Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A^2 = |A|

Chuyên đề Căn bậc hai - Căn bậc ba gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A^2 = |A| 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

$\sqrt{A^{2}} = \|A\| = \left\{ \begin{matrix} A\ \ \ \ \ khi\ A \geq 0 \\ - A\ \ \ khi\ A < 0 \\ \end{matrix} \right.$	$A^{2} = B^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} A = B \\ A = - B \\ \end{matrix} \right.$
$\sqrt{A} = \sqrt{B} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} A \geq 0 \\ B \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \ \\ A = B \\ \end{matrix} \right.$	$\sqrt{A} = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \ B \geq 0\ \\ A = B^{2} \\ \end{matrix} \right.$
$\left\| \sqrt{A} \right\| = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \ B \geq 0\ \\ \left\lbrack \begin{matrix} A = B \\ A = - B \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.$	$\sqrt{A} + \sqrt{B} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 0 \\ B = 0 \\ \end{matrix} \right.$
$\|A\| = \|B\| \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} A = B \\ A = - B \\ \end{matrix} \right.$	$\|A\| + \|B\| = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 0 \\ B = 0 \\ \end{matrix} \right.$

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{9x^{2}} - 2x$ với $x < 0$	b) $\sqrt{25x^{2}} + 3x$ với $x \geq 0$
c) $\sqrt{x - 4\sqrt{x - 4}}$ với $x \geq 4$	d) $\sqrt{x - 2\sqrt{x} + + 1} + \sqrt{x + 2\sqrt{x} + 1}$ với $0 \leq x \leq 1$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{9x^{2}} - 2x$ với $x < 0$

$\sqrt{9x^{2}} - 2x = |3x| - 2x = - 3x - 2x = - 5x$

b) $\sqrt{25x^{2}} + 3x$ với $x \geq 0$

$\sqrt{25x^{2}} + 3x = |5x| + 3x = 5x + 3x = 8x$

c) $\sqrt{x - 4\sqrt{x - 4}}$ với $x \geq 4$

$\sqrt{x - 4\sqrt{x - 4}} = \sqrt{x - 4 - 4\sqrt{x - 4} + 4}$

$= \sqrt{\left( \sqrt{x - 4} - 2 \right)^{2}} = \left| \sqrt{x - 4} - 2 \right| = \sqrt{x - 4} - 2$

d) $\sqrt{x - 2\sqrt{x} + + 1} + \sqrt{x + 2\sqrt{x} + 1}$ với $0 \leq x \leq 1$

$\sqrt{x - 2\sqrt{x} + + 1} + \sqrt{x + 2\sqrt{x} + 1}$

$= \sqrt{\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{x} + 1 \right)^{2}}$

$= \left| \sqrt{x} - 1 \right| + \left| \sqrt{x} + 1 \right|$

$= 1 - \sqrt{x} + \sqrt{x} + 1 = 2$

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{x^{2} + 4x + 4} - \sqrt{x^{2}}$ với $- 2 \leq x \leq 0$

b) $|x - 2| + \frac{\sqrt{x^{2} - 4x + 4}}{x - 2}$ với $x < 2$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{x^{2} + 4x + 4} - \sqrt{x^{2}}$ với $- 2 \leq x \leq 0$

$\sqrt{x^{2} + 4x + 4} - \sqrt{x^{2}} = \sqrt{(x + 2)^{2}} - |x|$

$= |x + 2| - |x| = x + 2 - x = 2$

b) $|x - 2| + \frac{\sqrt{x^{2} - 4x + 4}}{x - 2}$ với $x < 2$

$|x - 2| + \frac{\sqrt{x^{2} - 4x + 4}}{x - 2}$

$= - (x - 2) + \frac{\sqrt{(x - 2)^{2}}}{x - 2}$

$= 2 - x + \frac{|x - 2|}{x - 2} = 2 - x + \frac{2 - x}{x - 2} = 2 - x - 1 = 1 - x$

Dạng phương trình $\sqrt{\mathbf{A}}\mathbf{= B\Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix}\mathbf{\ }\mathbf{B }\geq\mathbf{0\ } \\\mathbf{A }=\mathbf{B}^{\mathbf{2}} \\\end{matrix} \right.$

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{1 - 12x + 36x^{2}} = 5$	b) $\sqrt{4 - 5x} = 12$
c) $\sqrt{4x^{2} - 2x + 25} + x = 3$	d) $\sqrt{x^{2} - 4x + 3} = x - 1$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{1 - 12x + 36x^{2}} = 5$

Điều kiện xác định $1 - 12x + 36x^{2} \geq 0$

$\Leftrightarrow 1 - 12x + 36x^{2} = 5^{2}$

$\Leftrightarrow 3x^{2} - x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(3x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 = 0 \\ 3x + 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 1 \\x = - \dfrac{2}{3} \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 1;x = - \frac{2}{3}$ .

b) $\sqrt{4 - 5x} = 12$

Điều kiện xác định $x \leq \frac{4}{5}$

$\Leftrightarrow 4 - 5x = 12^{2} \Leftrightarrow - 5x = 140 \Leftrightarrow x = - 28(tm)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = - 28$ .

c) $\sqrt{4x^{2} - 2x + 25} + x = 3$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 - x \geq 0 \\ 4x^{2} - 2x + 25 = (3 - x)^{2} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 3 \\ 3x^{2} - 14x + 16 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 3 \\ (x - 2)(3x - 8) = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \leq 3 \\\left\lbrack \begin{matrix}x = 2 \\x = \dfrac{8}{3} \\\end{matrix} \right.\ \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2;x = \frac{8}{3}$ .

d) $\sqrt{x^{2} - 4x + 3} = x - 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 \geq 0 \\ x^{2} - 4x + 3 = (x - 1)^{2} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ - 2x = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x = 1(tm) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 1$ .

Dạng phương trình $\sqrt{\mathbf{A}}\mathbf{}=\sqrt{\mathbf{B}}\mathbf{}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\left\lbrack \begin{matrix}\mathbf{A}\mathbf{}\geq\mathbf{0} \\\mathbf{B }\geq\mathbf{0} \\\end{matrix} \right.\ \mathbf{\ } \\\mathbf{A = B} \\\end{matrix} \right.$

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x + 5} = \sqrt{2 - x}$	b) $\sqrt{x^{2} - x} = \sqrt{3 - x}$
c) $\sqrt{4 - 3x} = \sqrt{2x + 1}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{2x + 5} = \sqrt{2 - x}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - x \geq 0 \\ 2x + 5 = 2 - x \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x = - 1(tm) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = - 1$ .

b) $\sqrt{x^{2} - x} = \sqrt{3 - x}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 - x \geq 0 \\ x^{2} - x = 3 - x \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 3 \\ x^{2} = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 3 \\ x = \pm \sqrt{3}(tm) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \pm \sqrt{3}$ .

c) $\sqrt{4 - 3x} = \sqrt{2x + 1}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x + 1 \geq 0 \\4 - 3x = 2x + 1 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq - \dfrac{1}{2} \\x = \dfrac{3}{5}(tm) \\\end{matrix} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{3}{5}$ .

Dạng phương trình

$\left| A \right| = \left| B \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} A = B \hfill \\ A = - B \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\sqrt A + \sqrt B = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} A = 0 \hfill \\ B = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) $\|x + 1\| = \|3x + 1\|$	b) $\sqrt{x^{2} - 4} + \sqrt{x^{2} - 4x + 4} = 0$
c) $\left\| x^{2} - 1 \right\| = \left\| x - \sqrt{2} \right\|$	d) $\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{x - 1} = 0$

Hướng dẫn giải

a) $|x + 1| = |3x + 1|$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x + 1 = 3x + 1 \\x + 1 = - (3x + 1) \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 0;x = - \frac{1}{2}$ .

b) $\sqrt{x^{2} - 4} + \sqrt{x^{2} - 4x + 4} = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 4 = 0 \\ x^{2} - 4x + 4 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 2)(x + 2) = 0 \\ (x - 2)^{2} = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x - 2 = 0 \\ x + 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ x - 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = 2$

Vậy $x = 2$ là nghiệm của phương trình đã cho.

c) $\left| x^{2} - 1 \right| = \left| x - \sqrt{2} \right|$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = x - \sqrt{2} \\ x^{2} - 1 = - \left( x - \sqrt{2} \right) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - x - 1 + \sqrt{2} = 0 \\ x^{2} + x - 1 - \sqrt{2} = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left( x - \sqrt{2} \right)\left( x - 1 + \sqrt{2} \right) = 0 \\ \left( x - \sqrt{2} \right)\left( x + 1 + \sqrt{2} \right) = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x - \sqrt{2} = 0 \\ x - 1 + \sqrt{2} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\lbrack \begin{matrix} x - \sqrt{2} = 0 \\ x + 1 + \sqrt{2} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x = \sqrt{2} \\ x = 1 - \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = \sqrt{2} \\ x = - 1 - \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \sqrt{2} \\ x = 1 - \sqrt{2} \\ x = - 1 - \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy phương trình có ba nghiệm.

d) $\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{x - 1} = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - x^{2} = 0 \\ x - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (1 - x)(1 + x) = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} 1 - x = 0 \\ 1 + x = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ x = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \\ x = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = 1$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 1$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^{2} + 3x} = 2$	b) $\sqrt{x^{2} + x + \frac{1}{4}} = x$
c) $\sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 2$	d) $\sqrt{x + 2} = x + 2$
e) $\sqrt{x^{2} - 6x + 9} = \sqrt{4x^{2} - 12x + 9}$	f) $\sqrt{x^{2} - 10x + 25} + \|x + 3\| = 0$
g) $\sqrt{1 - 4x^{2}} + \sqrt{2x + 1} = 0$	h) $\sqrt{4x^{2} - 12x + 9} = \sqrt{9x^{2} - 24x + 16}$
i) $\sqrt{9x^{2} + 6x + 1} = \sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$	k) $\sqrt{x^{4} - 8x^{2} + 16} = 2 - x$

Bài 2: Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab + bc + ca = 1$

a) Tính $P = a\sqrt{\frac{(1 + b)^{2}\left( 1 + c^{2} \right)}{1 + a^{2}}} + b\sqrt{\frac{(1 + a)^{2}\left( 1 + c^{2} \right)}{1 + b^{2}}} + c\sqrt{\frac{(1 + b)^{2}\left( 1 + a^{2} \right)}{1 + c^{2}}}$ .

b) Chứng minh rằng:

$\frac{a}{1 + a^{2}} + \frac{b}{1 + b^{2}} - \frac{c}{1 + c^{2}} = \frac{2ab}{\sqrt{\left( 1 + a^{2} \right)\left( 1 + b^{2} \right)\left( 1 + c^{2} \right)}}$

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

60.000đ

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ
Lớp: Ôn vào 10