Luyện tập Tính chất của phép khai phương Chân trời sáng tạo

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức M
Cho $a = \sqrt{\frac{5}{3}} + \sqrt{\frac{3}{5}}$ . Tính giá trị của biểu thức $M = \sqrt{15a^{2} - 8a\sqrt{15} + 16}$ ?
- A.
  $4$
- B.
  $1$
- C.
  $\sqrt{2}$
- D.
  $2\sqrt{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a = \sqrt{\frac{5}{3}} + \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{5 + 3}{\sqrt{3}.\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{15}}$

Khi đó giá trị biểu thức M là:

$M = \sqrt{15\left( \frac{8}{\sqrt{15}} ight)^{2} - 8\frac{8}{\sqrt{15}}\sqrt{15} + 16} = \sqrt{16} = 4$
Câu 2: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Thực hiện phép tính $\left( \sqrt{27} + \sqrt{48} ight)^{2} - \left( \sqrt{27} - \sqrt{48} ight)^{2}$ ta được kết quả là:
- A.
  $144$
- B.
  $2\sqrt{48}$
- C.
  $2\sqrt{27}$
- D.
  $96$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left( \sqrt{27} + \sqrt{48} ight)^{2} - \left( \sqrt{27} - \sqrt{48} ight)^{2}$

$= \left( \sqrt{27} + \sqrt{48} + \sqrt{27} - \sqrt{48} ight)\left( \sqrt{27} + \sqrt{48} - \sqrt{27} + \sqrt{48} ight)$

$= 2\sqrt{27}.2\sqrt{48} = 2\sqrt{3.9}.2\sqrt{3.16} = 4.\left( \sqrt{3} ight)^{2}.3.4 = 144$
Câu 3: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức
Kết quả của phép tính $\sqrt{\frac{81}{169}}$ là:
- A.
  $\frac{3}{13}$
- B.
  $\frac{9}{13}$
- C.
  $\frac{13}{9}$
- D.
  $\frac{9}{169}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sqrt{\frac{81}{169}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{169}} = \frac{9}{13}$
Câu 4: Nhận biết
Đơn giản biểu thức chứa căn
Thu gọn biểu thức $\frac{\sqrt{63y^{3}}}{\sqrt{7y}}$ với $y > 0$ ta được kết quả là:
- A.
  $3y$
- B.
  $- 3y$
- C.
  $3y^{2}$
- D.
  $9y$
Hướng dẫn:
Với $y > 0$ ta có:

$\frac{\sqrt{63y^{3}}}{\sqrt{7y}} = \sqrt{\frac{63y^{3}}{7y}} = \sqrt{9y^{2}} = \sqrt{(3y)^{2}} = |3y| = 3y$
Câu 5: Vận dụng
Tìm x để A = B
Cho biểu thức $A = \sqrt{x + 2}.\sqrt{x - 3}$ và $B = \sqrt{(x + 2)(x - 3)}$ . Với giá trị nào của x thì $A = B$ ?
- A.
  $x \leq - 2$
- B.
  $x \leq 3$
- C.
  $x \geq 3$
- D.
  $x \geq - 2$
Hướng dẫn:
Ta có:

Biểu thức $A = \sqrt{x + 2}.\sqrt{x - 3}$ có nghĩa khi $x \geq 3$

Biểu thức $B = \sqrt{(x + 2)(x - 3)}$ có nghĩa khi $x \leq - 2$ hoặc $x \geq 3$

Vậy để A và B đồng thời có nghĩa thì $x \geq 3$ khi đó $A = B$ theo tính chất khai phương một tích.
Câu 6: Thông hiểu
Tìm điều kiện của x và y
Với giá trị nào của x và y ta có $\sqrt{\frac{y}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{y}}{x}$ :
- A.
  $y < 0;x > 0$
- B.
  $y \geq 0;x > 0$
- C.
  $y > 0;x < 0$
- D.
  $y \geq 0;x < 0$
Hướng dẫn:
Để $\sqrt{\frac{y}{x^{2}}}$ có nghĩa khi $y \geq 0;x eq 0$ (1)

Khi đó $\sqrt{\frac{y}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{\sqrt{y}}{|x|}$

Để $|x| = x$ thì $x \geq 0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $y \geq 0;x > 0$
Câu 7: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức E
Đơn giản biểu thức $E = \left( \sqrt{5 - 2\sqrt{2\sqrt{2} - 2}} + \sqrt{2} - 1 ight).\sqrt{\sqrt{2} - 1}$ ta được:
- A.
  $2 - \sqrt{2}$
- B.
  $\sqrt{2}$
- C.
  $1 - 2\sqrt{2}$
- D.
  $\sqrt{2} - 1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sqrt{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{\sqrt{2} - 1}.\sqrt{\left( \sqrt{2} - 1 ight)\left( \sqrt{2} + 1 ight)} = \left( \sqrt{2} - 1 ight)\sqrt{\sqrt{2} + 1}$

Khi đó

$5 - 2\sqrt{2\sqrt{2} - 2} = 5 - 2\sqrt{2}.\sqrt{\sqrt{2} - 1}$

$= 2 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} - 1}$

$= 2\left( \sqrt{2} + 1 ight)^{2} + \left( \sqrt{2} - 1 ight)^{2} - 2\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} + 1}\left( \sqrt{2} - 1 ight)$

$= \left( \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{2} + 1 ight)^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{5 - 2\sqrt{2\sqrt{2} - 2}} = \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{2} + 1$

Ta có:

$E = \left( \sqrt{5 - 2\sqrt{2\sqrt{2} - 2}} + \sqrt{2} - 1 ight).\sqrt{\sqrt{2} - 1}$

$E = \left( \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} - 1 ight).\sqrt{\sqrt{2} - 1}$

$E = \sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} + 1}.\sqrt{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2}$
Câu 8: Nhận biết
Thực hiện phép tính
Phép tính $\sqrt{11^{2}.( - 12)^{2}}$ có kết quả là:
- A.
  $33$
- B.
  $- 132$
- C.
  $132$
- D.
  $- 33$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sqrt{11^{2}.( - 12)^{2}} = \sqrt{11^{2}}.\sqrt{( - 12)^{2}} = 11.| - 12| = 11.12 = 132$
Câu 9: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Cho phương trình $\sqrt{25x - 25} - \frac{15}{2}.\sqrt{\frac{x - 1}{9}} = 6 + \sqrt{x - 1}$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  Nghiệm của phương trình là một số chính phương.
- B.
  Nghiệm của phương trình là một số chia hết cho 2.
- C.
  Nghiệm của phương trình là một số nguyên âm.
- D.
  Nghiệm của phương trình là một số nguyên tố.
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định: $x \geq 1$

Ta có:

$\sqrt{25x - 25} - \frac{15}{2}.\sqrt{\frac{x - 1}{9}} = 6 + \sqrt{x - 1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{25(x - 1)} - \frac{15}{2}.\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{9}} = 6 + \sqrt{x - 1}$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{x - 1} - \frac{5}{2}\sqrt{x - 1} = 6 + \sqrt{x - 1}$

$\Leftrightarrow 10\sqrt{x - 1} - 5\sqrt{x - 1} = 12 + 2\sqrt{x - 1}$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{x - 1} = 12 \Leftrightarrow \sqrt{x - 1} = 4$

$\Leftrightarrow x - 1 = 16 \Leftrightarrow x = 17(tm)$

Suy ra phương trình có nghiệm $x = 17$ .

Vậy khẳng định đúng là: “Nghiệm của phương trình là một số nguyên tố.”
Câu 10: Thông hiểu
Chọn đáp án chưa chính xác
Cho $A = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ và $B = \sqrt{18 + 8\sqrt{2}} + \sqrt{18 - 8\sqrt{2}}$ . Mối quan hệ nào giữa $A;B$ sau đây không chính xác?
- A.
  $\sqrt{3}A - B = 2$
- B.
  $AB = 16\sqrt{3}$
- C.
  $A^{2} + B = 20$
- D.
  $A^{2} - B = 4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$A = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$

$A = \sqrt{\left( \sqrt{3} ight)^{2} - 2\sqrt{3} + 1^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{3} ight)^{2} + 2\sqrt{3} + 1^{2}}$

$A = \sqrt{\left( \sqrt{3} - 1 ight)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{3} + 1 ight)^{2}}$

$A = \sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} + 1 = 2\sqrt{3}$

$B = \sqrt{18 + 8\sqrt{2}} + \sqrt{18 - 8\sqrt{2}}$

$B = \sqrt{16 + 2.4\sqrt{2} + 2} + \sqrt{16 - 2.4\sqrt{2} + 2}$

$B = \sqrt{4^{2} + 2.4\sqrt{2} + \left( \sqrt{2} ight)^{2}} + \sqrt{4^{2} - 2.4\sqrt{2} + \left( \sqrt{2} ight)^{2}}$

$B = \sqrt{\left( 4 + \sqrt{2} ight)^{2}} + \sqrt{\left( 4 - \sqrt{2} ight)^{2}}$

$B = 4 + \sqrt{2} + 4 - \sqrt{2} = 8$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} A^{2} - B = 4 \\ A^{2} + B = 20 \\ AB = 16\sqrt{3} \\ \sqrt{3}A - B = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy mối liên hệ chưa chính xác là $\sqrt{3}A - B = 2$ .
Câu 11: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, kết quả của phép tính $\sqrt{2,5}.\sqrt{14,4}$ bằng:
- A.
  $18$
- B.
  $36$
- C.
  $9$
- D.
  $6$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sqrt{2,5}.\sqrt{14,4} = \sqrt{2,5.14,4} = \sqrt{36} = \sqrt{6^{2}} = 6$
Câu 12: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho $a;b$ là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\sqrt{ab} = a.\sqrt{b}$
- B.
  $\sqrt{a}.\sqrt{b} = b\sqrt{a}$
- C.
  $\sqrt{ab} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
- D.
  $\sqrt{ab} = \sqrt{a.b}$
Hướng dẫn:
Với $a;b$ là hai số không âm ta có $\sqrt{ab} = \sqrt{a.b}$
Câu 13: Thông hiểu
Đơn giản biểu thức B
Giá trị biểu thức $B = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ bằng:
- A.
  $2\sqrt{2}\left( 1 + \sqrt{5} ight)$
- B.
  $1 + \sqrt{5}$
- C.
  $1 - \sqrt{5}$
- D.
  $2\sqrt{2}\left( 1 + \sqrt{5} ight)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$B = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$

$B = \sqrt{\left( \sqrt{2} ight)^{2} + 2\sqrt{2} + 1^{2}} - \sqrt{\left( \sqrt{5} ight)^{2} + 2\sqrt{2}.\sqrt{5} + \left( \sqrt{2} ight)^{2}}$

$B = \sqrt{\left( \sqrt{2} + 1 ight)^{2}} - \sqrt{\left( \sqrt{5} + \sqrt{2} ight)^{2}}$

$B = \sqrt{2} + 1 - \left( \sqrt{5} + \sqrt{2} ight)$

$B = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{5} - \sqrt{2} = 1 - \sqrt{5}$
Câu 14: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức B
Cho biểu thức $B = \frac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{\sqrt{x} + \sqrt{3}}}:\frac{\sqrt{\sqrt{x} - \sqrt{3}}}{\sqrt{x}}$ với $x > 3$ . Tính giá trị biểu thức B tại $x = 81$ ?
- A.
  $B = 1$
- B.
  $B = 3$
- C.
  $B = 9$
- D.
  $B = 18$
Hướng dẫn:
Ta có:

$B = \frac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{\sqrt{x} + \sqrt{3}}}:\frac{\sqrt{\sqrt{x} - \sqrt{3}}}{\sqrt{x}}$

$B = \sqrt{\frac{x - 3}{\sqrt{x} + \sqrt{3}}}:\sqrt{\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x}}$

$B = \sqrt{\frac{x - 3}{\sqrt{x} + \sqrt{3}}}.\sqrt{\frac{x}{\sqrt{x} - \sqrt{3}}}$

$B = \sqrt{\frac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{3} ight)\left( \sqrt{x} - \sqrt{3} ight)}{\sqrt{x} + \sqrt{3}}.\frac{x}{\sqrt{x} - \sqrt{3}}}$

$B = \sqrt{x}$

Ta thấy x = 81 thỏa mãn điều kiện

Thay x = 81 vào biểu thức B thu gọn ta được: $B = \sqrt{81} = 9$
Câu 15: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Tính giá trị biểu thức $\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}.\sqrt{4,5} + \frac{2}{5}\sqrt{50} ight):\frac{4}{15}\sqrt{\frac{1}{8}}$ ?
- A.
  $1 - 2\sqrt{2}$
- B.
  $2\sqrt{2}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{- 1}{2\sqrt{2}}$
Hướng dẫn:
Thực hiện tính $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}.\sqrt{4,5} + \frac{2}{5}\sqrt{50}$ ta có:

$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}.\sqrt{4,5} + \frac{2}{5}\sqrt{50}$

$= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}.\sqrt{\frac{9}{2}} + \frac{2}{5}\sqrt{\frac{25}{2}}$

$= \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{9}{2\sqrt{2}} + 2\sqrt{2}$

$= \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{9}{2\sqrt{2}} + \frac{\left( 2\sqrt{2} ight)^{2}}{2\sqrt{2}}$

$= \frac{1 - 9 + \left( 2\sqrt{2} ight)^{2}}{2\sqrt{2}} = 0$

Khi đó $\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}.\sqrt{4,5} + \frac{2}{5}\sqrt{50} ight):\frac{4}{15}\sqrt{\frac{1}{8}} = 0$
Câu 16: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức
Tính giá trị biểu thức $A = \left( \sqrt{\frac{49}{3}} - \sqrt{\frac{25}{3}} + \sqrt{3} ight).\sqrt{3}$ ?
- A.
  $5$
- B.
  $\frac{5}{\sqrt{3}}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{5}$
- D.
  $5\sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$A = \left( \sqrt{\frac{49}{3}} - \sqrt{\frac{25}{3}} + \sqrt{3} ight).\sqrt{3}$

$A = \sqrt{\frac{49}{3}}.\sqrt{3} - \sqrt{\frac{25}{3}}.\sqrt{3} + \sqrt{3}.\sqrt{3}$

$A = \sqrt{49} - \sqrt{25} + 3 = 7 - 5 + 3 = 5$
Câu 17: Nhận biết
Chọn phát biểu đúng
Cho hai số thực tùy ý $a;b\in\mathbb{ R}$ . Phát biểu nào sau đây đúng?
- A.
  $\sqrt{a}.\sqrt{b} = \sqrt{ab}$
- B.
  $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
- C.
  $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$
- D.
  $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với $a \geq 0;b > 0$
Hướng dẫn:
Phát biểu đúng là $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với $a \geq 0;b > 0$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức D
Đơn giản biểu thức $D = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{15}}{\sqrt{8} - \sqrt{12}}$ ta được kết quả là:
- A.
  $\frac{\sqrt{5}}{2}$
- B.
  $\frac{- \sqrt{2}}{5}$
- C.
  $3\sqrt{2}$
- D.
  $5\sqrt{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$D = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{15}}{\sqrt{8} - \sqrt{12}} = \frac{\sqrt{5}.\sqrt{2} - \sqrt{3}.\sqrt{5}}{\sqrt{2}.\sqrt{4} - \sqrt{3}.\sqrt{4}}$

$= \frac{\sqrt{5}.\left( \sqrt{2} - \sqrt{3} ight)}{2\left( \sqrt{2} - \sqrt{3} ight)} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
Câu 19: Thông hiểu
Thu gọn biểu thức
Đơn giản biểu thức sau $\frac{1}{a - b}\sqrt{a^{2}\left( a^{2} - b^{2} ight)^{2}}$ với $a > b \geq 0$ ta được kết quả là:
- A.
  $a(b - a)$
- B.
  $- a(a + b)$
- C.
  $a(a + b)$
- D.
  $a(a - b)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{1}{a - b}\sqrt{a^{2}\left( a^{2} - b^{2} ight)^{2}} = \frac{1}{a - b}\sqrt{a^{2}}.\sqrt{\left( a^{2} - b^{2} ight)^{2}}$

$= \frac{1}{a - b}|a|.\left| a^{2} - b^{2} ight| = \frac{1}{a - b}.a.(a - b)(a + b) = a(a + b)$
Câu 20: Vận dụng
Giải phương trình
Tìm nghiệm của phương trình $\sqrt{9x^{2} + 6x + 1} = \sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$ ?
- A.
  $x = 1;x = 2$
- B.
  $x = 1;x = - \sqrt{2}$
- C.
  $x = \frac{2 - \sqrt{2}}{3};x = \frac{\sqrt{2} - 4}{3}$
- D.
  $x = \sqrt{2};x = - 3$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sqrt{9x^{2} + 6x + 1} = \sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(3x + 1)^{2}} = \sqrt{9 - 2.3\sqrt{2} + 2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(3x + 1)^{2}} = \sqrt{3^{2} - 2.3\sqrt{2} + \left( \sqrt{2} ight)^{2}}$

$\Leftrightarrow |3x + 1| = \sqrt{\left( 3 - \sqrt{2} ight)^{2}}$

$\Leftrightarrow |3x + 1| = 3 - \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3x + 1 = 3 - \sqrt{2} \\3x + 1 = - \left( 3 - \sqrt{2} ight) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{3} \\x = \dfrac{\sqrt{2} - 4}{3} \\\end{matrix} ight.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = \frac{2 - \sqrt{2}}{3};x = \frac{\sqrt{2} - 4}{3}$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (35%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (20%):

2/3
Vận dụng cao (5%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0

Làm lại

48 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận