Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có:
Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là 2.
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có:
Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là 2.
Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập số phức
:
(1)
Kiểm tra nghiệm ta dễ dàng nhận xét
không là nghiệm của phương trình đã cho vậy
.
Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : (2)
Đặt . Khi đó
Phương trình (2) có dạng : (3)
Vậy PT (3) có 2 nghiệm:
Với , ta có
(4)
Có
Vậy PT(4) có 2 nghiệm :
;
Do đó PT đã cho có 4 nghiệm :
Tích phân
có giá trị là:
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường
và
(với
) được minh họa bằng hình vẽ bên (phần tô đậm):

Cho
quay quanh trục
, thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu?
Ta có:
Thể tích khối tròn xoay cần tính là
Trong không gian
, cho hình chóp
có đáy
là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo
và
trùng với gốc tọa độ
. Các véc tơ
,
,
lần lượt cùng hướng với các véc tơ
,
,
và
,
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Tọa độ của véc tơ
là
Hình vẽ minh họa
Ta có .
Khi đó .
Vì là trung điểm của
nên ta có
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, tính thể tích tứ diện
, biết
lần lượt là giao điểm của mặt phẳng
với trục
.
Theo giả thiết ta có: suy ra
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Điểm
nào dưới đây thuộc
và thỏa mãn khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
?
Vì A ∈ (d) nên ta có tọa độ điểm A(2a; −a; a − 1).
Khoảng cách từ A đến (P) là
Với
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
, với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực
để mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
.
Gọi lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Ta có: . Để (P) ⊥ (Q)
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tứ diện
có
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Viết phương trình mặt phẳng
biết tứ diện
có thể tích nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tứ diện
có
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Viết phương trình mặt phẳng
biết tứ diện
có thể tích nhỏ nhất.
Cho biết
với
là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức
bằng:
Đặt . Khi đó
Đổi cận
. Suy ra
. Do đó
.
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Trong không gian
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Trong không gian , cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là?
Ta có:
Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng ![]()
?
Gọi lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2 ta chọn
Giả sử M1 ∈ d1 và M2 ∈ d2, ta chọn suy ra
Khi đó và
. Do đó (d1) và (d2) chéo nhau.
Cho số phức
thỏa mãn
. Viết
dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
10
Cho số phức thỏa mãn
. Viết
dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
10
Ta có:
Suy ra .
Biết rằng
nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Chọn mệnh đề đúng?
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta có:
Suy ra
Khi đó
Mà
Vậy
Trong không gian hệ trục tọa độ
cho
. Khi đó tọa độ
với hệ
là:
Ta có:
Lại có
Nếu
. Khi đó
bằng:
Ta có: .
Cho số phức z thỏa mãn
. Viết z dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Gọi
là bốn nghiệm phức của phương trình
. Tổng
bằng:
Ta có:
Số phức
có phần thực bằng
Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.
Số phức
là số phức nào sau đây?
Tính tích phân
?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng ![]()
chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của
.
Đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là
Giả sử ∆ giao với lần lượt tại
, khi đó ta có
Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:
Đường vuông góc chung của nhận
làm VTCP và đi qua điểm
Vậy ta có phương trình đường thẳng:
Trong không gian cho hình hộp
. Khi đó
bằng:
Theo quy tắc hình hộp ta có .
Trong không gian
, cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục tọa độ
lần lượt tại các điểm
không trùng với gốc tọa độ
sao cho
là trực tâm tam giác
. Viết phương trình mặt phẳng nào song song với mặt phẳng
?
Trong không gian , cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục tọa độ
lần lượt tại các điểm
không trùng với gốc tọa độ
sao cho
là trực tâm tam giác
. Viết phương trình mặt phẳng nào song song với mặt phẳng
?
Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Khi đó
Suy ra suy ra
.
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
Tìm nguyên hàm của hàm số
??
Đặt
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau:
là?
Đặt , khi đó phương trình đã cho có dạng:
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là
Phần thực của số phức
là:
Ta có:
Cho hàm số
liên tục trên tập số thực và thỏa mãn ![]()
![]()
. Khi đó giá trị
bằng:
Ta có:
Biết
và
là ba nghiệm của phương trình
,
trong đó
là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức
bằng:
Xét phương trình là phương trình bậc ba với hệ số thực nên luôn có một nghiệm thực là
.
Do đó phương trình tương đương với:
.
Nên là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (1).
Suy ra .
Khi đó : .
Vậy phần ảo của là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là
. Tính tổng ![]()
Hình vẽ minh họa
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.
Phương trình tham số của
Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.
Khi đó
Lại có:
Vậy lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K
Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).
Vectơ pháp tuyến của (Q) là
Vectơ pháp tuyến của (P) là
Phương trình mặt phẳng (P) là
Vậy
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả trực tiếp như trên nhưng ta có thể dùng để kiểm tra kết quả bằng cách thử thay số trong các đáp án.
Trong không gian
, đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng
có một vectơ chỉ phương là
nên có phương trình là
.
Gọi
là bốn nghiệm của phương trình
trên tập
số phức tính tổng:
.
Ta có:
(1)
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:
Thay và biểu thức ta có:
Cho hai hàm số
và
liên tục trên tập số thực và thỏa mãn
. Tính tích phân
?
Đặt
Đổi cận
Theo bài ra ta có:
Đặt
Đổi cận
Trong không gian
, tìm phương trình mặt phẳng
cắt ba trục
lần lượt tại ba điểm
?
Phương trình mặt phẳng :
Cho lăng trụ tam giác
. Đặt
. Gọi điểm
sao cho
,
là trọng tâm tứ diện
. Biểu diễn vectơ
qua các vectơ
. Đáp án nào dưới đây đúng?
Ta có G là trọng tâm của tứ diện nên
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Cho hàm số
có đạo hàm dương và liên tục trên
thỏa mãn
và
. Tích phân
là:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi