Giá trị của tích phân
gần nhất với giá trị nào sau đây?
Ta có:
Giá trị của tích phân
gần nhất với giá trị nào sau đây?
Ta có:
Xác định nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Phần thực của số phức
là:
Ta có:
Trong không gian
, cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng
qua điểm
, song song với mặt phẳng
, đồng thời cắt trục
. Viết phương trình tham số của đường thẳng
.
Gọi
Lại có
Do đó
Do đó, (d) là đường thẳng qua B(0; 0; 2) và nhận làm vectơ chỉ phương. Nên (d) có phương trình:
.
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho hai số phức
có điểm biểu diễn lần lượt là
cùng thuộc đường tròn có phương trình
và
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Cách 1: Do cùng thuộc đường tròn có phương trình
nên
Lại có:
Vậy
Cách 2: Do , cùng thuộc đường tròn (T) tâm O(0;0), bán kính R = 1 và
nên
.
Suy ra là tam giác đều cạnh bằng 1
( Trong đó H là trung điểm
)
Tìm các số thực x, y thoả mãn:
![]()
Theo giả thiết:
=>
=>
Gọi
là một nguyên hàm của hàm số
, thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
, ta có:
mà
Gọi
là tâm của hình lập phương
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Vì là trung điểm của
suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng
?
Dễ thấy điểm không thuộc mặt phẳng
.
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Vì:
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng
.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a)
. Sai||Đúng
b)
. Đúng||Sai
c)
. Sai||Đúng
d)
nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai
Cho tứ diện . Gọi
lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng
.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) . Sai||Đúng
b) . Đúng||Sai
c) . Sai||Đúng
d) nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Đúng: .
b) Đúng: Vi là trung điểm của
nên
Vì là trung điểm của
nên
Vì là trung điểm của
nên
Do đó:
c) Sai:
d) Đúng
Ta có: .
.
Do đó: nhỏ nhất khi
Tính tích phân
?
Ta có:
.
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Số phức z thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên
thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Lại có
Do đó
Vậy .
Cho số phức z thỏa mãn
. Giá trị của
là:
Với
Với
Cho z1 = 1 + i; z2 = -1 - i. Tìm
sao cho các điểm biểu diễn của
tạo thành tam giác đều.
Giả sử
Để các điểm biểu diễn của tạo thành một tam giác đều thì
Vậy có hai số phức thoả mãn là:
Cho hàm số
xác định trên
thỏa mãn
;
. Tính
?
Trên khoảng ta có:
Mà
Trên khoảng ta có:
Mà
Vậy
.
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z là
Ta có:
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Cho hàm số
đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn
và thỏa mãn
với
. Biết rằng
khi đó tích phân
bằng:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Cho hàm số
có đồ thị
. Xét các điểm
sao cho tiếp tuyến tại
và
của
vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi
và đường thẳng
bằng
. Gọi
lần lượt là hoành độ của
và
. Giá trị của
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: có TXĐ:
Giả sử và
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là
Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là
Vì nên ta có:
Phương trình đường thẳng AB
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:
Thay ta có:
Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự
, khác 0 và
thỏa mãn đẳng thức
. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.
Hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự .
Theo giả thiết suy ra: và
.
Ta có:
.
Xét
.
Vậy hay tam giác
là tam giác đều.
Biết rằng hàm số
có
và đồ thị hàm số
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
. Hàm số
là:
Theo lí thuyết
Ta có:
Khi đó có dạng
Theo đề ta có:
Vậy hàm số là .
Trong không gian
, cho điểm
và mặt phẳng
. Điểm
thay đổi thuộc
; điểm
thay đổi thuộc mặt phẳng
. Biết rằng tam giác
có chu vi nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
.
Trong không gian , cho điểm
và mặt phẳng
. Điểm
thay đổi thuộc
; điểm
thay đổi thuộc mặt phẳng
. Biết rằng tam giác
có chu vi nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:
Theo đề bài, ta có được các vecto sau:
Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của và
.
Chọn làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mp có dạng
là mp qua A
Vậy phương trình .
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
.Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có
Vậy đáp án cần tìm là: .
Chọn mệnh đề sai. Trong không gian, cho hình hộp
.
Hình vẽ minh họa
Đáp án đúng theo quy tắc hình hộp
Đáp án sai
Đáp án đúng theo quy tắc hình hộp
Đáp án đúng theo quy tắc hình bình hành
Trong không gian
, cho đường thẳng
. Vectơ nào trong các vectơ dưới đây không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng
?
Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là
. Do đó vectơ
không là vectơ chỉ phương của
.
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
, F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)
Ta có:
=>
=>
=>
Khi đó:
Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5
=>
=>
=>
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ bằng
là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
. Theo bài ra ta có:
Suy ra
Vậy
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:
Trong không gian
, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Mặt phẳng trên đi qua các điểm
Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cùng phương với .
Ta có
Vậy chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là .
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định. Trong không gian
cho ba điểm
và hai vecto ![]()
a) Tích vô hướng của hai vecto
bằng
Đúng||Sai
b) Trung điểm của đoạn
có tọa độ là
. Sai||Đúng
c) Tọa độ của vecto
là
. Sai||Đúng
d) Hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác
lên mặt phẳng
là
Đúng||Sai
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định. Trong không gian cho ba điểm
và hai vecto
a) Tích vô hướng của hai vecto bằng
Đúng||Sai
b) Trung điểm của đoạn có tọa độ là
. Sai||Đúng
c) Tọa độ của vecto là
. Sai||Đúng
d) Hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác lên mặt phẳng
là
Đúng||Sai
a) đúng, b) sai, c) sai, d) đúng.
a) Ta có
b) Ta có trung điểm của đoạncó tọa độ là
c) Ta có
Suy ra
d) Ta có Suy ra hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác
lên mặt phẳng
là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
cắt ba trục tọa độ
lần lượt tại ba điểm
. Lúc đó thể tích
của khối tứ diện
là:
Gọi lần lượt là giao của mặt phẳng
với ba trục tọa độ
.
Khi đó và tứ diện
có
đôi một vuông góc tại O.
Do đó
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho tổng khoảng cách từ
và
đến
lớn nhất, biết rằng
không cắt đoạn
. Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Kiểm tra : Mặt phẳng (P) có phương trình 2x − 2y − z − 1 = 0.
Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại .
Kiểm tra : Mặt phẳng (P) có phương trình x+ 2z −3 = 0.
Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B ∈ (P) nên loại .
Kiểm tra : Mặt phẳng (P) có phương trình −x + 2y − z + 2 = 0.
Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại .
Kiểm tra v: Mặt phẳng (P) có phương trình x − 2z + 1 = 0.
Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về cùng phía (P) nên chọn .
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Tính diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
và
?
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của phương trình
Hình vẽ minh hoạ
Diện tích S cần tìm là:
Giả sử
là một hàm số bất kì và liên tục trên khoảng
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Dựa vào tính chất của tích phân với là một số bất kì liên tục trên khoảng
và
ta có:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, điểm nào dưới đây thuộc trục
?
Điểm . Suy ra trong bốn điểm đã cho điểm
.
Trong không gian
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
thỏa mãn hệ thức
?
Ta có:
Tích phân
với
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng ![]()
chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của
.
Đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là
Giả sử ∆ giao với lần lượt tại
, khi đó ta có
Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:
Đường vuông góc chung của nhận
làm VTCP và đi qua điểm
Vậy ta có phương trình đường thẳng:
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: ![]()
Ta có
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm
.
Gọi , với
.
Theo giả thiết ta có suy ra
và
,
.
Ta có
Xét hàm số trên
.
Ta có .
Ta có .
Vậy .
Do đó khi
và
.
Cho số phức
. Tìm số phức z thỏa mãn
.
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, vectơ
là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
cùng phương với vectơ
. Vậy
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng