Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Bài toán liên môn

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Bài toán liên môn 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Phương pháp làm bài:

Bước 1: Lập hệ phương trình (phương trình):

Chọn hệ số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Bước 2: Giải hệ phương trình (phương trình).

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

Ví dụ: Một dung dịch loại $A$ chứa $40\%$ axit $HNO_{3}$ (tính theo thể tích) và dung dịch axit loại $B$ chứa $50\%$ axit $HNO_{3}$ . Hỏi cần trộn bao nhiêu lít dung dịch loại $A$ và bao nhiêu lít dung dịch loại $B$ vào nhau để được $100l$ dung dịch loại $C$ chứa $47\%$ axit $HNO_{3}$ ?

Hướng dẫn giải

Gọi $x;y$ (lít) theo thứ tự là số lít dung dịch loại $A$ và dung dịch loại $B$ cần phải trộn để được dung dịch loại $C$ .

Điều kiện $x;y > 0$

Lượng axit chứa trong dung dịch loại $A$ là: $40\% x$ (lít)

Lượng axit chứa trong dung dịch loại $B$ là $50\% y$ (lít)

Dung dịch loại $A$ trộn với dung dịch loại $B$ để được $100l$ dung dịch loại $C$ nên ta có phương trình $x + y = 100(*)$

Hai dung dịch trên trộn vào nhau được dung dịch chứa $47\%$ axit $HNO_{3}$ nên ta có phương trình: $40\% x + 50\% y = 47(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x + y = 100 \\ 40\% x + 50\% y = 47 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y = 100 \\ 40\% x + 50\% y = 47 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 30 \\ y = 70 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy cần trộn 30 lít dung dịch loại $A$ và 70 lít dung dịch loại $B$ vào nhau để được $100l$ dung dịch loại $C$ chứa $47\%$ axit $HNO_{3}$ .

Ví dụ: Một chiếc lắc tay nữ có thể tích $10cm^{3}$ và nặng $171g$ được làm từ hai chất liệu vàng và bạc. Hỏi thể tích của vàng và bạc có trong chiếc lắc tay? Biết rằng khối lượng riêng của vàng và bạc lần lượt là $19,3g/cm^{3};10,5g/cm^{3}$ ?

Hướng dẫn giải

Công thức tính khối lượng riêng $m = D.V$ (trong đó $m$ là khối lượng, $D$ là khối lượng riêng và $V$ là thể tích.

Gọi thể tích của vàng và bạc tương ứng để làm chiếc lắc lần là $x;y\left( cm^{3} \right)$

Điều kiện $0 < x;y < 10$

Khi đó khối lượng của vàng và bạc tương ứng là $19,3x(g);10,5(g)$

Theo bài ra ta có:

Khối lượng chiếc lắc tay là $171g$ nên ta có phương trình $19,3x + 10,5 = 171(*)$

Thể tích chiếc lắc tay là $10cm^{3}$ nên ta có phương trình: $x + y = 10(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} 19,3x + 10,5 = 171 \\ x + y = 10 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 7,5 \\ y = 2,5 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy thể tích của vàng và bạc tương ứng để làm chiếc lắc lần là $7,5\left( cm^{3} \right);2,5\left( cm^{3} \right)$

Ví dụ: Cần trộn bao nhiêu tấn quặng chứa $50\%$ sắt với bao nhiêu tấn quặng chứa $75\%$ sắt để được $50$ tấn quặng chứa $60\%$ sắt?

Hướng dẫn giải

Gọi số tấn quặng chứa $50\%$ sắt với số tấn quặng chứa $75\%$ sắt tương ứng là $x;y$ (tấn)

Điều kiện $0 < x;y < 50$

Theo bài ra ta có: $x + y = 50(*)$

Khối lượng sắt trong $x$ tấn quặng chứa $50\%$ sắt là: $50\% x$ (tấn)

Khối lượng sắt trong $y$ tấn quặng chứa $75\%$ sắt là: $75\% y$ (tấn)

Khối lượng sắt trong $50$ tấn quặng chứa $60\%$ sắt là: $50.60\%$ (tấn)

Khi đó ta có phương trình $50\% x + 75\% y = 50.60\%(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x + y = 50 \\ 50\% x + 75\% y = 50.60\% \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 30 \\ y = 20 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy cần trộn 30 tấn quặng chứa $50\%$ sắt với 20 tấn quặng chứa $75\%$ sắt để được $50$ tấn quặng chứa $60\%$ sắt.

Ví dụ: Người ta đổ thêm $100g$ nước vào một bình dung dịch chứa $50g$ muối thì nồng độ dung dịch giảm $25\%$ . Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu gam nước?

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là $x(g)$

Điều kiện $x > 0$

Nồng độ muối của dung dịch khi đó là $\frac{50}{x + 50}$

Nếu đổ thêm $100g$ nước vào dung dịch thì khối lượng dung dịch sẽ là $x + 50 + 100 = x + 150(g)$

Khi đó nồng độ muối của dung dịch là $\frac{50}{x + 150}$

Theo bài ra ta có phương trình:

$\frac{50}{x + 50} - \frac{50}{x + 150} = 25\%$

$\Leftrightarrow x^{2} - 200x - 12500 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 50)(x + 250) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 50 = 0 \\ x + 250 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 50(tm) \\ x = - 250(ktm) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa 50 gam nước.

Ví dụ: Biết rằng $m(kg)$ nước giảm xuống $t^{0}(C)$ thì tỏa ra nhiệt lượng $Q = m.c.t(J)$ . Hỏi phải dùng bao nhiêu $kg$ nước sôi ở nhiệt độ $100^{0}(C)$ và bao nhiêu $kg$ nước ở nhiệt độ $20^{0}(C)$ để được $120kg$ nước ở $30^{0}(C)$ ?

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng nước cần dùng ở nhiệt độ $100^{0}(C)$ và khối lượng nước ở nhiệt độ $20^{0}(C)$ lần lượt là $m_{1}(kg);m_{2}(kg)$ .

Điều kiện $0 < m_{1};m_{2} < 120$

Ta có phương trình $m_{1} + m_{2} = 120(*)$

Nhiệt lượng tỏa ra từ $m_{1}(kg)$ nước $100^{0}(C)$ xuống $30^{0}(C)$ là: $Q_{1} = m_{1}.c.(100 - 30)(J)$

Nhiệt lượng thu vào từ $m_{2}(kg)$ nước $20^{0}(C)$ lên $30^{0}(C)$ là: $Q_{2} = m_{2}.c.(30 - 20)(J)$

Theo phương trình cân bằng nhiệt ta có:

$Q_{1} = Q_{2}$

$\Leftrightarrow m_{1}.c.(100 - 30) = m_{2}.c.(30 - 20)$

$\Leftrightarrow 7m_{1} = m_{2}(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} m_{1} + m_{2} = 120 \\ 7m_{1} = m_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m_{1} = 15 \\ m_{2} = 105 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy phải dùng $15kg$ nước sôi ở nhiệt độ $100^{0}(C)$ và $105kg$ nước ở nhiệt độ $20^{0}(C)$ để được $120kg$ nước ở $30^{0}(C)$ .

Ví dụ: Một nhà máy sử dụng $712$ tấn hỗn hợp $Fe_{2}O_{3};Fe_{3}O_{4}$ để luyện sắt thu được $504$ tấn sắt. Tính khối lượng từng oxit có trong hỗn hợp ban đầu biết hiệu suất luyện sắt là $100\%$ ?

Hướng dẫn giải

Trong $160gFe_{2}O_{3}$ có $120g$ sắt, trong $232g$ $Fe_{3}O_{4}$ có $168g$ sắt.

Gọi khối lượng hai oxit $Fe_{2}O_{3};Fe_{3}O_{4}$ có trong $712$ tấn hỗn hợp dùng để luyện sắt lần lượt là $x;y$ (tấn)

Điều kiện $x;y > 0$

Ta có phương trình $x + y = 712(*)$

Khối lượng sắt có trong $x$ tấn $Fe_{2}O_{3}$ là $\frac{x.120}{160}$ (tấn)

Khối lượng sắt có trong $y$ tấn $Fe_{3}O_{4}$ là $\frac{y.168}{232}$ (tấn)

Luyện $712$ tấn hỗn hợp hai oxit thu được $504$ tấn nên $\frac{x.120}{160} + \frac{y.168}{232} = 504(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}x + y = 712 \\\dfrac{x.120}{160} + \dfrac{y.168}{232} = 504 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 480 \\y = 232 \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy trong $712$ tấn hỗn hợp hai oxit có $480$ tấn $Fe_{2}O_{3}$ và $232$ tấn $Fe_{3}O_{4}$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Một dung dịch chứa 30% axit nitoric (tính theo thể tích) và một dung dịch khác chứa 55% axit nitoric. Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại 2 để được 100 lít dung dịch 50% axit nitoric?

Bài 2: Cho hai miếng kim loại, miếng kim loại thứ nhất nặng $250g$ , miếng kim loại thứ hai nặng $320g$ . Thể tích của miếng kim loại thứ nhất nhỏ hơn thể tích khối kim loại thứ hai là $15cm^{3}$ . Tính khối lượng của hai miếng kim loại? Biết rằng khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là $2g/cm^{3}$ .

Bài 3: Một vật là hợp kim đồng và kém có khối lượng là $124g$ và có thể tích $15cm^{3}$ . Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng, bao nhiêu gam kẽm. Biết rằng cứ $89g$ đồng thì có thể tích là $10cm^{3}$ và $7g$ kẽm thì có thể tích là $1cm^{3}$ .

Bài 4: Biết rằng dung dịch $A$ có nồng độ $20\%$ muối, dung dịch $B$ có nồng độ $10\%$ muối. xác định khối lượng dung dịch $A;B$ để pha được $500g$ có dung dịch $14\%$ muối.

Bài 5: Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit. Loại thứ nhất chứa $30\%$ axit, loại thứ hai chứa $5\%$ axit. Muốn có $50g$ dung dịch chứa $10\%$ axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu gam dung dịch của mỗi loại?

Bài 6: Một thanh kim loại là hợp kim đồng và kẽm. Biết rằng khối lượng riêng của đồng là $8900\left( kg/m^{3} \right)$ , của kẽm là $7100\left( kg/m^{3} \right)$ , của thanh kim loại đó là $8300\left( kg/m^{3} \right)$ . Hỏi trong miếng kim loại có khối lượng $124,5g$ chứa bao nhiêu gam đồng, bao nhiêu gam kẽm?