Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp hệ số bất định

Chuyên đề Bất đẳng thức gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp hệ số bất định 5,0

1. Định nghĩa phương pháp hệ số bất định

- Phương pháp hệ số bất định hay thường vẫn gọi là phương pháp UCT (viết tắt của Undefined Coeffient Technique) là một trong những phương pháp được dùng rất nhiều khi chứng minh bất đẳng thức, được coi như bước đệm quan trọng trên con đường đi tìm lời giải tự nhiên, dễ tư duy.

2. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ. Cho $a,b,c > 0$ và $a + b + c = 3.$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} + \frac{2\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)}{3} \geq 5.$

Hướng dẫn giải

Ta dễ thấy điểm rơi đạt được tại $a = b = c = 1.$

Biến đổi biểu thức về dạng: $P = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{3}a^{2} \right) + \left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{2}{3}b^{2} \right) + \left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{3}c^{2} \right).$

Dựa trên giả thiết ta cần đánh giá $\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{3}x^{2} \geq mx + n\ \ (1),\ \ (0 < x < 3)$

Với điểm rơi tại $x = 1 \Rightarrow \frac{1}{1^{2}} + \frac{2}{3}.1^{1} = m.1 + n \Leftrightarrow m + n = \frac{5}{3} \Leftrightarrow n = \frac{5}{3} - m.$

Khi đó $(1) \Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{3}x^{2} \geq mx + \frac{5}{3} - m$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{3}x^{2} \geq m(x - 1) + \frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{3}x^{2} - \frac{5}{3} \geq m(x - 1)$

$\Leftrightarrow 3 + x^{2}\left( 2x^{2} - 5 \right) \geq 3mx^{2}(x - 1).$

$\Leftrightarrow 2x^{4} - 5x^{2} + 3 \geq 3mx(x - 1)$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 \right)\left( 2x^{2} - 3 \right) \geq 3mx^{2}(x - 1)$

$\Leftrightarrow (x - 1)\left\lbrack (x + 1)\left( 2x^{2} - 3 \right) - 3mx^{2} \right\rbrack \geq 0(2)$

Ta cần (2) luôn đúng tức là cần xuất hiện $(x - 1)^{2}$ nên ta thay $x = 1$ vào biểu thức ta được: $(1 + 1)\left( 2.1^{2} - 3 \right) - 3m.1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{- 2}{3}.$

Vậy ta cần chứng minh: $\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{3}x^{2} \geq - \frac{2}{3}x + \frac{7}{3}.$

Phân tích là như vậy còn ta cần trình bày lời giải gọn như sau:

Ta đi chứng minh: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{3}a^{2} \geq - \frac{2}{3}a + \frac{7}{3}\ \ \ (0 < a < 3).$

Thật vậy ta có: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{3}a^{2} \geq - \frac{2}{3}a + \frac{7}{3}\ \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{2a^{2} + 2a - 7}{3} \geq 0$ (đúng với $\forall a > 0$ ).

Tương tự ta có: $\frac{1}{b^{2}} + \frac{2}{3}b^{2} \geq - \frac{2}{3}b + \frac{7}{3},\ \ \ \ \frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{3}c^{2} \geq - \frac{2}{3}c + \frac{7}{3}.$

Vậy $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} + \frac{2\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)}{3} \geq - \frac{2}{3}(a + b + c) + 7 = 5.$

Ví dụ. Cho $a,b,c > 0$ và thỏa mãn $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3$ . Chứng minh rằng:

$4\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) + 5\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq 27$

Hướng dẫn giải

Ta dễ thấy điểm rơi đạt được tại $a = b = c = 1$

Viết lại biểu thức:

$P = \left( \frac{4}{a} + 5a^{2} \right) + \left( \frac{4}{b} + 5b^{2} \right) + \left( \frac{4}{c} + 5c^{2} \right)$

Ta cần đánh giá: $\frac{4}{x} + 5x^{2} \geq mx^{3} + n\ (1)$ , $\left( 0 < x < \sqrt[3]{3} \right)$ .

Với điểm rơi tại $x = 1 \Rightarrow m + n = 9 \Leftrightarrow n = 9 - m$

Ta có: (1) $\Leftrightarrow \frac{4}{x} + 5x^{2} \geq mx^{3} + 9 - m \Leftrightarrow \frac{4}{x} + 5x^{2} \geq m\left( x^{3} - 1 \right) + 9$

$\Leftrightarrow \frac{4}{x} + 5x^{2} - 9 \geq m\left( x^{3} - 1 \right) \Leftrightarrow \frac{5x^{3} - 9x + 4}{x} \geq m\left( x^{3} - 1 \right)$

$\Leftrightarrow (x - 1)\left\lbrack \frac{5x^{2} + 5x - 4}{x} - m\left( x^{2} + x + 1 \right) \right\rbrack \geq 0\ \ (2)$

Ví dụ. Cho $a,b,c > 0$ . Chứng minh: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}.$

Hướng dẫn giải

Trước tiên ta chia tử và mẫu cho $a + b + c > 0$ .

Ta được: $VT = \dfrac{\dfrac{a}{a + b +c}}{\dfrac{b + c}{a + b + c}} + \dfrac{\dfrac{b}{a + b + c}}{\dfrac{c + a}{a+ b + c}} + \dfrac{\dfrac{c}{a + b + c}}{\dfrac{a + b}{a + b +c}}$ .

Ta đặt: $x = \frac{3a}{a + b + c};$ $y = \frac{3b}{a + b + c}$ ; $z = \frac{3c}{a + b + c} \Rightarrow x + y + z = \frac{3(a + b + c)}{a + b + c} = 3.$

Lúc này $P = \dfrac{\dfrac{x}{3}}{\dfrac{y +z}{3}} + \dfrac{\dfrac{y}{3}}{\dfrac{z + x}{3}} +\dfrac{\dfrac{z}{3}}{\dfrac{x + y}{3}}$ $= \dfrac{x}{y + z} + \dfrac{y}{z + x}+ \dfrac{z}{x + y}$ .

Như vậy bài toán quy về: Cho $x,\ \ y,\ \ z > 0$ và thỏa mãn $x + y + z = 3$ .

Chứng minh rằng $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} \geq \frac{3}{2}$ .

Nhìn vào rõ ràng ta thấy có thêm ràng buộc: $x + y + z = 3$ .

Từ đó chúng ta hoàn toàn có thể chuẩn hóa: $a + b + c = 3$ .

Quy về chứng minh: $\frac{a}{3 - a} + \frac{b}{3 - b} + \frac{c}{3 - c} \geq \frac{3}{2}$ .

Dùng phương pháp hệ số bất định để chứng minh như sau:

Ta dễ thấy điểm rơi đạt được tại $a = b = c = 1.$

Ta cần đánh giá: $\frac{a}{3 - a} \geq ma + n,\ \ (0 < a < 3)$

Với điểm rơi tại $a = 1 \Rightarrow m + n = \frac{1}{2} \Leftrightarrow n = \frac{1}{2} - m$ .

Khi đó:

$\frac{a}{3 - a} \geq m(a - 1) + \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{3 - a} - \frac{1}{2} \geq m(a - 1)$

$\Leftrightarrow (a - 1)\left\lbrack \frac{3}{2(3 - a)} - m \right\rbrack \geq 0$ .

$\Rightarrow m = \frac{3}{2(3 - 1)} = \frac{3}{4} \Rightarrow n = \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = - \frac{1}{4}$ .

Biến đổi biểu thức đưa về:

$\frac{a}{3 - a} \geq \frac{3}{4}a - \frac{1}{4},(0 < a < 3)$ $\Leftrightarrow \frac{3(a - 1)^{2}}{4(3 - a)} \geq 0,\forall 0 < a < 3$

Từ đó ta có:

$\frac{a}{3 - a} + \frac{b}{3- b} + \frac{c}{3 - c} \geq \frac{3}{4}(a + b + c) - \frac{3}{4}$ $=\frac{3}{4}.3 - \frac{3}{4} = \frac{3}{2}.$

Ví dụ. Cho $a,\ \ b,\ \ c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a(b + c)}{a^{2} + (b + c)^{2}} + \frac{b(c + a)}{b^{2} + (c + a)^{2}} + \frac{c(a + b)}{c^{2} + (a + b)^{2}} \leq \frac{6}{5}$

Hướng dẫn giải

Vế trái có tính thuần nhất theo $3$ biến $a,\ \ b$ và $c$ nên ta có thể chuẩn hóa: $a + b + c = 3$ .

Ta đưa về dạng: $\frac{a(3 - a)}{a^{2} + (3 - a)^{2}} + \frac{b(3 - b)}{b^{2} + (3 - b)^{2}} + \frac{c(3 - c)}{c^{2} + (3 - c)^{2}} \leq \frac{6}{5}$ .

Ta đi tìm $m$ và $n$ sao cho: $\frac{a(3 - a)}{a^{2} + (3 - a)} \leq ma + n$ , (luôn đúng với $0 < a < 3$ ).

$\Leftrightarrow \frac{3a - a^{2}}{2a^{2} - 6a + 9} - \frac{2}{5} \leq m(a - 1)$

$\Leftrightarrow m(a - 1) \geq \frac{- 9a^{2} + 27a - 18}{5\left( 2a^{2} - 6a + 9 \right)} = \frac{- 9(a - 1)(a - 2)}{5\left( 2a^{2} - 6a + 9 \right)}$

$\Leftrightarrow (a - 1)\left( m + \frac{9(a - 2)}{5\left( 2a^{2} - 6a + 9 \right)} \right) \geq 0$ , (luôn đúng với $0 < a < 3$ ).

$\Rightarrow m = \frac{9(2 - 1)}{5(2 - 6 + 9)} = \frac{9}{25}$ (do $a = 1$ ) và $n = \frac{2}{5} - \frac{9}{25} = \frac{1}{25}$ .

Ta cần chứng minh: $\frac{a(3 - a)}{a^{2} + (3 - a)^{2}} \leq \frac{9}{25}a + \frac{1}{25}(0 < a < 3)$ .

Thật vậy:

$\frac{a(3 - a)}{a^{2} + (3 - a)^{2}} \leq \frac{9}{25}a + \frac{1}{25} \Leftrightarrow (a - 1)^{2}(2a + 1) \geq 0$ , (luôn đúng với $0 < a < 3$ ).

Vậy $\frac{a(b + c)}{a^{2} + (b + c)^{2}} + \frac{b(c + a)}{b^{2} + (c + a)^{2}} + \frac{c(a + b)}{c^{2} + (a + b)^{2}} \leq \frac{6}{5}$ .

Ta cần (2) luôn đúng tức là cần xuất hiện $(x - 1)^{2}$ nên ta cần thay $x = 1$ vào biểu thức trong ngoặc được:

$x = 1 \Rightarrow \frac{5x^{2} + 5x - 4}{x} - m\left( x^{2} + x + 1 \right) = 6 - 3m = 0 \Leftrightarrow m = 2 \Rightarrow n = 7$

Ta đi chứng minh $\frac{4}{a} + 5a^{2} \geq 2a^{3} + 7$ ; $\left( 0 < x < \sqrt[3]{3} \right)$

$\Leftrightarrow 2a^{4} - 5a^{3} + 7a - 4 \leq 0$ $\left( \forall\ 0 < a < \sqrt[3]{3} \right)$

$\Leftrightarrow (a - 1)^{2}\left( 2a^{2} - a - 4 \right) \leq 0$

Vì $0 < a < \sqrt[3]{3} \Rightarrow 2a^{2} - a - 4 = a(2a - 1) - 4 < 0$

$\Rightarrow (a - 1)^{2}\left( 2a^{2} - a - 4 \right) \leq 0$ , $\left( \forall\ 0 < a < \sqrt[3]{3} \right)$

Vậy $4\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) + 5\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq 2\left( a^{3} + b^{3} + c^{3} \right) + 21 = 27$

Ví dụ. Cho $x,y,z > 0$ và $x + y + z = 0$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$A = \sqrt{x^{2} - xy + y^{2}} + \sqrt{y^{2} - yz + z^{2}} + \sqrt{z^{2} - zx + x^{2}}$

Hướng dẫn giải

Ta cần tìm $m,n > 0$ để: $x^{2} - xy + y^{2} = m(x + y)^{2} + n(x - y)^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} - xy + y^{2} = (m + n)x^{2} + 2(m - n)xy + (m + n)y^{2}$

Đồng nhất: $\left\{ \begin{matrix}m + n = 1 \\m - n = - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{1}{4} \\n = \dfrac{3}{4} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow x^{2} - xy + y^{2} = \frac{1}{4}(x + y)^{2} + \frac{3}{4}(x - y)^{2} \geq \frac{1}{4}(x + y)^{2}$

Vậy ta đánh giá được: $\sqrt{x^{2} - xy + y^{2}} \geq \frac{x + y}{2}.$

Tương tự ta có: $\sqrt{y^{2} - yz + z^{2}} \geq \frac{y + z}{2},$ $\sqrt{z^{2} - zx + x^{2}} \geq \frac{z + x}{2}.$

Từ đó: $A = \sqrt{x^{2} - xy + y^{2}} + \sqrt{y^{2} - yz + z^{2}} + \sqrt{z^{2} - zx + x^{2}} \geq x + y + z = 3.$

Vậy $MinA = 3 \Leftrightarrow x = y = z = 1.$

Tổng quát hơn ta cần đánh giá: $\sqrt{ax^{2} + bxy + cy^{2}} \geq mx + ny.$

Với điểm rơi đạt được tại: $x = y \Rightarrow m + n = \sqrt{a + b + c}.$

TH1: $mx + ny < 0$ thì bất đẳng thức luôn đúng.

TH2: $mx + ny \geq 0 \Rightarrow ax^{2} + bxy + cy^{2} \geq m^{2}x^{2} + 2mnxy + n^{2}y^{2}.$

$(a - m^{2})x^{2} + (b - 2mn)xy + (c - n^{2})y^{2} \geq 0.(*)$

Đề (*) luôn đúng với mọi $x,y$ thì trước hết ta cần:

$a - m^{2} = c - n^{2} \Leftrightarrow m^{2} - n^{2} = a - c.$

Vì điểm rơi tại $x = y \Rightarrow k(x - y)^{2} \geq 0,\forall k > 0.$

TH1: $a = c \Rightarrow m = n = \frac{\sqrt{2a + b}}{2}\ \ (1).$

TH2: $a \neq c \Rightarrow \left\{\begin{matrix}m + n = \sqrt{a + b + c} \\m - n = \dfrac{a - c}{\sqrt{a + b + c}} \\\end{matrix} \right.\ \ (2).$

Khi $a = c = 1 \Rightarrow m = n = \frac{\sqrt{2a + b}}{2}\ = \frac{\sqrt{2.1 - 1}}{2} = \frac{1}{2}.$

Vậy ta cần đi chứng minh: $\sqrt{x^{2} - xy + y^{2}} \geq \frac{1}{2}(x + y).$

Thật vậy $\sqrt{x^{2} - xy + y^{2}} \geq\frac{1}{2}(x + y)$

$\Leftrightarrow 4(x^{2} - xy + y^{2}) \geq (x +y)^{2}$

$\Leftrightarrow 3(x - y)^{2} \geq 0,\forall x,y.$

Từ đó ta có $A \geq \frac{1}{2}(x + y) + \frac{1}{2}(y + x) + \frac{1}{2}(x + x) = x + y + z = 3.$

Vậy $MinA = 3 \Leftrightarrow x = y = z = 1.$

3. Kỹ thuật chuẩn hóa bất đẳng thức

a) Bất đẳng thức thuần nhất

- Một bất đẳng thức được gọi là bất đẳng thức thuần nhất nếu nhân mỗi biến với một số $t > 0$ thì bất đẳng thức đó không đổi.

b) Bất đẳng thức đối xứng

- Một bất đẳng thức được gọi là bất đẳng thức đối xứng nếu hoán vị hai biến bất kì thì bất đẳng thức đó không đổi (vai trò của các biến như nhau).

4. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Cho $a,b,c > 0$ và thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ . Chứng minh rằng:

$2(a + b + c) + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9$ .

Bài 2: Cho $a,b,c > 0$ và thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ . Chứng minh rằng: $\frac{a}{b^{2} + c^{2}} + \frac{b}{c^{2} + a^{2}} + \frac{c}{a^{2} + b^{2}} \geq \frac{3}{2}$

Bài 3: Cho $x,y,z \geq 0$ và thỏa mãn $x + y + z = 3.$ Tìm GTNN của biểu thức:

$B = \sqrt{2x^{2} + 3xy + 2y^{2}} + \sqrt{2y^{2} + 3yz + 2z^{2}} + \sqrt{2z^{2} + 3zx + 2x^{2}}.$

Bài 4: Cho $a,b,c > 0$ và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3.$ Tìm GTLN của biểu thức:

$P = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - ab + b^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{b^{2} - bc + c^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{c^{2} - ca + a^{2}}}.$

Bài 5: Cho $a,b,c > 0$ và $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3.$ Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2} + 3ab + b^{2}}{\sqrt{6a^{2} + 8ab + 11b^{2}}} + \frac{b^{2} + 3bc + c^{2}}{\sqrt{6b^{2} + 8bc + 11c^{2}}} + \frac{c^{2} + 3ca + a^{2}}{\sqrt{6c^{2} + 8ca + 11a^{2}}} \leq 3.$

Bài 6: Cho $a,\ \ b,\ \ c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{(b + c + 2a)^{2}}{(b + c)^{2} + 2a^{2}} + \frac{(c + a + 2b)^{2}}{(c + a)^{2} + 2b^{2}} + \frac{(a + b + 2c)^{2}}{(a + b)^{2} + 2c^{2}} \leq 8$

Bài 7: Cho $x,\ \ y$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{x^{4} + y^{4}}{(x + y)^{4}} + \frac{\sqrt{xy}}{x + y} \geq \frac{5}{8}.$

Bài 8: Cho $x > y > 0.$ Tìm GTNN của biểu thức $A = 2x + \frac{1}{xy(x - y)}.$

Bài 9: Cho $0 \leq x \leq 1$ . Chứng minh rằng $x\left( 9\sqrt{1 + x^{2}} + 13\sqrt{1 - x^{2}} \right) \leq 16.$

Bài 10: Cho $a,b,c > 0$ và thỏa mãn $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 1.$ Tìm GTNN của biểu thức:

$P = \sqrt{2a^{2} + ab + 2b^{2}} + \sqrt{2b^{2} + bc + 2c^{2}} + \sqrt{2c^{2} + ca + 2a^{2}}.$

Bài 11: Cho $a,b,c \geq 0$ và thỏa mãn $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 3.$ Tìm GTNN của biểu thức:

$P = \sqrt{3a^{2} + 2ab + 3b^{2}} + \sqrt{3b^{2} + 2bc + 3c^{2}} + \sqrt{3c^{2} + 2ca + 3a^{2}}.$

Bài 12: Cho $a,b,c$ là các số thực dương và thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3.$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{2 - a} + \frac{1}{2 - b} + \frac{1}{2 - c} \geq 3.$

Bài 13: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 4. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + 8 > 9\left( \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \right).$

Bài 14: Cho $x,y,z$ là các số thực và thỏa mãn $x + y + z = 3.$ Tìm GTNN của biểu thức: $P = \sqrt{2 + x^{4}} + \sqrt{2 + y^{4}} + \sqrt{2 + z^{4}}.$

Bài 15: Cho các số thực a, b, c, d và thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} \leq 12.$ Tìm GTLN của biểu thức $M = 4\left( a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} \right) - \left( a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} \right).$

Bài 16: Cho $x,y,z$ là các số thực dương và thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq 1.$ Tìm GTNN của biểu thức: $P = \frac{1}{\sqrt{2}x + y + z} + \frac{1}{x + \sqrt{2}y + z} + \frac{1}{x + y + \sqrt{2}z}.$

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

120.000đ

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ