Bài toán so sánh

Chuyên đề Căn bậc hai - Căn bậc ba gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Bài toán so sánh 5,0

A. So sánh biểu thức P với hằng số

Ví dụ: Cho biểu thức $M = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}};(x > 0)$ . So sánh biểu thức M với 2.

Hướng dẫn giải

Xét hiệu $M - 2 = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} - 2 = \frac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

Vì $x > 0 \Rightarrow \sqrt{x} > 0$ và $x - \sqrt{x} + 1 = \left( \sqrt{x} - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} > 0,\forall x > 0$

Vậy $\frac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} > 0 \Rightarrow M - 2 > 0 \Rightarrow M > 2;\forall x\mathbb{\in R}$

Ví dụ: Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2}{x - 4}$ và $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$ với $x > 0,x \neq 4$ .

a) Tính giá trị biểu thức B khi $x = 9$ .

b) Tìm các giá trị thực của x để $\frac{A}{B} < 1$ .

Hướng dẫn giải

a) Thay $x = 9$ vào biểu thức $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$ ta được: $B = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{9} + 2} = \frac{3}{5}$ .

b) Ta có:

$\frac{A}{B} = \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2}{x - 4} \right):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$

$= \left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)} \right\rbrack.\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}$

$= \frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right) + 2}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)}.\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}$

$= \frac{x + \sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)}.\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}$

$= \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x} - 2}.\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2}$

Theo bài ra ta có:

$\frac{A}{B} < 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} < 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} - 1 < 0$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} < 0$

$\Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{x} - 2} < 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} < 2 \Leftrightarrow x < 4$

Kết hợp với điều kiện

Vậy $0 < x < 4$ thì $\frac{A}{B} < 1$ .

Ví dụ: Cho biểu thức $C = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3}$ và $D = \frac{1}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x} - 3}$ với $x \geq 0,x \neq 1$ .

a) Tính giá trị biểu thức C khi $x = 4$ .

b) Tìm x để $\frac{C - 1}{D} \leq \frac{1}{2}$ .

Hướng dẫn giải

a) Thay $x = 4$ vào biểu thức $C = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3}$ ta được: $C = \frac{\sqrt{4} - 1}{\sqrt{4} + 3} = \frac{1}{5}$

b) Thu gọn biểu thức D:

$D = \frac{1}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x} - 3}$

$D = \frac{1}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} + 3 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}$

$D = \frac{\sqrt{x} - 1 + \sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 3 \right) - 4\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} + 3 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}$

$D = \frac{x - 1}{\left( \sqrt{x} + 3 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}$

$D = \frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)}{\left( \sqrt{x} + 3 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$

Xét biểu thức:

$\frac{C - 1}{D} = \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3} - 1 \right):\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$

$= \left( \frac{\sqrt{x} - 1 - \sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} \right).\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1}$

$= \frac{- 4}{\sqrt{x} + 1}$

Theo bài ra ta có:

$\frac{C - 1}{D} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{- 4}{\sqrt{x} + 1} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{- 4}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{2} \leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} - 7}{2\left( \sqrt{x} + 1 \right)} \leq 0$

Mà $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 1 \geq 1 \Rightarrow 2\left( \sqrt{x} + 1 \right) \geq 2$

$\Rightarrow \sqrt{x} - 7 \leq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \leq 7 \Rightarrow x \leq 49$

Kết hợp với điều kiện xác định $x \geq 0,x \neq 1$

Vậy $0 \leq x \leq 49,x \neq 1$ thì $\frac{C - 1}{D} \leq \frac{1}{2}$ .

B. So sánh P với P², P với |P|, P với $\sqrt{\mathbf{P}}$

1. So sánh P với $\sqrt{\mathbf{P}}$

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của P.

Bước 2: Xét hiệu $P^{2} - P = P(P - 1)$ .

Bước 3: Xét hiệu đó mang dấu “+” hay “-“.

Bước 4: Nếu “+” thì $P^{2} > P \Rightarrow P > \sqrt{P}$

Nếu “-” thì $P^{2} < P \Rightarrow P < \sqrt{P}$ .

Ví dụ: Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2};(x \geq 0)$ . So sánh biểu thức $A$ với $\sqrt{A}$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện tồn tại $\sqrt{A}$ là $\sqrt{A} \geq 0$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$ (Vì $\sqrt{x} + 2 > 0,\forall x > 0$ )

Xét hiệu: $A^{2} - A = A(A - 1)$

Vì $A \geq 0$ nên ta xét

$A - 1 = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} - 1 = \frac{\sqrt{x} - 1 - \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} = \frac{- 3}{\sqrt{x} + 2}$

Vì $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} + 2 > 0,\forall x > 0 \\ - 3 < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A - 1 < 0$

Ta được: $A(A - 1) < 0 \Leftrightarrow A^{2} < A \Leftrightarrow A < \sqrt{A}$

Vậy $A < \sqrt{A}$ khi $x \geq 0$ .

2. So sánh P với P²

Bước 1: Xét hiệu $P - P^{2} = P(1 - P)$ .

Bước 2: Xét hiệu đó mang dấu “+” hay “-“.

Bước 3: Nếu “+” thì $P > P^{2}$

Nếu “-” thì $P < P^{2}$ .

Ví dụ: Cho biểu thức $B = \frac{2\sqrt{x} + 5}{2\sqrt{x} + 2};(x \geq 0)$ . So sánh biểu thức $B$ với $B^{2}$ .

Hướng dẫn giải

Xét hiệu $B - B^{2} = B(1 - B)$

Vì $x \geq 0 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2\sqrt{x} + 5 > 0 \\ 2\sqrt{x} + 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B > 0$

Xét hiệu $1 - B = 1 - \frac{2\sqrt{x} + 5}{2\sqrt{x} + 2} = \frac{- 3}{2\sqrt{x} + 2}$

Do $\left\{ \begin{matrix} 2\sqrt{x} + 2 > 0;\forall x\mathbb{\in R} \\ - 3 < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow 1 - B < 0$

Ta được: $B(1 - B) < 0 \Rightarrow B < B^{2}$ .

3. So sánh P với |P|

Bước 1: Xét dấu biểu thức P mang dấu “+” hay “-“.

Bước 2: Nếu “+” thì $P = |P|$

Nếu “-” thì $P < |P|$ .

Ví dụ: Cho biểu thức $C = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3};(x \geq 0)$ . So sánh $B$ và $|B|$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $x \geq 0 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} + 2 > 0 \\ \sqrt{x} + 3 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B > 0 \Rightarrow B = |B|$ .

Ví dụ: Cho biểu thức $M = \left( \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} \right)$ và $N = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ với $x > 0;x \neq 1$ . Tìm giá trị x để $|M.N + 1| < M.N + 1$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$M.N = \left( \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} \right).\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

$= \left\lbrack \frac{\sqrt{x} + 2}{\left( \sqrt{x} + 1 \right)^{2}} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)} \right\rbrack.\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

$= \frac{\left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right) - \left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)}{\left( \sqrt{x} + 1 \right)^{2}\left( \sqrt{x} - 1 \right)}.\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

$= \frac{2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} + 1 \right)^{2}\left( \sqrt{x} - 1 \right)}.\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

$= \frac{2}{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} = \frac{2}{x - 1}$

Ta có:

$|M.N + 1| < M.N + 1 \Rightarrow M.N + 1 < 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{x - 1} + 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{x + 1}{x - 1} < 0$

$\Rightarrow x - 1 < 0$ (vì $x + 1 > 0$ ) $\Leftrightarrow x < 1$

Kết hợp với điều kiện xác định suy ra $0 < x < 1$ .

Vậy $0 < x < 1$ thì $|M.N + 1| < M.N + 1$ .

C. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Cho biểu thức $N = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}};(x > 0)$ . So sánh biểu thức N với 1.

Bài 2: Cho biểu thức $A = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{x\sqrt{x} + 1}{x - 1}$ và $B = \frac{x}{\sqrt{x} - 1}$ với $x \geq 0,x \neq 1$ .

a) Tính giá trị của B khi $x = 4$ .

b) Tìm các giá trị của x để $\frac{A}{B} < - 1$ .

Bài 3: Cho biểu thức $K = \frac{x + 2}{x\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức K.

b) Tính giá trị của K khi $x = \frac{2}{9 + 4\sqrt{2}}$ .

c) Chứng minh rằng $K < \frac{1}{3}$ .

Bài 4: Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}$ và $B = \frac{x}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ với $x > 0,x \neq 2$ .

a) Rút gọn biểu thức B và tính $H = \frac{A}{B}$ .

b) Tìm x để $B = |B|$ .

Bài 5: Cho biểu thức $C = \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x}}$ và $D = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 5} - \frac{3\sqrt{x}}{x - 25}$ với $x > 0,x \neq 25$ . Biết $P = C.D$ hãy so sánh $P$ và $P^{2}$ .

Bài 6: Cho biểu thức $E = \frac{1 - 5\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$ và $F = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{x - 9} \right).\left( \frac{\sqrt{x} - 2}{3} + 1 \right)$ với $x \geq 0,x \neq 9$ . Biết $Q = E.F$ hãy so sánh $Q$ và $\sqrt{Q}$ .