Luyện tập Bất đẳng thức Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi số thực dương $a$ và $b$ ?
- A.
  $\frac{(a + b)^{2}}{ab} \geq 4$
- B.
  $\frac{(a + b)^{2}}{ab} \leq 4$
- C.
  $\frac{(a + b)^{2}}{ab} > 4$
- D.
  $\frac{(a + b)^{2}}{ab} < 4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{(a + b)^{2}}{ab} - 4 = \frac{a^{2} + 2ab + b^{2} - 4ab}{ab}$

$= \frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{ab} = \frac{(a - b)^{2}}{ab}$

Do $\left\{ \begin{matrix} ab > 0 \\ (a - b)^{2} \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \forall a;b$ nên $\frac{(a - b)^{2}}{ab} \geq 0$ hay $\frac{(a + b)^{2}}{ab} \geq 4$ .
Câu 2: Vận dụng
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
Cho biểu thức $B = x + \frac{1}{x}$ . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $B$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $4$
- D.
  $- 2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$B = x + \frac{1}{x} = \frac{x^{2} + 1}{x} + 2 - 2$

$= \frac{x^{2} + 2x + 1}{x} - 2 = \frac{(x + 1)^{2}}{x} - 2$

Ta có: $(x + 1)^{2} \geq 0;\forall x < 0$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} \leq 0.\frac{1}{x}$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} \leq 0$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} - 2 \leq - 2$

$\Rightarrow B \leq - 2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(x + 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = - 1(tm\ \ x\ < \ 0)$

Vậy với $x < 0$ giá trị lớn nhất của biểu thức B là -2 khi $x = - 1$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tìm bất đẳng thức đúng với mọi a, b > 0
Bất đẳng thức nào đúng với mọi $a > 0;b > 0$ ?
- A.
  $a^{3} + b^{3} < ab^{2} + a^{2}b$
- B.
  $a^{3} + b^{3} \leq ab^{2} + a^{2}b$
- C.
  $a^{3} + b^{3} > ab^{2} + a^{2}b$
- D.
  $a^{3} + b^{3} \geq ab^{2} + a^{2}b$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{3} + b^{3} - ab^{2} - a^{2}b$

$= a^{2}(a - b) - b^{2}(a - b)$

$= (a - b)(a + b)(a - b)$

$= \left( a^{2} - b^{2} ight)(a - b) \geq 0$

Vì $(a - b)^{2} \geq 0\forall a;b$ và $a + b > 0$ với $a > 0;b > 0$

Do đó $a^{3} + b^{3} - ab^{2} - a^{2}b \geq 0$ hay $a^{3} + b^{3} \geq ab^{2} + a^{2}b$ .
Câu 4: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Biết rằng $- 2x + 3 < - 2y + 3$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $x \leq y$
- B.
  $x > y$
- C.
  $x = y$
- D.
  $x < y$
Hướng dẫn:
Ta có:

$- 2x + 3 < - 2y + 3$

$\Rightarrow - 2x + 3 - 3 < - 2y + 3 - 3$

$\Rightarrow - 2x < - 2y \Rightarrow - 2x.\left( - \frac{1}{2} ight) > - 2y.\left( - \frac{1}{2} ight)$

$\Rightarrow x > y$
Câu 5: Nhận biết
Xác định kết luận sai
Biết $x + 5 \geq y + 5$ . Kết quả nào sau đây sai khi so sánh $x$ với $y$ ?
- A.
  $x < y$
- B.
  $x > y$
- C.
  $x = y$
- D.
  $x \geq y$
Hướng dẫn:
Cộng hai vế của bất đẳng thức với -5 ta được:

$x + 5 + ( - 5) \geq y + 5 + ( - 5) \Rightarrow x \geq y$

Vậy kết quả sai là $x < y$ .
Câu 6: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng
Cho $x + y \geq2$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $x^{2} + y^{2} \leq2$
- B.
  $x^{2} + y^{2} \geq2$
- C.
  $x^{2} + y^{2} >2$
- D.
  $x^{2} + y^{2} <2$
Hướng dẫn:
Từ $x + y \geq 2$ bình phương hai vế (hai vế đều dương) ta được $x^{2} + 2xy +y^{2} > 4(*)$
Từ $(x - y)^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} -2xy + y^{2} \geq 0(**)$
Cộng từng vế của (*) và (**) ta được:
$2x^{2} + 2y^{2} \geq 4$
Chia cả hai vế cho 2 ta được
$x^{2} + y^{2} \geq 2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}x + y = 2 \\(x - y)^{2} = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + y = 2 \\x = y \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = y = 1$
Câu 7: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho $x > y$ với $x;y$ bất kì, chọn câu đúng?
- A.
  $x - 3 > y - 3$
- B.
  $x - 2 < y - 2$
- C.
  $x + 2 > y + 2$
- D.
  $x + 3 < y + 3$
Hướng dẫn:
Vì $x > y$ “cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số -3” ta được: $x - 3 > y - 3$ .
Câu 8: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Cho $a > b;c > 0$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $bc > ac$
- B.
  $ac \leq bc$
- C.
  $ac > bc$
- D.
  $bc \geq ac$
Hướng dẫn:
Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Từ đó $a > b;c > 0$ thì $a.c > b.c$ .
Câu 9: Nhận biết
Điền cụm từ thích hợp vào chỗ trống
Điền từ còn thiếu vào chỗ trống: “Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới … với bất đẳng thức đã cho.”
- A.
  lớn hơn hoặc bằng
- B.
  cùng chiều
- C.
  ngược chiều
- D.
  nhỏ hơn hoặc bằng
Hướng dẫn:
Ta có:

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Câu 10: Thông hiểu
Xác định số khẳng định đúng
Cho các khẳng định sau biết rằng $a < b$ :

(1) $2a + 1 < 2b + 5$

(2) $7 - 3a > 4 - 3b$

(3) $7a - 1 < 7b - 1$

(4) $2 - 3a < 2 - 3b$

Hỏi có bao nhiêu khẳng đúng?
- A.
  1
- B.
  4
- C.
  2
- D.
  3
Hướng dẫn:
Ta có:

$a < b \Leftrightarrow 2a < 2b \Leftrightarrow 2a + 1 < 2b + 1 < 2b + 5$

Suy ra $2a + 1 < 2b + 5$ đúng

$a < b \Leftrightarrow - 3a > - 3b \Leftrightarrow 7 - 3a > 7 - 3b > 4 - 3b$

Suy ra $7 - 3a > 4 - 3b$ đúng

$a < b \Leftrightarrow 7a < 7b \Leftrightarrow 7a - 1 < 7b - 1$

Suy ra $7a - 1 < 7b - 1$ đúng

$a < b \Leftrightarrow - 3a > - 3b \Leftrightarrow 2 - 3a > 2 - 3b$

Suy ra $2 - 3a < 2 - 3b$ sai.
Câu 11: Thông hiểu
Tìm kết luận sai
Chọn kết luận sai. Nếu $a < b$ thì
- A.
  $4a + 1 < 4b + 5$
- B.
  $4a - 2 < 4b - 2$
- C.
  $6 - 3a < 6 - 3b$
- D.
  $7 - 2a > 4 - 2b$
Hướng dẫn:
Vì $a < b \Leftrightarrow 4a < 4b \Leftrightarrow 4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5$

Suy ra $4a + 1 < 4b + 5$ đúng

Vì $a < b \Leftrightarrow - 2a > - 2b \Leftrightarrow 7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b$

Suy ra $7 - 2a > 4 - 2b$ đúng

Vì $a < b \Leftrightarrow - 3a > - 3b \Leftrightarrow 6 - 3a > 6 - 3b$

Suy ra $6 - 3a < 6 - 3b$ sai

Vì $a < b \Leftrightarrow 4a < 4b \Leftrightarrow 4a - 2 < 4b - 2$

Suy ra $4a - 2 < 4b - 2$ đúng
Câu 12: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi giá trị $a$ và $b$ ?
- A.
  $(a + b)^{2} \geq 2ab$
- B.
  $(a + b)^{2} > 2ab$
- C.
  $(a + b)^{2} = 2ab$
- D.
  $(a + b)^{2} < 2ab$
Hướng dẫn:
Ta có:

$P = (a + b)^{2} - 2ab = a^{2} + 2ab + b^{2} - 2ab$

$= a^{2} + b^{2} \geq 0;\forall a;b\mathbb{\in R}$ .

Do đó $P \geq 0;\forall a;b\mathbb{\in R \Rightarrow}(a + b)^{2} \geq 2ab$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b = 0$
Câu 13: Vận dụng
Tìm số khẳng định đúng
Với mọi $x > 0;y > 0$ , cho các khẳng định sau:

(1) $(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) \geq 4$

(2) $x^{2} + y^{3} \leq 0$

(3) $(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) < 4$

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) \geq 4 \Leftrightarrow 1 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + 1 \geq 4$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} + y^{2}}{xy} \geq 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2xy$ (do $x > 0;y > 0 \Rightarrow xy > 0$ )

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2xy \geq 0 \Leftrightarrow (x - y)^{2} \geq 0\forall x;y$

Suy ra $(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) \geq 4$ đúng và $(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) < 4$ sai

$x^{2} + y^{3} \leq 0$ với $\left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ y > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} > 0 \\ y^{2} > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x^{2} + y^{3} > 0$

Suy ra $x^{2} + y^{3} \leq 0$ sai.
Câu 14: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi $a;b;c$ ?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2ab + 2bc - 2ca$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} > 2ab + 2bc - 2ca$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq 2ab + 2bc - 2ca$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2ab + 2bc - 2ca$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - (2ab + 2bc - 2ca)$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2ab - 2bc + 2ca$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2a( - b) + 2( - b)c + 2ca$

$= \left\lbrack a + ( - b) + c ightbrack^{2} = (a - b + c)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$

Do đó $a^{2} + b^{2} + c^{2} - (2ab + 2bc - 2ca) \geq 0$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2ab + 2bc - 2ca$

Dấu bằng xảy ra khi $a - b + c = 0$ .
Câu 15: Thông hiểu
Điền dấu thích hợp vào chỗ chấm
Nếu $a > b > 0$ thì dấu cần điền vào chỗ trống trong phép toán $2021a^{3}...2021b^{3}$ là:
- A.
  $>$
- B.
  $<$
- C.
  $=$
- D.
  $\leq$
Hướng dẫn:
Ta có: $a > b > 0$

$a.a > b.a \Leftrightarrow a^{2} > ab$

Ta có: $a^{2} > ab \Rightarrow a^{2}.a > a.ab \Leftrightarrow a^{3} > a^{2}b$

Mà $a > b > 0 \Rightarrow ab > bb \Leftrightarrow ab > b^{2}$

$\Rightarrow ab.a > b^{2}.b \Rightarrow a^{2}b > b^{3}$

$\Rightarrow a^{3} > a^{2}b > b^{3} \Rightarrow a^{3} > b^{3}$

Vậy $2021a^{3} > 2021b^{3}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Chọn bất đẳng thức thỏa mãn yêu cầu
Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào cho kết quả $a < b$ ?
- A.
  $\left( \sqrt{5} - 2 ight)a - 1 < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b - 1$
- B.
  $- 7a < - 7b$
- C.
  $\frac{1}{2}a > \frac{1}{2}b$
- D.
  $\frac{1}{2}a + 3 > \frac{1}{2}b + 3$
Hướng dẫn:
$\frac{1}{2}a > \frac{1}{2}b \Leftrightarrow 2.\left( \frac{1}{2}a ight) > 2.\left( \frac{1}{2}b ight) \Leftrightarrow a > b$

Ta có:

$- 7a < - 7b \Leftrightarrow - 7a.\left( - \frac{1}{7} ight) > - 7b.\left( - \frac{1}{7} ight) \Leftrightarrow a > b$

Ta có:

$\frac{1}{2}a + 3 > \frac{1}{2}b + 3 \Leftrightarrow \frac{1}{2}a + 3 - 3 > \frac{1}{2}b + 3 - 3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}a > \frac{1}{2}b \Leftrightarrow 2.\frac{1}{2}a > 2.\frac{1}{2}b \Leftrightarrow a > b$

Ta có:

$\left( \sqrt{5} - 2 ight)a - 1 < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b - 1$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{5} - 2 ight)a - 1 + 1 < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b - 1 + 1$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{5} - 2 ight)a < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{5} - 2 ight)a.\frac{1}{\sqrt{5} - 2} < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b.\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$

$\Leftrightarrow a < b$
Câu 17: Thông hiểu
Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần
Cho biết $a = b - 1 = c - 3$ . So sánh $a;b;c$ ta được kết quả sắp xếp theo thứ tự tăng dần là:
- A.
  $a < b < c$
- B.
  $a < c < b$
- C.
  $b < c < a$
- D.
  $b < a < c$
Hướng dẫn:
Từ $a = b - 1 \Rightarrow b = a + 1$

Từ $a = c - 3 \Rightarrow c = a + 3$

Mà $a < a + 1 < a + 3 \Rightarrow a < b < c$
Câu 18: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng
Cho $a - 2 \leq b - 1$ . So sánh hai số $2a - 4$ và $2b - 2$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $2a - 4 > 2b - 2$
- B.
  $2a - 4 \leq 2b - 2$
- C.
  $2a - 4 \geq 2b - 2$
- D.
  $2a - 4 < 2b - 2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a - 2 \leq b - 1 \Leftrightarrow 2(a - 2) \leq 2(b - 1)$

$\Leftrightarrow 2a - 4 \leq 2b - 2$
Câu 19: Nhận biết
Điền dấu thích hợp vào chỗ trống
Biết rằng $m > n$ . Khi đó dấu cần điền vào biểu thức $m + 2017...n + 2016$ là:
- A.
  $<$
- B.
  $\leq$
- C.
  $\geq$
- D.
  $>$
Hướng dẫn:
Ta có:

$m > n \Rightarrow m + 2017 > n + 2017$

Vì $2017 > 2016 \Rightarrow n + 2017 > n + 2016$

$\Rightarrow m + 2017 > n + 2017 > n + 2016$

$\Rightarrow m + 2017 > n + 2016$
Câu 20: Thông hiểu
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = m^{2} - 2m$ với $0 \leq m \leq 2$ ?
- A.
  $- 2$
- B.
  $2$
- C.
  $0$
- D.
  $- 1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$A = m^{2} - 2m = m^{2} - 2m + 1 - 1 = (m - 1)^{2} - 1$

Lại có $(m - 1)^{2} \geq 0 \Rightarrow (m - 1)^{2} - 1 \geq - 1\forall m\mathbb{\in R}$

Suy ra bất đẳng thức $A = m^{2} - 2m \geq - 1$

Dấu bằng xảy ra khi $(m - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Vì $0 \leq m \leq 2$ nên m = 1 thỏa mãn điều kiện.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng -1 khi m = 1.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (35%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (20%):

2/3
Vận dụng cao (5%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0

Làm lại

53 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận