Đường kính và dây của đường tròn Toán 9

Chuyên đề Đường kính và dây cung gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Đường kính và dây của đường tròn Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa

Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn.
Dây cung đi qua tâm của đường tròn là đường kính của đường tròn.
Một dây cung sẽ chia đường tròn thành hai phần, tương ứng với hai cung của đường tròn (cung lớn và cung nhỏ).

2. So sánh độ dài của đường kính và dây cung

Định lí 1: Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

Đường kính và dây của đường tròn Toán 9

3. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung

Định lí 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Đường kính và dây của đường tròn Toán 9

$AB\bot CD \Leftrightarrow HA = HB$

Định lí 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ , kẻ các đường cao $BH;CK$ . Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm $B;K;H;C$ cùng thuộc một đường tròn.

b) $HK < BC$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Đường kính và dây của đường tròn Toán 9

a) Gọi $O$ là trung điểm của $BC$

Vì tam giác $BHC$ vuông tại $H$ có trung tuyến $HO$ ứng với cạnh huyền nên $OB = OC = OH(1)$

Vì tam giác $BKC$ vuông tại $K$ có trung tuyến $KO$ ứng với cạnh huyền nên $OB = OC = OK(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $OB = OC = OH = OK$

Vậy bốn điểm $B;K;H;C$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Vì $HK$ là một dây cung của đường tròn $(O)$ , $HK$ không đi qua tâm $O$ và $BC$ là đường kính nên $BC > HK$

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ có các dây $AB;CD$ bằng nhau, các tia $AB;CD$ cắt nhau tại $E$ nằm bên ngoài đường tròn. Gọi $H;K$ theo thứ tự là chân đường vuông góc của $O$ xuống $AB;CD$ . Biết $EH = EK$ . Chứng minh rằng:

a) $EB = ED$

b) $EA = EC$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Đường kính và dây của đường tròn Toán 9

Vì $OH\bot AB$ nên $H$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow HA = HB = \frac{1}{2}AB$

Vì $OK\bot CD$ nên $K$ là trung điểm của $CD$

$\Rightarrow KC = KD = \frac{1}{2}CD$

Mặt khác $AB = CD \Rightarrow HA = HB = KC = KD$

a) Theo giả thiết ta có: $EH = EK \Leftrightarrow EB + BH = ED + DK \Leftrightarrow EB = DE$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} EA = EH + HA \\ EC = EK + KC \\ \end{matrix} \right.$ mà $HA = KC$ nên $EH + HA = EK + KC \Leftrightarrow EA = EC$

Ví dụ: Cho đường tròn $(O;10)$ . Lấy một điểm $A$ tùy ý thuộc đường tròn. Vẽ dây $MN$ vuông góc với $OA$ tại trung điểm của $OA$ .

a) Chứng minh $OMAN$ là hình thoi.

b) Tính độ dài dây $MN$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Đường kính và dây của đường tròn Toán 9

Gọi $H$ là trung điểm của $OA$

Vì $MN\bot OA$ tại $H$ nên $H$ cũng là trung điểm của $MN$

Suy ra $OMAN$ là hình thoi.

b) Xét tam giác $OMH$ vuông tại $H$ ta có: $OH = 5;OM = 10$ do đó

$HM = \sqrt{OM^{2} - OH^{2}} = 5\sqrt{3}$

$\Rightarrow MN = 2MH = 10\sqrt 3$

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ và dây $AB = 2a$ sao cho khoảng cách từ tâm $O$ đến $AB$ bằng $h$ . Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ . Tia $IO$ cắt $(O)$ tại $C$ .

a) Chứng minh rằng tam giác $ABC$ cân tại $C$ .

b) Tính khoảng cách từ $O$ đến $BC$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Đường kính và dây của đường tròn Toán 9

a) Vì $\left\{ \begin{matrix} OA = OB \\ IA = IB \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow OI\bot AB$

Lại có: $CI\bot AB$ nên $CI$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến trong tam giác $CAB$

Suy ra tam giác $ABC$ cân tại $C$ .

b) Hạ $OH\bot CB$ tại $H$ suy ra H là tung điểm của BC

Do đó: $HB = HC = \frac{BC}{2}$

Xét tam giác $OIB$ vuông tại $I$ ta có:

$IB = a;OI = h$

$\Rightarrow OB = \sqrt{OI^{2} + IB^{2}} = \sqrt{a^{2} + h^{2}}$

Mà $CI = CO + OI = h + \sqrt{a^{2} + h^{2}}$

Xét tam giác $IBC$ vuông tại $I$ ta có:

$BC = \sqrt{CI^{2} + IB^{2}} = \sqrt{\left( h + \sqrt{a^{2} + h^{2}} \right)^{2} + a^{2}}$

$= \sqrt{2\left( a^{2} + h^{2} + h\sqrt{a^{2} + h^{2}} \right)}$

$\Rightarrow HB = \frac{1}{2}\sqrt{2\left( a^{2} + h^{2} + h\sqrt{a^{2} + h^{2}} \right)}$

Xét tam giác $HOB$ vuông tại $H$ ta có:

$OH = \sqrt{OB^{2} - HB^{2}}$

$= \sqrt{\left( \sqrt{a^{2} + h^{2}} \right)^{2} - \left\lbrack \frac{1}{2}\sqrt{2\left( a^{2} + h^{2} + h\sqrt{a^{2} + h^{2}} \right)} \right\rbrack^{2}}$

$= \sqrt{\frac{a^{2} - h\sqrt{a^{2} + h^{2}} + h^{2}}{2}}$

Ví dụ: Cho đường tròn $(O;R)$ và hai điểm $A;B \in (O)$ . Trên các bán kính $OA;OB$ lần lượt lấy các điểm $M;N$ sao cho $OM = ON$ . Vẽ dây $CD$ đi qua $M;N$ (điểm $M$ nằm giữa $C$ và $N$ ).

a) Chứng minh $CM = DN$ .

b) Giả sử $\widehat{AOB} = 90^{0}$ và $CM = MN = ND$ . Tính độ dài đoạn $OM$ theo $R$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Đường kính và dây của đường tròn Toán 9

a) Hạ $OE\bot AB$ tại $E$ và $OE$ cắt $CD$ tại $F$ .

Trong tam giác $OAB$ cân tại $O$ ta có:

$\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} \Rightarrow MN//AB \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} OF\bot MN \\ MF = NF \\ \end{matrix} \right.$

Vì $OF\bot MN \Rightarrow OF\bot CD$

Suy ra F là trung điểm của $CD$

Do vậy $FC = FD$ . Ta có: $CM = CF - MF = DF - NF = DN(dpcm)$

b) Đặt $MF = x \Rightarrow CF = CM + MF = MF = x$

Vì tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ và $MN//AB$ nên tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$

$\Rightarrow OF = MF = x$

Xét tam giác $OCF$ vuông tại $F$ ta có:

$OF^{2} = OC^{2} - CF^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} = R^{2} - 9x^{2} \Leftrightarrow x = \frac{R}{\sqrt{10}}$

Khi đó: $OM = ON = OF\sqrt{2} = \frac{R}{\sqrt{5}}$

Vậy với $OM = ON = \frac{R}{\sqrt{5}}$ sẽ thỏa mãn đề bài.

Ví dụ: Cho đường tròn $(O;R)$ và hai dây $AB = R\sqrt{3};AC = R\sqrt{2}$ (với $B;C$ nằm về hai phía đối với đường thẳng $AO$ ). Tính các góc của tam giác $ABC$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Đường kính và dây của đường tròn Toán 9

Xét tam giác $OAC$ có $OA = OC = R;AC = R\sqrt{2}$ nên $\Delta OAC$ vuông cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OCA} = \widehat{OAC} = 45^{0}$

Kẻ $OI\bot AB \equiv I \Rightarrow IA = IB = \frac{R\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác $OIB$ vuông tại $I$ ta có:

$\cos\widehat{OBI} = \frac{IB}{OB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{OBI} = \widehat{OAI} = 30^{0}$

$\Rightarrow \widehat{AOB} = 180^{0} - 2.30^{0} = 120^{0}$

$\Rightarrow \widehat{CAB} = 45^{0} + 30^{0} = 75^{0}$

Lại có:

$360^{0} = \widehat{COA} + \widehat{AOB} + \widehat{COB}$

$\Rightarrow \widehat{COB} = 360^{0} - \left( \widehat{COA} + \widehat{AOB} \right)$

$\Rightarrow \widehat{COB} = 360^{0} - \left( 90^{0} + 120^{0} \right) = 150^{0}$

Xét tam giác $OBC$ cân tại $O$ ta có:

$\widehat{OBC} = \widehat{OCB} = \frac{180^{0} - 150^{0}}{2} = 15^{0}$

Do đó $\widehat{ACB} = 45^{0} + 15^{0} = 60^{0}$ và $\widehat{ABC} = 30^{0} + 15^{0} = 45^{0}$

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = \widehat{C} = 90^{0}$

a) Chứng minh bốn điểm $A;B;C;D$ thuộc cùng một đường tròn.

b) Chứng minh $AC \leq BD$ .

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ nhọn có các đường cao $BD;CE$ cắt nhau tại $H$ .

a) Chứng minh bốn điểm $A;D;H;E$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $AH > DE$ .

Bài 3: Cho đường tròn $(O;R)$ vẽ hai dây $AB;CD$ vuông góc với nhau. Chứng minh rằng $S_{ABCD} \leq 2R^{2}$ .

Bài 4: Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $\left( O;R_{1} \right)$ với $R_{1} > R$ . Một đường thẳng không đi qua $O$ cắt đường tròn $\left( O;R_{1} \right)$ theo thứ tự tại $A;B$ cắt đường tròn $(O;R)$ theo thứ tự tại $C;D$ (các điểm theo thứ tự $A;C;D;B$ . Chứng minh rằng $AC = BD$ .

Bài 5: Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB = 10cm$ . Một dây $MN = 8cm$ có hai đầu mút di chuyển trên đường tròn $(O)$ (điểm $M$ nằm trên cung nhỏ $\widehat{AC}$ ). Gọi $E;F$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $A;B$ trên đường thẳng $MN$ .

a) Chứng minh $EF$ và $MN$ có trung điểm trùng nhau.

b) Chứng minh $ME = NF$ .

c) Xác định vị trí của $MN$ để diện tích tứ giác $ABEF$ lớn nhất.

Bài 6: Cho đường tròn $(O;5)$ và dây $AB = 8cm$ .

a) Tính khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ .

b) Lấy điểm $I$ trên dây $AB$ sao cho $AI = 1cm$ . Qua $I$ kẻ dây $CD$ vuông góc với $AB$ . Chứng minh $AB = CD$ .

Bài 7: Cho hình vẽ:

Đường kính và dây của đường tròn Toán 9

Trong hình vẽ đã cho có một mảnh giấy hình chữ nhật che khuất một phần của đường tròn $(O)$ . Cho biết $AB = 1cm;BC = 4cm;MN = 2cm$ .

a) Tính độ dài đoạn $DN$ .

b) Biết $AM = 1cm$ . Tính bán kính của đường tròn $(O)$ .

Bài 8: Cho đường tròn $(O;OA)$ và đường kính $AD = 12,5cm$ . Lấy điểm $B \in (O;OA)$ sao cho $AB = 10cm$ . Kẻ dây $BC$ vuông góc với đường kính $AD$ . Tính các khoảng cách từ tâm $O$ đến các dây $AB;BC$ .