Luyện tập Tính chất ba đường cao của tam giác CTST

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Tính số đo góc
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} + \widehat{C} = 60^{\circ}$ . Trên tia phân giác $AD$ của góc $A$ lấy điểm $I$ . Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $F$ , trền tia đối của tia $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AE = AF = AI$ . Chọn câu sai:
- A.
  $\Delta EAI$ cân tại $I$ .
- B.
  $AC$ là đường trung trực của đoạn $IF$ .
- C.
  $\bigtriangleup EAI$ cân tại $A$ .
- D.
  $AB$ là đường trung trực của đoạn $IE$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{IDE} = \widehat{B} + \widehat{C} = 60^{0} \Rightarrow \widehat{BAC} = 180^{0} - \left( \widehat{C} + \widehat{B} ight) = 120^{0}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Mà AD là tia phân giác $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}} = \frac{120^{0}}{2} = 60^{0}$

$\widehat{EAB}$ là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC nên $\widehat{EAB} = \widehat{B} + \widehat{C} = 60^{0}$

Do đó $\widehat{EAB} = \widehat{A_{1}} = 60^{0}$

Tam giác EAI cân tại A

Mà AB là phân giác nên AB là đường trung trực của IE

Ta có: $\widehat{FAC} = \widehat{EAB}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat{FAC} = 60^{0}$

Do đó AC là phân giác của $\widehat{FAI}$

Tam giác FAI cân tại I mà AC là phân giác nên AC là đường trung trực của IF
Câu 2: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho đoạn thẳng BA và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông góc với AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB. Tia AC cắt BD tại E. Tính số đo góc $\widehat{AEB}$ ?
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì $Mx\bot AB \Rightarrow \widehat{AMx} = 90^{0}$

Xét tam giác AMC có $\left\{ \begin{matrix} \widehat{AMC} = 90^{0} \\ MA = MC \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tam giác AMC vuông cân tại M.

$\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{MCA} = 45^{0}$ (tính chất tam giác vuông cân)

Xét tam giác BMD có $\left\{ \begin{matrix} \widehat{BMD} = 90^{0} \\ MB = MD \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tam giác BMD vuông cân tại M.

$\Rightarrow \widehat{MBD} = \widehat{MDB} = 45^{0}$ (tính chất tam giác vuông cân)

Xét tam giác ABE có: $\widehat{AEB} = 180^{0} - \left( \widehat{BAE} + \widehat{ABE} ight) = 180^{0} - 90^{0} = 90^{0}$ (định lí tổng ba góc của tam giác).
Câu 3: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho $\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ , phân giác $AD$ . Gọi $I,J$ lần lượt là giao điểm phân giác của $\bigtriangleup ABH, \bigtriangleup ACH,E$ là giao điểm của đường thẳng $BI$ và $A J$ . Chọn câu đúng:
- A.
  $\bigtriangleup ABE$ là tam giác vuông tại $A$ .
- B.
  $\bigtriangleup ABE$ là tam giác vuông tại $B$ .
- C.
  $\bigtriangleup ABE$ là tam giác vuông tại $E$ .
- D.
  $\bigtriangleup ABE$ là tam giác đều.
Hướng dẫn:
Tam giác AHC vuông tại H suy ra $\widehat{HAC} + \widehat{HAC} = 90^{0}$

Tam giác Abc vuông tại A suy ra $\widehat{HAB} + \widehat{ACH} = 90^{0}$

$\Rightarrow \widehat{HAC} = \widehat{HBA}$

Mặt khác, $BI$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ (gt) và $E \in BI$ nên $\widehat{ABE} = \frac{\widehat{ABC}}{2}$ (tính chất tia phân giác)

+) $A J$ là tia phân giác của $\widehat{HAC}(gt) \Rightarrow \widehat{JAC} = \frac{\widehat{HAC}}{2}$ (tính chất phân giác)

Từ (3), (4) và (5) $\Rightarrow \widehat{ABE} = \widehat{JAC}$ .

$\bigtriangleup ABE$ có : $\widehat{ABE} + \widehat{BAE} = \widehat{JAC} + \widehat{BAE} = 90^{\circ}$ .

Vậy $\bigtriangleup AEB$ vuông tại $E$ .
Câu 4: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho $\widehat{ABD} = \widehat{BDE} =\widehat{EBC}$ . Trên tia đối của tua DB lấy điểm D sao cho DF = BC. Khi đó tam giác CDF là tam giác gì?
- A.
  Tam giác cân tại D.
- B.
  Tam giác cân tại C.
- C.
  Tam giác vuông tại D.
- D.
  Tam giác cân tại F.
Hướng dẫn:
Trên đoạn BF lấy điểm F sao cho BG = BC
Khi đó G nằm giữa D và F
Ta có: BG = BD + DG; DF = DG + GF
Mà BG = DF (cùng bằng BC) nên BD = GF
Gọi H là giao điểm của BE và GC
Tam giác BCG cân tại B
$\widehat{DBE} = \widehat{EBC}$ nên BH là phân giác đồng thời là đường cao của tam giác BCG
$\Rightarrow BH\bot GC$
Tam giác BHG vuông tại H nên $\widehat{HGB} + \widehat{GBH} =90^{0}$
Tam giác ABD vuông tại A nên $\widehat{ABD} + \widehat{ADB} =90^{0}$
Mà $\widehat{ABD} =\widehat{DBE}(gt)$ nên $\widehat{ADB}= \widehat{BGH}(gt)$
Suy ra tam giác CDG cân tại C suy ra CD = CG (tính chất)
$\widehat{CDB} + \widehat{CDG} =180^{0}$ (hai góc kề bù)
$\widehat{CGF} + \widehat{CGD} =180^{0}$ (hai góc kề bù)
$\widehat{CDD} =\widehat{CGD}$
Suy ra $\widehat{CDB} =\widehat{CGF}$
Xét tam giác CDB và tam giác CGF có:
CD = CG
BD = FG
$\widehat{CDB} =\widehat{CGF}$
$\Rightarrow \Delta CDB = \Delta CGF(c - g- c)$ suy ra CB = CF (hai cạnh tương ứng)
Mà DF = BC (gt) suy ra CF = DF (vì cùng bằng BC)
Suy ra CDF cân tại F.
Câu 5: Vận dụng
Tính số đo góc
Cho tam giác ABC có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của AH và K là trung điểm của BC. Tính số đo góc $\widehat{IFK}$ ?
- A.
  $\widehat{IFK} = 60^{0}$
- B.
  $\widehat{IFK} = 80^{0}$
- C.
  $\widehat{IFK} = 90^{0}$
- D.
  $\widehat{IFK} = 70^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi D là giao của AH và BC

Tam giác ABC có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H nên $AH\bot BC$ tại D (tính chất ba đường cao của tam giác)

Trên đoạn AH lấy điểm I’ sao cho $\widehat{AFI'} = \widehat{FAI'}$ suy ra tam giác AI’F cân tại I’

Suy ra I’A = I’F

$\Delta AHF$ vuông tại $F(CF\bot AB)$ nên $\widehat{I^{'}FA} + \widehat{I^{'}FH} = \widehat{FAH} + \widehat{FHA} = 90^{\circ}$ .

Mà $\widehat{AFI^{'}} = \widehat{FAI^{'}} \Rightarrow \widehat{I^{'}FH} = \widehat{AHF} \Rightarrow \Delta I^{'}FH$ cân tại $I^{'} \Rightarrow I^{'}H = I^{'}F$ .

Lại có $I^{'}A = I^{'}F(cmt) \Rightarrow I^{'}A = I^{'}H = I^{'}F$ .

Hay $I'$ là trung điểm của $AH$ .

Mà $I$ cũng là trung điểm của $AH$ nên $I$ trùng với $I$ '.

Do đó $\widehat{FAI} = \widehat{AFI}$ (vì $\widehat{FAI^{'}} = \widehat{AFI^{'}}$ ).

Chứng minh tương tự ta có: $\widehat{KFB} = \widehat{KBF}$

$\bigtriangleup ABD$ vuông tại $D(AD\bot BC)$ nên $\widehat{DAB} + \widehat{DBA} = 90^{\circ}$ .

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{IFA} + \widehat{KFB} = \widehat{IAF} + \widehat{KBF} = \widehat{DAB} + \widehat{DBA} = 90^{\circ}$ .

Ta có: $\widehat{IFA} + \widehat{IFK} + \widehat{KFB} = 180^{\circ} \Rightarrow \widehat{IFK} = 180^{\circ} - (\widehat{IFK} + \widehat{KFB}) = 90^{\circ}$
Câu 6: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H. Chọn câu đúng.
- A.
  $AB + AC \leq HA + HB + HC$
- B.
  $AB + AC = HA + HB + HC$
- C.
  $AB + AC > HA + HB + HC$
- D.
  $AB + AC < HA + HB + HC$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Qua H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại F, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E.

Vì AE // HF nên $\widehat{EAH} = \widehat{FHA}$ (hai góc so le trong bằng nhau)

Vì AF // HE nên $\widehat{AHE} = \widehat{HAF}$ (hai góc so le trong bằng nhau)

Xét tam giác AEH và HFA có

AH chung

$\widehat{EAH} = \widehat{FHA}$

$\widehat{AHE} = \widehat{HAF}$

$\Rightarrow \Delta AEH = \Delta HFA(g - c - g) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} EH = AF \\ AE = HF \\ \end{matrix} ight.$ (hai cạnh tương ứng)

Vì $BH\bot AC;FH//AC \Rightarrow BH\bot FH$

Ta có: CE; CH lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ C đến EH nên CE > CH (quan hệ đường xiên – đường vuông góc)

Xét tam giác AEH có $AE + EH > HA$ (bất đẳng thức trong tam giác)

Ta có:

$AB + AC = AF + FB + AE + EC$

$\Rightarrow AB + AC = EH + FB + AE + EC$ (vì $AF = EH$ )

$\Rightarrow AB + AC = (EH + AE) + FB + EC > HA + HB + HC$

$\Rightarrow AB + AC > HA + HB + HC$
Câu 7: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác ABC có AM là đường phân giác đồng thời cũng là đường cao. Khi đó tam giác ABC là tam giác gì?
- A.
  Tam giác vuông cân
- B.
  Tam giác vuông
- C.
  Tam giác đều
- D.
  Tam giác cân
Hướng dẫn:
Tam giác ABC có AM là đường phân giác đồng thời cũng là đường cao

Suy ra tam giác ABC là tam giác cân.

(Sử dụng tính chất: Trong một tam giác đường cao đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân).
Câu 8: Thông hiểu
Chọn phát biểu đúng
Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là đúng?

i. AM vuông góc với BC

ii. AM là đường trung trực của BC.

iii. AM là đường phân giác trong của góc BAC.
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  0
- D.
  3
Hướng dẫn:
Vì tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao, đường trung trực, đường phân giác trong của tam giác ABC.

Vậy cả 3 phát biểu đều đúng.
Câu 9: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác ABC có hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Chọn phát biểu đúng?
- A.
  $CH\bot AB$
- B.
  H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
- C.
  H là trọng tâm tam giác ABC.
- D.
  CH là đường trung trực của tam giác ABC.
Hướng dẫn:
Tam giác ABC có hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H nên CH vuông góc với AB.
Câu 10: Thông hiểu
Chọn câu đúng
Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại D. Biết $\widehat{ACB} = 50^{0}$ . Tính $\widehat{HDK}$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $130^{0}$
- C.
  $50^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tam giác CDK vuông tại K nên $\widehat{KDC} + \widehat{KCD} = 90^{0}(1)$

Tam giác CDH vuông tại h nên $\widehat{HDC} + \widehat{HCD} = 90^{0}(2)$

Từ (1) và (2) suy ra:

$\widehat{KDC} + \widehat{KCD} + \widehat{HDC} + \widehat{HCD} = 90^{0} + 90^{0}$

$\Rightarrow \left( \widehat{KDC} + \widehat{HDC} ight) + \left( \widehat{KCD} + \widehat{HCD} ight) = 180^{0}$

$\Rightarrow \widehat{HDK} + \widehat{HCK} = 180^{0}$ mà $\widehat{HCK} = 50^{0}$

$\Rightarrow \widehat{HDK} = 180^{0} - 50^{0} = 130^{0}$
Câu 11: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Đường cao của tam giác đều cạnh $a$ có bình phương độ dài là:
- A.
  $\frac{a^{2}}{4}$
- B.
  $\frac{3a^{2}}{2}$
- C.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
- D.
  $\frac{3a}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tam giác ABC đều nên AB = BC = AC = a

Có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay $AM\bot BC$ tại M

Ta có $MB = MC = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$ (AM là trung tuyến tam giác ABC)

Xét tam giác AMV vuông tại M, theo định lí Pythagre ta có:

$AM^{2} = AC^{2} - MC^{2} = a^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2} = \frac{3a^{2}}{4}$

Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a là $\frac{3a^{2}}{4}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chọn câu đúng
- A.
  $AI > AK$
- B.
  $AI = 2AK$
- C.
  $AI = AK$
- D.
  $AI < AK$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABD vuông tại D có $\widehat{A_{1}} + \widehat{B_{1}} = 90^{0}$

Xét tam giác ACE vuông tại E có $\widehat{A_{1}} + \widehat{C_{1}} = 90^{0}$

$\Rightarrow \widehat{B_{1}} = \widehat{C_{1}}$ (1)

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} \widehat{B_{1}} + \widehat{B_{2}} = 180^{0} \\ \widehat{C_{2}} + \widehat{C_{1}} = 180^{0} \\ \end{matrix} ight.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{B_{2}} = \widehat{C_{2}}$

Xét tam giác ABI và tam giác KCA có:

AB = AC

$\widehat{B_{2}} = \widehat{C_{2}}$

BI = AC

$\Rightarrow \Delta ABI = \Delta KCA(c - g - c) \Rightarrow AI = AK$ (hai cạnh tương ứng)
Câu 13: Vận dụng
Chọn đáp án thích hợp
Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Khi đó tam giác AIK là tam giác gì?
- A.
  Tam giác cân tại B.
- B.
  Tam giác vuông.
- C.
  Tam giác vuông cân tại A.
- D.
  Tam giác đều.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABD vuông tại D có $\widehat{A_{1}} + \widehat{B_{1}} = 90^{0}$

Xét tam giác ACE vuông tại E có $\widehat{A_{1}} + \widehat{C_{1}} = 90^{0}$

$\Rightarrow \widehat{B_{1}} = \widehat{C_{1}}$ (1)

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} \widehat{B_{1}} + \widehat{B_{2}} = 180^{0} \\ \widehat{C_{2}} + \widehat{C_{1}} = 180^{0} \\ \end{matrix} ight.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{B_{2}} = \widehat{C_{2}}$

Xét tam giác ABI và tam giác KCA có:

AB = AC

$\widehat{B_{2}} = \widehat{C_{2}}$

BI = AC

$\Rightarrow \Delta ABI = \Delta KCA(c - g - c) \Rightarrow AI = AK$ (hai cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác AIK là tam giác cân tại A.(*)

$\Delta ABI = \Delta KCA \Rightarrow \widehat{AIB} = \widehat{CAK}$ (hai góc tương ứng) (3)

Tam giác AID vuông tại D nên $\widehat{AID} + \widehat{IAD} = 90^{0}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra

$\widehat{IAD} + \widehat{CAK} = 90^{0}$ hay tam giác AIK vuông tại A.(**)

Từ (*) và (**) suy ra tam giác AIK vuông cân tại A.
Câu 14: Thông hiểu
Chọn câu đúng
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia AC lấy đểm E sao cho AE = AD. Kéo dài CD cắt BE tại I. Tính số đo góc $\widehat{BIC}$ ?
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi K là giao điểm của ED và BC

Tam giác ABC vuông cân tại A nên $\widehat{ACB} = 45^{0}$

Tam giác ADE có $\widehat{DAE} = 90^{0};AD = AE$ nên tam giác ADE vuông cân tại A

Suy ra $\widehat{AED} = 45^{0}$ hay $\widehat{CEK} = 45^{0}$

Tam giác $CEK$ có $\widehat{EKC} = 180^{0} - \left( \widehat{ACB} + \widehat{CEK} ight)$

$= 180^{0} - \left( 45^{0} + 45^{0} ight) = 90^{0}$

Vậy $EK\bot BC$

Xét tam giác BCE có các đường cao BA, EK cắt nhau tại H nên $CD\bot BE$ tại I (tính chất ba đường cao của tam giác).

Do đó $\widehat{BIC} = 90^{0}$ .
Câu 15: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} + \widehat{C} = 60^{\circ}$ . Trên tia phân giác $AD$ của góc $A$ lấy điểm $I$ . Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $F$ , trền tia đối của tia $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AE = AF = AI$ . Tam giác IEF là tam giác gì?
- A.
  Tam giác đều
- B.
  Tam giác vuông cân
- C.
  Tam giác tù
- D.
  Tam giác vuông
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{IDE} = \widehat{B} + \widehat{C} = 60^{0} \Rightarrow \widehat{BAC} = 180^{0} - \left( \widehat{C} + \widehat{B} ight) = 120^{0}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Mà AD là tia phân giác $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}} = \frac{120^{0}}{2} = 60^{0}$

$\widehat{EAB}$ là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC nên $\widehat{EAB} = \widehat{B} + \widehat{C} = 60^{0}$

Do đó $\widehat{EAB} = \widehat{A_{1}} = 60^{0}$

Tam giác EAI cân tại A

Mà AB là phân giác nên AB là đường trung trực của IE

Ta có: $\widehat{FAC} = \widehat{EAB}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat{FAC} = 60^{0}$

Do đó AC là phân giác của $\widehat{FAI}$

Tam giác FAI cân tại I mà AC là phân giác nên AC là đường trung trực của IF.

Vì E nằm trên đường trung trực của IF nên EF = EI

Vì F nằm trên đường trung trực của IE nên EF = FI

Suy ra EF = EI = FI

Do đó tam giác IEF là tam giác đều.
Câu 16: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại D. Nếu DA = DB thì tam giác ABC là tam giác:
- A.
  Cân tại B
- B.
  Cân tại A
- C.
  Cân tại C
- D.
  Đều
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Nếu DA = DB thì tam giác DAB cân tại D, suy ra $\widehat{DBA} = \widehat{DAB}$ (tính chất tam giác cân)

Tam giác AHB vuông tại H $\Rightarrow \widehat{ABH} = 90^{0} - \widehat{BAH}$

Tam giác ABK vuông tại H $\Rightarrow \widehat{BAK} = 90^{0} - \widehat{ABK}$

Suy ra $\widehat{ABH} = \widehat{BAK}$ hay $\widehat{ABC} = \widehat{BAC}$

Suy ra tam giác ABC cân tại C.
Câu 17: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trực tâm của tam giác là giao của
- A.
  Ba đường phân giác
- B.
  Ba đường trung truyến
- C.
  Ba đường cao
- D.
  Ba đường trung trực
Hướng dẫn:
Trực tâm của tam giác là giao của ba đường cao.
Câu 18: Vận dụng cao
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của AH và K là trung điểm AB. Biết AH = 6cm, BC = 8cm. Tính IK.
- A.
  $5cm$
- B.
  $6cm$
- C.
  $3cm$
- D.
  $4cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi D là giao của AH và BC

Tam giác ABC có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H nên $AH\bot BC$ tại D (tính chất ba đường cao của tam giác)

Trên đoạn AH lấy điểm I’ sao cho $\widehat{AFI'} = \widehat{FAI'}$ suy ra tam giác AI’F cân tại I’

Suy ra I’A = I’F

$\Delta AHF$ vuông tại $F(CF\bot AB)$ nên $\widehat{I^{'}FA} + \widehat{I^{'}FH} = \widehat{FAH} + \widehat{FHA} = 90^{\circ}$ .

Mà $\widehat{AFI^{'}} = \widehat{FAI^{'}} \Rightarrow \widehat{I^{'}FH} = \widehat{AHF} \Rightarrow \Delta I^{'}FH$ cân tại $I^{'} \Rightarrow I^{'}H = I^{'}F$ .

Lại có $I^{'}A = I^{'}F(cmt) \Rightarrow I^{'}A = I^{'}H = I^{'}F$ . Hay $I^{'}$ là trung diểm của $AH$ .

Mà $I$ cũng là trung diểm của $AH$ nên $I$ trùng với $I$ '.

Do đó $\widehat{FAI} = \widehat{AFI}$ (vì $\widehat{FAI^{'}} = \widehat{AFI^{'}}$ ).

Chứng minh tương tự ta có: $\widehat{KFB} = \widehat{KBF}$

$\bigtriangleup ABD$ vuông tại $D(AD\bot BC)$ nên $\widehat{DAB} + \widehat{DBA} = 90^{\circ}$ .

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{IFA} + \widehat{KFB} = \widehat{IAF} + \widehat{KBF} = \widehat{DAB} + \widehat{DBA} = 90^{\circ}$ .

Ta có: $\widehat{IFA} + \widehat{IFK} + \widehat{KFB} = 180^{\circ} \Rightarrow \widehat{IFK} = 180^{\circ} - (\widehat{IFK} + \widehat{KFB}) = 90^{\circ}$

Sử dụng kết quả câu 16 ta có: $\widehat{IFK} = 90^{\circ}$ hay $\bigtriangleup IFK$ vuông tại $F$ .

I là trung diểm của AH nên $IA = IH =\frac{1}{2}AH = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3cm$ .

Ta có $FI = AI \Rightarrow FI =\frac{1}{2}AH = 3cm$ .

Tương tự ta có: $FK = \frac{1}{2}BC =\frac{1}{2}.8 = 4(cm)$ .

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông $IFK$ ta có:

$IK^{2} = FI^{2} + FK^{2} = 3^{2} + 4^{2}= 25 \Rightarrow IK = \sqrt{25} = 5(cm)$
Câu 19: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Biết BC = 24cm, AM = 5cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC.
- A.
  $AB = AC = 13cm$
- B.
  $AB = AC = 14cm$
- C.
  $AB = AC = 15cm$
- D.
  $AB = AC = 16cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC

$\Rightarrow BM = \frac{BC}{2} = 12$

Vì tam giác ABC cân tại A mà AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác ABC. Do tam giác AMB vuông tại M, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$AB^{2} = AM^{2} + BM^{2}$

$\Rightarrow AB^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 169 \Rightarrow AB = 13$

Vậy $AB = AC = 13cm$ .
Câu 20: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia AI cắt BC tại M. Khi đó tam giác MED là tam giác gì?
- A.
  Tam giác đều
- B.
  Tam giác cân
- C.
  Tam giác vuông cân
- D.
  Tam giác vuông
Hướng dẫn:
Xét tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại I, suy ra $AI\bot BC$ tại M.

Tam giác ABC cân tại A có AM là đường cao nên AM là đường trung tuyến của tam giác đó

Suy ra BM = MC (tính chất đường trung tuyến)

Tam giác ABC cân tại A $\Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ hay $\widehat{EBC} = \widehat{DCB}$ (tính chất tam giác cân)

Vì $\left\{ \begin{matrix} CE\bot AB \\ BD\bot AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \widehat{BEC} = \widehat{BDC} = 90^{0}$

Xét tam giác BEC và tam giác CDB có:

$\widehat{BEC} = \widehat{BDC} = 90^{0}$

BC chung

$\widehat{EBC} =\widehat{DCB}$

$\Rightarrow \Delta BEC = \Delta CDB(ch - gn) \Rightarrow EB = DC$ (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác EBM và tam giác DCM có:

$\widehat{EBM} = \widehat{DCM}$

$EB = DC$

$BM = CM$

$\Rightarrow \Delta EBM = \Delta DCM(c - g - c) \Rightarrow EM = DM$ (hai cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác EMD cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).