Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên
và thỏa mãn f(1) = 1,
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: và
=>
=>
Mà f(1) = 1 => và
Cho số phức
thỏa mãn
. Tính ![]()
Giả sử:
Tìm các căn bậc hai của số phức ![]()
Giả sử m + ni (m; n R) là căn bậc hai của z
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
. Điểm nào sau đây không nằm trên mặt phẳng
?
Phương trình mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
có dạng
Thay tọa độ các đáp án vào phương trình mặt phẳng ta có 3 điểm
thoả mãn, còn điểm
không thoả mãn.
Cho a, b, c là các số thực và
. Giá trị của
bằng:
Cách 1: Ta có
và
.
Ta có
Cách 2: Chọn .
Ta có
Thử lại các đáp án với ta thấy chỉ có đáp án
thỏa mãn.
Cho tam giác ABC có
. Gọi BD và BE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc B với D và E là chân của hai phân giác này trên AC. Tính tọa độ vectơ ![]()
Gọi tọa độ điểm E là .
Ta có là trung điểm của AE nên ta tính được tọa độ điểm E lần lượt là:
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian tọa độ
, hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Trong không gian
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng thay đổi qua
và cắt các trục
lần lượt tại
với
. Khi diện tích tam giác
nhỏ nhất, hãy tính giá trị của tích
?
Trong không gian , cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng thay đổi qua
và cắt các trục
lần lượt tại
với
. Khi diện tích tam giác
nhỏ nhất, hãy tính giá trị của tích
?
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Phương trình mặt phẳng
nào dưới đây đi qua
, gốc tọa độ
và cách đều hai điểm
và
?
Vì đi qua O nên phương trình mặt phẳng
có dạng
.
Vì A ∈ (P) và B, C cách đều (P) nên
Chọn a = −6, ta có b = 3, suy ra c = ±4.
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là hoặc
.
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là?
Ta có:
Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tứ diện đều
có
với
. Tính
?
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G(2; 0; 3).
Ta có:
Đường thẳng đi qua G vuông góc với (ABC) có phương trình
Do đó
Mà
Vì
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
Trong không gian
, cho đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
. Một vectơ chỉ phương của
là:
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là .
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α) nên có vectơ chỉ phương là
.
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Cho
. Với
, khẳng định nào sau đây đúng?
Xét , đặt t = ax + b
=>
=>
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ:

Tính tích phân
?
Ta có:
Hàm số
là nguyên hàm của
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
TXĐ:
Ta có:
Phương trình có 1 nghiệm đơn
và một nghiệm kép
nên hàm số
có 1 điểm cực trị.
Biết
. Khi đó
tương ứng bằng
Ta có:
Cho hàm số
. Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?
Phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
((do trong khoảng (0; 1) và (1; 2) phương trình
vô nghiệm)
Vậy mệnh đề sai là: .
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khoảng cách giữa đưởng thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Ta có: , nên đường thằng
song song với mặt phẳng
.
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng khoảng cách từ
đến mặt phẳng
:
Cho số phức thỏa mãn điều kiện
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của ![]()
1 || Một || một
Cho số phức thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 || Một || một
Đặt
Ta có
.
TH1: (1)
TH2: .
Đặt .
.
(2)
Từ (1) và (2) , suy ra .
Tìm họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số
và các đường thẳng
. Thể tích
của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng
quay quanh trục?
Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng quay quanh trục
là:
.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó
Cho hai số phức z, w thỏa mãn
;
với
là tham số. Giá trị của m để ta luôn có
là:
Đặt có biểu diễn hình học là điểm
Ta có:
Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng
Ta xét:
với .
Mà ta có
Nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, trục
có phương trình tham số là
Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương nên có phương trình tham số là
.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Cho hai số phức
. Môđun của số phức
là:
Ta có:
Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:
=
= a – bi
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất là:
Giả sử với
là các số thực dương do
khác 0.
Khi đó phương trình mặt phẳng qua
có phương trình là
Mà nên
, do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
T đạt giá trị nhỏ nhất nên ta có dấu bằng xảy ra, tức là:
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là .
Cho hình phẳng
như hình vẽ (phần tô đậm):

Diện tích hình phẳng
là:
Gọi S là diện tích hình phẳng (H) theo hình vẽ suy ra
Theo công thức tích phân từng phần:
.
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.
Viết công thức tính thể tích
của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục
và hai đường thẳng
xung quanh trục
.
Thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
Cho các mệnh đề sau:
(I) Vectơ
luôn đồng phẳng với hai vectơ
.
(II) Nếu có
và ít nhất một trong ba số
khác không thì ba vectơ
đồng phẳng.
(III) Nếu ba vectơ
không đồng phẳng và
thì
.
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
Do được biểu thị qua hai vectơ
nên (I) đúng.
Xét mệnh đề (II): Giả sử , khi đó:
Suy ra ba vectơ đồng phẳng. Vậy mệnh đề (II) đúng.
Do mệnh đề (III) tương đương với mệnh đề (II) nên mệnh đề (III) đúng.
Cho hàm số
có đạo hàm dương và liên tục trên
thỏa mãn
và
. Tích phân
là:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi
Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn
bằng:
Ta có:
Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với biến m, với các hệ số.
Áp dụng hệ thứ Vi- et
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Trong không gian
, tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Cho
là hai số phức thỏa mãn phương trình
, biết ![]()
Tính giá trị của biểu thức: ![]()
Cách 1. Ta có:
và
Chú ý:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm O bán kính
.

Gọi
Ta có: đều
Mà với M là điểm thỏa
mãn là hình thoi cạnh 1
Cách 2. Đặt , ta có
và
Khi đó:
Sử dụng công thức
Cho số phức
, giá trị của số phức
là?
Ta có:
Biết
là nguyên hàm của hàm số
. Hỏi đồ thị của hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Vì là nguyên hàm của hàm số
nên suy ra
Ta có:
Xét hàm số trên
, ta có:
suy ra hàm số
đồng biến trên
.
Vậy phương trình có nhiều nhất một nghiệm trên
(2)
Mặt khác ta có hàm số liên tục trên
và
nên
.
Suy ra tồn tại sao cho
(3)
Từ (1); (2); (3) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất
.
Đồng thời vì là nghiệm bội lẻ nên
đổi dấu qua
Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực trị.
Trong không gian
có điểm
. Tính độ dài
?
Ta có:
Suy ra
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hình lập phương
; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Cho hình lập phương ; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
Tích vô hướng
(
là số thập phân). Giá trị của
bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Đáp án: -0,5||- 0,5
Cho hình lập phương có cạnh bằng
Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
Tích vô hướng
(
là số thập phân). Giá trị của
bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Đáp án: -0,5||- 0,5
Hình vẽ minh họa
Vì nên
Ta có:
Vậy
Cho hai số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
tương ứng bằng:
Ta có:
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là: