Luyện tập Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông CTST

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho hình vẽ:

Đặt $\widehat{AOB} = x;\widehat{AOC} = y;\widehat{AOD} = z$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin x > \sin z > \sin y$
- B.
  $\sin y > \sin z > \sin x$
- C.
  $\sin z < \sin x < \sin y$
- D.
  $\sin z < \sin y < \sin x$
Hướng dẫn:
Ta có:

$AB > AC > AD$

$\Rightarrow \frac{AB}{OB} > \frac{AC}{OB} > \frac{AD}{OB}$

$\Rightarrow \sin x > \sin y > \sin z$

Hay $\sin z < \sin y < \sin x$ .
Câu 2: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC;BC = 4,2m$ . Kẻ đường cao $AH;(H \in BC)$ . Tính độ dài các cạnh $HD;HE$ ?
- A.
  $HD = HE \approx 1,3m$
- B.
  $HD = HE \approx 2m$
- C.
  $HD = HE \approx 1m$
- D.
  $HD = HE \approx 1,4m$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác ABC cân tại A.

AH là đường cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân nên

$HB = HC = 4,2:2 = 2,1(m)$

Xét tam giác ABH vuông tại H ta có: $\tan\alpha = \frac{AH}{BH} = \frac{1,7}{2,1} \approx 0,8095 \Rightarrow \alpha \approx 39^{0}$

Xét tam giác DBH vuông tại D ta có: $HD = HB.sinB = 2,1.sin39^{0} \approx 1,3(m)$

Vậy $HD = HE \approx 1,3m$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tính độ dài cạnh BC
Cho tam giác ABC có $\widehat{B} = 60^{0};AC = 14cm;AB = 16cm$ . Tính độ dài cạnh $BC$ ?
- A.
  $10cm$
- B.
  $15cm$
- C.
  $12cm$
- D.
  $8cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Trong tam giác AHB vuông tại H ta có:

$BH = AB.\cos B = 8(cm)$

Trong hai tam giác vuông AHB và AHC theo định lí Pythagore ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AH^{2} = AB^{2} - HB^{2} \\ AH^{2} = AC^{2} - HC^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow AB^{2} - HB^{2} = AC^{2} - HC^{2}$

$\Rightarrow 16^{2} - 8^{2} = 14^{2} - HC^{2} \Rightarrow HC = 2(cm)$

Vậy $BC = CH + BH = 10(cm)$
Câu 4: Nhận biết
Xác định giá trị của b
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B} = 35^{0};a = 20$ . Tính giá trị của $b$ ?
- A.
  $b = 28,56$
- B.
  $b = 14$
- C.
  $b = 11,47$
- D.
  $b = 16,38$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $b = a.\sin35^{0} = 20.\sin35^{0}\approx 11,47$
Câu 5: Vận dụng
Xác định x và y
Cho tam giác vuông như hình vẽ:

Chọn kết quả đúng dưới đây?
- A.
  $x = 4;y = 2\sqrt{5}$
- B.
  $x = 2;y = 2\sqrt{2}$
- C.
  $x = 4;y = 16$
- D.
  $x = 2;y = 8$
Hướng dẫn:
Xét tam giác AHB vuông tại H và tam giác AHC vuông tại H có:

$\widehat{ABH} = \widehat{CAH}$ (vì cùng phụ với góc $\widehat{BAH}$ )

Suy ra $\Delta ABH\sim\Delta CAH(g - g)$

$\Rightarrow \frac{AH}{CH} = \frac{BH}{AH} \Rightarrow AH^{2} = CH.BH$

$\Rightarrow 2^{2} = 1.x \Rightarrow x = 4$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giấc AHC vuông tại H ta có:

$AC^{2} = CH^{2} + AH^{2} \Rightarrow y = \sqrt{x^{2} + 2^{2}}$

$\Rightarrow y = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{5}$

Vậy $x = 4;y = 2\sqrt{5}$ là giá trị cần tìm.
Câu 6: Thông hiểu
Tính diện tích tam giác
Cho tam giác $MNP$ có $\widehat{N} = 70^{0};\widehat{P} = 38^{0}$ . Kẻ đường cao $MI$ . Tính diện tích tam giác $MNP$ biết $MI = 8cm$ ?
- A.
  $51,54cm^{2}$
- B.
  $42,65cm^{2}$
- C.
  $48,08cm^{2}$
- D.
  $52,68cm^{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$NI = MI.cotN = 8.cot70^{0} = 2,91(cm)$

$PI = MI.cotP = 8.cot38^{0} = 10,26(cm)$

$\Rightarrow NP = NI + IP = 2,91 + 10,26 = 13,17(cm)$

$S_{MNP} = \frac{1}{2}.8.13,17 = 52,68\left( cm^{2} ight)$
Câu 7: Thông hiểu
Giải tam giác
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 12cm;AC = 16cm;BC = 20cm$ . Chọn đáp án đúng?
- A.
  $\widehat{A} = 80^{0};\widehat{B} = 62^{0};\widehat{C} = 38^{0}$
- B.
  $\widehat{A} = 90^{0};\widehat{B} = 53^{0};\widehat{C} = 37^{0}$
- C.
  $\widehat{A} = 80^{0};\widehat{B} = 38^{0};\widehat{C} = 62^{0}$
- D.
  $\widehat{A} = 90^{0};\widehat{B} = 37^{0};\widehat{C} = 53^{0}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AB^{2} + AC^{2} = 400 \\ BC^{2} = 400 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$

Suy ra tam giác ABC vuông tại A

Suy ra $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{16}{20} = 0,8 \Rightarrow \widehat{B} = 53^{0}$

$\Rightarrow \widehat{C} = 180^{0} - \left( 90^{0} + 53^{0} ight) = 37^{0}$
Câu 8: Nhận biết
Chọn hệ thức đúng
Quan sát hình vẽ:

Hệ thức nào sau đây đúng?
- A.
  $c = a\cos\widehat{B}$
- B.
  $c = a\sin\widehat{C}$
- C.
  $c = a\tan\widehat{B}$
- D.
  $c = a\sin\widehat{B}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sin\widehat{C} = \frac{c}{a} \Rightarrow c = a\sin\widehat{C}$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn kết quả đúng
Cho tam giác $ABC$ ; $\left(\widehat{A} = 90^{0} ight)$ , đường cao $AH$ . Biết $AH = 6cm;BH = 3cm$ . Chọn kết quả đúng?
- A.
  $\cos\widehat{C} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
- B.
  $\cos\widehat{C} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\cos\widehat{C} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
- D.
  $\cos\widehat{C} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tam giác ABH vuông tại H nên

$AB = \sqrt{AH^{2} + BH^{2}} = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} = \sqrt{45}$

Ta có: $\sin\widehat{B} = \frac{AH}{AB} = \frac{6}{\sqrt{45}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Mà $\widehat{C} + \widehat{B} = 90^{0}$

$\Rightarrow \sin\widehat{B} = \cos\widehat{C} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
Câu 10: Vận dụng
Tính diện tích tam giác ABC
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 60^{0};\widehat{C} = 50^{0};AC = 35cm$ . Diện tích tam giác $ABC$ bằng:
- A.
  $458cm^{2}$
- B.
  $496cm^{2}$
- C.
  $518cm^{2}$
- D.
  $509cm^{2}$
Hướng dẫn:
Kẻ đường cao AH

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

$\sin50^{0} = \frac{AH}{AB} \Rightarrow AH= AB.\sin50^{0} \approx 26,812cm$

$\cos50^{0} = \frac{HB}{AB} \Rightarrow HB= AB.\cos50^{0} \approx 15,480cm$

Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:

$\tan60^{0} = \frac{AH}{CH} \Rightarrow CH= \frac{AH}{\tan60^{0}} \approx 22,498cm$

Suy ra diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2}.(BH + HC).AH \approx 509cm^{2}$
Câu 11: Thông hiểu
Tìm độ dài cạnh AD
Cho tam giác ABD có $AB = BD;\widehat{A} = 45^{0};BD = 18cm$ . Tính độ dài $AD$ ?
- A.
  $6\sqrt 2$
- B.
  $12\sqrt 2$
- C.
  $18\sqrt 2$
- D.
  $10\sqrt 2$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì $AB = BD$ nên tam giác ABD cân tại B

Kẻ đường cao BH suy ra H là trung điểm của AD

Xét tam giác AHB vuông tại H

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

$\left\{ \begin{matrix}BH = AB.\sin\widehat{A} = 9\sqrt{2}(cm) \\AH = AB.\cos\widehat{A} = 9\sqrt{2}(cm) \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow AD = 2AH = 18\sqrt{2}(cm)$
Câu 12: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho hình vẽ:

Chọn hệ thức đúng?
- A.
  $AD = AB.cot\widehat{B}$
- B.
  $AD = AB.sin\widehat{B}$
- C.
  $AD = AB.tan\widehat{B}$
- D.
  $AD = AB.cos\widehat{B}$
Hướng dẫn:
Xét tam giác ADB vuông tại A ta có:

$AD = AB.sin\widehat{B}$
Câu 13: Nhận biết
Tính giá trị của c
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{C} = 30^{0};b = 10$ . Xác định giá trị của $c$ ?
- A.
  $c = 10\sqrt{3}$
- B.
  $c = 5$
- C.
  $c = 20$
- D.
  $c = \frac{10\sqrt{3}}{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $c = b.\tan30^{0} =\frac{10\sqrt{3}}{3}$
Câu 14: Nhận biết
Tìm hệ thức đúng
Quan sát hình vẽ:

Hệ thức nào sau đây đúng?
- A.
  $a = \frac{b}{\sin\widehat{C}}$
- B.
  $a = \frac{c}{\tan\widehat{C}}$
- C.
  $c = \frac{b}{\cot\widehat{C}}$
- D.
  $a = \frac{c}{\sin\widehat{B}}$
Hướng dẫn:
Xét tam giác $ABC;\left( \widehat{A} = 90^{0} ight)$ ta có:

$b = c\tan B \Rightarrow c = \frac{b}{\tan B} = \frac{b}{\cot C}$ (vì $\tan B = \cot C$
Câu 15: Thông hiểu
Tìm hệ thức đúng
Cho hình vẽ:
Hệ thức nào dưới đây đúng?
- A.
  $\frac{AB}{BC} =\frac{AD}{CH}$
- B.
  $BH =HC.\cos\widehat{B}$
- C.
  $BC =\frac{BH}{\tan\widehat{B}}$
- D.
  $BH =BC.\tan\widehat{B}$
Hướng dẫn:
Xét tam giác HBC vuông tại H ta có: $\sinB = \frac{HC}{BC}(*)$
Xét tam giác ABD vuông tại D ta có: $\sinB = \frac{AD}{AB}(**)$
Từ (*) và (**) suy ra $\frac{HC}{BC} =\frac{AD}{AB} \Rightarrow \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CH}$ (hệ thức đúng)