Luyện tập Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn Cánh Diều

Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu!!

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Tìm vị trí điểm gãy
Sau cơn mưa, cây tre cao $10m$ bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gốc $3,2m$ . Hỏi điểm gãy cách gốc cây bao nhiêu mét?
- A.
  $5,012m$
- B.
  $4,488m$
- C.
  $5,174m$
- D.
  $4,364m$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi AB là chiều cao ban đầu của cây tre, C là điểm gãy.

Đặt AC = x (0 < x < 10)

Vì tam giác ACD vuông tại A suy ra:

$AC^{2} + AD^{2} = CD^{2}$

$\Rightarrow x^{2} + (3,2)^{2} = (10 - x)^{2}$

$\Rightarrow x^{2} + 10,24 = 100 - 20x + x^{2} \Rightarrow x = 4,488(tm)$

Vậy điểm gãy cách gốc 4,488m
Câu 2: Thông hiểu
Tính độ dài cầu trượt
Một cầu trượt trong công viên có độ dốc $32^{0}$ và có độ cao là $2m$ . Tính độ dài của cầu trượt. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
- A.
  $3,77m$
- B.
  $2,85m$
- C.
  $3,20m$
- D.
  $2,36m$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Độ dài cầu trượt là BC

Chiều cao của cầu trượt là AC = 2m

Độ dốc của cầu trượt là $32^{0}$

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

$BC = \frac{AC}{\sin\widehat{B}} = \frac{2}{sin32^{0}} \approx 3,77(m)$

Vậy chiều dài cầu trượt là 3,77m.
Câu 3: Thông hiểu
Tính khoảng cách AB
Quan sát từ đỉnh một tòa nhà cao 70m người ta thấy một chiếc xe đỗ ở vị trí A (như hình vẽ minh họa):

Tính khoảng cách từ A đến B. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
- A.
  $58,7m$
- B.
  $53,6m$
- C.
  $45m$
- D.
  $83,4m$
Hướng dẫn:
Ta có: $\widehat{CAB} = 50^{0}$ (so le trong)

Do đó: $AB = BC.\tan50^{0} = 70.\tan50^{0}\approx 83,4m$
Câu 4: Vận dụng
Tính chiều cao của cây
Một người dùng giác kế, đứng cách cái cây 10m rồi chỉnh thước ngắm cao bằng mắt để xác định góc “nâng” (góc tạo bởi tia sáng từ ngọn cây đến mắt tạo với phương ngang). Khi đó góc “nâng” đo được bằng $31^{0}$ . Tính chiều cao cái cây, biết rằng khoảng cách từ mặt đất đến mắt của người đo bằng $1,5m$ . (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
- A.
  $12,5m$
- B.
  $7,5m$
- C.
  $10,5m$
- D.
  $6m$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Giả sử BC là chiều cao của cây.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OAB vuông tại A ta có:
$AB = OA.tan31^{0} = 10.tan31^{0} \approx6(m)$
Chiều cao cây là: $BC = AB + AC = 6 + 1,5= 7,5(m)$
Câu 5: Thông hiểu
Tính diện tích hình thang
Cho hình thang $ABCD$ sao cho $\widehat{A} = \widehat{D} = 90^{0};\widehat{C} = 50^{0}$ . Tính diện tích hình thang biết $AB = 2;D = 1,2$ ?
- A.
  $5$
- B.
  $2$
- C.
  $4$
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Kẻ BH vuông góc với CD ta có ABHD là hình chữ nhật nên

$BH = AD = 1,2; DH = AB = 2$

Xét tam giác CBH vuông tại H ta có:

$HC = HB.\cot C = 1,2.\cot50^{0} \approx1$

$CD = CH + HD \approx 1 + 2 = 3$

Vậy diện tích hình thang ABCD bằng 3.
Câu 6: Thông hiểu
Xác định chiều cao cột đèn
Một cột đèn trên mặt đất dài $8m$ . Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc $45^{0}$ . Chiều cao của cột đèn gần nhất với giá trị nào sau đây?
- A.
  $16m$
- B.
  $8\sqrt{2}m$
- C.
  $8m$
- D.
  $6\sqrt{3}m$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có chiều cao cột đèn là AC

Chiều dài của bóng cột đèn là 8m

Tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc $\widehat{ABC} = 45^{0}$

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có

$AC = AB.\tan\widehat{B} = 8.\tan45^{0} =8(m)$

Vậy chiều cao cột đèn khoảng 8m.
Câu 7: Thông hiểu
Xác định vị trí hạ cánh của máy bay
Một máy bay bay ở độ cao $12km$ so với mặt đất, muốn hạ cánh xuống sân bay. Để đường bay và mặt đất tạo thành một góc an toàn là $17^{0}$ thì phi công phải bắt đầu hạ cánh từ vị trí cách sân bay một khoảng bao xa? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
- A.
  $39,25km$
- B.
  $38,02km$
- C.
  $38,45km$
- D.
  $37,32km$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AC = 12km;\widehat{B} = 17^{0}$

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

$AB = AC.\cot\widehat{B} = 12.\cot17^{0}\approx 39,25km$

Vậy để đường bay và mặt đất tạo thành một góc an toàn là $17^{0}$ thì phi công phải bắt đầu hạ cánh từ vị trí cách sân bay một khoảng bằng 39,25km
Câu 8: Thông hiểu
Tìm góc tạo bởi tia sáng mặt trời tạo với mặt đất
Một cột đèn cao $8m$ có bóng in trên mặt đất dài $4,5m$ . Xác định góc tạo bởi tia sáng mặt trời tạo với mặt đất?
- A.
  $34^{0}13'$
- B.
  $48^{0}23'$
- C.
  $60^{0}38'$
- D.
  $55^{0}46'$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

$\tan\widehat{C} = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{4,5} = \frac{16}{9} \Rightarrow \widehat{C} \approx 60^{0}38'$
Câu 9: Vận dụng
Xác định độ cao của máy bay
Hai học sinh A và B đang đứng ở mặt đất bằng phẳng cách nhau $60m$ thì nhìn thấy một máy bay trực thăng điều khiển từ xa (ở vị trí C nằm trên tia AB và AC và AC > AB). Biết góc “nâng” để thấy máy bay ở vị trí của B là $52^{0}$ và góc “nâng” để nhìn thấy máy bay ở vị trí của A là $40^{0}$ . Xác định độ cao của máy bay lúc đó so với mặt đất?
- A.
  $125,3m$
- B.
  $147,5m$
- C.
  $114,2m$
- D.
  $162,5m$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi $BC = x (x > 0)$

$=> AC = 60 + x (m)$

Xét tam giác BHC vuông tại C ta có:

$CH = x.\tan52^{0}$

Xét tam giác AHC vuông tại C ta có:

$CH = (60 + x).\tan40^{0}$

$\Rightarrow x.\tan52^{0} = (60 +x).\tan40^{0}$

$\Rightarrow x \approx 114,2$

Vậy máy bay cách mặt đất một khoảng 114,2m.
Câu 10: Vận dụng
Tính độ cao của diều lúc đó so với mặt đất
Hai bạn A và B đang đứng ở mặt đất phẳng cách nhau $90m$ thì nhìn thấy một chiếc diều (ở vị trí C giữa hai banh). Biết góc “nâng” để nhìn thấy diều ở vị trí của A là $50^{0}$ và góc nâng để nhìn thấy chiếc diều ở vị trí của B là $40^{0}$ . Tính độ cao của diều lúc đó so với mặt đất?
- A.
  $40,6m$
- B.
  $38,4m$
- C.
  $37,2m$
- D.
  $36,5m$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Kẻ CH vuông góc với AB. Độ cao của diều là CH

Gọi $AH = x; (0 < x < 90) => BH = 90 -x (m)$

Tam giác ACH vuông tại H ta có:

$CH = AH\tan A = x.\tan50^{0}$

Tam giác ABH vuông tại H ta có:

$CH = BH\tan B = (90 -x).\tan40^{0}$

Ta có phương trình

$x.\tan50^{0} = (90 -x).\tan40^{0}$

$\Leftrightarrow x.\left( \tan50^{0} +\tan40^{0} ight) = 90.\tan40^{0}$

$\Leftrightarrow x =\frac{90.\tan40^{0}}{\tan50^{0} + \tan40^{0}} \approx 37,2$

Vậy độ cao của diều khoảng 37,2m.
Câu 11: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Tính chiều cao cột điện như hình vẽ:

Biết rằng $a = 8,5m,\alpha = 20^{0};\beta = 24^{0}$ . (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
- A.
  $14cm$
- B.
  $17m$
- C.
  $20m$
- D.
  $15m$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AH = CH.\cot\alpha \\BH = CH.\cot\beta \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow AH - BH = CH.\left( \cot\alpha - \cot\beta ight)$

$\Rightarrow a = CH.\left( \cot\alpha - \cot\beta ight)$

$\Rightarrow CH = \frac{a}{\cot\alpha - \cot\beta}$

$\Rightarrow CH = \frac{8,5}{\cot20^{0} -\cot24^{0}} = 17(m)$

Vậy chiều cao cột điện là 17m.
Câu 12: Thông hiểu
Tìm vị trí đặt thang an toàn
Nhà A có một chiếc thang dài 5m. Cần đặt chân thang cách tường một khoảng bằng bao nhiêu để nó tạo với mặt đất một góc “an toàn” là $75^{0}$ (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng)? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
- A.
  $1,1m$
- B.
  $1,4m$
- C.
  $1,3m$
- D.
  $1,2m$
Hướng dẫn:
Kí hiệu hình vẽ như sau:
Chiều dài thang là BC = 5m
Chân thang tạo với mặt đất một góc $\widehat{ACB} = 75^{0}$
Khi đó chân thang sẽ cách chân tường một khoảng AC.
Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:
$AC = BC.\cos\widehat{C} = 5.\cos75^{0}\approx 1,3(m)$
Câu 13: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Một máy bay đang bay với vận tốc $450km/h$ . Đường bay lên tạo với phương ngang một góc bằng $30^{0}$ . Hỏi sau 2 phút kể từ lúc cất cánh, máy bay đạt được độ cao là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
- A.
  $6,5km$
- B.
  $6km$
- C.
  $7,5km$
- D.
  $7km$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $2' = \frac{1}{30}(h)$ . Sau 2 phút máy bay ở C

Quãng đường bay được là $BC = 450.\frac{1}{30} = 15(km)$ và $\widehat{B} = 30^{0}$

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

$AC = BC.\sin30^{0} = 7,5km$ .
Câu 14: Thông hiểu
Xác định độ lớn góc lệch
Một khúc sông rộng khoảng $200m$ . Một chiếc thuyền muốn qua sông theo phương ngang nhưng bị dòng nước đẩy theo phương xiên nên phải đi khoảng 300m mới sang được vờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy thuyền lệch đi một khoảng bằng bao nhiêu độ?
- A.
  $48^{0}11'$
- B.
  $40^{0}36'$
- C.
  $39^{0}37'$
- D.
  $42^{0}20'$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: Khúc sông AC dài 200m

Quãng đường thuyền di chuyển là BC = 300m

Góc lệch $\widehat{ACB}$

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

$\cos\widehat{ACB} = \frac{AC}{BC} = \frac{200}{300} = \frac{2}{3} \Rightarrow \widehat{ACB} \approx 48^{0}11'$
Câu 15: Vận dụng
Tính diện tích tứ giác ABCD
Cho tứ giác $ABCD$ có $O$ là giao điểm hai đường chéo. Biết $AC = 4cm;BD = 5cm;\widehat{AOB} = 50^{0}$ . Tính diện tích tứ giác $ABCD$ ?
- A.
  $15cm^{2}$
- B.
  $12cm^{2}$
- C.
  $8cm^{2}$
- D.
  $6cm^{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Kẻ $AH\bot BD;CK\bot BD$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix}AH = OA.\sin50^{0} \\CK = OC.\sin50^{0} \\\end{matrix} ight.$

Diện tích tứ giác $ABCD$ là:

$S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{CBD}$

$= \frac{1}{2}BD(AH + CK)$

$= \frac{1}{2}BD\left( OA.\sin50^{0} +OC.\sin50^{0} ight)$

$= \frac{1}{2}BD.AC.\sin50^{0} =\frac{1}{2}.5.4.\sin50^{0} \approx 8\left( cm^{2} ight)$