Số phức
có phần thực bằng
Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.
Số phức
có phần thực bằng
Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.
Trong không gian
, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Mặt phẳng trên đi qua các điểm
Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cùng phương với .
Ta có
Vậy chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là .
Cho số phức
. Số phức
là số phức nào sau đây?
Ta có:
Suy ra
.
Cho đường tròn
và parabol
.
cắt
thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của hai phần đó.
Hoành độ giao điểm của (P) và (C) là:
Xét giao điểm thuộc góc phần tư thứ nhất, với
Gọi S2 là phần có diện tích nhỏ hơn, S1 là phần còn lại
Ta có:
Đặt
Khi đó
Diện tích hình tròn
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Trong không gian
, biết mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các tia dương
lần lượt tại ba điểm
khác gốc tọa độ
, sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì mặt phẳng cắt các tia dương của trục
nên ta có
Ta có
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Dấu bằng xảy ra khi:
Suy ra độ dài ba cạnh theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Tích phân
bằng:
Ta có:
Biết
và
là ba nghiệm của phương trình
,
trong đó
là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức
bằng:
Xét phương trình là phương trình bậc ba với hệ số thực nên luôn có một nghiệm thực là
.
Do đó phương trình tương đương với:
.
Nên là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (1).
Suy ra .
Khi đó : .
Vậy phần ảo của là
.
Trong không gian
, đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng
có một vectơ chỉ phương là
nên có phương trình là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho bốn điểm
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
.
Ta có
Mặt phẳng đi qua
và nhận
là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là
.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Đường thẳng
đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
. Hỏi
đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có:
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Phương trình đường thẳng
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).
Giả sử
là một hàm số bất kì và liên tục trên khoảng
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Dựa vào tính chất của tích phân với là một số bất kì liên tục trên khoảng
và
ta có:
Cho hai số phức
. Tìm môđun của số phức
.
Ta có:
Cho tam giác
vuông tại
và có hai đỉnh
nằm trên mặt phẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của đỉnh
lên
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu A nằm trên (P) tức A’ trùng với A thì tam giác A’BC có góc A vuông, nếu A không nằm trên (P) thì
suy ra góc
là góc tù.
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ
(đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
Ta có
(m).
Đáp số 14(m).
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
, F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)
Ta có:
=>
=>
=>
Khi đó:
Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5
=>
=>
=>
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: . Khi đó
.
Vậy
Cho số phức
. Số phức
có phần ảo là:
Ta có:
Cho
với
. Tính
?
Ta có:
Vậy
Biết số phức
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
và biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
?
Theo giả thiết
Ta có
Xét điểm và
. Khi đó
Bài toán trở thành tìm điểm sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì nên hai điểm E, F nằm cùng phía đối với đường thẳng
.
Gọi E' là điểm đối xứng với E qua
Đường thẳng EE' đi qua điểm và có VTPT
nên có phương trình
Gọi H là giao điểm của EE' và . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
suy ra
E' đối xứng với E' qua H nên
Ta có
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của E'F và đường thẳng
Đường thẳng E'F đi qua điểm và có VTPT
có phương trình
=>
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
Vậy .
Cho số phức
thoả điều kiện
.
Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó
Cho a, b, c là các số thực và
. Giá trị của
bằng:
Cách 1: Ta có
và
.
Ta có
Cách 2: Chọn .
Ta có
Thử lại các đáp án với ta thấy chỉ có đáp án
thỏa mãn.
Cho số phức
thỏa mãn
. Tính ![]()
Giả sử:
Tích phân
có giá trị là:
Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
và
, với
. Tìm
để diện tích hình phẳng
gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
và
, với
. Tìm
để diện tích hình phẳng
gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 0,59
Gọi là diện tích hình phẳng
. Lúc dó
, trong đó
là diện tích phần gạch sọc ở bên phải
và
là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.
Gọi là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng
và đồ thị hàm số
, trong đó
và
.
Thco yêu cầu bài toán .
.
.
Cho hàm số
thỏa mãn
và
với mọi
. Tính
?
Ta có:
Với
Do đó
Vậy
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Trong không gian
, điểm đối xứng của điểm
qua trục
có tọa độ là
Gọi là điểm đối xứng của
qua trục
.
Hình chiếu vuông góc của lên trục
là
Khi đó là trung điểm của
. Do đó tọa độ của
là
Tìm nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Ta có:
Trong không gian
, cho hai điểm
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
.
Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AB có tọa độ I(0; 1; 1).
Mặt phẳng (OAB) có véc-tơ pháp tuyến .
Suy ra đường thẳng ∆ có và đi qua I(0; 1; 1).
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là .
Cho hình lăng trụ ABCDEF.
Gọi M, N, G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF, AE, CE, CD, BC, BE.
Có nhận xét gì về bộ ba vecto
?
Bằng nhau || Đồng phẳng || Bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau, đồng phẳng
Cho hình lăng trụ ABCDEF.
Gọi M, N, G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF, AE, CE, CD, BC, BE.
Có nhận xét gì về bộ ba vecto ?
Bằng nhau || Đồng phẳng || Bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau, đồng phẳng

Theo giả thiết đề bài đã cho, M và N lần lượt là trung điểm của DE và DF
Suy ra, MN là đường trung bình trong tam giác DEF:
Tương tự: và
Vậy
đồng phẳng và bằng nhau.
Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là
=
= a – bi
Trong không gian
, cho hình chóp
có đáy
là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo
và
trùng với gốc tọa độ
. Các véc tơ
,
,
lần lượt cùng hướng với các véc tơ
,
,
và
,
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Tọa độ của véc tơ
là
Hình vẽ minh họa
Ta có .
Khi đó .
Vì là trung điểm của
nên ta có
.
Số phức z thỏa mãn:
là:
Ta áp dụng các quy tắc thực hiện phép tính, có:
Ngoài ra ta có thể sử dụng lệnh CALC trong máy tính để thử các phương án.
Cho
với
là các số hữu tỉ. Khi đó
bằng:
Ta có:
Suy ra .
Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Vậy .
Tìm số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Đặt
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.
Cho hàm số
. Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?
Phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
((do trong khoảng (0; 1) và (1; 2) phương trình
vô nghiệm)
Vậy mệnh đề sai là: .
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
và
. Giá trị của
sao cho
là
Ta có: có vectơ chỉ phương
, (Q) có vectơ chỉ phương
Để hai mặt phẳng song song thì
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian với hệ tọa đô
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
sao cho thể tích tứ diện
nhỏ nhất.
đi qua điểm nào dưới đây?
Gọi với
Phương trình mặt phẳng
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thể tích tứ diện là
Đẳng thức xảy ra khi
Phương trình mặt phẳng là
Mặt phẳng đi qua điểm
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng
. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với
.
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
.
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Suy ra .
Cho số phức
. Tính |z|
Ta có
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là: