Lớp 9 Toán 9

Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Lý thuyết

1. Căn bậc hai của một tích

Với hai biểu thức A và B không âm, ta có \sqrt{A\cdot B}=\sqrt{A}\cdot\sqrt{B}

Ví dụ:

\sqrt{3.5}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}

\sqrt{(a+4)(2a+3)}=\sqrt{a+4}\cdot\sqrt{2a+3} (với a\ge-\frac{3}{2})

Chú ý: Định lý có thể mở rộng với nhiều số không âm.

Ví dụ: Tính

a) \sqrt{4.9}

b) \sqrt{1.16}

c) \sqrt{9.81}

d) \sqrt{16.25}

Giải:

a) Ta có: \sqrt{ 4.9}=\sqrt{4} . \sqrt9=2. 3=6.

b) Ta có: \sqrt{ 1.16}=\sqrt{ 1 }. \sqrt{ 16}=1.4=4.

c) Ta có: \sqrt{ 9.81}=\sqrt{ 9} . \sqrt{ 81}=3.9=27.

d) Ta có: \sqrt{ 16.25}=\sqrt{ 16} . \sqrt{ 25}=4.5=20.

2. Căn bậc hai của một thương

Với biểu thức A không âm, biểu thức B dương ta có: \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}

Ví dụ:

- \sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}

- \sqrt{\frac{a+4}{a}}=\frac{\sqrt{a+4}}{\sqrt{a}} (với a > 0)

3. Áp dụng

Quy tắc khai phương một tích:

Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả lại với nhau

Quy tắc nhân các căn bậc hai:

Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

Ví dụ 1: Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

a) \sqrt{0,09.64}

Giải: =\sqrt{0,09}\cdot\sqrt{64}=0,3.8=2,4

b) \sqrt{2^4\cdot(-7)^2}

Giải: =\sqrt{2^4}\cdot\sqrt{(-7)^2}=2^2\cdot7=28

Ví dụ 2: Áp dụng quy tắc nhân, hãy tính:

a) \sqrt{7}\cdot\sqrt{63}

Giải: =\sqrt{7.63}=\sqrt{7.7\cdot9}=\sqrt{\text{ 7.7.3.3 }}=7.3=21

b) \sqrt{0,4}\cdot\sqrt{6,4}

Giải: =\sqrt{0,4\cdot6,4}=\sqrt{0,04\cdot64}=\sqrt{0,04}\cdot\sqrt{64}=0,2.8=1,6

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức \sqrt{a^4(3-a)^2} với a ≥ 3.

Giải:

Ta có: \sqrt{a^4(3-a)^2} =a^2\cdot|3-a|=a^2(a-3) vì a ≥ 3

Bài tập áp dụng

Câu 1:

Thực hiện các phép tính sau:

a)   \sqrt{12}+2\sqrt{27}+3\sqrt{75}-9\sqrt{48}

=\sqrt{3.4}+2\sqrt{3.9}+3\sqrt{3.25}-9\sqrt{16.3}

=2\sqrt{3}+6\sqrt{3}+15\sqrt{3}-36\sqrt{3}=-13\sqrt{3}

b)   (\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}})^2

=(\sqrt{3-\sqrt{5}})^2+2\sqrt{3-\sqrt{5}}\cdot\sqrt{3+\sqrt{5}}+(\sqrt{3+\sqrt{5}})^2

=3-\sqrt{5}+2\sqrt{9-5}+3+\sqrt{5}=10

c)   \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}

=\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot\sqrt{2^{2-(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})^2}}

=\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}

=\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2^2-(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2}=\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{4-3}=1

d)   \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}

=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}{(\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}})(\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}})}+\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{(\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{3}})(\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}

=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}{-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}

=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}

=\frac{\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}

Câu 2:

Cho biểu thức A=\sqrt{\frac{\left(x^2-3\right)^2+12x^2}{x^2}}+\sqrt{(x+2)^2-8x}

  1. Rút gọn A.
  2. Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên.
Đáp án:

a) Điều kiện: x ≠ 0.

Ta có:

A=\sqrt{\frac{\left(x^2-3\right)^2+12x^2}{x^2}}+\sqrt{(x+2)^2-8x}

=\sqrt{\frac{x^4+6x^2+9}{x^2}+\sqrt{x^2-4x+4}}

=\sqrt{\left(\frac{x^2+3}{x}\right)^2}+\sqrt{(x-2)^2}=\frac{x^2+3}{|x|}+|x-2|

+ Với x < 0, ta có:

A=\frac{x^2+3}{-x}+2-x =\frac{x^2+3-2x+x^2}{-x} =\frac{2x^2-2x+3}{-x}

+ Với 0 < x < 2, ta có:

A=\frac{x^2+3}{x}+2-x  =\frac{x^2+3+2x-x^2}{x}=2+\frac{3}{x}

+ Với x ≥ 2, ta có:

A=\frac{x^2+3}{x}+x-2=\frac{2x^2-2x+3}{x}

b) Từ kết quả trên, giá trị A nguyên khi và chỉ khi \frac3x nguyên.

Ta có: \frac3x nguyên khi 3 chia hết cho x ⇒ x ∈ {±1; ±3}.

Câu 3:

Giải các phương trình sau:

a) (\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-5)=x-17

Điều kiện xác định x ≥ 0. Ta có:

(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-5)=x-17

\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}-15=x-17

\Leftrightarrow2\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=1(\mathrm{t}/\mathrm{m})

Vậy S = {1}

b) \frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2

Điều kiện xác định: \left\{\begin{array}{l} 2 x-3 \geq 0 \\ x-1>0 \end{array} \Rightarrow x \geq \frac{3}{2}\right.

Ta có: 

\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2 \Leftrightarrow\ \sqrt{2x-3}=2\sqrt{x-1} \Leftrightarrow\ 4(x-1)=2x-3

\Leftrightarrow 2 x=1 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2} (loại, vì x\ge\frac{3}{2})

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c) \sqrt{2+\sqrt{3x-5}}=\sqrt{x+1}

Điều kiện xác định: \left\{\begin{array}{l} 3 x-5 \geq 0 \\ x+1 \geq 0 \end{array} \Rightarrow x \geq \frac{5}{3}\right.

Ta có:

\sqrt{2+\sqrt{3x-5}}=\sqrt{x+1}

\Leftrightarrow2+\sqrt{3x-5}=x+1 \Leftrightarrow\sqrt{3x-5}=x-1

\Leftrightarrow3x-5=(x-1)^2 (vì x \geq \frac{5}{3} \Rightarrow x-1>0)

\Leftrightarrow x^2-5x+6=0 \Leftrightarrow(x-2)(x-3)=0

\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=2 \\ x=3 \end{array}(t / m)\right.

Vậy S = {2;3}

d) \sqrt{4x-20}+3\sqrt{\frac{x-5}{9}}-\frac{1}{3}\sqrt{9x-45}=4

Điều kiện xác định: x ≥ 5

Ta có:

\sqrt{4x-20}+3\sqrt{\frac{x-5}{9}}-\frac{1}{3}\sqrt{9x-45}=4

\Leftrightarrow2\sqrt{x-5}+\sqrt{x-5}-\sqrt{x-5}=4

\Leftrightarrow \sqrt{x-5}=2 \Leftrightarrow x-5=4 \Leftrightarrow x=9(\mathrm{t}/\mathrm{m})

Vậy S = {9}

Câu 4:

Tính giá trị của biểu thức x^2+y^2 biết rằng x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết, ta có: x \sqrt{1-y^2}+y \sqrt{1-x^2}=1 \text{ }(1) 

Điều kiện: x \in[-1 ; 1] ; y \in[-1 ; 1]

Ta có: 

(1) \Leftrightarrow\left(x \sqrt{1-y^2}+y \sqrt{1-x^2}\right)^2=1

\Leftrightarrow x^2+y^2-2 x^2 y^2+2 x y \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2}=1

\Leftrightarrow 2 x y \sqrt{1-x^2-y^2+x^2 y^2}-\left(1-x^2-y^2+x^2 y^2\right)-x^2 y^2=0

\Leftrightarrow\left(x y-\sqrt{1-x^2-y^2-x^2 y^2}\right)^2=0\Leftrightarrow x y=\sqrt{1-x^2-y^2+x^2 y^2}

\Leftrightarrow x^2 y^2=1-x^2-y^2+x^2 y^2 \Leftrightarrow x^2+y^2=1 .

Với bài Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương trên đây các bạn học sinh cùng quý thầy cô cần nắm vững kiến thức về định nghĩa về căn thức bậc hai của một tích, căn thức bậc hai của một thương,....

  • 10.329 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9