Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 50 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x -\sin2x?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{(x- \sin2x)dx} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\cos2x + C

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha) đi qua điểm A(2; - 1;5) và vuông góc với hai mặt phẳng (P):3x - 2y + z + 7 = 0(Q):5x - 4y + 3z + 1 = 0. Phương trình của mặt phẳng (\alpha)

    Ta có các vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) là \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{n_{(P)}} = (3; - 2;1) \\
\overrightarrow{n_{(Q)}} = (5; - 4;3) \\
\end{matrix} ight.

    Theo giả thiết mặt phẳng (α) vuông góc với (P) và (Q) do đó

    \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\left(
\overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ight) \Rightarrow
\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = \left\lbrack
\overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack =
(1;2;1)

    Suy ra, phương trình mặt phẳng (α) có dạng 1(x - 2) + 2(y + 1) + 1(z - 5) = 0

    Hay x + 2y + z - 5 = 0

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Tính tổng T = \frac{C_{2018}^{0}}{3} -
\frac{C_{2018}^{1}}{4} + \frac{C_{2018}^{2}}{5} - \frac{C_{2018}^{3}}{6}
+ ... - \frac{C_{2018}^{2017}}{2020} +
\frac{C_{2018}^{2018}}{2021}?

    Ta có:

    x^{2}(1 - x)^{2018} = x^{2} \cdot \sum_{k
= 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k}( - 1)^{k} = \sum_{k =
0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}.

    Do đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu} x^{2}(1 -x)^{2018}dx = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx.

    Mặt khác:

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx. =\left. \ \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}\frac{x^{k + 3}}{k+ 3}( - 1)^{k} ight|_{0}^{1}= \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu}C_{2018}^{k} \cdot \frac{( - 1)^{k}}{k + 3} = T.

    Đặt t = 1 - x \Rightarrow dt = -
dx.

    Đổi cận x = 0 \Rightarrow t = 1x = 1 \Rightarrow t = 0. Khi đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}x^{2}(1 - x)^{2018}dx = \int_{1}^{0}\mspace{2mu}\mspace{2mu}t^{2018}(1 - t)^{2}( - dt)

    = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}
t^{2018}\left( t^{2} - 2t + 1 ight)dt = \left. \ \left(
\frac{t^{2021}}{2021} - 2 \cdot \frac{t^{2020}}{2020} +
\frac{t^{2019}}{2019} ight) ight|_{0}^{1}

    = \frac{1}{2021} - \frac{2}{2020} +
\frac{1}{2019} = \frac{1}{1010 \cdot 2019 \cdot 2021} =
\frac{1}{4121202990}

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho điểm P(-3 , 1, -1)  và đường thẳng (d): \left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.

    Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:

    Chuyển (d) về dạng tham số : \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2} + 3t\\y =  - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.

    Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: 3x + 4y + 2z + D = 0, cho qua P tính được D=7 .

    Ta có (Q): 3x + 4y + 2z + 7 = 0 .

    Thế x, y, z  theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được t = \frac{1}{2}

    Giao điểm I của (d) và (Q)  là I (1, -3, 1) .

    Vì I là trung điểm của PP’ nên \Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight).

  • Câu 5: Nhận biết

    Giá trị tích phân I =
\int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx} bằng:

    Ta có:

    I = \int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx} =
\int_{1}^{2}{x^{- 6}dx} = \left. \ \frac{x^{- 5}}{- 5} ight|_{1}^{2} =
\frac{31}{125}

  • Câu 6: Nhận biết

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3^{x};y = 0;x = 0;x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có: S = \int_{0}^{2}{\left| 3^{x}
ight|dx} = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}

  • Câu 7: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{x + 1}}{{{x^2}}}dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{x + 1}}{{{x^2}}}dx} có giá trị là:

    \begin{matrix}  I = \int\limits_e^{{e^2}} {\dfrac{{x + 1}}{{{x^2}}}dx}  \hfill \\   = \int\limits_e^{{e^2}} {\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} ight)dx}  \hfill \\   = \left. {\left( {\ln \left| x ight| - \dfrac{1}{x}} ight)} ight|_e^{{e^2}} \hfill \\   = 1 + \dfrac{1}{e} - \dfrac{1}{{{e^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) = \left( ax^{2} + bx + c
ight)e^{- x} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{-
x} trên \mathbb{R}. Giá trị của biểu thức f\left( F(0)
ight) bằng:

    Ta có: \left( F(x) ight)' =
\left\lbrack \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x}
ightbrack'

    = \left\lbrack - ax^{2} + (2a - b)x + b
- c ightbrack e^{- x}

    = \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{-
x} suy ra \left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\2a - b = - 5 \\b - c = 2 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\b = 1 \\c = - 1 \\\end{matrix} ight.\Rightarrow F(x) = \left( 2x^{2} + x - 1ight)e^{- x}

    \Rightarrow F(0) = - 1 \Rightarrow
f\left( F(0) ight) = f( - 1) = 9e

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho z_1 =2-iz_2 = 5+6i. Tính T = z_1 : z_2?

     Ta có z_1 =2-iz_2 = 5+6i. Tính:

     z_1 : z_2 = \frac {2-i}{5+6i}=\frac {(2-i)(5-6i)}{(5+6i)(5-6i)}=\frac{4}{61} - \frac{17}{61}i

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{2022}}. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là?

     Ta có: z = 1 + i\frac{{1 - {i^{2022}}}}{{1 - i}} = i

    Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1.

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(2;1; - 3),B(0; - 2;5)C(1;1;3). Diện tích hình bình hành ABCD là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2; -
3;8),\overrightarrow{AC} = ( - 1;0;6)

    \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 18;4; -
3)

    Suy ra diện tích ABCD là:

    S_{ABCD} = \left| \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| =
\sqrt{349}

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho số phức z  thỏa mãn z = {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} ight)^{2024}}. Viết z dưới dạng z = a + bi, \, \, a,b \in \mathbb{R}. Khi đó tổng a+b có giá trị bằng bao nhiêu?

     z = {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} ight)^{2024}} = {\left( { - i} ight)^{2024}} = {\left( {{i^4}} ight)^{506}} = 1

  • Câu 13: Thông hiểu

    Gọi z_1 và  z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2\left( {1 + i} ight){z^2} - 4\left( {2 - i} ight)z - 5 - 3i = 0 . Tính {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

    9 || chín || Chín

    Đáp án là:

    Gọi z_1 và  z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2\left( {1 + i} ight){z^2} - 4\left( {2 - i} ight)z - 5 - 3i = 0 . Tính {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

    9 || chín || Chín

     Ta có \Delta ' = 4{\left( {2 - i} ight)^2} + 2\left( {1 + i} ight)\left( {5 + 3i} ight) = 16.

    Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:

    {z_1} = \frac{3}{2} - \frac{5}{2}i,\,\,\,{z_2} =  - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i.

    Do đó  {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} =9.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho số phức {z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i. Tìm số phức z thỏa mãn \overline z .{z_1} + {z_2} = 0.

     Ta có: \overline z  = \frac{{ - {z_2}}}{{{z_1}}} = \frac{{ - 3 - 2i}}{{1 - i}} =  - \frac{1}{2} - \frac{5}{2}i \Rightarrow z =  - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i

  • Câu 15: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình: (z^2 + 3z +6)^2 + 2z(z^2 + 3z +6) – 3z^2 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

    t^2 +2zt – 3z^2 = 0 \Leftrightarrow (t – z)(t+3z) = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = z\\t =  - 3z\end{array} ight.

    + Với t = z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 –z = 0  \Leftrightarrow  z^2 + 2z + 6 = 0  \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z =  - 1 + \sqrt 5 i\\z =  - 1 - \sqrt 5 i\end{array} ight.

    + Với t = -3z \Leftrightarrow  z^2 + 3z +6 +3z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 6z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z =  - 3 + \sqrt 3 \\z =  - 3 - \sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y =
x^{5}.Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \left(
\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}
ight)\mathbf{'}\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{5}}

    Vậy đáp án cần tìm là: \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}\mathbf{+
C}.

  • Câu 17: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x\cos x + \frac{1}{x + 1} là:

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x +1}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{\left(\frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x + 1} ight)dx} = - \frac{1}{4}\cos2x +\ln|x + 1| + C

  • Câu 18: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} + 4z + 7 = 0  là:

     Ta có: \Delta ' = {2^2} - 7 =  - 3 = 3{i^2}

    \Rightarrowcác căn bậc hai của \triangle '  là \pm i\sqrt 3

    Vậy nghiệm của phương trình là: z =  - 2 + \sqrt 3 i,\,\,\,z =  - 2 - \sqrt 3 i

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong \mathbb C, phương trình 2x^2+x+1=0 có nghiệm là:

     Ta có: \Delta  = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 =  - 7 = 7{i^2} < 0 nên phương trình có hai nghiệm phức là: {x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{4}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho số phức z =  - 6 - 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \overline z.

     Ta có \overline z  = \overline { - 6 - 3i}  =  - 6 + 3i nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1. Tìm \min \left| {{z^3} - z + 2} ight|.

     Gọi z = a + bi, với a, b \in \mathbb{R}.

    Theo giả thiết ta có \left| z ight| = 1 suy ra z.\bar z = 1{a^2} + {b^2} = 1, - 1 \le a \le 1.

    Ta có \left| {{z^3} - z + 2} ight| = \left| {{z^3} - z + 2z.\bar z} ight| = \left| z ight|\left| {{z^2} - 1 + 2\bar z} ight|

    = \left| {{a^2} - {b^2} + 2a - 1 + \left( {2ab - 2b} ight)i} ight| = \left| {2\left( {{a^2} + a - 1} ight) + 2b\left( {a - 1} ight)i} ight|

    = \sqrt {4{{\left( {{a^2} + a - 1} ight)}^2} + 4{b^2}{{\left( {a - 1} ight)}^2}}

    = \sqrt {16{a^3} - 4{a^2} - 16a + 8}  = 2\sqrt {4{a^3} - {a^2} - 4a + 2}

    Xét hàm số f\left( x ight) = 4{x^3} - {x^2} - 4x + 2 trên \left[ { - 1;\,1} ight].

    Ta có f'\left( x ight) = 12{x^2} - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} ight..

    Ta có f\left( { - 1} ight) = 1;f\left( 1 ight) = 1;f\left( {\frac{2}{3}} ight) = \frac{2}{{27}};f\left( { - \frac{1}{2}} ight) = \frac{{13}}{4}.

    Vậy \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\,1} ight]} f\left( x ight) = f\left( {\frac{2}{3}} ight) = \frac{2}{{27}}.

    Do đó \min \left| {{z^3} - z + 2} ight| = \frac{{2\sqrt 6 }}{9} khi a = \frac{2}{3}b =  \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}.

  • Câu 22: Vận dụng

    Xét phương trình {z^3} = 1 trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:

     Ta có:

    {z^3} = 1 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {{z^2} + z + 1} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z^2} + z + 1 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z =  - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} ight.

    Suy ra: S = \left\{ {1; - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} ight\}

  • Câu 23: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z  = \overline {5 - 3i}  = 5 - ( - 3i) = 5 + 3i

  • Câu 24: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2x + 4y + 3z - 5 = 0(Q):mx - ny - 6z + 2\  = \ 0. Giá trị của m, n sao cho (P)//(Q)

    Ta có: (P) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{(P)}} = (2;4;3), (Q) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{(Q)}} = (m; - n; -
6)

    Để hai mặt phẳng song song thì \overrightarrow{u_{(P)}} =
k\overrightarrow{u_{(Q)}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = 2k \\
- n = 4k \\
- 6 = 3k \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
k = - 2 \\
m = - 4 \\
n = 8 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là: m = - 4;n =
8.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x.e^{- x} thỏa mãn F(0) = 1?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
u = x \\
dv = e^{- x}dx \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
du = dx \\
v = - e^{- x} \\
\end{matrix} ight.

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(
x.e^{- x} ight)dx}

    = - xe^{- x} + \int_{}^{}{e^{- x}dx} +
C

    = - xe^{- x} - e^{- x} + C. Theo bài ra ta có: F(0) = 1 \Leftrightarrow - 1 -
1 + C = 1 \Rightarrow C = 2

    Vậy - (x + 1)e^{- x} + 2 là đáp án cần tìm.

  • Câu 26: Vận dụng

    Cho đường tròn \left( C ight):{x^2} + {y^2} = 8 và parabol \left( P ight):{y^2} = 2x. \left( P ight) cắt \left( C ight) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của hai phần đó.

    Hoành độ giao điểm của (P) và (C) là: 2x = 8 - {x^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x = 2} \\   {x =  - 4\left( L ight)} \end{array}} ight.

    Xét giao điểm thuộc góc phần tư thứ nhất, với x = 2 \Rightarrow y = 2

    Gọi S2 là phần có diện tích nhỏ hơn, S1 là phần còn lại

    Ta có:

    \begin{matrix}  {S_2} = 2\int\limits_0^2 {\left[ {\sqrt {8 - {y^2}}  - \dfrac{{{y^2}}}{2}} ight]} dy \hfill \\   = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {8 - {y^2}} } dy - \int\limits_0^2 {{y^2}} dy \hfill \\   = 2I - \left. {\dfrac{{{y^3}}}{3}} ight|_0^2 = 2I - \dfrac{8}{3} \hfill \\ \end{matrix}

    Đặt y = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow dy = 2\sqrt 2 \cos tdt

    \begin{matrix}  I = \int_0^2 {\sqrt {8 - {y^2}} } dy = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} } .2\sqrt 2 \cos tdt \hfill \\   = 8\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} } .\cos tdt = 8\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}} tdt \hfill \\   = 4\int_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2t)} dt = \left. {4\left[ {t + \frac{1}{2}\sin 2t} ight]} ight|_0^{\frac{\pi }{4}} = \pi  + 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó {S_2} = 2\pi  + \frac{4}{3}

    Diện tích hình tròn {S_2} = \pi {\left( {2\sqrt 2 } ight)^2} = 8\pi

    \begin{matrix}  {S_1} = 8\pi  - \left( {2\pi  + \dfrac{4}{3}} ight) = 6\pi  - \dfrac{4}{3} \hfill \\   \Rightarrow \dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{{9\pi  - 2}}{{3\pi  + 2}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Phần thực của số phức z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} là:

    Ta có:

    z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} = 5 + 2i + 2 - 2i = 7

  • Câu 28: Vận dụng

    Tìm nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}

     \int {f\left( x ight)} dx = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}} dx = {\int {\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)} ^{10}}.\frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    Đặt t = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \Rightarrow dt = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}dx}} \Rightarrow \frac{1}{3}dt = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    => \int {f\left( x ight)} dx = \int {{t^{10}}.\frac{1}{3}dt = \frac{1}{{33}}.{t^{11}} + C}

    => \frac{1}{{33}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C

  • Câu 29: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;5;3) và hai mặt phẳng (P):2x + y + 2z - 8 = 0,(Q):x - 4y + z - 4 =
0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và song song với hai mặt phẳng (P),(Q)?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;1;2) \\
\overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 4;1) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (9;0;
- 9)

    Do đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} =
(1;0; - 1).

    Vậy phương trình đường thẳng d là \left\{
\begin{matrix}
x = 3 + t \\
y = 5 \\
z = 3 - t \\
\end{matrix} ight.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Đáp án là:

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Ta có: (x + yi)^3 = x^3 – 3xy^2 + (3x^2y – y^3)i = 18 + 26i

    Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được: \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x{y^2} = 18\\3{x^2}y - {y^3} = 26\end{array} ight.

    Từ hệ trên, rõ ràng x eq 0y eq 0.

    Đặt y= tx , hệ \Rightarrow 18(3x^2y – y^3) = 26(x^3 – 3xy^2 )

    \Rightarrow 18(3t-t^3 ) = 26(1-3t^2)

    \Leftrightarrow 18t^3 – 78t^2 – 54t+26 = 0

    \Leftrightarrow  ( 3t- 1)(3t^2 – 12t – 13) = 0.

    x, y \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \in \mathbb{Q} \Rightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3 ; y = 1 \mbox{ hay } z = 3 + i.

    \Rightarrow M= x+2020y=3+2020.1=2023

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\} thỏa mãn f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2};f\left( 2 ight) = 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

     Ta có:

    \begin{matrix}  f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\   \Leftrightarrow \left( x ight)'f\left( x ight) + xf'\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ {xf\left( x ight)} ight]' = 3{x^2} \hfill \\ \end{matrix}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \begin{matrix}  \int {\left[ {xf\left( x ight)} ight]'dx = \int {3{x^2}dx} }  \hfill \\   \Leftrightarrow xf\left( x ight) = {x^3} + C \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác f\left( 2 ight) = 8 \Rightarrow 3.f\left( 2 ight) = 8 + C \Rightarrow C = 8

    => xf\left( x ight) = {x^3} + 8 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{{{x^3} + 8}}{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{{{x^3} + 8}}{x} = 0 \Rightarrow x =  - 2

    Ta có: f'\left( x ight) = \frac{{2{x^3} - 8}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {f'\left( { - 2} ight) =  - 6} \\   {f\left( { - 2} ight) = 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

    y = f'\left( { - 2} ight)\left( {x + 2} ight) + f\left( { - 2} ight) \Rightarrow y =  - 6x - 12

  • Câu 32: Nhận biết

    Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, đường thẳng x = a;x = b như hình vẽ sau:

    Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

    Dựa vào hình biểu diễn hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành, đường thẳng x = a;x = b ta có: S = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} +
\int_{c}^{b}{f(x)dx}.

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho bốn điểm A\left( { - 1,5, - 10} ight);B\left( {5, - 7,8} ight),C\left( {2,2, - 7} ight)D\left( {5, - 4,2} ight). Câu nào sau đây đúng? ABDC là:

    Ta có \overrightarrow {AB}  = \left( {6. - 12,18} ight);\,\,\overrightarrow {CD}  = \left( {3, - 6,9} ight) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {CD}

    Do đó \overrightarrow {AB}  cùng phương \overrightarrow {CD}  \Rightarrow ABDC là hình thang.

  • Câu 34: Nhận biết

    Hàm số f(x) = x^{3} + \sin x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: F'(x) = 3x^{2} + \cos
x

  • Câu 35: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy với vận tốc 36km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc a(t) = 1 + \frac{t}{3}\left(
m/s^{2} ight). Tính quãng đường mà ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ôtô bắt đầu tăng tốc.

    Ta có:

    v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} =
\int_{}^{}{\left( 1 + \frac{t}{3} ight)dt} = t + \frac{t^{2}}{6} +
C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 36(km/h)
= 10(m/s)

    \Rightarrow v_{(t = 0)} = 10 \Rightarrow
C = 10 \Rightarrow v(t) = t + \frac{t^{2}}{6} + 10

    Khi đó quãng đường xe đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

    S = \int_{0}^{6}{v(t)dt} =
\int_{0}^{6}{\left( t + \frac{t^{2}}{6} + 10 ight)dt} =
90m

  • Câu 36: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y +
2}{1} = \frac{z}{- 1} không đi qua điểm nào dưới đây?

    Ta có \frac{- 1 - 1}{2} eq \frac{2 +
2}{1} eq \frac{0}{- 1} nên điểm (
- 1;2;0) không thuộc đường thẳng \Delta.

  • Câu 37: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD biết A(1; 0; 1), B(−3; 0; 1) và điểm D có cao độ âm. Mặt phẳng (ABCD) đi qua gốc tọa độ O. Khi đó đường thẳng d là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có phương trình là:

    Ta có:

    \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AO} ightbrack = (0; -
4;0) Mặt phẳng (ABCD) đi qua điểm A và nhận \overrightarrow{n} = (0;1;0) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình y = 0.

    Giả sử D\left( x_{D},\ y_{D},\ z_{D}
ight). Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} = 0 \\
\left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{AB} ight|
\\
D \in (ABCD) \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{D} = 0 \\
\left( x_{D} - 1 ight)^{2} + {y_{D}}^{2} + \left( z_{D} - 1
ight)^{2} = 16 \\
y_{D} = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{D} = 0 \\
\left( z_{D} - 1 ight)^{2} = 16 \\
y_{D} = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{D} = 0 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
z_{D} = 5 \\
z_{D} = - 3 \\
\end{matrix} ight.\  \\
y_{D} = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Vì D có cao độ âm nên D(1; 0; −3). Khi đó, tâm I của hình vuông ABCD có tọa độ I(−1; 0; −1).

    Trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD đi qua I(−1; 0; −1) và nhận \overrightarrow{n} = (0;1;0) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình \left\{ \begin{matrix}
x = - 1 \\
y = t \\
z = - 1 \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 38: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z  = \overline {3 - 4i}  = 3 - ( - 4i) = 3 + 4i

  • Câu 39: Thông hiểu

    Với giá trị nào của m > 0 thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2}y = mx bằng \frac{4}{3}?

    Xét phương trình hoành độ giao điểm x^{2}
= mx \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = m \\
\end{matrix} ight..

    Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên được tính bởi

    \int_{0}^{m}{\left| x^{2} - mx
ight|dx} = \int_{0}^{m}{\left( mx - x^{2} ight)dx} = \frac{m^{3}}{6}
= \frac{4}{3} \Rightarrow m = 2.

  • Câu 40: Nhận biết

    Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: z^4 + 2z^2 -3 = 0

     Ta có  z^4 + 2z^2 -3 = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = 1\\{z^2} =  - 3\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  \pm 1\\z =  \pm i\sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình có 4 nghiệm: \left[ \begin{array}{l}z =  \pm 1\\z =  \pm i\sqrt 3 \end{array} ight.

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Đáp án là:

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Ta có: \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i  \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}}{{\left( {1 + i} ight)\left( {1 - i} ight)}} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{ - 2i}}{2} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z = 5 \Leftrightarrow z = \frac{5}{{2 + i}} = 2 - i

    \Rightarrow w = 1 + 2z + {z^2} = {\left( {1 + z} ight)^2} = {\left( {3 - i} ight)^2} = 8 - 6i

    \Leftrightarrow \left| w ight| = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 6} ight)}^2}}  = 10

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx =
6}. Tính I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\lbrack 3f(x) - 2sinxbrack dx}.

    Ta có:

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\lbrack
3f(x) - 2sinxbrack dx}

    = 3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} -
2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = 3.6 - 2 = 16.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng:

     Theo đề bài, ta biến đổi được (b) có dạng:

    \begin{array}{l}\left( b ight):\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\\ \Rightarrow \frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 1}}{2} = t\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 2t\\y + 3 = t\\z - 1 = 2t\end{array} ight.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 3 + t\\z = 1 + 2t\end{array} ight.\end{array}

    Thay x, y, z vào phương trình x+2y+z =9 , ta có:

    => Tọa độ giao điểm của (a) và (b): A (0, - 4, - 1)

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,c là những số thực dương sao cho a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49. Tính T = a^{2} + b^{2} + c^{2} sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là lớn nhất

    Phương trình mặt phẳng (ABC):\frac{x}{a}
+ \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack =\dfrac{1}{\sqrt{\left( \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} +\dfrac{1}{c^{2}} ight)}} = d

    Xét \overrightarrow{u} =
(a;2b;4c),\overrightarrow{v} = \left(
\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c} ight) ta có:

    \left(
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} ight)^{2} \leq
{\overrightarrow{u}}^{2}.{\overrightarrow{v}}^{2}

    \Rightarrow \left( a.\frac{1}{a} +
2b.\frac{1}{b} + 4c.\frac{1}{c} ight)^{2} \leq \left( a^{2} + 4b^{2} +
16c^{2} ight).\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} +
\frac{1}{c^{2}} ight)

    \Rightarrow 49 \leq 49.\left(
\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)

    \Rightarrow \frac{1}{a^{2}} +
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 1 \Rightarrow d\left\lbrack
O;(ABC) ightbrack \leq 1

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{\dfrac{1}{a}} = \dfrac{2b}{\dfrac{1}{b}} = \dfrac{4c}{\dfrac{1}{c}}\\a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a^{2} = 2b^{2} = 4c^{2} \\a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 28c^{2} = 49
\Leftrightarrow c^{2} = \frac{7}{4} \Rightarrow F = 7c^{2} =
\frac{49}{4}

    \max d\left\lbrack O;(ABC)
ightbrack = 1, khi đó F =
\frac{49}{4}.

  • Câu 45: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1;1;3),B(1;3;2),C( - 1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (0;2; - 1) \\
\overrightarrow{AC} = ( - 2;1;0) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack =
(1;2;4)

    Vậy (ABC):x - 1 + 2(y - 1) + 4(z - 3) =
0

    \Leftrightarrow x + 2y + 4z - 15 =
0

  • Câu 46: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; - 3;7),B(0;4;1), C(3;0;5),D(3;3;3). Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oyz) sao cho biểu thức \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; - 3;7),B(0;4;1), C(3;0;5),D(3;3;3). Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oyz) sao cho biểu thức \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 47: Nhận biết

    Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 72 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 45\ \
m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 12t + 24\ \ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quảng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quảng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). Đúng||Sai

    b) Quãng đường s(t) = - 12t^{2} +
24t. Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 10 giây. Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 72 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 45\ \
m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 12t + 24\ \ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quảng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quảng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). Đúng||Sai

    b) Quãng đường s(t) = - 12t^{2} +
24t. Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 10 giây. Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Do s'(t) = v(t) nên quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). Ta có: \int_{}^{}{( - 12t + 24)}dt = - 6t^{2} + 24t +
C với C là hằng số.

    Khi đó, ta gọi hàm số s(t) = - 6t^{2} + 24t +
C.

    Do s(0) = 0 nên C = 0. Suy ra s(t) = - 6t^{2} + 24t.

    Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0 hay - 12t + 24 = 0 \Leftrightarrow t =
2. Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

    Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ 72\
km/h = 20\ m/s.

    Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: s(2) = - 6.2^{2} + 24.2
= 24(\ m).

    Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: 20 + 24 \approx 44\ (\ m).

    Do 44 < 45 nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.

  • Câu 48: Nhận biết

    Cho hình hộp ABCD.EFFH. Tính tổng \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}?

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AG}

  • Câu 49: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tọa độ các điểm B( - 1;2;1),B'( -
2;1;0),C'(5;3;2). Xác định tọa độ điểm C?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi tọa độ điểm C(x;y;z)

    ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên

    \overrightarrow{CC'} =
\overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
5 - x = - 2 - ( - 1) \\
3 - y = 1 - 2 \\
2 - z = 0 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 6 \\
y = 4 \\
z = 3 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ C(6;4;3).

  • Câu 50: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (2;1;0)\overrightarrow{b} = ( - 1;0; -
2). Tính \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)?

    Ta có: \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) =
\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a}
ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{-
2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 210 lượt xem
Sắp xếp theo