Lớp 9 Toán 9 - Cánh diều

Luyện tập Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Khử mẫu của biểu thức chứa căn

    Trục căn thức ở mẫu của biểu thức \frac{5}{2\sqrt{3}} thu được kết quả bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{3}.\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2.3} = \frac{5\sqrt{3}}{6}

  • Câu 2: Vận dụng
    Tìm x thỏa mãn biểu thức

    Cho biểu thức M = \left( 1 - \frac{4}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{x - 1} ight):\frac{x - 2\sqrt{x}}{x - 1} với x \geq 0;x eq 1;x eq 4. Với giá trị nào của x thì M = \frac{1}{2}?

    Hướng dẫn:

    M = \left( 1 - \frac{4}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{x - 1} ight):\frac{x - 2\sqrt{x}}{x - 1}

    M = \left\lbrack 1 - \frac{4}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\left( \sqrt{x} + 1 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)} ightbrack:\frac{x - 2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} + 1 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)}

    M = \left\lbrack \frac{\left( \sqrt{x} +1 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{\left( \sqrt{x} + 1 ight)\left(\sqrt{x} - 1 ight)} - \frac{4\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{\left(\sqrt{x} + 1 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)} + \frac{1}{\left(\sqrt{x} + 1 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)}ightbrack.\frac{{\left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {\sqrt x - 1} ight)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} ight)}}

    M = \left\lbrack \frac{x - 1 - 4\sqrt{x} + 4 + 1}{\left( \sqrt{x} + 1 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)} ightbrack.\frac{\left( \sqrt{x} + 1 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 ight)}

    M = \frac{\left( \sqrt{x} - 2 ight)^{2}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 ight)} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}

    Theo bài ra ta có:

    M = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow 2\sqrt{x} - 4 = \sqrt{x} \Leftrightarrow \sqrt{x} = 4 \Leftrightarrow x = 16(tm)

    Vậy x = 16 là giá trị cần tìm.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Rút gọn biểu thức chứa căn

    Thực hiện phép tính E = \left( \frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}} ight):\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} ta được kết quả thu gọn bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    E = \left( \frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}} ight):\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}

    E = \left( \frac{\sqrt{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}\sqrt{5} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}} ight).\left( \sqrt{7} - \sqrt{5} ight)

    E = \left\lbrack \frac{\left( \sqrt{2} - 1 ight)\sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\left( \sqrt{3} - 1 ight)\sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}} ightbrack.\left( \sqrt{7} - \sqrt{5} ight)

    E = \left( - \sqrt{7} - \sqrt{5} ight).\left( \sqrt{7} - \sqrt{5} ight)

    E = - \left( \sqrt{7} + \sqrt{5} ight).\left( \sqrt{7} - \sqrt{5} ight)

    E = - (7 - 5) = - 2

  • Câu 4: Nhận biết
    Biến đổi biểu thức chứa căn

    Đưa thừa số x\sqrt{\frac{2}{x}} với x > 0 vào trong dấu căn ta được:

    Hướng dẫn:

    Ta có: x > 0

    x\sqrt{\frac{2}{x}} = \sqrt{x^{2}.\frac{2}{x}} = \sqrt{2x}

  • Câu 5: Nhận biết
    Chọn đáp án chính xác

    Đưa thừa số - 5\sqrt{2} vào trong dấu căn ta được:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    - 5\sqrt{2} = - \sqrt{5^{2}.2} = - \sqrt{50}

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính tổng các giá trị x thỏa mãn yêu cầu

    Cho biểu thức E = \left( \frac{2x + 1}{\sqrt{x^{3}} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} ight):\left( 1 - \frac{x + 4}{x + \sqrt{x} + 1} ight). Tổng các giá trị nguyên của x để biểu thức E nhận giá trị nguyên dương bằng:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geq 0;x eq 1;x eq 9

    Ta có:

    E = \left( \frac{2x + 1}{\sqrt{x^{3}} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} ight):\left( 1 - \frac{x + 4}{x + \sqrt{x} + 1} ight)

    E = \left\lbrack \frac{2x + 1}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( x + \sqrt{x} + 1 ight)} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} ightbrack:\left( \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{x + 4}{x + \sqrt{x} + 1} ight)

    E = \left\lbrack \frac{2x + 1}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( x + \sqrt{x} + 1 ight)} - \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( x + \sqrt{x} + 1 ight)} ightbrack:\left( \frac{x + \sqrt{x} + 1 - x - 4}{x + \sqrt{x} + 1} ight)

    E = \left\lbrack \frac{2x + 1 - x - \sqrt{x} - 1}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( x + \sqrt{x} + 1 ight)} ightbrack:\left( \frac{\sqrt{x} - 3}{x + \sqrt{x} + 1} ight)

    E = \left\lbrack \frac{x - \sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( x + \sqrt{x} + 1 ight)} ightbrack:\left( \frac{\sqrt{x} - 3}{x + \sqrt{x} + 1} ight)

    E = \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( x + \sqrt{x} + 1 ight)}.\frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}

    E = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} = \frac{\sqrt{x} - 3 + 3}{\sqrt{x} - 3} = 1 + \frac{3}{\sqrt{x} - 3}

    Để biểu thức nhận giá trị là số nguyên dương thì

    \left\{ \begin{matrix}E\mathbb{\in Z} \\E > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 + \dfrac{3}{\sqrt{x} - 3}\in\mathbb{ Z} \\1 + \dfrac{3}{\sqrt{x} - 3} > 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{\sqrt{x} - 3}\mathbb{\in Z} \\\dfrac{\sqrt{x} - 3 + 3}{\sqrt{x} - 3} > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\sqrt{x} - 3 \in U(3)\ (*) \\\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} > 0(**) \\\end{matrix} ight.

    Từ (*) \sqrt{x} - 3 \in \left\{ 1;2 ight\} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sqrt{x} - 3 = 1 \\ \sqrt{x} - 3 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sqrt{x} = 4 \\ \sqrt{x} = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 16 \\ x = 36 \\ \end{matrix} ight.\ (tm)

    Nhận thấy x = 16;x = 36 thỏa mãn (**)

    Vậy x = 16;x = 36 là các giá trị cần tìm

    Suy ra tổng tất cả các giá trị x thỏa mãn là 16 + 36 = 52

  • Câu 7: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Đưa thừa số 5x\sqrt{\frac{- 12}{x^{3}}} với x < 0 vào trong dấu căn ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Với x < 0 ta có:

    5x\sqrt{\frac{- 12}{x^{3}}} = - \sqrt{(5x)^{2}.\frac{- 12}{x^{3}}} = - \sqrt{25x^{2}.\frac{- 12}{x^{3}}} = - \sqrt{\frac{- 300}{x}}

  • Câu 8: Nhận biết
    Tính giá trị biểu thức B

    Cho biểu thức B = x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - 3 với x \geq 0. Tính giá trị của biểu thức B khi x = 9?

    Hướng dẫn:

    Ta có: x = 9 \Rightarrow \sqrt{x} = 3

    Thay vào biểu thức B ta được:

    B = 9.3 + 2.3 - 3 = 30

  • Câu 9: Nhận biết
    Xác định giá trị biểu thức C

    Tính giá trị biểu thức C = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{45} + \sqrt{18}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    C = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{45} + \sqrt{18}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3\sqrt{5} + 3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3\left( \sqrt{5} + \sqrt{2} ight)} = \frac{1}{3}

  • Câu 10: Thông hiểu
    Rút gọn biểu thức D

    Đơn giản biểu thức D = 2\sqrt{\frac{16a}{3}} - 3\sqrt{\frac{a}{27}} - 6\sqrt{\frac{4a}{75}} được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    D = 2\sqrt{\frac{16a}{3}} - 3\sqrt{\frac{a}{27}} - 6\sqrt{\frac{4a}{75}}

    D = 2\sqrt{\frac{4^{2}a}{3}} - 3\sqrt{\frac{1}{3^{2}}.\frac{a}{3}} - 6\sqrt{\frac{2^{2}a}{5^{2}.3}}

    D = 2.4\sqrt{\frac{a}{3}} - 3.\frac{1}{3}\sqrt{\frac{a}{3}} - 6.\frac{2}{5}\sqrt{\frac{a}{3}}

    D = 8\sqrt{\frac{a}{3}} - \sqrt{\frac{a}{3}} - \frac{12}{5}\sqrt{\frac{a}{3}}

    D = \frac{23}{5}\sqrt{\frac{3a}{3^{2}}} = \frac{23\sqrt{3a}}{15}

  • Câu 11: Nhận biết
    Đơn giản biểu thức

    Kết quả của phép tính 2\sqrt{a} - a\sqrt{\frac{9}{a}} với a > 0 là:

    Hướng dẫn:

    Với a > 0 ta có:

    A = 2\sqrt{a} - a\sqrt{\frac{9}{a}}

    A = 2\sqrt{a} - a\sqrt{\frac{9.a}{a^{2}}}

    A = 2\sqrt{a} - a.\frac{1}{|a|}.3\sqrt{a}

    Vì a > 0 \Rightarrow |a| = a khi đó biểu thức biến đổi

    A = 2\sqrt{a} - a.\frac{1}{a}.3\sqrt{a} = 2\sqrt{a} - 3\sqrt{a} = - \sqrt{a}

  • Câu 12: Thông hiểu
    Chọn kết luận đúng

    Cho \sqrt{\frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}} = a + b\sqrt{5} với a;b\mathbb{\in R}. Kết luận nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{\frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{14 + 6\sqrt{5}}{4}} = \sqrt{\frac{9 + 2.3\sqrt{3} + 5}{4}}

    = \sqrt{\frac{\left( 3 + \sqrt{5} ight)^{2}}{4}} = \sqrt{\left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} ight)^{2}} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}

    Suy ra a = \frac{3}{2};b = \frac{1}{2} \Rightarrow a + b = 2

  • Câu 13: Thông hiểu
    Rút gọn biểu thức G

    Đơn giản biểu thức G = \left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a}{2}} - \frac{3}{2}.\sqrt{2a} + \frac{4}{5}.\sqrt{200a} ight):\frac{1}{8} ta được kết quả thu gọn là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    G = \left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a}{2}} - \frac{3}{2}.\sqrt{2a} + \frac{4}{5}.\sqrt{200a} ight):\frac{1}{8}

    G = \left( \frac{1}{2}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}} - \frac{3}{2}.\sqrt{2a} + \frac{4}{5}.\sqrt{100}.\sqrt{2a} ight).8

    G = 4.\frac{\sqrt{2a}}{2} - 12\sqrt{2a} + \frac{32}{5}.10.\sqrt{2a}

    G = 2\sqrt{2a} - 12\sqrt{2a} + 64.\sqrt{2a} = 54\sqrt{2a}

  • Câu 14: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Đưa thừa số \sqrt{7x^{2}} với x > 0 ra ngoài dấu căn sẽ được:

    Hướng dẫn:

    Với x > 0 ta có:

    \sqrt{7x^{2}} = |x|\sqrt{7} = \sqrt{7}x

  • Câu 15: Thông hiểu
    Đơn giản biểu thức chứa căn

    Biết rằng 1 < x < 3. Biểu thức thu gọn của N = \sqrt{x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{x^{2} - 6x + 9} là:

    Hướng dẫn:

    N = \sqrt{x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{x^{2} - 6x + 9}

    N = \sqrt{(x - 1)^{2}} - \sqrt{(x - 3)^{2}}

    N = |x - 1| - |x - 3|

    N = x - 1 - (3 - x) (vì 1 < x < 3)

    N = 2x - 4

    Vậy N = 2x - 4 là biểu thức thu gọn cần tìm.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tìm x thỏa mãn yêu cầu đề bài

    Cho biểu thức H = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} với x \geq 0;x eq 4. Tìm các giá trị của x biết H = \frac{\sqrt{x} - 1}{2}?

    Hướng dẫn:

    Với x \geq 0;x eq 4 ta có:

    H = \frac{\sqrt{x} - 1}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x} - 1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{2\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{2\left( \sqrt{x} - 2 ight)} = \frac{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}{2\left( \sqrt{x} - 2 ight)}

    \Leftrightarrow 2\left( \sqrt{x} - 1 ight) = \left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)

    \Leftrightarrow 2\sqrt{x} - 2 = x - 3\sqrt{x} + 2

    \Leftrightarrow x - 5\sqrt{x} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 5 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sqrt{x} = 0 \\ \sqrt{x} - 5 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 25 \\ \end{matrix} ight.\ (tm)

    Vậy các giá trị cần tìm là x = 0;x = 25

  • Câu 17: Nhận biết
    Chọn kết luận đúng

    Chọn kết luận đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} 5\sqrt{3} = \sqrt{5^{2}.3} = \sqrt{75} \\ 4\sqrt{5} = \sqrt{4^{2}.5} = \sqrt{80} \\ \end{matrix} ight.

    Mà 75 < 80 \Rightarrow \sqrt{75} < \sqrt{80} \Rightarrow 5\sqrt{3} < 4\sqrt{5}

  • Câu 18: Vận dụng
    Đơn giản biểu thức F

    Tính giá trị biểu thức F = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + .... + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    F = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + .... + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}

    F = \frac{1 - \sqrt{2}}{- 1} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{- 1} + .... + \frac{\sqrt{99} - \sqrt{100}}{- 1}

    F = - \left( 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + .... + \sqrt{99} - \sqrt{100} ight)

    F = - \left( 1 - \sqrt{100} ight) = \sqrt{100} - 1

  • Câu 19: Nhận biết
    Trục căn thức ở mẫu biểu thức chứa căn

    Khử mẫu biểu thức \sqrt{\frac{3}{2a^{3}}} với a > 0 ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Với a > 0 ta có:

    \sqrt{\frac{3}{2a^{3}}} = \sqrt{\frac{3.2a}{2a^{3}.2a}} = \sqrt{\frac{6a}{\left( 2a^{2} ight)^{2}}} = \frac{\sqrt{6a}}{\left| 2a^{2} ight|} = \frac{\sqrt{6a}}{2a^{2}}

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức P

    Biết rằng x = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} - \sqrt{5}. Khi đó giá trị biểu thức P = x^{3} - 8x + 1 bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} - \sqrt{5} = \sqrt{5 - 2\sqrt{5} + 1} - \sqrt{5}

    = \sqrt{\left( \sqrt{5} - 1 ight)^{2}} - \sqrt{5} = \left| \sqrt{5} - 1 ight| - \sqrt{5}

    = \sqrt{5} - 1 - \sqrt{5} = - 1

    Thay x = - 1 vào biểu thức P ta được:

    P = ( - 1)^{3} - 8.( - 1) + 1 = 8

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (50%):
    2/3
  • Thông hiểu (35%):
    2/3
  • Vận dụng (10%):
    2/3
  • Vận dụng cao (5%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 19 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đăng nhập