Gọi
là các nghiệm của phương trình
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Ta có phương trình
Suy ra:
Vì (1)
Mà ;
.
Vậy từ .
Gọi
là các nghiệm của phương trình
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Ta có phương trình
Suy ra:
Vì (1)
Mà ;
.
Vậy từ .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
. Khi đó
bằng:
Ta có suy ra
Vì nên tọa độ của I có dạng
.
Vì nên ta có phương trình:
Vậy suy ra
.
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z là
Ta có:
Xét số phức z thỏa mãn:
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Giả sử: và
, thay vào đẳng thức ta có:
Do đó ta có:
Cho tứ diện đều
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Vì tứ diện là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc
Suy ra
Vậy mệnh đề chưa chính xác là: .
Cho
với
là các số hữu tỉ. Khi đó
bằng:
Ta có:
Suy ra .
Cho các hàm số
và
liên tục trên
thỏa mãn
với
. Tính
, biết rằng
?
Ta có: .
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là?
Ta có:
Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Ta có:
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Giá trị của
là?
Ta có:
(Áp dụng công thức: )
Trong không gian với hệ tọa độ
, điểm
thuộc mặt phẳng
và cách đều các điểm
. Tích
bằng
Do và
, nên ta được hệ:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành;
và
bằng:
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là nghiệm của phương trình:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là:
Tìm một nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
. Theo bài ra ta có:
Vậy là đáp án cần tìm.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho vectơ
có độ dài
, gọi
lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị
trên ba trục
và vectơ
. Khi đó tọa độ điểm
là:
Gọi và
Cho ba điểm
. Tìm tọa độ của C để tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
Tam giác ABC vuông cân tại A
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành,
và
bằng
Diện tích hình giới hạn là
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của
với z là số phức khác 0 và thỏa mãn
. Tính ![]()
Ta có
Mặt khác:
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là , xảy ra khi
giá trị lớn nhất của P bằng
xảy ra khi
=>
Tích phân
có giá trị là:
Đặt
Đổi cận
Giả sử
với
là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
Ta có:
Đặt
Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình có hai nghiệm
và
.
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Gọi
là bốn nghiệm phức của phương trình
. Tổng
bằng:
Ta có:
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Tìm các căn bậc hai của số phức ![]()
Giả sử m + ni (m; n R) là căn bậc hai của z
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.
Hàm số
có nguyên hàm là:
Ta có:
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
Trong không gian
, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
?
Ta có: nên điểm cần tìm là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và điểm
. Tính khoảng cách
từ
đến
.
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:
Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Trong không gian
, cho hình chóp
có đáy
là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo
và
trùng với gốc tọa độ
. Các véc tơ
,
,
lần lượt cùng hướng với các véc tơ
,
,
và
,
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Tọa độ của véc tơ
là
Hình vẽ minh họa
Ta có .
Khi đó .
Vì là trung điểm của
nên ta có
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
thuộc
sao cho
ngắn nhất.
Gọi là điểm sao cho
Suy ra J(2; 3; 1).
Khi đó
Vậy đạt GTNN khi và chỉ khi
đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).
Vậy M(2; 3; 0).
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba mặt phẳng ![]()
![]()
. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt
lần lượt tại
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Dễ dàng nhận thấy (P)//(Q)//(R).
Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.
Ta có
Khi đó ta có:
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Viết phương trình của mặt phẳng
song song với trục
và chứa giao tuyến của
và
?
Mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
và
nên có dạng:
Mặt phẳng song song với trục
nên
.
Chọn n = 1 ta có
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Số phức
có phần thực bằng
Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.
Xác định nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: .
Cho số phức
. Phần thực của số phức
là?
Ta có:
Vậy phần thực là .
Biết rằng
nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Chọn mệnh đề đúng?
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta có:
Suy ra
Khi đó
Mà
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
. Trong các vectơ sau, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)?
Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:
với
.
Vectơ chỉ phương .
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Một ô tô đang chạy với vận tốc
thì dừng lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô di chuyển động chậm dần đều với vận tốc
, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn
Quãng đường xe đi được từ khi đạp phan đến lúc dừng hẳn là:
Xét các số phức z thỏa mãn
. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn của các số phức
là một đường tròn có bán kính bằng
Ta có
Đặt
Ta có
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
và mặt phẳng
. Gọi M là điểm thuộc (P) sao cho
vuông tại M . Khoảng cách từ M đến (Oxy) bằng:
Ta có: suy ra M thuộc mặt cầu (S) đường kính AB.
Gọi I là trung điểm AB , khi đó và
.
Ta tính được suy ra (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau hay M là tiếp điểm của (P) và (S). Vậy M là hình chiếu của I trên (P) .
Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là:
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
suy ra .
Suy ra .
Cho hai số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
tương ứng bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Độ dài của đoạn
là
Ta có:
khi đó độ dài đoạn
bằng:
Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc
thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
(trong đó
là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh). Hỏi trong thời gian
giây cuối (tính đến khi xe dừng hẳn) thì ô tô đi được quãng đường bằng bao nhiêu?
Khi dừng hẳn
Khi đó trong 8s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được (bao gồm 2s trước khi đạp phanh):
Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua hai điểm: ![]()
Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên VTCP của đường thẳng d chính là hay ta có:
Tích phân
có giá trị là:
Ta có:
Xét
Đặt