Trong không gian với hệ tọa độ
, cho phương trình đường thẳng
. Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng
?
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho phương trình đường thẳng
. Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng
?
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:
.
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Điểm
thuộc mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất là:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có:
Dễ thấy nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, suy ra M là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (Oxy).
Dễ thấy .
Trong không gian tọa độ
, góc giữa hai vectơ
và
là:
Ta có:
Số phức z thỏa mãn:
là:
Ta áp dụng các quy tắc thực hiện phép tính, có:
Ngoài ra ta có thể sử dụng lệnh CALC trong máy tính để thử các phương án.
Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
trên khoảng
thỏa mãn
. Xác định công thức
?
Ta có: (vì
)
Mà
Vậy .
Tìm nguyên hàm của hàm số
??
Đặt
Xét số phức z thỏa mãn:
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Giả sử: và
, thay vào đẳng thức ta có:
Do đó ta có:
Một ô tô đang chạy với vận tốc
thì dừng lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô di chuyển động chậm dần đều với vận tốc
, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn
Quãng đường xe đi được từ khi đạp phan đến lúc dừng hẳn là:
Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ
là một hình tròn có diện tích bằng
. Thể tích của vật thể là?
Ta có:
Biết
và
là ba nghiệm của phương trình
,
trong đó
là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức
bằng:
Xét phương trình là phương trình bậc ba với hệ số thực nên luôn có một nghiệm thực là
.
Do đó phương trình tương đương với:
.
Nên là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (1).
Suy ra .
Khi đó : .
Vậy phần ảo của là
.
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Cho hình phẳng
giới hạn bới đường cong
, trục hoành và các đường thẳng
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành có thể tích
bằng bao nhiêu?
Thể tích cần tìm là:
Cho hai số phức
. Môđun của số phức
là:
Ta có:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, điểm nào dưới đây thuộc trục
?
Điểm . Suy ra trong bốn điểm đã cho điểm
.
Với giá trị nào của thì hai mặt phẳng sau song song:
![]()
Áp dụng điều kiện để 2 mp song song, ta xét:
Với thoả mãn cả 3 điều kiện trên
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Trung điểm
của
có tọa độ là:
Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và ba điểm
. Điểm M ∈ (α) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
Xét điểm I(a; b; c) thỏa mãn:
Khi đó
Khi đó:
Do đó đạt giá trị nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I trên mặt phẳng
.
Do là hình chiếu của I trên mặt phẳng
nên ta có:
Vậy .
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
Nếu thì
Suy ra tứ giác là hình bình hành
Mệnh đề sai vì:
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Cho số phức
thoả mãn
là số thực và
với
. Gọi
là một giá trị của
để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:
Giả sử .
Đặt:
.
là số thực nên:
.
Mặt khác:
Thay (1) vào (2) được:
Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT (3) phải có nghiệm duy nhất .
(Vì là mô-đun).
Họ các nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Số phức z thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
; cho điểm
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của điểm
trên ba trục tọa độ
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Có là hình chiếu của
lên các trục tọa độ nên mặt phẳng cần tìm là
Tìm nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Vậy một nguyên hàm của hàm số là .
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z là
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:
Hàm số
có nguyên hàm là:
Ta có:
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
và mặt phẳng
. Gọi
thuộc
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
.
Giả sử là điểm thỏa mãn
.
Khi đó ,
,
;
;
;
(vì
)
Vì I cố định nên đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên
.
Gọi là đường thẳng qua I và vuông góc với
Phương trình đường thẳng .
Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình:
.
Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh
và
. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
và
.
Do thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích của thiết diện là
Ta có thể tích cần tính là:
Cho
là hai số phức thỏa mãn phương trình
, biết ![]()
Tính giá trị của biểu thức: ![]()
Cách 1. Ta có:
và
Chú ý:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm O bán kính
.

Gọi
Ta có: đều
Mà với M là điểm thỏa
mãn là hình thoi cạnh 1
Cách 2. Đặt , ta có
và
Khi đó:
Sử dụng công thức
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
và
bằng:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng là:
Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có
mà
Suy ra
Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:
Theo đề bài, ta có được các vecto sau:
Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của và
.
Chọn làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mp có dạng
là mp qua A
Vậy phương trình .
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
đến điểm
trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là
, trong đó
là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính
?

Đáp án: 1223
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là
, trong đó
là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính
?
Đáp án: 1223
Gọi là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ gấp 4 lần thời gian bay từ
nên
Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên và
cùng hướng.
Suy ra
Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là .
Do đó,
Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3
Gọi
là bốn nghiệm phức của phương trình
. Tổng
bằng:
Ta có:
Biết luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
và thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
Do . Vì luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
nên
không phải là hàm hằng.
Từ giả thiết
Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân ta được:
với C là hằng số.
TH1: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
TH2: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là .
Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:![]()
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:.
Cho hàm số
liên tục nhận giá trị dương trên
và thỏa mãn
;
. Giá trị
gần nhất với giá trị nào sau đây?
Vì
Mà
Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz:
,
. Với
. Gọi
và
. (D) và (d) cắt nhau khi và chỉ khi:
Để xét điều kiện (D) và (d) cắt nhau ta cẩn kiểm tra rằnng (D) và d cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:
và (d) cùng nằm trong một mặt phẳng
Để (D) và d cắt nhau, ta sẽ xét tỉ số sau:
và (d) cắt nhau.
Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
và
, với
. Tìm
để diện tích hình phẳng
gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
và
, với
. Tìm
để diện tích hình phẳng
gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 0,59
Gọi là diện tích hình phẳng
. Lúc dó
, trong đó
là diện tích phần gạch sọc ở bên phải
và
là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.
Gọi là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng
và đồ thị hàm số
, trong đó
và
.
Thco yêu cầu bài toán .
.
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, giao điểm của mặt phẳng
và đường thẳng
là:
Gọi là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Ta có:
Suy ra .
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó:
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và các đường thẳng ![]()
Diện tích S của hình phẳng trên là:
Ta có:
=>
Cho hai số phức
và
. Tìm phần ảo b của số phức
.
Ta có:
Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Khi đó
Suy ra suy ra
.