Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 50 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1. Tìm \min \left| {{z^3} - z + 2} ight|.

     Gọi z = a + bi, với a, b \in \mathbb{R}.

    Theo giả thiết ta có \left| z ight| = 1 suy ra z.\bar z = 1 và {a^2} + {b^2} = 1, - 1 \le a \le 1.

    Ta có \left| {{z^3} - z + 2} ight| = \left| {{z^3} - z + 2z.\bar z} ight| = \left| z ight|\left| {{z^2} - 1 + 2\bar z} ight|

    = \left| {{a^2} - {b^2} + 2a - 1 + \left( {2ab - 2b} ight)i} ight| = \left| {2\left( {{a^2} + a - 1} ight) + 2b\left( {a - 1} ight)i} ight|

    = \sqrt {4{{\left( {{a^2} + a - 1} ight)}^2} + 4{b^2}{{\left( {a - 1} ight)}^2}}

    = \sqrt {16{a^3} - 4{a^2} - 16a + 8} = 2\sqrt {4{a^3} - {a^2} - 4a + 2}

    Xét hàm số f\left( x ight) = 4{x^3} - {x^2} - 4x + 2 trên \left[ { - 1;\,1} ight].

    Ta có f'\left( x ight) = 12{x^2} - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\x = - \dfrac{1}{2}\end{array} ight..

    Ta có f\left( { - 1} ight) = 1;f\left( 1 ight) = 1;f\left( {\frac{2}{3}} ight) = \frac{2}{{27}};f\left( { - \frac{1}{2}} ight) = \frac{{13}}{4}.

    Vậy \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\,1} ight]} f\left( x ight) = f\left( {\frac{2}{3}} ight) = \frac{2}{{27}}.

    Do đó \min \left| {{z^3} - z + 2} ight| = \frac{{2\sqrt 6 }}{9} khi a = \frac{2}{3} và b = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}.

  • Câu 2: Vận dụng

    Tích phân I = \int\limits_1^2 {\frac{{ax + 1}}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx = \frac{3}{5}\ln \frac{4}{3} + \frac{3}{5}\ln \frac{2}{3}. Giá trị của a là:

    Ta có:

    I = \int\limits_1^2 {\frac{{ax + 1}}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx = a\int\limits_1^2 {\frac{x}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx + \int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx

    Xét

    \begin{matrix} {I_1} = a\int\limits_1^2 {\dfrac{x}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx \hfill \\ = a\int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{2}{{x + 2}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)} dx \hfill \\ = a\left. {\left( {2\ln \left| {x + 2} ight| - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_1^2 \hfill \\ = a\left( {2\ln 4 - 3\ln 3 + \ln 2} ight) \hfill \\ = 2a\ln \dfrac{4}{3} + a\ln \dfrac{2}{3} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét {I_2} = \int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx = \left. {\left( {\ln \left| {x + 1} ight| - \ln \left| {x + 2} ight|} ight)} ight|_1^2 = - \ln \frac{4}{3} - \ln \frac{2}{3}

    \Rightarrow I = {I_1} + I{}_2 = \left( {2a - 1} ight)\ln \frac{4}{3} + \left( {a - 1} ight)\ln \frac{2}{3}

    Theo đề bài: I = \frac{3}{5}\ln \frac{4}{3} + \frac{3}{5}\ln \frac{2}{3} \Rightarrow a = \frac{4}{5}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4} và d_{2} là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x + 3y - 9 = 0,y + 2z + 5 = 0. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là:

    Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} 2x + 3y - 9 = 0 \\ y + 2z + 5 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Cho y = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(3;1; - 3) \in d_{2\ }

    Cho y = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ z = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(0;3; - 4) \in d_{2}

    Đường thẳng d1 đi qua M (1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{1}} = (2;1;4)

    Đường thẳng d2 đi qua A (3; 1; −3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{2}} = ( - 3;2; - 1) = \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} = (2; - 6; - 6)

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 9; - 10;7)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack\overrightarrow{AM} = - 2.9 + 6.10 - 6.7 = 0

    Do đó vị trí tương đối của hai đường thẳng là cắt nhau.

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Đáp án là:

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Cả hai bên cầu có tất cả 2.10 = 20 nhịp cầu.

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu, đỉnh I(25;2), điểm A(50;0)

    Gọi Parabol phía trên có phương trình: \left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c = ax^{2} + bx (vì O \in \left( P_{1} ight))

    \Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx - \frac{1}{5} là phương trình parabol phía dưới

    (Vì bề dày nhịp cầu là 20cm = \frac{1}{5}m)

    Ta có I,A \in \left( P_{1} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 25^{2}a + 25b = 2 \\ 50^{2}a + 50b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{2}{625} \\ b = \frac{4}{25} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\ \ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x - \frac{1}{5}

    Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi y_{1};y_{2} và trục Ox nên ta có:

    S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx + \int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}

    Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là S.0,2 \approx 1,985m^{3}.

    Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là V = 20.S.0,2 \approx 40m^{3}

  • Câu 5: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(1) = 3 và x\left\lbrack 4 - f'(x) ightbrack = f(x) - 1 với mọi x > 0. Tính f(2)?

    Ta có:

    x\left\lbrack 4 - f'(x) ightbrack = f(x) - 1

    \Leftrightarrow f(x) + xf'(x) = 4x + 1

    \Leftrightarrow \left( xf(x) ight)' = 4x + 1

    \Leftrightarrow xf(x) = \int_{}^{}{\left( xf(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{(4x + 1)dx}

    \Leftrightarrow \int_{}^{}{(4x + 1)dx} = 2x^{2} + x + C

    Với x = 1 \Rightarrow 1.f(1) = 3 + C \Leftrightarrow 3 = 3 + C \Rightarrow C = 0

    Do đó xf(x) = 2x^{2} + x

    Vậy 2f(2) = 2.2^{2} + 2 \Rightarrow f(2) = 5

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau: (z^2 + z)^2 + 4(z^2 + z) -12 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:

    t^2 + 4t – 12 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = - 6\\t = 2\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + z - 6 = 0\\{z^2} + z - 2 = 0\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2}\\z = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2}\\z = 1\\z = - 2\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là

    \frac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2} + \frac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2} + 1 - 2 = - 1 + 1 - 2 = - 2

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}. Tìm giá trị x để \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}. Tìm giá trị x để \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn \int_{0}^{2}{f(x)dx}\ = 5,\int_{1}^{2}{f(x)dx\ } = 3. Giá trị của biểu thức \int_{0}^{1}{f(x)dx} bằng

    Ta có: \int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx}

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{2}{f(x)dx} - \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 5 - 3 = 2

  • Câu 10: Thông hiểu

    Số phức liên hợp của số phức 2022i - 2023 là

     \overline z = \overline {a + bi} = a - bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {2022i - 2023} = \overline { - 2023 + 2022i} = - 2023 - 2022i

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = 1 + t \\ z = 3t \\ \end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) ight. và hai điểm A(5;0;2),B(2; - 5;3). Tìm điểm M thuộc \Delta sao cho \bigtriangleup ABM vuông tại A.

    Điểm M thuộc đường thẳng \Delta nên M( - 1 + 3t;1 + t;3t).

    Ta có \overrightarrow{AM} = (3t - 6;t + 1;3t - 2) và \overrightarrow{AB} = ( - 3; - 5;1).

    Tam giác ABM vuông tại M khi và chỉ khi

    \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 0

    \Leftrightarrow - 3(3t - 6) - 5(t + 1) + 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1

    Khi đó tọa độ điểm M(2;2;3).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \left| {\frac{{z + 1}}{{i - z}}} ight| = 1 và \left| {\frac{{z - i}}{{2 + z}}} ight| = 1

    Ta có:  \left\{ \begin{array}{l}\left| {\dfrac{{z + 1}}{{i - z}}} ight| = 1\\\left| {\dfrac{{z - i}}{{2 + z}}} ight| = 1\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {z + 1} ight| = \left| {i - z} ight|\\\left| {z - i} ight| = \left| {2 + z} ight|\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - y\\4x + 2y = - 3\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = \frac{3}{2}\end{array} ight.

    \Rightarrow z = - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}i

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}}. Môđun của số phức \overline z + iz là:

     Ta có: \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}} = 4 - 4i\, \to \,\left| {\overline z + iz} ight| = 0

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i;{z_2} = 3 + 2i. Phần thực và phần ảo của số phức {z_1},{z_2} tương ứng bằng:

     Ta có: {z_1}.{z_2} = \left( {1 - i} ight)\left( {3 + 2i} ight) = 5 - i

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Đáp án là:

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Ta có: \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i  \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}}{{\left( {1 + i} ight)\left( {1 - i} ight)}} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{ - 2i}}{2} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z = 5 \Leftrightarrow z = \frac{5}{{2 + i}} = 2 - i

    \Rightarrow w = 1 + 2z + {z^2} = {\left( {1 + z} ight)^2} = {\left( {3 - i} ight)^2} = 8 - 6i

    \Leftrightarrow \left| w ight| = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 6} ight)}^2}} = 10

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điểm G là điểm thỏa mãn \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}

    Ta có:

    \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{GS} + 4\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{GS} + 4\overrightarrow{GO} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GS} = 4\overrightarrow{OG} suy ra ba điểm G;S;O thẳng hàng.

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong \mathbb C, phương trình 2x^2+x+1=0 có nghiệm là:

     Ta có: \Delta = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 = - 7 = 7{i^2} < 0 nên phương trình có hai nghiệm phức là: {x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{4}

  • Câu 18: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0

    Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm z = 1.

    z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0

    \Leftrightarrow (z – 1)(z^3 – 3z^2 + 4z – 12) = 0

    \Leftrightarrow (z – 1) (z – 3) (z^2 + 4) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\{z^2} + 4 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\z = 2i\\z = - 2i\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:z = {m{\{ }}1;\,\,3;\,\,2i;\,\, - 2i{m{ \} }}.

  • Câu 19: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt[3]{x} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \sqrt[3]{x} ight)dx} = \int_{}^{}{x^{\frac{2}{3}}dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} + C.

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y = x^{5}.Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}} ight)\mathbf{'}\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{5}}

    Vậy đáp án cần tìm là: \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}\mathbf{+ C}.

  • Câu 21: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(2;1; - 3),B(0; - 2;5) và C(1;1;3). Diện tích hình bình hành ABCD là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 3;8),\overrightarrow{AC} = ( - 1;0;6)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 18;4; - 3)

    Suy ra diện tích ABCD là:

    S_{ABCD} = \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \sqrt{349}

  • Câu 22: Nhận biết

    Hàm số f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: f'(x) = - e^{- x} + 2 nên f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số y = - e^{- x} + 2.

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a;\,\,AD = b;\,\,AE = c trong hệ trục Oxyz  sao cho A trùng với O;\,\,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} lần lượt trùng với  Ox,Oy,Oz . Gọi  M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của giao tuyến (d) của mặt phẳng (MNP) và (xOy)

    Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:

    M\left( {a,\frac{b}{2},0} ight);\,\,\,N\left( {\frac{a}{2},0,c} ight);\,\,\,P\left( {0,b,\frac{c}{2}} ight)

    Như vậy ta tính được vecto \overrightarrow {MN} và \overrightarrow {MP} theo a, b, c.

    \overrightarrow {MN} = - \frac{1}{2}\left( {a,b, - 2c} ight);\,\,\,\overrightarrow {MP} = - \frac{1}{2}\left( {2a, - b, - c} ight)

    (MNP) có vecto pháp tuyến là tích có hướng của 2 vecto  \overrightarrow {MN} và \overrightarrow {MP}

    = > \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } ight] = - 3\left( {bc,ca,ab} ight) = \overrightarrow {{n_P}}

    (MNP) có đi qua M và nhận \overrightarrow {{n_P}} làm 1 VTCP có phương trình là:

    \begin{array}{l}\left( {MNP} ight):bc\left( {x - a} ight) + ca\left( {y - \frac{b}{2}} ight) + ab.z = 0\\ = > \left( {MNP} ight):2bcx + 2cay + 2abz - 3abc = 0\\ = > (d):2bcx + 2cay + 2abz - 3abc = 0;\,\,\,z = 0\end{array}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi Parabol y = \frac{x^{2}}{12} và đường cong có phương trình y = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} như hình vẽ:

    Diện tích của hình phẳng (H) bằng:

    Phương trình hoành độ giao điểm:

    \frac{x^{2}}{12} = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt{3}

    Diện tích hình phẳng (H) bằng:

    S = 2\int_{0}^{2\sqrt{3}}{\left\lbrack \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} - \frac{x^{2}}{12} ightbrack dx}

    = \int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} - \frac{1}{6}\int_{0}^{2\sqrt{3}}{x^{2}dx}

    = \int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} + \frac{4\sqrt{3}}{3}

    Đặt x = 4\sin t

    \Rightarrow\int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{16\cos^{2}tdt} = \frac{8\pi}{3} +2\sqrt{3}

    \Rightarrow S = \frac{8\pi + 2\sqrt{3}}{3}

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack; f(b) = 5;\int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5}. Tính giá trị f(a)?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5} \Leftrightarrow f(b) - f(a) = 3\sqrt{5}

    \Leftrightarrow f(a) = f(b) - 3\sqrt{5} = \sqrt{5}\left( \sqrt{5} - 3 ight)

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập số phức \mathbb C: {z^4} - {z^3} + \frac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0 (1)

    Kiểm tra nghiệm z=0 ta dễ dàng nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình đã cho vậy z eq 0.

    Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ({z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}) - (z - \frac{1}{z}) + \frac{1}{2} = 0 (2)

    Đặt t= z - \frac{1}{z} .  Khi đó {t^2} = {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} - 2 \Leftrightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = {t^2} + 2

    Phương trình (2) có dạng :t^2-t+\frac{5}{2} = 0 (3)

    \Delta = 1 - 4.\frac{5}{2} = - 9 = 9{i^2}

    Vậy PT (3) có 2 nghiệm:    t=\frac{{1 + 3i}}{2};t=\frac{{1 - 3i}}{2} 

    Với  t=\frac{{1 + 3i}}{2},  ta có z - \frac{1}{z} = \frac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 + 3i)z - 2 = 0(4)

    Có \Delta = {(1 + 3i)^2} + 16 = 8 + 6i = 9 + 6i + {i^2} = {(3 + i)^2}

    Vậy PT(4) có 2 nghiệm :

    z=\frac{{(1 + 3i) + (3 + i)}}{4} = 1 + i;  z= \frac{{(1 + 3i) - (3 + i)}}{4} = \frac{{i - 1}}{2}

    Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-iz=\frac{{i - 1}}{2}; z=\frac{{-i - 1}}{2}

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho số phức {z_1} = 1 + 2i và {z_2} = - 1 - 2i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

     Ta có: {z_1}.{z_2} = - {\left( {1 + 2i} ight)^2} = - \left( {1 + 4i - 4} ight) = 3 - 4i

    Vậy {z_1}.{z_2} = 3 - 4i là khẳng định đúng.

  • Câu 28: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây sai?

    Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.

  • Câu 29: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 4i} = 3 - ( - 4i) = 3 + 4i

  • Câu 30: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;6;0),B(0;0; - 2);C( - 3;0;0). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A;B;C là:

    Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

    Ta có \frac{x}{3} + \frac{y}{- 6} + \frac{z}{2} = 1

    \Leftrightarrow - 2x + y - 3z = 6

    \Leftrightarrow 2x - y + 3z + 6 = 0

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn \int_{0}^{6}{f(x)dx}= 7;\int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8;\int_{3}^{6}{f(x)dx} = 9. Khi đó giá trị I = \int_{0}^{10}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{3}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}

    \Leftrightarrow \int_{6}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} - \int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8 - 9 = 1

    \Rightarrow I = \int_{0}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx} = 7 - 1 = 6

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho giá trị của tích phân {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\sin 2x + \cos x} ight)dx} = a, {I_2} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\cos 2x + \sin x} ight)dx} = b. Giá trị của a + b là:

    Ta có: 

    {I_1} = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\left( {\sin 2x + \cos x} ight)dx} = \left. {\left( { - \dfrac{1}{2}\cos 2x + \sin x} ight)} ight|_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{3}}

    = \dfrac{3}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow a = \dfrac{3}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}

    {I_2} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\cos 2x + \sin x} ight)dx} = \left. {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x - \cos x} ight)} ight|_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow b = \frac{{\sqrt 3 }}{2}

    \Rightarrow P = a + b = \frac{3}{4} + \sqrt 3

    Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 5x.\cos x thỏa mãn F\left( {\frac{\pi }{5}} ight) = 0. Tính F\left( {\frac{\pi }{6}} ight).

     \begin{matrix} \cos 5x + \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight) \hfill \\ \int {\cos 5x.\cos xdx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight)} dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 6x}}{6} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân

    giác trong góc A là \frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}.  Biết rằng điểm M(0; 5; 3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0)thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?

    Giả sử , A(t; 6-4t; 6-3t), ta có:

    \vec{u_d}=(1; -4; -3),

    \vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)

    \vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)

    Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:

    \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }

    Từ đây ta bình phương 2 vế được:

    (4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)

    \Leftrightarrow 14t=14

    \Leftrightarrow t=1

    \Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)

    Vậy một véc tơ chỉ phương của AC  là  \vec{u}(0;1;3).

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{{x^2}}}\left( {{x^3} - 4x} ight). Hàm số F\left( {{x^2} + x} ight) có bao nhiêu điểm cực trị?

     \begin{matrix} \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]\prime \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight)f\left( {{x^2} + x} ight) \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight){e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}.\left[ {{{\left( {{x^2} + x} ight)}^3} - 4\left( {{x^2} + x} ight)} ight] \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).\left( {{x^2} + x} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {{x^2} + x - 2} ight) \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).x\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]' = 0 có 5 nghiệm đơn

    => Hàm số F\left( {{x^2} + x} ight) có 5 điểm cực trị

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Điểm M xác định bởi công thức \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Do G là trọng tâm tam giác BCD nên \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}

    \Rightarrow \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}

    Vậy mệnh đề đúng là “M thuộc tia AG và AM = 3AG”.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{m} = (4;3;1),\overrightarrow{n} = (0;0;1). Gọi \overrightarrow{p} là vectơ cùng hướng với vectơ \left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack (tích có hướng của hai vectơ \overrightarrow{m} và \overrightarrow{n}. Biết \left| \overrightarrow{p} ight| = 15, tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{p}.

    Ta thấy \left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0)

    Vì \overrightarrow{p} là vectơ cùng hướng với vectơ \left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0) nên \overrightarrow{p} = (3k; - 4k;0),k\mathbb{\in R};k > 0.

    Mặt khác \left| \overrightarrow{p} ight| = 15 \Leftrightarrow \sqrt{9k^{2} + 16k^{2} + 0} = 15 \Rightarrow k = 3

    Vậy \overrightarrow{p} = (9; - 12;0).

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = 2\cos 3x - {3^{x - 1}} thỏa mãn F\left( 0 ight) = 0. Tìm F(x)

     F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx }

    = \int {2\cos 3xdx - \int {{3^{x - 1}}dx - \frac{1}{3}\int {{3^x}dx} = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{3\ln 3}} + C} }

    Mặt khác F\left( 0 ight) = 0 \Rightarrow \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{3\ln 3}} + C = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{{3\ln 3}}

    => F\left( x ight) = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^{x - 1}}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}}

  • Câu 39: Vận dụng

    Xét phương trình {z^3} = 1 trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:

     Ta có:

    {z^3} = 1 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {{z^2} + z + 1} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z^2} + z + 1 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} ight.

    Suy ra: S = \left\{ {1; - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} ight\}

  • Câu 40: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 25^{x}?

    Vì: \left( \frac{25^{x}}{ln25} ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}2x^{2} + x;\ \ \ x \geq 0 \\x.\sin x;\ \ \ \ x \leq 0 \\\end{matrix} ight.. Tính tích phân \int_{- \pi}^{1}{f(x)dx}?

    Ta có:

    \int_{- \pi}^{1}{f(x)dx} = \int_{-\pi}^{0}{(x.\sin x)dx} + \int_{0}^{1}{\left( 2x^{2} + xight)dx}

    = - \int_{- \pi}^{0}{xd\left( \cos xight)} + \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} ight)ight|_{0}^{1}

    = \left. \ \left( - x\cos x ight) ight|_{- \pi}^{0} + \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{1}

    = \pi + \frac{7}{6} + \left. \ \left( \sin x ight) ight|_{- \pi}^{0} = \pi + \frac{7}{6}

  • Câu 42: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

     Ta có \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{( - 1 + 3i)(1 - i)}}{{{{(2 + i)}^2}}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 4i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{(2 + 4i)(3 - 4i)}}{{25}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i

  • Câu 43: Nhận biết

    Tìm số phức z thỏa mãn z + 2 - 3i = 3 - 2i

     Ta có z + 2 - 3i = 3 - 2i \Leftrightarrow z = 3 - 2i - 2 + 3i = 1 + i

  • Câu 44: Vận dụng

    Cho tứ giác ABCD có A\left( {0,1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,1,2} ight);\,\,C\left( {1, - 1,0} ight);\,\,\,\left( {0,0,1} ight) . Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A, B và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3.

     PT mp cắt khối tứ diện

    Theo đề bài, ta có mp (P) cắt cạnh CD tại E, E chia đoạn CD theo tỷ số -3

    \Rightarrow E\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{x_C} + 3{x_D}}}{4} = \dfrac{{1 + 3.0}}{4} = \dfrac{1}{4}\\y = \dfrac{{{y_C} + 3{y_D}}}{4} = \dfrac{{ - 1 + 3.0}}{4} = \dfrac{{ - 1}}{4}\\z = \dfrac{{{z_C} + 3{z_D}}}{4} = \dfrac{{0 + 3.1}}{4} = \dfrac{3}{4}\end{array} ight.

    Từ đó, ta suy ra: \overrightarrow {AB} = \left( {1,0,3} ight);\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{4}; - \frac{5}{4};\frac{7}{4}} ight) = \frac{1}{4}\left( {1, - 5,7} ight)

    Như vậy, VTPT mp (P) là: \left( P ight):\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} } ight] = \left( {15, - 4, - 5} ight)

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 0} ight)15 + \left( {y - 1} ight)\left( { - 4} ight) + \left( {z + 1} ight)\left( { - 5} ight) = 0

    \Leftrightarrow 15x - 4y - 5z - 1 = 0

  • Câu 45: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}?

    Đặt t = \tan x \Rightarrow dt =\frac{1}{\cos^{2}x}dx

    \int_{}^{}{\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}{e^{t}dt} = e^{t} + C = e^{\tan x} +C

  • Câu 46: Nhận biết

    Xác định tích phân I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx}?

    Ta có:

    I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx} = - \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(1 - 2x)}{1 - 2x}

    = - \frac{1}{2}.\left. \ \ln|1 - 2x|ight|_{1}^{5} = - \ln3

  • Câu 47: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua A(2; - 1;3) và nhận \overrightarrow{a} = (1;1; - 1) làm vectơ chỉ phương có phương trình là:

    Đường thẳng đi qua A(2; - 1;3) và nhận \overrightarrow{a} = (1;1; - 1) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 48: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 1;2) và vectơ \overrightarrow{n} = (2;4; - 6). Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) qua A và nhận vectơ \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng có dạng:

    A\left( x - x_{A} ight) + B\left( y - y_{A} ight) + C\left( z - z_{A} ight) = 0 .

    2(x - 1) + 4(y + 1) + 6(z - 2) = 0

    \Leftrightarrow x + 2y - 3z + 7 = 0.

  • Câu 49: Thông hiểu

    Gọi z_1 và  z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2\left( {1 + i} ight){z^2} - 4\left( {2 - i} ight)z - 5 - 3i = 0 . Tính {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

    9 || chín || Chín

    Đáp án là:

    Gọi z_1 và  z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2\left( {1 + i} ight){z^2} - 4\left( {2 - i} ight)z - 5 - 3i = 0 . Tính {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

    9 || chín || Chín

     Ta có \Delta ' = 4{\left( {2 - i} ight)^2} + 2\left( {1 + i} ight)\left( {5 + 3i} ight) = 16.

    Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:

    {z_1} = \frac{3}{2} - \frac{5}{2}i,\,\,\,{z_2} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i.

    Do đó  {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} =9.

  • Câu 50: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;1). Mặt phẳng (P) qua M cắt chiều dương của các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A;B;C thỏa mãn OA = 2OB. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp OABC?

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,c > 0.

    Khi đó mặt phẳng (P) có dạng: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

    Vì OA = 2OB \Rightarrow a = 2b \Rightarrow \frac{3}{2b} + \frac{1}{c} = 1

    Thể tích khối chóp OABC là: V = \frac{1}{6}abc = \frac{1}{3}b^{2}c

    Ta có: 1 = \frac{3}{2b} + \frac{1}{c} = \frac{3}{4b} + \frac{3}{4b} + \frac{1}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{9}{16b^{2}c}}

    \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{\frac{9}{16b^{2}c}} \leq \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{16b^{2}c}{9} \geq 27 \Leftrightarrow \frac{b^{2}c}{3} \geq \frac{81}{16}

    \Rightarrow V_{OABC}\min = \frac{81}{16} khi \dfrac{3}{4b} =\dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{9}{2} \\b = \dfrac{9}{4} \\c = 3 \\\end{matrix} ight..

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 232 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 50:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập