Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); gọi
lần lượt là các góc tạo bởi vector pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của (P) là (
):
Theo đề bài, ta có:
Gọi
Ta có:
Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); gọi
lần lượt là các góc tạo bởi vector pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của (P) là (
):
Theo đề bài, ta có:
Gọi
Ta có:
Cho số phức
thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Gọi tìm được
.
Tính mô đun ta được .
Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:
Hàm số
là nguyên hàm của
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
TXĐ:
Ta có:
Phương trình có 1 nghiệm đơn
và một nghiệm kép
nên hàm số
có 1 điểm cực trị.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tứ diện
với
. Tìm tất cả các giá trị thực của
để thể tích khối tứ diện
bằng
.
Ta có:
Lại có:
Khi đó ta có:
Theo đề ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với
.
Phương trình mặt phẳng (P):
Cho số phức
, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị
để z là số thực?
Ta có:
z là số thực khi và chỉ khi
Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.
Biết
. Khi đó
tương ứng bằng
Ta có:
Cho hai số phức
và
. Tìm phần ảo b của số phức
.
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và hai mặt phẳng
. Dường thẳng đi qua
và song song với hai mặt phẳng
có phương trình là
Gọi là đường thẳng cần tìm.
Mặt phẳng có một véc-tơ pháp tuyến là
và
có một vectơ pháp tuyến là
. Ta có
.
Khi đó, đi qua điểm
và nhận véc-tơ
làm vec-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng
là
Với thì điểm
thuộc
. Viết lại phương trình đường thẳng
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Độ dài của đoạn
là
Ta có:
khi đó độ dài đoạn
bằng:
bằng
Ta có .
Biết rằng
và
. Tìm hàm số
?
Ta có:
Mà
Vậy
Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: ![]()
Ta có
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Biết rằng
là một nguyên hàm của hàm số
trên
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
suy ra
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Đường thẳng
đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
. Hỏi
đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có:
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Phương trình đường thẳng
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).
Tích phân
có giá trị là:
Ta biến đổi:
Xét
Đặt
Xét
Đặt
Đổi cận
Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
.Phân tích nào sau đây là đúng?
Ta có: là trọng tâm tam giác
khi
Cho hai số phức
. Môđun của số phức
là:
Ta có:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng
Diện tích hình giới hạn là
Trong không gian
. cho điểm
. Tìm tọa độ điểm
đối xứng với điểm
qua mặt phẳng
?
Lấy đối xứng qua mặt phẳng thì
đổi dấu còn
giữ nguyên nên điểm
có tọa độ là
.
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Cho hình lập phương
có đường chéo
. Gọi
là tâm hình vuông
và điểm S thỏa mãn: ![]()
. Khi đó độ dài của đoạn
bằng
với
và
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
.
Cho hình lập phương có đường chéo
. Gọi
là tâm hình vuông
và điểm S thỏa mãn:
. Khi đó độ dài của đoạn
bằng
với
và
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
.
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Cho a, b, c là các số thực và
. Giá trị của
bằng:
Cách 1: Ta có
và
.
Ta có
Cách 2: Chọn .
Ta có
Thử lại các đáp án với ta thấy chỉ có đáp án
thỏa mãn.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và đồ thị hàm số
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Khi đó ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
?
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
nên
có một vectơ chỉ phương là
.
Phương trình là
Kiểm tra được điểm thỏa mãn hệ (*).
Vậy phương trình: cũng là phương trình của
.
Cho
là hai số phức thỏa mãn phương trình
, biết ![]()
Tính giá trị của biểu thức: ![]()
Cách 1. Ta có:
và
Chú ý:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm O bán kính
.

Gọi
Ta có: đều
Mà với M là điểm thỏa
mãn là hình thoi cạnh 1
Cách 2. Đặt , ta có
và
Khi đó:
Sử dụng công thức
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Biết rằng giá trị lớn nhất của
trên khoảng
là
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Ta có:
Vì là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
nên hàm số
có công thức dạng
với mọi
Xét hàm số xác định và liên tục trên
Ta có:
Trên khoảng phương trình
có một nghiệm
Ta có bảng biến thiên như sau:
. Theo bài ra ta có:
Do đó suy ra
.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
.Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có
Vậy đáp án cần tìm là: .
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Trong không gian
, tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là
=
= a – bi
Gọi
là các nghiệm của phương trình
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Ta có phương trình
Suy ra:
Vì (1)
Mà ;
.
Vậy từ .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
và điểm
thay đổi trên mặt phẳng tọa độ
. Tìm giá trị lớn nhất của
?
Thay tọa độ của A, B vào phương trình mặt phẳng (Oxy): z = 0, ta có
⇒ A, B nằm về hai phía của (Oxy).
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (Oxy).
Khi đó ta có:
Suy ra lớn nhất bằng A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và (Oxy).
Ta có .
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
. Môđun của số phức
có giá trị là
10
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Môđun của số phức
có giá trị là
10
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có
. Tọa độ trọng tâm tam giác
là
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của đoạn BD’ suy ra
Gọi là trọng tâm tam giác
Ta có: với
Do đó:
Vậy tọa độ trọng tâm tam giác cần tìm là
Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại
và
. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
(
) cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là
và
. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên
Diện tích thiết diện là:
Thể tích vật thể là:
Trong không gian cho tam giác
. Tìm
sao cho giá trị của biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Suy ra G cố định và
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy với
là trọng tâm tam giác
.
Tìm các căn bậc hai của số phức ![]()
Giả sử m + ni (m; n R) là căn bậc hai của z
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.
Một ô tô đang chạy với vận tốc
thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc
. Tính quãng đường mà ô tô đi được sau
giây kể từ khi ôtô bắt đầu tăng tốc.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc
Khi đó quãng đường xe đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng
Trong không gian
, cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục tọa độ
lần lượt tại các điểm
không trùng với gốc tọa độ
sao cho
là trực tâm tam giác
. Viết phương trình mặt phẳng nào song song với mặt phẳng
?
Trong không gian , cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục tọa độ
lần lượt tại các điểm
không trùng với gốc tọa độ
sao cho
là trực tâm tam giác
. Viết phương trình mặt phẳng nào song song với mặt phẳng
?
Tích phân
có giá trị là:
Đặt
Đổi cận
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
, F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)
Ta có:
=>
=>
=>
Khi đó:
Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5
=>
=>
=>
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành,
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:
=
= a – bi