Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 Cánh Diều - Đề 5

Câu 1: Thông hiểu

Giả sử tập hợp $B$ là tập hợp các số có 4 chữ số được tạo thành từ tập hợp $C = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Lấy ngẫu nhiên một số bất kì từ tập $B$ . Xác suất để số được chọn có đúng hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ:

A.
$\frac{4}{7}$
B.
$\frac{11}{21}$
C.
$\frac{10}{21}$
D.
$\frac{3}{7}$

Mỗi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ các số của tập C là một chỉnh hợp chập 4 của 9

$\Rightarrow n(\Omega) = A_{9}^{4} = 3024$

Số cách lấy một bộ có 4 chữ số gồm 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ được tập từ C là:

$C_{4}^{2}.C_{5}^{2} = 60$

Mỗi bộ như vậy sẽ lập được $4!$ số

Suy ra $n(B) = 60.4! = 1440$

Vậy xác suất của biến cố B là: $P(B) = \frac{1440}{3024} = \frac{10}{21}$

Câu 2: Vận dụng

Cho $n$ là số tự nhiên thỏa mãn phương trình $C_{n - 4}^{n - 6} + nA_{n}^{2} = 454$ . Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $\left( \frac{2}{x} - x^{3} ight)^{n}$ ( với $x eq 0$ ).

A.
1973.
B.
687.
C.
1296.
D.
-1792.

Điều kiện $n \geq 6$ và $n\mathbb{\in N}$ .

$C_{n - 4}^{n - 6} + nA_{n}^{2} = 454\Leftrightarrow \frac{(n - 4)!}{(n - 6)!2!} + n \cdot \frac{n!}{(n -2)!} = 454$

$\Leftrightarrow \frac{(n - 5)(n - 4)}{2} + n^{2}(n - 1) = 454\Leftrightarrow 2n^{3} - n^{2} - 9n - 888 = 0 \Leftrightarrow n =8$ (Vì $n\mathbb{\in N}$ ).

Khi đó ta có khai triển: $\left( \frac{2}{x} - x^{3} ight)^{8}$ .

Số hạng tổng quát của khai triển là $C_{8}^{k}\left( \frac{2}{x} ight)^{8 - k}\left( - x^{3} ight)^{k} = C_{8}^{k}( - 1)^{k}2^{8 - k}x^{4k - 8}$ .

Hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ ứng với $k$ thỏa mãn: $4k - 8 = 4 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ là: $C_{8}^{3}( - 1)^{3}2^{5} = - 1792$ .

Câu 3: Nhận biết

Trong các vecto dưới đây, vecto nào cùng phương với vecto $\overrightarrow{u} = (3; - 2)$ ?

A.
$\overrightarrow{v} = (12;8)$
B.
$\overrightarrow{h} = (4; - 6)$
C.
$\overrightarrow{k} = ( - 2;3)$
D.
$\overrightarrow{d} = ( - 9;6)$

Nhận thấy $\frac{3}{- 9} = \frac{- 2}{6}$ nên $\overrightarrow{d} = ( - 9;6)$ cùng phương với $\overrightarrow{u} = (3; - 2)$ .

Câu 4: Thông hiểu

Cửa hàng thống kê cỡ giày trong một đơn hàng ngẫu nhiên của một vị khách như sau: $35;37;39;41;38;40;40;37;40$ . Xác định trung vị của mẫu số liệu?

A.
$38$
B.
$36$
C.
$39$
D.
$37$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm như sau:

$35;37;37;38;39;40;40;40;41$

Trung vị của mẫu số liệu là $39$ .

Câu 5: Thông hiểu

Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp gồm 6 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Tính xác suất để lấy được ba quả cùng màu?

A.
$1$
B.
$\frac{1}{4}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{3}{4}$

Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega) = C_{9}^{3} = 84$

Gọi A là biến cố lấy được 3 quả cùng màu

TH1: Lấy được 3 quả màu trắng có: $C_{6}^{3} = 20$ cách

TH2: Lấy được 3 quả màu đen có: $C_{3}^{3} = 1$ cách

$\Rightarrow n(A) = 20 + 1 = 21$

Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{21}{84} = \frac{1}{4}$

Câu 6: Vận dụng

Cho các chữ số 0; 1; 2; 4; 5; 6; 8. Hỏi từ các chữ số trên lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà trong mỗi số chữ số 1 luôn xuất hiện?

A.
444.
B.
840.
C.
230.
D.
120.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ . Vì $\overline{abcde}$ chia hết cho 5 suy ra $e = \left\{ 0;5 ight\}$ .

TH1. Với $e = 0$ suy ra có $4 \times 5 \times 4 \times 3 = 240$ số cần tìm.

TH2. Với $e = 5$ , suy ra có $5 \times 4 \times 3 + 3 \times 4 \times 4 \times 3 = 204$ số cần tìm.

Vậy có tất cả 444 số cần tìm.

Câu 7: Nhận biết

Trong balo của học sinh A có 8 bút chì khác, 6 bút bi và 10 quyển vở. Số cách chọn một đồ vật trong balo là:

A.
$48$
B.
$24$
C.
$80$
D.
$60$

Áp dụng quy tắc cộng, số cách chọn một đồ vật trong balo là: 8 + 6 + 10 = 24 cách.

Câu 8: Nhận biết

Một hộp gồm có 4 bi xanh và 5 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi trong hộp. Biến cố đối của biến cố D: “Hai viên bi cùng màu” là:

A.
$\overline{D}$ : “Hai viên bi khác màu”
B.
$\overline{D}$ : “Hai viên bi có màu đỏ”
C.
$\overline{D}$ : “Hai viên bi có màu xanh”
D.
$\overline{D}$ : “Hai viên bi cùng màu”

Biến cố đối của biến cố D: “Hai viên bi cùng màu” là: $\overline{D}$ : “Hai viên bi khác màu”.

Câu 9: Thông hiểu

Cho phương trình $x^{2} + y^{2} - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0(1)$ . Tìm điều kiện của $m$ để $(1)$ là phương trình đường tròn.

A.
$m \in \mathbb{R.}$
B.
$m \in ( - \infty;1) \cup (2; + \infty).$
C.
$m \in ( - \infty;1brack \cup \lbrack 2; + \infty).$
D.
$m \in \left( - \infty;\frac{1}{3} ight) \cup (2; + \infty).$

Ta có: $x^{2} + y^{2} - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0$

$ightarrow \left\{ \begin{matrix} a = m \\ b = 2(m - 2) \\ c = 6 - m \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$

$\Leftrightarrow 5m^{2} - 15m + 10 > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.\ .$

Câu 10: Nhận biết

Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình chính tắc của Hypebol?

A.
$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$
B.
$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$
C.
$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
D.
$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Phương trình Hypebol có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1;c^{2} = a^{2} + b^{2}$

Vậy phương trình cần tìm là $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ .

Câu 11: Thông hiểu

Cho tọa độ hai điểm $M\left( - 2\sqrt{3};\frac{3}{2} ight),N\left( 2;\frac{3\sqrt{3}}{2} ight)$ . Viết phương trình chính tắc của elip có tâm là gốc tọa độ và đi qua hai điểm $M;N$ ?

A.
$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{6} = 1$
B.
$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
C.
$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$
D.
$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Gọi phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1;(a;b > 0)$

Do elip đi qua hai điểm $M\left( - 2\sqrt{3};\frac{3}{2} ight),N\left( 2;\frac{3\sqrt{3}}{2} ight)$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{12}{a^{2}} + \dfrac{9}{b^{2}} = 1 \\\dfrac{4}{a^{2}} + \dfrac{27}{b^{2}} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a^{2} = 16 \\b^{2} = 9 \\\end{matrix} ight.$

Vậy phương trình chính tắc của elip thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Câu 12: Nhận biết

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):(x – 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 5$ tại điểm $M(3;-1)$ .

A.
$x+y-1=0$
B.
$x+2y-1=0$
C.
$x-y-1=0$
D.
$x+y-2=0$

Tâm $I(2;-3)$ .

Phương trình tiếp tuyến tại $M(3;-1)$ là:

$(3 - 2)(x - 3) + ( - 1 + 3)(y + 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 1 = 0$ .

Câu 13: Nhận biết

Trong các thí nghiệm sau thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên?

A.
Gieo đồng tiền xem nó mặt ngửa hay mặt sấp.
B.
Gieo con xúc xắc xem xuất hiện mặt mấy chấm.
C.
Chọn bất kì một học sinh trong lớp và xem học sinh đó là nam hay nữ.
D.
Quan sát vận động viên chạy bộ xem được bao nhiêu $km/h$ .

Thí nghiệm không phải là phép thử ngẫu nhiên là: “Quan sát vận động viên chạy bộ xem được bao nhiêu $km/h$ ”.

Câu 14: Nhận biết

Có bao nhiêu các sắp xếp 10 bạn học sinh thành một hàng ngang ?

A.
$P_{10}$ .
B.
$C_{10}^{2}$ .
C.
$A_{10}^{10}$ .
D.
$C_{10}^{10}$ .

Mỗi cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của tập hợp có 10 phần tử.

Suy ra số cách sắp xếp là $P_{10}$ .

Câu 15: Nhận biết

Để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê so với số trung bình, ta dùng đại lượng nào sau đây?

A.
Số trung bình
B.
Số trung vị
C.
Mốt
D.
Phương sai

Để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê so với số trung bình, ta dùng đại lượng phương sai.

Câu 16: Vận dụng cao

Giả sử phương trình đường thẳng $(\Delta):ax + by + c = 0$ với $a,b \in \mathbb{N}^{*}$ và $\frac{b}{a}$ là phân số tối giản. Biết rằng đường thẳng $(\Delta)$ đi qua điểm $A(1;2)$ và cách điểm $B( - 2;3)$ một khoảng bằng $\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ . Khi đó giá trị biểu thức $Q = 3a + 2b + 1$ là:

A.
$5$
B.
$1$
C.
$8$
D.
$12$

Ta có:

$d\left( (\Delta);B ight) = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow \frac{\left| a( - 2 - 1) + b(3 - 2) ight|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{8}{\sqrt{10}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{10}.| - 3a + b| = 8\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

$\Leftrightarrow 10\left( 9a^{2} - 6ab + b^{2} ight) = 64\left( a^{2} + b^{2} ight)$

$\Leftrightarrow 13a^{2} - 30ab - 27b^{2} = 0(*)$

Với $b = 0$ thì $(*) \Leftrightarrow 13a^{2} = 0 \Leftrightarrow a = 0$ (loại do $a^{2} + b^{2} > 0$ )

Xét $b eq 0$ thì $(*) \Leftrightarrow 13\left( \frac{a}{b} ight)^{2} - 30\left( \frac{a}{b} ight) - 27 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\dfrac{a}{b} = - \dfrac{9}{13}(ktm) \\\dfrac{a}{b} = 3(tm) \\\end{matrix} ight.$

Với $\frac{a}{b} = 3$ thì ta chọn $a = 3;b = 1 \Rightarrow (\Delta):3x + y - 5 = 0$

Vậy $Q = 3a + 2b + 1 = 12$

Câu 17: Thông hiểu

Hãy chọn kết quả lần lượt là số trung bình và phương sai của mẫu số liệu $3;5;5;6;7;7;8;9;10$ ?

A.
$6,5;\ 2,05$
B.
$7;\ 2,05$
C.
$7;\ 2,05$
D.
$6,7;\ 4,2$

Ta có:

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x} = \frac{3 + 5 + 5 + 6 + 7 + 7 + 8 + 9 + 10}{9} \approx 6,7$

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s^{2} = \frac{1}{9}.\lbrack(3 - 6,7)^{2} + 2.(5 - 6,7)^{2} + (6 - 6,7)^{2} + 2.(7 - 6,7)^{2}$

$+ (8 - 6,7)^{2} + (9 - 6,7)^{2} + (10 - 6,7)^{2}brack \approx 4,2$

Vậy số trung bình và phương sai của mẫu số liệu lần lượt là: $6,7;\ 4,2$ .

Câu 18: Nhận biết

Cho dãy số liệu $1;1;2;3;4;4;5;5;5;6$ . Xác định mốt của mẫu số liệu?

A.
$5$
B.
$1$
C.
$6$
D.
$3$

Mốt số liệu đã cho có số 5 xuất hiện nhiều lần nhất

Suy ra mốt của mẫu số liệu là 5.

Câu 19: Nhận biết

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $\Delta_{1}:7x + 2y - 1 = 0$ và $\Delta_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 4 + t \\ y = 1 - 5t \\ \end{matrix} ight.\ .$

A.
Trùng nhau.
B.
Song song.
C.
Vuông góc với nhau.
D.
Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

$\left. \ \begin{matrix} \Delta_{1}:7x + 2y - 1 = 0 ightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = (7;2) \\ \Delta_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 4 + t \\ y = 1 - 5t \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow \ \ {\overrightarrow{u}}_{2} = (1; - 5) ightarrow {\overrightarrow{n}}_{2} = (5;1) \\ \end{matrix} ight\} ightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{7}{5}\boxed{=}\frac{2}{1} \\ {\overrightarrow{n}}_{1} \cdot {\overrightarrow{n}}_{2}\boxed{=}0 \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow \Delta_{1},\ \ \Delta_{2}$ cắt nhau nhưng không vuông góc.

Câu 20: Nhận biết

Đường thẳng nào song song với đường thẳng $\Delta:2x - y - 1 = 0$ ?

A.
$x + 2y - 1 = 0$
B.
$x + 2y + 1 = 0$
C.
$4x - 2y - 2 = 0$
D.
$4x - 2y - 1 = 0$

Đường thẳng song song với đường thẳng $\Delta:2x - y - 1 = 0$ là: $4x - 2y - 1 = 0$ .

Câu 21: Thông hiểu

Có bao nhiêu cách lập các nhóm gồm 2, 3, 5 học sinh từ một tổ có 10 học sinh?

A.
$C_{10}^{2}+C_{8}^{3}+C_{5}^{5}$
B.
$C_{10}^{2}\times C_{10}^{3}\times C_{10}^{5}$
C.
$C_{10}^{2}\times C_{8}^{3}\times C_{5}^{5}$
D.
$C_{10}^{2}+C_{10}^{3}+C_{10}^{5}$

Số cách lập nhóm có hai học sinh là: $C_{10}^2$ cách

Số học sinh còn lại 8 học sinh (vì 2 học sinh lập nhóm đầu tiên)

=> Số cách lập nhóm có 3 học sinh là: $C_8^3$ cách

Số học sinh còn lại còn 5 học sinh để lập nhóm 5 học sinh

=> Số cách lập nhóm 5 học sinh là: $C_5^5$ cách

Mà các cách lập nhóm liên quan đến nhau

=> Số cách lập các nhóm gồm 2, 3, 5 học sinh từ một tổ có 10 học sinh là

$C_{10}^{2}\times C_{8}^{3}\times C_{5}^{5}$ cách.

Câu 22: Nhận biết

Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A(2; - 1)$ và $B(2;5)$ .

A.
$\left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = - 1 + 6t \\\end{matrix} ight.\ .$
B.
$\left\{ \begin{matrix}x = 2t \\y = - 6t \\\end{matrix} ight.\ .$
C.
$\left\{ \begin{matrix}x = 2 + t \\y = 5 + 6t \\\end{matrix} ight.\ .$
D.
$\left\{ \begin{matrix}x = 1 \\y = 2 + 6t \\\end{matrix} ight.\ .$

$\left\{ \begin{matrix}A(2; - 1) \in AB \\{\overrightarrow{u}}_{AB} = \overrightarrow{AB} = (0;6) \\\end{matrix} ight.\ \overset{ightarrow}{}AB:\left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = - 1 + 6t \\\end{matrix} ight.\ \ \ \left( t\mathbb{\in R} ight).$

Câu 23: Thông hiểu

Cho số $a = 367653964 \pm 213$ . Số quy tròn của số gần đúng $367653964$ là:

A.
$367653000$
B.
$367653960$
C.
$367654000$
D.
$367653970$

Với $a = 367653964 \pm 213$ suy ra độ chính xác $d = 213$

Vì độ chính xác đến hàng trăm nên số quy trình của số a được làm tròn đến hàng nghìn.

Vì chữ số hàng năm là 9 > 5

=> Chữ số hàng nghìn được tăng thêm 1 đơn vị từ 3 đến 4 và các chữ số đằng sau thay bởi chữ số 0.

=> Số quy tròn của số gần đúng $367653964$ là: . $367654000$ .

Câu 24: Vận dụng

Xác định phương trình đường tròn $(C)$ có tâm nằm trên đường thẳng $(d):x - 6y - 10 = 0$ và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình $\left( d_{1} ight):3x + 4y + 5 = 0$ và $\left( d_{2} ight):4x - 3y - 5 = 0$ ?

A.
$(x - 10)^{2} + y^{2} = 49$
B.
$\left( x + \frac{10}{3} ight)^{2} + \left( y + \frac{70}{43} ight)^{2} = \left( \frac{7}{43} ight)^{2}$
C.
$x^{2} + (y - 10)^{2} = 49$
D.
$\left( x + \frac{10}{3} ight)^{2} + \left( y - \frac{70}{43} ight)^{2} = \left( \frac{7}{43} ight)^{2}$

Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi $K(6a + 10;a)$ . Mặt khác đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng $\left( d_{1} ight):3x + 4y + 5 = 0$ và $\left( d_{2} ight):4x - 3y - 5 = 0$ nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng bằng bán kính.

$\frac{\left| 3(6a + 10) + 4a + 5 ight|}{5} = \frac{\left| 4(6a + 10) - 3a - 5 ight|}{5}$

$\Leftrightarrow |22a + 35| = |21a + 35|$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0 \\ a = \frac{- 70}{43} \\ \end{matrix} ight.$

Với $a = 0$ thì $K(10;0);R = 7$ khi đó phương trình đường tròn là: $(x - 10)^{2} + y^{2} = 49$

Với $a = \frac{- 70}{43}$ thì $K\left( \frac{10}{43};\frac{- 70}{43} ight);R = \frac{7}{43}$ khi đó phương trình đường tròn là: $\left( x - \frac{10}{3} ight)^{2} + \left( y + \frac{70}{43} ight)^{2} = \left( \frac{7}{43} ight)^{2}$ .

Câu 25: Nhận biết

Có $3$ viên bi đen khác nhau, $4$ viên bi đỏ khác nhau, $5$ viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các viên bi trên thành dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?

A.
$365400$ .
B.
$666400$ .
C.
$725420$ .
D.
$103680$ .

Số cách xếp $3$ viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng. $3!$ .

Số cách xếp $4$ viên bi đỏ khác nhau thành một dãy bằng. $4!$ .

Số cách xếp $5$ viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng. $5!$ .

Số cách xếp $3$ nhóm bi thành một dãy bằng. $3!$ .

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề bài bằng $3!.4!.5!.3! = 103680$ cách.

Câu 26: Nhận biết

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu: $2;5;16;8;7;9;10;12;14;11;6$ là:

A.
$12$
B.
$10$
C.
$14$
D.
$11$

Quan sát mẫu số liệu ta thấy:

Giá trị lớn nhất là 16

Giá trị nhỏ nhất là 2

Suy ra khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: 16 – 2 = 14.

Câu 27: Nhận biết

Tìm hệ số của $x^{7}$ trong khai triển $(1 + x)^{10}$ .

A.
$190$ .
B.
$270$ .
C.
$230$ .
D.
$45$ .

Số hạng tổng quát là: $T_{k + 1} = C_{10}^{k}.x^{k}$ .

Số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển $(1 + x)^{10}$ là: $T_{8} = C_{10}^{8}.x^{7}$ nên hệ số là 45.

Câu 28: Thông hiểu

Cho đa giác đều có $2020$ đỉnh. Số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 trong số 2020 điểm là đỉnh của đa giác đã cho là bao nhiều?

A.
$C_{2020}^{4}$
B.
$C_{1010}^{4}$
C.
$C_{2020}^{2}$
D.
$C_{1010}^{2}$

Đa giác đều có 2020 đỉnh có 1010 đường chéo qua tâm, cứ hai đường chéo qua tâm cho ta một hình chữ nhật. Vậy số cách chọn ra 4 đỉnh tạo thành hình chữ nhật là $C_{1010}^{2}$ .

Câu 29: Vận dụng

Một học sinh đo đường kính của một hình tròn là $24 \pm 0,2$ (cm). Bạn đó tính được chu vi hình tròn là $p = 75,36$ (cm). Biết $3,141 < \pi < 3,142$ . Hãy ước lượng sai số tuyệt đối của $p$ .

A.
$\Delta_{p} \leq 0,6764$ .
B.
$\Delta_{p} \leq 0,6762$ .
C.
$\Delta_{p} \leq 0,6760$ .
D.
$\Delta_{p} \leq 0,6759$ .

Gọi $\overline{a}$ và $\overline{p}$ lần lượt là đường kính và chu vi của hình tròn.

Ta có: $23,8 \leq \overline{a} \leq 24,2$ .

Ta có: $3,141.23,8 = 74,7558 \leq\overline{p} = \pi\overline{a}$ $\leq 3,142.24,2 = 76,0364$ .

Do đó $74,7558 - 75,36 = - 0,6042 \leq\overline{p} - 75,36$ $\leq 76,0364 - 75,36 = 0,6764$ .

Vậy sai số tuyệt đối của $p$ là $\Delta_{p} = \left| \overline{p} - 75,36 ight| \leq 0,6764$ .

Câu 30: Thông hiểu

Phương trình của đường thẳng (d) song song với (d’): 6x + 8y – 1 = 0 và cách (d’) một đoạn bằng 2 là:

A.
6x + 8y + 19 = 0
B.
6x + 8y – 19 = 0; 6x + 8y + 21 = 0
C.
6x + 8y + 21 = 0
D.
6x + 8y + 19 = 0; 6x + 8y – 21 = 0

(d’) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {n'} = \left( {6;8} ight)$

Vì (d) // (d’) nên (d) cũng nhận $\overrightarrow {n'} = \left( {6;8} ight)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương trình (d) có dạng: $6x + 8y + c = 0\left( {c e -1} ight)$

Chọn $A\left( {\frac{{ - 5}}{2};2} ight) \in \left( {d'} ight)$

Vì $(d) // (d’)$ nên khoảng cách giữa (d) và (d’) chính là $d(A, (d))$ .

Do đó $d(A, (D)) = 2$

$⇔ |c + 1| = 20$

$⇔ c + 1 = 20$ hoặc $c + 1 = –20$

$⇔ c = 19$ (nhận vì 19 ≠ –1) hoặc c = –21 (nhận vì –21 ≠ –1).

Vậy có hai đường thẳng (d) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là:

$6x + 8y + 19 = 0$ và $6x + 8y – 21 = 0$ .

Câu 31: Thông hiểu

Cho tam giác $ABC$ có tọa độ ba đỉnh $A(6;3),B( - 3;6),C(1; - 2)$ . Xác định tọa độ điểm $D \in BC$ thỏa mãn $BD = 2CD$ ?

A.
$D(5;10)$
B.
$D(5; - 10)$
C.
$D\left( - \frac{1}{3}; - \frac{2}{3} ight)$
D.
$D\left( - \frac{1}{3};\frac{2}{3} ight)$

Giả sử tọa độ điểm D là: $D(x;y)$

Ta có: $D \in BC$ thỏa mãn $BD = 2CD$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BD} = (x + 3;y - 6) \\ \overrightarrow{DC} = (1 - x; - 2 - y) \\ \end{matrix} ight.$

$\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 3 = 2 - 2x \\ y - 6 = - 4 - 2y \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{1}{3} \\y = \dfrac{2}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}ight)$

Câu 32: Thông hiểu

Gieo ba con xúc xắc một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng 9?

A.
$\frac{5}{24}$
B.
$\frac{25}{216}$
C.
$\frac{35}{216}$
D.
$\frac{25}{108}$

Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trên ba mặt của ba con xúc xắc là 9”

Vì $\left\{ \begin{matrix} 9 = 1 + 2 + 6 \\ 9 = 2 + 3 + 4 \\ 9 = 1 + 3 + 5 \\ 9 = 1 + 4 + 4 \\ 9 = 2 + 2 + 5 \\ 9 = 3 + 3 + 3 \\ \end{matrix} ight.$ nên $n(A) = 3.3! + 3.2 + 1 = 25$

Lại có $|\Omega| = 6^{3} = 216$

Khi đó xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{25}{216}$

Câu 33: Nhận biết

Giả sử E là một biến cố liên quan phép thử $T$ với không gian mẫu $\Omega$ . Phát biểu nào dưới đây sai?

A.
$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)}$
B.
$0 \leq P(E) \leq 1$
C.
$P(E) = 1 - P\left( \overline{E} ight)$
D.
$P(E) = 0$ khi và chỉ khi $E$ là biến cố chắc chắn.

$P(E) = 0$ khi và chỉ khi $E$ là biến cố không thể.

Câu 34: Nhận biết

Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} = 9$ là:

A.
$I(0;0),R = 9.$
B.
$I(0;0),R = 4.$
C.
$I(0;0),R = 5.$
D.
$I(0;0),R = 3.$

$(C):x^{2} + y^{2} = 9\overset{}{ightarrow}I(0;0),\ \ R = \sqrt{9} = 3.$

Câu 35: Vận dụng

Một lớp học có 30 học sinh gồm có nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là $\frac{12}{29}$ . Tính số học sinh nữ của lớp.

A.
16
B.
14
C.
13
D.
17

Gọi số học sinh nữ là $x$ . Suy ra số học sinh nam là $30-x$ .

Chọn 3 học sinh từ 30 học sinh, không gian mẫu là: $n(\Omega)=C_{30}^3=4060$ .

Gọi A là biến cố "Chọn được 2 nam và 1 nữ". Suy ra $n(A) = C_{30 - x}^2.C_x^1 = xC_{30 - x}^2$ .

Theo đề bài: $P(A) = \frac{{12}}{{29}} \Leftrightarrow \frac{{xC_{30 - x}^2}}{{4060}} = \frac{{12}}{{29}} \Leftrightarrow x = 14$ .

Vậy có 14 học sinh nữ.

Câu 36: Nhận biết

Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

A.
1
B.
2
C.
3
D.
Vô số

Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

Câu 37: Thông hiểu

Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng $d_{1}:2x + 2\sqrt{3}y + 5 = 0$ và $d_{2}:y - 6 = 0.$

A.
$30^{o}.$
B.
$45^{o}.$
C.
$60^{o}.$
D.
$90^{o}.$

Ta có

$\left\{ \begin{matrix} d_{1}:2x + 2\sqrt{3}y + 5 = 0 ightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = \left( 1;\sqrt{3} ight) \\ d_{2}:y - 6 = 0. ightarrow {\overrightarrow{n}}_{2} = (0;1) \\ \end{matrix} ight.$

$\overset{\varphi = \left( d_{1};d_{2} ight)}{ightarrow}\cos\varphi = \frac{\left| \sqrt{3} ight|}{\sqrt{1 + 3}.\sqrt{0 + 1}} = \frac{\sqrt{3}}{2} ightarrow \varphi = 30^{\circ}.$

Câu 38: Thông hiểu

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , đường tròn tâm $I(2; - 5)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta: - 3x + 4y + 11 = 0$ có phương trình là:

A.
$(x - 2)^{2} + (y + 5)^{2} = 3$
B.
$(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 9$
C.
$(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 9$
D.
$(x - 2)^{2} + (y + 5)^{2} = 9$

Đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ có bán kính R bằng khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng $\Delta$ .

Suy ra $R = d(I;\Delta) = \frac{\left| - 3.2 + 4.( - 5) + 11 ight|}{5} = 3$

Vậy phương trình đường tròn tâm $I(2; - 5)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta: - 3x + 4y + 11 = 0$ có phương trình là: $(x - 2)^{2} + (y + 5)^{2} = 9$ .