Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Trong không gian cho ba vectơ
có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì ba vectơ có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng nên
Giá các vectơ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Giá các vectơ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Giá các vectơ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Giá của các vectơ cùng nằm trên một mặt phẳng
Vậy mệnh đề đúng là: “Giá các vectơ không cùng nằm trên một mặt phẳng.”
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
bằng:
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Khi đó
Cho điểm
và mặt phẳng
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P).Tọa độ điểm A’ là :
Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua A vuông góc với (P): .
Thế x, y, z theo t vào phương trình của (P), ta được:
Thế tiếp vào phương trình của (d) được giao điểm I của (d) và (P):
Mặt khác, I là trung điểm của AA' nên suy ra được:
Số phức z thỏa mãn:
là:
Ta áp dụng các quy tắc thực hiện phép tính, có:
Ngoài ra ta có thể sử dụng lệnh CALC trong máy tính để thử các phương án.
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là
, chiều cao trong lòng cốc là
đang đựng một lượng nước.

Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là , chiều cao trong lòng cốc là
đang đựng một lượng nước.
Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là
=
= a – bi
Biết
với
. Xác định giá trị biểu thức
?
Đặt khi đó ta có:
Vậy .
Cho số phức z thỏa mãn
. Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
. Khi đó mô đun của số phức ![]()
Giả sử ta có:
Ta có
Ta có
=>
=>
Ta thu được kết quả:
=>
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn
![]()
Tính giá trị biểu thức M = a + b.
=>
=>
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Gọi là tâm hình bình hành
. Khi đó:
Vậy .
Xác định nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: .
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Gọi
là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức
là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Gọi là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn .
Do đó ta có
Ta cũng có
và
Vậy .
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của z là:
Giả sử: .
Biết
khác
và vuông góc với cả hai vectơ
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Theo đề bài ta có: khác
và vuông góc với cả hai vectơ
nên
Vậy khẳng định đúng là
Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:![]()
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:.
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và
. Tìm tham số m để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau?
Ta có:
Để hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau thì
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Cho tứ diện đều
với
là trung điểm của
. góc giữa hai đường thẳng
có cosin bằng:
Hình vẽ minh họa
Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Tương tự
Ta có:
Do đó
Mà nên
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Trong không gian
, cho bốn điểm
và
. Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm
?
Hình vẽ minh họa
Ta có mặt phẳng (ABC): .
Suy ra thuộc mặt phẳng (ABC).
Số mặt phẳng qua ba trong bốn điểm A, B, C, D là 1.
Số mặt phẳng qua điểm O và hai trong bốn điểm A, B, C, D là .
Vậy số mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm là
.
Cho
là hai số phức thỏa mãn
, biết
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Cách 1: + Đặt ta có
+ Sử dụng công thức: ta có
=>
Cách 2.
+ Biến đổi:
Ta có
+ Sử dụng công thức bình phương mô đun:
Trong đó là góc
với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
trên mặt phẳng phức
Vậy
Cho
. Với
, khẳng định nào sau đây đúng?
Xét , đặt t = ax + b
=>
=>
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 294,92 km.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 294,92 km.
Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.
Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.
Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)
Ta có
OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0
⟺13906t - 76483 = 0 ⟺
Suy ra
Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Cho
là các số hữu tỉ thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Cho hai số phức
. Tìm môđun của số phức
.
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn:
. Môđun của số phức
là?
Ta có:
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm
?
Ta có:
Lại có
Vậy .
Tính tích phân
?
Ta có:
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
đi qua điểm
, nhận vectơ
làm vectơ chỉ phương và đường thẳng
đi qua điểm
, nhận vectơ
làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng
song song với
là:
Điều kiện để là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tam giác
có
. Độ dài đường cao của tam giác
kẻ từ
là:
Ta có:
Mà
Trong không gian
cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục tọa độ
tại
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Giả sử .
Khi đó:
Ta có:
Ta có: vì H là trực tâm của tam giác ABC suy ra
Mặt khác
Vậy hay
.
Cho hàm số
là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn
và
. Tính tích phân
?
Cho hàm số là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn
và
. Tính tích phân
?
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho phương trình đường thẳng
. Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng
?
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:
.
Cho số phức
thỏa mãn
. Tính ![]()
Giả sử:
Cho hình vẽ:

Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số
như hình bên, bằng kết quả nào sau đây?
Diện tích miền tích phân được chia thành hai phần. Phần 1 với x nằm trong khoảng a đến b và phần 2 với x nằm trong khoảng b đến c:
.
Trong không gian với hệ tọa độ cho các điểm
. Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong 5 điểm
?
Mặt phẳng có phương trình là:
, do đó
.
Lại có A là trung điểm BD.
Ta có chứa các điểm O, A, B, D;
chứa các điểm O, B, C;
chứa các điểm O, A, C;
chứa các điểm A, B, C, D;
chứa các điểm O, C ,D.
Vậy có mặt phẳng phân biệt thỏa mãn bài toán.
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh
, cạnh bên
và vuông góc với mặt đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hai vectơ
là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ
bằng
. Sai||Đúng
c) Tích vô hướng của
bằng
. Đúng||Sai
d) Độ dài vectơ
là
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh
, cạnh bên
và vuông góc với mặt đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hai vectơ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ bằng
. Sai||Đúng
c) Tích vô hướng của bằng
. Đúng||Sai
d) Độ dài vectơ là
. Sai||Đúng
a) Sai
Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên
Suy ra hai vectơ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.
b) Sai
Ta có ABCD là hình chữ nhật nên
Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.
Suy ra
Ta có:
c) Đúng
Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.
Suy ra
Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:
Lại có M là trung điểm của SB nên
Ta tính được
Mà
d) Sai
Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD
Do đó
Suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng:
và ![]()
a) Vectơ có tọa độ
là một vectơ chỉ phương của
. Sai||Đúng
b) Đường thẳng
đi qua điểm
. Đúng||Sai
c) Đường thẳng
đi qua
và vuông góc với
có phương trình tham số là
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai đường thẳng
và
khoảng
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng:
và
a) Vectơ có tọa độ là một vectơ chỉ phương của
. Sai||Đúng
b) Đường thẳng đi qua điểm
. Đúng||Sai
c) Đường thẳng đi qua
và vuông góc với
có phương trình tham số là
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai đường thẳng và
khoảng
. Sai||Đúng
a) Vectơ có tọa độ là một vectơ chỉ phương của
nên mệnh đề sai
b) Mệnh đề đúng
c) Gọi
nên mệnh đề đúng
d) Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn nên mệnh đề sai
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Xác định hàm số f(x) biết rằng ![]()
Mà
Vậy hàm số cần tìm là
Cho tích phân
với
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Suy ra .
Cho số phức z thỏa mãn
, gọi
lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
. Tính ![]()
Ta có
Vì nên
.
Suy ra