Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 50 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho phương trình sau: z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Cho phương trình sau: z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?

    4 || Bốn || bốn

    Do tổng tất cả các hệ số của phương trình z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0 bằng 0 nên z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0 có nghiệm z = 1.

    z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0\Leftrightarrow (z – 1)(z^3 – 3z^2 + 4z – 12) = 0

    \Leftrightarrow (z – 1) (z – 3) (z^2 + 4) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\{z^2} + 4 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\z = 2i\\z = - 2i\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm và cộng tổng chúng lại ta được 4.

  • Câu 2: Nhận biết

    Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 72 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 45\ \ m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 12t + 24\ \ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quảng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quảng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). Đúng||Sai

    b) Quãng đường s(t) = - 12t^{2} + 24t. Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 10 giây. Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 72 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 45\ \ m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 12t + 24\ \ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quảng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quảng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). Đúng||Sai

    b) Quãng đường s(t) = - 12t^{2} + 24t. Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 10 giây. Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Do s'(t) = v(t) nên quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). Ta có: \int_{}^{}{( - 12t + 24)}dt = - 6t^{2} + 24t + C với C là hằng số.

    Khi đó, ta gọi hàm số s(t) = - 6t^{2} + 24t + C.

    Do s(0) = 0 nên C = 0. Suy ra s(t) = - 6t^{2} + 24t.

    Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0 hay - 12t + 24 = 0 \Leftrightarrow t = 2. Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

    Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ 72\ km/h = 20\ m/s.

    Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: s(2) = - 6.2^{2} + 24.2 = 24(\ m).

    Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: 20 + 24 \approx 44\ (\ m).

    Do 44 < 45 nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) = \sqrt{x} và y = g(x) = x - 2 như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

    Đáp án: 3,3 m2

    Đáp án là:

    Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) = \sqrt{x} và y = g(x) = x - 2 như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

    Đáp án: 3,3 m2

    Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số y = \sqrt{x},y = x - 2.

    \sqrt{x} = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x = (x - 2)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x^{2} - 5x + 4 = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow x = 4. ight.

    Diện tích của hình phẳng cần tìm là

    S = \int_{0}^{4}\sqrt{x}dx - \int_{0}^{4}(x - 2)dx = \frac{10}{3} \approx 3,3(m^{2}).

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn iz = 2 + i. Khi đó phần thực và phần ảo của z là

     Ta có: z = \frac{{2 + i}}{i} = 1 - 2i

  • Câu 5: Nhận biết

    Giá trị của tích phân \int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx} bằng:

    Ta có: \int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx} = \left. \ e^{x + 1} ight|_{- 1}^{0} = e^{1} - e^{0} = e - 1.

  • Câu 6: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 3x

     Ta có: \int {\cos 3xdx} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( - 1;5;3),M(2;1; - 2). Tìm tọa độ điểm B sao cho M là trung điểm của AB?

    Gọi tọa độ điểm B\left( x_{B};y_{B};z_{C} ight). Vì M là trung điểm của AB nên ta có:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = \dfrac{- 1 + x_{B}}{2} \\1 = \dfrac{5 + y_{B}}{2} \\- 2 = \dfrac{3 + z_{B}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{B} = 5 \\y_{B} = - 3 \\z_{C} = - 7 \\\end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ điểm B cần tìm là B(5; - 3; - 7).

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:\bigtriangleup_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2} và \bigtriangleup_{2}:\frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}

    a) Vectơ có tọa độ (1;2;3) là một vectơ chỉ phương của \bigtriangleup_{1}. Sai||Đúng

    b) Đường thẳng \bigtriangleup_{2} đi qua điểm A(0; - 3;14). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng \bigtriangleup_{3} đi qua B(1;1; - 2) và vuông góc với \bigtriangleup_{1} có phương trình tham số là \bigtriangleup_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 2 - 3t \\ \end{matrix} ight.. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai đường thẳng \bigtriangleup_{1} và \bigtriangleup_{2} khoảng 132^{0}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:\bigtriangleup_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2} và \bigtriangleup_{2}:\frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}

    a) Vectơ có tọa độ (1;2;3) là một vectơ chỉ phương của \bigtriangleup_{1}. Sai||Đúng

    b) Đường thẳng \bigtriangleup_{2} đi qua điểm A(0; - 3;14). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng \bigtriangleup_{3} đi qua B(1;1; - 2) và vuông góc với \bigtriangleup_{1} có phương trình tham số là \bigtriangleup_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 2 - 3t \\ \end{matrix} ight.. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai đường thẳng \bigtriangleup_{1} và \bigtriangleup_{2} khoảng 132^{0}. Sai||Đúng

    a) Vectơ có tọa độ (2;1; - 2) là một vectơ chỉ phương của \bigtriangleup_{1} nên mệnh đề sai

    b) Mệnh đề đúng

    c) Gọi B = \bigtriangleup_{1} \cap \bigtriangleup_{3} \Rightarrow B(1 + 2t;2 + t;3 - 2t)

    \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2t; - 1 - t; - 5 + 2t\ ) \\ \overrightarrow{AB}\bot u_{\bigtriangleup_{1}} \Rightarrow t = 1 \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 2; - 3\ ) \\ \end{matrix} nên mệnh đề đúng

    d) Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn nên mệnh đề sai

  • Câu 9: Nhận biết

    Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm x = a;x = b;a < b, có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x;(a \leq x \leq b) là S(x).

    Thể tích của vật thể đã cho là: V = \int_{a}^{b}{S(x)dx}.

  • Câu 10: Vận dụng

    Tốc độ tăng trưởng bán kính của thân cây được tính bằng công thức f\left( t ight) = 1,5 + \sin \left( {\frac{{\pi t}}{5}} ight), trong đó t là thời gian khảo sát (tính theo năm), là thời điểm đầu khảo sát, F(t) là bán kính của thân cây tại thời điểm t và F’(t) = f(t). Tính bán kính của thân cây sau 20 năm kể từ lúc bắt đầu khảo sát, biết rằng bán kính cây tại thời điểm bắt đầu khảo sát là 5cm.

     Ta có: F\left( t ight) = \int {\left( {1,5 + \sin \frac{{\pi t}}{5}} ight)} dt = \left( {1,5t - \frac{5}{\pi }\cos \frac{{\pi t}}{5}} ight) + C

    Từ giả thiết ta có: F\left( 0 ight) = 5 \Rightarrow C = 5 + \frac{5}{\pi }

    => F\left( t ight) = 1,5t - \frac{5}{\pi }\cos \frac{{\pi t}}{5} + 5 + \frac{5}{\pi }

    Sau 5 năm bán kính thân cây bằng F\left( {20} ight) = 1,5.20 - \frac{5}{\pi }\cos \frac{{\pi .20}}{5} + 5 + \frac{5}{\pi } = 40\left( {cm} ight)

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập số phức \mathbb C: {z^4} - {z^3} + \frac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0 (1)

    Kiểm tra nghiệm z=0 ta dễ dàng nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình đã cho vậy z eq 0.

    Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ({z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}) - (z - \frac{1}{z}) + \frac{1}{2} = 0 (2)

    Đặt t= z - \frac{1}{z} .  Khi đó {t^2} = {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} - 2 \Leftrightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = {t^2} + 2

    Phương trình (2) có dạng :t^2-t+\frac{5}{2} = 0 (3)

    \Delta = 1 - 4.\frac{5}{2} = - 9 = 9{i^2}

    Vậy PT (3) có 2 nghiệm:    t=\frac{{1 + 3i}}{2};t=\frac{{1 - 3i}}{2} 

    Với  t=\frac{{1 + 3i}}{2},  ta có z - \frac{1}{z} = \frac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 + 3i)z - 2 = 0(4)

    Có \Delta = {(1 + 3i)^2} + 16 = 8 + 6i = 9 + 6i + {i^2} = {(3 + i)^2}

    Vậy PT(4) có 2 nghiệm :

    z=\frac{{(1 + 3i) + (3 + i)}}{4} = 1 + i;  z= \frac{{(1 + 3i) - (3 + i)}}{4} = \frac{{i - 1}}{2}

    Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-iz=\frac{{i - 1}}{2}; z=\frac{{-i - 1}}{2}

  • Câu 12: Nhận biết

    Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a;x = b;\left( {a < b} ight) xung quanh trục Ox.

    Ta có : V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx.

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):x - 2y - 2z + 4 = 0 và (\beta): - x + 2y + 2z - 7 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)?

    Ta thấy (α) và (β) song song với nhau nên với A(0; 2; 0) ∈ (α).

    \Rightarrow d\left\lbrack (\alpha);(\beta) ightbrack = d\left( A;(\beta) ight) = \frac{|4 - 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Gọi {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} là bốn nghiệm của phương trình {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 trên tập

    số phức tính tổng: S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}}.

    Ta có: {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {z + 2} ight)\left( {{z^2} - 2z + 2} ight) = 0 (1)

    Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:

    \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1\\{z_2} = - 2\\{z_3} = 1 + i\\{z_4} = 1 - i\end{array} ight.

    Thay và biểu thức ta có: 

    S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + i} ight)}^2}}} = \frac{5}{4}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) = \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{- x} trên \mathbb{R}. Giá trị của biểu thức f\left( F(0) ight) bằng:

    Ta có: \left( F(x) ight)' = \left\lbrack \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x} ightbrack'

    = \left\lbrack - ax^{2} + (2a - b)x + b - c ightbrack e^{- x}

    = \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{- x} suy ra \left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\2a - b = - 5 \\b - c = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\b = 1 \\c = - 1 \\\end{matrix} ight.\Rightarrow F(x) = \left( 2x^{2} + x - 1ight)e^{- x}

    \Rightarrow F(0) = - 1 \Rightarrow f\left( F(0) ight) = f( - 1) = 9e

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( - 1;2;0),B(0;0; - 2),C(1;0;1),D(2;1;- 1). Hai điểm M;N lần lượt nằm trên đoạn BC và BD sao cho 2\frac{BC}{BM} + 3\frac{BD}{BN} = 10 và \frac{V_{ABMN}}{V_{ABCD}} =\frac{6}{25}. Phương trình mặt phẳng (AMN) có dạng ax + by + cz + 32 = 0. Tính S = a - b + c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( - 1;2;0),B(0;0; - 2),C(1;0;1),D(2;1;- 1). Hai điểm M;N lần lượt nằm trên đoạn BC và BD sao cho 2\frac{BC}{BM} + 3\frac{BD}{BN} = 10 và \frac{V_{ABMN}}{V_{ABCD}} =\frac{6}{25}. Phương trình mặt phẳng (AMN) có dạng ax + by + cz + 32 = 0. Tính S = a - b + c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 17: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} - (3i + 8)z + 11\,.i + 13 = 0  là 

     Ta có: \Delta = {(3i + 8)^2} - 4(11.i + 13) = 4i + 3.

    Giả sử m+ni \,\,(m; n \in \mathbb R)  là căn bậc hai của \triangle.

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 3 + 4i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 3 + 4i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3\\2mn = 4\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3 \,\, (1)\ = \dfrac{2}{m}\,\,\,\, \,\,\,\, (2)\end{array} ight.

    Thay (2) vào (1) ta có:

    {m^2} - {\left( {\frac{2}{m}} ight)^2} = 3 \Leftrightarrow {m^4} - 3{m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,(TM)\\{m^2} = - 1\,\,\,\,\,\,\,(L{m{)}}\end{array} ight.

    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 \Rightarrow n = 1\\m = - 2 \Rightarrow n = - 1\end{array} ight.

    Vậy \triangle có hai căn bậc hai là  2+i  và -2-i.

    Do đó nghiệm của phương trình là:

    \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{3i + 8 + i + 2}}{2} = 2i + 5\\z = \dfrac{{3i + 8 - i - 2}}{2} = i + 3\end{array} ight.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

    a) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left( \sin xight)dx} = 2\int_{0}^{1}{x.f(x)dx} Đúng||Sai

    b) \int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx} Đúng||Sai

    c) \int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{x.f(x)dx} Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

    a) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left( \sin xight)dx} = 2\int_{0}^{1}{x.f(x)dx} Đúng||Sai

    b) \int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx} Đúng||Sai

    c) \int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{x.f(x)dx} Đúng||Sai

    Ta có:

    \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left(\sin x ight)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{2\sin x.\cos x.f\left( \sin xight)dx}

    Đặt t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\\end{matrix} ight. từ đó ta có:

    \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left(\sin x ight)dx} = \int_{0}^{1}{2tf(t)dt} =2\int_{0}^{1}{2xf(x)dx}

    Ta có: \int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx}

    Đặt t = e^{x} \Rightarrow dt = e^{x}dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = e \\ \end{matrix} ight. từ đó ta có:

    \int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx} = \int_{0}^{e}{\frac{f(t)}{t^{2}}dt} = \int_{0}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx}

    Ta có: \int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx}

    Đặt t = x^{2} \Rightarrow dt = 2xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = a \Rightarrow t = a^{2} \\ \end{matrix} ight. từ đó ta có:

    \int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{tf(t)}dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{xf(x)}dx

  • Câu 19: Nhận biết

    Vật thể B giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2. Cắt vật thể B với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x;(0 \leq x \leq 2) ta được thiết diện có diện tích bằng x^{2}(2 - x). Thể tích của vật thể B:

    Thể tích của vật thể B là:

    V = \int_{0}^{2}{x^{2}(2 - x)dx} = \int_{0}^{2}{\left( 2x^{2} - x^{3} ight)dx} = \frac{4}{3}

  • Câu 20: Nhận biết

    Số phức z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} có phần thực là?

    2

    Đáp án là:

    Số phức z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} có phần thực là?

    2

     Ta có: z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} = \frac{{\left( {7 - 17i} ight)\left( {5 + i} ight)}}{{\left( {5 - i} ight)\left( {5 + i} ight)}} = \frac{{52 - 78i}}{{26}} = 2 - 3i

    Vậy phần thực của số phức z=2

  • Câu 21: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz có điểm A(4;2;1),B( - 2; - 1;4). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}?

    Ta có: M(x;y;z). Khi đó \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}

    \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 4 = 2( - 2 - x) \\ y - 2 = 2( - 1 - y) \\ z - 1 = 2(4 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(0;0;3)

    Vậy giá trị cần tìm là M(0;0;3).

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đáp án là:

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.

    Đồ thị của hàm số y = f(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm A( - 1;0)và A(2;1) có dạng hàm số (P_{1}):y = \frac{1}{2}x^{2} - 1.

    Đồ thị của hàm số y = g(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm C(1;0)và D(2; - 1) có dạng hàm số (P_{1}):y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1.

    Giao điểm của hai parabol tại x_{1} = - \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{2}

    Do đó, diện tích của con cá là S = \int_{- \sqrt{2}}^{2}{\left| x^{2} - 2 ight|dx} \approx 4,32m^{2}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tìm các số thực x, y thoả mãn:

    3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    => (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

    =>\left\{ \begin{gathered} 3x + y = 2y - 1 \hfill \\ 5x = x - y \hfill \\ \end{gathered} ight.

    => \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{1}{7} \hfill \\ y = \frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn z + \frac{{2{{\left( {2 - i} ight)}^3}\overline z }}{{1 + i}} + {\left( {4 + i} ight)^5} = 422 + 1088i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

     Gọi z = x + yi,x,y \in \mathbb{R} tìm được z = 1 - 2i.

    Tính mô đun ta được  \left| z ight| = \sqrt 5.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{x - 1} trên khoảng (1; + \infty) thỏa mãn F(e + 1) = 4. Xác định công thức F(x)?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{x - 1} = \int_{}^{}\frac{d(x - 1)}{x - 1} = \ln|x - 1| + C = \ln(x - 1) + C (vì (1; + \infty))

    Mà F(e + 1) = 4 \Leftrightarrow \ln(e + 1 - 1) + C = 4 \Rightarrow C = 3

    Vậy F(x) = \ln(x - 1) + 3.

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M(1;2;3) và song song với trục Oy có phương trình tham số là:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm.

    Ta có d//Oy nên d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (0;1;0).

    Do đó \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 + t \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho số phức z = a + bi. Số phức {z^2} có phần ảo là:

    Ta có: {z^2} = {\left( {a + bi} ight)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(−2; 1; 3), B(3; −2; 4), đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{11} = \frac{z + 1}{- 4}và mặt phẳng (P): 41x − 6y + 54z + 49 = 0. Đường thẳng (d) đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện ABCO và OACD bằng nhau, biết (d) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;b;c). Tính b + c.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có 1 = \frac{V_{OABC}}{V_{OACD}} =\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( O;(ABC) ight).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;(ACD) ight).S_{ACD}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} =\frac{BC}{CD}

    Nên BC = CD. Vì C ∈ ∆ \Rightarrow C(2t + 1;11t + 6; - 4t - 1)

    C là trung điểm của BD nên D(4t - 1;22t + 14; - 8t - 6).

    Điểm D ∈ (P) nên 41(4t − 1) − 6(22t + 14) + 54(−8t − 6) + 49 = 0 ⇔ t = −1

    ⇒ C(−1; −5; 3).

    \overrightarrow{CB} = (4;3;1) = \overrightarrow{u} là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

    Vậy b = 3, c = 1 ⇒ b + c = 4

  • Câu 29: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 1}{1} và mặt phẳng (P):x - 2y - 2z + 5 = 0. Điểm A nào dưới đây thuộc d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng 3?

    Vì A ∈ (d) nên ta có tọa độ điểm A(2a; −a; a − 1).

    Khoảng cách từ A đến (P) là

    \frac{\left| 2a + 2a - 2(a - 1) + 5 ight|}{\sqrt{9}} = 3

    \Leftrightarrow |2a + 9| = 9\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 0 \\a = - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.

    Với a = 0 \Rightarrow A(0;\ 0; - 1)

  • Câu 30: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 4i} = 3 - ( - 4i) = 3 + 4i

  • Câu 31: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ OA\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot OM

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BM\bot AC \\ OB\bot AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot OM

    Vậy OM\bot(ABC) nên (P) nhận \overrightarrow{OM} = (1;2;3) làm vectơ pháp tuyến.

    Do (P) đi qua M(1;2;3) nên (P):x - 1 + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0

  • Câu 32: Nhận biết

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x + 1 là:

    Ta có: \int_{}^{}{\left( \sin x + 1 ight)dx} = - \cos x + x + C

  • Câu 33: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; - 1;1) và vectơ \overrightarrow{n} = (1;3;4). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; - 1;1) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}.

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:

    (x - 2) + 3(y - 1) + 4(z - 1) = 0

    \Leftrightarrow x + 3y + 4z - 3 = 0

  • Câu 34: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz có điểm A(1; - 3;1),B(3;0; - 2). Tính độ dài AB?

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (3 - 1;0 + 3; - 2 - 1) = (2;3; - 3)

    Suy ra AB = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + ( - 3)^{2}} = \sqrt{22}

    Vậy đáp án cần tìm là AB = \sqrt{22}.

  • Câu 35: Nhận biết

    Tính \int_{}^{}{\sin3xdx}?

    Áp dụng công thức \int_{}^{}{\sin(ax + b)dx} = - \frac{1}{a}\cos(ax + b) + C

    Suy ra \int_{}^{}{\sin3xdx} = -\frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 36: Thông hiểu

    Một vật chuyển động với vận tốc v(t)(m/s)có gia tốc v'(t) = \frac{3}{t + 1}\left( m/s^{2} ight). Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Tính vận tốc của vật sau 10 giây, (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

    Vận tốc của vật là:v(t) = \int_{}^{}{v'(t)dt} = \int_{}^{}{\frac{3}{t + 1}dt} = 3ln(t + 1) + C

    Do vận tốc ban đầu của vật là 6m/s

    \Rightarrow v_{(t = 0)} = 6 \Rightarrow 3ln1 + C = 6 \Rightarrow C = 6

    Vận tốc của vật sau 10s là v(10) = 3ln11 + 6 \approx 13m/s

  • Câu 37: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là

     \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 2i} = 3 - ( - 2i) = 3 + 2i

  • Câu 38: Vận dụng

    Trong hệ tục toạ độ không gian Oxyz, cho A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), biết b,c > 0, phương trình mặt phẳng (P):y - z + 1 = 0. Tính M = b + c biết (ABC)\bot(P),d\left( O;(ABC) ight) = \frac{1}{3}?

    Ta có (ABC):\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    \Rightarrow (ABC):bcx + cy + bz - bc = 0

    Hai mặt phẳng(ABC);(P) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \overrightarrow{n_{1}} = (bc;c;b),\overrightarrow{n_{2}} = (0;1; - 1)

    Vì (P)\bot(ABC) nên c - b = 0 \Leftrightarrow b = c.

    Theo giả thiết

    d\left( O;(ABC) ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{| - bc|}{\sqrt{bc^{2} + c^{2} + b^{2}}} = \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow 3b^{2} = \sqrt{b^{4} + 2b^{2}} \Leftrightarrow 3b^{2} = b\sqrt{b^{2} + 2}

    \Leftrightarrow 3b = \sqrt{b^{2} + 2} \Leftrightarrow 9b^{2} = b^{2} + 2 \Leftrightarrow b = \frac{1}{2} (vì b > 0).

    Suy ra c = 2. Vậy M = b + c = 1.

  • Câu 39: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x + 5?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x + 5)dx} = x^{2} + 5x + C

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}} biết rằng đồ thị hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành. Chọn công thức đúng của 3e^2F(x)?

     Ta có:

    F\left( x ight) = \int {\left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}}dx = \frac{1}{3}\int {{e^{{x^3} - 3x}}d\left( {{x^3} - 3x} ight) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} - 3x}} + C} }

    Mà F'\left( x ight) = f\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}} = 0 \Rightarrow x = \pm 1

    \begin{matrix} F''\left( x ight) = 2x.{e^{{x^3} - 3x}} + \left( {{x^2} - 1} ight)\left( {3{x^2} - 3} ight){e^{{x^3} - 3x}} \hfill \\ F''\left( 1 ight) > 0;F''\left( { - 1} ight) < 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

    Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A(0; 1)

    => F\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}{e^{ - 2}} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{{3{e^2}}}

    => F\left( x ight) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x + 2}} - 1}}{{3{e^2}}} Hay  3e^2F(x) = e^{{x^3} - 3x + 2} - 1

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}. Giá trị của f(2) là:

     Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3a - 2} \\ {b = 2b - 3} \\ {d = 0} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1} \\ {b = 3} \\ {c = 0} \\ {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2} => f(x) = 20

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i. Tìm môđun của số phức \overline {{z_1}} - {z_2}.

     Ta có: \left| {\overline {{z_1}} - {z_2}} ight| = \left| {1 + i - 3 - 2i} ight| = \sqrt 5

  • Câu 43: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2). Tìm x để các đường thẳng AD;BC;MN cùng song song với một mặt phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2). Tìm x để các đường thẳng AD;BC;MN cùng song song với một mặt phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 44: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

     Ta có (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{1 + i}}{{2 + 3i}}\\ \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{5 - i}}{{13}}\;\\ \Leftrightarrow z = - \dfrac{8}{{13}} - \dfrac{1}{{13}}i\;\;\;\end{array}

  • Câu 45: Vận dụng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a;\,\,AD = b;\,\,AE = c trong hệ trục Oxyz  sao cho A trùng với O;\,\,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} lần lượt trùng với  Ox,Oy,Oz . Gọi  M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của giao tuyến (d) của mặt phẳng (MNP) và (xOy)

    Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:

    M\left( {a,\frac{b}{2},0} ight);\,\,\,N\left( {\frac{a}{2},0,c} ight);\,\,\,P\left( {0,b,\frac{c}{2}} ight)

    Như vậy ta tính được vecto \overrightarrow {MN} và \overrightarrow {MP} theo a, b, c.

    \overrightarrow {MN} = - \frac{1}{2}\left( {a,b, - 2c} ight);\,\,\,\overrightarrow {MP} = - \frac{1}{2}\left( {2a, - b, - c} ight)

    (MNP) có vecto pháp tuyến là tích có hướng của 2 vecto  \overrightarrow {MN} và \overrightarrow {MP}

    = > \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } ight] = - 3\left( {bc,ca,ab} ight) = \overrightarrow {{n_P}}

    (MNP) có đi qua M và nhận \overrightarrow {{n_P}} làm 1 VTCP có phương trình là:

    \begin{array}{l}\left( {MNP} ight):bc\left( {x - a} ight) + ca\left( {y - \frac{b}{2}} ight) + ab.z = 0\\ = > \left( {MNP} ight):2bcx + 2cay + 2abz - 3abc = 0\\ = > (d):2bcx + 2cay + 2abz - 3abc = 0;\,\,\,z = 0\end{array}

  • Câu 46: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1 , gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P = \left| {{z^5} + {{\overline z }^3} + 6z} ight| - 2\left| {{z^4} + 1} ight|. Tính M - m.

    M-m=1 || 1 || một || Một

    Đáp án là:

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1 , gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P = \left| {{z^5} + {{\overline z }^3} + 6z} ight| - 2\left| {{z^4} + 1} ight|. Tính M - m.

    M-m=1 || 1 || một || Một

     Ta có P = \left| {{z^5} + {{\overline z }^3} + 6z} ight| - 2\left| {{z^4} + 1} ight|

    = \left| {{z^4} + {{\overline z }^4} + 6} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = \left| {{{\left( {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight)}^2} + 4} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = {\left( {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight)^2} + 4 - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = {\left( {\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight| - 1} ight)^2} + 3

    Vì \left\{ \begin{array}{l}{z^2} + {\overline z ^2} \in \mathbb{R}\\ - 2 \le {z^2} + {\overline z ^2} \le 2\end{array} ight.   nên {P_{{m{max}}}} = 4; {P_{{m{min}}}} = 3

    Suy ra M=4; m=3 \mbox{ do đó } M-m=4-3=1

  • Câu 47: Nhận biết

    Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + \sqrt 2 i  và 1 - \sqrt 2 i là nghiệm ?

     Ta có \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) + \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 2 =\frac{-b}{a} và  \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) . \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 3 =\frac c a.

    Suy ra 1 \pm \sqrt 2 i là nghiệm của phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0.

  • Câu 48: Vận dụng

    Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z_0, z_1, khác 0 và

    thỏa mãn đẳng thức z_0^2+z_1^2=z_0z_1. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.

    Hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z_0, z_1.

    Theo giả thiết suy ra: OA=|z_0|, OB=|z_1| và AB=|z_1-z_0|.

    Ta có: z_0^2+z_1^2=z_0z_1 \Leftrightarrow z_0^2-z_0z_1+z_1^2=0.

    \Leftrightarrow (z_0 +z_1)(z_0^2-z_0z_1+z_1^2)=0

    \Leftrightarrow z_0^3+z_1^3=0 \Leftrightarrow z_0^3=-z_1^2\Leftrightarrow |z_0|=|z_1| \Leftrightarrow OA=OB

    Xét (z_1-z_0)^2=z_0^2+z_1^2-2z_0z_1=-z_0z_1 \Rightarrow |z_1-z_0|^2=|z_1|.|z_0|

    \Leftrightarrow AB^2=OA.OB \Leftrightarrow AB=OB.

    Vậy OA=OB=AB hay tam giác OAB là tam giác đều.

  • Câu 49: Thông hiểu

    Số phức z thỏa mãn z = 1 + 2i + 3{i^2} + 4{i^3} + ... + 18{i^{19}}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Ta có:  z - iz = 1 + i + ... + {i^{19}} - 18{i^{20}} = 1.\frac{{1 - {i^{20}}}}{{1 - i}} - 18{i^{20}} = - 18

    \Rightarrow z = \frac{{ - 18}}{{1 - i}} = - 9 - 9i

  • Câu 50: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P):x + y - z + 1 = 0 và (Q):x - y + z - 5 = 0. Có bao nhiêu điểm M trên trục Oy thỏa mãn M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)?

    Vì M \in Oy nên M(0;y;0)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}d\left( M;(P) ight) = \dfrac{|y + 1|}{\sqrt{3}} \\d\left( M;(Q) ight) = \dfrac{| - y - 5|}{\sqrt{3}} \\\end{matrix} ight..

    Theo giả thiết:

    d\left( M;(P) ight) = d\left( M;(Q) ight) \Leftrightarrow \frac{|y + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{| - y - 5|}{\sqrt{3}}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y + 1 = - y - 5 \\ y + 1 = y + 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = - 3(TM) \\ 0y = 4(L) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow M(0; - 3;0)

    Vậy có 1 điểm M thỏa mãn bài.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 244 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 50:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập