Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bài toán hình học

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bài toán hình học 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Phương pháp làm bài:

Bước 1: Lập hệ phương trình (phương trình):

Chọn hệ số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (chọn các đại lượng chiều cao, đáy, chiều dài, chiều rộng, chu vi, diện tích, … làm ẩn).

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Với tam giác $S = \frac{1}{2}a.h;C = a + b + c$

Độ dài cạnh huyền $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ (xét trong tam giác vuông và $c$ là cạnh huyền).

Trong đó S là diện tích tam giác $km^{2};cm^{2};...$

$a;b;c$ là độ dài các cạnh của tam giác, đơn vị là: $km;m;...$

$C$ là chu vi tam giác đơn vị là $km;m;...$

Với hình vuông:

$S = a^{2};C = 4a$

Trong đó:

$a$ là độ dài cạnh hình vuông đơn vị là $km;m;...$

Với hình chữ nhật

$S = a.b;C = 2(a + b)$

Trong đó $a;b$ là kích thước chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật đơn vị là $km;m;...$

Với hình thang $S = \frac{1}{2}(a + b).h$

Trong đó:

$a;b$ là độ dài đáy hình thang đơn vị là $km;m;...$

$h$ là chiều cao hình thang đơn vị là $km;m;...$

Với hình hình hành:

$S = a.h;C = 2(a + b)$

Trong đó:

$a;b$ là độ dài đáy hình bình hành đơn vị là $km;m;...$

$h$ là chiều cao tương ứng với cạnh đáy hình bình hành đơn vị là $km;m;...$

Với hình thoi

$S = \frac{1}{2}b.c;C = 4a$

Trong đó:

$a$ là độ dài cạnh hình thoi đơn vị là $km;m;...$

$b;c$ là độ dài hai đường chéo hình thoi đơn vị là $km;m;...$

Với đa giác: Số đường chéo có công thức $S = \frac{1}{2}a.h;C = a + b + c$

Bước 2: Giải hệ phương trình (phương trình).

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

Ví dụ: Một tam giác cân có chu vi $34m$ . Tính độ dài các cạnh của tam giác biết rằng độ dài cạnh bên lớn hơn độ dài cạnh đáy là $2m$ ?

Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài cạnh bên, cạnh đáy của tam giác cân lần lượt là $x;y(m)$

Điều kiện $x > y > 0$

Chu vi tam giác cân là $34m$ nên $2x + y = 34(*)$

Độ dài cạnh bên lớn hơn độ dài cạnh đáy là $2m$ nên $x - y = 2(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} 2x + y = 34 \\ x - y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 12 \\ y = 10 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy độ dài cạnh bên tam giác cân là $12m$ , độ dài cạnh đáy là $10m$ .

Ví dụ: Một hình chữ nhật có diện tích $600m^{2}$ . Nếu bớt mỗi cạnh hình chữ nhật $4m$ thì diện tích của hình còn lại là $416m^{2}$ . Tìm chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật là $x;y(m)$

Điều kiện $x > y > 4$

Diện tích hình chữ nhật là $600m^{2}$ nên $x.y = 600(*)$

Nếu bớt mỗi cạnh hình chữ nhật $4m$ thì diện tích của hình còn lại là $416m^{2}$

Suy ra $(x - 4)(y - 4) = 416$

$\Leftrightarrow xy - 4(x + y) + 16 = 416$

$\Leftrightarrow x + y = 50(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x.y = 600 \\ x + y = 50 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x.(50 - x) = 600 \\ y = 50 - x \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 20)(x - 30) = 0 \\ y = 50 - x \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x - 20 = 0 \\ x - 30 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ y = 50 - x \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x = 20 \\ x = 30 \\ \end{matrix} \right.\ \\ y = 50 - x \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 20 \Rightarrow y = 30(L) \\ x = 30 \Rightarrow y = 20(tm) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy chiều dài hình chữ nhật là $30m$ , chiều rộng hình chữ nhật là $20m$ .

Ví dụ: Diện tích một hình thang bằng $140cm^{2}$ , chiều cao bằng $8cm$ . Xác định chiều dài các cạnh đáy biết rằng các cạnh đáy hơn kém nhau $15cm$ .

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài đáy lớn và đáy nhỏ của hình thang lần lượt là $x(cm);y(cm)$

Điều kiện $x > y > 0$

Diện tích hình thang bằng $140cm^{2}$ , chiều cao bằng $8cm$ nên ta có phương trình:

$\frac{1}{2}(x + y).8 = 140 \Leftrightarrow x + y = 35(*)$

Vì đáy lớn dài hơn đáy nhỏ $15cm$ nên $x - y = 15(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x + y = 35 \\ x - y = 15 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x = 50 \\ x - y = 15 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 25 \\ y = 10 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy chiều dài đáy lớn là $25cm$ , chiều dài đáy nhỏ là $10cm$ .

Ví dụ: Bác T sở hữu một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi $1000m$ . Bác T định bán mảnh đất đó với giá thị trường là $2000000$ đồng/m². Hỏi giá tiền mảnh đất đó, biết chiều dài mảnh đất gấp bốn lần chiều rộng?

Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là x và y (m)

Điều kiện x; y > 0

Ta có nửa chu vi mảnh đất là 1000 : 2 = 500 (m)

Khi đó ta có phương trình $x + y = 500$

Chiều dài mảnh đất gấp 4 lần chiều rộng nên ta có x = 4y

Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + y = 500 \\ x = 4y \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 100 \\ x = 400 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Suy ra chiều dài mảnh đất là 400m và chiều rộng là 100m

Diện tích mảnh đất là $100 . 400 = 4 0000 m^2$

Suy ra giá trị mảnh đất là: 80 tỉ đồng.

Ví dụ: Một hình chữ nhật có chu vi $28cm$ . Biết rằng nếu tăng chiều dài thêm $1cm$ và tăng chiều rộng thêm $2cm$ thì diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm $25cm^{2}$ . Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là x, y (cm)

Điều kiện 0 < x < y < 14

Khi đó diện tích hình chữ nhật là xy.

Theo bài ra ta có: Chu vi hình chữ nhật là 28cm

$2(x + y) = 28(*)$

Nếu tăng chiều dài thêm 1cm và tăng chiều rộng thêm 2cm thì diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm 25cm² khi đó ta có phương trình $(x + 1)(y + 20) = xy + 25(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} 2(x + y) = 28 \\ (x + 1)(y + 20) = xy + 25 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y = 14 \\ 2x + y = 23 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 9(tm) \\ y = 5(tm) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 9cm, chiều rộng hình chữ nhật là 5cm

Ví dụ: Tính ba cạnh của một tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ biết chu vi của tam giác là $12m$ và tổng bình phương của ba cạnh bằng $50m$ .

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài cạnh $AB$ là $x(m)$ ; độ dài cạnh $AC$ là $y(m)$ ; độ dài cạnh $BC$ là $z(m)$ .

Điều kiện $x;y;z > 0$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $x^{2} + y^{2} = z^{2}$

Chu vi của tam giác là $12m$ nên $x + y + z = 12$

Tổng bình phương của ba cạnh bằng $50m$ nên $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 50$

Suy ra ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = z^{2} \\ x + y + z = 12 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 50 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = z^{2} \\ x + y + z = 12 \\ 2z^{2} = 50 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = z^{2} \\ x + y + z = 12 \\ z^{2} = 25 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = z^{2} \\ x + y + z = 12 \\ z = 5 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 25 \\ x + y = 7 \\ z = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 25 \\ x = 7 - y \\ z = 5 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (7 - y)^{2} + y^{2} = 25 \\ x = 7 - y \\ z = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (y - 4)(y - 3) = 0 \\ x = 7 - y \\ z = 5 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} y = 4 \\ y = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \\ x = 7 - y \\ z = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} y = 4 \Rightarrow x = 3 \\ y = 3 \Rightarrow x = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \\ z = 5 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy độ dài cạnh huyền bằng 5m, độ dài hai cạnh góc vuông bằng 3m; 4m.

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi $340m$ . Biết 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là $20m$ . Khi đó độ dài chiều dài và chiều rộng của sân trường bằng bao nhiêu mét?

Bài 2: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi $250m$ . Biết rằng khi ta giảm chiều dài 3 lần và tăng chiều rộng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi. Tính diện tích thửa ruộng?

Bài 3: Nhà bạn Dũng được ông bà ngoại cho một mảnh đất hình chữ nhật. Khi bạn Nam đến nhà Dũng chơi, Dũng đố Nam tìm ra kích thước của mảnh đất khi biết: mảnh đất có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng và nếu giảm chiều rộng đi 2m, tăng chiều dài lên gấp đôi thì diện tích mảnh đất đó tăng thêm $20m^{2}$ . Các em hãy giúp bạn Nam tìm ra chiều dài và chiều rộng của mảnh đất nhà bạn Dũng.

Bài 4: Ông của Khôi sở hữu mảnh đất hình chữ nhật có chu vi $100m$ . Ông định bán mảnh đất với giá thị trương là 15 triệu đồng cho một mét vuông. Hãy xác định giá tiền của mảnh đất biết chiều dài gấp bốn lần chiều rộng.

Bài 5: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi $118m$ . Nếu giảm chiều dài đi $5m$ và tăng chiều rộng thêm $3m$ thì diện tích giảm đi $14m^{2}$ . Tính diện tích của mảnh vườn.