Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Giả sử \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x +
1)(x + 2)(x + 3) + 1} = - \frac{1}{g(x)} + C với C là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình g(x) = 0 bằng:

    Ta có: \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x +
1)(x + 2)(x + 3) + 1} = \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{\left( x^{2} + 3x +
2 ight)\left( x^{2} + 3x ight) + 1}

    Đặt t = x^{2} + 3x \Rightarrow dt = (2x +
3)dx

    \int_{}^{}\frac{dt}{(t + 2)t + 1} =
\int_{}^{}\frac{dt}{(t + 1)^{2}} = - \frac{1}{t + 1} + C = -
\frac{1}{x^{2} + 3x + 1} + C

    \Rightarrow g(x) = x^{2} + 3x +
1

    Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm x_{1};x_{2}x_{1} + x_{2} = - 3.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =
\frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} trên khoảng ( - 1; + \infty) là:

    Ta có: f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}}
= \frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}}

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}} ight)dx}= 2\ln|x + 1| +\frac{3}{x + 1} + C

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( - 1;3;1),B(1; - 1;2),C(2;1;3),D(0;1;
- 1). Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD có phương trình là:

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (2; - 4;1) \\
\overrightarrow{CD} = ( - 2;0; - 4) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ightbrack = (8;3; -
4).

    Mặt phẳng (P) đi qua A( -
1;3;1), nhận \overrightarrow{n} =
\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ightbrack =
(8;3; - 4) là vectơ pháp tuyến, có phương trình là

    \ 8(x + 1) + 3(y - 3) - 4(z - 1) =
0

    \Leftrightarrow 8x + 3y - 4z + 3 =
0

    (Thỏa mãn song song CD nên thỏa mãn đề bài).

  • Câu 4: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = 3{x^2} + 1

     Ta có:

    \int {\left( {3{x^2} + 1} ight)dx}  = \int {3{x^2}dx}  + \int {1.dx}  = {x^3} + x + C

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho số phức z = \frac{{ - m + i}}{{1 - m(m - 2i)}},\,\,m \in \mathbb R. Tìm {\left| z ight|_{\max }}?

     Ta có: z = \frac{{ - m + i}}{{1 - m(m - 2i)}} = \frac{m}{{{m^2} + 1}} + \frac{i}{{{m^2} + 1}}

    \Rightarrow \left| z ight| = \sqrt {\frac{1}{{{m^2} + 1}}}  \le 1

    \Rightarrow {\left| z ight|_{\max }} = 1 \Leftrightarrow m = 0.

  • Câu 6: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 2022 - 2023i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} có cạnh a. Gọi M là trung điểm của AD. Tính tích vô hướng \overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{BD_{1}} =
\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD_{1}} = - \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AD}

    Ta có: \overrightarrow{B_{1}M} =
\overrightarrow{B_{1}A} + \overrightarrow{AM} hay \overrightarrow{B_{1}M} = - \overrightarrow{AB} -
\overrightarrow{AA_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}

    Do đó \overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}} =
AB^{2} - A_{1}A^{2} + \frac{1}{2}AD^{2} = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{2022}}. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là?

     Ta có: z = 1 + i\frac{{1 - {i^{2022}}}}{{1 - i}} = i

    Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho số phức z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}}. Phần thực của số phức z là?

     Ta có: z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}} = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{27}} - 1}}{i}

    = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{26}}.\left( {1 + i} ight) - 1}}{i} = \frac{{{{(2i)}^{13}}\left( {1 + i} ight) - 1}}{i}

    = \frac{{{2^{13}}i - {2^{13}} - 1}}{i} = {2^{13}} + (1 + {2^{13}})i

    Vậy phần thực là  2^{13}.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho số phức z = 1 - i + {i^3}. Tìm phần thực a và phần ảo b của z.

     Ta có z = 1 - i + {i^3} = 1 - i - i = 1 - 2i \Rightarrow a = 1,b =  - 2

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho tam giác ABC có A\left( {3, - 1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,2, - 7} ight);\,\,\,\,C\left( { - 5,14, - 3} ight). Viết phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC của tam giác ABC. 

    Theo đề bài, ta tính được \overrightarrow {BA}  = \left( {2, - 3,6} ight),\overrightarrow {BC}  = 2\left( { - 3,6,2} ight)

    Từ đó, suy ra VTPT của mặt phẳng (ABC) là: \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } ight] =  - \left( {42,22, - 3} ight)

    Phương trình (ABC) là:

    \begin{array}{l}\left( {x - 3} ight)42 + \left( {y + 1} ight)22 + \left( {z + 1} ight)\left( { - 3} ight) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {ABC} ight):42x + 22y - 3z - 107 = 0\end{array}

    Mặt khác, ta có M là trung điểm của BC nên M có tọa độ là M (-2, 8, -5)

    Phương trình mặt phẳng trung trực (P) của cạnh BC là:

    \left( P ight):\,\,\left( {x + 2} ight)\left( { - 3} ight) + \left( {y - 8} ight)6 + \left( {z + 5} ight)2 = 0

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( P ight):3x - 6y - 2z + 44 = 0\\ \Rightarrow \left( d ight):42x + 22y - 3z - 107 = 0;\,\,3x - 6y - 2z + 44 = 0\end{array}

    Phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC:

    (d):\,\,\left\{ \begin{array}{l}42x + 22y - 3z - 107 = 0\\3x - 6y - 2z + 44 = 0\end{array} ight.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCDA(1;1;1),B(2;0;2), C( - 1; - 1;0),D(0;3;4). Trên các cạnh AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B';C';D' sao cho \frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} +\frac{AD}{AD'} = 4. Viết phương trình mặt phẳng (B'C'D') biết tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCDA(1;1;1),B(2;0;2), C( - 1; - 1;0),D(0;3;4). Trên các cạnh AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B';C';D' sao cho \frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} +\frac{AD}{AD'} = 4. Viết phương trình mặt phẳng (B'C'D') biết tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (2; -
1;1)\overrightarrow{v} = (0; -
3; - m). Xác định giá trị tham số m để \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =
1?

    Ta có: \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1
\Leftrightarrow 3 - m = 1 \Leftrightarrow m = 2

    Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

  • Câu 14: Nhận biết

    Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + \sqrt 2 i  và 1 - \sqrt 2 i là nghiệm ?

     Ta có \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) + \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 2 =\frac{-b}{a} và  \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) . \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 3 =\frac c a.

    Suy ra 1 \pm  \sqrt 2 i là nghiệm của phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0.

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Điểm M được xác định bởi đẳng thức vectơ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +
\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} +
\overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} +
\overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Gọi \left\{ \begin{matrix}
O = AC \cap BD \\
O' = A'C' \cap B'D' \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +
\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \\
\overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} +
\overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'} = \overrightarrow{0}
\\
\end{matrix} ight.

    Ta có:

    \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} +
\overrightarrow{MD}

    = \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OD} ight)

    = \overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} +
4\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0} + 4\overrightarrow{MO} =
4\overrightarrow{MO}

    Tương tự ta cũng có: \overrightarrow{MA'} +
\overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} +
\overrightarrow{MD'} = 4\overrightarrow{MO'}

    Từ đó suy ra

    \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} +
\overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} +
\overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{MO} +
4\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 4\left(
\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} ight) =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0}

    Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của OO'.

  • Câu 16: Vận dụng

    Xác định hàm số f(x) biết rằng f'\left( x ight) = x\sqrt {1 + {x^2}} ;3f\left( 0 ight) = 4

     \begin{matrix}  f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx}  \hfill \\   \Rightarrow f\left( x ight) = \int {x\sqrt {{x^2} + 1} dx}  = \dfrac{1}{2}\int {{{\left( {{x^2} + 1} ight)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{x^2} + 1} ight) = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C}  \hfill \\ \end{matrix}

    3f\left( 0 ight) = 4 \Rightarrow 3\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt {{0^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} ight] = 4 \Rightarrow C = 1

    Vậy hàm số cần tìm là f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + 1

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} -
\overrightarrow{AN}\frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} -
\overrightarrow{AN}\frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

     

    a) Sai

     

    Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD

    Suy ra hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

    b) Sai

    Ta có ABCD là hình chữ nhật nên AC =
\sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}

    Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

    Suy ra \tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC}
= \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx
41^{0}48'

    Ta có: \left(
\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left(
\overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx
41^{0}48'

    c) Đúng

    Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

    Suy ra SB = \sqrt{SA^{2} +
AB^{2}} = a\sqrt{5}

    Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

    AM = \frac{1}{2}SB =
\frac{a\sqrt{5}}{2}

    Lại có M là trung điểm của SB nên MB =
\frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Ta tính được \cos MAB = \frac{MA^{2} +
AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}

    \left(
\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) =
\widehat{MAB}

    \Rightarrow
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM}
ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left(
\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) =
\frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}

    d) Sai

    Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

    Do đó MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} +
AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Suy ra \left| \overrightarrow{AM} -
\overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| =
\frac{a\sqrt{5}}{2}

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính thể tích tứ diện OABC, biết A;B;C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng 2x - 3y + 4z + 24 = 0 với trục Ox,Oy,Oz.

    Theo giả thiết ta có: A( -
12;0;0),B(0;8;0),C(0;0; - 6) suy ra

    V_{OABC} = \frac{1}{6}OA.OB.OC =
\frac{1}{6}.12.8.6 = 96

  • Câu 19: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2; - 2),B(2;2; - 4). Giả sử I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Tính T = a^{2} + b^{2} + c^{2}.

    Ta có: \overrightarrow{OA} = (0;2; -
2),\overrightarrow{OB} = (2;2; - 4)

    \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 4; - 4; -
4)

    Mặt phẳng (OAB) đi qua O và có vec-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = - \frac{1}{4}\left\lbrack
\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = (1;1;1) nên có phương trình x + y + z =
0.

    Ta xác định được \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AI} = (a;b - 2;c + 2) \\
\overrightarrow{BI} = (a - 2;b - 2;c + 4) \\
\overrightarrow{OI} = (a;\ b;\ c) \\
\end{matrix} ight.

    Theo giả thiết\left\{ \begin{matrix}
AI = BI \\
AI = OI \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a^{2} + (c + 2)^{2} = (a - 2)^{2} + (c + 4)^{2} \\
(b - 2)^{2} + (c + 2)^{2} = b^{2} + c^{2} \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a - c = 4\ \ \ (1) \\
- b + c = - 2\ \ \ (2) \\
\end{matrix} ight.

    Mặt khác I \in (OAB) \Rightarrow a + b +
c = 0\ (3)

    Giải hệ gồm (1), (2) và (3) ta được a =
2,b = 0,c = - 2.

    Vậy I(2;0; - 2) \Rightarrow T = a^{2} +
b^{2} + c^{2} = 8.

  • Câu 20: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt{3x +
2} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\sqrt{3x
+ 2}dx} = \int_{}^{}{(3x + 2)^{\frac{1}{2}}dx}

    = \frac{(3x + 2)^{1 + \frac{1}{2}}}{1 +\dfrac{1}{2}}.\frac{1}{3} + C = \frac{2}{9}.(2x + 3).\sqrt{3x + 2} +C

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.\bar z = 1\left| {z - \sqrt 3  + i} ight| = m. Tìm số phần tử của S. 

    2 || Hai || hai

    Đáp án là:

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.\bar z = 1\left| {z - \sqrt 3  + i} ight| = m. Tìm số phần tử của S. 

    2 || Hai || hai

    Điều kiện: m > 0.

    Đặt z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight).

    Theo giả thiết z.\bar z = 1 \Leftrightarrow {\left| z ight|^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\left( {{C_1}} ight).

    \left( {{C_1}} ight) là đường tròn tâm O(0; 0), bán kính {R_1} = 1.

    Mặt khác  {R_1} = 1

    \left( {{C_2}} ight) là đường tròn tâm I\left( {\sqrt 3 ; - 1} ight), bán kính {R_2} = m.

    Để tồn tại duy nhất số phức z thì \left( {{C_1}} ight)\left( {{C_2}} ight) tiếp xúc ngoài hoặc trong.

    TH1: \left( {{C_1}} ight)\left( {{C_2}} ight) tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi {R_1} + {R_2} = OI \Leftrightarrow 1 + m = 2 \Leftrightarrow m = 1\left( {TM} ight).

    TH2: \left( {{C_1}} ight)\left( {{C_2}} ight) tiếp xúc trong khi và chỉ khi \left[ \begin{array}{l}{R_1} + OI = {R_2} \Leftrightarrow 1 + 2 = m \Leftrightarrow m = 3\,\,\,\,\,\,\left( {TM} ight)\\OI + {R_2} = {R_1} \Leftrightarrow m + 2 = 1 \Leftrightarrow m =  - 1\,\,\,\,\,\,(L)\end{array} ight..

    Vậy S = \left\{ {1,3} ight\}.

  • Câu 22: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 - 2t(m/s). Hỏi trong 5s trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 30 - 2t = 0
\Rightarrow t = 15(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} =
\int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}
= \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}} đúng vì \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} \\
\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} +
\overrightarrow{B_{1}C_{1}}

    \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} =
\overrightarrow{DC} đúng vì \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}}
+ \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DC}

    \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}
+ \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}} đúng vì \overrightarrow{BD_{1}} =
\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{BB_{1}}

    \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} =
\overrightarrow{BC} sai vì

    \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA}
+ \overrightarrow{BB_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} =
\overrightarrow{BA_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} eq
\overrightarrow{BC}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Một ô tô xuất phát với vận tốc {v_1}\left( t ight) = 2t + 12\left( {m/s} ight) sau khi đi được một khoảng thời gian {t_1} thì bất ngờ phanh gấp với vận tốc {v_2}\left( t ight) = 24 - 6t\left( {m/s} ight) và đi thêm được một khoảng thời gian {t_2} nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì ô tô đã đi được bao nhiêu mét?

     Ta có: {v_2}\left( 0 ight) = 24\left( {m/s} ight) do đó khi gặp chướng ngại vật vật có vận tốc là 24\left( {m/s} ight)

    => {v_1}\left( t ight) = 2t + 12 = 24 \Rightarrow t = 6\left( s ight)

    Vật dừng lại khi {v_2}\left( t ight) = 24 - 6t = 0 \Rightarrow {t_2} = 4\left( s ight)

    Quãng đường vật đi được là

    S = \int\limits_0^6 {{v_1}\left( t ight)d\left( t ight) + } \int\limits_0^4 {{v_2}\left( t ight)d\left( t ight)}  = \int\limits_0^6 {\left( {2t + 12} ight)d\left( t ight) + } \int\limits_0^4 {\left( {24 - 6t} ight)d\left( t ight)}  = 156\left( m ight)

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên \left( {0; + \infty } ight) và thỏa mãn f(1) = 1, f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1} ,\forall x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: f\left( x ight) > 0f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1}

    => \frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}

    => \int {\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}}dx}  = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}} dx \Rightarrow \ln f\left( x ight) = \frac{{2\sqrt {3x + 1} }}{3} + C

    Mà f(1) = 1 => C =  - \frac{4}{3}f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1}  - \frac{4}{3}}}.f\left( 5 ight) = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79

  • Câu 26: Nhận biết

    Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?

     Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho số phức z = {\left( {\frac{{4i}}{{i + 1}}} ight)^m}, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m \in \left[ {1;100} ight] để z là số thực?

    Ta có: z = {\left( {\frac{{4i}}{{i + 1}}} ight)^m} = {(8i)^{\frac{m}{2}}} = {8^{\frac{m}{2}}}.{i^{\frac{m}{2}}}

    z là số thực khi và chỉ khi \frac{m}{2} = 2k \Leftrightarrow m = 4k,\,\,k \in \mathbb N

    Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.

  • Câu 28: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1; -
2;3);\overrightarrow{v} = ( - 1;2;0). Vectơ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} có tọa độ là:

    Ta có: \overrightarrow{u} +
\overrightarrow{v} = \left( 1 + ( - 1); - 2 + 2;3 + 0 ight) =
(0;0;3)

    Vậy đáp án cần tìm là (0;0;3)

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = 2^{x} + 3\sqrt{x}f(4) = \ln\frac{16}{2}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(
2^{x} + 3\sqrt{x} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} +
3x^{\frac{1}{2}} ight)dx}

    = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2.x^{\frac{3}{2}} +C = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2\sqrt{x^{3}} + C.

    Theo bài ra ta có:

    f(4) = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow \frac{2^{4}}{\ln2} + 2\sqrt{4^{3}} + C = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow C = - 16

    Vậy f(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} +2\sqrt{x^{3}} - 16.

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Cho parabol (P):y = x^{2} và hai điểm A;B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A\left( a;a^{2} ight)(P):y = x^{2} là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.

    Không mất tính tổng quát giả sử a < b.

    Theo giả thiết ta có AB = 2 nên

    (b - a)^{2} + \left( b^{2} - a^{2}ight)^{2} = 4

    \Leftrightarrow (b - a)^{2}\left\lbrack1 + (b + a)^{2} ightbrack = 4

    Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y = (b + a)x - ab

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:

    S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack (a + b)x -ab - x^{2} ightbrack dx}

    = \left. \ \left\lbrack (a +b)\frac{x^{2}}{2} - abx - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{a}^{b}= \frac{(b - a)^{3}}{6}

    Mặt khác (b - a)^{2}\left\lbrack 1 + (b +a)^{2} ightbrack = 4 nên |b -a| \leq 2 do 1 + (b + a)^{2} \geq1

    Suy ra S = \frac{(b - a)^{3}}{6} \leq\frac{2^{3}}{6}

    Vậy S_{\max} = \frac{4}{3} dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hàm y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 1;3brack. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f'(x) và đường thẳng y = x (phần gạch chéo trong hình vẽ):

    Diện tích hình (H) bằng:

    Diện tích phần gạch chéo là:

    S = \int_{1}^{2}{\left\lbrack f'(x)
- x ightbrack dx} - \int_{2}^{3}{\left\lbrack f'(x) - x
ightbrack dx}

    = \left. \ \left\lbrack f(x) -
\frac{x^{2}}{2} ightbrack ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack
f(x) - \frac{x^{2}}{2} ightbrack ight|_{2}^{3}

    = 2f(2) - f(1) - f(3) + 1.

  • Câu 32: Nhận biết

    Tìm số phức z thỏa mãn z + 2 - 3i = 3 - 2i

     Ta có z + 2 - 3i = 3 - 2i \Leftrightarrow z = 3 - 2i - 2 + 3i = 1 + i

  • Câu 33: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;2) và mặt phẳng (P):2x - y + 3z + 1 = 0. Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là:

    Do đường thẳng \Delta cần tìm vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;3) cũng là vectơ chỉ phương của \Delta.

    Mặt khác \Delta đi qua điểm M(1;1;2) nên phương trình chính tắc của \Delta là: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z -
2}{3}

  • Câu 34: Vận dụng

    Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 có nghiệm phức z_0 thỏa mãn \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 có nghiệm phức z_0 thỏa mãn \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2

    4 || Bốn || bốn

     Ta có với mọi a \in \mathbb R thì phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 luôn có nghiệm phức.

    {z_1} = \frac{{ - 3 + i\sqrt {\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|} }}{2}{z_2} = \frac{{ - 3 - i\sqrt {\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|} }}{2}.

    Suy ra \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = \sqrt {\frac{3}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4}}.

     

    \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2 \Rightarrow \sqrt {\frac{3}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4}}  = 2

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4} = 4 \Leftrightarrow \left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight| = 7

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4{a^2} + 8a + 9 = 7\\ - 4{a^2} + 8a + 9 =  - 7\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4{a^2} + 8a + 2 = 0{m{        }}\left( 1 ight)\\ - 4{a^2} + 8a + 16 = 0{m{      }}\left( 2 ight)\end{array} ight.

    Từ (1) ta có  {a_1} + {a_2} = 2, từ (2) ta có {a_3} + {a_4} = 2.

    Vậy tổng {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} = 4.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = - x^{3} + 3x^{2} - 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0;x = 2

    Phương trình hoành độ giao điểm

    - x^{3} + 3x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow
(1 - x)\left( x^{2} - 2x - 2 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = 1 \\
x = 1 + \sqrt{3} \\
x = 1 - \sqrt{3} \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    S = \int_{0}^{2}{\left| - x^{3} + 3x^{2}
- 2 ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{\left| - x^{3} + 3x^{2} -
2 ight|dx} + \int_{1}^{2}{\left| - x^{3} + 3x^{2} - 2
ight|dx}

    = \left| \int_{0}^{1}{\left( - x^{3} +
3x^{2} - 2 ight)dx} ight| + \left| \int_{1}^{2}{\left( - x^{3} +
3x^{2} - 2 ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( -
\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 2x ight) ight|_{0}^{1} ight| + \left|
\left. \ \left( - \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 2x ight) ight|_{1}^{2}
ight|

    = \frac{5}{2}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho số phức z =  - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i. Số phức w = 1 + z + {z^2},\left| w ight| bằng:

     Ta có: \left| w ight| = \left| {1 + z + {z^2}} ight| = \left| {1 - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} ight| = 0

  • Câu 37: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = (1;2;1),\overrightarrow{b} =
(1;1;2),\overrightarrow{c} = (x;3x;x + 2). Nếu ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đồng phẳng thì:

    Ta có: \left\lbrack
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack = (3; -
3;3)

    Ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đồng phẳng

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack.\overrightarrow{c} =
0

    \Leftrightarrow 3x - 3(3x) + 3(x + 2) =
0

    \Leftrightarrow x = 2

  • Câu 38: Thông hiểu

    Hàm số F\left( x ight) = 2\sin x - 3\cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

     F'\left( x ight) = f\left( x ight) = 2\cos x + 3\sin x

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} =
\frac{z - z_{0}}{c}. Điểm M nằm trên đường thẳng \Delta thì điểm M có dạng nào sau đây?

    Đường thẳng \Delta đi qua điểm M\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} =
(a;b;c) nên đường thẳng \Delta có phương trình tham số là \Delta:\left\{ \begin{matrix}
x = x_{0} + at \\
y = y_{0} + bt \\
z = z_{0} + ct \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Điểm M nằm trên đường thẳng \Delta nên điểm M có dạng M\left( x_{0} + at;y_{0} + bt;z_{0} + ct
ight)

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho đường cong (C):y = x^{3}. Xét điểm A có hoành độ dương thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại A tạo với (C) một hình phẳng có diện tích bằng 27. Hoành độ điểm A thuộc khoảng nào dưới đây??

    Ta có: y' = 3x^{2}A \in (C) \Rightarrow A\left( a;a^{3} ight);(a
> 0)

    Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là d:y = 3a^{2}(x - a) + a^{3}

    x^{3} = 3a^{2}(x - a) +
a^{3}

    \Leftrightarrow (x - a)^{2}(x + 2a) =
0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = a \\
x = - 2a \\
\end{matrix} ight.

    Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)

    S = 27 \Leftrightarrow \int_{-
2a}^{a}\left| x^{3} - 3a^{2}(x - a) - a^{3} ight|dx = 27

    \Leftrightarrow \left| \int_{-
2a}^{a}\left( x^{3} - 3a^{2}x + 2a^{3} ight)dx ight| =
27

    \Leftrightarrow \left| \left. \ \left(
\frac{x^{4}}{4} - \frac{3a^{2}x^{2}}{2} + 2a^{3}x ight) ight|_{-
2a}^{a} ight| = 27

    \Leftrightarrow \frac{27}{4}a^{4} = 27
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
a = \sqrt{2}(tm) \\
a = - \sqrt{2}(ktm) \\
\end{matrix} ight.

    Vậy a = \sqrt{2} \in \left( 1;\frac{3}{2}
ight)

  • Câu 41: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x + 5?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x +
5)dx} = x^{2} + 5x + C

  • Câu 42: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y = 3x^{2} -
1. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \int_{}^{}{\left( 3x^{2} - 1
ight)dx = x^{3} - x + C}.

  • Câu 43: Nhận biết

    Kí hiệu {z_1},{z_2} là hai nghiệm phức của phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0. Tính P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight|

    Phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0 có hai nghiệm {z_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt {11} }}{6}.

    Khi đó P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight| = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}

  • Câu 44: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x + 3\sqrt{x} thỏa mãn F(1) = 0?

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx =
\int_{}^{}{\left( 2x + 3\sqrt{x} ight)dx}}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2x)dx} +
6\int_{}^{}{\left( \sqrt{x} ight)^{2}d\left( \sqrt{x}
ight)}

    \Rightarrow F(x) = x^{2} + 2\sqrt{x^{3}}
+ C

    Theo bài ra ta có: F(1) = 0
\Leftrightarrow 3 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 3

    Vậy x^{2} + 2\sqrt{x^{3}} -
3.

  • Câu 45: Nhận biết

    Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x ight), trục Ox và hai đường thẳng x = a;x = b,\left( {a < b} ight) xung quanh trục Ox.

    Thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x ight)dx}

  • Câu 46: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2;1; - 3), đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q):x + y + 3z = 0,(R):2x
- y + z = 0 là:

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{n_{1}} = (1;1;3) \\
\overrightarrow{n_{2}} = (2; - 1;1) \\
\end{matrix} ight. lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (Q),(R).

    Do mặt phẳng (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q),(R) nên \left\lbrack
\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ightbrack = (4;5; -
3) là một vectơ pháp tuyến của (P).

    Từ đó suy ra mặt phẳng (P) có phương trình 4x + 5y - 3z - 22 =
0.

  • Câu 47: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn iz = 2 + i. Khi đó phần thực và phần ảo của z là

     Ta có: z = \frac{{2 + i}}{i} = 1 - 2i

  • Câu 48: Thông hiểu

    Viết phương trình tham số của đường thẳng \left( d ight):\,\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + z - 4 = 0\\2x + 5y - 3z + 4 = 0\end{array} ight.

     Theo đề bài, đường thẳng d là giao của 2 mặt phẳng, ta gọi 2 mặt phẳng (P) và (Q) tương ứng lần lượt là:\left( P ight):2x - 3y + z - 4 = 0;\,\left( Q ight):2x + 5y - 3z + 4 = 0

    Mp (P) và (Q) có 2 vecto pháp tuyến tương ứng là: \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2, - 3,1} ight);\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2,5, - 3} ight)

    Từ đây ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng (d) là tích có hướng của 2 VTPT:

    \overrightarrow a  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } ight] = \left( {4,8,16} ight) \Leftrightarrow \overrightarrow a  = 4\left( {1,2,4} ight)

    Cho y = 0, ta có:

    y = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + z = 4\\2x - 3z =  - 4\end{array} ight.\, \Leftrightarrow x = 1;z = 2

    Đường thẳng (d) đi qua A( 1, 0, 2) và nhận vecto (1,2,4) làm 1 VTCP có PTTS là:

    A\left( {1,0,2} ight) \in \left( d ight) \Rightarrow \left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2 + 4t\end{array} ight.\,\,;t \in R

  • Câu 49: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0

    Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm z = 1.

    z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0

    \Leftrightarrow (z – 1)(z^3 – 3z^2 + 4z – 12) = 0

    \Leftrightarrow  (z – 1) (z – 3) (z^2 + 4) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\{z^2} + 4 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\z = 2i\\z =  - 2i\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:z = {m{\{ }}1;\,\,3;\,\,2i;\,\, - 2i{m{ \} }}.

  • Câu 50: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i;{z_2} = 3 + 2i. Phần thực và phần ảo của số phức {z_1},{z_2} tương ứng bằng:

     Ta có: {z_1}.{z_2} = \left( {1 - i} ight)\left( {3 + 2i} ight) = 5 - i

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 67 lượt xem
Sắp xếp theo