Cho hình hộp
và tâm
. Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau?
Hình vẽ minh họa
Theo quy tắc hình bình hành suy ra đúng.
Do đối nhau và
đối nhau nên
đúng.
Do suy ra
nên
sai.
Do và
nên
đúng.
Cho hình hộp
và tâm
. Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau?
Hình vẽ minh họa
Theo quy tắc hình bình hành suy ra đúng.
Do đối nhau và
đối nhau nên
đúng.
Do suy ra
nên
sai.
Do và
nên
đúng.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho 2 đường thẳng ![]()
. Tìm tất cả giá trị thực của
để
vuông góc với
?
Vectơ chỉ phương của lần lượt là:
.
Để thì
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x).
Theo bài ra ta có:
=>
Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG có
. Gọi L là tâm hình hộp. Biểu thị vectơ
theo ba vectơ
và
?

Vì I là tâm hình hộp theo giả thiết nên I là trung điểm đường chéo OF. Từ đây, suy ra
Tích phân
có giá trị là:
Ta biến đổi:
Xét
Đặt
Xét
Đặt
Đổi cận
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Đường thẳng
đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
. Hỏi
đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có:
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Phương trình đường thẳng
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua
và song song với vectơ
là:
Theo đề bài, ta có:
Chọn làm 1 vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng :
Mà mp lại qua A nên
Phương trình cần tìm là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
Ta có:
Vậy là đáp án cần tìm.
Cho hai số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
tương ứng bằng:
Ta có:
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
là:
Ta gọi là điểm biểu diễn số phức z
=>
Khi đó:
với
Ta có: suy ra
.
Theo định lý Stewart ta có:
(Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ
Suy ra:
Khi đó suy ra:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho số phức
. Số phức
bằng:
Ta có:
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm
?
Ta có:
Lại có
Vậy .
Có bao nhiêu số thực
sao cho
?
Ta có:
Do nên có đúng 4 giá trị của
thỏa mãn.
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
bằng
Ta có .
Cho số phức
. Tìm số phức z thỏa mãn
.
Ta có:
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có: suy ra “
” là khẳng định sai.
Cho hình lập phương
; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Cho hình lập phương ; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 10 cm và cắt quả bóng bằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng
. Thể tích của quả bóng bằng (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân, đơn vị lít)
Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip.
Độ dài trục lớn bằng
Ta có diện tích đường tròn thiết diện là
Ta sẽ có phương trình elip
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Vật thể
giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình
và
. Cắt vật thể
với mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ bằng
ta được thiết diện có diện tích bằng
. Thể tích của vật thể
:
Thể tích của vật thể B là:
Cho hình hộp chữ nhật
có
. Mặt phẳng
thay đổi và luôn đi qua
, mặt phẳng
cắt các tia
lần lượt tại
(khác
). Tính tổng
sao cho thể tích khối tứ diện
nhỏ nhất.
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
Khi đó .
Phương trình mặ phẳng
Vì
Thể tích khối đa diện AEFG là:
Do dó thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất bằng 27 khi và chỉ khi:
Khi đó
Cho số phức
thoả điều kiện
.
Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì
Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng ![]()
Số phức z thỏa mãn:
là:
Ta áp dụng các quy tắc thực hiện phép tính, có:
Ngoài ra ta có thể sử dụng lệnh CALC trong máy tính để thử các phương án.
Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:![]()
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:.
Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là
=
= a – bi
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có:
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Đặt
Trong không gian
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
thỏa mãn hệ thức
?
Ta có:
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
,
. Đường thẳng
đi qua điểm
vuông góc với
và cắt đường thẳng
có phương trình là:
Đường thẳng có phương trình tham số là:
Gọi giao điểm của ∆ và d2 là
Đường thẳng
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Phương trình
Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: ![]()
Ta có
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
Xét số phức z thỏa mãn:
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Giả sử: và
, thay vào đẳng thức ta có:
Do đó ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
. Xác định
để hai mặt phẳng
và
song song với nhau?
Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi
Tập xác định
Vậy thì hai mặt phẳng
song song với nhau.
Xác định nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: .
Cho các số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
3 || ba || Ba
Cho các số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
3 || ba || Ba
Gọi là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức.
Có
Vậy hoặc
.
Gọi thì
. Khi đó
hoặc
.
Vậy
Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình
. Giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Suy ra
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
=> có 5 nghiệm đơn
=> Hàm số có 5 điểm cực trị
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.
Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ:

Diện tích
của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục
(phần gạch sọc) được tính bởi công thức
Từ đồ thị hàm số ta thấy
Do đó:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
.
Ta có:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Từ đó phương trình mặt phẳng là
.
Biết rằng
là một nguyên hàm của hàm số
trên
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
suy ra
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Số phức liên hợp của số phức
là
=
= a - bi
Trong không gian với hệ tọa độ
cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian
, cho điểm
và đường thẳng
. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
Gọi
Ta có .