Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 5

Mô tả thêm: Đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán 2025 được biên soạn theo cấu trúc đề thi mới nhất, giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.

Số câu hỏi: 22 câu
Số điểm tối đa: 22 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Mua gói để Làm bài

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Toạ độ điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là:
- A.
  $( - 1;0)$ .
- B.
  $(0;1)$ .
- C.
  $( - 1;1)$ .
- D.
  $(1;3)$ .
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ $(1;3)$ .
Câu 2: Nhận biết
Cho hàm số $y = \frac{ax^{2} + bx + c}{mx + n},(am eq 0)$ có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là:
- A.
  $y = 2x$ .
- B.
  $y = - x$ .
- C.
  $y = x$ .
- D.
  $y = - 2x$ .
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua 2 điểm $(1;1)$ và $( - 1; - 1)$ nên đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình $y = x$ .
Câu 3: Nhận biết
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 25^{x}$ ?
- A.
  $F_{1}(x) = 25^{x}$ .
- B.
  $F_{2}(x) =25^{x}ln25$ .
- C.
  $F_{3}(x) = \frac{25^{x}}{log25}$ .
- D.
  $F_{4}(x) = \frac{25^{x}}{ln25}$ .
Vì: $\left( \frac{25^{x}}{ln25} ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}$
Câu 4: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int_{0}^{2}{f(x)dx}\ = 5,\int_{1}^{2}{f(x)dx\ } = 3$ . Giá trị của biểu thức $\int_{0}^{1}{f(x)dx}$ bằng
- A.
  7.
- B.
  2.
- C.
  12.
- D.
  0,75.
Ta có: $\int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{2}{f(x)dx} - \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 5 - 3 = 2$
Câu 5: Nhận biết
Tích vô hướng của 2 vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ trong không gian được tính bằng:
- A.
  $\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
- B.
  $\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.sin\left( \overrightarrow{a}\ ,\ \overrightarrow{b} ight)$ .
- C.
  $\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a}\ ,\ \overrightarrow{b} ight)$ .
- D.
  $\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.\left( \overrightarrow{a}\ ,\ \ \overrightarrow{b} ight)$ .
Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto, ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian toạ độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
- A.
  $2x + 3y + z - 12 = 0$ .
- B.
  $x^{2} + y - z + - 7 = 0$ .
- C.
  $x - y^{2} + 3z - 6 = 0$ .
- D.
  $x + y + z^{2} - 7 = 0$ .
PTTQ của mặt phẳng có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ , với $A^{2} + B^{2} + C^{2} eq 0$ nên ta chọn $2x + 3y + z - 12 = 0$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian toạ độ $Oxyz$ , vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 4 + 2t \\ y = 7 - 3t \\ z = 8 - 9t \\ \end{matrix} ight.$ ?
- A.
  ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\left( \mathbf{4}\mathbf{\ }\mathbf{;7}\mathbf{\ }\mathbf{;}\mathbf{\ }\mathbf{8} ight)$ .
- B.
  ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\left( \mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{\ }\mathbf{;7}\mathbf{\ }\mathbf{;8} ight)$ .
- C.
  ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\left( \mathbf{2}\mathbf{\ }\mathbf{;3}\mathbf{\ }\mathbf{;9} ight)$ .
- D.
  ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_{\mathbf{4}}\mathbf{=}\left( \mathbf{2}\mathbf{\ }\mathbf{;}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{\ }\mathbf{;}\mathbf{-}\mathbf{9} ight)$ .
Đường thẳng $(\Delta):\left\{ \begin{matrix} x = - 4 + 2t \\ y = 7 - 3t \\ z = 8 - 9t \\ \end{matrix} ight.$ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u_{4}} = (2; - 3; - 9)$ .
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu tâm $I\left( x_{0};y_{0} ; z_{0} ight)$ bán kính $R$ có phương trình là
- A.
  $\left( x - x_{0} ight)^{2} + \left( y - y_{0} ight)^{2} + \left( z - z_{0} ight)^{2} = R^{2}$ .
- B.
  $\left( x - x_{0} ight)^{2} + \left( y - y_{0} ight)^{2} - \left( z - z_{0} ight)^{2} = R^{2}$ .
- C.
  $\left( x - x_{0} ight)^{2} - \left( y - y_{0} ight)^{2} + \left( z - z_{0} ight)^{2} = R^{2}$ .
- D.
  $- \left( x - x_{0} ight)^{2} + \left( y - y_{0} ight)^{2} + \left( z - z_{0} ight)^{2} = R^{2}$ .
Mặt cầu tâm $I\left( x_{0};y_{0} ; z_{0} ight)$ và bán kính $R$ có phương trình là:

$\left( x - x_{0} ight)^{2} + \left( y - y_{0} ight)^{2} + \left( z - z_{0} ight)^{2} = R^{2}$
Câu 9: Nhận biết
Cho mẫu số liệu điểm môn Toán của một nhóm học sinh như sau:

Điểm

$\lbrack 6;7)$

$\lbrack 7;8)$

$\lbrack 8;9)$

$\lbrack 9;10brack$

Số học sinh
$8$
$7$

$10$

$5$

Mốt của mẫu số liệu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là:
- A.
  $7,91$ .
- B.
  $8,38$ .
- C.
  $8,37$ .
- D.
  $7,95$ .
Nhóm chứa Mốt là $\lbrack 8;9)$ .

Mốt của mẫu số liệu là $M_{e} = 8 + \frac{10 - 7}{10 - 7 + 10 - 5}(9 - 8) \approx 8,38$
Câu 10: Nhận biết
Khi thống kê chiều cao (đơn vị: centimét) của học sinh lớp $12A$ , người ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm như Bảng sau.

Nhóm

Tần số

[155; 160)

2

[160; 165)

5

[165; 170)

21

[170; 175)

11

[175; 1800

11

N = 40

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng:
- A.
  $25\ cm$ .
- B.
  $5\ cm$ .
- C.
  $20\ cm$ .
- D.
  $180\ cm$ .
Trong mẫu số liệu ghép nhóm ta có đầu mút trái của nhóm 1 là $a_{1} = 155$ , đầu mút phải của nhóm 5 là $a_{5} = 180$ .

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R = a_{5} - a_{1} = 180 - 155 = 25$
Câu 11: Nhận biết
Cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thoả mãn $P(A) = 0,5$ và $P(B) = 0,4$ . Khi đó, $P(A \cap B)$ bằng:
- A.
  0,8.
- B.
  0,4.
- C.
  0,6.
- D.
  0,2.
A và B là hai biến cố độc lập nên

$P(A \cap B) = P(A).P(B) = 0,4.0,5 = 0,2$
Câu 12: Thông hiểu
Độ cao các bậc cầu thang so với mặt sàn tầng 1 của một căn nhà theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai $d = 16cm$ , bậc thứ nhất có độ cao $u_{1} = 15cm$ . Bậc thứ ba có độ cao so với mặt sàn tâng 1 bằng
- A.
  $21cm$ .
- B.
  $47cm$ .
- C.
  $46cm$ .
- D.
  $64cm$ .
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 15 \\ d = 16 \\ \end{matrix} ight.$

Bậc thứ 3 có độ cao so với mặt sàn tầng 1: $u_{3} = u_{1} + 2d = 15 + 2.16 = 47$ (cm)
Câu 13: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị như hình vẽ bên dưới:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $( - 1;1)$ . Đúng||Sai

b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_{0} = - 1$ . Đúng||Sai

c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Đúng||Sai

d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;0brack$ bằng $1$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị như hình vẽ bên dưới:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $( - 1;1)$ . Đúng||Sai

b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_{0} = - 1$ . Đúng||Sai

c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Đúng||Sai

d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;0brack$ bằng $1$ . Sai||Đúng

Theo hình vẽ, hàm số đồng biến trên khoảng $( - 1;\ 1)$ và đạt cực tiểu tại điểm $x_{o} = - 1$ . giá trị không âm trên khoảng đó.

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1\ ;\ 0brack$ bằng $- 1$ .
Câu 14: Thông hiểu

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v = - 5t + 20(m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(m/s)$ . Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5\ s$ . Sai||Đúng

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $400\ m$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v = - 5t + 20(m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(m/s)$ . Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5\ s$ . Sai||Đúng

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $400\ m$ . Sai||Đúng

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(m/s)$ . Mệnh đề đúng

b) Cho $v = 0 \Leftrightarrow - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t\ = \ 4\ (s)$ . Mệnh đề sai

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Mệnh đề đúng

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $S = \int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = 40\ (m)$ . Mệnh đề sai
Câu 15: Thông hiểu

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ .

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B'$ và $BC$ bằng $a$ . Đúng||Sai

b) Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{'}D^{'}$ bằng $\ 45{^\circ}$ . Đúng||Sai

c) Góc giữa đường thẳng $CD'$ và mặt phẳng $(A'B'C'D')$ bằng $60{^\circ}$ . Sai||Đúng

d) Góc nhị diện $\left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack$ có số đo bằng $45{^\circ}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ .

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B'$ và $BC$ bằng $a$ . Đúng||Sai

b) Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{'}D^{'}$ bằng $\ 45{^\circ}$ . Đúng||Sai

c) Góc giữa đường thẳng $CD'$ và mặt phẳng $(A'B'C'D')$ bằng $60{^\circ}$ . Sai||Đúng

d) Góc nhị diện $\left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack$ có số đo bằng $45{^\circ}$ . Đúng||Sai

a) Vì $A'B'\bot BB'$ , $BC\bot BB'$ nên $d(A'B',BC) = BB' = a$ . Mệnh đề đúng.

b) Do $AB//A'B'$ nên $(AB,B'D') = (A'B',B'D') = 45{^\circ}$ . Mệnh đề đúng.

c) Vì $CC'\bot(A'B'C'D')$ nên $\left( CD',(A'B'C'D') ight) = (CD',C'D') = 45{^\circ}$ . Mệnh đề sai.

d) Ta có $B'C'\bot BB'$ , $B'D'\bot BB'$ nên góc nhị diện $\left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack$ có số đo bằng $\widehat{D'B'C'} = 45{^\circ}$ . Mệnh đề đúng
Câu 16: Vận dụng

Bạn Bình đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để Bình hoàn thành câu dễ là $0,8$ ; hoàn thành câu trung bình là $0,6$ và hoàn thành câu khó là $0,15$ . Làm đúng mỗi một câu dễ bạn được $0,1$ điểm, làm đúng mỗi câu trung bình bạn được $0,25$ điểm và làm đúng mỗi câu khó bạn được $0,5$ điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Xác suất để Bình làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là $72\%$ . Sai||Đúng

b) Khi Bình làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để bạn làm đúng 2 trong số 3 câu là $0,45$ . Sai||Đúng

c) Khi Bình làm 3 câu thì xác suất để bạn làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất Bình làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai

d) Xác suất để Bình làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn $0,2\%$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Bạn Bình đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để Bình hoàn thành câu dễ là $0,8$ ; hoàn thành câu trung bình là $0,6$ và hoàn thành câu khó là $0,15$ . Làm đúng mỗi một câu dễ bạn được $0,1$ điểm, làm đúng mỗi câu trung bình bạn được $0,25$ điểm và làm đúng mỗi câu khó bạn được $0,5$ điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Xác suất để Bình làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là $72\%$ . Sai||Đúng

b) Khi Bình làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để bạn làm đúng 2 trong số 3 câu là $0,45$ . Sai||Đúng

c) Khi Bình làm 3 câu thì xác suất để bạn làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất Bình làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai

d) Xác suất để Bình làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn $0,2\%$ . Sai||Đúng

Gọi A là biến cố Bình làm đúng câu dễ

B là biến cố Bình làm đúng câu trung bình

C là biến cố Bình làm đúng câu khó.

Khi đó A, B, C độc lập với nhau.

a) Xác suất để Bình làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là

$P = P(A).P(B).P(C) = 0,072 = 7,2\%$ .

Khẳng định sai.

b) Xác suất để Bình làm đúng 2 trong số 3 câu là

$P\left( \overline{A} ight).P(B).P(C) + P(A).P\left( \overline{B} ight).P(C) + P(A).P(B).P\left( \overline{C} ight)$

= 0,2.0,6.0,15 + 0,8.0,4.0,15 + 0,8.0,6.0,85 = 0,474

Khẳng định sai.

c) Xác suất để Bình làm đúng 3 câu đủ ba loại là:

$P = P(A).P(B).P(C) = 0,072 = 7,2\%$

Xác suất Bình làm sai 3 câu mức độ trung bình. $(0,4)^{3} = 0,064$ .

Khẳng định đúng.

d) Để Bình làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau:

TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai

$(0,15)^{4}(0,2 + 0,4 + 0,85) = 7,34.10^{- 4}$

TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình

$(0,15)^{3}.(0,6)^{2} = 1,215.10^{- 3}$

Vậy xác suất cần tìm là $0,1949\%$

Khẳng định sai.
Câu 17: Thông hiểu

Một hãng điện thoại đưa ra quy luật bán buôn cho từng đại lí, đó là đại lí càng nhập nhiều chiếc điện thoại của hãng thì giá bán buôn một chiếc điện thoại càng giảm. Cụ thể, nếu đại lí mua $x$ điện thoại thì giá tiền của mỗi điện thoại là $4000-2x$ (nghìn đồng), $x \in N^{*},x < 2000$ . Đại lí nhập cùng một lúc bao nhiêu chiếc điện thoại thì hãng có thể thu về nhiều tiền nhất từ đại lí đó?

Đáp án: 1000||1 000

Đáp án là:

Một hãng điện thoại đưa ra quy luật bán buôn cho từng đại lí, đó là đại lí càng nhập nhiều chiếc điện thoại của hãng thì giá bán buôn một chiếc điện thoại càng giảm. Cụ thể, nếu đại lí mua $x$ điện thoại thì giá tiền của mỗi điện thoại là $4000-2x$ (nghìn đồng), $x \in N^{*},x < 2000$ . Đại lí nhập cùng một lúc bao nhiêu chiếc điện thoại thì hãng có thể thu về nhiều tiền nhất từ đại lí đó?

Đáp án: 1000||1 000

Số tiền hãng thu được khi đại lí nhập $x$ chiếc điện thoại là $f(x) = x(4000 - 2x)$ .

Ta có: $f'(x) = - \ 4x + 4000$ .

Khi đó, $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\ 000 \Rightarrow f(x) = 2000000$

Học sinh tự vẽ bảng biến thiên

Ta suy ra:

Đại lí nhập cùng lúc $1\ 000$ chiếc điện thoại thì hãng có thể thu nhiều tiền nhất từ đại lí đó với $2 000 000 000$ (đồng).

Đáp số: $1000$ .
Câu 18: Thông hiểu

Trong một đợt khám sức khỏe của 50 học sinh nam lớp 12, người ta được kết quả như trong bảng sau:

Nhóm

Tần số

[160; 164)

3

[164; 168)

8

[168; 172)

18

[172; 176)

12

[176; 180)

9

$n = 50$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cho ở bảng trên bằng bao nhiêu centimets (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Đáp án: 4,5 (cm)

Đáp án là:

Trong một đợt khám sức khỏe của 50 học sinh nam lớp 12, người ta được kết quả như trong bảng sau:

Nhóm

Tần số

[160; 164)

3

[164; 168)

8

[168; 172)

18

[172; 176)

12

[176; 180)

9

$n = 50$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cho ở bảng trên bằng bao nhiêu centimets (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Đáp án: 4,5 (cm)

Số trung bình cộng của mẫu số liệu đó là:

$\overline{x} = \frac{3.162 + 8.166 + 18.170 + 12.174 + 9.178}{50} = 171,28\ (cm).$

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s^{2} = \frac{1}{50}\lbrack 3.(171,28 -162)^{2} + 8.(171,28 - 166)^{2} + 18.(171,28 - 170)^{2}$

$+ 12.(171,28 - 174)^{2} + 9.(171,28 -178)^{2}brack = 20,1216.$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{20,1216} \approx 4,5\ (cm).$

Đáp số: $4,5$ (cm).
Câu 19: Thông hiểu

ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm $I(3;4;5)$ là tâm của nguồn phát âm với bán kính $10\ m$ . Để kiểm tra một điểm ở vị trí $\ M(7;10;17)$ có nhận được cường độ âm phát ra tại $I$ hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ . Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ là bao nhiêu mét?

Đáp án: 14 (m)

Đáp án là:

ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm $I(3;4;5)$ là tâm của nguồn phát âm với bán kính $10\ m$ . Để kiểm tra một điểm ở vị trí $\ M(7;10;17)$ có nhận được cường độ âm phát ra tại $I$ hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ . Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ là bao nhiêu mét?

Đáp án: 14 (m)

Ta có

$IM = \sqrt{(7 - 3)^{2} + (10 - 4)^{2} + (17 - 5)^{2}}$

$= \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 12^{2}} = \sqrt{196} = 14$ (m).

Đáp số 14(m).
Câu 20: Vận dụng cao

Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra $1000$ sản phẩm trong đó có $15$ sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,02

Đáp án là:

Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra $1000$ sản phẩm trong đó có $15$ sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,02

Xét các biến cố:

$A_{1}$ : Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi.

Khi đó, ta có: $P\left( A_{1} ight) = \frac{15}{1000}$ ; $P\left( \overline{A_{1}} ight) = \frac{197}{200}$ .

$A_{2}$ : Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi.

Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi thì còn $999$ sản phẩm và trong đó có $14$ sản phẩm lỗi nên ta có: $P\left( A_{2}\left| A_{1} ight.\ ight) = \frac{14}{999}$ , suy ra $P\left( \overline{A_{2}}\left| A_{1} ight.\ ight) = \frac{985}{999}$ .

Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi thì còn $999$ sản phẩm trong đó có $15$ sản phẩm lỗi nên ta có: $P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight) = \frac{15}{999}$ , suy ra $P\left( \overline{A_{2}}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight) = \frac{328}{333}$ .

Khi đó, xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi là:

$P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{2}\left| A_{1} ight.\ ight).P\left( A_{1} ight) + P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight).P\left( \overline{A_{1}} ight)$

$= \frac{14}{999}.\frac{15}{1000} + \frac{15}{999}.\frac{197}{200} \approx 0,02$ .

Đáp số: $0,02$ .
Câu 21: Vận dụng cao

Một cổng có dạng hình parabol với chiều cao $8m$ , chiều rộng chân đế $8m$ , có dạng như hình vẽ bên dưới.

Người ta căng hai sợi dây trang trí $AB$ , $CD$ nằm ngang, đồng thời chia cổng thành ba phần sao cho hai phần ở phía trên có diện tích bằng nhau. Tỉ số $\frac{CD}{AB}$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 1,26

Đáp án là:

Một cổng có dạng hình parabol với chiều cao $8m$ , chiều rộng chân đế $8m$ , có dạng như hình vẽ bên dưới.

Người ta căng hai sợi dây trang trí $AB$ , $CD$ nằm ngang, đồng thời chia cổng thành ba phần sao cho hai phần ở phía trên có diện tích bằng nhau. Tỉ số $\frac{CD}{AB}$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 1,26

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ vào cổng parabol như hình bên với trục $Oy$ trùng với đường đối xứng của parabol.

Gốc $O$ nằm ở đỉnh của parabol, đơn vị trên mỗi trục tính theo mét.Khi đó, phương trình parabol có dạng $y = ax^{2}$ .

Vì parabol đi qua điểm có tọa độ $( - 4; - 8)$ nên $a = - \frac{1}{2}$ .

Suy ra phương trình parabol là $y = - \frac{1}{2}x^{2}$ .

Giả sử $B$ có hoành độ $x_{1}$ , $D$ có hoành độ $x_{2}$ .

Khi đó phương trình đường thẳng $AB$ là $y = - \frac{1}{2}x_{1}^{2}$ , phương trình đường thẳng $CD$ là $y = - \frac{1}{2}x_{2}^{2}$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng $AB$ là:

$S_{1} = 2\int_{0}^{x_{1}}\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}x_{1}^{2} ight) ightbrack\ dx$

$= \left. \ 2\left( - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x_{1}^{2}}{2}x ight) ight|_{0}^{x_{1}} = \frac{2}{3}x_{1}^{3}\ \ (m^{2}).$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng $CD$ là:

$S_{2} = 2\int_{0}^{x_{2}}\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}x_{2}^{2} ight) ightbrack\ dx$

$= \left. \ 2\left( - \frac{x^{3}}{6} +\frac{x_{2}^{2}}{2}x ight) ight|_{0}^{x_{2}} = \frac{2}{3}x_{2}^{3} (m^{2}).$

Theo giả thiết ta có $S_{2} = 2S_{1}$

$\Leftrightarrow x_{2}^{3} = 2.x_{1}^{3}\Leftrightarrow \frac{x_{2}}{x_{1}} = \sqrt[3]{2} \approx1,26$ .

Khi đó: $\frac{CD}{AB} = \frac{2x_{2}}{2x_{1}} \approx 1,26$ .

Đáp số: 1,26.
Câu 22: Vận dụng cao

Độ dốc của mái nhà (mặt sân, con đường thẳng…) là tang của góc tạo bởi mái nhà (mặt sân, con đường thẳng…) đó với mặt phẳng nằm ngang. Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều, biết rằng diện tích để lát tất cả các mặt của kim tự tháp bằng 80300 m² và độ dốc của mặt bên kim tự tháp bằng $\frac{49}{45}$ . Tính chiều cao của kim tự tháp. (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 196

Đáp án là:

Độ dốc của mái nhà (mặt sân, con đường thẳng…) là tang của góc tạo bởi mái nhà (mặt sân, con đường thẳng…) đó với mặt phẳng nằm ngang. Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều, biết rằng diện tích để lát tất cả các mặt của kim tự tháp bằng 80300 m² và độ dốc của mặt bên kim tự tháp bằng $\frac{49}{45}$ . Tính chiều cao của kim tự tháp. (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 196

Hình vẽ minh họa

Mô hình hoá kim tự tháp bằng chóp tứ giác đều S.ABCD với O là tâm của đáy.

Kẻ $OM\bot BC$ .

Ta có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp là góc $\widehat{SMO}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SMO} = \frac{49}{45} = \frac{SO}{OM}$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} SO = 49x \\ OM = 45x \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} SM = \sqrt{SO^{2} + OM^{2}} = \sqrt{4426}x \\ AB = 2OM = 90x \\ \end{matrix} ight.$

Diện tích tất cả các mặt của kim tự tháp là

$S = 4S_{\Delta SBC} + S_{ABCD}$

$\Leftrightarrow 4.\frac{1}{2}SM.BC + AB^{2} = 80300$

$\Leftrightarrow 2x\sqrt{4426}.90x + (90x)^{2} = 80300$

$\Rightarrow SO = 49x \approx 196m$