Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình bình hành
. Biết
và
. Diện tích hình bình hành
là:
Ta có:
Suy ra diện tích ABCD là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình bình hành
. Biết
và
. Diện tích hình bình hành
là:
Ta có:
Suy ra diện tích ABCD là:
Với giá trị nào của
thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và
bằng
?
Xét phương trình hoành độ giao điểm .
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên được tính bởi
.
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Cho số phức
. Số phức
có phần ảo là:
Ta có:
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho ba điểm
. Tìm tất cả các điểm
sao cho
là hình thang có đáy
và tam giác
bằng
diện tích tứ giác
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ cho ba điểm
. Tìm tất cả các điểm
sao cho
là hình thang có đáy
và tam giác
bằng
diện tích tứ giác
?
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tọa độ ba điểm
. Tính tích vô hướng của
?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, điểm
thuộc mặt phẳng
và cách đều các điểm
. Tích
bằng
Do và
, nên ta được hệ:
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đường parabol
và tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có tọa độ
. Diện tích của hình (H) là:
Xét hàm số trên
. Ta có:
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm của đồ thị hàm số
là
Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình . Xét phương trình tương giao của (P) và ∆
Gọi là diện tích hình phẳng
khi đó
Vì nên
Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz:
,
. Với
. Gọi
và
. (D) và (d) chéo nhau khi và chỉ khi:
Để xét điều kiện (D) và (d) có chéo nhau hay không, ta cẩn kiểm tra rằng (D) và d không cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:
Suy ra (D) và (d) chéo nhau.
Cho số phức
thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Gọi tìm được
.
Tính mô đun ta được .
Cho hình lập phương
; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Cho hình lập phương ; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
Cho số phức
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Ta có: .
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
suy ra
có dạng
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Trong hệ trục tọa độ
, cho điểm
và hai đường thẳng
:
. Đường thẳng
đi qua diểm
và cắt cả hai đường thẳng
có véc tơ chỉ phương là
. Tính
?
Gọi lần lượt là giao điểm của đường thẳng
với
Từ .
Do đường thẳng đi qua điểm
và
nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng
là
.
Vậy
Xác định nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: .
Cho số phức z thỏa mãn
, gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
. Tính
.
M-m=1 || 1 || một || Một
Cho số phức z thỏa mãn , gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
. Tính
.
M-m=1 || 1 || một || Một
Ta có
Vì nên
Suy ra
Tìm một nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
. Vậy
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Ta có
Cho hai điểm
và
. Tọa độ điểm
đối xứng với
qua
là:
Vì điểm đối xứng với
qua
nên
là trung điểm của
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành được tính theo công thức:
Thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của số phức
là:
Ta có:
Cho tam giác ABC có
.
Viết phương trình chính tắc của cạnh AB.
(AB) là đường thẳng đi qua A và B nên có 1 vecto chỉ phương:
(AB) đi qua A (1, 2, -3) và nhận vecto làm 1 VTCP có phương trình chính tắc là:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Mặt khác
=>
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;2;0), B(1;0;-2) và mặt
phẳng
. Gọi
là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA=MB
và góc
có số đo lớn nhất. Khi đó giá trị
bằng ?
nên M thuộc mặt phẳng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Ta có phương trình trung trực của AB là (Q); y+z=0
M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên M thuộc đường thẳng
.
Gọi , ta có
.
Khảo sát hàm số , ta được
khi
.
Suy ra có số đo lớn nhất khi
, ta có
.
Khi đó giá trị .
Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng
như hình vẽ:

Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích
của vật thể đó.?
Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ thì được thiết diện là một tam giác đều có cạnh bằng
Do đó, diện tích của thiết diện:
Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn F(2) = 0
Ta có: F(2) = 0 => C = 2
=>
Xét phương trình F(x) = x ta có:
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
. Khi đó số điểm cực trị của hàm số
là:
Ta có: là một nguyên hàm của hàm số
. Do
là nghiệm bội 1 còn
là nghiệm bội 2 nên hàm số
có hai điểm cực trị.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
cắt ba trục tọa độ
lần lượt tại ba điểm
. Lúc đó thể tích
của khối tứ diện
là:
Gọi lần lượt là giao của mặt phẳng
với ba trục tọa độ
.
Khi đó và tứ diện
có
đôi một vuông góc tại O.
Do đó
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Hai đường thẳng
và
cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của A là:
Để tìm được A là giao điểm của 2 đường thẳng, ta sẽ xét và giải hệ PT giữa chúng.
Từ phương trình của ,tính x,y theo z được
Thế vào phương trình của , được z = - 4 .
Từ đó suy ra x = 1, y = - 2
Cho hình phẳng
được giới hạn bởi đồ thị các hàm số ![]()
. Tính diện tích hình phẳng
?
Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số
. Tính diện tích hình phẳng
?
Giá trị của tích phân
bằng:
Ta có: .
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Cho số phức
,
thỏa mãn
và
.
Tính
.
Ta áp dụng công thức , có:
Ta xét:
Với nên không thỏa yêu cầu bài toán.
Với thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình hộp chữ nhật
có điểm
trùng với gốc tọa độ
,
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Giá trị của tỉ số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hình hộp chữ nhật
có điểm
trùng với gốc tọa độ
,
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Giá trị của tỉ số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng
?
Điểm không thuộc mặt phẳng
.
Cho
là các số hữu tỉ thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Trong không gian
, cho điểm
. Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục
.
Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là
Trong không gian tọa độ
, góc giữa hai vectơ
và
là:
Ta có:
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho số phức
. Tìm số phức z thỏa mãn
.
Ta có:
Gọi
là 2 nghiệm của phương trình
thỏa mãn
. Biết rằng w là số phức thỏa mãn
. Tìm GTNN của biểu thức
.
Giả sử
Ta có:
=> x = 0
=> Tập hợp điểm biểu diễn là trục tung.
Giả sử A, B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho , ta có
Giả sử và M là điểm biểu diễn cho số phức w, ta có
suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm
bán kính R = 2
Ta có , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra
, vậy

Số phức
bằng:
Ta có:
Cho hàm số
. Tính ![]()
Ta có:
.
Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình
có nghiệm phức
thỏa mãn
.
4 || Bốn || bốn
Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình có nghiệm phức
thỏa mãn
.
4 || Bốn || bốn
Ta có với mọi thì phương trình
luôn có nghiệm phức.
và
.
Suy ra .
Từ (1) ta có , từ (2) ta có
.
Vậy tổng .