Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 Kết nối tri thức Đề 2

Câu 1: Vận dụng

Cho tập hợp $A = \left\{ 1,2,\ 3,\ ...,\ 10 ight\}$ . Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập đó. Tính xác suất để trong ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp.

A.
$P = \frac{13}{90}$ .
B.
$P = \frac{1}{25}$ .
C.
$P = \frac{7}{10}$ .
D.
$P = \frac{7}{15}$ .

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{10}^{3} = 120$ .

Gọi $B$ là biến cố “Ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp”.

$\Rightarrow$ $\overline{B}$ là biến cố “Ba số được chọn có ít nhất hai số là các số tự nhiên liên tiếp”.

+ Bộ ba số dạng $\left( 1\ ,\ 2\ ,\ a_{1} ight)$ , với $a_{1} \in A\backslash\left\{ 1\ ,\ 2 ight\}$ : có $8$ bộ ba số.

+ Bộ ba số có dạng $\left( 2\ ,\ 3\ ,\ a_{2} ight)$ , với $a_{2} \in A\backslash\left\{ 1\ ,\ 2\ ,\ 3 ight\}$ : có $7$ bộ ba số.

+ Tương tự mỗi bộ ba số dạng $\left( 3\ ,\ 4\ ,\ a_{3} ight)$ , $\left( 4\ ,\ 5\ ,\ a_{4} ight)$ , $\left( 5\ ,\ 6\ ,\ a_{5} ight)$ , $\left( 6\ ,\ 7\ ,\ a_{6} ight)$ , $\left( 7\ ,\ 8\ ,\ a_{7} ight)$ , $\left( 8\ ,\ 9\ ,\ a_{8} ight)$ , $\left( 9\ ,\ 10\ ,\ a_{9} ight)$ đều có $7$ bộ.

$\Rightarrow n\left( \overline{B} ight) = 8 + 8.7 = 64$ .

$\Rightarrow P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight) = 1 - \frac{64}{120} = \frac{7}{15}$ .

Câu 2: Thông hiểu

Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A.
$y = x^{2} - 2x + \frac{3}{2}.$
B.
$y = - \frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{5}{2}.$
C.
y = x² − 2x.
D.
$y = - \frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{3}{2}.$

Nhận xét:

Parabol có bề lõm hướng xuống.

Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm (3;0) và (−1;0). Xét các đáp án, đáp án $y = - \frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{3}{2}$ thỏa mãn.

Câu 3: Thông hiểu

Có $13$ học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối $12$ có $8$ học sinh nam và $3$ học sinh nữ, khối $11$ có $2$ học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên $3$ học sinh bất kỳ để trao thưởng, xác suất để $3$ học sinh được có cả nam và nữ đồng thời có cả khối $11$ và khối $12$ là bao nhiêu?

A.
$\frac{57}{286}.$
B.
$\frac{21}{143}.$
C.
$\frac{27}{144}.$
D.
$\frac{229}{296}.$

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 13 học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega| = C_{13}^{3} = 286$ .

Gọi $A$ là biến cố $''3$ học sinh được ó cả nam và nữ đồng thời có cả khối $11$ và khối $12''$ . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố $A$ là:

TH1: Chọn 1 học sinh khối 11; 1 học sinh nam khối 12 và 1 học sinh nữ khối 12 nên có $C_{2}^{1}C_{8}^{1}C_{3}^{1} = 48$ cách.

TH2: Chọn 1 học sinh khối 11; 2 học sinh nữ khối 12 có $C_{2}^{1}C_{3}^{2} = 6$ cách.

TH3: Chọn 2 học sinh khối 11; 1 học sinh nữ khối 12 có $C_{2}^{2}C_{3}^{1} = 3$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $\left| \Omega_{A} ight| = 48 + 6 + 3 = 57$ .

Vậy xác suất cần tính $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{57}{286}.$

Câu 4: Nhận biết

Cho tam thức bậc hai f(x) = 5x − x² − 6. Tìm x để f(x) ≥ 0.

A.
x ∈ [2; 3].
B.
x ∈ (−∞;2]∪[3;+∞).
C.
x ∈ (2;3).
D.
x ∈ (−∞;2) ∪ (3;+∞).

$f(x) = 5x - x^{2} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ [2; 3].

Câu 5: Nhận biết

Một bài trắc nghiệm khách quan có 10 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời. Có bao nhiêu phương án trả lời?

A.
4¹⁰.
B.
40.
C.
10⁴.
D.
4.

Mỗi câu hỏi có 4 cách chọn phương án trả lời.

Mười câu hỏi sẽ có số cách chọn phương án trả lời là 4¹⁰.

Câu 6: Nhận biết

Chọn đáp án đúng khi khai triển nhị thức $(3x - 2y)^{4}$ ?

A.
$81x^{4} - 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} - 96xy^{3} + 16y^{4}$
B.
$81x^{4} + 216x^{3}y - 216x^{2}y^{2} + 96xy^{3} - 16y^{4}$
C.
$81x^{4} + 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} + 96xy^{3} + 16y^{4}$
D.
$3x^{4} - 24x^{3}y - 36x^{2}y^{2} - 24xy^{3} + 2y^{4}$

Ta có:

$(3x - 2y)^{4} = \sum_{k = 0}^{4}{C_{4}^{k}.(3x)^{4 - k}.( - 2y)^{k}}$

$= 81x^{4} - 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} - 96xy^{3} + 16y^{4}$

Câu 7: Nhận biết

Thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên?

A.
Gieo đồng tiền xem nó mặt ngửa hay mặt sấp.
B.
Gieo $3$ đồng tiền và xem có mấy đồng tiền lật ngửa.
C.
Chọn bất kì 1 học sinh trong lớp và xem là nam hay nữ.
D.
Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi.

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta chưa biết được kết quả là gì.

Đáp án “Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi.” không phải là phép thử vì ta biết chắc chắn kết quả chỉ có thể là một số cụ thể số bi xanh và số bi đỏ.

Câu 8: Vận dụng

Với $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $3C_{n + 1}^{3} - 3A_{n}^{2} = 52(n - 1)$ . Trong khai triển biểu thức $\left( x^{3} + 2y^{2} ight)^{n}$ , gọi $T_{k}$ là số hạng mà tổng số mũ của $x$ và $y$ của số hạng đó bằng $34$ . Hệ số của $T_{k}$ là :

A.
98789.
B.
1389.
C.
5543.
D.
41184.

Điều kiện: $n \geq 2$ , $n \in \mathbb{N}^{*}$ .

Ta có $3C_{n + 1}^{3} - 3A_{n}^{2} = 52(n - 1) \Leftrightarrow 3.\frac{(n + 1)!}{3!(n - 2)!} - 3\frac{n!}{(n - 2)!} = 52(n - 1)$

$\Leftrightarrow \frac{(n - 1)n(n + 1)}{2} - 3n(n - 1) = 52(n - 1) \Leftrightarrow n^{2} + n - 6n = 104$ .

$\Leftrightarrow n^{2} - 5n - 104 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 13 \\ n = - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow n = 13$ .

$\left( x^{3} + 2y^{2} ight)^{13} = \sum_{0}^{13}{C_{13}^{k}\left( x^{3} ight)^{13 - k}\left( 2y^{2} ight)^{k}} = \sum_{0}^{13}{C_{13}^{k}2^{k}x^{39 - 3k}y^{2k}}$ .

Ta có: $39 - 3k + 2k = 34 \Leftrightarrow k = 5$ . Vậy hệ số $C_{13}^{5}2^{5} = 41184$ .

Câu 9: Nhận biết

Viết tập hợp Ω là không gian mẫu trong trò chơi tung đồng xu hai lần liên tiếp.

A.
Ω = {SS; SN; NS; NN}
B.
Ω = {SS; SN; NS }
C.
Ω = {SS; NS; NN}
D.
Ω = {SS; SN; NN}

Ta có: Ω = {SS; SN; NS; NN}.

Câu 10: Thông hiểu

Cho bất phương trình $m{x^2} - (2m - 1)x + m + 1 < 0$ (1). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình (1) vô nghiệm.

A.
$m≥\frac{1}{8}$
B.
$m>\frac{1}{8}$
C.
$m<\frac{1}{8}$
D.
$m≤\frac{1}{8}$

Để $m{x^2} - (2m - 1)x + m + 1 < 0$ thì $m{x^2} - (2m - 1)x + m + 1 \geqslant 0$ nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$ .

Nghĩa là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta \leqslant 0} \end{array}} ight.$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {{{\left( {2m - 1} ight)}^2} - 4m\left( {m + 1} ight) \leqslant 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} - 4m \leqslant 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ { - 8m + 1 \leqslant 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {m \geqslant \dfrac{1}{8}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m \geqslant \frac{1}{8} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 11: Thông hiểu

Tìm số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(3x + 2)^{4}$ ?

A.
$24x^{3}$
B.
$96x^{3}$
C.
$216x^{3}$
D.
$8x^{3}$

Số hạng tổng quát theo thứ tự giảm dần số mũ x là:

$C_{4}^{k}(3x)^{4 - k}.2^{k} = C_{4}^{k}.3^{4 - k}.2^{k}.x^{4 - k}$

Số hạng chứa $x^{3}$ ứng với $4 - k = 3 \Rightarrow k = 1$

Số hạng cần tìm là $C_{4}^{1}.3^{4 - 1}.2.x^{4 - 1} = 216x^{3}$ .

Câu 12: Nhận biết

Một đường thẳng có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (12; - 13)$ . Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của $\Delta$ ?

A.
$\overrightarrow{n_{\Delta}} = (12;13)$
B.
$\overrightarrow{n_{\Delta}} = ( - 13;12)$
C.
$\overrightarrow{n_{\Delta}} = (13;12)$
D.
$\overrightarrow{n_{\Delta}} = ( - 13; - 12)$

Ta có:

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a;b)$ thì sẽ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n} = ( - b;a)$

Áp dụng vào bài toán ta được:

Vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là: $\overrightarrow{n_{\Delta}} = (13;12)$ .

Câu 13: Thông hiểu

Một bình chứa $6$ viên bi màu, trong đó có $2$ bi xanh, $2$ bi đỏ, $2$ bi trắng. Lấy ngẫu nhiên $2$ viên bi từ bình đó. Tính xác suất để lấy được $2$ viên bi khác màu.

A.
$\frac{1}{15}$ .
B.
$\frac{2}{15}$ .
C.
$\frac{4}{5}$ .
D.
$\frac{4}{15}$ .

Lấy $2$ viên bi bất kì trong $6$ viên bi trong bình thì có $C_{6}^{2} = 15$ (cách).

Lấy $2$ viên bi cùng màu thì có $C_{2}^{2} + C_{2}^{2} + C_{2}^{2} = 3$ (cách) nên có $15 - 3 = 12$ (cách) lấy được $2$ viên bi khác màu.

Xác suất để lấy được $2$ viên bi khác màu trong tổng số $6$ viên bi là $P = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ .

Câu 14: Thông hiểu

Một Elip đi qua điểm $B(0;6)$ và có độ dài trục lớn là $4\sqrt{10}$ . Hãy xác định phương trình chính tắc của elip đó?

A.
$\frac{x^{2}}{40} + \frac{y^{2}}{36} = 1$
B.
$\frac{x^{2}}{160} + \frac{y^{2}}{32} = 1$
C.
$\frac{x^{2}}{160} + \frac{y^{2}}{36} = 1$
D.
$\frac{x^{2}}{40} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1;(a,b > 0)$

Do (E) có độ dài trục lớn là $4\sqrt{10}$ nên $2a = 4\sqrt{10} \Rightarrow a = 2\sqrt{10} \Rightarrow a^{2} = 40$

Do (E) đi qua điểm $B(0;6)$ nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{6^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow b^{2} = 36$

Vậy phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^{2}}{40} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ .

Câu 15: Thông hiểu

Biết rằng $(7 - 8x)^{5} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + a_{4}x^{4} + a_{5}x^{5}$ . Chọn kết luận đúng?

A.
$\sum_{i = 0}^{5}a_{i} = - 1$
B.
$\sum_{i = 0}^{5}a_{i} = 0$
C.
$\sum_{i = 0}^{5}a_{i} = 2$
D.
$\sum_{i = 0}^{5}a_{i} = 1$

Thay $x = 1$ vào $(7 - 8x)^{5}$ ta được:

$(7 - 8.1)^{5}$

$= a_{0} + a_{1}.1 + a_{2}.1^{2} + a_{3}.1^{3} + a_{4}.1^{4} + a_{5}.1^{5}$

$= a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$

$= \sum_{i = 0}^{5}a_{i} = - 1$

Câu 16: Nhận biết

Tìm hàm số bậc hai trong các hàm số dưới đây?

A.
$y = - 2x^{2} - 3$
B.
$y = 4x - 3$
C.
$y = 2x^{3} - 3x^{2} + 1$
D.
$y = 1$

Theo định nghĩa ta có:

Hàm số bậc hai là $y = - 2x^{2} - 3$ .

Câu 17: Nhận biết

Kí hiệu nào sau đây là kí hiệu của biến cố chắc chắn?

A.
Ω
B.
∅
C.
M
D.
c

Kí hiệu biến cố chắc chắn là Ω.

Câu 18: Thông hiểu

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \sqrt{2x^{2} - 5x + 2}.$

A.
$D = \left( - \ \infty;\frac{1}{2} ightbrack.$
B.
D = [2; + ∞).
C.
$D = \left( - \ \infty;\frac{1}{2} ightbrack \cup \lbrack 2; + \ \infty).$
D.
$D = \left\lbrack \frac{1}{2};2 ightbrack.$

Điều kiện $2x^{2} - 5x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \leq \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy tập xác định của hàm số là $\left( - \infty;\frac{1}{2} ightbrack \cup \lbrack 2; + \infty)$ .

Câu 19: Thông hiểu

Có bao nhiêu cách xếp 8 người vào một bàn tròn?

A.
720
B.
5040
C.
40320
D.
35280

Vì xếp vào bàn tròn nên vị trí xếp đầu tiên là như nhau nên có 1 cách xếp, ta xếp 7 người còn lại vào 7 vị trí nên có 7! cách xếp.

Vậy có 1.7! = 5040 cách xếp

Câu 20: Nhận biết

Trên hệ trục tọa độ cho đường tròn $(C):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ . Trong các điểm sau điểm nào nằm trên đường tròn đã cho?

A.
$M(1; - 1)$
B.
$N( - 1;1)$
C.
$P(2;1)$
D.
$Q(3; - 1)$

Thay tọa độ điểm $Q(3; - 1)$ vào phương trình đường tròn $(C):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ ta được:

$(3 - 1)^{2} + ( - 1 + 1)^{2} = 4$

Vậy điểm thuộc đường tròn là $Q(3; - 1)$ .

Câu 21: Vận dụng cao

Cho dường tròn $(C):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ và đường thẳng $(d):x + 2y + 3 = 0$ . Biết rằng các tiếp tuyến của $(C)$ tạo với đường thẳng $(d)$ một góc $\alpha$ với $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ tạo thành một đa giác. Chu vi của đa giác là:

A.
$\frac{25}{2}$
B.
$10$
C.
$25$
D.
$50$

Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) bán kính r = 5

Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ . Gọi $\overrightarrow{n_{\Delta}} = (a;b)\left( a^{2} + b^{2} > 0 ight)$ là một vectơ pháp tuyến của $\Delta$ .
$Ta$ thấy

$\begin{matrix} & cos(\widehat{\Delta,d)} = \frac{2}{\sqrt{5}} \Leftrightarrow \frac{\left| \overrightarrow{n_{\Delta}} \cdot \overrightarrow{n_{d}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{\Delta}} ight| \cdot \left| \overrightarrow{n_{d}} ight|} = \frac{2}{\sqrt{5}} \Leftrightarrow \frac{|a + 2b|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \\ & \\ \end{matrix}$

$\Leftrightarrow |a + 2b| = 2 \cdot \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

$\Leftrightarrow a^{2} + 4ab + 4b^{2} = 4\left( a^{2} + b^{2} ight)$

$\Leftrightarrow 3a^{2} - 4ab = 0 \Leftrightarrow a(3a - 4b) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0 \\ 3a - 4b = 0. \\ \end{matrix} ight.$

Khi $a = 0$ thì ta chọn $b = 1$ . Khi đó, ta được $\Delta:y + c = 0$ . Do $\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ nên ta có

$d(I,\Delta) = r \Leftrightarrow \frac{| - 2 + c|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2}}} = 5 \Leftrightarrow | - 2 + c| = 5$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 + c = 5 \\ - 2 + c = - 5 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 7 \\ c = - 3 \\ \end{matrix}. ight.\ ight.$

Lúc đó, ta có $\left\lbrack \begin{matrix} \Delta:y + 7 = 0 \\ \Delta:y - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi $3a = 4b$ thì ta chọn $\left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó, ta được $\Delta:4x + 3y + c = 0$ .

Do $\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ nên ta có:

$d(I,\Delta) = r \Leftrightarrow \frac{|4 - 6 + c|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 5 \Leftrightarrow | - 2 + c| = 25$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 + c = 25 \\ - 2 + c = - 25 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 27 \\ c = - 23 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$ .
Lúc đó, ta có $\left\lbrack \begin{matrix} \Delta:4x + 3y + 27 = 0 \\ \Delta:4x + 3y - 23 = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta thấy 4 tiếp tuyến này tạo thành hình thoi $ABCD$ , với tọa độ của $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{matrix}y + 7 = 0 \\4x + 3y + 27 = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = - 7 \\4x + 3y = - 27 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{- 3}{2} \\y = - 7 \\\end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$ hay $A\left( \frac{- 3}{2}; - 7 ight)$ .

Tọa độ của $B$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} y + 7 = 0 \\ 4x + 3y - 23 = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = - 7 \\ 4x + 3y = 23 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 11 \\ y = - 7 \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$ hay $B(11; - 7)$ .

Tọa độ của $C$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} y - 3 = 0 \\ 4x + 3y - 23 = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{7}{2} \\ y = 3 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$ hay $C\left( \frac{7}{2};3 ight)$ .
Ta được $AB = \sqrt{\left( 11 + \frac{3}{2} ight)^{2}} = \frac{25}{2}$ nên chu vi của hình thoi $ABCD$ sẽ bằng $4 \cdot \frac{25}{2} = 50$ .

Câu 22: Nhận biết

Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $C(–1\ ;\ 3)$ và $D(3\ ;\ 1)$ .

A.
$\left\{ \begin{matrix}x = - 1 + 2t \\y = 3 + t \\\end{matrix} ight.$ .
B.
$\left\{ \begin{matrix}x = - 1 - 2t \\y = 3 - t \\\end{matrix} ight.$ .
C.
$\left\{ \begin{matrix}x = 3 + 2t \\y = - 1 + t \\\end{matrix} ight.$ .
D.
$\left\{ \begin{matrix}x = - 1 - 2t \\y = 3 + t \\\end{matrix} ight.$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix}C( - 1;3) \in CD \\{\overrightarrow{u}}_{CD} = \overrightarrow{CD} = (4; - 2) = - 2( - 2;1)\\\end{matrix} ight.\ \overset{ightarrow}{}CD:\left\{ \begin{matrix}x = - 1 - 2t \\y = 3 + t \\\end{matrix} ight.\ \left( t\mathbb{\in R} ight).$

Câu 24: Nhận biết

Có tất cả bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức Newton của $(3 - 2x)^{5}$ ?

A.
$2$
B.
$4$
C.
$5$
D.
$6$

Khi viết nhị thức $(3 - 2x)^{5}$ dưới dạng khai triển $5 + 1 = 6$ số hạng.

Câu 25: Thông hiểu

Cho phương trình $\frac{x^{2} - 4x + 2}{\sqrt{x - 2}} = \sqrt{x -2}$ . Số nghiệm của phương trình này là:

A.
0.
B.
2.
C.
4.
D.
1.

ĐKXĐ: x > 2 khi đó phương trình trở thành $x^{2} - 4x + 2 = x - 2\Leftrightarrow x^{2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 1 \\x = 4 \\\end{matrix} ight.$ .

Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có một nghiệm x = 4.

Câu 26: Vận dụng

Đạt và Phong tham gia chơi trò một trò chơi đối kháng, thỏa thuận rằng ai thắng 5 ván trước là thắng chung cuộc và được hưởng toàn bộ số tiền thưởng của chương trình (không có ván nào hòa). Tuy nhiên khi Đạt thắng được 4 ván và Phong thắng được 2 ván rồi thì xảy ra sự cố kĩ thuật và chương trình buộc phải dừng lại. Biết rằng giới chuyên môn đánh giá Phong và Đạt ngang tài ngang sức. Hỏi phải chia số tiền thưởng như thế nào cho hợp lý (dựa trên quan điểm tiền thưởng tỉ lệ thuận với xác suất thắng cuộc của mỗi người).

A.
Tỉ lệ chia số tiền cho Đạt và Phong là 5:2.
B.
Tỉ lệ chia số tiền cho Đạt và Phong là 2:7.
C.
Tỉ lệ chia số tiền cho Đạt và Phong là 7:1.
D.
Tỉ lệ chia số tiền cho Đạt và Phong là 2:5.

Phân tích: Đề bài cho các điều kiện khá dài dòng, ta cần đưa chúng về dạng ngắn gọn dễ hiểu hơn.

+) “Biết rằng giới chuyên môn đánh giá Phong và Đạt ngang tài ngang sức”: xác suất để Phong và Đạt thắng trong một ván là như nhau và bằng $0,5$ .

+) “Khi Đạt thắng được 4 ván và Phong thắng được 2 ván rồi”: nghĩa là Đạt chỉ cần thắng một ván nữa là được 5 ván, còn Phong phải thắng 3 ván nữa mới đạt được.

Để xác định xác suất thắng chung cuộc của Đạt và Phong ta tiếp tục chơi thêm các ván “giả tưởng”. Để Phong có thể thắng chung cuộc thì anh phải thắng Đạt 3 ván liên tiếp (vì Đạt chỉ còn một ván nữa là thắng).

Như vậy xác suất thắng cuộc của Phong là: $P(P) = 0,5^{3} = \frac{1}{8}$ .

Xác suất thắng cuộc của Đạt là $P(Ð) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ .

Vậy Tỉ lệ chia tiền phù hợp là $\frac{7}{8}:\frac{1}{8} = 7:1$ .

Câu 27: Thông hiểu

Cho đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} - 4x - 6y - 12 = 0$ và đường thẳng $d:3x + 4y - 6 = 0$ . Tìm phương trình tiếp tuyến của $(C)$ song song với đường thẳng $d$ ?

A.
$3x + 4y + 7 = 0$ hoặc $3x + 4y - 43 = 0$
B.
$3x + 4y - 2 = 0$ hoặc $3x + 4y + 4 = 0$
C.
$3x + 4y - 12 = 0$ hoặc $3x + 4y - 1 = 0$
D.
$3x + 4y + 3 = 0$ hoặc $3x + 4y - 8 = 0$

Ta có: Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; 3) bán kính R = 5

Phương trình đường thẳng $\Delta_{1}$ song song với d có dạng $3x + 4y + c_{1} = 0$

$\Delta_{1}$ tiếp xúc với $(C)$ nên $d\left( I;\Delta_{1} ight) = R$

Hay $\frac{\left| 3.2 + 4.3 + c_{1} ight|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = 5 \Leftrightarrow \left| 18 + c_{1} ight| = 25$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 18 + c_{1} = 25 \\ 18 + c_{1} = - 25 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c_{1} = 7 \\ c_{1} = - 43 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy phương trình tiếp tuyến của $(C)$ song song với $(d)$ là: $3x + 4y + 7 = 0$ hoặc $3x + 4y - 43 = 0$ .

Câu 28: Nhận biết

Xác định m để biểu thức $f(x) = (m + 2)x^{2} – 3mx + 1$ là tam thức bậc hai.

A.
m = 2
B.
m = – 2
C.
m ≠ 2
D.
m ≠ – 2

Để biểu thức $f(x) = (m + 2)x^{2} – 3mx + 1$ là tam thức bậc hai ta có:

$m + 2 e 0 \Leftrightarrow m e - 2$

Câu 29: Vận dụng cao

Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\frac{3mx + 1}{\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 1} = \frac{2x + 5m + 3}{\sqrt{x + 1}}$ có nghiệm là:

A.
$0 < m < \frac{1}{3}$ .
B.
$\left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ m > \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.$ .
C.
$- \frac{1}{3} < m < 0$ .
D.
$\left\lbrack \begin{matrix} m < - \frac{1}{3} \\ m > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

ĐKXĐ x > − 1

pt ⇔ 3mx + 1 + x + 1 = 2x + 5m + 3 ⇔ (3m−1)x = 5m + 1.

Phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m - 1 eq 0 \\ x = \frac{5m + 1}{3m - 1} > - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq \frac{1}{3} \\ \frac{8m}{3m - 1} > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > \frac{1}{3} \\ m < 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Câu 30: Thông hiểu

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ có $A( - 3;1),B(2;1),C( - 1;5)$ . Phương trình tổng quát của đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $B$ của tam giác $ABC$ là:

A.
$2x + 3y + 15 = 0$
B.
$x - y - 3 = 0$
C.
$x + 5y - 4 = 0$
D.
$x + y - 1 = 0$

Gọi I là trung điểm của AC. Ta có: $I( - 2;3)$

Đường trung tuyến BI đi qua điểm B và nhận $\overrightarrow{BI} = ( - 4;4)$ làm vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{u} = (1;1)$ .

Phương trình tổng quát của đường thẳng $BI$ là:

$1(x - 2) + 1(y + 1) = 0$

$\Leftrightarrow x + y - 1 = 0$

Câu 31: Nhận biết

Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình chính tắc của Hypebol?

A.
$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$
B.
$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$
C.
$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
D.
$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Phương trình Hypebol có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1;c^{2} = a^{2} + b^{2}$

Vậy phương trình cần tìm là $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ .

Câu 32: Nhận biết

Khoảng cách từ điểm M( –1; 1) đến đường thẳng ∆: 3x – 4y – 3 = 0 bằng:

A.
$\frac{2}{5}$
B.
$2$
C.
$\frac{4}{5}$
D.
$\frac{4}{25}$

Ta có: ${d_{(M,\Delta )}} = \frac{{\left| {3. - 1 - 4.1 - 3} ight|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 2$ .

Câu 33: Nhận biết

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn?

A.
$x^{2} + y^{2} + 2x - 4y + 9 = 0$
B.
$x^{2} + y^{2} + 6x + 4y + 13 = 0$
C.
$2x^{2} + 2y^{2} - 6x - 4y - 1 = 0$
D.
$2x^{2} + y^{2} + 2x - 3y + 9 = 0$

Phương trình $x^{2} + y^{2} + 2x - 4y + 9 = 0$ có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = - 1;b = 2;c = 9$

Ta có: $a^{2} + b^{2} - c = 1 + 4 - 9 < 0$

Vậy phương trình $x^{2} + y^{2} + 2x - 4y + 9 = 0$ không là phương trình đường tròn.

Phương trình $x^{2} + y^{2} + 6x + 4y + 13 = 0$ có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = 3;b = 2;c = - 13$

Ta có: $a^{2} + b^{2} - c = 0$

Vậy phương trình $x^{2} + y^{2} + 6x + 4y + 13 = 0$ không là phương trình đường tròn.

Ta có:

$2x^{2} + 2y^{2} - 6x - 4y - 1 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 3x - 2y - \frac{1}{2} = 0$

$\Leftrightarrow \left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + (y - 1)^{2} = \frac{5}{2}$

Vậy đường tròn có bán kính $I\left( \frac{3}{2};1 ight)$ và bán kính $R = \frac{\sqrt{10}}{2}$

Phương trình $2x^{2} + y^{2} + 2x - 3y + 9 = 0$ không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của $x^{2};y^{2}$ khác nhau.

Câu 34: Nhận biết

Nhận xét nào đúng về vị trí tương đối của hai đường thẳng $(d):2x + 3y + 15 = 0$ và $(\Delta):x - 2y - 3 = 0$ ?

A.
Hai đường thẳng song song với nhau.
B.
Hai đường thẳng cắt nhau và không vuông góc với nhau.
C.
Hai đường thẳng trùng nhau.
D.
Hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Ta có:

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $(d):2x + 3y + 15 = 0$ là: $\overrightarrow{n_{d}} = (2;3)$

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $(\Delta):x - 2y + 3 = 0$ là: $\overrightarrow{n_{\Delta}} = (1; - 2)$

Suy ra $\overrightarrow{n_{d}}$ và $\overrightarrow{n_{d}}$ không cùng phương và $\overrightarrow{n_{d}}.\overrightarrow{n_{d}} = 2 - 6 = - 4 eq 0$

Suy ra hai đường thẳng cắt nhau và không vuông góc.

Câu 35: Thông hiểu

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hai đường thẳng $\left( d_{1} ight):2x - 3y - 10 = 0$ và $\left( d_{2} ight):\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 3t \\ y = 1 - 4mt \\ \end{matrix} ight.$ . Tìm giá trị của tham số $m$ để hai đường thẳng vuông góc với nhau?

A.
$m = \frac{1}{2}$
B.
$m = \frac{9}{8}$
C.
$m = - \frac{9}{8}$
D.
$m = - \frac{5}{4}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{1}} = (2; - 3) \\ \overrightarrow{u_{2}} = ( - 3; - 4m) \Rightarrow \overrightarrow{n_{2}} = (4m, - 3) \\ \end{matrix} ight.$

Hai đường thẳng $\left( d_{1} ight);\left( d_{2} ight)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

$\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = 0 \Leftrightarrow 2(4m) - 3.( - 3) = 0$

$\Leftrightarrow m = \frac{9}{8}$

Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi $m = \frac{9}{8}$ .

Câu 36: Thông hiểu

Xác định góc giữa hai đường thẳng $(a):\sqrt{3}x - y + 7 = 0$ và $(b):x - \sqrt{3}y - 1 = 0$ ?

A.
$30^{0}$
B.
$90^{0}$
C.
$60^{0}$
D.
$45^{0}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{a}} = \left( \sqrt{3};1 ight) \\ \overrightarrow{n_{b}} = \left( 1; - \sqrt{3} ight) \\ \end{matrix} ight.$

$\cos(a;b) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{a}}.\overrightarrow{n_{b}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{a}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{b}} ight|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow (a;b) = 30^{0}$

Câu 37: Nhận biết

Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó.

A.
90
B.
45
C.
1814400
D.
100

Số cách chọn hai học sinh từ 10 học sinh là chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử

=> Số cách chọn là: $A_{10}^2 = 90$ (cách)

Câu 38: Thông hiểu

Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau?

A.
$751$
B.
$736$
C.
$648$
D.
$684$

Gọi số tự nhiên có ba chữ số có dạng $\overline{abc};(a eq 0)$

Có 9 cách chọn a

Có 9 cách chọn b

Có 8 cách chọn c

=> Số các số được tạo thành là: $9.9.8 = 648$ số.

Câu 39: Nhận biết

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Xác suất của biến cố $A$ : "có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp" là bao nhiêu?

A.
$P(A) =\frac{1}{3}$ .
B.
$P(A) =\frac{3}{8}$ .
C.
$P(A) =\frac{1}{5}$ .
D.
$P(A) = \frac{1}{4}$ .

Chọn 2 trong 3 lần để xuất hiện mặt sấp có $C_{3}^{2} = 3$ cách.

2 lần xuất hiện mặt sấp có xác suất mỗi lần là $\frac{1}{2}$ . Lần xuất hiện mặt ngửa có xác suất là $\frac{1}{2}$ .

Vậy: $P(A) =3.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{3}{8}$ .

Câu 40: Thông hiểu

Cho các chữ số $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có $4$ chữ số và các chữ số đôi một bất kỳ khác nhau?