Cho hàm số
liên tục trên
và có một nguyên hàm là hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Theo định nghĩa tích phân ta có: .
Cho hàm số
liên tục trên
và có một nguyên hàm là hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Theo định nghĩa tích phân ta có: .
Số phức z thỏa mãn:
là:
Ta áp dụng các quy tắc thực hiện phép tính, có:
Ngoài ra ta có thể sử dụng lệnh CALC trong máy tính để thử các phương án.
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
Cho điểm
và mặt phẳng
. Xét điểm
thay đổi trên
, giá trị lớn nhất của
bằng:
Hình vẽ minh họa
Xét là điểm thỏa mãn
thế thì
hay .
Ta có
=
Dấu " " xảy ra khi
là hình chiếu của
lên
.
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
, trục hoành, hai đường thẳng
(như hình vẽ bên).

Giả sử
là diện tích của hình phẳng
. Chọn công thức đúng?
Dựa vào đồ thị hình vẽ ta thấy:
+ Đồ thị cắt trục hoành tại điểm
+ Trên đoạn , đồ thị ở phía dưới trục hoành nên
+ Trên đoạn , đồ thị ở phía trên trục hoành nên
Do đó:
Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng

Dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên là:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
trên khoảng
thỏa mãn
. Xác định công thức
?
Ta có: (vì
)
Mà
Vậy .
Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
. Số phức z có mô đun bé nhất bằng
Đặt
Khi đó
Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ đến đường thẳng .
Gọi
là 2 nghiệm của phương trình
thỏa mãn
. Biết rằng w là số phức thỏa mãn
. Tìm GTNN của biểu thức
.
Giả sử
Ta có:
=> x = 0
=> Tập hợp điểm biểu diễn là trục tung.
Giả sử A, B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho , ta có
Giả sử và M là điểm biểu diễn cho số phức w, ta có
suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm
bán kính R = 2
Ta có , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra
, vậy

Hai đường thẳng
và
với cắt nhau tại M có tọa độ là :
Để (d’) cắt (d) tại
Cho số phức
. Tìm phần thực a và phần ảo b của z.
Ta có
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Tìm nguyên hàm
.
Ta có:
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Tìm các số thực x, y thoả mãn:
![]()
Theo giả thiết:
=>
=>
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
, F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)
Ta có:
=>
=>
=>
Khi đó:
Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5
=>
=>
=>
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: . Khi đó
.
Vậy
Số phức liên hợp của số phức
là
=
= a - bi
Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên
. Biết rằng đồ thị hàm số
như hình bên. Lập hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hình vẽ minh họa:

Đặt
Gọi là đồ thị của hàm số
Từ đồ thị ta thấy
Ta thấy
=> sai
=> đúng
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Có bao nhiêu điểm
cách đều các mặt phẳng
?
Ta có
Ta có:
Ta có:
Gọi điểm cách đều các mặt phẳng
Từ
Từ
Từ
Từ (1), (3), (5) suy ra , b khác 0 tùy ý.
Như vậy có vô số điểm cách đều bốn mặt phẳng
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
. Từ (*) và (**) suy ra
Do đó
Cho số phức
. Số phức
là số phức nào sau đây?
Ta tính được
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
,
và thỏa mãn hệ thức
với
. Giá trị của
là:
Ta có:
Mặt khác
Vậy
Vì .
Trong hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
là
Gọi là mặt phẳng trung trực của
.
Tọa độ trung điểm của là
Vectơ pháp tuyến của là
Phương trình mặt phẳng
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
có một vectơ chỉ phương có tọa độ là:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
.
Do nên vectơ
cũng là một vectơ chỉ phương của
.
Biết rằng
là một nguyên hàm của hàm số
trên
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
suy ra
Số phức
bằng:
Ta có:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và
. Tìm tham số m để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau?
Ta có:
Để hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau thì
Xét phương trình
trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:
Ta có:
Suy ra:
Cho số phức z thỏa mãn
, gọi
lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
. Tính ![]()
Ta có
Vì nên
.
Suy ra
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
dạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi là điểm sao cho
.
Từ đó:
với là hình chiếu của
trên mặt phẳng
.
Từ đó suy ra dạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
.
Phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng
là:
.
Tọa độ diểm là nghiệm
của hệ
Suy ra .
Vậy, tọa độ điểm cần tìm là
.
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Hàm số
có nguyên hàm là:
Ta có:
Cho hình lập phương
có đường chéo
. Gọi
là tâm hình vuông
và điểm S thỏa mãn: ![]()
. Khi đó độ dài của đoạn
bằng
với
và
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
.
Cho hình lập phương có đường chéo
. Gọi
là tâm hình vuông
và điểm S thỏa mãn:
. Khi đó độ dài của đoạn
bằng
với
và
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Độ dài của đoạn
là
Ta có:
khi đó độ dài đoạn
bằng:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Biết rằng hàm số
có
và đồ thị hàm số
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
. Hàm số
là:
Theo lí thuyết
Ta có:
Khi đó có dạng
Theo đề ta có:
Vậy hàm số là .
Cho hình phẳng
được giới hạn bởi đồ thị các hàm số ![]()
. Tính diện tích hình phẳng
?
Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số
. Tính diện tích hình phẳng
?
Cho hình hộp
có
. Gọi
là trung điểm của đoạn
. Biểu thị
theo ba vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Điểm
sao cho tam giác
có diện tích nhỏ nhất. Tính
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng
và hai điểm
. Điểm
sao cho tam giác
có diện tích nhỏ nhất. Tính
.
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Trong không gian
, hãy viết phương trình của đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
?
Đường thẳng đi qua điểm
và có một véc-tơ chỉ phương là
nên
có phương trình chính tắc là
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Cho hai điểm phân biệt
và một điểm
bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?
Mệnh đề đúng: “Điểm thuộc đường thẳng
khi và chỉ khi
”.
Cho hình phẳng
như hình vẽ (phần tô đậm):

Diện tích hình phẳng
là:
Gọi S là diện tích hình phẳng (H) theo hình vẽ suy ra
Theo công thức tích phân từng phần:
.