Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian, cho hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} có cùng độ dài bằng 6. Biết độ dài của vectơ \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} bằng 6\sqrt{3}. Biết số đo góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} là x độ. Giá trị của x là bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian, cho hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} có cùng độ dài bằng 6. Biết độ dài của vectơ \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} bằng 6\sqrt{3}. Biết số đo góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} là x độ. Giá trị của x là bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho số phức {z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i. Tìm số phức z thỏa mãn \overline z .{z_1} + {z_2} = 0.

     Ta có: \overline z = \frac{{ - {z_2}}}{{{z_1}}} = \frac{{ - 3 - 2i}}{{1 - i}} = - \frac{1}{2} - \frac{5}{2}i \Rightarrow z = - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hai vectơ \overrightarrow V = \,m\overrightarrow a \,\, - \,\,2\overrightarrow bvà \overrightarrow W = \,m\overrightarrow b \,\, - \,\,\overrightarrow avới \overrightarrow a = \left( {2,\,1,\, - 1} ight) và \overrightarrow b = \left( {1,\, - 2,\,1} ight).Tìm m để \overrightarrow V và \overrightarrow W vuông góc.

     Điều kiện để

    \overrightarrow V vuông góc \overrightarrow W \Leftrightarrow \left( {m\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } ight)\left( {m\overrightarrow b - \overrightarrow a } ight) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 ight)

    Với {\overrightarrow a ^2} = 6;\,{\overrightarrow b ^2} = 6;\,\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 1

    \begin{array}{l}\left( 1 ight) \Leftrightarrow {m^2} + 18m + 2 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = - 9 \pm \sqrt {79} \end{array}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn \left( {1 - i} ight)z + 2i\overline z = 5 + 3i. Môđun của z là:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight).

    \left( {1 - i} ight)\left( {x + yi} ight) + 2i\left( {x - yi} ight) = 5 + 3i

    \Leftrightarrow \left( {x + 3y} ight) + \left( {x + y} ight)i = 5 + 3i \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 3y = 5 \hfill \\ x + y = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left| z ight| = \sqrt 5

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x\sin x, biết rằng F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2019?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \sin xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cos x \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{}^{}{x\sin xdx} = - x\cos x - \int_{}^{}{\left( - \cos x ight)dx} + C = - x\cos x + \sin x + C

    F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + C = 2019 \Rightarrow C = 2018

    Vậy F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2),B( - 1;2;4) và đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = - 2 + t \\ z = 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Điểm M \in \Delta mà tổng MA^{2} + MB^{2} có giá trị nhỏ nhất có tọa độ là:

    Vì M \in \Delta nên ta có tọa độ điểm M(1 - t; - 2 + t;2t).

    Ta có:

    MA^{2} + MB^{2} = ( - t)^{2} + (t - 6)^{2} + (2t - 2)^{2} + (2 - t)^{2} + (t - 4)^{2} + (2t - 4)^{2}

    = 12t^{2} - 48t + 76 = 12(t - 2)^{2} + 28 \geq 28

    Vậy giá trị nhỏ nhất của MA^{2} + MB^{2} là 28 khi t = 2 \Rightarrow M( - 1;0;4).

  • Câu 7: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} + 4z + 7 = 0  là:

     Ta có: \Delta ' = {2^2} - 7 = - 3 = 3{i^2}

    \Rightarrowcác căn bậc hai của \triangle '  là \pm i\sqrt 3

    Vậy nghiệm của phương trình là: z = - 2 + \sqrt 3 i,\,\,\,z = - 2 - \sqrt 3 i

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.\bar z = 1 và \left| {z - \sqrt 3 + i} ight| = m. Tìm số phần tử của S. 

    2 || Hai || hai

    Đáp án là:

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.\bar z = 1 và \left| {z - \sqrt 3 + i} ight| = m. Tìm số phần tử của S. 

    2 || Hai || hai

    Điều kiện: m > 0.

    Đặt z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight).

    Theo giả thiết z.\bar z = 1 \Leftrightarrow {\left| z ight|^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\left( {{C_1}} ight).

    \left( {{C_1}} ight) là đường tròn tâm O(0; 0), bán kính {R_1} = 1.

    Mặt khác  {R_1} = 1

    \left( {{C_2}} ight) là đường tròn tâm I\left( {\sqrt 3 ; - 1} ight), bán kính {R_2} = m.

    Để tồn tại duy nhất số phức z thì \left( {{C_1}} ight) và \left( {{C_2}} ight) tiếp xúc ngoài hoặc trong.

    TH1: \left( {{C_1}} ight) và \left( {{C_2}} ight) tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi {R_1} + {R_2} = OI \Leftrightarrow 1 + m = 2 \Leftrightarrow m = 1\left( {TM} ight).

    TH2: \left( {{C_1}} ight) và \left( {{C_2}} ight) tiếp xúc trong khi và chỉ khi \left[ \begin{array}{l}{R_1} + OI = {R_2} \Leftrightarrow 1 + 2 = m \Leftrightarrow m = 3\,\,\,\,\,\,\left( {TM} ight)\\OI + {R_2} = {R_1} \Leftrightarrow m + 2 = 1 \Leftrightarrow m = - 1\,\,\,\,\,\,(L)\end{array} ight..

    Vậy S = \left\{ {1,3} ight\}.

  • Câu 9: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0

    Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm z = 1.

    z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0

    \Leftrightarrow (z – 1)(z^3 – 3z^2 + 4z – 12) = 0

    \Leftrightarrow (z – 1) (z – 3) (z^2 + 4) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\{z^2} + 4 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\z = 2i\\z = - 2i\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:z = {m{\{ }}1;\,\,3;\,\,2i;\,\, - 2i{m{ \} }}.

  • Câu 10: Vận dụng

    Tìm nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}

     \int {f\left( x ight)} dx = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}} dx = {\int {\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)} ^{10}}.\frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    Đặt t = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \Rightarrow dt = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}dx}} \Rightarrow \frac{1}{3}dt = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    => \int {f\left( x ight)} dx = \int {{t^{10}}.\frac{1}{3}dt = \frac{1}{{33}}.{t^{11}} + C}

    => \frac{1}{{33}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho số phức z  thỏa mãn z = {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} ight)^{2024}}. Viết z dưới dạng z = a + bi, \, \, a,b \in \mathbb{R}. Khi đó tổng a+b có giá trị bằng bao nhiêu?

     z = {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} ight)^{2024}} = {\left( { - i} ight)^{2024}} = {\left( {{i^4}} ight)^{506}} = 1

  • Câu 12: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{2x}.3^{x}.7^{x} là:

    Ta có: \int_{}^{}{\left(2^{2x}.3^{x}.7^{x} ight)dx =}\int_{}^{}{\left( 84^{x} ight)dx}=\frac{84^{x}}{\ln84} + C

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{\sin x} có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0. Giá trị của e^{F\left( \frac{2\pi}{3} ight)} bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{\sin x}dx} =\int_{}^{}{\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}.\cos\frac{x}{2}}dx}

    = \int {\frac{1}{{2\tan \frac{x}{2}.{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}dx} = \int {\frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}}d\left( {\tan \frac{x}{2}} ight)}= \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} ight| + C

    Lại có F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \ln\left| \tan\frac{\pi}{6} ight| + C = 0

    \Rightarrow C = - \ln\frac{\sqrt{3}}{3}= \ln\sqrt{3} = \frac{1}{2}\ln3

    Do đó: {e^{F\left( {\frac{{2\pi }}{3}} ight)}} = {e^{\ln \left| {\tan \frac{\pi }{3}} ight| + \frac{1}{2}\ln 3}} = {e^{\ln 3}} = 3

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hai hàm số F(x) = \left( x^{2} + bx + c ight)e^{x} và f(x) = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x}. Biết a;b là các số thực để F(x) là một nguyên hàm của f(x). Tính S = a + b?

    Từ giả thiết ta có:

    F'(x) = f(x)

    \Leftrightarrow (2x + a)e^{x} + \left( x^{2} + ax + b ight)e^{x} = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x};\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow x^{2} + (2 + a)x + a + b = x^{2} + 3x + 4;\forall x\mathbb{\in R}

    Đồng nhất hai vế ta có: \left\{ \begin{matrix} a + 2 = 3 \\ a + b = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = a + b = 4.

  • Câu 15: Vận dụng

    Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M = (1; - 1;2) và hai đường thẳng d_{1} : \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight. d_{2}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{1}. Đường thẳng \Delta đi qua diểm M và cắt cả hai đường thẳng d_{1},d_{2} có véc tơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;a;b). Tính a + b?

    Gọi A,B lần lượt là giao điểm của đường thẳng \Delta với d_{1},d_{2}

    A \in d_{1} \Rightarrow A\left( t_{1};1 - t_{1}; - 1 ight);B \in d_{2} \Rightarrow B\left( - 1 + 2t_{2};1 + t_{2}; - 2 + t_{2} ight)

    M \in \Delta \Leftrightarrow M,A,B\ \text{thẳng\ hàng~} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB}(1)

    \overrightarrow{MA} = \left( t_{1} - 1;2 - t_{1}; - 3 ight);\overrightarrow{MB} = \left( 2t_{2} - 2;t_{2} + 2;t_{2} - 4 ight)

    (1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 1 = k(2t_{2} - 2) \\ 2 - t_{1} = k(t_{2} + 2) \\ - 3 = k(t_{2} - 4) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 2kt_{2} + 2k = 1 \\ - t_{1} - kt_{2} - 2k = - 2 \\ kt_{2} - 4k = - 3 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} = 0 \\ kt_{2} = \frac{1}{3} \\ k = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.

    Từ t_{1} = 0 \Rightarrow A(0;1; - 1).

    Do đường thẳng \Delta đi qua điểm A và M nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta là \overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{AM} = (1; - 2;3).

    Vậy a = - 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 1

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho số phức z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) thỏa mãn \left( {1 + i} ight)z + 2\overline z = 3 + 2i. Tính P = a + b

    Giả sử: z = a + bi{\text{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight)

    \left( {1 + i} ight)\left( {a + bi} ight) + 2\left( {a - bi} ight) = 3 + 2i

    \Leftrightarrow 3a - b + \left( {a - b} ight)i = 3 + 2i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3a - b = 3 \hfill \\ a - b = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{2} \hfill \\ b = - \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow P = a + b = - 1

  • Câu 17: Thông hiểu

    Một vận động viên đua xe đang chạy với vận tốc 10m/s thì anh ta tăng tốc với vận tốc a(t) = 6t\left( m/s^{2} ight), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc, hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian 10s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?

    Ta có: v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{6tdt} = 3t^{2} + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 10 ightarrow v_{(t = 0)} = 10 \Rightarrow C = 10

    \Rightarrow v(t) = 3t^{2} + 10

    Khi đó quãng đường xe đi được sau 10 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

    S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} = \int_{0}^{10}{\left( 3t^{2} + 10 ight)dt} = 1100(m)

  • Câu 18: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; - 2;4),B( - 3;3; - 1) và mặt phẳng (P):2x - y + 2z - 8 = 0. Xét M là điểm thay đổi thuộc (P), tính giá trị nhỏ nhất của 2MA^{2} + 3MB^{2} ?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; - 2;4),B( - 3;3; - 1) và mặt phẳng (P):2x - y + 2z - 8 = 0. Xét M là điểm thay đổi thuộc (P), tính giá trị nhỏ nhất của 2MA^{2} + 3MB^{2} ?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|

     Ta có \left| z ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight). Giá trị của x và y bằng:

     Ta có:

    {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi \Leftrightarrow {x^2} - 4 + 4xi = 3x + yi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 4 = 3x \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = 16 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có A(0;1; - 1),B(1;1;2),C(1; - 1;0),D(0;0;1). Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD?

    Ta có:

    \overrightarrow{BA} = ( - 1;0; - 3),\overrightarrow{BC} = (0; - 2; - 2),\overrightarrow{BD} = ( - 1; - 1; - 1)

    \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} ightbrack = (0; - 2; - 2) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} ightbrack.\overrightarrow{BA} = 6

    V_{ABCD} = \frac{1}{3}AH.S_{BCD} \Rightarrow AH = \frac{3V_{ABCD}}{S_{BCD}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho số phức {z_1},{z_2} thỏa mãn \left| {z + 2 - i} ight| = 2\left| {z - 1 - i} ight| và {z_1} + {z_2} = 1 + i.

    Tính giá trị biểu thức P = {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

     Ta có \left| {{z_1} + 2 - i} ight| = 2\left| {{z_1} - 1 - i} ight| mà {z_1} + {z_2} = 1 + i

    \Rightarrow \left| {{z_1} + 2 - i} ight| = 2\left| {{z_2}} ight|

    \Rightarrow 4{\left| {{z_2}} ight|^2} = \left( {{z_1} + 2 - i} ight)\left( {\overline {{z_1}} + 2 + i} ight) = {\left| {{z_1}} ight|^2} + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_1}} + \left( {2 + i} ight){z_1} + 5.(1)

    Tương tự ta có

    4{\left| {{z_1}} ight|^2} = {\left| {{z_2}} ight|^2} + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_2}} + \left( {2 + i} ight){z_2} + 5.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 ight)

    Cộng (1) và (2) ta có:

    4P = P + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_1} + {z_2}} + \left( {2 + i} ight)\left( {{z_1} + {z_2}} ight) + 10

    = P + \left( {2 - i} ight)\left( {1 - i} ight) + \left( {2 + i} ight)\left( {1 + i} ight) + 10 = P + 12 \Rightarrow P = 4.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB =6,\ AC = 8 và M là trung điểm của cạnh AC. Khi đó thể tích của khối tròn xoay do tam giác BMC quanh cạnh AB là:

    Hình vẽ minh họa

    Khi quay tam giác BMC quanh cạnh AB tạo ra 2 khối tròn xoay có thể tích là

    V = \frac{1}{3}\pi AC^{2}.AB -\frac{1}{3}\pi AM^{2}.AB

    = \frac{1}{3}\pi.8^{2}.6 -\frac{1}{3}\pi.4^{2}.6 = 96\pi

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Cho hai số phức {z_1},{z_2} có điểm biểu diễn lần lượt là {M_1},{M_2} cùng thuộc đường tròn có phương trình {x^2} + {y^2} = 1 và \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1. Tính giá trị biểu thức P = \left| {{z_1} + {z_2}} ight|

     Cách 1: Do {M_1},{M_2} cùng thuộc đường tròn có phương trình {x^2} + {y^2} = 1 nên \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = 1

    Lại có: 

    \begin{matrix} \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1 \Leftrightarrow {\left| {{z_1} - {z_2}} ight|^2} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{z_1} - {z_2}} ight)\overline {\left( {{z_1} - {z_2}} ight)} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{z_1} - {z_2}} ight)\left( {\overline {{z_1}} - \overline {{z_2}} } ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow {z_1}.\overline {{z_1}} - \left( {{z_1}.\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} .{z_2}} ight) + {z_2}.\overline {{z_2}} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} - \left( {{z_1}.\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} .{z_2}} ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow {z_1}.\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} .{z_2} = 1 \hfill \\ {P^2} = {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} = \left( {{z_1} + {z_2}} ight)\overline {\left( {{z_1} + {z_2}} ight)} = \left( {{z_1} + {z_2}} ight)\left( {\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} } ight) \hfill \\ = {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} + \left( {{z_1}.\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} .{z_2}} ight) = 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy P = \sqrt 3

    Cách 2: Do {M_1},{M_2}, cùng thuộc đường tròn (T) tâm O(0;0), bán kính R = 1 và \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1 nên {M_1}{M_2} =1.

    Suy ra \Delta O{M_1}{M_2} là tam giác đều cạnh bằng 1

    P = \left| {{z_1} + {z_2}} ight| = \left| {\overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {O{M_2}} } ight| = \left| {2\overrightarrow {OH} } ight| = 2.OH = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 ( Trong đó H là trung điểm {M_1}{M_2})

  • Câu 25: Nhận biết

    Giá trị của tích phân I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}} dx = a. Biểu thức có giá trị P = 2a - 1 là:

    Giá trị của tích phân I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}} dx = a. Biểu thức P = 2a - 1 có giá trị là:

    Ta có:

    \begin{matrix} I = \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{x + 1}}} dx \hfill \\ = \int\limits_0^1 {\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)dx} \hfill \\ = \left. {\left( {x - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_0^1 \hfill \\ = 1 - \ln 2 \hfill \\ \Rightarrow a = 1 - \ln 2 \hfill \\ \Rightarrow P = 2a - 1 = 1 - 2\ln 2 \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho đường thẳng \left( D ight):\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 4z - 1 = 0\\2x + 4y - z + 5 = 0\end{array} ight. có một vec-tơ chỉ phương là:

     Ta có vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng

    \left( P ight):2x - y + 4z - 1 = 0 và \left( Q ight):2x + 4y - z + 5 = 0 lần lượt là  \overrightarrow {{n_1}} = \left( {2, - 1,4} ight);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2,4, - 1} ight).

    Ta có vectơ chỉ phương của (D) là tích có hướng của 2 vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng:

    \overrightarrow {{a_D}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } ight] = - 5\left( {3, - 2, - 2} ight) = 5\left( { - 3,2,2} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow a = \left( {3, - 2, - 2} ight) \vee \overrightarrow a = \left( { - 3,2,2} ight)

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Tính tổng S = \frac{{{2^2}}}{2}C_{2018}^1 + \frac{{{2^3}}}{3}C_{2018}^2 + \frac{{{2^4}}}{4}C_{2018}^3 + .... + \frac{{{2^{2019}}}}{{2019}}C_{2018}^{2018}

    Ta có:

    \begin{matrix} {\left( {1 + x} ight)^{2018}} = 1 + C_{2018}^1x + C_{2018}^2{x^2} + ... + C_{2018}^{2018}{x^{2018}} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {1 + x} ight)^{2018}} - 1 = C_{2018}^1x + C_{2018}^2{x^2} + ... + C_{2018}^{2018}{x^{2018}} \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó ta có:

    \begin{matrix} \int\limits_0^2 {\left[ {{{\left( {1 + x} ight)}^{2018}} - 1} ight]dx = \int\limits_0^2 {\left( {C_{2018}^1x + C_{2018}^2{x^2} + ... + C_{2018}^{2018}{x^{2018}}} ight)dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow \left. {\left[ {{{\left( {1 + x} ight)}^{2018}} - 1} ight]} ight|_0^2 = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}C_{2018}^1 + \dfrac{{{x^3}}}{3}C_{2018}^2 + ... + \dfrac{{{x^{2019}}}}{{2019}}C_{2019}^{2019}} ight)} ight|_0^2 \hfill \\ \Leftrightarrow S = \dfrac{{{3^{2019}}}}{{2019}} - 2 - \dfrac{1}{{2019}} = \dfrac{{{3^{2019}} - 4039}}{{2019}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho bốn điểm A;B;C;D trong không gian. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác \overrightarrow{0} có điểm đầu và điểm cuối là 4 điểm?

    Lấy A làm gốc ta được 3 vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}. Tương tự đối với B;C;D ta được 4.3 = 12 vectơ.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\cos ^2}x

     f\left( x ight) = {\cos ^2}x = \frac{{\cos 2x + 1}}{2} = \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}

    \int {f\left( x ight)dx} = \int {\left( {\frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}} ight)dx = } \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x + C

  • Câu 30: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục Ox.

    Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là (1;0;0)

  • Câu 31: Nhận biết

    Trong hệ tọa độ Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}?

    Dựa vào phương trình đường thẳng ta thấy đường thẳng đã cho đi qua điểm N(1; - 1;2).

  • Câu 32: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x^{2} - 2x và y = - x^{2} + x bằng:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} - 2x = - x^{2} + x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{3}{2} \\ \end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{0}^{\frac{3}{2}}{\left| 2x^{2} - 3x ight|dx} = \left| \int_{0}^{\frac{3}{2}}{\left( 2x^{2} - 3x ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{\frac{3}{2}} ight| = \frac{9}{8}

  • Câu 33: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P),(Q),(R) lần lượt có phương trình là x - 4z + 8 = 0,2x - 8z = 0,y = 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{p} = (1;0; - 4) và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{r} = (0;1;0)

    Do \overrightarrow{p} eq k.\overrightarrow{r};\forall k\mathbb{\in R} nên vectơ \overrightarrow{p} không cùng phương với vectơ \overrightarrow{r}.

    Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).

  • Câu 34: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm F(t) = \int_{}^{}txdt.

    Ta có:

    F(t) = \int_{}^{}txdt = x\int_{}^{}tdt = x.\frac{t^{2}}{2} + C

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho F\left( x ight) = \left( {x - 1} ight).{e^x} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'\left( x ight).{e^{2x}}

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}} nên:

    \begin{matrix} F'\left( x ight) = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {x - 1} ight).{e^x}} ight]' = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \end{matrix}

    Hay f\left( x ight).{e^{2x}} = {e^x} + \left( {x - 1} ight).{e^x} = x.{e^x}

    Xét I = \int {f'\left( x ight).{e^{2x}}dx}

    Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = {e^{2x}}} \\ {dv = f'\left( x ight)dx} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = 2{e^{2x}}dx} \\ {v = f\left( x ight)} \end{array}} ight.

    Khi đó

    I = f\left( x ight).{e^{2x}} - \int {2f\left( x ight).{e^{2x}}dx} = x.{e^x} - 2\left( {x - 1} ight){e^x} + C = \left( {2 - x} ight).{e^x} + C

     

  • Câu 36: Nhận biết

    Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + \sqrt 2 i  và 1 - \sqrt 2 i là nghiệm ?

     Ta có \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) + \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 2 =\frac{-b}{a} và  \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) . \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 3 =\frac c a.

    Suy ra 1 \pm \sqrt 2 i là nghiệm của phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0.

  • Câu 37: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = - \int_{b}^{a}{f(x)dx} nên khẳng định \int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{b}^{a}{f(x)dx} sai.

  • Câu 38: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}?

    Đặt t = \tan x \Rightarrow dt =\frac{1}{\cos^{2}x}dx

    \int_{}^{}{\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}{e^{t}dt} = e^{t} + C = e^{\tan x} +C

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 1;2) và vectơ \overrightarrow{n} = (2;4; - 6). Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) qua A và nhận vectơ \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng có dạng:

    A\left( x - x_{A} ight) + B\left( y - y_{A} ight) + C\left( z - z_{A} ight) = 0 .

    2(x - 1) + 4(y + 1) + 6(z - 2) = 0

    \Leftrightarrow x + 2y - 3z + 7 = 0.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M;N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN;SC) bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Do ABCD là hình vuông cạnh a suy ra AC = a\sqrt{2}

    \Rightarrow AC^{2} = 2a^{2} = SA^{2} + SC^{2} suy ra tam giác SAC vuông tại S.

    Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác DSA \Rightarrow \overrightarrow{NM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SA}

    Khi đó \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{SC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} = 0 suy ra MN\bot SC \Rightarrow (MN;SC) = 90^{0}

  • Câu 41: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho số phức z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}}. Phần thực của số phức z là?

     Ta có: z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}} = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{27}} - 1}}{i}

    = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{26}}.\left( {1 + i} ight) - 1}}{i} = \frac{{{{(2i)}^{13}}\left( {1 + i} ight) - 1}}{i}

    = \frac{{{2^{13}}i - {2^{13}} - 1}}{i} = {2^{13}} + (1 + {2^{13}})i

    Vậy phần thực là  2^{13}.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1; - 1;2),B(2;1;1) và mặt phẳng (P):x + y + z + 1 = 0. Mặt phẳng (Q) chứa A;B và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm phương trình mặt phẳng (Q).

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{P}} = (1;1;1) \\ \overrightarrow{AB} = (1;2; - 1) \\ \end{matrix} ight.

    Do mặt phẳng Q chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) \Rightarrow \overrightarrow{n_{q}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}};\overrightarrow{AB} ightbrack = ( - 3;2;1)

    Do đó (Q):3x - 2y - x - 3 = 0.

  • Câu 44: Vận dụng

    Gọi {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} là bốn nghiệm phức của phương trình 2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0. Tổng T = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight| + \left| {{z_3}} ight| + \left| {{z_4}} ight|  bằng:

     Ta có:  2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {2{z^2} + 1} ight)\left( {{z^2} - 2} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left( {z + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} ight)\left( {z - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} ight)\left( {z - \sqrt 2 } ight)\left( {z + \sqrt 2 } ight) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}i\\{z_2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}i\\{z_3} = \sqrt 2 \\{z_4} = - \sqrt 2 \end{array} ight.

    T = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight| + \left| {{z_3}} ight| + \left| {{z_4}} ight| = 3\sqrt 2

  • Câu 45: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn \lbrack 0;2brack và thỏa mãn 2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} - f(x).f''(x) + \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 0 với \forall x \in \lbrack 0;2brack. Biết rằng f(0) = 1;f(2) = e^{6} khi đó tích phân M = \int_{- 2}^{0}{(2x + 1)f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} - f(x).f''(x) + \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 0

    \Leftrightarrow f(x).f''(x) - \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}

    \Leftrightarrow \frac{f(x).f''(x) - \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}} = 2

    \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f'(x)}{f(x)} ightbrack' = 2 \Leftrightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{f'(x)}{f(x)} ightbrack'dx} = \int_{}^{}{2dx}

    \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2x + C_{1} \Leftrightarrow \ln\left| f(x) ight| = x^{2} + C_{1}x + C_{2}

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f(0) = 1 \\ f(2) = e^{6} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} ln1 = C_{2} \\ 4 + 2C_{1} = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} C_{2} = 0 \\ C_{1} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \ln\left| f(x) ight| = x^{2} + x \Rightarrow f(x) = e^{x^{2} + x}

    \Rightarrow M = \int_{- 2}^{0}{(2x + 1)e^{x^{2} + x}dx} = \left. \ e^{x^{2} + x} ight|_{- 2}^{0} = 1 - e^{2}

  • Câu 46: Nhận biết

    Hàm số y = {x^3} + x có nguyên hàm là:

     Ta có: \int {\left( {{x^3} + x} ight)dx} = \int {{x^3}dx} + \int {xdx} = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C

  • Câu 47: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 48: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)(x + 2)?

    Ta có: f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)dx} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C

  • Câu 49: Vận dụng

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(1000;600;14) đến điểm N trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng Q(1400;800;16). Xác định tọa độ vị trí điểm N. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

    Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(1000;600;14) đến điểm N trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng Q(1400;800;16). Xác định tọa độ vị trí điểm N. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

    Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

    Gọi N(x;y;z) là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.

    \overrightarrow{MQ} = (400;200;2).

    \overrightarrow{NQ} = (1400 - x;800 - y;16 - z).

    Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên \overrightarrow{MQ} và \overrightarrow{NQ} cùng hướng.

    Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ M đến Q gấp 4 lần thời gian bay từ N đến Q nên MQ = 4NQ.

    Suy ra: \overrightarrow{MQ} = 4\overrightarrow{NQ}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 400 = 4(1400 - x) \\ 200 = 4(800 - y) \\ 2 = 4(16 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1300 \\ y = 750 \\ z = 15,5 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow N(1300;750;15,5)

  • Câu 50: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 6;1) và mặt phẳng (P):x + y + 7 = 0. Điểm B thay đổi thuộc Oz; điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng (P). Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm B.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 6;1) và mặt phẳng (P):x + y + 7 = 0. Điểm B thay đổi thuộc Oz; điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng (P). Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm B.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 96 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập