Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
là
Ta có hình phẳng giới hạn bởi là
.
Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
là
Ta có hình phẳng giới hạn bởi là
.
Cho đường cong (C)
. Xét điểm A có hoành độ dương thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại A tạo với (C) một hình phẳng có diện tích bằng 27. Hoành độ điểm A thuộc khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là
Ta có phương trình hoành độ giao điểm d và (C) là:
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C).
Ta có:
Biết
và
là ba nghiệm của phương trình
,
trong đó
là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức
bằng:
Xét phương trình là phương trình bậc ba với hệ số thực nên luôn có một nghiệm thực là
.
Do đó phương trình tương đương với:
.
Nên là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (1).
Suy ra .
Khi đó : .
Vậy phần ảo của là
.
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm
và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là
. Máy bay sẽ bay qua điểm
của đường màu
để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm
, hãy tính giá trị biểu thức
.
Đáp án: 50
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là
. Máy bay sẽ bay qua điểm
của đường màu
để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm
, hãy tính giá trị biểu thức
.
Đáp án: 50
Ta có:
Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP có dạng
Điểm và
Ta có:
Vậy
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của số phức
là:
Ta có:
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z là
Ta có:
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
Trong không gian với hệ tọa độ
; cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Ta có:
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng
đi qua
và có vectơ chỉ phương
cắt
tại điểm
. Điểm
thay đổi trong
sao cho
luôn nhìn đoạn
dưới góc
. Khi độ dài
lớn nhất, đường thẳng
đi qua điểm nào trong các điểm sau?
Hình vẽ minh họa
Phương trình
Đường thẳng d cắt P tại .
Gọi H là hình chiếu của A lên (P).
Ta có:
Vì nên MB ⊥ MH suy ra
.
Do đó: MB lớn nhất bằng BH khi
Vậy MB đi qua B, nhận là vectơ chỉ phương.
Phương trình do đó MB đi qua điểm
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
là giao tuyến của hai mặt phẳng
. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là:
Xét hệ phương trình
Cho
Cho
Đường thẳng d1 đi qua M (1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương
Đường thẳng d2 đi qua A (3; 1; −3) và có vectơ chỉ phương
Ta có
Do đó vị trí tương đối của hai đường thẳng là cắt nhau.
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
. Tính tích phân
?
Ta có:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành,
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
. Từ (*) và (**) suy ra
Do đó
Cho hai hàm số
và
liên tục trên
và thỏa mãn
. Gọi
là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh
hình phẳng
giới hạn bởi các đường:
. Khi đó
được tính bởi công thức nào sau đây?
Ta cần nhớ lại công thức sau: Cho hai hàm số liên tục trên
. Khi đó thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi
(với
) và hai đường thẳng
khi quay quanh trục
là
.
Số phức z thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Đặt . Đổi cận
Ta có: .
Vậy khẳng định đúng .
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: là một nguyên hàm của hàm số
nên
Hay
Xét , đặt
Khi đó
Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự
, khác 0 và
thỏa mãn đẳng thức
. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.
Hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự .
Theo giả thiết suy ra: và
.
Ta có:
.
Xét
.
Vậy hay tam giác
là tam giác đều.
Số nghiệm của phương trình:
là?
Đặt phương trình đã cho có dang:
+ Với
+ Với
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Trong không gian
, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
và
là:
Ta có
Phương trình đường thẳng AB đi qua nhận vectơ
làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là:
.
Trong không gian
, cho vectơ
. Tọa độ điểm
là:
Ta có:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có:
Vậy khẳng định sai là: .
Số phức
có phần thực là?
2
Số phức có phần thực là?
2
Ta có:
Vậy phần thực của số phức
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ:

Tính giá trị
?
Hình vẽ minh họa
Dựa vào đồ thị ta có: suy ra phương trình đường thẳng
Phương trình đường tròn :
Điểm nên phương trình đường thẳng
là:
Vậy
PT sau có số nghiệm là : ![]()
3 || ba || Ba
PT sau có số nghiệm là :
3 || ba || Ba
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Vì:
Một vật chuyển động với vận tốc
. Tính quãng đường vật đó đi được trong
giây đầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).?
Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu là:
.
Tìm số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
=> có 5 nghiệm đơn
=> Hàm số có 5 điểm cực trị
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho
. Viết phương trình đường thẳng
qua
, song song với
sao cho khoảng cách từ
đến
là lớn nhất.
Hình vẽ minh họa
Vì nên hai điểm A, B khác phía so với (P).
Gọi H là hình chiếu của B lên d.
Ta có: BH ≤ BA nên khoảng cách BH từ B đến d lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A.
Khi đó AB ⊥ d.
VTPT của (P) là
VTCP của d là
Mà d qua A(−3; 0; 1) nên phương trình đường thẳng d là:
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Trong không gian Oxyz, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
qua A và nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Một mặt phẳng
đi qua hai điểm
và vuông góc với
có dạng
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Vì (Q) vuông góc với (P) nên (Q) nhận véc-tơ pháp tuyến làm véc-tơ chỉ phương.
Mặt khác do (Q) đi qua hai điểm A, B nên nhận làm véc-tơ chỉ phương.
Vậy (Q) có véc-tơ pháp tuyến là
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là:
Vậy .
Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với
tại điểm có hoành độ
là hình chữ nhật có kích thước là
và
?
Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với tại điểm có hoành độ
là hình chữ nhật có kích thước là
và
Diện tích thiết diện được xác định theo hàm là:
⇒ Thể tích vật thể tròn xoay:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng
và vuông góc với mặt phẳng ![]()
Theo đề bài, qua giao tuyến của hai mặt phẳng
nên
có dạng là
Chọn làm vectơ pháp tuyến của
, ta có:
Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập số phức
:
(1)
Kiểm tra nghiệm ta dễ dàng nhận xét
không là nghiệm của phương trình đã cho vậy
.
Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : (2)
Đặt . Khi đó
Phương trình (2) có dạng : (3)
Vậy PT (3) có 2 nghiệm:
Với , ta có
(4)
Có
Vậy PT(4) có 2 nghiệm :
;
Do đó PT đã cho có 4 nghiệm :
Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:
Cho tứ diện
, có
đôi một vuông góc,
là điểm thuộc miền trong của tam giác
. Gọi khoảng cách từ
đến các mặt phẳng
lần lượt là
. Tính độ dài đoạn
sao cho tứ diện
có thể tích nhỏ nhất.
Xét hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A thuộc tia Ox; B thuộc tia Oy và C thuộc tia Oz.
Ta có
Ta có:
Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi
Trong không gian
cho hai điểm
. Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng
b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là
. Đúng||Sai
c) Cho
, tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian cho hai điểm
. Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng
b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là . Đúng||Sai
c) Cho , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Sai: Hình chiếu của điểm trên trục
có tọa độ là
b) Đúng: Vì là trung điểm của
.
c) Đúng: Ta có .
vuông tại
.
d) Sai.
Gọi thỏa
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
.
Vậy .
Suy ra
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Trong không gian
, cho các điểm
. Tích
bằng:
Ta có: . Khi đó
.
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có: . Nhân cả hai vế với
ta được:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là:
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
. Môđun của số phức
có giá trị là
10
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Môđun của số phức
có giá trị là
10
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian cho tứ diện đều
. Khẳng định nào sau đây sai?
Tứ diện đều nên
không thể vuông góc với
.
Vậy khẳng định sai là: “”.