Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 3

Mô tả thêm: Đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán 2025 được biên soạn theo cấu trúc đề thi mới nhất, giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.

Số câu hỏi: 22 câu
Số điểm tối đa: 22 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Mua gói để Làm bài

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây
- A.
  $(1;5)$ .
- B.
  $(0;2)$ .
- C.
  $( - \infty;0)$ .
- D.
  $(2; + \infty)$ .
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$ .
Câu 2: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số theo thứ tự là
- A.
  $x = - 1$ ; $y = - 1$ .
- B.
  $x = 1$ ; $y = 1$ .
- C.
  $x = 1$ ; $y = - 1$ .
- D.
  $x = - 1$ ; $y = 1$ .
Từ đồ thị của hàm số suy ra tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là : x = 1 ; y = 1
Câu 3: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = 3x^{2} - 1$ . Phát biểu nào sau đây đúng?
- A.
  $f(x) = x^{3} + C$ .
- B.
  $\frac{x^{3}}{3} + x + C$ .
- C.
  $6x + C$ .
- D.
  $x^{3} - x + C$ .
Ta có $\int_{}^{}{\left( 3x^{2} - 1 ight)dx = x^{3} - x + C}$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - y + z - 1 = 0$ . Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (2; - 1; - 1)$ .
- B.
  $\overrightarrow{n} = ( - 2;1; - 1)$ .
- C.
  $\overrightarrow{n} = (2;1; - 1)$ .
- D.
  $\overrightarrow{n} = ( - 1;1; - 1)$ .
Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ có tọa độ là $(2; - 1;1)$ hoặc $( - 2;1; - 1)$ .
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A( - 2;3;2)$ và $B(5;4; - 1)$ là
- A.
  $\frac{x + 2}{7} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{- 3}$ .
- B.
  $\frac{x - 2}{7} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z + 2}{- 3}$ .
- C.
  $\frac{x + 2}{5} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 2}{- 1}$ .
- D.
  $\frac{x - 2}{5} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z + 2}{- 1}$ .
Vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là $\overrightarrow{AB} = (7;1; - 3)$ và đường thẳng đi qua điểm $A( - 2;3;2)$ .

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $\frac{x + 2}{7} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{- 3}$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 16$ có tâm là
- A.
  $I(1;0;3)$ .
- B.
  $I( - 1;0;3)$ .
- C.
  $I(1;0; - 3)$ .
- D.
  $I(1;2; - 3)$ .
Mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 16$ có tâm là: $I(1;0; - 3)$ .
Câu 7: Nhận biết
Cho hai biến cố $A$ , $B$ với $0 < P(B) < 1$ . Phát biểu nào sau đây đúng?
- A.
  $P(A) = P\left( \overline{B} ight).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$ .
- B.
  $P(A) = P(B).P\left( A|B ight) - P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$ .
- C.
  $P(A) = P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight) - P(B).P\left( A|B ight)$ .
- D.
  $P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$ .
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$ .
Câu 8: Nhận biết
Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở bảng sau :

Nhóm

Giá trị đại diện

Tần số

$\left\lbrack a_{1};a_{2} ight)$ $x_{1}$ $n_{1}$

$\left\lbrack a_{2};a_{3} ight)$ $x_{2}$ $n_{2}$

…

…

…

$\left\lbrack a_{m};a_{m + 1} ight)$ $x_{m}$ $n_{m}$

$n$

Gọi $\overline{x}$ là số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm đó được tính bằng công thức nào trong các công thức sau ?
- A.
  $s = \frac{n_{1}\left( x_{1} - \overline{x} ight)^{2} + n_{2}\left( x_{2} - \overline{x} ight)^{2} + ... + n_{m}\left( x_{m} - \overline{x} ight)^{2}}{n}$ .
- B.
  $s = \sqrt{\frac{n_{1}\left( x_{1} - \overline{x} ight)^{2} + n_{2}\left( x_{2} - \overline{x} ight)^{2} + ... + n_{m}\left( x_{m} - \overline{x} ight)^{2}}{m}}$ .
- C.
  $s = \sqrt{\frac{n_{1}\left( x_{1} - \overline{x} ight)^{2} + n_{2}\left( x_{2} - \overline{x} ight)^{2} + ... + n_{m}\left( x_{m} - \overline{x} ight)^{2}}{n}}$ .
- D.
  $s^{2} = \frac{n_{1}\left( x_{1} - \overline{x} ight)^{2} + n_{2}\left( x_{2} - \overline{x} ight)^{2} + ... + n_{m}\left( x_{m} - \overline{x} ight)^{2}}{m}$ .
Công thức tính độ lệch chuẩn là

$s = \sqrt{\frac{n_{1}\left( x_{1} - \overline{x} ight)^{2} + n_{2}\left( x_{2} - \overline{x} ight)^{2} + ... + n_{m}\left( x_{m} - \overline{x} ight)^{2}}{n}}$
Câu 9: Nhận biết
Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của 20 con hổ và thu được kết quả như sau:
- A.
  $\lbrack 14;15)$ .
- B.
  $\lbrack 15;16)$ .
- C.
  $\lbrack 16;17)$ .
- D.
  $\lbrack 17;18)$ .
Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{20}{4} = 5$ và $1 + 3 < 5 < 1 + 3 + 8$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm $\lbrack 16;17)$
Câu 10: Nhận biết
Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ $(a < b)$ là
- A.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
- B.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx}$ .
- C.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack^{2}dx}$ .
- D.
  $S = \pi\int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ $(a < b)$ là $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Câu 11: Nhận biết
Nghiệm của bất phương trình $(0,2)^{x^{2}} > 1$ là
- A.
  $\varnothing$ .
- B.
  $\mathbb{R}\backslash\left\{ 0 ight\}$ .
- C.
  $(0; + \infty)$ .
- D.
  $\mathbb{R}$ .
Ta có $(0,2)^{x^{2}} > 1 \Leftrightarrow x^{2} < log_{0,2}1 \Leftrightarrow x^{2} < 0$ (vô nghiệm).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $\varnothing$ .
Câu 12: Thông hiểu
Một siêu thị thống kê số tiền (đơn vị: chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày. Số liệu được ghi lại trong Bảng 18.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
- A.
  6,2.
- B.
  46,1.
- C.
  8,5.
- D.
  33,4.
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x} = \frac{4.42,5 + 14.47,5 + 8.52,5 + 10.57,5 + 6.62,5 + 2.67,5}{44} = \frac{585}{11}$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s^{2} = \frac{4\left( 42,5 - \frac{585}{11} ight)^{2} + 14\left( 47,5 - \frac{585}{11} ight)^{2}}{44}$

$+ \frac{8\left( 52,5 - \frac{585}{11} ight)^{2} + 10\left( 57,5 - \frac{585}{11} ight)^{2}}{44}$

$+ \frac{+ 6\left( 62,5 - \frac{585}{11} ight)^{2} + 2.\left( 67,5 - \frac{585}{11} ight)^{2}}{44} \approx 46,12$

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\sqrt{s} \approx 6,2$
Câu 13: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c\ \ \ \ \ \ \left( a,b,c\mathbb{\in R} ight)$ có đồ thị như hình bên dưới.

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty;2)$ . Sai||Đúng

b) Hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị là 0 và 2. Đúng||Sai

c) Giá trị của $c = - 2$ . Sai||Đúng

d) Giá trị của biểu thức $T = a + b + c$ bằng $- 1$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c\ \ \ \ \ \ \left( a,b,c\mathbb{\in R} ight)$ có đồ thị như hình bên dưới.

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty;2)$ . Sai||Đúng

b) Hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị là 0 và 2. Đúng||Sai

c) Giá trị của $c = - 2$ . Sai||Đúng

d) Giá trị của biểu thức $T = a + b + c$ bằng $- 1$ . Đúng||Sai

a) Hàm số đồng biến trên $( - \infty;0)$ và $(2; + \infty)$ nên mệnh đề sai

b) Mệnh đề đúng

c) Đồ thị cắt trục tung tại $(0;2) \Rightarrow c = 2$ nên mệnh đề sai

d) $f'(x) = 3x^{2} + 2ax + b$ , vì 0 và 2 là hai nghiệm của $f'(x) = 3x^{2} + 2ax + b = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 0 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ nên mệnh đề đúng
Câu 14: Thông hiểu

Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau $t$ năm được xác định bởi hàm số $S(t)$ ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với $S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}$ , với $t$ là số năm kể từ năm 2014, $S'(t)$ được tính bằng triệu người/năm.

a) $S(t)$ là một nguyên hàm của $S'(t)$ . Đúng||Sai

b) $S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7$ . Sai||Đúng

c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

Đáp án là:

Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau $t$ năm được xác định bởi hàm số $S(t)$ ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với $S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}$ , với $t$ là số năm kể từ năm 2014, $S'(t)$ được tính bằng triệu người/năm.

a) $S(t)$ là một nguyên hàm của $S'(t)$ . Đúng||Sai

b) $S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7$ . Sai||Đúng

c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

Ta có: $S(t)$ là một nguyên hàm của $S'(t)$ và

$\int_{}^{}{S'(t)}dt = \int_{}^{}{1,2698.e^{0,014t}}dt = 90,7.e^{0,014t} + C$

Do $S(0) = 90,7 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S(t) = 90,7.e^{0,014t}$

Tốc độ tăng dân số của nước ta vào năm 2034 là

$S'(20) = 1,2698.e^{0,014.20} \approx 1,7$ ( triệu người/năm)

Dân số của nước ta vào năm 2034 là

$S(20) = 90,7.e^{0,014.20} \approx 120$ ( triệu người)
Câu 15: Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng: $\bigtriangleup_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2}$ và $\bigtriangleup_{2}:\frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}$

a) Vectơ có tọa độ $(1;2;3)$ là một vectơ chỉ phương của $\bigtriangleup_{1}$ . Sai||Đúng

b) Đường thẳng $\bigtriangleup_{2}$ đi qua điểm $A(0; - 3;14)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $\bigtriangleup_{3}$ đi qua $B(1;1; - 2)$ và vuông góc với $\bigtriangleup_{1}$ có phương trình tham số là $\bigtriangleup_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 2 - 3t \\ \end{matrix} ight.$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai đường thẳng $\bigtriangleup_{1}$ và $\bigtriangleup_{2}$ khoảng $132^{0}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng: $\bigtriangleup_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2}$ và $\bigtriangleup_{2}:\frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}$

a) Vectơ có tọa độ $(1;2;3)$ là một vectơ chỉ phương của $\bigtriangleup_{1}$ . Sai||Đúng

b) Đường thẳng $\bigtriangleup_{2}$ đi qua điểm $A(0; - 3;14)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $\bigtriangleup_{3}$ đi qua $B(1;1; - 2)$ và vuông góc với $\bigtriangleup_{1}$ có phương trình tham số là $\bigtriangleup_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 2 - 3t \\ \end{matrix} ight.$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai đường thẳng $\bigtriangleup_{1}$ và $\bigtriangleup_{2}$ khoảng $132^{0}$ . Sai||Đúng

a) Vectơ có tọa độ $(2;1; - 2)$ là một vectơ chỉ phương của $\bigtriangleup_{1}$ nên mệnh đề sai

b) Mệnh đề đúng

c) Gọi $B = \bigtriangleup_{1} \cap \bigtriangleup_{3} \Rightarrow B(1 + 2t;2 + t;3 - 2t)$

$\begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2t; - 1 - t; - 5 + 2t\ ) \\ \overrightarrow{AB}\bot u_{\bigtriangleup_{1}} \Rightarrow t = 1 \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 2; - 3\ ) \\ \end{matrix}$ nên mệnh đề đúng

d) Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn nên mệnh đề sai
Câu 16: Thông hiểu

Khi kiểm tra sức khỏe tổng quát của bệnh nhân ở một bệnh viện, người ta thu được kết quả như sau:

- Có 40% bệnh nhân bị đau dạ dày

- Có 30% bệnh nhân thường xuyên bị stress

- Trong số các bệnh nhân bị stress có 80% bệnh nhân bị đau dạ dày.

Chọn ngẫu nhiên 1 bệnh nhân

a) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress là 0,3. Đúng||Sai

b) Xác suất chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày, biết bệnh nhân đó thường xuyên bị stress là 0,8. Đúng||Sai

c) Xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là 0,24. Đúng||Sai

d) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày là 0,6. Đúng||Sai

Đáp án là:

Khi kiểm tra sức khỏe tổng quát của bệnh nhân ở một bệnh viện, người ta thu được kết quả như sau:

- Có 40% bệnh nhân bị đau dạ dày

- Có 30% bệnh nhân thường xuyên bị stress

- Trong số các bệnh nhân bị stress có 80% bệnh nhân bị đau dạ dày.

Chọn ngẫu nhiên 1 bệnh nhân

a) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress là 0,3. Đúng||Sai

b) Xác suất chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày, biết bệnh nhân đó thường xuyên bị stress là 0,8. Đúng||Sai

c) Xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là 0,24. Đúng||Sai

d) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày là 0,6. Đúng||Sai

Xét các biến cố: A:“Chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress”

B:“Chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày”

Khi đó: $P(A) = 0,3;P(B) = 0,4;P(B|A) = 0,8$

Xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress, vừa bị đau dạ dày là: $P(A \cap B) = P(A).P\left( B|A ight) = 0,24$

Xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày là:

$P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 0,6$
Câu 17: Vận dụng

Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất $v = 50m/s$ , sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án: 667m

Đáp án là:

Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất $v = 50m/s$ , sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án: 667m

Giả sử hàm số biểu thị cho vận tốc có dạng $(P):v(t) = at^{2} + bt + c\left( a,b,c\mathbb{\in R} ight)$

Do $(P)$ đi qua gốc $O$ nên $c = 0$

$(P)$ có đỉnh là $I(10;50)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{- b}{2a} = 10 \\ 50 = a.100 + b.10 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{1}{2} \\ b = 10 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó $(P):v(t) = - \frac{1}{2}t^{2} + 10t$

Xe dừng lại khi $v(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 20 \\ \end{matrix} ight.$

Quảng đường xe ô tô di chuyển trong 20 giây là $S = \int_{0}^{20}{\left( - \frac{1}{2}t^{2} + 10t ight)dt} \approx 667m$
Câu 18: Vận dụng cao

Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m² (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 4,32m².

Đáp án là:

Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m² (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 4,32m².

Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.

Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm $A( - 1;0)$ và $A(2;1)$ có dạng hàm số $(P_{1}):y = \frac{1}{2}x^{2} - 1$ .

Đồ thị của hàm số $y = g(x)$ nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm $C(1;0)$ và $D(2; - 1)$ có dạng hàm số $(P_{1}):y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1$ .

Giao điểm của hai parabol tại $x_{1} = - \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{2}$

Do đó, diện tích của con cá là $S = \int_{- \sqrt{2}}^{2}{\left| x^{2} - 2 ight|dx} \approx 4,32m^{2}$
Câu 19: Vận dụng cao

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100)$ . Máy bay sẽ bay qua điểm $W$ của đường màu $BC$ để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c)$ , hãy tính giá trị biểu thức $T = a + b - 2c$ .

Đáp án: 50

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100)$ . Máy bay sẽ bay qua điểm $W$ của đường màu $BC$ để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c)$ , hãy tính giá trị biểu thức $T = a + b - 2c$ .

Đáp án: 50

Ta có: $\overrightarrow{BC} = (100;0;50)$

Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP $\overrightarrow{u} = (2;0;1)$ có dạng $(BC):\left\{ \begin{matrix} x = 50 + 2t \\ y = 100 \\ z = 50 + t \\ \end{matrix} ight.$

Điểm $W \in (BC) \Rightarrow W(50 + 2t;100;50 + t)$ và $\overrightarrow{AW} = (2t - 50;50;t - 50)$

Ta có: $\overrightarrow{AW}.\overrightarrow{BC} = 0$

$\Rightarrow 2(2t - 50) + (t - 50) = 0 \Rightarrow t = 30$

Vậy $H(110;100;80) \Rightarrow a + b - 2c = 50.$
Câu 20: Thông hiểu

Khi đặt hệ tọa độ $Oxyz$ vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu $(S)$ (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 = 0$ . Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.

Đáp án : 18km

Đáp án là:

Khi đặt hệ tọa độ $Oxyz$ vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu $(S)$ (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 = 0$ . Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.

Đáp án : 18km

Ta có $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 = 0$

$\Leftrightarrow (x + 7)^{2} + (y + 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 9^{2}$ .

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là 18km.

Đáp số: 18km.
Câu 21: Vận dụng

Câu lạc bộ thể thao của trường Việt Anh có 40 bạn đều biết chơi biết chơi ít nhất một trong hai môn là bóng đá và cầu lông, trong đó có 27 bạn biết chơi bóng đá và 25 bạn biết chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá biết bạn đó chơi được cầu lông là bao nhiều?

Đáp án: 0,48

Đáp án là:

Câu lạc bộ thể thao của trường Việt Anh có 40 bạn đều biết chơi biết chơi ít nhất một trong hai môn là bóng đá và cầu lông, trong đó có 27 bạn biết chơi bóng đá và 25 bạn biết chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá biết bạn đó chơi được cầu lông là bao nhiều?

Đáp án: 0,48

Xét các biến cố: $A$ : “Chọn được bạn biết chơi bóng đá”

$B$ : “Chọn được bạn biết chơi cầu lông”

Khi đó $P(A) = \frac{27}{40} = 0,675$ ; $P(B) = \frac{25}{40} = 0,625$ ; $P(A \cup B) = 1$ .

Suy ra $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0,675 + 0,625 - 1 = 0,3$ .

Vậy xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá, bạn đó biết chơi cầu lông là $P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,625} = 0,48$ .

Đáp số: $0,48$ .
Câu 22: Vận dụng

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $f(t) = 4t^{3} - \frac{t^{4}}{2}$ (người). Nếu xem $f'(t)$ là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm $t$ . Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

Đáp án: Ngày thứ 4||tư

Đáp án là:

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $f(t) = 4t^{3} - \frac{t^{4}}{2}$ (người). Nếu xem $f'(t)$ là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm $t$ . Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

Đáp án: Ngày thứ 4||tư

Điều kiện $t \geq 0$ .

Ta có $g(t) = f'(t) = 12t^{2} - 2t^{3}$ , $g'(t) = 24t - 6t^{2}$ , $g'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 4 \\ \end{matrix} ight.$ .

Bảng biến thiên:

Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ $4$ .

Đáp số: $4$ .

6 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số
$\left\lbrack a_{1};a_{2} ight)$	$x_{1}$	$n_{1}$
$\left\lbrack a_{2};a_{3} ight)$	$x_{2}$	$n_{2}$
…	…	…
$\left\lbrack a_{m};a_{m + 1} ight)$	$x_{m}$	$n_{m}$
		$n$

Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 3

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!