Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có:
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có vô số vecto chỉ phương.
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có:
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có vô số vecto chỉ phương.
Trong không gian cho hình hộp
. Hỏi bốn vectơ nào có giá cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Từ hình vẽ ta thấy các vectơ có giá cùng thuộc một mặt phẳng
.
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Cho biểu thức
với
. Biểu thức M có giá tri là?
Ta có: .
Khi đó:
.
Cho số phức
. Phần thực của số phức
là?
Ta có:
Vậy phần thực là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và điểm
. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P)?
Mặt phẳng (Q) và song song với (P) nên (Q) có dạng , với
Vì nên
.
Vậy .
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho đường thẳng
và parabol
(
là tham số thực). Gọi
lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được tô đậm và gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi
thì
thuộc khoảng nào dưới đây?

Phương trình hoành độ giao điểm của của hai đồ thị:
Theo giả thiết, phương trình có hai nghiệm phân biệt
Khi đó, phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
Diện tích hình phẳng:
Diện tích hình phẳng:
Theo giả thiết ta có:
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Cho hàm số
thỏa mãn
và
với mọi
. Tính
?
Ta có:
Với
Do đó
Vậy
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả trực tiếp như trên nhưng ta có thể dùng để kiểm tra kết quả bằng cách thử thay số trong các đáp án.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
, phương trình mặt phẳng
qua điểm
và cắt ba tia
lần lượt tại
sao cho
nhỏ nhất. Tính
.
Mặt phẳng cắt ba trục tọa độ lần lượt tại
với
.
Do đi qua điểm
nên:
Mà OA + OB + OC = a + b + c nên OA + OB + OC nhỏ nhất khi a + b + c nhỏ nhất và bằng 36.
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Tìm nguyên hàm của hàm số
??
Đặt
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
với các trục tọa độ?
Xét .
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với các trục tọa độ là:
.
Vì biểu thức không đổi dấu trên miền
nên:
Cho hai số phức
. Môđun của số phức
là:
Ta có:
Diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và đường thẳng
là
Phương trình hoành độ giao điểm:
Khi đó:
.
Hàm số
có nguyên hàm là:
Ta có:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua ba điểm ![]()
Theo đề bài, ta có cặp vecto chỉ phương của
Từ đó, ta suy ra vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 2 VTCP của
Mp (P) đi qua và nhận vecto có tọa độ
làm 1 VTPT có phương trình là:
Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số ![]()
Cho 3 vectơ
đều khác
. Ba vectơ
đồng phẳng khi và chỉ khi (có thể chọn 2 đáp án):
Áp dụng Điều kiện để 3 vecto đồng phẳng là:
cùng vuông góc với
và có giá vuông góc với mp(P)
Trong không gian
, cho đường thẳng
và hai điểm
. Gọi
là điểm thuộc đường thẳng
sao cho diện tích tam giác
bằng
. Giá trị của tổng
bằng:
Phương trình tham số của đường thẳng
Vì C thuộc d nên tọa độ của C có dạng
Ta có
Suy ra
Diện tích tam giác ABC là
Theo bài ra ta có
Với t = 1 thì C (1; 1; 1) nên
Vậy giá trị của tổng
Cho hình lập phương
có đường chéo
. Gọi
là tâm hình vuông
và điểm S thỏa mãn: ![]()
. Khi đó độ dài của đoạn
bằng
với
và
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
.
Cho hình lập phương có đường chéo
. Gọi
là tâm hình vuông
và điểm S thỏa mãn:
. Khi đó độ dài của đoạn
bằng
với
và
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
.
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Xác định giá trị tham số
để
?
Ta có:
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Cho
;
;
. Tìm dạng đại số của
.
Ta có:
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Do đó:
Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Gọi .
Ta có:
.
Ta có:
Xét hàm số
.
Hàm số liên tục trên và với
ta có:
Ta có:
Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là
=
= a – bi
Cho số phức
. Tính |z|
Ta có
Cho số phức
. Số phức
có phần ảo là:
Ta có:
Tích phân
có giá trị là:
Ta có:
Đặt
Đổi cận
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khoảng cách giữa đưởng thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Ta có: , nên đường thằng
song song với mặt phẳng
.
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng khoảng cách từ
đến mặt phẳng
:
Biết rằng hàm số
có
và đồ thị hàm số
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
. Hàm số
là:
Theo lí thuyết
Ta có:
Khi đó có dạng
Theo đề ta có:
Vậy hàm số là .
Cho
là các số hữu tỉ thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Vị trí tương đối của
và
là
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương và đi qua điểm M(−1; 0; 1).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương .
Hai vectơ và
cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.
Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.
Cho ba vectơ
không đồng phẳng. Xét các vectơ ![]()
![]()
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Giả sử ba vectơ đồng phẳng, khi đó
Ta có:
Khi đó:
Vậy ba vectơ đồng phẳng.
Vậy khẳng định đúng là: “Ba vectơ đồng phẳng”.
Một ô tô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc
, trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?
Ta có:
Khi đó do ban đầu ô tô đang dừng nên
Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là: .
Tìm các căn bậc hai của số phức ![]()
Giả sử m + ni (m; n R) là căn bậc hai của z
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.
Trong không gian
, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm
và song song với mặt phẳng
?
Mặt phẳng có phương trình là
nên có một vectơ pháp tuyến là
.
Phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng
.
Cho hình lập phương
; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Cho hình lập phương ; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:![]()
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:.
Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng
xung quanh trục Ox.
Ta có :
Số phức
có phần thực là?
2
Số phức có phần thực là?
2
Ta có:
Vậy phần thực của số phức
Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn
![]()
Tính giá trị biểu thức M = a + b.
=>
=>
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với trục Ox có phương trình là:
Ta có: .
Phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với trục Ox có phương trình là:
Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự
, khác 0 và
thỏa mãn đẳng thức
. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.
Hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự .
Theo giả thiết suy ra: và
.
Ta có:
.
Xét
.
Vậy hay tam giác
là tam giác đều.
Trong không gian
, tìm tập hợp các điểm cách đều cặp mặt phẳng sau đây:
.
Gọi điểm
Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng trên có dạng:
Để mp (γ) cách đều hai mp trên thì
hoặc
Mặt khác điểm hai điểm A; B phải nằm về hai phía của mp (γ).
Với ta có
nên A; B cùng phía.
Với ta có
nên A; B khác phía.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là .
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Vì: