Bài tập bất đẳng thức chọn lọc

Chuyên đề Bất đẳng thức gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Bài tập bất đẳng thức chọn lọc 5,0

I. BÀI TẬP CHỌN LỌC

Bài 1. Cho hai số thực $x;y$ khác $0$ và thỏa mãn $(x + y)xy = x^{2} + y^{2} - xy$ . Tìm GTLN của biểu thức: $A = \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}}$ .

Bài 2. Cho $x;y$ là các số thực dương và thỏa mãn $x + y \leq 1$ . Tìm GTNN của biểu thức: $P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\sqrt{1 + x^{2}y^{2}}.$

Bài 3. Cho $x;y$ là các số thực dương và thỏa mãn $\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{y} + 1 \right) \geq 4$ . Tìm GTNN của biểu thức: $P = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x}.$

Bài 4. Cho $a,b$ là các số thực dương và thỏa mãn $(1 + a)(1 + b) = \frac{9}{4}$ . Tìm GTNN của biểu thức: $P = \sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}}$ .

Bài 5. Cho $x$ , $y$ là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z = 1$ . Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{xy + z} + \sqrt{2x^{2} + 2y^{2}}}{1 + \sqrt{xy}} \geq 1$ .

Bài 6. Cho $x$ , $y$ là hai số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:

$P = \sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3} + 8y^{3}}} + \sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3} + (x + y)^{3}}}$ .

Bài 7. Cho $x$ , $y$ , $z$ là các số thực lớn hơn 2. Tìm GTNN của biểu thức:

$P = \frac{x}{\sqrt{y + z - 4}} + \frac{y}{\sqrt{z + x - 4}} + \frac{z}{\sqrt{x + y - 4}}$

Bài 8. Cho số thực $x$ thỏa mãn $1 \leq x \leq 2$ . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $T = \frac{3 + x}{x} + \frac{6 - x}{3 - x}$ .

Bài 9. Cho $x$ , $y$ , $z$ là các số thực dương và thỏa mãn $x + y + z = xyz$ . Chứng minh rằng:

$\frac{1 + \sqrt{1 + x^{2}}}{x} + \frac{1 + \sqrt{1 + y^{2}}}{y} + \frac{1 + \sqrt{1 + z^{2}}}{z} \leq xyz.$

Bài 10. Cho $a$ , $b$ , $c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \geq a + b + c$ .

Bài 11. Cho $a$ , $b$ , $c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{9\sqrt[3]{abc}}{a + b + c} \geq 6$ .

Bài 12. Cho $a$ , $b$ , $c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\left( \frac{a}{a + b} \right)^{2} + \left( \frac{b}{b + c} \right)^{2} + \left( \frac{c}{c + a} \right)^{2} \geq \frac{3}{4}$

Bài 13. Cho $a$ , $b$ , $c$ là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:

$P = \left( \frac{a}{a + b} \right)^{4} + \left( \frac{b}{b + c} \right)^{4} + \left( \frac{c}{c + a} \right)^{4}$

Bài 14. Cho $a$ , $b$ , $c$ là các số thực dương và thỏa mãn $a + b + c = 1$ . Chứng minh rằng: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{21}{1 + 36abc}$ .

Bài 15. Cho $a$ , $b$ , $c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a\sqrt{3a + 2b}} + \frac{1}{b\sqrt{3b + 2c}} + \frac{1}{c\sqrt{3c + 2a}} \geq \frac{3}{\sqrt{5abc}}$ .

Bài 16. Cho $x,y$ là hai số thực thỏa mãn $x \geq 2$ và $x + y \geq 3$ . Tìm GTNN của biểu thức: $P = x^{2} + y^{2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x + y}.$

Bài 17. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c} + \frac{4b}{c + a} + \frac{9c}{a + b} > 4.$

Bài 18. Cho $a,b,c > 0$ . Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}.$

Bài 19. Cho $a,b,c > 0$ . Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq \frac{3(a^{2} + b^{2} + c^{2})}{a + b + c}.$

Bài 20. Cho $a,\ b,\ c > 0$ . Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{3}} + \frac{b^{2}}{c^{3}} + \frac{c^{2}}{a^{3}} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ .

Bài 21. Cho $a,\ b,\ c > 0$ . Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq ab + bc + ca$ .

Bài 22. Cho $a,\ b,\ c$ là các số thực dương thoả mãn $a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a = 3$ . Chứng minh rằng:

$\frac{ab + bc + ca}{2\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)} + \frac{1}{6}\left( \frac{a}{bc} + \frac{b}{ca} + \frac{c}{ab} \right) \geq \frac{a + b + c}{3}$ .

Bài 23. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x(x + y + z) = 3yz$ . Chứng minh rằng:

$(x + y)^{3} + (x + z)^{3} + 3(x + y)(y + z)(z + x) \leq 5(y + z)^{3}$ .

Bài 24. Cho $a,\ \ b,\ \ c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{2a}{a + b}} + \sqrt{\frac{2b}{b + c}} + \sqrt{\frac{2c}{c + a}} \leq 3.$

II. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1:

Ta có $(x + y)xy = x^{2} + y^{2} - xy \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} - \frac{1}{x}.\frac{1}{y}$

Đặt $a = \frac{1}{x},b = \frac{1}{y} \Rightarrow a + b = a^{2} - ab + b^{2}$

Khi đó: $A = a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = (a + b)^{2}$ .

$a + b = a^{2} - ab + b^{2} \Leftrightarrow (a + b) = (a + b)^{2} - 3ab \geq (a + b)^{2} - \frac{3}{4}(a + b)^{2} = \frac{(a + b)^{2}}{4}.$

$\Leftrightarrow (a + b)^{2} - 4(a + b) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq (a + b) \leq 4 \Rightarrow A = (a + b)^{2} \leq 16$

Vậy $MaxA = 16 \Leftrightarrow a = b = 2 \Rightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Bài 2:

Ta có: $1 \geq x + y \geq 2\sqrt{xy} \Leftrightarrow 0 < xy \leq \frac{1}{4}.$

Từ đó: $P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\sqrt{1 + x^{2}y^{2}} \geq \frac{2}{\sqrt{xy}}.\sqrt{1 + x^{2}y^{2}} = 2\sqrt{\frac{1 + x^{2}y^{2}}{xy}} = 2\sqrt{\frac{1}{xy} + xy}$

Đặt: $t = xy\left( 0 < t \leq \frac{1}{4} \right) \Rightarrow P \geq 2\sqrt{t + \frac{1}{t}} = 2\sqrt{\left( t + \frac{1}{16t} \right) + \frac{15}{16t}} \geq 2.\frac{\sqrt{17}}{2} = \sqrt{17}.$

Vì: $\left( t + \frac{1}{16t} \right) + \frac{15}{16t} \geq 2\sqrt{\frac{1}{16}} + \frac{15}{4} = \frac{17}{4} \Rightarrow \sqrt{\left( t + \frac{1}{16t} \right) + \frac{15}{16t}} \geq \frac{\sqrt{17}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi: $t = \frac{1}{4} \Rightarrow x = y = \frac{1}{2}.$

Vậy $MinP = \sqrt{17} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}.$

Bài 3:

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại $x = y = 1$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} x + 1 \geq 2\sqrt{x} \\ y + 1 \geq 2\sqrt{y} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 3 \geq 2\left( \sqrt{x} + 1 \right) > 0 \\ y + 3 \geq 2\left( \sqrt{y} + 1 \right) > 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow (x + 3) + (y + 3) \geq 2\left\lbrack \left( \sqrt{x} + 1 \right) + \left( \sqrt{y} + 1 \right) \right\rbrack \geq 4\sqrt{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{y} + 1 \right)} \geq 8 \Leftrightarrow x + y \geq 2$

Từ đó: $P = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x} \geq \frac{(x + y)^{2}}{x + y} = x + y \geq 2$ . Vậy: $MinP = 2 \Leftrightarrow x = y = 1$ .

Bài 4:

Ta chứng minh rằng: $\sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}} \geq \sqrt{4 + \left( a^{2} + b^{2} \right)^{2}},\ \forall a,b$

Thật vậy, bình phương hai vế ta được:

$a^{4} + b^{4} + 2 + 2\sqrt{\left( 1 + a^{4} \right)\left( 1 + b^{4} \right)} \geq a^{4} + b^{4} + 2a^{2}b^{2} + 4$

$\Leftrightarrow \sqrt{\left( 1 + a^{4} \right)\left( 1 + b^{4} \right)} \geq a^{2}b^{2} + 1 \Leftrightarrow a^{4}b^{4} + a^{4} + b^{4} + 1 \geq a^{4}b^{4} + 2a^{2}b^{2} + 1$

$\Leftrightarrow \left( a^{2} - b^{2} \right)^{2} \geq 0,\forall a,b$

Mà $\frac{9}{4} = (1 + a)(1 + b) = ab + a + b + 1 \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} + a^{2} + \frac{1}{4} + b^{2} + \frac{1}{4} + 1 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$