Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Toán làm chung làm riêng

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Toán làm chung làm riêng 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Các bước giải bài toán làm chung làm riêng bằng cách lập phương trình, hệ phương trình:

Bước 1: Lập hệ phương trình (phương trình):

Chọn hệ số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (chọn một trong các đại lượng công việc, năng suất, thời gian, … làm ẩn).

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

$A = N.t;N = \frac{A}{t};t = \frac{A}{N}$

Với A là khối lượng công việc, N là năng suất, t là thời gian hoàn thành công việc.

Bước 2: Giải hệ phương trình (phương trình).
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

Ví dụ: Hai công nhân cùng làm việc trong $20$ giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong $5$ giờ, người thứ hai làm trong $7$ giờ thì hoàn thành $30\%$ công việc. Nếu làm riêng thì thời gian mỗi người hoàn thành công việc bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Đổi $30\% = \frac{3}{10}$

Gọi thời gian mỗi người làm riêng hoàn thành công việc là x; y (giờ)

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Theo bài ra ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{20}{x} + \dfrac{20}{y} = 1 \\\dfrac{5}{x} + \dfrac{7}{y} = \dfrac{3}{10} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{20}{x} + \dfrac{20}{y} = 1 \\\dfrac{20}{x} + \dfrac{28}{y} = \dfrac{12}{10} \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{8}{y} = \dfrac{1}{5} \\\dfrac{5}{x} + \dfrac{7}{y} = \dfrac{3}{10} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = 40 \\x = 40 \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy người thứ nhất làm một mình trong 40 giờ thì hoàn thành công việc, người thứ hai làm một mình trong 40 giờ thì xong công việc.

Ví dụ: Hai vòi nước cùng chảy vào bể sau $4$ giờ $48$ phút thì đầy bể. Nếu vòi một chảy trong $4$ giờ, vòi 2 chảy trong $3$ giờ thì cả hai vòi chảy được $75\%$ bể. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng một mình thì đầy bể?

Hướng dẫn giải

Đổi 4 giờ 48 phút = $\frac{24}{5}$ giờ

Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi 1 và vòi 2 lần lượt là x; y (giờ)

Điều kiện $x; y > 0$

Trong 1 giờ vòi 1 và vòi 2 chảy được lần lượt là $\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{y}$ bể

Trong một giờ cả hai vòi chảy được $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{24}$ bể

Nếu vòi một chảy trong 4 giờ, vòi 2 chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 75% bể khi đó ta có phương trình $\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{4}$

Khi đó ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{24} \\\dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{3}{4} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{8} \\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{12} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 8 \\y = 12 \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy thời gian để vòi 1 và vòi 2 chảy một mình đầy bể lần lượt là 8 giờ và 12 giờ.

Ví dụ: Hai người $A$ và $B$ làm xong công việc trong $72$ giờ. Hai người $A$ và $C$ làm xong công việc đó trong $63$ giờ. Hai người $B$ và $C$ làm xong công việc đó trong $56$ giờ. Hỏi nếu ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong mấy giờ?

Hướng dẫn giải

Gọi người A làm một mình xong công việc trong x (giờ) ( $x > 0$ ) và mỗi giờ làm được $\frac{1}{x}$ (công việc).

Người B làm một mình xong công việc trong y (giờ) ( $y > 0$ ) và mỗi giờ làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Người C làm một mình xong công việc trong z (giờ) ( $z > 0$ ) và mỗi giờ làm được $\frac{1}{z}$ (công việc).

Hai người A và B làm xong công việc trong 72 giờ nên mỗi giờ hai người làm được $\frac{1}{72}$ công việc

Ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{72}$

Hai người A và C làm xong công việc đó trong 63 giờ nên mỗi giờ hai người làm được $\frac{1}{63}$ công việc

Ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{63}$

Hai người B và C làm xong công việc đó trong 56 giờ nên mỗi giờ hai người làm được $\frac{1}{56}$ công việc

Ta có phương trình $\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{56}$

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{72} \\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{63} \\\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{56} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{72} \\\dfrac{1}{z} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{504} \\\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{56} \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{72} \\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{126} \\\dfrac{1}{z} = \dfrac{5}{504} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{168} \\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{126} \\\dfrac{1}{z} = \dfrac{5}{504} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 168 \\y = 126 \\z = 100,8 \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Nếu cả ba người cùng làm thì mỗi giờ làm được $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{12}{504}$ công việc

Vậy cả ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong $\frac{504}{12} = 42$ giờ

Ví dụ: Hai vòi nước chảy chung vào một bể không có nước thì sau $2$ giờ $24$ phút thì đầy bể. Mỗi giờ lượng nước của vòi một chảy gấp rưỡi lượng nước của vòi hai. Hỏi vòi một chảy một mình bao lâu thì đầy bể?

Hướng dẫn giải

Đổi 2 giờ 24 phút = $\frac{12}{5}$ giờ, gấp rưỡi tức là gấp $\frac{3}{2}$ lần.

Gọi thời gian vòi một và vòi hai chảy một mình đầy bể tương ứng là $x;y$ (giờ)

Điều kiện $x,y > \frac{12}{5}$

Trong một giờ vòi một và vòi hai chảy được lượng nước lần lượt là $\frac{1}{x};\frac{1}{y}$ (bể)

Vì hai vòi chảy chung vào bể sau $\frac{12}{5}$ thì đầy bể, nghĩa là 1 giờ hai vòi chảy được $\frac{5}{12}$ (bể) nên ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{12}$

Vì mỗi giờ lượng nước của vòi một chảy gấp rưỡi lượng nước của vòi hai nên ta có phương trình $\frac{1}{x} = \frac{3}{2}.\frac{1}{y}$ .

Khi đó ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{12} \\\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{y} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{2y} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{12} \\\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{y} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6} \\\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = 6 \\x = 4 \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy vòi một chảy một mình trong 4 giờ thì đầy bể.

Ví dụ: Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì $18$ ngày xong công việc. Nếu đội thứ nhất làm trong $6$ ngày sau đó đội thứ hai làm tiếp $8$ ngày nữa thì được $40\%$ công việc. Hỏi mỗi đội làm một mình bao lâu thì xong công việc?

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian để đội một làm một mình xong công việc là x (ngày)

Điều kiện $x > 0$

Gọi thời gian để đội hai làm một mình xong công việc là y (ngày)

Điều kiện $y > 0$

Một ngày đội một làm được $\frac{1}{x}$ công việc

Một ngày đội hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Vì hai đội làm chung 18 ngày thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{18}(*)$

Nếu đội thứ nhất làm trong 6 ngày sau đó đội thứ hai làm tiếp 8 ngày nữa thì được 40% công việc nên ta có phương trình $\frac{6}{x} + \frac{8}{y} = \frac{2}{5}(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{18} \\\dfrac{6}{x} + \dfrac{8}{y} = \dfrac{2}{5} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{45} \\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{30} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 45(tm) \\y = 30(tm) \\\end{matrix} \right.$

Kết luận:

Đội một làm một mình trong 45 ngày thì xong công việc.

Đội hai làm một mình trong 30 ngày thì xong công việc.

Ví dụ: Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong $12$ ngày. Họ cùng làm với nhau được $8$ ngày thì đội thứ nhất được điều động làm việc khác, còn đội thứ hai tiếp tục làm. Thực tế, nhờ cải tiến kĩ thuật nên năng suất tăng gấp đôi nên đội thứ hai đã làm xong phần công việc còn lại trong $3$ ngày rưỡi. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong công việc nói trên (với năng suất bình thường)?

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian để một mình đội xây dựng thứ nhất làm xong công việc là $x$ (ngày)

Thời gian để một mình đội xây dụng thứ hai làm xong công việc là $y$ (ngày)

Điều kiện $x;y > 0$

Trong một ngày đội thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc

Trong một ngày đội thứ hai làm đươc $\frac{1}{y}$ công việc.

Hai đội xây dựng cùng làm chung công việc và dự định làm xong trong $12$ ngày, khi đó một ngày hai đội làm được $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}(*)$

Trong ngày hai đội làm được $8\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 8.\frac{1}{12} = \frac{2}{3}$ công việc

Năng suất của đội hai sau khi cải tiến kĩ thuật là $\frac{2}{y}$ (công việc/ngày)

Công việc mà đội hai làm được trong $3,5$ ngày sau khi cải tiến kĩ thuật là $3,5.\frac{2}{y} = \frac{7}{y}$ (công việc/ngày)

Họ cùng làm với nhau trong 8 ngày thì đội thứ nhất được điều động đi làm việc khác, còn đội thứ hai tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ thuật năng suất tăng gấp đôi nên đội thứ hai đã làm xong phần công việc còn lại trong $3,5$ ngày suy ra $\frac{7}{y} + \frac{2}{3} = 1(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{12} \\\dfrac{7}{y} + \dfrac{2}{3} = 1 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{12} \\\dfrac{7}{y} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{12} \\y = 21 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 28 \\y = 21 \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy đội một làm một mình cần 28 ngày hoàn thành xong công việc, đội hai một mình cần 21 ngày hoàn thành xong công việc.

Ví dụ: Mở cùng một lúc một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước tháo ra khỏi bể thì trong $5$ giờ lượng nước trong bể là $\frac{2}{7}$ bể. Nếu mở vòi nước chảy trong $3$ giờ và mở vòi tháo trong $2$ giờ thì lượng nước trong bể là $\frac{11}{35}$ bể. Hỏi nếu mỗi vòi một mình thì vòi thứ nhất đầy bể trong bao lâu và vòi thứ hai tháo hết nước trong bao lâu?

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian để mình vòi chảy vào đầy bể là $x$ (giờ)

Thời gian để mình vòi chảy ra tháo hết nước ở bể là $y$ (giờ)

Một giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ (bể)

Một giờ vòi thứ hai tháo được $\frac{1}{y}$ (bể)

Mở cùng lúc một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước tháo nước ra khỏi bể thì trong $5$ giờ lượng nước trong bể là $\frac{2}{7}$ bể nên ta có phương trình $\frac{5}{x} - \frac{5}{y} = \frac{2}{7}(*)$

Mở vòi nước chảy vào trong $3$ giờ và mở vòi tháo nước trong $2$ giờ thì lượng nước trong bể là $\frac{11}{35}$ bể nên ta có phương trình $\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = \frac{11}{35}(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{5}{x} - \dfrac{5}{y} = \dfrac{2}{7} \\\dfrac{3}{x} - \dfrac{2}{y} = \dfrac{11}{35} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{y} = \dfrac{4}{35} \\\dfrac{3}{x} - \dfrac{2}{y} = \dfrac{11}{35} \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} = \dfrac{7}{35} \\\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{35} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 5 \\\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{35} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 5 \\y = 7 \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy thời gian vòi chảy vào chảy đầy bể là 5 giờ, thời gian vòi chảy ra tháo hết bể là 7 giờ.

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Hai công nhân làm chung công việc trong 6 giờ thì hoàn thành. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ 20 phút và người thứ hai làm trong 10 giờ thì xong công việc. Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc bằng bao nhiêu?

Bài 2: A và B cùng làm công việc trong 4 giờ thì hoàn thành. Nếu A làm trong 2 giờ và B làm trong 3 giờ thì làm được $\frac{2}{3}$ công việc. Hỏi nếu làm một mình thì A làm trong bao lâu xong công việc?

Bài 3: Hai đội công nhân cùng làm việc và hoàn thành trong 24 giờ. Nếu đội thứ nhất làm 10 giờ, đội thứ hai làm 15 giờ, thì cả hai đội làm được một nửa công việc. Tính thời gian mỗi đội làm một mình để xong công việc.

Bài 4: Hai người làm chung một công việc thì sau 20 ngày sẽ hoàn thành. Nhưng sau khi làm chung được 10 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác, người thứ hai vẫn tiếp tục công việc đó và hoàn thành trong 15 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc?

Bài 5: Hai người làm chung công việc trong 20 ngày sẽ hoàn thành. Sau khi làm chung được 12 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác trong khi đó người kia vẫn tiếp tục làm. Đi được 12 ngày người đó trở về làm tiếp 6 ngày nữa và hoàn thành công việc, trong khi đó người thứ hai nghỉ làm. Nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu ngày thì hoàn thành công việc?

Bài 6: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau $1$ giờ $20$ phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong $10$ phút và vòi thứ hai chảy trong $12$ phút thì đầy $\frac{2}{15}$ bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể?

Bài 7: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau $4$ giờ $48$ phút đầy bể. Mỗi giờ lượng nước của vòi một chảy được bằng $\frac{3}{2}$ lượng nước chảy được của vòi hai. Mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu sẽ đầy bể?

Bài 8: Hai vòi nước chảy vào một bể không có nước thì sau $12$ giờ thì đầy bể. Hai vòi cùng chảy trong $8$ giờ thì người ta khóa vòi 1, còn vòi 2 tiếp tục chảy tiếp. Do vòi 2 tăng công suất lên gấp đôi nên vòi 2 đã chảy đầy phần còn lại của bể trong $3,5$ giờ. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình với công suất bình thường thì bao lâu mới đầy bể?

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

60.000đ

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ