Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Hai đường thẳng
và
cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của A là:
Để tìm được A là giao điểm của 2 đường thẳng, ta sẽ xét và giải hệ PT giữa chúng.
Từ phương trình của ,tính x,y theo z được
Thế vào phương trình của , được z = - 4 .
Từ đó suy ra x = 1, y = - 2
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Số phức
có phần thực bằng
Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.
Trong hệ tục toạ độ không gian
, cho
, biết
, phương trình mặt phẳng
. Tính
biết
?
Ta có
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Vì nên
.
Theo giả thiết
(vì
).
Suy ra . Vậy
.
Một vật chuyển động với vận tốc
. Tính quãng đường vật đó đi được trong
giây đầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).?
Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu là:
.
Cho hai số phức z, w thỏa mãn
;
với
là tham số. Giá trị của m để ta luôn có
là:
Đặt có biểu diễn hình học là điểm
Ta có:
Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng
Ta xét:
với .
Mà ta có
Nên
Cho số phức
thỏa mãn
. Tính ![]()
Giả sử:
Cho
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
và nửa elip có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Gọi
là diện tích của, biết
(với
). Tính
?
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
Do tính chất đối xứng của đồ thị nên
. Đặt
Đổi cận
Với
Suy ra
Vậy
Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là
=
= a – bi
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của z là:
Giả sử: .
Trong không gian
, cho điểm
. Tọa độ trung điểm của
là.
Tọa độ trung điểm I của AB là:
Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với
tại điểm có hoành độ
là hình chữ nhật có kích thước là
và
?
Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với tại điểm có hoành độ
là hình chữ nhật có kích thước là
và
Diện tích thiết diện được xác định theo hàm là:
⇒ Thể tích vật thể tròn xoay:
Cho số phức thỏa mãn điều kiện
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của ![]()
1 || Một || một
Cho số phức thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 || Một || một
Đặt
Ta có
.
TH1: (1)
TH2: .
Đặt .
.
(2)
Từ (1) và (2) , suy ra .
Trong không gian
, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
?
Do điểm thuộc mặt phẳng nên điểm đó có tọa độ dạng
Suy ra điểm là đáp án cần tìm.
Phần thực của số phức
là:
Ta có:
Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn
![]()
Tính giá trị biểu thức M = a + b.
=>
=>
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Số phức z thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc
. Hỏi rằng trong
trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn:
Khi đó trong trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tính
.
Trong không gian
, cho
. Nếu ba vectơ
đồng phẳng thì:
Ta có:
Ba vectơ đồng phẳng
Cho hình hộp
và tâm
. Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau?
Hình vẽ minh họa
Theo quy tắc hình bình hành suy ra đúng.
Do đối nhau và
đối nhau nên
đúng.
Do suy ra
nên
sai.
Do và
nên
đúng.
Trong không gian với hệ tọa độ
, hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là điểm nào dưới đây?
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P).
Khi đó phương trình tham số của ∆ là
Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (M).
Tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Để hoàn thành bài tập làm mô hình của lớp, bạn Minh làm một mô hình có dáng khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của mô hình (như hình vẽ), đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là điểm A, .
Tính thể tích của mô hình.

Kí hiệu hình vẽ:

Ta gọi thể tích của chiếc mũ là V
Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng và đường cao là
là V1
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong AB và hai trục tọa độ quanh trục Oy là V2.
Ta có:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Do parabol có đỉnh A nên nó có phương trình dạng
Vì qua điểm
nên
=> (vì
)
=>
=>
Trong không gian
, cho điểm
. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
?
Đặt với
.
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm có dạng
.
Do nên ta có
.
Suy ra .
Nếu và
thì mặt phẳng (P) có dạng
.
Vì (P) đi qua M nên .
Ta có .
Nếu và
thì mặt phẳng (P) có dạng
.
Vì (P) đi qua M nên
Ta có .
Nếu và
thì mặt phẳng (P) có dạng
.
Vì (P) đi qua M nên
Ta có .
Nếu và
thì mặt phẳng (P) có dạng
.
Vì (P) đi qua M nên
Ta có .
Vậy có bốn mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho hai số phức z, w thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ![]()
Cách 1 :
Giả sử
(1)
Suy ra x + y = 0
Từ (1) ta có I(3; 2), bán kính r = 1. Gọi H là hình chiếu của I trên .
Đường thẳng HI có PTTS:
Vậy
Cách 2 :
điều này cho thấy M(z) đang nằm trên hình tròn tâm I(3; 2) bán kính bằng 1.
điều này cho thấy N(w) đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng
là trung trực của đoạn AB với
(Minh hoạ như hình vẽ)

Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó:
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Tìm tọa độ điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
. Phương trình tham số của
là:
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
nên nhận vectơ
làm véc-tơ chỉ phương.
Suy ra, phương trình đường thẳng: .
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
. Sai||Đúng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng . Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Sai||Đúng
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng . Mệnh đề đúng
b) Cho . Mệnh đề sai
c) . Mệnh đề đúng
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Mệnh đề sai
Cho hai số phức
. Môđun của số phức
là:
Ta có:
Cho tam giác ABC có
. Gọi BD và BE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc B với D và E là chân của hai phân giác này trên AC. Tính tọa độ vectơ ![]()
Gọi tọa độ điểm E là .
Ta có là trung điểm của AE nên ta tính được tọa độ điểm E lần lượt là:
Khoảng cánh giữa hai đường thẳng :
và
là:
Chuyển d1 về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của (d1):
.
Chuyển (d2) về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của
Áp dụng công thức tính Khoảng cách d1 và d2 , ta được:
.
Trong không gian
, phương trình của mặt phẳng
đi qua điểm
, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
là:
Ta có lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng
.
Do mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng
nên
là một vectơ pháp tuyến của
.
Từ đó suy ra mặt phẳng có phương trình
.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bời các đường thẳng
xung quanh trục Ox là:
Phương trình hoành độ giao điểm của và
là
Thể tích khối tròn xoay cần tính là
Đặt
Ta có:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có: nên khẳng định
sai.
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt phẳng trung trực
của đoạn thẳng
với
là
Gọi là trung điểm của
suy ra
Phương trình mặt phẳng đi qua
và nhận
làm vectơ pháp tuyến:
Họ các nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Giá trị của b và c để phương trình
nhận
làm nghiệm là?
Do là nghiệm của phương trình đã cho nên:
Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn F(2) = 0
Ta có: F(2) = 0 => C = 2
=>
Xét phương trình F(x) = x ta có:
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng
Tìm số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Cho tam giác ABC có
. Gọi BD và BE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc B với D và E là chân của hai phân giác này trên AC. Tính tọa độ của D.
Theo đề bài, ta có: .
Áp dụng kiến thức: Bình phương tích vô hướng bằng bình phương độ dài, được:
Mặt khác, D chia đoạn AC theo tỉ số
Tọa đô của D là:
.