nhận được là 250 triệu đồng

Áp dụng công thức lại kép thì sau n năm số tiền bà A nhận được là $T = 100.10^{6}.(1 + 0,1)^{n}$

$\Leftrightarrow 250.10^{6} = 100.10^{6}.(1 + 0,1)^{n}$

$\Leftrightarrow n = \log_{1,1}2,5\Leftrightarrow n \approx 9,61$

Vậy bà A đã gửi tiết kiệm trong 10 năm.

Câu 5: Thông hiểu

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $C$ vuông góc với $BD$ . Thiết diện tạo bởi $(\alpha)$ và hình lập phương là:

A.
Ngũ giác
B.
Hình chữ nhật
C.
Hình vuông
D.
Tam giác cân

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CA\bot BD \\ CC'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (ACC'A')\bot BD$

Vậy $(\alpha)$ chính là mặt phẳng $(ACC'A')$ . Thiết diện là một hình chữ nhật.

Câu 6: Thông hiểu

Có bao nhiêu giá trị nguyên của dương của tham số $m$ để hàm số $y = (6 - m)^{x}$ đồng biến trên tập số thực?

Đáp án: 4

Đáp án là:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của dương của tham số $m$ để hàm số $y = (6 - m)^{x}$ đồng biến trên tập số thực?

Đáp án: 4

Hàm số $y = (6 - m)^{x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $6 - m > 1 \Leftrightarrow m < 5$

Mà $m \in \mathbb{Z}^{+} \Rightarrow m \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$

Vậy có 4 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 7: Nhận biết

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \sin^{2}x$ là:

A.
$y'' =\frac{1}{2}.\cos2x$
B.
$y'' =2.\sin2x$
C.
$y'' = 2.\cos2x$
D.
$y'' =2.\cos x$

Ta có: $y = \sin^{2}x$

$\Rightarrow y' = 2\sin x.\cos x =\sin2x$

$\Rightarrow y'' =2\cos2x$

Câu 8: Nhận biết

Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng $4a$ ?

A.
$V = 16a^{3}$
B.
$V = 64a^{3}$
C.
$V = 32a^{3}$
D.
$V = 8a^{3}$

Ta có: $V = (4a)^{3} = 64a^{3}$

Câu 9: Thông hiểu

Cho 4 chữ số $2;4;6;8$ có thể lập được bao nhiêu chữ số biết rằng các số tạo thành thuộc khoảng $(200;600)$ ?

A.
$32$
B.
$24$
C.
$16$
D.
$48$

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abc}$ với $a,b,c \in \left\{ 2;4;6;8 ight\}$ .

Theo giả thiết ta có hai cách chọn a

Với mỗi cách chọn a ta có 4 cách chọn b và 4 cách chọn x.

Vậy có $2.4.4 = 32$ số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 10: Nhận biết

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$ . Biết rằng $SA = SC;SB = SD$ . Hãy chọn kết luận sai dưới đây?

A.
$AC\bot SD$
B.
$AC\bot BD$
C.
$BD\bot SA$
D.
$AC\bot SA$

Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác SAC cân tại S và SO là đường trung tuyến cũng đồng thời là đường cao

=> $SO\bot AC$

Trong tam giác SOA thì AC và SA không thể vuông tại A

Vậy khẳng định sai là: $AC\bot SA$ .

Câu 11: Nhận biết

Kết quả khi thu gọn biểu thức $A = x^{\frac{1}{2}}.x^{\frac{1}{3}}.\sqrt[6]{x}$ khi $x > 0$ là:

A.
$A = x$
B.
$A = x^{\frac{11}{6}}$
C.
$A = x^{\frac{7}{6}}$
D.
$A = x^{\frac{5}{6}}$

Ta có:

$A = x^{\frac{1}{2}}.x^{\frac{1}{3}}.\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{2}}.x^{\frac{1}{3}}.x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = x$

Câu 12: Thông hiểu

Cấu trúc đề thi cuối học kì I môn Vật lí gồm 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 đáp án trắc nghiệm và chỉ có duy nhất 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Học sinh A chọn ngẫu nhiên đáp án cho các câu hỏi. Xác suất để học sinh A thi được 6 điểm môn Vật lí là:

A.
$1 - 0,25^{20}.0,75^{30}$
B.
$0,25^{20}.0,75^{30}$
C.
$0,25^{30}.0,75^{20}$
D.
$C_{50}^{20}.0,25^{30}.0,75^{20}$

Để đạt được điểm 6 học sinh đó cần trả lời đúng 30 câu và trả lời sai 20 câu.

Theo đó xác suất trả lời đúng 1 câu là 0,25, xác suất trả lời sai mỗi câu là 0,75

Vậy xác suất để học sinh đạt 6 điểm là: $C_{50}^{20}.0,25^{30}.0,75^{20}$ .

Câu 13: Thông hiểu

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C):y = \frac{2x + 1}{x - 1}$ . Biết $(C)$ song song với đường thẳng $y = - 3x$ ?

A.
$y = - 3x - 1;y = - 3x + 11$
B.
$y = - 3x + 10;y = - 3x - 4$
C.
$y = - 3x + 5;y = - 3x - 5$
D.
$y = - 3x + 2;y = - 3x - 2$

Gọi $M\left( x_{0};y_{0} ight)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến

Ta có: $y' = \frac{- 3}{(x - 1)^{2}}$

Do $(C)$ song song với đường thẳng $y = - 3x$ nên $y'\left( x_{0} ight) = - 3$

$\Leftrightarrow \frac{- 3}{\left( x_{0} - 1 ight)^{2}} = - 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 0 \\ x_{0} = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} = - 1$ nên phương trình tiếp tuyến tương ứng là

$y = - 3(x - 0) - 1 \Rightarrow y = - 3x - 1$

Với $x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} = 5$ nên phương trình tiếp tuyến tương ứng là

$y = - 3(x - 2) + 5 \Rightarrow y = - 3x + 11$

Câu 14: Thông hiểu

Tính giá trị biểu thức: $W = x^{2} - y^{2}$ . Biết $x,y$ là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn $\log_{\sqrt[3]{x}}y =\dfrac{3y}{8};\log_{\sqrt{2}}x = \dfrac{32}{y}$ ?

A.
$W = 360$
B.
$W = 120$
C.
$W = 240$
D.
$W = 100$

Ta có:

$\log_{\sqrt{2}}x = \dfrac{32}{y}\Leftrightarrow 2\log_{2}x = \dfrac{32}{y}$

$\Leftrightarrow y = \dfrac{16}{\log_{2}x}= 16\log_{x}2(*)$

Lại có $\log_{\sqrt[3]{x}}y = \dfrac{3y}{8}\Leftrightarrow 3\log_{x}y = \dfrac{3y}{8}$

$\Leftrightarrow \log_{x}y = \frac{y}{8}\Leftrightarrow \log_{x}\left( 16\log_{x}2 ight) =2\log_{x}2$

$\Leftrightarrow \log_{x}\left( 16\log_{x}2ight) = \log_{x}2^{2}$

$\Leftrightarrow 16\log_{x}2 = 4\Leftrightarrow \log_{x}2 = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \log_{2}x = 4\Leftrightarrow x = 16 \Rightarrow y = 4$

$\Rightarrow W = x^{2} - y^{2} = 240$

Câu 15: Nhận biết

Cho bất phương trình $\left( \frac{1}{3} ight)^{x} > 9$ . Xác định nghiệm của bất phương trình đã cho?

A.
$( - \infty; -2)$
B.
$( - 2; + \infty)$
C.
$( - \infty;2)$
D.
$(2; + \infty)$

Ta có:

$\left( \frac{1}{3} ight)^{x} > 9\Leftrightarrow \left( 3^{- 1} ight)^{x} > 3^{2}$

$\Leftrightarrow 3^{- x} > 3^{2}\Leftrightarrow x < - 2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x\in ( - \infty; - 2)$

Câu 16: Thông hiểu

Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ:

A. 6
B. 72
C. 720
D. 144

Chọn vị trí cho hai nhóm 3 nam và 3 nữ có 2 cách chọn (1 nhóm ở vị trí chẵn và nhóm còn lại ở vị trí lẻ)

Xếp 3 nam có: 3.2.1 = 6 cách xếp

Xếp 3 nữ có: 3.2.1 = 6 cách xếp

Vậy có 2.(3.2.1)²= 72 cách xếp

Câu 17: Nhận biết

Biết hai biến cố $A;B$ độc lập với nhau và $P(A) = 0,4;P(B) = 0,3$ . Tính giá trị $P(A.B)$ ?

A.
$0,58$
B.
$0,35$
C.
$0,12$
D.
$0,7$

Do A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên $P(AB) = P(A).P(B) = 0,4.0,3 = 0,12$

Câu 18: Thông hiểu

Giả sử $S$ là tổng các nghiệm của phương trình $\frac{1}{4}\log_{4}(a - 3)^{8} +\frac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}(a + 1) = \log_{2}(4a)$ . Giá trị của $S$ là:

A.
$S = 4 + 2\sqrt{3}$
B.
$S = 3 + \sqrt{3}$
C.
$S = 6$
D.
$S = 1 - \sqrt{3}$

Điều kiện xác định $\left\{ \begin{matrix} (a - 3)^{8} > 0 \\ a + 1 > 0 \\ 4a > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a eq 3 \\ a > - 1 \\ a > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a eq 3 \\ a > 0 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình đã cho tương đương:

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\log_{2^{2}}(a- 3)^{8} + \frac{1}{2}\log_{2^{\frac{1}{2}}}(a + 1) =\log_{2}(4a)$

$\Leftrightarrow \log_{2}|a - 3| +\log_{2}(a + 1) = \log_{2}(4a)$

$\Leftrightarrow \log_{2}|a - 3| =\log_{2}(4a) - \log_{2}(a + 1)$

$\Leftrightarrow \log_{2}|a - 3| =\log_{2}\left( \frac{4a}{a + 1} ight)$

$\Leftrightarrow |a - 3| = \dfrac{4a}{a +1} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a - 3 = \dfrac{4a}{a + 1} \\a - 3 = - \dfrac{4a}{a + 1} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a^{2} - 6a - 3 = 0 \\ a^{2} + 2a - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 + 2\sqrt{3}(tm) \\ a = 3 - 2\sqrt{3}(ktm) \\ a = 1(tm) \\ a = - 3(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow S = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$

Câu 19: Nhận biết

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau là đúng?

A.
Nếu hàm số $y = f(x)$ không liên tục tại $x_{0}$ thì nó có đạo hàm tại điểm đó.
B.
Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại $x_{0}$ thì nó không liên tục tại điểm đó.
C.
Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại $x_{0}$ thì nó liên tục tại điểm đó.
D.
Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục tại $x_{0}$ thì nó có đạo hàm tại điểm đó.

Đáp án đúng là "Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại $x_{0}$ thì nó liên tục tại điểm đó."

Câu 20: Nhận biết

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi biến cố lần đầu xuất hiện mặt 3 chấm là A và biến cố lần thứ hai xuất hiện mặt 3 chấm là B. Khẳng định nào dưới dây sai?

A.
$A;B$ là hai biến cố xung khắc.
B.
$A \cup B$ là biến cố ít nhất một lần xuất hiện mặt 3 chấm.
C.
$A \cap B$ là biến cố tổng số chấm hai lần gieo là 6.
D.
$A;B$ là hai biến cố độc lập.

Hai biến cố A và B có thể cùng xảy ra suy ra khẳng định sai là: “ $A;B$ là hai biến cố xung khắc.”

Câu 21: Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 60◦. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC.

A.
$\frac{5a\sqrt{3}}{3}$
B.
$\frac{a\sqrt{5}}{5}$
C.
$\frac{2a\sqrt{5}}{5}$
D.
$\frac{2a\sqrt{15}}{3}$

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}SM\bot AB \\AB\bot SH \\\end{matrix} ight.$

=> AB ⊥ MH

=> MH là đường trung bình của hình vuông ABCD

Giả sử MH cắt CD tại N, ta có N là trung điểm CD

Ta cũng có SN ⊥ CD nên $\widehat{\left((SCD),(ABCD) ight)} = \widehat{(SN,MN)} = \widehat{SNM}$

Gọi P là trung điểm BC, ta có MP // AC nên AC // (SMP)

Do đó, d(SM, AC) = d(AC,(SMP)) = d(O,(SMP))

Gọi K là hình chiếu của H lên MP (nhận thấy HK // OB), I là hình chiếu của H lên SK

Khi đó d(H, (SMP)) = HI

Áp dụng định lý cosin cho tam giác SMN, ta có:

$\begin{matrix}SM^{2} = MN^{2} + SN^{2} - 2MN.SN.cos60^{0} \hfill\\\Leftrightarrow 3a^{2} = 4a^{2} + SN^{2} - 2.2a.SN.\dfrac{1}{2} \hfill \\\Leftrightarrow a = SN \hfill \\\end{matrix}$

Xét tam giác vuông SHN ta có:

$SH = SN.sin60^{0} =\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$HN = SN.cos60^{0} =\frac{a}{2}$

$\Rightarrow MH = \frac{3}{4}.MN\Rightarrow KH = \frac{3}{4}NP = \frac{3a\sqrt{2}}{4}$

Xét tam giác SHK vuông tại H, ta có:

$HI = \sqrt{\frac{HK^{2}.SH^{2}}{HK^{2} +SH^{2}}} = \frac{3a\sqrt{5}}{10}$

Mặt khác: $d\left( O;(SMP) ight) =\frac{2}{3}d\left( H;(SMP) ight) = \frac{a\sqrt{5}}{5}$

Câu 22: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a. Giả sử góc BAD bằng 60⁰. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) bằng:

A.
$\frac{a}{2}$
B.
$\frac{a\sqrt{3}}{2}$
C.
$a$
D.
$a\sqrt{3}$

Hình vẽ minh họa

Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD)

Từ S vẽ SO ⊥ (ABCD) ⇒ OA = OB = OC (là hình chiếu của các đường xiên bằng nhau) ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

$\begin{matrix} S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} \hfill \\ = {a^2} - {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} ight)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} \hfill \\ \Rightarrow SO = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 23: Nhận biết

Hàm số nào sau đây phù hợp với hình vẽ:

A.
$y = \log_{0,6}x$
B.
$y =\log_{\sqrt{6}}x$
C.
$y = \left( \frac{1}{6} ight)^{x}$
D.
$y = 6^{x}$

Ta có: $y(1) = 0$ và hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$ nên chỉ có hàm số $y = \log_{\sqrt{6}}x$ thỏa mãn.

Câu 24: Thông hiểu

Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân, $AB = AC = a,\widehat{BAC} = 120^{0}$ và cạnh bên $AA' = a\sqrt{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $AB'$ và $BC$ ?

A.
$60^{0}$
B.
$90^{0}$
C.
$100^{0}$
D.
$120^{0}$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $BC//B'C' \Rightarrow (AB',BC) = (AB',B'C')$

Xét tam giác $AB'C'$ ta có: $AB' = AC' = \sqrt{AB^{2} + BB'^{2}} = a\sqrt{3}$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2AB.AC.cos\widehat{BAC}$

$= a^{2} + a^{2} - 2a.a.cos120^{0} = 3a^{2}$

$\Rightarrow BC = B'C' = a\sqrt{3}$

Vậy tam giác $AB'C'$ đều

$\Rightarrow (AB',BC) = (AB',B'C') = \widehat{AB'C'} = 60^{0}$

Câu 25: Nhận biết

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , tam giác $SAD$ đều. góc giữa $BC$ và $SA$ là:

A.
$30^{0}$
B.
$45^{0}$
C.
$60^{0}$
D.
$90^{0}$

Hình vẽ minh họa

Vì $BC//AD \Rightarrow (BC,SA) = (AD,SA) = 60^{0}$

Câu 26: Vận dụng

Sơ đồ phân phối điện như hình vẽ:

Điện được tải từ trạm điện P đến nơi tiêu thụ Q qua các trạm tải nhỏ A, B, C. Xác suất có sự cố kĩ thuật sau một thời gian hoạt động của các trạm tải nhỏ A, B, C lần lượt là $\frac{1}{10};\frac{1}{10};\frac{1}{20}$ . Hãy tính xác suất để nơi tiêu thụ Q không bị mất điện (biết rằng các trạm tải nhỏ hoạt động độc lập với nhau).

A.
$0,0125$
B.
$0,0595$
C.
$0,9571$
D.
$0,9213$

Gọi Q là biến cố nơi tiêu thụ Q không mất điện

A, B, C là biến cố các trạm tải nhỏ A, B, C gặp sự cố kĩ thuật.

Ta có:

$Q = (A \cap B) \cup (C)$

Suy ra $P(Q) = P(AB) + P(C) - P(ABC)$

$P(Q) = P(A).P(B) + P(C) - P(A).P(B).P(C)$

$= 0,1.0,1 + 0,05 - 0,1.0,1.0,05 = 0,0595$

Câu 27: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $90^{0}$ , $SA = SB$ . Tính tan góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ , biết thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{4a^{3}}{3}$ ?

A.
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.
$\frac{\sqrt{7}}{7}$
D.
$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Hình vẽ minh họa

Kẻ $SH\bot AB$ , gọi $\alpha = \left( SC;(ABCD) ight)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (SAB)\bot(ABCD) \\ (SAB) \cap (ABCD) = AB \\ SH \subset (SAB) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)$

$\Rightarrow \alpha = \widehat{SCH}$

Lại có: $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SH.S_{ABCD} = \frac{4a^{3}}{3} \Rightarrow SH = a$

Do tam giác SAB cân tại S nên H là trung điểm của AB

$\Rightarrow HC = \sqrt{BH^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{5}$

$\Rightarrow \tan\alpha = \tan\widehat{SCH} = \frac{SH}{HC} = \frac{a}{a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Câu 28: Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) , $SA = a\sqrt{2}$ . Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:

A.
$30^{0}$
B.
$45^{0}$
C.
$90^{0}$
D.
$60^{0}$

Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\widehat{\left( SC,(ABCD) ight)}= \widehat{(SC,AC)} = \widehat{SCA}$

Lại có: $\tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC}= \frac{SA}{AB\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$

=> $\widehat{SCA} = 45^{0}$

Câu 29: Thông hiểu

Ba bạn A, B, C độc lập với nhau thi ném phi tiêu vào cùng một bia. Biết xác xuất ném trúng của A, B, C lần lượt là $0,2;0,5$ và $0,8$ . Tính xác suất để có ít nhất một người ném trúng bia?

A.
$0,4$
B.
$0,08$
C.
$0,1$
D.
$0,16$

Gọi A, B, C tương ứng là biến cố A ném trúng bia, B ném trúng bia và C ném trúng bia

A, B, C là các biến cố độc lập. Do đó A, B, C là các biến cố đôi một độc lập

Xác suất để cả ba người đều không ném trúng là:

$P\left( \overline{ABC} ight) = P\left( \overline{A} ight).P\left( \overline{B} ight).P\left( \overline{C} ight)$

$= (1 - 0,2)(1 - 0,5)(1 - 0,8) = 0,08$

Câu 30: Nhận biết

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Giả sử N là biến cố “Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện” Mô tả nào sau đây đúng khi mô tả biến cố N?

A.
$N = \left\{ (1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6) ight\}$
B.
$N = \left\{ (1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6),(6;6) ight\}$
C.
$N =\{(1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6),$ $(6;6),(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5)\}$
D.
$N = \left\{ (6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6,6) ight\}$

Mô tả đúng biến cố N là:

$N =\{(1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6),$ $(6;6),(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5)\}$

Câu 31: Thông hiểu

Quản lí xưởng kiểm tra 4 sản phẩm trong kho gồm hai loại là đạt và không đạt. Gọi $N_{k}$ là biến cố sản phẩm được kiểm tra lần thứ $k$ thuộc loại không đạt, $k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Mô tả nào sau đây mô tả đúng biến cố chỉ có một sản phẩm thuộc loại đạt qua các $N_{k}$ ?

A.
$N_{1}N_{2}N_{3}\overline{N_{4}}$
B.
$N_{1}N_{2}N_{3}\overline{N_{4}} + N_{1}N_{2}\overline{N_{3}}N_{4}$
C.
$N_{1}N_{2}N_{3}\overline{N_{4}} + N_{1}N_{2}\overline{N_{3}}N_{4} + N_{1}\overline{N_{2}}N_{3}N_{4}$
D.
$N_{1}N_{2}N_{3}\overline{N_{4}} + N_{1}N_{2}\overline{N_{3}}N_{4} + N_{1}\overline{N_{2}}N_{3}N_{4} + \overline{N_{1}}N_{2}N_{3}N_{4}$

Mô tả đúng là:

$N_{1}N_{2}N_{3}\overline{N_{4}} + N_{1}N_{2}\overline{N_{3}}N_{4} + N_{1}\overline{N_{2}}N_{3}N_{4} + \overline{N_{1}}N_{2}N_{3}N_{4}$

Câu 32: Nhận biết

Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi xanh?

A. 784
B. 1820
C. 70
D. 42

Trong 4 viên bi có đúng 2 viên bi màu xanh

=> 2 viên bi còn lại nằm trong 8 viên bi (màu đỏ và màu vàng)

=> Số cách chọn 4 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi xanh là: $C_8^2.C_8^2 = 784$ cách

Câu 33: Vận dụng cao

Cho các số thực a và b thỏa mãn $\sqrt[3]{a^{14}} >\sqrt[3]{a^{7}};log_{b}\left( 2\sqrt{a + 1} ight) < log_{b}\left(\sqrt{a} + \sqrt{a + 2} ight)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
$a > 1;b > 1$
B.
$0 < a < 1 <b$
C.
$0 < b < 1 <a$
D.
$0 < a < 1,0 < b <1$

Điều kiện để các căn thức có nghĩa là $a> 1$

Ta có: $\sqrt[3]{a^{14}} >\sqrt[3]{a^{7}} \Leftrightarrow a^{\frac{14}{3}} > a^{\frac{7}{4}}\Rightarrow a > 1(*)$

Xét hiệu

$\left( 2\sqrt{a + 1} ight)^{2} -\left( \sqrt{a} + \sqrt{a + 2} ight)^{2}$

$= 4a + 4 - \left( 2a + 2 + 2\sqrt{a(a +2)} ight)$

$= 2a + 2 - 2\sqrt{a(a + 2)}$

Vì $a > 1$ nên $2a + 2 = a + a + 2 \geq 2\sqrt{a(a +2)}$

$\Leftrightarrow \left( 2\sqrt{a + 1}ight)^{2} - \left( \sqrt{a} + \sqrt{a + 2} ight)^{2} >0$

$\Leftrightarrow \left( 2\sqrt{a + 1}ight)^{2} > \left( \sqrt{a} + \sqrt{a + 2} ight)^{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{a + 1} >\sqrt{a} + \sqrt{a + 2}$

Từ đó ta có: $log_{b}\left( 2\sqrt{a + 1}ight) < log_{b}\left( \sqrt{a} + \sqrt{a + 2} ight) \Rightarrow 0< b < 1(**)$

Từ (*) và (**) suy ra $0 < b < 1< a$

Câu 34: Vận dụng

Tính giá trị biểu thức: $S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2017)$ . Biết hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 1} ight) + ln2018$ .

Kết quả: $S =$ 2017/2018

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

Đáp án là:

Tính giá trị biểu thức: $S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2017)$ . Biết hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 1} ight) + ln2018$ .

Kết quả: $S =$ 2017/2018

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

Ta có:

$y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 1} ight) + ln2018$

$\Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$

Khi đó:

$S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2017)$

$S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018}$

$S = 1 - \frac{1}{2018} = \frac{2017}{2018}$

Câu 35: Thông hiểu

Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn $S(t) = t^{3} - 3t^{2} + 5t + 2,(t > 0)$ , $t$ tính bằng giây, $S(t)$ tính bằng mét. Tại thời điểm $t = 2s$ thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

A.
$24m/s^{2}$
B.
$12m/s^{2}$
C.
$18m/s^{2}$
D.
$6m/s^{2}$

Gọi gia tốc của chuyển động tính theo thời gian t là a(t) ta có:

$a(t) = S''(t) = \left( 3t^{2} - 6t + 5 ight)' = 6t - 6$

Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 2s là

$a(2) = 6.2 - 6 = 6\left( m/s^{2} ight)$

Câu 36: Nhận biết

Có bao nhiêu cách chọn một tổ tưởng tổ dân phố từ một nhóm cư dân gồm 25 nam và 20 nữ?

A.
$25$
B.
$45$
C.
$20$
D.
$500$

Số cách chọn một người từ 45 người là: $C_{45}^{1} = 45$ (cách)

Vậy có 45 cách chọn tổ trưởng tổ dân phố.

Câu 37: Nhận biết

Đặt $a =\log_{7}11;b = \log_{2}7$ . Hãy biểu diễn $\log_{\sqrt[3]{7}}\frac{121}{8}$ theo a và b.

A.
$6a + \frac{9}{b}$
B.
$6a - \frac{9}{b}$
C.
$6a - 9b$
D.
$\frac{2}{3}a - \frac{9}{b}$

Ta có:

$\log_{\sqrt[3]{7}}\frac{121}{8} = 3\left(\log_{7}121 - \log_{7}8 ight)$

$= 6\log_{7}11 - 9.\frac{1}{\log_{2}7} = 6a- \frac{9}{b}$

Câu 38: Nhận biết

Cho khối chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC)$ biết độ dài các cạnh $SA = 4cm,AB = 6cm,$ $BC = 10cm;CA = 8cm$ . Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

A.
$V = 102cm^{3}$
B.
$V = 32cm^{3}$
C.
$V = 64cm^{3}$
D.
$V = 48cm^{3}$

Hình vẽ minh họa

Ta có:

$AB^{2} + AC^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 10^{2} = BC^{2}$

Nên tam giác ABC vuông tại A

Suy ra $S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = 24$

Vậy $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SA = 32cm^{3}$

Câu 39: Nhận biết

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.
Cho đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và b nằm trong mặt phẳng (P). Mọi mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với b thì (P) vuông góc với (Q).
B.
Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và mặt phẳng (P) chứa a, mặt phẳng (Q) chứa b thì (P) vuông góc với (Q).
C.
Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), mọi mặt phẳng (Q) chứa a thì (P) vuông góc với (Q).
D.
Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (P) ⊃ a, (P) // b và (Q) ⊃ b, (Q) // a thì (P) // (Q).

Câu 40: Thông hiểu

Cho tứ diện S.ABC có SBC và ABC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác SBC đều, tam giác ABC vuông tại A. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của BC và AB. Khẳng định nào sau đây sai?