Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 50 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng \Delta_{1} :\left\{ \begin{matrix}x = 3 + t \\y = 1 + t \\z = 1 + 2t \\\end{matrix}(t \in \mathbb{R}); ight. \Delta_{2}:\frac{x + 2}{2} =\frac{y - 2}{5} = \frac{z}{-1} và điểm M(0;3;0). Đường thẳng d đi qua M, cắt \Delta_{1} và vuông góc với \Delta_{2} có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;a;b). Tính T = a + b

    Hình vẽ minh họa

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và \Delta_{1}.

    Lấy A(3;1;1) \in \Delta_{1}.

    Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến vuông góc với các véc-tơ \overrightarrow{MA} = (3; - 2;1) và {\overrightarrow{u}}_{\Delta_{1}} = (1;1;2).

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{MA},{\overrightarrow{u}}_{\Delta_{1}} ightbrack = ( - 5; - 5;5).

    Một trong các véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là {\overrightarrow{n}}_{(P)} = (1;1; - 1).

    Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với \Delta_{2} có \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{u_{\Delta_{2}}} ightbrack = (4; - 1;3)

    Vậy a = - 1;b = 3 \Rightarrow T = a + b = 2.

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{- 4}. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d?

    Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng d, điểm N(7;2;1) có tọa độ không thỏa mãn phương trình đường thẳng d.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho số phức z = 3 + 2i. Tìm số phức w = 2i - \left( {3 - i} ight)\overline z + 2iz - 1?

     Ta có: w = 2i - \left( {3 - i} ight)\overline z + 2iz - 1

    = 2i - \left( {3 - i} ight)\left( {3 - 2i} ight) + 2i\left( {3 + 2i} ight) - 1

    = - 12 + 17i

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 3}{- 1} =\frac{z - 5}{2},d_{2}:\frac{x - 4}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z +2}{2} và mặt phẳng (P):2x + 3y - 5z + 1 = 0. Đường thẳng vuông góc với (P), cắt d_{1} và d_{2} có phương trình là:

    Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng d với các đường thẳng d_{1} và d_{2}.

    Khi đó, tọa độ của A, B có dạng A(3 + t; - 3 - t;5 + 2t),B(4 - 3s;1 + 2s; - 2 + 2s)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1 - 3s - t;4 + 2s + t; - 7 + 2s - 2t)

    Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ \overrightarrow{AB} cùng phương với vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2;3; - 5) của mặt phẳng (P).

    Do đó, ta có \frac{1 - 3s - t}{2} = \frac{4 + 2s + t}{3} = \frac{- 7 + 2s - 2t}{- 5}

    Suy ra s = 0 và t = −1.

    Do đó, A(2; −2; 3) và B(4; 1; −2).

    Đường thẳng d đi qua A và có nhận vectơ \overrightarrow{n} làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 5}.

  • Câu 5: Thông hiểu

    PT sau có số nghiệm là : z^3 – 27 = 0

    3 || ba || Ba

    Đáp án là:

    PT sau có số nghiệm là : z^3 – 27 = 0

    3 || ba || Ba

     Ta có: z^3 – 27 = 0 \Leftrightarrow (z – 1) (z^2 + 3z + 9) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z^2} + 3z + 9 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z_{2,3}} = \dfrac{{ - 3 \pm 3\sqrt 3 i}}{2}\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

  • Câu 6: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{5x - 2}}

     \int {\left[ {\frac{1}{{5x - 2}}} ight]dx} = \frac{1}{5}\int {\frac{{d\left( {5x - 2} ight)}}{{5x - 2}}} = \frac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} ight| + C

  • Câu 7: Vận dụng

    Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); gọi \alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma lần lượt là các góc tạo bởi vector pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của (P) là ( OH = p):

    Theo đề bài, ta có: H\left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight) \Rightarrow \overrightarrow {OH} = \left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight)

    Gọi M\left( {x,y,z} ight) \in \left( P ight)

    \Rightarrow \overrightarrow {HM} = \left( {x - p\cos \alpha ,y - p\cos \beta ,z - c\cos \gamma } ight)

    Ta có:

    \overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {HM}

    \Leftrightarrow \left( {x - p\cos \alpha } ight)p\cos \alpha + \left( {y - p\cos \beta } ight)p\cos \beta + \left( {z - p\cos \gamma } ight)p\cos \gamma \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

    \Leftrightarrow \left( P ight):x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma - p = 0

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho số phức z thoả mãn |z+\overline{z}|+ |z-\overline{z}|=|z^2| . Giá trị lớn nhất của biểu thức P=|z-5-2i| bằng?

    Đặt z=a+bi \,(a,b \in \mathbb R).

    Từ giả thiết |z+\overline{z}|+ |z-\overline{z}|=|z^2|

    \Leftrightarrow 2|a|+2|b|=a^2+b^2\Leftrightarrow(|a|-1)^2+(|b|-1)^2=2   (1).

    Ta có P=|z-5-2i| =\sqrt{ (a-5)^2+(b-2)^2}= \sqrt {2|a|+2|b|-10a-4b+29}.

    Dễ thấy P lớn nhất khi a, b \leq 0.

    Khi đó P=\sqrt {-12a-6b+29}=\sqrt{6[-2(a+1)-(b+1)]+47}

    Do a, b \leq 0 nên từ (1) ta có (a+1)^2+(b+1)^2=2.

    Suy ra P=\sqrt{6[-2(a+1)-(b+1)]+47} \leq \sqrt {6\sqrt{(2^2+1^2)[(a+1)^2+(b+1)^2]+47}}

    =\sqrt {47+6\sqrt{10}}==\sqrt {2} +3\sqrt 5

    Dấu = xảy ra khi \left\{\begin{matrix} (a+1)^2+(b+1)^2=2 \\ \dfrac{a+1}{2} =\dfrac{b+1}{1} \\ a+1, b+1 <0 \end{matrix}ight.  \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1-\dfrac{2\sqrt{10}}{5} \\ b=-1-\dfrac{\sqrt{10}}{5}\end{matrix}ight..

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 5}{2} có một vectơ chỉ phương là:

    Đường thẳng (P) có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u_{4}} = ( - 1;\ 1;\ - 2)

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ ba điểm A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2). Tính cosin góc \widehat{BAC}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;5; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (5;4; - 1) \\ \end{matrix} ight..

    \cos\widehat{BAC} = \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|} = \frac{5 + 20 + 2}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} = \frac{9}{2\sqrt{35}}

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y = x^{5}.Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}} ight)\mathbf{'}\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{5}}

    Vậy đáp án cần tìm là: \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}\mathbf{+ C}.

  • Câu 12: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x}}dx}

    = \int_{}^{}{x^{- \frac{3}{2}}dx=}\dfrac{x^{- \frac{1}{2}}}{- \dfrac{1}{2}} + C = - \frac{2}{\sqrt{x}} +C.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x^{2} - 2x}{x - 1}, đường thẳng y = x - 1 và các đường thẳng x = m;x = 2m;(m > 1). Giá trị của m sao cho S = ln3 là

    Diện tích cần tìm chính là tích phân:

    S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} - 2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx}

    Ta có:

    S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} - 2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx} = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{- 1}{x - 1} ight|dx}

    = \int_{m}^{2m}{\frac{1}{|x - 1|}dx} = \int_{m}^{2m}{\frac{1}{x - 1}dx};(m > 1)

    = \left. \ \left\lbrack \ln|x - 1| ightbrack ight|_{m}^{2m} = \ln\frac{2m - 1}{m - 1}

    Do đó S = ln3 \Leftrightarrow \ln\frac{2m - 1}{m - 1} = ln3 \Leftrightarrow m = 2

    Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho các hàm số f(x) và F(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn F'(x) = f(x) với \forall x\mathbb{\in R}. Tính I = \int_{0}^{1}{f(x)dx}, biết rằng F(0) = 2;F(1) = 5?

    Ta có: I = \int_{0}^{1}{f(x)dx} = F(1) - F(0) = 3.

  • Câu 15: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + \frac{x}{{x + 1}}} ight)dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + \frac{x}{{x + 1}}} ight)dx} có giá trị là:

    Ta có:

    \begin{matrix} I = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + \dfrac{x}{{x + 1}}} ight)dx} \hfill \\ = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)dx} \hfill \\ = \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + x - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_1^2 \hfill \\ = \dfrac{8}{3} + 2 - \ln 3 - \left( {\dfrac{1}{3} + 1 - \ln 2} ight) \hfill \\ = \dfrac{{10}}{3} + \ln 2 - \ln 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả trực tiếp như trên nhưng ta có thể dùng để kiểm tra kết quả bằng cách thử thay số trong các đáp án.

  • Câu 16: Nhận biết

    Giá trị của z = 1 + i + {i^2} + ... + {i^{2023}} là?

    Ta có: z = \frac{{{i^{2022}} - 1}}{{i - 1}} = 1 + i

    (Áp dụng công thức: {S_n} = 1 + p + {p^2} + ... + {p^n} = \frac{{{p^{n - 1}} - 1}}{{p - 1}})

  • Câu 17: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 2022 - 2023i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 18: Vận dụng

    Giá trị của b và c để phương trình {z^2} + bz + c = 0 nhận z = 1 + i  làm nghiệm là?

     Do z = 1 + i là nghiệm của phương trình đã cho nên:

    {\left( {1 + i} ight)^2} + b\left( {1 + i} ight) + c = 0

    \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0 \Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} ight)i = 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\2 + b = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 2\end{array} ight.

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong \mathbb C, phương trình 2x^2+x+1=0 có nghiệm là:

     Ta có: \Delta = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 = - 7 = 7{i^2} < 0 nên phương trình có hai nghiệm phức là: {x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{4}

  • Câu 20: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)?

    Ta có:

    f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) = x^{3} + 6x^{2} + 11x + 6

    \Rightarrow F(x) = \frac{x^{4}}{4} + 2x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} + 6x + C

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Đáp án là:

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Ta có: (x + yi)^3 = x^3 – 3xy^2 + (3x^2y – y^3)i = 18 + 26i

    Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được: \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x{y^2} = 18\\3{x^2}y - {y^3} = 26\end{array} ight.

    Từ hệ trên, rõ ràng x eq 0 và y eq 0.

    Đặt y= tx , hệ \Rightarrow 18(3x^2y – y^3) = 26(x^3 – 3xy^2 )

    \Rightarrow 18(3t-t^3 ) = 26(1-3t^2)

    \Leftrightarrow 18t^3 – 78t^2 – 54t+26 = 0

    \Leftrightarrow ( 3t- 1)(3t^2 – 12t – 13) = 0.

    Vìx, y \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \in \mathbb{Q} \Rightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3 ; y = 1 \mbox{ hay } z = 3 + i.

    \Rightarrow M= x+2020y=3+2020.1=2023

  • Câu 22: Nhận biết

    Ba mặt phẳng x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0 cắt nhau tại điểm A. Chọn kết luận đúng?

    Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} x + 2y - z - 6 = 0 \\ 2x - y + 3z + 13 = 0 \\ 3x - 2y + 3z + 16 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A( - 1;2; - 3)

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight). Khi đó số điểm cực trị của hàm số F(x) là:

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight) = 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x)

    \Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.. Do x = - 2;x = 1 là nghiệm bội 1 còn x = 2 là nghiệm bội 2 nên hàm số F(x) có hai điểm cực trị.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} và f'(x) - 2f(x) = 0. Tính f( - 1) biết rằng f(1) = 1?

    Vì f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} nên ta có:

    f'(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{2dx}

    \Rightarrow \exists C\mathbb{\in R}:ln\left| f(x) ight| = 2x + C

    \Rightarrow \ln f(x) = 2x + C

    Cho x = 1 \Rightarrow \ln f(1) = 2 + C\Rightarrow \ln1 = 2 + C \Rightarrow C = - 2

    Do đó \ln f(x) = 2x - 2 \Leftrightarrow f(x) = e^{2x - 2} \Rightarrow f( - 1) = e^{- 4}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x ight) = \frac{{ - x - 2}}{{x - 1}}, trục hoành và các đường thẳng x = - 1;x = 0

     Gọi S là diện tích của hình phẳng trên ta có: S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\frac{{ - x - 2}}{{x - 1}}} ight|dx}

    Ta có: \frac{{ - x - 2}}{{x - 1}} \geqslant 0;\forall x \in \left[ { - 1;0} ight]

    Khi đó:

    \begin{matrix} S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\dfrac{{ - x - 2}}{{x - 1}}} ight|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {\dfrac{{ - x - 2}}{{x - 1}}} ight)dx} \hfill \\ = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{ - \left( {x - 1} ight) - 3}}{{x - 1}}dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - 1 - \dfrac{3}{{x - 1}}} ight)dx} \hfill \\ = \left. {\left( { - x - 3\ln \left| {x - 1} ight|} ight)} ight|_{ - 1}^0 = 3\ln 2 - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{DH}?

    Hình vẽ minh họa

    Vì \overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE} (ADHE là hình vuông) nên \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} ight) = \widehat{BAE} = 90^{0}

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có AB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight|?

    Vì các vectơ \frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{AC}}{AC};\frac{\overrightarrow{AD}}{AD} có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên

    \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight)^{2} = 3 \Leftrightarrow T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight| = \sqrt{3}

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn

    \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = a\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} + b\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C}

    Tính giá trị biểu thức M = a + b.

     I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} }}{{\left( {x + 2} ight) - \left( {x + 1} ight)}}dx} = \int {\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} } ight)dx} }

    => I = \frac{2}{3}.\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} - \frac{2}{3}\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{2}{3}} \\ {b = \dfrac{{ - 2}}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow M = a + b = 0

  • Câu 29: Thông hiểu

    Số phức z thỏa mãn: \left( {1 + i} ight)z + \left( {2 - 3i} ight)\left( {1 + 2i} ight) = 7 + 3i là:

     Ta áp dụng các quy tắc thực hiện phép tính, có:

    \begin{matrix} \left( {1 + i} ight)z + \left( {2 - 3i} ight)\left( {1 + 2i} ight) = 7 + 3i \hfill \\ \Leftrightarrow (1 + i)z = 7 + 3i - (2 - 3i)(1 + 2i) \hfill \\ \Leftrightarrow (1 + i)z = - 1 + 2i \hfill \\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{ - 1 + 2i}}{{1 + i}} \hfill \\ \Leftrightarrow z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i \hfill \\ \end{matrix}

    Ngoài ra ta có thể sử dụng lệnh CALC trong máy tính để thử các phương án.

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) cắt hai trục y’Oy và z’Oz tại và tạo với mặt phẳng (yOz) một góc 45^{\circ} .

     Gọi C\left( {a,0,0} ight) là giao điểm của (P) và trục x’Ox

    \Rightarrow \overrightarrow {BA} = \left( {0, - 1, - 1} ight);\overrightarrow {BC} = \left( {a,0, - 1} ight)

    Vecto pháp tuyến của (P) là: \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } ight] = \left( {1, - a,a} ight)

    Vecto pháp tuyến của (yOz) là: \overrightarrow {{e_1}} = \left( {1,0,0} ight)

    Gọi là góc tạo bởi (P) và \left( {yOz} ight) \Rightarrow \cos {45^o} = \frac{1}{{\sqrt {1 + 2{a^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

    \Rightarrow 4{a^2} + 2 \Leftrightarrow a = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}

    Vậy có hai mặt phẳng:

    \begin{array}{l}\left( P ight): \pm \sqrt 2 x - y + z = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 x - y + z - 1 = 0;\,\,\sqrt 2 x + y - z + 1 = 0\end{array}

  • Câu 31: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(3; - 2;5). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxz) là:

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(3; - 2;5) trên mặt phẳng (Oxz) là điểm có tọa độ (3;0;5).

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 1 + 3i. Phần thực và phần ảo của số phức w = 2i - 3\overline z lần lượt là:

     Ta có: w = 2i - 3\overline z = 2i - 3\left( { - 1 - 3i} ight) = 11i + 3

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục nhận giá trị dương trên (0; +\infty) và thỏa mãn f(1) =1; f(x) = f'(x).\sqrt{3x +1};\forall x > 0. Giá trị f(3) gần nhất với giá trị nào sau đây?

    Vì \left\{ \begin{matrix}f(x) > 0 \\f(x) = f'(x)\sqrt{3x + 1} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} =\frac{1}{\sqrt{3x + 1}}

    \Rightarrow\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{3x +1}}dx} \Rightarrow \ln f(x) = \frac{2\sqrt{3x + 1}}{3} + C

    Mà f(1) = 1 \Rightarrow C = -\frac{4}{3}

    \Rightarrow f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}} \Rightarrow f\left( 3 ight) \approx 2,17

  • Câu 34: Nhận biết

    Kí hiệu {z_1},{z_2} là hai nghiệm phức của phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0. Tính P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight|

    Phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0 có hai nghiệm {z_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt {11} }}{6}.

    Khi đó P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight| = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}

  • Câu 35: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 4i} = 3 - ( - 4i) = 3 + 4i

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ:

    Tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{2}{f'(2x - 1)dx}?

    Ta có:

    I = \int_{1}^{2}{f'(2x - 1)dx} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{f'(2x - 1)d(2x - 1)}

    = \frac{1}{2}\left. \ f(2x - 1)ight|_{1}^{2} = \frac{1}{2}\left\lbrack f(3) - f(1) ightbrack =2

  • Câu 37: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x +\sin2x là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x +\sin2x)dx}

    = 2.\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c = x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x + c

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho số phức z = {\left( {2i} ight)^4} - \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^6}}}{{5i}}. Số phức \overline {5z + 3i} là số phức nào sau đây?

     Ta tính được z = \frac{{88}}{5} \Rightarrow 5z + 3i = 88 + 3i

  • Câu 39: Nhận biết

    Nếu \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 5;\int_{2}^{5}{f(x)dx} = - 1 thì \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{1}^{5}{f(x)dx} = \int_{1}^{2}{f(x)dx} + \int_{2}^{5}{f(x)dx} = 5 + ( - 1) = 4

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Cho parabol (P):y = x^{2} và hai điểm A;B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A\left( a;a^{2} ight) và (P):y = x^{2} là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.

    Không mất tính tổng quát giả sử a < b.

    Theo giả thiết ta có AB = 2 nên

    (b - a)^{2} + \left( b^{2} - a^{2}ight)^{2} = 4

    \Leftrightarrow (b - a)^{2}\left\lbrack1 + (b + a)^{2} ightbrack = 4

    Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y = (b + a)x - ab

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:

    S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack (a + b)x -ab - x^{2} ightbrack dx}

    = \left. \ \left\lbrack (a +b)\frac{x^{2}}{2} - abx - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{a}^{b}= \frac{(b - a)^{3}}{6}

    Mặt khác (b - a)^{2}\left\lbrack 1 + (b +a)^{2} ightbrack = 4 nên |b -a| \leq 2 do 1 + (b + a)^{2} \geq1

    Suy ra S = \frac{(b - a)^{3}}{6} \leq\frac{2^{3}}{6}

    Vậy S_{\max} = \frac{4}{3} dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.

  • Câu 41: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình: (z^2 + 3z +6)^2 + 2z(z^2 + 3z +6) – 3z^2 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

    t^2 +2zt – 3z^2 = 0 \Leftrightarrow (t – z)(t+3z) = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = z\\t = - 3z\end{array} ight.

    + Với t = z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 –z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 2z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 1 + \sqrt 5 i\\z = - 1 - \sqrt 5 i\end{array} ight.

    + Với t = -3z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 +3z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 6z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 3 + \sqrt 3 \\z = - 3 - \sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

  • Câu 42: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

     Ta có \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{( - 1 + 3i)(1 - i)}}{{{{(2 + i)}^2}}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 4i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{(2 + 4i)(3 - 4i)}}{{25}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i

  • Câu 43: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q):x + y + z - 3 = 0. Phương trình mặt phẳng (P) là:

    Ta có: (Q) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n}(1;1;1).

    Từ giả thiết, ta suy ra (P) có một vectơ pháp tuyến là \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{i} ightbrack = (0;1; - 1).

    Do (P) đi qua gốc tọa độ O nên phương trình của (P) là y - z = 0.

  • Câu 44: Thông hiểu

    Số phức z = \frac{{3 - 4i}}{{4 - i}} bằng:

     Ta có: z = \frac{{3 - 4i}}{{4 - i}} = \frac{{16}}{{17}} - \frac{{13}}{{17}}i

  • Câu 45: Thông hiểu

    Số phức liên hợp của số phức 2022i - 2023 là

     \overline z = \overline {a + bi} = a - bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {2022i - 2023} = \overline { - 2023 + 2022i} = - 2023 - 2022i

  • Câu 46: Vận dụng

    Tích phân I = \int\limits_0^1 {\frac{{2ax}}{{x + 1}}dx} = \ln 2. Giá trị của a là:

    Ta có:

    I = \int\limits_0^1 {\frac{{2ax}}{{x + 1}}dx} = 2a\int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} = 2a\left. {\left( {x - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_0^1 = 2a\left( {1 - \ln 2} ight)

    Mà I = \ln 2 \Leftrightarrow 2a\left( {1 - \ln 2} ight) = \ln 2 \Leftrightarrow a = \frac{{\ln 2}}{{2 - 2\ln 2}}

  • Câu 47: Nhận biết

    Cho hình phẳng D giới hạn bới đường cong y = \sqrt {{x^2} + 1}, trục hoành và các đường thẳng x = 0;x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

    Thể tích cần tìm là: v = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^2}dx} = \frac{{4\pi }}{3}

  • Câu 48: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4} và d_{2} là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x + 3y - 9 = 0,y + 2z + 5 = 0. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là:

    Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} 2x + 3y - 9 = 0 \\ y + 2z + 5 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Cho y = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(3;1; - 3) \in d_{2\ }

    Cho y = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ z = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(0;3; - 4) \in d_{2}

    Đường thẳng d1 đi qua M (1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{1}} = (2;1;4)

    Đường thẳng d2 đi qua A (3; 1; −3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{2}} = ( - 3;2; - 1) = \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} = (2; - 6; - 6)

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 9; - 10;7)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack\overrightarrow{AM} = - 2.9 + 6.10 - 6.7 = 0

    Do đó vị trí tương đối của hai đường thẳng là cắt nhau.

  • Câu 49: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + y - 2z + 5 = 0 và (Q): - x - y + 2z + 9 = 0. Mặt phẳng nào sau đây cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)?

    Gọi (R) là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) thì (P)//(Q)//(R)

    Do đó (R) có dạng x + y − 2z + m = 0.

    Gọi A(1; 0; 3) ∈ (P) , B(1; 0; −4) ∈ (Q).

    Khi đó trung điểm M của đoạn AB nằm trên (R), tức M\left( 1;0; - \frac{1}{2} ight) \in (R).

    Suy ra 1 + 0 - 2.\left( - \frac{1}{2} ight) + m = 0 \Leftrightarrow m = - 2.

    Vậy (R): x + y − 2z − 2 = 0 hay (R): −x − y + 2z + 2 = 0.

  • Câu 50: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là ax + by + cz + 9 = 0. Tính tổng a + b + c

    Hình vẽ minh họa

    Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)

    Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

    Phương trình tham số của \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

    Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

    Khi đó \left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}

    Lại có: \cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}

    Vậy \widehat{NMH}lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

    Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

    Vectơ pháp tuyến của (Q) là \overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)

    Vectơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)

    Phương trình mặt phẳng (P) là 1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0

    \Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0

    Vậy a + b + c = 4

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 244 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 50:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập