Trong không gian với hệ trục toạ độ
, tìm tất cả giá trị tham số
để đường thẳng
song song với mặt phẳng
.
Ta có:
qua điểm
và có VTCP là
(P) có VTPT là
Vì d // (P) nên
Với (loại).
Với (thỏa mãn).
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, tìm tất cả giá trị tham số
để đường thẳng
song song với mặt phẳng
.
Ta có:
qua điểm
và có VTCP là
(P) có VTPT là
Vì d // (P) nên
Với (loại).
Với (thỏa mãn).
Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình
. Giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Viết phương trình đường thẳng
?
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
. Suy ra phương trình đường thẳng
là:
Biết
và
là ba nghiệm của phương trình
,
trong đó
là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức
bằng:
Xét phương trình là phương trình bậc ba với hệ số thực nên luôn có một nghiệm thực là
.
Do đó phương trình tương đương với:
.
Nên là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (1).
Suy ra .
Khi đó : .
Vậy phần ảo của là
.
Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi
là
. Tính
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Vậy
Trong không gian
, cho vectơ
. Khi đó tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là:
Do đường thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng
nên vectơ pháp tuyến của (P) là
cũng là vectơ chỉ phương của
.
Mặt khác đi qua điểm
nên phương trình chính tắc của
là:
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Ta có: nên
là một nguyên hàm của hàm số
.
Cho số phức
. Số phức
có phần ảo là:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng
?
Điểm không thuộc mặt phẳng
.
Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Vậy .
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
=>
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của số phức
là:
Ta có:
Số phức
bằng:
Ta có:
Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn
![]()
Tính giá trị biểu thức M = a + b.
=>
=>
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tứ diện
có
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Viết phương trình mặt phẳng
biết tứ diện
có thể tích nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tứ diện
có
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Viết phương trình mặt phẳng
biết tứ diện
có thể tích nhỏ nhất.
Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:
Cho hai số phức
có điểm biểu diễn lần lượt là
cùng thuộc đường tròn có phương trình
và
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Cách 1: Do cùng thuộc đường tròn có phương trình
nên
Lại có:
Vậy
Cách 2: Do , cùng thuộc đường tròn (T) tâm O(0;0), bán kính R = 1 và
nên
.
Suy ra là tam giác đều cạnh bằng 1
( Trong đó H là trung điểm
)
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số ![]()
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tứ diện
với
. Tìm tất cả các giá trị thực của
để thể tích khối tứ diện
bằng
.
Ta có:
Lại có:
Khi đó ta có:
Theo đề ta có:
Trong không gian
, cho đường thẳng
và hai điểm
. Gọi
là đường thẳng đi qua điểm
và cắt đường thẳng
sao cho khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng
là:
Gọi . Khi đó
Ta có
Khoảng cách từ B đến d được tính như sau:
Xét hàm số ta có:
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có: nhỏ nhất khi
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
tại
Suy ra
Khi đó vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có do đó
hay
Suy ra
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ bằng
là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
. Theo bài ra ta có:
Suy ra
Vậy
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có .
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng
và vuông góc với mặt phẳng ![]()
Theo đề bài, qua giao tuyến của hai mặt phẳng
nên
có dạng là
Chọn làm vectơ pháp tuyến của
, ta có:
Cho hình phẳng
được giới hạn bởi hai đường
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do
quay quanh trục
?
Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đường
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do
quay quanh trục
?
Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho hai số phức z, w thỏa mãn
;
với
là tham số. Giá trị của m để ta luôn có
là:
Đặt có biểu diễn hình học là điểm
Ta có:
Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng
Ta xét:
với .
Mà ta có
Nên
Trong không gian với hệ tọa độ
; cho bốn điểm ![]()
. Tính thể tích tứ diện
.
Theo giả thiết ta có: suy ra
Vậy thể tích tứ diện là:
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là tung điểm của
. Chọn mệnh đề đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cộng hai vế của hai đẳng thức trên ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z là
Ta có:
Biết
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Giá trị của
là?
Ta có:
(Áp dụng công thức: )
Tìm nguyên hàm
.
Ta có:
Cho các số phức
. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?
![]()
![]()
![]()
Áp dụng tính chất số phức, ta có:
- Môđun của 1 thương hai số phức thì bằng thương của từng môđun
- Môđun của 1 tích hai số phức thì bằng tích của từng môđun
Vậy khẳng địn (I) và (II) là đúng.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
. Tính tỉ số
?
Ta có:
Lại có và ba điểm
thẳng hàng
Vậy đáp án đúng là .
Trong không gian
, cho điểm
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì tọa độ điểm có
nên
.
Viết công thức tính thể tích
của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại các điểm
, có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
là
.
Thể tích của vật thể đã cho là: .
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên đoạn
với
. Đặt
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
?
Gọi sao cho
. Ta có:
Mà
Suy ra
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của đạt được bằng
khi
.
Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi
và
như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 3,3 m2
Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi và
như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án: 3,3 m2
Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số
Diện tích của hình phẳng cần tìm là
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau
năm được xác định bởi hàm số
( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với
, với
là số năm kể từ năm 2014,
được tính bằng triệu người/năm.
a)
là một nguyên hàm của
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai
d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai
Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau năm được xác định bởi hàm số
( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với
, với
là số năm kể từ năm 2014,
được tính bằng triệu người/năm.
a) là một nguyên hàm của
. Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai
d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai
Ta có: là một nguyên hàm của
và
Do
Tốc độ tăng dân số của nước ta vào năm 2034 là
( triệu người/năm)
Dân số của nước ta vào năm 2034 là
( triệu người)
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
thỏa mãn
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Lại có
Do đó:
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và điểm
. Tính khoảng cách
từ
đến
.
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:
Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
là
Ta có hình phẳng giới hạn bởi là
.