Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và đường thẳng
?
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích S của hình phẳng (H) là:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và đường thẳng
?
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích S của hình phẳng (H) là:
Một vật chuyển động với vận tốc
. Tính quãng đường vật đó đi được trong
giây đầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).?
Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Viết phương trình đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
cắt đồng thời vuông góc với
?
Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ phương trình:
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến , đường thẳng d có một vectơ chỉ phương
Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là
Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc:
Tính thể tích của một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ là một tam giác đều có cạnh bằng ![]()
Diện tích thiết diện là
Ta có thể tích cần tính là
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z là
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn
lần lượt là?
Ta có:
Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1.
Tính thể tích
của vật thể sinh ra khi quay quanh trục
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, đường thẳng
và trục hoành?
Thể tích V của vật thể là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tam giác
với
,
,
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
. Sai||Đúng
b)
. Sai||Đúng
c) Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng tọa độ
là điểm
. Đúng||Sai
d) Nếu
là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác
với
,
,
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) . Sai||Đúng
b) . Sai||Đúng
c) Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng tọa độ
là điểm
. Đúng||Sai
d) Nếu là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
. Sai||Đúng
Ta có:
a) sai.
b) sai.
c) đúng
d) Gọi ,
,
Vì là hình bình hành nên
.
Vậy d) sai
Cho
là nghiệm của phương trình sau:
.
Tính ![]()
M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba
Cho là nghiệm của phương trình sau:
.
Tính
M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba
Ta có:
Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:
Từ hệ trên, rõ ràng và
.
Đặt , hệ
Vì
Giả sử
và
. Khi đó
bằng
Ta có:
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Xét phương trình
trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:
Ta có:
Suy ra:
Tính góc của hai vectơ ![]()
Áp dụng công thức tính góc giữa 2 vecto, ta có:
Thay số suy ra được:
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Trong không gian
, cho hai điểm
. Điểm
nằm trên mặt phẳng
sao cho
nhỏ nhất là:
Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng ta được:
Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).
Vậy dấu “ = ” xảy ra khi
.
Ta có chọn vtcp của đường thẳng AB:
.
Vậy phương trình đường thẳng AB: .
Tọa độ của M là nghiệm hệ:
Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Số nghiệm của phương trình:
là?
Đặt phương trình đã cho có dang:
+ Với
+ Với
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Số nghiệm nguyên âm của phương trình:
với
là:
Ta có:
Trong không gian
, tìm tập hợp các điểm cách đều cặp mặt phẳng sau đây:
.
Gọi điểm
Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng trên có dạng:
Để mp (γ) cách đều hai mp trên thì
hoặc
Mặt khác điểm hai điểm A; B phải nằm về hai phía của mp (γ).
Với ta có
nên A; B cùng phía.
Với ta có
nên A; B khác phía.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là .
Tích phân
bằng:
Ta có:
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Cho hàm số
biết rằng đồ thị hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành. Chọn công thức đúng của
?
Ta có:
Mà
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A(0; 1)
=>
=> Hay
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.
Trong không gian tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Tìm
để
vuông góc với
?
Ta có: (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau, tức là .
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khoảng cách giữa đưởng thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Ta có: , nên đường thằng
song song với mặt phẳng
.
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng khoảng cách từ
đến mặt phẳng
:
Cho số phức
. Số phức
bằng:
Ta có:
Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: ![]()
Ta có
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Điểm
là điểm thuộc mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó,
có giá trị là:
Chọn sao cho
Ta tính được
Ta thấy
Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.
Vậy M là hình chiếu vuông góc của lên (Oxy)
Ta xác định được
Trong không gian với hệ tọa độ
cho điểm
và hai mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
chứa
, vuông góc với cả hai mặt phẳng
?
Gọi lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
và
.
Khi đó mặt phẳng nhận vectơ
làm một vectơ pháp tuyến.
Do đó có phương trình
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là:
Do đường thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng
nên vectơ pháp tuyến của (P) là
cũng là vectơ chỉ phương của
.
Mặt khác đi qua điểm
nên phương trình chính tắc của
là:
Số phức liên hợp của số phức
là
=
= a - bi
Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Gọi .
Ta có:
.
Ta có:
Xét hàm số
.
Hàm số liên tục trên và với
ta có:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
có phương trình dạng
,
và có
. Để mặt phẳng
đi qua điểm
và cách gốc tọa độ
một khoảng lớn nhất thì đẳng thức nào sau đây đúng?
Mặt phẳng (P) đi qua điểm suy ra
.
Khi đó:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Từ đó tìm được hoặc
.
Vậy .
Cho hai hàm số
có đạo hàm trên
thỏa mãn
và
. Giá trị
bằng:
Chọn
Từ đó suy ra
Vậy
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Ta có: nên
là một nguyên hàm của hàm số
.
Số phức
là số phức nào sau đây?
Tìm số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
lần lượt có phương trình là
và cho điểm
. Tìm phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
?
Ta có:
Do vuông góc với
nên
Chọn
Hơn nữa đi qua
nên có phương trình là:
Số phức
bằng:
Ta có:
Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Trong không gian
, cho tọa độ ba điểm
. Tọa độ trọng tâm
của tam giác
là:
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:
Vậy trọng tâm G tìm được là .
Một ô tô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc
, trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?
Ta có:
Khi đó do ban đầu ô tô đang dừng nên
Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là: .
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
thỏa mãn
và
liên túc trên
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập số phức
:
(1)
Kiểm tra nghiệm ta dễ dàng nhận xét
không là nghiệm của phương trình đã cho vậy
.
Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : (2)
Đặt . Khi đó
Phương trình (2) có dạng : (3)
Vậy PT (3) có 2 nghiệm:
Với , ta có
(4)
Có
Vậy PT(4) có 2 nghiệm :
;
Do đó PT đã cho có 4 nghiệm :
Tìm một nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
. Vậy
.
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ
lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).