Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 1 + 3i. Phần thực và phần ảo của số phức w = 2i - 3\overline z lần lượt là:

     Ta có: w = 2i - 3\overline z = 2i - 3\left( { - 1 - 3i} ight) = 11i + 3

  • Câu 2: Nhận biết

    Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?

     Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + y - 2z + 5 = 0 và (Q): - x - y + 2z + 9 = 0. Mặt phẳng nào sau đây cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)?

    Gọi (R) là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) thì (P)//(Q)//(R)

    Do đó (R) có dạng x + y − 2z + m = 0.

    Gọi A(1; 0; 3) ∈ (P) , B(1; 0; −4) ∈ (Q).

    Khi đó trung điểm M của đoạn AB nằm trên (R), tức M\left( 1;0; - \frac{1}{2} ight) \in (R).

    Suy ra 1 + 0 - 2.\left( - \frac{1}{2} ight) + m = 0 \Leftrightarrow m = - 2.

    Vậy (R): x + y − 2z − 2 = 0 hay (R): −x − y + 2z + 2 = 0.

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;2;0) và vuông góc với mặt phẳng (P):2x + y - 3z + 5 = 0?

    Đường thẳng \Delta vuông góc với mặt phẳng (P):2x + y - 3z + 5 = 0 nên \Delta có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 3).

    Phương trình \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)\ \ \ (*)

    Kiểm tra được điểm M(3;3; - 3) thỏa mãn hệ (*).

    Vậy phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) cũng là phương trình của \Delta.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{1}{x} và các đường thẳng y = 0;x = 1;x = 4. Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục?

    Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{1}{x} ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( - \frac{1}{x^{4}} ight) ight|_{1}^{4} = \pi\left( - \frac{1}{4} + 1 ight) = \frac{3\pi}{4}.

  • Câu 6: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A( - 3;0;1),B(2; - 4;6),C(1;2; - 7) và hai vecto \overrightarrow{u} = (3;0; - 1),\overrightarrow{v} = (3;5; - 7).

    a) Tích vô hướng của hai vecto \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}bằng 15. Đúng||Sai

    b) Trung điểm của đoạn AC có tọa độ là (1;1; - 4). Sai||Đúng

    c) Tọa độ của vecto \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} là (5; - 9; - 3). Sai||Đúng

    d) Hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác ABC lên mặt phẳng (Oxz) là O. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A( - 3;0;1),B(2; - 4;6),C(1;2; - 7) và hai vecto \overrightarrow{u} = (3;0; - 1),\overrightarrow{v} = (3;5; - 7).

    a) Tích vô hướng của hai vecto \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}bằng 15. Đúng||Sai

    b) Trung điểm của đoạn AC có tọa độ là (1;1; - 4). Sai||Đúng

    c) Tọa độ của vecto \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} là (5; - 9; - 3). Sai||Đúng

    d) Hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác ABC lên mặt phẳng (Oxz) là O. Đúng||Sai

    a) đúng, b) sai, c) sai, d) đúng.

    a) Ta có \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.3 + 0.5 + ( - 1).( - 7) = 15.

    b) Ta có trung điểm của đoạnACcó tọa độ là \left( \frac{( - 3) + 1}{2};\frac{0 + 2}{2};\frac{1 + ( - 7)}{2} ight) = ( - 1;1; - 3).

    c) Ta có

    \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (5; - 4;5). \\ \overrightarrow{u} = (3;0; - 1), \\ \overrightarrow{v} = (3;5; - 7). \\ \end{matrix}

    Suy ra \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = (5; - 9;11).

    d) Ta có G\left( 0;\frac{- 2}{3};0 ight) Suy ra hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác ABC lên mặt phẳng (Oxz) là O(0;0;0).

  • Câu 7: Thông hiểu

    Giả sử \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1} = - \frac{1}{g(x)} + C với C là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình g(x) = 0 bằng:

    Ta có: \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1} = \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)\left( x^{2} + 3x ight) + 1}

    Đặt t = x^{2} + 3x \Rightarrow dt = (2x + 3)dx

    \int_{}^{}\frac{dt}{(t + 2)t + 1} = \int_{}^{}\frac{dt}{(t + 1)^{2}} = - \frac{1}{t + 1} + C = - \frac{1}{x^{2} + 3x + 1} + C

    \Rightarrow g(x) = x^{2} + 3x + 1

    Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm x_{1};x_{2} và x_{1} + x_{2} = - 3.

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho z_1 =2-i và z_2 = 5+6i. Tính T = z_1 : z_2?

     Ta có z_1 =2-i và z_2 = 5+6i. Tính:

     z_1 : z_2 = \frac {2-i}{5+6i}=\frac {(2-i)(5-6i)}{(5+6i)(5-6i)}=\frac{4}{61} - \frac{17}{61}i

  • Câu 9: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} - (3i + 8)z + 11\,.i + 13 = 0  là 

     Ta có: \Delta = {(3i + 8)^2} - 4(11.i + 13) = 4i + 3.

    Giả sử m+ni \,\,(m; n \in \mathbb R)  là căn bậc hai của \triangle.

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 3 + 4i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 3 + 4i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3\\2mn = 4\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3 \,\, (1)\ = \dfrac{2}{m}\,\,\,\, \,\,\,\, (2)\end{array} ight.

    Thay (2) vào (1) ta có:

    {m^2} - {\left( {\frac{2}{m}} ight)^2} = 3 \Leftrightarrow {m^4} - 3{m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,(TM)\\{m^2} = - 1\,\,\,\,\,\,\,(L{m{)}}\end{array} ight.

    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 \Rightarrow n = 1\\m = - 2 \Rightarrow n = - 1\end{array} ight.

    Vậy \triangle có hai căn bậc hai là  2+i  và -2-i.

    Do đó nghiệm của phương trình là:

    \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{3i + 8 + i + 2}}{2} = 2i + 5\\z = \dfrac{{3i + 8 - i - 2}}{2} = i + 3\end{array} ight.

  • Câu 10: Vận dụng

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

    Đáp án là:

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

     Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn z^2+z+1=0.

    Do đó ta có z^2+z+1=0

    \Leftrightarrow z+\dfrac{1}{z}=-1 \Rightarrow z^2+\dfrac{1}{z^2}=-1

    Ta cũng có z^3+\dfrac{1}{z^3}=(z+\dfrac{1}{z})^3-3z.\dfrac{1}{z}.(z+\dfrac{1}{z})=2

    và z^4+\dfrac{1}{z^4}=(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2-2=-1

    Vậy P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 =30.

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M( - 3; - 2;3) và vuông góc với trục Ox.

    Vì mặt phẳng (P) vuông góc với Ox nên có một vectơ pháp tuyến là vectơ \overrightarrow{i} = (1;0;0).

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là

    1\left( x - ( - 3) ight) + 0\left( y - ( - 2) ight) + 0(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow x + 3 = 0.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Biết {z_1},{z_2} = 5 - 4i và {z_3} là ba nghiệm của phương trình {z^3} + b{z^2} + cz + d = 0\,\,\,\left( {b,c,d \in \mathbb R} ight),

    trong đó {z_3} là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức w = {z_1} + 3{z_2} + 2\,{z_3} bằng:

     Xét phương trình {z^3} + b{z^2} + cz + d = 0\,\,\,\left( {b,c,d \in \mathbb R} ight) là phương trình bậc ba với hệ số thực nên luôn có một nghiệm thực là z_1.

    Do đó phương trình tương đương với:

    \left( {z - {z_1}} ight)\left( {{z^2} + a'z + b'} ight) = 0\,\,\,\left( {a',b' \in \mathbb R} ight)

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = {z_1}\,\, \in \mathbb R\\{z^2} + a'z + b' = 0\,\,\,\left( 1 ight)\end{array} ight..

    Nên {z_3},{z_2} = 5 - 4i là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (1).

    Suy ra .{z_3} = 5 + 4i

    Khi đó : w = {z_1} + 3{z_2} + 2\,{z_3} = {z_1} + 3.\left( {5 - 4i} ight) + 2.\left( {5 + 4i} ight) = \left( {25 + 2{z_3}} ight) - 4i.

    Vậy phần ảo của w = {z_1} + 3{z_2} + 2\,{z_3} là -4.

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}. Giá trị của f(2) là:

     Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3a - 2} \\ {b = 2b - 3} \\ {d = 0} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1} \\ {b = 3} \\ {c = 0} \\ {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2} => f(x) = 20

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho hai số phức z, w thỏa mãn \left\{ \begin{gathered} \left| {z - 3 - 2i} ight| \leqslant 1 \hfill \\ \left| {w + 1 + 2i} ight| \leqslant \left| {w - 2 - i} ight| \hfill \\ \end{gathered} ight.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \left| {z - w} ight|

     Cách 1 :

    Giả sử z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight);w = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    \left| {z - 3 - 2i} ight| \leqslant 1 \Leftrightarrow {\left( {a - 3} ight)^2} + {\left( {b - 2} ight)^2} \leqslant 1(1)

    \left| {w + 1 + 2i} ight| \leqslant \left| {w - 2 - i} ight| \Leftrightarrow {\left( {x + 1} ight)^2} + {\left( {y + 2} ight)^2} \leqslant {\left( {x - 2} ight)^2} + {\left( {y - 1} ight)^2}

    Suy ra x + y = 0

    P = \left| {z - w} ight| = \sqrt {{{\left( {a - x} ight)}^2} + {{\left( {b - y} ight)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - x} ight)}^2} + {{\left( {b + x} ight)}^2}}

    Từ (1) ta có I(3; 2), bán kính r = 1. Gọi H là hình chiếu của I trên d:y = - x.

    Đường thẳng HI có PTTS: \left\{ \begin{gathered} x = 3 + t \hfill \\ y = 2 + t \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \begin{matrix} M \in HI \Rightarrow M\left( {3 + t;\,2 + t} ight) \hfill \\ M \in \left( C ight) \Leftrightarrow 2{t^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ t = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ t = 2 \Rightarrow M\left( {3 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\,2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} ight),MH = \dfrac{{5 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ t = 3 \Rightarrow M\left( {3 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\,2 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} ight),MH = \dfrac{{5 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy {P_{\min }} = \frac{{5\sqrt 2 - 2}}{2}

    Cách 2 :

    \left| {z - 3 - 2i} ight| \leqslant 1 điều này cho thấy M(z) đang nằm trên hình tròn tâm I(3; 2) bán kính bằng 1.

    \left| {w + 1 + 2i} ight| \leqslant \left| {w - 2 - i} ight| điều này cho thấy N(w) đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng \Delta là trung trực của đoạn AB với A\left( { - 1; - 2} ight),B\left( {2;1} ight).

    \Delta :x + y = 0.

    (Minh hoạ như hình vẽ)

    Tìm giá trị nhỏ nhất của P

    P = \left| {z - w} ight| = MN.

    {P_{\min }} = d\left( {I,\Delta } ight) - R = \frac{{\left| {3 + 2} ight|}}{{\sqrt 2 }} - 1 = \frac{{5\sqrt 2 - 2}}{2}.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ \overrightarrow{a} = (2;3;1),\overrightarrow{b} = ( - 1;5;2),\overrightarrow{c} = (4; - 1;3),\overrightarrow{x} = ( - 3;22;5). Đẳng thức nào dưới đây đúng?

    Đặt \overrightarrow{x} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c};\left( m;n;p\mathbb{\in R} ight)

    \Rightarrow ( - 3;22;5) = m(2;3;1) + n( - 1;5;2) + p(4; - 1;3)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m - m + 4p = - 3 \\ 3m + 5m - p = 22 \\ m + 2m + 3p = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ n = 3 \\ p = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy \overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} là đẳng thức đúng.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số y = cos2x?

    Ta có: \int_{}^{}{\cos2xdx} =\frac{1}{2}\sin2x + C

    = \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + C =\frac{1}{2}.\left( 1 + 2\sin x\cos x ight) + C -\frac{1}{2}

    = \frac{1}{2}.\left( \sin^{2}x +2\sin x\cos x + \cos^{2}x ight) + C'

    = \frac{1}{2}.\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C'

    Vậy đáp án cần tìm là: y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C.

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Tích phân I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {{x^3} + 2x} ight)\cos x + x{{\cos }^2}x}}{{\cos x}}dx} có giá trị là:

    Ta có: 

    I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {{x^3} + 2x} ight)\cos x + x{{\cos }^2}x}}{{\cos x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{x^3} + 2x} ight)dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx}

    = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + {x^2}} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx}

    Xét {I_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx}

    Đặt \left\{ \begin{gathered} u = x \hfill \\ dv = \cos xdx \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} du = dx \hfill \\ v = \sin x \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow {I_1} = \left. {\left( {x\sin x} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = \frac{\pi }{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}

    \Rightarrow I = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + {x^2}} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} + {I_1} = \frac{{5{\pi ^4}}}{{324}} + \frac{{2{\pi ^2}}}{9} + \frac{\pi }{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?

    Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.

  • Câu 19: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt[3]{x} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \sqrt[3]{x} ight)dx} = \int_{}^{}{x^{\frac{2}{3}}dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} + C.

  • Câu 20: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M thoả mãn OM = 7. Biết rằng khoảng cách từ M tới mặt phẳng (Oxz),(Oyz) lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxy).

    Ta có: (Oxz):y = 0,(Oyz):x = 0

    Giả sử M(a;b;c) khi đó ta có:

    \left\{ \begin{matrix} OM = 7 \\ d\left( M;(Oxz) ight) = 2 \\ d\left( M;(Oyz) ight) = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 49 \\ b^{2} = 4 \\ a^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow c^{2} = 36

    Mà d\left( M;(Oxy) ight) = \sqrt{c^{2}} = 6

  • Câu 21: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(5; - 2;0),B( - 2;3;0),C(0;2;3). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

    Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:

    \left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{5 + ( - 2) + 0}{3} = 1\\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 + 3 + 2}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{0 + 0 + 3}{3} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(1;1;1)

    Vậy trọng tâm G tìm được là G(1;1;1).

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Biết luôn có hai số a;b để F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn 2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x). Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?

    Do 4a - b eq 0 \Rightarrow F(x) eq C;\forall x\mathbb{\in R}. Vì luôn có hai số a;b để F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên f(x) không phải là hàm hằng.

    Từ giả thiết 2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x) \Leftrightarrow \frac{2f(x)}{F(x) - 1} = \frac{f'(x)}{f(x)}

    Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân dx ta được:

    \int_{}^{}{\frac{2f(x)}{F(x) - 1}dx} =\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}\Leftrightarrow 2\ln\left| F(x) - 1ight| = \ln\left| f(x) ight| + C với C là hằng số.

    \Leftrightarrow 2ln\left| F(x) - 1 ight| + \ln e^{C} = \ln\left| f(x) ight|

    \Leftrightarrow \left| f(x) ight| = e^{C}.\left\lbrack F(x) - 1 ightbrack^{2} = e^{C}.\left( \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\\end{matrix} ight.

    TH1: f(x) = e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2} ta có: F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}

    Đồng nhất hệ số ta có:

    e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} - 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    Loại b = 4 do điều kiện 4a - b eq 0. Do đó (a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} - 1}{e^{C}} ight)

    TH2: f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2} ta có: F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}

    Đồng nhất hệ số ta có:

    - e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\- e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} + 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    Loại b = 4 do điều kiện 4a - b eq 0. Do đó (a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} + 1}{e^{C}} ight)

    Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho số phức z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}}. Phần thực của số phức z là?

     Ta có: z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}} = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{27}} - 1}}{i}

    = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{26}}.\left( {1 + i} ight) - 1}}{i} = \frac{{{{(2i)}^{13}}\left( {1 + i} ight) - 1}}{i}

    = \frac{{{2^{13}}i - {2^{13}} - 1}}{i} = {2^{13}} + (1 + {2^{13}})i

    Vậy phần thực là  2^{13}.

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;(a < b) được tính theo công thức

    Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;(a < b) được tính theo công thức: S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx}.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng song song và vuông góc với bán kính, hai mặt phẳng đó đều cách tâm của khối cầu 3dm để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được (coi độ dày của bề mặt không đáng kể).

    Hình vẽ minh họa

    Đặt trục tọa độ như hình vẽ. Thể tích cái được tính bằng cách cho đường tròn có phương trình x^{2} + y^{2} = 25 \Leftrightarrow y^{2} = 25 - x^{2} quay quanh trục Ox.

    Thể tích cái lu bằng;

    V = \pi\int_{- 3}^{3}{\left( 25 - x^{2} ight)dx} = \pi\left. \ \left( 25x - \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 3}^{3} = 132\pi\left( dm^{3} ight)

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1;3),B( - 3;0; - 4). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A và B?

    Ta có \overrightarrow{BA} = (4; - 1;7) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: \frac{x + 3}{4} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 4}{7}.

  • Câu 27: Vận dụng

    Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y = x^{2} và y = ax^{3} + bx. Tính giá trị a.b biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn.

    Đáp án: -2||- 2

    Đáp án là:

    Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y = x^{2} và y = ax^{3} + bx. Tính giá trị a.b biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn.

    Đáp án: -2||- 2

    Diện tích 1 cánh của hình trang trí là:

    S_{1} = \int_{0}^{1}\left( x^{2} - ax^{3} - bx ight)dx = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{ax^{4}}{4} - \frac{bx^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2}

    \Rightarrow Diện tích hình trang trí là: S = 4S_{1} = \frac{4}{3} - a - 2b

    Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn nên

    \frac{4}{3} - a - 2b = \frac{4}{3} \Leftrightarrow a + 2b = 0

    Khi đó ta có: \left\{ \begin{matrix} a + b = 1 \\ a + 2b = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    Vậy ab = - 2.

  • Câu 28: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(1;2;3) và có véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (2;4;6). Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng \Delta?

    Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 29: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là

     \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 2i} = 3 - ( - 2i) = 3 + 2i

  • Câu 30: Nhận biết

    Phương trình {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 có tập nghiệm là:

    Dễ thấy z=-i  là nghiệm của {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0

    Nên {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 \Leftrightarrow \,(z + i)({z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + i = 0\\{z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i = 0\,\,\,(*)\end{array} ight.

    Giải (*), ta được:

    \Delta = {(4 - i)^2} - 12 + 12i = 16 - 1 - 8i - 12 + 12i

    = 3 + 4i = 4 + 2.2.i + {i^2} = {(2 + i)^2}

    Vậy có hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i

    Do đó nghiệm của pt là \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 4 + i + 2 + i}}{2} = - 1 + i\\z = \dfrac{{ - 4 + i - 2 - i - 2}}{2} = - 3\end{array} ight.

    Vậy PT có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; - 4;1) và chắn trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz theo ba đoạn có độ dài đại số lần lượt là a;b;c. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) khi a;b;c theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 là:

    Do giả thiết suy ra \left\{ \begin{matrix} a,b,c eq 0\ \\ b = 2a,c = 2b \\ \end{matrix} ight..

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) khi đó phương trình mặt phẳng\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

    Do M thuộc (P) nên \frac{2}{a} - \frac{4}{b} + \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{a} - \frac{4}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}

    Suy ra b = \frac{1}{2};c = 1 do đó phương trình mặt phẳng (P):4x + 2y + z - 1 = 0.

  • Câu 32: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x + 3\sqrt{x} thỏa mãn F(1) = 0?

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\left( 2x + 3\sqrt{x} ight)dx}}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2x)dx} + 6\int_{}^{}{\left( \sqrt{x} ight)^{2}d\left( \sqrt{x} ight)}

    \Rightarrow F(x) = x^{2} + 2\sqrt{x^{3}} + C

    Theo bài ra ta có: F(1) = 0 \Leftrightarrow 3 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 3

    Vậy x^{2} + 2\sqrt{x^{3}} - 3.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x - 2z - 6 = 0 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Viết phương trình đường thẳng \Delta nằm trong mặt phẳng (\alpha) cắt đồng thời vuông góc với d?

    Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix} x - 2z - 6 = 0 \\ x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(2;4; - 2)

    Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;0; - 2), đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1; - 1)

    Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)

    Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1) nên có phương trình chính tắc: \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho biểu thức M = 1 - z + {z^2} - {z^3} + ... + {z^{2016}} - {z^{2017}} với z = \frac{{1 + 2i}}{{2 - i}}. Biểu thức M có giá tri là?

    Ta có: z = \frac{{1 + 2i}}{{2 - i}} = i.

    Khi đó:  M = \frac{{1 - {{( - z)}^{2018}}}}{{1 + z}} = \frac{{1 - {z^{2018}}}}{{1 + z}}

    = \frac{{1 - {z^{2018}}}}{{1 + z}} = \frac{{1 - {i^{2018}}}}{{1 + i}} = 1 - i.

  • Câu 35: Nhận biết

    Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 72 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 45\ \ m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 12t + 24\ \ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quảng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quảng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). Đúng||Sai

    b) Quãng đường s(t) = - 12t^{2} + 24t. Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 10 giây. Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 72 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 45\ \ m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 12t + 24\ \ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quảng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quảng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). Đúng||Sai

    b) Quãng đường s(t) = - 12t^{2} + 24t. Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 10 giây. Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Do s'(t) = v(t) nên quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). Ta có: \int_{}^{}{( - 12t + 24)}dt = - 6t^{2} + 24t + C với C là hằng số.

    Khi đó, ta gọi hàm số s(t) = - 6t^{2} + 24t + C.

    Do s(0) = 0 nên C = 0. Suy ra s(t) = - 6t^{2} + 24t.

    Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0 hay - 12t + 24 = 0 \Leftrightarrow t = 2. Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

    Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ 72\ km/h = 20\ m/s.

    Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: s(2) = - 6.2^{2} + 24.2 = 24(\ m).

    Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: 20 + 24 \approx 44\ (\ m).

    Do 44 < 45 nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho các số phức z_1 , z_2. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?

    \left( I ight):\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} ight| = \frac{{\left| {{z_1}} ight|}}{{\left| {{z_2}} ight|}}.

    \left( {II} ight):\left| {{z_1}.{z_2}} ight| = \left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.

    \left( {III} ight):{\left| {{z_1}} ight|^2} = {z_1}^2.

    Áp dụng tính chất số phức, ta có: 

    - Môđun của 1 thương hai số phức thì bằng thương của từng môđun \left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} ight| = \frac{{\left| {{z_1}} ight|}}{{\left| {{z_2}} ight|}}

    -  Môđun của 1 tích hai số phức thì bằng tích của từng môđun  \left| {{z_1}.{z_2}} ight| = \left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|

    Vậy khẳng địn (I) và (II) là đúng.

  • Câu 37: Vận dụng

    Phân tích vectơ \overrightarrow V = \left( {4\,,\,3\,,\, - 5\,} ight) theo ba vectơ không đồng phẳng

    \overrightarrow a = \left( {2, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow b = \left( {1, - 3,2} ight);\,\,\overrightarrow c = \left( { - 3,2, - 2} ight).

    Ta có 3 vecto \overrightarrow a ;\,\,\,\overrightarrow b ;\,\,\,\overrightarrow c không đồng phẳng. Khi đó luôn có :

    \begin{array}{l}\exists m,n,p \in \mathbb R :m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c = \overrightarrow V \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + n - 3p = 4 & \left( 1 ight)\\ - m - 3n + 2p = 3 & \left( 2 ight)\,\,\,\,\,;\left( 2 ight) + \left( 3 ight) \Rightarrow n = 2\\m + 2n - 2p = - 5 & \left( 3 ight)\end{array} ight.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 3p = 2 & \left( {1'} ight)\\ - m + 2p = 9 & \left( {2'} ight)\end{array} ight.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 31\\p = 20\end{array} ight.\\ \Rightarrow \overrightarrow V = 31\overrightarrow a + 2\overrightarrow b + 20\overrightarrow c \end{array}

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):2x + y + z - 3 = 0 và hai điểm A(m;1;0),B(1; - m;2). Gọi E;F lần lượt là hình chiếu của A;B lên mặt phẳng (P). Biết EF = \sqrt{5}. Tổng tất cả các giá trị của tham số m là

    Hình vẽ minh họa

    Xét trường hợp m = 1. Khi đó cả A;B đều thuộc (P). Trong trường hợp này EF = AB = 2\sqrt{2} (loại).

    Khi m eq 1. Ta tính toán các đại lượng:

    d\left( A;(P) ight) = \frac{|2m - 2|}{\sqrt{6}};d\left( B;(P) ight) = \frac{|1 - m|}{\sqrt{6}}

    Từ đó suy ra A;B khác phía với (P) và d\left( A;(P) ight) = 2d\left( B;(P) ight)

    Gọi H là giao điểm của AB với (P).

    Theo Thales ta có:

    EH = \frac{2\sqrt{5}}{3};AH = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}\sqrt{(1 - m)^{2} + (m + 1)^{2} + 2^{2}}

    Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác AEH ta có:

    AE^{2} + EH^{2} = AH^{2}

    \Leftrightarrow \frac{(2m - 2)^{2}}{6} + \left( \frac{2\sqrt{5}}{3} ight)^{2} = \frac{4}{9}\left\lbrack (1 - m)^{2} + (m + 1)^{2} + 4 ightbrack

    \Leftrightarrow \frac{3\left( 4m^{2} - 8m + 4 ight)}{18} + \frac{40}{18} = \frac{8\left( 2m^{2} + 6 ight)}{18}

    \Leftrightarrow 4m^{2} + 24m - 4 = 0

    Phương trình này có hai nghiệm và tổng hai nghiệm đó bằng: - \frac{24}{4} = - 6.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho số phức z = a + bi. Số phức {z^2} có phần ảo là:

    Ta có: {z^2} = {\left( {a + bi} ight)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi

  • Câu 40: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x + 5?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x + 5)dx} = x^{2} + 5x + C

  • Câu 41: Nhận biết

    Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i lần lượt là?

    Ta có:

    \overline z = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i = \frac{{5\left( {1 + 2i} ight)}}{{\left( {1 - 2i} ight)\left( {1 + 2i} ight)}} - 3i = \frac{{5\left( {1 + 2i} ight)}}{5} - 3i = 1 - i

    \Rightarrow z = 1 + i

    Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1.

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho \left| \overrightarrow{a} ight| = 3;\left| \overrightarrow{b} ight| = 5, góc giữa \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} bằng 120^{0}. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

    Ta có: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 3.5.cos120^{0} = - \frac{15}{2}

    Khi đó:

    \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} + 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + {\overrightarrow{b}}^{2} = 9 - 15 + 25 = 19

    \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + {\overrightarrow{b}}^{2} = 9 + 15 + 25 = 49

    \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2} = 9 + 30 + 100 = 139

    \left( \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} + 4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2} = 9 - 30 + 100 = 79

    Vậy khẳng định sai là \left| \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} ight| = 9.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Đặt t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \int_{0}^{1}{\sin(1 - x)dx} = - \int_{1}^{0}{\sin tdt} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}.

    Vậy khẳng định đúng \int_{0}^{1}{\sin(1 - x)dx} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}.

  • Câu 44: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sin x + \cos x\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ 2(x + 1)\ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight. và F(\pi) + F( - 1) = 1. Giá trị biểu thức T = F(2\pi) + F( - 5) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + C_{2}\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    F(\pi) + F( - 1) = 1 \Rightarrow \left( \pi\sin\pi + C_{1} ight) + \left( 1 - 2 + C_{2} ight) = 1 \Rightarrow C_{1} + C_{2} = 2(*)

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 0 tức là

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}F(x) = F(0)

    \Leftrightarrow C_{1} = C_{2}(**). Từ (*) và (**) suy ra C_{1} = C_{2} = 1

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + 1\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + 1\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    T = F(2\pi) + F( - 5) = 17

  • Câu 45: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{2x}.3^{x}.7^{x} là:

    Ta có: \int_{}^{}{\left(2^{2x}.3^{x}.7^{x} ight)dx =}\int_{}^{}{\left( 84^{x} ight)dx}=\frac{84^{x}}{\ln84} + C

  • Câu 46: Nhận biết

    Kí hiệu {z_1},{z_2} là hai nghiệm phức của phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0. Tính P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight|

    Phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0 có hai nghiệm {z_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt {11} }}{6}.

    Khi đó P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight| = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}

  • Câu 47: Thông hiểu

    Cho \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2. Hãy tính \int_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} ight)}{\sqrt{x}}dx}?

    Đặt t = \sqrt{x} \Rightarrow dt = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx \Rightarrow 2dt = \frac{1}{\sqrt{x}}dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = 4 \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight. ta có:

    2\int_{1}^{2}{f(t)dt} = 2\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2.2 = 4

    Vậy \int_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} ight)}{\sqrt{x}}dx} = 4

  • Câu 48: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 1), đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình \frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5};\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1}. Biết B (a; b; c), khi đó a + b + c bằng

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử đường cao là CH:\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1} ta có vectơ chỉ phương của CH là \overrightarrow {u} = (2; 5; −1).

    B thuộc đường trung tuyến BM:\frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5} nên B(8 + 10t; −7 − 9t; 5 + 5 t).

    Suy ra \overrightarrow{AB} = (7 + 10t; - 8 - 9t;4 + 5t)

    Vì CH ⊥ AB nên \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u} = 0⇔ −30t−30 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ B(−2; 2; 0).

    Vậy a + b + c = 0.

  • Câu 49: Thông hiểu

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} trên khoảng ( - 1; + \infty) là:

    Ta có: f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}}

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}} ight)dx}= 2\ln|x + 1| +\frac{3}{x + 1} + C

  • Câu 50: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}}. Môđun của số phức \overline z + iz là:

     Ta có: \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}} = 4 - 4i\, \to \,\left| {\overline z + iz} ight| = 0

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 70 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập