Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Xét phương trình
trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:
Ta có:
Suy ra:
Cho hình
giới hạn bởi các đường
, trục hoành. Quay hình phẳng
quanh trục
ta được khối tròn xoay có thể tích là:
Phương trình hoành độ giao điểm của là:
Khi đó .
Giá trị của
là?
Ta có:
(Áp dụng công thức: )
Cho số phức z thỏa mãn
. Viết z dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
. Từ (*) và (**) suy ra
Do đó
Cho hình lăng trụ ABCDEF.
Gọi M, N, G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF, AE, CE, CD, BC, BE.
Có nhận xét gì về bộ ba vecto
?
Bằng nhau || Đồng phẳng || Bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau, đồng phẳng
Cho hình lăng trụ ABCDEF.
Gọi M, N, G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF, AE, CE, CD, BC, BE.
Có nhận xét gì về bộ ba vecto ?
Bằng nhau || Đồng phẳng || Bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau, đồng phẳng

Theo giả thiết đề bài đã cho, M và N lần lượt là trung điểm của DE và DF
Suy ra, MN là đường trung bình trong tam giác DEF:
Tương tự: và
Vậy
đồng phẳng và bằng nhau.
Biết rằng
với
là các số hữu tủ. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Cho số phức
. Số phức
có phần ảo là:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
. Tỉ số
bằng
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
??
Đặt
Cho số phức
. Tìm số phức z thỏa mãn
.
Ta có:
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Trong không gian
, cho hai điểm
. Điểm
nằm trên mặt phẳng
sao cho
nhỏ nhất là:
Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng ta được:
Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).
Vậy dấu “ = ” xảy ra khi
.
Ta có chọn vtcp của đường thẳng AB:
.
Vậy phương trình đường thẳng AB: .
Tọa độ của M là nghiệm hệ:
Giá trị của
bằng
Ta có:
Trong không gian tọa độ
, cho đường thẳng
và điểm
. Điểm đối xứng với điểm
qua đường thẳng
có tọa độ là:
Gọi
Vectơ chỉ phương của d là
Vì
Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì:
Điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng
có tọa độ là:
.
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:
A sai và có thể (P) và (Q) trùng nhau
B sai, vì mỗi mặt phẳng có vô số vecto pháp tuyến. Suy ra D sai.
C đúng vì 1 mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một VTPT của nó.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là
. Tính tổng ![]()
Hình vẽ minh họa
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.
Phương trình tham số của
Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.
Khi đó
Lại có:
Vậy lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K
Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).
Vectơ pháp tuyến của (Q) là
Vectơ pháp tuyến của (P) là
Phương trình mặt phẳng (P) là
Vậy
Trong không gian
, cho
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Suy ra
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
, trục hoành, hai đường thẳng
(như hình vẽ bên).

Giả sử
là diện tích của hình phẳng
. Chọn công thức đúng?
Dựa vào đồ thị hình vẽ ta thấy:
+ Đồ thị cắt trục hoành tại điểm
+ Trên đoạn , đồ thị ở phía dưới trục hoành nên
+ Trên đoạn , đồ thị ở phía trên trục hoành nên
Do đó:
Gọi
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Gọi và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Ta có .
Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:
.
Do đó .
Trong không gian với hệ tọa độ
, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng
?
Dễ thấy điểm không thuộc mặt phẳng
.
Cho tam giác ABC có
. Phương trình tổng quát của đường cao AH.
Theo đề bài, ta tính được:
Mp (ABC) có 2 VTCP là nên vecto pháp tuyến của (ABC) chính là tích có hướng của 2 VTCP trên. Ta có:
Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên ta có .
Mặt khác nên ta viết được vecto chỉ phương của đường thẳng AH là tích có hướng của 2 vecto pháp tuyến
Từ đây, ta có phương trình chính tắc của
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:![]()
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:.
Cho hàm số
thỏa mãn
và
với mọi
. Tính
?
Ta có:
Với
Do đó
Vậy
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
khác
cùng phương. Câu nào sau đây sai? (có thể chọn 2 đáp án)
Ta xét đáp án : sai vì thiếu điều kiện
.
Xét đáp án : luôn đúng vì 2 vecto cùng phương với nhau.
Ta xét tiếp: : cũng sai, vì thiếu điều kiện
Như vậy ta sẽ chọn 2 đáp án có 2 ý sai.
Kí hiệu
là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
?
Ta có:
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
suy ra
có dạng
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Cho số phức thỏa mãn điều kiện
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của ![]()
1 || Một || một
Cho số phức thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 || Một || một
Đặt
Ta có
.
TH1: (1)
TH2: .
Đặt .
.
(2)
Từ (1) và (2) , suy ra .
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Cho
. Tính
.
Ta có:
Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:
=
= a – bi
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Một mặt phẳng
đi qua hai điểm
và vuông góc với
có dạng
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Vì (Q) vuông góc với (P) nên (Q) nhận véc-tơ pháp tuyến làm véc-tơ chỉ phương.
Mặt khác do (Q) đi qua hai điểm A, B nên nhận làm véc-tơ chỉ phương.
Vậy (Q) có véc-tơ pháp tuyến là
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là:
Vậy .
Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là
=
= a – bi
Trong không gian với hệ tọa độ
cho điểm
và mặt phẳng
, m là tham số. Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm trên . Tính khi khoảng cách từ điểm đến lớn nhất ?
Ta có
Xét hàm số
Ta lập bảng biến thiên cho hàm số trên, được:

Qua bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt GTLN khi
Đường thẳng qua A và vuông góc với (P) có phương trình là
Ta có
Cho parabol
và hai điểm
thuộc
sao cho
. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
và đường thẳng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi và
là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.
Không mất tính tổng quát giả sử a < b.
Theo giả thiết ta có AB = 2 nên
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:
Mặt khác nên
do
Suy ra
Vậy dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.
Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn
![]()
Tính giá trị biểu thức M = a + b.
=>
=>
Cho đường tròn
và parabol
.
cắt
thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của hai phần đó.
Hoành độ giao điểm của (P) và (C) là:
Xét giao điểm thuộc góc phần tư thứ nhất, với
Gọi S2 là phần có diện tích nhỏ hơn, S1 là phần còn lại
Ta có:
Đặt
Khi đó
Diện tích hình tròn
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tam giác
với
,
,
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
. Sai||Đúng
b)
. Sai||Đúng
c) Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng tọa độ
là điểm
. Đúng||Sai
d) Nếu
là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác
với
,
,
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) . Sai||Đúng
b) . Sai||Đúng
c) Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng tọa độ
là điểm
. Đúng||Sai
d) Nếu là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
. Sai||Đúng
Ta có:
a) sai.
b) sai.
c) đúng
d) Gọi ,
,
Vì là hình bình hành nên
.
Vậy d) sai
Cho số phức
. Phần thực của số phức
là?
Ta có:
Vậy phần thực là .
Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho phương trình đường thẳng
. Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng
?
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:
.
Trong không gian
, cho ba điểm
. Điểm
thuộc tia
sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện
bằng
có tọa độ là
Ta có D thuộc tia nên
với
.
Tính
Mặt phẳng : có vectơ pháp tuyến
và đi qua điểm
.
Ta có
Vậy .
Cho số phức
. Số phức
là số phức nào sau đây?
Ta có:
Suy ra
.
Giả sử
và
. Khi đó
bằng
Ta có:
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách trên
Gọi
là bốn nghiệm của phương trình
trên tập
số phức tính tổng:
.
Ta có:
(1)
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:
Thay và biểu thức ta có: