Cho số phức thỏa mãn điều kiện
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của ![]()
1 || Một || một
Cho số phức thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 || Một || một
Đặt
Ta có
.
TH1: (1)
TH2: .
Đặt .
.
(2)
Từ (1) và (2) , suy ra .
Cho số phức thỏa mãn điều kiện
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của ![]()
1 || Một || một
Cho số phức thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 || Một || một
Đặt
Ta có
.
TH1: (1)
TH2: .
Đặt .
.
(2)
Từ (1) và (2) , suy ra .
Cho số phức
. Tìm số phức z thỏa mãn
.
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z là
Ta có:
Cho hàm số
liên tục trên
thỏa mãn
và
. Tính tích phân
?
Ta có: .
Ta có:
Đặt . Đổi cận
do đó:
Ta có:
Đặt . Đổi cận
do đó:
.
Vậy
Tìm các số thực x, y thoả mãn:
![]()
Theo giả thiết:
=>
=>
Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
. Gọi
là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình
xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:
Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:
.
Cho phương trình
có hai nghiệm
là . Giá trị của
là?
1 || Một || một
Cho phương trình có hai nghiệm
là . Giá trị của
là?
1 || Một || một
Ta có:
Suy ra:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Viết phương trình đường thẳng
?
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
là:
Cho số phức
. Số phức
có phần ảo là:
Ta có:
Gọi
là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức
là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Gọi là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn .
Do đó ta có
Ta cũng có
và
Vậy .
Cho hàm số
biết rằng đồ thị hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành. Chọn công thức đúng của
?
Ta có:
Mà
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A(0; 1)
=>
=> Hay
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng:
Theo đề bài, ta biến đổi được (b) có dạng:
Thay x, y, z vào phương trình x+2y+z =9 , ta có:
=> Tọa độ giao điểm của (a) và (b): A (0, - 4, - 1)
Biết rằng
và
, a và b là các số hữu tỉ. Thương số giữa a và b có giá trị là:
Ta có:
, với
Hàm số
có đạo hàm liên tục trên tập số thực và
;
. Hàm số
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn
lần lượt là?
Ta có:
Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1.
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho bốn đường thẳng ![]()
![]()
![]()
. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:
Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d1) // (d2); (d4) cắt (d2), (d3).
Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2); (Q) là mặt phẳng chứa (d3) và (d4).
Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.
Ta thấy, (∆) cắt cả (d1), (d2) suy ra (∆) ⊂ (P).
(∆) cắt cả (d3),(d4) suy ra (∆) ⊂ (Q).
Mà (d2), (d4) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.
Cho số phức
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Ta có: .
Trong không gian
, hãy tính
và
lần lượt là khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
và mặt phẳng
?
Do mặt phẳng có phương trình y = 0 nên
Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên
Tìm một nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Đặt
Khi đó .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của
.
Mặt phẳng trung trực nhận
làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm
của
nên ta có phương trình mặt phẳng
là:
.
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
là:
Ta có:
Trong không gian
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
Ta có:
∆ có vectơ chỉ phương là
(α) có vectơ pháp tuyến là
.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Vì lần lượt là trung điểm của
suy ra
Mà là trung điểm của
Khi đó
Vậy khẳng định sai là: .
Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
.Phân tích nào sau đây là đúng?
Ta có: là trọng tâm tam giác
khi
Trong không gian
, cho ba điểm
. Tọa độ chân đường phân giác của góc
trong tam giác
là:
Ta có:
Gọi là chân đường phân giác kẻ từ
lên
của tam giác
.
Suy ra
Ta có:
Trong không gian tọa độ
, cho vectơ
. Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào không cùng phương với
?
Ta có: cùng phương với mọi vectơ
Lại có
Vậy vectơ không cùng phương với là
.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Biết rằng giá trị lớn nhất của
trên khoảng
là
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Ta có:
Vì là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
nên hàm số
có công thức dạng
với mọi
Xét hàm số xác định và liên tục trên
Ta có:
Trên khoảng phương trình
có một nghiệm
Ta có bảng biến thiên như sau:
. Theo bài ra ta có:
Do đó suy ra
.
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
là
. Tính giá trị
?
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Đặt
Đổi cận . Khi đó:
hay
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của z là:
Giả sử: .
Cho tứ diện
có
. Tính độ dài đường cao của tứ diện
kẻ từ đỉnh
?
Phương trình mặt phẳng là:
Khoảng cách từ đỉnh D đến mặt phẳng (ABC) là
.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó:
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau:
là?
Đặt , khi đó phương trình đã cho có dạng:
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).
Ta có: nằm về hai phía với (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) BH cố định và
.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay .
Ta có: bé nhất bằng BH khi K trùng với điểm H.
Gọi là VTPT của (ABH)
Ta có đường thẳng d cần lập qua A, H và có VTCP là
Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là:
Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: ![]()
Ta có
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và
với
là tham số thực. Tổng các giá trị của m để
và
vuông góc nhau bằng bao nhiêu?
Ta có:
có vectơ pháp tuyến
có véc-tơ pháp tuyến
(P) và (Q) vuông góc với nhau khi và chỉ khi
Điều này tương đương với
.
Trong không gian
cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
.
Trong không gian cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
bằng
Ta có .
Cho hàm số
. Tính ![]()
Ta có:
.
Cho hình
giới hạn bởi các đường
, trục hoành. Quay hình phẳng
quanh trục
ta được khối tròn xoay có thể tích là:
Phương trình hoành độ giao điểm của là:
Khi đó .
Cho đường tròn
và parabol
.
cắt
thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của hai phần đó.
Hoành độ giao điểm của (P) và (C) là:
Xét giao điểm thuộc góc phần tư thứ nhất, với
Gọi S2 là phần có diện tích nhỏ hơn, S1 là phần còn lại
Ta có:
Đặt
Khi đó
Diện tích hình tròn
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
cắt hai trục
và
tại và tạo với mặt phẳng
một góc
.
Gọi là giao điểm của
và trục
Vecto pháp tuyến của là:
Vecto pháp tuyến của là:
Gọi là góc tạo bởi và
Vậy có hai mặt phẳng:
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập số phức
:
(1)
Kiểm tra nghiệm ta dễ dàng nhận xét
không là nghiệm của phương trình đã cho vậy
.
Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : (2)
Đặt . Khi đó
Phương trình (2) có dạng : (3)
Vậy PT (3) có 2 nghiệm:
Với , ta có
(4)
Có
Vậy PT(4) có 2 nghiệm :
;
Do đó PT đã cho có 4 nghiệm :
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho các hàm số
và
liên tục trên
và số
tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Khẳng định sai là:
Xác định phần ảo của số phức
.
Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12