Cho
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
suy ra
có dạng
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
suy ra
có dạng
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 294,92 km.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 294,92 km.
Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.
Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.
Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)
Ta có
OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0
⟺13906t - 76483 = 0 ⟺
Suy ra
Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:
Cho đường thẳng
và parabol
(
là tham số thực). Gọi
lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được tô đậm và gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi
thì
thuộc khoảng nào dưới đây?

Phương trình hoành độ giao điểm của của hai đồ thị:
Theo giả thiết, phương trình có hai nghiệm phân biệt
Khi đó, phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
Diện tích hình phẳng:
Diện tích hình phẳng:
Theo giả thiết ta có:
Cho là một nguyên hàm của hàm số
và
. Tính ![]()
Cách 1:
Đặt
Khi đó
=>
Mặt khác
=> C = 0
=>
=>
Cách 2: . Sử dụng máy tính cầm tay để tính.
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Ta có:
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số nên:
Hay
Xét
Đặt
Khi đó
Xe đạp A xuất phát từ C, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật
trong đó
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một xe đạp B cũng xuất phát từ C, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn
giây so với A và có gia tốc bằng
(
là hằng số). Sau khi B xuất phát được
giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng bao nhiêu?
Quãng đường xe đạp A đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:
Vận tốc của xe đạp B tại thời điểm tính từ lúc B xuất phát là:
Quãng đường xe đạp B đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:
Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là:
Cho hàm số
liên tục trên
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và các đường thẳng
. Diện tích hình
được tính theo công thức?
Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức .
Hàm số
có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:
Hàm số đi qua B(2; 10) =>
=>
=>
Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc thời gian
là
. Biết vận tốc ban đầu bằng
, hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?
Vận tốc của vật được tính theo công thức
=> Quãng đường vật di chuyển được tính theo công thức:
Ta có:
Cho các số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
3 || ba || Ba
Cho các số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
3 || ba || Ba
Gọi là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức.
Có
Vậy hoặc
.
Gọi thì
. Khi đó
hoặc
.
Vậy
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm A.Tọa độ của A là:
Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình :
Giải (1),(2) tính x,y theo z được
Thế vào phương trình (3) được , từ đó có
.
Vậy .
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Trong không gian
, điểm nào sau đây thuộc trục tung
?
Điểm thuộc trục tung Oy là .
Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc
. Hỏi rằng trong
trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn
Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:
.
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của z là:
Giả sử: .
Cho số phức
. Tìm số phức z thỏa mãn
.
Ta có:
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng
. Xác định tọa độ vị trí điểm
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng
. Xác định tọa độ vị trí điểm
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)
Đáp án: N(1300; 750; 15,5)
Gọi là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.
.
.
Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên và
cùng hướng.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ đến
gấp 4 lần thời gian bay từ
đến
nên
.
Suy ra:
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Số phức
là số phức nào sau đây?
Gọi
là một nguyên hàm của hàm số
, thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
, ta có:
mà
.
Phần thực của số phức
là:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tam giác
có
. Độ dài đường cao của tam giác
kẻ từ
là:
Ta có:
Mà
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:
Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :
Giải (1),(2) tính theo
được
.
Thế vào phương trình (3) được , từ đó có
Vậy .
Cho ba điểm
.
Tìm điểm N trên
cách đều A và B.
Gọi trên
Ta có
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Đặt . Đổi cận
Ta có: .
Vậy khẳng định đúng .
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Trong không gian
, cho tam giác
với tọa độ các điểm ![]()
.
Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác là
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c) Tam giác
là tam giác cân. Đúng||Sai
d) Nếu
là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
. Sai||Đúng
Trong không gian , cho tam giác
với tọa độ các điểm
.
Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác là . Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) Tam giác là tam giác cân. Đúng||Sai
d) Nếu là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
. Sai||Đúng
a) Đúng.
Trọng tâm tam giác có tọa độ là:
b) Sai. Vì
c) Đúng. Do nên tam giác ABC cân tại A.
d) Sai. Gọi , vì ABCD là hình bình hành nên
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Trong hệ tọa độ
, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
?
Dựa vào phương trình đường thẳng ta thấy đường thẳng đã cho đi qua điểm .
Cho hai số thực
và
. Kí hiệu
là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình
trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của b và c để tam giác
là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).
Ta có: . Vì
và
là số thực.
. Vậy ta có:
và
.
Ta có:
;
.
Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O
.
Cho số phức
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Ta có: .
Cho hình lập phương
. Hãy phân tích vectơ
theo các vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: (Theo quy tắc hình bình hành).
Tìm nguyên hàm của hàm số
??
Đặt
Tìm họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
?
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
nên
có một vectơ chỉ phương là
.
Phương trình là
Kiểm tra được điểm thỏa mãn hệ (*).
Vậy phương trình: cũng là phương trình của
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
. Mặt phẳng
qua
cắt chiều dương của các trục
lần lượt tại
thỏa mãn
. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp
?
Giả sử với
.
Khi đó mặt phẳng có dạng:
.
Vì (P) đi qua M nên
Vì
Thể tích khối chóp là:
Ta có:
khi
.
Cho số phức z thỏa mãn
Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Ta có:
=> Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường tròn bán kính
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
. Tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng
và
, biết đường thẳng d' có phương trình 
Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
và đường thẳng
. Tìm điểm
thuộc đường thẳng
để thể tích của tứ diện
bằng
.
Ta có
Phương trình mặt phẳng
Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra
Mà
Với
Với
Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ![]()
Gọi
Ta có
Lại có
Mặt khác
Suy ra
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Đặt
Cho
với
là các số hữu tỉ. Khi đó
bằng:
Ta có:
Suy ra .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Gọi
là mặt phẳng qua
và vuông góc với
. Phương trình nào là phương trình của mặt phẳng
?
Vì là mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với
nên mặt phẳng
nhận
làm hai vectơ chỉ phương.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Phương trình mặt phẳng
Cho hình phẳng
giới hạn bởi Parabol
và đường cong có phương trình
như hình vẽ:

Diện tích của hình phẳng
bằng:
Phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích hình phẳng bằng:
Đặt
Cho hình vuông
có cạnh
. Trên hai tia
vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng
lần lượt lấy hai điểm
sao cho
. Tính góc
giữa hai mặt phẳng
.
Cho hình vuông có cạnh
. Trên hai tia
vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng
lần lượt lấy hai điểm
sao cho
. Tính góc
giữa hai mặt phẳng
.