Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Tính tích vô hướng
?
Ta có:
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Tính tích vô hướng
?
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Gọi .
Ta có:
.
Ta có:
Xét hàm số
.
Hàm số liên tục trên và với
ta có:
Ta có:
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
đi qua điểm
, nhận vectơ
làm vectơ chỉ phương và đường thẳng
đi qua điểm
, nhận vectơ
làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng
song song với
là:
Điều kiện để là:
.
Cho tứ diện
đều cạnh bằng
. Gọi
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Góc giữa
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của CD
Vì ABCD là tứ diện đều nên
Ta có:
Suy ra nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng
.
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
. Khi đó số điểm cực trị của hàm số
là:
Ta có: là một nguyên hàm của hàm số
. Do
là nghiệm bội 1 còn
là nghiệm bội 2 nên hàm số
có hai điểm cực trị.
Số phức
là số phức nào sau đây?
Trong không gian cho hai đường thẳng
lần lượt có vectơ chỉ phương
. Gọi
là góc giữa hai đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Khẳng định đúng: “Nếu thì
”.
Một ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi vật dừng hẳn thì
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là:
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
bằng:
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Khi đó
Số phức
có phần thực bằng
Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.
Trong không gian
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng thay đổi qua
và cắt các trục
lần lượt tại
với
. Khi diện tích tam giác
nhỏ nhất, hãy tính giá trị của tích
?
Trong không gian , cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng thay đổi qua
và cắt các trục
lần lượt tại
với
. Khi diện tích tam giác
nhỏ nhất, hãy tính giá trị của tích
?
Cho hàm số
liên tục và có đạo hàm trên
thỏa mãn
. Biết rằng
trong đó
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Tính . Đặt
khi đó:
Theo bài ra ta có:
Cho đường thẳng
và parabol
(
là tham số thực). Gọi
lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được tô đậm và gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi
thì
thuộc khoảng nào dưới đây?

Phương trình hoành độ giao điểm của của hai đồ thị:
Theo giả thiết, phương trình có hai nghiệm phân biệt
Khi đó, phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
Diện tích hình phẳng:
Diện tích hình phẳng:
Theo giả thiết ta có:
Đường thẳng (d):
có phương trình tham số là:
Ta có đường thẳng (d) qua A ( 2, -1, 4) và có vectơ chỉ phương là có phương trình tham số là:
=> (d)
Biết rằng
với
là các số hữu tủ. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Trong không gian
, mặt phẳng chứa trục
và đi qua điểm
có phương trình là:
Mặt phẳng chứa trục có dạng
Mặt phẳng đi qua điểm nên
Do đó chọn suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là
.
Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình
. Giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Suy ra
Cho hai số phức
có điểm biểu diễn lần lượt là
cùng thuộc đường tròn có phương trình
và
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Cách 1: Do cùng thuộc đường tròn có phương trình
nên
Lại có:
Vậy
Cách 2: Do , cùng thuộc đường tròn (T) tâm O(0;0), bán kính R = 1 và
nên
.
Suy ra là tam giác đều cạnh bằng 1
( Trong đó H là trung điểm
)
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có:
Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là 2.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Mặt phẳng nào sau đây cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)?
Gọi (R) là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) thì
Do đó (R) có dạng .
Gọi .
Khi đó trung điểm M của đoạn AB nằm trên (R), tức .
Suy ra .
Vậy hay
.
Trong không gian Oxyz, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
qua A và nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
.
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
thỏa mãn
và
liên túc trên
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho bốn điểm
. Gọi
là điểm nằm trên mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho bốn điểm
. Gọi
là điểm nằm trên mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
?
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
, F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)
Ta có:
=>
=>
=>
Khi đó:
Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5
=>
=>
=>
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của
là
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của là
. Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Đúng: Gọi là trung điểm
.
Ta có
b) Đúng: Ta có .
c) Đúng: Ta có .
Suy ra .
d) Sai: Gọi thỏa mãn
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
suy ra
.
Suy ra .
Vậy .
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Cho số phức
, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị
để z là số thuần ảo?
25|| hai mươi lăm||Hai mươi lăm
Cho số phức , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị
để z là số thuần ảo?
25|| hai mươi lăm||Hai mươi lăm
Ta có:
z là số thuần ảo khi và chỉ khi
Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Cho số phức
. Số phức
là số phức nào sau đây?
Ta tính được
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và
. Giá trị của f(2) là:
Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Ta có:
Vậy => f(x) = 20
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có
mà
Suy ra
Cho giá trị của tích phân
,
.
Giá trị của
là:
Ta có:
Gọi
là một nguyên hàm của hàm số
, thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
, ta có:
mà
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Điểm
nằm trên đường thẳng
thì điểm M có dạng nào sau đây?
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
nên đường thẳng
có phương trình tham số là
Điểm nằm trên đường thẳng
nên điểm
có dạng
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Khi đó hiệu số
bằng:
Theo định nghĩa tích phân ta có:
suy ra
.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a; AD = b; AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng MN.
Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:
(MN) là đường thẳng đi qua M và nhận vecto là 1 VTCP có PT là:
Cho số phức z thỏa mãn
. Giá trị của
là:
Với
Với
Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số ![]()
Xét trong không gian Oxyz cho tam giác ABC.
Biết
, hãy tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành?
Gọi là tọa độ của điểm cần tìm.
Để ABCD là hình bình hành
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Cho số phức
. Tìm số phức z thỏa mãn
.
Ta có:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua ba điểm ![]()
Theo đề bài, ta có cặp vecto chỉ phương của
Từ đó, ta suy ra vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 2 VTCP của
Mp (P) đi qua và nhận vecto có tọa độ
làm 1 VTPT có phương trình là:
Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là: