Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Bài toán thực tế

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình tìm số gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Bài toán thực tế 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Phương pháp làm bài:

Bước 1: Lập hệ phương trình (phương trình):

Chọn hệ số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Bước 2: Giải hệ phương trình (phương trình).

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

Ví dụ: Trong chiến dịch thương mại, một trung tâm điện máy giảm giá một số sản phẩm. Giá niêm yết của một tủ lạnh và một máy giặt có tổng số tiền là $25,4$ triệu đồng, nhưng trong thời gian này tủ lạnh được giảm $40\%$ giá bán và máy giặt được giảm $25\%$ giá bán. Hóa đơn thanh toán của anh T khi mua hai loại máy trên là $16,77$ triệu đồng. Hỏi khi chưa giảm giá thì giá niêm yết của mỗi loại máy bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi giá niêm yết của tủ lạnh và máy giặt lần lượt là $x;y$ (triệu đồng)

Điều kiện $0 < x;y < 25,4$

Ta có phương trình $x + y = 25,4(*)$

Tủ lạnh được giảm $40\%$ giá bán và máy giặt được giảm $25\%$ giá bán nghĩa là bán tủ lạnh với giá là $60\%$ giá gốc và bán máy giặt với giá là $75\%$ giá gốc.

Ta có phương trình $60\% x + 75\% y = 16,77(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x + y = 25,4 \\ 60\% x + 75\% y = 16,77 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 15,2 \\ y = 10,2 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 30 \\ y = 70 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy giá niêm yết của tủ lạnh là $15,2$ triệu đồng, giá niêm yết của máy giặt là $10,2$ triệu đồng.

Ví dụ: Cửa hàng đồng giá $40$ nghìn đồng có chương trình giảm giá $20\%$ cho một món hàng và nếu khách hàng mua $5$ món hàng trở lên thì món hàng thứ $5$ trở đi khách hàng chỉ phải trả $60\%$ giá đang bán. Nếu có khách hàng phải trả $272$ nghìn đồng thì khách hàng đó đã mua bao nhiêu món hàng?

Hướng dẫn giải

Giảm giá $20\%$ nên giá bán một món hàng là $80\%.40000 = 32000$ đồng

Trả $60\%$ giá đang bán tức là trả $60\%.40000 = 24000$ đồng / một món hàng

Khách hàng phải trả $272000 > 128000$ (số tiền bốn món hàng) nên khách hàng đã mua nhiều hơn 4 món hàng. Từ món thứ 5 khách mua với giá $24000$

Gọi số món khách hàng mua là x (món hàng)

Điều kiện $x\mathbb{\in N};x > 4$

Theo bài ra ta có:

$4.32000 + (x - 4).24000 = 272000$

$\Leftrightarrow x = 10(tm)$

Vậy nếu có khách hàng phải trả $272$ nghìn đồng thì khách hàng đó đã mua 10 món hàng.

Ví dụ: Tổng số tuổi của hai anh em hiện tại là $26$ tuổi. Khi tổng số tuổi của hai anh em gấp $5$ lần tuổi của anh hiện tại thì tuổi của anh khi đó sẽ gấp ba lần tuổi của em hiện nay. Hãy tính số tuổi hiện tại của hai anh em?

Hướng dẫn giải

Gọi số tuổi của anh và em hiện tại lần lượt là $x;y$ (tuổi)

Điều kiện $x;y \in \mathbb{N}^{*};x > y$

Tổng số tuổi của anh và em hiện tại là $26$ nên ta có phương trình $x + y = 26(*)$

Khi tổng số tuổi của hai anh em gấp 5 lần tuổi anh hiện tại thì tổng số tuổi của hai anh em là $5x$ (tuổi)

Khi đó tuổi của anh gấp 3 lần tuổi của em hiện tại nên tuổi anh khi đó là $3y$

Tuổi của em khi đó là $5x - 3y$ (tuổi)

Do hiệu số tuổi của hai anh em không thay đổi nên

$3y - (5x - 3y) = x - y \Leftrightarrow 6x - 7y = 0(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + y = 26 \\ 6x - 7y = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 12 \\ x = 14 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy tuổi của anh và em hiện tại lần lượt là 14 tuổi và 12 tuổi.

Ví dụ: Hai đường P và Q có $213$ học sinh thi đỗ vào lớp $10$ , đạt tỉ lệ trúng tuyển $85,2\%$ . Tính riêng trường P đỗ $80\%$ , trường Q đỗ $90\%$ . Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh dự thi vào lớp $10$ ?

Hướng dẫn giải

Tổng số học sinh dự thi là $\frac{213}{85,2\%} = 250$ (học sinh)

Gọi số học sinh dự thi vào lớp 10 trường P và Q tương ứng là x, y (học sinh)

Điều kiện $x;y \in \mathbb{N}^{*};x,y < 250$

Theo bài ra ta có: $x + y = 250$

Lại có tính riêng trường P đỗ $80\%$ , trường Q đỗ $90\%$ nên ta có phương trình: $80\% x + 90\% y = 213$

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x + y = 250 \\ 80\% x + 90\% y = 213 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 120 \\ y = 130 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy trường P có $120$ học sinh và trường Q có $130$ học sinh.

Ví dụ: Bác Bình dự định trồng $300$ cây cam theo nguyên tắc trồng thành các hàng, mỗi hàng có số cây bằng nhau. Nhưng khi thực hiện bác Bình trồng thêm hai hàng mỗi hàng thêm $3$ cây so với dự kiến ban đầu nên trồng được tất cả $391$ cây. Hỏi nếu bác Bình giảm đi hai hàng cây, số cây trên mỗi hàng giữ nguyên với dự định ban đầu thì trồng được bao nhiêu cây?

Hướng dẫn giải

Gọi số cây trong mỗi hàng dự kiến ban đầu là x (cây) và số lượng hàng dự kiến là y (hàng)

Điều kiện $x;y \in \mathbb{N}^{*}$

Theo bài ra ta có:

Bác dự định trồng 300 cây cam theo nguyên tắc trồng thành các hàng, mỗi hàng có số cây bằng nhau nên $x.y = 300$

Nhưng khi thực hiện bác Bình trồng thêm hai hàng mỗi hàng thêm 3 cây so với dự kiến ban đầu nên trồng được tất cả 391 cây nên ta có phương trình: $(x + 3)(y + 2) = 391$

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x.y = 300 \\ (x + 3)(y + 2) = 391 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x.y = 300 \\ 2x + 3y = 85 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = \dfrac{300}{x} \\2x + 3.\dfrac{300}{x} = 85 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = \dfrac{300}{x} \\2x^{2} - 85x + 900 = 0 \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = \dfrac{300}{x} \\(2x - 45)(x - 20) = 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = \dfrac{300}{x} \\\left\lbrack \begin{matrix}x = 20(tm) \\x = \dfrac{45}{2}(ktm) \\\end{matrix} \right.\ \\\end{matrix} \right.$

Suy ra $x = 20;y = 15$

Vậy nếu bác Bình giảm đi hai hàng cây, số cây trên mỗi hàng giữ nguyên với dự định ban đầu thì trồng cây.

Ví dụ: Hai giá sách có $450$ cuốn. Nếu chuyển $50$ cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng $\frac{4}{5}$ số sách giá thứ nhất. Tính số sách trên mỗi giá.

Hướng dẫn giải

Gọi số sách trên giá thứ nhất là x (cuốn) và số sách trên giá thứ hai là y (cuốn)

Điều kiện: x, y nguyên dương

Hai giá sách có $450$ cuốn nên ta có: $x + y = 450$

Khi chuyển $50$ cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai bằng $\frac{4}{5}$ số sách giá thứ nhất nên ta có phương trình: $y + 50 = \frac{4}{5}(x - 50)$

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x + y = 450 \\ y + 50 = \frac{4}{5}(x - 50) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 300(tm) \\ y = 150(tm) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy giá thứ nhất có $300$ cuốn, giá thứ hai có $150$ cuốn.

Ví dụ: Một đoàn tình nguyện viên di chuyển đến địa điểm tổ chức chương trình thiện nguyện bằng ô tô, số tình nguyên viên được chia đều trên một số xe dự kiến. Nếu mỗi xe chở tăng lên $4$ người thì giảm bớt được $3$ xe. Nếu mỗi xe chở giảm đi $6$ người thì tăng thêm $3$ xe. Hỏi số tình nguyện viên trong đoàn bằng bao nhiêu? Biết số tình nguyện viên nằm trong khoảng $550$ đến $870$ người.

Hướng dẫn giải

Gọi số tình nguyện viên dự kiến trên một xe là $x$ (người), số xe dự kiến là $y$ (xe)

Điều kiện $x;y \in \mathbb{N}^{*}$

Nếu mỗi xe chở tăng lên $4$ người thì giảm bớt được $3$ xe. Nếu mỗi xe chở giảm đi $6$ người thì tăng thêm $3$ xe nên ta có phương trình:

$(x + 4)(y - 3) = (x - 6)(y + 1)$

$\Leftrightarrow 2x = 5y - 3 \Leftrightarrow x = \frac{5y - 3}{2}$

Biết rằng số tình nguyện viên nằm trong khoảng $550$ đến $870$ người nên

$550 < xy < 870$

$\Leftrightarrow 550 < (5k + 1)(2k + 1) < 870$

$\Leftrightarrow 550 < 10k^{2} + 7k + 2 < 870$

$\Leftrightarrow 5500 < 100k^{2} + 70k + 20 < 8700$

$\Leftrightarrow 5500 - 20 + \frac{49}{4} < \left( 10k + \frac{7}{2} \right)^{2} < 8700 - 20 + \frac{49}{4}$

$\Leftrightarrow 70,6 < 10k < 89,8$

Vì $k\mathbb{\in Z \Rightarrow}k = 8 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 41 \\ y = 17 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow xy = 697$

Vậy số tình nguyện viên là $697$ người.

Ví dụ: Trung tâm thương mại (TTTM) A của thành phố T có 100 gian hàng. Nếu mỗi gian hàng của trung tâm cho thuê với giá 100 triệu đồng một năm thì tất cả gian hàng đều được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng $5\%$ tiền thuê mỗi gian hàng một năm thì trung tâm A có hai gian hàng trống. Hỏi người quản lý phải quyết định giá thuê mỗi gian hàng là bao nhiêu tiền một năm để doanh thu của TTTM A từ tiền cho thuê gian hàng trong năm là lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Tăng $5\%$ của 100 triệu tương đương tăng 5 triệu.

Vì mỗi gian hàng của trung tâm cho thuê với giá 100 triệu đồng một năm thì tất cả các gian hàng đều được thuê hết, nên để tang doanh thu thì người quản lý phải cho thuê với giá lớn hơn 100 triệu đồng một năm.

Giả sử giá tiền thuê mỗi gian hàng tăng lên là $x$ (triệu đồng) $(x > 0)$

Khi đó giá mỗi gian hàng cho thuê là $100 + x$ (triệu đồng).

Tăng $5\%$ tức là 5 triệu tiền thuê mỗi gian hàng thì có thêm 2 gian hàng trống nên khi tăng $x$ triệu đồng thì có thêm $\frac{2}{5}$ gian hàng trống, do đó số gian hang được cho thuê sau khi tăng giá là $100 - \frac{2x}{5}$ (gian hàng).

Vậy số tiền thu được là $T = (100 + x)\left( 100 - \frac{2x}{5} \right)$ (triệu đồng).

Bài toán trở thành tìm $x$ để $T_{\max}$ , ta có:

$\begin{matrix} T = \left( {100 + x} \right)\left( {100 - \dfrac{{2x}}{5}} \right) \hfill \\ = - \dfrac{2}{5}{x^2} + 60x + 10000 \hfill \\ = - \dfrac{2}{5}{\left( {x - 75} \right)^2} + 12250 \leqslant 12250 \hfill \\ \end{matrix}$

Suy ra $T_{\max} = 12250$ khi $x = 75$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy người quản lý phải cho thuê mỗi gian hàng với giá là $100 + 75 = 175$ triệu đồng một năm thì doanh thu từ tiền cho thuê gian hàng đạt lớn nhất.

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Tổng số sách ở hai tủ là $2000$ cuốn. Nếu chuyển $400$ cuốn ở tủ thứ nhất sang tủ thứ hai thì số sách tủ thứ hai gấp bốn lần số sách tủ thứ nhất. Tính số sách trong mỗi tủ?

Bài 2: Ba bình có thể tích tổng cộng là 120 lít. Nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ ba đầy nước còn bình thứ hai chỉ được một nửa thể tích của nó, hoặc bình thứ hai đầy nước còn bình thứ ba chỉ được một phần ba thể tích của nó. Hãy xác định thể tích mỗi bình?

Bài 3: Năm 2023 hai trường P và Q có tổng số 390 học sinh đỗ vào đại học đạt tỉ lệ 78%. Biết rằng trường P có tỉ lệ đỗ đại học đạt 75%, trường Q có tỉ lệ đỗ đại học đạt 80%. Tính số học sinh dự thi đại học của mỗi trường?

Bài 4: Năm ngoái tổng số dân tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm nay tăng $1\%$ còn dân số tỉnh B tăng $1,2\%$ . Tổng dân số cả hai tỉnh năm nay là $4043000$ người. Dân số tỉnh A năm ngoái bằng bao nhiêu người?

Bài 5: Tổng số vịt và chó là 45 con có tất cả 150 chân (không con nào thiếu hoặc thừa chân). Hỏi số lượng chó hơn số lượng vịt là bao nhiêu con?

Bài 6: Chiều cao trung bình của 40 học sinh lớp 9A là $1,628m$ . Trong đó chiều cao trung bình của học sinh nam là $1,64m$ , chiều cao trung bình của học sinh nữ là $1,61m$ . Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của lớp 9A?

Bài 7: Một người mua hai món hàng và phải trả tổng cộng $54600$ đồng, tính cả thuế VAT với món hàng thứ nhất là $10\%$ và thuế VAT với món hàng thứ hai là $8\%$ . Nếu thuế VAT của cả hai món hàng là $9\%$ thì người đó phải trả $54500$ đồng. Giá món hàng thứ nhất không kể thuế VAT là?