Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Toán chuyển động

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Toán chuyển động 4,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Các bước giải bài toán chuyển động bằng cách lập phương trình, hệ phương trình:

Bước 1: Lập hệ phương trình (phương trình):
Chọn hệ số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (chọn một trong các đại lượng vận tốc, thời gian, quãng đường làm ẩn).
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
$S = v.t;t = \frac{S}{v};v = \frac{S}{t}$
Với S là quãng đường $(km;m;...)$ , t là thời gian (giờ; giây; …), v là vận tốc $(km/h;m/s;...)$
Bước 2: Giải hệ phương trình (phương trình).
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

Chú ý: Với bài toán chuyển động trên dòng nước với $v_{0}$ là vận tốc thực của thuyền, $v_{d}$ là vận tốc dòng nước thì

Vận tốc xuôi dòng là: $V_{x} = v_{0} + v_{d}$
Vận tốc ngược dòng là: $V_{x} = v_{0} - v_{d}$

Ví dụ: Một sân ga dài $378m$ . Tìm vận tốc và chiều dài của một đoàn tàu biết đoàn tàu ấy chạy qua điểm dừng A từ đầu máy đến hết toa cuối cùng hết $7$ giây. Biết thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga B cho đến khi toa cuối cùng khỏi sân ga là $25$ giây?

Hướng dẫn giải

Gọi $x(m/s)$ là vận tốc của đoàn tàu, $x > 0$ .

Gọi $y(m)$ là chiều dài của đoàn tàu, $y > 0$

Tàu chạy ngang qua điểm dừng A mất 7 giây nghĩa là trong 7 giây tàu di chuyển được quãng đường bằng chiều dài tàu. Ta có phương trình: $y = 7x(*)$

Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga mất 25 giây nghĩa là trong 25 giây tàu di chuyển được quãng đường bằng chiều dài tàu cộng với 378m. Ta có phương trình:

$y + 378 = 25x(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} y = 7x \\ y + 378 = 25x \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 7x \\ 18x = 378 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 147 \\ x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21(m/s) và chiều dài đoàn tàu là 147m.

Ví dụ: Một cano xuôi, ngược trên khúc sông dài $40km$ hết $4$ giờ $30$ phút. Biết thời gian cano xuôi dòng $5km$ bằng thời gian cano ngược dòng $4km$ . Tính vận tốc dòng nước.

Hướng dẫn giải

Đổi $4$ giờ $30$ phút = $4,5$ giờ.

Gọi $x(km/h)$ là vận tốc của cano khi nước yên lặng.

$y(km/h)$ là vận tốc dòng nước

Điều kiện $x > y > 0$

Vận tốc của cano khi xuôi dòng $x + y(km/h)$

Vận tốc cano khi ngược dòng là: $x - y(km/h)$

Vì thời gian cano xuôi dòng $5km$ bằng thời gian cano ngược dòng $4km$ nên ta có phương trình: $\frac{5}{x + y} = \frac{4}{x - y}(*)$

Vì cano xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài $40km$ hết $4,5$ giờ nên ta có phương trình: $\frac{40}{x + y} + \frac{40}{x - y} = 4,5(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{5}{x + y} = \dfrac{4}{x - y} \\\dfrac{40}{x + y} + \dfrac{40}{x - y} = 4,5 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{40}{x + y} = \dfrac{32}{x - y} \\\dfrac{40}{x + y} + \dfrac{40}{x - y} = 4,5 \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{72}{x - y} = 4,5 \\\dfrac{40}{x + y} + \dfrac{40}{x - y} = 4,5 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x - y} = \dfrac{1}{16} \\\dfrac{40}{x + y} = 2 \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - y = 16 \\ x + y = 20 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 18 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy vận tốc dòng nước là $2km/h$ .

Ví dụ: Một du thuyền xuôi dòng $42km$ rồi ngược dòng $40km$ . Vận tốc du thuyền xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược dòng $4km/h$ . Tính vận tốc riêng của du thuyền biết rằng thời gian ngược dòng lâu hơn thời gian cano xuôi dòng là $1$ giờ.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc xuôi dòng của du thuyền là $x(km/h)$ , vận tốc ngược dòng của du thuyền là $y(km/h)$

Điều kiện $x > y > 0$

Thời gian du thuyền đi xuôi dòng $42km$ là $\frac{42}{x}(h)$

Thời gian du thuyền đi ngược dòng $40km$ là $\frac{40}{y}(h)$

Theo bài ra ta có thời gian đi ngược dòng lâu hơn thời gian đi xuôi dòng 1 giờ suy ra phương trình: $\frac{40}{y} - \frac{42}{x} = 1(*)$

Mặt khác vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược dòng là $4(km/h)$ nên ta có phương trình $x - y = 4(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{40}{y} - \dfrac{42}{x} = 1 \\x - y = 4 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{40}{y} - \dfrac{42}{4 + y} = 1 \\x = 4 + y \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 40(y + 4) - 42y = y(y + 4) \\ x = 4 + y \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 160 - 2y = y^{2} + 4y \\ x = 4 + y \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y^{2} + 6y - 160 = 0 \\ x = 4 + y \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (y + 16)(y - 10) = 0 \\ x = 4 + y \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} y = - 16(ktm) \\ y = 10(tm) \\ \end{matrix} \right.\ \\ x = 4 + y \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 10 \\ x = 4 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy vận tốc riêng của du thuyền là $\frac{x + y}{2} = 12(km/h)$ .

Ví dụ: Hai xe cùng khởi hành từ hai bến cách nhau 175 km để gặp nhau. Xe A đi sớm hơn xe B là 1giờ 30 phút với vận tốc 30km/h. Vận tốc của xe B là 35km/h. Hãy xác định thời điểm hai xe gặp nhau?

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian đi của xe 2 là x (giờ) (x > 0)

Thời gian đi của xe 1 là $x + \frac{3}{2}$ (giờ)

Quãng đường xe 2 đi là: 35x (km)

Quãng đường xe 1 đi là: $30\left( x + \frac{3}{2} \right)$ (km)

Vì 2 bến cách nhau 175 km nên ta có phương trình:

$30\left( x + \frac{3}{2} \right) + 35x = 175$

Giải phương trình ta được x = 2 (tmđk)

Vậy sau 2 giờ xe 2 gặp xe 1.

Ví dụ: Một khách du lịch đi trên ô tô $5$ giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong $7$ giờ được quãng đường dài $720km$ . Hỏi vận tốc của ô tô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô $12km$ .

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc ô tô là x (km/h), vận tốc tàu hỏa là y (km/h)

Điều kiện $x > 0;y > 0$

Quãng đường khách du lịch đi bằng ô tô bằng $5x(km)$

Quãng đường khách du lịch đi bằng tàu hỏa bằng $7x(km)$

Theo giả thiết ta có phương trình $5x + 7y = 720(*)$

Do mỗi giờ vận tốc tàu hỏa hơn ô tô $12km$ nên $y - x = 12(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} 5x + 7y = 720 \\ y - x = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 53 \\ y = 65 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy vận tốc của tàu hỏa và ô tô lần lượt là $65km/h;53km/h$ .

Ví dụ: Anh Phương khởi hành từ $A$ lúc $7$ giờ để đến gặp chị Quỳnh tại $B$ lúc $9$ giờ $30$ phút cùng ngày. Nhưng đến $9$ giờ, anh Phương biết chị Quỳnh bắt đầu đi từ $B$ để đến $C$ (không thuộc quãng đường $AB$ ) với vận tốc bằng $\frac{13}{4}$ lần vận tốc của anh Phương. Ngay lúc đó anh Phương tăng thêm vận tốc $1km/h$ và khi tới B, anh Phương đã đi theo đường tắt đến C chỉ dài bằng $\frac{1}{3}$ quãng đường mà chị Quỳnh đi từ B đến C. Do đó anh Phương và chị Quỳnh đến C cùng lúc. Nếu chị Quỳnh cũng đi đường tắt như anh Phương thì chị Quỳnh đến C trước anh Phương 2 giờ. Tính vận tốc lúc ban đầu của anh Phương?

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc ban đầu của anh Phương là $x(km/h);(x > 0)$

Vận tốc của chị Quỳnh là $3,25x(km/h)$

Gọi chiều dài quãng đường $BC$ là $y(km);(y > 0)$

Quãng đường chị Quỳnh đi từ B đến C là $3y(km)$

Gọi N là vị trí anh Phương bắt đầu tăng tốc

Quãng đường NB mà anh Phương dự định đi trong $\frac{1}{2}$ giờ là $0,5x(km)$

Anh Phương đi từ N đến C (theo đường tắt) được $0,5x + y(km)$ với vận tốc $x + 1(km/h)$ hết $\frac{0,5x + y}{x + 1}(h)$

Trong thời gian đó, chị Quỳnh đi $3y(km)$ với vận tốc $3,25x(km/h)$ nên ta có phương trình $\frac{0,5x + y}{x + 1} = \frac{3y}{3,25x}(*)$

Nếu chị Quỳnh đi đường tắt từ B đến C thì chỉ hết $\frac{y}{3,25x}(h)$ ít hơn so với đi theo đường vòng 2 giờ. Ta có phương trình

$\frac{3y}{3,25x} - \frac{y}{3,25x} = 2 \Leftrightarrow y = 3,25x(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{0,5x + y}{x + 1} = \dfrac{3y}{3,25x} \\y = 3,25x \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 4 \\y = 13 \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vận vận tốc lúc ban đầu của anh Phương là 4km/h.

Ví dụ: Một ô tô dự định chạy từ A đến B lúc 9 giờ sáng. Nếu xe chạy với vận tốc $30km/h$ thì đến B chậm $1$ giờ. Nếu chạy với vận tốc $60km/h$ thì tới B sớm hơn $1$ giờ. Xác định độ dài $AB$ , thời điểm mà ô tô xuất phát.

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B với vận tốc $30km/h$ là $x(h)$ , thời gian ô tô đi từ A đến B với vận tốc $60km/h$ là $y(h)$

Điều kiện $x;y > 0$

Quãng đường AB là: $S = 30x = 60y \Leftrightarrow 30x - 60y = 0(*)$

Theo bài ra ta có:

Nếu xe chạy với vận tốc $30km/h$ thì đến B chậm $1$ giờ. Nếu chạy với vận tốc $60km/h$ thì tới B sớm hơn $1$ giờ nên ta có phương trình $x - y = 2(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} 30x - 60y = 0 \\ x - y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2y = 0 \\ x - y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy quãng đường AB là 120km và thời gian ô tô dự định đi là 4 – 1 = 3 giờ

Thời gian ô tô xuất phát là 9 – 3 = 6 (giờ).

Ví dụ: Hai cano cùng khởi hành từ hai bến $A$ và $B$ cách nhau $85km$ (đi ngược chiều nhau). Sau $1$ giờ $40$ phút thì hai cano gặp nhau. Biết rằng vận tốc của cano khi đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc cano đi ngược dòng là $9km/h$ và vận tốc dòng nước là $3km/h$ . Tính vận tốc riêng của mỗi cano?

Hướng dẫn giải

Đổi $1$ giờ $40$ phút = $\frac{5}{3}$ giờ

Giả sử cano đi từ A xuôi dòng và cano đi từ B là ngược dòng

Gọi vận tốc cano xuôi dòng là $x(km/h)$ vận tốc cano ngược dòng là $y(km/h)$

Điều kiện $x;y > 0$

Quãng đường cano đi từ A đi được sau $\frac{5}{3}$ giờ là: $\frac{5x}{3}(km)$

Quãng đường cano đi từ B đi được sau $\frac{5}{3}$ giờ là: $\frac{5y}{3}(km)$

Theo bài ra ta có: Khoảng cách hai bến là 85km và sau $\frac{5}{3}$ giờ thì hai cano gặp nhau nghĩa là $\frac{5x}{3} + \frac{5y}{3} = 85(*)$

Mặt khác vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược dòng là $9(km/h)$ nên $x - y = 9(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{5x}{3} + \dfrac{5y}{3} = 85 \\x - y = 9 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + y = 51 \\x - y = 9 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 30 \\y = 21 \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy vận tốc riêng của cano khi xuôi dòng là $30 - 3 = 27(km/h)$ , vận tốc riêng của cano khi người dòng là $21 + 3 = 24(km/h)$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10km. Ca nô đi từ A đến B mất 2 giờ 20phút, ô tô đi hết 2 giờ. Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17km/h. Tính vận tốc của ca nô và vận tốc ô tô?

Bài 2: Một ôtô đi từ A đến B dài 163km. Sau khi đi được 43km nó dừng lại 40 phút, để về B kịp giờ đã quy định, ôtô phải đi với vận tốc gấp 1,2 vận tốc ban đầu. Tính vận tốc lúc đầu của cano?

Bài 3: Bạn A đi xe đạp rời nhà lúc 7 giờ với vận tốc 15km/h. Khi B đến nhà A vào lúc 7h 12 phút thì mẹ của A chỉ hướng đường đi của A cho B. Khi đó B đi xe đạp đuổi theo A với vận tốc 18km/h. Hỏi lúc mấy giờ thì B đuổi kịp A?

Bài 4: Một người đi xe máy từ A đến B. Nếu đi với vận tốc $35(km/h)$ thì đến nơi chậm hơn so với dự định là $\frac{2}{7}$ giờ. Nếu đi với vận tốc $45km/h$ thì đến nơi sớm hơn so với dự định là $13$ phút $20$ giây. Tính quãng đường AB.

Bài 5: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc xác định và trong một thời gian xác định. Nếu vận tốc của ô tô giảm 10km/h thì thời gian tăng 45 phút. Nếu vận tốc của ô tô tăng 10km/h thì thời gian giảm 30 phút. Khi đó vận tốc và thời gian dự định của ô tô bằng bao nhiêu?

Bài 6: Một người đi xe lúc 5 giờ 15 phút từ Hải Phòng đến Hà Nội cách nhau 120km. Người đó có việc nên 45 phút sau lại quay trở lại Hải Phòng. Khi về xe tăng tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 20km/h và về đến Hải Phòng lúc 11 giờ. Tính vận tốc xe lúc đi?

Bài 7: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 300km đi ngược chiều và gặp nhau sau 3 giờ. Nếu vận tốc mỗi xe không thay đổi nhưng xe đi chậm hơn xuất phát trước xe kia 30 phút thì hai xe gặp nhau sau 3 giờ 18 phút kể từ lúc xe chạy chậm hơn khởi hành. Hỏi vận tốc của xe đi nhanh hơn là bao nhiêu?

Bài 8: Một người đi từ A đến B với thời gian đã định. Nếu người đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Nếu người đó giảm bớt vận tốc đi 10km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu km?

(Đáp án bài tập tự rèn luyện có trong file tải)

Đánh giá của học viên

4 2 đánh giá

5 1 đánh giá
4 1 đánh giá
3 0 đánh giá
2 0 đánh giá
1 0 đánh giá

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

60.000đ

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ