Cho số phức z thoả mãn
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
bằng?
Đặt .
Từ giả thiết
(1).
Ta có
.
Dễ thấy P lớn nhất khi .
Khi đó
Do nên từ (1) ta có
.
Suy ra
Dấu = xảy ra khi
.
Cho số phức z thoả mãn
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
bằng?
Đặt .
Từ giả thiết
(1).
Ta có
.
Dễ thấy P lớn nhất khi .
Khi đó
Do nên từ (1) ta có
.
Suy ra
Dấu = xảy ra khi
.
Biết
với
là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức
bằng:
Giả sử . Đặt
, đổi cận
Cho ba điểm
. Tìm điểm E trên mặt phẳng
cách đều ![]()
Gọi trên mặt phẳng
.
Ta có:
Biết rằng
. Xác định
?
Ta có:
Do đó:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm
và
?
Ta có là vectơ chỉ phương của đường thẳng
. Phương trình chính tắc của đường thẳng
là:
.
Cho hàm số
biết rằng đồ thị hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành. Chọn công thức đúng của
?
Ta có:
Mà
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A(0; 1)
=>
=> Hay
Trong không gian hệ trục tọa độ
cho điểm
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu đối xứng với
qua mặt phẳng
thì
.
Nếu đối xứng với
qua trục
thì
.
Nếu đối xứng với
qua gốc tọa độ thì
.
Vậy mệnh đề đúng là: “Nếu đối xứng với
qua mặt phẳng
thì
”.
Cho hàm số
có đạo hàm trên khoảng
thỏa mãn
và
. Giá trị tích phân
bằng:
Từ giả thiết ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra
Vì nên
Đặt
Theo công thức tích phân từng phần ta được:
Số phức liên hợp của số phức
là
=
= a - bi
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng
. Xác định tọa độ vị trí điểm
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng
. Xác định tọa độ vị trí điểm
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)
Đáp án: N(1300; 750; 15,5)
Gọi là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.
.
.
Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên và
cùng hướng.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ đến
gấp 4 lần thời gian bay từ
đến
nên
.
Suy ra:
Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:
=
= a – bi
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
.Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có
Vậy đáp án cần tìm là: .
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và đường thẳng
?
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích S của hình phẳng (H) là:
Cho đồ thị của hàm số
như sau:

Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:
Dựa vào hình vẽ ta được: .
Trong không gian
, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng?
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: .
Trong không gian
, cho tam giác
với
. Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh
của tam giác
nhận vectơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương?
Gọi là trung điểm của
, suy ra tọa độ điểm
.
Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có vectơ chỉ phương là
.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Trong không gian
, cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua
cắt các trục
,
lần lượt tại
khác gốc tọa độ sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó
lần lượt là diện tích các tam giác
và
lần lượt là diện tích các tam giác
. Điểm
nào dưới đây thuộc
?
Ta có . Lại có
,
và
.
Đặt , ta có
Tương tự, ta có và
.
Khi đó .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi hay
.
Từ đó suy ra nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Do đó có phương trình
.
Vậy là điểm thuộc
.
Trong không gian
, cho tọa độ ba điểm
. Tọa độ trọng tâm
của tam giác
là:
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:
Vậy trọng tâm G tìm được là .
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Cho số phức
, giá trị của số phức
là?
Ta có:
Tính
?
Áp dụng công thức
Suy ra
Cho số phức
. Tìm số phức
?
Ta có:
Số phức
có phần thực bằng
Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.
Cho tứ diện
. Điểm
xác định bởi công thức
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy là đỉnh thứ tư của hình bình hành
.
Cho
;
;
. Tìm dạng đại số của
.
Ta có:
Cho hình
giới hạn bởi các đường
, trục hoành. Quay hình phẳng
quanh trục
ta được khối tròn xoay có thể tích là:
Phương trình hoành độ giao điểm của là:
Khi đó .
Cho
và
. Điểm
sao cho
và đoạn
bằng 3 lần khoảng cách từ
đến
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Hai đường thẳng
và
cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của A là:
Để tìm được A là giao điểm của 2 đường thẳng, ta sẽ xét và giải hệ PT giữa chúng.
Từ phương trình của ,tính x,y theo z được
Thế vào phương trình của , được z = - 4 .
Từ đó suy ra x = 1, y = - 2
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
. Tính tỉ số
?
Ta có:
Lại có và ba điểm
thẳng hàng
Vậy đáp án đúng là .
Cho số phức
. Số phức
bằng:
Ta có:
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
và đường thẳng
. Tìm điểm
thuộc đường thẳng
để thể tích của tứ diện
bằng
.
Ta có
Phương trình mặt phẳng
Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra
Mà
Với
Với
Cho
là hai số phức thỏa mãn
, biết
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Cách 1: + Đặt ta có
+ Sử dụng công thức: ta có
=>
Cách 2.
+ Biến đổi:
Ta có
+ Sử dụng công thức bình phương mô đun:
Trong đó là góc
với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
trên mặt phẳng phức
Vậy
Trong không gian
, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Mặt phẳng trên đi qua các điểm
Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cùng phương với .
Ta có
Vậy chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là .
Cho số phức
. Tìm số phức z thỏa mãn
.
Ta có:
Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng ![]()
Trong không gian
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và chứa trục
là:
Mặt phẳng có VTPT
và đi qua điểm
.
Suy ra phương trình .
Trong không gian
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
(khác
). Viết phương trình mặt phẳng
sao cho
là trực tâm của tam giác
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có:
Vậy nên
nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Do đi qua
nên
Một vật chuyển động với vận tốc
có gia tốc
. Vận tốc ban đầu của vật là
. Tính vận tốc của vật sau
giây, (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Vận tốc của vật là:
Do vận tốc ban đầu của vật là
Vận tốc của vật sau 10s là
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
. Khi đó số điểm cực trị của hàm số
là:
Ta có: là một nguyên hàm của hàm số
. Do
là nghiệm bội 1 còn
là nghiệm bội 2 nên hàm số
có hai điểm cực trị.
Xét phương trình
trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:
Ta có:
Suy ra:
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x).
Theo bài ra ta có:
=>
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Cho hai số phức
và
. Tìm phần ảo b của số phức
.
Ta có:
Cho đồ thị hàm số
có đồ thị
trên
như hình vẽ. Tính giá trị của
. Biết phần cong của đồ thị là mộ phần của parabol
và
.

Cho đồ thị hàm số có đồ thị
trên
như hình vẽ. Tính giá trị của
. Biết phần cong của đồ thị là mộ phần của parabol
và
.
