Luyện tập Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai CTST

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Sau khi rút gọn biểu thức $C = \frac{1}{5 + 3\sqrt{2}} + \frac{1}{5 - 3\sqrt{2}}$ ta được phân số tối giản $\frac{a}{b};\left( a;b\mathbb{\in Z} ight)$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $2a = 7$
- B.
  $2a = 10$
- C.
  $2a = 14$
- D.
  $2a = 20$
Hướng dẫn:
Ta có:

$C = \frac{1}{5 + 3\sqrt{2}} + \frac{1}{5 - 3\sqrt{2}}$

$C = \frac{1\left( 5 - 3\sqrt{2} ight)}{\left( 5 + 3\sqrt{2} ight)\left( 5 - 3\sqrt{2} ight)} + \frac{1.\left( 5 + 3\sqrt{2} ight)}{\left( 5 - 3\sqrt{2} ight)\left( 5 + 3\sqrt{2} ight)}$

$C = \frac{5 - 3\sqrt{2} + 5 + 3\sqrt{2}}{5^{2} - \left( 3\sqrt{2} ight)^{2}}$

$C = \frac{10}{25 - 18} = \frac{10}{7}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 10 \\ b = 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow 2a = 20$
Câu 2: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Đưa thừa số $0,1\sqrt{20000}$ ra ngoài dấu căn ta được kết quả:
- A.
  $2\sqrt{100}$
- B.
  $10\sqrt{2}$
- C.
  $2\sqrt{10}$
- D.
  $100\sqrt{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$0,1\sqrt{20000} = 0,1\sqrt{2.10000} = 0,1.\sqrt{2.100^{2}} = 0,1.100\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$
Câu 3: Thông hiểu
Đơn giản biểu thức chứa căn
Rút gọn biểu thức $T = 2\sqrt{a} - \sqrt{9a^{3}} + a^{2}\sqrt{\frac{16}{a}} + \frac{2}{a^{2}}.\sqrt{36a^{5}}$ với $a > 0$ ta được kết quả là:
- A.
  $14\sqrt{a} + 2a\sqrt{a}$
- B.
  $14\sqrt{a} + a\sqrt{a}$
- C.
  $20\sqrt{a} - 2a\sqrt{a}$
- D.
  $14\sqrt{a} - a\sqrt{a}$
Hướng dẫn:
Với $a > 0$ ta có:

$T = 2\sqrt{a} - \sqrt{9a^{3}} + a^{2}\sqrt{\frac{16}{a}} + \frac{2}{a^{2}}.\sqrt{36a^{5}}$

$T = 2\sqrt{a} - \sqrt{3^{2}a^{2}.a} + a^{2}\frac{\sqrt{16a}}{a} + \frac{2}{a^{2}}.\sqrt{6^{2}a^{4}.a}$

$T = 2\sqrt{a} - 3a\sqrt{a} + 4a\sqrt{a} + 12\sqrt{a}$

$T = 14\sqrt{a} + a\sqrt{a}$
Câu 4: Thông hiểu
Chọn kết quả chính xác
Khử mẫu của biểu thức $- xy\sqrt{\frac{3}{xy}}$ với $x < 0;y < 0$ ta được kết quả là:
- A.
  $\sqrt{xy}$
- B.
  $- \sqrt{3xy}$
- C.
  $\sqrt{- xy}$
- D.
  $\sqrt{3xy}$
Hướng dẫn:
Ta có: $x < 0;y < 0$

$- xy\sqrt{\frac{3}{xy}} = - xy\sqrt{\frac{3.xy}{xy.xy}} = - xy.\frac{\sqrt{3xy}}{xy} = - \sqrt{- xy}$
Câu 5: Nhận biết
Xác định phát biểu đúng
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
- A.
  $\sqrt{\left( 1 - \sqrt{2} ight)^{2}} = 1 - \sqrt{2}$
- B.
  $\sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} - 1 ight)^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} - 1$
- C.
  $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1$
- D.
  $\sqrt{4} = \pm 2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{\left( \sqrt{3} ight)^{2} - 2\sqrt{3}.1 + 1^{2}} = \sqrt{\left( \sqrt{3} - 1 ight)^{2}} = \sqrt{3} - 1$
Câu 6: Nhận biết
Trục căn thức ở mẫu của biểu thức
Cho biểu thức $\frac{10}{\sqrt{3} + 1}$ . Kết quả khi trục căn thức ở mẫu của biểu thức đã cho là:
- A.
  $5\left( 1 - \sqrt{3} ight)$
- B.
  $5$
- C.
  $5\left( \sqrt{3} - 1 ight)$
- D.
  $- 5$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{10}{\sqrt{3} + 1} = \frac{10\left( \sqrt{3} - 1 ight)}{\left( \sqrt{3} + 1 ight)\left( \sqrt{3} - 1 ight)} = \frac{10\left( \sqrt{3} - 1 ight)}{\left( \sqrt{3} ight)^{2} - 1^{2}}$

$= \frac{10\left( \sqrt{3} - 1 ight)}{3 - 1} = \frac{10\left( \sqrt{3} - 1 ight)}{2} = 5\left( \sqrt{3} - 1 ight)$
Câu 7: Thông hiểu
Đơn giản biểu thức chứa căn
Chọn đẳng thức đúng?
- A.
  $\frac{a - b}{b^{2}}.\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} - 2ab + b^{2}}} = a - b$ với $a > b$
- B.
  $\frac{a - b}{b^{2}}.\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} - 2ab + b^{2}}} = ab$ với $a > b$
- C.
  $\frac{a - b}{b^{2}}.\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} - 2ab + b^{2}}} = a$ với $a > b$
- D.
  $\frac{a - b}{b^{2}}.\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} - 2ab + b^{2}}} = |a|$ với $a > b$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{a - b}{b^{2}}.\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} - 2ab + b^{2}}}$

$= \frac{a - b}{b^{2}}.\frac{\sqrt{a^{2}b^{4}}}{\sqrt{a^{2} - 2ab + b^{2}}}$

$= \frac{a - b}{b^{2}}.\frac{\sqrt{a^{2}}.\sqrt{b^{4}}}{\sqrt{(a - b)^{2}}}$

$= \frac{a - b}{b^{2}}.\frac{|a|.b^{2}}{|a - b|}$

$= \frac{a - b}{b^{2}}.\frac{|a|.b^{2}}{a - b} = |a|$ (vì $a > b \Rightarrow a - b > 0 \Rightarrow |a - b| = a - b$ )
Câu 8: Thông hiểu
Khử căn thức ở mẫu của biểu thức
Trục căn thức ở mẫu của biểu thức $\frac{3}{6 + \sqrt{3a}}$ với $a \geq 0;a eq 12$ thu được kết quả là:
- A.
  $\frac{6 + \sqrt{3a}}{12 + a}$
- B.
  $\frac{6 - \sqrt{3a}}{12 - a}$
- C.
  $\frac{6 + \sqrt{3a}}{12 - a}$
- D.
  $\frac{6 - \sqrt{3a}}{12 + a}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{3}{6 + \sqrt{3a}} = \frac{3\left( 6 - \sqrt{3a} ight)}{\left( 6 + \sqrt{3a} ight)\left( 6 - \sqrt{3a} ight)}$

$= \frac{3\left( 6 - \sqrt{3a} ight)}{6^{2} - \left( \sqrt{3a} ight)^{2}} = \frac{3\left( 6 - \sqrt{3a} ight)}{36 - 3a}$

$= \frac{18 - 3\sqrt{3a}}{3(12 - a)} = \frac{3\left( 6 - \sqrt{3a} ight)}{3(12 - a)} = \frac{6 - \sqrt{3a}}{12 - a}$
Câu 9: Nhận biết
Chọn kết quả chính xác
Đưa thừa số $\sqrt{144(3 + 2a)^{4}}$ ra ngoài dấu căn ta được:
- A.
  $12(3 + 2a)^{4}$
- B.
  $144(3 + 2a)^{2}$
- C.
  $12(3 + 2a)^{2}$
- D.
  $- 12(3 + 2a)^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sqrt{144(3 + 2a)^{4}} = \sqrt{12^{2}.\left\lbrack (3 + 2a)^{2} ightbrack^{2}}$

$= 12.\left| (3 + 2a)^{2} ight| = 12.(3 + 2a)^{2}$
Câu 10: Vận dụng
Tìm điều kiện của x thỏa mãn yêu cầu đề bài
Cho biểu thức $U = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} ight).\frac{(1 - x)^{2}}{2}$ với $x \geq 0;x eq 1$ . Tìm x để $U > 0$ ?
- A.
  $0 < x < 1$
- B.
  $x < 2$
- C.
  $x > 1$
- D.
  $x \leq 1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$U = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} ight).\frac{(1 - x)^{2}}{2}$

$U = \left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 2}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} ightbrack.\frac{(x - 1)^{2}}{2}$

$U = \left\lbrack \frac{\left( \sqrt{x} - 2 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} - \frac{\left( \sqrt{x} + 2 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} ightbrack.\frac{(x - 1)^{2}}{2}$

$U = \frac{x - \sqrt{x} - 2 - x - \sqrt{x} + 2}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}}.\frac{\left( \sqrt{x} - 1 ight)^{2}\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}}{2}$

$U = \frac{- 2\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{2} = \sqrt{x} - x$

Để $U > 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} - x > 0 \Leftrightarrow \sqrt{x}\left( 1 - \sqrt{x} ight) > 0$

Với $x \geq 0;x eq 1$ ta có: $\sqrt{x} \geq 0$ nên $\sqrt{x}\left( 1 - \sqrt{x} ight) > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - \sqrt{x} > 0 \\ x eq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} < 1 \\ x eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x < 1 \\ x eq 0 \\ \end{matrix} ight.$

Kết hợp với điều kiện ra suy ra $0 < x < 1$ là đáp án cần tìm.
Câu 11: Thông hiểu
Đơn giản biểu thức chứa căn
Thu gọn biểu thức $A = \sqrt{27x} - \sqrt{48x} + 4\sqrt{75x} + \sqrt{243x}$ với $x \geq 0$ ta được kết quả là:
- A.
  $28\sqrt{x}$
- B.
  $39\sqrt{x}$
- C.
  $40\sqrt{3x}$
- D.
  $28\sqrt{3x}$
Hướng dẫn:
Với $x \geq 0$ ta có:

$A = \sqrt{27x} - \sqrt{48x} + 4\sqrt{75x} + \sqrt{243x}$

$A = \sqrt{9.3x} - \sqrt{16.3x} + 4\sqrt{25.3x} + \sqrt{81.3x}$

$A = \sqrt{3^{2}.3x} - \sqrt{4^{2}.3x} + 4\sqrt{5^{2}.3x} + \sqrt{9^{2}.3x}$

$A = 3\sqrt{3x} - 4\sqrt{3x} + 20\sqrt{3x} + 9\sqrt{3x}$

$A = 28\sqrt{3x}$
Câu 12: Thông hiểu
Biến đổi biểu thức chứa căn
Rút gọn biểu thức $B = 7\sqrt{x} + 11y\sqrt{36x^{5}} - 2x^{2}\sqrt{16xy^{2}} - \sqrt{25.x}$ với $x \geq 0;y \geq 0$ ta được kết quả là:
- A.
  $12\sqrt{x} + 58x^{2}y\sqrt{x}$
- B.
  $2\sqrt{x} - 58x^{2}y\sqrt{x}$
- C.
  $2\sqrt{x} + 58x^{2}y\sqrt{x}$
- D.
  $2\sqrt{x} + 56x^{2}y\sqrt{x}$
Hướng dẫn:
Với $x \geq 0;y \geq 0$ ta có:

$B = 7\sqrt{x} + 11y\sqrt{36x^{5}} - 2x^{2}\sqrt{16xy^{2}} - \sqrt{25.x}$

$B = 7\sqrt{x} + 11y\sqrt{6^{2}.x^{4}.x} - 2x^{2}\sqrt{4^{2}xy^{2}} - \sqrt{5^{2}.x}$

$B = 7\sqrt{x} + 11y.6x^{2}\sqrt{x} - 2x^{2}.4y\sqrt{x} - 5\sqrt{x}$

$B = 7\sqrt{x} + 66x^{2}y\sqrt{x} - 8x^{2}y\sqrt{x} - 5\sqrt{x}$

$B = \left( 7\sqrt{x} - 5\sqrt{x} ight) + \left( 66x^{2}y\sqrt{x} - 8x^{2}y\sqrt{x} ight)$

$B = 2\sqrt{x} + 58x^{2}y\sqrt{x}$
Câu 13: Thông hiểu
Tìm giá trị của x thỏa mãn điều kiện
Cho biểu thức $M = \frac{2}{x + \sqrt{x} + 2}$ với $x \geq 0$ . Tìm giá trị của $x$ để biểu thức $M = \frac{1}{2}$ ?
- A.
  $x = 4$
- B.
  $x = 1$
- C.
  $x = 9$
- D.
  $x = 2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$M = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{x + \sqrt{x} + 2} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{2.2}{2\left( x + \sqrt{x} + 2 ight)} = \frac{x + \sqrt{x} + 2}{2\left( x + \sqrt{x} + 2 ight)}$

$\Leftrightarrow 4 = x + \sqrt{x} + 2 \Leftrightarrow x + \sqrt{x} - 2 = 0$

$\Leftrightarrow x - \sqrt{x} + 2\sqrt{x} - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 ight) + 2\left( \sqrt{x} - 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{x} + 2 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight) = 0$ (Vì $\sqrt{x} + 2 > 0$ )

$\Leftrightarrow \sqrt{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1(tm)$

Vậy x = 1 là giá trị cần tìm.
Câu 14: Nhận biết
Đưa thừa số vào trong dấu căn
Đưa thừa số $3\sqrt{5}$ vào trong dấu căn ta được:
- A.
  $\sqrt{45}$
- B.
  $\sqrt{15}$
- C.
  $- \sqrt{15}$
- D.
  $- \sqrt{45}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$3\sqrt{5} = \sqrt{3^{2}.5} = \sqrt{9.5} = \sqrt{45}$
Câu 15: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Khử mẫu của biểu thức $\sqrt{\frac{5a}{7b}}$ với $ab > 0$ ta được kết quả là:
- A.
  $\frac{\sqrt{35ab}}{7|b|}$
- B.
  $\frac{35ab}{7|b|}$
- C.
  $\frac{\sqrt{35ab}}{7b}$
- D.
  $- \frac{\sqrt{35ab}}{7b}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sqrt{\frac{5a}{7b}} = \sqrt{\frac{5a.7b}{7b.7b}} = \frac{\sqrt{35ab}}{\sqrt{(7b)^{2}}} = \frac{\sqrt{35ab}}{|7b|} = \frac{\sqrt{35ab}}{7|b|}$
Câu 16: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Đưa thừa số $x\sqrt{\frac{- 35}{x}}$ với $x < 0$ vào trong dấu căn ta được kết quả là:
- A.
  $\sqrt{- 35x}$
- B.
  $- \sqrt{- 35x}$
- C.
  $\sqrt{35}$
- D.
  $\sqrt{35x^{2}}$
Hướng dẫn:
Ta có: $x < 0$

$x\sqrt{\frac{- 35}{x}} = - \sqrt{x^{2}.\left( \frac{- 35}{x} ight)} = - \sqrt{- 35x}$
Câu 17: Nhận biết
Trục căn thức ở mẫu của biểu thức
Khử mẫu của biểu thức $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ta được:
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{6}$
- B.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{2}{\sqrt{3}}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2.3}{3^{2}}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3^{2}}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
Câu 18: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho biểu thức $A < 0;B \geq 0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $\sqrt{A^{2}B} = B\sqrt{A}$
- B.
  $\sqrt{A^{2}B} = A\sqrt{B}$
- C.
  $\sqrt{A^{2}B} = - B\sqrt{A}$
- D.
  $\sqrt{A^{2}B} = - A\sqrt{B}$
Hướng dẫn:
Với hai biểu thức $A;B$ mà $B \geq 0$ ta có:

$\sqrt{A^{2}B} = |A|\sqrt{B} = \left\{ \begin{matrix} A\sqrt{B}\ \ \ \ khi\ A \geq 0 \\ - A\sqrt{B}\ \ \ \ khi\ A < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy khẳng định đúng là: “ $\sqrt{A^{2}B} = - A\sqrt{B}$ ”.
Câu 19: Vận dụng cao
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T
Với $x \geq 0;x eq 1$ , cho biểu thức $T = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} ight).\frac{(1 - x)^{2}}{2}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $\frac{12}{5}$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$T = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} ight).\frac{(1 - x)^{2}}{2}$

$T = \left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 2}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} ightbrack.\frac{(x - 1)^{2}}{2}$

$T = \left\lbrack \frac{\left( \sqrt{x} - 2 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} - \frac{\left( \sqrt{x} + 2 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} ightbrack.\frac{\left( \sqrt{x} - 1 ight)^{2}\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}}{2}$

$T = \left\lbrack \frac{x - \sqrt{x} - 2 - x - \sqrt{x} + 2}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} ightbrack.\frac{\left( \sqrt{x} - 1 ight)^{2}\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}}{2}$

$T = \sqrt{x} - x$

Với $x \geq 0;x eq 1$ ta có:

$T = \sqrt{x} - x = - \left( x - \sqrt{x} ight)$

$= \frac{1}{4} - \left( x - \sqrt{x} + \frac{1}{4} ight)$

$= \frac{1}{4} - \left( \sqrt{x} - \frac{1}{2} ight)^{2}$

Nhận thấy $\frac{1}{4} - \left( \sqrt{x} - \frac{1}{2} ight)^{2} \leq \frac{1}{4}$ với $x \geq 0;x eq 1$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}(tm)$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T bằng $\frac{1}{4}$ khi $x = \frac{1}{4}$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức E
Giá trị của biểu thức $E = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$ bằng:
- A.
  $E = 2\sqrt{5}$
- B.
  $E = 4 + \sqrt{5}$
- C.
  $E = \sqrt{5}$
- D.
  $E = 4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$E = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$

$E = \sqrt{\left( \sqrt{5} ight)^{2} - 2.2.\sqrt{5} + 2^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{5} ight)^{2} + 2.2.\sqrt{5} + 2^{2}}$

$E = \sqrt{\left( \sqrt{5} - 2 ight)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{5} + 2 ight)^{2}}$

$E = \left| \sqrt{5} - 2 ight| + \left| \sqrt{5} + 2 ight|$

$E = \sqrt{5} - 2 + \sqrt{5} + 2 = 2\sqrt{5}$

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (45%):

2/3
Thông hiểu (45%):

2/3
Vận dụng (5%):

2/3
Vận dụng cao (5%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0

Làm lại

12 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận