Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{x} = (2;1; - 3);\overrightarrow{y} = (1;0; - 1). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y}?

    Ta có: 2\overrightarrow{y} = (2;0; - 2). Khi đó \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} = (2 + 2;1 + 0; - 3 - 2) = (4;1; - 5).

    Vậy \overrightarrow{a} = (4;1; - 5)

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 3 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?

    Ta có: d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 3 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \overrightarrow{u} = (2; - 3;5)

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hai số phức {z_1} = 5 - 7i và {z_2} = 2 + 3i. Tìm số phức z = {z_1} + {z_2}

     Ta có:

    \begin{matrix} z = {z_1} + {z_2} \hfill \\ = \left( {5 - 7i} ight) + \left( {2 + 3i} ight) \hfill \\ = (5 + 2) + ( - 7 + 3)i \hfill \\ = 7 - 4i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; - 3;7),B(0;4;1), C(3;0;5),D(3;3;3). Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oyz) sao cho biểu thức \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; - 3;7),B(0;4;1), C(3;0;5),D(3;3;3). Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oyz) sao cho biểu thức \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 5: Nhận biết

    Xác định phần ảo của số phức z = 18 - 12i.

     Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho biết có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là (P_i):x+a_iy+b_iz+c_i=0  với (i=1,2,...,n)đi qua điểm M(1;2;3) và không đi qua gốc tọa độ O , đồng thời cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo thứ tự tại A, B, C sao cho hình chóp OABC là hình chóp đều. Khi đó giá trị a_1+a_2+...+a_nbằng?

    Giả sử mặt phẳng (P): x+ay+bz+c=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán

    +) Ta có:  (P)\cap Ox=A(-c;0;0),

    (P)\cap Oy=B(0;\frac{-c}{a};0),

    P)\cap Oz=C(0;0;\frac{-c}{b}).

    Vì hình chóp OABC là hình chóp đều, suy ra OA=OB=OC

    Nên ta có \left | -c ight | =\left | \frac{-c}{a} ight |= \left | \frac{-c}{b} ight | (do (P) không đi qua gốc tọa độ nên c eq 0 )

    +) Vì điểm M(1;2;3)\in Pnên suy ra:1+2a+3b+c=0

    Nhận thấy nếu a=1, b=-1 thì c=0, trường hợp này không thỏa mãn do  c eq 0

    Như vậy ta sẽ có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán lần lượt ứng với các trường hợp a=b=1, a=b=-1 và a=-1.b=1

    Vậy a_1=1, a_2=-1. a_3=-1 suy ra a_1+a_2+a_3=-1.

  • Câu 7: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x - 8\sin x\cos x thỏa mãn F(\pi) = 2?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(2x - 8\sin x\cos x ight)dx}

    = \int_{}^{}{(2x - 4\sin2x)dx} = x^{2} +2\cos2x + C

    Theo bài ra ta có: F(\pi) = 2

    \Rightarrow \pi^{2} + 2 + C = 2 \Leftrightarrow C = - \pi^{2}

    Vậy F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{2x - 1} , biết rằng F(1) = 2. Khi đó giá trị F(2) là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)

    Mà F(1) = 2 \Rightarrow C = 2. Vậy với x > \frac{1}{2} thì F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2

    Vậy F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2.

  • Câu 9: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x\cos x + \frac{1}{x + 1} là:

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x +1}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{\left(\frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x + 1} ight)dx} = - \frac{1}{4}\cos2x +\ln|x + 1| + C

  • Câu 10: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} + 4z + 7 = 0  là:

     Ta có: \Delta ' = {2^2} - 7 = - 3 = 3{i^2}

    \Rightarrowcác căn bậc hai của \triangle '  là \pm i\sqrt 3

    Vậy nghiệm của phương trình là: z = - 2 + \sqrt 3 i,\,\,\,z = - 2 - \sqrt 3 i

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn

    \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = a\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} + b\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C}

    Tính giá trị biểu thức M = a + b.

     I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} }}{{\left( {x + 2} ight) - \left( {x + 1} ight)}}dx} = \int {\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} } ight)dx} }

    => I = \frac{2}{3}.\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} - \frac{2}{3}\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{2}{3}} \\ {b = \dfrac{{ - 2}}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow M = a + b = 0

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) biết f(0) = 1, f'(x) liên tục trên \lbrack 0;3brack và \int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9. Tính f(3)?

    Ta có:

    \int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9 \Leftrightarrow \left. \ f(x) ight|_{0}^{3} = 9 \Rightarrow f(3) - f(0) = 9

    \Rightarrow f(3) = 9 + f(0) = 9 + 1 = 10

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, hãy tính p và q lần lượt là khoảng cách từ điểm M(5; - 2;0) đến mặt phẳng (Oxz) và mặt phẳng (P):3x - 4z + 5 = 0?

    Do mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0 nên

    p = d\left( M;(Oxz) ight) = \frac{| - 2|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2}}} = 2

    Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên

    q = d\left( M;(P) ight) = \frac{|3.5 - 4.0 + 5|}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + ( - 4)^{2}}} = 4

  • Câu 14: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;1),B(0;2;3),C(2;1;0). Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ C là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1;2;2) \Rightarrow \left| \overrightarrow{AB} ight| = 3 \\ \overrightarrow{AC} = (1;1; - 1) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 4;1;3)

    S_{ABC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \frac{\sqrt{26}}{2}

    Mà S_{ABC} = \frac{1}{2}d(C;AB).AB

    \Rightarrow d(C;AB) = \frac{2S_{ABC}}{AB} = \frac{\sqrt{26}}{3}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; −1; 3), B(4; 0; 1), C(−10; 5; 3). Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2;1; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 12;6;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (12;24;24) = 12(1;2;2)

    Vậy \overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;2;2) là đáp án cần tìm.

  • Câu 17: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1). Đúng||Sai

    a) Sai

    Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là ( - 1,5\ ;\ - 1\ ;\ 0,5).

    b) Đúng

    Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là (2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7).

    Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

    \sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} + (0,7 + 0,5)^{2}}

    = \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx 4,6(km)

    c) Sai

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

    \sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} = \frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

    \sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} + 0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)

    Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

    d) Đúng

    Vị trí của chiếc flycam là

    \left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 - 1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\ 0,6).

    Khoảng cách bay của flycam là:

    \sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} = \frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)

    Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1) là

    \sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)

    Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho số phức \frac{{3 - i}}{z} + {\left( {2 - i} ight)^3} = 3 - 13i. Số phức \frac{{{{\left( {z + 12i} ight)}^2}}}{i} + {z^2} là số phức nào sau đây?

     Ta có: {\left( {2 - i} ight)^3} = 2 - 11i \Rightarrow z = \frac{{3 - i}}{{1 - 2i}} = 1 + i

    Suy ra  \frac{{{{\left( {z + 12i} ight)}^2}}}{i} + {z^2} = ((1+i) +12i)^2 :i +(1+i)^2

    =(1+13i)^2 :i +(1+i)^2 =26+168i +2i =26+170i.

  • Câu 19: Nhận biết

    Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + \sqrt 2 i  và 1 - \sqrt 2 i là nghiệm ?

     Ta có \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) + \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 2 =\frac{-b}{a} và  \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) . \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 3 =\frac c a.

    Suy ra 1 \pm \sqrt 2 i là nghiệm của phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0.

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2). Tìm x để các đường thẳng AD;BC;MN cùng song song với một mặt phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2). Tìm x để các đường thẳng AD;BC;MN cùng song song với một mặt phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i;{z_2} = 3 + 2i. Phần thực và phần ảo của số phức {z_1},{z_2} tương ứng bằng:

     Ta có: {z_1}.{z_2} = \left( {1 - i} ight)\left( {3 + 2i} ight) = 5 - i

  • Câu 22: Nhận biết

    Hàm số y = {x^3} + x có nguyên hàm là:

     Ta có: \int {\left( {{x^3} + x} ight)dx} = \int {{x^3}dx} + \int {xdx} = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C

  • Câu 23: Nhận biết

    Số phức z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} có phần thực là?

    2

    Đáp án là:

    Số phức z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} có phần thực là?

    2

     Ta có: z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} = \frac{{\left( {7 - 17i} ight)\left( {5 + i} ight)}}{{\left( {5 - i} ight)\left( {5 + i} ight)}} = \frac{{52 - 78i}}{{26}} = 2 - 3i

    Vậy phần thực của số phức z=2

  • Câu 24: Thông hiểu

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1?

    Phương trình hoành độ giao điểm e^{x} = 2 \Leftrightarrow x = ln2 \in (0;1)

    Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1

    S = \int_{0}^{1}{\left| e^{x} - 2 ight|dx}

    = - \int_{0}^{\ln2}{\left( e^{x} - 2ight)dx} + \int_{\ln2}^{1}{\left( e^{x} - 2 ight)dx}

    = - \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{0}^{\ln2} + \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{\ln2}^{1}

    = - (2 - 2\ln2 - 1) + (e - 2 - 2 +2\ln2)

    = 4\ln2 + e - 5

  • Câu 25: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

     Ta có (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{1 + i}}{{2 + 3i}}\\ \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{5 - i}}{{13}}\;\\ \Leftrightarrow z = - \dfrac{8}{{13}} - \dfrac{1}{{13}}i\;\;\;\end{array}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = a\ln|x - 1| + b\ln|x + 1| + C với a;b là các số hữu tỉ. Khi đó a - b bằng:

    Ta có: \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ight)dx} = \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a - b = 1.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sin x + \cos x\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ 2(x + 1)\ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight. và F(\pi) + F( - 1) = 1. Giá trị biểu thức T = F(2\pi) + F( - 5) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + C_{2}\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    F(\pi) + F( - 1) = 1 \Rightarrow \left( \pi\sin\pi + C_{1} ight) + \left( 1 - 2 + C_{2} ight) = 1 \Rightarrow C_{1} + C_{2} = 2(*)

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 0 tức là

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}F(x) = F(0)

    \Leftrightarrow C_{1} = C_{2}(**). Từ (*) và (**) suy ra C_{1} = C_{2} = 1

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + 1\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + 1\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    T = F(2\pi) + F( - 5) = 17

  • Câu 28: Thông hiểu

    Giá trị của H = \int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{2x + 1} + 3\sqrt{x} ight)dx}?

    Ta có:

    H = \int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{2x + 1} + 3\sqrt{x} ight)dx} = \left. \ \left( \frac{1}{2}\ln|2x + 1| + 2x^{\frac{3}{2}} ight) ight|_{0}^{1} = 2 + \ln\sqrt{3}

  • Câu 29: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; - 2; - 1),B\left( - \frac{4}{3}; - \frac{8}{3};\frac{8}{3} ight). Đường thẳng \Delta đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). Hỏi \Delta đi qua điểm nào dưới đây?

    Ta có: OA = 3,OB = 4,AB = 5

    Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

    \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{AB.x_{O} + OB.x_{A} + OA.x_{B}}{AB + OB + OA} \\ y_{I} = \frac{AB.y_{O} + OB.y_{A} + OA.y_{B}}{AB + OB + OA} \\ z_{I} = \frac{AB.z_{O} + OB.z_{A} + OA.z_{B}}{AB + OB + OA} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{5.0 + 4.2 + 3.\left( - \frac{4}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\ y_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 2) + 3.\left( - \frac{8}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\ z_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 1) + 3.\frac{8}{3}}{5 + 4 + 3} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{1}{3} \\ y_{I} = - \frac{4}{3} \\ z_{I} = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I\left( \frac{1}{3}; - \frac{4}{3};\frac{1}{3} ight)

    \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 8; - 4; - 8) = - 4(2;1;2)

    Phương trình đường thẳng \Delta:\frac{x - \frac{1}{3}}{2} = \frac{y + \frac{4}{3}}{1} = \frac{z - \frac{1}{3}}{2}

    Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Tích phân I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {{x^3} + 2x} ight)\cos x + x{{\cos }^2}x}}{{\cos x}}dx} có giá trị là:

    Ta có: 

    I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {{x^3} + 2x} ight)\cos x + x{{\cos }^2}x}}{{\cos x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{x^3} + 2x} ight)dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx}

    = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + {x^2}} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx}

    Xét {I_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx}

    Đặt \left\{ \begin{gathered} u = x \hfill \\ dv = \cos xdx \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} du = dx \hfill \\ v = \sin x \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow {I_1} = \left. {\left( {x\sin x} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = \frac{\pi }{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}

    \Rightarrow I = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + {x^2}} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} + {I_1} = \frac{{5{\pi ^4}}}{{324}} + \frac{{2{\pi ^2}}}{9} + \frac{\pi }{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight). Giá trị của x và y bằng:

     Ta có:

    {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi \Leftrightarrow {x^2} - 4 + 4xi = 3x + yi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 4 = 3x \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = 16 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 32: Vận dụng

    Biết xe^{x} là một nguyên hàm của hàm số f( - x) trên khoảng ( - \infty; + \infty). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f'(x)e^{x} thỏa mãn F(0) = 1. Giá trị của F( - 1) bằng:

    Ta có: f( - x) = \left( xe^{x} ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Do đó f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{- ( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Suy ra f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Nên f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 - x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)

    \Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x - 2)e^{x} = x - 2

    Vậy F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C

    Từ đó F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C = C + 2

    F(0) = 1 \Rightarrow C = - 1

    Vậy F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1 \Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 = \frac{7}{2}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Số phức z thỏa mãn z = 1 + 2i + 3{i^2} + 4{i^3} + ... + 18{i^{19}}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Ta có:  z - iz = 1 + i + ... + {i^{19}} - 18{i^{20}} = 1.\frac{{1 - {i^{20}}}}{{1 - i}} - 18{i^{20}} = - 18

    \Rightarrow z = \frac{{ - 18}}{{1 - i}} = - 9 - 9i

  • Câu 34: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + mt \\ y = t \\ z = - 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t' \\ y = 2 + 2t' \\ z = 3 - t' \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} ight). Giá trị của m để hai đường thẳng d_{1} và d_{2} cắt nhau là

    Đường thẳng d_{1} đi qua A(1; 0; −1), có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{1}} = (m;1;2)

    Đường thẳng d_{2} đi qua B(1; 2; 3), có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{2}} = ( - 1;2; - 1)

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 5;m - 2;2m + 1) và \overrightarrow{AB} = (0;2;4)

    Hai đường thẳng d và d 0 cắt nhau \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow m = 0

  • Câu 35: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 4x^{3} - 18\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.. Giá trị biểu thức F( - 1) - F(3) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{3} + 2x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{4} - 18x + C_{2}\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 2 tức là

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}F(x) = F(2)

    \Leftrightarrow 12 + C_{1} = - 20 + C_{2} \Leftrightarrow C_{1} - C_{2} = - 32

    Do đó

    F( - 1) - F(3) = \left( 1 + 18 + C_{2} ight) - \left( 27 + 6 + C_{1} ight)

    = - 14 - \left( C_{1} - C_{2} ight) = - 14 + 32 = 18

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {i.z + 3} ight| = \sqrt {\frac{5}{2}}. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = \left| {2{\text{z}} + 1 - 4i} ight| + \left| {z - 1 - 5i} ight| là:

    Ta gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z

    \left| {i.z + 3} ight| = \sqrt {\frac{5}{2}} \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 3} ight)^2} = \frac{5}{2}

    => M(x;y) \in C\left( {I(0;3);R = \sqrt {\frac{5}{2}} } ight)

    Khi đó:

    \begin{matrix} P = \left| {2{\text{z}} + 1 - 4i} ight| + \left| {z - 1 - 5i} ight| \hfill \\ = 2\left| {{\text{z}} + \frac{1}{2} - 2i} ight| + \left| {z - 1 - 5i} ight| \hfill \\ = 2\left| {\overrightarrow {MA} } ight| + \left| {\overrightarrow {MB} } ight| \hfill \\ \end{matrix}

    với A\left( { - \frac{1}{2};2} ight);B\left( {1;5} ight)

    Ta có: \overrightarrow {IA} = \left( { - \frac{1}{2}; - 1} ight),;\overrightarrow {IB} = \left( {1;2} ight) suy ra \overrightarrow {IB} = - 2.\overrightarrow {IA}.

    Theo định lý Stewart ta có:

    \sqrt 5 M{A^2} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}M{B^2} = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\left( {M{I^2} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}.\sqrt 5 } ight)

    \Rightarrow 2M{A^2} + M{B^2} = 15

    (Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ

    \overrightarrow {MI} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MA} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} } ight) = \frac{2}{3}\overrightarrow {MA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {MB}

    Suy ra:

    \begin{matrix} M{I^2} = \dfrac{4}{9}M{A^2} + \dfrac{1}{9}M{B^2} + \dfrac{4}{9}MA.MB.cos\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} } ight) \hfill \\ = \dfrac{4}{9}M{A^2} + \dfrac{1}{9}M{B^2} + \dfrac{4}{9}MA.MB.cos\widehat {AMB} \hfill \\ = \dfrac{4}{9}M{A^2} + \dfrac{1}{9}M{B^2} + \dfrac{4}{9}MA.MB\left( {\dfrac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}} ight) \hfill \\ = \dfrac{2}{3}M{A^2} + \dfrac{1}{3}M{B^2} - \dfrac{2}{9}A{B^2} \hfill \\ \Rightarrow 2M{A^2} + M{B^2} = 3M{I^2} + \dfrac{2}{3}A{B^2} = 15 \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó suy ra:

    P = 2\left| {\overrightarrow {MA} } ight| + \left| {\overrightarrow {MB} } ight|

    = \left( {\sqrt {2.} \sqrt 2 .MA + MB} ight) \leqslant \sqrt {\left( {{{\sqrt 2 }^2} + {1^2}} ight)\left( {2M{A^2} + M{B^2}} ight)} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 .

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.\bar z = 1 và \left| {z - \sqrt 3 + i} ight| = m. Tìm số phần tử của S. 

    2 || Hai || hai

    Đáp án là:

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.\bar z = 1 và \left| {z - \sqrt 3 + i} ight| = m. Tìm số phần tử của S. 

    2 || Hai || hai

    Điều kiện: m > 0.

    Đặt z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight).

    Theo giả thiết z.\bar z = 1 \Leftrightarrow {\left| z ight|^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\left( {{C_1}} ight).

    \left( {{C_1}} ight) là đường tròn tâm O(0; 0), bán kính {R_1} = 1.

    Mặt khác  {R_1} = 1

    \left( {{C_2}} ight) là đường tròn tâm I\left( {\sqrt 3 ; - 1} ight), bán kính {R_2} = m.

    Để tồn tại duy nhất số phức z thì \left( {{C_1}} ight) và \left( {{C_2}} ight) tiếp xúc ngoài hoặc trong.

    TH1: \left( {{C_1}} ight) và \left( {{C_2}} ight) tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi {R_1} + {R_2} = OI \Leftrightarrow 1 + m = 2 \Leftrightarrow m = 1\left( {TM} ight).

    TH2: \left( {{C_1}} ight) và \left( {{C_2}} ight) tiếp xúc trong khi và chỉ khi \left[ \begin{array}{l}{R_1} + OI = {R_2} \Leftrightarrow 1 + 2 = m \Leftrightarrow m = 3\,\,\,\,\,\,\left( {TM} ight)\\OI + {R_2} = {R_1} \Leftrightarrow m + 2 = 1 \Leftrightarrow m = - 1\,\,\,\,\,\,(L)\end{array} ight..

    Vậy S = \left\{ {1,3} ight\}.

  • Câu 38: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}?

    Đặt t = \tan x \Rightarrow dt =\frac{1}{\cos^{2}x}dx

    \int_{}^{}{\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}{e^{t}dt} = e^{t} + C = e^{\tan x} +C

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho số phức {z_1},{z_2} thỏa mãn \left| {z + 2 - i} ight| = 2\left| {z - 1 - i} ight| và {z_1} + {z_2} = 1 + i.

    Tính giá trị biểu thức P = {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

     Ta có \left| {{z_1} + 2 - i} ight| = 2\left| {{z_1} - 1 - i} ight| mà {z_1} + {z_2} = 1 + i

    \Rightarrow \left| {{z_1} + 2 - i} ight| = 2\left| {{z_2}} ight|

    \Rightarrow 4{\left| {{z_2}} ight|^2} = \left( {{z_1} + 2 - i} ight)\left( {\overline {{z_1}} + 2 + i} ight) = {\left| {{z_1}} ight|^2} + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_1}} + \left( {2 + i} ight){z_1} + 5.(1)

    Tương tự ta có

    4{\left| {{z_1}} ight|^2} = {\left| {{z_2}} ight|^2} + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_2}} + \left( {2 + i} ight){z_2} + 5.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 ight)

    Cộng (1) và (2) ta có:

    4P = P + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_1} + {z_2}} + \left( {2 + i} ight)\left( {{z_1} + {z_2}} ight) + 10

    = P + \left( {2 - i} ight)\left( {1 - i} ight) + \left( {2 + i} ight)\left( {1 + i} ight) + 10 = P + 12 \Rightarrow P = 4.

  • Câu 40: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (2;1;0) và \overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2). Tính \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)?

    Ta có: \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}

  • Câu 41: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 2; - 1),B(1;4;3). Độ dài của đoạn AB là

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (0;6;4) khi đó độ dài đoạn AB bằng:

    \left| \overrightarrow{AB} ight| = \sqrt{0^{2} + 6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{56} = 2\sqrt{13}

  • Câu 42: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1;1;2) và B(2; - 1;0) là:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1, - 2, - 2)

    Phương trình đường thẳng AB đi qua B(2; - 1;0) nhận vectơ \overrightarrow{AB} làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{2}.

  • Câu 43: Vận dụng

    Biết z_1 và z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0. Khi đó z_1^2 + z_2^2  bằng:

     Ta có: z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} ight)^2} - 2{z_1}{z_2}

    Áp dụng hệ thức Viet ta có: \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{3}{2}\end{array} ight.

    Suy ra ta có:z_1^2 + z_2^2 = {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} ight)^2} - 2.\frac{3}{2} = - \frac{9}{4}.

  • Câu 44: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^x} + 2x thỏa mãn F\left( 0 ight) = \frac{3}{2}. Tìm F(x).

     F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx = \int {\left( {{e^x} + 2x} ight)dx = {e^x} + {x^2} + C} }

    Theo bài ra ta có:

    F\left( 0 ight) = \frac{3}{2} \Rightarrow {e^x} + {x^2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}

    => F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}

  • Câu 45: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 2;3;1),B(4;2; - 1),C(5; - 2;0). Điểm D(a;b;c) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD. Khi đó giá trị biểu thức H = 2a + b + c có giá trị bằng bao nhiêu?

    Gọi tọa độ điểm D(a;b;c)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (6; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{DC} = (5 - a; - 2 - b; - c) \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: ABCM là hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - a = 6 \\ - 2 - b = - 1 \\ - c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ c = 2 \\ \end{matrix} ight. suy ra điểm D( - 1; - 1;2)

    Khi đó H = 2a + b + c = 2.( - 1) - 1 + 2 = - 1.

  • Câu 46: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD;BC lần lượt lấy các điểm M;N sao cho AM = 3MD;BN = 3NC. Gọi P;Q lần lượt là trung điểm của AD;BC. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Vì M;N lần lượt là trung điểm của PD;QC

    \overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng sai vì \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} \\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BN} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} \\ 3\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{MD} + 3\overrightarrow{DB} + 3\overrightarrow{BN} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow 4\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{DB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} suy ra \overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN} không đồng phẳng.

  • Câu 47: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin^{4}x\cos x??

    Đặt t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx

    \int_{}^{}{\left( \sin^{4}x\cos xight)dx} = \int_{}^{}{t^{4}dt} = \frac{t^{5}}{5} + C =\frac{1}{5}\sin^{5}x + C

  • Câu 48: Vận dụng

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}. Biết rằng giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;\pi) là \sqrt{3}. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\frac{2\cos x}{\sin^{2}x}dx} -\int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx}

    = \int_{}^{}{\frac{2}{\sin^{2}x}d\left(\sin x ight)} - \int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx}

    = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C

    Suy ra F'(x) = f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}

    Trên khoảng (0;\pi) ta có:

    F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2\cos x - 1= 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3}

    Ta có bảng biến thiên

    Giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;\pi) là \sqrt{3} nên t s có:

    F\left( \frac{\pi}{3} ight) = \sqrt{3} \Leftrightarrow - \frac{3\sqrt{3}}{3} + C = \sqrt{3} \Leftrightarrow C = 2\sqrt{3}

    Vậy F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + 2\sqrt{3} \Rightarrow F\left( \frac{\pi}{6} ight) = 3\sqrt{3} - 4.

  • Câu 49: Thông hiểu

    Tìm các số thực x, y thoả mãn:

    3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    => (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

    =>\left\{ \begin{gathered} 3x + y = 2y - 1 \hfill \\ 5x = x - y \hfill \\ \end{gathered} ight.

    => \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{1}{7} \hfill \\ y = \frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 50: Thông hiểu

    Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y = \frac{1}{x};y = 0;x = 1;x = 5. Đường thẳng x = k;1 < k < 5 chia (H) thành hai phần có diện tích S_{1} và S_{2} (hình vẽ bên).

    Tính giá trị k để S_{1} = 2S_{2}?

    Ta có: \frac{1}{x} > 0;x > 1 do đó ta được:

    S_{1} = \int_{1}^{k}{\frac{1}{x}dx} = \left. \ \ln x ight|_{1}^{k} = \ln k

    S_{2} = \int_{k}^{5}{\frac{1}{x}dx} = \left. \ \ln x ight|_{k}^{5} = ln5 - \ln k

    Theo bài ra ta có:

    S_{1} = 2S_{2}

    \Leftrightarrow \ln k = 2\left( ln5 - \ln k ight) \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{25}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 33 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập