Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
, gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
. Tính
.
M-m=1 || 1 || một || Một
Cho số phức z thỏa mãn , gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
. Tính
.
M-m=1 || 1 || một || Một
Ta có
Vì nên
Suy ra
Cho hàm số
liên tục trên
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và các đường thẳng
. Diện tích hình
được tính theo công thức?
Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức .
Trong không gian, cho hai vectơ
và
. Vectơ
bằng
Theo quy tắc ba điểm: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, điểm
thuộc mặt phẳng
và cách đều các điểm
. Tích
bằng
Do và
, nên ta được hệ:
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho mặt phẳng
. Hỏi có bao nhiêu điểm
thuộc mặt phẳng
với
là các số nguyên không âm.
Ta có nên mặt phẳng
đi qua các điểm
Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.
Tam giác ABC đều có các cạnh bằng , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.
Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Cho các số phức
. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?
![]()
![]()
![]()
Áp dụng tính chất số phức, ta có:
- Môđun của 1 thương hai số phức thì bằng thương của từng môđun
- Môđun của 1 tích hai số phức thì bằng tích của từng môđun
Vậy khẳng địn (I) và (II) là đúng.
Trong không gian
, cho các điểm
. Tích
bằng:
Ta có: . Khi đó
.
Trong không gian
, cho ba điểm
. Các khẳng định sau là đúng hay sai?
a)
. Sai||Đúng
b)
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d)
. Đúng||Sai
Trong không gian , cho ba điểm
. Các khẳng định sau là đúng hay sai?
a) . Sai||Đúng
b) . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) . Đúng||Sai
Ta có .
Ta có:
.
Ta có:
.
Ta có:
.
Ta có:
.
Cho lăng trụ tam giác
. Đặt
. Gọi điểm
sao cho
,
là trọng tâm tứ diện
. Biểu diễn vectơ
qua các vectơ
. Đáp án nào dưới đây đúng?
Ta có G là trọng tâm của tứ diện nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, khoảng cách từ điểm
tới đường thẳng
bằng:
Đường thẳng đi qua
, có véc-tơ chỉ phương
.
Ta có và
.
Vậy khoảng cách từ đến đường thẳng
là:
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Đặt
Trong không gian
, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng?
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: .
Cho hàm số
dương và liên tục trên
thỏa mãn
và biểu thức
đạt giá trị lớn nhất, khi đó
bằng:
Do
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Cho số phức
. Phần thực của số phức
là?
Ta có:
Vậy phần thực là .
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đường parabol
và tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có tọa độ
. Diện tích của hình (H) là:
Xét hàm số trên
. Ta có:
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm của đồ thị hàm số
là
Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình . Xét phương trình tương giao của (P) và ∆
Gọi là diện tích hình phẳng
khi đó
Vì nên
Tìm nguyên hàm của hàm số
là
Ta có:
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả trực tiếp như trên nhưng ta có thể dùng để kiểm tra kết quả bằng cách thử thay số trong các đáp án.
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị
cắt trục
tại ba điểm có hoành độ
với
như hình bên. Đặt
. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
và trục hoành (phần tô đậm) bằng bao nhiêu?

Diện tích hình phẳng phần tô đậm được tính như sau:
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có
trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, EF, DH. Tính khoảng cách giữa NP và CG.
Ta biểu diễn các điểm N, P, C, G theo a, b, c được:
Từ đó, ta tính được các vecto tương ứng:
Để tính khoảng cách giữa NP và CG, ta cần tính tích có hướng và tích độ dài giữa chúng rồi áp dụng CT tính khoảng cách:
Cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Mặt phẳng (P) qua d và tạo với
một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:

Gọi ;
H là hình chiếu vuông góc của B lên ; K là hình chiếu của H lên
.
Suy ra: cố định;
.
Mà (vì
)
Suy ra nhỏ nhất bằng
khi
.
Khi đó và có một VTCP
.
Vậy (P) có một VTPT là .
Hàm số
có nguyên hàm là:
Ta có:
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
Xét phương trình
trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:
Ta có:
Suy ra:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng ![]()
?
Gọi lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2 ta chọn
Giả sử M1 ∈ d1 và M2 ∈ d2, ta chọn suy ra
Khi đó và
. Do đó (d1) và (d2) chéo nhau.
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
Trong không gian
, mặt phẳng
. Một véc tơ pháp tuyến của
có tọa độ là?
Mặt phẳng có VTPT là:
Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:
Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Trong không gian
, viết phương trình mặt phẳng
biết
đi qua hai điểm
và vuông góc với mặt phẳng
.
Ta có và
có một vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Do đó, có phương trình là
.
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Các biểu thức
xác định bởi
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dựa vào hình vẽ và diện tích hình phẳng ta có:
(hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 1)
Như vậy
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
PT sau có số nghiệm là : ![]()
3 || ba || Ba
PT sau có số nghiệm là :
3 || ba || Ba
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc
thì tăng tốc với gia tốc
. Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian
kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Ta có: .
Khi đó
Khi đó quãng đường đi được bằng:
Cho số phức z thỏa mãn
. Viết z dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có:
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có vô số vecto chỉ phương.
Giá trị của
là?
Ta có:
(Áp dụng công thức: )
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Ta có:
Cho hai hàm số
có đạo hàm trên
thỏa mãn
và
. Giá trị
bằng:
Chọn
Từ đó suy ra
Vậy
Tính tích phân
bằng cách đặt
. Công thức nào dưới đây chính xác?
Đặt
Suy ra
Số nghiệm của phương trình:
là?
Đặt phương trình đã cho có dang:
+ Với
+ Với
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng đồ thị hàm số
có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành?
Ta có:
Mà
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là
Suy ra
Do đó
Trong không gian
cho mặt phẳng
và hai điểm
. Gọi
lần lượt là hình chiếu của
lên mặt phẳng (P). Biết
. Tổng tất cả các giá trị của tham số m là
Hình vẽ minh họa
Xét trường hợp m = 1. Khi đó cả đều thuộc (P). Trong trường hợp này
(loại).
Khi . Ta tính toán các đại lượng:
Từ đó suy ra khác phía với (P) và
Gọi H là giao điểm của AB với (P).
Theo Thales ta có:
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác AEH ta có:
Phương trình này có hai nghiệm và tổng hai nghiệm đó bằng: .
Cho
và
, khi đó
bằng:
Ta có:
Cho số phức
. Tìm số phức z thỏa mãn
.
Ta có:
Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là
=
= a – bi
Cho số phức
. Tính |z|
Ta có
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau:
là?
Đặt , khi đó phương trình đã cho có dạng:
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là