Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Toán năng suất

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Toán năng suất 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Các bước giải bài toán năng suất bằng cách lập phương trình, hệ phương trình:

Bước 1: Lập hệ phương trình (phương trình):

Chọn hệ số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (chọn một trong các đại lượng công việc, năng suất, thời gian, … làm ẩn).

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

$A = N.t;N = \frac{A}{t};t = \frac{A}{N}$

Với A là khối lượng công việc, N là năng suất, t là thời gian hoàn thành công việc.

Bước 2: Giải hệ phương trình (phương trình).
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

Ví dụ: Một tổ sản suất theo kế hoạch làm được $720$ sản phẩm. Nếu tăng năng suất thêm $10$ sản phẩm mỗi ngày thì hoàn thành công việc sớm hơn so với kế hoạch 1 ngày. Nếu giảm năng suất đi $20$ sản phẩm mỗi ngày thì hoàn thành chậm hơn so với kế hoạch $3$ ngày. Theo dự định, số lượng sản phẩm tổ đó phải sản suất mỗi ngày bằng bao nhiêu sản phẩm?

Hướng dẫn giải

Gọi năng suất tổ dự định làm là $x$ sản phẩm mỗi ngày, thời giản tổ sản xuất dự định hoàn thành kế hoạch là $y$ ngày.

Điều kiện: $x,y > 0$

Theo kế hoạch tổ sản suất phải làm $720$ sản phẩm nên $xy = 720$

Nếu tăng năng suất thêm $10$ sản phẩm mỗi ngày thì hoàn thành công việc sớm hơn so với kế hoạch 1 ngày suy ra $(x + 10)(y - 1) = 720 \Rightarrow (x + 10)(y - 1) = xy(*)$

Nếu giảm năng suất đi $20$ sản phẩm mỗi ngày thì hoàn thành chậm hơn so với kế hoạch $3$ ngày suy ra $(x - 20)(y + 3) = 720 \Rightarrow (x - 20)(y + 3) = xy(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} (x + 10)(y - 1) = xy \\ (x - 20)(y + 3) = xy \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} xy - x + 10y - 10 = xy \\ xy + 3x - 20y - 60 = xy \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - x + 10y = 10 \\ 3x - 20y = 60 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 80 \\ y = 9 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày tổ sản xuất phải sản xuất 80 sản phẩm.

Ví dụ: Một xưởng sản xuất dự định sản xuất sản phẩm lụa trong một thời gian đã dịnh và dự định sản xuất $300$ tấm lụa trong một ngày. Thực tế mỗi ngày xưởng đã làm thêm được $100$ tấm lụa nên đã sản xuất thêm được $600$ tấm lụa và hoàn thành trước kế hoạch một ngày. Tính số tấm lụa và số ngày xưởng sản xuất số tấm lụa theo kế hoạch.

Hướng dẫn giải

Gọi số tấm lụa xưởng dự định làm là $x$ (tấm), thời gian xưởng dự định hoàn thành theo kế hoạch là $y$ (ngày)

Điều kiện $x;y > 0$

Xưởng dự định sẽ sản xuất $300$ tấm lụa mỗi ngày nên $300y = x \Rightarrow x - 300y = 0(*)$

Thực tế mỗi ngày đã làm thêm được $100$ tấm nên đã sản xuất thêm được $600$ tấm lụa và hoàn thành sớm hơn một ngày. Khi đó ta có phương trình:

$400(y - 1) = x + 600 \Rightarrow x - 400y = - 1000(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x - 300y = 0 \\ x - 400y = - 1000 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 100y = 1000 \\ x - 300y = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 10 \\ x = 3000 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy theo kế hoạch xưởng dự định làm 3000 tấm lụa trong 10 ngày.

Ví dụ: Một nhà máy theo kế hoạch làm với năng suất $60$ chi tiết máy mỗi ngày. Thực tế năng suất một ngày của nhà máy vượt mức kế hoạch $10$ chi tiết máy nên nhà máy vượt mức kế hoạch $30$ chi tiết máy và hoàn thành sớm hơn 1 ngày. Tính số chi tiết máy nhà máy phải sản xuất dự định hoàn thành theo kế hoạch.

Hướng dẫn giải

Gọi số chi tiết máy mà nhà máy dự định làm theo kế hoạch là $x$ (chi tiết máy).

Thời gian nhà máy dự định hoàn thành theo kế hoạch là $y$ (ngày)

Điều kiện $x > y > 0$

Năng suất theo kế hoạch là $60$ chi tiết máy mỗi ngày nên ta có phương trình $60y = x \Rightarrow x - 60y = 0(*)$

Thực tế năng suất mỗi ngày của nhà máy vượt mức kế hoạch là $10$ chi tiết máy nên nhà máy vượt mức kế hoạch $30$ chi tiết máy và hoàn thành sớm hơn 1 ngày. Khi đó ta có phương trình:

$70(y - 1) = x + 30 \Rightarrow x - 70y = - 100(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x - 60y = 0 \\ x - 70y = - 100 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10y = 100 \\ x - 60y = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 10 \\ x = 600 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy theo kế hoạch nhà máy làm 600 chi tiết máy trong 10 ngày.

Ví dụ: Trên một quả đồi trồng $60ha$ cà phê và $40ha$ tiêu. Thu hoạch được tất cả $460$ tấn. Biết rằng $3ha$ trồng cà phê thu hoạch được ít hơn $4ha$ tiêu là $1$ tấn. Hỏi năng suất mỗi loại cây trên $1ha$ là bao nhiêu tấn?

Hướng dẫn giải

Gọi năng suất trên 1 ha của cà phê là $x$ (tấn), năng suất trên 1 ha của tiêu là $y$ (tấn)

Điều kiện $x > 0;y > 0$

Thu hoạch được tất cả $460$ tấn nên ta có phương trình: $60x + 40y = 460(*)$

Và $3ha$ trồng cà phê thu hoạch được ít hơn $4ha$ tiêu là $1$ tấn nên $4y - 3x = 1(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} 60x + 40y = 460 \\ 4y - 3x = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 60x + 40y = 460 \\ 40y - 30x = 10 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 90x = 450 \\ 4y - 3x = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 5 \\ 4y - 3x = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 5 \\ y = 4 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy năng suất trên một ha của cà phê và tiêu lần lượt là 5 tấn và 4 tấn.

Ví dụ: Một tổ sản xuất phải làm được 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng suất quy định. Sau khi làm xong 400 sản phẩm tổ sản xuất tăng năng suất lao động, mỗi ngày làm tăng thêm 10 sản phẩm so với quy định. Vì vậy mà công việc được hoàn thành sớm hơn quy định một ngày. Tính xem, theo quy định, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm?

Hướng dẫn giải

Gọi số sản phẩm làm theo quy định trong 1 ngày là x (sản phẩm) $(0 < x < 600)$

Số sản phẩm làm được khi tăng năng suất là y (sản phẩm) $(y > 0)$

Ta có y = x + 10 (1)

Thời gian hoàn thành theo quy định là: $\frac{600}{x}$ (ngày)

Thời gian làm 400 sản phẩm đầu là $\frac{400}{x}$ (ngày)

Thời gian làm 200 sản phẩm còn lại là $\frac{200}{y}$ (ngày)

Ta có phương trình: $\frac{400}{x} + \frac{200}{y} = \frac{600}{x} - 1$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix}y = x + 10 \\\dfrac{400}{x} + \dfrac{200}{y} = \dfrac{600}{x} - 1 \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 40 \\y = 50 \\\end{matrix} \right.$

Vậy theo quy định mỗi ngày phải làm 40 sản phẩm.

Ví dụ: Để hoàn thành một công việc theo dự định thì cần một số công nhân làm trong một số ngày nhất định. Nếu tăng thêm 10 công nhân thì công việc hoàn thành sớm hơn 2 ngày. Nếu bớt đi 10 công nhân thì phải mất thêm 3 ngày nữa mới hoàn thành công việc. Hỏi theo dự định thì cần bao nhiêu công nhân và làm trong bao nhiêu ngày?

Hướng dẫn giải

Gọi số công nhân và số ngày theo dự định là x (công nhân) và y (ngày)

Điều kiện: x > 10; y > 2 và x là số tự nhiên

Lượng công việc theo dự định là xy (ngày công)

	Số công nhân	Số ngày	Lượng công việc
Dự định	$x$	$y$	$xy$
Trường hợp 1	$x + 10$	$y-2$	$(x + 10)(y - 2)$
Trường hợp 2	$x-10$	$y + 3$	$(x - 10)(y + 3)$

Vì khối lượng công việc không đổi nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} (x + 10)(y - 2) = xy \\ (x - 10)(y + 3) = xy \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2x + 10y = 20 \\ 3x - 10y = 30 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 50 \\ y = 12 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy số công nhân và số ngày theo dự định lần lượt là 50 công nhân và 12 ngày.

Ví dụ: Trên một cánh đồng phân bố số cỏ như nhau, độ dày, độ cao trải đều như nhau trên toàn bộ cánh đồng. Biết rằng nếu $9$ con bò ăn thì hết số cỏ trên cánh đồng trong $2$ tuần, nếu $6$ con bò ăn thì hết số cỏ trên cánh đồng trong $4$ tuần. Hỏi có bao nhiêu con bò ăn hết cỏ trên cánh đồng trong $6$ tuần? (Số lượng cỏ mỗi con bò ăn như nhau).

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng cỏ có sẵn trên cánh đồng trước khi có bò ăn cỏ là 1 (đơn vị khối lượng quy ước), khối lượng cỏ mọc thêm trên cánh đồng trong 1 tuần là y (với đơn vị khối lượng nói trên). Điều kiện $y > 0$

Gọi số con bò phải tìm là x (con). Điều kiện $x \in \mathbb{N}^{*}$

Theo đề bài, ta có 9 con bò trong 2 tuần hết $1 + 2y$ nên mỗi con bò trong một tuần ăn hết $\frac{1 + 2y}{18}$

6 con bò trong 4 tuần hết $1 + 4y$ nên mỗi con bò trong một tuần ăn hết $\frac{1 + 4y}{24}$

x con bò ăn trong 6 tuần hết $1 + 6y$ nên mỗi con bò trong một tuần ăn hết $\frac{1 + 6y}{6x}$

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1 + 2y}{18} = \dfrac{1 + 4y}{24}\ \ \ \ (*) \\\dfrac{1 + 4y}{24} = \dfrac{1 + 6y}{6x}\ \ \ \ \ (**) \\\end{matrix} \right.$

Phương trình (*) cho ta $y = \frac{1}{4}$ thay vào (**) ta được $x = 5$

Vậy 5 con bò ăn hết cỏ trên cánh đồng trong 6 tuần.

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Tổ sản xuất nhận dệt một số lượng vải trong 20 ngày. Nhưng do tổ tăng năng suất 20% nên đã hoàn thành sau 1 ngày. Không những vậy mà tổ sản xuất còn làm thêm được 24 tấm vải. Số vải thực tế tổ sản xuất làm được là bao nhiêu tấm vải?

Bài 2: Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định xong trong 12 ngày. Họ cùng làm chung với nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều đi làm việc khác. Đội 2 tiếp tục làm, do cải tiến kĩ thuật năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần công việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc trên.

Bài 3: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm 300 sản phẩm. Trên thực tế, xí nghiệp 1 vượt mức 15%, xí nghiệp 2 vượt mức 10%, do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng 336 sản phẩm. Số sản phẩm xí nghiệp 2 phải làm theo kế hoạch bằng bao nhiêu?

Bài 4: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được $900$ sản phẩm. Tháng thứ hai tổ một vượt mức $15\%$ và tổ hai vượt mức $10\%$ so với tháng thứ nhất. Vì vậy hai tổ sản xuất được $1010$ sản phẩm. Hỏi tháng thứ hai mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?

Bài 5: Một công nhân dự định làm $360$ sản phẩm trong một thời gian cố định. Nếu người đó làm vượt năng suất $6$ sản phẩm một ngày thì sẽ làm xong trước kế hoạch $3$ ngày. Nếu người đó làm ít hơn dự định $4$ sản phẩm thì người đó sẽ hoàn thành công việc chậm hơn kế hoạch $3$ ngày. Tính năng suất và thời gian người đó dự định làm $360$ sản phẩm.

(Đáp án bài tập tự rèn luyện có trong file tải)

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

60.000đ

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ