Lớp 9 Toán 9

Đường tròn ngoại tiếp - Đường tròn nội tiếp

1. Đường tròn ngoại tiếp - Đường tròn nội tiếp

Định nghĩa

Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.

Hình vẽ minh họa

Đường tròn ngoại tiếp - Đường tròn nội tiếp

Định nghĩa

Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.

Hình vẽ minh họa

Đường tròn ngoại tiếp - Đường tròn nội tiếp

2. Định lý

Định lí

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

  • Tâm của hai đường tròn này trùng nhau và được gọi là tâm của đa giác đều.
  • Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc.

Chú ý: 

  • Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh.
  • Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến 1 cạnh.

3. Mở rộng kiến thức

Cho n giác đều cạnh a. Khi đó:

  • Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi).
  • Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng \frac{{\left( {n - 2} \right){{.180}^0}}}{n}.
  • Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng \frac{{{{360}^0}}}{n}.
  • Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = \frac{a}{{2\sin \dfrac{{{{180}^0}}}{n}}} \Rightarrow a = 2R\sin \frac{{{{180}^0}}}{n}
  • Bán kính đường tròn nội tiếp: r = \frac{a}{{2\sin \dfrac{{{{180}^0}}}{n}}} \Rightarrow a = 2r\sin \frac{{{{180}^0}}}{n}
  • Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp: {R^2} - {r^2} = \frac{{{a^2}}}{4}
  • Diện tích đa giác đều: S = \frac{1}{2}n.a.r

Ví dụ: Cho một đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a. Hãy tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp đa giác đều đó.

Hướng dẫn giải

Gọi A, B là hai đỉnh liên tiếp của đa giác đều n cạnh. Gọi O là tâm đa giác đều.

Ta có: \widehat {AOB} = \frac{{{{360}^0}}}{n}

Kẻ OH vuông góc AB, H ∈ AB.

Ta có: Tam giác OHA vuông tại H và HA = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}.

Hơn nữa  ta có: \widehat {HOA} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2} = \frac{{{{180}^0}}}{n}

Khi đó:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng R = OA = \dfrac{{HA}}{{\sin \dfrac{{{{180}^0}}}{n}}}

Bán kính đường tròn nội tiếp bằng r = OH = HA.\cot \frac{{{{180}^0}}}{n}.

  • 563 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9