Căn bậc ba Toán 9

Chuyên đề Căn bậc hai - Căn bậc ba gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Căn bậc ba Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

$\sqrt[3]{a^{3}} = a$	$\left( \sqrt[3]{a} \right)^{3} = a$
$\sqrt[3]{AB} = \sqrt[3]{A}.\sqrt[3]{B}$
$A < B \Leftrightarrow \sqrt[3]{A} < \sqrt[3]{B}$	$\sqrt[3]{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt[3]{A}}{\sqrt[3]{B}};(B \neq 0)$
$(a - b)^{3} = a^{2} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}$	$(a + b)^{3} = a^{2} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$
$a^{3} + b^{3} = (a + b)\left( a^{2} - ab + b^{2} \right)$	$a^{3} - b^{3} = (a - b)\left( a^{2} + ab + b^{2} \right)$

Ví dụ: Tính

a) $\sqrt[3]{- 729}$	b) $\sqrt[3]{1,331}$
c) $\sqrt[3]{0,216}$	e) $\sqrt[3]{- 343}$
f) $\sqrt[3]{0,027}$	d) $\sqrt[3]{- 0,008}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{- 729} = \sqrt[3]{( - 9)^{3}} = - 9$ .

b) $\sqrt[3]{1,331} = \sqrt[3]{(1,1)^{3}} = 1,1$ .

c) $\sqrt[3]{0,216} = \sqrt[3]{(0,6)^{3}} = 0,6$ .

d) $\sqrt[3]{- 0,008} = \sqrt[3]{( - 0,2)^{3}} = - 0,2$ .

e) $\sqrt[3]{- 343} = \sqrt[3]{( - 7)^{3}} = - 7$ .

f) $\sqrt[3]{0,027} = \sqrt[3]{(0,3)^{3}} = 0,3$ .

Ví dụ: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\sqrt[3]{- 64} + \sqrt[3]{216} - \sqrt[3]{64}$	b) $\sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{343} - \sqrt[3]{125}$
c) $3.\sqrt[3]{\frac{- 64}{27}} - 5\sqrt[3]{\frac{8}{125}} + 3.\sqrt[3]{\frac{1}{27}}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{- 64} + \sqrt[3]{216} - \sqrt[3]{64}$

$= \sqrt[3]{( - 4)^{3}} + \sqrt[3]{6^{3}} - \sqrt[3]{4^{3}}$

$= - 4 + 6 - 4 = - 2$

b) $\sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{343} - \sqrt[3]{125}$

$= \sqrt[3]{3^{3}} + \sqrt[3]{7^{3}} - \sqrt[3]{5^{3}}$

$= 3 + 7 - 5 = 5$ .

c) $3.\sqrt[3]{\frac{- 64}{27}} - 5\sqrt[3]{\frac{8}{125}} + 3.\sqrt[3]{\frac{1}{27}}$

$= 3.\sqrt[3]{\left( - \frac{4}{3} \right)^{3}} - 5\sqrt[3]{\left( \frac{2}{5} \right)^{3}} + 3.\sqrt[3]{\left( \frac{1}{3} \right)^{3}}$

$= 3.\left( - \frac{4}{3} \right) - 5.\left( \frac{2}{5} \right) + 3.\left( \frac{1}{3} \right)$

$= - 4 - 2 + 1 = - 5$ .

Ví dụ: Thực hiện so sánh các biểu thức sau:

a) $7\sqrt[3]{6}$ và $6\sqrt[3]{7}$	b) $5\sqrt[3]{3}$ và $\sqrt[3]{45}$
c) $21$ và $3.\sqrt[3]{213}$

Hướng dẫn giải

a) $7\sqrt[3]{6}$ và $6\sqrt[3]{7}$

Vì $\left\{ \begin{matrix} 7\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{343.6} = \sqrt[3]{2058} \\ 6\sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{216.7} = \sqrt[3]{1512} \\ \end{matrix} \right.$

Mà $2058 > 1512 \Rightarrow \sqrt[3]{2058} > \sqrt[3]{1512}$

$\Rightarrow 7\sqrt[3]{6} > 6\sqrt[3]{7}$ .

b) $5\sqrt[3]{3}$ và $\sqrt[3]{45}$

Vì $5\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{125.3} = \sqrt[3]{375}$

Mà $375 > 45 \Rightarrow 5\sqrt[3]{3} > \sqrt[3]{45}$ .

c) $21$ và $3.\sqrt[3]{213}$

Vì $\left\{ \begin{matrix} 21 = \sqrt[3]{9261} \\ 3.\sqrt[3]{213} = \sqrt[3]{27.213} = \sqrt[3]{5751} \\ \end{matrix} \right.$

Mà $9261 > 5751 \Rightarrow \sqrt[3]{9261} > \sqrt[3]{5751}$

$\Rightarrow 21 > 3\sqrt[3]{213}$ .

$\sqrt[3]{A} = B \Leftrightarrow A = B^{3}$

Ví dụ: Tìm nghiệm của các phương trình sau:

a) $\sqrt[3]{x - 2} = \frac{6}{5}$	b) $\sqrt[3]{2x + 1} = 2$
c) $\sqrt[3]{x - 2} + 2 = x$	d) $\sqrt[3]{1 - 3x} = - 4$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{x - 2} = \frac{6}{5}$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt[3]{x - 2} \right)^{3} = \left( \frac{6}{5} \right)^{3}$

$\Leftrightarrow x - 2 = 1,728$

$\Leftrightarrow x = 3,728$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3,728$ .

b) $\sqrt[3]{2x + 1} = 2$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt[3]{2x + 1} \right)^{3} = 2^{3}$

$\Leftrightarrow 2x + 1 = 8 \Leftrightarrow x = \frac{7}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{7}{2}$ .

c) $\sqrt[3]{x - 2} + 2 = x$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x - 2} = x - 2$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt[3]{x - 2} \right)^{3} = (x - 2)^{3}$

$\Leftrightarrow x - 2 = (x - 2)^{3}$

$\Leftrightarrow (x - 2)\left( 1 - x^{2} - x - 1 \right) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)\left( - x^{2} - x \right) = 0$

$\Leftrightarrow - x(x - 2)(x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - x = 0 \\ x - 2 = 0 \\ x + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = - 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm $x = 2;x = - 1;x = 0$ .

d) $\sqrt[3]{1 - 3x} = - 4$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt[3]{1 - 3x} \right)^{3} = ( - 4)^{3}$

$\Leftrightarrow 1 - 3x = - 64 \Leftrightarrow x = \frac{65}{3}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{65}{3}$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Tính

a) $\sqrt[3]{- 0,512}$

b) $\sqrt[3]{0,064}$

c) $\sqrt[3]{125}$

d) $\sqrt[3]{- 512}$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt[3]{x} = 2,5$	b) $\sqrt[3]{x^{3} + 6x^{2}} = x + 6$
c) $\sqrt[3]{x - 2} + \sqrt[3]{x - 1} = 3$	d) $\sqrt[3]{13 - x} + \sqrt[3]{x + 22} = 5$
e) $\sqrt[3]{x + 1} = \sqrt{x - 3}$