Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Cho tứ diện đều
. Số đo giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của CD
Ta có:
Suu ra nên số đo góc giữa hai đường thẳng
bằng
.
Cho số phức
. Phần thực của số phức
là?
Ta có:
Vậy phần thực là .
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
cắt các trục tọa độ tại
. Biết trọng tâm của tam giác
là
. Mặt phẳng
song song với mặt phẳng nào sau đây?
Gọi là giao điểm với ba trục tọa độ.
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên
Vậy phương trình mặt phẳng là
Vậy mặt phẳng song song với trong các đáp án đã cho là
.
Cho hình hộp
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
đúng vì
đúng vì
đúng vì
sai vì
Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau
năm được xác định bởi hàm số
( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với
, với
là số năm kể từ năm 2014,
được tính bằng triệu người/năm.
a)
là một nguyên hàm của
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai
d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai
Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau năm được xác định bởi hàm số
( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với
, với
là số năm kể từ năm 2014,
được tính bằng triệu người/năm.
a) là một nguyên hàm của
. Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai
d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai
Ta có: là một nguyên hàm của
và
Do
Tốc độ tăng dân số của nước ta vào năm 2034 là
( triệu người/năm)
Dân số của nước ta vào năm 2034 là
( triệu người)
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm
?
Ta có:
Lại có
Vậy .
Giá trị của tích phân
gần nhất với giá trị nào sau đây?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, vectơ
là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
cùng phương với vectơ
. Vậy
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho hai số phức
và
. Tìm phần ảo b của số phức
.
Ta có:
Cho số phức
. Số phức
là số phức nào sau đây?
Ta có:
Suy ra
.
Cho a, b, c là các số thực và
. Giá trị của
bằng:
Cách 1: Ta có
và
.
Ta có
Cách 2: Chọn .
Ta có
Thử lại các đáp án với ta thấy chỉ có đáp án
thỏa mãn.
Trong không gian
, cho điểm
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì tọa độ điểm có
nên
.
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số nên:
Hay
Xét
Đặt
Khi đó
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: có vectơ chỉ phương là
,
có véc-tơ pháp tuyến là
.
Do không cùng phương
nên
cắt
.
Mặt khác nên
không vuông góc
.
Vậy cắt nhưng không vuông góc với
.
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng
và mặt phẳng
?
Gọi I là giao điểm của d và (P).
Ta có
Suy ra
Cho hình lập phương
; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Cho hình lập phương ; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip (E):
quay quanh trục hoành?
Xét có
. Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ
Vì
Do đó thể tích khối tròn xoay là
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Cho hàm số
, ta có:
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
nên
đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ phương trình
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
qua hai điểm
cắt các nửa trục dương Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OG nhỏ nhất (G là trọng tâm tam giác ABC). Biết
. Tính
.
Gọi mà
nên
và
.
qua hai điểm
nên
.
Ta có:
Suy ra
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Tính góc của hai vectơ ![]()
Áp dụng công thức tính góc giữa 2 vecto, ta có:
Thay số suy ra được:
Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh
và
. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
và
.
Do thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích của thiết diện là
Ta có thể tích cần tính là:
Xét số phức z thỏa mãn:
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Giả sử: và
, thay vào đẳng thức ta có:
Do đó ta có:
Trong không gian
, hãy tính
và
lần lượt là khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
và mặt phẳng
?
Do mặt phẳng có phương trình y = 0 nên
Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
.Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có
Vậy đáp án cần tìm là: .
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Khi đó hiệu số
bằng:
Theo định nghĩa tích phân ta có:
suy ra
.
Trong không gian
, cho điểm
. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục
lần lượt tại
sao cho
?
Từ giả thiết, ta có thể coi (với
).
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là .
Do (P) đi qua M(−1; 0; 3) nên .
Theo trên có c = ±a, kết hợp với phương trình vừa thu được, ta suy ra a = −1, c = 1.
Cũng theo trên, b = ±a, nên có 2 giá trị của b.
Suy ra có 2 bộ (a, b, c) thỏa mãn, hay có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu đề bài.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Mặt phẳng
vuông góc với cả
và
đồng thời cắt trục
tại điểm có hoành độ bằng
. Phương trình của mặt phẳng
là:
Ta có: (P) có vectơ pháp tuyến , (Q) có vectơ pháp tuyến
.
Vì mặt phẳng (α) vuông góc với cả (P) và (Q) nên (α) có một vectơ pháp tuyến là
Vì mặt phẳng (α) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên (α) đi qua điểm M(3; 0; 0).
Vậy (α) đi qua điểm M(3; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến nên (α) có phương trình
.
Tính tổng
?
Ta có:
.
Do đó
.
Mặt khác:
.
Đặt .
Đổi cận và
. Khi đó
Cho hàm số
xác định trên
thỏa mãn
;
. Tính
?
Trên khoảng ta có:
Mà
Trên khoảng ta có:
Mà
Vậy
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và điểm
. Tính khoảng cách
từ
đến
.
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:
Cho số phức
. Tính |z|
Ta có
Số phức z thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
và
là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Vì lần lượt là trung điểm của các cạnh
nên ta có:
.
Mặt khác (vì I là trung điểm của MN) suy ra
Theo bài ra ta có:
Tích phân
với
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
, gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
. Tính
.
M-m=1 || 1 || một || Một
Cho số phức z thỏa mãn , gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
. Tính
.
M-m=1 || 1 || một || Một
Ta có
Vì nên
Suy ra
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Ta có:
Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Nếu
. Khi đó
bằng:
Ta có: .
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho hai đường thẳng ![]()
và mặt phẳng
. Đường thẳng vuông góc với
, cắt
và
có phương trình là:
Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng d với các đường thẳng và
.
Khi đó, tọa độ của A, B có dạng
Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ cùng phương với vectơ pháp tuyến
của mặt phẳng (P).
Do đó, ta có
Suy ra s = 0 và t = −1.
Do đó, A(2; −2; 3) và B(4; 1; −2).
Đường thẳng d đi qua A và có nhận vectơ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình:
.
Cho
là hai số phức thỏa mãn phương trình
, biết ![]()
Tính giá trị của biểu thức: ![]()
Cách 1. Ta có:
và
Chú ý:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm O bán kính
.

Gọi
Ta có: đều
Mà với M là điểm thỏa
mãn là hình thoi cạnh 1
Cách 2. Đặt , ta có
và
Khi đó:
Sử dụng công thức
Cho số phức
, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị
để z là số thuần ảo?
25|| hai mươi lăm||Hai mươi lăm
Cho số phức , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị
để z là số thuần ảo?
25|| hai mươi lăm||Hai mươi lăm
Ta có:
z là số thuần ảo khi và chỉ khi
Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó:
Biết
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Gọi
là một nguyên hàm của
thỏa mãn
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Do đó
Suy ra
Nên
Vậy
Từ đó
Vậy