Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 50 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Xác định hàm số f(x) biết rằng f'\left( x ight) = x\sqrt {1 + {x^2}} ;3f\left( 0 ight) = 4

     \begin{matrix} f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \int {x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \dfrac{1}{2}\int {{{\left( {{x^2} + 1} ight)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{x^2} + 1} ight) = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} \hfill \\ \end{matrix}

    Mà 3f\left( 0 ight) = 4 \Rightarrow 3\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt {{0^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} ight] = 4 \Rightarrow C = 1

    Vậy hàm số cần tìm là f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + 1

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}. Gọi ∆’ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng ∆ qua (Oxy). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.

    Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 11; 0).

    Ta thấy B(1; 2; 3) ∈ ∆ và B’(1; 2; −3) là điểm đối xứng của điểm B qua mặt phẳng (Oxy).

    Đường thẳng ∆’ đi qua các điểm A, B’.

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 3; - 9; - 3), từ đó suy ra \overrightarrow{u} = (1;3;1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.

  • Câu 3: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

     Ta có \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{( - 1 + 3i)(1 - i)}}{{{{(2 + i)}^2}}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 4i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{(2 + 4i)(3 - 4i)}}{{25}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y - 3z - 2 = 0. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) có một vectơ chỉ phương có tọa độ là:

    Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 2; - 3).

    Do d\bot(P) nên vectơ \overrightarrow{n} = (1; - 2; - 3) cũng là một vectơ chỉ phương của d.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1. Tìm \min \left| {{z^3} - z + 2} ight|.

     Gọi z = a + bi, với a, b \in \mathbb{R}.

    Theo giả thiết ta có \left| z ight| = 1 suy ra z.\bar z = 1 và {a^2} + {b^2} = 1, - 1 \le a \le 1.

    Ta có \left| {{z^3} - z + 2} ight| = \left| {{z^3} - z + 2z.\bar z} ight| = \left| z ight|\left| {{z^2} - 1 + 2\bar z} ight|

    = \left| {{a^2} - {b^2} + 2a - 1 + \left( {2ab - 2b} ight)i} ight| = \left| {2\left( {{a^2} + a - 1} ight) + 2b\left( {a - 1} ight)i} ight|

    = \sqrt {4{{\left( {{a^2} + a - 1} ight)}^2} + 4{b^2}{{\left( {a - 1} ight)}^2}}

    = \sqrt {16{a^3} - 4{a^2} - 16a + 8} = 2\sqrt {4{a^3} - {a^2} - 4a + 2}

    Xét hàm số f\left( x ight) = 4{x^3} - {x^2} - 4x + 2 trên \left[ { - 1;\,1} ight].

    Ta có f'\left( x ight) = 12{x^2} - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\x = - \dfrac{1}{2}\end{array} ight..

    Ta có f\left( { - 1} ight) = 1;f\left( 1 ight) = 1;f\left( {\frac{2}{3}} ight) = \frac{2}{{27}};f\left( { - \frac{1}{2}} ight) = \frac{{13}}{4}.

    Vậy \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\,1} ight]} f\left( x ight) = f\left( {\frac{2}{3}} ight) = \frac{2}{{27}}.

    Do đó \min \left| {{z^3} - z + 2} ight| = \frac{{2\sqrt 6 }}{9} khi a = \frac{2}{3} và b = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}.

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{1}{x} và các đường thẳng y = 0;x = 1;x = 4. Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục?

    Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{1}{x} ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( - \frac{1}{x^{4}} ight) ight|_{1}^{4} = \pi\left( - \frac{1}{4} + 1 ight) = \frac{3\pi}{4}.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2). Các khẳng định sau là đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 27. Sai||Đúng

    b) \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{9}{2\sqrt{35}}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 15. Đúng||Sai

    d) \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{5}{2\sqrt{21}}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2). Các khẳng định sau là đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 27. Sai||Đúng

    b) \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{9}{2\sqrt{35}}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 15. Đúng||Sai

    d) \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{5}{2\sqrt{21}}. Đúng||Sai

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1;5; - 2),\overrightarrow{AC} = (5;4; - 1),\overrightarrow{AC} = (4; - 1;1).

    Ta có:

    \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 5 + 20 + 2 = 27.

    Ta có:

    \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 5.( - 4) + 4.1 + ( - 1).( - 1) = - 15.

    Ta có:

    \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.|\overrightarrow{AC}|} =\frac{27}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} = \frac{9}{2\sqrt{35}}.

    Ta có:

    \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AB} ight||\overrightarrow{BC}|} =\frac{15}{\sqrt{42}.\sqrt{18}} = \frac{5}{2\sqrt{21}}.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Gọi d là đường thẳng tùy ý đi qua điểm M(1;1) và có hệ số góc âm. Giả sử d cắt các trục Ox;Oy lần lượt tại A;B. Quay tam giác OAB quanh trục Oy thu được một khối tròn xoay có thể tích là V. Giá trị nhỏ nhất của V bằng

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Rightarrow d:x = -\frac{b}{a}x + b\ \ \ (1)

    Mà M(1; 1) ∈ d nên \frac{1}{a} +\frac{1}{b} = 1 \Rightarrow a + b = 2ab\ \ (2)

    Từ (1) suy ra d có hệ số góc là k = -\frac{b}{a}; theo giả thiết ta có -\frac{b}{a} < 0 \Rightarrow ab > 0

    Nếu a < 0;b < 0 \Rightarrow a + b< 0 mẫu thuẫn với (2) suy ra a> 0;b > 0

    Mặt khác từ (2) suy ra b = \frac{a}{a -1} kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.

    Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao h = b và bán kính đường tròn đáy r = a

    Thể tích khối nón là V = \frac{1}{3}\pir^{2}h = \frac{1}{3}\pi a^{2}b = \frac{1}{3}\pi\frac{a^{3}}{a -1}

    Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi \frac{a^{3}}{a - 1} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Xét hàm số f(x) = \frac{x^{3}}{x - 1} =x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1} trên khoảng (1; + \infty)

    f'(x) = 2x + 1 - \frac{1}{(x -1)^{2}} = \frac{x^{2}(2x - 3)}{(x - 1)^{2}}

    f'(x) = 0 \Rightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \frac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng \frac{1}{3}\pi.f\left( \frac{3}{2} ight) =\frac{9\pi}{4}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tìm các số thực x, y thoả mãn:

    3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    => (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

    =>\left\{ \begin{gathered} 3x + y = 2y - 1 \hfill \\ 5x = x - y \hfill \\ \end{gathered} ight.

    => \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{1}{7} \hfill \\ y = \frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy với vận tốc 10\ m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 2t + 10(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.

    Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0.

    Nên thời gian kể từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là - 2t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 5(\ s)

    Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là

    S_{2} = \int_{0}^{5}{( - 2t + 10)}dt = \left. \ \left( - t^{2} + 10t ight) ight|_{0}^{5} = 25m

    Như vậy trong 8 giây cuối thì có 3 giây ô tô ði với vận tốc 10\ m/s và 5 s ô tô chuyển động chậm dần đều.

    Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây trước khi đạp phanh là S_{1} = 3.10 = 30\ m

    Vậy trong 8 giây cuối ô tô đi được quang đường S = S_{1} + S_{2} = 30 + 25 = 55m

  • Câu 11: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình: (z^2 + 3z +6)^2 + 2z(z^2 + 3z +6) – 3z^2 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

    t^2 +2zt – 3z^2 = 0 \Leftrightarrow (t – z)(t+3z) = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = z\\t = - 3z\end{array} ight.

    + Với t = z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 –z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 2z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 1 + \sqrt 5 i\\z = - 1 - \sqrt 5 i\end{array} ight.

    + Với t = -3z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 +3z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 6z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 3 + \sqrt 3 \\z = - 3 - \sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

  • Câu 12: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{1}{{2x + 1}}

     \int {\frac{1}{{2x + 1}}dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} ight| + C

  • Câu 13: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P):x - 2y + z - 1 = 0;(Q):x - 2y + z + 8 =0;(R):x - 2y + z - 4 = 0. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt (P),(Q),(R) lần lượt tại A,B,C. Tìm giá trị nhỏ nhất của T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}}.

    Dễ dàng nhận thấy (P)//(Q)//(R).

    Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng (P),(Q),(R) cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.

    Ta có BH = d\left( (Q),(P) ight) = 9;HK = d\left( (P),(R) ight) = 3

    Khi đó ta có:

    T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}} \geq 2\sqrt{AB^{2}.\frac{144}{AC^{2}}} = 24.\frac{AB}{AC} = 24.\frac{BH}{HK} = 24.\frac{9}{3} = 72

    Vậy T_{\min} = 72.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua hai điểm M(0; - 1;0),N( - 1;1;1) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz).

    Ta có \overrightarrow{MN} = ( - 1;2;1) và (Oxz) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{j}\ = (0;1;0)

    Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{j} ightbrack = ( - 1;0; - 1)

    Do đó, (P) có phương trình là - 1(x - 0) + 0(y + 1) - 1(z - 0) = 0 \Leftrightarrow x + z = 0.

  • Câu 15: Nhận biết

    \int_{}^{}{x^{2}dx} bằng

    Ta có \int_{}^{}{x^{2}dx} =\frac{1}{3}x^{3} + C.

  • Câu 16: Nhận biết

    Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, biết rằng A(1;3;4),B(2; - 1;0),C(3;1;2)?

    Tọa độ trọng tâm G của tam giác được xác định như sau:

    \left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 + 2 + 3}{3} = 2 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{3 - 1 + 1}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{4 + 0 + 2}{3} = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(2;1;2)

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho số phức z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) thỏa mãn \left( {1 + i} ight)z + 2\overline z = 3 + 2i. Tính P = a + b

    Giả sử: z = a + bi{\text{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight)

    \left( {1 + i} ight)\left( {a + bi} ight) + 2\left( {a - bi} ight) = 3 + 2i

    \Leftrightarrow 3a - b + \left( {a - b} ight)i = 3 + 2i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3a - b = 3 \hfill \\ a - b = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{2} \hfill \\ b = - \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow P = a + b = - 1

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho số phức \frac{{3 - i}}{z} + {\left( {2 - i} ight)^3} = 3 - 13i. Số phức \frac{{{{\left( {z + 12i} ight)}^2}}}{i} + {z^2} là số phức nào sau đây?

     Ta có: {\left( {2 - i} ight)^3} = 2 - 11i \Rightarrow z = \frac{{3 - i}}{{1 - 2i}} = 1 + i

    Suy ra  \frac{{{{\left( {z + 12i} ight)}^2}}}{i} + {z^2} = ((1+i) +12i)^2 :i +(1+i)^2

    =(1+13i)^2 :i +(1+i)^2 =26+168i +2i =26+170i.

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack; f(b) = 5;\int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5}. Tính giá trị f(a)?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5} \Leftrightarrow f(b) - f(a) = 3\sqrt{5}

    \Leftrightarrow f(a) = f(b) - 3\sqrt{5} = \sqrt{5}\left( \sqrt{5} - 3 ight)

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack và f(1) = 0. Giá trị tích phân D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Từ giả thiết ta có:

    f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} = \ln\left\lbrack \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}

    \Leftrightarrow \frac{xf'(x) - f(x)}{x^{2}}.e^{\frac{f(x)}{x}} = x

    \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f(x)}{x} ightbrack'.e^{\frac{f(x)}{x}} = x(*)

    Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + C

    Vì f(1) = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{2} nên e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = x\ln\frac{x^{2} + 1}{2};\forall x \in (0; + \infty)

    D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} =\int_{1}^{5}{x.\ln\frac{x^{2} + 1}{2}dx}(**)

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln\dfrac{x^{2} + 1}{2} \\dv = xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}dx \\v = \dfrac{x^{2} + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Theo công thức tích phân từng phần ta được:

    D = \left. \ \left( \frac{x^{2} +1}{2}.\ln\frac{x^{2} + 1}{2} ight) ight|_{1}^{5} - \int_{1}^{5}{xdx}= 13\ln13 - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{5} = 13\ln13 -12

  • Câu 21: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}} là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}}dx} = \int_{}^{}\frac{d\left( e^{x} + 1 ight)}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}} = - \frac{1}{e^{x} + 1} + C.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i. Tìm môđun của số phức \overline {{z_1}} - {z_2}.

     Ta có: \left| {\overline {{z_1}} - {z_2}} ight| = \left| {1 + i - 3 - 2i} ight| = \sqrt 5

  • Câu 23: Nhận biết

    Hàm số f(x) = x^{3} + \sin x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: F'(x) = 3x^{2} + \cos x

  • Câu 24: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 4i} = 3 - ( - 4i) = 3 + 4i

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|

     Ta có \left| z ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5

  • Câu 26: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} - (3i + 8)z + 11\,.i + 13 = 0  là 

     Ta có: \Delta = {(3i + 8)^2} - 4(11.i + 13) = 4i + 3.

    Giả sử m+ni \,\,(m; n \in \mathbb R)  là căn bậc hai của \triangle.

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 3 + 4i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 3 + 4i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3\\2mn = 4\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3 \,\, (1)\ = \dfrac{2}{m}\,\,\,\, \,\,\,\, (2)\end{array} ight.

    Thay (2) vào (1) ta có:

    {m^2} - {\left( {\frac{2}{m}} ight)^2} = 3 \Leftrightarrow {m^4} - 3{m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,(TM)\\{m^2} = - 1\,\,\,\,\,\,\,(L{m{)}}\end{array} ight.

    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 \Rightarrow n = 1\\m = - 2 \Rightarrow n = - 1\end{array} ight.

    Vậy \triangle có hai căn bậc hai là  2+i  và -2-i.

    Do đó nghiệm của phương trình là:

    \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{3i + 8 + i + 2}}{2} = 2i + 5\\z = \dfrac{{3i + 8 - i - 2}}{2} = i + 3\end{array} ight.

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\} thỏa mãn 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1;f\left( 1 ight) = 0. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có:

    \begin{matrix} 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2}} ight)'.f\left( x ight) + {x^2}.f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]' = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \begin{matrix} \int {\left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]'dx} = \int {1.dx} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2}f\left( x ight) = x + C \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow 1.f\left( 1 ight) = 1 + C \Rightarrow C = - 1 \hfill \\ \Rightarrow {x^2}f\left( x ight) = x - 1 \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:

    \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow x = 1\left( {tm} ight)

    Ta lại có: f'\left( x ight) = \frac{{2 - x}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( 1 ight) = 1} \\ {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

    y = f'\left( 1 ight)\left( {x - 1} ight) + f\left( 1 ight) \Rightarrow y = x - 1

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A( - 1;2;1) và mặt phẳng (P):2x - y + z - 3 = 0. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (P). Điểm nào sau đây không nằm trên mặt phẳng (Q)?

    Phương trình mặt phẳng (Q)đi qua A và song song với mặt phẳng (P) có dạng

    (Q):2x - y + z + 3 = 0

    Thay tọa độ các đáp án vào phương trình mặt phẳng (Q) ta có 3 điểm K;I;M thoả mãn, còn điểm N không thoả mãn.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz,cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và d':\left\{ \begin{matrix} x = 2t' \\ y = - 1 + t' \\ z = t' \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} ight). Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d' là:

    Đường thẳng d đi qua điểm A(1;0;0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;1; - 1)

    Đường thẳng d' đi qua điểm B(0; - 1;0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d'}} = (2;1;1);\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1;0)

    \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack = \left( \left| \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} ight|;\left| \begin{matrix} - 1 & - 1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} ight|;\left| \begin{matrix} - 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} ight| ight) = (2; - 1; - 3)

    Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d' là:

    d(d;d') = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack.\overrightarrow{AB} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack ight|} = \frac{1}{\sqrt{14}}

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(4;9;1), phương trình mặt phẳng (\alpha):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 qua điểm M và cắt ba tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho OA + OB + OC nhỏ nhất. Tính P = a + b + c.

    Mặt phẳng (\alpha) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,c > 0.

    Do (\alpha) đi qua điểm M(4;9;1) nên:

    1 = \frac{4}{a} + \frac{9}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2^{2}}{a} + \frac{3^{2}}{b} + \frac{1^{2}}{c} \geq \frac{(2 + 3 + 1)^{2}}{a + b + c} = \frac{36}{a + b + c}

    \Rightarrow a + b + c \geq 36

    Mà OA + OB + OC = a + b + c nên OA + OB + OC nhỏ nhất khi a + b + c nhỏ nhất và bằng 36.

  • Câu 31: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5). Tọa độ chân đường phân giác của góc B trong tam giác ABC là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\ \end{matrix} ight.

    Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác kẻ từ B lên AC của tam giác ABC.

    Suy ra \frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\ \overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)

  • Câu 32: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm E(1;2;3) và song song với mặt phẳng (Oxy)?

    Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0 nên có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{k} = (0;0;1).

    Phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng

    0(x - 1) + 0(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow z = 3.

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{{{{\left( {1 - 2i} ight)}^5}}}{{2 + i}}. Viết z dưới dạng z = a + bi,a,b \in \mathbb{R}. Khi đó tổng a+2b có giá trị bằng bao nhiêu?

    10

    Đáp án là:

    Cho số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{{{{\left( {1 - 2i} ight)}^5}}}{{2 + i}}. Viết z dưới dạng z = a + bi,a,b \in \mathbb{R}. Khi đó tổng a+2b có giá trị bằng bao nhiêu?

    10

     Ta có: \overline z = 24 + 7i \Rightarrow z = 24 - 7i

    Suy ra a + bi=10.

  • Câu 34: Nhận biết

    Trong \mathbb C, phương trình 2x^2+x+1=0 có nghiệm là:

     Ta có: \Delta = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 = - 7 = 7{i^2} < 0 nên phương trình có hai nghiệm phức là: {x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{4}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = 2\cos 3x - {3^{x - 1}} thỏa mãn F\left( 0 ight) = 0. Tìm F(x)

     F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx }

    = \int {2\cos 3xdx - \int {{3^{x - 1}}dx - \frac{1}{3}\int {{3^x}dx} = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{3\ln 3}} + C} }

    Mặt khác F\left( 0 ight) = 0 \Rightarrow \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{3\ln 3}} + C = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{{3\ln 3}}

    => F\left( x ight) = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^{x - 1}}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}}

  • Câu 36: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):2x - y + 3 = 0. Một véc tơ pháp tuyến của (P) có tọa độ là?

    Mặt phẳng (P) có VTPT là: \overrightarrow{n} = (2; - 1;0)

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho phương trình sau: z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Cho phương trình sau: z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?

    4 || Bốn || bốn

    Do tổng tất cả các hệ số của phương trình z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0 bằng 0 nên z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0 có nghiệm z = 1.

    z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0\Leftrightarrow (z – 1)(z^3 – 3z^2 + 4z – 12) = 0

    \Leftrightarrow (z – 1) (z – 3) (z^2 + 4) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\{z^2} + 4 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\z = 2i\\z = - 2i\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm và cộng tổng chúng lại ta được 4.

  • Câu 38: Vận dụng

    Cho hai số thực b và c (c>0). Kí hiệu A , B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình {z^2} + 2bz + c = 0 trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).

     Ta có: {z^2} + 2bz + c = 0 . Vì {z_1} + {z_2} = - 2b và {z_1}{z_2} = c là số thực.

    \Rightarrow {z_2} = \overline {{z_1}} \Rightarrow \left| {{z_2}} ight| = \left| {\overline {{z_1}} } ight| = \left| {{z_1}} ight|. Vậy ta có: {x_1} = b và x_1^2 + y_2^2 = c .

    Ta có: {z_1} = {x_1} + {y_1}i \Rightarrow A\left( {{x_1};{y_1}} ight); {z_1} = {x_2} + {y_2}i \Rightarrow B(x_2;y_2).

    Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O = > \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0

    \Rightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0\Rightarrow x_1^2-y_1^2=0\Rightarrow x_1^2=y_1^2\Rightarrow c=2b^2.

  • Câu 39: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và cắt các trục x'Ox,\ y'Oy,\ z'Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho M là trực tâm của tam giác ABC?

    Xét tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} AB\bot CM \\ AB\bot OC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(COM) \Rightarrow AB\bot OM

    Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.

    Từ đó OM ⊥ (ABC).

    Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận \overrightarrow{OM} = (3;2;1) làm vectơ pháp tuyến là:

    3(x - 3) + 2(y - 2) + z - 1 = 0

    \Leftrightarrow 3x + 2y + z - 14 = \ 0

  • Câu 40: Nhận biết

    Xác định tích phân I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx}?

    Ta có:

    I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx} = - \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(1 - 2x)}{1 - 2x}

    = - \frac{1}{2}.\left. \ \ln|1 - 2x|ight|_{1}^{5} = - \ln3

  • Câu 41: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x -\sin2x?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{(x- \sin2x)dx} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\cos2x + C

  • Câu 42: Thông hiểu

    Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu là 4m/s và gia tốc a\left( t ight) = 3{t^2} + t\left( {m/s} ight). Hỏi sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2 giây thì vận tốc của vật là bao nhiêu?

    Ta có: v\left( t ight) = \int {a\left( t ight)dt} = \int {\left( {3{t^2} + t} ight)dt} = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + C\left( {m/s} ight)

    Do khi bắt đầu tăng tốc {v_0} = 4m/s nên

    {v_{\left( {t = 0} ight)}} = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow v\left( t ight) = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 4

    Vận tốc của vật khi chuyển động với gia tốc đó được là

    v\left( 2 ight) = {2^3} + \frac{1}{2}{.2^2} + 4 = 14\left( {m/s} ight)

  • Câu 43: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 6 - 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \overline z.

     Ta có \overline z = \overline { - 6 - 3i} = - 6 + 3i nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.

  • Câu 44: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = ( - 3;4;0) và \overrightarrow{b} = (5;0;12). Tính \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)?

    Ta có: \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 15}{\sqrt{( - 3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}}.\sqrt{5^{2} + 0^{2} + 12^{2}}} = - \frac{3}{13}

  • Câu 45: Thông hiểu

    Gọi {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} là bốn nghiệm của phương trình {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 trên tập

    số phức tính tổng: S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}}.

    Ta có: {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {z + 2} ight)\left( {{z^2} - 2z + 2} ight) = 0 (1)

    Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:

    \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1\\{z_2} = - 2\\{z_3} = 1 + i\\{z_4} = 1 - i\end{array} ight.

    Thay và biểu thức ta có: 

    S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + i} ight)}^2}}} = \frac{5}{4}

  • Câu 46: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = - \int_{b}^{a}{f(x)dx} nên khẳng định \int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{b}^{a}{f(x)dx} sai.

  • Câu 47: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\cos ^2}x

     f\left( x ight) = {\cos ^2}x = \frac{{\cos 2x + 1}}{2} = \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}

    \int {f\left( x ight)dx} = \int {\left( {\frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}} ight)dx = } \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x + C

  • Câu 48: Nhận biết

    Số phức 5 + 6i có phần thực bằng 

     Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.

  • Câu 49: Vận dụng cao

    Cho điểm P(-3 , 1, -1)  và đường thẳng (d): \left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.

    Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:

    Chuyển (d) về dạng tham số : \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2} + 3t\\y = - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.

    Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: 3x + 4y + 2z + D = 0, cho qua P tính được D=7 .

    Ta có (Q): 3x + 4y + 2z + 7 = 0 .

    Thế x, y, z  theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được t = \frac{1}{2}

    Giao điểm I của (d) và (Q)  là I (1, -3, 1) .

    Vì I là trung điểm của PP’ nên \Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight).

  • Câu 50: Thông hiểu

    Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x\sqrt {\ln \left( {1 + {x^3}} ight)} ;y = 0;x = 1, khi xoay quanh trục Ox.

     Phương trình hoành độ giao điểm là: x\sqrt {\ln \left( {1 + {x^3}} ight)} = 0 \Leftrightarrow x = 0

    Gọi là thể tích khối tròn xoay cần tìm ta có: V= \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\ln \left( {1 + {x^3}} ight)dx}

    Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln \left( {1 + {x^3}} ight)} \\ {dv = {x^2}dx} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \dfrac{{3{x^2}}}{{1 + {x^3}}}dx} \\ {v = \dfrac{{{x^3} + 1}}{3}} \end{array}} ight.

    \begin{matrix} \Rightarrow V = \pi \left\{ {\left[ {\dfrac{{{x^3} + 1}}{3}\ln \left( {1 + {x^3}} ight)} ight]_0^1 - \int\limits_0^1 {{x^2}dx} } ight\} \hfill \\ \Rightarrow V = \pi \left( {\dfrac{{2\ln 2}}{3} - \dfrac{1}{3}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 204 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 1
Thời gian còn lại 50:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập