Tìm các căn bậc hai của số phức ![]()
Giả sử m + ni (m; n R) là căn bậc hai của z
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.
Tìm các căn bậc hai của số phức ![]()
Giả sử m + ni (m; n R) là căn bậc hai của z
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.
Số phức
có phần thực bằng
Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
và đường thẳng
. Gọi
là mặt phẳng chứa
sao cho khoảng cách từ điểm
đến
là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ
đến
bằng:
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.
Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.
Ta tìm được .
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn
và
. Tìm số phần tử của S.
2 || Hai || hai
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn và
. Tìm số phần tử của S.
2 || Hai || hai
Điều kiện: .
Đặt .
Theo giả thiết .
là đường tròn tâm O(0; 0), bán kính
.
Mặt khác
là đường tròn tâm
, bán kính
.
Để tồn tại duy nhất số phức z thì và
tiếp xúc ngoài hoặc trong.
TH1: và
tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi
.
TH2: và
tiếp xúc trong khi và chỉ khi
.
Vậy .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành;
và
bằng:
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là nghiệm của phương trình:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là:
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra
Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); gọi
lần lượt là các góc tạo bởi vector pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của (P) là (
):
Theo đề bài, ta có:
Gọi
Ta có:
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Biết
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Biết
. Khi đó
tương ứng bằng
Ta có:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Giả sử điểm
. Tính giá trị biểu thức
?
Gọi điểm
Ta có:
Mà
Suy ra suy ra
Vậy
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Cho số phức
thỏa mãn
và
.
Tính giá trị biểu thức
.
Ta có mà
(1)
Tương tự ta có
Cộng (1) và (2) ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Gọi
là mặt phẳng qua
và vuông góc với
. Phương trình nào là phương trình của mặt phẳng
?
Vì là mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với
nên mặt phẳng
nhận
làm hai vectơ chỉ phương.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Phương trình mặt phẳng
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Xác định nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Cho đường tròn
và parabol
.
cắt
thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của hai phần đó.
Hoành độ giao điểm của (P) và (C) là:
Xét giao điểm thuộc góc phần tư thứ nhất, với
Gọi S2 là phần có diện tích nhỏ hơn, S1 là phần còn lại
Ta có:
Đặt
Khi đó
Diện tích hình tròn
Trong không gian Oxyz, cho vectơ
hợp với
góc
, hợp với
góc
. Tính góc hợp bởi
và
.
Gọi và
lần lượt là các góc hợp bởi
với ba trục
. Đặt
Ta có:
Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Vậy
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: . Khi đó
Vậy
Trong không gian
, cho đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
. Một vectơ chỉ phương của
là:
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là .
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α) nên có vectơ chỉ phương là
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
qua điểm
và có cặp vectơ chỉ phương
là:
Vectơ pháp tuyến của là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương
có thể thay thế bởi
Phương trình có dạng
Vậy
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.
bằng
Ta có .
Trong không gian
, đường thẳng đi qua
và nhận
làm vectơ chỉ phương có phương trình là:
Đường thẳng đi qua và nhận
làm vectơ chỉ phương có phương trình là
.
Cho
và
. Tính
?
Ta có và
. Tính:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
Gọi
là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức
là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Gọi là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn .
Do đó ta có
Ta cũng có
và
Vậy .
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
. Diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
được tính theo công thức
Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng
được tính theo công thức:
.
Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn F(2) = 0
Ta có: F(2) = 0 => C = 2
=>
Xét phương trình F(x) = x ta có:
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của z là:
Giả sử: .
Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn
![]()
Tính giá trị biểu thức M = a + b.
=>
=>
Cho đường thẳng
và parabol
(
là tham số thực). Gọi
lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được tô đậm và gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi
thì
thuộc khoảng nào dưới đây?

Phương trình hoành độ giao điểm của của hai đồ thị:
Theo giả thiết, phương trình có hai nghiệm phân biệt
Khi đó, phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
Diện tích hình phẳng:
Diện tích hình phẳng:
Theo giả thiết ta có:
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Số phức z thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Cho hình vẽ:

Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số
như hình bên, bằng kết quả nào sau đây?
Diện tích miền tích phân được chia thành hai phần. Phần 1 với x nằm trong khoảng a đến b và phần 2 với x nằm trong khoảng b đến c:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và hai điểm
. Tìm điểm
thuộc
sao cho
vuông tại
.
Điểm thuộc đường thẳng
nên
.
Ta có và
.
Tam giác vuông tại
khi và chỉ khi
Khi đó tọa độ điểm .
Cho hàm số
xác định trên
thỏa mãn
và
. Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Lại có
Từ đó suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Vậy hệ số góc phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1.
Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.

Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:
Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).
Tìm nguyên hàm của hàm số
??
Đặt
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z là
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho tổng khoảng cách từ
và
đến mặt phẳng
lớn nhất, biết rằng
không cắt đoạn
. Khi đó pháp tuyến của mặt phẳng
:
Hình vẽ minh họa
Lấy M là trung điểm của đoạn BC, suy ra .
Gọi lần lượt là khoảng cách từ
đến mặt phẳng (P), từ đó suy ra
.
Xét tam giác vuông , ta có
, từ đó suy ra để tổng khoảng cách từ B và C đến mặt phẳng (P) thì MM’ phải lớn nhất, điều này có nghĩa là M’ trùng với A hay MA ⊥ (P).
Từ đó suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:
Trong không gian
, cho
. Tính diện tích tam giác
?
Ta có:
Lại có diện tích tam giác là:
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x)
Mặt khác
=>
Cho số phức z thỏa mãn
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
là:
Ta gọi là điểm biểu diễn số phức z
=>
Khi đó:
với
Ta có: suy ra
.
Theo định lý Stewart ta có:
(Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ
Suy ra:
Khi đó suy ra: