Luyện tập Bất đẳng thức Chân trời sáng tạo

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Chọn khẳng định sai
Với điều kiện $a;b$ bất kì. Chọn khẳng định sai?
- A.
  $a^{2} + 1 > a$
- B.
  $a^{2} + 5 > 4a$
- C.
  $a^{2} + 10 < 6a + 1$
- D.
  $ab - b^{2} \leq a^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + 5 - 4a = a^{2} - 4a + 4 + 1 = (a - 2)^{2} + 1 > 0$ (luôn đúng) nên $a^{2} + 5 > 4a$ .

$a^{2} + 1 - a = a^{2} - 2a.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \left( a - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ (luôn đúng) nên $a^{2} + 1 > a$ .

$a^{2} + 10 - (6a + 1) = a^{2} - 6a + 9 = (a - 3)^{2}$

Vì $(a - 3)^{2} \geq 0$ luôn đúng nên $a^{2} + 10 \ge 6a - 1$

Suy ra khẳng định $a^{2} + 10 < 6a + 1$ sai.

Ta có:

$a^{2} - ab + b^{2}$

$= a^{2} - 2a.\frac{b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + \frac{3b^{2}}{4}$

$= \left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4}$

Vì $\left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} \geq 0;\forall a,b\mathbb{\in R}$ suy ra $\left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $ab - b^{2} \leq a^{2}$
Câu 2: Nhận biết
So sánh x và y
Cho $x - 3 \leq y - 3$ so sánh $x$ và $y$ ta được kết quả là:
- A.
  $x > y$
- B.
  $x = y$
- C.
  $x < y$
- D.
  $x \leq y$
Hướng dẫn:
Cộng hai vế của bất đẳng thức $x - 3 \leq y - 3$ với 3 ta được:

$x - 3 \leq y - 3 \Rightarrow x - 3 + 3 \leq y - 3 + 3$

$\Rightarrow x + 0 \leq y + 0 \Rightarrow x \leq y$
Câu 3: Thông hiểu
So sánh m và n
Biết rằng $m - \frac{1}{2} = n$ . So sánh $m$ và $n$ ta được kết quả:
- A.
  $m = n$
- B.
  $m > n$
- C.
  $m \leq n$
- D.
  $m < n$
Hướng dẫn:
Ta có:

$m - \frac{1}{2} = n \Rightarrow m - n = \frac{1}{2} \Rightarrow m - n > 0 \Rightarrow m > n$ .
Câu 4: Thông hiểu
So sánh hai biểu thức
Cho $a + 8 < b$ . So sánh $a - 7$ và $b - 15$ ta được kết quả là:
- A.
  $a - 7 < b - 15$
- B.
  $a - 7 > b - 15$
- C.
  $a - 7 \leq b - 15$
- D.
  $a - 7 \geq b - 15$
Hướng dẫn:
Ta có: $a + 8 < b$

Cộng vào hai vế bất đẳng thức với -15 ta được:

$a + 8 < b \Rightarrow a + 8 + ( - 15) < b + ( - 15)$

$\Rightarrow a - 7 < b - 15$
Câu 5: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các bất đẳng thức

Các bất đẳng thức sau đúng hay sai?

a) $( - 3) + 5 \geq 3$ Sai||Đúng

b) $4 + ( - 7) < 13 + ( - 7)$ Đúng||Sai

c) $- 3 > 2.( - 1)$ Sai||Đúng

d) $a^{2} + 2 < 2$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Các bất đẳng thức sau đúng hay sai?

a) $( - 3) + 5 \geq 3$ Sai||Đúng

b) $4 + ( - 7) < 13 + ( - 7)$ Đúng||Sai

c) $- 3 > 2.( - 1)$ Sai||Đúng

d) $a^{2} + 2 < 2$ Sai||Đúng

Ta có:

$( - 3) + 5 \geq 3$ có $\left\{ \begin{matrix} VT = 2 \\ VP = 3 \\ \end{matrix} ight.$ mà $2 < 3$ vậy bất đẳng thức sai.

$4 + ( - 7) < 13 + ( - 7)$ có $4 < 13 \Rightarrow 4 + ( - 7) < 13 + ( - 7)$ (tính chất) vậy bất đẳng thức đúng.

$- 3 > 2.( - 1)$ có $\left\{ \begin{matrix} VT = - 3 \\ VP = - 2 \\ \end{matrix} ight.$ mà $- 3 < - 2$ vậy bất đẳng thức sai.

$a^{2} + 2 < 2$ có $a^{2} \geq 0 \Rightarrow a^{2} + 2 \geq 0 + 2 \Rightarrow a^{2} + 2 \geq 2$ vậy bất đẳng thức sai.
Câu 6: Thông hiểu
Tìm số khẳng định sai
Biết $a < b$ . Cho các khẳng định sau:

(1) $a - 1 < b - 1$

(2) $a - 1 < b$

(3) $a + 2 < b + 1$

Trong các khẳng định trên, số khẳng định sai là:
- A.
  $2$
- B.
  $4$
- C.
  $1$
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Vì $a < b$ cộng hai vế của bất đẳng thức với $- 1$ ta được $a - 1 < b - 1$

Suy ra (1) đúng.

Vì $a - 1 < b - 1$ (chứng minh trên) mà $b - 1 < b$ nên $a - 1 < b$ (tính chất bắc cầu)

Suy ra (2) đúng.

Vì $a < b$ cộng hai vế của bất đẳng thức với 1 ta được $a + 1 < b + 1$ mà $a + 1 < a + 2$ nên chưa đủ dữ liệu để nói rằng $a + 2 < b + 1$

Suy ra (3) sai.
Câu 7: Nhận biết
Chọn kí hiệu đúng
Số $a$ không lớn hơn số $b$ . Khi đó ta kí hiệu là:
- A.
  $a < b$
- B.
  $a \leq b$
- C.
  $a \geq b$
- D.
  $a > b$
Hướng dẫn:
Số $a$ không lớn hơn số $b$ . Khi đó ta kí hiệu là $a \leq b$
Câu 8: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Cho $a > b$ khi đó:
- A.
  $a - b > 0$
- B.
  $a - b \leq 0$
- C.
  $a - b = 0$
- D.
  $a - b < 0$
Hướng dẫn:
Ta có: $a > b$ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với $- b$ ta được:

$a + ( - b) > b + ( - b) \Rightarrow a - b > 0$
Câu 9: Nhận biết
Chọn kết luận sai
Chọn một số $a$ bất kì, chọn kết luận không chính xác?
- A.
  $2a - 5 < 2a + 1$
- B.
  $4a < 4a + 1$
- C.
  $3a - 3 > 3a - 1$
- D.
  $5a + 1 > 5a - 2$
Hướng dẫn:
Vì $- 5 < 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $2a$ bất kì ta được:

$2a - 5 < 2a + 1$ (đúng)

Vì $0 < 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $4a$ bất kì ta được:

$4a < 4a + 1$ (đúng)

Vì $1 > - 2$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $5a$ bất kì ta được:

$5a + 1 > 5a - 2$ (đúng)

Vì $- 3 < - 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $3a$ bất kì ta được:

$3a - 3 < 3a - 1$ vậy bất đẳng thức $3a - 3 > 3a - 1$ (sai)
Câu 10: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Với $x,y$ bất kì. Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $(x + y)^{2} \geq 4xy$
- B.
  $(x + y)^{2} > 4xy$
- C.
  $(x + y)^{2} < 4xy$
- D.
  $(x + y)^{2} \leq 4xy$
Hướng dẫn:
Xét biểu thức

$A = (x + y)^{2} - 4xy = x^{2} + 2xy + y^{2} - 4xy$

$= x^{2} - 4xy + y^{2} = (x - y)^{2}$

Mà $(x - y)^{2} \geq 0;\forall x;y\mathbb{\in R}$ suy ra $A \geq 0;\forall x;y\mathbb{\in R}$

Suy ra $(x + y)^{2} \geq 4xy$ .
Câu 11: Nhận biết
Chọn câu đúng
Cho $t$ bất kì, chọn câu đúng?
- A.
  $t - 3 > t - 4$
- B.
  $t - 3 < t - 4$
- C.
  $t - 3 = t - 4$
- D.
  $t - 3 \leq t - 4$
Hướng dẫn:
Vì $- 3 > - 4$ “cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số t bất kì” ta được: $t - 3 > t - 4$ .
Câu 12: Nhận biết
Xác định bất đẳng thức
Trong các phương án sau, hãy chỉ ra phương án là một bất đẳng thức?
- A.
  $a:\frac{5}{3}b$
- B.
  $3a = 5b - 5$
- C.
  $2a < b + 1$
- D.
  $2a = b(2a - b)$
Hướng dẫn:
Bất đẳng thức cần tìm là $2a < b + 1$ .
Câu 13: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho biết $a - 1 = b + 2 = c - 3$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $a < b < c$
- B.
  $b < c < a$
- C.
  $a < c < b$
- D.
  $b < a < c$
Hướng dẫn:
Từ $a - 1 = b + 2$ suy ra $a = b + 2 + 1 = b + 3$

Từ $b + 2 = c - 3$ suy ra $c = b + 2 + 3 = b + 5$

Mà $b < b + 3 < b + 5$ nên $b < a < c$
Câu 14: Nhận biết
Điền dấu thích hợp vào chỗ trống
Một học sinh thực hiện giải toán như sau:

Cộng $- 2006$ vào cả hai vế của bất đẳng thức $2005 < 2006$ ta suy ra $2005 + ( - 2006)...2006 + ( - 2006)$ .

Dấu cần điền vào chỗ chấm là:
- A.
  $\geq$
- B.
  $\leq$
- C.
  $<$
- D.
  $>$
Hướng dẫn:
Ta có:

$2005 < 2006$

$\Rightarrow 2005 + ( - 2006) < 2006 + ( - 2006)$ (theo tính chất)
Câu 15: Vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{2} - 2a$ với $0 \leq a \leq 2$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $0$
- C.
  $1$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$0 \leq a \leq 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq 0 \\ a \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq 0 \\ a - 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow a(a - 2) \leq 0 \Rightarrow a^{2} - 2a \leq 0$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a(a - 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0 \\ a = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $0 \leq a \leq 2$ nên $a = 0$ hoặc $a = 2$ tương đương với việc dấu bất đẳng thức $P = a^{2} - 2a \leq 0$ xảy ra được.

Vậy với $0 \leq a \leq 2$ thì giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 0 khi $a = 0$ hoặc $a = 2$ .
Câu 16: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Biết rằng $0 < a < b$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1$
- B.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$
- C.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$
- D.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} < 2$
Hướng dẫn:
Với $0 < a < b$ ta có: $(a - b)^{2} > 0$

$\Leftrightarrow a^{2} - b^{2} - 2ab > 0$

$\Leftrightarrow a^{2} - b^{2} > 2ab$

$\Leftrightarrow \frac{a^{2} - b^{2}}{ab} > \frac{2ab}{ab}$ (vì $ab > 0$ )

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{ab} - \frac{b^{2}}{ab} > 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$
Câu 17: Vận dụng cao
Chọn kết luận chính xác
Với các số $a,b,c$ bất kì. Hãy so sánh $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight)$ và $(a + b + c)^{2}$ ?
- A.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) = (a + b + c)^{2}$
- B.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \geq (a + b + c)^{2}$
- C.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \leq (a + b + c)^{2}$
- D.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) < (a + b + c)^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) - (a + b + c)^{2}$

$= 3a^{2} + 3b^{2} + 3c^{2} - a^{2} - b^{2} - c^{2} - 2ab - 2ac - 2bc$

$= 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2ac - 2bc$

$= (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} \geq 0$

(vì $(a - b)^{2} \geq 0;(b - c)^{2} \geq 0;(c - a)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$ )

Nên $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \leq (a + b + c)^{2}$ .
Câu 18: Thông hiểu
Xác định số khẳng định đúng
Có bao nhiêu bất đẳng thức đúng trong các bất đẳng thức sau?

a) $5 + ( - 8) < 3$

b) $( - 3).( - 7) > ( - 5).( - 4)$

c) $( - 7)^{2} - 9 \leq ( - 10).( - 4)$

d) $x^{2} + 1 \geq 1;\forall x\mathbb{\in R}$
- A.
  $4$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Ta có:

a) $5 + ( - 8) < 3$ đúng vì $5 + ( - 8) = ( - 3) < 3$

b) $( - 3).( - 7) > ( - 5).( - 4)$ đúng vì $( - 3).( - 7) = 21 > ( - 5).( - 4) = 20$

c) $( - 7)^{2} - 9 \leq ( - 10).( - 4)$ đúng vì $( - 7)^{2} - 9 = 40 \leq ( - 10).( - 4) = 40$

d) $x^{2} + 1 \geq 1;\forall x\mathbb{\in R}$ đúng vì $x^{2} \geq 0;\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow}x^{2} + 1 \geq 0 + 1 = 1;\forall x\mathbb{\in R}$
Câu 19: Nhận biết
Chọn kí hiệu đúng
Biết rằng bạn A nặng hơn bạn B, nếu gọi trọng lượng của bạn A là a (kg) và trọng lượng của bạn B là b (kg). Khi đó ta có:
- A.
  $a < b$
- B.
  $a \geq b$
- C.
  $a \leq b$
- D.
  $a > b$
Hướng dẫn:
Do bạn A nặng hơn bạn B nên a > b.
Câu 20: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Với mọi $a;b$ khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq ab$
- B.
  $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \leq ab$
- C.
  $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} < ab$
- D.
  $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} > ab$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} - ab = \frac{a^{2} + b^{2} - 2ab}{2} = \frac{(a - b)^{2}}{2} \geq 0$ luôn đúng

Vậy $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq ab$

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (40%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (15%):

2/3
Vận dụng cao (5%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0

Làm lại

18 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận