Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
.Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có
Vậy đáp án cần tìm là: .
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
.Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Tìm
để
vuông góc với
?
Ta có: (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau, tức là .
Trong không gian
, cho tam giác
có
. Các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a)
là trung điểm của
. Sai||Đúng
b)
là trọng tâm tam giác
. Đúng||Sai
c)
là điểm đối xứng của
qua
. Đúng||Sai
d) Tọa độ điểm
thỏa
là trọng tâm tam giác
. Đúng||Sai
Trong không gian , cho tam giác
có
. Các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) là trung điểm của
. Sai||Đúng
b) là trọng tâm tam giác
. Đúng||Sai
c) là điểm đối xứng của
qua
. Đúng||Sai
d) Tọa độ điểm thỏa
là trọng tâm tam giác
. Đúng||Sai
a) Sai: Do tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
là
hay
b) Đúng: Do tọa độ trọng tâm của tam giác
là
hay
c) Đúng: là điểm đối xứng của
qua
thì
là trung điểm
.
d) Đúng: là trọng tâm tam giác
.
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
Biết rằng vectơ
và
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có:
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Cho hàm số
liên tục trên tập số thực và thỏa mãn ![]()
![]()
. Khi đó giá trị
bằng:
Ta có:
Trong không gian tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
có hoành độ dương thuộc trục
sao cho tam giác
vuông tại
?
Ta có: có hoành độ dương thuộc trục
Theo bài ra ta có: và tam giác
vuông tại
nên
Vậy
Cho điểm
và mặt phẳng
. Xét điểm
thay đổi trên
, giá trị lớn nhất của
bằng:
Hình vẽ minh họa
Xét là điểm thỏa mãn
thế thì
hay .
Ta có
=
Dấu " " xảy ra khi
là hình chiếu của
lên
.
Cho giá trị của tích phân
,
. Giá trị của a + b là:
Ta có:
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Trong không gian
, cho hai điểm
. Điểm
nằm trên mặt phẳng
sao cho
nhỏ nhất là:
Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng ta được:
Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).
Vậy dấu “ = ” xảy ra khi
.
Ta có chọn vtcp của đường thẳng AB:
.
Vậy phương trình đường thẳng AB: .
Tọa độ của M là nghiệm hệ:
Trong không gian
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Phương trình tham số của đường thẳng
là:
Do cũng là vectơ chỉ phương nên phương trình tham số là:
.
Cho số phức
. Phần thực của số phức
là?
Ta có:
Vậy phần thực là .
Số phức liên hợp của số phức
là
=
= a - bi
Cho hàm số
, ta có:
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
nên
đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ phương trình
Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm tập nghiệm S của phương trình ![]()
Đặt
Ta có:
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Cho số phức
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Ta có: .
Trong không gian với hệ tọa độ
; cho bốn điểm ![]()
. Tính thể tích tứ diện
.
Theo giả thiết ta có: suy ra
Vậy thể tích tứ diện là:
Cho số phức
. Tìm số phức
?
Ta có:
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng
. Xác định tọa độ vị trí điểm
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng
. Xác định tọa độ vị trí điểm
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)
Đáp án: N(1300; 750; 15,5)
Gọi là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.
.
.
Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên và
cùng hướng.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ đến
gấp 4 lần thời gian bay từ
đến
nên
.
Suy ra:
Hàm số
là nguyên hàm của
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
TXĐ:
Ta có:
Phương trình có 1 nghiệm đơn
và một nghiệm kép
nên hàm số
có 1 điểm cực trị.
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách trên.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, giao điểm của mặt phẳng
và đường thẳng
là:
Gọi là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Ta có:
Suy ra .
Cho hai vectơ
và
với
và
.Tìm m để
và
vuông góc.
Điều kiện để
vuông góc
Với
Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Cho các số phức
. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?
![]()
![]()
![]()
Áp dụng tính chất số phức, ta có:
- Môđun của 1 thương hai số phức thì bằng thương của từng môđun
- Môđun của 1 tích hai số phức thì bằng tích của từng môđun
Vậy khẳng địn (I) và (II) là đúng.
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm A.Tọa độ của A là:
Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình :
Giải (1),(2) tính x,y theo z được
Thế vào phương trình (3) được , từ đó có
.
Vậy .
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
và mặt phẳng
. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
là
Đường thẳng đi qua
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình
.
Gọi
Biết rằng hàm số
có
và đồ thị hàm số
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
. Hàm số
là:
Theo lí thuyết
Ta có:
Khi đó có dạng
Theo đề ta có:
Vậy hàm số là .
Trong không gian
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Trong không gian , cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
và
bằng:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng là:
Cho hàm số
có đạo hàm dương và liên tục trên
thỏa mãn
và
. Tích phân
là:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi
Tìm một nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
. Theo bài ra ta có:
Vậy là đáp án cần tìm.
Số phức
có phần thực bằng
Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
?
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
nên
có một vectơ chỉ phương là
.
Phương trình là
Kiểm tra được điểm thỏa mãn hệ (*).
Vậy phương trình: cũng là phương trình của
.
Giá trị của b và c để phương trình
nhận
làm nghiệm là?
Do là nghiệm của phương trình đã cho nên:
Cho
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
và nửa elip có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Gọi
là diện tích của, biết
(với
). Tính
?
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
Do tính chất đối xứng của đồ thị nên
. Đặt
Đổi cận
Với
Suy ra
Vậy
Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Gọi .
Ta có:
.
Ta có:
Xét hàm số
.
Hàm số liên tục trên và với
ta có:
Ta có:
Cho số phức
thỏa mãn
và
.
Tính giá trị biểu thức
.
Ta có mà
(1)
Tương tự ta có
Cộng (1) và (2) ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ![]()
Gọi
Ta có
Lại có
Mặt khác
Suy ra
Tìm nguyên hàm
.
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z là
Ta có:
Xét số phức z thỏa mãn:
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Giả sử: và
, thay vào đẳng thức ta có:
Do đó ta có:
Biết
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.