Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 4

Câu 1: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

A picture containing tableDescription automatically generated

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.
$(1; + \infty)$ .
B.
$(0;1)$ .
C.
$( - 1;0)$ .
D.
$(0; + \infty)$ .

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $( - \infty; - 1)$ và $(0;1)$ .

Câu 2: Nhận biết

Tìm x để hàm số $y =\log\sqrt{x^{2} + x - 12}$ có nghĩa.

A.
$x \in R$ .
B.
$x \in ( - 4;3)$ .
C.
$\left\{ \begin{matrix} x eq - 4 \\ x eq 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
D.
$x \in ( - \infty; - 4) \cup (3; + \infty)$ .

Hàm số $\log\sqrt{x^{2} + x - 12}$ có nghĩa khi $x^{2} + x - 12 > 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x > 3 \\x < - 4 \\\end{matrix} ight.$ .

Câu 3: Nhận biết

$\int_{}^{}{x^{2}dx}$ bằng

A.
$2x + C$ .
B.
$\frac{1}{3}x^{3} + C$ .
C.
$x^{3} + C$ .
D.
$3x^{3} + C$ .

Ta có $\int_{}^{}{x^{2}dx} =\frac{1}{3}x^{3} + C$ .

Câu 4: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng?

A.
$x - 3y^{2} + z - 1 = 0$ .
B.
$x^{2} + 2y + 4z - 2 =0$ .
C.
$2x - 3y + 4z - 2024 = 0$ .
D.
$2x - 3y + 4z^{2} - 2025 = 0$ .

Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: $2x - 3y + 4z - 2024 = 0$ .

Câu 5: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng $d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 5}{2}$ có một vectơ chỉ phương là:

A.
$\overrightarrow{u_{1}} = (3;\ - 1;\ 5)$ .
B.
$\overrightarrow{u_{4}} = ( - 1;\ 1;\ - 2)$ .
C.
$\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3;1;5} ight)$ .
D.
$\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1; - 1; - 2} ight)$ .

Đường thẳng $(P)$ có một vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u_{4}} = ( - 1;\ 1;\ - 2)$

Câu 6: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S):x^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6.$ Đường kính của $(S)$ bằng

A.
$\sqrt{6}$ .
B.
$12$ .
C.
$2\sqrt{6}$ .
D.
$3$ .

Ta có bán kính của $(S)$ là $\sqrt{6}$ nên đường kính của $(S)$ bằng $2\sqrt{6}$ .

Câu 7: Nhận biết

Cho hàm số $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$ . Hàm số có đạo hàm $f'(x)$ bằng:

A.
$\frac{2}{(x + 1)^{2}}$ .
B.
$\frac{3}{(x +1)^{2}}$ .
C.
$\frac{1}{(x + 1)^{2}}$ .
D.
$\frac{- 1}{(x + 1)^{2}}$ .

Hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = \frac{3}{(x + 1)^{2}}$ .

Câu 8: Nhận biết

Dũng là một học sinh rất giỏi chơi rubik, bạn có thể giải nhiều loại khối rubik khác nhau. Trong một lần tập luyện giải khối rubik, bạn Dũng đã tự thống kê lại thời gian giải rubik trong 25 lần liên tiếp ở bảng sau:

Thời gian giải rubik (giây)	$\lbrack 8;10)$	$\lbrack 10 ; 12)$	$\lbrack 12;14)$	$\lbrack 14;16)$	$\lbrack 16;18)$
Số lần	$4$	$6$	$8$	$4$	$3$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm nhận giá trị nào trong các giá trị sau đây?

A.
$6$ .
B.
$8$ .
C.
$10$ .
D.
$12$ .

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R=18-8=10$ .

Câu 9: Nhận biết

Kết quả khảo sát năng suất (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được minh họa ở biểu đồ sau.

Năng suất trung bình được tính theo mẫu số liệu ghép nhóm gần nhất với giá trị nào sau đây?

A.
$6,1$ tấn/ha.
B.
$6,0$ tấn/ha.
C.
$6,2$ tấn/ha.
D.
$6,3$ tấn/ha.

Ta có :

Năng suất trung bình được tính theo mẫu số liệu ghép nhóm:

$\overline{x} = \frac{5,6.3 + 5,8.4 + 6.6 + 6,2.5 + 6,4.5 + 6,6.2}{3 + 4 + 6 + 5 + 5 + 2} = 6,088$ .

Câu 10: Thông hiểu

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x = 1$ và $x = 3$ . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ( $1 \leq x \leq 3$ ) cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3x$ và $3x^{2} - 2$ . Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên

A.
$V = 156$ .
B.
$V = 156\pi$ .
C.
$V = 312$ .
D.
$V = 312\pi$ .

Diện tích thiết diện là: $S(x) = 3x.\left( 3x^{2} - 2 ight) = 9x^{3} - 6x$

$\Rightarrow$ Thể tích vật thể là: $V = \int_{1}^{3}{\left( 9x^{3} - 6x ight)dx = 156}$

Câu 11: Nhận biết

Nghiệm của phương trình $\sin\left( \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} ight) = 0$ .

A.
$x = k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
B.
$x = \frac{2\pi}{3} + \frac{k3\pi}{2}\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
C.
$x = \frac{\pi}{3} + k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
D.
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .

Phương trình

$\sin\left( \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} = k\pi$

$\Leftrightarrow \frac{2x}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).$

Câu 12: Thông hiểu

Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt bằng 8

A.
$\frac{1}{6}$ .
B.
$\frac{5}{36}$ .
C.
$\frac{1}{9}$ .
D.
$\frac{1}{2}$ .

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = 6.6 = 36$

Gọi $A$ là biến cố “Số chấm trên mặt hai lần gieo có tổng bằng 8”.

Theo bài ra, ta có $A = \left\{ (2;6),(3;5),(4;4),(5;3),(6;2) ight\}$

Khi đó số kết quả thuận lợi của biến cố là $n(A) = 5$

Vậy xác suất cần tính $P(A) = \frac{5}{36}$ .

Câu 13: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$ . Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $3\ km$ .

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} = 9$ . Sai||Đúng

b) Điểm $A(2;2;7)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Sai||Đúng

c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(2;2;7)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$ . Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $3\ km$ .

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} = 9$ . Sai||Đúng

b) Điểm $A(2;2;7)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Sai||Đúng

c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(2;2;7)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

Phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;3;7)$ bán kính $3\ km$ mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 7)^{2} = 9$ .

Ta có: $IA = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (2 - 3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = \sqrt{2} < 3$ nên điểm $A$ nằm trong mặt cầu.

Vì điểm $A$ nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ $(2;2;7)$ có thể sử dưng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

Ta có: $IB = \sqrt{(5 - 1)^{2} + (6 - 3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = 5' > 3$ nên điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu.

Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ không thể sử dựng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó

Câu 14: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} -3x$ .

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$ . Đúng||Sai

b) $f'(x) = 3x^{2} + 3$ . Sai||Đúng

c) $f'(x) < 0$ khi $x \in ( - \infty; - 1) \cup (1; +\infty)$ , $f'(x) > 0$ khi $x \in ( - 1;1)$ . Sai||Đúng

d) Hàm số đã cho có đồ thị như hình vẽ.

Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} -3x$ .

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$ . Đúng||Sai

b) $f'(x) = 3x^{2} + 3$ . Sai||Đúng

c) $f'(x) < 0$ khi $x \in ( - \infty; - 1) \cup (1; +\infty)$ , $f'(x) > 0$ khi $x \in ( - 1;1)$ . Sai||Đúng

d) Hàm số đã cho có đồ thị như hình vẽ.

Đúng||Sai

Tập xác định: $\mathbb{R}$ .

Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực: $lim_{x ightarrow +\infty}y = + \infty,lim_{x ightarrow - \infty}y = -\infty$ .

$y' = 3x^{2} - 3$ và $y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 1$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $( -\infty; - 1)$ và $(1; +\infty)$ , nghịch biến trên khoảng $(- 1;1)$ .

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1,y_{CD} =2$ ; hàm số đạt cực tiểu tại $x =1,y_{CT} = - 2$ .

Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị với trục tung: $(0;0)$ .

Giao điểm của đồ thị với trục hoành tại $x= 0$ hoặc $x = \pm \sqrt{3}$ . Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại ba điểm $(0;0),\left( - \sqrt{3};0 ight)$ và $\left( \sqrt{3};0 ight)$ .

Vậy đồ thị hàm số $y = f(x) = x^{3} -3x$ được cho ở hình vẽ.

Câu 15: Thông hiểu

Trong 9 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = - t^{3} + 9t^{2} + 21t + 1$ , trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét.

a) $s'(t) = - 3t^{2} + 18t + 21$ . Đúng||Sai
b) $s''(t) = - 6t + 18$ . Đúng||Sai

c) Phương trình $s'(t) = 0$ có đúng một nghiệm dương là $t = 7$ . Sai||Đúng

d) Gia tốc của chất điểm tại thời điểm vật dừng lại là $36\ m/s^{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong 9 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = - t^{3} + 9t^{2} + 21t + 1$ , trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét.

a) $s'(t) = - 3t^{2} + 18t + 21$ . Đúng||Sai
b) $s''(t) = - 6t + 18$ . Đúng||Sai

c) Phương trình $s'(t) = 0$ có đúng một nghiệm dương là $t = 7$ . Sai||Đúng

d) Gia tốc của chất điểm tại thời điểm vật dừng lại là $36\ m/s^{2}$ . Sai||Đúng

Ta có:

$s'(t) = - 3t^{2} + 18t + 21.$

$s''(t) = - 6t + 18$ .

$S'(t) = 0 \Leftrightarrow \begin{matrix} t = - 1 \\ t = 7 \\ \end{matrix}$

$S''(7) = - 24$ .

Câu 16: Thông hiểu

Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây, người ta trồng hạt giống của loại cây đó trên hai lô đất thí nghiệm $M,N$ khác nhau. Xác suất phát triển bình thường của cây đó trên các lô đất $M$ và $N$ lần lượt là 0,56 và 0,62. Lặp lại thí nghiệm trên với đầy đủ các điều kiện tương đồng. Xét các biến cố:

$A$ : "Cây phát triển bình thường trên lô đất $M$ ";

$B$ : "Cây phát triển bình thường trên lô đất $N$ ".

a) Các cặp biến cố $\overline{A}$ và $B,A$ và $\overline{B}$ là độc lập. Đúng||Sai

b) Hai biến cố $C = \overline{A} \cap B$ và $D = A \cap \overline{B}$ không là hai biến cố xung khắc.Sai||Đúng
c) $P\left( \overline{A} ight) = 0,56;P\left( \overline{B} ight) = 0,62$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để cây chỉ phát triển bình thường trên một lô đất là 0,4856. Đúng||Sai

Đáp án là:

Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây, người ta trồng hạt giống của loại cây đó trên hai lô đất thí nghiệm $M,N$ khác nhau. Xác suất phát triển bình thường của cây đó trên các lô đất $M$ và $N$ lần lượt là 0,56 và 0,62. Lặp lại thí nghiệm trên với đầy đủ các điều kiện tương đồng. Xét các biến cố:

$A$ : "Cây phát triển bình thường trên lô đất $M$ ";

$B$ : "Cây phát triển bình thường trên lô đất $N$ ".

a) Các cặp biến cố $\overline{A}$ và $B,A$ và $\overline{B}$ là độc lập. Đúng||Sai

b) Hai biến cố $C = \overline{A} \cap B$ và $D = A \cap \overline{B}$ không là hai biến cố xung khắc.Sai||Đúng
c) $P\left( \overline{A} ight) = 0,56;P\left( \overline{B} ight) = 0,62$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để cây chỉ phát triển bình thường trên một lô đất là 0,4856. Đúng||Sai

Các cặp biến cố $\overline{A}$ và $B,A$ và $\overline{B}$ là độc lập vì hai lô đất khác nhau.

Hai biến cố $C = \overline{A} \cap B$ và $D = A \cap\overline{B}$ là hai biến cố xung khắc.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 1 - 0,56 = 0,44 \\ P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,62 = 0,38 \\ \end{matrix} ight.$ .

Xác suất để cây chi phát triển bình thường trên một lô đất là:

$P(C \cup D)$

$\ = P(C) + P(D) = P\left( \overline{A} ight) \cdot P(B) + P(A) \cdot P\left( \overline{B} ight)$

$\ = 0,44.0,62 + 0,56.0,38 = 0,4856$

Câu 17: Thông hiểu

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $12\ dm$ , người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, Mỗi hình vuông có cạnh bằng $x(\ dm)$ , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ để được một cái hộp có dạng hình hộp chứ nhật không có nắp. Giá trị của $x$ bằng bao nhiêu đêximet để thể tích của khối hộp đó là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Đáp án: 2 dm

Đáp án là:

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $12\ dm$ , người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, Mỗi hình vuông có cạnh bằng $x(\ dm)$ , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ để được một cái hộp có dạng hình hộp chứ nhật không có nắp. Giá trị của $x$ bằng bao nhiêu đêximet để thể tích của khối hộp đó là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Đáp án: 2 dm

Ta có:

$V(x) = (12 - 2x)^{2}.x \Leftrightarrow V(x) = 4x^{3} - 48x^{2} + 144x$

$\max V(x) = 128$ tại $x = 2\ dm$

Câu 18: Vận dụng

Một vật chuyển động với gia tốc được cho bởi hàm số $a(t) = 5\cos t\left( m/s^{2} ight)$ . Lúc bắt đầu chuyển động vật có vận tốc $2,5\ m/s$ . Tính gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất trong $\pi( s )$ đầu tiên.

Đáp án: 0 m/s².

Đáp án là:

Một vật chuyển động với gia tốc được cho bởi hàm số $a(t) = 5\cos t\left( m/s^{2} ight)$ . Lúc bắt đầu chuyển động vật có vận tốc $2,5\ m/s$ . Tính gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất trong $\pi( s )$ đầu tiên.

Đáp án: 0 m/s².

Vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số $v(t) = \int a(t)dt = \int 5cost\ dt = 5sint +C$ .

Khi bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc $2,5\ m/s$ nên ta có:

$v(0) = 2,5 \Leftrightarrow 5sin0 + C = 2,5 \Leftrightarrow C = 2,5$

Suy ra $v(t) = 5sint + 2,5$ .

Mà $5sint + 2,5 \leq 7,5$ .

Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất tại $t = \frac{\pi}{2}$ .

Khi đó, gia tốc của vật tại thời điểm $t = \frac{\pi}{2}$ là $a\left( \frac{\pi}{2} ight) = 5cos\left( \frac{\pi}{2} ight) = 0\left( \ m/s^{2} ight)$ .

Câu 19: Vận dụng

Để chuẩn bị cho hoạt động cắm trại, bạn An tìm hiểu các mẫu lều cắm trại có kích thước như trong hình vẽ.

Bạn An muốn biết thể tích chênh lệch của hai lều nên thực hiện tính $V_{1} - V_{2}$ , trong đó $V_{1},V_{2}$ lần lượt là thể tích của mẫu lều cắm trại ở hình a, hình b. Giá trị của $V_{1} - V_{2}$ bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 961 dm³

Đáp án là:

Để chuẩn bị cho hoạt động cắm trại, bạn An tìm hiểu các mẫu lều cắm trại có kích thước như trong hình vẽ.

Bạn An muốn biết thể tích chênh lệch của hai lều nên thực hiện tính $V_{1} - V_{2}$ , trong đó $V_{1},V_{2}$ lần lượt là thể tích của mẫu lều cắm trại ở hình a, hình b. Giá trị của $V_{1} - V_{2}$ bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 961 dm³

Cả hai lều đều có dạng khối lăng trụ đứng ngũ giác.

Xét khối lăng trụ ở hình a. Chia mặt đáy thành hai phần bao gồm: hình chữ nhật có chiều rộng $180\ cm$ , chiều dài $350\ cm$ ; tam giác cân có cạnh đáy dài $350\ cm$ , chiều cao $40\ cm$ như hình dưới đây.

Diện tích mặt đáy của lăng trụ đó là:

$S_{1} = 180 \cdot 350 + \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 350 = 70000\left( \ cm^{2} ight)$

Vậy thể tích của khối lăng trụ ngũ giác đó là:

$V_{1} = S_{1} \cdot h_{1} = 70000.460 = 32200000\left( \ cm^{3} ight)$ .

Xét khối lăng trụ ở hình $b$ . Chia mặt đáy thành hai phần bao gồm: hình thang cân có đáy lớn đài $370\ cm$ , đáy nhỏ dài $260\ cm$ , chiều cao $210\ cm;$ tam giác cân có cạnh đáy dài $260\ cm$ , chiều cao $50\ cm$ như hình vẽ .

Diện tích mặt đáy của lăng trụ đó là:

$S_{2} = \frac{1}{2}(370 + 260) \cdot 210 + \frac{1}{2} \cdot 260 \cdot 50 = 72650\left( \ cm^{2} ight)$

Vậy thể tích của khối lăng trụ ngũ giác đó là:

$V_{2} = S_{2} \cdot h_{2} = 72650.430 = 31239500\left( \ cm^{3} ight)$

Do đó $V_{1} - V_{2} = 960500\left( \ cm^{3} ight) \approx 961\left( dm^{3} ight)$ .

Câu 20: Vận dụng

Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh $X$ mà tỉ lệ người mắc bệnh là $0,2\%$ và một loại xét nghiệm $Y$ mà ai mắc bệnh $X$ khi xét nghiệm $Y$ cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có $6\%$ những người không bị bệnh $X$ lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả uử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó bị mắc bệnh $X$ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Đáp án : 0,03

Đáp án là:

Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh $X$ mà tỉ lệ người mắc bệnh là $0,2\%$ và một loại xét nghiệm $Y$ mà ai mắc bệnh $X$ khi xét nghiệm $Y$ cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có $6\%$ những người không bị bệnh $X$ lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả uử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó bị mắc bệnh $X$ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Đáp án : 0,03

Xét các biến cố:

$A$ : "Người được chọn mắc bệnh $X$ ";

$B$ : "Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y".

Theo giả thiết ta có:

$P(A) = 0,002;P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,002 = 0,998$ ;

$P(B \mid A) = 1;P\left( B \mid \overline{A} ight) = 0,06$

Theo công thức Bayes, ta có:

$P(A \mid B) = \frac{P(A) \cdot P(B \mid A)}{P(A) \cdot P(B \mid A) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B \mid \overline{A} ight)}$

$= \frac{0,002 \cdot 1}{0,002 \cdot 1 + 0,998 \cdot 0,06} \approx 0,03$

Vậy nếu người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm $Y$ thì xác suất bị mắc bệnh $X$ của người đó là khoảng 0,03.

Câu 21: Vận dụng

Mẫu số liệu dưới đây ghi lại tốc độ của 40 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đơn vị: $km/h$ ).

49	42	51	55	45	60	53	55	44	65
52	62	41	44	57	56	68	48	46	53
63	49	54	61	59	57	47	50	60	62
48	52	58	47	60	55	45	47	48	61

Sau khi ghép nhóm mẫu số liệu trên thành sáu nhóm ứng với sáu nửa khoảng:

$\lbrack 40;45),\lbrack 45;50),\lbrack 50;55),\lbrack 55;60),\lbrack 60;65),\lbrack 65;70)$ thì trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm nhận được bằng $\frac{a}{b}(\ km/h)$ ( $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 375

Đáp án là:

Mẫu số liệu dưới đây ghi lại tốc độ của 40 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đơn vị: $km/h$ ).

49	42	51	55	45	60	53	55	44	65
52	62	41	44	57	56	68	48	46	53
63	49	54	61	59	57	47	50	60	62
48	52	58	47	60	55	45	47	48	61

Sau khi ghép nhóm mẫu số liệu trên thành sáu nhóm ứng với sáu nửa khoảng:

$\lbrack 40;45),\lbrack 45;50),\lbrack 50;55),\lbrack 55;60),\lbrack 60;65),\lbrack 65;70)$ thì trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm nhận được bằng $\frac{a}{b}(\ km/h)$ ( $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 375

Lập mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ nhu ở Báng 8 .

Số phần tử của mẫu là $n = 40$ . Ta có: $\frac{n}{2} = \frac{40}{2} = 20$ mà $15 < 20 < 22$ . Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 20 . Xét nhóm 3 có $r = 50;d = 5;n_{3} = 7$ và nhóm 2 có

Nhóm	Tần sồ	Tần số tích luỹ
$\lbrack 40;45)$	4	4
$\lbrack 45;50)$	11	15
$\lbrack 50;55)$	7	22
$\lbrack 55;60)$	8	30
$\lbrack 60;65)$	8	38
$\lbrack 65;70)$	2	2
	n = 40

$cf_{2} = 15$ .

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

$M_{e} = 50 + \left( \frac{20 - 15}{7} ight) \cdot 5 = \frac{375}{7}(\ km/h)$ .

Suy ra $a = 375$ .

Câu 22: Vận dụng cao

Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều. Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m³. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị chục nghìn.

Đáp án: 4054 (chục nghìn)

Đáp án là:

Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều. Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m³. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị chục nghìn.

Đáp án: 4054 (chục nghìn)

Hình vẽ minh họa

Mô hình hóa chân tháp của bài toán bằng khối chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ , với $O,O^{'}$ lần lượt là tâm của hai đáy $ABCD$ và $A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ .

Như vậy ta có:

$ABCD$ là hình vuông cạnh 5 có diện tích $S_{ABCD} = 5^{2} = 25$ ;

$A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ là hình vuông cạnh 2 có diện tích $S_{A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}} = 2^{2} = 4$ ;

Các cạnh bên $A^{'}A,B^{'}B,C^{'}C,D^{'}D$ có độ dài bằng 3;

${OO}^{'}$ vuông góc với ( $ABCD$ ) và ( $\left. \ A^{'}B^{'}C^{'}D^{'} ight)$ .

Do ABCD là hình vuông nên $\widehat{ABC} =90^{\circ}$ , do đó tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có:

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 5^{2} + 5^{2}= 50$

Suy ra $AC = 5\sqrt{2}$ .
Do đó $CO = \frac{AC}{2} =\frac{5\sqrt{2}}{2}$ (do 0 là tâm hình vuông $ABCD$ ).

Do $A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ là hình vuông nên $\widehat{A^{'}B^{'}C^{'}} = 90^{\circ}$ , do đó tam giác $A^{'}B^{'}C^{'}$ vuông tại $B^{'}$ .

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác $A^{'}B^{'}C^{'}$ vuông tại $B^{'}$ có:

$A^{'}C^{'2} = A^{'}B^{'2} + B^{'}C^{'2} = 2^{2} + 2^{2} = 8$ .

Suy ra $A^{'}C^{'} = 2\sqrt{2}$ .

Do đó $C^{'}O^{'} = \frac{A^{'}C^{'}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ (do $O^{'}$ là tâm hình vuông $A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ ).

Dễ thấy: $(ABCD) \cap \left( A^{'}C^{'}CA ight) = AC$ ; $\left( A^{'}B^{'}C^{'}D^{'} ight) \cap \left( A^{'}C^{'}CA ight) = A^{'}C^{'}$ .

Mà ( $ABCD$ ) // ( $\left. \ A^{'}B^{'}C^{'}D^{'} ight)$ .

Suy ra $AC//A^{'}C^{'}$ hay $A^{'}C^{'}CA$ là hình thang.

Xét hình thang $A^{'}C^{'}CA$ , kẻ $C^{'}H\bot AC(H \in AC)$ .

Vì $00^{'}\bot(ABCD)$ và $AC \subset (ABCD)$ nên $00^{'}\bot AC$ .

Do đó $C^{'}H//{OO}^{'}$ (cùng vuông góc với AC).

Mà $O^{'}C^{'}//OH$ (do $A^{'}C^{'}//AC$ )

Suy ra $O^{'}C^{'}HO$ là hình bình hành.

Do đó: $0O^{'} = C^{'}H$ và $OH = C^{'}O^{'} = \sqrt{2}$ .

Suy ra $HC = OC - OH = \frac{5\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ .

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác $C^{'}HC$ vuông tại $H($ do $\left. \ C^{'}H\bot AC ight)$ có:

$C^{'}C^{2} = C^{'}H^{2} + {HC}^{2}$

Suy ra $C^{'}H = \sqrt{C^{'}C^{2} - HC^{2}} = \sqrt{3^{2} - \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} ight)^{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ .

Do đó $OO^{'} = C^{'}H = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ .

Thể tích khối chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ với chiều cao $OO^{'} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ và diện tích hai đáy $S_{ABCD} = 25$ , $S_{A'B'C'D'} =4$ là:

$V_{ABCD \cdot A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}} = \frac{1}{3} \cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}(25 + \sqrt{25.4} + 4) = \frac{39\sqrt{2}}{2}\left({m}^{3} ight)$

Như vậy ta có thể tích của chân tháp đã cho bằng $\frac{39\sqrt{2}}{2}\left( {m}^{3}ight)$ .

Vi chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1470000 đồng $/m^{3}$ nên số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:

$\frac{39\sqrt{2}}{2}.1470000 \approx40538432$ (đồng)

Vậy số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp khoảng 40538432 đồng.

49	42	51	55	45	60	53	55	44	65
52	62	41	44	57	56	68	48	46	53
63	49	54	61	59	57	47	50	60	62
48	52	58	47	60	55	45	47	48	61

49	42	51	55	45	60	53	55	44	65
52	62	41	44	57	56	68	48	46	53
63	49	54	61	59	57	47	50	60	62
48	52	58	47	60	55	45	47	48	61

49	42	51	55	45	60	53	55	44	65
52	62	41	44	57	56	68	48	46	53
63	49	54	61	59	57	47	50	60	62
48	52	58	47	60	55	45	47	48	61

49	42	51	55	45	60	53	55	44	65
52	62	41	44	57	56	68	48	46	53
63	49	54	61	59	57	47	50	60	62
48	52	58	47	60	55	45	47	48	61

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

49	42	51	55	45	60	53	55	44	65
52	62	41	44	57	56	68	48	46	53
63	49	54	61	59	57	47	50	60	62
48	52	58	47	60	55	45	47	48	61

49	42	51	55	45	60	53	55	44	65
52	62	41	44	57	56	68	48	46	53
63	49	54	61	59	57	47	50	60	62
48	52	58	47	60	55	45	47	48	61