Cho tích phân
. Tính tích phân
?
Đặt
Đổi cận
Khi đó
Cho tích phân
. Tính tích phân
?
Đặt
Đổi cận
Khi đó
Cho hai mặt phẳng
Đường thẳng (D) qua M (1, -2, 3) song song với (P) và (Q):
Vì (D) song song với (P) và (Q)
=> Một vectơ chỉ phương của (D) là:
Xét vecto pháp tuyến của (R), có:
Xét đáp án có điểm N
cùng phương với
=> (D) vuông góc với (S).
Trong không gian với hệ tọa độ
,cho mặt phẳng
và điểm
. Gọi
là điểm thuộc tia
, gọi
là hình chiếu của
lên
. Biết rằng tam giác
cân tại
. Diện tích của tam giác
bằng:
Gọi
Đường thẳng AB qua A và vuông góc với (α) nên có phương trình
B là hình chiếu của A lên (α) nên tọa độ B thỏa mãn hệ
Suy ra
Tam giác MAB cân tại M nên
Nếu a = 3 thì tọa độ . Diện tích tam giác MAB là
Nếu a = −3 thì tọa độ A (0; 0; −3) và B (0; 0; −3) trùng nhau nên không thỏa mãn.
Vậy diện tích của tam giác bằng:
.
Trong không gian
, góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
Ta có: góc giữa hai mặt phẳng và
bằng:
.
Cho hình hộp
. Gọi
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Biết số phức
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
và biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
?
Theo giả thiết
Ta có
Xét điểm và
. Khi đó
Bài toán trở thành tìm điểm sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì nên hai điểm E, F nằm cùng phía đối với đường thẳng
.
Gọi E' là điểm đối xứng với E qua
Đường thẳng EE' đi qua điểm và có VTPT
nên có phương trình
Gọi H là giao điểm của EE' và . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
suy ra
E' đối xứng với E' qua H nên
Ta có
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của E'F và đường thẳng
Đường thẳng E'F đi qua điểm và có VTPT
có phương trình
=>
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
Vậy .
Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số ![]()
Cho tứ diện
, có
đôi một vuông góc,
là điểm thuộc miền trong của tam giác
. Gọi khoảng cách từ
đến các mặt phẳng
lần lượt là
. Tính độ dài đoạn
sao cho tứ diện
có thể tích nhỏ nhất.
Xét hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A thuộc tia Ox; B thuộc tia Oy và C thuộc tia Oz.
Ta có
Ta có:
Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 294,92 km.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 294,92 km.
Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.
Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.
Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)
Ta có
OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0
⟺13906t - 76483 = 0 ⟺
Suy ra
Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:
Có bao nhiêu số thực
sao cho
?
Ta có:
Do nên có đúng 4 giá trị của
thỏa mãn.
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ
(đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
Ta có
(m).
Đáp số 14(m).
Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình
quanh trục
?
Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình quanh trục
là
.
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có:
Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là 2.
Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho
. Viết phương trình đường thẳng
qua
, song song với
sao cho khoảng cách từ
đến
là lớn nhất.
Hình vẽ minh họa
Vì nên hai điểm A, B khác phía so với (P).
Gọi H là hình chiếu của B lên d.
Ta có: BH ≤ BA nên khoảng cách BH từ B đến d lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A.
Khi đó AB ⊥ d.
VTPT của (P) là
VTCP của d là
Mà d qua A(−3; 0; 1) nên phương trình đường thẳng d là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và điểm
. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P)?
Mặt phẳng (Q) và song song với (P) nên (Q) có dạng , với
Vì nên
.
Vậy .
Trong không gian
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có véc-tơ chỉ phương là
. Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng
?
Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình .
Tính tổng
?
Ta có:
.
Do đó
.
Mặt khác:
.
Đặt .
Đổi cận và
. Khi đó
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là
, chiều cao trong lòng cốc là
đang đựng một lượng nước.

Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là , chiều cao trong lòng cốc là
đang đựng một lượng nước.
Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Phần thực của số phức
là:
Ta có:
Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là
=
= a – bi
Cho số phức
thỏa mãn
. Viết
dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
10
Cho số phức thỏa mãn
. Viết
dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
10
Ta có:
Suy ra .
Trong không gian
, mặt phẳng
. Một véc tơ pháp tuyến của
có tọa độ là?
Mặt phẳng có VTPT là:
Trong không gian
, đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng
có một vectơ chỉ phương là
nên có phương trình là
.
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Cho số phức thỏa mãn điều kiện
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của ![]()
1 || Một || một
Cho số phức thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 || Một || một
Đặt
Ta có
.
TH1: (1)
TH2: .
Đặt .
.
(2)
Từ (1) và (2) , suy ra .
Tính thể tích hình lăng trụ ABCD.EFGH, biết
và
.
Theo đề bài, ta có:
Áp dụng CT tính thể tích khối lăng trụ:
Suy ra: .
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
trên khoảng
thỏa mãn
. Xác định công thức
?
Ta có: (vì
)
Mà
Vậy .
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
. Sai||Đúng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng . Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Sai||Đúng
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng . Mệnh đề đúng
b) Cho . Mệnh đề sai
c) . Mệnh đề đúng
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Mệnh đề sai
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Tìm các số thực x, y thoả mãn:
![]()
Theo giả thiết:
=>
=>
Trong không gian
cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
.
Trong không gian cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
.
Mệnh đề nào sau đây sai?
Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.
Tìm nguyên hàm của hàm số
??
Đặt
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Cho hai số thực
và
. Kí hiệu
là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình
trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của b và c để tam giác
là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).
Ta có: . Vì
và
là số thực.
. Vậy ta có:
và
.
Ta có:
;
.
Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O
.
Diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị
và
được tính theo công thức
Phương trình hoành độ giao điểm của và
là:
Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị
và
được tính theo công thức
.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
=> có 5 nghiệm đơn
=> Hàm số có 5 điểm cực trị
Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là
=
= a – bi
Cho
là nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tổng các nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Đặt
Theo bài ra ta có:
Ta có:
Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2.
Cho số phức
thoả điều kiện
.
Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Vì:
Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:
Trong không gian
, cho ba điểm
. Mặt phẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có: suy ra
Mặt phẳng đi qua điểm
, có 1 vectơ pháp tuyến
nên có phương trình là:
Vì nên
.
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tính
.
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Cho các số phức
. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?
![]()
![]()
![]()
Áp dụng tính chất số phức, ta có:
- Môđun của 1 thương hai số phức thì bằng thương của từng môđun
- Môđun của 1 tích hai số phức thì bằng tích của từng môđun
Vậy khẳng địn (I) và (II) là đúng.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x).
Theo bài ra ta có:
=>