Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3^{x};y = 0;x = 0;x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có: S = \int_{0}^{2}{\left| 3^{x} ight|dx} = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} - 2x - 2 và y = \frac{x - 4}{2 - x}?

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{2} - 2x - 2 = \frac{x - 4}{2 - x}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ \left( x^{2} - 2x - 2 ight)(2 - x) = x - 4 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ x\left( x^{2} - 4x + 3 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Diện tích hình giới hạn là

    S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 2 - \frac{x - 4}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 2 - \frac{x - 4}{2 - x} ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 1 - \frac{2}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 1 - \frac{2}{x - 2} ight|dx}

    = \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3}- x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight) ight|_{0}^{1} ight| + \left| \left.\ \left( \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight)ight|_{1}^{3} ight|

    = \frac{5}{3} - 2\ln2 + \frac{4}{3} = 3 -\ln4

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(2;3;0) và mặt phẳng (P):x + y + z - 7 = 0. Tìm hoành độ x_{M} của điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}ight| đạt giá trị nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(2;3;0) và mặt phẳng (P):x + y + z - 7 = 0. Tìm hoành độ x_{M} của điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}ight| đạt giá trị nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Vận dụng cao

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}}, F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)

     Ta có: f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{{x^2}}} + \frac{C}{{x + 1}} = \frac{{\left( {A + C} ight){x^2} + (A + B)x + B}}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}}

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A + C = 0} \\ {B = 1} \\ {A + B = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = - 1} \\ {B = 1} \\ {B = 1} \end{array}} ight.

    => F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx = \int {\left( { - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} }

    => F\left( x ight) = - \ln \left| x ight| - \frac{1}{x} + \ln \left| {x + 1} ight| + C = \ln \left| {\frac{{x + 1}}{x}} ight| - \frac{1}{x} + C

    Khi đó: F\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_1}{\text{ khi x}} \in \left( {0; + \infty } ight)} \\ {\ln \left( {\dfrac{{ - x - 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_2}{\text{ khi x}} \in \left( { - 1; + \infty } ight)} \\ {\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_3}{\text{ khi x}} \in \left( { - \infty ; - 1} ight)} \end{array}} ight.

    Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5

    => \left( {\ln 2 - 1 + {C_1}} ight) + \left( {\ln \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + {C_2}} ight) = \frac{1}{2}

    => {C_1} + {C_2} = 1

    => F\left( 2 ight) + F\left( { - 3} ight) = \left( {\ln \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + {C_1}} ight) + \left( {\ln \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + {C_1}} ight) = \frac{5}{6}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sin x + \cos x\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ 2(x + 1)\ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight. và F(\pi) + F( - 1) = 1. Giá trị biểu thức T = F(2\pi) + F( - 5) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + C_{2}\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    F(\pi) + F( - 1) = 1 \Rightarrow \left( \pi\sin\pi + C_{1} ight) + \left( 1 - 2 + C_{2} ight) = 1 \Rightarrow C_{1} + C_{2} = 2(*)

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 0 tức là

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}F(x) = F(0)

    \Leftrightarrow C_{1} = C_{2}(**). Từ (*) và (**) suy ra C_{1} = C_{2} = 1

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + 1\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + 1\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    T = F(2\pi) + F( - 5) = 17

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có:

     Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có vô số vecto chỉ phương.

  • Câu 7: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 4i} = 3 - ( - 4i) = 3 + 4i

  • Câu 8: Vận dụng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (91;75;0) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 294,92 km.

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (91;75;0) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 294,92 km.

    Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

    Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.

    Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)

    Ta có \overrightarrow{OH} = ( - 688 + 91t; - 185 + 75t;8)

    OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0

    ⟺13906t - 76483 = 0 ⟺ t = \frac{11}{2}.

    Suy ra H(\frac{- 375}{2};\frac{455}{2};8).

    Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:

    OH = \sqrt{\left( \frac{- 375}{2} ight)^{2} + \left( \frac{455}{2} ight)^{2} + 8^{2})} \approx 294,92(km).

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn: \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i. Môđun của số phức w = \left( {2 - i} ight)z - 1 là?

     Ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i \Rightarrow z\left( {1 - i} ight) = 2

    \Leftrightarrow z = 1 + i \Rightarrow w = \left( {2 - i} ight)\left( {1 + i} ight) - 1 = 2 + i

    \left| w ight| = \sqrt 5

  • Câu 10: Thông hiểu

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} trên khoảng ( - 1; + \infty) là:

    Ta có: f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}}

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}} ight)dx}= 2\ln|x + 1| +\frac{3}{x + 1} + C

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Đáp án là:

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Ta có: \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i  \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}}{{\left( {1 + i} ight)\left( {1 - i} ight)}} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{ - 2i}}{2} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z = 5 \Leftrightarrow z = \frac{5}{{2 + i}} = 2 - i

    \Rightarrow w = 1 + 2z + {z^2} = {\left( {1 + z} ight)^2} = {\left( {3 - i} ight)^2} = 8 - 6i

    \Leftrightarrow \left| w ight| = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 6} ight)}^2}} = 10

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn iz = 2 + i. Khi đó phần thực và phần ảo của z là

     Ta có: z = \frac{{2 + i}}{i} = 1 - 2i

  • Câu 13: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 14: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x}}dx}

    = \int_{}^{}{x^{- \frac{3}{2}}dx=}\dfrac{x^{- \frac{1}{2}}}{- \dfrac{1}{2}} + C = - \frac{2}{\sqrt{x}} +C.

  • Câu 15: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

     Ta có (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{1 + i}}{{2 + 3i}}\\ \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{5 - i}}{{13}}\;\\ \Leftrightarrow z = - \dfrac{8}{{13}} - \dfrac{1}{{13}}i\;\;\;\end{array}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tìm các số thực x, y thoả mãn:

    3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    => (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

    =>\left\{ \begin{gathered} 3x + y = 2y - 1 \hfill \\ 5x = x - y \hfill \\ \end{gathered} ight.

    => \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{1}{7} \hfill \\ y = \frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, biết mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;4;9) và cắt các tia dương Ox,Oy,Oz lần lượt tại ba điểm A,B,C khác gốc tọa độ O, sao cho OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Vì mặt phẳng (P) cắt các tia dương của trục Ox,Oy,Oz nên ta có

    \frac{x}{OA} + \frac{y}{OB} + \frac{z}{OC} = 1

    Ta có M \in (P) \Rightarrow \frac{1}{OA} + \frac{4}{OB} + \frac{9}{OC} = 1

    Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

    (OA + OB + OC)\left( \frac{1}{OA} + \frac{4}{OB} + \frac{9}{OC} ight)

    \geq \left( \sqrt{OA}.\frac{1}{\sqrt{OA}} + \sqrt{OB}.\frac{2}{\sqrt{OB}} + \sqrt{OC}.\frac{3}{\sqrt{OC}} ight)^{2} = 36

    \Rightarrow OA + OB + OC \geq 36

    Dấu bằng xảy ra khi: \left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{OA} + \dfrac{4}{OB} + \dfrac{9}{OC} = 1 \\OA = \dfrac{OB}{2} = \dfrac{OC}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}OA = 6 \\OB = 12 \\OC = 18 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra độ dài ba cạnh OA;OB;OC theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho 3 vectơ \vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c đều khác \vec{0}. Ba vectơ \vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c đồng phẳng khi và chỉ khi:

     Áp dụng Điều kiện để 3 vecto đồng phẳng là:

    • \vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c cùng vuông góc với \vec{d} eq\vec{0} và \vec{d} có giá vuông góc với mp(P)
  • Câu 19: Vận dụng

    Cho số phức w = x + yi;\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight) thoả điều kiện \left| {{w^2} + 4} ight| = 2\left| w ight|.

    Đặt P = 8\left( {{x^2} - {y^2}} ight) + 12. Khẳng định nào sau đây đúng?

     Ta có:

    \left| {{w^2} + 4} ight| = 2\left| w ight| \Leftrightarrow \left| {{x^2} - {y^2} + 4 + 2xyi} ight| = 2\left| {x + yi} ight|

    \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - {y^2} + 4} ight)^2} + 4{x^2}{y^2} = 4\left( {{x^2} + {y^2}} ight)

    \begin{matrix} \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} + 16 + 2{x^2}{y^2} + 4{x^2} - 12{y^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} - 4{x^2} - 4{y^2} + 4 + 8\left( {{x^2} - {y^2}} ight) + 12 = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 8\left( {{x^2} - {y^2}} ight) + 12 = - \left( {{x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} - 4{x^2} - 4{y^2} + 4} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow P = - {\left( {{x^2} + {y^2} - 2} ight)^2} = - {\left( {{{\left| {\text{w}} ight|}^2} - 2} ight)^2}. \hfill \\ \end{matrix}

    Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì \left| {\text{w}} ight| = \left| {\overline {\text{w}} } ight|.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Hàm số F\left( x ight) = 2\sin x - 3\cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

     F'\left( x ight) = f\left( x ight) = 2\cos x + 3\sin x

  • Câu 21: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;0;1). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Vì tọa độ điểm A(3;0;1) có x = 3;y = 0;z = 1 nên A \in (Oxz).

  • Câu 22: Vận dụng

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

    Đáp án là:

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

     Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn z^2+z+1=0.

    Do đó ta có z^2+z+1=0

    \Leftrightarrow z+\dfrac{1}{z}=-1 \Rightarrow z^2+\dfrac{1}{z^2}=-1

    Ta cũng có z^3+\dfrac{1}{z^3}=(z+\dfrac{1}{z})^3-3z.\dfrac{1}{z}.(z+\dfrac{1}{z})=2

    và z^4+\dfrac{1}{z^4}=(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2-2=-1

    Vậy P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 =30.

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Tích phân I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {{x^3} + 2x} ight)\cos x + x{{\cos }^2}x}}{{\cos x}}dx} có giá trị là:

    Ta có: 

    I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {{x^3} + 2x} ight)\cos x + x{{\cos }^2}x}}{{\cos x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{x^3} + 2x} ight)dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx}

    = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + {x^2}} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx}

    Xét {I_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx}

    Đặt \left\{ \begin{gathered} u = x \hfill \\ dv = \cos xdx \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} du = dx \hfill \\ v = \sin x \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow {I_1} = \left. {\left( {x\sin x} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = \frac{\pi }{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}

    \Rightarrow I = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + {x^2}} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} + {I_1} = \frac{{5{\pi ^4}}}{{324}} + \frac{{2{\pi ^2}}}{9} + \frac{\pi }{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz: \left( D ight):\,\frac{{x\, - \,{x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_1}}}{{{a_3}}} , \left( d ight):\,\frac{{x\, - \,{x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_2}}}{{{b_3}}}. Với {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3},\,\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3} e \,0 . Gọi \overrightarrow a = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight);\,\,\overrightarrow b = \left( {\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3}} ight)và \overrightarrow {AB} = \left( {\,{x_2}\, - \,{x_1},\,\,{y_2}\, - \,{y_1},\,\,{z_2}\, - \,{z_1}} ight). (D) và (d) chéo nhau khi và chỉ khi:

     Để xét điều kiện (D) và (d) có chéo nhau hay không, ta cẩn kiểm tra rằng (D) và d không cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:

    \left[ {\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b } ight].\,\overrightarrow {AB} \, e \,\,0

    Suy ra (D) và (d) chéo nhau.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (x - 1)e^{2x}, trục hoành; x = 0 và x = 2 bằng:

    Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = (x - 1)e^{2x} và trục hoành là nghiệm của phương trình: (x - 1)e^{2x} = 0 \Leftrightarrow x = 1

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là:

    S = \int_{0}^{2}{\left| (x - 1)e^{2x} ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{\left\lbrack (1 - x)e^{2x} ightbrack dx} + \int_{1}^{2}{\left\lbrack (x - 1)e^{2x} ightbrack dx}

    = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{(1 - x)d\left( e^{2x} ight)} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{(x - 1)d\left( e^{2x} ight)}

    = \frac{1}{2}\left. \ (1 - x)e^{2x} ight|_{0}^{1} + \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} + \frac{1}{2}\left. \ (x - 1)e^{2x} ight|_{1}^{2} - \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{e^{2x}dx}

    = \frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\left. \ e^{2x} ight|_{0}^{1} - \frac{1}{4}\left. \ e^{2x} ight|_{1}^{2}

    = \frac{e^{4}}{4} + \frac{e^{2}}{2} - \frac{3}{4}

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - 2y + z + 2017 = 0, véc tơ nào trong các vectơ được cho dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

    Ta có phương trình mặt phẳng (P):2x - 2y + z + 2017 = 0 nên có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 2;1)

    Mặt khác \overrightarrow{n} = (4; - 4;2) cùng phương với \overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 2;1)

    Do đó \overrightarrow{n} = (4; - 4;2) là một vectơ pháp tuyến của (P):2x - 2y + z + 2017 = 0.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Số phức liên hợp của số phức 2022i - 2023 là

     \overline z = \overline {a + bi} = a - bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {2022i - 2023} = \overline { - 2023 + 2022i} = - 2023 - 2022i

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 2 + i,{z_2} = 3 - 4i. Môđun của số phức \left( {{z_1} - {z_2}} ight) là:

     Ta có: \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {2 + i - 3 + 4i} ight| = \left| { - 1 + 5i} ight| = \sqrt {26}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo AC và BD trùng với gốc tọa độ O. Các véc tơ \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OS} lần lượt cùng hướng với các véc tơ \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} và OA = 3, OS = 2. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Tọa độ của véc tơ \overrightarrow{OM} là

    Hình vẽ minh họa

    Ta có OB = \sqrt{AB^{2} - OA^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4.

    Khi đó \overrightarrow{OB} = (4;0;0),\ \ \ \overrightarrow{OS} = (0;0;2).

    Vì M là trung điểm của SB nên ta có

    \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OB} ight) = (2;0;1).

  • Câu 30: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;6;0),B(0;0; - 2);C( - 3;0;0). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A;B;C là:

    Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

    Ta có \frac{x}{3} + \frac{y}{- 6} + \frac{z}{2} = 1

    \Leftrightarrow - 2x + y - 3z = 6

    \Leftrightarrow 2x - y + 3z + 6 = 0

  • Câu 31: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{2x}.3^{x}.7^{x} là:

    Ta có: \int_{}^{}{\left(2^{2x}.3^{x}.7^{x} ight)dx =}\int_{}^{}{\left( 84^{x} ight)dx}=\frac{84^{x}}{\ln84} + C

  • Câu 32: Nhận biết

    Xác định phần ảo của số phức z = 18 - 12i.

     Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hàm y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 1;3brack. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f'(x) và đường thẳng y = x (phần gạch chéo trong hình vẽ):

    Diện tích hình (H) bằng:

    Diện tích phần gạch chéo là:

    S = \int_{1}^{2}{\left\lbrack f'(x) - x ightbrack dx} - \int_{2}^{3}{\left\lbrack f'(x) - x ightbrack dx}

    = \left. \ \left\lbrack f(x) - \frac{x^{2}}{2} ightbrack ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack f(x) - \frac{x^{2}}{2} ightbrack ight|_{2}^{3}

    = 2f(2) - f(1) - f(3) + 1.

  • Câu 34: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(1;2;3) và có véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (2;4;6). Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng \Delta?

    Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 35: Vận dụng

    Tích phân I = \int\limits_0^1 {\frac{a}{{\sqrt {3{x^2} + 12} }}} dx có giá trị là:

    Ta có:

    I = \int\limits_0^1 {\frac{a}{{\sqrt {3{x^2} + 12} }}} dx = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}} dx

    Đặt u = x + \sqrt {{x^2} + 4} \Rightarrow du = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 4} }}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}dx \Rightarrow \frac{{du}}{u} = \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}

    I = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\int\limits_2^{1 + \sqrt 5 } {\frac{1}{u}du} = \left. {\frac{a}{{\sqrt 3 }}\left( {\ln u} ight)} ight|_2^{1 + \sqrt 5 } = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} ight|

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện \left| {z - 1} ight| = \sqrt 2. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T = \left| {z + i} ight| + \left| {z - 2 - i} ight|

    Đặt z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight), ta có:

    \left| {z - 1} ight| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {x - 1 + yi} ight| = \sqrt 2

    \Leftrightarrow {\left( {x - 1} ight)^2} + {y^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2x + 1\left( * ight)

    Mặt khác: T = \left| {z + i} ight| + \left| {z - 2 - i} ight| = \left| {x + \left( {y + 1} ight)i} ight| + \left| {x - 2} ight| + \left( {y - 1} ight)i

    = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} ight)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}

    = \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2y + 1} + \sqrt {{x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 5}

    Kết hợp với (*), ta được:

    T = \sqrt {2x + 2y + 2} + \sqrt {6 - 2x - 2y}

    Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được

    T \leqslant \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} ight)\left[ {{{\left( {\sqrt {2x + 2y + 2} } ight)}^2} + {{\left( {\sqrt {6 - 2x - 2y} } ight)}^2}} ight]} = 4

    Vậy \max T = 4

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Gọi điểm I \in CC' sao cho \overrightarrow{C'I} = \frac{1}{3}\overrightarrow{C'C}, G là trọng tâm tứ diện BAB'C'. Biểu diễn vectơ \overrightarrow{IG} qua các vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Đáp án nào dưới đây đúng?

    Ta có G là trọng tâm của tứ diện BA'B'C' nên

    4\overrightarrow{IG} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA'} + \overrightarrow{IB'} + \overrightarrow{IC'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CB} ight) + \left( \overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'A'} ight) + \left( \overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'B'} ight) + \overrightarrow{IC'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \overrightarrow{IC'} + \left( 2\overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{IC} ight) + \left( \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{C'B'} ight) + \overrightarrow{C'A'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{0} + 2\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AA'} + 2\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + 2\left( \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} ight) - \overrightarrow{c}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)

  • Câu 38: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} + 4z + 7 = 0  là:

     Ta có: \Delta ' = {2^2} - 7 = - 3 = 3{i^2}

    \Rightarrowcác căn bậc hai của \triangle '  là \pm i\sqrt 3

    Vậy nghiệm của phương trình là: z = - 2 + \sqrt 3 i,\,\,\,z = - 2 - \sqrt 3 i

  • Câu 39: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)(x + 2)?

    Ta có: f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)dx} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C

  • Câu 40: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x +\sin2x là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x +\sin2x)dx}

    = 2.\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c = x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x + c

  • Câu 41: Nhận biết

    Cho số phức {z_1} = 1 + 2i và {z_2} = - 1 - 2i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

     Ta có: {z_1}.{z_2} = - {\left( {1 + 2i} ight)^2} = - \left( {1 + 4i - 4} ight) = 3 - 4i

    Vậy {z_1}.{z_2} = 3 - 4i là khẳng định đúng.

  • Câu 42: Nhận biết

    Phương trình {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 có tập nghiệm là:

    Dễ thấy z=-i  là nghiệm của {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0

    Nên {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 \Leftrightarrow \,(z + i)({z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + i = 0\\{z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i = 0\,\,\,(*)\end{array} ight.

    Giải (*), ta được:

    \Delta = {(4 - i)^2} - 12 + 12i = 16 - 1 - 8i - 12 + 12i

    = 3 + 4i = 4 + 2.2.i + {i^2} = {(2 + i)^2}

    Vậy có hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i

    Do đó nghiệm của pt là \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 4 + i + 2 + i}}{2} = - 1 + i\\z = \dfrac{{ - 4 + i - 2 - i - 2}}{2} = - 3\end{array} ight.

    Vậy PT có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x - 6y - 4z + 36 = 0. Gọi A,B,C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục tọa độ Ox,Oy,Oz. Tính thể tích V của khối chóp O.ABC.

    Ta có: (P):3x - 6y - 4z + 36 = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{- 12} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1

    (P) cắt các trục tọa độ tại A( - 12;0;0),B(0;6;0),C(0;0;9)

    Do OA,OB,OC đôi một vuông góc nên V = \frac{1}{6}.OA\ .OB\ OC = \frac{1}{6}.12.6.9 = 108

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Biết {z_1},{z_2} = 5 - 4i và {z_3} là ba nghiệm của phương trình {z^3} + b{z^2} + cz + d = 0\,\,\,\left( {b,c,d \in \mathbb R} ight),

    trong đó {z_3} là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức w = {z_1} + 3{z_2} + 2\,{z_3} bằng:

     Xét phương trình {z^3} + b{z^2} + cz + d = 0\,\,\,\left( {b,c,d \in \mathbb R} ight) là phương trình bậc ba với hệ số thực nên luôn có một nghiệm thực là z_1.

    Do đó phương trình tương đương với:

    \left( {z - {z_1}} ight)\left( {{z^2} + a'z + b'} ight) = 0\,\,\,\left( {a',b' \in \mathbb R} ight)

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = {z_1}\,\, \in \mathbb R\\{z^2} + a'z + b' = 0\,\,\,\left( 1 ight)\end{array} ight..

    Nên {z_3},{z_2} = 5 - 4i là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (1).

    Suy ra .{z_3} = 5 + 4i

    Khi đó : w = {z_1} + 3{z_2} + 2\,{z_3} = {z_1} + 3.\left( {5 - 4i} ight) + 2.\left( {5 + 4i} ight) = \left( {25 + 2{z_3}} ight) - 4i.

    Vậy phần ảo của w = {z_1} + 3{z_2} + 2\,{z_3} là -4.

  • Câu 45: Thông hiểu

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}} là:

    Đặt t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx

    \Rightarrow \int_{}^{}{\left( \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{t^{2} + 1}{t} ight)2tdt} = \int_{}^{}{\left( 2t^{2} + 2 ight)dt} = \frac{2t^{3}}{3} + 2t + C

    = \frac{2(x + 1)\sqrt{x + 1}}{3} + 2\sqrt{x + 1} + C = \frac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C

  • Câu 46: Vận dụng

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x + 1}{x^{3} + 2x^{3} + x^{2}} trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn F(1) = \frac{1}{2}. Giá trị của biểu thức T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019) bằng:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{2x + 1}{x^{2}(x + 1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} ight)dx}

    Suy ra F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + C mà F(1) = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1 .Hay F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + 1

    Ta có:

    T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019)

    T = \left( - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + 4 ight) + ... + \left( - \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} + 1 ight)

    T = - 1 + \frac{1}{2020} + 2019.1 = 2018 + \frac{1}{2020} = 2018\frac{1}{2020}

  • Câu 47: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (5;3; - 2);\overrightarrow{b} = (m; - 1;m + 3). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} là góc tù?

    Ta có: \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{3m - 9}{\sqrt{38}.\sqrt{2m^{2} + 6m + 10}}

    Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} là góc tù khi và chỉ khi

    \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) < 0 \Leftrightarrow \frac{3m - 9}{\sqrt{38}.\sqrt{2m^{2} + 6m + 10}} < 0

    \Leftrightarrow 3m - 9 < 0 \Leftrightarrow m < 3

    Mà m \in \mathbb{Z}^{+} \Rightarrow m = \left\{ 1;2 ight\}

    Suy ra có 2 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Vậy đáp án cần tìm là 2.

  • Câu 48: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; 1), B (0; 3; −1). Điểm M nằm trên mặt phẳng (P) : 2x + y + z − 4 = 0 sao cho MA + MB nhỏ nhất là:

    Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng (P) : 2x + y + z − 4 = 0 ta được: (2.2 + 1 + 1 − 4) (2.0 + 3 − 1 − 4) = −4 < 0

    Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).

    Vậy MA + MB ≥ AB dấu “ = ” xảy ra khi M = AB ∩ (P).

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 2;2; - 2) chọn vtcp của đường thẳng AB: \overrightarrow{u} = (1; - 1;1).

    Vậy phương trình đường thẳng AB: \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Tọa độ (x; y; z) của M là nghiệm hệ:

    \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2x + y + z - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2(2 + t) + (1 - t) + (1 + t) - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \\ t = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(1;2;0)

  • Câu 49: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC có A\left( {1,2, - 3} ight);\,\,B\left( {2, - 1,4} ight);\,\,\,C\left( {3, - 2,5} ight).

    Viết phương trình tổng quát của cạnh AC.

    (AC) là đường thẳng đi qua 2 điểm A và C nên nhận \overrightarrow {AC} = 2\left( {1, - 2,4} ight) làm 1 VTCP.

    (AC) đi qua C (3,-2,5) và có 1 VTCP là (1,-2,4) có phương trình chính tắc:

    \begin{array}{l}x - 3 = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 5}}{4}\\ \Rightarrow PTTQ\,\,\,(AC):\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\4x - z - 7 = 0\end{array} ight. \vee \left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\2y + z - 1 = 0\end{array} ight.\end{array}

     

  • Câu 50: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx} = \left. {\left( { - \cos x - \sin x} ight)} ight|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = - 2

    Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 34 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập