Tính tổng
?
Ta có:
.
Do đó
.
Mặt khác:
.
Đặt .
Đổi cận và
. Khi đó
Tính tổng
?
Ta có:
.
Do đó
.
Mặt khác:
.
Đặt .
Đổi cận và
. Khi đó
Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho
. Hãy tính
?
Đặt
Đổi cận ta có:
Vậy
Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có:
Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là 2.
Biết
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Áp dụng hệ thức Viet ta có:
Suy ra ta có:.
Tính tích phân
?
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian tọa độ
, cho đường thẳng
và điểm
. Điểm đối xứng với điểm
qua đường thẳng
có tọa độ là:
Gọi
Vectơ chỉ phương của d là
Vì
Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì:
Điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng
có tọa độ là:
.
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
Ta có:
Vậy là đáp án cần tìm.
Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập số phức
:
(1)
Kiểm tra nghiệm ta dễ dàng nhận xét
không là nghiệm của phương trình đã cho vậy
.
Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : (2)
Đặt . Khi đó
Phương trình (2) có dạng : (3)
Vậy PT (3) có 2 nghiệm:
Với , ta có
(4)
Có
Vậy PT(4) có 2 nghiệm :
;
Do đó PT đã cho có 4 nghiệm :
Trong không gian
, cho ba mặt phẳng
lần lượt có phương trình là
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là
Do nên vectơ
không cùng phương với vectơ
.
Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).
Cho số phức
. Số phức
có phần ảo là:
Ta có:
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Phần thực của số phức
là:
Ta có:
Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
,
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
,
là
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ,
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
,
là
.
Trong không gian cho tứ diện
, gọi
lần lượt là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Vì lần lượt là trung điểm của
suy ra
Xét các phương án như sau:
đồng phẳng đúng vì
không đồng phẳng đúng vì MN không nằm trong (ABC)
đồng phẳng sai vì AN không nằm trong (MNC)
đồng phẳng đúng vì
.
Cho điểm
và đường thẳng
. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua
. Tọa độ điểm A' là:
Đưa phương trình về dạng tham số:
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với .
Phương trình mp (P) có dạng , qua A nên D = -2
Phương trình (P) là:
Thế x, y, z từ phương trình vào phương trình (P) được t=1
I là trung điểm của AA' nên:
.
Cho tam giác ABC có
. Gọi BD và BE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc B với D và E là chân của hai phân giác này trên AC. Tính tọa độ vectơ ![]()
Gọi tọa độ điểm E là .
Ta có là trung điểm của AE nên ta tính được tọa độ điểm E lần lượt là:
Cho số phức
thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Gọi tìm được
.
Tính mô đun ta được .
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đường cong
, trục hoành và các đường thẳng
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành có thể tích
là:
Thể tích cần tính là:
Trong không gian với hệ tọa độ
cho điểm
và hai mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
chứa
, vuông góc với cả hai mặt phẳng
?
Gọi lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
và
.
Khi đó mặt phẳng nhận vectơ
làm một vectơ pháp tuyến.
Do đó có phương trình
.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Mặt khác
=>
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
Trong không gian
, cho điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
thuộc
, điểm
thuộc mặt phẳng
sao cho chu vi tam giác
bé nhất. Giá trị chu vi tam giác
bé nhất là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi lần lượt là hình chiếu của
lên các mặt phẳng (P) và (Oxy) ta được
.
Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng với qua các mặt phẳng (P) và (Oxy).
Khi đó ta có nên
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng MN với các mặt phẳng (Oxy) và (P).
Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ
là một hình tròn có diện tích bằng
. Thể tích của vật thể là?
Ta có:
Xác định hàm số f(x) biết rằng ![]()
Mà
Vậy hàm số cần tìm là
Trong không gian
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có véc-tơ chỉ phương là
. Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng
?
Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình .
Tốc độ tăng trưởng bán kính của thân cây được tính bằng công thức
, trong đó
là thời gian khảo sát (tính theo năm), là thời điểm đầu khảo sát,
là bán kính của thân cây tại thời điểm
và
. Tính bán kính của thân cây sau 20 năm kể từ lúc bắt đầu khảo sát, biết rằng bán kính cây tại thời điểm bắt đầu khảo sát là 5cm.
Ta có:
Từ giả thiết ta có:
=>
Sau 5 năm bán kính thân cây bằng
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi
và
như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 3,3 m2
Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi và
như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án: 3,3 m2
Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số
Diện tích của hình phẳng cần tìm là
Trong không gian
, cho
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có: suy ra tọa độ vectơ
.
Trong không gian với hệ tọa độ
cho ba điểm
và
là trực tâm tam giác
. Tính
?
Ta có:
Lại có:
Trong không gian
, cho đường thẳng
và hai điểm
. Gọi
là điểm thuộc đường thẳng
sao cho diện tích tam giác
bằng
. Giá trị của tổng
bằng:
Phương trình tham số của đường thẳng
Vì C thuộc d nên tọa độ của C có dạng
Ta có
Suy ra
Diện tích tam giác ABC là
Theo bài ra ta có
Với t = 1 thì C (1; 1; 1) nên
Vậy giá trị của tổng
Cho số phức
. Số phức
là số phức nào sau đây?
Ta tính được
Giả sử
và
. Khi đó
bằng
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Gọi .
Ta có:
.
Ta có:
Xét hàm số
.
Hàm số liên tục trên và với
ta có:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng tọa độ
. Viết phương trình đường thẳng
.
Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến và có phương trình y = 0.
Suy ra
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).
Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là .
Số phức z thỏa mãn:
là:
Ta áp dụng các quy tắc thực hiện phép tính, có:
Ngoài ra ta có thể sử dụng lệnh CALC trong máy tính để thử các phương án.
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho các số phức
. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?
![]()
![]()
![]()
Áp dụng tính chất số phức, ta có:
- Môđun của 1 thương hai số phức thì bằng thương của từng môđun
- Môđun của 1 tích hai số phức thì bằng tích của từng môđun
Vậy khẳng địn (I) và (II) là đúng.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho phương trình đường thẳng
. Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng
?
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
;
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Ta được
Gọi
là bốn nghiệm của phương trình
trên tập
số phức tính tổng:
.
Ta có:
(1)
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:
Thay và biểu thức ta có:
Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:![]()
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
trên khoảng
thỏa mãn
. Xác định công thức
?
Ta có: (vì
)
Mà
Vậy .
Cho phương trình
có hai nghiệm
là . Giá trị của
là?
1 || Một || một
Cho phương trình có hai nghiệm
là . Giá trị của
là?
1 || Một || một
Ta có:
Suy ra:
Cho hình lăng trụ
có
là trung điểm của
. Đặt
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Ta có: M là trung điểm của BB’ khi đó
Khi đó:
Vậy đẳng thức đúng là .