Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 50 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hai số phức {z_1} = 4 - 3i và {z_2} = 7 + 3i. Tìm số phức z = {z_1} - {z_2}

     Ta có:

    \begin{matrix} z = {z_1} - {z_2} \hfill \\ = \left( {4 - 3i} ight) - \left( {7 + 3i} ight) \hfill \\ = 4 - 3i - 7 - 3i \hfill \\ = (4 - 7) + ( - 3 - 3)i \hfill \\ = - 3 - 6i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1; - 4;0);\overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;1). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}?

    Ta có: 3\overrightarrow{v} = ( - 3; - 6;3) do đó \overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v} = ( - 2; - 10;3)

    Vậy đáp án cần tìm là ( - 2; - 10;3).

  • Câu 3: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt[3]{x} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \sqrt[3]{x} ight)dx} = \int_{}^{}{x^{\frac{2}{3}}dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} + C.

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):(m - 1)x + y - 2z + m = 0 và (Q):2x - z + 3 = 0. Tìm m để (P) vuông góc với (Q)?

    Ta có: (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau, tức là (m - 1;1; - 2).(2;0; - 1) = 0 \Leftrightarrow m = 0.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Đáp án là:

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Ta có: (x + yi)^3 = x^3 – 3xy^2 + (3x^2y – y^3)i = 18 + 26i

    Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được: \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x{y^2} = 18\\3{x^2}y - {y^3} = 26\end{array} ight.

    Từ hệ trên, rõ ràng x eq 0 và y eq 0.

    Đặt y= tx , hệ \Rightarrow 18(3x^2y – y^3) = 26(x^3 – 3xy^2 )

    \Rightarrow 18(3t-t^3 ) = 26(1-3t^2)

    \Leftrightarrow 18t^3 – 78t^2 – 54t+26 = 0

    \Leftrightarrow ( 3t- 1)(3t^2 – 12t – 13) = 0.

    Vìx, y \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \in \mathbb{Q} \Rightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3 ; y = 1 \mbox{ hay } z = 3 + i.

    \Rightarrow M= x+2020y=3+2020.1=2023

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(2;1; - 3),B(0; - 2;5) và C(1;1;3). Diện tích hình bình hành ABCD là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 3;8),\overrightarrow{AC} = ( - 1;0;6)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 18;4; - 3)

    Suy ra diện tích ABCD là:

    S_{ABCD} = \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \sqrt{349}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{m} = (4;3;1),\overrightarrow{n} = (0;0;1). Gọi \overrightarrow{p} là vectơ cùng hướng với vectơ \left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack (tích có hướng của hai vectơ \overrightarrow{m} và \overrightarrow{n}. Biết \left| \overrightarrow{p} ight| = 15, tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{p}.

    Ta thấy \left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0)

    Vì \overrightarrow{p} là vectơ cùng hướng với vectơ \left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0) nên \overrightarrow{p} = (3k; - 4k;0),k\mathbb{\in R};k > 0.

    Mặt khác \left| \overrightarrow{p} ight| = 15 \Leftrightarrow \sqrt{9k^{2} + 16k^{2} + 0} = 15 \Rightarrow k = 3

    Vậy \overrightarrow{p} = (9; - 12;0).

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn \left( {\frac{z}{2} - i} ight)\left( {1 - i} ight) = {(1 + i)^{3979}}

     Ta có: \left( {\frac{z}{2} - i} ight)\left( {1 - i} ight) = {(1 + i)^{3979}} \Leftrightarrow \frac{z}{2} - i = \frac{{{{(1 + i)}^{3980}}}}{2}

    \Leftrightarrow \frac{z}{2} - i = {2^{1989}}.{i^{1990}} \Leftrightarrow z = - {2^{1990}} + 2i

     Vậy số phức có phần thực là -2^{1990} và phần ảo là 2.

  • Câu 9: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x + 3\sqrt{x} thỏa mãn F(1) = 0?

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\left( 2x + 3\sqrt{x} ight)dx}}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2x)dx} + 6\int_{}^{}{\left( \sqrt{x} ight)^{2}d\left( \sqrt{x} ight)}

    \Rightarrow F(x) = x^{2} + 2\sqrt{x^{3}} + C

    Theo bài ra ta có: F(1) = 0 \Leftrightarrow 3 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 3

    Vậy x^{2} + 2\sqrt{x^{3}} - 3.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Đáp án là:

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Ta có: \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i  \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}}{{\left( {1 + i} ight)\left( {1 - i} ight)}} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{ - 2i}}{2} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z = 5 \Leftrightarrow z = \frac{5}{{2 + i}} = 2 - i

    \Rightarrow w = 1 + 2z + {z^2} = {\left( {1 + z} ight)^2} = {\left( {3 - i} ight)^2} = 8 - 6i

    \Leftrightarrow \left| w ight| = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 6} ight)}^2}} = 10

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho số phức {z_1} = 1 + 2i và {z_2} = - 1 - 2i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

     Ta có: {z_1}.{z_2} = - {\left( {1 + 2i} ight)^2} = - \left( {1 + 4i - 4} ight) = 3 - 4i

    Vậy {z_1}.{z_2} = 3 - 4i là khẳng định đúng.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight) = 4;g\left( x ight) = - xf'\left( x ight);f\left( x ight) = - xg'\left( x ight). Kết luận nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( x ight) = - xf'\left( x ight)} \\ {f\left( x ight) = - xg'\left( x ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) + g\left( x ight) = - x\left[ {f'\left( x ight) + g'\left( x ight)} ight] \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = \dfrac{{ - 1}}{x} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}}dx = \int\limits_1^4 {\dfrac{{ - 1}}{x}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{d\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = } \left. {\ln \left| x ight|} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| - \ln \left| {f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight)} ight| = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| = 0 \hfill \\ \Rightarrow f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn f(0) = 0. Biết rằng \int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \frac{9}{2} và \int_{0}^{1}{f'(x)\cos\frac{\pi x}{2}}dx= \frac{3\pi}{4}. Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)d(x)} bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn f(0) = 0. Biết rằng \int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \frac{9}{2} và \int_{0}^{1}{f'(x)\cos\frac{\pi x}{2}}dx= \frac{3\pi}{4}. Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)d(x)} bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 14: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0

    Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm z = 1.

    z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0

    \Leftrightarrow (z – 1)(z^3 – 3z^2 + 4z – 12) = 0

    \Leftrightarrow (z – 1) (z – 3) (z^2 + 4) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\{z^2} + 4 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\z = 2i\\z = - 2i\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:z = {m{\{ }}1;\,\,3;\,\,2i;\,\, - 2i{m{ \} }}.

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ 0 ight\} thỏa mãn f(x) + xf'(x) = 3x^{2} và f(2) = 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có: f(x) + xf'(x) = 3x^{2}

    \Leftrightarrow (x)'f(x) + xf'(x) = 3x^{2}

    \Leftrightarrow \left( xf'(x) ight)' = 3x^{2}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{\left( xf'(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{3x^{2}dx} \Leftrightarrow xf(x) = x^{3} + C

    Lại có f(2) = 8 \Rightarrow 2f(2) = 8 + C \Leftrightarrow 2.8 = C + 8 \Leftrightarrow C = 8

    Từ đó suy ra xf(x) = x^{3} + 8 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x^{3} + 8}{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{x^{3} + 8}{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2

    Ta có: f'(x) = \frac{2x^{3} - 8}{x^{2}} \Rightarrow f'( - 2) = - 6;f( - 2) = 0

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là

    y = f'( - 2)(x + 2) + f( - 2)

    \Leftrightarrow y = - 6(x + 2) \Rightarrow y = - 6x - 12

  • Câu 16: Thông hiểu

    Dòng diện xoay chiều hình sin chạy qua mạch điện dao động LC lí tưởng có phương trình i = I_{0}\sin\left( \omega t + \frac{\pi}{2} ight). Ngoài ra i = q'(t) với q là điện tích tức thời trong tụ. Tính từ lúc t = 0, điện lượng chạy qua tiết diện thẳng của dây dẫn của mạch trong thời gian \frac{\pi}{2\omega} là

    Điện lượng cần tìm là:

    \int_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}}{\left\lbrack I_{0}\sin\left( \omega t + \frac{\pi}{2} ight) ightbrack dt} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}}{\left\lbrack I_{0}\cos(\omega t) ightbrack dt}

    = \left. \ \left\lbrack I_{0}\sin(\omega t) ightbrack ight|_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}} = \frac{I_{0}}{\omega}

  • Câu 17: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2;0;0),B(0;3;0),C(0;0;3) và D\left( 1;1;\frac{1}{2} ight). Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm O,A,B,C,D?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có mặt phẳng (ABC): \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1.

    Suy ra D\left( 1;1;\frac{1}{2} ight) thuộc mặt phẳng (ABC).

    Số mặt phẳng qua ba trong bốn điểm A, B, C, D là 1.

    Số mặt phẳng qua điểm O và hai trong bốn điểm A, B, C, D là C_{4}^{2} = 6.

    Vậy số mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm O,A,B,C,D là 1 + 6 = 7.

  • Câu 18: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x} + \sin x là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \sin x ight)dx} = \ln|x| - \cos x + C.

  • Câu 19: Nhận biết

    Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a;x = b;\left( {a < b} ight) xung quanh trục Ox.

    Ta có : V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx.

  • Câu 20: Nhận biết

    Phương trình {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 có tập nghiệm là:

    Dễ thấy z=-i  là nghiệm của {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0

    Nên {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 \Leftrightarrow \,(z + i)({z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + i = 0\\{z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i = 0\,\,\,(*)\end{array} ight.

    Giải (*), ta được:

    \Delta = {(4 - i)^2} - 12 + 12i = 16 - 1 - 8i - 12 + 12i

    = 3 + 4i = 4 + 2.2.i + {i^2} = {(2 + i)^2}

    Vậy có hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i

    Do đó nghiệm của pt là \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 4 + i + 2 + i}}{2} = - 1 + i\\z = \dfrac{{ - 4 + i - 2 - i - 2}}{2} = - 3\end{array} ight.

    Vậy PT có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i.

  • Câu 21: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 3 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?

    Ta có: d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 3 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \overrightarrow{u} = (2; - 3;5)

  • Câu 22: Vận dụng

    Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 có nghiệm phức z_0 thỏa mãn \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2. 

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 có nghiệm phức z_0 thỏa mãn \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2. 

    4 || Bốn || bốn

     Ta có với mọi a \in \mathbb R thì phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 luôn có nghiệm phức.

    {z_1} = \frac{{ - 3 + i\sqrt {\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|} }}{2} và {z_2} = \frac{{ - 3 - i\sqrt {\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|} }}{2}.

    Suy ra \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = \sqrt {\frac{3}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4}}.

     

    \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2 \Rightarrow \sqrt {\frac{3}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4}} = 2

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4} = 4 \Leftrightarrow \left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight| = 7

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4{a^2} + 8a + 9 = 7\\ - 4{a^2} + 8a + 9 = - 7\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4{a^2} + 8a + 2 = 0{m{ }}\left( 1 ight)\\ - 4{a^2} + 8a + 16 = 0{m{ }}\left( 2 ight)\end{array} ight.

    Từ (1) ta có  {a_1} + {a_2} = 2, từ (2) ta có {a_3} + {a_4} = 2.

    Vậy tổng {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} = 4.

  • Câu 23: Nhận biết

    Một chất điểm dạng chuyển động với vận tốc {v_0} = 15\left( {m/s} ight) thì tăng tốc với gia tốc a\left( t ight) = {t^2} + 5t\left( {m/s} ight). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

     Ta có: v\left( t ight) = \int {a\left( t ight)dt = \int {\left( {{t^2} + 5t} ight)} dt = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{5}{2}{t^2} + C\left( {m/s} ight)}

    Do khi bắt đầu tăng tốc {v_0} = 15\left( {m/s} ight) nên

    {v_{\left( {t = 0} ight)}} = 15 \Rightarrow C = 18 \Rightarrow v\left( t ight) = v\left( t ight) = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{5}{2}{t^2} + 15\left( {m/s} ight)

    Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô tăng tốc bằng:

    S = \int\limits_0^3 {v\left( t ight)dt} = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{5}{2}{t^2} + 15} ight)dt} = \frac{{297}}{4}\left( m ight)

  • Câu 24: Thông hiểu

    Biết \int_{- 1}^{0}{\frac{3x^{2} + 5x - 1}{x - 2}dx} = a\ln\frac{2}{3} + b. Khi đó P = a + 2b có giá trị bằng:

    Ta có:

    I = \int_{- 1}^{0}{\frac{3x^{2} + 5x - 1}{x - 2}dx} = \int_{- 1}^{0}{(3x + 11)dx} + \int_{- 1}^{0}{\frac{21}{x - 2}dx}

    = \left. \ \left( 3.\frac{x^{2}}{2} +11x ight) ight|_{- 1}^{0} + \left. \ \left( 21\ln|x - 2| ight)ight|_{- 1}^{0}= \frac{19}{2} + 21\ln\frac{2}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 21 \\b = \dfrac{19}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a + 2b = 40

  • Câu 25: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x} + x là

    Ta có: \int_{}^{}f(x)dx = \int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C.

  • Câu 26: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

     Ta có (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{1 + i}}{{2 + 3i}}\\ \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{5 - i}}{{13}}\;\\ \Leftrightarrow z = - \dfrac{8}{{13}} - \dfrac{1}{{13}}i\;\;\;\end{array}

  • Câu 27: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là

     \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 2i} = 3 - ( - 2i) = 3 + 2i

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0 có hai nghiệm {z_1},{z_2} là . Giá trị của w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2} là?

    1 || Một || một

    Đáp án là:

    Cho phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0 có hai nghiệm {z_1},{z_2} là . Giá trị của w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2} là?

    1 || Một || một

    Ta có:

    {z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + \sqrt 2 i\\z = 1 - \sqrt 2 i\end{array} ight.

    Suy ra:  w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}

    = {\left( {1 + \sqrt 2 i} ight)^2} + {\left( {1 - \sqrt 2 i} ight)^2} + \left( {1 + \sqrt 2 i} ight)\left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 1

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho số phức z = a + bi. Số phức {z^2} có phần ảo là:

    Ta có: {z^2} = {\left( {a + bi} ight)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Tính \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD}.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = \left( \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)

    = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 0

    \Rightarrow \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = 0

  • Câu 31: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4} và d_{2} là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x + 3y - 9 = 0,y + 2z + 5 = 0. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là:

    Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} 2x + 3y - 9 = 0 \\ y + 2z + 5 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Cho y = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(3;1; - 3) \in d_{2\ }

    Cho y = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ z = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(0;3; - 4) \in d_{2}

    Đường thẳng d1 đi qua M (1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{1}} = (2;1;4)

    Đường thẳng d2 đi qua A (3; 1; −3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{2}} = ( - 3;2; - 1) = \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} = (2; - 6; - 6)

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 9; - 10;7)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack\overrightarrow{AM} = - 2.9 + 6.10 - 6.7 = 0

    Do đó vị trí tương đối của hai đường thẳng là cắt nhau.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Số phức z thỏa mãn: \left( {1 + i} ight)z + \left( {2 - 3i} ight)\left( {1 + 2i} ight) = 7 + 3i là:

     Ta áp dụng các quy tắc thực hiện phép tính, có:

    \begin{matrix} \left( {1 + i} ight)z + \left( {2 - 3i} ight)\left( {1 + 2i} ight) = 7 + 3i \hfill \\ \Leftrightarrow (1 + i)z = 7 + 3i - (2 - 3i)(1 + 2i) \hfill \\ \Leftrightarrow (1 + i)z = - 1 + 2i \hfill \\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{ - 1 + 2i}}{{1 + i}} \hfill \\ \Leftrightarrow z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i \hfill \\ \end{matrix}

    Ngoài ra ta có thể sử dụng lệnh CALC trong máy tính để thử các phương án.

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho điểm A\left( {2,3,5} ight) và mặt phẳng \left( P ight):2x + 3y + z - 17 = 0. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P).Tọa độ điểm A’ là :

    Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua A vuông góc với (P): \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 + 3t\\z = 5 + t\end{array} ight..

    Thế x, y, z theo t vào phương trình của (P), ta được:

    \begin{array}{l}2.(2 + 2t) + 3(3 + 3t) + 5 + t - 17 = 0\\ \Leftrightarrow 4 + 4t + 9 + 9t + 5 + t - 17 = 0\\ \Leftrightarrow 14t + 1 = 0\\ \Leftrightarrow t = \frac{{ - 1}}{{14}}\end{array}

    Thế tiếp t = - \frac{1}{{14}} vào phương trình của (d) được giao điểm I của  (d) và (P): I\left( {\frac{{26}}{{14}},\frac{{39}}{{14}},\frac{{69}}{{14}}} ight)

    Mặt khác, I là trung điểm của AA' nên suy ra được: \Rightarrow A'\left( {\frac{{12}}{7},\frac{{18}}{7},\frac{{34}}{7}} ight)

  • Câu 34: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A( - 1; - 2;1),B( - 4;2; - 2), C( - 1; - 1; - 2),D( - 5; - 5;2). Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).

    Ta có \overrightarrow{\ AB} = ( - 3;4; - 3),\overrightarrow{AC} = (0;1; - 3)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{\ AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 9; - 9; - 3)

    Mặt phẳng (ABC) đi qua A( - 1; - 2;1) và nhận \overrightarrow{n} = (3;3;1) là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là 3x + 3y + z + 8 = 0.

    Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) là:

    d = d\left( D;(ABC) ight) = \frac{| - 15 - 15 + 2 + 8|}{\sqrt{3^{2} + 3^{2} + 1^{2}}} = \frac{20}{\sqrt{19}}.

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Các biểu thức E;F;G;H xác định bởi E = \int_{0}^{3}{f(x)dx};F = \int_{3}^{5}{f(x)dx};G = \int_{2}^{4}{f(x)dx};H = f'(x). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Dựa vào hình vẽ và diện tích hình phẳng ta có:

    E = \int_{0}^{3}{f(x)dx} = - \int_{0}^{3}{\left| f(x) ight|dx} < - 2

    F = \int_{3}^{5}{f(x)dx} > 3

    0 < G = \int_{2}^{4}{f(x)dx} < 2

    - 1 < H = f'(1) < 0 (hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 1)

    Như vậy E < H < G < F

  • Câu 36: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 5x.\cos x thỏa mãn F\left( {\frac{\pi }{5}} ight) = 0. Tính F\left( {\frac{\pi }{6}} ight).

     \begin{matrix} \cos 5x + \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight) \hfill \\ \int {\cos 5x.\cos xdx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight)} dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 6x}}{6} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Kí hiệu z_0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4{z^2} - 16z + 17 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = i{z_0}?

     Ta có:

    4{z^2} - 16z + 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 2 + \dfrac{1}{2}i\\z = 2 - \dfrac{1}{2}i\end{array} ight.

    \Rightarrow w = i{z_0} = - \frac{1}{2} + 2i

  • Câu 38: Vận dụng

    Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Gọi điểm I \in CC' sao cho \overrightarrow{C'I} = \frac{1}{3}\overrightarrow{C'C}, G là trọng tâm tứ diện BAB'C'. Biểu diễn vectơ \overrightarrow{IG} qua các vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Đáp án nào dưới đây đúng?

    Ta có G là trọng tâm của tứ diện BA'B'C' nên

    4\overrightarrow{IG} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA'} + \overrightarrow{IB'} + \overrightarrow{IC'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CB} ight) + \left( \overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'A'} ight) + \left( \overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'B'} ight) + \overrightarrow{IC'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \overrightarrow{IC'} + \left( 2\overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{IC} ight) + \left( \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{C'B'} ight) + \overrightarrow{C'A'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{0} + 2\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AA'} + 2\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + 2\left( \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} ight) - \overrightarrow{c}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d:\frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 1}{1} và mặt phẳng (P):3x + 5y - z - 2 = 0?

    Gọi I là giao điểm của d và (P).

    Ta có I \in d \Leftrightarrow I(4t + 12;3t + 9;t + 1)

    I \in (P) \Leftrightarrow 3(4t + 12) + 5(3t + 9) - (t + 1) - 2 = 0

    \Leftrightarrow 26t = - 78 \Leftrightarrow t = - 3

    Suy ra I(0;0; - 2)

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1. Tìm \min \left| {{z^3} - z + 2} ight|.

     Gọi z = a + bi, với a, b \in \mathbb{R}.

    Theo giả thiết ta có \left| z ight| = 1 suy ra z.\bar z = 1 và {a^2} + {b^2} = 1, - 1 \le a \le 1.

    Ta có \left| {{z^3} - z + 2} ight| = \left| {{z^3} - z + 2z.\bar z} ight| = \left| z ight|\left| {{z^2} - 1 + 2\bar z} ight|

    = \left| {{a^2} - {b^2} + 2a - 1 + \left( {2ab - 2b} ight)i} ight| = \left| {2\left( {{a^2} + a - 1} ight) + 2b\left( {a - 1} ight)i} ight|

    = \sqrt {4{{\left( {{a^2} + a - 1} ight)}^2} + 4{b^2}{{\left( {a - 1} ight)}^2}}

    = \sqrt {16{a^3} - 4{a^2} - 16a + 8} = 2\sqrt {4{a^3} - {a^2} - 4a + 2}

    Xét hàm số f\left( x ight) = 4{x^3} - {x^2} - 4x + 2 trên \left[ { - 1;\,1} ight].

    Ta có f'\left( x ight) = 12{x^2} - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\x = - \dfrac{1}{2}\end{array} ight..

    Ta có f\left( { - 1} ight) = 1;f\left( 1 ight) = 1;f\left( {\frac{2}{3}} ight) = \frac{2}{{27}};f\left( { - \frac{1}{2}} ight) = \frac{{13}}{4}.

    Vậy \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\,1} ight]} f\left( x ight) = f\left( {\frac{2}{3}} ight) = \frac{2}{{27}}.

    Do đó \min \left| {{z^3} - z + 2} ight| = \frac{{2\sqrt 6 }}{9} khi a = \frac{2}{3} và b = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}.

  • Câu 41: Vận dụng cao

    Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;4;5), B(3;4;0), C(2;-1;0) và mặt phẳng (P): 3x-3y-2z-12=0. Gọi M(a; b; c) thuộc (P) sao cho MA^2+MB^2+3MC^2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a+b+c.

    Giả sử I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\vec{0} .

    Khi đó \overrightarrow{IA}(1-x;4-y;5-z), \overrightarrow{IB}(3-x;4-y;-z), \overrightarrow{IC}(2-x;-1-y;-z) ;

    \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=(10-5x;5-5y;5-5z); ;

    \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 \\ y=1 \\ z=1 \end{matrix}ight. \Rightarrow I (2;1;1);

    MA^2+MB^2+3MC^2 = \overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2+3\overrightarrow{MC}^2

    = (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2+3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})^2

    =5MI^2+2\vec{MI}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC})+IA^2+IB^2+IC^2

    =5MI^2+IA^2+IB^2+IC^2   (vì \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\vec{0})

    Vì I cố định nên MA^2+MB^2+3MC^2 đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên (P) .

    Gọi \triangle là đường thẳng qua I và vuông góc với (P)

    Phương trình đường thẳng \triangle:\left\{\begin{matrix} x=2+3t \\ y=1-3t \\ z=1-2t \end{matrix}ight..

    Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình:

     \left\{\begin{matrix} x=2+3t \\ 1-3t \\ z=1-2t \\3x-3y-2z-12=0 \end{matrix}ight. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} t=\dfrac{1}{2} \\ x=\dfrac{7}{2} \\ y=\dfrac{-1}{2} \\ z=0\end{matrix}ight.

    \Rightarrow M(\frac{7}{2};\frac{-1}{2};0) \Rightarrow a+b+c=3.

  • Câu 42: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy với vận tốc 36km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc a(t) = 1 + \frac{t}{3}\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường mà ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ôtô bắt đầu tăng tốc.

    Ta có:

    v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{\left( 1 + \frac{t}{3} ight)dt} = t + \frac{t^{2}}{6} + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 36(km/h) = 10(m/s)

    \Rightarrow v_{(t = 0)} = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow v(t) = t + \frac{t^{2}}{6} + 10

    Khi đó quãng đường xe đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

    S = \int_{0}^{6}{v(t)dt} = \int_{0}^{6}{\left( t + \frac{t^{2}}{6} + 10 ight)dt} = 90m

  • Câu 43: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 44: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}{\text{ khi }}x \geqslant 0 \hfill \\ {\left( {2x + 1} ight)^3}{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. và F(4) + F( - 1) = 8. Giá trị biểu thức Q = F( - 2) + F(12) bằng:

    Ta có: F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx} = \left\{ \begin{gathered} \sqrt {2x + 1} + {C_1}{\text{ khi }}x \geqslant 0 \hfill \\ \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^4}}}{8}{\text{ + }}{{\text{C}}_2}{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    F(4) + F( - 1) = 8\Rightarrow \sqrt{8 +1} + C_{1} + \frac{( - 2 + 1)^{4}}{8} + C_{2} = 8\Rightarrow C_{1} +C_{2} = \frac{39}{8}(*)

    Do đó: Q = F( - 2) + F(12) = \sqrt{2.12 + 1} + \frac{( - 4 + 1)^{4}}{8} + C_{1} + C_{2} = 20

  • Câu 45: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Hãy phân tích vectơ \overrightarrow{BD} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}?

    Hình vẽ minh họa

    Theo quy tắc hình bình hành ta có:

    \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}

  • Câu 46: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - {x^2} + 2x - 2, trục hoành và các đường thẳng x = 0;x = 3

    Diện tích S của hình phẳng trên là: S = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 2x - 2} ight|dx}

    Ta có: - {x^2} + 2x - 2 \leqslant 0;\forall x \in \left[ {0;3} ight]

    => S = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 2x - 2} ight|dx} = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 2x + 2} ight)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 2x} ight)} ight|_0^3 = 6\left( {dvdt} ight)}

  • Câu 47: Nhận biết

    Cho hình phẳng D giới hạn bới đường cong y = \sqrt {{x^2} + 1}, trục hoành và các đường thẳng x = 0;x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

    Thể tích cần tìm là: v = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^2}dx} = \frac{{4\pi }}{3}

  • Câu 48: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng (d1 ): \left\{ \begin{array}{l}x - y + z - 5 = 0\\x - 3y + 6 = 0\end{array} ight. và ({d_2})\left\{ \begin{array}{l}2y + z - 5 = 0\\4x - 2y + 5z - 4 = 0\end{array} ight.

    Xét VTTĐ của (d1 ) và (d2 )? Tìm câu đúng ?

    Chuyển đường thẳng (d1 ) và (d2 ) về dạng tham số :

    ({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 + 3t\\y = t\\z = 11 - 2t\end{array} ight. \Rightarrow ({d_1}) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = (3,1, - 2) và qua A( - 6,0,11) .

    ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{15}}{4} - 3t'\\y = 3 - t'\\z = - 1 + 2t'\end{array} ight. \Rightarrow \left( {{d_2}} ight) có vectơ chỉ phương \overrightarrow b = (\frac{{15}}{4},3, - 1)

    \overrightarrow a earrow \swarrow \overrightarrow bvà hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} - 6 + 3t = \frac{{15}}{4} - 3t'\\t = 3 - t'\\11 - 2t = - 1 + 2t'\end{array} ight. vô nghiệm.

    \Rightarrow ({d_1})//(d_{2} ).

  • Câu 49: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 6 - 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \overline z.

     Ta có \overline z = \overline { - 6 - 3i} = - 6 + 3i nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.

  • Câu 50: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = 3{x^2} + 1

     Ta có:

    \int {\left( {3{x^2} + 1} ight)dx} = \int {3{x^2}dx} + \int {1.dx} = {x^3} + x + C

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 247 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 50:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập