Giả sử
với
là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
Ta có:
Đặt
Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình có hai nghiệm
và
.
Giả sử
với
là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
Ta có:
Đặt
Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình có hai nghiệm
và
.
Cho
và hai mặt phẳng
. Khi đó:
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).
Vì nên
.
Một khối lập phương lớn tạo bởi 27 khối lập phương đơn vị. Một mặt phẳng vuông góc với đường chéo của khối lập phương lớn tại trung điểm của nó. Mặt phẳng này cắt ngang bao nhiêu khối lập phương đơn vị?
Giả sử các đỉnh của khối lập phương đơn vị là , với
và đường chéo đang xét của khối lập phương lớn nối hai đỉnh là
Phương trình mặt trung trực của OA là
Mặt phẳng này cắt khối lập phương đơn vị khi và và chỉ khi các đầu mút và
của đường chéo của khối lập phương đơn vị nằm về hai phía đối với (α).
Do đó bài toán quy về đếm trong số 27 bộ , với
, có bao nhiêu bộ ba thỏa mãn:
Các bộ ba không thỏa điều kiện (1), tức là là:
Vậy có khối lập phương đơn vị bị cắt bởi (α).
Tính thể tích hình lăng trụ ABCD.EFGH, biết
và
.
Theo đề bài, ta có:
Áp dụng CT tính thể tích khối lăng trụ:
Suy ra: .
Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính
. Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được
nghìn đồng. Tuy nhiên, cần có khoảng trống để dựng chòi và đồ dùng nên người này căng sợi dây
vào hai đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này sau khi thu hoạch thu được bao nhiêu tiền? (Tính theo đơn vị nghìn đồng và bỏ số thập phân).
Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính . Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được
nghìn đồng. Tuy nhiên, cần có khoảng trống để dựng chòi và đồ dùng nên người này căng sợi dây
vào hai đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này sau khi thu hoạch thu được bao nhiêu tiền? (Tính theo đơn vị nghìn đồng và bỏ số thập phân).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
là:
Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị là:
Diện tích cần tìm là:
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Số phức
bằng:
Ta có:
Trong không gian
, cho đường thẳng
và hai điểm
. Gọi
là đường thẳng đi qua điểm
và cắt đường thẳng
sao cho khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng
là:
Gọi . Khi đó
Ta có
Khoảng cách từ B đến d được tính như sau:
Xét hàm số ta có:
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có: nhỏ nhất khi
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
tại
Suy ra
Khi đó vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: .
Nếu
thì
bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: . Khi đó
.
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng
là:
Xét hệ phương trình
. Đặt
ta suy ra
.
Từ đó ta thu được phương trình đường thẳng:
Xét điểm , ta thấy
chỉ thuộc đường thẳng:
Trong không gian, cho hình chóp
với
là trọng tâm của tam giác
Khi đó
bằng.
Do là trọng tâm của tam giác
nên
.
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:
.
Biết
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho khối cầu
, mặt phẳng
có phương trình
cắt khối cầu
thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho khối cầu
, mặt phẳng
có phương trình
cắt khối cầu
thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu
.
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, đường thẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Nếu một điểm nằm trên một đường thẳng thì khi thay tọa độ điểm đó vào phương trình đường thẳng thì sẽ thỏa mãn phương trình đường thẳng.
Lần lượt thay tọa độ M từ các phương án vào phương trình đường thẳng d ta được M(−3; 5; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong không gian
, cho hai vecto
,
cùng có độ dài bằng
. Biết rằng góc giữa hai vecto đó bằng
, giá trị của biểu thức
là
Ta có:
Do đó:
.
Cho số phức
. Số phức
có phần ảo là:
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Viết phương trình của mặt phẳng
song song với trục
và chứa giao tuyến của
và
?
Mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
và
nên có dạng:
Mặt phẳng song song với trục
nên
.
Chọn n = 1 ta có
Cho đường thẳng
có một vec-tơ chỉ phương là:
Ta có vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng
và
lần lượt là
Ta có vectơ chỉ phương của (D) là tích có hướng của 2 vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng:
Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:
=
= a – bi
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Giả sử
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Tính
.
Ta có:
Mặt phẳng (OAB) đi qua O và có vec-tơ pháp tuyến nên có phương trình
.
Ta xác định được
Theo giả thiết
Mặt khác
Giải hệ gồm (1), (2) và (3) ta được .
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
.
Ta có:
Theo giả thiết mặt phẳng cần tìm qua A(2; 0; −1) và nhận làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng qua là
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Tìm các căn bậc hai của số phức ![]()
Giả sử m + ni (m; n R) là căn bậc hai của z
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.
Gọi
là các nghiệm của phương trình
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Ta có phương trình
Suy ra:
Vì (1)
Mà ;
.
Vậy từ .
Cho hàm số
xác định trên tập số thực thỏa mãn
và
. Tính
biết rằng
?
Vì nên ta có:
Cho
Do đó
Tìm nguyên hàm
.
Ta có:
Cho số phức
thỏa mãn
. Tính ![]()
Giả sử:
Cho
với
là các số thực. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Thể tích
của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành và đường thẳng
khi quay quanh trục
?
Phương trình hoành độ giao điểm của đường và trục hoành là:
Khi đó, thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và đường thẳng x = 1 khi quay quanh trục Ox là:
Trong không gian
cho
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Phương trình mặt phẳng là
Cho số phức
, giá trị của số phức
là?
Ta có:
Cho hai số phức z, w thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ![]()
Cách 1 :
Giả sử
(1)
Suy ra x + y = 0
Từ (1) ta có I(3; 2), bán kính r = 1. Gọi H là hình chiếu của I trên .
Đường thẳng HI có PTTS:
Vậy
Cách 2 :
điều này cho thấy M(z) đang nằm trên hình tròn tâm I(3; 2) bán kính bằng 1.
điều này cho thấy N(w) đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng
là trung trực của đoạn AB với
(Minh hoạ như hình vẽ)

Cho
với
là các số hữu tỉ. Khi đó
bằng:
Ta có:
Suy ra .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của số phức
là:
Ta có:
Cho z1 = 1 + i; z2 = -1 - i. Tìm
sao cho các điểm biểu diễn của
tạo thành tam giác đều.
Giả sử
Để các điểm biểu diễn của tạo thành một tam giác đều thì
Vậy có hai số phức thoả mãn là:
Tìm nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ
lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên
. Biết rằng đồ thị hàm số
như hình bên. Lập hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hình vẽ minh họa:

Đặt
Gọi là đồ thị của hàm số
Từ đồ thị ta thấy
Ta thấy
=> sai
=> đúng
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự
, khác 0 và
thỏa mãn đẳng thức
. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.
Hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự .
Theo giả thiết suy ra: và
.
Ta có:
.
Xét
.
Vậy hay tam giác
là tam giác đều.
Tìm nguyên hàm của hàm số
??
Đặt
Giả sử hàm số f(x) luôn xác định. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: