Luyện tập Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Câu 1: Nhận biết
Chọn hệ thức đúng
Cho hình vẽ:

Chọn hệ thức đúng?
- A.
  $HC = BC.\sin\widehat{B}$
- B.
  $HC =BC.\cos\widehat{B}$
- C.
  $HC =BC.\cot\widehat{B}$
- D.
  $HC =BC.\tan\widehat{B}$
Hướng dẫn:
Xét tam giác BHC vuông tại H ta có:

$HC = BC.\sin\widehat{B}$
Câu 2: Nhận biết
Chọn hệ thức đúng
Quan sát hình vẽ:

Hệ thức nào sau đây đúng?
- A.
  $b = c\tan\widehat{B}$
- B.
  $c = a\sin\widehat{B}$
- C.
  $b = a\tan\widehat{C}$
- D.
  $c = a\tan\widehat{B}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\tan\widehat{B} = \frac{AC}{AB} =\frac{b}{c} \Rightarrow b = c.\tan\widehat{B}$
Câu 3: Vận dụng cao
Tính diện tích tứ giác ABCD
Cho tứ giác $ABCD$ . Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Biết rằng $\widehat{AOD} = 70^{0}$ $;AC =5,3cm;BD = 4cm$ . Tính diện tích tứ giác $ABCD$ ?
- A.
  $8,9cm^{2}$
- B.
  $8cm^{2}$
- C.
  $9,7cm^{2}$
- D.
  $10cm^{2}$
Hướng dẫn:
Kẻ $BH\bot AC;DK\bot AC$

Xét tam giác HOB vuông tại H ta có: $BH =OB.\sin\widehat{BOH}$

Xét tam giác KOD vuông tại K ta có: $DK =OD.\sin\widehat{KOD}$

Mà $\widehat{BOH} = \widehat{KOD}$ đối đỉnh.

$\Rightarrow S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{1}{2}AC(BH + DK)$

$= \frac{1}{2}AC.(OB + OD)\sin\widehat{KOD}$

$= \frac{1}{2}AC.BD\sin\widehat{KOD} =\frac{1}{2}5,3.4\sin70^{0} \approx 10\left( cm^{2} ight)$
Câu 4: Thông hiểu
Xác định kết luận đúng
Cho hình vẽ:
Đặt $\widehat {AOB} = x;\widehat {AOC} = y;\widehat {AOD} = z$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $\cos x > \cos y > \cosz$
- B.
  $\cos x < \cos z < \cosy$
- C.
  $\cos y < \cos z < \cosx$
- D.
  $\cos z > \cos y > \cosx$
Hướng dẫn:
Ta có:
$OD < OC < OB$
$\Rightarrow \frac{OA}{OD} >\frac{OA}{OC} > \frac{OA}{OB}$
$\Rightarrow \cos z > \cos y > \cosx$
Câu 5: Thông hiểu
Xác định kết quả đúng
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AH\bot BC;(H \in BC)$ . Biết rằng $AH = 6;BH = 3$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin\widehat{B} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\sin\widehat{B} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\sin\widehat{B} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $\sin\widehat{B} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tam giác ABH vuông tại H nên

$AB = \sqrt{AH^{2} + BH^{2}} = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} = \sqrt{45}$

Ta có: $\sin\widehat{B} = \frac{AH}{AB} = \frac{6}{\sqrt{45}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
Câu 6: Thông hiểu
Chọn kết quả chính xác
Cho tam giác $ABC$ có $a = 5;b = 4;c = 3$ . Kẻ đường cao $AH$ và $\widehat{BAH} = \alpha$ . Kết quả nào sau đây đúng?
- A.
  $\cos\alpha = \frac{2\sqrt{3}}{5}$
- B.
  $\cos\alpha = 0,75$
- C.
  $\cos\alpha = 0,8$
- D.
  $\cos\alpha = 0,6$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$ nên tam giác ABC vuông tại A

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \widehat{BAH} + \widehat{AHC} = 90^{0} \\ \widehat{AHC} + \widehat{HCA} = 90^{0} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \widehat{BAH} = \widehat{HCA}$

$\Rightarrow \alpha = \widehat{HCA}$

$\Rightarrow \cos\alpha =\cos\widehat{HCA} = \frac{b}{a} = 0,8$
Câu 7: Thông hiểu
Tính khoảng cách AB
Quan sát hình vẽ:

Tính khoảng cách AB?
- A.
  $10\sqrt{3}m$
- B.
  $20\left( \sqrt{3} - 1 ight)m$
- C.
  $20m$
- D.
  $20\sqrt{3}m$
Hướng dẫn:
Xét tam giác ACH vuông tại H có:

$AH = CH.\cot30^{0}$

Xét tam giác CBH vuông tại H ta có:

$BH = CH.\tan45^{0}$

$\Rightarrow AB = AH - BH$

$= CH.\cot30^{0} -CH.\tan45^{0}$

$= 20\left( \sqrt{3} - 1 ight)(m)$
Câu 8: Thông hiểu
Tính diện tích tam giác ABC
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4;AC = 3,5;\widehat{A} = 40^{0}$ . Diện tích tam giác $ABC$ bằng:
- A.
  $3$
- B.
  $3,5$
- C.
  $4,4$
- D.
  $5$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác HAC vuông tại H ta có:

$CH = AC.\sin\widehat{HAC} = 3,5.\sin40^{0}\approx 2,2$

Diện tích tam giác ABC là $S = \frac{1}{2}.4.2,2 = 4,4(dvdt)$
Câu 9: Vận dụng
Tính số đo góc B
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AH\bot BC;(H \in BC)$ . Biết rằng $HC = 12;BH = 4$ . Tính số đo góc B?
- A.
  $\widehat{B} = 45^{0}$
- B.
  $\widehat{B} = 70^{0}$
- C.
  $\widehat{B} = 30^{0}$
- D.
  $\widehat{B} = 60^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABH vuông tại H và tam giác ABC vuông tại A có:

Góc B chung

$\Rightarrow \Delta ABH\sim\Delta CBA(g - g)$

$\Rightarrow \frac{AB}{CB} = \frac{BH}{BA}$

$\Rightarrow AB^{2} = CB.BH = 4(4 + 12) = 64$

$\Rightarrow AB = 8$

Khi đó $\cos\widehat{B} = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{4 + 12} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{B} = 60^{0}$
Câu 10: Vận dụng
Tính độ dài cạnh AC
Cho tam giác ABC có $\widehat{ABC} = 38^{0};\widehat{ACB} = 30^{0};BC = 11cm$ . Gọi $N$ là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh $A$ đến cạnh $BC$ . Độ dài cạnh $AC$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
- A.
  $8,4cm$
- B.
  $7,3cm$
- C.
  $6,5cm$
- D.
  $6cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Kẻ BH vuông góc với AC

$\Rightarrow BH = BC.\sin C = 11.\sin30^{0}= 11.\frac{1}{2} = 5,5(cm)$

Dễ thấy $\widehat{HBC} = 60^{0};\widehat{HBA} = 22^{0}$

Xét tam giác HBA có $AB =\frac{BH}{\cos\widehat{HBA}} = \frac{5,5}{\cos22^{0}} \approx5,932(cm)$

Xét tam giác vuông $ABN$ có $AN = AB.\sin38^{0} \approx 3,652(cm)$

Xét tam giác vuông ANC có $AC =\frac{AN}{\sin C} \approx \frac{3,652}{\sin30^{0}} =7,304(cm)$
Câu 11: Thông hiểu
Tính độ dài cạnh HC
Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{A} = 120^{0};BC = 2$ . Kẻ đường cao $BH;(H \in AC)$ . Tính độ dài cạnh $HC$ ?
- A.
  $HC = \frac{1}{2}$
- B.
  $HC = 1$
- C.
  $HC = \sqrt{3}$
- D.
  $HC = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\widehat{C} = \frac{180^{0} - 120^{0}}{2} = 30^{0}$

$\Rightarrow HC = BC.\cos30^{0} =2.\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
Câu 12: Nhận biết
Xác định giá trị của a
Với tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0};\widehat{B} = 60^{0};b = 10$ thì độ dài $a$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $a = \frac{20\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $a = 10\sqrt{3}$
- C.
  $a = 20\sqrt{3}$
- D.
  $a = 15\sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác ABC vuông tại A nên

$a = \dfrac{b}{\sin\widehat{B}} =\dfrac{10}{\sin60^{0}} = \dfrac{10}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} =\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$
Câu 13: Nhận biết
Chọn hệ thức đúng
Quan sát hình vẽ:

Hệ thức nào sau đây đúng?
- A.
  $b = a\sin\widehat{C}$
- B.
  $b = a\tan\widehat{B}$
- C.
  $b = a\cos\widehat{B}$
- D.
  $b = a\sin\widehat{B}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sin\widehat{B} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a} \Rightarrow b = a\sin\widehat{B}$
Câu 14: Nhận biết
Tính giá trị của b
Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B} = 60^{0};c = 5$ . Khi đó độ dài cạnh $b$ là:
- A.
  $b = \frac{5\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $b = \frac{5}{2}$
- C.
  $b = 5\sqrt{3}$
- D.
  $b = 5$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác ABC vuông tại A nên

$b = c.\tan\widehat{B} = 5.\tan60^{0} =5\sqrt{3}$ .
Câu 15: Nhận biết
Chọn kết quả đúng
Cho tam giác $ABC$ có $a = 5;b = 4;c = 3$ . Kết quả nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin\widehat{C} = \frac{3}{4}$
- B.
  $\sin\widehat{C} = \frac{3}{5}$
- C.
  $\sin\widehat{C} = \frac{4}{5}$
- D.
  $\sin\widehat{C} = \frac{2}{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$ nên tam giác ABC vuông tại A

$\Rightarrow \sin\widehat{C} = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$