Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Phương trình {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 có tập nghiệm là:

    Dễ thấy z=-i  là nghiệm của {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0

    Nên {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 \Leftrightarrow \,(z + i)({z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + i = 0\\{z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i = 0\,\,\,(*)\end{array} ight.

    Giải (*), ta được:

    \Delta = {(4 - i)^2} - 12 + 12i = 16 - 1 - 8i - 12 + 12i

    = 3 + 4i = 4 + 2.2.i + {i^2} = {(2 + i)^2}

    Vậy có hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i

    Do đó nghiệm của pt là \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 4 + i + 2 + i}}{2} = - 1 + i\\z = \dfrac{{ - 4 + i - 2 - i - 2}}{2} = - 3\end{array} ight.

    Vậy PT có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i.

  • Câu 2: Nhận biết

    Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + \sqrt 2 i  và 1 - \sqrt 2 i là nghiệm ?

     Ta có \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) + \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 2 =\frac{-b}{a} và  \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) . \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 3 =\frac c a.

    Suy ra 1 \pm \sqrt 2 i là nghiệm của phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0.

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{- 1} và hai điểm A(1;\ 2; - 1),B(3; - 1; - 5). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng \Delta sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là:

    Gọi I = \Delta \cap d. Khi đó I( - 1 + 2t;3t; - 1 - t)

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4),\overrightarrow{AI} = (2t - 2;3t - 2; - t)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AI} ightbrack = (8 - 15t;6t - 8;10 - 12t)

    Khoảng cách từ B đến d được tính như sau:

    d(B;d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AI} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{AI} ight|} = \sqrt{\frac{405t^{2} - 576t + 228}{14t^{2} - 20t + 8}}

    Xét hàm số f(t) = \frac{405t^{2} - 576t + 228}{14t^{2} - 20t + 8} ta có:

    f'(t) = \dfrac{- 36t^{2} + 96t -48}{\left( 14t^{2} - 20t + 8 ight)^{2}} \Rightarrow f'(t) =\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = \dfrac{2}{3} \\t = 2 \\\end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên ta có: d(B;d) nhỏ nhất khi f(t) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 27 tại t = \frac{2}{3}

    Suy ra \overrightarrow{AI} = \left( \frac{1}{3};2; - \frac{5}{3} ight)

    Khi đó vectơ \overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{AI} = (1;6; - 5) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d

    Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z + 1}{- 5}.

  • Câu 4: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{2x}.3^{x}.7^{x} là:

    Ta có: \int_{}^{}{\left(2^{2x}.3^{x}.7^{x} ight)dx =}\int_{}^{}{\left( 84^{x} ight)dx}=\frac{84^{x}}{\ln84} + C

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị (C) là đường cong như hình vẽ:

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 0;x = 2 (phần tô đen) là:

    Dựa vào hình vẽ ta thấy x \in (0;1) thì \left\{ \begin{matrix} f(x) > 0;\forall x \in (0;1) \\ f(x) < 0;\forall x \in (1;2) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy S = \int_{0}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{2}{f(x)dx}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hai mặt phẳng (P):2x - y + 2z - 3 = 0 và (Q):x + my + z - 1 = 0. Tìm tham số m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

    Đáp án: 4

    Đáp án là:

    Cho hai mặt phẳng (P):2x - y + 2z - 3 = 0 và (Q):x + my + z - 1 = 0. Tìm tham số m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

    Đáp án: 4

    Ta có: \overrightarrow{n_{P}} = (2; -1;2);\overrightarrow{n_{Q}} = (1;m;1)

    Để hai mặt phẳng (P) và (Q)vuông góc với nhau thì \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{n_{Q}}.

    \Leftrightarrow 2.1 - 1.m + 2.1 = 0 \Leftrightarrow m = 4.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2;3;4) trên mặt phẳng (P):2x - y - z + 6 = 0 là điểm nào dưới đây?

    Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P).

    Khi đó phương trình tham số của ∆ là \left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 4 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (M).

    Tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix}x = 2 + 2t \\y = 3 - t \\z = 4 - t \\2x - y - z + 6 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\y = \dfrac{7}{2} \\z = \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.

    Vậy M'\left( 1;\frac{7}{2};\frac{9}{2} ight)

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):x - 2y - 2z + 4 = 0 và (\beta): - x + 2y + 2z - 7 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)?

    Ta thấy (α) và (β) song song với nhau nên với A(0; 2; 0) ∈ (α).

    \Rightarrow d\left\lbrack (\alpha);(\beta) ightbrack = d\left( A;(\beta) ight) = \frac{|4 - 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1.

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho đồ thị hàm số y = f\left( x ight) có đồ thị f'\left( x ight) trên \left[ { - 3;2} ight] như hình vẽ. Tính giá trị của f\left( { - 1} ight) + f\left( 1 ight). Biết phần cong của đồ thị là mộ phần của parabol y = a{x^2} + bx + c và f\left( { - 3} ight) = 0.

    Tính giá trị của biểu thức

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho đồ thị hàm số y = f\left( x ight) có đồ thị f'\left( x ight) trên \left[ { - 3;2} ight] như hình vẽ. Tính giá trị của f\left( { - 1} ight) + f\left( 1 ight). Biết phần cong của đồ thị là mộ phần của parabol y = a{x^2} + bx + c và f\left( { - 3} ight) = 0.

    Tính giá trị của biểu thức

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1 , gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P = \left| {{z^5} + {{\overline z }^3} + 6z} ight| - 2\left| {{z^4} + 1} ight|. Tính M - m.

    M-m=1 || 1 || một || Một

    Đáp án là:

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1 , gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P = \left| {{z^5} + {{\overline z }^3} + 6z} ight| - 2\left| {{z^4} + 1} ight|. Tính M - m.

    M-m=1 || 1 || một || Một

     Ta có P = \left| {{z^5} + {{\overline z }^3} + 6z} ight| - 2\left| {{z^4} + 1} ight|

    = \left| {{z^4} + {{\overline z }^4} + 6} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = \left| {{{\left( {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight)}^2} + 4} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = {\left( {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight)^2} + 4 - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = {\left( {\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight| - 1} ight)^2} + 3

    Vì \left\{ \begin{array}{l}{z^2} + {\overline z ^2} \in \mathbb{R}\\ - 2 \le {z^2} + {\overline z ^2} \le 2\end{array} ight.   nên {P_{{m{max}}}} = 4; {P_{{m{min}}}} = 3

    Suy ra M=4; m=3 \mbox{ do đó } M-m=4-3=1

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ 1 ight\}thỏa mãn f'(x) = \frac{1}{x - 1}; f(0) = 2017;f(2) = 2018. Tính T = f(3) - f( - 1)?

    Trên khoảng (1; + \infty) ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(x - 1) + C_{1}

    \Rightarrow f(x) = \ln(x - 1) + C_{1}

    Mà f(2) = 2018 \Rightarrow C_{1} = 2018

    Trên khoảng ( - \infty;1) ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(1 - x) + C_{2}

    \Rightarrow f(x) = \ln(1 - x) + C_{2}

    Mà f(0) = 2017 \Rightarrow C_{2} = 2017

    Vậy f(x) = \left\{ \begin{matrix} \ln(x - 1) + 2018\ \ \ khi\ x\ > \ 1 \\ \ln(1 - x) + 2017\ \ \ khi\ x\ < \ 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow T = f(3) - f( - 1) = 1.

  • Câu 12: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x} trên khoảng (0;\pi). Biết rằng giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;\pi) là \sqrt{3}. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\dfrac{2\cos x - 1}{\sin^{2}x}dx} =\int_{}^{}{\dfrac{2\cos x}{\sin^{2}x}dx} -\int_{}^{}{\dfrac{1}{\sin^{2}x}dx}

    = \int_{}^{}\frac{2d\left( \sin xight)}{\sin^{2}x} - \int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx} = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C

    Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x} trên khoảng (0;\pi) nên hàm số F(x) có công thức dạng F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C với mọi x \in (0;\pi)

    Xét hàm số F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C xác định và liên tục trên (0;\pi)

    Ta có: F'(x) = f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}

    \Rightarrow F'(x) = 0\Leftrightarrow \frac{2\cos x - 1}{\sin^{2}x} = 0

    \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Trên khoảng (0;\pi) phương trình F'(x) = 0 có một nghiệm x = \frac{\pi}{3}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    \underset{(0;\pi)}{\max F(x)} = F\left( \frac{\pi}{3} ight) = - \sqrt{3} + C. Theo bài ra ta có: - \sqrt{3} + C = \sqrt{3} \Rightarrow C = 2\sqrt{3}

    Do đó F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + 2\sqrt{3} suy ra F\left( \frac{\pi}{6} ight) = 3\sqrt{3} - 4.

  • Câu 14: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x\cos x + \frac{1}{x + 1} là:

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x +1}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{\left(\frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x + 1} ight)dx} = - \frac{1}{4}\cos2x +\ln|x + 1| + C

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho các số phức z_1 , z_2. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?

    \left( I ight):\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} ight| = \frac{{\left| {{z_1}} ight|}}{{\left| {{z_2}} ight|}}.

    \left( {II} ight):\left| {{z_1}.{z_2}} ight| = \left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.

    \left( {III} ight):{\left| {{z_1}} ight|^2} = {z_1}^2.

    Áp dụng tính chất số phức, ta có: 

    - Môđun của 1 thương hai số phức thì bằng thương của từng môđun \left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} ight| = \frac{{\left| {{z_1}} ight|}}{{\left| {{z_2}} ight|}}

    -  Môđun của 1 tích hai số phức thì bằng tích của từng môđun  \left| {{z_1}.{z_2}} ight| = \left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|

    Vậy khẳng địn (I) và (II) là đúng.

  • Câu 16: Nhận biết

    Hàm số f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: f'(x) = - e^{- x} + 2 nên f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số y = - e^{- x} + 2.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 1 + 3i. Phần thực và phần ảo của số phức w = 2i - 3\overline z lần lượt là:

     Ta có: w = 2i - 3\overline z = 2i - 3\left( { - 1 - 3i} ight) = 11i + 3

  • Câu 18: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M( - 1;0;3). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho 3OA = 2OB = OC eq 0?

    Từ giả thiết, ta có thể coi A(2a;0;0),B(0;3b;0),C(0;0;6c) (với |a| = |b| = |c| eq 0).

    Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là \frac{x}{2a} + \frac{y}{3b} + \frac{z}{6c} =1.

    Do (P) đi qua M(−1; 0; 3) nên -\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c} = 1.

    Theo trên có c = ±a, kết hợp với phương trình vừa thu được, ta suy ra a = −1, c = 1.

    Cũng theo trên, b = ±a, nên có 2 giá trị của b.

    Suy ra có 2 bộ (a, b, c) thỏa mãn, hay có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu đề bài.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|

     Ta có \left| z ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{2x - 1} , biết rằng F(1) = 2. Khi đó giá trị F(2) là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)

    Mà F(1) = 2 \Rightarrow C = 2. Vậy với x > \frac{1}{2} thì F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2

    Vậy F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2.

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1;2), B(-3;1;0)  và mặt phẳng (P):x+y+3z-14=0. Gọi M là điểm thuộc (P) sao cho \triangle AMB vuông tại M . Khoảng cách từ M đến (Oxy) bằng:

    Ta có: \widehat{AMB}=90^{\circ} suy ra M thuộc mặt cầu (S) đường kính AB.

    Gọi I là trung điểm AB , khi đó I(0;0;1) và R=\frac{AB}{2}=\sqrt{11}.

    Ta tính được d(I;(P))=\sqrt{11}=R suy ra (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau hay M là tiếp điểm của (P) và (S). Vậy M là hình chiếu của I trên (P) .

    Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là: 

    \left\{\begin{matrix} x=t \\ y=t \\ z=1+3t \end{matrix}ight., t\in \mathbb{R}

    Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

     \left\{\begin{matrix} x=t \\ y=t \\ z=1+3t \\x+y+3z-14=0 \end{matrix}ight., t\in \mathbb{R}

    suy ra t=1.

    Suy ra M(1;1;4)\Rightarrow d(M;(Oxy))=4.

  • Câu 22: Nhận biết

    Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB. Biết tọa độ hai điểm A(1;2;3) và B(3; - 1;4).

    Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2;1;3)

    Vậy đáp án đúng là: M(2;1;3).

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \cos x;y = 0;x = 0;x = \frac{\pi}{2}. Thể tích vật thể tròn xoay có được khi (H) quay quanh trục Ox bằng:

    Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có:

    V = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\cos x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1 +\cos2x}{2}dx}

    = \pi\left. \ \left( \frac{x}{2} +\frac{\sin2x}{4} ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi^{2}}{4}

  • Câu 24: Nhận biết

    Xác định phần ảo của số phức z = 18 - 12i.

     Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho f(x);g(x) là các hàm số liên tục trên \mathbb{R} và thỏa mãn \int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3;\int_{0}^{2}{\left\lbrack f(x) - 3g(x) ightbrack dx} = 4 và \int_{0}^{2}{\left\lbrack 2f(x) + g(x) ightbrack dx} = 8. Tính tích phân I = \int_{1}^{2}{f(x)dx}?

    Đặt \left\{ \begin{matrix} \int_{0}^{2}{f(x)dx} = a \\ \int_{0}^{2}{g(x)dx} = b \\ \end{matrix} ight.. Theo giả thiết ta có: \left\{ \begin{matrix} a - 3b = 4 \\ 2a + b = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    \int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx}

    \Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{2}{f(x)dx} - \int_{0}^{1}{f(x)dx}

    \Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 - 3 = 1

  • Câu 26: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; - 1;5),B(m;2;7). Tìm giá trị tham số m để AB = 7?

    Theo bài ra ta có:

    AB = 7 \Leftrightarrow \sqrt{(m - 3)^{2} + 3^{2} + 2^{2}} = 7

    \Leftrightarrow (m - 3)^{2} = 36 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m - 3 = 6 \\ m - 3 = - 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là \left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} là \frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} là \frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

     

    a) Sai

     

    Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD

    Suy ra hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

    b) Sai

    Ta có ABCD là hình chữ nhật nên AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}

    Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

    Suy ra \tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'

    Ta có: \left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left( \overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'

    c) Đúng

    Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

    Suy ra SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{5}

    Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

    AM = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Lại có M là trung điểm của SB nên MB = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Ta tính được \cos MAB = \frac{MA^{2} + AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}

    Mà \left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{MAB}

    \Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}

    d) Sai

    Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

    Do đó MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Suy ra \left| \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| = \frac{a\sqrt{5}}{2}

  • Câu 28: Nhận biết

    Số phức 5 + 6i có phần thực bằng 

     Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.

  • Câu 29: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} + 4z + 7 = 0  là:

     Ta có: \Delta ' = {2^2} - 7 = - 3 = 3{i^2}

    \Rightarrowcác căn bậc hai của \triangle '  là \pm i\sqrt 3

    Vậy nghiệm của phương trình là: z = - 2 + \sqrt 3 i,\,\,\,z = - 2 - \sqrt 3 i

  • Câu 30: Vận dụng

    Tính thể tích hình lăng trụ ABCD.EFGH, biết \overrightarrow {AB} = \left( {2, - 4,3} ight);\overrightarrow {EH} = \left( {3, - 2,1} ight) và \overrightarrow {CG} = \left( { - 1,3, - 2} ight).

    Theo đề bài, ta có:

     \overrightarrow {AB} = \left( {2, - 4,3} ight);\,

    \,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {EH} = \left( {3, - 2,1} ight);\,

    \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {CG} = \left( { - 1,3, - 2} ight)

    Áp dụng CT tính thể tích khối lăng trụ:{V_{ABCDEFGH}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } ight].\overrightarrow {AE} } ight| 

    Suy ra: \begin{array}{l}V = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } ight].\overrightarrow {AE} } ight|\\\,\,\,\,\, = \left| {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 4}&3\\3&{ - 2}&1\\{ - 1}&3&{ - 2}\end{array}} ight|} ight|\\\,\,\,\,\, = \left| {2 - 20 + 21} ight| = 3\end{array}.

  • Câu 31: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (\alpha):4x + 3y - 7z + 1 = 0. Phương trình tham số của d là:

    Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (\alpha) nên nhận vectơ \overrightarrow{n_{(\alpha)}} làm véc-tơ chỉ phương.

    Suy ra, phương trình đường thẳng: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 32: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 2}{3}. Trong các vectơ sau, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)?

    Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

    \frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} với a.b.c eq 0.

    Vectơ chỉ phương \overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a}\mathbf{;}\mathbf{b}\mathbf{;}\mathbf{c} ight).

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{x - 1}{x + 2} và các đường thẳng y = 2;y = - 2x - 4 như hình vẽ:

    Phương trình hoành độ giao điểm

    \frac{x - 1}{x + 2} = - 2x - 4\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} ight.

    Xét - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 3

    Xét \frac{x - 1}{x + 2} = 2 \Leftrightarrow x = - 5

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{- 5}^{\frac{- 7}{2}}{\left( \frac{x - 1}{x + 2} - 2 ight)dx} + \int_{- \frac{7}{2}}^{- 3}{( - 2x - 4 - 2)dx}

    = - \frac{5}{4} + 3\ln2

  • Câu 34: Vận dụng

    Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình {z^2} + 2z + 10 = 0. Giá trị của biểu thức A = {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} là:

    Ta có:

    {z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = - 1 + 3i\\{z_2} = - 1 - 3i\end{array} ight.

    Suy ra  A = {\left| { - 1 + 3i} ight|^2} + {\left| { - 1 - 3i} ight|^2} = 20

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện \left| {z - 1} ight| = \sqrt 2. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T = \left| {z + i} ight| + \left| {z - 2 - i} ight|

    Đặt z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight), ta có:

    \left| {z - 1} ight| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {x - 1 + yi} ight| = \sqrt 2

    \Leftrightarrow {\left( {x - 1} ight)^2} + {y^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2x + 1\left( * ight)

    Mặt khác: T = \left| {z + i} ight| + \left| {z - 2 - i} ight| = \left| {x + \left( {y + 1} ight)i} ight| + \left| {x - 2} ight| + \left( {y - 1} ight)i

    = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} ight)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}

    = \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2y + 1} + \sqrt {{x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 5}

    Kết hợp với (*), ta được:

    T = \sqrt {2x + 2y + 2} + \sqrt {6 - 2x - 2y}

    Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được

    T \leqslant \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} ight)\left[ {{{\left( {\sqrt {2x + 2y + 2} } ight)}^2} + {{\left( {\sqrt {6 - 2x - 2y} } ight)}^2}} ight]} = 4

    Vậy \max T = 4

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho hình phẳng (S) được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \left( P_{1} ight):y= x^{2},\left( P_{2} ight):y = \frac{x^{2}}{4},\left( H_{1} ight):y= \frac{2}{x},\left( H_{2} ight):y = \frac{8}{x}. Tính diện tích hình phẳng (S)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (S) được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \left( P_{1} ight):y= x^{2},\left( P_{2} ight):y = \frac{x^{2}}{4},\left( H_{1} ight):y= \frac{2}{x},\left( H_{2} ight):y = \frac{8}{x}. Tính diện tích hình phẳng (S)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 37: Nhận biết

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{3^{x}dx} bằng:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{3^{x}dx} = \left. \frac{3^{x}}{\ln3} ight|_{0}^{1} = \frac{2}{\ln3}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tìm các số thực x, y thoả mãn:

    3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    => (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

    =>\left\{ \begin{gathered} 3x + y = 2y - 1 \hfill \\ 5x = x - y \hfill \\ \end{gathered} ight.

    => \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{1}{7} \hfill \\ y = \frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho biểu thức M = 1 - z + {z^2} - {z^3} + ... + {z^{2016}} - {z^{2017}} với z = \frac{{1 + 2i}}{{2 - i}}. Biểu thức M có giá tri là?

    Ta có: z = \frac{{1 + 2i}}{{2 - i}} = i.

    Khi đó:  M = \frac{{1 - {{( - z)}^{2018}}}}{{1 + z}} = \frac{{1 - {z^{2018}}}}{{1 + z}}

    = \frac{{1 - {z^{2018}}}}{{1 + z}} = \frac{{1 - {i^{2018}}}}{{1 + i}} = 1 - i.

  • Câu 40: Nhận biết

    Tích vô hướng của 2 vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}trong không gian được tính bằng:

    Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto, ta có: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight).

  • Câu 41: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(1; - 1;2),N(3;1; - 4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của MN.

    Mặt phẳng trung trực MN nhận \frac{1}{2}\overrightarrow{MN} = (1;1; - 3) làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm I(2;0; - 1) của MN nên ta có phương trình mặt phẳng MN là: x + y - 3z - 5 = 0.

  • Câu 42: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x}, biết rằng đồ thị hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành?

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{\left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x}dx} = \frac{1}{3}\int_{}^{}{e^{x^{3} - 3x}d\left( x^{3} - 3x ight)}

    = \frac{1}{3}e^{x^{3} - 3x} + C

    Mà F'(x) = f(x) = \left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1

    F''(x) = 2xe^{x^{3} - 3x} + \left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x};F''(1) > 0;F''(1) < 0

    Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

    Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A(1;0)

    Suy ra F(1) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}e^{- 2} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{3e^{2}}

    Do đó F(x) = \frac{e^{x^{3} - 3x + 2} - 1}{3e^{2}}

  • Câu 43: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}}. Môđun của số phức \overline z + iz là:

     Ta có: \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}} = 4 - 4i\, \to \,\left| {\overline z + iz} ight| = 0

  • Câu 44: Thông hiểu

    Hàm số f\left( x ight) = {x^3} + 3x - 2 có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:

     F\left( x ight) = \int {\left( {{x^3} + 3x - 2} ight)dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + C}

    Hàm số đi qua B(2; 10) => \frac{{{2^4}}}{4} + \frac{{{{3.2}^2}}}{2} - 2.2 + C = 10 \Rightarrow C = 4

    => F\left( x ight) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 4

    => F\left( { - 2} ight) = \frac{{{{\left( { - 2} ight)}^4}}}{4} + \frac{{3.{{\left( { - 2} ight)}^2}}}{2} - 2\left( { - 2} ight) + 4 = 6

  • Câu 45: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn z + \frac{{2{{\left( {2 - i} ight)}^3}\overline z }}{{1 + i}} + {\left( {4 + i} ight)^5} = 422 + 1088i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

     Gọi z = x + yi,x,y \in \mathbb{R} tìm được z = 1 - 2i.

    Tính mô đun ta được  \left| z ight| = \sqrt 5.

  • Câu 46: Nhận biết

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - 3i và {z_2} = - 2 - 5i. Tìm phần ảo b của số phức z = {z_1} - {z_2}. 

     Ta có:

    \begin{matrix} z = {z_1} - {z_2} \hfill \\ = \left( {1 - 3i} ight) - \left( { - 2 - 5i} ight) \hfill \\ = 1 - 3i + 2 + 5i \hfill \\= (1 + 2) + ( - 3 + 5)i \hfill \\ \,\,\,\, = 3 + 2i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 47: Vận dụng cao

    Cho F\left( x ight) = \left( {x - 1} ight).{e^x} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'\left( x ight).{e^{2x}}

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}} nên:

    \begin{matrix} F'\left( x ight) = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {x - 1} ight).{e^x}} ight]' = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \end{matrix}

    Hay f\left( x ight).{e^{2x}} = {e^x} + \left( {x - 1} ight).{e^x} = x.{e^x}

    Xét I = \int {f'\left( x ight).{e^{2x}}dx}

    Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = {e^{2x}}} \\ {dv = f'\left( x ight)dx} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = 2{e^{2x}}dx} \\ {v = f\left( x ight)} \end{array}} ight.

    Khi đó

    I = f\left( x ight).{e^{2x}} - \int {2f\left( x ight).{e^{2x}}dx} = x.{e^x} - 2\left( {x - 1} ight){e^x} + C = \left( {2 - x} ight).{e^x} + C

     

  • Câu 48: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = a\ln|x + 2| + b\ln|x + 3| + C. Tính giá trị biểu thức T = a^{2} + ab + b^{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}

    = \frac{A(x + 2) + B(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{(A + B)x + (3A + 2B)}{(x + 2)(x + 3)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 3A + 2B = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 3 \\ B = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} ight)dx}

    = 3ln|x + 2| + \ln|x + 3| + C

    Suy ra a = 3;b = 1 \Rightarrow T = 13

  • Câu 49: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - x = 3 + 2 \\ 5 - y = 0 - 3 \\ - z = - 1 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(1;8;2).

  • Câu 50: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P):x + 2y + 2z - 10 = 0 và (Q):x + 2y + 2z - 3 = 0 bằng:

    Dựa vào phương trình (P);(Q) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1;2;2) nên (P)//(Q)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\left| \overrightarrow{n} ight| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 3 \\d\left( O;(P) ight) = \dfrac{10}{3} \\d\left( O;(Q) ight) = \dfrac{3}{3} = 1 \\\end{matrix} ight. suy ra d\left( (P);(Q) ight) = d\left( O;(P) ight) - d\left( O;(Q) ight) = \frac{7}{3}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 33 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập