Lớp 10 Toán 10 - Kết nối tri thức

Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 10 được biên soạn gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm chia thành 4 mức độ bám sát chương trình sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Mua gói để Làm bài
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
  • Câu 1: Thông hiểu

    Gieo ba con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau.

    Số phần tử của không gian mẫu là |\Omega| = 6.6.6 = 36.

    Gọi A là biến cố ''Số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau''. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là (1;1;1),\ (2;2;2),\ (3;3;3),\ \cdots\ ,(6;6;6).

    Suy ra \left| \Omega_{A} ight| = 6.

    Vậy xác suất cần tính P(A) = \frac{1}{36}.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tọa độ hai điểm A(1;2),B(4;1) và đường thẳng (d):2x - y - 5 = 0. Khi đó, phương trình đường tròn (C) có tâm I \in (d) và đi qua hai điểm A;B là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: Gọi I là tâm của đường tròn (C). Vì I \in (d) nên I(t;2t - 5)

    Hai điểm A, B cùng thuộc đường tròn (C) nên

    IA = IB

    \Leftrightarrow (1 - t)^{2} + (7 - 2t)^{2} = (4 - t)^{2} + (6 - 2t)^{2}

    \Leftrightarrow t = 1

    Suy ra I(1; - 3);R = IA = 5

    Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: (x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25

  • Câu 3: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình \sqrt{2x^{2}-2x+4}=\sqrt{x^{2}-x+2}

    Điều kiện \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^2} - 2x + 4 \geqslant 0} \\ {{x^2} - x + 2 \geqslant 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \sqrt {2{x^2} - 2x + 4} = \sqrt {{x^2} - x + 2} \hfill \\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x + 4 = {x^2} - x + 2 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 2 = 0\left( {VN} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Do {\left( {x - \frac{1}{2}} ight)^2} + \frac{7}{4} > 0,\forall x

    Vậy phương trình vô nghiệm.

  • Câu 4: Nhận biết

    Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng \overline{abc} với a, b, c \in\left\{ 0;1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\} sao cho a < b < c.

    Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng \overline{abc} với a, b, c \in\left\{ 0;1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\} sao cho a < b < c nên a, b, c \in\left\{ 1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\}. Suy ra số các số có dạng \overline{abc} là C_{6}^{3} = 20.

  • Câu 5: Nhận biết

    Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là bao nhiêu?

    Mô tả không gian mẫu ta có: \Omega = \left\{ S1;\ S2;\ S3;\ S4;\ S5;S6;N1;N2;N3;N4;N5;N6 ight\}.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi X là tập các tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác trên. Xác suất để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều bằng:

    Số các tam giác bất kỳ là n(\Omega) = C_{18}^{3}.

    Số các tam giác đều là \frac{18}{3} = 6.

    Có 18 cách chọn một đỉnh của đa giác, mỗi đỉnh có 8 cách chọn 2 đỉnh còn lại để được một tam giác cân.

    Số các tam giác cân là: 18.8 = 144.

    Số các tam giác cân không đều là: 144 - 6.3 = 126 \Rightarrow n(A) = 126.

    Xác suất cần tìm là P(A) = \frac{126}{C_{18}^{3}} = \frac{21}{136}.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton của (2x - 3)^{5} bằng:

    Ta có:

    (2x - 3)^{5} = C_{5}^{0}(2x)^{5}.( - 3)^{0} + C_{5}^{1}.(2x)^{4}.( - 3)^{1}

    + ... + C_{5}^{4}.(2x)^{1}.( - 3)^{4} + C_{5}^{5}.(2x)^{0}.( - 3)^{5}

    = C_{5}^{0}2^{5}.( - 3)^{0}.x^{5} + C_{5}^{1}.2^{4}.( - 3)^{1}.x^{4}

    + ... + C_{5}^{4}.2.( - 3)^{4}.x + C_{5}^{5}.( - 3)^{5}

    Cho x = 1 ta được:

    (2.1 - 3)^{5} = C_{5}^{0}2^{5}.( - 3)^{0}.1^{5} + C_{5}^{1}.2^{4}.( - 3)^{1}.1^{4} + ... + C_{5}^{4}.2.( - 3)^{4}.1 + C_{5}^{5}.( - 3)^{5} = - 1

    Vậy tổng hệ số trong khai triển đã cho bằng -1.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(m - 1;1),B(2;2 - 2m),C(m + 3;3) với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để ba điểm A,B,C thẳng hàng?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3 - m;3 - 2m) \\ \overrightarrow{AC} = (4;4) \\ \end{matrix} ight.

    Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} cùng phương với nhau.

    Điều đó xảy ra khi và chỉ khi \frac{3 - m}{4} = \frac{3 - 2m}{4} \Leftrightarrow m = 0

    Vậy m = 0 thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.

  • Câu 9: Nhận biết

    Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để sau hai lần gieo được số chấm giống nhau.

     Gieo 2 con xúc xắc, số phần tử của không gian mẫu: n(\Omega)=6.6=36.

    Các kết quả thỏa mãn là: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6). Có 6 kết quả.

    Vậy xác suất là: P=\frac6{36}=\frac16.

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (\Delta):ax + by + c = 0;\left( a^{2} + b^{2} > 0 ight) và tọa độ một điểm A\left( x_{0};y_{0} ight). Ta kí hiệu khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (\Delta) là d(A;\Delta). Kết luận nào sau đây đúng?

    Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (\Delta) được tính bởi công thức:

    d(A;\Delta) = \frac{\left| ax_{0} + by_{0} + c ight|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

    Vậy kết luận đúng là: “d(A;\Delta) = \frac{\left| ax_{0} + by_{0} + c ight|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}”.

  • Câu 11: Nhận biết

    Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 − 4x + 1.

    y = x2 − 4x + 1 = (x−2)2 − 3 ≥  − 3.

    Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = 2.

    Vậy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là  − 3 tại x = 2.

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho đường thẳng \Delta có phương trình 4x + 5y - 8 = 0. Xác định vectơ chỉ phương của \Delta?

    Đường thẳng \Delta:4x + 5y - 8 = 0 có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (4;5) nên có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (5; - 4).

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số y = x2 − 2x + 3. Chọn câu đúng.

    Ta có a = 1 > 0, b =  − 2, c = 3 nên hàm số có đỉnh là I(1;2). Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;+∞).

  • Câu 15: Vận dụng

    Xác định giá trị của tham số m để hai đường thẳng \left( \Delta_{1} ight):mx - y + 1 = 0 và \left( \Delta_{2} ight):(m - 4)x + (2m - 3)y + m = 0 song song với nhau?

    Điều kiện để \left( \Delta_{1} ight)//\left( \Delta_{2} ight) là: \frac{m}{m - 4} = \frac{- 1}{2m - 3} eq \frac{1}{m}(*)

    Với m eq 0,m eq 4,m eq \frac{3}{2}

    Ta có:

    \frac{m}{m - 4} = \frac{- 1}{2m - 3}

    \Leftrightarrow 2m^{2} - 2m - 4 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với m = - 1 ta có: (*) \Leftrightarrow \frac{- 1}{- 5} = \frac{- 1}{- 5} eq \frac{1}{- 1}(đúng)

    Với m = 2 ta có: (*) \Leftrightarrow \frac{2}{- 2} = \frac{- 1}{1} eq \frac{1}{2}(đúng)

    Vậy \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight. thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng (\Delta):x + y - 1 = 0 và (\Delta'):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có:

    (\Delta):x + y - 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{\Delta}} = (1;1)

    (\Delta'):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{\Delta'}} = (2; - 1) nên (\Delta') có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{\Delta'}} = (1;2)

    Mà \frac{1}{1} eq \frac{1}{2} nên (\Delta) cắt (\Delta').

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho phương trình đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 5 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và tọa độ điểm A(1;2). Xác định tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d)?

    Gọi H là chân đường cao kẻ từ điểm A đến đường thẳng (d) suy ra H(h; 5-2h)

    Ta có: \overrightarrow{u_{d}} = (1; - 2);\overrightarrow{AH} = (h - 1;3 - 2h)

    Vì AH\bot(d) \Leftrightarrow \overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{AH} = 0

    \Leftrightarrow (h - 1) - 2(3 - 2h) = 0 \Leftrightarrow h = \frac{7}{5} \Rightarrow H\left( \frac{7}{5};\frac{11}{5} ight)

    A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng (d).

    Suy ra H là trung điểm của AA’.

    Suy ra tọa độ điểm A’ là: \left\{\begin{matrix}x_{A'} = 2x_{H} - x_{A} = 2.\dfrac{7}{5} - 1 = \dfrac{9}{5} \\y_{A'} = 2y_{H} - y_{A} = 2.\dfrac{11}{5} - 2 = \dfrac{12}{5} \\\end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ điểm A'\left( \frac{9}{5};\frac{12}{5} ight)

  • Câu 18: Nhận biết

    Đâu là tập nghiệm của phương trình \sqrt{x^{2} - 2x} = \sqrt{2x - x^{2}}?

    \sqrt{x^{2} - 2x} = \sqrt{2x - x^{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 2x \geq 0 \\x^{2} - 2x = 2x - x^{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x^{2} - 2x = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = 2 \\\end{matrix} ight..

    Vậy tập nghiệm của phương trình là S = \left\{ 0;2 ight\}.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho đường tròn (C):x^{2} + y^{2} - 4x - 6y - 12 = 0 và đường thẳng d:3x + 4y - 6 = 0. Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d?

    Ta có:

    Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; 3) bán kính R = 5

    Phương trình đường thẳng \Delta_{2} vuông góc với d có dạng 4x - 3y + c_{2} = 0

    \Delta_{2} tiếp xúc với (C) nên d\left( I;\Delta_{2} ight) = R

    Hay \frac{\left| 4.2 - 3.3 + c_{2} ight|}{\sqrt{4^{2} + ( - 3)^{2}}} = 5 \Leftrightarrow \left| c_{2} - 1 ight| = 25

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c_{2} - 1 = 25 \\ c_{2} - 1 = - 25 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c_{2} = 26 \\ c_{2} = - 24 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với (d) là: 4x - 3y + 1 = 0 hoặc 4x - 3y - 15 = 0.

  • Câu 20: Vận dụng

    Một hộp đựng 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Phải rút ra ít nhất k thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 lớn hơn \frac{13}{15}. Tính giá trị của k.

    Gọi biến cố A: Lấy k tấm thẻ có ít nhất một tấm thẻ chia hết cho 4. Với 1 \leq k \leq 10.

    Suy ra \overline{A}: Lấy k tấm thẻ không có tấm thẻ nào chia hết cho 4.

    Ta có: P\left( \overline{A} ight) = \frac{C_{8}^{k}}{C_{10}^{k}} \Rightarrow P(A) = 1 - \frac{C_{8}^{k}}{C_{10}^{k}} = 1 - \frac{(10 - k)(9 - k)}{90}.

    Theo đề: 1 - \frac{(10 - k)(9 - k)}{90} > \frac{13}{15} \Leftrightarrow k^{2} - 19k + 78 < 0 \Leftrightarrow 6 < k < 13.

    Vậy k = 7 là giá trị cần tìm.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tìm số các số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ?

    Trường hợp 1: 3 chữ số đều lẻ. Có A_{5}^{3} = 60 số thỏa mãn.

    Trường hợp 2: số đó gồm 2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ

    - Chọn 2 chữ số chẵn khác nhau có C_{5}^{2} = 10 cách.

    - Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách.

    - Từ 3 số đã chọn đó lập được 3! =6 số.

    Do đó có 10.5.6 = 300 dãy gồm 3 chữ số phân biệt, trong đó có 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ kể cả chữ số 0 đứng đầu.

    Xét dãy số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng 0

    - Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách.

    - Chọn 1 chữ số chẵn khác chữ số 0 có 4 cách.

    Vậy có 4.5.2! = 40 số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng 0.

    Do đó có 60 + 300 - 40 = 320 số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ.

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Khi quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất. Biết rằng quỹ đạo của quả là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth,trong đó t là thời gian , kể từ khi quả bóng được đá lên; h là độ cao của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1, 2m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8, 5mvà \left| 2x^{2} + x - 3 ight| = \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + x - 3 & khi & 2x^{2} + x - 3 \geq 0 \\ - \left( 2x^{2} + x - 3 ight) & khi & 2x^{2} + x - 3 < 0 \\ \end{matrix} ight. giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6m. Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.

    Tại t = 0 ta có y = h = 1, 2; tại t = 1 ta có y = h = 8, 5; tại t = 2, ta có y = h = 6.

    hệ trục Oth như hình vẽ.

    Parabol (P) có phương trình: y = at2 + bt + c, với a ≠ 0.

    Giả sử tại thời điểm t′ thì quả bóng đạt độ cao lớn nhất h′.

    Theo bài ra ta có: tại t = 0 thì h = 1, 2 nên A(0;  1,2) ∈ (P).

    Tại t = 1 thì h = 8, 5 nên B(1;  8,5) ∈ (P).

    Tại t = 2 thì h = 6 nên C(2;  6) ∈ (P).

    Vậy ta có hệ: \left\{ \begin{matrix} c = 1,2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ a + b + c = 8,5 \\ 4a + 2b + c = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 1,2\ \ \ \ \ \ \ \\ a = - 4,9\ \\ b = 12,2\ \\ \end{matrix} ight..

    Vậy hàm số Parabol cần tìm có dạng: y =  − 4, 9t2 + 12, 2t + 1, 2.

  • Câu 23: Nhận biết

    Khai triển nhị thức Newton \left( x^{2} - y ight)^{5} ta được kết quả là:

    Ta có:

    \left( x^{2} - y ight)^{5} = \sum_{k = 0}^{5}{C_{5}^{k}.\left( x^{2} ight)^{5 - k}.( - y)^{k}}

    = C_{5}^{0}.\left( x^{2} ight)^{5} + C_{5}^{1}.\left( x^{2} ight)^{4}( - y) + C_{5}^{2}.\left( x^{2} ight)^{3}( - y)^{2}

    + C_{5}^{3}.\left( x^{2} ight)^{2}( - y)^{3} + C_{5}^{4}.\left( x^{2} ight)^{1}( - y)^{4} + C_{5}^{5}.\left( x^{2} ight)^{0}( - y)^{5}

    = x^{10} - 5x^{8}y + 10x^{6}y^{2} - 10x^{4}y^{3} + 5x^{2}y^{4} - y^{5}

  • Câu 24: Nhận biết

    Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 1 = 0

    \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4

    Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 1 = 0.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Một hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong các quả cầu còn lại. Tính xác suất để kết quả của hai lần lấy được 2 quả cầu cùng màu.

    Không gian mẫu là lấy 2 quả cầu trong hộp một cách lần lượt ngẫu nhiên.

    Suy ra số phần tử của không gian mẫu là |\Omega| = C_{20}^{1}.C_{19}^{1}.

    Gọi A biến cố ''2 quả cầu được lấy cùng màu''. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau:

    TH1: Lần thứ nhất lấy quả màu trắng và lần thứ hai cũng màu trắng.

    Do đó trường hợp này có C_{8}^{1}.C_{7}^{1} cách.

    TH2: Lần thứ nhất lấy quả màu đen và lần thứ hai cũng màu đen.

    Do đó trường hợp này có C_{12}^{1}.C_{11}^{1} cách.

    Suy ra số phần tử của biến cố A là \left| \Omega_{A} ight| = C_{8}^{1}.C_{7}^{1} + C_{12}^{1}.C_{11}^{1}.

    Vậy xác suất cần tính P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{C_{8}^{1}.C_{7}^{1} + C_{12}^{1}.C_{11}^{1}}{C_{20}^{1}.C_{19}^{1}} = \frac{47}{95}.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng đi qua điểm C(1;2) và song song với đường thẳng d:4x + 2y + 1 = 0 có phương trình tổng quát là:

    Đường thẳng đi qua điểm C(1;2) và song song với đường thẳng d:4x + 2y + 1 = 0 có nhận vectơ \overrightarrow{n}(4;2) làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát:

    4(x - 1) + 2(y - 2) = 0

    \Leftrightarrow 2x + y - 4 = 0

    Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng là: 2x + y - 4 = 0.

  • Câu 27: Nhận biết

    Tam thức bậc hai f(x) = x^{2} + \left( \sqrt{5} - 1 ight)x - \sqrt{5} nhận giá trị dương khi và chỉ khi

    f(x) = x^{2} + \left( \sqrt{5} - 1 ight)x - \sqrt{5} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - \sqrt{5} \\ \end{matrix} ight.

    Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x \in \left( - \infty; - \sqrt{5} ight) \cup (1; + \infty).

  • Câu 28: Nhận biết

    Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là gì?

    Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là hoạt động mà ta không thể biết trước được kết quả của nó.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Một chiếc hộp chứ 5 quả cầu trắng và 6 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả trong hộp, biết rằng các quả cầu có kích thước và khối lượng như nhau. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được đồng thời 3 quả cầu sao cho 3 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả cầu trắng?

    Trường hợp 1: 1 quả trắng và 2 quả đỏ.

    Số cách lấy là C_{5}^{1}.C_{6}^{2} = 75

    Trường hợp 2: 2 quả trắng và 1 quả đỏ.

    Số cách lấy là C_{5}^{2}.C_{6}^{1} = 60

    Trường hợp 3: 3 quả trắng.

    Số cách lấy là C_{5}^{3} = 10

    Do vậy số cách lấy ngẫu nhiên 3 quả cầy trong hộp sao cho trong 3 quả cầu lấy ra có ít nhất 1 quả cầu trắng là: 75 + 60 + 10 = 145 (cách)

  • Câu 30: Nhận biết

    Kết quả của phép tính C_{6}^{2}-C_{6}^{3} là:

     Ta có: C_{6}^{2}-C_{6}^{3} =-5.

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Trên màn hình ra-đa của đài kiểm soát không lưu sân bay A có hệ trục tọa độ Oxy (như hình vẽ) trong đó đơn vị trên mỗi trục tính theo ki – lô – mét và đài kiểm soát được coi là gốc tọa độ O(0;0).

    Nếu máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 500km thì sẽ hiển thị trên màn hình ra-đa. Một máy bay khởi hành từ sân bay X lúc 10 giờ. Sau thời gian t (giờ) vị trí của máy bay được xác định bởi điểm M có tọa độ như sau: \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{1600}{3} - \dfrac{1400}{3}.t \\y = \dfrac{1900}{3} - \dfrac{1400}{3}.t \\\end{matrix} ight.. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa bay và đài không lưu?

    Gọi M là vị trí máy báy

    Ta có:

    OM = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

    = \sqrt{\left( \frac{1600}{3} - \frac{1400}{3}t ight)^{2} + \left( \frac{1900}{3} - \frac{1400}{3}.t ight)^{2}}

    = \sqrt{\left( \frac{1600}{3} - \frac{1400}{3}t ight)^{2} + \left( \frac{1400}{3}.t - \frac{1900}{3} ight)^{2}}

    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

    \left( 1^{2} + 1^{2} ight)\left( a^{2} + b^{2} ight) \geq (a + b)^{2}

    \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}(a + b)^{2}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

    a = b \Leftrightarrow \frac{1600}{3} - \frac{1400}{3}t = \frac{1400}{3}.t - \frac{1900}{3}

    \Leftrightarrow t = 1,25(h)

    Khi đó:

    OM = \sqrt{\left( \frac{1600}{3} - \frac{1400}{3}t ight)^{2} + \left( \frac{1400}{3}.t - \frac{1900}{3} ight)^{2}}

    \geq \sqrt{\frac{1}{2}\left( \frac{1600}{3} - \frac{1400}{3}t + \frac{1400}{3}.t - \frac{1900}{3} ight)^{2}}

    = \sqrt{\frac{1}{2}\left( \frac{1600}{3} - \frac{1900}{3} ight)^{2}} = 50\sqrt{2}(km)

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho Hypebol có độ dài trục thực và tiêu cự lần lượt là 14 và 20. Phương trình chính tắc của Hypebol là:

    Phương trình chính tắc của Hypebol có dạng \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} 2a = 14 \\ 2c = 20 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 7 \\ c = 10 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} = 49 \\ c^{2} = 100 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow b^{2} = c^{2} - a^{2} = 51

    Vậy phương trình chính tắc của Hypebol là: \frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{51} = 1.

  • Câu 33: Nhận biết

    Phương trình đường tròn (C):2x^{2} + 2y^{2} + 4x + 8y + 2 = 0 có tâm và bán kính lần lượt là:

    Ta có: (C):2x^{2} + 2y^{2} + 4x + 8y + 2 = 0

    \Rightarrow (C):x^{2} + y^{2} + 2x + 4y + 1 = 0

    \left\{ \begin{matrix} - 2a = 2 \\ - 2b = 4 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 2 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a^{2} + b^{2} - c = 4 > 0

    Vậy phương trình đã cho tâm và bán kính lần lượt là: I( - 1; - 2),R = 2.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Giả sử rằng:

    (1 + x)\left( 1 + x + x^{2} ight)

    = (1 + 1)\left( 1 + 1 + 1^{2} ight)...\left( 1 + 1 + 1^{2} + ... + 1^{n} ight)

    = m_{0} + m_{1}x + m_{2}x^{2} + ... + m_{a}x^{a}

    Hãy tính \sum_{i = 0}^{a}m_{i}?

    Ta có:

    \sum_{i = 0}^{a}m_{i} = (1 + 1)\left( 1 + 1 + 1^{2} ight)...\left( 1 + 1 + 1^{2} + ... + 1^{n} ight)

    = 2.3.4.....(n + 1) = (n + 1)!

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \frac{3 - x}{\sqrt{4 - 3x - x^{2}}}.

    Hàm số xác định khi và chỉ khi 4 − 3x − x2 > 0.

    Phương trình 4 - 3x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 4) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - \ 4 \\ \end{matrix} ight.\ .

    Bảng xét dấu:

    Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 4 − 3x − x2 > 0 ⇔ x ∈ (− 4; 1).

    Vậy tập xác định của hàm số là D = (− 4;1).

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho đường thẳng 2x + y - 3 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng đã cho?

    Thay x = 0 vào đường thẳng 2x + y - 3 = 0 suy ra y = 3

    Vậy điểm N(0;3) thuộc đường thẳng 2x + y - 3 = 0.

  • Câu 37: Nhận biết

    Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Xác suất của biến cố A: "ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp" là bao nhiêu?

    Ta có: \overline{A}: "không có lần nào xuất hiện mặt sấp" hay cả 3 lần đều mặt ngửa.

    Theo quy tắc nhân xác suất: P(\overline{A}) =\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}.

    Vậy: P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 -\frac{1}{8} = \frac{7}{8}.

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho elip có phương trình chính tắc \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1. Khi đó độ dài trục lớn và trục nhỏ của elip lần lượt là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} a^{2} = 9 \\ b^{2} = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Độ dài trục lớn AA_{1} = 2a = 6

    Độ dài trục bé BB_{1} = 2b = 4

    Vậy độ dài trục lớn và trục nhỏ của elip lần lượt là: 6;4

  • Câu 40: Vận dụng

    Khai triển (\sqrt{5} - \sqrt[4]{7})^{124}. Hỏi có tất cả bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?

    Ta có (\sqrt{5} - \sqrt[4]{7})^{124} = \sum_{k = 0}^{124}{C_{124}^{k}.( - 1)^{k}.5^{\frac{124 - k}{2}}.7^{\frac{k}{4}}}

    Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với \left\{ \begin{matrix} \frac{124 - k}{2}\mathbb{\in Z} \\ \frac{k}{4}\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow k \in \left\{ 0;4;8;12;...;124 ight\}.

    Vậy số các giá trị k là: \frac{124 - 0}{4} + 1 = 32.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 Kết nối tri thức Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 17 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 Kết nối tri thức Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập