Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của z là:
Giả sử: .
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của z là:
Giả sử: .
Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số ![]()
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
. Gọi
là tập hợp tất cả các số
sao cho
chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng
. Tính tổng tất cả các phần tử của
.
Vectơ chỉ phương của là
Khi đó: .
Gọi là mặt phẳng chứa
song song với
.
Tức là, qua
và nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Ta có phương trình
Xét điểm . Do
chéo nhau nên
.
Lại có:
Vậy tổng các phần tử của S là .
Cho số phức
. Số phức
là số phức nào sau đây?
Ta có:
Suy ra
.
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Đặt
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
?
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là:
Cho số phức
. Số phức
có phần ảo là:
Ta có:
Xác định phần ảo của số phức
.
Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
là:
Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị là:
Diện tích cần tìm là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và
với
là tham số thực. Tổng các giá trị của m để
và
vuông góc nhau bằng bao nhiêu?
Ta có:
có vectơ pháp tuyến
có véc-tơ pháp tuyến
(P) và (Q) vuông góc với nhau khi và chỉ khi
Điều này tương đương với
.
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
, gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
. Tính
.
M-m=1 || 1 || một || Một
Cho số phức z thỏa mãn , gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
. Tính
.
M-m=1 || 1 || một || Một
Ta có
Vì nên
Suy ra
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Ta có: thỏa mãn biểu thức
(với
duy nhất) của định lí về các vectơ đồng phẳng.
Vậy đáp án đúng là: “Nếu thì bốn điểm
đồng phẳng.”
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
. Sai||Đúng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng . Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Sai||Đúng
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng . Mệnh đề đúng
b) Cho . Mệnh đề sai
c) . Mệnh đề đúng
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Mệnh đề sai
Cho ba điểm
. Cho 3 mệnh đề sau:
MĐ 1: A, B, C thẳng hàng
MĐ 2: AB song song với ![]()
MĐ 3: AB cắt ![]()
Mệnh đề đúng là?
Ta có:
thẳng hàng
Vậy MĐ 1 Đúng!
Giả sử AB và (xOy) có điểm chung và
cùng phương
Vậy MĐ 2 sai, MĐ 3 đúng!
Trong không gian cho tam giác
. Tìm
sao cho giá trị của biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Suy ra G cố định và
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy với
là trọng tâm tam giác
.
Gọi
là 2 nghiệm của phương trình
thỏa mãn
. Biết rằng w là số phức thỏa mãn
. Tìm GTNN của biểu thức
.
Giả sử
Ta có:
=> x = 0
=> Tập hợp điểm biểu diễn là trục tung.
Giả sử A, B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho , ta có
Giả sử và M là điểm biểu diễn cho số phức w, ta có
suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm
bán kính R = 2
Ta có , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra
, vậy

Trong không gian
, cho tam giác
với
. Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh
của tam giác
nhận vectơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương?
Gọi là trung điểm của
, suy ra tọa độ điểm
.
Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có vectơ chỉ phương là
.
Tính tích phân
?
Đặt . Ta có:
suy ra
.
Cho hình hộp
. Điểm
được xác định bởi đẳng thức vectơ
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Gọi
Khi đó
Ta có:
Tương tự ta cũng có:
Từ đó suy ra
Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của .
Viết công thức tính thể tích
của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục
và hai đường thẳng
xung quanh trục
.
Thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
và ![]()
Ta có:
Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình
. Giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Suy ra
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Mặt khác
=>
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho mặt phẳng
. Hỏi có bao nhiêu điểm
thuộc mặt phẳng
với
là các số nguyên không âm.
Ta có nên mặt phẳng
đi qua các điểm
Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.
Tam giác ABC đều có các cạnh bằng , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.
Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có:
Vậy khẳng định sai là: .
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Cho hai quả bóng A, B đều chuyển động thẳng, di chuyển ngược chiều và va chạm với nhau. Sau mỗi va chạm, hai quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A này ngược lại với vận tốc
và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc
.
Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là:
Quãng đường quả bóng A di chuyển được là:
Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là:
Quãng đường quả bóng B di chuyển được là:
Vậy khoảng cách hai quả bóng sau khi dừng hẳn là
Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là
=
= a – bi
Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3
Tích phân
có giá trị là:
Đặt:
Đổi cận
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, đường thẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Nếu một điểm nằm trên một đường thẳng thì khi thay tọa độ điểm đó vào phương trình đường thẳng thì sẽ thỏa mãn phương trình đường thẳng.
Lần lượt thay tọa độ M từ các phương án vào phương trình đường thẳng d ta được M(−3; 5; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hai điểm
. Mặt phẳng chứa đường thẳng
và song song với
có phương trình :
Theo đề bài ta có
cùng phương với vectơ
Mặt khác, trục có vectơ chỉ phương
cùng phương với vectơ
Chọn làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa
và song song với trục
. Phương trình mặt phẳng này có dạng :
Mặt phẳng cần tìm còn qua điểm C nên ta thay tọa độ điểm C vào pt trên, có:
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm :
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Ta có
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
và
bằng:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng là:
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Trong không gian
, cho ba điểm
với
là những số thực dương sao cho
. Tính
sao cho khoảng cách từ
đến mặt phẳng
là lớn nhất
Phương trình mặt phẳng
Xét ta có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
⇒ , khi đó
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của
?
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương và đi qua điểm
. Do đó phương trình chính tắc của
là:
Biết
là nguyên hàm của hàm số
. Hỏi đồ thị của hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Vì là nguyên hàm của hàm số
nên suy ra
Ta có:
Xét hàm số trên
, ta có:
suy ra hàm số
đồng biến trên
.
Vậy phương trình có nhiều nhất một nghiệm trên
(2)
Mặt khác ta có hàm số liên tục trên
và
nên
.
Suy ra tồn tại sao cho
(3)
Từ (1); (2); (3) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất
.
Đồng thời vì là nghiệm bội lẻ nên
đổi dấu qua
Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực trị.
Trong không gian
, cho điểm
. Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục
.
Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là
Cho số phức
,
thỏa mãn
và
.
Tính
.
Ta áp dụng công thức , có:
Ta xét:
Với nên không thỏa yêu cầu bài toán.
Với thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm giá trị tham số
để
?
Theo bài ra ta có:
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có .
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.