Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

     Ta có (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{1 + i}}{{2 + 3i}}\\ \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{5 - i}}{{13}}\;\\ \Leftrightarrow z = - \dfrac{8}{{13}} - \dfrac{1}{{13}}i\;\;\;\end{array}

  • Câu 2: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x + 5?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x + 5)dx} = x^{2} + 5x + C

  • Câu 3: Nhận biết

    Xét số phức z thỏa mãn: \left( {1 + 2i} ight)\left| z ight| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }},\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight) và \left| z ight| = c{\text{ }}\left( {c > 0} ight), thay vào đẳng thức ta có:

    \left( {1 + 2i} ight)c = \frac{{\sqrt {10} }}{{x + yi}} = 2 + i

    \Leftrightarrow \left( {1 + 2i} ight)c = \frac{{\sqrt {10} \left( {x - yi} ight)}}{{{c^2}}} - 2 + i

    \Leftrightarrow c - \frac{{x\sqrt {10} }}{{{c^2}}} + 2 + i\left( {2c + \frac{{y\sqrt {10} }}{{{c^2}}} - 1} ight) = 0

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} c - \frac{{x\sqrt {10} }}{{{c^2}}} + 2 = 0 \hfill \\ 2c + \frac{{y\sqrt {10} }}{{{c^2}}} - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} c + 2 = \frac{{x\sqrt {10} }}{{{c^2}}} \hfill \\ - 2c + 1 = \frac{{y\sqrt {10} }}{{{c^2}}} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow {\left( {c + 2} ight)^2} + {\left( {2c - 1} ight)^2} = \frac{{10\left( {{x^2} + {y^2}} ight)}}{{{c^4}}} = \frac{{10}}{{{c^2}}}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} c = 1\left( {t/m} ight) \hfill \\ c = - 1\left( {{\text{ko }}t/m} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left| z ight| = 1

    Do đó ta có: \frac{1}{2} < \left| z ight| < \frac{3}{2}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M;P lần lượt là trung điểm của AB;CD. Đặt \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{MC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}

    = - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} ight)

    Vậy khẳng định đúng \overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} ight).

  • Câu 5: Nhận biết

    Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).

    Diện tích hình phẳng (H) được tính theo công thức

    Ta có:

    S = \int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{1}^{4}{\left| g(x) ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{g(x)dx}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i;{z_2} = 3 + 2i. Phần thực và phần ảo của số phức {z_1},{z_2} tương ứng bằng:

     Ta có: {z_1}.{z_2} = \left( {1 - i} ight)\left( {3 + 2i} ight) = 5 - i

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1 , gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P = \left| {{z^5} + {{\overline z }^3} + 4z} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|. Tính \left| {M - mi} ight|

     Ta có P = \left| {{z^5} + {{\overline z }^3} + 4z} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = \left| {{z^4} + {{\overline z }^4} + 4} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = \left| {{{\left( {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight)}^2} + 2} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = {\left( {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight)^2} + 2 - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = {\left( {\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight| - 1} ight)^2} + 1

    Vì \left\{ \begin{array}{l}{z^2} + {\overline z ^2} \in \mathbb{R} \\ - 2 \le {z^2} + {\overline z ^2} \le 2\end{array} ight.  nên {P_{{m{max}}}} = 2; {P_{{m{min}}}} = 1.

    Suy ra  \left| {M - mi} ight| = \sqrt 5

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC có A\left( {1,2, - 3} ight);\,\,B\left( {2, - 1,4} ight);\,\,\,C\left( {3, - 2,5} ight).

    Viết phương trình tham số của trung tuyến AM ?

     Vì AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC. Gọi M\left( {{x_M},{y_M},{z_M}} ight)

    Từ tọa độ của B và C, ta tính được tọa độ của M là nghiệm của hệ:

    \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{2 + 3}}{2}\\{y_M} = \frac{{ - 1 - 2}}{2}\\{z_M} = \frac{{4 + 5}}{2}\end{array} ight.\\ \Rightarrow M\left( {\frac{5}{2}, - \frac{3}{2},\frac{9}{2}} ight)\end{array}

    Ta có 1 vecto chỉ phương của (AM) là \overrightarrow {AM} = \left( {\frac{3}{2}, - \frac{7}{2},\frac{{15}}{2}} ight) = \frac{1}{2}\left( {3, - 7,15} ight)

    (AM) là đường thẳng đi qua A (1,2,-3) và nhận vecto (3,-7,15) làm 1 VTCP có phương trình là:

    \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 - 7t\\z = 15t - 3\end{array} ight.\\(t \in R)\end{array}  

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Tính tổng T = \frac{C_{2018}^{0}}{3} - \frac{C_{2018}^{1}}{4} + \frac{C_{2018}^{2}}{5} - \frac{C_{2018}^{3}}{6} + ... - \frac{C_{2018}^{2017}}{2020} + \frac{C_{2018}^{2018}}{2021}?

    Ta có:

    x^{2}(1 - x)^{2018} = x^{2} \cdot \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k}( - 1)^{k} = \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}.

    Do đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu} x^{2}(1 -x)^{2018}dx = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx.

    Mặt khác:

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx. =\left. \ \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}\frac{x^{k + 3}}{k+ 3}( - 1)^{k} ight|_{0}^{1}= \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu}C_{2018}^{k} \cdot \frac{( - 1)^{k}}{k + 3} = T.

    Đặt t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx.

    Đổi cận x = 0 \Rightarrow t = 1 và x = 1 \Rightarrow t = 0. Khi đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}x^{2}(1 - x)^{2018}dx = \int_{1}^{0}\mspace{2mu}\mspace{2mu}t^{2018}(1 - t)^{2}( - dt)

    = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} t^{2018}\left( t^{2} - 2t + 1 ight)dt = \left. \ \left( \frac{t^{2021}}{2021} - 2 \cdot \frac{t^{2020}}{2020} + \frac{t^{2019}}{2019} ight) ight|_{0}^{1}

    = \frac{1}{2021} - \frac{2}{2020} + \frac{1}{2019} = \frac{1}{1010 \cdot 2019 \cdot 2021} = \frac{1}{4121202990}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho số phức z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}}. Phần thực của số phức z là?

     Ta có: z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}} = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{27}} - 1}}{i}

    = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{26}}.\left( {1 + i} ight) - 1}}{i} = \frac{{{{(2i)}^{13}}\left( {1 + i} ight) - 1}}{i}

    = \frac{{{2^{13}}i - {2^{13}} - 1}}{i} = {2^{13}} + (1 + {2^{13}})i

    Vậy phần thực là  2^{13}.

  • Câu 11: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trung điểm của AB là \left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};4 ight). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10). Đúng||Sai

    c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 30^{\circ}. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a - 2b + 2c = 15. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trung điểm của AB là \left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};4 ight). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10). Đúng||Sai

    c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 30^{\circ}. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a - 2b + 2c = 15. Sai||Đúng

    a) Đúng: Gọi I là trung điểm AB.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} {x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 2}}{2} = \dfrac{3}{2} \hfill \\ {y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{3}{2} \hfill \\ {z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{3 + 5}}{2} = 4 \hfill \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow I\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};4} ight)

    b) Đúng: Ta có \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10).

    c) Đúng: Ta có \overrightarrow{AB} = (1; - 1;2),\overrightarrow{AC} = (1;2; - 1).

    \cos(AB,AC) =\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{|\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot|\overrightarrow{AC}|}

    = \frac{|1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1)|}{\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra (AB,AC) = 60^{\circ}.

    d) Sai: Gọi K(x;y;z) thỏa mãn 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - (2 - x) = 0 \\3(1 - y) - (4 - y) = 0 \\3(5 - z) - (2 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = - \dfrac{1}{2} \\z = \dfrac{13}{2} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra K\left( 2; - \frac{1}{2};\frac{13}{2} ight).

    Khi đó T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| = |3\overrightarrow{IK} + 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{IK} - \overrightarrow{KC}| = |2\overrightarrow{IK}| = 2IK.

    T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu của K trên (Oxz) suy ra I(2;0;\frac{13}{2} )..

    Suy ra a = 2,b = 0,c = \frac{13}{2}.

    Vậy a - 2b + 2c = 15.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho số phức {z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i. Tìm số phức z thỏa mãn \overline z .{z_1} + {z_2} = 0.

     Ta có: \overline z = \frac{{ - {z_2}}}{{{z_1}}} = \frac{{ - 3 - 2i}}{{1 - i}} = - \frac{1}{2} - \frac{5}{2}i \Rightarrow z = - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1). Đường thẳng \Delta đi qua C và song song với AB có phương trình là:

    Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là \overrightarrow{BA} = (1;2;1)

    Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho đường thẳng \left( D ight):\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 4z - 1 = 0\\2x + 4y - z + 5 = 0\end{array} ight. có một vec-tơ chỉ phương là:

     Ta có vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng

    \left( P ight):2x - y + 4z - 1 = 0 và \left( Q ight):2x + 4y - z + 5 = 0 lần lượt là  \overrightarrow {{n_1}} = \left( {2, - 1,4} ight);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2,4, - 1} ight).

    Ta có vectơ chỉ phương của (D) là tích có hướng của 2 vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng:

    \overrightarrow {{a_D}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } ight] = - 5\left( {3, - 2, - 2} ight) = 5\left( { - 3,2,2} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow a = \left( {3, - 2, - 2} ight) \vee \overrightarrow a = \left( { - 3,2,2} ight)

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x'Ox,y'Oy,z'Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho OA = OB = 2OC eq 0?

    Đặt A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với abc eq 0.

    Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

    Do OA = OB = 2OC nên ta có |a| = |b| = 2|c|.

    Suy ra a = ±2c, b = ±2c.

    Nếu a = 2c và b = 2c thì mặt phẳng (P) có dạng \frac{x}{2c} + \frac{y}{2c} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{2c} + \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{9}{2}.

    Ta có (P): x + y + 2z − 9 = 0.

    Nếu a = 2c và b = −2c thì mặt phẳng (P) có dạng \frac{x}{2c} + \frac{y}{- 2c} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{2c} - \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{5}{2}

    Ta có (P): x − y + 2z − 5 = 0.

    Nếu a = −2c và b = 2c thì mặt phẳng (P) có dạng \frac{x}{- 2c} + \frac{y}{2c} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{- 2c} + \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{7}{2}

    Ta có (P): − x + y + 2z − 7 = 0.

    Nếu a = −2c và b = −2c thì mặt phẳng (P) có dạng \frac{x}{- 2c} + \frac{y}{- 2c} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{- 2c} + \frac{2}{- 2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{3}{2}

    Ta có (P): − x − y + 2z − 3 = 0.

    Vậy có bốn mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.

  • Câu 16: Vận dụng

    Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M = (1; - 1;2) và hai đường thẳng d_{1} : \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight. d_{2}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{1}. Đường thẳng \Delta đi qua diểm M và cắt cả hai đường thẳng d_{1},d_{2} có véc tơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;a;b). Tính a + b?

    Gọi A,B lần lượt là giao điểm của đường thẳng \Delta với d_{1},d_{2}

    A \in d_{1} \Rightarrow A\left( t_{1};1 - t_{1}; - 1 ight);B \in d_{2} \Rightarrow B\left( - 1 + 2t_{2};1 + t_{2}; - 2 + t_{2} ight)

    M \in \Delta \Leftrightarrow M,A,B\ \text{thẳng\ hàng~} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB}(1)

    \overrightarrow{MA} = \left( t_{1} - 1;2 - t_{1}; - 3 ight);\overrightarrow{MB} = \left( 2t_{2} - 2;t_{2} + 2;t_{2} - 4 ight)

    (1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 1 = k(2t_{2} - 2) \\ 2 - t_{1} = k(t_{2} + 2) \\ - 3 = k(t_{2} - 4) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 2kt_{2} + 2k = 1 \\ - t_{1} - kt_{2} - 2k = - 2 \\ kt_{2} - 4k = - 3 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} = 0 \\ kt_{2} = \frac{1}{3} \\ k = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.

    Từ t_{1} = 0 \Rightarrow A(0;1; - 1).

    Do đường thẳng \Delta đi qua điểm A và M nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta là \overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{AM} = (1; - 2;3).

    Vậy a = - 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 1

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}}. Môđun của số phức \overline z + iz là:

     Ta có: \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}} = 4 - 4i\, \to \,\left| {\overline z + iz} ight| = 0

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;2; - 2),B(3; - 1;0). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P):x + y - z + 2 = 0 tại điểm I. Tỉ số \frac{IA}{IB} bằng

    Ta có: \frac{IA}{IB} = \frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} = \frac{8}{\sqrt{3}}:\frac{4}{\sqrt{3}} = 2

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hai số thực b và c (c>0). Kí hiệu A , B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình {z^2} + 2bz + c = 0 trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).

     Ta có: {z^2} + 2bz + c = 0 . Vì {z_1} + {z_2} = - 2b và {z_1}{z_2} = c là số thực.

    \Rightarrow {z_2} = \overline {{z_1}} \Rightarrow \left| {{z_2}} ight| = \left| {\overline {{z_1}} } ight| = \left| {{z_1}} ight|. Vậy ta có: {x_1} = b và x_1^2 + y_2^2 = c .

    Ta có: {z_1} = {x_1} + {y_1}i \Rightarrow A\left( {{x_1};{y_1}} ight); {z_1} = {x_2} + {y_2}i \Rightarrow B(x_2;y_2).

    Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O = > \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0

    \Rightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0\Rightarrow x_1^2-y_1^2=0\Rightarrow x_1^2=y_1^2\Rightarrow c=2b^2.

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1; - 2;3);\overrightarrow{v} = ( - 1;2;0). Vectơ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} có tọa độ là:

    Ta có: \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \left( 1 + ( - 1); - 2 + 2;3 + 0 ight) = (0;0;3)

    Vậy đáp án cần tìm là (0;0;3)

  • Câu 21: Nhận biết

    Xác định phần ảo của số phức z = 18 - 12i.

     Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = 1 và x = 3. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 \leq x \leq 3) cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 3x^{2} - 2. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên

    Diện tích thiết diện là: S(x) = 3x.\left( 3x^{2} - 2 ight) = 9x^{3} - 6x

    \Rightarrow Thể tích vật thể là: V = \int_{1}^{3}{\left( 9x^{3} - 6x ight)dx = 156}

  • Câu 23: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} + 4z + 7 = 0  là:

     Ta có: \Delta ' = {2^2} - 7 = - 3 = 3{i^2}

    \Rightarrowcác căn bậc hai của \triangle '  là \pm i\sqrt 3

    Vậy nghiệm của phương trình là: z = - 2 + \sqrt 3 i,\,\,\,z = - 2 - \sqrt 3 i

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện \left| {z - 1} ight| = \sqrt 2. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T = \left| {z + i} ight| + \left| {z - 2 - i} ight|

    Đặt z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight), ta có:

    \left| {z - 1} ight| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {x - 1 + yi} ight| = \sqrt 2

    \Leftrightarrow {\left( {x - 1} ight)^2} + {y^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2x + 1\left( * ight)

    Mặt khác: T = \left| {z + i} ight| + \left| {z - 2 - i} ight| = \left| {x + \left( {y + 1} ight)i} ight| + \left| {x - 2} ight| + \left( {y - 1} ight)i

    = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} ight)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}

    = \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2y + 1} + \sqrt {{x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 5}

    Kết hợp với (*), ta được:

    T = \sqrt {2x + 2y + 2} + \sqrt {6 - 2x - 2y}

    Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được

    T \leqslant \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} ight)\left[ {{{\left( {\sqrt {2x + 2y + 2} } ight)}^2} + {{\left( {\sqrt {6 - 2x - 2y} } ight)}^2}} ight]} = 4

    Vậy \max T = 4

  • Câu 25: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy với vận tốc 36km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc a(t) = 1 + \frac{t}{3}\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường mà ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ôtô bắt đầu tăng tốc.

    Ta có:

    v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{\left( 1 + \frac{t}{3} ight)dt} = t + \frac{t^{2}}{6} + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 36(km/h) = 10(m/s)

    \Rightarrow v_{(t = 0)} = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow v(t) = t + \frac{t^{2}}{6} + 10

    Khi đó quãng đường xe đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

    S = \int_{0}^{6}{v(t)dt} = \int_{0}^{6}{\left( t + \frac{t^{2}}{6} + 10 ight)dt} = 90m

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 1 + 3i. Phần thực và phần ảo của số phức w = 2i - 3\overline z lần lượt là:

     Ta có: w = 2i - 3\overline z = 2i - 3\left( { - 1 - 3i} ight) = 11i + 3

  • Câu 27: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (Oyz)?

    Ta có: A(x;y;z) \in (Oyz) \Rightarrow x = 0 nên điểm cần tìm là Q(0;4; - 1).

  • Câu 28: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 29: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(4, -1, 1), B(3, 1, -1) và song song với trục Ox là:

     \overrightarrow {AB} = \left( { - 1,2, - 2} ight): vectơ chỉ phương của trục Ox: \overrightarrow i = \left( {1,0,0} ight) .

    \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow i } ight] = \left( {0, - 2, - 2} ight): Chọn làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng y + z + D = 0, qua A nên:- 1 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = 0

    Vậy ta có phương trình mp cần tìm là:  y+z=0

  • Câu 30: Thông hiểu

    Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số y = cos2x?

    Ta có: \int_{}^{}{\cos2xdx} =\frac{1}{2}\sin2x + C

    = \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + C =\frac{1}{2}.\left( 1 + 2\sin x\cos x ight) + C -\frac{1}{2}

    = \frac{1}{2}.\left( \sin^{2}x +2\sin x\cos x + \cos^{2}x ight) + C'

    = \frac{1}{2}.\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C'

    Vậy đáp án cần tìm là: y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C.

  • Câu 31: Vận dụng

    Với giá trị nào của thì hai mặt phẳng sau song song:

    \left( P ight):(m - 2)x - 3my + 6z - 6 = 0;\,\,\,\,\,\left( Q ight):(m - 1)x + 2y + (3 - m)z + 5 = 0

    Áp dụng điều kiện để 2 mp song song, ta xét:

    {A_1}{B_2} - {A_2}{B_1} = \left( {m - 2} ight)2 + \left( {m - 1} ight)3m = 3{m^2} - m - 4 = 0

    \Leftrightarrow m = - 1,m = \frac{4}{3}

    {B_1}{C_2} - {B_2}{C_1} = - 3m\left( {3 - m} ight) - 2.6 = 3{m^2} - 9m - 12 = 0

    \Leftrightarrow m = - 1,m = 4

    {C_1}{A_2} - {C_1}{A_1} = 6\left( {m - 1} ight) - \left( {3 - m} ight)\left( {m - 2} ight) = {m^2} + m = 0

    \Leftrightarrow m = - 1,m = 0

    Với m=-1 thoả mãn cả 3 điều kiện trên \Rightarrow \left( P ight)//\left( Q ight)

  • Câu 32: Nhận biết

    Xác định giá trị của tham số a thỏa mãn \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2?

    Ta có: \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = \left. \ \left( x^{3} + 2x ight) ight|_{0}^{a} = a^{3} + 2a

    \Rightarrow \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a^{3} + 2a = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a = 1

    Vậy đáp án a = 1.

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho hai số phức {z_1} = 5 - 7i và {z_2} = 2 + 3i. Tìm số phức z = {z_1} + {z_2}

     Ta có:

    \begin{matrix} z = {z_1} + {z_2} \hfill \\ = \left( {5 - 7i} ight) + \left( {2 + 3i} ight) \hfill \\ = (5 + 2) + ( - 7 + 3)i \hfill \\ = 7 - 4i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x - 8\sin x\cos x thỏa mãn F(\pi) = 2?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(2x - 8\sin x\cos x ight)dx}

    = \int_{}^{}{(2x - 4\sin2x)dx} = x^{2} +2\cos2x + C

    Theo bài ra ta có: F(\pi) = 2

    \Rightarrow \pi^{2} + 2 + C = 2 \Leftrightarrow C = - \pi^{2}

    Vậy F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}} biết rằng đồ thị hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành. Chọn công thức đúng của 3e^2F(x)?

     Ta có:

    F\left( x ight) = \int {\left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}}dx = \frac{1}{3}\int {{e^{{x^3} - 3x}}d\left( {{x^3} - 3x} ight) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} - 3x}} + C} }

    Mà F'\left( x ight) = f\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}} = 0 \Rightarrow x = \pm 1

    \begin{matrix} F''\left( x ight) = 2x.{e^{{x^3} - 3x}} + \left( {{x^2} - 1} ight)\left( {3{x^2} - 3} ight){e^{{x^3} - 3x}} \hfill \\ F''\left( 1 ight) > 0;F''\left( { - 1} ight) < 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

    Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A(0; 1)

    => F\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}{e^{ - 2}} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{{3{e^2}}}

    => F\left( x ight) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x + 2}} - 1}}{{3{e^2}}} Hay  3e^2F(x) = e^{{x^3} - 3x + 2} - 1

  • Câu 36: Vận dụng

    Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn \int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1 bằng:

    Ta có:

    \int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1

    \Leftrightarrow \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} + m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1

    \Leftrightarrow m^{2} - m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} - \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} - 1 = 0

    Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với biến m, với các hệ số
    \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = - \int_{0}^{1}{\dfrac{3}{9^{x} + 3}dx} \\c = - \int_{0}^{1}{\dfrac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} \\\end{matrix} ight..

    Áp dụng hệ thứ Vi- et \Rightarrow m_{1} + m_{2} = \frac{- b}{a} = \int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = \frac{1}{2}

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x} trên khoảng (0;\pi). Biết rằng giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;\pi) là \sqrt{3}. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\dfrac{2\cos x - 1}{\sin^{2}x}dx} =\int_{}^{}{\dfrac{2\cos x}{\sin^{2}x}dx} -\int_{}^{}{\dfrac{1}{\sin^{2}x}dx}

    = \int_{}^{}\frac{2d\left( \sin xight)}{\sin^{2}x} - \int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx} = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C

    Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x} trên khoảng (0;\pi) nên hàm số F(x) có công thức dạng F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C với mọi x \in (0;\pi)

    Xét hàm số F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C xác định và liên tục trên (0;\pi)

    Ta có: F'(x) = f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}

    \Rightarrow F'(x) = 0\Leftrightarrow \frac{2\cos x - 1}{\sin^{2}x} = 0

    \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Trên khoảng (0;\pi) phương trình F'(x) = 0 có một nghiệm x = \frac{\pi}{3}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    \underset{(0;\pi)}{\max F(x)} = F\left( \frac{\pi}{3} ight) = - \sqrt{3} + C. Theo bài ra ta có: - \sqrt{3} + C = \sqrt{3} \Rightarrow C = 2\sqrt{3}

    Do đó F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + 2\sqrt{3} suy ra F\left( \frac{\pi}{6} ight) = 3\sqrt{3} - 4.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{\sin x} có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0. Giá trị của e^{F\left( \frac{2\pi}{3} ight)} bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{\sin x}dx} =\int_{}^{}{\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}.\cos\frac{x}{2}}dx}

    = \int {\frac{1}{{2\tan \frac{x}{2}.{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}dx} = \int {\frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}}d\left( {\tan \frac{x}{2}} ight)}= \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} ight| + C

    Lại có F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \ln\left| \tan\frac{\pi}{6} ight| + C = 0

    \Rightarrow C = - \ln\frac{\sqrt{3}}{3}= \ln\sqrt{3} = \frac{1}{2}\ln3

    Do đó: {e^{F\left( {\frac{{2\pi }}{3}} ight)}} = {e^{\ln \left| {\tan \frac{\pi }{3}} ight| + \frac{1}{2}\ln 3}} = {e^{\ln 3}} = 3

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2). Tìm x để các đường thẳng AD;BC;MN cùng song song với một mặt phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2). Tìm x để các đường thẳng AD;BC;MN cùng song song với một mặt phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 40: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

     Ta có \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{( - 1 + 3i)(1 - i)}}{{{{(2 + i)}^2}}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 4i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{(2 + 4i)(3 - 4i)}}{{25}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i

  • Câu 41: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - 3y + z - 6 = 0 cắt ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz lần lượt tại ba điểm A,B,C. Lúc đó thể tích V của khối tứ diện OABC là:

    Gọi A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) lần lượt là giao của mặt phẳng (P) với ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz.

    Khi đó A(3;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0;6) và tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc tại O.

    Do đó V_{OABC} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.3.2.6 = 6

  • Câu 42: Vận dụng

    Cho hai số phức z, w thỏa mãn \left| {z - 1} ight| = \left| {z + 3 - 2i} ight|; w = z + m + i với m \in \mathbb{R} là tham số. Giá trị của m để ta luôn có \left| w ight| \geqslant 2\sqrt 5 là:

     Đặt z = a + ib,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) có biểu diễn hình học là điểm M\left( {x;y} ight)

    Ta có:

    \left| {z - 1} ight| = \left| {z + 3 - 2i} ight|

    \Leftrightarrow \left| {x - 1 + iy} ight| = \left| {x + 3 + \left( {y - 2} ight)i} ight|

    \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 3} ight)}^2} + {{\left( {y - 2} ight)}^2}}

    \Leftrightarrow - 2x + 1 = 6x + 9 - 4y + 4 \Leftrightarrow 2x - y + 3 = 0

    Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng \Delta :2x - y + 3 = 0

    Ta xét: \left| \omega ight| \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {z + m + i} ight| \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {x + m + + \left( {y + 1} ight)i} ight| \geqslant 2\sqrt 5

    với I\left( { - m; - 1} ight).

    Mà ta có MI \geqslant d\left( {I,\Delta } ight)

    Nên MI \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } ight) \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2m + 4} ight|}}{{\sqrt 5 }} \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| { - 2m + 4} ight| \geqslant 10

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - 2m + 4 \geqslant 10 \hfill \\ - 2m + 4 \leqslant - 10 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m \leqslant - 3 \hfill \\ m \geqslant 7 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 43: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):x + y - 2z + 4 = 0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

    Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \overrightarrow{n} = (1;1; - 2).

  • Câu 44: Thông hiểu

    Cho ba điểm A\left( {3,1,0} ight);\,\,\,B\left( {2,1, - 1} ight);\,\,\,C\left( {x,y, - 1} ight). Tính x, y để G\left( {2, - 1, - \frac{2}{3}} ight) là trọng tâm tam giác ABC?

     Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên áp dụng công thức, ta có:

    \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} + {x_c} = 3.{x_G}\\{y_A} + {y_B} + {y_c} = 3.{y_G}\\{z_A} + {z_B} + {z_c} = 3.{z_G}\end{array} ight.

    Thay tọa độ các điểm vào ta được hệ sau:

    \left\{ \begin{array}{l}3 + 2 + x = 3.2 = 6\\1 + 1 + y = 3\left( { - 1} ight) = - 3\\0 - 1 - 1 = 3\left( { - \dfrac{2}{3}} ight) = - 2\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 5\end{array} ight.

  • Câu 45: Thông hiểu

    Cho \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = a\ln|x - 1| + b\ln|x + 1| + C với a;b là các số hữu tỉ. Khi đó a - b bằng:

    Ta có: \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ight)dx} = \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a - b = 1.

  • Câu 46: Thông hiểu

    Biết rằng f'(x) = x\sqrt{1 + x^{2}} và 3f(0) = 4. Tìm hàm số f(x)?

    Ta có: f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{x\sqrt{1 + x^{2}}dx}

    = \frac{1}{2}\int_{}^{}{\left( 1 + x^{2} ight)^{\frac{1}{2}}d\left( 1 + x^{2} ight)} = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + C

    Mà 3f(0) = 4 \Leftrightarrow 3\frac{\left( \sqrt{1 + 0^{2}} ight)^{3}}{3} + 3C = 4 \Leftrightarrow C = 1

    Vậy f(x) = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + 1

  • Câu 47: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     Ta có:

    \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 48: Nhận biết

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x + 1 là:

    Ta có: \int_{}^{}{\left( \sin x + 1 ight)dx} = - \cos x + x + C

  • Câu 49: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{3}^{4}{\frac{5x -8}{x^{2} - 3x + 2}dx} = a\ln3 + b\ln2 + c\ln5 với a;b;c là các số hữu tủ. Giá trị của 2^{a - 3b + c} bằng:

    Ta có:

    \int_{3}^{4}{\frac{5x - 8}{x^{2} - 3x +2}dx} = \int_{3}^{4}{\left( \frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}ight)dx}

    = \left. \ 3\ln|x - 1| ight|_{3}^{4} +2\left. \ \ln|x - 2| ight|_{3}^{4}

    = 3\ln2 - 3\ln2 + 2\ln2 = - \ln2 +3\ln3

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 3 \\b = - 1 \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow 2^{a - 3b + c} = 2^{6} =64

  • Câu 50: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x -\sin2x?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{(x- \sin2x)dx} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\cos2x + C

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 114 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập