Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
. Khi đó số điểm cực trị của hàm số
là:
Ta có: là một nguyên hàm của hàm số
. Do
là nghiệm bội 1 còn
là nghiệm bội 2 nên hàm số
có hai điểm cực trị.
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC, biết:
. Tìm tọa độ vectơ trung tuyến ![]()
Ta có nên suy ra được tọa độ 2 điểm tương ứng là:
Vậy ta được: .
Vì là vecto trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC. Suy ra M có tọa độ là:
.
Suy ra ta có
Vậy .
Diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị
và
được tính theo công thức
Phương trình hoành độ giao điểm của và
là:
Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị
và
được tính theo công thức
.
Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là
=
= a – bi
Tìm nguyên hàm
.
Ta có:
Giá trị của tích phân
bằng:
Ta có: .
Cho hai số phức
. Tìm môđun của số phức
.
Ta có:
Cho là một nguyên hàm của hàm số
và
. Tính ![]()
Cách 1:
Đặt
Khi đó
=>
Mặt khác
=> C = 0
=>
=>
Cách 2: . Sử dụng máy tính cầm tay để tính.
Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
. Gọi
là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình
xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:
Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:
.
Trong không gian
, cho vật thể
giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình
và
với
. Gọi
là diện tích thiết diện của
bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ là
, với
. Biết hàm số
liên tục trên đoạn
, khi đó thể tích
của vật thể
được cho bởi công thức:
Vì là diện tích thiết diện của
bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ là
, với
ta có:
không phải là
.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Mặt khác
=>
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
Cho hàm số
có đạo hàm trên khoảng
thỏa mãn
và
. Giá trị tích phân
bằng:
Từ giả thiết ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra
Vì nên
Đặt
Theo công thức tích phân từng phần ta được:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Có bao nhiêu điểm
cách đều các mặt phẳng
?
Ta có
Ta có:
Ta có:
Gọi điểm cách đều các mặt phẳng
Từ
Từ
Từ
Từ (1), (3), (5) suy ra , b khác 0 tùy ý.
Như vậy có vô số điểm cách đều bốn mặt phẳng
Cho hình chóp
có
, các cạnh
đôi một vuông góc. Gọi
là trung điểm của
. Tính tích vô hướng của hai vectơ
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Như vậy:
Cho số phức z thỏa mãn
, gọi
lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
. Tính ![]()
Ta có
Vì nên
.
Suy ra
Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Ta có
Cho số phức
thỏa mãn
. Tính ![]()
Giả sử:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng
?
Điểm không thuộc mặt phẳng
.
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba điểm
. Tính khoảng cách
từ gốc toạ độ
đến mặt phẳng
?
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến
là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
lên
. Tìm tọa độ điểm
?
Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên (P) nên
Điểm H thuộc mặt phẳng (P) nên ta có phương trình:
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
Ta có:
Vậy là đáp án cần tìm.
Cho
là nghiệm của phương trình sau:
.
Tính ![]()
M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba
Cho là nghiệm của phương trình sau:
.
Tính
M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba
Ta có:
Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:
Từ hệ trên, rõ ràng và
.
Đặt , hệ
Vì
Tìm các số thực x, y thoả mãn:
![]()
Theo giả thiết:
=>
=>
Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với
tại điểm có hoành độ
là hình chữ nhật có kích thước là
và
?
Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với tại điểm có hoành độ
là hình chữ nhật có kích thước là
và
Diện tích thiết diện được xác định theo hàm là:
⇒ Thể tích vật thể tròn xoay:
Cho hàm số
là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Biết
và
. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ
là:
Từ đồ thị hàm số ta suy ra
Xét tích phân . Đặt
Đổi cận
Do đó
Xét tích phân . Đặt
Đổi cận
Theo bài ra suy ra
Như vậy . Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
là:
.
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
là:
Ta có:
Xét hình phẳng
giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).

Diện tích hình phẳng
được tính theo công thức
Ta có:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
và ![]()
Ta có:
Trong không gian
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
Ta có:
∆ có vectơ chỉ phương là
(α) có vectơ pháp tuyến là
.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm
và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là
. Máy bay sẽ bay qua điểm
của đường màu
để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm
, hãy tính giá trị biểu thức
.
Đáp án: 50
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là
. Máy bay sẽ bay qua điểm
của đường màu
để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm
, hãy tính giá trị biểu thức
.
Đáp án: 50
Ta có:
Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP có dạng
Điểm và
Ta có:
Vậy
Cho số phức
. Tính |z|
Ta có
Cho hai số phức
và
. Tìm phần ảo b của số phức
.
Ta có:
Cho phương trình sau:
. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?
4 || Bốn || bốn
Cho phương trình sau: . Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?
4 || Bốn || bốn
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên
có nghiệm
.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm và cộng tổng chúng lại ta được 4.
Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:![]()
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:.
Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự
, khác 0 và
thỏa mãn đẳng thức
. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.
Hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự .
Theo giả thiết suy ra: và
.
Ta có:
.
Xét
.
Vậy hay tam giác
là tam giác đều.
Cho hai số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
tương ứng bằng:
Ta có:
Hàm số
có nguyên hàm là:
Ta có:
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
. Tính tỉ số
?
Ta có:
Lại có và ba điểm
thẳng hàng
Vậy đáp án đúng là .
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
liên tục trên đoạn
, trục Ox và hai đường thẳng
có diện tích là:
Công thức tính diện tích cần tìm là: .
Cho
và hai mặt phẳng
. Khi đó:
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).
Vì nên
.
Gọi
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Gọi và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Ta có .
Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:
.
Do đó .
Trong không gian
, cho đường thẳng
. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng
?
Thay vào
ta được:
Thay vào
ta được:
Thay vào
ta được:
hệ vô nghiệm nên
.
Thay vào
ta được:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và đường thẳng
. Biết điểm
thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị
bằng:
Vì nên SMAB nhỏ nhất khi d(M, AB) nhỏ nhất. Phương trình của
Dễ dàng kiểm tra AB và d chéo nhau.
Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB.
Khi đó nhỏ nhất khi MH là đoạn vuông góc chung của d và AB.
Ta có:
Vectơ chỉ phương của d và AB theo thứ tự là
Vậy
Xác định phần ảo của số phức
.
Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12
Cho 3 vectơ
đều khác
. Ba vectơ
đồng phẳng khi và chỉ khi:
Áp dụng Điều kiện để 3 vecto đồng phẳng là:
Trong không gian
, cho các điểm
. Số điểm cách đều bốn mặt phẳng
là
Gọi là điểm cách đều bốn mặt phẳng đã cho.
Dễ thấy các mặt phẳng lần lượt là các mặt phẳng
.
Mặt phẳng (ABC) có phương trình tổng quát là .
Do I cách đều các mặt phẳng này nên ta có:
Ta có các trường hợp
Trường hợp 1. . Khi đó (1) tương đương:
Ta được hai điểm thỏa mãn bài toán.
Trường hợp 2. Trong ba số có hai số bằng nhau và bằng số đối của số còn lại.
Khi đó, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử (các trường hợp còn lại tương tự) và (1) tương đương:
Ta được hai điểm thỏa mãn bài toán.
Vậy số điểm cách đều bốn mặt phẳng đã cho là .