Giải biện luận phương trình bậc hai

Chuyên đề Phương trình bậc hai gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Giải biện luận phương trình bậc hai 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Khi giải bài toán giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn dạng $ax^{2} + bx + c = 0$ trong đó $a;b;c\mathbb{\in R}$ thì ta thực hiện như sau:

Xét trường hợp $a = 0$ . Khi đó phương trình đã cho trở thành $bx + c = 0$ . Đây là phương trình bậc nhất.

Nếu $b \neq 0$ thì phương trình có nghiệm $x = - \frac{c}{a}$
Nếu $b = 0;c \neq 0$ thì phương trình vô nghiệm.
Nếu $b = 0;c = 0$ thì phương trình có vô số nghiệm.

Xét trường hợp $a \neq 0$ ta có: $\Delta = b^{2} - 4ac$ (hoặc $\Delta' = (b')^{2} - ac$

Nếu $\Delta < 0$ (hoặc $\Delta' < 0$ ) thì phương trình vô nghiệm.
Nếu $\Delta = 0$ (hoặc $\Delta' = 0$ ) thì phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2a}$ (hoặc $x_{1} = x_{2} = - \frac{b'}{a}$ )
Nếu $\Delta > 0$ (hoặc $\Delta' > 0$ ) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a};x_{2} = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

(hoặc $x_{1} = \frac{- b' - \sqrt{\Delta'}}{a};x_{2} = \frac{- b' + \sqrt{\Delta'}}{a}$ )

Ví dụ: Giải và biện luận các phương trình (với $m$ là tham số):

a) $x^{2} - x + m = 0$

b) $x^{2} + 3x - m = 0$

Hướng dẫn giải

a) $x^{2} - x + m = 0$

Xét $\Delta = ( - 1)^{2} - 4.1.m = 1 - 4m$

Nếu $\Delta < 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{4}$ thì phương trình vô nghiệm.

Nếu $\Delta = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}$ thì phương trình có nghiệm kép là $x_{1} = x_{2} = \frac{1}{2}$

Nếu $\Delta > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{1 - 4m}}{2};x_{2} = \frac{1 - \sqrt{1 - 4m}}{2}$

Kết luận:

Với $m > \frac{1}{4}$ phương trình vô nghiệm.

Với $m = \frac{1}{4}$ phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = \frac{1}{2}$

Với $m < \frac{1}{4}$ phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{1 - 4m}}{2};x_{2} = \frac{1 - \sqrt{1 - 4m}}{2}$

b) $x^{2} + 3x - m = 0$

Xét $\Delta = 3^{2} - 4.1.( - m) = 9 + 4m$

Nếu $\Delta < 0 \Leftrightarrow m < \frac{- 9}{4}$ thì phương trình vô nghiệm.

Nếu $\Delta = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{9}{4}$ thì phương trình có nghiệm kép là $x_{1} = x_{2} = - \frac{3}{2}$

Nếu $\Delta > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{9}{4}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{9 + 4m}}{2};x_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{9 + 4m}}{2}$

Kết luận:

Với $m < \frac{- 9}{4}$ phương trình vô nghiệm.

Với $m = \frac{- 9}{4}$ phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = - \frac{3}{2}$

Với $m > \frac{- 9}{4}$ phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{9 + 4m}}{2};x_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{9 + 4m}}{2}$

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình $x^{2} - 2(m + 3)x + \left( m^{2} - 5 \right) = 0(*)$ với $m$ là tham số.

a) Giải phương trình với $m = 2$ .

b) Với giá trị nào của m thì phương tình có hai nghiệm, nghiệm kép, vô nghiệm?

c) Tính hiệu của nghiệm lớn và nghiệm nhỏ trong trường hợp phương trình có hai nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Với $m = 2$ ta có phương trình $x^{2} - 10x - 1 = 0$

Ta có: $\Delta' = 25 + 1 = 26 > 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = 5 + \sqrt{26};x_{2} = 5 - \sqrt{26}$

b) Phương trình (*) có:

$\Delta' = (m + 3)^{2} - \left( m^{2} - 5 \right) = 6m + 14$

Phương trình (*) có hai nghiệm $\Leftrightarrow 6m + 14 > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{7}{3}$

Phương trình (*) có nghiệm kép $\Leftrightarrow 6m + 14 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{7}{3}$

Phương trình (*) vô nghiệm $\Leftrightarrow 6m + 14 < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{7}{3}$

c) Khi $m > - \frac{7}{3}$ , phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

$\left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = (m + 3) + \sqrt{6m + 14} \\ x_{2} = (m + 3) - \sqrt{6m + 14} \\ \end{matrix} \right.$

Rõ ràng $x_{1} > x_{2}$ . Khi đó $x_{1} - x_{2} = 2\sqrt{6m + 14}$ .

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình $\frac{m}{x + 1} + \frac{1}{x - m} = 2(*)$ với $m$ là tham số.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x \neq 1;x \neq m$ . Khi đó phương trình (*) trở thành

$m(x - m) + x - 1 = 2(x - 1)(x - m)$

$\Leftrightarrow \left( mx - m^{2} \right) + x - 1 = 2\left( x^{2} - x - mx + m \right)$

$\Leftrightarrow 2x^{2} - 3(m + 1)x + (m + 1)^{2} = 0(**)$

Phương trình (**) có biệt số:

$\Delta = 9(m + 1)^{2} - 8(m + 1)^{2} = (m + 1)^{2} \geq 0\forall m$

Khi đó:

Nếu $m = - 1$ thì phương trình (**) có nghiệm kép $x_{0} = \frac{3(m + 1)}{4} = 0$ . Ta thấy nghiệm này thỏa mãn nên cũng là nghiệm của phương trình (*)

Nếu $m \neq - 1$ thì phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt:

$\left\lbrack \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{3(m + 1) + (m + 1)}{4} = m + 1 \\x_{2} = \dfrac{3(m + 1) - (m + 1)}{4} = \dfrac{m + 1}{2} \\\end{matrix} \right.$

$x_{1}$ là nghiệm của (*) khi $\left\{ \begin{matrix} m + 1 \neq 1 \\ m + 1 \neq m \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \neq 0$

$x_{2}$ là nghiệm của (*) khi $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{m + 1}{2} \neq 1 \\\dfrac{m + 1}{2} \neq m \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \neq 1$

Kết luận:

$m = - 1$ phương trình (*) có một nghiệm $x_{0} = 0$

$m = 0$ phương trình (*) có một nghiệm $x_{2} = \frac{m + 1}{2} = \frac{1}{2}$ (loại nghiệm $x_{1}$ )

$m = 1$ phương trình (*) có một nghiệm $x_{1} = m + 1 = 2$ (loại nghiệm $x_{2}$ )

$\left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m \neq \pm 1 \\ \end{matrix} \right.$ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = m + 1;x_{2} = \frac{m + 1}{2}$ .

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình $mx^{2} - (2m - 1)x + m = 0$ với $m$ là tham số.

Hướng dẫn giải

Xét $m = 0$ phương trình trở thành $x = 0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 0$

Xét $m \neq 0$ . Ta có: $\Delta = \left\lbrack - (2m - 1) \right\rbrack^{2} - 4m.m = 1 - 4m$

Nếu $m > \frac{1}{4} \Leftrightarrow \Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Nếu $m = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép là $x_{1} = x_{2} = \frac{2m - 1}{2m} = \frac{2.\frac{1}{4} - 1}{2.\frac{1}{4}} = - 1$

Nếu $m < \frac{1}{4} \Leftrightarrow \Delta < 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{2m - 1 - \sqrt{1 - 4m}}{2m};x_{2} = \frac{2m - 1 + \sqrt{1 - 4m}}{2m}$

Kết luận:

Với $m > \frac{1}{4}$ phương trình vô nghiệm.

Với $m = \frac{1}{4}$ phương trình có nghiệm kép là $x_{1} = x_{2} = - 1$

Với $m < \frac{1}{4};m \neq 0$ phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{2m - 1 - \sqrt{1 - 4m}}{2m};x_{2} = \frac{2m - 1 + \sqrt{1 - 4m}}{2m}$

Với $m = 0$ phương trình có nghiệm duy nhất là $x = 0$ .

Ví dụ: Cho phương trình $mx^{2} - (2m + 1)x + m + 1 = 0(*)$ với m là tham số.

a) Giải phương trình (*) với $m = - \frac{3}{5}$ .

b) Chứng minh rằng phương trình (*) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị $m$ .

c) Tìm giá trị của $m$ để phương trình (*) có một nghiệm lớn hơn $2$ .

Hướng dẫn giải

a) Với $m = - \frac{3}{5}$ thì phương trình (*) trở thành:

$- \frac{3}{5}x^{2} + \frac{1}{5}x + \frac{2}{5} = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - x - 2 = 0$

Ta có: $\Delta = 1 - 4.3.( - 2) = 25 > 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_{1} = \frac{1 - 5}{6} = - \frac{2}{3};x_{2} = \frac{1 + 5}{6} = 1$

b) Ta có:

Nếu $m = 0$ thì phương trình (*) trở thành $- x + 1 = 0$

Phương trình này có nghiệm duy nhất $x = 0$ .

Nếu $m \neq 0$ thì phương trình (*) là phương trình bậc hai có:

$\Delta = \left\lbrack - (2m + 1) \right\rbrack^{2} - 4m(m + 1) = 1 > 0$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Tóm lại với mọi giá trị của tham số m thì phương trình (*) luôn có nghiệm.

c) Nếu $m \neq 0$ thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

$\left\lbrack \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{(2m + 1) - 1}{2m} = 1 \\x_{2} = \dfrac{(2m + 1) + 1}{2m} = \dfrac{m + 1}{m} \\\end{matrix} \right.$

Vì nghiệm $x_{1} = 1 < 2$ nên ta phải xét nghiệm $x_{2} > 2$

$\frac{m + 1}{m} > 2 \Leftrightarrow \frac{m + 1}{m} - 2 > 0 \Leftrightarrow 0 < m < 1$

Vậy khi $0 < m < 1$ thì phương trình (*) có một nghiệm lớn hơn 2.

Ví dụ: Cho phương trình $\left( m^{2} - 4 \right)x^{2} + 2(m + 2)x + 1 = 0(*)$

a) Tìm $m$ để phương trình $(*)$ có nghiệm.

b) Tìm $m$ để phương trình $(*)$ có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Khi $m^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2$ . Thử trực tiếp ta thấy phương trình chỉ có nghiệm khi $m = 2$ .

Khi $m^{2} - 4 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 2\ \ \ (1)$

Ta có: $\Delta' = 4m + 8$

Để phương trình (*) có nghiệm thì $\Delta' \geq 0 \Leftrightarrow 4m + 8 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq - 2\ \ \ (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $m > - 2$ và $m \neq 2$

Vậy phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi $m > - 2$ .

b) Phương trình (*) có nghiệm duy nhất trong hai trường hợp sau:

TH1: $\left\{ \begin{matrix} m^{2} - 4 = 0 \\ 2(m + 2) \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 2$

TH2: $\left\{ \begin{matrix} m^{2} - 4 \neq 0 \\ 4m + 8 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \in \varnothing$

Vậy với $m = 2$ thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất.

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải biện luận phương trình $(m - 3)x^{2} - 2mx + m - 6 = 0(*)$ với $m$ là tham số.

Bài 2: Giải biện luận phương trình $mx^{2} - 2(m - 1)x + m + 1 = 0(*)$ với $m$ là tham số.

Bài 3: Giải và biện luận các phương trình (với $m$ là tham số):

a) $mx^{2} + x - 3 = 0$ b) $mx^{2} + 2x - 5 = 0$

Bài 4: Giải và biện luận các phương trình (với $m$ là tham số):

a) $x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2} = 0$

b) $x^{2} - 4(m - 2)x + 4m^{2} = 0$

Bài 5: Giải và biện luận phương trình sau:

$\frac{m - 1}{mx - 1} + \frac{2}{x^{2} -1} = \frac{m + 5}{(1 - mx)\left( x^{2} -1 \right)}(*)$

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ