Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 6

Mô tả thêm: Đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán 2025 được biên soạn theo cấu trúc đề thi mới nhất, giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 22 câu
Số điểm tối đa: 22 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Mua gói để Làm bài

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABC$ có đường thẳng $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ , $SA = 2a$ . Khoảng cách từ điểm $S$ đến đường thẳng $AB$ bằng:
- A.
  $a.$
- B.
  $3a.$
- C.
  $2a.$
- D.
  $\frac{a}{2}.$
Vì $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ nên $SA\bot AB \Rightarrow d(S,AB) = SA = 2a$
Câu 2: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3$ . Kết quả đúng là:
- A.
  $f'(2) = 3$ .
- B.
  $f'(x) = 2$ .
- C.
  $f'(x) = 3$ .
- D.
  $f'(3) = 2$ .
Ta có $f'(2) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3$
Câu 3: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên $\lbrack - 1\ ;\ 1brack$ bằng:
- A.
  $- 3$ .
- B.
  $- 1$ .
- C.
  $- 2$ .
- D.
  $1$ .
Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên $\lbrack - 1\ ;\ 1brack$ bằng $- 2$ .
Câu 4: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$ . Đường thẳng vuông góc với đáy $ABC$ . Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
- A.
  $(SAC)$ .
- B.
  $(SBC)$ .
- C.
  $(ABC)$ .
- D.
  $(SAB)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $\left\{ \begin{matrix} BC\bot SA \\ BC\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)$
Câu 5: Nhận biết
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Khoảng cách từ $A'$ đến mp $(ABCD)$ bằng:
- A.
  $\frac{a}{2}.$
- B.
  $a.$
- C.
  $2a.$
- D.
  $3a.$
Hình vẽ minh họa

Ta có $A'A\bot(ABCD)$ nên $d\left( A',(ABCD) ight) = A'A = a$ .
Câu 6: Nhận biết
Một nhóm học sinh gồm $20$ học sinh nam và $10$ học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn một học sinh trong nhóm đó tham gia đội thanh niên tình nguyện của trường?
- A.
  $200$ .
- B.
  $20$ .
- C.
  $30$ .
- D.
  $10$ .
Có $10 + 20 = 30$ cách chọn một học sinh.
Câu 7: Nhận biết
Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong hình bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - \infty;0)$ .
- B.
  $(2; + \infty)$ .
- C.
  $( - 3;1)$ .
- D.
  $(0;2)$ .
Từ đồ thị đã cho ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ .
Câu 8: Nhận biết
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ . Mặt bên $SBC$ là tam giác gì?
- A.
  Đều.
- B.
  Vuông.
- C.
  Vuông cân.
- D.
  Cân.
Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.
Câu 9: Nhận biết
Một vật chuyển động có phương trình $s(t) = 3cost$ . Khi đó, vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ của vật là:
- A.
  $v(t) = - 3sint$ .
- B.
  $v(t) = - 3cost$ .
- C.
  $v(t) = 3cost$ .
- D.
  $v(t) = 3sint.$
Ta có $v(t) = s'(t) = (3cost)^{'} = - 3sint$ .
Câu 10: Nhận biết
Nghiệm của phương trình $\cos x = \cos\frac{\pi}{4}$ là:
- A.
  $x = - \frac{\pi}{6} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
- B.
  $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
- C.
  $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
- D.
  $x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
Ta có $\cos x = \cos\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
Câu 11: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ và có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.

Hàm số $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại điểm
- A.
  $x = - 2$ .
- B.
  $x = - 1$ .
- C.
  $x = 1$ .
- D.
  $x = 0$ .
Theo hình vẽ thì hàm số $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$ .
Câu 12: Thông hiểu
Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Mốt của mẫu số liệu trên là
- A.
  $52$ .
- B.
  $42$ .
- C.
  $53$ .
- D.
  $54$ .
Mốt $M_{0}$ chứa trong nhóm $\lbrack 40;60)$ .

Do đó: $u_{m} = 40;u_{m + 1} = 60$

$\Rightarrow u_{m + 1} - u_{m} = 60 - 40 = 20$ ; $n_{m - 1} = 9;n_{m} = 12;n_{m + 1} = 10$

$M_{0} = 40 + \frac{12 - 9}{\begin{matrix} (12 - 9)\ + \ (1 \\ \end{matrix}2 - 10)}(60 - 40) = 52$ .
Câu 13: Vận dụng

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống $150mg$ thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn $6\%$ lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là $9(mg)$ . Đúng||Sai

b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $2$ là $159(mg)$ . Đúng||Sai

c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $4$ là $170(mg)$ . Sai||Đúng

d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là $159,57mg$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống $150mg$ thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn $6\%$ lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là $9(mg)$ . Đúng||Sai

b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $2$ là $159(mg)$ . Đúng||Sai

c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $4$ là $170(mg)$ . Sai||Đúng

d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là $159,57mg$ . Đúng||Sai

a) Ta có hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau ngày đầu còn $150 \times 6\%= 9(mg)$ , suy ra mệnh đề đúng.

b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $2$ là: $150 \times 6\% + 150 = 159(mg)$ suy ra mệnh đề đúng.

c) Gọi $u_{n}$ là lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống ở ngày thứ n

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $1$ là: $u_{1} = 150(mg)$

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $2$ là:

$u_{2} = u_{1} \times 6\% + 150= 150 \times 6\% + 150 = 150 \times (0,06 + 1)$

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $3$ là:

$u_{3} = u_{2}.6\% + 150 = 150\times (0,06 + 1) \times 0,06 + 150$

$= 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1)$

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $4$ là:

$u_{4} = u_{3} \times 6\% + 150= 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1) \times 0,06 + 150$

$= 150 \times (0,06^{3} + 0,06^{2} + 0,06 + 1) = 159,5724(mg)$

Suy ra mệnh đề sai.

d) Nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong thời gian 30 ngày. Khi đó lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng là:

$S = 150 \times \left( 1 + 0,06 + 0,06^{2} + \ldots + 0,06^{29} ight)$

$= 150 \times u_{1}\frac{1 - q^{30}}{1 - q} = 150 \times 1 \times \frac{1 - 0,06^{30}}{1 - 0,06}$

$= \frac{7500}{47} \approx 159,57mg$

Vậy lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng trong 30 ngày là $159,57mg$ , suy ra mệnh đề đúng.
Câu 14: Thông hiểu

Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn $f(x,y) = \log_{4}(x + y) + \log_{4}(x - y)\geq 1\ \ (*)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Điều kiện xác định của hàm số $f(x,y)$ là $\left\{ \begin{matrix} x + y > 0 \\ x - y > 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Đúng||Sai

b) Với cặp số $x,y$ thỏa mãn điều kiện xác định của hàm số $f(x,y)$ , ta có: $f(x,y) = x^{2} - y^{2}$ . Sai||Đúng

c) Cặp số $\left\{ \begin{matrix} x = 8 \\ y = 16 \\ \end{matrix} ight.$ thỏa mãn $f(x,y) = \log_{4}(x + y) + \log_{4}(x - y) \geq 1$ . Sai||Đúng

d) Với $P = 2x - y$ thì $P_{\min} = 2\sqrt{3}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn $f(x,y) = \log_{4}(x + y) + \log_{4}(x - y)\geq 1\ \ (*)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Điều kiện xác định của hàm số $f(x,y)$ là $\left\{ \begin{matrix} x + y > 0 \\ x - y > 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Đúng||Sai

b) Với cặp số $x,y$ thỏa mãn điều kiện xác định của hàm số $f(x,y)$ , ta có: $f(x,y) = x^{2} - y^{2}$ . Sai||Đúng

c) Cặp số $\left\{ \begin{matrix} x = 8 \\ y = 16 \\ \end{matrix} ight.$ thỏa mãn $f(x,y) = \log_{4}(x + y) + \log_{4}(x - y) \geq 1$ . Sai||Đúng

d) Với $P = 2x - y$ thì $P_{\min} = 2\sqrt{3}$ . Đúng||Sai

a) Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là $\left\{ \begin{matrix} x + y > 0 \\ x - y > 0 \\ \end{matrix} ight.$ , suy ra mệnh đề đúng.

b) Ta có $f(x,y) = \log_{4}(x + y) +\log_{4}(x - y) = \log_{4}\left( x^{2} - y^{2} ight)$ , suy ra mệnh đề sai.

c) Ta thấy $x - y = 8 - 16 = - 8 < 0$ , suy ra mệnh đề sai.

d) Ta có: $\log_{4}(x + y) + \log_{4}(x - y)\geq 1$

$\Leftrightarrow x^{2} - y^{2} \geq 4 \Rightarrow x \geq \sqrt{y^{2} + 4}$

Do đó $P \geq 2\sqrt{y^{2} + 4} - y = f(y).$

Khi đó $P' = \frac{2y}{\sqrt{y^{2} + 4}} - 1 = 0\overset{y > 0}{ightarrow}y = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Suy ra $P_{\min} = 2\sqrt{3}.$ suy ra mệnh đề đúng.
Câu 15: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA\ \bot\ (ABCD)$ , biết $SC = a\sqrt{3}$ . Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SB$ , $SD$ , $CD$ , $BC$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}$ . Đúng||Sai

b) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng thể tích của khối chóp $S.ACD$ . Đúng||Sai

c) Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng $a^{3}$ . Sai||Đúng

d) Thể tích của khối chóp $A.MNPQ$ bằng $\frac{a^{3}}{8}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA\ \bot\ (ABCD)$ , biết $SC = a\sqrt{3}$ . Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SB$ , $SD$ , $CD$ , $BC$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}$ . Đúng||Sai

b) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng thể tích của khối chóp $S.ACD$ . Đúng||Sai

c) Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng $a^{3}$ . Sai||Đúng

d) Thể tích của khối chóp $A.MNPQ$ bằng $\frac{a^{3}}{8}$ . Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $SA\ \bot\ (ABCD) \Rightarrow V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SA.S_{ABCD}$ . Suy ra mệnh đề đúng.

b) Từ giả thiết có $S_{ABC} = S_{ACD} = \frac{a^{2}}{2}$ ; $SA\bot(ABCD)$ .

$V_{S.ABC} = \frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC};\ \ \ V_{S.ACD} = \frac{1}{3}SA.S_{\Delta ACD}$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = V_{S.ACD}$ . Suy ra mệnh đề đúng.

c) Ta có $SA = \sqrt{SC^{2} - AC^{2}} = a$ .

Suy ra $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SA.S_{ABCD} = \frac{a^{3}}{3}$ . Vậy mệnh đề sai.

d) Ta có $\left\{ \begin{matrix} MN//PQ \\ MN = PQ \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra $MNPQ$ là hình bình hành; mặt khác, ta có: $\left\{ \begin{matrix} BD\bot SA \\ BD\bot AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot SC$

Mà $\left\{ \begin{matrix} PQ//BD \\ PN//SC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow PN\bot PQ$ nên tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.

$SA = \sqrt{SC^{2} - AC^{2}} = a$

Do $SM \cap (APQ) = B$ nên ta có:

$\frac{d\left( M;(AQP) ight)}{d\left( S;(AQP) ight)} = \frac{MB}{AB} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow d\left( M;(AQP) ight) = \frac{1}{2}d\left( S;(AQP) ight) = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}$ .

$S_{\Delta AQP} = \frac{1}{2}AH.QP = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}AC.\frac{1}{2}BD$ $= \frac{3}{16}AC.BD = \frac{3}{16}\left( a\sqrt{2} ight)^{2} = \frac{3}{8}a^{2}$ .

Với $H = AC \cap PQ$ .

Ta có $V_{A.MNPQ} = 2V_{A.MQP} = 2V_{M.AQP}$

Mà $V_{M.AQP} = \frac{1}{3}d\left( M;(AQP) ight).S_{\Delta AQP} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{3}{8}a^{2} = \frac{a^{3}}{16}$ .

Vậy $V_{A.MNPQ} = 2V_{M.AQP} = 2.\frac{a^{3}}{16} = \frac{a^{3}}{8}$ . Suy ra mệnh đề đúng.
Câu 16: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ

Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - 1;1)$ . Đúng||Sai

b) Hàm số có $f'(x) > 0$ $\forall x \in ( - \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ . Đúng||Sai

c) Hàm số $g(x) = f(x) + 1$ nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ . Sai||Đúng

d) Hàm số $y = f\left( |x| ight)$ đồng biến trên $( - 1;0)$ và $(1; + \infty)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ

Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - 1;1)$ . Đúng||Sai

b) Hàm số có $f'(x) > 0$ $\forall x \in ( - \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ . Đúng||Sai

c) Hàm số $g(x) = f(x) + 1$ nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ . Sai||Đúng

d) Hàm số $y = f\left( |x| ight)$ đồng biến trên $( - 1;0)$ và $(1; + \infty)$ . Đúng||Sai

a) Từ đồ thị ta có hàm số nghịch biến trên khoảng $( - 1;1)$ suy ra mệnh đề đúng.

b) Từ đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên $( - \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ suy ra hàm số có $f'(x) > 0$ $\forall x \in ( - \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ . Vậy mệnh đề đúng.

c) Ta có $g'(x) = \left\lbrack f(x) + 1 ightbrack^{'} = f'(x)$

Hàm số $g(x)$ nghịch biến khi $g'(x) < 0 \Leftrightarrow f'(x) < 0 \Leftrightarrow x \in ( - 1;1)$ suy ra mệnh đề sai.

d) Từ đồ thị hàm số $y = f(x)$ ta có đồ thị của hàm số $y = f\left( |x| ight)$ như hình vẽ.

Từ đồ thị ta có hàm số $y = f\left( |x| ight)$ đồng biến trên $( - 1;0)$ và $(1; + \infty)$ suy ra mệnh đề đúng.
Câu 17: Thông hiểu

Một thùng sách có 5 quyển sách Toán, 7 quyển sách Vật Lí và 4 quyển sách Hóa. Chọn ngẫu nhiên 3 cuốn sách, tính xác suất để 3 cuốn sách được chọn không cùng một loại (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,91

Đáp án là:

Một thùng sách có 5 quyển sách Toán, 7 quyển sách Vật Lí và 4 quyển sách Hóa. Chọn ngẫu nhiên 3 cuốn sách, tính xác suất để 3 cuốn sách được chọn không cùng một loại (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,91

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{16}^{3} = 560$ .

Gọi $A$ là biến cố $''$ 3 cuốn sách lấy ra không cùng một loại $''$ .

Để tìm số phần tử của $A$ , ta đi tìm số phần tử của biến cố $\overline{A}$ , với biến cố $\overline{A}$ là 3 cuốn sách lấy ra cùng một loại.

Suy ra số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là $n\left( \overline{A} ight) = C_{5}^{3} + C_{7}^{3} + C_{4}^{3} = 49$ .

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $n(A) = n(\Omega) - n\left( \overline{A} ight) = 511$ .

Vậy xác suất cần tính $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{511}{560} = \frac{73}{80} \approx 0,91$ .
Câu 18: Thông hiểu

Một đoàn tàu gồm $3$ toa đỗ ở sân ga. Có $5$ hành khách bước lên tàu, mỗi hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên $1$ toa. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất $1$ hành khách bước lên tàu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,62

Đáp án là:

Một đoàn tàu gồm $3$ toa đỗ ở sân ga. Có $5$ hành khách bước lên tàu, mỗi hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên $1$ toa. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất $1$ hành khách bước lên tàu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,62

Không gian mẫu là số cách sắp xếp $5$ hành khách lên $3$ toa tàu. Vì mỗi hành khách có $3$ cách chọn toa nên có $3^{5}$ cách xếp.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = 3^{5} = 243$ .

Gọi $A$ là biến cố $''5$ hành khách bước lên tàu mà mỗi toa có ít nhất $1$ hành khách $''$ . Để tìm số phần tử của biến cố $A$ ta đi tìm số phần tử của biến cố $\overline{A}$ , tức có toa không có hành khách nào bước lên tàu, có $2$ khả năng sau:

Trường hợp thứ nhất: Có $2$ toa không có hành khách bước lên.

+) Chọn $2$ trong $3$ toa để không có khách bước lên, có $C_{3}^{2}$ cách.

+) Sau đó cả $5$ hành khách lên toa còn lại, có $1$ cách.

Do đó trường hợp này có $C_{3}^{2}.1 = 3$ cách.

Trường hợp thứ hai: Có $1$ toa không có hành khách bước lên.

+) Chọn $1$ trong $3$ toa để không có khách bước lên, có $C_{3}^{1}$ cách.

+) Hai toa còn lại ta cần xếp $5$ hành khách lên và mỗi toa có ít nhất $1$ hành khách, có $2^{5} - C_{2}^{1}.1 = 30$ .

Do đó trường hợp này có $C_{3}^{1}.30 = 90$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là $n\left( \overline{A} ight) = 3 + 90 = 93$ .

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $n(A) = n(\Omega) - n\left( \overline{A} ight) = 243 - 93 = 150$ .

Vậy xác suất cần tính $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{150}{243} = \frac{50}{81} \approx 0,62$ .
Câu 19: Thông hiểu

Một vật chuyển động theo quy luật $s = s(t) = \frac{1}{3}t^{3} - \frac{3}{2}t^{2} + 10t + 2$ (với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó). Tính quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt $20\ m/s$ (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 54,2 m

Đáp án là:

Một vật chuyển động theo quy luật $s = s(t) = \frac{1}{3}t^{3} - \frac{3}{2}t^{2} + 10t + 2$ (với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó). Tính quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt $20\ m/s$ (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 54,2 m

Ta có: $v(t) = s'(t) = t^{2} - 3t + 10$ .

Khi vận tốc của vật đạt $20\ m/s$ ta có:

$t^{2} - 3t + 10 = 20 \Leftrightarrow t^{2} - 3t - 10 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 5 \\ t = - 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vì $t > 0$ nên nhận $t = 5(s)$ .

Lúc đó quảng đường vật đi được là: $s(5) - s(0) = \frac{337}{6} - 2 \approx 54,2m$
Câu 20: Thông hiểu

Một tấm ván hình chữ nhật $ABCD$ được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu $2\ m$ . Cho biết $AB = 1\ m$ , $AD = 3,5\ m$ . Tính góc giữa đường thẳng $BD$ và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).

Đáp án : 33 $\ ^{0}$

Đáp án là:

Một tấm ván hình chữ nhật $ABCD$ được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu $2\ m$ . Cho biết $AB = 1\ m$ , $AD = 3,5\ m$ . Tính góc giữa đường thẳng $BD$ và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).

Đáp án : 33 $\ ^{0}$

Gọi $H$ , $K$ lần lượt là hình chiếu của $C$ , $D$ lên đáy hố là mặt phẳng $(AKHB)$ .

Khi đó $BD$ có hình chiếu lên đáy là $KB$ , suy ra

$\left( BD,(AKHB) ight) = (BD,BK) = \widehat{DBK}$ .

Với độ sâu hố là $DK = CH = 2$ (m), ta có

$AK = \sqrt{AD^{2} - DK^{2}} = \frac{\sqrt{33}}{2}$ .

$KB = \sqrt{AK^{2} + AB^{2}} = \frac{\sqrt{37}}{2}$ .

$\tan DBK = \frac{DK}{KB} = \frac{4\sqrt{37}}{37}$

$\Rightarrow \widehat{DBK} \approx 33{^\circ}$ .
Câu 21: Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = BC = 2$ và $CC' = 4$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$ và $AA'$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B'D'$ và $MN$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 2,43

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = BC = 2$ và $CC' = 4$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$ và $AA'$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B'D'$ và $MN$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 2,43

Cách 1. Gọi $P$ là trung điểm $CD$ , $I = MP \cap AD$ , $J = IN \cap DD'$ , $K = AC \cap MP$ .

Ta có $MP//BD \Rightarrow MP//B'D' \Rightarrow d(B'D';MN) = d\left\lbrack B'D';(MNP) ightbrack = d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack$ .

Lại có $d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack = \frac{D'J}{DJ}d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack = 5.d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack$ .

Mặt khác $d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack = \frac{DI}{AI}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{1}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack$ .

Dễ thấy $\left\{ \begin{matrix} (NAK)\bot(MNP) \\ (NAK) \cap (MNP) = AK \\ AH\bot NK\ (H \in NK)\ trong\ (NAK) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow AH\bot(MNP) \Rightarrow d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = AH$ .

Suy ra $d(MN;B'D') = \frac{5}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{5}{3}AH$ với $AN = \frac{AA'}{2} = 2$ ; $AK = \frac{3}{4}\sqrt{2}AB = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $d(MN;B'D') = \frac{5}{3}AH = \frac{5}{3}.\frac{AN.AK}{\sqrt{AN^{2} + AK^{2}}} = \frac{5}{3}.\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}.2}{\sqrt{\left( \frac{3\sqrt{2}}{2} ight)^{2} + 2^{2}}} = \frac{10.\sqrt{17}}{17} \simeq 2,43$ .

Cách 2. Đặt các trục $Ox$ , $Oy$ và $Oz$ vào hình như sau

Ta có $M(1;2;0)$ , $N(0;0;2)$ , $B'(0;2;4)$ và $D'(2;0;4)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 1; - 2;2)$ , $\overrightarrow{B'D'} = (2; - 2;0)$ và $\overrightarrow{MB'} = ( - 1;0;4) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{B'D'} ightbrack = (4;4;6)$ .

Khi đó :

$d\left( MN;B^{'}D^{'} ight) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack.\overrightarrow{MB^{'}} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack ight|}$

$= \frac{\left| ( - 1).4 + 0.4 + 4.6 ight|}{\sqrt{4^{2} + 4^{2} + 6^{2}}} = \frac{10\sqrt{17}}{17} \simeq 2,43$ .
Câu 22: Vận dụng cao

Cho hai số thực $x \geq 0;1 \leq y \leq 3$ thỏa mãn $2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y + 2x + 4$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037$ ?

Đáp án: 2025

Đáp án là:

Cho hai số thực $x \geq 0;1 \leq y \leq 3$ thỏa mãn $2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y + 2x + 4$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037$ ?

Đáp án: 2025

Giả thiết cho $2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y + 2x + 4$

$\Leftrightarrow 2^{x}.(2x + 1) = 2(2y + x + 2)2^{2y}$

$\Leftrightarrow 2^{x}.(2x + 1) = 2^{2y + 1}(2y + x + 2)$

$\Leftrightarrow 2^{2x}.(2x + 1) = 2^{2y + x + 1}(2y + x + 1 + 1)$

Xét hàm số $f(t) = 2^{t}.(t + 1)$ trên $(0\ ; + \infty)$

Suy ra $f'(t) = 2^{t}.(t + 1)ln2 + 2^{t} > 0,\ \forall t \in (0\ ; + \infty)$

Vậy hàm số $f(t)$ luôn đồng biến trên $(0\ ; + \infty)$ nên ta có:

$\Leftrightarrow 2^{2x}.(2x + 1) = 2^{2y + x + 1}(2y + x + 1 + 1)$

$\Leftrightarrow 2x = 2y + x + 1 \Leftrightarrow x = 2y + 1$

Suy ra: $P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037$

$= 2^{y - 1} - \left( y^{2} + 2y + 1 ight) + 2037$

$= \frac{1}{4}.2^{y + 1} - (y + 1)^{2} + 2037$

Xét hàm số $g(a) = \frac{1}{4}.2^{a} - a^{2};\ a \in \lbrack 2\ ;4brack$

$g^{'(a)} = \frac{2^{a}.ln2}{4} - 2a$

$\Rightarrow g''(a) = \frac{2^{a}.ln^{2}2}{4} - 2 < 0,\forall\ a \in \lbrack 2\ ;4brack$

$\Rightarrow g'(a)$ luôn nghịch biến trên $\lbrack 2\ ;4brack$

$\Rightarrow \max_{\lbrack 2\ ;4brack}g'(a) = g'(2) = ln2 - 4 < 0$

$\Rightarrow g(a)$ luôn nghịch biến trên $\lbrack 2\ ;4brack$

$\Rightarrow \min g(a) = g(4) = - 12$

Vậy $\min P = - 12 + 2037 = 2025$ khi $y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3\ ;x = 7$ .

4 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 6

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!