Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Cho số phức
, giá trị của số phức
là?
Ta có:
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Trung điểm của đoạn thẳng
có tọa độ là:
Gọi là trung điểm của đoạn thẳng
, ta có:
Vậy tọa độ trung điểm của AB là: .
Cho giá trị của tích phân
,
. Giá trị của a + b là:
Ta có:
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Trong không gian tọa độ
cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
s. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là
m. Sai||Đúng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là s. Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là m. Sai||Đúng
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s.
Khi xe dừng hẳn thì m/s nên
s.
Nguyên hàm của hàm số vận tốc ,
.
Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
m.
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Trong không gian cho tam giác
. Tìm
sao cho giá trị của biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Suy ra G cố định và
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy với
là trọng tâm tam giác
.
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của số phức
là:
Ta có:
Cho hình hộp
có tâm
. Gọi
là tâm hình bình hành
. Đặt
. Chọn khẳng định đúng?
Vì là tâm hình bình hành
nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Biết điểm
nằm trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
.
Vì M ∈ (Oxy) nên .
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có G(2; 1; 3).
Khi đó:
Dấu “=” xảy ra khi x= 2 và y= 1 hay M(2; 1; 0).
Vậy P = 3
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Xác định hàm số f(x) biết rằng ![]()
Mà
Vậy hàm số cần tìm là
Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự
, khác 0 và
thỏa mãn đẳng thức
. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.
Hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự .
Theo giả thiết suy ra: và
.
Ta có:
.
Xét
.
Vậy hay tam giác
là tam giác đều.
Cho số phức
. Số phức
có phần ảo là:
Ta có:
Trong không gian
,cho hai đường thẳng
và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
là:
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng và
là:
Tính
?
Áp dụng công thức
Suy ra
Trong không gian
, cho ba điểm
. Tọa độ chân đường phân giác của góc
trong tam giác
là:
Ta có:
Gọi là chân đường phân giác kẻ từ
lên
của tam giác
.
Suy ra
Ta có:
Cho hình chóp
có
, các cạnh
đôi một vuông góc. Gọi
là trung điểm của
. Tính tích vô hướng của hai vectơ
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy
Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
là
Ta có hình phẳng giới hạn bởi là
.
Biết
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị
và hai tiếp tuyến của
tại ![]()
Ta có hình vẽ minh họa như sau:

Phương trình tiếp tuyến của (P) tại A(-1;0) là:
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại B(2;3) là:
Từ hình vẽ ta suy ra diện tích của hình phẳng cần tìm là:
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Hàm số
có đạo hàm liên tục trên tập số thực và
;
. Hàm số
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Cho hàm số
là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Biết
và
. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ
là:
Từ đồ thị hàm số ta suy ra
Xét tích phân . Đặt
Đổi cận
Do đó
Xét tích phân . Đặt
Đổi cận
Theo bài ra suy ra
Như vậy . Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
là:
.
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra
Trong không gian
, mặt phẳng chứa trục
và đi qua điểm
có phương trình là:
Mặt phẳng chứa trục có dạng
Mặt phẳng đi qua điểm nên
Do đó chọn suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là
.
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho đường thẳng
có phương trình tham số là
Gọi vectơ chỉ phương của đường thẳng
, ta chọn
Giả sử , chọn
suy ra phương trình tham số d là:
.
Cho hai mặt phẳng
và
. Với
cho biết
và cặp vectơ chỉ phương
. Với
cho PTTQ
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của
và
, qua điểm
là:
Trước tiên, ta cần đưa phương trình về dạng tổng quát.
Theo đề bài, ta có và cặp vectơ chỉ phương
nên vecto pháp tuyến của mp
là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương.
Ta có .
Chọn làm vectơ pháp tuyến cho
thì phương trình tổng quát của
có dạng
.
Vậy phương trình
Để tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của và
ta xét chùm mặt phẳng :
Mặt khác, ta có
Thế vào (*) ta được:
Trong không gian
, cho điểm
thuộc mặt phẳng
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có điểm thuộc mặt phẳng
nên:
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
. Khi đó số điểm cực trị của hàm số
là:
Ta có: là một nguyên hàm của hàm số
. Do
là nghiệm bội 1 còn
là nghiệm bội 2 nên hàm số
có hai điểm cực trị.
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
có một vectơ chỉ phương có tọa độ là:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
.
Do nên vectơ
cũng là một vectơ chỉ phương của
.
Biết rằng
với
là các số hữu tủ. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Cho số phức
,
thỏa mãn
và
.
Tính
.
Ta áp dụng công thức , có:
Ta xét:
Với nên không thỏa yêu cầu bài toán.
Với thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy
Số phức
là số phức nào sau đây?
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Đặt
Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ![]()
Gọi
Ta có
Lại có
Mặt khác
Suy ra
Một vận động viên đua xe đang chạy với vận tốc
thì anh ta tăng tốc với vận tốc
, trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc, hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian
kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc
Khi đó quãng đường xe đi được sau 10 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng
Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Gọi .
Ta có:
.
Ta có:
Xét hàm số
.
Hàm số liên tục trên và với
ta có:
Ta có:
Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho số phức
. Tìm số phức z thỏa mãn
.
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
, véc tơ nào trong các vectơ được cho dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
?
Ta có phương trình mặt phẳng nên có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Mặt khác cùng phương với
Do đó là một vectơ pháp tuyến của
.
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Do đó:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba đường thẳng ![]()
![]()
. Đường thẳng
vuông góc với
đồng thời cắt
tương ứng tại
sao cho độ dài
nhỏ nhất. Biết rằng
có một vectơ chỉ phương
. Giá trị
bằng?
Ta có
Suy ra
Đường thẳng d có một VTCP là
Ta có:
khi và chỉ khi
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tứ diện
với ![]()
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Viết phương trình mặt phẳng
biết tứ diện
có thể tích nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho tứ diện
với
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Viết phương trình mặt phẳng
biết tứ diện
có thể tích nhỏ nhất.