Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 1

Câu 1: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có mấy điểm cực trị?

A.
$2.$
B.
$1.$
C.
$0.$
D.
$3.$

Từ đồ thị suy ra đồ thị có điểm một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.

Câu 2: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình 2. Đường thẳng nào sau đây là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho?

A.
$x = 1$ .
B.
$x = - 2$ .
C.
$y = 1$ .
D.
$y = - 2$ .

Từ đồ thị suy ra đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là $y = 1$ .

Câu 3: Nhận biết

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = sin3x$ .

A.
$\int_{}^{}{sin3xdx} = - \frac{1}{3}cos3x + C$
B.
$\int_{}^{}{sin3xdx} = \frac{1}{3}cos3x + C$
C.
$\int_{}^{}{sin3xdx} = - 3cos3x + C$
D.
$\int_{}^{}{sin3xdx} = 3cos3x + C$

Ta có $\left( - \frac{1}{3}cos3x + C ight)' = sin3x.$

Câu 4: Nhận biết

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(1; - 1;2)$ và vectơ $\overrightarrow{n} = (2;4; - 6)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ qua A và nhận vectơ $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến.

A.
$x + 2y - 3z - 5 = 0$ .
B.
$x + 2y - 3z + 7 = 0$ .
C.
$2x + 4y - 6z + 5 = 0$ .
D.
$x + 5y - 6z + 5 = 0$

Phương trình mặt phẳng có dạng:

$A\left( x - x_{A} ight) + B\left( y - y_{A} ight) + C\left( z - z_{A} ight) = 0$ .

$2(x - 1) + 4(y + 1) + 6(z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y - 3z + 7 = 0.$

Câu 5: Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $(d):\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 2}{3}$ . Trong các vectơ sau, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)?

A.
$\overrightarrow{u} = (1;3;2)$ .
B.
$\overrightarrow{u} = (1;2;3)$ .
C.
$\overrightarrow{u} = (1;0;2)$ .
D.
$\overrightarrow{u} = (1;1;2)$ .

Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

$\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ với $a.b.c eq 0$ .

Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a}\mathbf{;}\mathbf{b}\mathbf{;}\mathbf{c} ight)$ .

Câu 6: Nhận biết

Mặt cầu (S) có tâm A(1; -2; 2) và bán kính R = 8. Tìm phương trình mặt cầu (S).

A.
$(S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 64$
B.
$(S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 8$
C.
$(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 8$
D.
$(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 64$

Phương trình mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính R có dạng: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$

Câu 7: Thông hiểu

Cho hai biến cố $A$ và $B$ . Xác suất của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra được gọi là xác suất của $A$ với điều kiện $B$ , ký hiệu là $P\left( \left. \ A ight|B ight)$ . Phát biểu nào sau đây đúng?

A.
Nếu $P(A) > 0$ thì $P\left( \left. \ A ight|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .
B.
Nếu $P(B) > 0$ thì $P\left( \left. \ A ight|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .
C.
Nếu $P(A \cap B) > 0$ thì $P\left( \left. \ A ight|B ight) = \frac{P(A)}{P(A \cap B)}$ .
D.
Nếu $P(A \cap B) > 0$ thì $P\left( \left. \ A ight|B ight) = \frac{P(B)}{P(A \cap B)}$ .

Công thức tính xác suất của biến cố $A$ khi biết biến cố $B$ đã xảy ra $\left( P(B) > 0 ight)$ là: $P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .

Câu 8: Nhận biết

Thống kê đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào 7 năm tuổi được trồng ở một lâm trường ở bảng 1.

Đường kính	$\lbrack 40;45)$	$\lbrack 45;50)$	$\lbrack 50;55)$	$\lbrack 55;60)$	$\lbrack 60;65)$
Tần số	5	20	18	7	3

Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

A.
25.
B.
30.
C.
6.
D.
69,8.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

$a_{m + 1} - a_{1} = 65 - 40 = 25.$

Câu 9: Nhận biết

Xét mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị thứ nhất, tứ phân vị thứ hai, tứ phân vị thứ ba lần lượt là $Q_{1}$ ; $Q_{2}$ ; $Q_{3}$ . Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng

A.
$Q_{2} - Q_{1}$ .
B.
$Q_{3} - Q_{2}$ .
C.
$Q_{3} - Q_{1}$
D.
$Q_{3} - 2Q_{2} + Q_{1}$ .

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_{3} - Q_{1}.$

Câu 10: Nhận biết

Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng $x = a;x = b;\left( {a < b} ight)$ xung quanh trục Ox.

A.
$V = \pi\int_{a}^{b}{f(x)dx}$
B.
$V = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}dx}$
C.
$V = \int_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}$
D.
$V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}$

Ta có : $V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx.$

Câu 11: Thông hiểu

Một siêu thị thống kê số tiền (đơn vị: chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày. Số liệu được ghi lại trong Bảng 1.

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số
[40;45) [40;45) [40;45) [40;45) [40;45) [40;45)	42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5	4 14 8 10 6 2
		N = 44
Bảng 1

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A.
53,2.
B.
46,12.
C.
30.
D.
11.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x} = \frac{4.42,5 + 14.47,5 + 8.52,5 + 10.57,5 + 6.62,5 + 2.67,5}{44} = \frac{585}{11}$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s^{2} = \frac{4\left( 42,5 -\frac{585}{11} ight)^{2} + 14\left( 47,5 - \frac{585}{11}ight)^{2}}{44}$ $+ \frac{8\left( 52,5 - \frac{585}{11} ight)^{2} +10\left( 57,5 - \frac{585}{11} ight)^{2}}{44}$

$+ \frac{+ 6\left( 62,5 - \frac{585}{11} ight)^{2} + 2.\left( 67,5 - \frac{585}{11} ight)^{2}}{44} \approx 46,12$

Câu 12: Thông hiểu

Dân số thế giới được tính theo công thức $S = A$ . e $\ ^{nr}$ trong đó $A$ là dân số của năm lấy làm mốc tính, $S$ là dân số sau $n$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Cho biết năm 2005 Việt Nam có khoảng 80902400 người và tỉ lệ tăng dân số là $1,47\%$ một năm. Như vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì tối thiểu đến năm bao nhiêu dân của Việt Nam có khoảng 93713000 người?

A.
$2015$ .
B.
$2014$ .
C.
$2016$ .
D.
$2017$ .

Ta có:

$S = A \cdot e^{nr} \Leftrightarrow e^{nr} = \frac{S}{A} \Leftrightarrow nr = \ln\frac{S}{A} \Leftrightarrow n = \frac{1}{r}\ln\frac{S}{A}$

Với $S = 93713700$ người; $A = 80902400$ người; $r = \frac{1,47}{100} = 0,0147/$ năm.

Suy ra $n = \frac{1}{0,0147}\ln\frac{93713000}{80902400} \approx 10$ .

Vậy tối thiểu đến năm 2015 thì dân số của Việt Nam có khoảng 93713000 người.

Câu 13: Thông hiểu

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0$ và $\left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0$

a) Vectơ có tọa độ $(1\ ;\ 2\ ;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ . Sai||Đúng

b) Vectơ có toạ độ $( - 2;\ 1\ ;\ 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{2} ight)$ . Đúng||Sai

c) Côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1)$ và ${\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ bằng $- \frac{1}{6}$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ và $\left( P_{2} ight)$ bằng $100{^\circ}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0$ và $\left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0$

a) Vectơ có tọa độ $(1\ ;\ 2\ ;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ . Sai||Đúng

b) Vectơ có toạ độ $( - 2;\ 1\ ;\ 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{2} ight)$ . Đúng||Sai

c) Côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1)$ và ${\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ bằng $- \frac{1}{6}$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ và $\left( P_{2} ight)$ bằng $100{^\circ}$ . Sai||Đúng

a) $\overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = (1;2; - 1)$ nên mệnh đề sai

b) $\overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = ( - 2;1;1)$ nên mệnh đề đúng

c) $\cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) = \frac{1.( - 2) + 2.1 + ( - 1)1}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = - \frac{1}{6}$ mệnh đề đúng

d) Góc hai mặt phẳng không thể tù nên mệnh đề sai

Câu 14: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị như hình vẽ.

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ . Đúng||Sai

b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_{0} = 2$ . Đúng||Sai

c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng $( - 1;0)$ . Đúng||Sai

d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;0brack$ bằng $0$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị như hình vẽ.

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ . Đúng||Sai

b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_{0} = 2$ . Đúng||Sai

c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng $( - 1;0)$ . Đúng||Sai

d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;0brack$ bằng $0$ . Sai||Đúng

Theo hình vẽ, hàm số nghịch biến trên khoảng $(0\ ;\ 2)$ và đạt cực tiểu tại điểm $x_{o} = 2$ .

Vì hàm số đồng biến trên khoảng $( - 1\ \ ;\ 0)$ nên đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng đó.

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1\ ;\ 0brack$ bằng $2$ .

Câu 15: Nhận biết

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc $72$ $km/h$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $45\ \ m$ . Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t) = - 12t + 24\ \ (m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quảng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Quảng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$ . Đúng||Sai

b) Quãng đường $s(t) = - 12t^{2} + 24t$ . Đúng||Sai

c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là $10$ giây. Sai||Đúng

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

Đáp án là:

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc $72$ $km/h$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $45\ \ m$ . Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t) = - 12t + 24\ \ (m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quảng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Quảng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$ . Đúng||Sai

b) Quãng đường $s(t) = - 12t^{2} + 24t$ . Đúng||Sai

c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là $10$ giây. Sai||Đúng

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

Do $s'(t) = v(t)$ nên quãng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$ . Ta có: $\int_{}^{}{( - 12t + 24)}dt = - 6t^{2} + 24t + C$ với $C$ là hằng số.

Khi đó, ta gọi hàm số $s(t) = - 6t^{2} + 24t + C$ .

Do $s(0) = 0$ nên $C = 0$ . Suy ra $s(t) = - 6t^{2} + 24t$ .

Xe ô tô dừng hẳn khi $v(t) = 0$ hay $- 12t + 24 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ . Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ $72\ km/h = 20\ m/s$ .

Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: $s(2) = - 6.2^{2} + 24.2 = 24(\ m)$ .

Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: $20 + 24 \approx 44\ (\ m)$ .

Do $44 < 45$ nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.

Câu 16: Thông hiểu

Năm 2012, Cộng đồng Châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Người ta tiến hành một loại xét nghiệm và cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm là $60\%$ ; còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để xảy ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm đó là $20\%$ . Biết rằng ti lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 1,5 con trên 100000 con. Gọi $X$ là biến cố một con bò bị bệnh bò điên, $Y$ là biến cố một con bò phản ứng dương tính với xét nghiệm.

a) $P(X) = 15.10^{- 6}$ . Đúng||Sai

b) $P(Y \mid X) = 0,06$ . Sai||Đúng

c) $P\left( Y \mid \overline{X} ight) = 0,2$ . Đúng||Sai

d) $P(Y \cap X) = 9.10^{- 7}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Năm 2012, Cộng đồng Châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Người ta tiến hành một loại xét nghiệm và cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm là $60\%$ ; còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để xảy ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm đó là $20\%$ . Biết rằng ti lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 1,5 con trên 100000 con. Gọi $X$ là biến cố một con bò bị bệnh bò điên, $Y$ là biến cố một con bò phản ứng dương tính với xét nghiệm.

a) $P(X) = 15.10^{- 6}$ . Đúng||Sai

b) $P(Y \mid X) = 0,06$ . Sai||Đúng

c) $P\left( Y \mid \overline{X} ight) = 0,2$ . Đúng||Sai

d) $P(Y \cap X) = 9.10^{- 7}$ . Sai||Đúng

Tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 1,5 con trên $100\ 000$ con nghĩa là $P(X) = 15.10^{- 6}$ .

Khi con bò bị bệnh bò điên, thì xác suất để ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm là 60%, nghĩa là: $P\left( Y|X ight) = 0,6.$

Khi con bò không bị bệnh, thì xác xuất để xả ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm đó là 20%, nghĩa là $P\left( Y|\overline{X} ight) = 0,2$ . Khi đó, ta có:

$P(Y \cap X) = P\left( Y|X ight).P(X) = 0,6\ .\ 15\ .\ 10^{- 6} = 9.10^{- 6}.$

Câu 17: Vận dụng cao

Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

Đáp án: 6750000 đồng.

Đáp án là:

Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

Đáp án: 6750000 đồng.

Gọi phương trình parabol $(P):y = ax^{2} + bx + c$ .

Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ( P) có đỉnh I ∈ Oy (như hình vẽ)

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} \frac{9}{4} = c\ (I \in (P))\ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = \frac{9}{4} \\ a = - 1 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

Vậy $(P):y = - x^{2} + \frac{9}{4}$

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: $S = \int_{\frac{- 3}{2}}^{\frac{3}{2}}\left( - x^{2} + \frac{9}{4} ight)dx = 2\left. \ \left( - \frac{x}{3}^{3} + \frac{9}{4}x ight) ight|_{0}^{\frac{9}{4}} = \frac{9}{2}(m^{2}).$

Số tiền phải trả là $\frac{9}{2}.1500000 = 6750000$ đồng.

Câu 18: Thông hiểu

Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x) = \sqrt{x}$ và $y = g(x) = x - 2$ như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 3,3 m²

Đáp án là:

Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x) = \sqrt{x}$ và $y = g(x) = x - 2$ như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 3,3 m²

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số $y = \sqrt{x},y = x - 2.$

$\sqrt{x} = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x = (x - 2)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x^{2} - 5x + 4 = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow x = 4. ight.$

Diện tích của hình phẳng cần tìm là

$S = \int_{0}^{4}\sqrt{x}dx - \int_{0}^{4}(x - 2)dx = \frac{10}{3} \approx 3,3(m^{2}).$

Câu 19: Vận dụng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: 294,92 km.

Đáp án là:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: 294,92 km.

Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.

Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)

Ta có $\overrightarrow{OH} = ( - 688 + 91t; - 185 + 75t;8)$

OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0

⟺13906t - 76483 = 0 ⟺ $t = \frac{11}{2}.$

Suy ra $H(\frac{- 375}{2};\frac{455}{2};8).$

Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:

$OH = \sqrt{\left( \frac{- 375}{2} ight)^{2} + \left( \frac{455}{2} ight)^{2} + 8^{2})} \approx 294,92(km).$

Câu 20: Vận dụng

Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Chị Mai có tiếp xúc với người bệnh hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để chị Mai bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).

Đáp án: 0,82

Đáp án là:

Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Chị Mai có tiếp xúc với người bệnh hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để chị Mai bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).

Đáp án: 0,82

Gọi $A$ là biến cố: "Chị Hoa bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc người bệnh mà không đeo khẩu trang" và $B$ : "Chị Hoa bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc với người bệnh dù có đeo khẩu trang”.

Dễ thấy $\overline{A},\overline{B}$ là hai biến cố độc lập.

Xác suất để chị Hoa không nhiễm bệnh trong cả hai lần tiếp xúc với người bệnh là

$P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0,2 \cdot 0,9 = 0,18$ .

Gọi $P$ là xác suất để chị Hoa bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh, ta có:

$P = 1 - P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - 0,18 = 0,82.$

Câu 21: Vận dụng

Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi vịt. Biết rằng đã có sẵn 240 m hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh chuồng là bao nhiêu?

Đáp án: 2400 m²

Đáp án là:

Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi vịt. Biết rằng đã có sẵn 240 m hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh chuồng là bao nhiêu?

Đáp án: 2400 m²

Xét hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, và đặtv AB = x (x > 0)

Khi đó BC = 240 – 3x > 0 ⇒ x < 80.

Diện tích của hình chữ nhật ABCD là S = x.(240 – 3x ) = 240x – 3x²

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) với 0 < x < 80.

Xét f(x) = 240x – 3x² ⇒ f’(x) = 240 – 6x , f’(x) = 0 ⟺ x = 40.

Do f’’(x) = - 6 < 0, ∀ x∈ (0; 80)

Do đó $maxS = \max_{x \in (0;80)}f(x) = f(40) = 4800 \Leftrightarrow x = 40$

Vậy diện tích lớn nhất có thể bao quanh là 4800m² .

Câu 22: Thông hiểu

Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $f(t) = 35t^{2} - \frac{5}{3}t^{3}$ (kết quả khào sát trong 12 tháng liên tục). Nếu xem $f^{'}(t)$ là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm $t$ thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ mấy?

Trả lời: Ngày thứ 7

Đáp án là:

Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $f(t) = 35t^{2} - \frac{5}{3}t^{3}$ (kết quả khào sát trong 12 tháng liên tục). Nếu xem $f^{'}(t)$ là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm $t$ thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ mấy?

Trả lời: Ngày thứ 7

Ta có $f(t) = 35t^{2} - \frac{5}{3}t^{3} \Rightarrow f'(t) = 70t - 5t^{2}(t > 0)$

Vì $f^{'}(t)$ có đồ thị là một parabol có bề lõm quay xuống nên đạt giá trị cực đại tại $t = - \frac{70}{2( - 5)} = 7$ .

Vậy vào ngày thứ 7 tốc độ truyền bệnh là nhanh nhất.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!