Cho số phức
. Số phức
là số phức nào sau đây?
Ta có:
Suy ra
.
Cho số phức
. Số phức
là số phức nào sau đây?
Ta có:
Suy ra
.
Biết luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
và thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
Do . Vì luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
nên
không phải là hàm hằng.
Từ giả thiết
Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân ta được:
với C là hằng số.
TH1: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
TH2: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là .
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là?
Ta có:
Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1.
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó:
Cho hàm số
có đạo hàm trên khoảng
thỏa mãn
và
. Giá trị tích phân
bằng:
Từ giả thiết ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra
Vì nên
Đặt
Theo công thức tích phân từng phần ta được:
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có: . Khi đó
Vậy
Cho số phức
thoả điều kiện
.
Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
và điểm
thay đổi trên mặt phẳng tọa độ
. Tìm giá trị lớn nhất của
?
Thay tọa độ của A, B vào phương trình mặt phẳng (Oxy): z = 0, ta có
⇒ A, B nằm về hai phía của (Oxy).
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (Oxy).
Khi đó ta có:
Suy ra lớn nhất bằng A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và (Oxy).
Ta có .
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z là
Ta có:
Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm tập nghiệm S của phương trình ![]()
Đặt
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho số phức
thỏa mãn
. Viết
dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
10
Cho số phức thỏa mãn
. Viết
dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
10
Ta có:
Suy ra .
Cho hàm số
liên tục trên
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và các đường thẳng
. Diện tích hình
được tính theo công thức?
Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức .
Giả sử
với
là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
Ta có:
Đặt
Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình có hai nghiệm
và
.
Biết số phức
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
và biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
?
Theo giả thiết
Ta có
Xét điểm và
. Khi đó
Bài toán trở thành tìm điểm sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì nên hai điểm E, F nằm cùng phía đối với đường thẳng
.
Gọi E' là điểm đối xứng với E qua
Đường thẳng EE' đi qua điểm và có VTPT
nên có phương trình
Gọi H là giao điểm của EE' và . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
suy ra
E' đối xứng với E' qua H nên
Ta có
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của E'F và đường thẳng
Đường thẳng E'F đi qua điểm và có VTPT
có phương trình
=>
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
Vậy .
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a; AD = b; AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng MN.
Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:
(MN) là đường thẳng đi qua M và nhận vecto là 1 VTCP có PT là:
Cho hình lăng trụ tam giác
. Đặt
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Ta có:
Do đó
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho bốn điểm
. Gọi
là điểm nằm trên mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho bốn điểm
. Gọi
là điểm nằm trên mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
?
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
thỏa mãn
và
liên túc trên
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Trong không gian
cho hai điểm
. Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng
b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là
. Đúng||Sai
c) Cho
, tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian cho hai điểm
. Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng
b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là . Đúng||Sai
c) Cho , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Sai: Hình chiếu của điểm trên trục
có tọa độ là
b) Đúng: Vì là trung điểm của
.
c) Đúng: Ta có .
vuông tại
.
d) Sai.
Gọi thỏa
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
.
Vậy .
Suy ra
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành, đường thẳng
như hình vẽ sau:

Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Dựa vào hình biểu diễn hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, đường thẳng
ta có:
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và hai điểm
. Tìm điểm
thuộc
sao cho
vuông tại
.
Điểm thuộc đường thẳng
nên
.
Ta có và
.
Tam giác vuông tại
khi và chỉ khi
Khi đó tọa độ điểm .
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có:
Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là 2.
Số phức
có phần thực bằng
Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.
Cho
là các số hữu tỉ thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Trong không gian
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Phương trình tham số của đường thẳng
là
đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
nên có phương trình tham số
.
Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:
A sai và có thể (P) và (Q) trùng nhau
B sai, vì mỗi mặt phẳng có vô số vecto pháp tuyến. Suy ra D sai.
C đúng vì 1 mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một VTPT của nó.
Gọi
là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức
là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Gọi là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn .
Do đó ta có
Ta cũng có
và
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình chính tắc của đường thẳng
đi qua điểm
có vectơ chỉ phương
là:
Phương trình đường thẳng đi qua điểm có vectơ chỉ phương
nên có phương trình:
.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Xác định giá trị tham số
để
?
Ta có:
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
và
là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Vì lần lượt là trung điểm của các cạnh
nên ta có:
.
Mặt khác (vì I là trung điểm của MN) suy ra
Theo bài ra ta có:
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
, trục hoành, hai đường thẳng
(như hình vẽ bên).

Giả sử
là diện tích của hình phẳng
. Chọn công thức đúng?
Dựa vào đồ thị hình vẽ ta thấy:
+ Đồ thị cắt trục hoành tại điểm
+ Trên đoạn , đồ thị ở phía dưới trục hoành nên
+ Trên đoạn , đồ thị ở phía trên trục hoành nên
Do đó:
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với trục Ox có phương trình là:
Ta có: .
Phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với trục Ox có phương trình là:
Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi
là
. Tính
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Vậy
Cho
. Hãy tính
?
Đặt
Đổi cận ta có:
Vậy
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn
và
. Tìm số phần tử của S.
2 || Hai || hai
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn và
. Tìm số phần tử của S.
2 || Hai || hai
Điều kiện: .
Đặt .
Theo giả thiết .
là đường tròn tâm O(0; 0), bán kính
.
Mặt khác
là đường tròn tâm
, bán kính
.
Để tồn tại duy nhất số phức z thì và
tiếp xúc ngoài hoặc trong.
TH1: và
tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi
.
TH2: và
tiếp xúc trong khi và chỉ khi
.
Vậy .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Tính độ dài đoạn thẳng
?
Vì là trọng tâm tam giác
nên tọa độ điểm
hay
Vậy .
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Cho parabol
và hai điểm
thuộc
sao cho
. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
và đường thẳng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi và
là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.
Không mất tính tổng quát giả sử a < b.
Theo giả thiết ta có AB = 2 nên
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:
Mặt khác nên
do
Suy ra
Vậy dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.
Cho hai số phức
và
. Tìm phần ảo b của số phức
.
Ta có:
Cho số phức
. Tính |z|
Ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
; cho điểm
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của điểm
trên ba trục tọa độ
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Có là hình chiếu của
lên các trục tọa độ nên mặt phẳng cần tìm là