Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là
=
= a – bi
Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là
=
= a – bi
Cho hàm số
liên tục trên
và có một nguyên hàm là hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Theo định nghĩa tích phân ta có: .
Trong không gian
, cho tọa độ các điểm
. Cho các khẳng định sau:
(I)
.
(II)
.
(III) Ba điểm
tạo thành một tam giác.
(IV) Ba điểm
thẳng hàng.
Trong các khẳng định trên, khẳng định nào sai?
Ta có: nên
là trung điểm của
và ba điểm
thẳng hàng
Vậy các khẳng định sai là: .
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.
Trong không gian
, cho hai điểm
và mặt phẳng
. Xét
là điểm thay đổi thuộc
, tính giá trị nhỏ nhất của
?
Trong không gian , cho hai điểm
và mặt phẳng
. Xét
là điểm thay đổi thuộc
, tính giá trị nhỏ nhất của
?
Cho số phức
thỏa mãn
. Tính ![]()
Giả sử:
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Trong không gian với hệ tọa độ
; cho bốn điểm ![]()
. Tính thể tích tứ diện
.
Theo giả thiết ta có: suy ra
Vậy thể tích tứ diện là:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Gọi
là điểm sao cho
là trọng tâm tam giác
. Tính tổng các tọa độ của điểm
?
Đặt . Vì
là trọng tâm tam giác
nên
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
, trục hoành,
và
là:
Ta có: nên ta có:
Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz:
,
. Với
. Gọi
và
. (D) và (d) chéo nhau khi và chỉ khi:
Để xét điều kiện (D) và (d) có chéo nhau hay không, ta cẩn kiểm tra rằng (D) và d không cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:
Suy ra (D) và (d) chéo nhau.
Trong không gian
, biết mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các tia dương
lần lượt tại ba điểm
khác gốc tọa độ
, sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì mặt phẳng cắt các tia dương của trục
nên ta có
Ta có
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Dấu bằng xảy ra khi:
Suy ra độ dài ba cạnh theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Cho hai số phức z, w thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ![]()
Cách 1 :
Giả sử
(1)
Suy ra x + y = 0
Từ (1) ta có I(3; 2), bán kính r = 1. Gọi H là hình chiếu của I trên .
Đường thẳng HI có PTTS:
Vậy
Cách 2 :
điều này cho thấy M(z) đang nằm trên hình tròn tâm I(3; 2) bán kính bằng 1.
điều này cho thấy N(w) đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng
là trung trực của đoạn AB với
(Minh hoạ như hình vẽ)

Số phức
là số phức nào sau đây?
Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là
=
= a – bi
Cho tam giác ABC với
.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
song song đường cao AH của tam giác ABC.
Theo đề bài, ta có: song song đường cao
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Do đó:
Cho tam giác ABC có
. Gọi BD và BE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc B với D và E là chân của hai phân giác này trên AC. Tính tọa độ vectơ ![]()
Gọi tọa độ điểm E là .
Ta có là trung điểm của AE nên ta tính được tọa độ điểm E lần lượt là:
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
là:
Ta có:
Cho hình hộp chữ nhật
có
và
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của cạnh
và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 2,43
Cho hình hộp chữ nhật có
và
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của cạnh
và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 2,43
Cách 1. Gọi là trung điểm
,
,
,
.
Ta có .
Lại có .
Mặt khác .
Dễ thấy
.
Suy ra với
;
.
Vậy .
Cách 2. Đặt các trục ,
và
vào hình như sau
Ta có ,
,
và
.
Ta có ,
và
.
Khi đó :
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
. Khi đó giá trị của
bằng bao nhiêu?
Ta có: .
Khi đó
Vậy đáp án cần tìm là:
Giả sử hàm số f(x) luôn xác định. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
và
. Giá trị của
sao cho
là
Ta có: có vectơ chỉ phương
, (Q) có vectơ chỉ phương
Để hai mặt phẳng song song thì
Vậy đáp án cần tìm là: .
Biết rằng
là một nguyên hàm của hàm số
trên
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
suy ra
Cho
. Với
, khẳng định nào sau đây đúng?
Xét , đặt t = ax + b
=>
=>
Tìm nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Cho hàm số
có đạo hàm dương và liên tục trên
thỏa mãn
và
. Tích phân
là:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho tam giác
có phương trình đường phân giác trong góc
là
. Biết rằng điểm
thuộc đường thẳng
và điểm
thuộc đường thẳng
. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
Hình chiếu H của M trên đường phân giác trong góc A có tọa độ:
M’ là điểm đối xứng của M qua H. Từ đây ta tìm được tọa độ M’(1; 3; 6).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC chính là vecto .
Suy ra, đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là (0; 1; 3)
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Số phức z thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có: . Khi đó
Vậy
Cho số phức z thỏa mãn
, gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
. Tính
.
M-m=1 || 1 || một || Một
Cho số phức z thỏa mãn , gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
. Tính
.
M-m=1 || 1 || một || Một
Ta có
Vì nên
Suy ra
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
và
bằng:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng là:
Tìm nguyên hàm của hàm số
là
Ta có:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ![]()
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:
Diện tích hình phẳng cần tính là:
Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: ![]()
Ta có
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng
. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với
.
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
.
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Suy ra .
Cho hai số phức
. Môđun của số phức
là:
Ta có:
Cho hai số thực
và
. Kí hiệu
là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình
trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của b và c để tam giác
là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).
Ta có: . Vì
và
là số thực.
. Vậy ta có:
và
.
Ta có:
;
.
Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O
.
Cho biểu thức
với
. Biểu thức A có giá tri là?
1 || Một || một
Cho biểu thức với
. Biểu thức A có giá tri là?
1 || Một || một
Ta có
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và đường thẳng
. Biết điểm
thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị
bằng:
Vì nên SMAB nhỏ nhất khi d(M, AB) nhỏ nhất. Phương trình của
Dễ dàng kiểm tra AB và d chéo nhau.
Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB.
Khi đó nhỏ nhất khi MH là đoạn vuông góc chung của d và AB.
Ta có:
Vectơ chỉ phương của d và AB theo thứ tự là
Vậy
Tích phân
bằng:
Ta có:
Cho
với
là các số hữu tỉ. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Suy ra .
Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:![]()
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:.
Xác định nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: .
Xác định nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:
Theo đề bài, ta có được các vecto sau:
Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của và
.
Chọn làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mp có dạng
là mp qua A
Vậy phương trình .