Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Tứ giác
là hình bình hành biết tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Cho hai số phức z, w thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ![]()
Cách 1 :
Giả sử
(1)
Suy ra x + y = 0
Từ (1) ta có I(3; 2), bán kính r = 1. Gọi H là hình chiếu của I trên .
Đường thẳng HI có PTTS:
Vậy
Cách 2 :
điều này cho thấy M(z) đang nằm trên hình tròn tâm I(3; 2) bán kính bằng 1.
điều này cho thấy N(w) đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng
là trung trực của đoạn AB với
(Minh hoạ như hình vẽ)

Tìm một nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Đặt
Khi đó .
Trong không gian
, cho vectơ
. Khi đó tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Tính thể tích
của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quanh trục
:
Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quanh trục
là:
.
Cho hàm số
liên tục trên
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
bằng
Ta có:
Trong không gian Oxyz, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
qua A và nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
.
Tính thể tích của một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ là một tam giác đều có cạnh bằng ![]()
Diện tích thiết diện là
Ta có thể tích cần tính là
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ
lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho hình thang
vuông tại
và
. Biết rằng tọa độ các điểm
và hình thang
có diện tích bằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hình thang
vuông tại
và
. Biết rằng tọa độ các điểm
và hình thang
có diện tích bằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Biết luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
và thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
Do . Vì luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
nên
không phải là hàm hằng.
Từ giả thiết
Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân ta được:
với C là hằng số.
TH1: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
TH2: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là .
Trong không gian
, cho điểm
. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục
lần lượt tại
sao cho
?
Từ giả thiết, ta có thể coi (với
).
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là .
Do (P) đi qua M(−1; 0; 3) nên .
Theo trên có c = ±a, kết hợp với phương trình vừa thu được, ta suy ra a = −1, c = 1.
Cũng theo trên, b = ±a, nên có 2 giá trị của b.
Suy ra có 2 bộ (a, b, c) thỏa mãn, hay có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu đề bài.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x)
Mặt khác
=>
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Cho giá trị của tích phân
,
. Giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua hai điểm: ![]()
Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên VTCP của đường thẳng d chính là hay ta có:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có .
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng
?
Ta thấy tọa độ điểm thỏa mãn phương trình mặt phẳng
nên điểm
nằm trên
.
Cho biểu thức
với
. Biểu thức M có giá tri là?
Ta có: .
Khi đó:
.
Trong không gian tọa độ
cho các điểm
. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm trên?
Hình vẽ minh họa
Ta có: . Suy ra
là hình bình hành.
nên
là hình chóp đỉnh E có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh
.
Do đó có 5 mặt phẳng cách đều 5 điểm là:
Mặt phẳng qua 4 trung điểm của 4 cạnh bên: (GHIK)
Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EC, ED, AD, BC: (IKQN)
Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EB, EA, AD, BC: (HGQN)
Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EA, ED, CD, AB: (GKPM)
Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EB, EC, CD, AB: (HIPM)
Trong không gian
, cho mặt phẳng
, mặt phẳng
chứa trục
và đi qua điểm
. Tìm tham số m để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau?
Ta có
Mặt phẳng chứa trục
và đi qua điểm
⇒ (Q) có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến
Để hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau thì
Cho số phức
. Tìm số phức
?
Ta có:
Cho hai điểm
và
. Tọa độ điểm
đối xứng với
qua
là:
Vì điểm đối xứng với
qua
nên
là trung điểm của
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Cho số phức
. Tìm phần thực a và phần ảo b của z.
Ta có
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
và thỏa mãn
. Biết rằng
và
. Tích phân
bằng bao nhiêu?
Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên
và thỏa mãn
. Biết rằng
và
. Tích phân
bằng bao nhiêu?
Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Gọi .
Ta có:
.
Ta có:
Xét hàm số
.
Hàm số liên tục trên và với
ta có:
Ta có:
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
. Môđun của số phức
có giá trị là
10
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Môđun của số phức
có giá trị là
10
Ta có:
Trong không gian
, cho đường thẳng
. Vectơ nào trong các vectơ dưới đây không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng
?
Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là
. Do đó vectơ
không là vectơ chỉ phương của
.
Số phức
là số phức nào sau đây?
Khoảng cánh giữa hai đường thẳng :
và
là:
Chuyển d1 về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của (d1):
.
Chuyển (d2) về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của
Áp dụng công thức tính Khoảng cách d1 và d2 , ta được:
.
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Một vật chuyển động với gia tốc
. Vận tốc ban đầu của vật là
. Hỏi vận tốc của vật là bao nhiêu sau khi chuyển động với gia tốc đó được
.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc nên
Suy ra
Vận tốc của vật khi chuyển động với gia tốc đó được 2s là .
Tìm một nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
. Theo bài ra ta có:
Vậy là đáp án cần tìm.
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
là giao tuyến của hai mặt phẳng
. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là:
Xét hệ phương trình
Cho
Cho
Đường thẳng d1 đi qua M (1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương
Đường thẳng d2 đi qua A (3; 1; −3) và có vectơ chỉ phương
Ta có
Do đó vị trí tương đối của hai đường thẳng là cắt nhau.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
qua hai điểm
và song song với trục ![]()
Vì Vecto chỉ phương của (P) là:
Theo đề bài, ta có vecto chỉ phương thứ hai của (P) là:
Từ 2 VTCP, ta suy ra được VTPT của (P) là tích có hướng của 2 VTCT
Mp (P) đi qua và nhận vecto
làm 1 VTPT có phương trình là:
Trong không gian
, cho vật thể
giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình
và
với
. Gọi
là diện tích thiết diện của
bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ là
, với
. Biết hàm số
liên tục trên đoạn
, khi đó thể tích
của vật thể
được cho bởi công thức:
Vì là diện tích thiết diện của
bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ là
, với
ta có:
không phải là
.
Tính chất nào sau đây sai?
Tính chất sai là:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
.Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có
Vậy đáp án cần tìm là: .
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và
. Giá trị của f(2) là:
Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Ta có:
Vậy => f(x) = 20
Cho a, b, c là các số thực và
. Giá trị của
bằng:
Cách 1: Ta có
và
.
Ta có
Cách 2: Chọn .
Ta có
Thử lại các đáp án với ta thấy chỉ có đáp án
thỏa mãn.
Số phức
có phần thực bằng
Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.