Luyện tập Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Chọn hệ thức đúng
Quan sát hình vẽ:

Hệ thức nào sau đây đúng?
- A.
  $c = a\tan\widehat{B}$
- B.
  $c = b\cot\widehat{B}$
- C.
  $b = a\tan\widehat{C}$
- D.
  $b = c\tan\widehat{C}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\cot\widehat{B} = \frac{c}{b} \Rightarrow c = b\cot\widehat{B}$
Câu 2: Nhận biết
Tìm hệ thức đúng
Quan sát hình vẽ:

Hệ thức nào sau đây đúng?
- A.
  $a = \frac{c}{\sin\widehat{B}}$
- B.
  $a = \frac{b}{\cot\widehat{B}}$
- C.
  $a = \frac{c}{\sin\widehat{C}}$
- D.
  $a = \frac{c}{\tan\widehat{C}}$
Hướng dẫn:
Xét tam giác $ABC$ vuông tại A ta có:

$c = a.\sin\widehat{C} \Rightarrow a =\frac{c}{\sin\widehat{C}}$
Câu 3: Nhận biết
Xác định hệ thức đúng
Cho hình vẽ:

Chọn hệ thức đúng?
- A.
  $BD = \frac{AD}{\sin\widehat{B}}$
- B.
  $AC =BC.\cos\widehat{B}$
- C.
  $BD =AD.\sin\widehat{B}$
- D.
  $BD = \frac{AD}{\tan\widehat{B}}$
Hướng dẫn:
Xét tam giác ABD vuông tại D ta có:

$AD = BD.\tan B \Rightarrow BD =\frac{AD}{\tan B}$
Câu 4: Nhận biết
Tìm giá trị của b
Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{C} = 45^{0};c = 10$ . Khi đó độ dài cạnh $b$ là:
- A.
  $c = 7$
- B.
  $c = 14$
- C.
  $c = 10$
- D.
  $c = 5$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác ABC vuông tại A nên

$b = c.\cot\widehat{C} = 10.\cot45^{0} =10$ .
Câu 5: Nhận biết
Xác định giá trị của a
Với tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0};\widehat{B} = 30^{0};b = 8$ thì độ dài $a$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $a = \frac{6\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $a = \frac{12\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $a = 12$
- D.
  $a = 6\sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Ta có tam giác ABC vuông tại A nên

$a = \frac{b}{\sin\widehat{B}} =\frac{6}{\sin30^{0}} = \dfrac{6}{\dfrac{1}{2}} = 12$
Câu 6: Thông hiểu
Chọn kết quả đúng
Cho tam giác $ABC$ có $AH\bot BC;(H \in BC),BC = a;\widehat{B} = \beta$ . Kết quả nào sau đây đúng?
- A.
  $AH = a.tan\beta$
- B.
  $AH = a\sin\beta$
- C.
  $AH = a\sin\beta.cos\beta$
- D.
  $AH = a\cos\beta$
Hướng dẫn:
Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

$AB = BC.\cos\widehat{B} =a\cos\beta(*)$

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

$AH = AB.\sin\widehat{B} =AB.\sin\beta(**)$

Từ (*) và (**) ta có: $AH =a\sin\beta.\cos\beta$ .
Câu 7: Nhận biết
Tìm hệ thức đúng
Quan sát hình vẽ:

Hệ thức nào sau đây đúng?
- A.
  $a = \frac{b}{\cos\widehat{C}}$
- B.
  $a = \frac{b}{\cot\widehat{C}}$
- C.
  $a = \frac{b}{\sin\widehat{B}}$
- D.
  $a = \frac{c}{\sin\widehat{C}}$
Hướng dẫn:
Xét tam giác $ABC$ vuông tại A ta có:

$b = a\sin\widehat{B} \Rightarrow a = \frac{b}{\sin\widehat{B}} = \frac{b}{\cos\widehat{C}}$

$\Rightarrow c = a.\sin\widehat{B}\Rightarrow a = \frac{c}{\sin\widehat{B}}$
Câu 8: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác ABC có $\widehat{A} = 90^{0};\cos B = 0,8$ . Kết quả nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan B = \frac{4}{3}$
- B.
  $\tan B = \frac{3}{4}$
- C.
  $\tan B = \frac{1}{5}$
- D.
  $\tan B = \frac{9}{25}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\sqrt{1 - 0,64}}{0,8} = \frac{3}{4}$
Câu 9: Thông hiểu
Tính độ dài cạnh AC
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AH\bot BC;(H \in BC)$ . Biết rằng $\widehat{B} = 42^{0};AB = 12cm;BC = 22cm$ . Tính độ dài cạnh AC?
- A.
  $AC = 15,35cm$
- B.
  $AC = 14,48cm$
- C.
  $AC = 13,46cm$
- D.
  $AC = 16,14cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:

$\widehat{B} = 42^{0} \Rightarrow \widehat{A_{1}} = 48^{0}$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

$AH = AB.\sin B = 12.\sin42^{0} =8cm$

$BH = AB.\cos B = 8,916cm$

$\Rightarrow HC = 13cm$

Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:

$AH^{2} + HC^{2} = AC^{2} \Rightarrow AC = \sqrt{AH^{2} + HC^{2}} = 15,35cm$
Câu 10: Thông hiểu
Tìm đáp án đúng
Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH = 5cm;\widehat{B} = 70^{0};\widehat{C} = 35^{0}$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $BC = 7,94cm$
- B.
  $BC = 8,72cm$
- C.
  $BC = 7,14cm$
- D.
  $BC = 8,96cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$BH = AH.\cot B = AH.\cot70^{0} \approx1,82cm$

$CH = AH.\cot C = AH.\cot35^{0} \approx7,14cm$

$\Rightarrow BC = BH + CH = 8,96cm$
Câu 11: Thông hiểu
Tìm kết luận đúng
Cho hình vẽ:

Đặt $\widehat{AOB} = x;\widehat{AOC} = y;\widehat{AOD} = z$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan x < \tan y < \tan z$
- B.
  $\tan z < \tan y < \tan x$
- C.
  $\tan z < \tan x < \tan y$
- D.
  $\tan x < \tan z < \tan y$
Hướng dẫn:
Ta có:

$AB > AC > AD$

$\Rightarrow \frac{AB}{OA} > \frac{AC}{OA} > \frac{AD}{OA}$

$\Rightarrow \tan x > \tan y > \tan z$

Hay $\tan z < \tan y < \tan x$ .
Câu 12: Vận dụng
Tính diện tích hình bình hành
Cho hình bình hành $ABCD$ có $\widehat{A} = 45^{0};AB = BD = 18cm$ . Tính diện tích hình bình hành $ABCD$ ?
- A.
  $302cm^{2}$
- B.
  $293cm^{2}$
- C.
  $285cm^{2}$
- D.
  $342cm^{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì $AB = BD$ nên tam giác ABD cân tại B

Kẻ đường cao BH suy ra H là trung điểm của AD

Xét tam giác AHB vuông tại H

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

$\left\{ \begin{matrix}BH = AB.\sin\widehat{A} = 9\sqrt{2}(cm) \\AH = AB.\cos\widehat{A} = 9\sqrt{2}(cm) \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow AD = 2AH = 18\sqrt{2}(cm)$

$\Rightarrow S_{ABCD} = 2S_{ABD} = 2.\frac{1}{2}.AD.BH = 342\left( cm^{2} ight)$
Câu 13: Vận dụng cao
Tìm số đo góc thích hợp
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A} = 30^{0}$ , kẻ đường trung tuyến $BM$ . Số đo $\widehat{CBM}$ bằng:
- A.
  $48^{0}$
- B.
  $65^{0}$
- C.
  $40^{0}$
- D.
  $51^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC cắt BM tại O

Do tam giác ABC cân tại A nên AH vừa là đường trung tuyến vừa là phân giác của góc A

Suy ra O là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow \widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}} = 15^{0}$

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có: $\tan\widehat{A_{1}} = \frac{BH}{AH}(*)$

Xét tam giác OHB vuông tại H ta có: $\tan\widehat{B_{1}} = \frac{OH}{BH}(**)$

Nhân (*) và (**) theo hai vế ta được:

$\tan\widehat{A_{1}}.tan\widehat{B_{1}} = \frac{BH}{AH}.\frac{OH}{BH} = \frac{OH}{AH} = \frac{1}{3}$ (vì O là trọng tâm)

$\Rightarrow \tan\widehat{B_{1}} =\frac{1}{3.\tan\widehat{A_{1}}} = 1,2442 \Rightarrow \widehat{B_{1}} =51^{0}$
Câu 14: Thông hiểu
Giải tam giác
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Biết rằng $AB = 7\sqrt{2}cm;AC = 11cm$ . Giải tam giác ta được kết quả là:
- A.
  $\widehat{B} = 51^{0};\widehat{C} = 39^{0};BC = 14,08cm$
- B.
  $\widehat{B} = 48^{0};\widehat{C} = 42^{0};BC = 14,08cm$
- C.
  $\widehat{B} = 50^{0};\widehat{C} = 40^{0};BC = 16,09cm$
- D.
  $\widehat{B} = 48^{0};\widehat{C} = 42^{0};BC = 16,09cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{11}{7\sqrt{2}} \Rightarrow \widehat{B} = 48^{0}$

Lại có $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^{0} \Rightarrow \widehat{C} = 42^{0}$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$

$\Rightarrow BC = \sqrt{219} \approx 14,08cm$
Câu 15: Vận dụng
Tính chu vi hình thang ABCD
Cho hình thang $ABCD$ sao cho $AB = AD = 10cm;BC = 14cm;\widehat{A} = 120^{0}$ , $BC$ vuông góc với $BD$ . Chu vi hình thang $ABCD$ bằng:
- A.
  $68cm$
- B.
  $54cm$
- C.
  $62cm$
- D.
  $48cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

Tam giác ABD cân tại A

$\Rightarrow \widehat{B_{1}} = \widehat{D_{1}} = \frac{180^{0} - \widehat{A_{1}}}{2} = \frac{180^{0} - 120^{0}}{2} = 30^{0}$

$\Rightarrow \widehat{B_{1}} = \widehat{D_{2}} = 30^{0}$ (so le trong)

Xét tam giác BCD vuông tại B ta có:

$\sin\widehat{D_{1}} = \frac{BC}{CD} \Rightarrow CD = \frac{BC}{\sin\widehat{D_{1}}} = \frac{14}{0,5} = 28(cm)$

Khi đó chu vi hình thang là $P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA = 62(cm)$