Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 50 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {5 - 3i} = 5 - ( - 3i) = 5 + 3i

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hình vẽ:

    Diện tích của hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a,x = b,(a < b) (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức:

    Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có:

    S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx} = \int_{a}^{c}{\left\lbrack 0 - f(x) ightbrack dx} + \int_{c}^{b}{\left\lbrack f(x) - 0 ightbrack dx}

    = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}

    Vậy đáp án cần tìm là: S = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn \left( {1 - i} ight)z + 2i\overline z = 5 + 3i. Môđun của z là:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight).

    \left( {1 - i} ight)\left( {x + yi} ight) + 2i\left( {x - yi} ight) = 5 + 3i

    \Leftrightarrow \left( {x + 3y} ight) + \left( {x + y} ight)i = 5 + 3i \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 3y = 5 \hfill \\ x + y = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left| z ight| = \sqrt 5

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - 2y + z + 5 = 0. Tính khoảng cách từ điểm M( - 1;2; - 3) đến mặt phẳng (P)?

    Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

    d\left( M;(P) ight) = \frac{| - 2 - 4 - 3 + 5|}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tích phân \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = a - \ln b với a;b\mathbb{\in Z}. Giá trị của a + b bằng:

    Ta có: \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = \int_{0}^{1}{\left( 1 - \frac{2x}{x^{2} + 1} ight)dx}

    = \left. \ x ight|_{0}^{1} - \left. \ \ln\left( x^{2} + 1 ight) ight| = 1 - ln2

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = 3

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x - 2z - 6 = 0 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Viết phương trình đường thẳng \Delta nằm trong mặt phẳng (\alpha) cắt đồng thời vuông góc với d?

    Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix} x - 2z - 6 = 0 \\ x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(2;4; - 2)

    Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;0; - 2), đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1; - 1)

    Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)

    Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1) nên có phương trình chính tắc: \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1 , gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P = \left| {{z^5} + {{\overline z }^3} + 6z} ight| - 2\left| {{z^4} + 1} ight|. Tính M - m.

    M-m=1 || 1 || một || Một

    Đáp án là:

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1 , gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P = \left| {{z^5} + {{\overline z }^3} + 6z} ight| - 2\left| {{z^4} + 1} ight|. Tính M - m.

    M-m=1 || 1 || một || Một

     Ta có P = \left| {{z^5} + {{\overline z }^3} + 6z} ight| - 2\left| {{z^4} + 1} ight|

    = \left| {{z^4} + {{\overline z }^4} + 6} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = \left| {{{\left( {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight)}^2} + 4} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = {\left( {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight)^2} + 4 - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = {\left( {\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight| - 1} ight)^2} + 3

    Vì \left\{ \begin{array}{l}{z^2} + {\overline z ^2} \in \mathbb{R}\\ - 2 \le {z^2} + {\overline z ^2} \le 2\end{array} ight.   nên {P_{{m{max}}}} = 4; {P_{{m{min}}}} = 3

    Suy ra M=4; m=3 \mbox{ do đó } M-m=4-3=1

  • Câu 8: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 3x

     Ta có: \int {\cos 3xdx} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C

  • Câu 9: Thông hiểu

    Kí hiệu z_0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4{z^2} - 16z + 17 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = i{z_0}?

     Ta có:

    4{z^2} - 16z + 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 2 + \dfrac{1}{2}i\\z = 2 - \dfrac{1}{2}i\end{array} ight.

    \Rightarrow w = i{z_0} = - \frac{1}{2} + 2i

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}cùng có độ dài bằng 2. Biết rằng góc giữa hai vecto đó bằng 120^{0}, giá trị của biểu thức P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} là

    Ta có:

    \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 2.2.cos120^{0} = 2.2.\left( - \frac{1}{2} ight) = - 2

    Do đó:

    P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 4\overrightarrow{.a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2}

    = 4 - 4.( - 2) + 4.4 = 28.

  • Câu 11: Nhận biết

    Một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc là v(t) = 3t^{2} + 5(m/s). Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

    Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

    S = \int_{4}^{10}{v(t)dt} = \int_{4}^{10}{\left( 3t^{2} + 5 ight)dt}

    = \left. \ \left( t^{3} + 5t ight) ight|_{4}^{10} = 996(m)

  • Câu 12: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x +\sin2x là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x +\sin2x)dx}

    = 2.\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c = x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x + c

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{2022}}. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là?

     Ta có: z = 1 + i\frac{{1 - {i^{2022}}}}{{1 - i}} = i

    Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1.

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;1),B(0;1;2),C( - 2;1;4) và mặt phẳng (P):x - y + z + 2 = 0. Tìm điểm N \in (P) sao cho S = 2NA^{2} + NB^{2} + NC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;1),B(0;1;2),C( - 2;1;4) và mặt phẳng (P):x - y + z + 2 = 0. Tìm điểm N \in (P) sao cho S = 2NA^{2} + NB^{2} + NC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 15: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 150 - 15t(m/s). Hỏi rằng trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 150 - 15t = 0 \Rightarrow t = 10(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} = \int_{0}^{10}{(150 - 15t)dt} = \frac{375}{2}m.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack 0;10brack và \int_{0}^{10}{f(x)dx} = 7 và \int_{2}^{6}{f(x)dx} = 3. Tính F = \int_{0}^{2}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}?

    Ta có: \int_{0}^{10}{f(x)dx} = \int_{0}^{2}{f(x)dx} + \int_{2}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}

    \Rightarrow F = \int_{0}^{2}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx} = \int_{0}^{10}{f(x)dx} - \int_{2}^{6}{f(x)dx} = 7 - 3 = 4

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 6 - 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \overline z.

     Ta có \overline z = \overline { - 6 - 3i} = - 6 + 3i nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn

    \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = a\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} + b\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C}

    Tính giá trị biểu thức M = a + b.

     I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} }}{{\left( {x + 2} ight) - \left( {x + 1} ight)}}dx} = \int {\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} } ight)dx} }

    => I = \frac{2}{3}.\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} - \frac{2}{3}\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{2}{3}} \\ {b = \dfrac{{ - 2}}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow M = a + b = 0

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1;2),B( - 2;0;3). Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}. Sai||Đúng

    b) Tọa độ của vectơ \overrightarrow{AB} = ( - 3;1;1). Đúng||Sai

    c) Điểm A' là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) thì \overrightarrow{AA'} = (0;0;2). Sai||Đúng

    d) Tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành là C(1;1; - 3). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1;2),B( - 2;0;3). Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}. Sai||Đúng

    b) Tọa độ của vectơ \overrightarrow{AB} = ( - 3;1;1). Đúng||Sai

    c) Điểm A' là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) thì \overrightarrow{AA'} = (0;0;2). Sai||Đúng

    d) Tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành là C(1;1; - 3). Sai||Đúng

    a) Điểm A(1; - 1;2) \Rightarrow \overrightarrow{OA} = (1; - 1;2) \Rightarrow \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}.

    b) \overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;0 + 1;3 - 2) = ( - 3;1;1).

    c) A' là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) nên A'(1; - 1;0).

    Suy ra \overrightarrow{AA'} = (0;0; - 2).

    d) Gọi C(x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{OC} = (x;y;z).

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 3;1;1).

    Tứ giác OABC là hình bình hành nên \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 3 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C( - 3;1;1).

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x);y = g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x);y = g(x) và các đường thẳng x = a;x = b. Diện tích hình (H) được tính theo công thức?

    Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}.

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường y = 2\left( x^{2} - 1ight);y = 1 - x^{2}. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do D quay quanh trục Ox?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường y = 2\left( x^{2} - 1ight);y = 1 - x^{2}. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do D quay quanh trục Ox?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 23: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(2,-1,3), B (3, 1, 2) và song song với vectơ \overrightarrow a = \left( {3, - 1, - 4} ight) là:

    Theo đề bài, ta có: \overrightarrow {AB} = \left( {1,2, - 1} ight);\left[ {\overrightarrow {AB} \overrightarrow {,a} } ight] = \overrightarrow n = \left( { - 9,1, - 7} ight)

    Chọn \overrightarrow n = \left( {9, - 1,7} ight) làm 1 vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng : 9x - y + 7z + D = 0

    Mà mp lại qua A nên 9.2 - ( - 1) + 7.3 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 40

    Phương trình cần tìm là: 9x - y + 7z - 40 = 0.

  • Câu 24: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 4i} = 3 - ( - 4i) = 3 + 4i

  • Câu 25: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a + b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a + b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    a) Đúng: Vì \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k} nên A(3;0; - 1).

    b) Sai: Ta có \overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2).

    Vì 4:2:4 eq - 2:4:2 nên \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} không cùng phương suy ra A,B,C không thẳng hàng.

    c) Đúng

    Vì D là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight. suy ra D( - 5;4;7).

    Do đó a = - 5,b = 4,c = 7. Vậy a + b + c = 6.

    d) Đúng. Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.

    MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}

    =(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    Do IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} không thay đổi nên MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (Oxy).

    Do đó M(1;2;0) suy ra m=1,n=2,p=0.

    Vậy 2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0.

  • Câu 26: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

     Ta có \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{( - 1 + 3i)(1 - i)}}{{{{(2 + i)}^2}}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 4i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{(2 + 4i)(3 - 4i)}}{{25}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i

  • Câu 27: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 25^{x}?

    Vì: \left( \frac{25^{x}}{ln25} ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Một khu vườn được quy hoạch để trồng hoa hồng được giới hạn bởi parabol và nửa đường tròn bán kính (phần tô màu trong hình vẽ). Hỏi số tiền tối thiểu để trồng kín hoa trong vườn? Biết mỗi mét vuông trồng hoa cần ít nhất 300.000 đồng.

    Tính số tiền tối thiểu để trồng kín hoa trong vườn

    Nửa đường tròn (T) có phương trình y = \sqrt {2 - {x^2}}

    Xét parabol (P) có trục đối xứng Oy nên có phương trình dạng y = a{x^2} + c

    (P) cắt Oy tại điểm \left( {0; - 1} ight) => c = - 1

    (P) cắt (T) tại điểm \left( {1;1} ight) thuộc (T) => a + c = 1 \Rightarrow a = 2

    Phương trình (P) là: y = 2{x^2} - 1

    Diện tích miền phẳng D (phần tô màu trong hình là:

    \begin{matrix} S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}} - 2{x^2} + 1} ight)dx} \hfill \\ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}} } ight)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - 2{x^2} + 1} ight)dx} = {I_1} + {I_2} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow {I_1} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}} } ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{2}{3}{x^3} + x} ight)} ight|_{ - 1}^1 = \frac{2}{3}

    Xét {I_2} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - 2{x^2} + 1} ight)dx} đặt x = \sqrt 2 \sin t;t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight]

    => dx = \sqrt 2 \cos tdt

    Ta có: x \in \left[ {1;1} ight] \Rightarrow t \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} ight]

    Khi đó ta có:

    \begin{matrix} {I_2} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {2 - 2{{\sin }^2}t} .\sqrt 2 \cos tdt} \hfill \\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}tdt} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} ight)dt} \hfill \\ = \left. {\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} ight)} ight|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} = 1 + \dfrac{\pi }{2} \hfill \\ \Rightarrow S = {I_1} + {I_2} = \dfrac{5}{3} + \dfrac{\pi }{2}\left( {{m^2}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Số tiền trồng hoa tối thiểu là: 300000.\left( {\frac{5}{3} + \frac{\pi }{2}} ight) \approx 971239 đồng

  • Câu 29: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x + y = 0\ ,(\alpha'):2x - y + z - 15= 0. Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và d', biết đường thẳng d' có phương trình \left\{ \begin{matrix}x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.

    Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}x + y = 0 \\2x - y + z - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - t + 2 + 2t = 0 \\2(1 - t) - (2 + 2t) + 3 - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - 3 \\x = 4 \\y = - 4 \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(4; - 4;3)

  • Câu 30: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; - 4;3) và B(2;2;7). Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là:

    Gọi M\left( x_{M};y_{M};z_{M} ight) là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = \dfrac{2 + 2}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = \dfrac{3 + 7}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)

    Vậy tọa độ trung điểm của AB là: (2; - 1;5).

  • Câu 31: Nhận biết

    \int_{}^{}{x^{2}dx} bằng

    Ta có \int_{}^{}{x^{2}dx} =\frac{1}{3}x^{3} + C.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Số phức z thỏa mãn z = 1 + 2i + 3{i^2} + 4{i^3} + ... + 18{i^{19}}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Ta có:  z - iz = 1 + i + ... + {i^{19}} - 18{i^{20}} = 1.\frac{{1 - {i^{20}}}}{{1 - i}} - 18{i^{20}} = - 18

    \Rightarrow z = \frac{{ - 18}}{{1 - i}} = - 9 - 9i

  • Câu 33: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x}, thỏa mãn F(0) = \frac{1}{\ln2}. Tính giá trị biểu thức T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{2^{x}dx} = \frac{2^{x}}{\ln2} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x}, ta có: F(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} + C mà F(0) = \frac{1}{\ln2}

    \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F(x) =\frac{2^{x}}{\ln2}

    T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)

    T = \frac{1}{\ln2}\left( 1 + 2 + 2^{2} +.... + 2^{2018} + 2^{2019} ight)

    T = \frac{1}{\ln2}.\frac{2^{2020} - 1}{2- 1} = \frac{2^{2020} - 1}{ln2}

  • Câu 34: Vận dụng

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

    Đáp án là:

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

     Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn z^2+z+1=0.

    Do đó ta có z^2+z+1=0

    \Leftrightarrow z+\dfrac{1}{z}=-1 \Rightarrow z^2+\dfrac{1}{z^2}=-1

    Ta cũng có z^3+\dfrac{1}{z^3}=(z+\dfrac{1}{z})^3-3z.\dfrac{1}{z}.(z+\dfrac{1}{z})=2

    và z^4+\dfrac{1}{z^4}=(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2-2=-1

    Vậy P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 =30.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua hai điểm E\left( {\,3,\,\, - 2,\,\,4\,} ight);\,\,\,F\left( {\,1,\,\,\,3,\,\,6\,} ight) và song song với trục y'Oy

     Vì  \left( P ight)//y'Oy \Rightarrow Vecto chỉ phương của (P)  là: \overrightarrow {{e_2}} = \left( {0,1,0} ight)

    Theo đề bài, ta có vecto chỉ phương thứ hai của (P) là: \overrightarrow {EF} = \left( { - 2,5,2} ight)
    Từ 2 VTCP, ta suy ra được VTPT của (P) là tích có hướng của 2 VTCT

    \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{e_2}} ,\overrightarrow {EF} } ight] = 2\left( {1,0,1} ight)

    Mp (P) đi qua E (3,-2,4) và nhận vecto \vec{n_p}(1, 0, 1) làm 1 VTPT có phương trình là:

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 3} ight).1 + \left( {y + 2} ight).0 + \left( {z - 4} ight).1

    \Leftrightarrow x + z - 7 = 0

  • Câu 36: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = - 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d?

    Thay M(1;2; - 1) vào d ta được: \left\{ \begin{matrix} 1 = 1 - t \\ 2 = 2 + 2t \\ - 1 = - 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow M \in d

    Thay N(6; - 8;9) vào d ta được: \left\{ \begin{matrix} 6 = 1 - t \\ - 8 = 2 + 2t \\ 9 = - 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = - 5 \Rightarrow N \in d

    Thay P( - 6;16; - 14) vào d ta được: \left\{ \begin{matrix} - 6 = 1 - t \\ 16 = 2 + 2t \\ - 14 = - 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 7 \\ t = 7 \\ t = \frac{13}{2} \\ \end{matrix} ight. hệ vô nghiệm nên P otin d.

    Thay Q( - 19;42; - 41) vào d ta được: \left\{ \begin{matrix} 19 = 1 - t \\ 42 = 2 + 2t \\ - 41 = - 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = 20 \Rightarrow Q \in d

  • Câu 37: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M(1;3; - 2), cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A;B;C (khác O) sao cho \frac{OA}{1} = \frac{OB}{2} = \frac{OZ}{4}?

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,c > 0.

    Phương trình mặt phẳng (P) là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1. Theo giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{1} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3} \\\frac{1}{a} + \dfrac{3}{b} - \dfrac{2}{c} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 4 \\c = 8 \\\end{matrix} ight.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 4x + 2y + z - 8 = 0.

  • Câu 38: Thông hiểu

    PT sau có số nghiệm là : z^3 – 27 = 0

    3 || ba || Ba

    Đáp án là:

    PT sau có số nghiệm là : z^3 – 27 = 0

    3 || ba || Ba

     Ta có: z^3 – 27 = 0 \Leftrightarrow (z – 1) (z^2 + 3z + 9) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z^2} + 3z + 9 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z_{2,3}} = \dfrac{{ - 3 \pm 3\sqrt 3 i}}{2}\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại A, \widehat{ABC} = 30^{0}, BC = 3\sqrt{2}, đường thẳng BC có phương trình \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4}, đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (\alpha):x + z - 3 = 0. Biết rằng đỉnh C có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh A.

    Hình vẽ minh họa:

    Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4} \\ x + z - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(2;3;1)

    Do C ∈ BC nên C(4 + c;5 + c; - 7 - 4c)

    Theo giả thiết BC = 3\sqrt{2} nên: 18(2 + c)^{2} = 18 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = - 1 \Rightarrow C(3;4; - 3) \\ c = - 3 \Rightarrow C(1;2;5) \\ \end{matrix} ight.

    Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).

    Gọi A(x;y;3 - x) \in (\alpha). Do \widehat{ABC} = 30^{0} nên:

    \left\{ \begin{matrix} AB = \frac{3\sqrt{6}}{2} \\ AC = \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (2 - z)^{2} = \frac{27}{2} \\ (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} + (6 - z)^{2} = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ 2x^{2} - 18x + y^{2} - 8y + \frac{113}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10x + 2y - 53 = 0 \\ 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ 2x^{2} - 8x + \left( \frac{53 - 10x}{2} ight)^{2} - 6.\left( \frac{53 - 10x}{2} ight) + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 4 \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A\left( \frac{9}{2};4; - \frac{3}{2} ight)

    Vậy đáp án cần tìm là \frac{9}{2}.

  • Câu 40: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{x} + {x^2}} ight)} ight|_1^2 = \frac{7}{2}

    Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}, f(0) = 0;f'(0) eq 0;f( - 2) > 2 và thỏa mãn hệ thức f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + (6x + 1)f(x) với \forall x\mathbb{\in R}. Giá trị của f( - 2) là:

    Ta có:

    f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + (6x + 1)f(x)

    \Leftrightarrow 2f(x)f'(x) + 36x^{2} = 2\left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + 2(6x + 1)f(x)

    \Leftrightarrow 2f(x)f'(x) - \left\lbrack 2\left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + 2(6x + 1)f(x) ightbrack = - 36x^{2}

    \Rightarrow \left\lbrack f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) ightbrack' = - 36x^{2}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) ightbrack'dx} = \int_{}^{}{\left( - 36x^{2} ight)dx}

    \Rightarrow f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) = - 12x^{3} + C

    Mặt khác f(0) = 0 \Rightarrow C = 0

    Vậy f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) = - 12x^{3}

    \Rightarrow f^{2}( - 2) - 20f( - 2) = 96 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f( - 2) = 24 \\ f( - 2) = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Vì f( - 2) > 2 \Rightarrow f( - 2) = 24.

  • Câu 42: Thông hiểu

    Gọi z_1 và  z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2\left( {1 + i} ight){z^2} - 4\left( {2 - i} ight)z - 5 - 3i = 0 . Tính {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

    9 || chín || Chín

    Đáp án là:

    Gọi z_1 và  z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2\left( {1 + i} ight){z^2} - 4\left( {2 - i} ight)z - 5 - 3i = 0 . Tính {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

    9 || chín || Chín

     Ta có \Delta ' = 4{\left( {2 - i} ight)^2} + 2\left( {1 + i} ight)\left( {5 + 3i} ight) = 16.

    Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:

    {z_1} = \frac{3}{2} - \frac{5}{2}i,\,\,\,{z_2} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i.

    Do đó  {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} =9.

  • Câu 43: Nhận biết

    Cho số phức z  thỏa mãn z = {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} ight)^{2024}}. Viết z dưới dạng z = a + bi, \, \, a,b \in \mathbb{R}. Khi đó tổng a+b có giá trị bằng bao nhiêu?

     z = {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} ight)^{2024}} = {\left( { - i} ight)^{2024}} = {\left( {{i^4}} ight)^{506}} = 1

  • Câu 44: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} và f'(x) - 2f(x) = 0. Tính f( - 1) biết rằng f(1) = 1?

    Vì f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} nên ta có:

    f'(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{2dx}

    \Rightarrow \exists C\mathbb{\in R}:ln\left| f(x) ight| = 2x + C

    \Rightarrow \ln f(x) = 2x + C

    Cho x = 1 \Rightarrow \ln f(1) = 2 + C\Rightarrow \ln1 = 2 + C \Rightarrow C = - 2

    Do đó \ln f(x) = 2x - 2 \Leftrightarrow f(x) = e^{2x - 2} \Rightarrow f( - 1) = e^{- 4}

  • Câu 45: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD biết A(1; 0; 1), B(−3; 0; 1) và điểm D có cao độ âm. Mặt phẳng (ABCD) đi qua gốc tọa độ O. Khi đó đường thẳng d là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có phương trình là:

    Ta có:

    \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AO} ightbrack = (0; - 4;0) Mặt phẳng (ABCD) đi qua điểm A và nhận \overrightarrow{n} = (0;1;0) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình y = 0.

    Giả sử D\left( x_{D},\ y_{D},\ z_{D} ight). Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} = 0 \\ \left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{AB} ight| \\ D \in (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 0 \\ \left( x_{D} - 1 ight)^{2} + {y_{D}}^{2} + \left( z_{D} - 1 ight)^{2} = 16 \\ y_{D} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 0 \\ \left( z_{D} - 1 ight)^{2} = 16 \\ y_{D} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} z_{D} = 5 \\ z_{D} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ y_{D} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vì D có cao độ âm nên D(1; 0; −3). Khi đó, tâm I của hình vuông ABCD có tọa độ I(−1; 0; −1).

    Trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD đi qua I(−1; 0; −1) và nhận \overrightarrow{n} = (0;1;0) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 46: Vận dụng cao

    Cho ba mặt phẳng \left( P ight):2x + 2y - 6z + 5 = 0;\,\,\,\,\left( Q ight):3x + 4y + 2z - 6 = 0 và (R) qua hai điểm A\left( {1,3, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( { - 2,4, - 1} ight) và vuông góc với (R)  . Câu nào sau đây đúng? (Có thể chọn nhiều hơn 1 đáp án)

    Theo đề bài ta có \left( R ight) \bot \left( P ight) \Rightarrow Một vecto chỉ phương của (R) là: \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2,2, - 6} ight) \Rightarrow \overrightarrow a = \left( { - 1, - 1,3} ight)

    => A đúng

    Vecto chỉ phương thứ hai của (R) là: \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} = \left( { - 3,1,1} ight)

    Một vecto pháp tuyến của (R) là: \overrightarrow {{n_R}} = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = - 4\left( {1,2,1} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow n = 4\left( {1,2,1} ight)

    => B đúng.

    Vecto chỉ phương của (D) là: \overrightarrow d = 2\left( {14, - 11,1} ight)

    Ta có: \frac{1}{{14}} e - \frac{2}{{11}} e \frac{1}{1},nên (R) không vuông góc với (D).

  • Câu 47: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0

    Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm z = 1.

    z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0

    \Leftrightarrow (z – 1)(z^3 – 3z^2 + 4z – 12) = 0

    \Leftrightarrow (z – 1) (z – 3) (z^2 + 4) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\{z^2} + 4 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\z = 2i\\z = - 2i\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:z = {m{\{ }}1;\,\,3;\,\,2i;\,\, - 2i{m{ \} }}.

  • Câu 48: Nhận biết

    Cho số phức z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) thỏa mãn \left( {1 + i} ight)z + 2\overline z = 3 + 2i. Tính P = a + b

    Giả sử: z = a + bi{\text{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight)

    \left( {1 + i} ight)\left( {a + bi} ight) + 2\left( {a - bi} ight) = 3 + 2i

    \Leftrightarrow 3a - b + \left( {a - b} ight)i = 3 + 2i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3a - b = 3 \hfill \\ a - b = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{2} \hfill \\ b = - \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow P = a + b = - 1

  • Câu 49: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

     Ta có (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{1 + i}}{{2 + 3i}}\\ \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{5 - i}}{{13}}\;\\ \Leftrightarrow z = - \dfrac{8}{{13}} - \dfrac{1}{{13}}i\;\;\;\end{array}

  • Câu 50: Thông hiểu

    Số phức liên hợp của số phức 2022i - 2023 là

     \overline z = \overline {a + bi} = a - bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {2022i - 2023} = \overline { - 2023 + 2022i} = - 2023 - 2022i

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 238 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 50:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập