Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn
![]()
Tính giá trị biểu thức M = a + b.
=>
=>
Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn
![]()
Tính giá trị biểu thức M = a + b.
=>
=>
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng
. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với
.
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
.
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Suy ra .
Cho hàm số
xác định trên
thỏa mãn
;
. Tính
?
Trên khoảng ta có:
Mà
Trên khoảng ta có:
Mà
Vậy
.
Cho các mệnh đề sau:
(I) Vectơ
luôn đồng phẳng với hai vectơ
.
(II) Nếu có
và ít nhất một trong ba số
khác không thì ba vectơ
đồng phẳng.
(III) Nếu ba vectơ
không đồng phẳng và
thì
.
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
Do được biểu thị qua hai vectơ
nên (I) đúng.
Xét mệnh đề (II): Giả sử , khi đó:
Suy ra ba vectơ đồng phẳng. Vậy mệnh đề (II) đúng.
Do mệnh đề (III) tương đương với mệnh đề (II) nên mệnh đề (III) đúng.
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Ta có: nên
là một nguyên hàm của hàm số
.
PT sau có số nghiệm là : ![]()
3 || ba || Ba
PT sau có số nghiệm là :
3 || ba || Ba
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Trong không gian tọa độ
, mặt phẳng
đi qua
và chắn trên tia
một đoạn thẳng dài gấp đôi các đoạn thẳng mà nó chắn trên các tia
và
. Giả sử
, với
. Tính
.
Từ giả thiết, ta suy ra các giao điểm của (α) với các tia lần lượt là
.
Suy ra phương trình (đoạn chắn) của (α) là .
Do (α) đi qua M nên .
Suy ra .
Từ đó, ta tính được: .
Tính tích phân
?
Đặt . Ta có:
suy ra
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
. Điểm nào sau đây không nằm trên mặt phẳng
?
Phương trình mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
có dạng
Thay tọa độ các đáp án vào phương trình mặt phẳng ta có 3 điểm
thoả mãn, còn điểm
không thoả mãn.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
. Môđun của số phức
có giá trị là
10
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Môđun của số phức
có giá trị là
10
Ta có:
Cho bốn điểm
trong không gian. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác
có điểm đầu và điểm cuối là
điểm?
Lấy làm gốc ta được 3 vectơ
. Tương tự đối với
ta được
vectơ.
Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự
, khác 0 và
thỏa mãn đẳng thức
. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.
Hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự .
Theo giả thiết suy ra: và
.
Ta có:
.
Xét
.
Vậy hay tam giác
là tam giác đều.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
và
. Xác định tọa độ trung điểm
của
?
Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:
Vậy đáp án đúng là: .
Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là
=
= a – bi
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng ![]()
?
Gọi lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2 ta chọn
Giả sử M1 ∈ d1 và M2 ∈ d2, ta chọn suy ra
Khi đó và
. Do đó (d1) và (d2) chéo nhau.
Số phức liên hợp của số phức
là
=
= a - bi
Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Cho số phức
thỏa mãn
. Viết
dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
10
Cho số phức thỏa mãn
. Viết
dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
10
Ta có:
Suy ra .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và hai mặt phẳng
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
và song song với hai mặt phẳng
?
Ta có:
Do đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương là .
Vậy phương trình đường thẳng d là
Số nghiệm của phương trình:
là?
Đặt phương trình đã cho có dang:
+ Với
+ Với
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó:
Cho hai đường thẳng (d1 ):
và ![]()
Xét VTTĐ của (d1 ) và (d2 )? Tìm câu đúng ?
Chuyển đường thẳng (d1 ) và (d2 ) về dạng tham số :
có vectơ chỉ phương
và qua
.
có vectơ chỉ phương
và hệ phương trình
vô nghiệm.
.
Giá trị của tích phân
gần nhất với giá trị nào sau đây?
Ta có:
Trong không gian, với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Mặt phẳng
đi qua
, trực tâm
của tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là
Ta có:
Gọi tọa độ trực tâm khi đó
Theo đề bài ta có
Gọi là VTPT của mặt phẳng
ta có:
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(0; 1; 2) có một VTPT là là
Vậy .
Cho hình
giới hạn bởi các đường
, trục hoành. Quay hình phẳng
quanh trục
ta được khối tròn xoay có thể tích là:
Phương trình hoành độ giao điểm của là:
Khi đó .
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho bốn đường thẳng ![]()
![]()
![]()
. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:
Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d1) // (d2); (d4) cắt (d2), (d3).
Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2); (Q) là mặt phẳng chứa (d3) và (d4).
Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.
Ta thấy, (∆) cắt cả (d1), (d2) suy ra (∆) ⊂ (P).
(∆) cắt cả (d3),(d4) suy ra (∆) ⊂ (Q).
Mà (d2), (d4) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Cho hàm số
dương và liên tục trên
thỏa mãn
và biểu thức
đạt giá trị lớn nhất, khi đó
bằng:
Do
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với trục Ox có phương trình là:
Ta có: .
Phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với trục Ox có phương trình là:
Kí hiệu
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
với trục hoành (
). Quay hình
xung quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích
. Tìm
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Trường hợp 1: Với thì thể tích khối tròn xoay là:
Trường hợp 2: Với thì thể tích khối tròn xoay là:
Vậy .
Kí hiệu
là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
?
Ta có:
Gọi
là các nghiệm của phương trình
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Ta có phương trình
Suy ra:
Vì (1)
Mà ;
.
Vậy từ .
Trong không gian với hệ tọa độ
, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
và
.
Ta có:
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Cho hàm số
liên tục trên
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và các đường thẳng
. Diện tích hình
được tính theo công thức?
Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức .
Xét số phức z thỏa mãn:
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Giả sử: và
, thay vào đẳng thức ta có:
Do đó ta có:
Cho các số phức
. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?
![]()
![]()
![]()
Áp dụng tính chất số phức, ta có:
- Môđun của 1 thương hai số phức thì bằng thương của từng môđun
- Môđun của 1 tích hai số phức thì bằng tích của từng môđun
Vậy khẳng địn (I) và (II) là đúng.
Cho hình phẳng
được giới hạn bởi hai đường
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do
quay quanh trục
?
Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đường
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do
quay quanh trục
?
Trong không gian toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
PTTQ của mặt phẳng có dạng , với
nên ta chọn
.
Cho là một nguyên hàm của hàm số
và
. Tính ![]()
Cách 1:
Đặt
Khi đó
=>
Mặt khác
=> C = 0
=>
=>
Cách 2: . Sử dụng máy tính cầm tay để tính.
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Ta có:
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Vì:
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của z là:
Giả sử: .
Cho
và
, khi đó
bằng:
Ta có:
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
quay xung quanh
.
Thể tích vật thể bằng:
.