Cung chứa góc Toán 9

Chuyên đề Bài toán quỹ tích gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Cung chứa góc Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Quỹ tích cung chứa góc

- Với đoạn thẳng $AB$ và góc $\alpha;\left( 0^{0} < \alpha < 180^{0} \right)$ cho trước thì quỹ tích các điểm $M$ thỏa mãn $\widehat{AMB} = \alpha$ là hai cung chứa góc $\alpha$ dựng trên đoạn $AB$ .

Chú ý: Hai cung chứa góc $\alpha$ nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua $AB$ .

- Hai điểm $A;B$ được coi là thuộc quỹ tích.

Đặc biệt: Quỹ tích các điểm $M$ nhìn đoạn thẳng $AB$ cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính $AB$ .

2. Cách vẽ cung chứa góc $\alpha$

Để vẽ cung chứa góc $\alpha$ ta thực hiện như sau:

Cung chứa góc Toán 9

Bước 1: Vẽ đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB$ .

Bước 2: Vẽ tia $Ax$ tạo với $AB$ một góc $\alpha$ .

Bước 3: Vẽ đường thẳng $Ay$ vuông góc với $Ax$ . Gọi $O$ là giao điểm của $Ay$ với $d$ .

Bước 4: Vẽ cung $\widehat{AmB}$ , tâm $O$ bán kính $OA$ sao chi cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ $AB$ không chứa tia $Ax$ . Cung $\widehat{AmB}$ được vẽ như trên là một cung chứa góc $\alpha$ .

3. Cách giải bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm $M$ thỏa mãn tính chất $T$ là một hình $H$ nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất $T$ đều thuộc hình $H$ .

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình $H$ đều có tính chất $T$ .

Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm $M$ có tính chất $T$ là hình $H$ .

Dạng 1: Quỹ tích cung chứa góc $\alpha$

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm đoạn thẳng cố định và góc $\alpha$ tạo thành.

Bước 2: Khẳng định điểm phải tìm quỹ tích thuộc cung chứa góc $\alpha$ vẽ trên đoạn thẳng cố định.

Bước 3: Tìm giới hạn của quỹ tích điểm.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có $BC$ cố định và góc $\widehat{A} = 50^{0}$ . Giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác là điểm $D$ . Tìm quỹ tích điểm $D$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Cung chứa góc Toán 9

Phần thuận

Ta có: $\widehat{A} = 50^{0} \Rightarrow \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{0} - 50^{0} = 130^{0}$

$\Rightarrow \widehat{B_{1}} + \widehat{C_{1}} = \frac{130^{0}}{2} = 65^{0}$

$\Rightarrow \widehat{BDC} = 180^{0} - 65^{0} = 115^{0}$

Suy ra quỹ tích điểm $D$ là cung chứa góc $115^{0}$ nằm trên nửa mặt phẳng chứa điểm $A$ bờ là đường thẳng $BC$ dựng trên đoạn $BC$ (trừ hai điểm $B;C$ ).

Phần đảo

Lấy điểm $D$ bất kì nằm trên cung chứa góc $115^{0}$ dựng trên đoạn $BC$ (trừ hai điểm $B;C$ ).

Thật vậy $\widehat{BAC} = 180^{0} - \left( \widehat{B} + \widehat{C} \right) = 180^{0} - 2.\left( \widehat{B_{1}} + \widehat{C_{1}} \right)$

Xét tam giác $BDC$ ta có: $\widehat{B_{1}} + \widehat{C_{1}} = 180^{0} - 115^{0} = 65^{0}$

$\Rightarrow \widehat{BAC} = 180^{0} - 2.65^{0} = 50^{0}$

Kết luận: Quỹ tích của điểm $D$ là cung chứa góc $115^{0}$ thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa điểm $A$ bờ là đường thẳng $BC$ dựng trên đoạn thẳng $BC$ (trừ hai điểm $B;C$ ).

Ví dụ: Cho hình vuông $ABCD$ . Lấy điểm $E \in BC$ , trên tia đối của tia $CD$ lấy điểm $F$ sao cho $CE = CF$ . Gọi $M$ là giao điểm của hai đường thẳng $DE;BF$ . Tìm quỹ tích của điểm $M$ khi $E$ di động trên cạnh $BC$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Cung chứa góc Toán 9

Phần thuận

Xét tam giác $CBF$ và tam giác $CDE$ ta có:

$CF = CE(gt)$

$CB = CD$ (do $ABCD$ là hình vuông)

$\widehat{BCF} = \widehat{DCE} = 90^{0}$

Do đó $\Delta CBF = \Delta CDE(c - g - c)$

$\Rightarrow \widehat{CBF} = \widehat{CDE} \Rightarrow \widehat{CBF} + \widehat{BEM} = 90^{0}$ hay $\widehat{BMD} = 90^{0}$

Suy ra $M$ thuộc đường tròn đường kính $BD$ .

Mà $E \in BC$ nên quỹ tích điểm $M$ trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn đi qua bốn điểm $A;B;C;D$ .

Phần đảo

Lấy điểm $M$ bất kì thuộc cung nhỏ $BC$ của đường tròn đi qua bốn điểm $A;B;C;D$ .

Khi đó $\widehat{MDC} = \widehat{CBM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CM$ )

Ta phải chứng minh $CF = CE$

Thật vậy xét tam giác $CBF$ và tam giác $CDE$ ta có:

$CB = CD$ (do $ABCD$ là hình vuông)

$\widehat{BCF} = \widehat{DCE} = 90^{0}$

$\widehat{CDE} = \widehat{CBF}$ (chứng minh trên)

Do đó $\Delta CBF = \Delta CDE(g - c - g)$

$\Rightarrow CF = CE$

Kết luận: Quỹ tích điểm $M$ bất kì thuộc cung nhỏ $BC$ của đường tròn đi qua bốn điểm $A;B;C;D$ .

Ví dụ: Cho tam giác $ABC;\widehat{A} = 60^{0}$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Trên cung nhỏ $AC$ lấy một điểm $D$ . Trên dây $BD$ lấy điểm $M$ sao cho $DM = DC$ .

a) Chứng minh rằng tam giác $MDC$ là tam giác đều.

b) Tìm quỹ tích các điểm $M$ khi điểm $D$ di động trên cung nhỏ $AC$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Cung chứa góc Toán 9

Xét tam giác $MCD$ ta có:

$DM = DC$

$\widehat{CDM} = \widehat{CDB} = \widehat{CAB} = 60^{0}$

Do đó tam giác $MCD$ là tam giác đều.

Phần thuận

Ta có: $\widehat{BMC} = 180^{0} - \widehat{CMD} = 180^{0} - 60^{0} = 120^{0}$

Do $BC$ cố định, $\widehat{BMC} = 120^{0}$ nên $M$ di chuyển trên cung chứa góc $120^{0}$ dựng trên $BC$ .

Giới hạn

Vì $D$ chỉ chạy trên cung $AC$ nên $M$ chỉ chạy trên một cung chứa góc $120^{0}$ dựng trên $BC$ thuộc nửa mặt phẳng bờ $BC$ chứa điểm $A$ .

Ta chứng minh $DM = DC$

Thật vậy, xét tam giác $MCD$ ta có:

$\widehat{CDM} = \widehat{CAB} = 60^{0}$

$\widehat{CMD} = 180^{0} - \widehat{BMC} = 180^{0} - 120^{0} = 60^{0}$

Suy ra tam giác $MCD$ là tam giác đều.

Suy ra $DM = DC$ .

Kết luận: Quỹ tích các điểm $M$ khi điểm $D$ di động trên cung nhỏ $AC$ là một cung chứa góc $120^{0}$ dựng trên $BC$ thuộc nửa mặt phẳng bờ $BC$ chứa điểm $A$ .

Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn

Phương pháp giải

Chứng minh các điểm này cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ $AB$ và cùng nhìn $AB$ dưới một góc bằng nhau.

Ví dụ: Cho $I;O$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC;\widehat{A} = 60^{0}$ . Gọi $H$ là giao điểm của các đường cao $BB';CC'$ . Chứng minh các điểm $B;O;C;H;I$ cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Cung chứa góc Toán 9

Xét tứ giác $AB'HC'$ ta có:

$\widehat{B'HC'} = 360^{0} - \left( \widehat{A} + \widehat{B'} + \widehat{C'} \right)$

$= 360^{0} - \left( 60^{0} + 60^{0} + 90^{0} \right) = 120^{0}$

$\Rightarrow \widehat{BHC} = \widehat{B'HC'} = 120^{0}$

Xét tam giác $BIC$ ta có:

$\widehat{BIC} = 180^{0} - \left( \widehat{IBC} + \widehat{ICB} \right)$

$= 180^{0} - \left( \frac{\widehat{B}}{2} + \frac{\widehat{C}}{2} \right) = 180^{0} - \frac{1}{2}\left( 180^{0} - \widehat{A} \right) = 120^{0}$

Mặt khác $\Delta ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ nên góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ trong đường tròn $(O)$ có số đo là

$60^{0} = \widehat{BAC} = \frac{1}{2}sd\widehat{BC} = \frac{1}{2}\widehat{BOC}$

$\Rightarrow \widehat{BOC} = 120^{0}$

Từ đó suy ra $H;I$ đều nằm trên cung chứa góc $120^{0}$ dựng trên $BC$ . Vậy các điểm $B;O;C;H;I$ đều thuộc cùng một đường tròn.

Ví dụ: Cho $\Delta ABC$ có góc $B$ và góc $C$ nhọn. Kẻ đường cao $AH$ và đường trung tuyến $AM$ biết rằng $\widehat{BAH} = \widehat{MAC}$ . Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ . Chứng minh các điểm $A;M;H;E$ thuộc cùng một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Cung chứa góc Toán 9

Tam giác $ABC$ có $ME$ là đường trung bình nên $ME//AC$ .

$\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{AME}(1)$

Tam giác $AHB$ có $\widehat{AHB} = 90^{0};AE = EB$

$\Rightarrow AE = EH$

Do đó $\Delta AHE$ cân tại $E$

$\Rightarrow \widehat{EHA} = \widehat{EAH}(2)$

Từ (1) và (2) và $\widehat{EAH} = \widehat{MAC}$ suy ra $\widehat{AME} = \widehat{AHE}$

Do đó các điểm $A;M;H;E$ thuộc cùng một đường tròn.

Dạng 3: Dựng cung chứa góc

Ví dụ: Dựng tam giác $ABC$ biết $BC = 3cm;AB = 3,5cm;\widehat{A} = 50^{0}$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Cung chứa góc Toán 9

Phân tích

Giả sử dựng được $\Delta ABC$ thỏa mãn đề bài, ta thấy:

- Đoạn thẳng $BC = 3cm$ dựng được ngay.

- Điểm $A$ thỏa mãn hai điều kiện:

+ Điểm $A$ nằm trên cung chứa góc $50^{0}$ dựng trên đoạn thẳng $BC$ .

+ Điểm $A$ trên đường tròn $(B;3,5cm)$ .

Cách dựng

- Dựng đoạn thẳng $BC = 3cm$ .

- Dựng cung chứa góc $50^{0}$ trên đoạn $BC$ .

- Dựng đường tròn $(B;3,5cm)$ .

- Đường tròn $(B;3,5cm)$ cắt cung chứa góc tại $A$ .

- Nối $AB,AC$ ta được tam giác $ABC$ phải dựng.

Chứng minh

Vì $A$ thuộc cung chứa góc $50^{0}$ nên $BC = 3cm;\widehat{BAC} = 50^{0}$ ; $A \in (B;3,5cm)$

$\Rightarrow AB = 3,5cm$

Vậy $\Delta ABC$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Kết luận: Bài toán có hai nghiệm hình là $\Delta ABC$ và $\Delta A'BC$ .

Ví dụ: Dựng tam giác $ABC$ . Biết $BC = 4cm$ ; đường cao $BD = 3cm$ và đường cao $CE = 3,5cm$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Cung chứa góc Toán 9

Cách dựng

Dựng nửa đường tròn đường kính $BC = 4cm$ .

Dựng đường tròn $(B;3cm)$ và $(C;3,5cm)$ cắt nửa đường tròn đường kính $BC$ lần lượt tại $D;E$ .

Các đường thẳng $BE$ và $CD$ cắt nhau tại $A$ ta được tam giác $ABC$ là tam giác phải dựng.

Chứng minh

Ta có:

$BC = 4cm;D \in (B;3cm)$

$\Rightarrow BD = 3cm;\widehat{BDC} = 90^{0}$ hay $BD\bot CD$ .

Chứng minh tương tự $E \in (C;3,5cm) \Rightarrow CE = 3,5cm;EC\bot EB$

Ta lại có $BE \cap CD = A$

Vậy tam giác $ABC$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Kết luận: Bài toán có hai nghiệm hình là $\Delta ABC$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh $BC$ cố định. Gọi $I$ là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích $I$ khi điểm $A$ thay đổi.

Bài 2: Dựng cung chứa góc $60^{0}$ trên đoạn $AB = 4cm$ .

Bài 3: Dựng tam giác $ABC$ biết $BC = 6cm;\widehat{A} = 60^{0}$ và đường cao $AH = 4cm$ .

Bài 4: Cho trước điểm $A$ trên đường thẳng $d$ và hai điểm $C;D$ thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau, bờ $d$ . Hãy dựng một điểm $B$ trên $d$ sao cho $\widehat{ACB} = \widehat{ADB}$ .

Bài 5: Xét tam giác $ABC$ có $BC = 6cm$ cố định và $\widehat{A} = 120^{0}$ .

a) Tìm quỹ tích điểm $A$ .

b) Điểm $A$ ở vị trí nào thì tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.

Bài 6: Cho hình thang cân $ABCD;(AB//CD)$ . Chứng minh bốn điểm $A;B;C;D$ cùng thuộc đường tròn.

Bài 7: Cho tam giác $ABC;\widehat{A} = 60^{0}$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Trên cung nhỏ $AC$ lấy một điểm $D$ . Trên dây $BD$ , lấy điểm $M$ sao cho $DM = DC$ .

a) Chứng minh rằng tam giác $MDC$ là tam giác đều.

b) Tìm quỹ tích các điểm $M$ khi điểm $D$ di động trên cung nhỏ $AC$ .

Bài 8: Cho tam giác $ABC$ có các góc $B;C$ nhọn. Kẻ đường cao $AH$ và trung tuyến $AM$ thỏa mãn $\widehat{BAH} = \widehat{MAC}$ . Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ .

a) Tam giác $AEH$ là tam giác gì? Vì sao?