Lớp 9 Toán 9

Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Khi thực hiện rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta phải vận dụng mọi quy tắc và mọi tính chất của các phép tính trên các số thực nói chung và trên các căn thức nói riêng như:

- Phép nhân, phép chia các căn bậc hai;

- Phép khai phương một tích, một thương;

- Phép đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn;

- Phép khử mẫu của biểu thức dưới căn;

- Phép trục căn thức ở mẫu.

1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn thức

Để tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn, ta cần ghi nhớ các lý thuyết dưới đây:

+ Hàm số \sqrt A xác định \Leftrightarrow A \ge 0.

+ Hàm phân thức \dfrac{A}{B} dưới mẫu xác định \Leftrightarrow B \ne 0.

2. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định để biểu thức chứa căn thức bậc hai có nghĩa.

+ Bước 2: Dùng các phép biến đổi đơn giản và thu gọn biểu thức.

3. Các công thức biến đổi căn thức thường gặp

\sqrt A có nghĩa khi A \geqslant 0

\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|

\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B (với điều kiện A \geqslant 0;\,\,B \geqslant 0)

\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }} (với điều kiện A \geqslant 0;\,\,B > 0)

\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B (với điều kiện B \geqslant 0)

A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} (với điều kiện A \geqslant 0;\,\,B \geqslant 0)

A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} (với điều kiện A < 0;\,\,B \geqslant 0)

\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{1}{{\left| B \right|}}\sqrt {AB} (với điều kiện AB \geqslant 0;\,\,B \ne 0)

\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B} (với điều kiện B > 0)

\frac{C}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A \mp \sqrt B } \right)}}{{A - B}} (với điều kiện A \geqslant 0;\,\,B \geqslant 0;\,\,A \ne B)

+ Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu của một phân thức.

+ Các tính chất cơ bản của một phân thức. Sử dụng các tính chất này ta có thể nhân với biểu thức liên hợp của tử (hoặc mẫu) của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi dấu phân thức,... đưa phân thức về dạng rút gọn.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau

 \frac{{15}}{{\sqrt 6 - 1}} + \frac{8}{{\sqrt 6 + 2}} + \frac{6}{{3 - \sqrt 6 }} - 9\sqrt 6

Hướng dẫn giải:

\dfrac{{15}}{{\sqrt 6 - 1}} + \dfrac{8}{{\sqrt 6 + 2}} + \dfrac{6}{{3 - \sqrt 6 }} - 9\sqrt 6

= \dfrac{{15\left( {\sqrt 6 + 1} \right)}}{{6 - 1}} + \dfrac{{8\left( {\sqrt 6 - 2} \right)}}{{6 - 4}} + \dfrac{{6\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}{{9 - 6}} - 9\sqrt 6

= \dfrac{{15\left( {\sqrt 6 + 1} \right)}}{5} + \dfrac{{8\left( {\sqrt 6 - 2} \right)}}{2} + \dfrac{{6\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}{3} - 9\sqrt 6

= \dfrac{{15\left( {\sqrt 6 + 1} \right)}}{5} + \dfrac{{8\left( {\sqrt 6 - 2} \right)}}{2} + \dfrac{{6\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}{3} - 9\sqrt 6

= \dfrac{{90\left( {\sqrt 6 + 1} \right)}}{{30}} + \dfrac{{120\left( {\sqrt 6 - 2} \right)}}{{30}} + \dfrac{{60\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}{{30}} - \dfrac{{270\sqrt 6 }}{{30}}

= \dfrac{{90\left( {\sqrt 6 + 1} \right) + 120\left( {\sqrt 6 - 2} \right) + 60\left( {3 + \sqrt 6 } \right) - 270\sqrt 6 }}{{30}}

= \dfrac{{90\sqrt 6 + 90 + 120\sqrt 6 - 240 + 180 + 60\sqrt 6 - 270\sqrt 6 }}{{30}}

= \dfrac{{30}}{{30}} = 1

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:

a) \sqrt {14 + 6\sqrt 5 } - \sqrt {14 - 6\sqrt 5 }

b) \sqrt {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\sqrt {14 + 6\sqrt 5 } - \sqrt {14 - 6\sqrt 5 }

= \sqrt {9 + 2.3\sqrt 5 + 5} - \sqrt {9 - 2.3\sqrt 5 + 5}

= \sqrt {{3^2} + 2.3\sqrt 5 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {{3^2} - 2.3\sqrt 5 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}

= \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}}

= \left| {3 + \sqrt 5 } \right| - \left| {3 - \sqrt 5 } \right|

= 3 + \sqrt 5 - \left( {3 - \sqrt 5 } \right)

= 3 + \sqrt 5 - 3 + \sqrt 5 = 2\sqrt 5

b) Ta có:

\sqrt {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }

= \sqrt {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2\sqrt 5 + {1^2}} }

= \sqrt {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} }

= \sqrt {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\left| {\sqrt 5 - 1} \right|}

= \sqrt {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\left( {\sqrt 5 - 1} \right)} = \sqrt {5 - 1} = \sqrt 4 = 2

Câu trắc nghiệm mã số: 16374,16371,16372
  • 18 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9