Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Toán 9

Chuyên đề Tiếp tuyến của đường tròn gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

2. Nếu khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Toán 9

Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Phương pháp giải

Để chứng minh một đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tiếp điểm là C ta làm như sau:

Cách 1: $OC\bot a;C \in (O)$

Cách 2: Vẽ $OH\bot a$ . Chứng minh $OC = OC = R$ .

Cách 3: Vẽ tiếp tuyến $a'$ của $(O)$ . Ta chứng minh $a \equiv a'$ .

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Vẽ hai đường tròn $(B;BA)$ và $(C;CA)$ cắt nhau tại $D;(D \neq A)$ . Chứng minh rằng $CD$ là tiếp tuyến của $(B)$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Toán 9

Xét tam giác $ABC$ và tam giác $DBC$ ta có:

$CA = CD$

$BA = BD$

Cạnh $BC$ chung

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta DBC$

$\Rightarrow \widehat{BDC} = \widehat{BAD} = 90^{0}$ hay $CD\bot BD$

Vậy $CD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B)$ .

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ và một dây $AB$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ . Vẽ bán kính $OI$ đi qua $M$ . Từ $I$ vẽ đường thẳng $xy//AB$ . Chứng minh rằng $xy$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Toán 9

Xét đường tròn $(O)$ , có $M$ là trung điểm của $AB$ và $OI$ đi qua điểm $M$ nên $OI\bot AB$ . Mà $xy//AB$ nên $xy\bot OI$

Vậy $xy$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ .

Ví dụ: Từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O;R)$ vẽ tiếp tuyến $AB$ ; ( $B$ là tiếp điểm), $C$ là điểm trên đường tròn $(O)$ sao cho $AC = AB$ .

a) Chứng minh rằng $AC$ là tiếp điểm của đường tròn $(O)$ .

b) $D$ là điểm trên $AC$ . Đường thẳng qua $C$ vuông góc với $DO$ tại $M$ cắt đường tròn $(O)$ tại $E;(E \neq C)$ . Chứng minh rằng $ED$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Toán 9

a) Xét $\Delta OAC$ và $\Delta OAB$ ta có:

$OC = OB = (R)$

$OA$ chung

$AC = AB(gt)$

$\Rightarrow \Delta OAC = \Delta OAB(c - c - c)$

$\Rightarrow OB = OC = 90^{0}$

Suy ra $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

b) $OD\bot EC(gt)$ suy ra $M$ là trung điểm của $EC$ (định lí đường kính vuông góc với dây cung)

$OD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $EC$

$\Rightarrow DE = DC \Rightarrow \widehat{OED} = \widehat{OCD} = 90^{0}$

(tính chất đối xứng trục)

Vậy $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ .

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ , hai đường cao $BF;CE$ cắt nhau tại $H$ .

a) Chứng minh rằng bốn điểm $A;D;H;E$ cùng nằm trên một đường tròn đường kính $AH$ .

b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Chứng minh rằng $MD$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AH$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Toán 9

a) Gọi $O$ là trung điểm của AH.

Xét tam giác ADH và tam giác AEH vuông tại D và E ta có:

$OD = OE = OH = \frac{1}{2}AH$

Suy ra bốn điểm $A;D;H;E$ cùng nằm trên một đường tròn đường kính $AH$ .

b) Tam giác $DBC$ vuông tại $D$ có $DM$ là đường trung tuyến nên $MB = MD = \frac{1}{2}BC$

Ta có: $\widehat{ODA} = \widehat{OAD}$ (tam giác OAD cân)

$\widehat{OAD} = \widehat{DBC}$ (cùng phụ với góc $\widehat{ACB}$ )

$\widehat{DBC} = \widehat{BDM}$ (vì tam giác MBD cân)

Do đó $\widehat{ODA} = \widehat{BDM}$

Ta có: $\widehat{OAD} + \widehat{ODB} = 90^{0}$

$\Rightarrow \widehat{BDM} + \widehat{ODB} = 90^{0}$

$\Rightarrow \widehat{ODM} = 90^{0} \Rightarrow MD\bot OD$

Vậy $MD$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AH$ .

Tương tự ta chứng minh được $ME$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AH$ .

Dạng 2: Tính độ dài của một đoạn tiếp tuyến

Phương pháp giải

Nối tâm với tiếp tuyến để vận dụng định lí về tính chất của tiếp tuyến và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Ví dụ: Cho đường tròn $(O;15)$ , dây $AB$ khác đường kính và $AB = 24$ . Qua điểm $O$ kẻ đường vuông góc với $AB$ ; cắt cát tuyến tại $A$ của đường tròn ở điểm $C$ . Gọi $H$ là giao điểm của $OC;AB$ . Tính độ dài cạnh $AH$ ?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Toán 9

Vì $OH\bot AB$ nên $H$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow AH = \frac{1}{2}AB = 12$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $OAH$ vuông tại H ta có:

$OA^{2} = AH^{2} + HO^{2}$

$\Leftrightarrow 15^{2} = 12^{2} + OH^{2} \Leftrightarrow OH = 9$

Vì $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $CA\bot OA$

Xét tam giác $OAC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ ta có:

$OA^{2} = OH.OC$

$\Leftrightarrow 15^{2} = 9.OC \Leftrightarrow OC = 25$

Vậy $CH = OC - OH = 25 - 9 = 16$ .

Ví dụ: Cho đường tròn $(O;R)$ , $A \in (O)$ . Vẽ dây $BC$ vuông góc với $OA$ tại trung điểm $M$ của $OA$ .

a) Tứ giác $OCAB$ là hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại $B$ , cắt đường thẳng $OA$ tại $E$ . Tính độ dài $BE$ theo bán kính $R$ ?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Toán 9

a) Theo giả thiết $M$ là trung điểm của $OA$

Vì $OA\bot BC \equiv M$ nên $M$ cũng là trung điểm của $BC$ .

Xét tứ giác $OCAB$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Suy ra $OCAB$ là hình bình hành.

Mặt khác $OA\bot BC \equiv M$

Vậy tứ giác $OCAB$ là hình thoi.

b) Vì $OCAB$ là hình thoi nên $OC = OB = AB = AC$

Suy ra $OC = OB = AB = R$

Do đó tam giác $OAB$ đều cạnh $R$ và $\widehat{AOB} = 60^{0}$

Vì $EB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $EB\bot OB$

Xét tam giác vuông $OBE$ có

$\tan\widehat{EOB} = \frac{EB}{OB}$

$EB = OB.\tan\widehat{EOB} = R.\tan60^{0} =R\sqrt{3}$

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho đường tròn $(O;R)$ , dây $AB$ không là đường kính. Qua $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ , cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn tại điểm $C$ . Chứng minh $CB$ là tiếp tuyến của đường tròn.

Bài 2: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ . Gọi $Ax;By$ là hai tia tiếp tuyến của $(O)$ ( $Ax;By$ cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $AB$ . Trên tia $Ax$ lấy điểm $C$ , trên tia $By$ lấy điểm $D$ sao cho $\widehat{COD} = 90^{0}$ . Chứng minh rằng $CD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ .

Bài 3: Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{BAD} = 60^{0};AB = 2cm$ . Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Dựng đường tròn tâm $O$ tiếp xúc với hai cạnh $AD;BC$ .

a) Tính bán kính của đường tròn.

b) Tính độ dài tiếp tuyến xuất phát từ $A$ đến đường tròn $(O)$ .

Bài 4: Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$ . Vẽ dây $AC$ sao cho $\widehat{CAB} = 30^{0}$ . Trên tia đối của $BA$ lấy điểm $M$ sao cho $BM = R$ . Chứng minh rằng:

a) $MC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ .

b) $MC^{2} = 3R^{2}$ .

Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm $O$ , đường kính $AB = 2R$ . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa nửa đường tròn, vẽ hai tiếp tuyến $Ax;By$ . Trên $Ax$ lấy điểm $C$ . Nối $C$ với $O$ , từ $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OC$ cắt tia $By$ ở $D$ .

a) Tứ giác $ABDC$ là hình gì?

b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $OCD$ tiếp xúc với đường thẳng $AB$ tại $O$ .

c) Chứng minh $CA.DB = R^{2}$ . Tính $CA.DB$ và $CD$ khi $\widehat{ACD} = 60^{0}$ .

Bài 6: Cho nửa đường tròn có đường kính $AB = 2R$ , một điểm $M$ di chuyển trên nửa đường tròn. Gọi $D;C$ theo thứ tự là các hình chiếu của $A;B$ trên tiếp tuyến tại $M$ của nửa đường tròn. Xác định vị trí của điểm $M$ để tứ giác $ABCD$ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ