Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của số phức
là:
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của số phức
là:
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Ta có:
Với giá trị nào của
thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và
bằng
?
Xét phương trình hoành độ giao điểm .
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên được tính bởi
.
Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
. Môđun của số phức
có giá trị là
10
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Môđun của số phức
có giá trị là
10
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
là
Ta có:
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
. Tính tích phân
?
Ta có:
Trong không gian, cho hình chóp
với
là trọng tâm của tam giác
Khi đó
bằng.
Do là trọng tâm của tam giác
nên
.
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:
.
Nếu
thì
bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng
là:
Xét hệ phương trình
. Đặt
ta suy ra
.
Từ đó ta thu được phương trình đường thẳng:
Xét điểm , ta thấy
chỉ thuộc đường thẳng:
Trong không gian
, cho
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Cho hai hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Gọi
là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi
thì
bằng bao nhiêu?
Phương trình hoành độ giao điểm
Ký hiệu là diện tích hình phẳng như hình vẽ:
Ta có:
Vì vậy
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy là hình thoi cạnh
,
, mặt bên
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
là giao điểm của
với
. Khoảng cách từ trung điểm
của đoạn thẳng
đến mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh
,
, mặt bên
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
là giao điểm của
với
. Khoảng cách từ trung điểm
của đoạn thẳng
đến mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình đường thẳng nào được cho dưới đây không phải là phương trình đường thẳng
?
Ta có
Vì điểm nên
không phải là phương trình đường thẳng AB.
Các đường thẳng còn lại đều có vectơ chỉ phương là (1; 1; −5) và đi qua điểm A(2; 3; −1) hoặc đi qua điểm B(1; 2; 4).
Trong không gian
, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Mặt phẳng trên đi qua các điểm
Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cùng phương với .
Ta có
Vậy chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là .
Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ:

Diện tích
của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục
(phần gạch sọc) được tính bởi công thức
Từ đồ thị hàm số ta thấy
Do đó:
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau:
là?
Đặt , khi đó phương trình đã cho có dạng:
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là
Trong không gian, với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Mặt phẳng
đi qua
, trực tâm
của tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là
Ta có:
Gọi tọa độ trực tâm khi đó
Theo đề bài ta có
Gọi là VTPT của mặt phẳng
ta có:
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(0; 1; 2) có một VTPT là là
Vậy .
Cho hàm số
liên tục trên
thỏa mãn điều kiện
với
và
với
. Tính giá trị
?
Cho hàm số liên tục trên
thỏa mãn điều kiện
với
và
với
. Tính giá trị
?
Số phức
có phần thực bằng
Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.
Trong không gian
, xét mặt phẳng
đi qua điểm
đồng thời cắt các tia
lần lượt tại
sao cho tứ diện
có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng
với
có toạ độ là:
Gọi
Theo giả thiết, ta có là các số dương.
Phương trình mặt phẳng (P) là
(P) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên
Ta có:
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy
Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: .
Vậy đáp án cần tìm là: .
Gọi
là các nghiệm của phương trình
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Ta có phương trình
Suy ra:
Vì (1)
Mà ;
.
Vậy từ .
Cho số phức
. Tính |z|
Ta có
Trong không gian
, mặt phẳng
đi qua điểm
, đồng thời vuông góc với giá của vectơ
có phương trình là:
Mặt phẳng nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm
nên có phương trình là
.
Gọi
là bốn nghiệm của phương trình
trên tập
số phức tính tổng:
.
Ta có:
(1)
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:
Thay và biểu thức ta có:
Tìm các số thực x, y thoả mãn:
![]()
Theo giả thiết:
=>
=>
Cho hình lập phương
; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Cho hình lập phương ; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua
đồng thời song song với
và mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có: . Gọi
là đường thẳng đi qua
đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy).
Khi đó:
Vậy .
Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Vì:
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
=> có 5 nghiệm đơn
=> Hàm số có 5 điểm cực trị
Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng
xung quanh trục Ox.
Ta có :
Cho hai số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
tương ứng bằng:
Ta có:
Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
là
Ta có hình phẳng giới hạn bởi là
.
Cho phương trình sau:
. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?
4 || Bốn || bốn
Cho phương trình sau: . Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?
4 || Bốn || bốn
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên
có nghiệm
.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm và cộng tổng chúng lại ta được 4.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
và
bằng:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Hình vẽ minh họa
Diện tích hình phẳng là:
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
đi qua
và chứa trục
có phương trình là:
Ta có: (P) có cặp véc-tơ chỉ phương
Khi đó véc-tơ pháp tuyến của (P) là , ta chọn
.
Mặt phẳng (P) đi qua và có véc-tơ pháp tuyến
nên có phương trình
hay
.
Cho hai hàm số
có đạo hàm trên
thỏa mãn
và
. Giá trị
bằng:
Chọn
Từ đó suy ra
Vậy
Cho hai đường thẳng chéo nhau
và ![]()
Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:
Phương trình (d) cho biết và (d) có vectơ chỉ phương
Chuyển về dạng tham số
để có
và vectơ chỉ phương
.
Gọi I là trung điểm AB thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ .
là phương trình của mặt phẳng (P).
Giá trị của b và c để phương trình
nhận
làm nghiệm là?
Do là nghiệm của phương trình đã cho nên:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(4, -1, 1), B(3, 1, -1) và song song với trục Ox là:
: vectơ chỉ phương của trục Ox:
.
: Chọn làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng
, qua A nên:
Vậy ta có phương trình mp cần tìm là:
Giá trị của
là?
Ta có:
(Áp dụng công thức: )
Tìm số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có
Cho
là các số hữu tỉ thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Trong không gian cho tứ diện đều
. Khẳng định nào sau đây sai?
Tứ diện đều nên
không thể vuông góc với
.
Vậy khẳng định sai là: “”.
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Hàm số
có đạo hàm liên tục trên tập số thực và
;
. Hàm số
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .