Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{3} - x và đồ thị hàm số y = x - x^{2}?

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{3} - x = x - x^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó ta có:

    S = \int_{- 2}^{1}{\left| x^{3} + x^{2} - 2x ight|dx}

    = \int_{- 2}^{0}{\left| x^{3} + x^{2} - 2x ight|dx} + \int_{0}^{1}{\left| x^{3} + x^{2} - 2x ight|dx}

    = \left| \int_{- 2}^{0}{\left( x^{3} + x^{2} - 2x ight)dx} ight| + \left| \int_{0}^{1}{\left( x^{3} + x^{2} - 2x ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} ight) ight|_{- 2}^{0} ight| + \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} ight) ight|_{0}^{1} ight|

    = \frac{8}{3} + \frac{5}{12} = \frac{37}{12}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tìm các căn bậc hai của số phức z = 5 + 12i

     Giả sử m + ni (m; n \in R) là căn bậc hai của z

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 5 + 12i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - {n^2} = 5 \hfill \\ 2mn = 12 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - {n^2} = 5(1) \hfill \\ m = \frac{6}{n}(2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Thay (2) vào (1) ta có: {\left( {\frac{6}{n}} ight)^2} - {n^2} = 5 \Leftrightarrow 36 - {n^4} = 5{n^2}

    \Leftrightarrow {n^4} + 5{n^2} - 36 = 0 \Leftrightarrow {n^2} = 4;{n^2} = - 9(loai)

    \left[ \begin{gathered} n = 2 \Rightarrow m = 3 \hfill \\ n = - 2 \Rightarrow m = - 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 1;2) và vectơ \overrightarrow{n} = (2;4; - 6). Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) qua A và nhận vectơ \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng có dạng:

    A\left( x - x_{A} ight) + B\left( y - y_{A} ight) + C\left( z - z_{A} ight) = 0 .

    2(x - 1) + 4(y + 1) + 6(z - 2) = 0

    \Leftrightarrow x + 2y - 3z + 7 = 0.

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho số phức z = \frac{{ - m + i}}{{1 - m(m - 2i)}},\,\,m \in \mathbb R. Tìm {\left| z ight|_{\max }}?

     Ta có: z = \frac{{ - m + i}}{{1 - m(m - 2i)}} = \frac{m}{{{m^2} + 1}} + \frac{i}{{{m^2} + 1}}

    \Rightarrow \left| z ight| = \sqrt {\frac{1}{{{m^2} + 1}}} \le 1

    \Rightarrow {\left| z ight|_{\max }} = 1 \Leftrightarrow m = 0.

  • Câu 5: Vận dụng

    Tốc độ tăng trưởng bán kính của thân cây được tính bằng công thức f\left( t ight) = 1,5 + \sin \left( {\frac{{\pi t}}{5}} ight), trong đó t là thời gian khảo sát (tính theo năm), là thời điểm đầu khảo sát, F(t) là bán kính của thân cây tại thời điểm t và F’(t) = f(t). Tính bán kính của thân cây sau 20 năm kể từ lúc bắt đầu khảo sát, biết rằng bán kính cây tại thời điểm bắt đầu khảo sát là 5cm.

     Ta có: F\left( t ight) = \int {\left( {1,5 + \sin \frac{{\pi t}}{5}} ight)} dt = \left( {1,5t - \frac{5}{\pi }\cos \frac{{\pi t}}{5}} ight) + C

    Từ giả thiết ta có: F\left( 0 ight) = 5 \Rightarrow C = 5 + \frac{5}{\pi }

    => F\left( t ight) = 1,5t - \frac{5}{\pi }\cos \frac{{\pi t}}{5} + 5 + \frac{5}{\pi }

    Sau 5 năm bán kính thân cây bằng F\left( {20} ight) = 1,5.20 - \frac{5}{\pi }\cos \frac{{\pi .20}}{5} + 5 + \frac{5}{\pi } = 40\left( {cm} ight)

  • Câu 6: Thông hiểu

    Hàm số F\left( x ight) = 2\sin x - 3\cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

     F'\left( x ight) = f\left( x ight) = 2\cos x + 3\sin x

  • Câu 7: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm F(t) = \int_{}^{}txdt.

    Ta có:

    F(t) = \int_{}^{}txdt = x\int_{}^{}tdt = x.\frac{t^{2}}{2} + C

  • Câu 8: Thông hiểu

    Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bời các đường thẳng y = 0;y = x\sqrt {\ln \left( {x + 1} ight)} ;x = 1 xung quanh trục Ox là:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x\sqrt {\ln \left( {x + 1} ight)} = 0 \Rightarrow x = 0

    Thể tích khối tròn xoay cần tính là V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\ln \left( {x + 1} ight)dx}

    Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln \left( {1 + x} ight)} \\ {dv = {x^2}dx} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \dfrac{{dx}}{{x + 1}}} \\ {v = \dfrac{{{x^3} + 1}}{3}} \end{array}} ight.

    Ta có:

    \begin{matrix} V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\ln \left( {x + 1} ight)dx} \hfill \\ = \pi \left\{ {\left. {\dfrac{{{x^3} + 1}}{3}\ln \left( {x + 1} ight)} ight|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x + 1} ight)dx} } ight\} \hfill \\ = \dfrac{{\pi \left( {12\ln 2 - 5} ight)}}{{18}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Oz và đi qua điểm P(3; - 4;7)?

    Mặt phẳng (P) có cặp véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{k} = (0;0;1),\overrightarrow{OP} = (3; - 4;7)

    Suy ra mặt phẳng có (P) một véc-tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \overrightarrow{k} \land \overrightarrow{OP} = ( - 4; - 3;0) = - 1(4;3;0).

    Mặt phẳng (P) đi qua O(0;0;0) có vectơ pháp tuyến (4; 3; 0).

    Vậy mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là 4x + 3y = 0.

  • Câu 10: Nhận biết

    Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên tập số thực và f'(x) = 2e^{2x} + 1;\forall x; f(0) = 2. Hàm số f(x) là:

    Ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 2e^{2x} + 1 ight)dx} = e^{2x} + x + C

    \Rightarrow f(x) = e^{2x} + x + C

    Theo bài ra ta có: f(0) = 2 \Rightarrow 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1

    Vậy f(x) = e^{2x} + x + 1.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack, có đồ thị hàm số y = f'(x) như sau:

    Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

    Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì \int_{a}^{b}{f'(x)dx} là diện tích hình thang cong ABMN.

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 2}. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.

    Gọi M(1;\ 2;\ 3) \in d

    \Rightarrow AM = ( - 1;1;2) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 6;0; - 3)

    Ta có d(A;d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Số phức z thỏa mãn: \left( {1 + i} ight)z + \left( {2 - 3i} ight)\left( {1 + 2i} ight) = 7 + 3i là:

     Ta áp dụng các quy tắc thực hiện phép tính, có:

    \begin{matrix} \left( {1 + i} ight)z + \left( {2 - 3i} ight)\left( {1 + 2i} ight) = 7 + 3i \hfill \\ \Leftrightarrow (1 + i)z = 7 + 3i - (2 - 3i)(1 + 2i) \hfill \\ \Leftrightarrow (1 + i)z = - 1 + 2i \hfill \\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{ - 1 + 2i}}{{1 + i}} \hfill \\ \Leftrightarrow z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i \hfill \\ \end{matrix}

    Ngoài ra ta có thể sử dụng lệnh CALC trong máy tính để thử các phương án.

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho số phức z = {\left( {2i} ight)^4} - \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^6}}}{{5i}}. Số phức \overline {5z + 3i} là số phức nào sau đây?

     Ta tính được z = \frac{{88}}{5} \Rightarrow 5z + 3i = 88 + 3i

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho z_1 =2-i và z_2 = 5+6i. Tính T = z_1 : z_2?

     Ta có z_1 =2-i và z_2 = 5+6i. Tính:

     z_1 : z_2 = \frac {2-i}{5+6i}=\frac {(2-i)(5-6i)}{(5+6i)(5-6i)}=\frac{4}{61} - \frac{17}{61}i

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau \left( d_{1} ight):\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 6}{- 2} và \left( d_{2} ight):\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z + 1}{3}. Phương trình mặt phẳng (P) chứa \left( d_{1} ight) và song song với \left( d_{2} ight) là

    Phương trình tham số \left( d_{1} ight):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t_{1} \\ y = - 2 + t_{1} \\ z = 6 - 2t_{1} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t_{1}\mathbb{\in R} ight)

    \left( d_{1} ight) đi qua điểm M(2; - 2;6) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2)

    Phương trình tham số \left( d_{2} ight):\left\{ \begin{matrix} x = 4 + t_{2} \\ y = - 2 - 2t_{2} \\ z = - 1 + 3t_{2} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t_{2}\mathbb{\in R} ight)

    \left( d_{2} ight) đi qua điểm N(4; - 2; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;3)

    Vì mặt phẳng (P) chứa \left( d_{1} ight) và song song với \left( d_{2} ight), ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = - (1;8;5)

    Mặt phẳng (P) đi qua M(2; - 2;6) và vectơ pháp tuyến \overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2) nên phương trình mặt phẳng (P):(x - 2) + 8(y + 2) + 5(z - 6) = 0 hay (P):x + 8y + 5z - 16 = 0.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 + 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Gọi d' là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng tọa độ (Oxz). Viết phương trình đường thẳng d'.

    Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;2;3)

    Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (0;1;0) và có phương trình y = 0.

    Suy ra \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 3;0;1)

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).

    Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ \overrightarrow{u'} = \left\lbrack \overrightarrow{n}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack ightbrack = (1;0;3) làm vectơ chỉ phương.

    Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)?

    Phương trình mặt phẳng (ABC) là \frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} thỏa mãn f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x -f(x)\sin x. Tính tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx}?

    Ta có:

    f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x- f(x)\sin x

    \Leftrightarrow f'(x).f(x) - \sin2x =\left\lbrack f(x)\cos x ightbrack'

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}\left\lbrack f'(x).f(x) -\sin2x ightbrack dx = \int_{}^{}{\left\lbrack f(x)\cos xightbrack'}dx

    \Leftrightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x + C

    Theo bài ra ta có: f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 \Rightarrow C = 0

    \Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x

    \Leftrightarrow f^{2}(x) + \cos2x =2f(x)\cos x

    \Leftrightarrow f^{2}(x) - 2f(x)\cos x +\cos^{2}x = \sin^{2}x

    \Leftrightarrow \left\lbrack f(x) - \cos x ightbrack^{2} = \sin^{2}x \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) - \cos x = \sin x \\f(x) - \cos x = - \sin x \\\end{matrix} ight.

    Vì f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 nên nhận f(x) = \cos x - \sin x

    Vậy I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left\lbrack \cos x - \sin x ightbrack dx} = \left. \ \left( \cos x - \sin x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} - 1

  • Câu 20: Nhận biết

    Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?

     Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

  • Câu 21: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1;2;3) và \overrightarrow{v} = ( - 5;1;1). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1.( - 5) +2.1 + 3.1 = 0 \Rightarrow\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}

    Vậy khẳng định đúng là \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i. Tìm môđun của số phức \overline {{z_1}} - {z_2}.

     Ta có: \left| {\overline {{z_1}} - {z_2}} ight| = \left| {1 + i - 3 - 2i} ight| = \sqrt 5

  • Câu 23: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = 3x + \cos 3x

     Ta có: \int {\left( {3x + \cos 3x} ight)dx = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{\sin 3x}}{3} + C}

  • Câu 24: Vận dụng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = BC = 2 và CC' = 4. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D' và MN bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 2,43

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = BC = 2 và CC' = 4. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D' và MN bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 2,43

    Cách 1. Gọi P là trung điểm CD, I = MP \cap AD, J = IN \cap DD', K = AC \cap MP.

    Ta có MP//BD \Rightarrow MP//B'D' \Rightarrow d(B'D';MN) = d\left\lbrack B'D';(MNP) ightbrack = d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack.

    Lại có d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack = \frac{D'J}{DJ}d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack = 5.d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack.

    Mặt khác d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack = \frac{DI}{AI}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{1}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack.

    Dễ thấy \left\{ \begin{matrix} (NAK)\bot(MNP) \\ (NAK) \cap (MNP) = AK \\ AH\bot NK\ (H \in NK)\ trong\ (NAK) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow AH\bot(MNP) \Rightarrow d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = AH.

    Suy ra d(MN;B'D') = \frac{5}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{5}{3}AH với AN = \frac{AA'}{2} = 2 ; AK = \frac{3}{4}\sqrt{2}AB = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

    Vậy d(MN;B'D') = \frac{5}{3}AH = \frac{5}{3}.\frac{AN.AK}{\sqrt{AN^{2} + AK^{2}}} = \frac{5}{3}.\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}.2}{\sqrt{\left( \frac{3\sqrt{2}}{2} ight)^{2} + 2^{2}}} = \frac{10.\sqrt{17}}{17} \simeq 2,43.

    Cách 2. Đặt các trục Ox, Oy và Oz vào hình như sau

    Ta có M(1;2;0), N(0;0;2), B'(0;2;4) và D'(2;0;4).

    Ta có \overrightarrow{MN} = ( - 1; - 2;2), \overrightarrow{B'D'} = (2; - 2;0) và \overrightarrow{MB'} = ( - 1;0;4) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{B'D'} ightbrack = (4;4;6).

    Khi đó :

    d\left( MN;B^{'}D^{'} ight) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack.\overrightarrow{MB^{'}} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack ight|}

    = \frac{\left| ( - 1).4 + 0.4 + 4.6 ight|}{\sqrt{4^{2} + 4^{2} + 6^{2}}} = \frac{10\sqrt{17}}{17} \simeq 2,43.

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\} thỏa mãn f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2};f\left( 2 ight) = 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

     Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( x ight)'f\left( x ight) + xf'\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {xf\left( x ight)} ight]' = 3{x^2} \hfill \\ \end{matrix}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \begin{matrix} \int {\left[ {xf\left( x ight)} ight]'dx = \int {3{x^2}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow xf\left( x ight) = {x^3} + C \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác f\left( 2 ight) = 8 \Rightarrow 3.f\left( 2 ight) = 8 + C \Rightarrow C = 8

    => xf\left( x ight) = {x^3} + 8 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{{{x^3} + 8}}{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{{{x^3} + 8}}{x} = 0 \Rightarrow x = - 2

    Ta có: f'\left( x ight) = \frac{{2{x^3} - 8}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( { - 2} ight) = - 6} \\ {f\left( { - 2} ight) = 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

    y = f'\left( { - 2} ight)\left( {x + 2} ight) + f\left( { - 2} ight) \Rightarrow y = - 6x - 12

  • Câu 26: Thông hiểu

    Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?

    Nếu \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} thì

    \overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SD} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành

    Mệnh đề sai \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} vì:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho a, b, c là các số thực và z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}. Giá trị của \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight) bằng:

     Cách 1: Ta có

    z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {z^2} = - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}

    {z^3} = 1;{z^4} = z và {z^2} + z = - 1 .

    Ta có \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight)

    = {a^2} + {b^2}{z^3} + {c^2}{z^3} + ab\left( {{z^2} + z} ight) + bc\left( {{z^2} + z} ight) + ca\left( {{z^2} + z} ight)

    = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca

    Cách 2: Chọn a = 1;b = 2;c = 3.

    Ta có \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight)

    = \left( {1 + 2z + 3{z^2}} ight)\left( {1 + 2{z^2} + 3z} ight) = 3

    Thử lại các đáp án với a = 1;b = 2;c = 3  ta thấy chỉ có đáp án {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca

    thỏa mãn.

  • Câu 28: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin3x.

    Ta có \left( - \frac{1}{3}cos3x + C ight)' = sin3x.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) = \left( ax^{2} + bx - c ight).e^{2x} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left( 2018x^{2} - 3x + 1 ight)e^{2x} trên khoảng ( - \infty; + \infty). Giá trị biểu thức a + 2b + 4c bằng:

    Ta có: F'(x) = (2ax + b)e^{2x} + 2\left( ax^{2} + bx - c ight)e^{2x}

    = \left\lbrack 2ax^{2} + (2b + 2a)x + b - 2c ightbrack e^{2x}

    Theo bài ra ta có:

    \Rightarrow \left\lbrack 2ax^{2} + (2b + 2a)x + b - 2c ightbrack e^{2x} = \left( 2018x^{2} - 3x + 1 ight)e^{2x}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 2018 \\2(a + b) = - 3 \\b - 2c = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1009 \\b = \dfrac{- 2021}{2} \\c = \dfrac{- 2023}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + 2b + 4c = - 3035

  • Câu 30: Nhận biết

    Trong \mathbb C, phương trình 2x^2+x+1=0 có nghiệm là:

     Ta có: \Delta = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 = - 7 = 7{i^2} < 0 nên phương trình có hai nghiệm phức là: {x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{4}

  • Câu 31: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1;2),B(3; - 4; - 2) và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Điểm I(a;b;c) thuộc d là điểm thỏa mãn IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T = a + b + c bằng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4; - 6; - 8)

    A = (1; - 1;2),B = (3; - 4; - 2) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4)

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4) cùng phương với \overrightarrow{u} = (4; - 6; - 8)

    Mà A(1; - 1;2) otin d \Rightarrow \overrightarrow{AB}//d \Rightarrow A,B,d đồng phẳng.

    Xét mặt phẳng chứa AB và d. Gọi A^{'} là điểm đối xứng của A qua d_{1}

    (\alpha) là mặt phẳng qua A, vuông góc với d.

    Khi đó, giao điểm H của d với (\alpha) là trung điểm của AA^{'}.

    (\alpha) có 1 vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2; - 3; - 4) đi qua A(1; - 1;2) có phương trình:

    2(x - 1) - 3(y + 1) - 4(z - 2) = 0

    \Leftrightarrow 2x - 3y - 4z + 3 = 0

    H \in d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} \Rightarrow ight. Giả sử H(2 + 4t; - 6t; - 1 - 8t).

    H \in (\alpha) \Rightarrow 2(2 + 4t) - 3( - 6t) - 4( - 1 - 8t) + 3 = 0

    \Leftrightarrow 58t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{11}{58} \Rightarrow H\left( \frac{36}{29};\frac{33}{29};\frac{15}{29} ight)

    Ta có IA + IB = IA^{'} + IB^{'} \geq A^{'}B \Rightarrow min(IA + IB) = A^{'}B khi và chỉ khi I trùng với I_{0} là giao điểm của A^{'}B và d.

    \Rightarrow \overrightarrow{HI_{0}} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I_{0}} - \dfrac{36}{29} = \dfrac{1}{2}.2 \\y_{I_{0}} - \dfrac{33}{29} = \dfrac{1}{2}.( - 3) \\z_{I_{0}} - \dfrac{15}{29} = \dfrac{1}{2}.( - 4) \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I_{0}} = \dfrac{65}{29} \\y_{I_{0}} = - \dfrac{21}{58} \\z_{I_{0}} = - \dfrac{43}{29} \\\end{matrix} ight.\ ight.\\Rightarrow I_{0}\left( \dfrac{65}{29}; - \dfrac{21}{58}; - \frac{43}{29}ight)

    \Rightarrow a + b + c = \frac{65}{29} - \frac{21}{58} - \frac{43}{29} = - \frac{21}{58}.

  • Câu 32: Nhận biết

    Tích vô hướng của 2 vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}trong không gian được tính bằng:

    Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto, ta có: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight).

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho \int_{- 1}^{2}{f(x)dx} = 2 và \int_{- 1}^{2}{g(x)dx} = - 1, khi đó \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{- 1}^{2}{xdx} + 2\int_{- 1}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 1}^{2}{g(x)dx}

    = \left. \ \frac{1}{2}x^{2} ight|_{- 1}^{2} + 2.2 + 3.( - 1) = \frac{5}{2}

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {z - 1 + 2i} ight| = 2 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

    Ta có: {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z = 3 - 7i + \left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)

    \Rightarrow {\text{w}} - 3 + 7i = \left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)

    \Rightarrow \left| {{\text{w}} - 3 + 7i} ight| = \left| {\left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)} ight| = \left| {2 - i} ight|\left| {z - 1 + 2i} ight| = 2\sqrt 5

    => Tập hợp các điểm biểu diễn số phức {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z là một đường tròn bán kính R = 2\sqrt 5

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho các số phức z thỏa mãn \left| {{z^2} + 4} ight| = \left| {\left( {z - 2i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)} ight|. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \left| {z + 3 - 2i} ight|.

    3 || ba || Ba

    Đáp án là:

    Cho các số phức z thỏa mãn \left| {{z^2} + 4} ight| = \left| {\left( {z - 2i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)} ight|. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \left| {z + 3 - 2i} ight|.

    3 || ba || Ba

    Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức.

    Có \left| {{z^2} + 4} ight| = \left| {\left( {z - 2i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)} ight| \Leftrightarrow \left| {z - 2i} ight|.\left| {z + 2i} ight| = \left| {\left( {z - 2i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)} ight|

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2i\\\left| {z + 2i} ight| = \left| {z - 1 + 2i} ight|\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0;\;y = 2\\x = \frac{1}{2};\;y \in \mathbb R\end{array} ight.

    Vậy M= (0; 2) hoặc M \in d:x = \frac{1}{2}.

    Gọi I(-3;2) thì P=IM. Khi đó I{M_{\min }} = 3 hoặc I{M_{\min }} = d(I;d) = \frac{7}{2}.

    Vậy {P_{\min }} = 3.

  • Câu 36: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} - (3i + 8)z + 11\,.i + 13 = 0  là 

     Ta có: \Delta = {(3i + 8)^2} - 4(11.i + 13) = 4i + 3.

    Giả sử m+ni \,\,(m; n \in \mathbb R)  là căn bậc hai của \triangle.

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 3 + 4i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 3 + 4i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3\\2mn = 4\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3 \,\, (1)\ = \dfrac{2}{m}\,\,\,\, \,\,\,\, (2)\end{array} ight.

    Thay (2) vào (1) ta có:

    {m^2} - {\left( {\frac{2}{m}} ight)^2} = 3 \Leftrightarrow {m^4} - 3{m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,(TM)\\{m^2} = - 1\,\,\,\,\,\,\,(L{m{)}}\end{array} ight.

    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 \Rightarrow n = 1\\m = - 2 \Rightarrow n = - 1\end{array} ight.

    Vậy \triangle có hai căn bậc hai là  2+i  và -2-i.

    Do đó nghiệm của phương trình là:

    \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{3i + 8 + i + 2}}{2} = 2i + 5\\z = \dfrac{{3i + 8 - i - 2}}{2} = i + 3\end{array} ight.

  • Câu 37: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)(x + 2)?

    Ta có: f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)dx} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C

  • Câu 38: Thông hiểu

    Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = \frac{1}{x} trên ( - \infty;0) thỏa mãn F( - 2) = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{x}dx} = \ln|x| + C = \ln( - x) + C;\forall x \in ( - \infty;0)

    Lại có F( - 2) = 0 \Leftrightarrow \ln(2) + C = 0 \Rightarrow C = - ln2

    Do đó F(x) = \ln( - x) - ln2 = \ln\left( - \frac{x}{2} ight)

    Vậy F(x) = \ln\left( - \frac{x}{2} ight);\forall x \in ( - \infty;0).

  • Câu 39: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

     Ta có \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{( - 1 + 3i)(1 - i)}}{{{{(2 + i)}^2}}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 4i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{(2 + 4i)(3 - 4i)}}{{25}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M(1;8;0),C(0;0;3) cắt các tia Ox,Oy lần lượt tại A;B sao cho OG nhỏ nhất, với G là trọng tâm tam giác ABC. Biết G(a;b;c), hãy tính T = a + b + c.

    Gọi A(m;0;0),B(0;n;0) với m,n > 0.

    Khi đó phương trình của (ABC):\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{3} = 1.

    Vì M \in (ABC) nên \frac{1}{m} + \frac{8}{n} = 1. Kết hợp với điều kiện m > 0,n > 0 suy ra m > 1 và n > 8.

    Cũng từ trên ta có m = \frac{n}{n - 8}.

    Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ \left( \frac{m}{3};\frac{n}{3};1 ight).

    OG^{2} = |\overrightarrow{OG}|^{2} = \left( \frac{m}{3} ight)^{2} + \left( \frac{n}{3} ight)^{2} + 1^{2} = \frac{1}{9}\left\lbrack \left( \frac{n}{n - 8} ight)^{2} + n^{2} ightbrack + 1

    Xét hàm số f(n) = \left( \frac{n}{n - 8} ight)^{2} + n^{2} với n > 8.

    Ta có f^{'}(n) = 2 \cdot \frac{n}{n - 8} \cdot \frac{- 8}{(n - 8)^{2}} + 2n = 2n\left\lbrack \frac{- 8}{(n - 8)^{3}} + 1 ightbrack.

    f^{'}(n) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0 \\ n = 10 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow n = 10 ight.

    Bảng biến thiên

    OG đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi f(n) đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi n = 10; lúc đó m = 5 và G\left( \frac{5}{3};\frac{10}{3};1 ight).

    Vậy T = a + b + c = 6

  • Câu 41: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {5 - 3i} = 5 - ( - 3i) = 5 + 3i

  • Câu 42: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1). Đúng||Sai

    a) Sai

    Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là ( - 1,5\ ;\ - 1\ ;\ 0,5).

    b) Đúng

    Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là (2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7).

    Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

    \sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} + (0,7 + 0,5)^{2}}

    = \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx 4,6(km)

    c) Sai

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

    \sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} = \frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

    \sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} + 0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)

    Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

    d) Đúng

    Vị trí của chiếc flycam là

    \left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 - 1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\ 0,6).

    Khoảng cách bay của flycam là:

    \sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} = \frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)

    Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1) là

    \sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)

    Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1).

  • Câu 43: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{3} - 2x - 1 và y = 2x - 1 được tính theo công thức

    Phương trình hoành độ giao điểm của y = x^{3} - 2x - 1 và y = 2x - 1 là:

    x^{3} - 2x - 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow x^{3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 0 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{3} - 2x - 1 và y = 2x - 1 được tính theo công thức S = \int_{- 2}^{2}{\left| x^{3} - 4x ight|dx}.

  • Câu 44: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i;{z_2} = 3 + 2i. Phần thực và phần ảo của số phức {z_1},{z_2} tương ứng bằng:

     Ta có: {z_1}.{z_2} = \left( {1 - i} ight)\left( {3 + 2i} ight) = 5 - i

  • Câu 45: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A;B;C sao cho T = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} + \frac{1}{OC^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất là:

    Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực dương do OA, OB, OC khác 0.

    Khi đó phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C có phương trình là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Mà M ∈ (P) nên \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1, do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

    T = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{14}\left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ight)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)

    \geq \frac{1}{14}\left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} ight)^{2} = \frac{1}{14}

    T đạt giá trị nhỏ nhất nên ta có dấu bằng xảy ra, tức là: \left\{ \begin{matrix}a = 2b = 3c \\\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 14 \\b = \dfrac{14}{2} \\c = \dfrac{14}{3} \\\end{matrix} ight.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x + 2y + 3z - 14 = 0.

  • Câu 46: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1;3),B( - 3;0; - 4). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A và B?

    Ta có \overrightarrow{BA} = (4; - 1;7) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: \frac{x + 3}{4} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 4}{7}.

  • Câu 47: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = a\ln|x + 1| + b\ln|x - 2| + C. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}

    = \frac{A(x - 2) + B(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{(A + B)x + ( - 2A + B)}{(x + 1)(x - 2)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 2 \\ - 2A + B = - 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 5 \\ B = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{5}{x + 1} - \frac{3}{x - 2} ight)dx}

    = 5\ln|x + 1| - 3\ln|x - 2| +C

    Suy ra a = 5;b = - 3 suy ra a - b = 8.

  • Câu 48: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD với I là trung điểm của AB. góc giữa hai đường thẳng IC;AD có cosin bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:

    \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}= a^{2}.\cos60^{0} = \frac{a^{2}}{2}

    Tương tự \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} = \frac{a^{2}}{2}

    Ta có: \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}

    Do đó \overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AD} = \frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4}

    Mà \cos\left( \overrightarrow{IC};\overrightarrow{AD} ight) = \frac{\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AD}}{\left| \overrightarrow{IC} ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|} nên \cos\left( \overrightarrow{IC};\overrightarrow{AD} ight) = \frac{a^{2}}{4}:\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2\sqrt{3}}

  • Câu 49: Thông hiểu

    Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|

     Ta có \left| z ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5

  • Câu 50: Vận dụng

    Cho hai hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \lbrack 1;2brack thỏa mãn f(1) = 4 và f(x) = x.f'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}. Giá trị f(2) bằng:

    Chọn f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

    f(x) = xf'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}

    \Leftrightarrow ax^{3} + bx^{2} + cx + d = x\left( 3ax^{2} + 2bx + c ight) - 2x^{3} - 3x^{2}

    Từ đó suy ra \left\{ \begin{matrix} a = 3a - 2 \\ b = 2b - 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy f(x) = x^{3} + 3x^{2} \Rightarrow f(2) = 20

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 33 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập