Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn
và đồ thị hàm số
(như hình vẽ). biết
và
. Kết luận nào sau đây là đúng?

Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Từ đồ thị ta thấy
Từ đồ thị ta thấy
=>
Mặt khác
Ta có bảng biến thiên như sau:

=> có duy nhất nghiệm trên
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
?
Ta có:
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
Vậy đáp án cần tìm là: .
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
,
và thỏa mãn hệ thức
với
. Giá trị của
là:
Ta có:
Mặt khác
Vậy
Vì .
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
=> có 5 nghiệm đơn
=> Hàm số có 5 điểm cực trị
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Cho số phức
, giá trị của số phức
là?
Ta có:
Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao
so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật
, trong đó
(phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động,
được tính theo đơn vị mét/phút
. Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc
của khí cầu là:
Khi bắt đầu tiếp đất vật chuyển động được quãng đường là
Ta có: (với
là thời điểm vật tiếp đất)
Cho (Do
)
Khi đó vận tốc của vật là: .
Số phức
có phần thực bằng
Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.
Cho hình chóp
có
theo thứ tự là trung điểm của
. Biết rằng
. Tính góc giữa hai đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Do đó
Vậy góc giữa hai đường thẳng cần tìm là .
Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự
, khác 0 và
thỏa mãn đẳng thức
. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.
Hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự .
Theo giả thiết suy ra: và
.
Ta có:
.
Xét
.
Vậy hay tam giác
là tam giác đều.
Cho
là nghiệm của phương trình sau:
.
Tính ![]()
M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba
Cho là nghiệm của phương trình sau:
.
Tính
M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba
Ta có:
Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:
Từ hệ trên, rõ ràng và
.
Đặt , hệ
Vì
Cho đường cong (C)
. Xét điểm A có hoành độ dương thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại A tạo với (C) một hình phẳng có diện tích bằng 27. Hoành độ điểm A thuộc khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là
Ta có phương trình hoành độ giao điểm d và (C) là:
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C).
Ta có:
Trong không gian Oxyz cho vectơ
và
. Gọi
lần lượt là ba góc tạo bởi
với ba trục
. Ta có:
Áp dụng công thức hình chiếu vecto trên trục, ta có ngay được:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Đặt
Cho số phức
. Tìm số phức z thỏa mãn
.
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và đường thẳng
. Điểm
mà tổng
có giá trị nhỏ nhất có tọa độ là:
Vì nên ta có tọa độ điểm
.
Ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của là
khi
.
Biết
và
là ba nghiệm của phương trình
,
trong đó
là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức
bằng:
Xét phương trình là phương trình bậc ba với hệ số thực nên luôn có một nghiệm thực là
.
Do đó phương trình tương đương với:
.
Nên là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (1).
Suy ra .
Khi đó : .
Vậy phần ảo của là
.
Cho hai đường thẳng (d1 ):
và ![]()
Xét VTTĐ của (d1 ) và (d2 )? Tìm câu đúng ?
Chuyển đường thẳng (d1 ) và (d2 ) về dạng tham số :
có vectơ chỉ phương
và qua
.
có vectơ chỉ phương
và hệ phương trình
vô nghiệm.
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và điểm
. Tính khoảng cách
từ
đến
.
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:
Tính tích phân
?
Đặt
Đổi cận
Khi đó:
.
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
cắt hai trục
và
tại và tạo với mặt phẳng
một góc
.
Gọi là giao điểm của
và trục
Vecto pháp tuyến của là:
Vecto pháp tuyến của là:
Gọi là góc tạo bởi và
Vậy có hai mặt phẳng:
Cho hai số phức
. Tìm môđun của số phức
.
Ta có:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và
. Tìm tham số m để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau?
Ta có:
Để hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau thì
Trong không gian
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Trong không gian , cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
. Tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng
và
, biết đường thẳng d' có phương trình 
Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:
Cho M trên đường thẳng AB với
và
. Nếu
với
thì tọa độ của M là:
Vì M nằm trên AB và nên khi xét theo tọa độ vecto 2 điểm A và B, ta có:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
là:
Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị là:
Diện tích cần tìm là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Phần thực của số phức
là:
Ta có:
Hàm số
có nguyên hàm là:
Ta có:
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
;
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Ta được
Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Ta có
Cho
là các hàm số liên tục trên
và thỏa mãn
và
. Tính tích phân
?
Đặt . Theo giả thiết ta có:
Ta có:
Cho
và
. Tính
?
Ta có và
. Tính:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Mặt phẳng nào sau đây cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)?
Gọi (R) là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) thì
Do đó (R) có dạng .
Gọi .
Khi đó trung điểm M của đoạn AB nằm trên (R), tức .
Suy ra .
Vậy hay
.
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Kí hiệu
là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
?
Ta có:
Gọi
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Gọi và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Ta có .
Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:
.
Do đó .
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách trên
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) qua A (2, 3, 1) cắt đường thẳng
và vuông góc đường thẳng ![]()
Lấy điểm nằm trên đường thẳng (d1).
Theo đề bài, ta có (d1) qua có vecto chỉ phương là
Ta có:
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) chứa A và
(1)
Xét tiếp đường thẳng có vecto chỉ phương của là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua A và vuông góc với . Ta có phương trình mp (Q) là
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
. Diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
được tính theo công thức
Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng
được tính theo công thức:
.
Trong không gian
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và chắn trên các trục tọa độ
theo ba đoạn có độ dài đại số lần lượt là
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
khi
theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng
là:
Do giả thiết suy ra .
Giả sử khi đó phương trình mặt phẳng
.
Do M thuộc (P) nên
Suy ra do đó phương trình mặt phẳng
.
Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: ![]()
Ta có
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:
Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:![]()
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:.
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của z là:
Giả sử: .
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.