Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
. Môđun của số phức
có giá trị là
10
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Môđun của số phức
có giá trị là
10
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
. Môđun của số phức
có giá trị là
10
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Môđun của số phức
có giá trị là
10
Ta có:
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Cho
là hai số phức thỏa mãn phương trình
, biết ![]()
Tính giá trị của biểu thức: ![]()
Cách 1. Ta có:
và
Chú ý:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm O bán kính
.

Gọi
Ta có: đều
Mà với M là điểm thỏa
mãn là hình thoi cạnh 1
Cách 2. Đặt , ta có
và
Khi đó:
Sử dụng công thức
Tìm nguyên hàm của hàm số
là
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm
.
Gọi , với
.
Theo giả thiết ta có suy ra
và
,
.
Ta có
Xét hàm số trên
.
Ta có .
Ta có .
Vậy .
Do đó khi
và
.
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định. Trong không gian
cho ba điểm
và hai vecto ![]()
a) Tích vô hướng của hai vecto
bằng
Đúng||Sai
b) Trung điểm của đoạn
có tọa độ là
. Sai||Đúng
c) Tọa độ của vecto
là
. Sai||Đúng
d) Hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác
lên mặt phẳng
là
Đúng||Sai
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định. Trong không gian cho ba điểm
và hai vecto
a) Tích vô hướng của hai vecto bằng
Đúng||Sai
b) Trung điểm của đoạn có tọa độ là
. Sai||Đúng
c) Tọa độ của vecto là
. Sai||Đúng
d) Hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác lên mặt phẳng
là
Đúng||Sai
a) đúng, b) sai, c) sai, d) đúng.
a) Ta có
b) Ta có trung điểm của đoạncó tọa độ là
c) Ta có
Suy ra
d) Ta có Suy ra hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác
lên mặt phẳng
là
.
Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là
=
= a – bi
Cho hình phẳng
được giới hạn bởi hai đường
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do
quay quanh trục
?
Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đường
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do
quay quanh trục
?
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Trong không gian
, cho các điểm
. Tích
bằng:
Ta có: . Khi đó
.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó
Trong không gian
, điểm
thuộc trục
và cách đều hai mặt phẳng
và
có tọa độ là?
Ta có suy ra
.
Theo đề bài ra ta có:
Vậy .
Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình
có nghiệm phức
thỏa mãn
.
4 || Bốn || bốn
Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình có nghiệm phức
thỏa mãn
.
4 || Bốn || bốn
Ta có với mọi thì phương trình
luôn có nghiệm phức.
và
.
Suy ra .
Từ (1) ta có , từ (2) ta có
.
Vậy tổng .
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra .
Phần thực của số phức
là:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
. Xác định
để hai mặt phẳng
và
song song với nhau?
Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi
Tập xác định
Vậy thì hai mặt phẳng
song song với nhau.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Vị trí tương đối của
và
là
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương và đi qua điểm M(−1; 0; 1).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương .
Hai vectơ và
cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.
Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.
Xác định phần ảo của số phức
.
Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
, F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)
Ta có:
=>
=>
=>
Khi đó:
Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5
=>
=>
=>
Hai đường thẳng
và
với cắt nhau tại M có tọa độ là :
Để (d’) cắt (d) tại
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Mặt phẳng
vuông góc với cả
và
đồng thời cắt trục
tại điểm có hoành độ bằng
. Phương trình của mặt phẳng
là:
Ta có: (P) có vectơ pháp tuyến , (Q) có vectơ pháp tuyến
.
Vì mặt phẳng (α) vuông góc với cả (P) và (Q) nên (α) có một vectơ pháp tuyến là
Vì mặt phẳng (α) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên (α) đi qua điểm M(3; 0; 0).
Vậy (α) đi qua điểm M(3; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến nên (α) có phương trình
.
Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng đồ thị hàm số
có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành?
Ta có:
Mà
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là
Suy ra
Do đó
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Cho số phức
. Số phức
là số phức nào sau đây?
Ta có:
Suy ra
.
Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại
và
. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
(
) cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là
và
. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên
Diện tích thiết diện là:
Thể tích vật thể là:
Tính góc của hai đường thẳng
và
.
Theo đề bài, ta có (d’) và (d) có vec-tơ chỉ phương lần lượt là:
Áp dụng công thức cosin của góc giữa 2 đường thẳng, ta có:
Giả sử hàm số f(x) luôn xác định. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Trong không gian
, tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và điểm
. Tìm tọa độ điểm
để ba điểm
thẳng hàng?
Ta có:
Lại có:
Vì ba điểm A; B; M thẳng hàng nên cùng phương
Vậy đáp án cần tìm là .
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Hàm số
có một nguyên hàm là
. Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng thay đổi qua
và cắt các trục
lần lượt tại
với
. Khi diện tích tam giác
nhỏ nhất, hãy tính giá trị của tích
?
Trong không gian , cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng thay đổi qua
và cắt các trục
lần lượt tại
với
. Khi diện tích tam giác
nhỏ nhất, hãy tính giá trị của tích
?
Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
,
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
,
là
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ,
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
,
là
.
Trong không gian
, cho
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có: suy ra tọa độ vectơ
.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và các đường thẳng ![]()
Gọi S là diện tích của hình phẳng trên ta có:
Ta có:
Khi đó:
Trong không gian
, tìm tập hợp các điểm cách đều cặp mặt phẳng sau đây:
.
Gọi điểm
Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng trên có dạng:
Để mp (γ) cách đều hai mp trên thì
hoặc
Mặt khác điểm hai điểm A; B phải nằm về hai phía của mp (γ).
Với ta có
nên A; B cùng phía.
Với ta có
nên A; B khác phía.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là .
Cho hàm số
xác định trên
thỏa mãn
và
. Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Lại có
Từ đó suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Vậy hệ số góc phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1.
Số phức z thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Biết
, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của
là:
Biết . Giá trị của
là:
Ta có:
Tính tích phân
?
Đặt . Ta có:
suy ra
.
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Cho
là hai số phức thỏa mãn
, biết
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Cách 1: + Đặt ta có
+ Sử dụng công thức: ta có
=>
Cách 2.
+ Biến đổi:
Ta có
+ Sử dụng công thức bình phương mô đun:
Trong đó là góc
với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
trên mặt phẳng phức
Vậy
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức
?
Vì các vectơ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, đường thẳng
đi qua điểm nào sau đây?
Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng
ta được
, do đó điểm này thuộc đường thẳng
.
Cho số phức
. Tìm phần thực a và phần ảo b của z.
Ta có
Biết
khác
và vuông góc với cả hai vectơ
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Theo đề bài ta có: khác
và vuông góc với cả hai vectơ
nên
Vậy khẳng định đúng là