Cho hình hộp
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
đúng vì
đúng vì
đúng vì
sai vì
Cho hình hộp
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
đúng vì
đúng vì
đúng vì
sai vì
Trong không gian
cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục tọa độ
tại
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Giả sử .
Khi đó:
Ta có:
Ta có: vì H là trực tâm của tam giác ABC suy ra
Mặt khác
Vậy hay
.
Gọi
là bốn nghiệm phức của phương trình
. Tổng
bằng:
Ta có:
Cho hàm số
xác định trên
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Lại có
Từ đó suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là
Trong không gian với hệ tọa độ
; cho điểm
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của điểm
trên ba trục tọa độ
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Có là hình chiếu của
lên các trục tọa độ nên mặt phẳng cần tìm là
Cho hai mặt phẳng
Đường thẳng (D) qua M (1, -2, 3) song song với (P) và (Q):
Vì (D) song song với (P) và (Q)
=> Một vectơ chỉ phương của (D) là:
Xét vecto pháp tuyến của (R), có:
Xét đáp án có điểm N
cùng phương với
=> (D) vuông góc với (S).
Kí hiệu
là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
?
Ta có:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có
mà
Suy ra
Cho hai số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
tương ứng bằng:
Ta có:
Tích phân
bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và hai mặt phẳng
. Dường thẳng đi qua
và song song với hai mặt phẳng
có phương trình là
Gọi là đường thẳng cần tìm.
Mặt phẳng có một véc-tơ pháp tuyến là
và
có một vectơ pháp tuyến là
. Ta có
.
Khi đó, đi qua điểm
và nhận véc-tơ
làm vec-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng
là
Với thì điểm
thuộc
. Viết lại phương trình đường thẳng
Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên
. Biết rằng đồ thị hàm số
như hình bên. Lập hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hình vẽ minh họa:

Đặt
Gọi là đồ thị của hàm số
Từ đồ thị ta thấy
Ta thấy
=> sai
=> đúng
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên
thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Lại có
Do đó
Vậy .
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Một vật chuyển động với vận tốc
. Tính quãng đường vật đó đi được trong
giây đầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).?
Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu là:
.
Hàm số
có nguyên hàm là:
Ta có:
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của
.
Mặt phẳng trung trực nhận
làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm
của
nên ta có phương trình mặt phẳng
là:
.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:
=
= a – bi
Giá trị của
là?
Ta có:
(Áp dụng công thức: )
Cho số phức
. Tính |z|
Ta có
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Do đó:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
.Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có
Vậy đáp án cần tìm là: .
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
. Môđun của số phức
có giá trị là
10
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Môđun của số phức
có giá trị là
10
Ta có:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a; AD = b; AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng MN.
Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:
(MN) là đường thẳng đi qua M và nhận vecto là 1 VTCP có PT là:
Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập số phức
:
(1)
Kiểm tra nghiệm ta dễ dàng nhận xét
không là nghiệm của phương trình đã cho vậy
.
Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : (2)
Đặt . Khi đó
Phương trình (2) có dạng : (3)
Vậy PT (3) có 2 nghiệm:
Với , ta có
(4)
Có
Vậy PT(4) có 2 nghiệm :
;
Do đó PT đã cho có 4 nghiệm :
Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba mặt phẳng ![]()
![]()
. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng
lần lượt tại
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba mặt phẳng
. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng
lần lượt tại
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc
. Hỏi rằng trong
trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn:
Khi đó trong trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau:
là?
Đặt , khi đó phương trình đã cho có dạng:
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là
Cho
và
, khi đó
bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : .
Tìm các số thực x, y thoả mãn:
![]()
Theo giả thiết:
=>
=>
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Tính tích vô hướng
?
Ta có:
Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua I (-1, 5, 2) và song song với trục x'Ox:
Theo đề bài, ta có (d) // x’Ox nên (d) có vecto chỉ phương là
Như vậy, (d) qua I (-1, 5, 2) và nhận làm 1 VTCP có PTTS là:
(d):
Tích vô hướng của 2 vectơ
trong không gian được tính bằng:
Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto, ta có: .
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Các biểu thức
xác định bởi
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dựa vào hình vẽ và diện tích hình phẳng ta có:
(hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 1)
Như vậy
Cho hàm số
biết
,
liên tục trên
và
. Tính
?
Ta có:
Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi
và
như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 3,3 m2
Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi và
như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án: 3,3 m2
Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số
Diện tích của hình phẳng cần tìm là
Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với
tại điểm có hoành độ
là hình chữ nhật có kích thước là
và
?
Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với tại điểm có hoành độ
là hình chữ nhật có kích thước là
và
Diện tích thiết diện được xác định theo hàm là:
⇒ Thể tích vật thể tròn xoay:
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của z là:
Giả sử: .
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Mặt khác
=>
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
Cho hình vuông
có cạnh
. Trên hai tia
vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng
lần lượt lấy hai điểm
sao cho
. Tính góc
giữa hai mặt phẳng
.
Cho hình vuông có cạnh
. Trên hai tia
vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng
lần lượt lấy hai điểm
sao cho
. Tính góc
giữa hai mặt phẳng
.
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Ta có: nên
là một nguyên hàm của hàm số
.
Trong không gian
, cho tam giác
vuông tại
,
,
, đường thẳng
có phương trình
, đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
. Biết rằng đỉnh
có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh
.
Hình vẽ minh họa:
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình
Do C ∈ BC nên
Theo giả thiết nên:
Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).
Gọi . Do
nên:
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho các số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
3 || ba || Ba
Cho các số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
3 || ba || Ba
Gọi là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức.
Có
Vậy hoặc
.
Gọi thì
. Khi đó
hoặc
.
Vậy