Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho số phức {z_1} = 1 + 2i và {z_2} = - 1 - 2i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

     Ta có: {z_1}.{z_2} = - {\left( {1 + 2i} ight)^2} = - \left( {1 + 4i - 4} ight) = 3 - 4i

    Vậy {z_1}.{z_2} = 3 - 4i là khẳng định đúng.

  • Câu 2: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = 3{x^2} + 1

     Ta có:

    \int {\left( {3{x^2} + 1} ight)dx} = \int {3{x^2}dx} + \int {1.dx} = {x^3} + x + C

  • Câu 3: Thông hiểu

    Biết \int_{- 1}^{0}{\frac{3x^{2} + 5x - 1}{x - 2}dx} = a\ln\frac{2}{3} + b. Khi đó P = a + 2b có giá trị bằng:

    Ta có:

    I = \int_{- 1}^{0}{\frac{3x^{2} + 5x - 1}{x - 2}dx} = \int_{- 1}^{0}{(3x + 11)dx} + \int_{- 1}^{0}{\frac{21}{x - 2}dx}

    = \left. \ \left( 3.\frac{x^{2}}{2} +11x ight) ight|_{- 1}^{0} + \left. \ \left( 21\ln|x - 2| ight)ight|_{- 1}^{0}= \frac{19}{2} + 21\ln\frac{2}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 21 \\b = \dfrac{19}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a + 2b = 40

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz: \left( D ight):\,\frac{{x\, - \,{x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_1}}}{{{a_3}}} , \left( d ight):\,\frac{{x\, - \,{x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_2}}}{{{b_3}}}. Với {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3},\,\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3} e \,0 . Gọi \overrightarrow a = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight);\,\,\overrightarrow b = \left( {\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3}} ight)và \overrightarrow {AB} = \left( {\,{x_2}\, - \,{x_1},\,\,{y_2}\, - \,{y_1},\,\,{z_2}\, - \,{z_1}} ight). (D) và (d) song song khi và chỉ khi:

     Để xét điều kiện (D) và (d) cắt nhau ta cẩn kiểm tra rằnng (D) và d cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AB} = 0 \Rightarrow \left( D ight)và (d) cùng nằm trong một mặt phẳng

    Để (D) và d song song, ta sẽ xét tỉ số chứng minh chúng cùng phương rồi kiểm tra rằng d không nằm trong (D):

      {a_1}:{a_2}:{a_3} = {b_1}:{b_2}:{b_3} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}} \Rightarrow \left( D ight)và (d)  cùng phương A\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} ight) \in \left( D ight) vàA otin \left( d ight) \Rightarrow \left( D ight) và (d) song song.

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho tứ giác ABCD có A\left( {0,1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,1,2} ight);\,\,C\left( {1, - 1,0} ight);\,\,\,\left( {0,0,1} ight). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (BCD) và chia tứ diện thành hai khối AMNF và MNFBCD có tỉ số thể tích bằng \frac{1}{27} .

    Tỷ số thể tích hai khối AMNE và ABCD: {\left( {\frac{{AM}}{{AB}}} ight)^3} = \frac{1}{{27}}

    \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow M chia cạnh BA theo tỷ số -2

    \Rightarrow E\left\{ \begin{array}{l}x=\dfrac{{1 + 2.0}}{3} = \dfrac{1}{3}\\y = \dfrac{{1 + 2.1}}{3} = 1\\z = \dfrac{{2 + 2\left( { - 1} ight)}}{3} = 0\end{array} ight.;\,\,

    \overrightarrow {BC} = - 2\left( {0,1,1} ight);\,\,\overrightarrow {BD} = - \left( {1,1,1} ight)

    Vecto pháp tuyến của \left( Q ight):\overrightarrow n = \left( {0,1, - 1} ight)

    \begin{array}{l} \Rightarrow M \in \left( Q ight) \Rightarrow \left( Q ight):\left( {x - \frac{1}{3}} ight)0 + \left( {y - 1} ight)1 + \left( {z - 0} ight)\left( { - 1} ight) = 0\\ \Rightarrow \left( P ight):y - z - 1 = 0\end{array}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t(s) là a(t) = 2t - 7\left( m/s^{2} ight). Biết vận tốc đầu bằng 10(m/s). Hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?

    Ta có:

    Vận tốc của vật được tính theo công thức: v(t) = 10 + t^{2} - 7t(m/s)

    Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức: S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = \frac{t^{3}}{3} - \frac{7}{2}t^{2} + 10t

    Ta có: S'(t) = t^{2} - 7t + 10 \Rightarrow S'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = 5 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}S(0) = 0 \\S(2) = \dfrac{26}{3} \\S(5) = \dfrac{25}{6} \\S(6) = 6 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \underset{\lbrack 0;6brack}{\max S(t) = S(2)} = \dfrac{26}{3}

    Vậy thời điểm chất điểm ở xa nhất về phía bên phải là 2s.

  • Câu 7: Vận dụng

    Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình {z^2} + 2z + 10 = 0. Giá trị của biểu thức A = {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} là:

    Ta có:

    {z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = - 1 + 3i\\{z_2} = - 1 - 3i\end{array} ight.

    Suy ra  A = {\left| { - 1 + 3i} ight|^2} + {\left| { - 1 - 3i} ight|^2} = 20

  • Câu 8: Nhận biết

    Kí hiệu {z_1},{z_2} là hai nghiệm phức của phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0. Tính P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight|

    Phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0 có hai nghiệm {z_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt {11} }}{6}.

    Khi đó P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight| = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện \left| {z - 1} ight| = \sqrt 2. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T = \left| {z + i} ight| + \left| {z - 2 - i} ight|

    Đặt z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight), ta có:

    \left| {z - 1} ight| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {x - 1 + yi} ight| = \sqrt 2

    \Leftrightarrow {\left( {x - 1} ight)^2} + {y^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2x + 1\left( * ight)

    Mặt khác: T = \left| {z + i} ight| + \left| {z - 2 - i} ight| = \left| {x + \left( {y + 1} ight)i} ight| + \left| {x - 2} ight| + \left( {y - 1} ight)i

    = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} ight)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}

    = \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2y + 1} + \sqrt {{x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 5}

    Kết hợp với (*), ta được:

    T = \sqrt {2x + 2y + 2} + \sqrt {6 - 2x - 2y}

    Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được

    T \leqslant \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} ight)\left[ {{{\left( {\sqrt {2x + 2y + 2} } ight)}^2} + {{\left( {\sqrt {6 - 2x - 2y} } ight)}^2}} ight]} = 4

    Vậy \max T = 4

  • Câu 10: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}?

    Đặt t = \tan x \Rightarrow dt =\frac{1}{\cos^{2}x}dx

    \int_{}^{}{\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}{e^{t}dt} = e^{t} + C = e^{\tan x} +C

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho \overrightarrow{MS} = - 2\overrightarrow{MA} và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho \overrightarrow{NB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{NC}. Biết biểu diễn \overrightarrow{MN} = m.\overrightarrow{AB} + n.\overrightarrow{SC} là duy nhất. Tính giá trị biểu thức T = m + n?

    Hình vẽ minh họa

    Theo giả thiết ta có: \overrightarrow{MS} = - 2\overrightarrow{MA}; \overrightarrow{NB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{NC}

    Lấy điểm P trên cạnh AC sao cho \overrightarrow{PC} = - 2\overrightarrow{PA}. Khi đó:

    \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{SC} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 1

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho các số phức z thỏa mãn \left| {{z^2} + 4} ight| = \left| {\left( {z - 2i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)} ight|. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \left| {z + 3 - 2i} ight|.

    3 || ba || Ba

    Đáp án là:

    Cho các số phức z thỏa mãn \left| {{z^2} + 4} ight| = \left| {\left( {z - 2i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)} ight|. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \left| {z + 3 - 2i} ight|.

    3 || ba || Ba

    Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức.

    Có \left| {{z^2} + 4} ight| = \left| {\left( {z - 2i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)} ight| \Leftrightarrow \left| {z - 2i} ight|.\left| {z + 2i} ight| = \left| {\left( {z - 2i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)} ight|

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2i\\\left| {z + 2i} ight| = \left| {z - 1 + 2i} ight|\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0;\;y = 2\\x = \frac{1}{2};\;y \in \mathbb R\end{array} ight.

    Vậy M= (0; 2) hoặc M \in d:x = \frac{1}{2}.

    Gọi I(-3;2) thì P=IM. Khi đó I{M_{\min }} = 3 hoặc I{M_{\min }} = d(I;d) = \frac{7}{2}.

    Vậy {P_{\min }} = 3.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Số phức z = \frac{{3 - 4i}}{{4 - i}} bằng:

     Ta có: z = \frac{{3 - 4i}}{{4 - i}} = \frac{{16}}{{17}} - \frac{{13}}{{17}}i

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho số phức z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) thỏa mãn \left( {1 + i} ight)z + 2\overline z = 3 + 2i. Tính P = a + b

    Giả sử: z = a + bi{\text{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight)

    \left( {1 + i} ight)\left( {a + bi} ight) + 2\left( {a - bi} ight) = 3 + 2i

    \Leftrightarrow 3a - b + \left( {a - b} ight)i = 3 + 2i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3a - b = 3 \hfill \\ a - b = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{2} \hfill \\ b = - \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow P = a + b = - 1

  • Câu 15: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 4i} = 3 - ( - 4i) = 3 + 4i

  • Câu 16: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) = \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{- x} trên \mathbb{R}. Giá trị của biểu thức f\left( F(0) ight) bằng:

    Ta có: \left( F(x) ight)' = \left\lbrack \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x} ightbrack'

    = \left\lbrack - ax^{2} + (2a - b)x + b - c ightbrack e^{- x}

    = \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{- x} suy ra \left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\2a - b = - 5 \\b - c = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\b = 1 \\c = - 1 \\\end{matrix} ight.\Rightarrow F(x) = \left( 2x^{2} + x - 1ight)e^{- x}

    \Rightarrow F(0) = - 1 \Rightarrow f\left( F(0) ight) = f( - 1) = 9e

  • Câu 17: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm A(−3; 0; 1), B(1; −1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng nào cách B một khoảng cách nhỏ nhất?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi d là đường thẳng cần tìm.

    Gọi (Q) là mặt phẳng qua A(−3; 0; 1) và song song với (P): x − 2y + 2z − 5 = 0.

    ⇒ (Q): x − 2y + 2z + 1 = 0 và d ⊂ (Q).

    Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B lên d và (Q) thì BH > BK.

    Do đó d(B; d) nhỏ nhất khi và chỉ khi H ≡ K.

    Đường thẳng BK đi qua B(1; −1; 3) và vuông góc với (Q) \Rightarrow BK:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Lại có: K = BK \cap (Q) \Rightarrow K = \left( \frac{- 1}{9};\frac{11}{9};\frac{7}{9} ight)

    Đường thẳng d qua A và nhận \overrightarrow{AK} = \left( \frac{26}{9};\frac{11}{9};\frac{- 2}{9} ight) làm vectơ chỉ phương nên đường thẳng cần tìm là: \frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}.

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = - \int_{b}^{a}{f(x)dx} nên khẳng định \int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{b}^{a}{f(x)dx} sai.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCCD.A'B'C'D'. Biết A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10). Tọa độ điểm B' là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = ( - 5;4;7) \Rightarrow D( - 3;8; - 7)

    \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D'} = ( - 7;8; - 7) \Rightarrow B'(13;0;17)

  • Câu 20: Nhận biết

    Phương trình {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 có tập nghiệm là:

    Dễ thấy z=-i  là nghiệm của {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0

    Nên {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 \Leftrightarrow \,(z + i)({z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + i = 0\\{z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i = 0\,\,\,(*)\end{array} ight.

    Giải (*), ta được:

    \Delta = {(4 - i)^2} - 12 + 12i = 16 - 1 - 8i - 12 + 12i

    = 3 + 4i = 4 + 2.2.i + {i^2} = {(2 + i)^2}

    Vậy có hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i

    Do đó nghiệm của pt là \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 4 + i + 2 + i}}{2} = - 1 + i\\z = \dfrac{{ - 4 + i - 2 - i - 2}}{2} = - 3\end{array} ight.

    Vậy PT có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = a\ln|x - 1| + b\ln|x + 1| + C với a;b là các số hữu tỉ. Khi đó a - b bằng:

    Ta có: \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ight)dx} = \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a - b = 1.

  • Câu 22: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm F(t) = \int_{}^{}txdt.

    Ta có:

    F(t) = \int_{}^{}txdt = x\int_{}^{}tdt = x.\frac{t^{2}}{2} + C

  • Câu 23: Nhận biết

    Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a;x = b;\left( {a < b} ight) xung quanh trục Ox.

    Ta có : V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx.

  • Câu 24: Vận dụng

    Cho hai hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \lbrack 1;2brack thỏa mãn f(1) = 4 và f(x) = x.f'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}. Giá trị f(2) bằng:

    Chọn f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

    f(x) = xf'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}

    \Leftrightarrow ax^{3} + bx^{2} + cx + d = x\left( 3ax^{2} + 2bx + c ight) - 2x^{3} - 3x^{2}

    Từ đó suy ra \left\{ \begin{matrix} a = 3a - 2 \\ b = 2b - 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy f(x) = x^{3} + 3x^{2} \Rightarrow f(2) = 20

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|

     Ta có \left| z ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{DH}?

    Hình vẽ minh họa

    Vì \overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE} (ADHE là hình vuông) nên \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} ight) = \widehat{BAE} = 90^{0}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Hàm số F(x) là nguyên hàm của f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight). Hỏi hàm số F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Ta có: F'(x) = f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - x = 0 \\ \ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Phương trình F'(x) = 0 có 1 nghiệm đơn x = 1 và một nghiệm kép x = 0 nên hàm số F(x) có 1 điểm cực trị.

  • Câu 28: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x +\sin2x là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x +\sin2x)dx}

    = 2.\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c = x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x + c

  • Câu 29: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x - 6y - 4z + 36 = 0. Gọi A,B,C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục tọa độ Ox,Oy,Oz. Tính thể tích V của khối chóp O.ABC.

    Ta có: (P):3x - 6y - 4z + 36 = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{- 12} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1

    (P) cắt các trục tọa độ tại A( - 12;0;0),B(0;6;0),C(0;0;9)

    Do OA,OB,OC đôi một vuông góc nên V = \frac{1}{6}.OA\ .OB\ OC = \frac{1}{6}.12.6.9 = 108

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho {z_1},{z_2} là hai số phức thỏa mãn \left| {2z - i} ight| = \left| {2 + iz} ight|, biết \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1. Tính giá trị của biểu thức P = \left| {{z_1} + {z_2}} ight|

    Cách 1: + Đặt z = x + yi,x,y \in \mathbb{R} ta có

    \left| {2z - i} ight| = \left| {2 + iz} ight| \Leftrightarrow \left| {2x + \left( {2y - 1} ight)i} ight| = \left| {\left( {2 - y} ight) + xi} ight|

    \sqrt {4{x^2} + {{\left( {2y - 1} ight)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2 - y} ight)}^2} + {x^2}} \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} - 4y + 1 = 4 - 4y + {y^2} + {x^2}

    \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow \left| z ight| = 1 \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = 1

    + Sử dụng công thức: \forall {z_1},{z_2} \in \mathbb{C} ta có

    {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} ight|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} ight|}^2} + {{\left| {{z_2}} ight|}^2}} ight)

    => P = \sqrt 3

    Cách 2.

    + Biến đổi: \left| {iz + 2} ight| = \left| { - i\left( {iz + 2} ight)} ight| = \left| {z - 2i} ight|

    Ta có \left| {2z - i} ight| = \left| {z - 2i} ight| \Rightarrow {\left| {2z - i} ight|^2} = {\left| {z - 2i} ight|^2} \Rightarrow \left| z ight| = 1 \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = 1

    + Sử dụng công thức bình phương mô đun:

    {\left| {m{z_1} + n{z_2}} ight|^2} = {m^2}{z_1}^2 + 2mn{z_1}{z_2}cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) + {n^2}{z_2}^2

    Trong đó \left( {{z_1},{z_2}} ight) là góc \widehat {MON} với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức {z_1},{z_2} trên mặt phẳng phức

    \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1} - {z_2}} ight|^2} = 1

    \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} - 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 1 \Rightarrow cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = \frac{1}{2}

    {P^2} = {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} + 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 3 \Rightarrow P = \sqrt 3

    Vậy {P^2} = {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} + 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 3 \Rightarrow P = \sqrt 3

  • Câu 31: Nhận biết

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua ba điểm A\left( {\,2,\,\,0,\,\,3\,} ight);\,\,\,B\left( {\,4,\,\, - 3,\,\,2\,} ight);\,\,\,C\left( {\,0,\,\,2,\,\,5\,} ight)

    Theo đề bài, ta có cặp vecto chỉ phương của \left( P ight):\overrightarrow {AB} = \left( {2, - 3, - 1} ight);\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,2,2} ight)

    Từ đó, ta suy ra vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 2 VTCP của

    \left( P ight):\overrightarrow n = \left( { - 4, - 2, - 2} ight) = - 2\left( {2,1,1} ight)

    Mp (P) đi qua A (2,0,3) và nhận vecto có tọa độ (2,1,1) làm 1 VTPT có phương trình là:

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)2 + y.1 + \left( {z - 3} ight).1 = 0

    \Leftrightarrow 2x + y + z - 7 = 0

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1}?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{\ln x}{x}\sqrt{\ln^{2}x + 1}dx}

    Đặt \sqrt{ln^{2}x + 1} \Rightarrow t^{2}= \ln^{2}x + 1 \Rightarrow tdt = \frac{\ln x}{x}dx

    Khi đó F(x) = \int_{}^{}{t^{2}dt} =\frac{t^{3}}{3} + C = \frac{\sqrt{\left( \ln^{2}x + 1 ight)^{3}}}{3} +C.

  • Câu 33: Vận dụng

    Gọi M;N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC;BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ \overrightarrow{PI} = k.\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} ight)?

    Hình vẽ minh họa

    Vì M;N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC;BD nên ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM} \\ \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = 2\overrightarrow{IN} \\ \end{matrix} ight..

    Mặt khác \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0} (vì I là trung điểm của MN) suy ra \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}

    Theo bài ra ta có:

    \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD}

    = 4\overrightarrow{PI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{PI}

    \Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4}

  • Câu 34: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x} + x là

    Ta có: \int_{}^{}f(x)dx = \int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C.

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack và f(1) = 0. Giá trị tích phân D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Từ giả thiết ta có:

    f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} = \ln\left\lbrack \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}

    \Leftrightarrow \frac{xf'(x) - f(x)}{x^{2}}.e^{\frac{f(x)}{x}} = x

    \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f(x)}{x} ightbrack'.e^{\frac{f(x)}{x}} = x(*)

    Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + C

    Vì f(1) = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{2} nên e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = x\ln\frac{x^{2} + 1}{2};\forall x \in (0; + \infty)

    D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} =\int_{1}^{5}{x.\ln\frac{x^{2} + 1}{2}dx}(**)

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln\dfrac{x^{2} + 1}{2} \\dv = xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}dx \\v = \dfrac{x^{2} + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Theo công thức tích phân từng phần ta được:

    D = \left. \ \left( \frac{x^{2} +1}{2}.\ln\frac{x^{2} + 1}{2} ight) ight|_{1}^{5} - \int_{1}^{5}{xdx}= 13\ln13 - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{5} = 13\ln13 -12

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho số phức {z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i. Tìm số phức z thỏa mãn \overline z .{z_1} + {z_2} = 0.

     Ta có: \overline z = \frac{{ - {z_2}}}{{{z_1}}} = \frac{{ - 3 - 2i}}{{1 - i}} = - \frac{1}{2} - \frac{5}{2}i \Rightarrow z = - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i

  • Câu 37: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 2022 - 2023i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} và mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 0. Góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (\alpha) bằng

    Ta có:

    ∆ có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;2; - 1)

    (α) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;2)

    \sin\widehat{\left( \Delta;(\alpha) ight)} = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| 1.1 + 2.( - 1) + ( - 1).2 ight|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}}} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \widehat{\left( \Delta;(\alpha) ight)} = 30^{0}.

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm E(1;2;3) và song song với mặt phẳng (Oxy)?

    Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0 nên có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{k} = (0;0;1).

    Phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng

    0(x - 1) + 0(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow z = 3.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc x(m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 4t + x(m/s). Biết từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn thì ô tô di chuyển được 50m. Tìm x?

    Khi dừng hẳn v(t) = - 4t + x = 0 \Rightarrow t = \frac{x}{4}(s)

    Quãng đường xe đi được từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn là:S = \int_{0}^{\frac{x}{4}}{v(t)dt} = \int_{0}^{\frac{x}{4}}{( - 4t + x)dt}

    = \left. \ \left( - 2t^{2} + xt ight) ight|_{0}^{\frac{x}{4}} = \frac{- x^{2}}{8} + \frac{x^{2}}{4} = 50

    \Leftrightarrow x^{2} = 400 \Leftrightarrow x = 20(m/s)

  • Câu 41: Vận dụng cao

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{{x^2}}}\left( {{x^3} - 4x} ight). Hàm số F\left( {{x^2} + x} ight) có bao nhiêu điểm cực trị?

     \begin{matrix} \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]\prime \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight)f\left( {{x^2} + x} ight) \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight){e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}.\left[ {{{\left( {{x^2} + x} ight)}^3} - 4\left( {{x^2} + x} ight)} ight] \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).\left( {{x^2} + x} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {{x^2} + x - 2} ight) \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).x\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]' = 0 có 5 nghiệm đơn

    => Hàm số F\left( {{x^2} + x} ight) có 5 điểm cực trị

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Đáp án là:

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Ta có: \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i  \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}}{{\left( {1 + i} ight)\left( {1 - i} ight)}} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{ - 2i}}{2} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z = 5 \Leftrightarrow z = \frac{5}{{2 + i}} = 2 - i

    \Rightarrow w = 1 + 2z + {z^2} = {\left( {1 + z} ight)^2} = {\left( {3 - i} ight)^2} = 8 - 6i

    \Leftrightarrow \left| w ight| = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 6} ight)}^2}} = 10

  • Câu 43: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

     Ta có \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{( - 1 + 3i)(1 - i)}}{{{{(2 + i)}^2}}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 4i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{(2 + 4i)(3 - 4i)}}{{25}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i

  • Câu 44: Vận dụng

    Cho tam giác ABC vuông tại A và có hai đỉnh B;C nằm trên mặt phẳng (P). Gọi A' là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên (P). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Nếu A nằm trên (P) tức A’ trùng với A thì tam giác A’BC có góc A vuông, nếu A không nằm trên (P) thì

    \overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'A}.\overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C}

    = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC} ight)

    = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'A} = - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AA'} < 0 suy ra góc \widehat{BA'C} là góc tù.

  • Câu 45: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;1;1) và hai mặt phẳng (Q):y = 0,(P):2x - y + 3z - 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, vuông góc với cả hai mặt phẳng (Q),(P)?

    Gọi \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{p} = (2; - 1;3) \\ \overrightarrow{q} = (0;1;0) \\ \end{matrix} ight. lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

    Khi đó mặt phẳng (R) nhận vectơ \overrightarrow{\omega} = - \left\lbrack \overrightarrow{p};\overrightarrow{q} ightbrack = (3;0; - 2) làm một vectơ pháp tuyến.

    Do đó (R) có phương trình 3x - 2z - 1 = 0.

  • Câu 46: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (Oyz)?

    Ta có: A(x;y;z) \in (Oyz) \Rightarrow x = 0 nên điểm cần tìm là Q(0;4; - 1).

  • Câu 47: Vận dụng cao

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Đáp án là:

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Cả hai bên cầu có tất cả 2.10 = 20 nhịp cầu.

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu, đỉnh I(25;2), điểm A(50;0)

    Gọi Parabol phía trên có phương trình: \left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c = ax^{2} + bx (vì O \in \left( P_{1} ight))

    \Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx - \frac{1}{5} là phương trình parabol phía dưới

    (Vì bề dày nhịp cầu là 20cm = \frac{1}{5}m)

    Ta có I,A \in \left( P_{1} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 25^{2}a + 25b = 2 \\ 50^{2}a + 50b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{2}{625} \\ b = \frac{4}{25} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\ \ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x - \frac{1}{5}

    Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi y_{1};y_{2} và trục Ox nên ta có:

    S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx + \int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}

    Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là S.0,2 \approx 1,985m^{3}.

    Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là V = 20.S.0,2 \approx 40m^{3}

  • Câu 48: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( - 1;2;0),B(0;0; - 2),C(1;0;1),D(2;1;- 1). Hai điểm M;N lần lượt nằm trên đoạn BC và BD sao cho 2\frac{BC}{BM} + 3\frac{BD}{BN} = 10 và \frac{V_{ABMN}}{V_{ABCD}} =\frac{6}{25}. Phương trình mặt phẳng (AMN) có dạng ax + by + cz + 32 = 0. Tính S = a - b + c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( - 1;2;0),B(0;0; - 2),C(1;0;1),D(2;1;- 1). Hai điểm M;N lần lượt nằm trên đoạn BC và BD sao cho 2\frac{BC}{BM} + 3\frac{BD}{BN} = 10 và \frac{V_{ABMN}}{V_{ABCD}} =\frac{6}{25}. Phương trình mặt phẳng (AMN) có dạng ax + by + cz + 32 = 0. Tính S = a - b + c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 49: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn iz = 2 + i. Khi đó phần thực và phần ảo của z là

     Ta có: z = \frac{{2 + i}}{i} = 1 - 2i

  • Câu 50: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{- 1} không đi qua điểm nào dưới đây?

    Ta có \frac{- 1 - 1}{2} eq \frac{2 + 2}{1} eq \frac{0}{- 1} nên điểm ( - 1;2;0) không thuộc đường thẳng \Delta.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 97 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập