Luyện tập Tỉ số lượng giác của góc nhọn Cánh Diều

Câu 1: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác
Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin38^{0} =\tan52^{0}$
- B.
  $\cos38^{0} =\cot52^{0}$
- C.
  $\sin38^{0} = \cos52^{0}$
- D.
  $\sin38^{0} =\cot52^{0}$
Hướng dẫn:
Vì $38^{0} + 52^{0} = 90^{0}$

$\Rightarrow \sin38^{0} =\cos52^{0}$
Câu 2: Nhận biết
Chọn kết quả đúng
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0};\sin\widehat{C} =\frac{2}{5};BC = 10cm$ . Kết quả nào sau đây đúng?
- A.
  $BC = 2cm$
- B.
  $BC = 6cm$
- C.
  $BC = 4cm$
- D.
  $BC = 2\sqrt{2}cm$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sin C = \frac{AB}{BC} \Rightarrow AB =BC.\sin C = 10.\frac{2}{5} = 4(cm)$
Câu 3: Nhận biết
Tính độ dài cạnh AB
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ . Biết rằng $AC = 10;\widehat{A} = 60^{0}$ , khi đó $AB$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $5\sqrt{3}$
- B.
  $10\sqrt{3}$
- C.
  $5$
- D.
  $\frac{10\sqrt{3}}{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\cos A = \frac{AB}{AC} \Rightarrow AB = AC.\cos60^{0} = 10.\frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$
Câu 4: Thông hiểu
Chọn kết quả đúng
Quan sát hình vẽ sau:

Kết quả nào sau đây đúng?
- A.
  $AB = \sqrt{12}$
- B.
  $AB = 16$
- C.
  $AB = 4$
- D.
  $AB = 12$
Hướng dẫn:
Xét tam giác $ABH$ vuông tại H và tam giác $ABC$ vuông tại A ta có:

Góc B chung

Suy ra $\Delta ABH\sim\Delta CBA(g - g)$

$\Rightarrow \frac{AB}{CB} = \frac{BH}{AB}$

$\Rightarrow AB^{2} = CB.HB = 2.(1 + 6) = 16$

$\Rightarrow AB = 4$
Câu 5: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\cos\widehat{ABC} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\cos\widehat{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\cos\widehat{ABC} = \sqrt{3}$
- D.
  $\cos\widehat{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\cos\widehat{ABC} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Câu 6: Thông hiểu
Xác định giá trị của h
Cho hình vẽ:
Tính giá trị $h$ ?
- A.
  $h = 7,5m$
- B.
  $h = 5m$
- C.
  $h = 6,5m$
- D.
  $h = 8m$
Hướng dẫn:
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác OAB vuông ta có:
$AB = AO.\tan31^{0} = 10.\tan31^{0} \approx6(m)$
Độ dài $h$ là:
$BA = BA + AC = 6 + 1,5 =7,5(m)$
Câu 7: Thông hiểu
Tìm giá trị của x thỏa mãn yêu cầu
Cho hình vẽ:

Tìm x?
- A.
  $x = 18$
- B.
  $x = 29$
- C.
  $x = 20$
- D.
  $x = 25$
Hướng dẫn:
Ta có: $\tan B = \frac{AH}{BH} \Rightarrow AH = BH.tan45^{0} = 20.1 = 20$

Xét tam giác $AHC$ có:

$x^{2} = 20^{2} + 21^{2} = 841 \Rightarrow x = 29$
Câu 8: Nhận biết
Tính độ dài cạnh AC
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\tan\widehat{B} = \frac{3}{4}$ và $AB = 6cm$ . Độ dài cạnh AC bằng:
- A.
  $8$
- B.
  $3$
- C.
  $4,5$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\tan\widehat{B} = \frac{AC}{AB} \Leftrightarrow \frac{3}{4} = \frac{AC}{AB}$

$\Rightarrow AC = \frac{3}{4}.AB = \frac{3}{4}.6 = 4,5$
Câu 9: Thông hiểu
Tính số đo góc C
Cho hình vẽ:

Tính độ lớn góc $\widehat{C}$ ? Kết quả làm tròn đến phút.
- A.
  $\widehat{C} =38^{0}52'$
- B.
  $\widehat{C} =40^{0}02'$
- C.
  $\widehat{C} = 53^{0}7'$
- D.
  $\widehat{C} =44^{0}23'$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB^{2} + AC^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100 \\ BC^{2} = 10^{2} = 100 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$

Suy ra tam giác ABC vuông tại A (theo định lí Pythagore đảo)

$\sin\widehat{C} = \frac{6}{10} =\frac{3}{5} \Rightarrow \widehat{C} \approx 38^{0}52'$
Câu 10: Thông hiểu
Tính sin góc B
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC = 0,9m;AB = 1,2m$ . Tính giá trị $\sin\widehat{B}$ ?
- A.
  $\sin\widehat{B} = \frac{2}{5}$
- B.
  $\sin\widehat{B} = \frac{1}{2}$
- C.
  $\sin\widehat{B} = \frac{3}{5}$
- D.
  $\sin\widehat{B} = \frac{3}{4}$
Hướng dẫn:
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

$BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{9^{2} + 12^{2}} = 15(dm)$

$\Rightarrow \sin\widehat{B} = \frac{AC}{BC} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$
Câu 11: Vận dụng cao
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\frac{\widehat{ABC}}{2} = \frac{AB}{BC - AC}$
- B.
  $\tan\frac{\widehat{ABC}}{2} = \frac{AC}{BC - AB}$
- C.
  $\tan\frac{\widehat{ABC}}{2} = \frac{AB}{AC + BC}$
- D.
  $\tan\frac{\widehat{ABC}}{2} = \frac{AC}{AB + BC}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Kẻ phân giác BD của tam giác ABC

Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có:

$\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BC} \Leftrightarrow \frac{AD}{AB} = \frac{DC}{BC}$

$\Rightarrow \frac{AD}{AB} = \frac{AD + DC}{AB + BC} \Rightarrow \frac{AD}{AB} = \frac{AC}{AB + BC}$

Xét tam giác ABD có: $\widehat{BAD} = 90^{0} \Rightarrow \tan\widehat{BAD} = \frac{AD}{AB}$

$\Rightarrow \tan\frac{\widehat{ABC}}{2} = \frac{AC}{AB + BC}$
Câu 12: Nhận biết
Chọn cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu
Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần: $\cot {42^0};\tan {53^0};\cot {50^0};\tan {65^0}$ là:
- A.
  $\cot {42^0};\cot {50^0};\tan {53^0};\tan {65^0}$
- B.
  $\tan {65^0};\tan {53^0};\cot {50^0};\cot {42^0}$
- C.
  $\cot {42^0};\tan {53^0};\cot {50^0};\tan {65^0}$
- D.
  $\tan {65^0};\tan {53^0};\cot {42^0};\cot {50^0}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \cot {42^0} = \tan {48^0} \hfill \\ \cot {50^0} = \tan {40^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Mà $65^{0} > 53^{0} > 48^{0} > 40^{0}$

$\Rightarrow \tan {65^0} > \tan {53^0} > \tan {48^0} > \tan {40^0}$

$\Rightarrow \tan {65^0} > \tan {53^0} > \cot {42^0} > \cot {50^0}$

Vậy thứ tự cần sắp xếp là $\tan {65^0};\tan {53^0};\cot {42^0};\cot {50^0}$
Câu 13: Thông hiểu
Tìm x thỏa mãn biểu thức
Tìm góc x biết rằng $\tan x = 3\cot x$ ?
- A.
  $x = 30^{0}$
- B.
  $x = 45^{0}$
- C.
  $x = 60^{0}$
- D.
  $x = 50^{0}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x};\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

$\Rightarrow \cot x.\tan x = 1$

Theo đề bài ta có:

$\tan x = 3\cot x \Leftrightarrow \tan x =3.\frac{1}{\tan x}$

$\Leftrightarrow \tan^{2}x = 3\Leftrightarrow \tan x = \sqrt{3} \Leftrightarrow x =60^{0}$
Câu 14: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức C
Biết $\tan\alpha = 2$ . Tính giá trị biểu thức $C = \frac{{2\sin \alpha + \cos \alpha }}{{3\sin \alpha - 4\cos \alpha }}$ ?
- A.
  $C = \frac{5}{2}$
- B.
  $C = \frac{1}{2}$
- C.
  $C = \frac{3}{4}$
- D.
  $C = 2$
Hướng dẫn:
Ta có

$C = \frac{{2\sin \alpha + \cos \alpha }}{{3\sin \alpha - 4\cos \alpha }}$

$C = \dfrac{{\dfrac{{2\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{{3\sin \alpha - 4\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}$

$C = \dfrac{{\dfrac{{2\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{{3\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \dfrac{{4\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}$

$C = \frac{{2\tan \alpha + 1}}{{3\tan \alpha - 4}}$

Thay $\tan\alpha = 2$ vào biểu thức C thu gọn ta được:

$C = \frac{2.2 + 1}{3.2 - 4} = \frac{5}{2}$
Câu 15: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$ , đường cao $MQ$ chia cạnh huyền $NP$ thành hai đoạn $NQ = 3;PQ = 6$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $2cotP = 3\cot N$
- B.
  $\cot P = 2\cot N$
- C.
  $2\cot P = \cot N$
- D.
  $3\cot P = 2\cot N$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác MNQ vuông tại Q ta có:

$\cot N = \frac{NQ}{MQ}$

Xét tam giác MPQ vuông tại Q ta có:

$\cot P = \frac{PQ}{MQ}$

$\Rightarrow \dfrac{\cot N}{\cot P} =\dfrac{\dfrac{NQ}{MQ}}{\dfrac{PQ}{MQ}} = \dfrac{NQ}{PQ} =\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \cot P = 2\cot N$

Luyện tập Tỉ số lượng giác của góc nhọn Cánh Diều

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!