Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó:
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó:
Tìm nguyên hàm
.
Ta có:
Giá trị của tích phân
bằng:
Ta có: .
Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:
=
= a – bi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ
và
là một vecto tùy ý khác
.
Tính ![]()
Đáp án: 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ
và
là một vecto tùy ý khác
.
Tính
Đáp án: 1
Giả sử .
Ta có
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho tổng khoảng cách từ
và
đến
lớn nhất, biết rằng
không cắt đoạn
. Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Kiểm tra : Mặt phẳng (P) có phương trình 2x − 2y − z − 1 = 0.
Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại .
Kiểm tra : Mặt phẳng (P) có phương trình x+ 2z −3 = 0.
Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B ∈ (P) nên loại .
Kiểm tra : Mặt phẳng (P) có phương trình −x + 2y − z + 2 = 0.
Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại .
Kiểm tra v: Mặt phẳng (P) có phương trình x − 2z + 1 = 0.
Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về cùng phía (P) nên chọn .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
, véc tơ nào trong các vectơ được cho dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
?
Ta có phương trình mặt phẳng nên có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Mặt khác cùng phương với
Do đó là một vectơ pháp tuyến của
.
Xét số phức z thỏa mãn:
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Giả sử: và
, thay vào đẳng thức ta có:
Do đó ta có:
Xác định hàm số f(x) biết rằng ![]()
Mà
Vậy hàm số cần tìm là
Số phức
bằng:
Ta có:
Kí hiệu
là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
?
Ta có:
Trong không gian
, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
?
Do điểm thuộc mặt phẳng nên điểm đó có tọa độ dạng
Suy ra điểm là đáp án cần tìm.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Tìm giá trị của tham số
để tam giác
vuông tại
?
Ta có: .
Tam giác MNP vuông tại N
Vậy đáp án cần tìm là .
Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.
Đáp án: 6750000 đồng.
Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.
Đáp án: 6750000 đồng.
Gọi phương trình parabol .
Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ( P) có đỉnh I ∈ Oy (như hình vẽ)
Ta có hệ phương trình:
Vậy
Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:
Số tiền phải trả là đồng.
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
. Môđun của số phức
có giá trị là
10
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Môđun của số phức
có giá trị là
10
Ta có:
Cho hàm số
liên tục trên
thỏa mãn
và
. Tính tích phân
?
Ta có: .
Ta có:
Đặt . Đổi cận
do đó:
Ta có:
Đặt . Đổi cận
do đó:
.
Vậy
Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Cho a, b, c là các số thực và
. Giá trị của
bằng:
Cách 1: Ta có
và
.
Ta có
Cách 2: Chọn .
Ta có
Thử lại các đáp án với ta thấy chỉ có đáp án
thỏa mãn.
Cho số phức z thoả mãn
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
bằng?
Đặt .
Từ giả thiết
(1).
Ta có
.
Dễ thấy P lớn nhất khi .
Khi đó
Do nên từ (1) ta có
.
Suy ra
Dấu = xảy ra khi
.
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Trong không gian
, tìm phương trình mặt phẳng
cắt ba trục
lần lượt tại ba điểm
?
Phương trình mặt phẳng :
Đặt
với
là tham số thực. Tìm giá trị của tham số
để
?
Ta có:
Do .
Cho số phức
. Tìm phần thực a và phần ảo b của z.
Ta có
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Mặt phẳng nào sau đây cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)?
Gọi (R) là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) thì
Do đó (R) có dạng .
Gọi .
Khi đó trung điểm M của đoạn AB nằm trên (R), tức .
Suy ra .
Vậy hay
.
Gọi
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Gọi và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Ta có .
Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:
.
Do đó .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho 2 đường thẳng
:
và điểm
. Đường thẳng
đi qua
, cắt
và vuông góc với
có một vectơ chỉ phương là
. Tính ![]()
Hình vẽ minh họa
Gọi là mặt phẳng chứa
và
.
Lấy .
Mặt phẳng có véc-tơ pháp tuyến vuông góc với các véc-tơ
và
.
Ta có .
Một trong các véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là
.
Đường thẳng nằm trong mặt phẳng
và vuông góc với
có
Vậy .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
của hàm số
và đồ thị
của hàm số
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Tính thể tích của một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ là một tam giác đều có cạnh bằng ![]()
Diện tích thiết diện là
Ta có thể tích cần tính là
Xác định nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: .
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Vì:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).
Ta có: nằm về hai phía với (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) BH cố định và
.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay .
Ta có: bé nhất bằng BH khi K trùng với điểm H.
Gọi là VTPT của (ABH)
Ta có đường thẳng d cần lập qua A, H và có VTCP là
Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là:
Cho số phức
. Phần thực của số phức
là?
Ta có:
Vậy phần thực là .
Trong không gian với hệ tọa độ
,cho đường thẳng
. Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng
?
Đường thẳng đi qua điểm
và nhận
làm vectơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc của
Cho hình lăng trụ tam giác
. Đặt
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Ta có:
Do đó
Cho
với
là các số hữu tỉ. Khi đó
bằng:
Ta có:
Suy ra .
PT sau có số nghiệm là : ![]()
3 || ba || Ba
PT sau có số nghiệm là :
3 || ba || Ba
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là điểm nào dưới đây?
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P).
Khi đó phương trình tham số của ∆ là
Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (M).
Tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Cho hàm số
. Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?
Phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
((do trong khoảng (0; 1) và (1; 2) phương trình
vô nghiệm)
Vậy mệnh đề sai là: .
Trong không gian
, cho mặt phẳng
, mặt phẳng
chứa trục
và đi qua điểm
. Tìm tham số m để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau?
Ta có
Mặt phẳng chứa trục
và đi qua điểm
⇒ (Q) có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến
Để hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau thì
Biết
. Khi đó
tương ứng bằng
Ta có:
Trong không gian
, cho điểm
và mặt phẳng
. Điểm
thay đổi thuộc
; điểm
thay đổi thuộc mặt phẳng
. Biết rằng tam giác
có chu vi nhỏ nhất. Tọa độ điểm
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi B1 là điểm đối xứng với B qua (P).
Gọi M là hình chiếu của A lên trục Oz, M1 là điểm đối xứng của M qua (P)
(hằng số).
Vậy PABC nhỏ nhất khi B ≡ M và C là giao điểm của AM1 với (P).
Từ đó suy ra tọa độ của điểm B là .
Cho hàm số
liên tục trên
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và các đường thẳng
. Diện tích hình
được tính theo công thức?
Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức .
Cho
và
, khi đó
bằng:
Ta có:
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
=> có 5 nghiệm đơn
=> Hàm số có 5 điểm cực trị
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Mặt phẳng
và đường thẳng
:
Theo đề bài, ta có vecto pháp tuyến của
Đường thẳng (d) được cho dưới dạng hệ của hai mặt phẳng: và
cũng có 2 VTPT lần lượt
Như vậy, VTCP của (d) sẽ là tích có hướng của 2 VTPT:
và tọa độ của A không thỏa mãn phương trình của (P).
Vậy (d) // (P) .