Trong không gian
, cho ba điểm
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng
?
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng là:
Trong không gian
, cho ba điểm
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng
?
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với
.
Phương trình mặt phẳng (P):
Cho a, b, c là các số thực và
. Giá trị của
bằng:
Cách 1: Ta có
và
.
Ta có
Cách 2: Chọn .
Ta có
Thử lại các đáp án với ta thấy chỉ có đáp án
thỏa mãn.
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Cho số phức z thỏa mãn
. Viết z dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
Trong không gian tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
có hoành độ dương thuộc trục
sao cho tam giác
vuông tại
?
Ta có: có hoành độ dương thuộc trục
Theo bài ra ta có: và tam giác
vuông tại
nên
Vậy
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số ![]()
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Trong không gian
, viết phương trình mặt phẳng
biết
đi qua hai điểm
và vuông góc với mặt phẳng
.
Ta có và
có một vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Do đó, có phương trình là
.
Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(4, -1, 1), B(3, 1, -1) và song song với trục Ox là:
: vectơ chỉ phương của trục Ox:
.
: Chọn làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng
, qua A nên:
Vậy ta có phương trình mp cần tìm là:
Cho hàm số
liên tục trên
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và các đường thẳng
. Diện tích hình
được tính theo công thức?
Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức .
Tính
?
Áp dụng công thức
Suy ra
Cho số phức
. Tính |z|
Ta có
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
. Khi đó số điểm cực trị của hàm số
là:
Ta có: là một nguyên hàm của hàm số
. Do
là nghiệm bội 1 còn
là nghiệm bội 2 nên hàm số
có hai điểm cực trị.
Cho tam giác ABC với
. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
song song phân giác ngoài AF của góc A?
Một vecto chỉ phương của là
Ta có :
Vecto chỉ phương thứ hai
Suy ra vecto pháp tuyến của là
Mp đi qua
và nhận vecto
làm 1 VTPT có phương trình là:
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức
?
Vì các vectơ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên
Xác định phần ảo của số phức
.
Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12
Gọi
là một nguyên hàm của hàm số
, thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
, ta có:
mà
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tứ diện
với ![]()
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Viết phương trình mặt phẳng
biết tứ diện
có thể tích nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho tứ diện
với
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Viết phương trình mặt phẳng
biết tứ diện
có thể tích nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
lên
. Tìm tọa độ điểm
?
Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên (P) nên
Điểm H thuộc mặt phẳng (P) nên ta có phương trình:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có: đúng
suy ra Hai vectơ
không cùng phương.
Vậy mệnh đề sai là: “Hai vectơ cùng phương”.
Cho số phức thỏa mãn điều kiện
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của ![]()
1 || Một || một
Cho số phức thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 || Một || một
Đặt
Ta có
.
TH1: (1)
TH2: .
Đặt .
.
(2)
Từ (1) và (2) , suy ra .
Cho hàm số
liên tục trên
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
bằng
Ta có:
Cho các hàm số
có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên
và thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Đặt
Ta có:
Ta có:
Vậy
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
Cho số phức
. Tìm số phức
?
Ta có:
Trong không gian
, hãy viết phương trình của đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
?
Đường thẳng đi qua điểm
và có một véc-tơ chỉ phương là
nên
có phương trình chính tắc là
.
Cho
với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng.
Ta có
Tính
Đặt
Suy ra
Vậy
Như vậy, ta được:
Suy ra ta có: hay
Cho giá trị của tích phân
,
. Giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Cho biểu thức
với
. Biểu thức M có giá tri là?
Ta có: .
Khi đó:
.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Có bao nhiêu số thực
sao cho
?
Ta có:
Do nên có đúng 4 giá trị của
thỏa mãn.
Trong không gian
, cho vectơ
. Khi đó tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
và ![]()
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ![]()
Gọi
Ta có
Lại có
Mặt khác
Suy ra
Cho số phức
. Phần thực của số phức
là?
Ta có:
Vậy phần thực là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
và mặt phẳng
. Điểm
nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
. Tính
?
Ta có
Với , ta có
Với , ta có
Từ (1); (2); (3) ta có hệ phương trình:
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho hàm số
xác định trên
thỏa mãn
;
. Tính
?
Trên khoảng ta có:
Mà
Trên khoảng ta có:
Mà
Vậy
.
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Cho hình hộp chữ nhật
có
trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của giao tuyến (d) của mặt phẳng (MNP) và (xOy)
Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:
Như vậy ta tính được vecto và
theo a, b, c.
(MNP) có vecto pháp tuyến là tích có hướng của 2 vecto và
(MNP) có đi qua M và nhận làm 1 VTCP có phương trình là:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Cho số phức
thỏa mãn
. Tính ![]()
Giả sử:
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG có
. Gọi L là tâm hình hộp. Biểu thị vectơ
theo ba vectơ
và
?

Vì I là tâm hình hộp theo giả thiết nên I là trung điểm đường chéo OF. Từ đây, suy ra
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Trung điểm của đoạn thẳng
có tọa độ là:
Gọi là trung điểm của đoạn thẳng
, ta có:
Vậy tọa độ trung điểm của AB là: .
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ bằng
là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
. Theo bài ra ta có:
Suy ra
Vậy
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là: