Luyện tập Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn KNTT

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 16 câu
Điểm số bài kiểm tra: 16 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu!!

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Xác định số khẳng định đúng
Trong số các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?

(1) Tập nghiệm của phương trình $\frac{x^{2} + 3x}{x} = 0$ là $S = \left\{ 0; - 3 ight\}$ .

(2) Tập nghiệm của phương trình $\frac{x^{2} - 4}{x - 2} = 0$ là $S = \left\{ - 2 ight\}$ .

(3) Tập nghiệm của phương trình $\frac{x - 8}{x - 7} = \frac{1}{7 - x} + 8$ là $S = \left\{ 0 ight\}$ .
- A.
  $0$
- B.
  $3$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{x^{2} + 3x}{x} = 0$ điều kiện $x eq 0$

$PT \Leftrightarrow x^{2} + 3x = 0 \Leftrightarrow x(x + 3) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0(ktm) \\ x = - 3(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tập nghiệm của phương trình $\frac{x^{2} + 3x}{x} = 0$ là $S = \left\{ - 3 ight\}$ .

Ta có:

$\frac{x^{2} - 4}{x - 2} = 0$ điều kiện $x eq 2$

$PT \Leftrightarrow x^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2(ktm) \\ x = - 2(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tập nghiệm của phương trình $\frac{x^{2} - 4}{x - 2} = 0$ là $S = \left\{ - 2 ight\}$ .

Ta có:

$\frac{x - 8}{x - 7} = \frac{1}{7 - x} + 8$ điều kiện $x eq 7$

$PT \Leftrightarrow \frac{x - 8}{x - 7} = - \frac{1}{x - 7} + 8$

$\Leftrightarrow \frac{x - 8}{x - 7} = - \frac{1}{x - 7} + \frac{8(x - 7)}{x - 7}$

$\Leftrightarrow x - 8 = - 1 + 8(x - 7) \Leftrightarrow - 7x = - 49 \Leftrightarrow x = 7(ktm)$

Vậy phương trình vô nghiệm.

Kết luận: có duy nhất một khẳng định đúng.
Câu 2: Nhận biết
Tìm điều kiện xác định của phương trình
Tìm điều kiện xác định của phương trình $\frac{x}{x - 2} - \frac{2x}{x^{2} - 1} = 0$ ?
- A.
  $x eq 1;x eq - 2$
- B.
  $x eq 2;x eq \pm 1$
- C.
  $x eq 0$
- D.
  $x eq - 1;x eq - 2$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định

$\left\{ \begin{matrix} x - 2 eq 0 \\ x^{2} - 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2 eq 0 \\ (x - 1)(x + 1) eq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2 eq 0 \\ x - 1 eq 0 \\ x + 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ x eq 1 \\ x eq - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x eq 2;x eq \pm 1$
Câu 3: Vận dụng
Tìm m để phương trình có vô số nghiệm
Cho phương trình $\left( 4m^{2} - 9 ight)x = 2m^{3} + m - 3$ với $m$ là tham số. Tìm m để phương trình có vô số nghiệm.
- A.
  $m = \frac{3}{2}$
- B.
  $m = \frac{2}{3}$
- C.
  $m = - \frac{3}{2}$
- D.
  $m = 1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left( 4m^{2} - 9 ight)x = 2m^{3} + m - 3$

$\Leftrightarrow (2m - 3)(2m + 3)x = 2m^{3} - 2m + 3m - 3$

$\Leftrightarrow (2m - 3)(2m + 3)x = (m - 1)(2m + 3)$

Phương trình có vô số nghiệm khi

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (2m - 3)(2m + 3) = 0 \\ (m - 1)(2m + 3) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} 2m - 3 = 0 \\ 2m + 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\lbrack \begin{matrix} m - 1 = 0 \\ 2m + 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\left\lbrack \begin{matrix}m = \dfrac{3}{2} \\m = - \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \\\left\lbrack \begin{matrix}m = 1 \\m = - \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{3}{2}$

Vậy phương trình vô nghiệm khi $m = - \frac{3}{2}$ .
Câu 4: Vận dụng
Giải phương trình và tìm tích các nghiệm
Tích các nghiệm của phương trình $x^{3} + 4x^{2} - x - 6 = 0$ bằng:
- A.
  $- 6$
- B.
  $6$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x^{3} + 4x^{2} - x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow x^{3} - x^{2} + 5x^{2} - 5x + 6x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2}(x - 1) + 5x(x - 1) + 6(x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} + 5x + 6 ight)(x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} + 2x + 3x + 6 ight)(x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack x(x + 2) + 3(x + 2) ightbrack(x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (x + 3)(x + 2)(x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x + 3 = 0 \\ x + 2 = 0 \\ x - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ x = - 2 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ - 3; - 2;1 ight\}$

Suy ra tích tất cả các nghiệm phương trình là $1.( - 2).( - 3) = 6$
Câu 5: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho hai phương trình $x\left( x^{2} - 4x + 5 ight) = 0\ \ (1)$ và phương trình $\left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} + 4x + 5 ight) = 0\ \ \ (2)$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  Phương trình (1) có hai nghiệm, phương trình (2) có một nghiệm
- B.
  Hai phương trình đều có hai nghiệm.
- C.
  Hai phương trình đều vô nghiệm.
- D.
  Phương trình (1) có một nghiệm, phương trình (2) có hai nghiệm.
Hướng dẫn:
Ta có:

$x\left( x^{2} - 4x + 5 ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 4x + 5 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ (x - 2)^{2} + 1 = 0(VN) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy phương trình có một nghiệm.

Ta lại có:

$\left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} + 4x + 5 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} + 4x + 5 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} (x - 1)(x + 1) = 0 \\ (x + 2)^{2} + 1 = 0(VN) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 = 0 \\ x + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy phương trình có hai nghiệm

Vậy kết luận đúng là “Phương trình (1) có một nghiệm, phương trình (2) có hai nghiệm”.
Câu 6: Nhận biết
Tính tổng các nghiệm của phương trình
Tổng các nghiệm của phương trình $\left( x^{2} - 4 ight)(x + 6)(x - 8) = 0$ bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left( x^{2} - 4 ight)(x + 6)(x - 8) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)(x + 2)(x + 6)(x - 8) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 2 = 0 \\ x + 2 = 0 \\ x + 6 = 0 \\ x - 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = - 2 \\ x = - 6 \\ x = 8 \\ \end{matrix} ight.$

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là $-2 + 2 – 6 + 8 = 2$
Câu 7: Thông hiểu
Giải phương trình và chọn kết quả chính xác
Nghiệm lớn nhất của phương trình $\left( x^{2} - 1 ight)(2x - 1) = \left( x^{2} - 1 ight)(x + 3)$ là:
- A.
  $x = 1$
- B.
  $x = 4$
- C.
  $x = - 1$
- D.
  $x = 5$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left( x^{2} - 1 ight)(2x - 1) = \left( x^{2} - 1 ight)(x + 3)$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)(2x - 1) - \left( x^{2} - 1 ight)(x + 3) = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)(2x - 1 - x - 3) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(x + 1)(x - 4) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 = 0 \\ x + 1 = 0 \\ x - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ - 1;1;4 ight\}$

Suy ra nghiệm lớn nhất của phương trình là $x = 4$
Câu 8: Nhận biết
Xác định bước giải toán sai
Cho phương trình $\frac{1}{x - 1} - \frac{7}{x - 2} = \frac{- 1}{(x - 1)(2 - x)}$ . Một học sinh thực hiện giải phương trình như sau:

Bước 1: Điều kiện xác định $x eq 1;x eq 2$

Bước 2:

$\frac{1}{x - 1} - \frac{7}{x - 2} = \frac{- 1}{(x - 1)(2 - x)}$

$\Leftrightarrow \frac{x - 2}{(x - 1)(x - 2)} - \frac{7(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{- 1}{(x - 1)(x - 2)}$

Bước 3: $\Leftrightarrow x - 2 - 7x + 7 = - 1 \Leftrightarrow - 6x = - 6 \Leftrightarrow x = 1$

Bước 4: Vậy phương trình có nghiệm $x = 1$ .

Hỏi học sinh giải bài toán sai từ bước nào?
- A.
  Bước 2
- B.
  Bước 1
- C.
  Bước 3
- D.
  Bước 4
Hướng dẫn:
$\frac{1}{x - 1} - \frac{7}{x - 2} = \frac{- 1}{(x - 1)(2 - x)}$

$\Leftrightarrow \frac{x - 2}{(x - 1)(x - 2)} - \frac{7(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{1}{(x - 1)(x - 2)}$

Bước 3: $\Leftrightarrow x - 2 - 7x + 7 = 1 \Leftrightarrow - 6x = - 4 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}(tm)$

Bước 4: Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{3}{2}$ .

Vậy học sinh giải sai từ bước 2.
Câu 9: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Cho phương trình $(2 + 6x)\left( - x^{2} - 4 ight) = 0$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  Phương trình có hai nghiệm.
- B.
  Phương trình vô nghiệm
- C.
  Phương trình có một nghiệm duy nhất.
- D.
  Phương trình có ba nghiệm.
Hướng dẫn:
Ta có:

$(2 + 6x)\left( - x^{2} - 4 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2 + 6x = 0 \\ - x^{2} - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ - \left( x^{2} + 4 ight) < 0\forall x\mathbb{\in R} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất.
Câu 10: Nhận biết
Giải phương trình tích
Phương trình $(4 + 2x)(x - 1) = 0$ có nghiệm là:
- A.
  $x = - 1;x = 2$
- B.
  $x = 1;x = \frac{1}{2}$
- C.
  $x = 1;x = 2$
- D.
  $x = - 2;x = 1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$(4 + 2x)(x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 4 + 2x = 0 \\ x - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = - 2;x = 1$ .
Câu 11: Vận dụng
Giải phương trình
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $\left( x^{2} + x ight)\left( x^{2} + x + 1 ight) = 6$ là:
- A.
  $5$
- B.
  $3$
- C.
  $8$
- D.
  $10$
Hướng dẫn:
Đặt $x^{2} + x = t$ ta có:

$t(t + 1) = 6 \Leftrightarrow t^{2} + t - 6 = 0$

$\Leftrightarrow t^{2} - 2t + 3t - 6 = 0 \Leftrightarrow t(t - 2) + 3(t - 2) = 0$

$\Leftrightarrow (t + 3)(t - 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t + 3 = 0 \\ t - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 3 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $t = - 3 \Rightarrow x^{2} + x + 3 = 0$ vô nghiệm vì

$x^{2} + x + 3 = \left( x + \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{11}{4} > 0$

Với $t = 2 \Rightarrow x^{2} + x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + 2x - x - 2 = 0 \Leftrightarrow x(x + 2) - (x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 = 0 \\ x + 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ 1; - 2 ight\}$ .

Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 5.
Câu 12: Thông hiểu
Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Số nghiệm của phương trình $\frac{x^{2} + 3x + 2}{x + 3} - \frac{x^{2} + 2x + 1}{x - 1} = \frac{4x + 4}{x^{2} + 2x - 3}$ là:
- A.
  $4$
- B.
  $3$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{x^{2} + 3x + 2}{x + 3} - \frac{x^{2} + 2x + 1}{x - 1} = \frac{4x + 4}{x^{2} + 2x - 3}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} + 2x + x + 2}{x + 3} - \frac{x^{2} + 2x + 1}{x - 1} = \frac{4x + 4}{x^{2} - x + 3x - 3}$

$\Leftrightarrow \frac{(x + 2)(x + 1)}{x + 3} - \frac{(x + 1)^{2}}{x - 1} = \frac{4(x + 1)}{(x - 1)(x + 3)}$

Điều kiện xác định $x eq 1;x eq - 3$

$PT \Leftrightarrow \frac{(x + 2)(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)(x + 3)} - \frac{(x + 1)^{2}(x - 3)}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{4(x + 1)}{(x - 1)(x + 3)}$

$\Leftrightarrow (x + 2)(x + 1)(x - 1) - (x + 1)^{2}(x - 3) = 4(x + 1)$

$\Leftrightarrow (x + 1)\left( x^{2} + x - 2 - x^{2} - 4x - 3 - 4 ight) = 0$

$\Leftrightarrow (x + 1)( - 3x - 9) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1(tm) \\ x = - 3(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất.
Câu 13: Thông hiểu
Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Cho phương trình $\frac{3x - 5}{x - 1} - \frac{2x - 5}{x - 2} = 1$ . Hỏi phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm?
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq 1;x eq 2$

Ta có:

$\frac{3x - 5}{x - 1} - \frac{2x - 5}{x - 2} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{(3x - 5)(x - 2) - (2x - 5)(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)}$

$\Leftrightarrow (3x - 5)(x - 2) - (2x - 5)(x - 1) = (x - 1)(x - 2)$

$\Leftrightarrow 3x^{2} - 11x + 10 - 2x^{2} + 7x - 5 = x^{2} - 3x + 2$

$\Leftrightarrow - x = - 3 \Leftrightarrow x = 3(tm)$

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm.
Câu 14: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng
Chọn khẳng định đúng?
- A.
  Phương trình $8x(3x - 5) = 6(3x - 5)$ có hai nghiệm trái dấu.
- B.
  Phương trình $8x(3x - 5) = 6(3x - 5)$ có hai nghiệm cùng dương.
- C.
  Phương trình $8x(3x - 5) = 6(3x - 5)$ có hai nghiệm cùng âm.
- D.
  Phương trình $8x(3x - 5) = 6(3x - 5)$ có một nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn:
Ta có:

$8x(3x - 5) = 6(3x - 5)$

$\Leftrightarrow (8x - 6)(3x - 5) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}8x - 6 = 0 \\3x - 5 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{3}{4} \\x = \dfrac{5}{3} \\\end{matrix} ight.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương.
Câu 15: Thông hiểu
Tính số phần tử thuộc tập nghiệm phương trình
Số nghiệm của phương trình $\frac{x - 5}{x - 1} + \frac{2}{x - 3} = 1$ là:
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq 1;x eq 3$

$\frac{x - 5}{x - 1} + \frac{2}{x - 3} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{(x - 5)(x - 3) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x - 3)} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)}$

$\Leftrightarrow (x - 5)(x - 3) + 2(x - 1) = (x - 1)(x - 3)$

$\Leftrightarrow x^{2} - 8x + 15 + 2x - 2 = x^{2} - 4x + 3$

$\Leftrightarrow - 2x = - 10 \Leftrightarrow x = 5(tm)$

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm.
Câu 16: Nhận biết
Tìm điều kiện xác định của phương trình
Điều kiện xác định của phương trình $\frac{1}{x - 2} - \frac{3 - x}{x - 2} + 3 = 0$ là:
- A.
  $x eq 3$
- B.
  $x eq 2$
- C.
  $x eq - 2$
- D.
  $x eq - 3$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x - 2 eq 0 \Leftrightarrow x eq 2$