Trong không gian tọa độ
, cho vectơ
. Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào không cùng phương với
?
Ta có: cùng phương với mọi vectơ
Lại có
Vậy vectơ không cùng phương với là
.
Trong không gian tọa độ
, cho vectơ
. Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào không cùng phương với
?
Ta có: cùng phương với mọi vectơ
Lại có
Vậy vectơ không cùng phương với là
.
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Cho
là các số hữu tỉ thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho điểm
thoả mãn
. Biết rằng khoảng cách từ
tới mặt phẳng
lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
Ta có:
Giả sử khi đó ta có:
Mà
Trong không gian
, xét mặt phẳng
đi qua điểm
đồng thời cắt các tia
lần lượt tại
sao cho tứ diện
có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng
với
có toạ độ là:
Gọi
Theo giả thiết, ta có là các số dương.
Phương trình mặt phẳng (P) là
(P) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên
Ta có:
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy
Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: .
Vậy đáp án cần tìm là: .
Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm
.
Gọi , với
.
Theo giả thiết ta có suy ra
và
,
.
Ta có
Xét hàm số trên
.
Ta có .
Ta có .
Vậy .
Do đó khi
và
.
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tam giác
với
,
,
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
. Sai||Đúng
b)
. Sai||Đúng
c) Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng tọa độ
là điểm
. Đúng||Sai
d) Nếu
là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác
với
,
,
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) . Sai||Đúng
b) . Sai||Đúng
c) Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng tọa độ
là điểm
. Đúng||Sai
d) Nếu là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
. Sai||Đúng
Ta có:
a) sai.
b) sai.
c) đúng
d) Gọi ,
,
Vì là hình bình hành nên
.
Vậy d) sai
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua điểm E(2, -4, 3) và song song với đường thẳng MN với tọa độ M(3, 2, 5) và N(1, -2, 2)
Đường thẳng d song song với MN nên VTCP của đường thẳng d chính là hay ta có
Như vậy, (d) là đường thẳng đi qua điểm E (2, -4, 3) và nhận làm 1 VTCP có phương trình là:
Cho số phức z thỏa mãn
. Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
. Khi đó mô đun của số phức ![]()
Giả sử ta có:
Ta có
Ta có
=>
=>
Ta thu được kết quả:
=>
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Vậy
Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:![]()
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:.
Tìm nguyên hàm của hàm số
là
Ta có:
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó:
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
và
. Tập hợp tất cả các giá trị
để hai mặt phẳng này không song song là:
Ta có .
hệ này vô nghiệm
Hệ này vô nghiệm.
Do đó (P) không song song với (Q), với mọi giá trị của m.
Trong không gian
, cho ba điểm
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng
?
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng là:
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn
và đồ thị hàm số
(như hình vẽ). biết
và
. Kết luận nào sau đây là đúng?

Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Từ đồ thị ta thấy
Từ đồ thị ta thấy
=>
Mặt khác
Ta có bảng biến thiên như sau:

=> có duy nhất nghiệm trên
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là
=
= a – bi
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của số phức
là:
Ta có:
Tính thể tích hình lăng trụ ABCD.EFGH, biết
và
.
Theo đề bài, ta có:
Áp dụng CT tính thể tích khối lăng trụ:
Suy ra: .
Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình
có nghiệm phức
thỏa mãn
.
4 || Bốn || bốn
Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình có nghiệm phức
thỏa mãn
.
4 || Bốn || bốn
Ta có với mọi thì phương trình
luôn có nghiệm phức.
và
.
Suy ra .
Từ (1) ta có , từ (2) ta có
.
Vậy tổng .
Tính tích phân
?
Đặt . Ta có:
suy ra
.
Trong không gian
, cho ba điểm
. Tọa độ chân đường phân giác của góc
trong tam giác
là:
Ta có:
Gọi là chân đường phân giác kẻ từ
lên
của tam giác
.
Suy ra
Ta có:
Trong không gian
, cho điểm
và đường thẳng
. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
Gọi
Ta có .
Trong không gian
, cho hai điểm
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
.
Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AB có tọa độ I(0; 1; 1).
Mặt phẳng (OAB) có véc-tơ pháp tuyến .
Suy ra đường thẳng ∆ có và đi qua I(0; 1; 1).
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là .
Cho
là hai số phức thỏa mãn
, biết
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Cách 1: + Đặt ta có
+ Sử dụng công thức: ta có
=>
Cách 2.
+ Biến đổi:
Ta có
+ Sử dụng công thức bình phương mô đun:
Trong đó là góc
với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
trên mặt phẳng phức
Vậy
Tìm các căn bậc hai của số phức ![]()
Giả sử m + ni (m; n R) là căn bậc hai của z
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.
Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:
=
= a – bi
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra
Tìm
biết rằng
là phân số tối giản?
Ta có:
Đổi cận khi đó suy ra
Số phức z thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Cho
và đặt
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Vậy khẳng định sai là: .
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.
Xác định nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Biết luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
và thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
Do . Vì luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
nên
không phải là hàm hằng.
Từ giả thiết
Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân ta được:
với C là hằng số.
TH1: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
TH2: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là .
Cho hai hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Gọi
là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi
thì
bằng bao nhiêu?
Phương trình hoành độ giao điểm
Ký hiệu là diện tích hình phẳng như hình vẽ:
Ta có:
Vì vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
, véc tơ nào trong các vectơ được cho dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
?
Ta có phương trình mặt phẳng nên có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Mặt khác cùng phương với
Do đó là một vectơ pháp tuyến của
.
Trong không gian
, cho ba điểm
. Mặt phẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có: suy ra
Mặt phẳng đi qua điểm
, có 1 vectơ pháp tuyến
nên có phương trình là:
Vì nên
.
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
. Tính tích phân
?
Ta có:
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên
thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Lại có
Do đó
Vậy .
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
. Diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
được tính theo công thức
Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng
được tính theo công thức:
.
Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn F(2) = 0
Ta có: F(2) = 0 => C = 2
=>
Xét phương trình F(x) = x ta có:
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ
có hai mặt phẳng
và
cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm
đồng thời cắt các trục tọa độ
tại hai điểm cách đều
. Giả sử
có phương trình
và
có phương trình
. Tính giá trị biểu thức
.
Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ có hai mặt phẳng
và
cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm
đồng thời cắt các trục tọa độ
tại hai điểm cách đều
. Giả sử
có phương trình
và
có phương trình
. Tính giá trị biểu thức
.