Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 50 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho số phức z = 3 + 2i. Tìm số phức w = 2i - \left( {3 - i} ight)\overline z + 2iz - 1?

     Ta có: w = 2i - \left( {3 - i} ight)\overline z + 2iz - 1

    = 2i - \left( {3 - i} ight)\left( {3 - 2i} ight) + 2i\left( {3 + 2i} ight) - 1

    = - 12 + 17i

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(2;1; - 3),B(0; - 2;5) và C(1;1;3). Diện tích hình bình hành ABCD là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 3;8),\overrightarrow{AC} = ( - 1;0;6)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 18;4; - 3)

    Suy ra diện tích ABCD là:

    S_{ABCD} = \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \sqrt{349}

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hai số phức {z_1} = 4 - 3i và {z_2} = 7 + 3i. Tìm số phức z = {z_1} - {z_2}

     Ta có:

    \begin{matrix} z = {z_1} - {z_2} \hfill \\ = \left( {4 - 3i} ight) - \left( {7 + 3i} ight) \hfill \\ = 4 - 3i - 7 - 3i \hfill \\ = (4 - 7) + ( - 3 - 3)i \hfill \\ = - 3 - 6i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Hai đường thẳng \left( {d'} ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = - 3m - t\\z = 2t - 1\end{array} ight.và \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2m\\y = m + 2\\z = - m\end{array} ight.với cắt nhau tại M có tọa độ là :

     

    Để (d’) cắt (d) tại M \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + 4t = 4 - 2m\\ - 3 - t = m + 2\\2t - 1 = - m\end{array} ight. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t + m = 1\\t + m = - 5\end{array} ight. \\\Leftrightarrow t = 6;m = - 11

    \Rightarrow M\left( {26, - 9,11} ight)

     

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 2x - x^{2};y = 0. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:

    Ta có: 2x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:

    V = \pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là ax + by + cz + 9 = 0. Tính tổng a + b + c

    Hình vẽ minh họa

    Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)

    Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

    Phương trình tham số của \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

    Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

    Khi đó \left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}

    Lại có: \cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}

    Vậy \widehat{NMH}lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

    Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

    Vectơ pháp tuyến của (Q) là \overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)

    Vectơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)

    Phương trình mặt phẳng (P) là 1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0

    \Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0

    Vậy a + b + c = 4

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight). Giá trị của x và y bằng:

     Ta có:

    {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi \Leftrightarrow {x^2} - 4 + 4xi = 3x + yi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 4 = 3x \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = 16 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 8: Nhận biết

    Đặt I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx} với m là tham số thực. Tìm giá trị của tham số m để I = 4?

    Ta có: I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx} = \left. \ \left( mx^{2} + x ight) ight|_{1}^{2} = 3m + 1

    Do I = 4 \Leftrightarrow 3m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 1.

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho số phức thỏa mãn điều kiện \left| {{z^2} - 2z + 5} ight| = \left| {(z - 1 + 2i)(z + 3i - 1)} ight|.

    Tìm giá trị nhỏ nhất của \left| {z - 2 + 2i} ight|

    1 || Một || một

    Đáp án là:

    Cho số phức thỏa mãn điều kiện \left| {{z^2} - 2z + 5} ight| = \left| {(z - 1 + 2i)(z + 3i - 1)} ight|.

    Tìm giá trị nhỏ nhất của \left| {z - 2 + 2i} ight|

    1 || Một || một

     Đặt {m{w}} = z - 2 + 2i

    Ta có = \left| {(z - 1 + 2i)(z + 3i - 1)} ight|

    \Leftrightarrow \left| {(z - 1 + 2i)} ight|.\left| {(z - 1 - 2i)} ight|=\left| {(z - 1 + 2i)} ight|.\left| {(z + 3i - 1)} ight|

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 + 2i = 0\\\left| {z - 1 - 2i} ight| = \left| {z + 3i - 1} ight|\end{array} ight..

    TH1: z = 1 - 2i \Rightarrow {m{w}} = - 1 \Rightarrow \left| {m{w}} ight| = 1  (1)

    TH2: \left| {z - 1 - 2i} ight| = \left| {z + 3i - 1} ight|.

    Đặt z=a+bi; a, b \in \mathbb R.

    \Rightarrow {(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} = {(a - 1)^2} + {(b + 3)^2}\Leftrightarrow b = \frac{{ - 1}}{2}.

    \Rightarrow z = a - \frac{1}{2}i  \Rightarrow \left| {m{w}} ight| = \sqrt {{{(a - 2)}^2} + \frac{9}{4}} \ge \frac{3}{2}    (2)

    Từ (1) và (2) , suy ra \min |w| = 1.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau: (z^2 + z)^2 + 4(z^2 + z) -12 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:

    t^2 + 4t – 12 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = - 6\\t = 2\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + z - 6 = 0\\{z^2} + z - 2 = 0\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2}\\z = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2}\\z = 1\\z = - 2\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là

    \frac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2} + \frac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2} + 1 - 2 = - 1 + 1 - 2 = - 2

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{2} - 2x có đồ thị (P). Các tiếp tuyến với đồ thị tại O(0;0) và tại A(3;3) cắt nhau tại B. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung OA của (P) và hai tiếp tuyến BO;BA?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    y' = 2x - 2

    Tiếp tuyến tại O(0; 0) là OB: y = y'(0)(x - 0) + 0 \Leftrightarrow y = - 2x

    Tiếp tuyến tại A(3; 3) là AB: y = y'(3)(x - 3) + 3 \Leftrightarrow y = 4x - 9

    Suy ra OA \cap OB = B\left( \frac{3}{2}; - 3 ight)

    Diện tích hình giới hạn là

    S = \int_{0}^{\frac{3}{2}}{x^{2}dx} + \int_{\frac{3}{2}}^{3}{\left( x^{2} - 6x + 9 ight)dx} = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{9}{4}

  • Câu 12: Nhận biết

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin5x.\cos x?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}

    = - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C

  • Câu 13: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng cắt nhau \Delta_{1}:\frac{x +1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{3},\Delta_{2}:\frac{x + 1}{1} =\frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 3}. Trong mặt phẳng \left( \Delta_{1};\Delta_{2} ight), hãy viết phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi \Delta_{1};\Delta_{2}

    Hai đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có các vectơ chỉ phương tương ứng là \overrightarrow{u_{1}} = (1;2;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2; - 3)

    Ta có \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = - 4 < 0, suy ra góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u_{1}} và \overrightarrow{u_{2}} là góc tù.

    Lại có \left| \overrightarrow{u_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{u_{2}} ight|

    Kết hợp hai điều này, ta suy ra d có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u_{1}} - \overrightarrow{u_{2}} = (0;0;6) = 6(0;0;1)

    Tóm lại, đường thẳng cần tìm đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (0;0;1)

    Vậy phương trình đường thẳng d là: \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn: \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i. Môđun của số phức w = \left( {2 - i} ight)z - 1 là?

     Ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i \Rightarrow z\left( {1 - i} ight) = 2

    \Leftrightarrow z = 1 + i \Rightarrow w = \left( {2 - i} ight)\left( {1 + i} ight) - 1 = 2 + i

    \left| w ight| = \sqrt 5

  • Câu 15: Nhận biết

    Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: z^4 + 2z^2 -3 = 0

     Ta có  z^4 + 2z^2 -3 = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = 1\\{z^2} = - 3\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm 1\\z = \pm i\sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình có 4 nghiệm: \left[ \begin{array}{l}z = \pm 1\\z = \pm i\sqrt 3 \end{array} ight.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình: (z^2 + 3z +6)^2 + 2z(z^2 + 3z +6) – 3z^2 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

    t^2 +2zt – 3z^2 = 0 \Leftrightarrow (t – z)(t+3z) = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = z\\t = - 3z\end{array} ight.

    + Với t = z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 –z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 2z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 1 + \sqrt 5 i\\z = - 1 - \sqrt 5 i\end{array} ight.

    + Với t = -3z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 +3z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 6z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 3 + \sqrt 3 \\z = - 3 - \sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

  • Câu 17: Nhận biết

    Hàm số y = {x^3} + x có nguyên hàm là:

     Ta có: \int {\left( {{x^3} + x} ight)dx} = \int {{x^3}dx} + \int {xdx} = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;1),B( - 1;2;1). Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).

    Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AB có tọa độ I(0; 1; 1).

    Mặt phẳng (OAB) có véc-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 2; - 2;2).

    Suy ra đường thẳng ∆ có \overrightarrow{u} = (1;1; - 1) và đi qua I(0; 1; 1).

    Vậy phương trình đường thẳng ∆ là \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho số phức \frac{{3 - i}}{z} + {\left( {2 - i} ight)^3} = 3 - 13i. Số phức \frac{{{{\left( {z + 12i} ight)}^2}}}{i} + {z^2} là số phức nào sau đây?

     Ta có: {\left( {2 - i} ight)^3} = 2 - 11i \Rightarrow z = \frac{{3 - i}}{{1 - 2i}} = 1 + i

    Suy ra  \frac{{{{\left( {z + 12i} ight)}^2}}}{i} + {z^2} = ((1+i) +12i)^2 :i +(1+i)^2

    =(1+13i)^2 :i +(1+i)^2 =26+168i +2i =26+170i.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Gọi {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} là bốn nghiệm của phương trình {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 trên tập

    số phức tính tổng: S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}}.

    Ta có: {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {z + 2} ight)\left( {{z^2} - 2z + 2} ight) = 0 (1)

    Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:

    \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1\\{z_2} = - 2\\{z_3} = 1 + i\\{z_4} = 1 - i\end{array} ight.

    Thay và biểu thức ta có: 

    S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + i} ight)}^2}}} = \frac{5}{4}

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f'(x) - f(x) = e^{x} và f(0) = 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y(x) = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có: f'(x) - f(x) = e^{x}. Nhân cả hai vế với e^{- x} ta được:

    e^{- x}f'(x) - e^{- x}.f(x) = 1

    \Leftrightarrow \left( e^{- x}.f(x) ight)' = 1

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \Leftrightarrow \int_{}^{}{\left( e^{- x}.f(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow e^{- x}.f(x) = x + C

    f(0) = 2 \Rightarrow f(0) = 0 + C \Leftrightarrow C = 2

    Suy ra e^{- x}.f(x) = x + 2 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x + 2}{e^{- x}} = (x + 2)e^{x}

    \Rightarrow f'(x) = (x + 3)e^{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm (x + 2)e^{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2

    Ta có: f'( - 2) = ( - 2 + 3)e^{- 2} = e^{- 2};f( - 2) = 0

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là: y = e^{- 2}(x + 2)

  • Câu 22: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x} + \sin x là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \sin x ight)dx} = \ln|x| - \cos x + C.

  • Câu 23: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho vectơ \overrightarrow{OM} có độ dài \left| \overrightarrow{OM} ight| = 1, gọi \alpha;\beta;\gamma lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị \overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k} trên ba trục Ox;Oy;Oz và vectơ \overrightarrow{OM}. Khi đó tọa độ điểm M là:

    Gọi M(x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{OM} = (x;y;z) và \overrightarrow{i} = (1;0;0),\overrightarrow{j} = (0;1;0),\overrightarrow{k} = (0;0;1)

    \left\{ \begin{matrix}\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{i}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{i} ight|} = x \\\cos\beta = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{j}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = y \\\cos\gamma = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{k}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{k} ight|} = z \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)

  • Câu 24: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} + 4z + 7 = 0  là:

     Ta có: \Delta ' = {2^2} - 7 = - 3 = 3{i^2}

    \Rightarrowcác căn bậc hai của \triangle '  là \pm i\sqrt 3

    Vậy nghiệm của phương trình là: z = - 2 + \sqrt 3 i,\,\,\,z = - 2 - \sqrt 3 i

  • Câu 25: Nhận biết

    Kí hiệu {z_1},{z_2} là hai nghiệm phức của phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0. Tính P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight|

    Phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0 có hai nghiệm {z_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt {11} }}{6}.

    Khi đó P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight| = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2 = 0 và hai điểm A(1;2;3),B(1;0;1). Điểm C(a;\ b; - 2) \in (P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a + b.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2 = 0 và hai điểm A(1;2;3),B(1;0;1). Điểm C(a;\ b; - 2) \in (P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a + b.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 27: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 6;1) và mặt phẳng (P):x + y + 7 = 0. Điểm B thay đổi thuộc Oz; điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng (P). Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm B.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 6;1) và mặt phẳng (P):x + y + 7 = 0. Điểm B thay đổi thuộc Oz; điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng (P). Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm B.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x);y = g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x);y = g(x) và các đường thẳng x = a;x = b. Diện tích hình (H) được tính theo công thức?

    Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1; - 1) và B(1;0;1) và mặt phẳng (P):x + 2y - z = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A;B và vuông góc với (P)?

    Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1;2)

    Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{AB} ightbrack = (3; - 1;1)

    Từ đó, phương trình mặt phẳng (Q) là (Q):3x - y + z - 4 = 0.

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Cho tích phân I = \int\limits_1^e {\left( {x + \frac{1}{x}} ight)\ln xdx} = a{e^2} + b, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a - 3b là:

     Ta có:

    \begin{matrix} I = \int\limits_1^e {\left( {x + \dfrac{1}{x}} ight)\ln xdx} \hfill \\ = \int\limits_1^e {x\ln xdx} + \int\limits_1^e {\dfrac{1}{x}\ln xdx} \hfill \\ \end{matrix}

    = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} ight)} ight|_1^e - \int\limits_1^e {\frac{x}{2}dx} + \int\limits_0^1 {dt} = \frac{{{e^2}}}{4} + \frac{5}{4}, với t = \ln x

    \begin{matrix} \Rightarrow a = \dfrac{1}{4},b = \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Rightarrow 2a - 3b = - \dfrac{{13}}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 31: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho giá trị của tích phân {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} {\left( {\sin 3x + \cos 3x} ight)dx} = a, {I_2} = \int\limits_e^{2e} {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} = b. Giá trị a.b gần nhất với giá trị nào sau đây?

     Ta có:

    {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} {\left( {\sin 3x + \cos 3x} ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{1}{3}\sin 3x} ight)} ight|_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} = - \frac{2}{3} \Rightarrow a = - \frac{2}{3}

    \begin{matrix} {I_2} = \int\limits_e^{2e} {\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)dx} = \left. {\left( {\ln \left| x ight| - \dfrac{1}{x} - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_e^{2e} \hfill \\ = \ln 2 - \dfrac{1}{{2e}} + \dfrac{1}{e} - \ln \left( {2e + 1} ight) + \ln \left( {e + 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow b = - \dfrac{1}{{2e}} + \dfrac{1}{e} + \ln 2 - \ln \left( {2e + 1} ight) + \ln \left( {e + 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow a.b \approx - 0,2198

  • Câu 33: Thông hiểu

    Biết rằng A = \int_{}^{}\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx;B = \int_{}^{}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx. Xác định T = 4B - 2A?

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} A + B = \int 1 dx = x + {C_1} \hfill \\ A - B = \int {\frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x + \cos x}}} dx = \ln \left| {\sin x + \cos x} ight| + {C_2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Do đó:\left\{ \begin{gathered} A = \frac{{x + \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} + {C_2}}}{2} \hfill \\ B = \frac{{x - \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} - {C_2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow T = 4B - 2A = x - 3\ln\left|\sin x + \cos x ight| + C

  • Câu 34: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:

     Theo đề bài, ta có được các vecto sau:

    \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1, - 1, - 3} ight),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1,1,0} ight);\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB,} \overrightarrow {AC} } ight] = \left( {3,3,0} ight) = 3(1,1,0) = 3\overrightarrow n \end{array}

    Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của \vec{AB} và \vec{AC} .

    Chọn \overrightarrow n = \left( {1,1,0} ight) làm một vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mp (ABC)có dạng x+y+D=0

    (ABC) là mp qua A  \Leftrightarrow 3 - 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2

    Vậy phương trình (ABC): x + y -2=0.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|

     Ta có \left| z ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5

  • Câu 36: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 5x.\cos x thỏa mãn F\left( {\frac{\pi }{5}} ight) = 0. Tính F\left( {\frac{\pi }{6}} ight).

     \begin{matrix} \cos 5x + \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight) \hfill \\ \int {\cos 5x.\cos xdx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight)} dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 6x}}{6} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Nhận biết

    Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?

     Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

  • Câu 38: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có điểm A trùng với gốc tọa độ O, B(a;0;0),D(0;a;0), A'(0;0;b),(a > 0,b > 0). Gọi M là trung điểm của cạnh CC'. Giá trị của tỉ số \frac{a}{b} để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có điểm A trùng với gốc tọa độ O, B(a;0;0),D(0;a;0), A'(0;0;b),(a > 0,b > 0). Gọi M là trung điểm của cạnh CC'. Giá trị của tỉ số \frac{a}{b} để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 39: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho M(2;1;4) và M'(a;b;c) là điểm đối xứng cới điểm M qua Oy. Khi đó a + b + c bằng:

    Gọi H là hình chiếu của M trên Oy ta có H(0;1;0). Do M' đối xứng với M qua Oy, khi đó H là trung điểm của M'M

    Suy ra M'( - 2;1; - 4) từ đó a + b + c = - 5.

  • Câu 40: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 1. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với (\alpha).

    Mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 1 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1; - 1;2).

    Đường thẳng d_{1} có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{d_{1}}} = (1; - 1;2) = \overrightarrow{n_{(\alpha)}}

    Suy ra d_{1}\bot(\alpha).

  • Câu 41: Nhận biết

    Trong không gian cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hỏi bốn vectơ nào có giá cùng thuộc một mặt phẳng?

    Hình vẽ minh họa

    Từ hình vẽ ta thấy các vectơ \overrightarrow{A'D};\overrightarrow{AA'};\overrightarrow{A'D'};\overrightarrow{DD'} có giá cùng thuộc một mặt phẳng (AA'D'D).

  • Câu 42: Thông hiểu

    Số phức z thỏa mãn: \left( {1 + i} ight)z + \left( {2 - 3i} ight)\left( {1 + 2i} ight) = 7 + 3i là:

     Ta áp dụng các quy tắc thực hiện phép tính, có:

    \begin{matrix} \left( {1 + i} ight)z + \left( {2 - 3i} ight)\left( {1 + 2i} ight) = 7 + 3i \hfill \\ \Leftrightarrow (1 + i)z = 7 + 3i - (2 - 3i)(1 + 2i) \hfill \\ \Leftrightarrow (1 + i)z = - 1 + 2i \hfill \\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{ - 1 + 2i}}{{1 + i}} \hfill \\ \Leftrightarrow z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i \hfill \\ \end{matrix}

    Ngoài ra ta có thể sử dụng lệnh CALC trong máy tính để thử các phương án.

  • Câu 43: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}} là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}}dx} = \int_{}^{}\frac{d\left( e^{x} + 1 ight)}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}} = - \frac{1}{e^{x} + 1} + C.

  • Câu 44: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {5 - 3i} = 5 - ( - 3i) = 5 + 3i

  • Câu 45: Vận dụng

    Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z_0, z_1, khác 0 và

    thỏa mãn đẳng thức z_0^2+z_1^2=z_0z_1. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.

    Hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z_0, z_1.

    Theo giả thiết suy ra: OA=|z_0|, OB=|z_1| và AB=|z_1-z_0|.

    Ta có: z_0^2+z_1^2=z_0z_1 \Leftrightarrow z_0^2-z_0z_1+z_1^2=0.

    \Leftrightarrow (z_0 +z_1)(z_0^2-z_0z_1+z_1^2)=0

    \Leftrightarrow z_0^3+z_1^3=0 \Leftrightarrow z_0^3=-z_1^2\Leftrightarrow |z_0|=|z_1| \Leftrightarrow OA=OB

    Xét (z_1-z_0)^2=z_0^2+z_1^2-2z_0z_1=-z_0z_1 \Rightarrow |z_1-z_0|^2=|z_1|.|z_0|

    \Leftrightarrow AB^2=OA.OB \Leftrightarrow AB=OB.

    Vậy OA=OB=AB hay tam giác OAB là tam giác đều.

  • Câu 46: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;0;1). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Vì tọa độ điểm A(3;0;1) có x = 3;y = 0;z = 1 nên A \in (Oxz).

  • Câu 47: Nhận biết

    Tích phân \int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx bằng:

    Ta có:

    \int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx = \left. \ \left( \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} ight) ight|_{1}^{8} = \frac{45}{4}.

  • Câu 48: Thông hiểu

    Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v\left( t ight) = 150 - 15t\left( {m/s} ight). Hỏi rằng trong 4s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?

     Khi dừng hẳn: 150 - 15t = 0 \Rightarrow t = 10\left( s ight)

    Khi đó trong trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int\limits_6^{10} {v\left( t ight)dt} = \int\limits_6^{10} {\left( {150 - 5t} ight)dt} = 120\left( m ight)

  • Câu 49: Vận dụng

    Tích phân I = \int\limits_{\frac{5}{2}}^3 {\sqrt {\left( {x - 1} ight)\left( {3 - x} ight)} dx} có giá trị là:

    Ta có:

    I = \int\limits_{\frac{5}{2}}^3 {\sqrt {\left( {x - 1} ight)\left( {3 - x} ight)} dx} = \int\limits_{\frac{5}{2}}^3 {\sqrt { - 3 - {x^2} + 2x} dx} = \int\limits_{\frac{5}{2}}^3 {\sqrt {1 - {{\left( {x - 2} ight)}^2}} dx}

    Đặt x - 2 = \sin t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight] \Rightarrow dx = \cos tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{gathered} x = \frac{5}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{6} \hfill \\ x = 3 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} .\cos tdt} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt}

    = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + \cos 2t}}{2}dt = \frac{1}{2}\left. {\left( {x + \frac{1}{2}\sin 2t} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}} = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{8}

  • Câu 50: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight) = 4;g\left( x ight) = - xf'\left( x ight);f\left( x ight) = - xg'\left( x ight). Kết luận nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( x ight) = - xf'\left( x ight)} \\ {f\left( x ight) = - xg'\left( x ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) + g\left( x ight) = - x\left[ {f'\left( x ight) + g'\left( x ight)} ight] \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = \dfrac{{ - 1}}{x} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}}dx = \int\limits_1^4 {\dfrac{{ - 1}}{x}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{d\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = } \left. {\ln \left| x ight|} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| - \ln \left| {f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight)} ight| = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| = 0 \hfill \\ \Rightarrow f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}

     

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 205 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 50:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập