Tích phân
bằng:
Ta có:
Tích phân
bằng:
Ta có:
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
đến điểm
trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là
, trong đó
là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính
?

Đáp án: 1223
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là
, trong đó
là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính
?
Đáp án: 1223
Gọi là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ gấp 4 lần thời gian bay từ
nên
Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên và
cùng hướng.
Suy ra
Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là .
Do đó,
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng
Diện tích hình giới hạn là
Trong không gian
, cho đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
. Một vectơ chỉ phương của
là:
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là .
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α) nên có vectơ chỉ phương là
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành;
và
bằng:
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là nghiệm của phương trình:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là:
Cho phương trình sau:
. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?
4 || Bốn || bốn
Cho phương trình sau: . Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?
4 || Bốn || bốn
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên
có nghiệm
.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm và cộng tổng chúng lại ta được 4.
Cho
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
song song với mặt phẳng
và
cách điểm
một khoảng bằng
. Phương trình mặt phẳng
là:
Vì
Mà
Vậy .
Gọi
là bốn nghiệm của phương trình
trên tập
số phức tính tổng:
.
Ta có:
(1)
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:
Thay và biểu thức ta có:
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
, trục hoành, hai đường thẳng
(như hình vẽ bên).

Giả sử
là diện tích của hình phẳng
. Chọn công thức đúng?
Dựa vào đồ thị hình vẽ ta thấy:
+ Đồ thị cắt trục hoành tại điểm
+ Trên đoạn , đồ thị ở phía dưới trục hoành nên
+ Trên đoạn , đồ thị ở phía trên trục hoành nên
Do đó:
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng ![]()
Tích phân
có giá trị là:
Đặt:
Đổi cận
Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: ![]()
Ta có
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Số phức
bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho hai đường thẳng ![]()
và mặt phẳng
. Đường thẳng vuông góc với
, cắt
và
có phương trình là:
Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng d với các đường thẳng và
.
Khi đó, tọa độ của A, B có dạng
Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ cùng phương với vectơ pháp tuyến
của mặt phẳng (P).
Do đó, ta có
Suy ra s = 0 và t = −1.
Do đó, A(2; −2; 3) và B(4; 1; −2).
Đường thẳng d đi qua A và có nhận vectơ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình:
.
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Cho tam giác ABC có
. Phương trình tổng quát của đường cao AH.
Theo đề bài, ta tính được:
Mp (ABC) có 2 VTCP là nên vecto pháp tuyến của (ABC) chính là tích có hướng của 2 VTCP trên. Ta có:
Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên ta có .
Mặt khác nên ta viết được vecto chỉ phương của đường thẳng AH là tích có hướng của 2 vecto pháp tuyến
Từ đây, ta có phương trình chính tắc của
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
là
Ta có:
bằng
Ta có .
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0) và đường thẳng d:
. Mặt phẳng
chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có phương trình là:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: cố định và
Suy ra lớn nhất bằng AK khi
.
Ta có (d): qua M(2; -1; 1) , có VTCP
.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT .
Mặt phẳng có một VTPT là
và
qua M (2; -1; 1) có phương trình:
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
Xác định giá trị của tham số
thỏa mãn
?
Ta có:
Vậy đáp án .
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho mặt phẳng
. Hỏi có bao nhiêu điểm
thuộc mặt phẳng
với
là các số nguyên không âm.
Ta có nên mặt phẳng
đi qua các điểm
Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.
Tam giác ABC đều có các cạnh bằng , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.
Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và điểm
. Hình chiếu vuông góc của A trên (∆) là điểm nào dưới đây?
Đường thẳng (∆) đi qua M(−1; −4; 0), có vectơ chỉ phương
Phương trình tham số của đường thẳng
Gọi P là hình chiếu vuông góc của A trên (∆).
Khi đó
Ta có . Vì
nên
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Tính tổng ![]()
Ta có:
Khi đó ta có:
Cho
. Với
, khẳng định nào sau đây đúng?
Xét , đặt t = ax + b
=>
=>
Số phức
có phần thực là?
2
Số phức có phần thực là?
2
Ta có:
Vậy phần thực của số phức
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có:
Vậy khẳng định sai là: .
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
và ![]()
Ta có:
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Kí hiệu
là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
?
Ta có:
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Tìm tọa độ điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Tính tích vô hướng
?
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của z là:
Giả sử: .
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
. Điểm nào sau đây không nằm trên mặt phẳng
?
Phương trình mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
có dạng
Thay tọa độ các đáp án vào phương trình mặt phẳng ta có 3 điểm
thoả mãn, còn điểm
không thoả mãn.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
, phương trình mặt phẳng
qua điểm
và cắt ba tia
lần lượt tại
sao cho
nhỏ nhất. Tính
.
Mặt phẳng cắt ba trục tọa độ lần lượt tại
với
.
Do đi qua điểm
nên:
Mà OA + OB + OC = a + b + c nên OA + OB + OC nhỏ nhất khi a + b + c nhỏ nhất và bằng 36.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
. Khi đó giá trị của
bằng bao nhiêu?
Ta có: .
Khi đó
Vậy đáp án cần tìm là:
Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn
lần lượt là?
Ta có:
Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1.
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Cho a, b, c là các số thực và
. Giá trị của
bằng:
Cách 1: Ta có
và
.
Ta có
Cách 2: Chọn .
Ta có
Thử lại các đáp án với ta thấy chỉ có đáp án
thỏa mãn.
Cho số phức z thoả mãn
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
bằng?
Đặt .
Từ giả thiết
(1).
Ta có
.
Dễ thấy P lớn nhất khi .
Khi đó
Do nên từ (1) ta có
.
Suy ra
Dấu = xảy ra khi
.
Giá trị của tích phân
bằng:
Ta có: .
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
Cho
. Tính
.
Ta có: