Luyện tập Bất đẳng thức và tính chất KNTT

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
So sánh hai biểu thức
Cho $a - 3 < b$ . So sánh $a + 10$ và $b + 13$
- A.
  $a + 10 < b + 13$
- B.
  $a + 10 \geq b + 13$
- C.
  $a + 10 = b + 13$
- D.
  $a + 10 > b + 13$
Hướng dẫn:
Ta có:

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức $a - 3 < b$ với 13 ta được:

$a - 3 + 13 < b + 13 \Rightarrow a + 10 < b + 13$
Câu 2: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi $a;b;c$ ?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = ab + bc + ca$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} > ab + bc + ca$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq ab + bc + ca$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca$

$= \frac{1}{2}\left( 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2bc - 2ca ight)$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack \left( a^{2} - 2ab + b^{2} ight) + \left( b^{2} - 2bc + c^{2} ight) + \left( c^{2} - 2ca + a^{2} ight) ightbrack$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} ightbrack \geq 0$

Vì $(a - b)^{2} \geq 0;(b - c)^{2} \geq 0;(c - a)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$ )

Nên $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca$

Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c$ .
Câu 3: Nhận biết
Tìm số khẳng định sai
Cho các khẳng định sau:

(1) $4.\frac{1}{2} > 3$

(2) $3\frac{2}{7} < 4 + \frac{1}{7}$

(3) $\sqrt{16} - 4 \geq 0$

(4) $x^{4} + 3 < 3$

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $3$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Khẳng định $4.\frac{1}{2} > 3$ sai vì $4.\frac{1}{2} = 2$ mà theo đề bài $4.\frac{1}{2} > 3 \Leftrightarrow 2 > 3$ vô lí.

Khẳng định $3\frac{2}{7} < 4 + \frac{1}{7}$ đúng vì $3\frac{2}{7} < 4 + \frac{1}{7} \Leftrightarrow \frac{3.7 + 2}{7} - \frac{1}{7} < 4 \Leftrightarrow \frac{22}{7} < 4 \Leftrightarrow 22 < 28$ (luôn đúng)

Khẳng định $\sqrt{16} - 4 \geq 0$ đúng vì $\sqrt{16} - 4 = 4 - 4 = 0$ ; $0 \geq 0$ là hiển nhiên đúng.

Khẳng định $x^{4} + 3 < 3$ sai vì $x^{4} + 3 < 3 \Leftrightarrow x^{4} < 0$ (vô lí vì $x^{4} = \left( x^{2} ight)^{2} \geq 0$ với mọi số thực x bất kì).
Câu 4: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho $a > b > 0$ . Kết luận nào đúng?
- A.
  $a^{2} < ab$ và $a^{3} > b^{3}$ .
- B.
  $a^{2} < ab$ và $a^{3} < b^{3}$
- C.
  $a^{2} > ab$ và $a^{3} < b^{3}$
- D.
  $a^{2} > ab$ và $a^{3} > b^{3}$
Hướng dẫn:
Với $a > b > 0$ ta có:

$a.a > a.b \Leftrightarrow a^{2} > ab$

Ta có: $a^{2} > ab \Rightarrow a^{2}.a > a.ab \Rightarrow a^{3} > a^{2}b$

Mà $a > b > 0 \Rightarrow a.b > b.b \Rightarrow a.b > b^{2}$

$\Rightarrow a.b.b > b^{2}.b \Rightarrow a.b^{2} > b^{3} \Rightarrow a^{3} > a.b^{2} > b^{3}$

Vậy $a^{2} > ab$ và $a^{3} > b^{3}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Xác định số khẳng định đúng
Biết $a < b$ . Cho các khẳng định sau:

(1) $a - 1 < b - 1$

(2) $a - 1 < b$

(3) $a + 2 < b + 1$

Trong các khẳng định trên, số khẳng định đúng là:
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Hướng dẫn:
Vì $a < b$ cộng hai vế của bất đẳng thức với $- 1$ ta được $a - 1 < b - 1$

Suy ra (1) đúng.

Vì $a - 1 < b - 1$ (chứng minh trên) mà $b - 1 < b$ nên $a - 1 < b$ (tính chất bắc cầu)

Suy ra (2) đúng.

Vì $a < b$ cộng hai vế của bất đẳng thức với 1 ta được $a + 1 < b + 1$ mà $a + 1 < a + 2$ nên chưa đủ dữ liệu để nói rằng $a + 2 < b + 1$

Suy ra (3) sai.

Vậy có 2 khẳng định đúng.
Câu 6: Vận dụng
Tính giá trị nhỏ nhất của P
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (a - 3)^{2} + (a + 1)^{2}$ với $a\mathbb{\in R}$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $4$
- C.
  $16$
- D.
  $8$
Hướng dẫn:
Ta có:

$P = (a - 3)^{2} + (a + 1)^{2}$

$= a^{2} - 6a + 9 + a^{2} + 2a + 1$

$= 2a^{2} - 4a + 10 = 2\left( a^{2} - 2a + 5 ight)$

$= 2(a - 1)^{2} + 8$

Với $a\mathbb{\in R}$ ta có: $(a - 1)^{2} \geq 0 \Rightarrow P = 2(a - 1)^{2} + 8 \geq 8$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(a - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow a = 1$

Vậy biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 khi và chỉ khi $a = 1$ .
Câu 7: Thông hiểu
Chọn câu đúng
Cho $a - 5 \leq b - 5$ so sánh $a$ và $b$ ta được kết quả là:
- A.
  $a > b$
- B.
  $a = b$
- C.
  $a \leq b$
- D.
  $a < b$
Hướng dẫn:
Cộng hai vế của bất đẳng thức $a - 5 \leq b - 5$ với 5 ta được:

$a - 5 \leq b - 5 \Rightarrow a - 5 + 5 \leq b - 5 + 5$

$\Rightarrow a + 0 \leq b + 0 \Rightarrow a \leq b$
Câu 8: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Với $x;y$ bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $(x + 2y)^{2} \leq 8xy$
- B.
  $(x + 2y)^{2} < 8xy$
- C.
  $(x + 2y)^{2} > 8xy$
- D.
  $(x + 2y)^{2} \geq 8xy$
Hướng dẫn:
Ta có:

$P = (x + 2y)^{2} - 8xy$

$= x^{2} + 4xy + 4y^{2} - 8xy$

$= x^{2} - 4xy + 4y^{2} = (x - 2y)^{2}$

Vì $(x - 2y)^{2} \geq 0;\forall x;y\mathbb{\in R}$

Nên $P \geq 0;\forall x;y\mathbb{\in R}$ suy ra $(x + 2y)^{2} \geq 8xy$
Câu 9: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Cho $x + y > 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$
- B.
  $x^{2} + y^{2} < \frac{1}{2}$
- C.
  $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$
- D.
  $x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Từ $x + y > 1$ bình phương hai vế (hai vế đều dương) ta được $x^{2} + 2xy + y^{2} > 1(*)$

Từ $(x - y)^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} - 2xy + y^{2} \geq 0(**)$

Cộng từng vế của (*) và (**) ta được:

$2x^{2} + 2y^{2} > 1$

Chia cả hai vế cho 2 ta được

$x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$
Câu 10: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho $a + 1 \leq b + 2$ . So sánh hai số $2a + 2$ và $2b + 4$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $2a + 2 < 2b + 4$
- B.
  $2a + 2 \geq 2b + 4$
- C.
  $2a + 2 \leq 2b + 4$
- D.
  $2a + 2 > 2b + 4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a + 1 \leq b + 2 \Leftrightarrow 2(a + 1) \leq 2(b + 2)$

$\Leftrightarrow 2a + 2 \leq 2b + 4$
Câu 11: Nhận biết
Xác định khẳng định sai
Chọn câu sai?
- A.
  Nếu $a < b$ và $c < 0$ thì $ac > bc$ .
- B.
  Nếu $a \geq b$ và $c > 0$ thì $ac \geq bc$ .
- C.
  Nếu $a \geq b$ và $c < 0$ thì $ac \leq bc$ .
- D.
  Nếu $a > b$ và $c < 0$ thì $ac > bc$ .
Hướng dẫn:
Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Khi đó: “Nếu $a > b$ và $c < 0$ thì $ac > bc$ .”
Câu 12: Thông hiểu
Sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần
Cho biết $a - 1 = b + 2 = c - 3$ . Sắp xếp các số $a;b;c$ theo thứ tự giảm dần ta được:
- A.
  $c;a;b$
- B.
  $b;c;a$
- C.
  $c;b;a$
- D.
  $a;c;b$
Hướng dẫn:
Từ $a - 1 = b + 2$ suy ra $a = b + 2 + 1 = b + 3$

Từ $b + 2 = c - 3$ suy ra $c = b + 2 + 3 = b + 5$

Mà $b < b + 3 < b + 5$ nên $b < a < c$

Vậy sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần là $c;a;b$ .
Câu 13: Nhận biết
So sánh x và y
Cho $x - 3 \leq y - 3$ so sánh $x$ và $y$ ta được kết quả là:
- A.
  $x = y$
- B.
  $x > y$
- C.
  $x \leq y$
- D.
  $x < y$
Hướng dẫn:
Cộng hai vế của bất đẳng thức $x - 3 \leq y - 3$ với 3 ta được:

$x - 3 \leq y - 3 \Rightarrow x - 3 + 3 \leq y - 3 + 3$

$\Rightarrow x + 0 \leq y + 0 \Rightarrow x \leq y$
Câu 14: Thông hiểu
Tìm các bất đẳng thức đúng
Chọn một số $a$ bất kì, cho các bất đẳng thức sau:

(1) $2a - 5 < 2a + 1$

(2) $3a - 3 > 3a - 1$

(3) $4a < 4a + 1$

(4) $5a + 1 > 5a - 2$

Hỏi có bao nhiêu bất đẳng thức đúng?
- A.
  4
- B.
  2
- C.
  1
- D.
  3
Hướng dẫn:
Vì $- 5 < 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $2a$ bất kì ta được:

$2a - 5 < 2a + 1$ (đúng)

Vì $0 < 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $4a$ bất kì ta được:

$4a < 4a + 1$ (đúng)

Vì $1 > - 2$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $5a$ bất kì ta được:

$5a + 1 > 5a - 2$ (đúng)

Vì $- 3 < - 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $3a$ bất kì ta được:

$3a - 3 < 3a - 1$ vậy bất đẳng thức $3a - 3 > 3a - 1$ (sai)
Câu 15: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Biết rằng $x + \frac{1}{2} = y$ . So sánh $x$ và $y$ ?
- A.
  $x \geq y$
- B.
  $x > y$
- C.
  $x < y$
- D.
  $y \leq x$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x + \frac{1}{2} = y \Rightarrow x - y = - \frac{1}{2} < 0 \Rightarrow x < y$ .
Câu 16: Nhận biết
Chọn bất đẳng thức đúng
Cho $n$ bất kì, chọn câu đúng?
- A.
  $n - 3 > n - 4$
- B.
  $n - 3 < n - 5$
- C.
  $n - 3 \geq n - 2$
- D.
  $n - 3 \leq n - 6$
Hướng dẫn:
Vì $- 3 > - 4$ “cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số n bất kì” ta được: $n - 3 > n - 4$ .
Câu 17: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Chọn câu đúng. Nếu $a > b$ thì
- A.
  $4b > 4a$
- B.
  $5b \geq 5a$
- C.
  $2a \leq 2b$
- D.
  $3b < 3a$
Hướng dẫn:
Với $a > b$ nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 3 ta được

$3a > 3b$ hay $3b < 3a$ .
Câu 18: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Cho $a > b$ khi đó:
- A.
  $b - a = 0$
- B.
  $b - a < 0$
- C.
  $b - a \leq 0$
- D.
  $b - a > 0$
Hướng dẫn:
Ta có: $a > b$ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với $- a$ ta được:

$a + ( - a) > b + ( - a) \Rightarrow 0 > b - a \Rightarrow b - a < 0$
Câu 19: Thông hiểu
Chọn bất đẳng thức tương đương
Cho $a > b$ . Bất đẳng thức nào tương đương với bất đẳng thức đã cho?
- A.
  $a - 3 > b - 3$
- B.
  $- 5b - 1 < - 5a - 1$
- C.
  $- 3a + 4 > - 3b + 4$
- D.
  $2a + 3 < 2b + 3$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a > b \Rightarrow a - 3 > b - 3$

Ta có:

$- 3a + 4 > - 3b + 4 \Rightarrow - 3a > - 3b \Rightarrow a < b$ trái với giả thiết.

$2a + 3 < 2b + 3 \Rightarrow 2a < 2b \Rightarrow a < b$ trái với giả thiết.

$- 5b - 1 < - 5a - 1 \Rightarrow - 5b < - 5a \Rightarrow b > a$ trái với giả thiết.
Câu 20: Vận dụng
Chọn khẳng định sai
Với $a;b$ bất kì. Chọn khẳng định sai?
- A.
  $- ab - b^{2} \leq a^{2}$
- B.
  $a^{2} + 3 > - 2a$
- C.
  $a^{2} + 1 < - a$
- D.
  $4a + 4 \leq a^{2} + 8$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + 2a + 3 = a^{2} + 2a + 1 + 2 = (a + 1)^{2} + 2 > 0$ luôn đúng

Suy ra $a^{2} + 3 > - 2a$ đúng

$a^{2} + 8 - (4a + 4) = a^{2} - 4a + 4 = (a - 2)^{2} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $4a + 4 \leq a^{2} + 8$ đúng

$a^{2} + a + 1 = a^{2} + 2a.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \left( a + \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ luôn đúng

Suy ra $a^{2} + 1 < - a$ sai

$a^{2} + ab + b^{2} = a^{2} + 2a.\frac{b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + \frac{3b^{2}}{4}$

$= \left( a + \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $- ab - b^{2} \leq a^{2}$ đúng.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (40%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (15%):

2/3
Vận dụng cao (5%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0

Làm lại

29 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận