Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng tìm số

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình tìm số gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng tìm số 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Các bước giải bài toán tìm số bằng cách lập phương trình, hệ phương trình:

Bước 1: Lập hệ phương trình (phương trình):

Chọn hệ số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Chú ý: Với $a;b;c;d;...\mathbb{\in N};a > 0$

$\overline{ab} = a.10 + b$

$\overline{abc} = a.100 + b.10 + c$

$\overline{abcd} = a.1000 + b.100 + c.10 + d$

$\overline{ab0} = 10.\overline{ab}$

$\overline{ab00} = 100.\overline{ab}$

$\overline{ab000} = 1000\overline{ab};....$

Bước 2: Giải hệ phương trình (phương trình).

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

Ví dụ: Tìm hai số biết rằng 4 lần số thứ nhất cộng với ba lần số thứ hai bằng $1800$ và ba lần số thứ nhất hơn 2 lần số thứ hai là $500$ . Tìm hai số đó?

Hướng dẫn giải

Gọi x và y lần lượt là số thứ nhất và số thứ hai ( $x;y \in \mathbb{N}^{*}$ )

Theo bài ra ta có:

4 lần số thứ nhất cộng với ba lần số thứ hai bằng $1800$ suy ra $4x + 3y = 1800(*)$

Ba lần số thứ nhất hơn 2 lần số thứ hai là $500$ suy ra $3x - 2y = 500(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} 4x + 3y = 1800 \\ 3x - 2y = 500 \\ \end{matrix} \right.$

$\left\{ \begin{matrix} 4x + 3y = 1800 \\ 3x - 2y = 500 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 300 \\ y = 200 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy hai số cần tìm là $300$ và $200$ .

Ví dụ: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng hai chữ số của số đó là 11, hiệu các bình phương của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 33.

Hướng dẫn giải

Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: $\overline{ab} = a.10 + b;(a \neq 0)$

Tổng hai chữ số bằng 11 ta có:

a + b = 11 (1)

Hiệu các bình phương của chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 33 ta có 2 trường hợp:

TH1: $a^{2} - b^{2} = 33$ (2)

TH2: $b^{2} - a^{2} = 33$ (3)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 11} \\ {{a^2} - {b^2} = 33} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 11} \\ {\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = 33} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 11} \\ {a - b = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 7} \\ {b = 4} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Suy ra số tự nhiên cần tìm là 74.

Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 11} \\ {{b^2} - {a^2} = 33} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 11} \\ {\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) = 33} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 11} \\ {b - a = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4} \\ {b = 7} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Suy ra số tự nhiên cần tìm là 47.

Vậy số tự nhiên cần tìm là 47 hoặc 74.

Ví dụ: Trên tập hợp các số tự nhiên, hiệu của số lớn và số nhỏ bằng 25. Nếu giảm số lớn đi 14% và tăng số nhỏ lên 4% thì được tổng bằng 544. Tìm hai số đó.

Hướng dẫn giải

Gọi số lớn là x, số nhỏ là y; $\left( x;y\mathbb{\in N} \right)$

Hiệu số lớn và số nhỏ bằng 25 nên ta có: $x - y = 25 (1)$

Giảm số lớn đi 14% là: $x - \frac{14x}{100}$

Tăng số nhỏ lên 4% là $y + \frac{4y}{100}$

Tổng hai số đó bằng 544

Ta có phương trình: $x - \frac{14x}{100} + y + \frac{4y}{100} = 544$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}x - y = 25 \\x - \dfrac{14x}{100} + y + \dfrac{4y}{100} = 544 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 300 \\y = 275 \\\end{matrix} \right.$

Vậy số lớn là 300, số nhỏ là 275.

Ví dụ: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số sao cho tổng của hai chữ số của nó bằng $11$ . Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm $27$ đơn vị.

Hướng dẫn giải

Gọi số có hai chữ số là $\overline{ab} = a.10 + b$

Điều kiện $a;b\mathbb{\in N};0 < a \leq 9;0 \leq b \leq 9$

Tổng của hai chữ số của số đó bằng $11$ nên ta có phương trình: $a + b = 11(*)$

Khi đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số $\overline{ba} = 10b + a$ thì số đó tăng thêm $27$ đơn vị nên ta có phương trình

$\overline{ba} - \overline{ab} = 27$

$\Leftrightarrow 10b + a - 10a - b = 27$

$\Leftrightarrow b - a = 3(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} a + b = 11 \\ b - a = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = 7 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy số cần tìm là $47$ .

Ví dụ: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số sao cho tổng các chữ số bằng $17$ , chữ số hàng chục là $4$ . Nếu đổi các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó giảm đi $99$ đơn vị.

Hướng dẫn giải

Gọi số có ba chữ số và có chữ số hàng chục bằng 4 là $\overline{a4b}$

Điều kiện $a;b\mathbb{\in N};0 < a \leq 9;0 \leq b \leq 9$

Ta có: $\overline{a4b} = 100a + 40 + b$

Tổng các chữ số của số đó bằng $17$ nên ta có phương trình $a + 4 + b = 17 \Rightarrow a + b = 13(*)$

Khi đổi chỗ hai chữ số hàng trăm và hàng đơn vị ta được số mới $\overline{b4a}$ . Ta có:

$\overline{b4a} = 100b + 40 + a$

Nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó giảm đi $99$ đơn vị nên ta có phương trình:

$\overline{a4b} - \overline{b4a} = 99$

$\Leftrightarrow 100a + 40 + b - (100b + 40 + a) = 99$

$\Leftrightarrow a - b = 1(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} a + b = 13 \\ a - b = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 7 \\ b = 6 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy số cần tìm là $746$ .

Ví dụ: Tỉ số của hai số là $3:4$ . Nếu giảm số lớn đi $100$ và tăng số nhỏ thêm $200$ thì tỉ số mới là $5:3$ . Tìm giá trị của số lớn.

Hướng dẫn giải

Gọi số bé là $x$ và số lớn là $y$ . Điều kiện $x < y$

Tỉ số của hai số là $3:4$ nên suy ra $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}(*)$

Theo bài nếu giảm số lớn $100$ tăng số nhỏ $200$ thì tỉ số mới là $5:3$ khi đó ta có:

$\frac{x + 200}{y - 100} = \frac{5}{3}(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{4} \\\dfrac{x + 200}{y - 100} = \dfrac{5}{3} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}4x - 3y = 0 \\3x - 5y = - 1100 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 300 \\y = 400 \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy số lớn bằng 400.

Ví dụ: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết hiệu giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là $5$ . Nếu lấy số đã cho chia cho số viết theo thứ tự ngược lại ta được thương là $1$ và số dư là $13$ .

Hướng dẫn giải

Gọi số cần phải tìm là $\overline{xy} = 10x + y;\left( x \in \mathbb{N}^{*};y\mathbb{\in N};x;y \leq 9 \right)$

Hiệu giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là $5$ suy ra phương trình $x - y = 5(*)$

Nếu lấy số đã cho chia cho số viết theo thứ tự ngược lại ta được thương là $1$ và số dư là $13$ suy ra phương trình $10x + y = 3(10y + x) + 13(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x - y = 5 \\ 10x + y = 3(10y + x) + 13 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = 1 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy số cần tìm là $61$

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hai số tự nhiên biết rằng hiệu của số lớn với số nhỏ bằng $1814$ và tổng hai số bằng $2222$ . Tìm hai số?

Bài 2: Tìm số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số của số đó bằng 8, nếu đổi chỗ hai chữ số ấy cho nhau thì được số lớn hơn số đã cho 36 đơn vị.

Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của số đó bằng 9 và viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì được một số bằng $\frac{2}{9}$ số ban đầu.

Bài 4: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng tổng của chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị là $12$ . Nếu thêm số $0$ vào giữa hai chữ số thì ta được một số mới có ba chữ số lớn hơn số ban đầu $180$ đơn vị. Tìm số ban đầu.

Bài 5: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng tổng hai chữ số của nó bằng 0. Nếu lấy số đó chia cho số viết theo thứ tự ngược lại thì được thương bằng $2$ và dư $18$ . Tìm số ban đầu.

Bài 6: Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị của một số có ba chữ số là $14$ . Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu là $396$ . Tìm số đó biết rằng chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị là $1$ đơn vị.

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

60.000đ

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ