Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là
=
= a – bi
Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là
=
= a – bi
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
. Khi đó
bằng:
Ta có suy ra
Vì nên tọa độ của I có dạng
.
Vì nên ta có phương trình:
Vậy suy ra
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(4, -1, 1), B(3, 1, -1) và song song với trục Ox là:
: vectơ chỉ phương của trục Ox:
.
: Chọn làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng
, qua A nên:
Vậy ta có phương trình mp cần tìm là:
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x)
Mặt khác
=>
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
thỏa mãn
và
liên túc trên
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Cho hàm số
liên tục và có đạo hàm trên
thỏa mãn
. Biết rằng
trong đó
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Tính . Đặt
khi đó:
Theo bài ra ta có:
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có:
Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là 2.
Cho hàm số
. Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?
Phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
((do trong khoảng (0; 1) và (1; 2) phương trình
vô nghiệm)
Vậy mệnh đề sai là: .
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Cho hai số thực
và
. Kí hiệu
là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình
trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của b và c để tam giác
là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).
Ta có: . Vì
và
là số thực.
. Vậy ta có:
và
.
Ta có:
;
.
Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O
.
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm
. Chọn kết luận đúng?
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
thuộc
sao cho
ngắn nhất.
Gọi là điểm sao cho
Suy ra J(2; 3; 1).
Khi đó
Vậy đạt GTNN khi và chỉ khi
đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).
Vậy M(2; 3; 0).
Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm
.
Gọi , với
.
Theo giả thiết ta có suy ra
và
,
.
Ta có
Xét hàm số trên
.
Ta có .
Ta có .
Vậy .
Do đó khi
và
.
Trong không gian cho tam giác
. Tìm
sao cho giá trị của biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Suy ra G cố định và
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy với
là trọng tâm tam giác
.
Số phức liên hợp của số phức
là
=
= a - bi
Cho số phức
thỏa mãn
và
.
Tính giá trị biểu thức
.
Ta có mà
(1)
Tương tự ta có
Cộng (1) và (2) ta có:
Biết
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Gọi
là một nguyên hàm của
thỏa mãn
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Do đó
Suy ra
Nên
Vậy
Từ đó
Vậy
Trong không gian
, cho điểm
. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
?
Đặt với
.
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm có dạng
.
Do nên ta có
.
Suy ra .
Nếu và
thì mặt phẳng (P) có dạng
.
Vì (P) đi qua M nên .
Ta có .
Nếu và
thì mặt phẳng (P) có dạng
.
Vì (P) đi qua M nên
Ta có .
Nếu và
thì mặt phẳng (P) có dạng
.
Vì (P) đi qua M nên
Ta có .
Nếu và
thì mặt phẳng (P) có dạng
.
Vì (P) đi qua M nên
Ta có .
Vậy có bốn mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.
Cho hai quả bóng A, B đều chuyển động thẳng, di chuyển ngược chiều và va chạm với nhau. Sau mỗi va chạm, hai quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A này ngược lại với vận tốc
và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc
.
Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là:
Quãng đường quả bóng A di chuyển được là:
Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là:
Quãng đường quả bóng B di chuyển được là:
Vậy khoảng cách hai quả bóng sau khi dừng hẳn là
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Khi đó
Suy ra suy ra
.
Cho hai số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
tương ứng bằng:
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
là
Ta có:
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
suy ra
có dạng
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tọa độ ba điểm
. Thể tích tứ diện
bằng:
Ta có: . Dễ thấy tứ diện
vuông tại
nên
Vậy đáp án đúng là: .
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ
lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Cho hai số phức z, w thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ![]()
Cách 1 :
Giả sử
(1)
Suy ra x + y = 0
Từ (1) ta có I(3; 2), bán kính r = 1. Gọi H là hình chiếu của I trên .
Đường thẳng HI có PTTS:
Vậy
Cách 2 :
điều này cho thấy M(z) đang nằm trên hình tròn tâm I(3; 2) bán kính bằng 1.
điều này cho thấy N(w) đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng
là trung trực của đoạn AB với
(Minh hoạ như hình vẽ)

Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
cắt các trục tọa độ tại
. Biết trọng tâm của tam giác
là
. Mặt phẳng
song song với mặt phẳng nào sau đây?
Gọi là giao điểm với ba trục tọa độ.
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên
Vậy phương trình mặt phẳng là
Vậy mặt phẳng song song với trong các đáp án đã cho là
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Viết phương trình đường thẳng
?
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
là:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có: đúng
suy ra Hai vectơ
không cùng phương.
Vậy mệnh đề sai là: “Hai vectơ cùng phương”.
Trong không gian
, cho hai điểm
. Điểm
nằm trên mặt phẳng
sao cho
nhỏ nhất là:
Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng ta được:
Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).
Vậy dấu “ = ” xảy ra khi
.
Ta có chọn vtcp của đường thẳng AB:
.
Vậy phương trình đường thẳng AB: .
Tọa độ của M là nghiệm hệ:
Cho hình lập phương
. Hãy phân tích vectơ
theo các vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: (Theo quy tắc hình bình hành).
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là?
Ta có:
Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1.
Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn
lần lượt là?
Ta có:
Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1.
Xác định phần ảo của số phức
.
Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12
Cho tích phân
với
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Suy ra .
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Ta có:
Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:
Ta lại có:
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
Xác định giá trị của tham số
thỏa mãn
?
Ta có:
Vậy đáp án .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Đúng||Sai
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:![]()
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:.
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
. Môđun của số phức
có giá trị là
10
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Môđun của số phức
có giá trị là
10
Ta có:
Cho đường thẳng
có một vec-tơ chỉ phương là:
Ta có vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng
và
lần lượt là
Ta có vectơ chỉ phương của (D) là tích có hướng của 2 vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng:
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai vectơ
. Gọi
là vectơ cùng hướng với vectơ
(tích có hướng của hai vectơ
và
. Biết
, tìm tọa độ vectơ
.
Ta thấy
Vì là vectơ cùng hướng với vectơ
nên
.
Mặt khác
Vậy .
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng: