Biết là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Gọi
là một nguyên hàm của
thỏa mãn
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Do đó
Suy ra
Nên
Vậy
Từ đó
Vậy
Biết là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Gọi
là một nguyên hàm của
thỏa mãn
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Do đó
Suy ra
Nên
Vậy
Từ đó
Vậy
Số phức z thỏa mãn . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Trong không gian , cho mặt phẳng
và hai điểm
. Đường thẳng d đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d nhỏ nhất có phương trình là
Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
Phương trình đường thẳng d có dạng
Do đường thẳng d k (P) nên .
Khoảng cách từ B đến đường thẳng d là:
Xét hàm số có
Ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta được khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất tại
Khi đó , chọn
.
Phương trình đường thẳng hay
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường và
bằng:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng là:
Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là
=
= a – bi
Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng
chứa
và đi qua điểm
?
Mặt phẳng có cặp véc-tơ chỉ phương là
Suy ra mặt phẳng có một véc-tơ pháp tuyến là
.
Mặt phẳng đi qua
có vectơ pháp tuyến (4; 3; 0).
Vậy mặt phẳng có phương trình tổng quát là
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm
,
và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng
nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng
hợp với mặt phẳng
các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.
Hình vẽ minh họa
Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).
Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn
Ta có , suy ra
Phương trình đường thẳng MH nhận làm vectơ chỉ phương nên MH là:
Khi đó:
Cho hình vẽ:
Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số như hình bên, bằng kết quả nào sau đây?
Diện tích miền tích phân được chia thành hai phần. Phần 1 với x nằm trong khoảng a đến b và phần 2 với x nằm trong khoảng b đến c:
.
Gọi là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Gọi là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn .
Do đó ta có
Ta cũng có
và
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua
đồng thời song song với
và mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có: . Gọi
là đường thẳng đi qua
đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy).
Khi đó:
Vậy .
Xác định phần ảo của số phức .
Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12
Trong không gian tọa độ , cho đường thẳng
và điểm
. Điểm đối xứng với điểm
qua đường thẳng
có tọa độ là:
Gọi
Vectơ chỉ phương của d là
Vì
Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì:
Điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng
có tọa độ là:
.
Cho số phức . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Ta có: .
Tìm họ nguyên hàm của hàm số
Ta có:
Trong không gian , cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Trong không gian , cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Cho số phức , giá trị của số phức
là?
Ta có:
Giả sử là một hàm số bất kì và liên tục trên khoảng
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Dựa vào tính chất của tích phân với là một số bất kì liên tục trên khoảng
và
ta có:
Cho các số phức . Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?
Áp dụng tính chất số phức, ta có:
- Môđun của 1 thương hai số phức thì bằng thương của từng môđun
- Môđun của 1 tích hai số phức thì bằng tích của từng môđun
Vậy khẳng địn (I) và (II) là đúng.
Giá trị của tích phân . Biểu thức có giá trị
là:
Giá trị của tích phân . Biểu thức
có giá trị là:
Ta có:
Cho ba điểm . Tìm tọa độ của C để tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
Tam giác ABC vuông cân tại A
Cho phương trình có hai nghiệm
là . Giá trị của
là?
1 || Một || một
Cho phương trình có hai nghiệm
là . Giá trị của
là?
1 || Một || một
Ta có:
Suy ra:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;2;0), B(1;0;-2) và mặt
phẳng. Gọi
là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA=MB
và góc có số đo lớn nhất. Khi đó giá trị
bằng ?
nên M thuộc mặt phẳng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Ta có phương trình trung trực của AB là (Q); y+z=0
M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên M thuộc đường thẳng
.
Gọi , ta có
.
Khảo sát hàm số , ta được
khi
.
Suy ra có số đo lớn nhất khi
, ta có
.
Khi đó giá trị .
Nghiệm của phương trình: là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Trong không gian , điểm nào sau đây thuộc trục tung
?
Điểm thuộc trục tung Oy là .
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
và
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
qua
và vuông góc với
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Từ đó, phương trình mặt phẳng là
.
Gọi là một nguyên hàm của hàm số
, thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
, ta có:
mà
.
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có G là trọng tâm của tam giác, biết .
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đã cho?
Ta có nên suy ra được tọa độ điểm B và C tương ứng theo hệ sau là:
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có tọa độ điểm G là nghiệm của hệ:
Tìm nguyên hàm của hàm số ?
Đặt
Số phức là số phức nào sau đây?
Xác định nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Gọi là các nghiệm của phương trình
. Tính giá trị biểu thức
Ta có phương trình
Suy ra:
Vì (1)
Mà ;
.
Vậy từ .
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số , F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)
Ta có:
=>
=>
=>
Khi đó:
Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5
=>
=>
=>
Một bể thủy tinh chứa nước có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m, trục bé bằng 0,8m, chiều dài bằng 3m nằm trong của thùng. Bể nước được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đúng (như hình vẽ). Tính thể tích V của nước có trong bể, biết chiều cao nước trong bể là 0,6m. (Kết quả được làm tròn đến phần trăm).
Xét một đáy của bể và gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Phương trình đường elip đáy khi đó có phương trình
Khi đó chiều cao của mép nước trong bể với đường thẳng
Xét phương trình
Diện tích phần mặt chứa nước là:
Do đó thể tích nước trong thùng là:
Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt phẳng
. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có tọa độ là
hoặc
.
Cho số phức . Tính |z|
Ta có
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
. Phương trình đường thẳng nào được cho dưới đây không phải là phương trình đường thẳng
?
Ta có
Vì điểm nên
không phải là phương trình đường thẳng AB.
Các đường thẳng còn lại đều có vectơ chỉ phương là (1; 1; −5) và đi qua điểm A(2; 3; −1) hoặc đi qua điểm B(1; 2; 4).
Tính ?
Áp dụng công thức
Suy ra
Trong không gian , hãy viết phương trình của mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với đường thẳng
.
Mặt phẳng (P) đi qua điểm và có một véc-tơ pháp tuyến là
nên có phương là:
.
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị và hai tiếp tuyến của
tại
Ta có hình vẽ minh họa như sau:
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại A(-1;0) là:
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại B(2;3) là:
Từ hình vẽ ta suy ra diện tích của hình phẳng cần tìm là:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong và các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Với khi đó
Diện tích hình phẳng ta được:
Giả sử và
. Khi đó
bằng
Ta có:
Cho là nghiệm của phương trình sau:
.
Tính
M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba
Cho là nghiệm của phương trình sau:
.
Tính
M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba
Ta có:
Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:
Từ hệ trên, rõ ràng và
.
Đặt , hệ
Vì
Số nghiệm của phương trình: là?
Đặt phương trình đã cho có dang:
+ Với
+ Với
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Phương trình có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Họ nguyên hàm của hàm số là:
Ta có: .
Tích phân bằng:
Ta có:
Cho số phức . Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn
. Tìm F(x).
Theo bài ra ta có:
=>