Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Có tất cả bao nhiêu điểm
trong không gian thỏa mãn
và
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các điểm
. Có tất cả bao nhiêu điểm
trong không gian thỏa mãn
và
?
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của
với z là số phức khác 0 và thỏa mãn
. Tính ![]()
Ta có
Mặt khác:
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là , xảy ra khi
giá trị lớn nhất của P bằng
xảy ra khi
=>
Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ
có hai mặt phẳng
và
cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm
đồng thời cắt các trục tọa độ
tại hai điểm cách đều
. Giả sử
có phương trình
và
có phương trình
. Tính giá trị biểu thức
.
Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ có hai mặt phẳng
và
cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm
đồng thời cắt các trục tọa độ
tại hai điểm cách đều
. Giả sử
có phương trình
và
có phương trình
. Tính giá trị biểu thức
.
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
, F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)
Ta có:
=>
=>
=>
Khi đó:
Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5
=>
=>
=>
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có .
Cho số phức
. Tìm phần thực a và phần ảo b của z.
Ta có
Đặt
với
là tham số thực. Tìm giá trị của tham số
để
?
Ta có:
Do .
Tìm nguyên hàm của hàm số
??
Đặt
Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: ![]()
Ta có
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
là:
Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị là:
Diện tích cần tìm là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tứ diện đều
có
với
. Tính
?
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G(2; 0; 3).
Ta có:
Đường thẳng đi qua G vuông góc với (ABC) có phương trình
Do đó
Mà
Vì
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ
không đồng phẳng là:
Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn
và
. Tìm số phần tử của S.
2 || Hai || hai
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn và
. Tìm số phần tử của S.
2 || Hai || hai
Điều kiện: .
Đặt .
Theo giả thiết .
là đường tròn tâm O(0; 0), bán kính
.
Mặt khác
là đường tròn tâm
, bán kính
.
Để tồn tại duy nhất số phức z thì và
tiếp xúc ngoài hoặc trong.
TH1: và
tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi
.
TH2: và
tiếp xúc trong khi và chỉ khi
.
Vậy .
Trong không gian Oxyz cho ba vectơ
và
khác
. Câu nào sai?
Theo điều kiện để hai vecto cùng phương, ta có:
cùng phương
Suy ra
sai vì thiếu dấu vecto.
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có:
Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là 2.
Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi
là
. Tính
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và
với
là tham số thực. Tổng các giá trị của m để
và
vuông góc nhau bằng bao nhiêu?
Ta có:
có vectơ pháp tuyến
có véc-tơ pháp tuyến
(P) và (Q) vuông góc với nhau khi và chỉ khi
Điều này tương đương với
.
Cho hai vectơ
Xác định vectơ
, biết
cùng phương với
và ![]()
Gọi tọa độ của là
Theo đề bài, ta có cùng phương
Mặt khác, , thay vào ta được:
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của số phức
là:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
có phương trình
. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng
?
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng , điểm
có tọa độ không thỏa mãn phương trình đường thẳng
.
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
thỏa mãn
và
liên túc trên
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ bằng
là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
. Theo bài ra ta có:
Suy ra
Vậy
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:
Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Khi đó
Suy ra suy ra
.
Cho số phức
. Phần thực của số phức
là?
Ta có:
Vậy phần thực là .
Gọi (H) là hình phẳng xác định bởi
và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox.
Hình vẽ minh họa:

Tọa độ giao điểm của (C) và trục hoành là (1; 0) và (2; 0)
Tọa độ giao điểm của (C) và (D) là (0; 2) và (4; 6)
Dễ thấy
Thể tích cần tìm là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho bốn điểm
. Gọi
là điểm nằm trên mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho bốn điểm
. Gọi
là điểm nằm trên mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
?
Cho
và đặt
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Vậy khẳng định sai là: .
Xác định nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: .
Cho số phức
thoả mãn
là số thực và
với
. Gọi
là một giá trị của
để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:
Giả sử .
Đặt:
.
là số thực nên:
.
Mặt khác:
Thay (1) vào (2) được:
Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT (3) phải có nghiệm duy nhất .
(Vì là mô-đun).
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Trong không gian Oxyz, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
qua A và nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
.
Xác định nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình bình hành
. Biết
và
. Diện tích hình bình hành
là:
Ta có:
Suy ra diện tích ABCD là:
Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình
. Giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Suy ra
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
để góc giữa hai vectơ
là góc tù?
Ta có:
Góc giữa hai vectơ là góc tù khi và chỉ khi
Mà
Suy ra có 2 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy đáp án cần tìm là .
Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:
=
= a – bi
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng
. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với
.
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
.
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Suy ra .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Cho hai số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
tương ứng bằng:
Ta có:
Biết
. Khi đó
tương ứng bằng
Ta có:
Tích phân
có giá trị là:
Ta biến đổi:
Xét
Đặt
Xét
Đặt
Đổi cận
Cho
và
. Tính
?
Ta có và
. Tính:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Viết phương trình của mặt phẳng
song song với trục
và chứa giao tuyến của
và
?
Mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
và
nên có dạng:
Mặt phẳng song song với trục
nên
.
Chọn n = 1 ta có
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khoảng cách giữa đưởng thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Ta có: , nên đường thằng
song song với mặt phẳng
.
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng khoảng cách từ
đến mặt phẳng
:
Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:![]()
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:.