Cho số phức
. Số phức
có phần ảo là:
Ta có:
Cho số phức
. Số phức
có phần ảo là:
Ta có:
Trong không gian với hệ toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : .
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại
và
. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
(
) cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là
và
. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên
Diện tích thiết diện là:
Thể tích vật thể là:
PT sau có số nghiệm là : ![]()
3 || ba || Ba
PT sau có số nghiệm là :
3 || ba || Ba
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là
=
= a – bi
Cho phương trình sau:
. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?
4 || Bốn || bốn
Cho phương trình sau: . Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?
4 || Bốn || bốn
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên
có nghiệm
.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm và cộng tổng chúng lại ta được 4.
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của số phức
là:
Ta có:
Cho số phức
. Phần thực của số phức
là?
Ta có:
Vậy phần thực là .
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó
Tính diện tích
của hình phẳng
được giới hạn bởi các đường
, trục hoành và các đường thẳng
?
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Giả sử
với
là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
Ta có:
Đặt
Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình có hai nghiệm
và
.
Trong không gian
, cho tam giác
với
. Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh
của tam giác
nhận vectơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương?
Gọi là trung điểm của
, suy ra tọa độ điểm
.
Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có vectơ chỉ phương là
.
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng ![]()
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm A.Tọa độ của A là:
Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình :
Giải (1),(2) tính x,y theo z được
Thế vào phương trình (3) được , từ đó có
.
Vậy .
Trong không gian
có điểm
. Tính độ dài
?
Ta có:
Suy ra
Vậy đáp án cần tìm là .
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tính
.
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Ta có N là trung điểm của CD nên
M là trung điểm của AB nên
Suy ra
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số
và các đường thẳng
. Thể tích
của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng
quay quanh trục?
Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng quay quanh trục
là:
.
Cho số phức
. Số phức
bằng:
Ta có:
Trong không gian
, cho bốn điểm
và
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và tổng khoảng cách từ
đến
lớn nhất, đồng thời ba điểm
nằm cùng phía so với
. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi E là trung điểm BC, F là điểm đối xứng với D qua E và M là trung điểm AF.
Ta có .
Gọi tương ứng là hình chiếu của
lên mặt phẳng
.
Ta có:
Do đó .
Mà nên phương trình
.
Tích phân
bằng:
Ta có:
Gọi
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Gọi và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Ta có .
Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:
.
Do đó .
Tìm nguyên hàm của hàm số
là
Ta có:
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình
. Giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Suy ra
Tính diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
trục hoành và hai đường thẳng
.
Diện tích hình phẳng được tính như sau:
.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
=> có 5 nghiệm đơn
=> Hàm số có 5 điểm cực trị
Cho hình lập phương
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Vì (
là hình chữ nhật) nên
(
là hình vuông)
Số phức
có phần thực là?
2
Số phức có phần thực là?
2
Ta có:
Vậy phần thực của số phức
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
lần lượt có phương trình là
và cho điểm
. Tìm phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
?
Ta có:
Do vuông góc với
nên
Chọn
Hơn nữa đi qua
nên có phương trình là:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Cho điểm P(-3 , 1, -1) và đường thẳng (d): ![]()
Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:
Chuyển (d) về dạng tham số :
Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: , cho qua P tính được D=7 .
Ta có (Q): .
Thế x, y, z theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được
Giao điểm I của (d) và (Q) là I (1, -3, 1) .
Vì I là trung điểm của PP’ nên .
Trong không gian
. Cho
với
. Biết mặt phẳng
qua điểm
và thể tích tứ diện
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình
:
Phương trình mặt phẳng
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thể tích tứ diện là
Đẳng thức xảy ra khi
Phương trình mặt phẳng là
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Cho
với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng.
Ta có
Tính
Đặt
Suy ra
Vậy
Như vậy, ta được:
Suy ra ta có: hay
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
. Điểm nào sau đây không nằm trên mặt phẳng
?
Phương trình mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
có dạng
Thay tọa độ các đáp án vào phương trình mặt phẳng ta có 3 điểm
thoả mãn, còn điểm
không thoả mãn.
Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG có
. Gọi L là tâm hình hộp. Biểu thị vectơ
theo ba vectơ
và
?

Vì I là tâm hình hộp theo giả thiết nên I là trung điểm đường chéo OF. Từ đây, suy ra
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
và
. Tính
?
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho hàm số
liên tục và có đạo hàm trên
thỏa mãn
. Biết rằng
trong đó
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Tính . Đặt
khi đó:
Theo bài ra ta có:
Trong không gian
, cho hai điểm
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
.
Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AB có tọa độ I(0; 1; 1).
Mặt phẳng (OAB) có véc-tơ pháp tuyến .
Suy ra đường thẳng ∆ có và đi qua I(0; 1; 1).
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là .
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho bốn đường thẳng ![]()
![]()
![]()
. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:
Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d1) // (d2); (d4) cắt (d2), (d3).
Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2); (Q) là mặt phẳng chứa (d3) và (d4).
Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.
Ta thấy, (∆) cắt cả (d1), (d2) suy ra (∆) ⊂ (P).
(∆) cắt cả (d3),(d4) suy ra (∆) ⊂ (Q).
Mà (d2), (d4) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Đường thẳng
đi qua
và song song với
có phương trình là:
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là
Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là .
Cho số phức thỏa mãn điều kiện
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của ![]()
1 || Một || một
Cho số phức thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 || Một || một
Đặt
Ta có
.
TH1: (1)
TH2: .
Đặt .
.
(2)
Từ (1) và (2) , suy ra .
Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: ![]()
Ta có
Vậy phương trình có 4 nghiệm: