Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Hàm số y = f(x) có một nguyên hàm là F(x) = e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số \frac{f(x) +
1}{e^{x}}?

    Ta có: f(x) = F'(x) = \left( e^{2x}
ight)' = 2.e^{2x}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f(x) +
1}{e^{x}}dx} = \int_{}^{}{\frac{2e^{2x} + 1}{e^{x}}dx}

    = 2e^{x} - e^{- x} + C

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - t \\
y = 2 + 2t \\
z = - 1 - 2t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d?

    Thay M(1;2; - 1) vào d ta được: \left\{ \begin{matrix}
1 = 1 - t \\
2 = 2 + 2t \\
- 1 = - 1 - 2t \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow M \in
d

    Thay N(6; - 8;9) vào d ta được: \left\{ \begin{matrix}
6 = 1 - t \\
- 8 = 2 + 2t \\
9 = - 1 - 2t \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow t = - 5 \Rightarrow N \in
d

    Thay P( - 6;16; - 14) vào d ta được: \left\{ \begin{matrix}
- 6 = 1 - t \\
16 = 2 + 2t \\
- 14 = - 1 - 2t \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
t = 7 \\
t = 7 \\
t = \frac{13}{2} \\
\end{matrix} ight. hệ vô nghiệm nên P otin d.

    Thay Q( - 19;42; - 41) vào d ta được: \left\{ \begin{matrix}
19 = 1 - t \\
42 = 2 + 2t \\
- 41 = - 1 - 2t \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow t = 20 \Rightarrow Q \in
d

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -
3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +
0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =
10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} +
4.\overrightarrow{k}A( -
3;0;0)

    \Rightarrow C'(7;4;4)

    Suy ra C'(7;4;4)

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1 , gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P = \left| {{z^5} + {{\overline z }^3} + 4z} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|. Tính \left| {M - mi} ight|

     Ta có P = \left| {{z^5} + {{\overline z }^3} + 4z} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = \left| {{z^4} + {{\overline z }^4} + 4} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = \left| {{{\left( {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight)}^2} + 2} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = {\left( {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight)^2} + 2 - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = {\left( {\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight| - 1} ight)^2} + 1

    Vì \left\{ \begin{array}{l}{z^2} + {\overline z ^2} \in \mathbb{R} \\ - 2 \le {z^2} + {\overline z ^2} \le 2\end{array} ight.  nên {P_{{m{max}}}} = 2; {P_{{m{min}}}} = 1.

    Suy ra  \left| {M - mi} ight| = \sqrt 5

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} =
a\ln|x - 1| + b\ln|x + 1| + C với a;b là các số hữu tỉ. Khi đó a - b bằng:

    Ta có: \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x
- 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} -
1}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ight)dx} =
\frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2}
\Rightarrow a - b = 1.

  • Câu 6: Vận dụng

    Phân tích vectơ \overrightarrow V  = \left( {4\,,\,3\,,\, - 5\,} ight) theo ba vectơ không đồng phẳng

    \overrightarrow a  = \left( {2, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow b  = \left( {1, - 3,2} ight);\,\,\overrightarrow c  = \left( { - 3,2, - 2} ight).

    Ta có 3 vecto \overrightarrow a ;\,\,\,\overrightarrow b ;\,\,\,\overrightarrow c không đồng phẳng. Khi đó luôn có :

    \begin{array}{l}\exists m,n,p \in \mathbb R :m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c  = \overrightarrow V \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + n - 3p = 4 & \left( 1 ight)\\ - m - 3n + 2p = 3 & \left( 2 ight)\,\,\,\,\,;\left( 2 ight) + \left( 3 ight) \Rightarrow n = 2\\m + 2n - 2p =  - 5 & \left( 3 ight)\end{array} ight.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 3p = 2 & \left( {1'} ight)\\ - m + 2p = 9 & \left( {2'} ight)\end{array} ight.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 31\\p = 20\end{array} ight.\\ \Rightarrow \overrightarrow V  = 31\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  + 20\overrightarrow c \end{array}

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{x} = (2;1; - 3);\overrightarrow{y}
= (1;0; - 1). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} +
2\overrightarrow{y}?

    Ta có: 2\overrightarrow{y} = (2;0; -
2). Khi đó \overrightarrow{a} =
\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} = (2 + 2;1 + 0; - 3 - 2) =
(4;1; - 5).

    Vậy \overrightarrow{a} = (4;1; -
5)

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \widehat{ABC} = 60^{0}, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H,M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,SA,SDP là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm K của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \widehat{ABC} = 60^{0}, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H,M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,SA,SDP là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm K của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Vận dụng cao

    Gọi d là đường thẳng tùy ý đi qua điểm M(1;1) và có hệ số góc âm. Giả sử d cắt các trục Ox;Oy lần lượt tại A;B. Quay tam giác OAB quanh trục Oy thu được một khối tròn xoay có thể tích là V. Giá trị nhỏ nhất của V bằng

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Rightarrow d:x = -\frac{b}{a}x + b\ \ \ (1)

    Mà M(1; 1) ∈ d nên \frac{1}{a} +\frac{1}{b} = 1 \Rightarrow a + b = 2ab\ \ (2)

    Từ (1) suy ra d có hệ số góc là k = -\frac{b}{a}; theo giả thiết ta có -\frac{b}{a} < 0 \Rightarrow ab > 0

    Nếu a < 0;b < 0 \Rightarrow a + b< 0 mẫu thuẫn với (2) suy ra a> 0;b > 0

    Mặt khác từ (2) suy ra b = \frac{a}{a -1} kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.

    Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao h = b và bán kính đường tròn đáy r = a

    Thể tích khối nón là V = \frac{1}{3}\pir^{2}h = \frac{1}{3}\pi a^{2}b = \frac{1}{3}\pi\frac{a^{3}}{a -1}

    Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi \frac{a^{3}}{a - 1} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Xét hàm số f(x) = \frac{x^{3}}{x - 1} =x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1} trên khoảng (1; + \infty)

    f'(x) = 2x + 1 - \frac{1}{(x -1)^{2}} = \frac{x^{2}(2x - 3)}{(x - 1)^{2}}

    f'(x) = 0 \Rightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \frac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng \frac{1}{3}\pi.f\left( \frac{3}{2} ight) =\frac{9\pi}{4}

  • Câu 10: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 2022 - 2023i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z
- 3}{4}d_{2} là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x + 3y - 9 = 0,y +
2z + 5 = 0. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là:

    Xét hệ phương trình \left\{
\begin{matrix}
2x + 3y - 9 = 0 \\
y + 2z + 5 = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Cho y = 1 \Rightarrow \left\{
\begin{matrix}
x = 3 \\
z = - 3 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow A(3;1; - 3) \in d_{2\ }

    Cho y = 3 \Rightarrow \left\{
\begin{matrix}
x = 0 \\
z = - 4 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow B(0;3; - 4) \in d_{2}

    Đường thẳng d1 đi qua M (1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{1}} =
(2;1;4)

    Đường thẳng d2 đi qua A (3; 1; −3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{2}} = ( - 3;2; - 1) =
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} = (2; - 6; - 6)

    Ta có \left\lbrack
\overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 9; -
10;7)

    \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}}
ightbrack\overrightarrow{AM} = - 2.9 + 6.10 - 6.7 = 0

    Do đó vị trí tương đối của hai đường thẳng là cắt nhau.

  • Câu 12: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = 3{x^2} + 1

     Ta có:

    \int {\left( {3{x^2} + 1} ight)dx}  = \int {3{x^2}dx}  + \int {1.dx}  = {x^3} + x + C

  • Câu 13: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0

    Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm z = 1.

    z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0

    \Leftrightarrow (z – 1)(z^3 – 3z^2 + 4z – 12) = 0

    \Leftrightarrow  (z – 1) (z – 3) (z^2 + 4) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\{z^2} + 4 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\z = 2i\\z =  - 2i\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:z = {m{\{ }}1;\,\,3;\,\,2i;\,\, - 2i{m{ \} }}.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2} + 3x + 2}
= aln2 + bln3 với a;b là các số hữu tỉ. Tính giá trị biểu thức T = a
+ b?

    Ta có:

    \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2} + 3x + 2} =
\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x + 1)(x + 2)} = \int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{x +
1} - \frac{1}{x + 2} ight)dx}

    = \left. \ \ln\left( \frac{x + 1}{x + 2}ight) ight|_{0}^{1} = 2\ln2 - \ln3

    Suy ra a = 2;b = - 1 \Rightarrow a + b =
1.

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ 0
ight\} thỏa mãn f(x) + xf'(x)
= 3x^{2}f(2) = 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
= f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có: f(x) + xf'(x) =
3x^{2}

    \Leftrightarrow (x)'f(x) +
xf'(x) = 3x^{2}

    \Leftrightarrow \left( xf'(x)
ight)' = 3x^{2}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{\left( xf'(x)
ight)'dx} = \int_{}^{}{3x^{2}dx} \Leftrightarrow xf(x) = x^{3} +
C

    Lại có f(2) = 8 \Rightarrow 2f(2) = 8 + C
\Leftrightarrow 2.8 = C + 8 \Leftrightarrow C = 8

    Từ đó suy ra xf(x) = x^{3} + 8
\Leftrightarrow f(x) = \frac{x^{3} + 8}{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{x^{3} + 8}{x} = 0 \Leftrightarrow x = -
2

    Ta có: f'(x) = \frac{2x^{3} -
8}{x^{2}} \Rightarrow f'( - 2) = - 6;f( - 2) = 0

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là

    y = f'( - 2)(x + 2) + f( -
2)

    \Leftrightarrow y = - 6(x + 2)
\Rightarrow y = - 6x - 12

  • Câu 16: Nhận biết

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin5x.\cos x?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}

    = - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C

  • Câu 17: Thông hiểu

    Số phức z = \frac{{3 - 4i}}{{4 - i}} bằng:

     Ta có: z = \frac{{3 - 4i}}{{4 - i}} = \frac{{16}}{{17}} - \frac{{13}}{{17}}i

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x +
1)(x + 2)(x + 3)?

    Ta có:

    f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) = x^{3} +
6x^{2} + 11x + 6

    \Rightarrow F(x) = \frac{x^{4}}{4} +
2x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} + 6x + C

  • Câu 19: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; −1; 2), B(1; 1; 2) và đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} =
\frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}. Biết điểm M(a; b; c) thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị T = a + 2b + 3c bằng:

    S_{MAB} =
\frac{1}{2}.AB.d(M,AB) nên SMAB nhỏ nhất khi d(M, AB) nhỏ nhất. Phương trình của AB:\left\{ \begin{matrix}
x = t \\
y = - 1 + 2t \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Dễ dàng kiểm tra AB và d chéo nhau.

    Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB.

    Khi đó d(M, AB) = MH nhỏ nhất khi MH là đoạn vuông góc chung của d và AB.

    Ta có: M \in d \Rightarrow M( - 1 + s;s;1
+ s),H \in AB

    \Rightarrow H(t; - 1 +
2t;2)

    \Rightarrow \overrightarrow{MH} = (t - s
+ 1;2t - s - 1;1 - s)

    Vectơ chỉ phương của d và AB theo thứ tự là \overrightarrow{u} = (1;1;1),\overrightarrow{v} =
(1;2;0)

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MH}\bot\overrightarrow{u} \\\overrightarrow{MH}\bot\overrightarrow{v} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1(t - s + 1) + 1(2t - s - 1) + 1(1 - s) = 0\  \\1(t - s + 1) + 2(2t - s - 1) + 0(1 - s) = 0 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = 1 \\s = \dfrac{4}{3} \\\end{matrix} ight.

    Vậy M\left(
\frac{1}{3};\frac{4}{3};\frac{7}{3} ight) \Rightarrow T =
10

  • Câu 20: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{1}{{2x + 1}}

     \int {\frac{1}{{2x + 1}}dx}  = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} ight| + C

  • Câu 21: Thông hiểu

    Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A;B;C;D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A;B;C;D tạo thành hình bình hành là:

    Để A;B;C;D tạo thành hình bình thành thì \left\lbrack \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \\
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \\
\end{matrix} ight..

    Khi đó:

    \overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} +
\overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} -
\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} -
\overrightarrow{OC}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{CD}

    \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}
+ \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} =
\overrightarrow{0}, O là trọng tâm tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD. (Loại).

    \overrightarrow{OA} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} -
\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} -
\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{CA} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{BD} (Loại)

    \overrightarrow{OA} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} -
\overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} -
\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{BA} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{CD} (loại)

    Vậy đáp án cần tìm là \overrightarrow{OA}
+ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} +
\overrightarrow{OD}.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ 1 ight\}thỏa mãn f'(x) = \frac{1}{x - 1}; f(0) = 2017;f(2) = 2018. Tính T = f(3) - f( - 1)?

    Trên khoảng (1; + \infty) ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} =
\int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(x - 1) + C_{1}

    \Rightarrow f(x) = \ln(x - 1) +
C_{1}

    f(2) = 2018 \Rightarrow C_{1} =
2018

    Trên khoảng ( - \infty;1) ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} =
\int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(1 - x) + C_{2}

    \Rightarrow f(x) = \ln(1 - x) +
C_{2}

    f(0) = 2017 \Rightarrow C_{2} =
2017

    Vậy f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\ln(x - 1) + 2018\ \ \ khi\ x\  > \ 1 \\
\ln(1 - x) + 2017\ \ \ khi\ x\  < \ 1 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow T = f(3) - f( - 1) =
1.

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng \left( P ight):x - 2y + 3z - 5 = 0;\,\,\left( Q ight):3x + 4y - z + 3 = 0. Đường thẳng (D) qua M (1, -2, 3) song song với (P) và (Q):

     Vì (D) song song với (P) và (Q)

    => Một vectơ chỉ phương của (D) là:

    \overrightarrow {{a_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } ight] = 10\left( { - 1,1,1} ight) \Rightarrow \overrightarrow a  = \left( { - 1,1,1} ight)

    Xét vecto pháp tuyến của (R), có:

    \overrightarrow {{n_R}}  = \left( {3,1,2} ight) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow {{n_R}}  =  - 3 + 1 + 2 = 0 \Rightarrow \left( D ight)//\left( R ight)

    Xét đáp án có điểm N

    \overrightarrow {NM}  = \left( { - 2,2,2} ight) = 2\left( { - 1,1,1} ight) = 2\overrightarrow a  \Rightarrow \left( D ight)qua\,\,N\left( {3, - 4,1} ight)

    \overrightarrow {{n_s}}  = \left( {2, - 2, - 2} ight) \Rightarrow \frac{2}{{ - 1}} = \frac{{ - 2}}{1} = \frac{{ - 2}}{1} =  - 2 \Rightarrow \overrightarrow acùng phương với \overrightarrow {{n_s}}

    => (D) vuông góc với (S).

  • Câu 24: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)?

    Phương trình mặt phẳng (ABC)\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{-
1} = 1

  • Câu 25: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, hãy tính pq lần lượt là khoảng cách từ điểm M(5; - 2;0) đến mặt phẳng (Oxz) và mặt phẳng (P):3x - 4z + 5 = 0?

    Do mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0 nên

    p = d\left( M;(Oxz) ight) = \frac{| -
2|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2}}} = 2

    Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên

    q = d\left( M;(P) ight) = \frac{|3.5 -
4.0 + 5|}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + ( - 4)^{2}}} = 4

  • Câu 26: Vận dụng

    Giá trị của b và c để phương trình {z^2} + bz + c = 0 nhận z = 1 + i  làm nghiệm là?

     Do z = 1 + i là nghiệm của phương trình đã cho nên:

    {\left( {1 + i} ight)^2} + b\left( {1 + i} ight) + c = 0

    \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0 \Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} ight)i = 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\2 + b = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2\\c = 2\end{array} ight.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight). Giá trị của x và y bằng:

     Ta có:

    {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi \Leftrightarrow {x^2} - 4 + 4xi = 3x + yi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  {x^2} - 4 = 3x \hfill \\  4x = y \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  \left[ \begin{gathered}  x =  - 1 \hfill \\  x = 4 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \hfill \\  4x = y \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \left\{ \begin{gathered}  x =  - 1 \hfill \\  y =  - 4 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \hfill \\  \left\{ \begin{gathered}  x = 4 \hfill \\  y = 16 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \hfill \\ \end{gathered}  ight.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;(a <
b) được tính theo công thức

    Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y
= f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;(a < b) được tính theo công thức: S = \int_{a}^{b}{\left| f(x)
ight|dx}.

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\} thỏa mãn 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1;f\left( 1 ight) = 0. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có:

    \begin{matrix}  2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1 \hfill \\   \Leftrightarrow \left( {{x^2}} ight)'.f\left( x ight) + {x^2}.f'\left( x ight) = 1 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]' = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \begin{matrix}  \int {\left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]'dx}  = \int {1.dx}  \hfill \\   \Leftrightarrow {x^2}f\left( x ight) = x + C \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \begin{matrix}  f\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow 1.f\left( 1 ight) = 1 + C \Rightarrow C =  - 1 \hfill \\   \Rightarrow {x^2}f\left( x ight) = x - 1 \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:

    \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow x = 1\left( {tm} ight)

    Ta lại có: f'\left( x ight) = \frac{{2 - x}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {f'\left( 1 ight) = 1} \\   {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

    y = f'\left( 1 ight)\left( {x - 1} ight) + f\left( 1 ight) \Rightarrow y = x - 1

  • Câu 30: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A( - 1;2;1) và mặt phẳng (P):2x - y + z - 3 = 0. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (P). Điểm nào sau đây không nằm trên mặt phẳng (Q)?

    Phương trình mặt phẳng (Q)đi qua A và song song với mặt phẳng (P) có dạng

    (Q):2x - y + z + 3 = 0

    Thay tọa độ các đáp án vào phương trình mặt phẳng (Q) ta có 3 điểm K;I;M thoả mãn, còn điểm N không thoả mãn.

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho hai số phức {z_1} = 5 - 7i{z_2} = 2 + 3i. Tìm số phức z = {z_1} + {z_2}

     Ta có:

    \begin{matrix}  z = {z_1} + {z_2} \hfill \\  = \left( {5 - 7i} ight) + \left( {2 + 3i} ight) \hfill \\   = (5 + 2) + ( - 7 + 3)i \hfill \\ = 7 - 4i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho số phức {z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i. Tìm số phức z thỏa mãn \overline z .{z_1} + {z_2} = 0.

     Ta có: \overline z  = \frac{{ - {z_2}}}{{{z_1}}} = \frac{{ - 3 - 2i}}{{1 - i}} =  - \frac{1}{2} - \frac{5}{2}i \Rightarrow z =  - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i

  • Câu 33: Nhận biết

    Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + \sqrt 2 i  và 1 - \sqrt 2 i là nghiệm ?

     Ta có \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) + \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 2 =\frac{-b}{a} và  \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) . \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 3 =\frac c a.

    Suy ra 1 \pm  \sqrt 2 i là nghiệm của phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0.

  • Câu 34: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; - 4;3)B(2;2;7). Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là:

    Gọi M\left( x_{M};y_{M};z_{M}
ight) là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = \dfrac{2 + 2}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = \dfrac{3 + 7}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M(2; - 1;5)

    Vậy tọa độ trung điểm của AB là: (2; -
1;5).

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = ax + \frac{b}{x^{2}};(x eq
0), biết rằng F( - 1) = 1;F(1) =
4;f(1) = 0?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\left( ax +
\frac{b}{x^{2}} ight)dx = \frac{ax^{2}}{2} - \frac{b}{x} +
c}

    Theo bài ra ta có:

    F( - 1) = 1;F(1) = 4;f(1) =
0

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{2} + b + c = 1 \\\dfrac{a}{2} - b + c = 4 \\a + b = 0 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\b = - \dfrac{3}{2} \\c = \dfrac{7}{4} \\\end{matrix} ight.. Vậy F(x) =
\frac{3x^{2}}{4} + \frac{3}{2x} + \frac{7}{4}.

  • Câu 36: Nhận biết

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin
x + 1 là:

    Ta có: \int_{}^{}{\left( \sin x + 1
ight)dx} = - \cos x + x + C

  • Câu 37: Vận dụng

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với A( - 2;3),B(3;6),C(3;0),D( - 2;0). Quay hình thang ABCD xung quanh trục Ox thì thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu??

    Phương trình các cạnh của hình thang là: \left\{ \begin{matrix}
AD:x = - 2 \\
CD:y = 0 \\
BC:x = 3 \\
AB:3x - 5y + 21 = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Ta thấy ABCD là hình thang vuông có CD:y = 0 nên khối tròn xoay cần tính là

    V = \pi\int_{- 2}^{3}{\frac{(3x +
21)^{2}}{25}dx} = 105\pi

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho số phức z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}}. Phần thực của số phức z là?

     Ta có: z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}} = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{27}} - 1}}{i}

    = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{26}}.\left( {1 + i} ight) - 1}}{i} = \frac{{{{(2i)}^{13}}\left( {1 + i} ight) - 1}}{i}

    = \frac{{{2^{13}}i - {2^{13}} - 1}}{i} = {2^{13}} + (1 + {2^{13}})i

    Vậy phần thực là  2^{13}.

  • Câu 39: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

     Ta có (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{1 + i}}{{2 + 3i}}\\ \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{5 - i}}{{13}}\;\\ \Leftrightarrow z =  - \dfrac{8}{{13}} - \dfrac{1}{{13}}i\;\;\;\end{array}

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'AB = 1,BC = 2,AA' = 3. Mặt phẳng (P) thay đổi và luôn đi qua C', mặt phẳng (P) cắt các tia AB,AD,AA' lần lượt tại E,F,G (khác A). Tính tổng T = AE + AF + AG sao cho thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất.

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A ≡ O(0; 0; 0),B(1; 0; 0), D(0; 2; 0), A0 (0; 0; 3)

    Khi đó E(AE; 0; 0), F(0; AF, 0),G(0; 0; AG), C0 (1; 2; 3).

    Phương trình mặ phẳng (P):\frac{x}{AE} +
\frac{y}{AF} + \frac{z}{AG} = 1

    C'(1;2;3) \in (P) \Rightarrow
\frac{1}{AE} + \frac{2}{AF} + \frac{3}{AG} = 1

    Thể tích khối đa diện AEFG là:

    V_{AEFG} = \dfrac{1}{6}AE.AF.AG =\dfrac{1}{\dfrac{1}{AE}.\dfrac{2}{AF}.\dfrac{3}{AG}} \geq \dfrac{1}{\dfrac{\left( \dfrac{1}{AE} +\dfrac{2}{AF} + \dfrac{3}{AG} ight)^{3}}{27}} = 27

    Do dó thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất bằng 27 khi và chỉ khi:

    \frac{1}{AE} = \frac{2}{AF} =
\frac{3}{AG} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
AE = 3 \\
AF = 6 \\
AG = 9 \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó T = AE + AF + AG = 3 + 6 + 9 =
18

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho z1 = 1 + i; z2 = -1 - i. Tìm {z_3} \in \mathbb{C} sao cho các điểm biểu diễn của {z_1};\,\,{z_2};\,\,{z_3} tạo thành tam giác đều.

     Giả sử {z_3} = x + yi

    Để các điểm biểu diễn của {z_1};\,\,{z_2};\,\,{z_3} tạo thành một tam giác đều thì

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {{z_1} - {z_3}} ight|} \\   {\left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {{z_2} - {z_3}} ight|} \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sqrt {4 + 4}  = \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}} } \\   {\sqrt {4 + 4}  = \sqrt {{{\left( {x + 1} ight)}^2} + {{\left( {y + 1} ight)}^2}} } \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2} = 8} \\   {x + y = 0} \end{array}} ight.

    \Rightarrow 2{y^2} = 6 \Rightarrow y =  \pm \sqrt 3  \Rightarrow x =  \mp \sqrt 3

    Vậy có hai số phức thoả mãn là: {z_3} = {\text{\{ }}\sqrt 3  - \sqrt 3 i;\,\, - \sqrt 3  + \sqrt 3 i\}

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho số phức z =  - 6 - 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \overline z.

     Ta có \overline z  = \overline { - 6 - 3i}  =  - 6 + 3i nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.

  • Câu 43: Vận dụng cao

    Cho hai số phức {z_1},{z_2} có điểm biểu diễn lần lượt là {M_1},{M_2} cùng thuộc đường tròn có phương trình {x^2} + {y^2} = 1\left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1. Tính giá trị biểu thức P = \left| {{z_1} + {z_2}} ight|

     Cách 1: Do {M_1},{M_2} cùng thuộc đường tròn có phương trình {x^2} + {y^2} = 1 nên \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = 1

    Lại có: 

    \begin{matrix}  \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1 \Leftrightarrow {\left| {{z_1} - {z_2}} ight|^2} = 1 \hfill \\   \Leftrightarrow \left( {{z_1} - {z_2}} ight)\overline {\left( {{z_1} - {z_2}} ight)}  = 1 \hfill \\   \Leftrightarrow \left( {{z_1} - {z_2}} ight)\left( {\overline {{z_1}}  - \overline {{z_2}} } ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}   \Leftrightarrow {z_1}.\overline {{z_1}}  - \left( {{z_1}.\overline {{z_2}}  + \overline {{z_1}} .{z_2}} ight) + {z_2}.\overline {{z_2}}  = 1 \hfill \\   \Leftrightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} - \left( {{z_1}.\overline {{z_2}}  + \overline {{z_1}} .{z_2}} ight) = 1 \hfill \\   \Leftrightarrow {z_1}.\overline {{z_2}}  + \overline {{z_1}} .{z_2} = 1 \hfill \\  {P^2} = {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} = \left( {{z_1} + {z_2}} ight)\overline {\left( {{z_1} + {z_2}} ight)}  = \left( {{z_1} + {z_2}} ight)\left( {\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}} } ight) \hfill \\   = {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} + \left( {{z_1}.\overline {{z_2}}  + \overline {{z_1}} .{z_2}} ight) = 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy P = \sqrt 3

    Cách 2: Do {M_1},{M_2}, cùng thuộc đường tròn (T) tâm O(0;0), bán kính R = 1 và \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1 nên {M_1}{M_2} =1.

    Suy ra \Delta O{M_1}{M_2} là tam giác đều cạnh bằng 1

    P = \left| {{z_1} + {z_2}} ight| = \left| {\overrightarrow {O{M_1}}  + \overrightarrow {O{M_2}} } ight| = \left| {2\overrightarrow {OH} } ight| = 2.OH = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 ( Trong đó H là trung điểm {M_1}{M_2})

  • Câu 44: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{x - 1}{x + 2} và các đường thẳng y = 2;y = - 2x - 4 như hình vẽ:

    Phương trình hoành độ giao điểm

    \frac{x - 1}{x + 2} = - 2x - 4\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} ight.

    Xét - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = -
3

    Xét \frac{x - 1}{x + 2} = 2
\Leftrightarrow x = - 5

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{- 5}^{\frac{- 7}{2}}{\left(
\frac{x - 1}{x + 2} - 2 ight)dx} + \int_{- \frac{7}{2}}^{- 3}{( - 2x -
4 - 2)dx}

    = - \frac{5}{4} + 3\ln2

  • Câu 45: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCDA(0;1; - 1),B(1;1;2),C(1; -
1;0),D(0;0;1). Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD?

    Ta có:

    \overrightarrow{BA} = ( - 1;0; -
3),\overrightarrow{BC} = (0; - 2; - 2),\overrightarrow{BD} = ( - 1; - 1;
- 1)

    \left\lbrack
\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} ightbrack = (0; - 2; - 2)
\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}
ightbrack.\overrightarrow{BA} = 6

    V_{ABCD} = \frac{1}{3}AH.S_{BCD}
\Rightarrow AH = \frac{3V_{ABCD}}{S_{BCD}} = \frac{3}{\sqrt{2}} =
\frac{3\sqrt{2}}{2}.

  • Câu 46: Nhận biết

    Xác định phần ảo của số phức z = 18 - 12i.

     Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12

  • Câu 47: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc k\left( {m/s} ight) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v\left( t ight) =  - 4t + k\left( {m/s} ight). Biết từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn thì ô tô di chuyển được 56m. Tính giá trị của k?

    Khi dừng hẳn - 4t + k = 0 \Rightarrow t = \frac{k}{4}\left( s ight)

    Quãng đường xe đi được từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn là:

    S = \int\limits_0^{\frac{k}{4}} {v\left( t ight)dt}  = \int\limits_0^{\frac{k}{4}} {\left( { - 4t + k} ight)dt}

    = \left. {\left( { - 2{t^2} + kt} ight)} ight|_0^{\frac{k}{4}} = \frac{{ - {k^2}}}{8} + \frac{{{k^2}}}{4} = 56 \Rightarrow k = 8\sqrt 7 \left( {m/s} ight)

  • Câu 48: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 150 - 15t(m/s). Hỏi rằng trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 150 - 15t = 0
\Rightarrow t = 10(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} =
\int_{0}^{10}{(150 - 15t)dt} = \frac{375}{2}m.

  • Câu 49: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'\overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Hãy phân tích vectơ \overrightarrow{B'C} theo các vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{B'C} =\overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{a} +\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight)

    = - \overrightarrow{a} +\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = - \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

  • Câu 50: Nhận biết

    Cho hai số phức {z_1} = 4 - 3i{z_2} = 7 + 3i. Tìm số phức z = {z_1} - {z_2}

     Ta có:

    \begin{matrix}  z = {z_1} - {z_2} \hfill \\ = \left( {4 - 3i} ight) - \left( {7 + 3i} ight) \hfill \\ = 4 - 3i - 7 - 3i \hfill \\ = (4 - 7) + ( - 3 - 3)i \hfill \\ =  - 3 - 6i \hfill \\ \end{matrix}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 58 lượt xem
Sắp xếp theo