Luyện tập Tỉ số lượng giác của góc nhọn Kết nối tri thức

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Xác định giá trị biểu thức N
Tính giá trị biểu thức $N = \frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha}$ biết rằng $\tan\alpha = 2$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $- 3$
- C.
  $- \frac{1}{3}$
- D.
  $\frac{1}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

Ta có: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \Rightarrow \sin\alpha = \tan\alpha.cos\alpha$ thay vào N ta được:

$N = \frac{\cos\alpha + \tan\alpha.cos\alpha}{\cos\alpha - \tan\alpha.cos\alpha}$

$N = \frac{\cos\alpha\left( 1 + \tan\alpha ight)}{\cos\alpha\left( 1 - \tan\alpha ight)}$

$N = \frac{1 + \tan\alpha}{1 - \tan\alpha} = \frac{1 + 2}{1 - 2} = - 3$
Câu 2: Nhận biết
Tìm độ lớn góc C
Cho hình vẽ:

Tính độ lớn góc $\widehat{C}$ ? Kết quả làm tròn đến phút.
- A.
  $\widehat{C} = 38^{0}02'$
- B.
  $\widehat{C} = 36^{0}52'$
- C.
  $\widehat{C} = 37^{0}12'$
- D.
  $\widehat{C} = 36^{0}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sin\widehat{C} = \frac{3}{5} \Rightarrow \widehat{C} \approx 36^{0}52'$
Câu 3: Nhận biết
Tìm khẳng định sai
Quan sát hình vẽ sau:
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?
- A.
  $\tan\widehat{B} =\cot\widehat{C}$
- B.
  $\sin\widehat{B} =\cos\widehat{C}$
- C.
  $\tan\widehat{B} =\frac{1}{\cot\widehat{C}}$
- D.
  $\tan\widehat{B} =\frac{\sin\widehat{B}}{\cos\widehat{B}}$
Hướng dẫn:
Khẳng định sai là: “ $\tan\widehat{B} =\frac{1}{\cot\widehat{C}}$ ”.
Câu 4: Vận dụng cao
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác $ABC$ nhọn có $\widehat{A} = 30^{0}$ . Kẻ hai đường cao $CH;BK$ ; $H \in AC;K \in BA$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $S_{AHK} = \frac{1}{3}S_{BCHK}$
- B.
  $S_{AHK} = \frac{\sqrt{3}}{3}.S_{BCHK}$
- C.
  $S_{AHK} = 3S_{BCHK}$
- D.
  $S_{AHK} = \sqrt{3}.S_{BCHK}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\Delta ABH\sim\Delta ACK(g - g)$

$\Rightarrow \frac{AH}{AK} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{AH}{AB} = \frac{AK}{AC}$

$\Rightarrow \Delta AHK\sim\Delta ABC(c - g - c)$

$\Rightarrow \frac{S_{AHK}}{S_{ABC}} =\left( \frac{AH}{AB} ight)^{2} = \cos^{2}\widehat{A}$

$\Rightarrow S_{AHK} =S_{ABC}.\cos^{2}\widehat{A}$

$\Rightarrow S_{AHK} = S_{ABC}.\left( \frac{\sqrt{3}}{2} ight)^{2} = \frac{3}{4}.S_{ABC}(*)$

Mà $S_{BCHK} = S_{ABC} - S_{AHK} = S_{ABC} - \frac{3}{4}S_{ABC} = \frac{1}{4}S_{ABC}(**)$

Từ (*) và (**) ta có: $S_{AHK} = 3S_{BCHK}$
Câu 5: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho hình vẽ:

Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin B = \frac{12}{13};cosB = \frac{5}{13};tanB = \frac{5}{12};cotB = \frac{12}{5}$
- B.
  $\sin B = \frac{5}{13};cosB = \frac{12}{13};tanB = \frac{5}{12};cotB = \frac{13}{12}$
- C.
  $\sin B = \frac{12}{13};cosB = \frac{5}{13};tanB = \frac{12}{5};cotB = \frac{5}{12}$
- D.
  $\sin B = \frac{12}{5};cosB = \frac{5}{13};tanB = \frac{12}{13};cotB = \frac{5}{13}$
Hướng dẫn:
Ta có $AB^{2} + AC^{2} = 169 = BC^{2}$

Suy ra tam giác ABC vuông tại A

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông ta có:

$\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{13};cosB = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}$

$\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{5};cotB = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{12}$
Câu 6: Nhận biết
Tính cotang góc C
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Biết rằng $\tan\widehat{B} = \sqrt{3}$ , khi đó $\cot\widehat{C}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $1$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $- \sqrt{3}$
- D.
  $\sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC vuông tại A $\Rightarrow \widehat{A} = 90^{0}$ hay góc B và góc C là hai góc phụ nhau.

Khi đó $\tan\widehat{B} = \cot\widehat{C} = \sqrt{3}$
Câu 7: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn AC theo x
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0};\widehat{B} = 60^{0};AB = x$ . Tính độ dài đoạn $AC$ theo $x$ ?
- A.
  $AC = x\sqrt{2}$
- B.
  $AC = \frac{x\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $AC = x\sqrt{3}$
- D.
  $AC = \frac{x\sqrt{3}}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\tan\widehat{B} = \frac{AC}{AB}\Rightarrow AC = AB.\tan\widehat{B} = x.\tan60^{0} =x\sqrt{3}$

Vậy độ dài cạnh AC cần tìm bằng $x\sqrt{3}$ .
Câu 8: Thông hiểu
Xác định độ dài cạnh AC
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B} = 60^{0}$ và $AB = \sqrt{3}cm$ . Khi đó độ dài cạnh $AC$ là:
- A.
  $AC = 3cm$
- B.
  $AC = \sqrt{3}cm$
- C.
  $AC = \frac{3\sqrt{3}}{2}cm$
- D.
  $AC = 2\sqrt{3}cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\tan60^{0} = \frac{AC}{AB}$

$\Rightarrow AC = AB.\tan60^{0} =\sqrt{3}.\tan60^{0} = \sqrt{3}.\sqrt{3} = 3(cm)$
Câu 9: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0};AB = 4cm;AC = 3cm$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin\widehat{B} = \frac{4}{5}$
- B.
  $\cot\widehat{B} = \frac{3}{4}$
- C.
  $\cos\widehat{B} = \frac{3}{5}$
- D.
  $\tan\widehat{B} = \frac{3}{4}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\tan\widehat{B} = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{4}$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần: $\cot43^{0};\tan40^{0};\cot40^{0};\tan42^{0}$ là:
- A.
  $\cot {40^0};\tan {40^0};\cot {43^0};\tan {42^0}$
- B.
  $\cot40^{0};\cot43^{0};\tan42^{0};\tan40^{0}$
- C.
  $\cot {43^0};\cot {40^0};\tan {40^0};\tan {42^0}$
- D.
  $\tan {42^0};\cot {43^0};\cot {40^0};\tan {40^0}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \cot {43^0} = \tan {47^0} \hfill \\ \cot {40^0} = \tan {50^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Mà $50^{0} > 47^{0} > 43^{0} >40^{0}$
$\Rightarrow \tan {50^0} > \tan {47^0} > \tan {43^0} > \tan {40^0}$
$\Rightarrow \cot {40^0} > \cot {43^0} > \tan {42^0} > \tan {40^0}$
Vậy thứ tự cần sắp xếp là $\cot {40^0};\cot {43^0};\tan {42^0};\tan {40^0}$
Câu 11: Vận dụng
Tính chu vi tam giác ABC
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 60^{0};\widehat{C} = 45^{0}$ và $AB = 10cm$ . Chu vi tam giác $ABC$ gần nhất với giá trị nào sau đây?
- A.
  $30$
- B.
  $40cm$
- C.
  $26cm$
- D.
  $36cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Kẻ đường cao AH.

Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:

$\sin B = \frac{AH}{AB} \Leftrightarrow \sin60^{0} = \frac{AH}{10}$

$\Rightarrow AH = 10.\sin60^{0} =5\sqrt{3}(cm)$

$\cos B = \frac{BH}{AB} \Leftrightarrow \cos60^{0} = \frac{BH}{10}$

$\Rightarrow BH = 10.\cos60^{0} =5(cm)$

Xét tam giác ACH vuông tại H và $\widehat{C} = 45^{0}$ nên tam giác AHC vuông cân tại H

Suy ra $AH = HC = 5\sqrt{3}(cm)$

$AC = AH\sqrt{2} = 5\sqrt{3}.\sqrt{2} = 5\sqrt{6}(cm)$

$\Rightarrow BC = BH + HC = 5 + 5\sqrt{3}(cm)$

Vậy chu vi tam giác ABC bằng $AB + AC + BC \approx 36(cm)$
Câu 12: Nhận biết
Rút gọn biểu thức M
Cho góc nhọn $\beta$ , đơn giản biểu thức $M = 1 + \tan^{2}\beta.\cos^{2}\beta$ ta được kết quả là:
- A.
  $M = 1$
- B.
  $M = 2\sin^{2}\beta$
- C.
  $M = 1 + \cos^{2}\beta$
- D.
  $M = 1 +\sin^{2}\beta$
Hướng dẫn:
Ta có:

$M = 1 +\tan^{2}\beta.\cos^{2}\beta$

$M = 1 +\frac{\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\beta}.\cos^{2}\beta$

$M = 1 + \sin^{2}\beta$
Câu 13: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho dãy các tỉ số lượng giác sau: $\cos14^{0};\sin78^{0};\cos87^{0};\sin47^{0}$ . Thứ tự sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần là:
- A.
  $\sin78^{0};\cos14^{0};\sin47^{0};\cos87^{0}$
- B.
  $\sin47^{0};\cos87^{0};\sin78^{0};\cos14^{0}$
- C.
  $\cos87^{0};\sin47^{0};\cos14^{0};\sin78^{0}$
- D.
  $\cos14^{0};\sin78^{0};\cos87^{0};\sin47^{0}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\cos14^{0} = \sin76^{0} \\\cos87^{0} = \sin 3^{0} \\\end{matrix} ight.$

Mà $3^{0} < 47^{0} < 76^{0} < 78^{0}$

$\Rightarrow \sin {3^0} < \sin {47^0} < \sin {76^0} < \sin {78^0}$

$\Rightarrow \cos {87^0} < \sin {47^0} < \cos {14^0} < \sin {78^0}$

Vậy thứ tự cần sắp xếp là $\cos87^{0};\sin47^{0};\cos14^{0};\sin78^{0}$ .
Câu 14: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Nếu tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0};AB = 3cm;BC = 5cm$ . Tính giá trị $\sin\widehat{C}$ ?
- A.
  $\frac{5}{3}$
- B.
  $\frac{4}{5}$
- C.
  $\frac{3}{5}$
- D.
  $\frac{3}{4}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\sin\widehat{C} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}$
Câu 15: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{ABC} = 60^{0}$ . Kẻ đường cao $AH;(H \in BC)$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $\frac{AH}{AB} = \sqrt{3}$
- B.
  $\frac{AH}{AB} = \frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{AH}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{AH}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác AHB vuông tại H và $\widehat{ABH} = 60^{0}$ khi đó:

$\sin60^{0} = \frac{AH}{AB} =\frac{\sqrt{3}}{2}$