Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành,
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành,
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Số phức
là số phức nào sau đây?
Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với
tại điểm có hoành độ
là hình chữ nhật có kích thước là
và
?
Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với tại điểm có hoành độ
là hình chữ nhật có kích thước là
và
Diện tích thiết diện được xác định theo hàm là:
⇒ Thể tích vật thể tròn xoay:
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên
thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Lại có
Do đó
Vậy .
Một vật chuyển động với gia tốc
. Vận tốc ban đầu của vật là
. Hỏi vận tốc của vật là bao nhiêu sau khi chuyển động với gia tốc đó được
.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc nên
Suy ra
Vận tốc của vật khi chuyển động với gia tốc đó được 2s là .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Vị trí tương đối của
và
là
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương và đi qua điểm M(−1; 0; 1).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương .
Hai vectơ và
cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.
Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
là:
Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị là:
Diện tích cần tìm là:
Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho tam giác ABC có
.
Viết phương trình chính tắc của cạnh AB.
(AB) là đường thẳng đi qua A và B nên có 1 vecto chỉ phương:
(AB) đi qua A (1, 2, -3) và nhận vecto làm 1 VTCP có phương trình chính tắc là:
Cho số phức
. Phần thực của số phức
là?
Ta có:
Vậy phần thực là .
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho mặt phẳng
. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có tọa độ là
hoặc
.
Trong không gian
, điểm đối xứng của điểm
qua trục
có tọa độ là
Gọi là điểm đối xứng của
qua trục
.
Hình chiếu vuông góc của lên trục
là
Khi đó là trung điểm của
. Do đó tọa độ của
là
Trong không gian
, cho bốn điểm
. Hai điểm
lần lượt nằm trên đoạn BC và BD sao cho
và
. Phương trình mặt phẳng
có dạng
. Tính
?
Trong không gian , cho bốn điểm
. Hai điểm
lần lượt nằm trên đoạn BC và BD sao cho
và
. Phương trình mặt phẳng
có dạng
. Tính
?
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Cho số phức
. Tìm phần thực a và phần ảo b của z.
Ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
. Điểm nào sau đây không nằm trên mặt phẳng
?
Phương trình mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
có dạng
Thay tọa độ các đáp án vào phương trình mặt phẳng ta có 3 điểm
thoả mãn, còn điểm
không thoả mãn.
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tính
.
bằng
Ta có .
Cho tam giác
. Lấy điểm
nằm ngoài mặt phẳng
. Trên đoạn
lấy điểm
sao cho
và trên đoạn
lấy điểm
sao cho
. Biết biểu diễn
là duy nhất. Tính giá trị biểu thức
?
Hình vẽ minh họa
Theo giả thiết ta có: ;
Lấy điểm P trên cạnh AC sao cho . Khi đó:
Số phức
bằng:
Ta có:
Cho tứ giác ABCD có
. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (BCD) và chia tứ diện thành hai khối AMNF và MNFBCD có tỉ số thể tích bằng
.
Tỷ số thể tích hai khối AMNE và ABCD:
M chia cạnh BA theo tỷ số -2
Vecto pháp tuyến của
Cho hai số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
tương ứng bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng nào cách B một khoảng cách nhỏ nhất?
Hình vẽ minh họa
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
Gọi (Q) là mặt phẳng qua A(−3; 0; 1) và song song với .
và
.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B lên d và (Q) thì .
Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi
.
Đường thẳng BK đi qua B(1; −1; 3) và vuông góc với (Q)
Lại có:
Đường thẳng d qua A và nhận làm vectơ chỉ phương nên đường thẳng cần tìm là:
.
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
là:
Ta có:
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh
như hình vẽ:

Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh
, trục đối xứng
và đi qua các điểm
. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200 nghìn đồng/m2 và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500 nghìn đồng/m2. Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng ![]()
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của A1A2. Tọa độ các đỉnh A1(−2; 0), A2(2; 0), B1(0; −1), B2(0; 1)
Phương trình đường Elip
Ta có:
Parabol (P) có đỉnh B1(0; −1) và trục đối xứng là Ox nên (P) có phương trình , (a > 0), đi qua M; N
Diện tích phần tô đậm
Đặt
Đổi cận
Diện tích hình Elip là
Suy ra diện tích phần còn lại là:
Kinh phí sử dụng là đồng.
Tích phân
có giá trị là:
Đặt
Đổi cận
Cho các số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
3 || ba || Ba
Cho các số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
3 || ba || Ba
Gọi là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức.
Có
Vậy hoặc
.
Gọi thì
. Khi đó
hoặc
.
Vậy
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho hai điểm
. Mặt phẳng chứa đường thẳng
và song song với
có phương trình :
Theo đề bài ta có
cùng phương với vectơ
Mặt khác, trục có vectơ chỉ phương
cùng phương với vectơ
Chọn làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa
và song song với trục
. Phương trình mặt phẳng này có dạng :
Mặt phẳng cần tìm còn qua điểm C nên ta thay tọa độ điểm C vào pt trên, có:
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm :
Cho tam giác
vuông tại
và có hai đỉnh
nằm trên mặt phẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của đỉnh
lên
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu A nằm trên (P) tức A’ trùng với A thì tam giác A’BC có góc A vuông, nếu A không nằm trên (P) thì
suy ra góc
là góc tù.
Cho
với
là các số hữu tỉ. Khi đó
bằng:
Ta có:
Suy ra .
Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:
=
= a – bi
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Gọi
là bốn nghiệm phức của phương trình
. Tổng
bằng:
Ta có:
Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng

Dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên là:
Trong không gian
, cho ba điểm
. Tọa độ chân đường phân giác của góc
trong tam giác
là:
Ta có:
Gọi là chân đường phân giác kẻ từ
lên
của tam giác
.
Suy ra
Ta có:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
.Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có
Vậy đáp án cần tìm là: .
Cho tứ diện
trọng tâm
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Vì G là trọng tâm tứ diện ABCD nên suy ra:
Suy ra mệnh đề sai là .
Cho số phức
thỏa mãn
và
.
Tính giá trị biểu thức
.
Ta có mà
(1)
Tương tự ta có
Cộng (1) và (2) ta có:
Cho số phức
. Số phức
là số phức nào sau đây?
Ta tính được
Biết luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
và thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
Do . Vì luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
nên
không phải là hàm hằng.
Từ giả thiết
Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân ta được:
với C là hằng số.
TH1: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
TH2: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua
và song song với vectơ
là:
Theo đề bài, ta có:
Chọn làm 1 vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng :
Mà mp lại qua A nên
Phương trình cần tìm là: .
Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn F(2) = 0
Ta có: F(2) = 0 => C = 2
=>
Xét phương trình F(x) = x ta có:
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng
Một xe ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó
. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi
là quảng đường xe ô tô đi được trong
(giây) kể từ lúc đạp phanh.
a) Quảng đường
mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Đúng||Sai
b) Quãng đường
. Đúng||Sai
c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là
giây. Sai||Đúng
d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai
Một xe ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó
. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi
là quảng đường xe ô tô đi được trong
(giây) kể từ lúc đạp phanh.
a) Quảng đường mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Đúng||Sai
b) Quãng đường . Đúng||Sai
c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là giây. Sai||Đúng
d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai
Do nên quãng đường
mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Ta có:
với
là hằng số.
Khi đó, ta gọi hàm số .
Do nên
. Suy ra
.
Xe ô tô dừng hẳn khi hay
. Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.
Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ .
Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: .
Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: .
Do nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.
Trong không gian
, cho điểm
. Tọa độ trung điểm của
là.
Tọa độ trung điểm I của AB là:
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Cho số phức
. Tính |z|
Ta có
Trong hệ tọa độ
, cho đường thẳng
có vectơ chỉ phương
và mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
vuông góc
thì d có thể nằm trong
.
song song
thì
vuông góc
.
vuông góc
thì
cùng phương
.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của
với z là số phức khác 0 và thỏa mãn
. Tính ![]()
Ta có
Mặt khác:
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là , xảy ra khi
giá trị lớn nhất của P bằng
xảy ra khi
=>