Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1. Tìm \min \left| {{z^3} - z + 2} ight|.

     Gọi z = a + bi, với a, b \in \mathbb{R}.

    Theo giả thiết ta có \left| z ight| = 1 suy ra z.\bar z = 1{a^2} + {b^2} = 1, - 1 \le a \le 1.

    Ta có \left| {{z^3} - z + 2} ight| = \left| {{z^3} - z + 2z.\bar z} ight| = \left| z ight|\left| {{z^2} - 1 + 2\bar z} ight|

    = \left| {{a^2} - {b^2} + 2a - 1 + \left( {2ab - 2b} ight)i} ight| = \left| {2\left( {{a^2} + a - 1} ight) + 2b\left( {a - 1} ight)i} ight|

    = \sqrt {4{{\left( {{a^2} + a - 1} ight)}^2} + 4{b^2}{{\left( {a - 1} ight)}^2}}

    = \sqrt {16{a^3} - 4{a^2} - 16a + 8}  = 2\sqrt {4{a^3} - {a^2} - 4a + 2}

    Xét hàm số f\left( x ight) = 4{x^3} - {x^2} - 4x + 2 trên \left[ { - 1;\,1} ight].

    Ta có f'\left( x ight) = 12{x^2} - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} ight..

    Ta có f\left( { - 1} ight) = 1;f\left( 1 ight) = 1;f\left( {\frac{2}{3}} ight) = \frac{2}{{27}};f\left( { - \frac{1}{2}} ight) = \frac{{13}}{4}.

    Vậy \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\,1} ight]} f\left( x ight) = f\left( {\frac{2}{3}} ight) = \frac{2}{{27}}.

    Do đó \min \left| {{z^3} - z + 2} ight| = \frac{{2\sqrt 6 }}{9} khi a = \frac{2}{3}b =  \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}.

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\} thỏa mãn 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1;f\left( 1 ight) = 0. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có:

    \begin{matrix}  2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1 \hfill \\   \Leftrightarrow \left( {{x^2}} ight)'.f\left( x ight) + {x^2}.f'\left( x ight) = 1 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]' = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \begin{matrix}  \int {\left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]'dx}  = \int {1.dx}  \hfill \\   \Leftrightarrow {x^2}f\left( x ight) = x + C \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \begin{matrix}  f\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow 1.f\left( 1 ight) = 1 + C \Rightarrow C =  - 1 \hfill \\   \Rightarrow {x^2}f\left( x ight) = x - 1 \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:

    \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow x = 1\left( {tm} ight)

    Ta lại có: f'\left( x ight) = \frac{{2 - x}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {f'\left( 1 ight) = 1} \\   {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

    y = f'\left( 1 ight)\left( {x - 1} ight) + f\left( 1 ight) \Rightarrow y = x - 1

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

    PTTQ của mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz +
D = 0, với A^{2} + B^{2} + C^{2}
eq 0 nên ta chọn 2x + 3y + z - 12
= 0.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên Ka;b \in K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

    Theo định nghĩa tích phân ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a).

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x =
1x = 3. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 \leq x \leq 3) cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x3x^{2}
- 2. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên

    Diện tích thiết diện là: S(x) = 3x.\left(
3x^{2} - 2 ight) = 9x^{3} - 6x

    \Rightarrow Thể tích vật thể là: V = \int_{1}^{3}{\left( 9x^{3} - 6x
ight)dx = 156}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa trục Ox và đi qua điểm A(1;1; - 1) có phương trình là:

    Mặt phẳng chứa trục Ox có dạng By + Cz = 0;\left( B^{2} + C^{2} eq 0
ight)

    Mặt phẳng đi qua điểm A(1;1; -
1) nên B - C = 0 \Leftrightarrow B
= C

    Do đó chọn B = C = 1 suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là y + z =
0.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho số phức z =  - 6 - 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \overline z.

     Ta có \overline z  = \overline { - 6 - 3i}  =  - 6 + 3i nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.

  • Câu 8: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} - (3i + 8)z + 11\,.i + 13 = 0  là 

     Ta có: \Delta  = {(3i + 8)^2} - 4(11.i + 13) = 4i + 3.

    Giả sử m+ni \,\,(m; n \in \mathbb R)  là căn bậc hai của \triangle.

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 3 + 4i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 3 + 4i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3\\2mn = 4\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3 \,\,  (1)\ = \dfrac{2}{m}\,\,\,\, \,\,\,\,  (2)\end{array} ight.

    Thay (2) vào (1) ta có:

    {m^2} - {\left( {\frac{2}{m}} ight)^2} = 3 \Leftrightarrow {m^4} - 3{m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,(TM)\\{m^2} =  - 1\,\,\,\,\,\,\,(L{m{)}}\end{array} ight.

    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 \Rightarrow n = 1\\m =  - 2 \Rightarrow n =  - 1\end{array} ight.

    Vậy \triangle có hai căn bậc hai là  2+i  và -2-i.

    Do đó nghiệm của phương trình là:

    \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{3i + 8 + i + 2}}{2} = 2i + 5\\z = \dfrac{{3i + 8 - i - 2}}{2} = i + 3\end{array} ight.

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {z - 3 - 4i} ight| = \sqrt 5. Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = {\left| {z + 2} ight|^2} - {\left| {z - i} ight|^2}. Khi đó mô đun của số phức {\text{w}} = M + mi

     Giả sử z = x + yi\left( {x,y \in R} ight) ta có:

    \left| {z - 3 - 4i} ight| = \sqrt 5

    \Leftrightarrow {\left( {x - 3} ight)^2} + {\left( {y - 4} ight)^2} = 5

    Ta có

    P = 4x + 2y + 3 \Leftrightarrow 4\left( {x - 3} ight) + 2\left( {y - 4} ight) = P - 23

    Ta có

    {\left[ {4\left( {x - 3} ight) + 2\left( {y - 4} ight)} ight]^2} \leqslant 20\left[ {{{\left( {x - 3} ight)}^2} + {{\left( {y - 4} ight)}^2}} ight] = 100

    => - 10 \leqslant P - 23 \leqslant 10

    \Leftrightarrow 13 \leqslant P \leqslant 33

    => M = 33,m = 13

    Ta thu được kết quả: w = 33 + 13i

    => \left| {\text{w}} ight| = \sqrt {1258}

     

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ điểm M trên trục Ox cách đều hai điểm A(1;2; - 1)B(2;1;2)?

    Ta có: M \in Ox \Rightarrow
M(m;0;0)

    Theo bài ra ta có:

    MA = MB \Leftrightarrow MA^{2} =
MB^{2}

    \Leftrightarrow (m - 1)^{2} + 2^{2} +
1^{2} = (m - 2)^{2} + 1^{2} + 2^{2}

    \Leftrightarrow (m - 1)^{2} = (m -
2)^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m - 1 = m - 2 \\
m - 1 = 2 - m \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}
\Rightarrow M\left( \frac{3}{2};0;0 ight).

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz: \left( D ight):\,\frac{{x\, - \,{x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_1}}}{{{a_3}}} , \left( d ight):\,\frac{{x\, - \,{x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_2}}}{{{b_3}}}. Với {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3},\,\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3} e \,0 . Gọi \overrightarrow a  = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight);\,\,\overrightarrow b  = \left( {\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3}} ight)\overrightarrow {AB}  = \left( {\,{x_2}\, - \,{x_1},\,\,{y_2}\, - \,{y_1},\,\,{z_2}\, - \,{z_1}} ight). (D) và (d) chéo nhau khi và chỉ khi:

     Để xét điều kiện (D) và (d) có chéo nhau hay không, ta cẩn kiểm tra rằng (D) và d không cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:

    \left[ {\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b } ight].\,\overrightarrow {AB} \, e \,\,0

    Suy ra (D) và (d) chéo nhau.

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho số phức {z_1} = 1 + 2i{z_2} =  - 1 - 2i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

     Ta có: {z_1}.{z_2} =  - {\left( {1 + 2i} ight)^2} =  - \left( {1 + 4i - 4} ight) = 3 - 4i

    Vậy {z_1}.{z_2} = 3 - 4i là khẳng định đúng.

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Tính tổng T = \frac{C_{2018}^{0}}{3} -
\frac{C_{2018}^{1}}{4} + \frac{C_{2018}^{2}}{5} - \frac{C_{2018}^{3}}{6}
+ ... - \frac{C_{2018}^{2017}}{2020} +
\frac{C_{2018}^{2018}}{2021}?

    Ta có:

    x^{2}(1 - x)^{2018} = x^{2} \cdot \sum_{k
= 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k}( - 1)^{k} = \sum_{k =
0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}.

    Do đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu} x^{2}(1 -x)^{2018}dx = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx.

    Mặt khác:

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx. =\left. \ \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}\frac{x^{k + 3}}{k+ 3}( - 1)^{k} ight|_{0}^{1}= \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu}C_{2018}^{k} \cdot \frac{( - 1)^{k}}{k + 3} = T.

    Đặt t = 1 - x \Rightarrow dt = -
dx.

    Đổi cận x = 0 \Rightarrow t = 1x = 1 \Rightarrow t = 0. Khi đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}x^{2}(1 - x)^{2018}dx = \int_{1}^{0}\mspace{2mu}\mspace{2mu}t^{2018}(1 - t)^{2}( - dt)

    = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}
t^{2018}\left( t^{2} - 2t + 1 ight)dt = \left. \ \left(
\frac{t^{2021}}{2021} - 2 \cdot \frac{t^{2020}}{2020} +
\frac{t^{2019}}{2019} ight) ight|_{0}^{1}

    = \frac{1}{2021} - \frac{2}{2020} +
\frac{1}{2019} = \frac{1}{1010 \cdot 2019 \cdot 2021} =
\frac{1}{4121202990}

  • Câu 14: Nhận biết

    Số phức 5 + 6i có phần thực bằng 

     Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho số phức z = {\left( {2i} ight)^4} - \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^6}}}{{5i}}. Số phức \overline {5z + 3i} là số phức nào sau đây?

     Ta tính được z = \frac{{88}}{5} \Rightarrow 5z + 3i = 88 + 3i

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong \left( C ight):y = {x^2} + 4x và đường thẳng d:y = x. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay do hình phẳng (H) quay quanh trục hoành.

    Phương trình hoành độ giao điểm là: - {x^2} + 4x = x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x = 0} \\   {x = 3} \end{array}} ight.

    Thể tích cần tính là:

    V = \pi \int\limits_0^3 {\left| {{{\left( {4x - {x^2}} ight)}^2} - {x^2}} ight|dx}  = \frac{{108\pi }}{3}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 12m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 12 - 2t(m/s) (trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh). Hỏi trong thời gian 8 giây cuối (tính đến khi xe dừng hẳn) thì ô tô đi được quãng đường bằng bao nhiêu?

    Khi dừng hẳn v(t) = 12 - 2t = 0
\Rightarrow t = 6(s)

    Khi đó trong 8s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được (bao gồm 2s trước khi đạp phanh):

    S = 2.12 + \int_{0}^{6}{v(t)dt} = 24 +
\int_{0}^{6}{(12 - 2t)dt}

    = 24 + \left. \ \left( 12t - t^{2}
ight) ight|_{0}^{6} = 24 + 36 = 60(m)

  • Câu 18: Vận dụng

    Tích phân I = \int\limits_0^3 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}dx} có giá trị là:

     Đặt u = x + \sqrt {{x^2} + 9}

    \Rightarrow du = \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}} ight)dx = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 9} }}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}dx = \frac{{udx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }} \Rightarrow \frac{{du}}{u} = \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}

    Đổi cận \left\{ \begin{gathered}  x = 0 \Rightarrow u = 3 \hfill \\  x = 3 \Rightarrow u = 3 + 3\sqrt 2  \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Rightarrow I = \int\limits_3^{3 + 3\sqrt 2 } {\frac{{du}}{u}}  = \left. {\left( {\ln \left| u ight|} ight)} ight|_3^{3 + 3\sqrt 2 } = \ln \left( {1 + \sqrt 2 } ight)

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{\sin
x} có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0. Giá trị của e^{F\left( \frac{2\pi}{3}
ight)} bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{\sin x}dx} =\int_{}^{}{\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}.\cos\frac{x}{2}}dx}

    = \int {\frac{1}{{2\tan \frac{x}{2}.{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}dx}  = \int {\frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}}d\left( {\tan \frac{x}{2}} ight)}= \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} ight| + C

    Lại có F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0
\Leftrightarrow \ln\left| \tan\frac{\pi}{6} ight| + C = 0

    \Rightarrow C = - \ln\frac{\sqrt{3}}{3}= \ln\sqrt{3} = \frac{1}{2}\ln3

    Do đó: {e^{F\left( {\frac{{2\pi }}{3}} ight)}} = {e^{\ln \left| {\tan \frac{\pi }{3}} ight| + \frac{1}{2}\ln 3}} = {e^{\ln 3}} = 3

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{2022}}. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là?

     Ta có: z = 1 + i\frac{{1 - {i^{2022}}}}{{1 - i}} = i

    Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1.

  • Câu 21: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (2;1;0)\overrightarrow{b} = ( - 1;0; -
2). Tính \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)?

    Ta có: \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) =
\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a}
ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{-
2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}

     Đặt t = \sqrt {x + 1}  \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx

    F\left( x ight) = \int {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}dx = \int {\left( {\frac{{{t^2} + 1}}{2}} ight).2tdt = \int {\left( {2{t^2} + 2} ight)dt = \frac{{2{t^3}}}{3} + 2t + C} } }

    = \frac{{2\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} }}{3} + 2\sqrt {x + 1}  + C = \frac{2}{3}\left( {x + 4} ight)\sqrt {x + 1}  + C

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tứ giác MNPQ là hình bình hành biết tọa độ các điểm M(1;2;3),N(2; -
3;1),P(3;1;2). Tìm tọa độ điểm Q?

    Giả sử điểm Q(x;y;z) khi đó \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{QP} = (x - 3;y - 1;z - 2) \\
\overrightarrow{MN} = ( - 1;5;2) \\
\end{matrix} ight.

    ta có MNPQ là hình bình hành nên \overrightarrow{QP} =
\overrightarrow{MN}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 3 = - 1 \\
y - 1 = 5 \\
z - 2 = 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 6 \\
z = 4 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm Q(2;6;4).

  • Câu 24: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x +
1)(x + 2)?

    Ta có: f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x
+ 2

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left(
x^{2} + 3x + 2 ight)dx} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x +
C

  • Câu 25: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;1;1),B( - 1;1;0),C(1;3;2). Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương?

    Gọi M là trung điểm của BC, suy ra tọa độ điểm M(0;2;1).

    Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{AM} = ( - 1;1;0).

  • Câu 26: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2). Tìm x để các đường thẳng AD;BC;MN cùng song song với một mặt phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2). Tìm x để các đường thẳng AD;BC;MN cùng song song với một mặt phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 27: Nhận biết

    Hàm số f(x) = x^{3} + \sin x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: F'(x) = 3x^{2} + \cos
x

  • Câu 28: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có điểm A trùng với gốc tọa độ O, B(a;0;0),D(0;a;0), A'(0;0;b),(a > 0,b > 0). Gọi M là trung điểm của cạnh CC'. Giá trị của tỉ số \frac{a}{b} để hai mặt phẳng (A’BD)(MBD) vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có điểm A trùng với gốc tọa độ O, B(a;0;0),D(0;a;0), A'(0;0;b),(a > 0,b > 0). Gọi M là trung điểm của cạnh CC'. Giá trị của tỉ số \frac{a}{b} để hai mặt phẳng (A’BD)(MBD) vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 29: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 25^{x}?

    Vì: \left( \frac{25^{x}}{ln25}
ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}

  • Câu 30: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, trục Ox có phương trình tham số là

    Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương \overrightarrow{i} = (1;0;0) nên có phương trình tham số là \left\{
\begin{matrix}
x = 0 + 1t \\
y = 0 + 0t \\
z = 0 + 0t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
x = t \\
y = 0 \\
z = 0 \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 31: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = ( -
3;4;0)\overrightarrow{b} =
(5;0;12). Tính \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)?

    Ta có: \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) =
\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a}
ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 15}{\sqrt{( -
3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}}.\sqrt{5^{2} + 0^{2} + 12^{2}}} = -
\frac{3}{13}

  • Câu 32: Vận dụng

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

    Đáp án là:

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

     Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn z^2+z+1=0.

    Do đó ta có z^2+z+1=0

    \Leftrightarrow z+\dfrac{1}{z}=-1 \Rightarrow z^2+\dfrac{1}{z^2}=-1

    Ta cũng có z^3+\dfrac{1}{z^3}=(z+\dfrac{1}{z})^3-3z.\dfrac{1}{z}.(z+\dfrac{1}{z})=2

    z^4+\dfrac{1}{z^4}=(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2-2=-1

    Vậy P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 =30.

  • Câu 33: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

     Ta có \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{( - 1 + 3i)(1 - i)}}{{{{(2 + i)}^2}}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 4i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{(2 + 4i)(3 - 4i)}}{{25}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i

  • Câu 34: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} + 4z + 7 = 0  là:

     Ta có: \Delta ' = {2^2} - 7 =  - 3 = 3{i^2}

    \Rightarrowcác căn bậc hai của \triangle '  là \pm i\sqrt 3

    Vậy nghiệm của phương trình là: z =  - 2 + \sqrt 3 i,\,\,\,z =  - 2 - \sqrt 3 i

  • Câu 35: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ 1 ight\}thỏa mãn f'(x) = \frac{1}{x - 1}; f(0) = 2017;f(2) = 2018. Tính T = f(3) - f( - 1)?

    Trên khoảng (1; + \infty) ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} =
\int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(x - 1) + C_{1}

    \Rightarrow f(x) = \ln(x - 1) +
C_{1}

    f(2) = 2018 \Rightarrow C_{1} =
2018

    Trên khoảng ( - \infty;1) ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} =
\int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(1 - x) + C_{2}

    \Rightarrow f(x) = \ln(1 - x) +
C_{2}

    f(0) = 2017 \Rightarrow C_{2} =
2017

    Vậy f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\ln(x - 1) + 2018\ \ \ khi\ x\  > \ 1 \\
\ln(1 - x) + 2017\ \ \ khi\ x\  < \ 1 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow T = f(3) - f( - 1) =
1.

  • Câu 37: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M( - 3; - 2;3) và vuông góc với trục Ox.

    Vì mặt phẳng (P) vuông góc với Ox nên có một vectơ pháp tuyến là vectơ \overrightarrow{i} =
(1;0;0).

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là

    1\left( x - ( - 3) ight) + 0\left( y -
( - 2) ight) + 0(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow x + 3 = 0.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Phần thực của số phức z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} là:

    Ta có:

    z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} = 5 + 2i + 2 - 2i = 7

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho số phức z = a + bi , \left( {a,b \in \mathbb{R}} ight)thỏa mãn \left( {z + 1 + i} ight)\left( {\overline z  - i} ight) + 3i = 9\left| {\overline z } ight| > 2.

    Tính P = a + b.

     Ta áp dụng công thức z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi, có:

    \left( {z + 1 + i} ight)\left( {\overline z  - i} ight) + 3i = 9

    \Leftrightarrow \left( {a + bi + 1 + i} ight)\left( {a - bi - i} ight) + 3i = 9

    \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2b + a + 1 - \left( {b + 1} ight)i = 9 - 3i

    Ta xét: \left\{ \begin{gathered}  {a^2} + {b^2} + 2b + a + 1 = 9 \hfill \\  b + 1 = 3 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  b = 2 \hfill \\  {a^2} + a = 0 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  b = 2 \hfill \\  a = 0 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \vee \left\{ \begin{gathered}  b = 2 \hfill \\  a =  - 1 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    Với {z_1} = 2i \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = 2 nên không thỏa yêu cầu bài toán.

    Với {z_2} =  - 1 + 2i \Rightarrow \left| {{z_2}} ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}}  = \sqrt 5 thỏa yêu cầu bài toán.

    Vậy P = a + b = 1

  • Câu 40: Vận dụng

    Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }} thỏa mãn F(2) = 0 

    \begin{matrix}  F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx}  \hfill \\   = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}dx}  = \dfrac{1}{2}\int {d\frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}d\left( {8 - {x^2}} ight)}  \hfill \\   \Rightarrow F\left( x ight) =  - \sqrt {8 - {x^2}}  + C \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có: F(2) = 0 => C = 2

    => F\left( x ight) =  - \sqrt {8 - {x^2}}  + 2

    Xét phương trình F(x) = x ta có:

    \begin{matrix}  F\left( x ight) = x \hfill \\   \Leftrightarrow  - \sqrt {8 - {x^2}}  + 2 = x \hfill \\   \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}}  = 2 - x \hfill \\   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2 - x \geqslant 0} \\   {8 - {x^2} = {{\left( {2 - x} ight)}^2}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x \leqslant 2} \\   {{x^2} - 2x + 2 = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x \leqslant 2} \\   {x = 1 \pm \sqrt 3 } \end{array}} ight. \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3  \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng x = 1 - \sqrt 3

  • Câu 41: Thông hiểu

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

    a) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left( \sin xight)dx} = 2\int_{0}^{1}{x.f(x)dx} Đúng||Sai

    b) \int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x}
ight)}{e^{x}}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx} Đúng||Sai

    c) \int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2}
ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{x.f(x)dx} Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

    a) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left( \sin xight)dx} = 2\int_{0}^{1}{x.f(x)dx} Đúng||Sai

    b) \int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x}
ight)}{e^{x}}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx} Đúng||Sai

    c) \int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2}
ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{x.f(x)dx} Đúng||Sai

    Ta có:

    \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left(\sin x ight)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{2\sin x.\cos x.f\left( \sin xight)dx}

    Đặt t = \sin x \Rightarrow dt = \cos
xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\\end{matrix} ight. từ đó ta có:

    \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left(\sin x ight)dx} = \int_{0}^{1}{2tf(t)dt} =2\int_{0}^{1}{2xf(x)dx}

    Ta có: \int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x}
ight)}{e^{x}}dx}

    Đặt t = e^{x} \Rightarrow dt =
e^{x}dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow t = 1 \\
x = 1 \Rightarrow t = e \\
\end{matrix} ight. từ đó ta có:

    \int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x}
ight)}{e^{x}}dx} = \int_{0}^{e}{\frac{f(t)}{t^{2}}dt} =
\int_{0}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx}

    Ta có: \int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2}
ight)dx}

    Đặt t = x^{2} \Rightarrow dt =
2xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow t = 0 \\
x = a \Rightarrow t = a^{2} \\
\end{matrix} ight. từ đó ta có:

    \int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2}
ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{tf(t)}dt =
\frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{xf(x)}dx

  • Câu 42: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; - 1;1),B(0;1; - 2) và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm giá trị lớn nhất của |MA - MB|?

    Thay tọa độ của A, B vào phương trình mặt phẳng (Oxy): z = 0, ta có 1.( - 2) = - 2 < 0

    ⇒ A, B nằm về hai phía của (Oxy).

    Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (Oxy).

    Khi đó ta có: |MA - MB| = |MA' - MB|
\leq A'B

    Suy ra |MA - MB| lớn nhất bằng A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và (Oxy).

    Ta có A'(1; - 1; - 1) \Rightarrow
A'B = \sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}} =
\sqrt{6}.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Tìm các căn bậc hai của số phức z = 5 + 12i

     Giả sử m + ni (m; n \in R) là căn bậc hai của z

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 5 + 12i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  {m^2} - {n^2} = 5 \hfill \\  2mn = 12 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  {m^2} - {n^2} = 5(1) \hfill \\  m = \frac{6}{n}(2) \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    Thay (2) vào (1) ta có: {\left( {\frac{6}{n}} ight)^2} - {n^2} = 5 \Leftrightarrow 36 - {n^4} = 5{n^2}

    \Leftrightarrow {n^4} + 5{n^2} - 36 = 0 \Leftrightarrow {n^2} = 4;{n^2} =  - 9(loai)

    \left[ \begin{gathered}  n = 2 \Rightarrow m = 3 \hfill \\  n =  - 2 \Rightarrow m =  - 3 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.

  • Câu 44: Nhận biết

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin
x + 1 là:

    Ta có: \int_{}^{}{\left( \sin x + 1
ight)dx} = - \cos x + x + C

  • Câu 45: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, thỏa mãn F(0) = 2020. Tính giá trị biểu thức T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) +
F(2019)?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =
\int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, ta có: F(x) = e^{x} + CF(0) = 2020

    \Rightarrow C = 2019 \Rightarrow F(x) =
e^{x} + 2019

    T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) +
F(2019)

    T = 1 + e + e^{2} + .... + e^{2018} +
e^{2019} + 2019.2020

    T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} +
2019.2020.

  • Câu 46: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;2; - 2),B(3; - 1;0). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P):x + y - z + 2 = 0 tại điểm I. Tỉ số \frac{IA}{IB} bằng

    Ta có: \frac{IA}{IB} = \frac{d\left(
A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} =
\frac{8}{\sqrt{3}}:\frac{4}{\sqrt{3}} = 2

  • Câu 47: Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Điểm M được xác định bởi đẳng thức vectơ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +
\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} +
\overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} +
\overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Gọi \left\{ \begin{matrix}
O = AC \cap BD \\
O' = A'C' \cap B'D' \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +
\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \\
\overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} +
\overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'} = \overrightarrow{0}
\\
\end{matrix} ight.

    Ta có:

    \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} +
\overrightarrow{MD}

    = \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OD} ight)

    = \overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} +
4\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0} + 4\overrightarrow{MO} =
4\overrightarrow{MO}

    Tương tự ta cũng có: \overrightarrow{MA'} +
\overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} +
\overrightarrow{MD'} = 4\overrightarrow{MO'}

    Từ đó suy ra

    \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} +
\overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} +
\overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{MO} +
4\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 4\left(
\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} ight) =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0}

    Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của OO'.

  • Câu 48: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm F(t) =
\int_{}^{}txdt.

    Ta có:

    F(t) = \int_{}^{}txdt = x\int_{}^{}tdt =
x.\frac{t^{2}}{2} + C

  • Câu 49: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; 1), B (0; 3; −1). Điểm M nằm trên mặt phẳng (P) : 2x + y + z − 4 = 0 sao cho MA + MB nhỏ nhất là:

    Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng (P) : 2x + y + z − 4 = 0 ta được: (2.2 + 1 + 1 − 4) (2.0 + 3 − 1 − 4) = −4 < 0

    Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).

    Vậy MA + MB ≥ AB dấu “ = ” xảy ra khi M = AB ∩ (P).

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 2;2; -
2) chọn vtcp của đường thẳng AB: \overrightarrow{u} = (1; - 1;1).

    Vậy phương trình đường thẳng AB: \left\{
\begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = 1 - t \\
z = 1 + t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Tọa độ (x; y; z) của M là nghiệm hệ:

    \left\{ \begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = 1 - t \\
z = 1 + t \\
2x + y + z - 4 = 0 \\
\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = 1 - t \\
z = 1 + t \\
2(2 + t) + (1 - t) + (1 + t) - 4 = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 2 \\
z = 0 \\
t = - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M(1;2;0)

  • Câu 50: Thông hiểu

    Số phức z thỏa mãn: \left( {1 + i} ight)z + \left( {2 - 3i} ight)\left( {1 + 2i} ight) = 7 + 3i là:

     Ta áp dụng các quy tắc thực hiện phép tính, có:

    \begin{matrix}  \left( {1 + i} ight)z + \left( {2 - 3i} ight)\left( {1 + 2i} ight) = 7 + 3i \hfill \\   \Leftrightarrow (1 + i)z = 7 + 3i - (2 - 3i)(1 + 2i) \hfill \\   \Leftrightarrow (1 + i)z =  - 1 + 2i \hfill \\   \Leftrightarrow z = \dfrac{{ - 1 + 2i}}{{1 + i}} \hfill \\   \Leftrightarrow z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i \hfill \\ \end{matrix}

    Ngoài ra ta có thể sử dụng lệnh CALC trong máy tính để thử các phương án.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 45 lượt xem
Sắp xếp theo