Lớp 9 Toán 9

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

1. Hệ thức vi – ét

Phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 ,(a ≠ 0) có nghiệm được viết dưới dạng:

{x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}},\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}

Nếu x_1, x_ 2 là hai nghiệm của phương trình ax^2 + bx + c = 0 ,(a ≠ 0) thì ta có:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}} \end{array}} \right.

2. Ứng dụng của định lý Vi – ét

a) Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

Nếu a + b + c = 0 => Phương trình a{x^2} + bx + c = 0;\left( {a \ne 0} \right) có hai nghiệm \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 1} \\ {{x_2} = \dfrac{c}{a}} \end{array}} \right.

Nếu a - b + c = 0 => Phương trình a{x^2} + bx + c = 0;\left( {a \ne 0} \right) có hai nghiệm \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 1} \\ {{x_2} = \dfrac{{ - c}}{a}} \end{array}} \right.

Ví dụ: Tìm 2 số biết rằng tổng của chúng bằng -4 và tích của chúng bằng -5

Hướng dẫn giải

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình {x^2} + 4x - 5 = 0 (1)

Nhận thấy thì phương trình có một nghiệm {x_1} = 1 , nghiệm còn lại là {x_2} = - 5

Vậy hai số cần tìm là 1 và -5.

b) Tìm hai số khi biết tổng và tích

Giả sử hai số cần tìm có tổng là S và tích làP.

Gọi một số là x, số kia là S - x.

Theo bài ra ta có: x\,\,\left( {S - x} \right) = P \Leftrightarrow {x^2} - Sx + P = 0 (1)

Nếu \Delta = {S^2} - \,\,4P\,\, \ge 0 thì phương trình (1) có nghiệm.

Các nghiệm này chính là hai số cần tìm. Vậy:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:

{x^2} - Sx + P = 0\,\,\,\,\,\,\left( {DK:\,\,{S^2} - \,\,4P\,\, \ge 0} \right)

Ví dụ: Tìm 2 số biết rằng tổng của chúng bằng -12 và tích của chúng bằng 27.

Hướng dẫn giải

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình {x^2} + 12x + 27 = 0 (1)

Giải phương trình (1) ta có : \Delta = {\left( {{b^\prime }} \right)^2} - a\,c\, = \,{6^2} - 27 = 9\,\, > 0

=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

{x_1} = \dfrac{{ - {b^\prime } + \sqrt \Delta }}{a} = - 6 + \sqrt 9 = - 3;\,\,\,\,\,{x_1} = \dfrac{{ - {b^\prime } - \sqrt \Delta }}{a} = - 6 - \sqrt 9 = - 9\,

Vậy hai số cần tìm là -3 và -9.

Ví dụ: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình {x^2} - 3x + 7 = 0. Không giải phương trình tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = \frac{1}{{{x_1} - 1}} + \frac{1}{{{x_2} - 1}}

b) B = {x_1}^2 + {x_2}^2

c) C = \left( {3{x_1} + {x_2}} \right)\left( {3{x_2} + {x_1}} \right)

Hướng dẫn giải

Ta có a.c < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-et ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 3} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 7} \end{array}} \right.

a) A = \frac{1}{{{x_1} - 1}} + \frac{1}{{{x_2} - 1}}

= \frac{{{x_2} + {x_1} - 2}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} = \frac{{ - 1}}{9}

b) B = {x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 9 + 14 = 23

c) C = \left( {3{x_1} + {x_2}} \right)\left( {3{x_2} + {x_1}} \right)

= 10{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right) = - 1

  • 2.258 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9