Lớp 9 Toán 9

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

Khi đường thằng a và (O) có hai điểm chung A và B, ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau, Đường thẳng a còn gọi là cát tuyến của đường tròn (O).

Khi đó: \left\{ \begin{gathered} OH < R \hfill \\ HA = HB = \sqrt {{R^2} - O{H^2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.

Hình vẽ minh họa

Lý thuyết: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Chứng minh

Theo định lý Pitago ta có: OH^2 = MO^2 - MH^2

Mặt khác ta cũng có: OH^2 = R^2 - AH^2 nên suy ra

MO^2 - MH^2 = R^2 - AH^2 ⇔ MH^2 - AH^2 = MO^2 - R^2

⇔ (MH - AH)(MH + AH) = MO^2 - R^2

+ Nếu M nằm ngoài đoạn AB thì MA.MB = MO^2 - R^2

+ Nếu M nằm trong đoạn AB thì MA.MB = R^2 - MO^2

Mối liên hệ khoảng cách và dây cung: R^2 = OH^2 + \frac{AB^2}4

b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

Khi đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung C, ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc với nhau. Khi đó a còn gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O). Điểm C gọi là tiếp điểm.

Ta có OC =OH = R.

Hình vẽ minh họa

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Định lí: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

c) Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

Khi đường thẳng a và đường tròn (O) không có điểm chung thì ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.

Khi đó OH > R

Hình vẽ minh họa

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

2. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d < R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 d = R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d > R

Ví dụ: Cho đường tròn tâm O bán kính bằng 6cm và một điểm A cách O bằng 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn AB.

Hướng dẫn giải

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

OA = 10cm

⇒ A nằm ngoài đường tròn.

Ta có: AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm, khi đó OB = R = 6cm.

AB ⊥ OB áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

AB^2 + OB^2 = OA^2

\Rightarrow AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\left( {cm} \right)

Vậy AB = 8cm.

Câu trắc nghiệm mã số: 16602,16591
  • 480 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9